ในทางคณิตศาสตร์ปัญหาของเพลโตคือการแสดงให้เห็นถึงการมีอยู่ของพื้นผิวขั้นต่ำที่มีขอบเขตที่กำหนดให้ ปัญหานี้ถือเป็นส่วนหนึ่งของแคลคูลัสของการแปรผันปัญหาการมีอยู่และความสม่ำเสมอเป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีการวัดทางเรขาคณิตซึ่งตั้งชื่อตามโจเซฟ เพลโต

ปัญหาดังกล่าวถูกหยิบยกขึ้นมาครั้งแรกโดยโจเซฟ-หลุยส์ ลากรองจ์ในปี 1760 อย่างไรก็ตาม ชื่อเรียกของมันตั้งตามชื่อของโจเซฟ พลาโตผู้ทำการทดลองเกี่ยวกับฟิล์มสบู่

มีการแก้ปัญหาในรูปแบบเฉพาะทางต่างๆ มาแล้ว แต่จนกระทั่งปี 1930 จึงมีการค้นพบวิธีแก้ปัญหาทั่วไปในบริบทของการแมป (การจุ่ม) โดยอิสระจากกันโดยJesse DouglasและTibor Radóวิธีการของพวกเขานั้นแตกต่างกันมาก งานของ Radó สร้างขึ้นจากงานก่อนหน้าของ René Garnier และใช้ได้เฉพาะกับ เส้นโค้งปิดแบบง่าย ที่สามารถหาความยาวได้ในขณะที่ Douglas ใช้แนวคิดใหม่ทั้งหมด โดยผลลัพธ์ของเขานั้นใช้ได้กับเส้นโค้งปิดแบบง่ายใดๆ ก็ได้ ทั้งสองอาศัยการตั้งปัญหาการหาค่าต่ำสุด Douglas หาค่าต่ำสุดของอินทิกรัล Douglas ที่ปัจจุบันได้ชื่อว่า Douglas integral ในขณะที่ Radó หาค่าต่ำสุดของ "พลังงาน" Douglas ได้รับรางวัลFields Medalในปี 1936 จากความพยายามของเขา

การขยายปัญหาไปยังมิติ ที่สูงขึ้น (นั่นคือ สำหรับ${\displaystyle k}$พื้นผิวหลายมิติใน${\displaystyle n}$การศึกษาปัญหาในปริภูมิหลายมิติ (n-dimensional space) กลายมาเป็นเรื่องยากกว่ามาก ยิ่งไปกว่านั้น ในขณะที่คำตอบของปัญหาเดิมมักจะเป็นคำตอบปกติ แต่คำตอบของปัญหาที่ขยายออกไปอาจมีจุดเอกฐานได้หาก...${\displaystyle k\leq n-2}$ในกรณีของพื้นผิวไฮเปอร์เซอร์เฟซที่${\displaystyle k=n-1}$ภาวะเอกฐานเกิดขึ้นเฉพาะในกรณีต่อไปนี้${\displaystyle n\geq 8}$ตัวอย่างหนึ่งของคำตอบเฉพาะของปัญหาที่ราบสูงคือกรวยไซมอนส์ซึ่งเป็นกรวยเหนือ${\displaystyle S^{3}\times S^{3}}$ใน${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$ซึ่งได้รับการอธิบายครั้งแรกโดยJim Simons และได้รับการพิสูจน์ แล้วว่าเป็นตัวลดพื้นที่โดยBombieri , De GiorgiและGiusti ^{[ 1 ]}เพื่อแก้ปัญหาที่ขยายออกไปในกรณีพิเศษบางกรณีทฤษฎีของเส้นรอบวง ( De Giorgi ) สำหรับมิติร่วม 1 และทฤษฎีของกระแสที่แก้ไขได้ ( Federerและ Fleming) สำหรับมิติร่วมที่สูงกว่าได้รับการพัฒนาขึ้น ทฤษฎีนี้รับประกันการมีอยู่ของคำตอบมิติร่วม 1 ที่เรียบเนียนห่างจากเซตปิดของมิติ Hausdorff${\displaystyle n-8}$ในกรณีที่มีมิติร่วมที่สูงกว่าอัลม์เกรนได้พิสูจน์การมีอยู่ของคำตอบที่มีเซตเอกลักษณ์ที่มีมิติไม่เกิน${\displaystyle k-2}$ในทฤษฎีความสม่ำเสมอ ของเขา SX Chang นักศึกษาของ Almgren ได้ต่อยอดจากงานของ Almgren เพื่อแสดงให้เห็นว่าจุดเอกฐานของกระแสอินทิกรัลที่ลดพื้นที่ 2 มิติ (ในมิติร่วมใดๆ) ก่อตัวเป็นเซตแยกย่อยจำกัด^{[ 2 ] [ 3 ]}

แนวทางเชิงสัจพจน์ของJenny Harrisonและ Harrison Pugh ^{[ 4 ]}จัดการกับกรณีพิเศษที่หลากหลาย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พวกเขาแก้ปัญหา Plateau แบบไม่สมมาตรในมิติและมิติร่วมใดๆ สำหรับชุดของเซตที่แก้ไขได้ซึ่งสอดคล้องกับการรวมกันของเงื่อนไขการแผ่ขยายเชิงโฮโมโลยี โคโฮโมโลยี หรือโฮโมโทปิกทั่วไป การพิสูจน์ที่แตกต่างกันของผลลัพธ์ของ Harrison-Pugh ได้รับโดยCamillo De Lellis , Francesco Ghiraldin และ Francesco Maggi ^{[ 5 ]}

ฟิล์มสบู่ทางกายภาพได้รับการจำลองอย่างแม่นยำยิ่งขึ้นโดย${\displaystyle (M,0,\Delta )}$-เซตขั้นต่ำของFrederick Almgrenแต่การขาดทฤษฎีบทความกะทัดรัดทำให้ยากที่จะพิสูจน์การมีอยู่ของตัวลดพื้นที่ขั้นต่ำ ในบริบทนี้ คำถามที่ยังคงเปิดอยู่คือการมีอยู่ของฟิล์มสบู่ที่มีพื้นที่น้อยที่สุด Ernst Robert Reifenberg ได้แก้ปัญหา "ปัญหา Plateau สากล" สำหรับขอบเขตที่มีลักษณะทางโทโพโลยีเหมือนกับทรงกลมฝังตัวเดี่ยว

• การคาดการณ์ฟองสบู่คู่
• หลักการของ Dirichlet
• กฎของที่ราบสูง
• วิธีการกริดแบบยืด
• ปัญหาของเบิร์นสไตน์