นี่คือคำอธิบายศัพท์บางส่วนที่ใช้ในเรขาคณิตแบบรีมันน์และเรขาคณิตเชิงเมตริกซึ่งไม่ได้ครอบคลุมศัพท์เฉพาะของ โทโพโล ยีเชิงอนุพันธ์

บทความต่อไปนี้อาจเป็นประโยชน์เช่นกัน เนื่องจากบทความเหล่านี้มีคำศัพท์เฉพาะทางหรือให้คำอธิบายที่ละเอียดมากขึ้นเกี่ยวกับคำจำกัดความที่ระบุไว้ด้านล่าง

• การเชื่อมต่อ
• ความโค้ง
• ปริภูมิเมตริก
• แมนิโฟลด์รีมันน์

ดูเพิ่มเติม:

• คำศัพท์เฉพาะทางด้านโทโพโลยีทั่วไป
• คำศัพท์ทางเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และโทโพโลยี
• รายชื่อหัวข้อเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์

เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น ตัวอักษรX , Y , Zด้านล่างหมายถึงปริภูมิเมตริก, M , Nหมายถึงแมนิโฟลด์แบบรีมันน์, | xy | หรือ${\displaystyle |xy|_{X}}$หมายถึงระยะห่างระหว่างจุดxและyในX คำที่เป็นตัวเอียงหมายถึงการอ้างอิงถึงคำศัพท์ในพจนานุกรมนี้

ข้อควรระวัง : คำศัพท์หลายคำในเรขาคณิตแบบรีมันน์และเมตริก เช่นฟังก์ชันนูนเซตนูนและอื่นๆ ไม่ได้มีความหมายเหมือนกับที่ใช้ในคณิตศาสตร์ทั่วไปเสียทีเดียว

การเชื่อมต่อแบบแอฟฟิน

ปริภูมิอเล็กซานดรอฟ คือการขยายแนวคิดของแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ โดยมีขอบเขตความโค้งบน ล่าง หรือแบบอินทิกรัล (แบบสุดท้ายใช้ได้เฉพาะในมิติ 2 เท่านั้น)

ท่อร่วมไอดีเกือบแบนราบ

การแปลงรูปทรงตามส่วนโค้งให้เหมือนกับการแปลงรูปทรงตามเส้นทาง

กรวยอะซิมโทติก

ขนานอัตโนมัติเหมือนกับ จีโอเดสิ กโดยสมบูรณ์^{[ 1 ]}

ปริภูมิบานาค

จุดศูนย์กลางมวล (Barycenter)ดูที่ จุดศูนย์กลางของมวล (center of mass )

แผนที่ไบ-ลิปชิตซ์แผนที่${\displaystyle f:X\to Y}$เรียกว่า bi-Lipschitz ถ้ามีค่าคงที่บวกcและCที่ทำให้สำหรับxและy ใดๆ ในX

${\displaystyle c|xy|_{X}\leq |f(x)f(y)|_{Y}\leq C|xy|_{X}.}$

ขอบเขตที่อนันต์โดยทั่วไปแล้ว หมายถึงโครงสร้างที่อาจถือได้ว่าเป็นปริภูมิของทิศทางที่อนันต์ สำหรับตัวอย่างทางเรขาคณิต โปรดดู เช่นขอบเขตไฮเปอร์ โบลิ กขอบเขตโกรโมฟขอบเขตภาพขอบเขตทิตส์ขอบเขตเธอร์สตันดูเพิ่มเติมที่ปริภูมิเชิงฉายและการทำให้กระชับ

ฟังก์ชัน Busemannเมื่อกำหนดรังสี γ : [ 0, ∞)→ Xฟังก์ชัน Busemann จะถูกนิยามโดย$${\displaystyle B_{\gamma }(p)=\lim _{t\to \infty }(|\gamma (t)-p|-t).}$$

การเชื่อมต่อคาร์ตัน

ปริภูมิคาร์ตัน-ฮาดามาร์ดเป็นแมนิโฟลด์รีมันน์ที่สมบูรณ์ เชื่อมต่อกันอย่างง่าย และโค้งไม่เป็นบวก

ทฤษฎีบทคาร์ตัน-ฮาดามาร์ดกล่าวว่า แมนิโฟลด์รีมันน์ที่สมบูรณ์และเชื่อมต่อกันอย่างง่ายซึ่งมีความโค้งภาคตัดขวางไม่เป็นบวกนั้น สามารถแปลงเป็น R ⁿ ได้ โดยใช้แผนที่เอกซ์โพเนนเชียล สำหรับปริภูมิเมตริก กล่าวว่า ปริภูมิเมตริกจีโอเดสิกที่สมบูรณ์และเชื่อมต่อกันอย่างง่ายซึ่งมีความโค้งไม่เป็นบวกในความหมายของอเล็กซานดรอฟ เป็นปริภูมิ CAT(0) (ทั่วโลก )

คาร์ตัน (เอลี)นักคณิตศาสตร์ผู้ซึ่งเป็นที่มา ของชื่อ แมนิโฟลด์คาร์ตัน-ฮาดามาร์ด ,ซับอัลเจบราคาร์ตันและคอนเน็กชันคาร์ตัน (ไม่ควรสับสนกับอองรี คาร์ตัน บุตรชายของเขา )

${\textstyle CAT(\kappa )}$ช่องว่าง

จุดศูนย์กลางมวลจุดหนึ่ง${\textstyle q\in M}$เรียกว่าจุดศูนย์กลางมวล^{[ 2 ]}ของจุด${\textstyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}}$ถ้าเป็นจุดต่ำสุดทั่วโลกของฟังก์ชัน

${\displaystyle f(x)=\sum _{i}|p_{i}x|^{2}.}$

จุดดังกล่าวเป็นจุดเฉพาะหากระยะทางทั้งหมด${\displaystyle |p_{i}p_{j}|}$มีค่าน้อยกว่ารัศมีความนูน

ค่าคงที่ชีเกอร์

สัญลักษณ์คริสโตเฟล

เรขาคณิตหยาบ

ท่อร่วมไอดีที่ยุบตัว

แมนิโฟลด์สมบูรณ์ตามทฤษฎีบทฮอปฟ์-ริโนว์ ของรีมันน์ แมนิโฟลด์รีมันน์จะสมบูรณ์ในฐานะปริภูมิเมตริกก็ต่อเมื่อเส้นทางจีโอเดสิกทั้งหมดสามารถขยายออกไปได้อย่างไม่มีที่สิ้นสุด

พื้นที่เมตริกสมบูรณ์

เสร็จสมบูรณ์

ปริภูมิไฮเปอร์โบลิกเชิงซ้อน

แผนที่คอนฟอร์มอลคือแผนที่ที่รักษาค่ามุมไว้

ระนาบเชิงคอนฟอร์มัล Mจะเรียกว่าระนาบเชิงคอนฟอร์มัล หากระนาบนั้นสมมูลเชิงคอนฟอร์มัลเฉพาะที่กับปริภูมิยุคลิด ตัวอย่างเช่น ทรงกลมมาตรฐานเป็นระนาบเชิงคอนฟอร์มัล

จุดคู่ควบสองจุด pและ qบนเส้นทางจีโอเดสิก${\displaystyle \gamma }$เรียกว่าคอนจูเกตหากมีฟิลด์จาโคบีอยู่บน${\displaystyle \gamma }$ซึ่งมีค่าเป็นศูนย์ที่จุดpและq

การเชื่อมต่อ

ฟังก์ชันนูนฟังก์ชัน fบนแมนิโฟลด์แบบรีมันน์เป็นฟังก์ชันนูนก็ต่อเมื่อสำหรับเส้นทางจีโอเดสิกใดๆ${\displaystyle \gamma }$ฟังก์ชัน${\displaystyle f\circ \gamma }$เป็นฟังก์ชันนูนฟังก์ชันfเรียกว่า${\displaystyle \lambda }$-นูน ถ้าสำหรับเส้นจีโอเดสิกใดๆ${\displaystyle \gamma }$ด้วยพารามิเตอร์ธรรมชาติ${\displaystyle t}$ฟังก์ชัน${\displaystyle f\circ \gamma (t)-\lambda t^{2}}$เป็นรูปทรงนูน

เซตย่อย Kของแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ Mเรียกว่าเซตแบบนูน ถ้าสำหรับจุดสองจุดใดๆ ใน Kจะมีเส้นทางที่สั้นที่สุด เพียงเส้นเดียว ที่เชื่อมต่อจุดทั้งสองนั้น ซึ่งอยู่บน K ทั้งหมด ดูเพิ่มเติมที่ เซตแบบนูนโดยสมบูรณ์

รัศมีความนูนณ จุดหนึ่ง${\textstyle p}$ค่าสูงสุดของรัศมีของทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่แมนิโฟลด์แบบรีมันน์คือค่าสูงสุดของรัศมีของทรงกลมเหล่านั้น${\textstyle p}$ที่เป็นนูน (ทั้งหมด)รัศมีความนูนของแมนิโฟลด์คือค่าต่ำสุดของรัศมีความนูนที่จุดต่างๆ สำหรับแมนิโฟลด์ขนาดกะทัดรัด ค่านี้จะเป็นจำนวนบวก^{[ 3 ]}บางครั้งมีข้อกำหนดเพิ่มเติมว่าฟังก์ชันระยะทางไปยัง${\textstyle p}$ในลูกบอลเหล่านี้มีลักษณะนูน^{[ 4 ]}

มัดโคแทนเจนต์

อนุพันธ์โคแวเรียนต์

คอมเพล็กซ์ทรงลูกบาศก์

ตำแหน่งที่ถูกตัด

เส้นผ่านศูนย์กลางของปริภูมิเมตริก คือค่าสูงสุดของระยะทางระหว่างจุดสองจุด

พื้นผิวที่สามารถคลี่ออกได้คือพื้นผิวที่มีสมมาตรกับระนาบ

การขยายตัวเท่ากับค่าคงที่ของลิปชิตซ์

ความเชื่อมโยงของเอเรสแมนน์

แมนิโฟลด์ของไอน์สไตน์

เรขาคณิตแบบยุคลิด

แผนที่เลขชี้กำลัง(ทฤษฎีของลี) แผนที่เลขชี้กำลัง (เรขาคณิตแบบรีมันน์ )

เมตริกฟินส์เลอร์ คือการขยายแนวคิดของแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ โดยที่ผลคูณเชิงสเกลาร์บนปริภูมิสัมผัสถูกแทนที่ด้วยนอร์ม

รูปแบบพื้นฐานแรกของการฝังตัวหรือการจุ่มคือพูลแบ็กของเซอร์เมตริก

ท่อร่วมไอดีแบบแบน

เส้นทางจีโอเดสิกคือเส้นโค้งที่ทำให้ระยะทาง สั้น ที่สุด

สมการจีโอเดสิกคือ สมการเชิงอนุพันธ์ที่มีคำตอบเฉพาะที่คือเส้นจีโอเดสิก

การไหลแบบจีโอเดสิกคือการไหลบนบันเดิลสัมผัสTMของแมนิโฟลด์ Mซึ่งเกิดจากสนามเวกเตอร์ที่มีวิถีการเคลื่อนที่อยู่ในรูปแบบ${\displaystyle (\gamma (t),\gamma '(t))}$ที่ไหน${\displaystyle \gamma }$เป็นเส้นโค้งทางภูมิศาสตร์

การบรรจบกันของ Gromov-Hausdorff

พื้นที่เมตริกไฮเปอร์โบลิกของโกรโมฟ

ปริภูมิเมตริกจีโอเดสิกคือปริภูมิเมตริกที่จุดสองจุดใดๆ เป็นจุดปลายของเส้นจีโอเดสิกที่

พื้นที่ฮาดามาร์ด (Hadamard space)เป็นพื้นที่สมบูรณ์ที่เชื่อมต่อกันอย่างง่าย และมีความโค้งไม่เป็นบวก

มิติเฮาส์ดอร์ฟ

ระยะทางเฮาส์ดอร์ฟ

การวัดแบบเฮาส์ดอร์ฟ

พื้นที่ฮิลเบิร์ต

แผนที่โฮลเดอร์

กลุ่มโฮโลโนมีคือกลุ่มย่อยของไอโซเมตรีของปริภูมิสัมผัสที่ได้มาจากการเคลื่อนย้ายแบบขนานไปตามเส้นโค้งปิด

ชั้นบรรยากาศโลก (Horosphere)คือเซตระดับของฟังก์ชัน Busemann

เรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก (ดูเพิ่มเติมที่ปริภูมิไฮเปอร์โบลิกแบบรีมันน์ )

ลิงก์ไฮเปอร์โบลิก

รัศมีของการฉีด รัศมีของการฉีดที่จุดpของแมนิโฟลด์แบบรีมันน์คือค่าสูงสุดของรัศมีที่แผนที่เอกซ์โพเนน เชียล ที่pเป็นดิฟเฟโอโม ฟิซึม รัศมี ของ การฉีดของแมนิโฟลด์แบบรีมันน์คือค่าต่ำสุดของรัศมีของการฉีดที่ทุกจุด^{[ 5 ]}ดูเพิ่มเติมที่ตำแหน่งตัด

สำหรับแมนิโฟลด์ที่สมบูรณ์ หากรัศมีของการฉีดที่pเป็นจำนวนจำกัดrแล้วจะมีจีโอเดสิกที่มีความยาว 2r ซึ่งเริ่มต้นและสิ้นสุดที่pหรือมีจุดqที่เป็นคู่คอนจูเกตกับp (ดูจุดคอนจูเกตด้านบน) และอยู่บนระยะทางrจากp [ ^{6 ]}สำหรับ แมนิโฟลด์รีมันน์ แบบปิดรัศมีของการฉีดจะเป็นครึ่งหนึ่งของความยาวขั้นต่ำของจีโอเดสิกแบบปิดหรือระยะทางขั้นต่ำระหว่างจุดคอนจูเกตบนจีโอเดสิ^ก

อินฟรานิลแมนิโฟลด์กำหนดให้กลุ่มลีแบบนิลโพเทนต์ที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายNกระทำต่อตัวเองโดยการคูณทางซ้าย และกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมจำกัดFของNเราสามารถกำหนดการกระทำของผลคูณกึ่งตรงได้${\displaystyle N\rtimes F}$บนNพื้นที่วงโคจรของNโดยกลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่องของ${\textstyle N\rtimes F}$ซึ่งกระทำอย่างอิสระบนNเรียกว่าอินฟรานิลแมนิโฟลด์อินฟรานิลแมนิโฟลด์ถูกปกคลุมอย่างจำกัดโดยนิลแมนิโฟลด์^{[ 7 ]}

การฝังแบบไอโซเมตริกคือการฝังที่รักษาเมตริกแบบรีมันน์ไว้

ไอโซเมตรีเป็นฟังก์ชันทั่วถึงที่รักษาค่าระยะทางไว้

ฟังก์ชันไอโซเพอริเมตริกของปริภูมิเมตริก${\textstyle X}$วัด "ประสิทธิภาพของลูปที่แก้ไขได้นั้นสามารถหดตัวได้อย่างหยาบๆ เมื่อเทียบกับความยาว" สำหรับ Cayley 2-complex ของการนำเสนอแบบจำกัด พวกมันเทียบเท่ากับฟังก์ชัน Dehnของการนำเสนอกลุ่ม พวกมันไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ quasi-isometries ^{[ 8 ]}

เมตริกภายใน

สนามจาโคบี ( Jacobi field) คือสนามเวกเตอร์บนเส้นโค้งจีโอเดสิก γ ซึ่งสามารถหาได้ด้วยวิธีต่อไปนี้: เลือกตระกูลเส้นโค้งจีโอเดสิกแบบเรียบที่มีพารามิเตอร์เดียว${\displaystyle \gamma _{\tau }}$กับ${\displaystyle \gamma _{0}=\gamma }$จากนั้นฟิลด์ Jacobi จะถูกอธิบายโดย

${\displaystyle J(t)=\left.{\frac {\partial \gamma _{\tau }(t)}{\partial \tau }}\right|_{\tau =0}.}$

เส้นโค้งจอร์แดน

เมตริกคาห์เลอร์-ไอน์สไตน์

เมตริกคาห์เลอร์

สนามเวกเตอร์สังหาร

การเชื่อมต่อ Koszul

เมตริกความยาวเหมือนกับเมตริกภายใน

ความยาวพื้นที่

การเชื่อมต่อแบบ Levi-Civitaเป็นวิธีธรรมชาติในการหาอนุพันธ์ของสนามเวกเตอร์บนแมนิโฟลด์แบบรีมันน์

การเชื่อมต่อเชิงเส้น

ลิงก์

ค่าคงที่ลิปชิตซ์ของแผนที่คือค่าต่ำสุดของจำนวน Lที่ทำให้แผนที่ที่กำหนดเป็น L -ลิปชิตซ์

การลู่เข้าแบบลิปชิตซ์คือการลู่เข้าของปริภูมิเมตริกที่กำหนดโดยระยะทางแบบลิปชิตซ์

ระยะทางลิปชิตซ์ระหว่างปริภูมิเมตริกคือค่าต่ำสุดของจำนวนrที่มี แผนที่ ไบลิปชิตซ์ แบบหนึ่งต่อหนึ่ง ระหว่างปริภูมิเหล่านี้ด้วยค่าคงที่ exp(- r ), exp( r ) ^{[ 9 ]}

แผนที่ลิปชิตซ์

พื้นที่สมมาตรเฉพาะที่

แผนที่ลอการิทึมหรือลอการิทึม เป็นการผกผันทางขวาของแผนที่เลขชี้กำลัง^{[ 10 ] [ 11 ]}

ความโค้งเฉลี่ย

ลูกบอลเมตริก

เมตริกเทนเซอร์

พื้นที่มินโกวสกี้

พื้นผิวขั้นต่ำสุดคือส่วนย่อยของแมนิโฟลด์ที่มีความโค้งเฉลี่ยเป็นศูนย์ (หรือเวกเตอร์ของความโค้งเฉลี่ย)

ความแข็งแกร่งของมอสโทว์ในมิติ${\textstyle \geq 3}$แมนิโฟลด์ไฮเปอร์โบลิกขนาดกะทัดรัดถูกจำแนกตามกลุ่มพื้นฐานของมัน

การกำหนดพารามิเตอร์ตามธรรมชาติคือการกำหนดพารามิเตอร์ตามความยาว^{[ 12 ]}

เซตย่อยSของปริภูมิเมตริกXเรียกว่า เซตย่อย สุทธิ (Net)${\textstyle \epsilon }$-สุทธิ ถ้าสำหรับจุดใดๆ ในXมีจุดในS อยู่ บนระยะทางนั้น${\textstyle \leq \epsilon }$[ ^{13 ]} สิ่งนี้แตกต่างจากโครงข่ายโทโพโลยี^ซึ่งขยายขอบเขตของลิมิต

นิลแมนิโฟลด์ (Nilmanifold ): สมาชิกของเซตแมนิโฟลด์ขั้นต่ำที่รวมจุดหนึ่งไว้ และมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ที่กำหนดทิศทางได้${\displaystyle S^{1}}$-บันเดิลบนนิลแมนิโฟลด์คือนิลแมนิโฟลด์ นอกจากนี้ยังสามารถนิยามได้ว่าเป็นตัวประกอบของกลุ่มลีแบบนิลโพ เทนต์ที่เชื่อมต่อกัน โดยแลตทิซ

บันเดิลปกติ : เกี่ยวข้องกับการฝังตัวของแมนิโฟลด์ Mลงในปริภูมิยูคลิดโดยรอบ${\textstyle {\mathbb {R} }^{N}}$บันเดิลปกติคือบันเดิลเวกเตอร์ซึ่งไฟเบอร์ที่แต่ละจุดpคือส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉาก (ใน${\textstyle {\mathbb {R} }^{N}}$) ของปริภูมิสัมผัส${\textstyle T_{p}M}$.

แผนที่แบบไม่ขยายเหมือนกับแผนที่แบบสั้น

ออร์บิโฟลด์

บันเดิลเฟรมออร์โทนอร์มอลคือบันเดิลของฐานในปริภูมิสัมผัสที่เป็นออร์โทนอร์มอลสำหรับเมตริกแบบรีมันน์

การขนส่งแบบขนาน

ไอโซเมตรีเส้นทาง

พื้นที่ก่อนฮิลเบิร์ต

พื้นที่โปแลนด์

ปริภูมิทรงหลายเหลี่ยม คือ คอมเพล็กซ์เชิงซิมเพล็กซ์ที่มีเมตริก โดยที่ซิมเพล็กซ์แต่ละอันที่มีเมตริกเหนี่ยวนำนั้นสมมาตรกับซิมเพล็กซ์ในปริภูมิยุคลิด

ความโค้งหลักคือ ค่าความโค้งปกติสูงสุดและต่ำสุด ณ จุดใดจุดหนึ่งบนพื้นผิว

ทิศทางหลักคือทิศทางของ ความ โค้งหลัก

ตัวชี้วัดผลิตภัณฑ์

แมนิโฟลด์รีมันน์แบบผลิตภัณฑ์

ปริภูมิเมตริกที่เหมาะสมคือปริภูมิเมตริกที่ลูกบอลปิด ทุกลูก เป็นเซตกระชับหรือเทียบเท่ากับเซตย่อยปิดที่มีขอบเขตทุกเซตเป็นเซตกระชับ ปริภูมิเมตริกที่เหมาะสมทุกปริภูมิเป็นปริภูมิสมบูรณ์^{[ 14 ]}

แมนิโฟลด์เทียมรีมันน์

ปริภูมิย่อยกึ่งนูนของปริภูมิเมตริก${\textstyle X}$เป็นเซตย่อย${\textstyle Y\subseteq X}$เช่นนั้นจึงมีอยู่${\textstyle K\geq 0}$โดยที่สำหรับทั้งหมด${\textstyle y,y'\in Y}$สำหรับส่วนโค้งจีโอเดสิกทั้งหมด${\textstyle [y,y']}$และสำหรับทุกคน${\textstyle z\in [y,y']}$,${\textstyle d(z,Y)\leq K}$[ ^{15 ]​}

คำว่า Quasigeodesicมีความหมายสองอย่าง ในที่นี้เราจะยกตัวอย่างความหมายที่พบได้บ่อยที่สุด แผนที่${\displaystyle f:I\to Y}$(ที่ไหน${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$เส้นตรงกึ่งธรณีวิทยา (quasigeodesic) เรียกว่าเส้นตรงกึ่งธรณีวิทยาถ้ามีค่าคงที่${\displaystyle K\geq 1}$และ${\displaystyle C\geq 0}$โดยที่สำหรับทุกๆ${\displaystyle x,y\in I}$

${\displaystyle {1 \over K}d(x,y)-C\leq d(f(x),f(y))\leq Kd(x,y)+C.}$

โปรดทราบว่าเส้นโค้งกึ่งธรณีวิทยา (quasigeodesic) ไม่จำเป็นต้องเป็นเส้นโค้งต่อเนื่องเสมอไป

ไอโซเมตรีเสมือนแผนที่${\displaystyle f:X\to Y}$เรียกว่าไอโซเมตรีเสมือนถ้ามีค่าคงที่${\displaystyle K\geq 1}$และ${\displaystyle C\geq 0}$โดยที่

${\displaystyle {1 \over K}d(x,y)-C\leq d(f(x),f(y))\leq Kd(x,y)+C.}$

และทุกจุดในYจะมีระยะห่างไม่เกินCจากจุดใดจุดหนึ่งของf ( X ) โปรดทราบว่าฟังก์ชันกึ่งไอโซเมตรีไม่จำเป็นต้องต่อเนื่อง ตัวอย่างเช่น แผนที่ใดๆ ระหว่างปริภูมิเมตริกกระชับเป็นฟังก์ชันกึ่งไอโซเมตรี หากมีฟังก์ชันกึ่งไอโซเมตรีจาก X ไปยัง Y แล้ว X และ Y จะเรียกว่าเป็นปริภูมิกึ่งไอโซเมตริกกัน

รัศมีของปริภูมิเมตริกคือค่าต่ำสุดของรัศมีของทรงกลมเมตริกซึ่งบรรจุปริภูมิทั้งหมด^{[ 16 ]}

เรย์เป็นจีโอเดสิกด้านเดียวที่ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งมีค่าต่ำสุดในแต่ละช่วง^{[ 17 ]}

ต้นไม้จริง

เส้นโค้งที่ปรับแก้ได้

ความโค้งริชชี

รีมันน์นักคณิตศาสตร์ผู้เป็นที่มาของชื่อเรขาคณิตแบบ รีมันน์

มุมรีมันน์

เทนเซอร์ความโค้งของรีมันน์มักถูกนิยามว่าเป็นเทนเซอร์ (4, 0) ของบันเดิลสัมผัสของแมนิโฟลด์รีมันน์${\textstyle (M,g)}$เช่น$${\displaystyle R_{p}(X,Y,Z)W={g_{p}({\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z,W})},}$$สำหรับ${\textstyle p\in M}$และ${\textstyle X,Y,Z,W\in T_{p}M}$(ขึ้นอยู่กับธรรมเนียมปฏิบัติ)${\textstyle X}$และ${\textstyle Y}$บางครั้งอาจมีการสลับกัน)

ปริภูมิไฮเปอร์โบลิกแบบรีมันน์

แมนิโฟลด์รีมันน์

ส่วนย่อยแบบรีมันน์ (Riemannian submanifold)คือส่วนย่อยที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ ซึ่งเมตริกแบบรีมันน์เป็นส่วนจำกัดของเมตริกแบบรีมันน์โดยรอบ (ไม่ควรสับสนกับส่วนย่อยแบบรีมันน์ (sub-Riemannian manifold ))

การแทรกแบบรีมันน์ (Riemannian submersion)คือแผนที่ระหว่างแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ ซึ่งเป็นการแทรกและการวัดย่อยไปพร้อมกัน

ความโค้งสเกลาร์

รูปแบบพื้นฐานที่สองคือรูปแบบกำลังสองบนปริภูมิสัมผัสของไฮเปอร์เซอร์เฟซ ซึ่งโดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์ II แทน ซึ่งเป็นวิธีที่เทียบเท่าในการอธิบายตัวดำเนินการรูปร่างของไฮเปอร์เซอร์เฟซ

${\displaystyle {\text{II}}(v,w)=\langle S(v),w\rangle .}$

นอกจากนี้ยังสามารถขยายความให้ครอบคลุมมิติร่วมใดๆ ก็ได้ ซึ่งในกรณีนี้จะเป็นรูปแบบกำลังสองที่มีค่าอยู่ในปริภูมิปกติ

ความโค้งภาคตัดขวางณ จุดหนึ่ง${\textstyle p}$ของแมนิโฟลด์แบบรีมันน์${\textstyle M}$ตามระนาบ 2 มิติที่เกิดจากเวกเตอร์เชิงเส้นอิสระสองตัว${\textstyle u,v\in T_{p}M}$คือหมายเลข$${\displaystyle \sigma _{p}({Vect}(u,v))={\frac {R_{p}(u,v,v,u)}{g_{p}(u,u)g_{p}(v,v)-g_{p}(u,v)^{2}}}}$$ที่ไหน${\textstyle R_{p}}$เทนเซอร์ความโค้งเขียนได้ดังนี้${\textstyle R_{p}(X,Y,Z)W={g_{p}({\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z,W})}}$, และ${\textstyle {g_{p}}}$คือเมตริกแบบรีมันน์

ตัวดำเนินการรูปร่างสำหรับไฮเปอร์เซอร์เฟซ Mคือตัวดำเนินการเชิงเส้นบนปริภูมิสัมผัส S : T M → T Mถ้า nคือฟิลด์ปกติหน่วยของ Mและ vคือเวกเตอร์สัมผัสแล้ว 

${\displaystyle S(v)=\pm \nabla _{v}n}$

(ไม่มีข้อตกลงมาตรฐานว่าจะใช้ + หรือ − ในคำจำกัดความ)

แผนที่ระยะสั้นคือแผนที่ที่ระยะทางไม่เพิ่มขึ้นตามระยะทาง

ท่อร่วมไอดีแบบเรียบ

Sol manifoldคือแฟกเตอร์ของกลุ่ม Lie ที่เชื่อมต่อและแก้ได้ด้วยแลตทิซ

เรขาคณิตทรงกลม

ซับเมตรีแผนที่สั้นfระหว่างปริภูมิเมตริกเรียกว่าซับเมตรี^{[ 18 ]}ถ้ามีR > 0 อยู่ เช่นนั้นสำหรับจุดx ใดๆ และรัศมีr < Rภาพของเมตริกr -ball จะเป็นr -ball กล่าวคือ$${\displaystyle f(B_{r}(x))=B_{r}(f(x)).}$$แมนิโฟลด์ย่อยรีมันน์

ปริภูมิสมมาตรแบบรีมันน์ (Riemannian symmetric spaces) คือ แมนิโฟลด์แบบรีมันน์ (Riemannian manifolds) ซึ่งการสะท้อนทางธรณีฟิสิกส์ ณ จุดใดๆ ก็ตาม เป็นไอโซเมตรี ปริภูมิเหล่านี้เป็นผลหารของกลุ่มลี (Lie group) จริง (real Lie group) โดยกลุ่มย่อยกระชับสูงสุด (maximal compact subgroup) ซึ่งพีชคณิตลีของกลุ่มย่อยนี้คือพีชคณิตย่อยคงที่ของการผกผัน (involution) ที่ได้จากการหาอนุพันธ์ของสมมาตรทางธรณีฟิสิกส์ ข้อมูลทางพีชคณิตนี้เพียงพอที่จะใช้ในการจำแนกประเภทของปริภูมิสมมาตรแบบรีมันน์ได้

ซิสโตล k-ส โต ลของ M${\textstyle syst_{k}(M)}$คือปริมาตรขั้นต่ำของ วัฏจักร kที่ไม่สอดคล้องกับศูนย์

มัดสัมผัส

กรวยสัมผัส

เรขาคณิตของเธอร์สตันเรขาคณิตสามมิติทั้งแปดแบบที่ทำนายไว้โดยสมมติฐานการสร้างเรขาคณิตของเธอร์สตันซึ่งพิสูจน์โดยเพอร์แมน:${\textstyle \mathbb {S} ^{3}}$,${\textstyle \mathbb {R} \times \mathbb {S} ^{2}}$,${\textstyle \mathbb {R} ^{3}}$,${\textstyle \mathbb {R} \times \mathbb {H} ^{2}}$,${\textstyle \mathbb {H} ^{3}}$,${\displaystyle \mathrm {Sol} }$,${\displaystyle \mathrm {Nil} }$, และ${\textstyle {\widetilde {PSL}}_{2}(\mathbb {R} )}$.

ขอบเขตหน้าอก

นูนโดยสมบูรณ์เซตย่อยKของแมนิโฟลด์รีมันน์Mเรียกว่านูนโดยสมบูรณ์ ถ้าสำหรับจุดสองจุดใดๆ ในKเส้นจีโอเดสิกใดๆ ที่เชื่อมต่อจุดทั้งสองนั้นอยู่บนK ทั้งหมด ดูเพิ่มเติมที่นูน^{[ 19 ]}

ซับแมนิโฟลด์ จีโอเดสิกโดยสมบูรณ์คือซับแมนิโฟลด์ที่จีโอเด สิก ทั้งหมดในซับแมนิโฟลด์นั้นเป็นจีโอเดสิกของแมนิโฟลด์โดยรอบด้วย^{[ 20 ]}

พื้นที่ที่มีต้นไม้

ปริภูมิเมตริกแบบจีโอเดสิกที่ไม่ซ้ำกันคือ ปริภูมิเมตริกที่จุดสองจุดใดๆ เป็นจุดปลายของเส้นจีโอเดสิกที่ สั้นที่สุดที่ไม่ซ้ำกันเพียงเส้นเดียว

ความแปรผัน

รูปแบบปริมาตร

เมตริกของคำในกลุ่มคือเมตริกของกราฟเคย์ลีย์ที่สร้างขึ้นโดยใช้ชุดตัวสร้าง