ตรรกศาสตร์เชิงประพจน์เป็นสาขาหนึ่งของตรรกศาสตร์คลาสสิก^{[ 1 ] [ 2 ] เรียกอีกอย่างว่าตรรกศาสตร์เชิงประโยค [ 1 ] แคลคูลัสเชิงประโยค [ 3 ] แคลคูลัสเชิงประพจน์ [ 4 ] [ a ]} ​​ตรรกศาสตร์^{เชิงประโยค[ 5 ] [} 1 ] หรือ^{บางครั้งเรียก}ว่าตรรกศาสตร์^{ลำดับศูนย์} [ b ^{] [ 7 ] [ 8} ] [ ^{9 ] บางครั้งเรียก}ว่า^{ตรรกศาสตร์}เชิงประพจน์^{ลำดับที่หนึ่ง[ 10 ] เพื่อเปรียบเทียบกับระบบ F แต่}ไม่ควรสับสน^{กับตรรกศาสตร์ลำดับ}ที่หนึ่งตรรกศาสตร์เชิงประพจน์เกี่ยวข้องกับประพจน์^{[ 1 ]} (ซึ่งอาจเป็นจริงหรือเท็จ ) ^{[ 11 ]}และความสัมพันธ์ระหว่างประพจน์^{[ 12 ]}รวมถึงการสร้างข้อโต้แย้งโดยอิงจากประพจน์เหล่านั้น^{[ 13 ]}ประโยคประสมถูกสร้างขึ้นโดยการเชื่อมต่อประโยคต่างๆ ด้วยตัวเชื่อมทางตรรกะที่แสดงถึงฟังก์ชันความจริงของการเชื่อม การแยกการบ่งชี้ เงื่อนไขสองทางและการปฏิเสธ^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]}บางแหล่งข้อมูลรวมตัวเชื่อมอื่นๆ ไว้ด้วย ดังแสดงในตารางด้านล่าง

แตกต่างจากตรรกศาสตร์ลำดับที่หนึ่งตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ไม่เกี่ยวข้องกับวัตถุที่ไม่ใช่เชิงตรรกะ ตัวบ่งชี้เกี่ยวกับวัตถุเหล่านั้น หรือตัวบ่งปริมาณอย่างไรก็ตาม กลไกทั้งหมดของตรรกศาสตร์เชิงประพจน์นั้นรวมอยู่ในตรรกศาสตร์ลำดับที่หนึ่งและตรรกศาสตร์ลำดับสูงกว่า ในแง่นี้ ตรรกศาสตร์เชิงประพจน์จึงเป็นรากฐานของตรรกศาสตร์ลำดับที่หนึ่งและตรรกศาสตร์ลำดับสูงกว่า

^{โดยทั่วไป แล้ว}ตรรกศาสตร์เชิงประพจน์จะศึกษาด้วยภาษาทางการ [ ^{c ]}ซึ่งประพจน์จะถูกแทนด้วยตัวอักษรที่เรียกว่าตัวแปรประพจน์จากนั้นจะใช้ตัวแปรเหล่านี้ร่วมกับสัญลักษณ์สำหรับตัวเชื่อมเพื่อสร้างสูตรประพจน์ด้วยเหตุนี้ ตัวแปรประพจน์จึงเรียกว่าสูตรอะตอมของภาษาประพจน์ทางการ^{[ 15 ] [ 2 ]}ในขณะที่ประพจน์อะตอมมักจะแทนด้วยตัวอักษร[ d ^{] [ 15 ] มี}สัญกรณ์ที่หลากหลายเพื่อแทนตัวเชื่อมทางตรรกะ เพื่อประโยชน์ของผู้อ่านที่อาจคุ้นเคยกับสัญกรณ์ที่แตกต่างกันสำหรับตัวเชื่อมทางตรรกะ ตารางต่อไปนี้แสดงสัญกรณ์หลักสำหรับตัวเชื่อมแต่ละตัวในตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ สัญกรณ์อื่นๆ ได้ถูกนำมาใช้ในอดีต เช่น^สัญกรณ์โปแลนด์สำหรับประวัติของสัญลักษณ์แต่ละตัว โปรดดูบทความที่เกี่ยวข้องรวมถึงบทความ " ตัวเชื่อมทางตรรกะ "

รูปแบบการเขียนของตัวเชื่อม^{[ e ] [ 18 ] [ 19 ]}

การเชื่อมต่อ	เครื่องหมาย
และ	${\displaystyle A\land B}$, , , ,${\displaystyle A\cdot B}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle A\&B}$${\displaystyle A\&\&B}$
เทียบเท่า	${\displaystyle A\equiv B}$, ,${\displaystyle A\ลูกศรซ้าย B}$${\displaystyle A\leftrightharpoons B}$
หมายความว่า	${\displaystyle A\Rightarrow B}$, ,${\displaystyle A\supset B}$${\displaystyle A\rightarrow B}$
เอ็นแอนด์	${\displaystyle A{\overline {\land }}B}$, ,${\displaystyle A\mid B}$${\displaystyle {\overline {A\cdot B}}}$
ไม่เทียบเท่า	${\displaystyle A\not \equiv B}$, ,${\displaystyle A\not \Leftrightarrow B}$${\displaystyle A\nลูกศรซ้ายขวา B}$
ก็ไม่เช่นกัน	${\displaystyle A{\overline {\lor }}B}$, ,${\displaystyle A\downarrow B}$${\displaystyle {\overline {A+B}}}$
ไม่	${\displaystyle \neg A}$, , ,${\displaystyle -A}$${\displaystyle {\overline {A}}}$${\displaystyle \sim A}$
หรือ	${\displaystyle A\lor B}$, , ,${\displaystyle A+B}$${\displaystyle A\mid B}$${\displaystyle A\parallel B}$
เอ็กซ์เอ็นอาร์	${\displaystyle A\odot B}$
เอ็กซ์ออร์	${\displaystyle A{\ขีดเส้นใต้ {\lor }}B}$,${\displaystyle A\oplus B}$

สาขาตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ที่ได้รับการวิจัยอย่างละเอียดถี่ถ้วนที่สุดคือตรรกศาสตร์เชิงประพจน์แบบคลาสสิกที่เน้นฟังก์ชันความจริง^[ 1 ^{] ซึ่ง}สูตรต่างๆ จะถูกตีความว่ามีค่าความจริงที่เป็นไปได้เพียงค่าเดียวจากสองค่า คือค่าความจริงจริงหรือค่าความจริงเท็จ[ ^{20 ] หลักการ}ของค่าสองค่าและกฎของค่ากลางที่ถูกยกเว้นยังคงยึดถืออยู่ เมื่อเปรียบเทียบกับตรรกศาสตร์ลำดับที่หนึ่งตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ที่เน้นฟังก์ชันความจริงถือเป็นตรรกศาสตร์ลำดับที่ศูนย์^{[ 8 ] [ 9 ]}

แม้ว่านักปรัชญารุ่นก่อนๆ จะได้กล่าวถึงตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ไว้บ้างแล้ว แต่คริสิปปัสก็มักได้รับการยกย่องว่าเป็นผู้พัฒนาระบบนิรนัยสำหรับตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ ซึ่งเป็นความสำเร็จหลักของเขาในศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช^{[ 21 ]}ซึ่งได้รับการขยายความโดยนักปรัชญาสโตอิก ผู้สืบทอดของเขา ตรรกศาสตร์นี้มุ่งเน้นไปที่ประพจน์ซึ่งแตกต่างจากตรรกศาสตร์เชิงอนุมาน แบบดั้งเดิม ที่มุ่งเน้นไปที่คำศัพท์อย่างไรก็ตาม งานเขียนดั้งเดิมส่วนใหญ่สูญหายไป^{[ 22 ]}และในช่วงเวลาระหว่างศตวรรษที่ 3 ถึง 6 หลังคริสต์ศักราช ตรรกศาสตร์สโตอิกก็เลือนหายไป จนกระทั่งได้รับการฟื้นคืนชีพอีกครั้งในศตวรรษที่ 20 หลังจากการค้นพบตรรกศาสตร์เชิงประพจน์อีกครั้ง^{[ 23 ]}

ตรรกศาสตร์เชิงสัญลักษณ์ซึ่งต่อมามีความสำคัญต่อการปรับปรุงตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ ได้รับการพัฒนาครั้งแรกโดยนักคณิตศาสตร์Gottfried Leibniz ในศตวรรษที่ 17/18 ซึ่ง calculus ratiocinatorของเขานั้นไม่เป็นที่รู้จักในวงกว้างของชุมชนตรรกศาสตร์ ดังนั้น ความก้าวหน้าหลายอย่างที่ Leibniz ทำได้จึงถูกสร้างขึ้นใหม่โดยนักตรรกศาสตร์เช่นGeorge BooleและAugustus De Morganซึ่งเป็นอิสระจาก Leibniz อย่างสิ้นเชิง^{[ 24 ]}

ตรรกศาสตร์ภาคแสดงของ Gottlob Fregeสร้างขึ้นบนพื้นฐานของตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ และได้รับการอธิบายว่าเป็นการผสมผสาน "คุณลักษณะที่โดดเด่นของตรรกศาสตร์เชิงตรรกะและตรรกศาสตร์เชิงประพจน์" ^{[ 25 ]}ด้วยเหตุนี้ ตรรกศาสตร์ภาคแสดงจึงนำมาซึ่งยุคใหม่ในประวัติศาสตร์ของตรรกศาสตร์ อย่างไรก็ตาม ความก้าวหน้าในตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ยังคงเกิดขึ้นหลังจาก Frege รวมถึง การอนุมาน ตามธรรมชาติต้นไม้ความจริงและตารางความจริงการอนุมานตามธรรมชาติถูกคิดค้นโดยGerhard GentzenและStanisław Jaśkowskiต้นไม้ความจริงถูกคิดค้นโดยEvert Willem Beth [ ^{26 ] อย่างไรก็ตาม}การคิดค้นตารางความจริงนั้นยังไม่แน่ชัดว่าใครเป็นผู้คิดค้น

ภายในผลงานของ Frege ^{[ 27 ]}และBertrand Russell [ ^{28 ]}มีแนวคิดที่มีอิทธิพลต่อการคิดค้นตารางความจริง โครงสร้างตารางจริง (ซึ่งจัดรูปแบบเป็นตาราง) นั้นโดยทั่วไปแล้วได้รับการยกย่องให้เป็นผลงานของ^Ludwig WittgensteinหรือEmil Post (หรือทั้งสองคนโดยอิสระ) ^{[ 27 ]}นอกจาก Frege และ Russell แล้ว บุคคลอื่นๆ ที่ได้รับการยกย่องว่ามีแนวคิดมาก่อนตารางความจริง ได้แก่ Philo, Boole, Charles Sanders Peirce [ ^{29 ] และ} Ernst Schröder บุคคล อื่นๆ ที่ได้รับการยกย่องว่าเป็นผู้คิดค้นโครงสร้างตาราง ได้แก่Jan Łukasiewicz , Alfred North Whitehead , William Stanley Jevons , John VennและClarence Irving Lewis [ ^{28 ] ใน}ที่สุด บางคนก็สรุปเช่นเดียวกับ John Shosky ว่า "ยังไม่ชัดเจนว่าควรให้บุคคลใดบุคคลหนึ่งได้รับตำแหน่ง 'ผู้คิดค้น' ตารางความจริง" ^{[ 28 ]}

ตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ ตามที่ศึกษากันในมหาวิทยาลัยในปัจจุบัน เป็นข้อกำหนดของมาตรฐานของผลลัพธ์เชิงตรรกะโดยพิจารณาเฉพาะความหมายของตัวเชื่อมประพจน์ในการประเมินเงื่อนไขสำหรับความจริงของประโยค หรือว่าประโยคหนึ่งจะสืบเนื่องมาจากประโยคอื่นหรือกลุ่มประโยคใด^{[ 2 ]}

ตรรกศาสตร์เชิงประพจน์เกี่ยวข้องกับข้อความซึ่งนิยามว่าเป็นประโยคบอกเล่าที่มีค่าความจริง^{[ 30 ] [ 1 ]}ตัวอย่างของข้อความอาจรวมถึง:

• วิกิพีเดียเป็นสารานุกรมออนไลน์ฟรีที่ทุกคนสามารถแก้ไขได้
• ลอนดอนเป็นเมืองหลวงของประเทศอังกฤษ
• บรรณาธิการวิกิพีเดียทุกคนพูดได้อย่างน้อยสามภาษา

ประโยคบอกเล่าจะแตกต่างจากคำถามเช่น "วิกิพีเดียคืออะไร" และ ประโยคคำ สั่งเช่น "โปรดเพิ่มการอ้างอิงเพื่อสนับสนุนข้ออ้างในบทความนี้" ^{[ 31 ] [ 32 ]}ประโยคที่ไม่ใช่ประโยคบอกเล่าเหล่านี้ไม่มีค่าความจริง [ ^{33 ]}และจะถูกจัดการเฉพาะในตรรกศาสตร์ที่ไม่ใช่แบบคลาสสิกซึ่งเรียกว่า^{ตรรกศาสตร์} เชิงอี โร ติกและตรรกศาสตร์เชิง คำสั่ง

ในตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ ประโยคหนึ่งสามารถประกอบด้วยประโยคอื่นตั้งแต่หนึ่งประโยคขึ้นไปเป็นส่วนประกอบ^{[ 1 ]}ประโยคประกอบถูกสร้างขึ้นจากประโยคที่ง่ายกว่าและแสดงความสัมพันธ์ระหว่างประโยคที่เป็นส่วนประกอบ^{[ 34 ]}โดยการรวมประโยคเหล่านั้นเข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมทางตรรกะ : ^{[ 34 ] [ 35 ]}ประเภทหลักของประโยคประกอบ ได้แก่การปฏิเสธการเชื่อม การแยกการบ่งชี้ และเงื่อนไขสองทาง[ ^{34 ] ซึ่ง}ถูกสร้างขึ้นโดยใช้ตัวเชื่อมที่เกี่ยวข้องเพื่อเชื่อมประพจน์^{[ 36 ] [ 37 ]}ในภาษาอังกฤษตัวเชื่อมเหล่านี้แสดงด้วยคำว่า "และ" ( การเชื่อม ) "หรือ" ( การแยก ) "ไม่" ( การปฏิเสธ ) "ถ้า" ( เงื่อนไขเชิงวัตถุ ) และ "ถ้าและเฉพาะเมื่อ" ( เงื่อนไขสองทาง ) ^{[ 1 ] [ 14 ]}ตัวอย่างของประโยคประกอบดังกล่าวอาจรวมถึง:

• วิกิพีเดียเป็นสารานุกรมออนไลน์ฟรีที่ทุกคนสามารถแก้ไขได้และมีผู้คนนับล้าน ได้ แก้ไข ไปแล้ว (คำสันธาน)
• ไม่ใช่เรื่องจริงที่ว่าบรรณาธิการวิกิพีเดียทุกคนพูดได้อย่างน้อยสามภาษา (การปฏิเสธ)
• ลอนดอนเป็นเมืองหลวงของอังกฤษหรือลอนดอนเป็นเมืองหลวงของสหราชอาณาจักรหรือทั้งสองอย่าง (การแยก) ^{[ f ]}

ถ้าประโยคไม่มีตัวเชื่อมตรรกะใดๆ จะเรียกว่า^{ประโยค}ง่าย [ ^{1 ]}หรือประโยคอะตอม^{[ 35 ] แต่}ถ้ามีตัวเชื่อมตรรกะตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป จะเรียกว่าประโยคผสม [ ^{34 ]}หรือประโยคโมเลกุล^{[ 35 ]}

คำเชื่อมประโยคเป็นหมวดหมู่ที่กว้างกว่าซึ่งรวมถึงคำเชื่อมเชิงตรรกะ^{[ 2 ] [ 35 ]}คำเชื่อมประโยคคืออนุภาคทางภาษาใดๆ ที่เชื่อมประโยคเข้าด้วยกันเพื่อสร้างประโยคผสมใหม่^{[ 2 ] [ 35 ]}หรือที่ผันประโยคเดียวเพื่อสร้างประโยคใหม่^{[ 2 ]}คำเชื่อมเชิงตรรกะหรือคำเชื่อมประพจน์เป็นคำเชื่อมประโยคชนิดหนึ่งที่มีลักษณะเฉพาะคือ เมื่อประโยคเดิมที่มันทำงานด้วยเป็น (หรือแสดงออก) ประพจน์ประโยคใหม่ที่ได้จากการใช้คำเชื่อมนั้นก็จะเป็น (หรือแสดงออก) ประพจน์เช่น กัน ^{[ 2 ]}นักปรัชญามีความเห็นไม่ตรงกันเกี่ยวกับความหมายที่แท้จริงของประพจน์^{[ 11 ] [ 2 ]}รวมถึงเกี่ยวกับคำเชื่อมประโยคใดในภาษาธรรมชาติที่ควรนับว่าเป็นคำเชื่อมเชิงตรรกะ^{[ 35 ] [ 2 ]}ตัวเชื่อมประโยคเรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชันประโยค [ ^{38 ]}และตัวเชื่อมตรรกะเรียกอีกอย่างว่า^{ฟังก์ชัน}ความจริง^{[ 38 ]}

ข้อโต้แย้งถูกนิยามว่าเป็นคู่ของสิ่งต่างๆ ได้แก่ ชุดของประโยคที่เรียกว่าข้ออ้าง[ ^{g ] และ}ประโยคที่เรียกว่าข้อสรุป[ ^{39 ] [ 35 ] [ 38 ] ข้อ}สรุปนั้นอ้างว่าเป็นผลมาจากข้ออ้าง^{[ 38 ]}และข้ออ้างนั้นอ้างว่าสนับสนุนข้อสรุป^{[ 35 ]}

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของข้อโต้แย้งที่อยู่ในขอบเขตของตรรกศาสตร์เชิงประพจน์:

ข้อสมมติฐานที่ 1: ถ้าฝนตกก็แสดงว่ามีเมฆมาก

ข้อสมมติฐานที่ 2:ฝนกำลังตก

สรุป:ท้องฟ้ามีเมฆมาก

รูปแบบตรรกะของข้อโต้แย้งนี้เรียกว่าmodus ponens [ ^{40 ]}ซึ่งเป็นรูปแบบที่ถูกต้องตามหลักคลาสสิก^{[ 41 ]}ดังนั้น ในตรรกะคลาสสิก ข้อโต้แย้งนี้จึงถูกต้องแม้ว่าอาจจะฟังดูสมเหตุสมผล หรือไม่ก็ได้ ขึ้นอยู่กับ ข้อเท็จจริง ทางอุตุนิวิทยาในบริบทที่กำหนดตัวอย่างข้อโต้แย้ง นี้ จะถูกนำมาใช้ซ้ำเมื่ออธิบาย^§การทำให้เป็นทางการ

ข้อโต้แย้งจะถูกต้องก็ต่อเมื่อจำเป็นว่า หากข้ออ้างทั้งหมดเป็นจริง ข้อสรุปก็จะเป็นจริงด้วย^{[ 39 ] [ 42 ] [ 43 ]}หรืออีกนัยหนึ่ง ข้อโต้แย้งจะถูกต้องก็ต่อเมื่อเป็นไปไม่ได้ที่ข้ออ้างทั้งหมดจะเป็นจริงในขณะที่ข้อสรุปเป็นเท็จ^{[ 43 ] [ 39 ]}

ความถูกต้องนั้นแตกต่างจากความสมเหตุสมผล [ ^{43 ] ข้อ}โต้แย้งจะสมเหตุสมผลก็ต่อเมื่อถูกต้องและข้ออ้างทั้งหมดเป็นจริง^{[ 39 ] [ 43 ]}มิฉะนั้น ข้อโต้แย้งนั้นจะไม่ถูกต้อง^{[ 43 ]}

โดยทั่วไปแล้ว ตรรกศาสตร์มีเป้าหมายเพื่อระบุข้อโต้แย้งที่ถูกต้องอย่างแม่นยำ^{[ 35 ]}ซึ่งทำได้โดยการกำหนดข้อโต้แย้งที่ถูกต้องว่าเป็นข้อโต้แย้งที่ข้อสรุปเป็นผลตามตรรกะของข้อตั้งต้น^{[ 35 ]}ซึ่งเมื่อเข้าใจสิ่งนี้ว่าเป็นผลตามความหมายหมายความว่าไม่มีกรณีใดที่ข้อตั้งต้นเป็นจริงแต่ข้อสรุปไม่เป็นจริง^{[ 35 ]} – ดู§ ความหมายด้านล่าง

ตรรกศาสตร์เชิงประพจน์มักศึกษาผ่านระบบที่เป็นทางการซึ่งสูตรของภาษาที่เป็นทางการจะถูกตีความเพื่อแทนประพจน์ภาษาที่เป็นทางการนี้เป็นพื้นฐานของระบบการพิสูจน์ซึ่งอนุญาตให้สรุปจากข้อสมมติได้ก็ต่อเมื่อเป็นผลลัพธ์เชิงตรรกะจากข้อสมมติเหล่านั้นเท่านั้น ส่วนนี้จะแสดงวิธีการทำงานโดยการทำให้การโต้แย้งในหัวข้อ § ตัวอย่าง เป็นทางการ ภาษาที่เป็นทางการสำหรับแคลคูลัสเชิงประพจน์จะถูกระบุอย่างครบถ้วนในหัวข้อ § ภาษาและภาพรวมของระบบการพิสูจน์จะกล่าวถึงในหัวข้อ§ ระบบการพิสูจน์

เนื่องจากตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ไม่ได้เกี่ยวข้องกับโครงสร้างของประพจน์เกินกว่าจุดที่ไม่สามารถแยกย่อยได้อีกต่อไปด้วยตัวเชื่อมทางตรรกะ^{[ 40 ] [ 1 ]}โดยทั่วไปจึงศึกษาโดยการแทนที่ ข้อความ อะตอมิก (ที่แบ่งแยกไม่ได้) ดังกล่าวด้วยตัวอักษร ซึ่งตีความได้ว่าเป็นตัวแปรที่แทนข้อความ ( ตัวแปรเชิงประพจน์ ) ^{[ 1 ]}ด้วยตัวแปรเชิงประพจน์ การโต้แย้งใน§ ตัวอย่างจะถูกแสดงเป็นสัญลักษณ์ดังนี้:

ข้อสมมติฐานที่ 1:${\displaystyle P\to Q}$

ข้อสมมติฐานที่ 2:${\displaystyle P}$

บทสรุป:${\displaystyle Q}$

เมื่อตีความP ว่า "ฝนกำลังตก" และ Qว่า "มีเมฆมาก" การแสดงออกเชิงสัญลักษณ์เหล่านี้จะสอดคล้องกับการแสดงออกดั้งเดิมในภาษาธรรมชาติอย่างแม่นยำ ไม่เพียงเท่านั้น แต่ยังสอดคล้องกับการอนุมานอื่นๆ ที่มีรูปแบบตรรกะ เดียวกันอีก ด้วย

เมื่อใช้ระบบที่เป็นทางการในการแสดงตรรกะที่เป็นทางการ จะมีการแสดงเฉพาะตัวอักษรของประโยค (โดยปกติจะเป็นตัวพิมพ์ใหญ่ เช่น, และ) โดยตรงเท่านั้น ประโยคในภาษาธรรมชาติที่เกิดขึ้นเมื่อถูกตีความนั้นอยู่นอกขอบเขตของระบบ และความสัมพันธ์ระหว่างระบบที่เป็นทางการกับการตีความก็อยู่นอกเหนือขอบเขตของระบบที่เป็นทางการเช่นกัน ${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle R}$

หากเราถือว่าความถูกต้องของmodus ponensได้รับการยอมรับเป็นสัจพจน์แล้วการโต้แย้งตัวอย่าง เดียวกันนี้ ก็สามารถแสดงได้ดังนี้:

${\displaystyle {\frac {P\to Q,P}{Q}}}$

วิธีการแสดงแบบนี้คือสัญกรณ์ของGentzen สำหรับ การอนุมานตามธรรมชาติและแคลคูลัสลำดับ [ ^{44 ] ข้อ}ตั้งต้นจะแสดงอยู่เหนือเส้นที่เรียกว่า^เส้นอนุมาน [ ^{16 ]}คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาคซึ่งบ่งบอกถึงการรวมกันของข้อตั้งต้น^{[ 45 ]}ข้อสรุปจะเขียนไว้ใต้เส้นอนุมาน^{[ 16 ]}เส้นอนุมานแสดงถึงผลลัพธ์ทางไวยากรณ์ [ ^{16 ]}บางครั้งเรียกว่าผลลัพธ์แบบนิรนัย [ ^{46 ] ซึ่ง}ใช้สัญลักษณ์ ⊢ เช่นกัน^{[ 47 ] [ 46 ] ดังนั้นข้าง ต้น}จึงสามารถเขียนได้ในบรรทัดเดียวเช่นกัน^{[ h ]}${\displaystyle P\to Q,P\vdash Q}$

ผลที่ตามมาทางไวยากรณ์จะแตกต่างจากผลที่ตามมาทางความหมาย [ ^{48 ]}ซึ่งใช้สัญลักษณ์ ⊧ ^{[ 47 ] [ 46 ]}ในกรณีนี้ ข้อสรุปจะตามมาทางไวยากรณ์เนื่องจากกฎการอนุมาน การหักล้าง ^ตามธรรมชาติของmodus ponensได้รับการสมมติไว้แล้ว สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับกฎการอนุมาน โปรดดูส่วนเกี่ยวกับระบบการพิสูจน์ด้านล่าง

ภาษา(เรียกโดยทั่วไปว่า) [ ^{46 ] [ 49 ] [ 35 ] ของ}แคลคูลัสเชิงประพจน์ถูกกำหนดในแง่ของ: ^{[ 2 ] [ 15 ]}${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

1. ชุดของสัญลักษณ์พื้นฐาน เรียกว่าสูตรอะตอมประโยคอะตอม^{[ 40} ] ^{[ 35 ]}อะตอม^{[ 50 ]}ตัวยึดตำแหน่งสูตร^ไพรม์[ ^{50 ] ตัว}อักษรประพจน์ตัวอักษรประโยค^{[ 40 ]}หรือตัวแปรและ
2. ชุดของสัญลักษณ์ตัวดำเนินการ เรียกว่า^ตัวเชื่อม [ ^{19 ] [ 1 ] [ 51 ]} ตัว เชื่อมตรรกะ^{[ 1 ]}ตัวดำเนินการตรรกะ [ ^{1 ] ตัวเชื่อม}ฟังก์ชันความจริง^{[ 1 ]}ตัวฟังก์ชันความจริง [ ^{38 ]}หรือตัวเชื่อมประพจน์^{[ 2 ]}

สูตรที่มีรูปแบบดีคือสูตรอะตอมิกใดๆ หรือสูตรใดๆ ที่สามารถสร้างขึ้นจากสูตรอะตอมิกโดยใช้สัญลักษณ์ตัวดำเนินการตามกฎของไวยากรณ์ ภาษาจึงถูกกำหนดให้เหมือนกับเซตของสูตรที่มีรูปแบบดี^{[ 49 ]}หรือประกอบด้วยเซตนั้น (รวมถึงเซตของตัวเชื่อมและตัวแปรด้วย) ^{[ 15 ] [ 35 ]}${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

โดยปกติไวยากรณ์จะถูกกำหนดแบบเรียกซ้ำโดยคำจำกัดความเพียงไม่กี่ข้อ ดังที่เห็นต่อไปนี้ ผู้เขียนบางคนระบุวงเล็บเป็นเครื่องหมายวรรคตอนอย่างชัดเจนเมื่อกำหนดไวยากรณ์ของภาษา^{[ 35 ] [ 52 ]}ในขณะที่คนอื่นใช้โดยไม่มีคำอธิบาย^{[ 2 ] [ 15 ]}${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

เมื่อกำหนดเซตของตัวแปรเชิงประพจน์อะตอม, , , ... และเซตของตัวเชื่อมเชิงประพจน์, , , ..., , , , ..., , , , ... สูตรของตรรกะเชิงประพจน์จะถูกกำหนดแบบเวียนซ้ำโดยคำจำกัดความเหล่านี้: ^{[ 2 ] [ 15 ] [ 51 ] [ i ]}${\displaystyle p_{1}}$${\displaystyle p_{2}}$${\displaystyle p_{3}}$${\displaystyle c_{1}^{1}}$${\displaystyle c_{2}^{1}}$${\displaystyle c_{3}^{1}}$${\displaystyle c_{1}^{2}}$${\displaystyle c_{2}^{2}}$${\displaystyle c_{3}^{2}}$${\displaystyle c_{1}^{3}}$${\displaystyle c_{2}^{3}}$${\displaystyle c_{3}^{3}}$

นิยามที่ 1 : ตัวแปรเชิงประพจน์อะตอมิกคือสูตร

นิยามที่ 2 : ถ้าเป็นตัวเชื่อมทางตรรกะ และA, B, C, … เป็นลำดับของสูตร m สูตร ซึ่งอาจเป็นสูตรอะตอมิกแต่ไม่จำเป็นต้องเป็นสูตรอะตอมิกเสมอไป และอาจเป็นสูตรที่แตกต่างกันแต่ไม่จำเป็นต้องเป็นสูตรที่แตกต่างกันเสมอไป ผลลัพธ์ของการนำ ไปใช้กับA, B, C, … ก็คือสูตร${\displaystyle c_{n}^{m}}$${\displaystyle \langle }$${\displaystyle \rangle }$${\displaystyle c_{n}^{m}}$${\displaystyle \langle }$${\displaystyle \rangle }$

นิยามที่ 3:ไม่มีสิ่งอื่นใดเป็นสูตรสำเร็จ

เมื่อเขียนผลลัพธ์ของการประยุกต์ใช้กับA, B, C, ... ในรูปแบบสัญลักษณ์ฟังก์ชันเป็น(A, B, C, ...) เราจะได้ตัวอย่างของสูตรที่ถูกต้องดังต่อไปนี้: ${\displaystyle c_{n}^{m}}$${\displaystyle \langle }$${\displaystyle \rangle }$${\displaystyle c_{n}^{m}}$

• ${\displaystyle p_{5}}$
• ${\displaystyle c_{3}^{2}(p_{2},p_{9})}$
• ${\displaystyle c_{3}^{2}(p_{1},c_{2}^{1}(p_{3}))}$
• ${\displaystyle c_{1}^{3}(p_{4},p_{6},c_{2}^{2}(p_{1},p_{2}))}$
• ${\displaystyle c_{4}^{2}(c_{1}^{1}(p_{7}),c_{3}^{1}(p_{8}))}$
• ${\displaystyle c_{2}^{3}(c_{1}^{2}(p_{3},p_{4}),c_{2}^{1}(p_{5}),c_{3}^{2}(p_{6},p_{7}))}$
• ${\displaystyle c_{3}^{1}(c_{1}^{3}(p_{2},p_{3},c_{2}^{2}(p_{4},p_{5})))}$

สิ่งที่ให้ไว้เป็นนิยามที่ 2 ข้างต้น ซึ่งรับผิดชอบในการประกอบสูตรนั้น Colin Howsonเรียกว่าหลักการประกอบ^{[ 40 ] [ j ]}การเรียกซ้ำในนิยาม ของไวยากรณ์ของภาษานี้ เองที่ทำให้การใช้คำว่า "อะตอม" เพื่ออ้างถึงตัวแปรเชิงประพจน์มีความชอบธรรม เนื่องจากสูตรทั้งหมดในภาษานั้นสร้างขึ้นจากอะตอมเป็นหน่วยพื้นฐานที่สุด[ ^{2 ]}สูตรประกอบ (สูตรทั้งหมดนอกเหนือจากอะตอม) เรียกว่าโมเลกุล [ ^{50 ]}หรือประโยคโมเลกุล [ ^{35 ] ( นี่}เป็นการเปรียบเทียบที่ไม่สมบูรณ์กับวิชาเคมี เนื่องจากโมเลกุล ^ทางเคมีบางครั้งอาจมีอะตอมเพียงอะตอมเดียว เช่นในก๊าซโมโนอะตอม ) ^{[ 50 ]}${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

นิยามที่ว่า "ไม่มีสิ่งอื่นใดเป็นสูตร" ซึ่งระบุไว้ข้างต้นในนิยามที่ 3 นั้นไม่รวมสูตรใดๆ ออกจากภาษาหากสูตรนั้นไม่ได้ถูกกำหนดไว้โดยเฉพาะจากนิยามอื่นๆ ในไวยากรณ์^{[ 38 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง นิยามนี้จะไม่รวมสูตรที่มีความยาวอนันต์ให้ถือว่า เป็น สูตรที่ถูกต้อง^{[ 38 ]}บางครั้งเรียกว่าข้อความปิด^{[ 54 ]}

ทางเลือกอื่นนอกเหนือจากคำจำกัดความไวยากรณ์ที่ให้ไว้ข้างต้นคือการเขียนไวยากรณ์แบบไร้บริบท (CF)สำหรับภาษาในรูปแบบ Backus-Naur (BNF) ^{[ 55 ] [ 56 ]}วิธีนี้พบได้บ่อยในวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์มากกว่าในปรัชญา^{[ 56 ]}สามารถทำได้หลายวิธี^{[ 55 ]}ซึ่งวิธีที่สั้นเป็นพิเศษสำหรับชุดตัวเชื่อมทั่วไปห้าตัวคือประโยคเดียวนี้: ^{[ 56 ] [ 57 ]}${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle \phi ::=a_{1},a_{2},\ldots ~|~\neg \phi ~|~\phi ~\&~\psi ~|~\phi \vee \psi ~|~\phi \rightarrow \psi ~|~\phi \leftrightarrow \psi }$

อนุประโยคนี้เนื่องจากมี ลักษณะ อ้างอิงตนเอง (เนื่องจากอยู่ในบางสาขาของคำจำกัดความของ) จึงทำหน้าที่เป็นคำจำกัดความแบบเรียกซ้ำและด้วยเหตุนี้จึงระบุภาษาทั้งหมด ในการขยายเพื่อเพิ่มตัวดำเนินการโมดอลจำเป็นต้องเพิ่ม ...  ต่อท้ายอนุประโยค เท่านั้น ^{[ 56 ]}${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle |~\Box \phi ~|~\Diamond \phi }$

นักคณิตศาสตร์บางครั้งแยกแยะความแตกต่างระหว่างค่าคงที่เชิงประพจน์ตัวแปรเชิงประพจน์และแผนผังค่าคงที่เชิงประพจน์แสดงถึงประพจน์เฉพาะบางอย่าง^{[ 58 ]}ในขณะที่ตัวแปรเชิงประพจน์ครอบคลุมเซตของประพจน์อะตอมทั้งหมด^{[ 58 ]} อย่างไรก็ตาม แผนผังหรือตัวอักษรแผนผังครอบคลุมสูตรทั้งหมด^{[ 38 ] [ 1 ]} (ตัวอักษรแผนผังเรียกอีกอย่างว่าเมตาตัวแปร ) ^{[ 39 ]}เป็นเรื่องปกติที่จะแทนค่าคงที่เชิงประพจน์ด้วยA , BและCตัวแปรเชิงประพจน์ด้วยP , QและRและตัวอักษรแผนผังมักจะเป็นตัวอักษรกรีก โดยส่วนใหญ่มักจะ^เป็น φ , ψและχ [ ^{38 ] [ 1 ]}

อย่างไรก็ตาม ผู้เขียนบางคนยอมรับเพียง "ค่าคงที่เชิงประพจน์" สองค่าในระบบที่เป็นทางการของพวกเขา ได้แก่ สัญลักษณ์พิเศษที่เรียกว่า "ความจริง" ซึ่งประเมินค่าเป็นTrue เสมอ และสัญลักษณ์พิเศษที่เรียกว่า "ความเท็จ" ซึ่งประเมินค่าเป็น False เสมอ[ 59 ^{] [ 60 ] [ 61 ]ผู้เขียน}คนอื่นๆ ก็รวมสัญลักษณ์เหล่านี้ไว้ด้วย โดยมีความหมายเดียวกัน แต่ถือว่าสัญลักษณ์เหล่านี้เป็น "ฟังก์ชันความจริงแบบศูนย์ตำแหน่ง" ^{[ 38 ]}หรือเทียบเท่ากับ " ตัวเชื่อม แบบศูนย์ " ^{[ 51 ]}${\displaystyle \top }$${\displaystyle \bot }$

เพื่อทำหน้าที่เป็นแบบจำลองของตรรกะของภาษาธรรมชาติ ที่กำหนด ภาษาทางการจะต้องได้รับการตีความความหมาย[ ^{35 ] ใน}ตรรกะแบบคลาสสิก ข้อเสนอทั้งหมดจะประเมินค่าเป็น ค่าความจริงเพียงค่าเดียวจากสอง ค่า คือจริงหรือเท็จ^{[ 1 ] [ 62 ]}ตัวอย่างเช่น " วิกิพีเดียเป็นสารานุกรมออนไลน์ฟรี^{ที่ ทุกคนสามารถแก้ไข ได้} " ประเมินค่าเป็นจริง [ ^{63 ]}ในขณะที่ "วิกิพีเดียเป็นสารานุกรมกระดาษ " ประเมินค่าเป็นเท็จ [ ^{64 ]}

ในแง่อื่นๆ ความหมายเชิงรูปธรรมต่อไปนี้สามารถนำไปใช้กับภาษาของตรรกะเชิงประพจน์ใดๆ ได้ แต่สมมติฐานที่ว่ามีค่าความหมายเพียงสองค่า ( ทวิภาวะ ) ที่กำหนดให้กับแต่ละสูตรในภาษาเพียงหนึ่งในสองค่าเท่านั้น ( ไม่ขัดแย้ง ) และที่ทุกสูตรได้รับการกำหนดค่า ( ค่ากลางที่ถูกยกเว้น ) เป็นคุณลักษณะที่โดดเด่นของตรรกะแบบคลาสสิก^{[ 62 ] [ 65 ] [ 38 ]}หากต้องการเรียนรู้เกี่ยวกับตรรกะที่ไม่ใช่แบบคลาสสิกที่มีค่าความจริงมากกว่าสองค่า และความหมายเฉพาะของตรรกะเหล่านั้น สามารถศึกษาบทความเกี่ยวกับ " ตรรกะหลายค่า " " ตรรกะสามค่า " " ตรรกะค่าจำกัด " และ " ตรรกะค่าอนันต์ " ได้

สำหรับภาษาที่กำหนดการตีความ^{[ 66 ]}การประเมินค่า^{[ 52 ]}การประเมินค่าแบบบูลีน [ 67 ^{] หรือ}กรณี[ ^{35 ] [ k ] คือ}การกำหนดค่าความหมายให้กับสูตรแต่ละสูตรของ[ ^{35 ] สำหรับ}ภาษาที่เป็นทางการของตรรกะแบบคลาสสิก กรณีถูกกำหนดให้เป็นการ^{กำหนด}ค่าให้กับสูตรแต่ละสูตรของค่าความจริงอย่างใดอย่างหนึ่ง แต่ไม่ใช่ทั้งสองค่าได้แก่ความจริง ( Tหรือ 1) และความเท็จ ( Fหรือ 0) ^{[ 68 ] [ 69 ]}การตีความที่ปฏิบัติตามกฎของตรรกะแบบคลาสสิกบางครั้งเรียกว่าการประเมินค่าแบบบูลีน [ ^{52 ] [ 70 ] การ}ตีความภาษาที่เป็นทางการสำหรับตรรกะแบบคลาสสิกมักจะแสดงในรูปของตารางความจริง^{[ 71 ] [ 1 ]}เนื่องจากแต่ละสูตรจะถูกกำหนดค่าความจริงเพียงค่าเดียว การตีความจึงอาจถูกมองว่าเป็น^{ฟังก์ชัน}ซึ่งโดเมนคือและเรนจ์คือเซตของค่าความ^หมาย [ ^{2 ]}หรือ^[ 35 ^]${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}=\{{\mathsf {T}},{\mathsf {F}}\}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}=\{1,0\}}$

สำหรับสัญลักษณ์เชิงประพจน์ที่แตกต่างกัน จะมีการตีความที่เป็นไปได้ที่แตกต่างกัน สำหรับสัญลักษณ์ใด ๆเช่น จะมีการตีความที่เป็นไปได้: กำหนดให้เป็นTหรือกำหนดให้เป็นF และ สำหรับคู่จะมี การตีความที่เป็นไปได้: กำหนดให้เป็น Tทั้งคู่ หรือ กำหนด ให้เป็น Fทั้งคู่หรือ กำหนดให้เป็น Tและ กำหนด ให้เป็นFหรือกำหนดให้เป็นFและกำหนดให้เป็นT [ ^{71 ] เนื่องจาก}มีสัญลักษณ์ เชิงประพจน์จำนวนมาก ที่นับได้ดังนั้นจึงมีการตีความที่เป็นไปได้ที่แตกต่างกันของโดยรวมจำนวนนับไม่ได้^{[ 71 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle 2^{1}=2}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle 2^{2}=4}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

โดยที่การตีความและและแสดงถึงสูตร นิยามของข้อโต้แย้งที่ให้ไว้ใน§ ข้อโต้แย้งอาจกล่าวได้ว่าเป็นคู่โดยที่คือเซตของข้ออ้าง และคือข้อสรุป นิยามของความถูกต้อง ของข้อโต้แย้ง กล่าว คือ คุณสมบัติที่ว่าสามารถกล่าวได้ว่าเป็นการไม่มีตัวอย่างค้านโดยที่ตัวอย่างค้านถูกกำหนดให้เป็นกรณีที่ข้ออ้างของข้อโต้แย้งเป็นจริงทั้งหมด แต่ข้อสรุปไม่เป็นจริง^{[ 35 ] [ 40 ]}ดังที่จะเห็นได้ใน§ ความจริงเชิงความหมาย ความถูกต้อง ผลที่ ตามมา นี่ก็เหมือนกับการกล่าวว่าข้อสรุปเป็นผลที่ตามมาเชิงความหมายของข้ออ้าง ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \langle \{\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3},...,\varphi _{n}\},\psi \rangle }$${\displaystyle \{\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3},...,\varphi _{n}\}}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \{\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3},...,\varphi _{n}\}\models \psi }$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle \{\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3},...,\varphi _{n}\}}$${\displaystyle \psi }$

การตีความจะกำหนดค่าความหมายให้กับสูตรอะตอมโดยตรง^{[ 66 ] [ 35 ]}สูตรโมเลกุลจะถูกกำหนดฟังก์ชันของค่าของอะตอมที่เป็นส่วนประกอบตามตัวเชื่อมที่ใช้^{[ 66 ] [ 35 ]}ตัวเชื่อมจะถูกกำหนดในลักษณะที่ค่าความจริงของประโยคที่สร้างขึ้นจากอะตอมที่มีตัวเชื่อมขึ้นอยู่กับค่าความจริงของอะตอมที่ตัวเชื่อมนั้นใช้ และขึ้นอยู่กับค่าความจริงของอะตอมเหล่านั้นเท่านั้น^{[ 66 ] [ 35 ]}ข้อสมมตินี้ถูกอ้างถึงโดยColin Howsonว่าเป็นข้อสมมติของฟังก์ชันความจริงของตัวเชื่อม^{[ 40 ]}

เนื่องจากตัวเชื่อมตรรกะถูกกำหนดความหมายเฉพาะในแง่ของค่าความจริงที่พวกมันรับเมื่อตัวแปรเชิงประพจน์ที่พวกมันถูกนำไปใช้รับค่าความจริงที่เป็นไปได้สอง ค่า ^{[ 1 ] [ 35 ]}คำจำกัดความเชิงความหมายของตัวเชื่อมมักจะแสดงเป็นตารางความจริงสำหรับตัวเชื่อมแต่ละตัว^{[ 1 ] [ 35 ] [ 72 ]}ดังที่เห็นด้านล่าง:

${\displaystyle p}$	${\displaystyle q}$	${\displaystyle p\land q}$	${\displaystyle p\lor q}$	${\displaystyle p\rightarrow q}$	${\displaystyle p\Leftrightarrow q}$	${\displaystyle \neg p}$	${\displaystyle \neg q}$
ที	ที	ที	ที	ที	ที	เอฟ	เอฟ
ที	เอฟ	เอฟ	ที	เอฟ	เอฟ	เอฟ	ที
เอฟ	ที	เอฟ	ที	ที	เอฟ	ที	เอฟ
เอฟ	เอฟ	เอฟ	เอฟ	ที	ที	ที	ที

ตารางนี้ครอบคลุม ตัวเชื่อมตรรกะหลักทั้งห้าตัวได้แก่^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]}การเชื่อม (ในที่นี้ใช้สัญลักษณ์), การแยก ( p ∨ q ), การบ่งชี้ ( p → q ), เงื่อนไขสองทาง ( p ↔ q ) และการปฏิเสธ (¬ pหรือ ¬ qแล้วแต่กรณี) ตารางนี้เพียงพอสำหรับการกำหนดความหมายของตัวดำเนินการแต่ละตัว^{[ 1 ] [ 73 ] [ 35 ]}สำหรับตารางความจริงเพิ่มเติมสำหรับตัวเชื่อมประเภทต่างๆ โปรดดูบทความ " ตารางความจริง " ${\displaystyle p\land q}$

ผู้เขียนบางคนเขียนความหมายของตัวเชื่อมโดยใช้รายการข้อความแทนตาราง ในรูปแบบนี้ โดยที่คือการตีความของตัวเชื่อมทั้งห้าจะถูกกำหนดดังนี้: ^{[ 38 ] [ 52 ]}${\displaystyle {\mathcal {I}}(\varphi )}$${\displaystyle \varphi }$

• ${\displaystyle {\mathcal {I}}(\neg P)={\mathsf {T}}}$ก็ต่อเมื่อ...${\displaystyle {\mathcal {I}}(P)={\mathsf {F}}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {I}}(P\land Q)={\mathsf {T}}}$ถ้าและเฉพาะเมื่อและ${\displaystyle {\mathcal {I}}(P)={\mathsf {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}(Q)={\mathsf {T}}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {I}}(P\lor Q)={\mathsf {T}}}$ถ้าและเฉพาะเมื่อหรือ${\displaystyle {\mathcal {I}}(P)={\mathsf {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}(Q)={\mathsf {T}}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {I}}(P\to Q)={\mathsf {T}}}$ก็ต่อเมื่อเป็นความจริงที่ว่า ถ้าแล้ว${\displaystyle {\mathcal {I}}(P)={\mathsf {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}(Q)={\mathsf {T}}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {I}}(P\leftrightarrow Q)={\mathsf {T}}}$ก็ต่อเมื่อเป็นความจริงที่ว่าก็ต่อเมื่อ${\displaystyle {\mathcal {I}}(P)={\mathsf {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}(Q)={\mathsf {T}}}$

แทนที่จะใช้การตีความของอาจเขียนออกมาเป็น[ ^{38 ] [ 74 ]}หรือสำหรับคำจำกัดความเช่นข้างต้นอาจเขียนง่ายๆ เป็นประโยคภาษาอังกฤษว่า " ^ได้รับค่า" ^{[ 52 ]}อย่างไรก็ตาม ผู้เขียนคนอื่นๆ^{[ 75 ] [ 76 ]}อาจชอบพูดถึงแบบจำลอง Tarskianสำหรับภาษา ดังนั้นพวกเขาจะใช้สัญลักษณ์ซึ่งเทียบเท่ากับการพูดว่าโดยที่คือฟังก์ชันการตีความสำหรับ^{[ 76 ]}${\displaystyle {\mathcal {I}}(\varphi )}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle |\varphi |}$${\displaystyle {\mathcal {I}}(\varphi )={\mathsf {T}}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle {\mathsf {T}}}$${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$${\displaystyle {\mathfrak {M}}\models \varphi }$${\displaystyle {\mathcal {I}}(\varphi )={\mathsf {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$

ตัวเชื่อมบางตัวเหล่านี้อาจถูกกำหนดในแง่ของตัวเชื่อมอื่น ๆ เช่น การบ่งชี้อาจถูกกำหนดในแง่ของการแยกและการปฏิเสธ เช่น[ ^{77 ] และ}การแยกอาจถูกกำหนดในแง่ของการปฏิเสธและการเชื่อมโยง เช่น[ ^{52 ] ใน}ความเป็นจริงระบบที่สมบูรณ์ตามหน้าที่ความจริง^{[ l ]}ในแง่ที่ว่าสัจพจน์ประพจน์แบบคลาสสิกทั้งหมดและเฉพาะเท่านั้นที่เป็นทฤษฎีบท อาจได้มาโดยใช้เพียงการแยกและการปฏิเสธ (ดังที่Russell , WhiteheadและHilbertทำ) หรือใช้เพียงการบ่งชี้และการปฏิเสธ (ดังที่Fregeทำ) หรือใช้เพียงการเชื่อมโยงและการปฏิเสธ หรือแม้กระทั่งใช้ตัวเชื่อมเพียงตัวเดียวสำหรับ "ไม่ใช่และ" ( Sheffer stroke ) ^{[ 3 ]}ดังที่Jean Nicodทำ^{[ 2 ]}ตัว เชื่อม การปฏิเสธร่วม ( ตรรกะ NOR ) ก็เพียงพอแล้วที่จะกำหนดตัวเชื่อมอื่น ๆ ทั้งหมดด้วยตัวมันเอง นอกจาก NOR และ NAND แล้ว ไม่มีตัวเชื่อมต่ออื่นใดที่มีคุณสมบัตินี้^{[ 52 ] [ m ]}${\displaystyle p\rightarrow q}$${\displaystyle \neg p\lor q}$${\displaystyle \neg (\neg p\land \neg q}$

ผู้เขียนบางคน โดยเฉพาะHowson ^{[ 40 ]}และ Cunningham ^{[ 79 ]}แยกความแตกต่างระหว่างความเท่าเทียมกันกับเงื่อนไขสองทาง (สำหรับความเท่าเทียมกัน Howson เรียกว่า "ความเท่าเทียมกันเชิงฟังก์ชันความจริง" ในขณะที่ Cunningham เรียกว่า "ความเท่าเทียมกันเชิงตรรกะ") ความเท่าเทียมกันใช้สัญลักษณ์ ⇔ และเป็นสัญลักษณ์เมตาภาษา ในขณะที่เงื่อนไขสองทางใช้สัญลักษณ์ ↔ และเป็นตัวเชื่อมทางตรรกะในภาษาวัตถุไม่ว่าอย่างไรก็ตาม ความเท่าเทียมกันหรือเงื่อนไขสองทางจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อสูตรที่เชื่อมต่อกันนั้นได้รับค่าความหมายเดียวกันภายใต้การตีความทุกแบบ ผู้เขียนคนอื่นๆ มักไม่แยกความแตกต่างนี้ และอาจใช้คำว่า "ความเท่าเทียมกัน" ^{[ 16 ]}และ/หรือสัญลักษณ์ ⇔ ^{[ 80 ]}เพื่อแสดงถึงตัวเชื่อมเงื่อนไขสองทางของภาษาวัตถุของพวกเขา ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

เมื่อกำหนดเป็นสูตร (หรือประโยค) ของภาษาและเป็นการตีความ (หรือกรณี) ^{[ n ]}ของแล้วคำจำกัดความต่อไปนี้จะใช้ได้: ^{[ 71 ] [ 69 ]}${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

• ความจริงในกรณี: ^{[ 35 ]}ประโยคของเป็นจริงภายใต้การตีความถ้ากำหนดค่าความจริงTให้กับ^{[ 69 ] [ 71 ]}ถ้าเป็นจริงภายใต้แล้วเรียกว่าแบบจำลองของ^{[ 71 ]}${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle \varphi }$
• ความเท็จในกรณี: ^{[ 35 ]} เป็นเท็จภายใต้การตีความก็ต่อเมื่อเป็นจริงภายใต้[ ^{71 ] [ 81 ] [ 35 ] นี่}คือคำจำกัดความ "ความจริงของการปฏิเสธ" ของความเท็จในกรณี^{[ 35 ]}ความเท็จในกรณีอาจถูกกำหนดโดยคำจำกัดความ "ส่วนเติมเต็ม" ได้เช่นกัน: เป็นเท็จภายใต้การตีความก็ต่อเมื่อไม่เป็นจริงภายใต้[ ^{69 ] [ 71 ] ใน}ตรรกศาสตร์คลาสสิกคำจำกัดความเหล่านี้เทียบเท่ากัน แต่ในตรรกศาสตร์ที่ไม่ใช่คลาสสิกพวกมันไม่เทียบเท่ากัน^{[ 35 ]}${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle \neg \varphi }$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$
• ผลทางความหมาย:ประโยคหนึ่งเป็นผลทางความหมาย ( ) ของประโยคหนึ่งหากไม่มีการตีความใดที่เป็นจริงและไม่เป็นจริง^{[ 69 ] [ 71 ] [ 35 ]}${\displaystyle \psi }$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \varphi \models \psi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \psi }$
• สูตรที่ถูกต้อง (สัจนิรันดร์):ประโยคที่มีความถูกต้องทางตรรกะ ( ), ^{[ o ]}หรือสัจนิรันดร์ , ^{[ 82 ] [ 83 ] [ 80 ] [ 52 ]}หากเป็นจริงภายใต้การตีความทุกประการ^{[ 69 ] [ 71 ]}หรือเป็นจริงในทุกกรณี^{[ 35 ]}${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \models \varphi }$
• ประโยคที่สอดคล้องกัน:ประโยคจะสอดคล้องกันก็ต่อเมื่อเป็นจริงภายใต้การตีความอย่างน้อยหนึ่งแบบ ประโยคจะ^ไม่สอดคล้องกันก็ต่อเมื่อไม่สอดคล้องกัน^{[ 69 ] [ 71 ]}สูตรที่ไม่สอดคล้องกันยังเรียกว่าขัดแย้งในตัวเอง [ ^{1 ]}และกล่าวกันว่าเป็นความขัดแย้งในตัวเอง [ ^{1 ]}หรือเรียกง่ายๆ^{ว่าความ}ขัดแย้ง[ ^{84 ] [ 85 ] [ 86 ] แม้ว่า}บางครั้งชื่อหลังนี้จะถูกสงวนไว้เฉพาะสำหรับข้อความในรูปแบบ^{[ 1 ]}${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle (p\land \neg p)}$

สำหรับการตีความ (กรณีต่างๆ) ของบางครั้งจะมีการให้คำจำกัดความดังต่อไปนี้: ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

• กรณีสมบูรณ์:กรณีจะสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อเป็นจริงในหรือเป็นจริงในสำหรับใดๆใน^{[ 35 ] [ 87 ]}${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle \neg \varphi }$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$
• กรณีที่สอดคล้องกัน:กรณีจะสอดคล้องกันก็ต่อเมื่อไม่มีในที่ทำให้ทั้งและเป็นจริงใน^{[ 35 ] [ 88 ]}${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \neg \varphi }$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$

สำหรับตรรกะแบบคลาสสิกซึ่งถือว่าทุกกรณีสมบูรณ์และสอดคล้องกัน^{[ 35 ]}ทฤษฎีบทต่อไปนี้ใช้ได้:

• สำหรับการตีความใดๆ สูตรที่กำหนดจะเป็นจริงหรือเท็จภายใต้การตีความนั้น^{[ 71 ] [ 81 ]}
• ไม่มีสูตรใดที่ทั้งจริงและเท็จภายใต้การตีความเดียวกัน^{[ 71 ] [ 81 ]}
• ${\displaystyle \varphi }$เป็นจริงภายใต้เงื่อนไขก็ต่อเมื่อเป็นเท็จภายใต้เงื่อนไข; ^{[ 71 ] [ 81 ]}เป็นจริงภายใต้เงื่อนไขก็ต่อเมื่อไม่เป็นจริงภายใต้เงื่อนไข^{[ 71 ]}${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle \neg \varphi }$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle \neg \varphi }$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$
• ถ้าและเป็นจริงทั้งคู่ภายใต้แล้วจะเป็นจริงภายใต้^{[ 71 ] [ 81 ]}${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle (\varphi \to \psi )}$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$
• ถ้าและแล้ว^{[ 71} ]^​${\displaystyle \models \varphi }$${\displaystyle \models (\varphi \to \psi )}$${\displaystyle \models \psi }$
• ${\displaystyle (\varphi \to \psi )}$เป็นจริงภายใต้เงื่อนไขก็ต่อเมื่อไม่เป็นจริงภายใต้เงื่อนไขหรือเป็นจริงภายใต้เงื่อนไข^{[ 71 ]}${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$
• ${\displaystyle \varphi \models \psi }$ถ้าและเฉพาะเมื่อถูกต้องตามหลักตรรกะนั่นคือถ้าและเฉพาะเมื่อ^{[ 71 ] [ 81 ]}${\displaystyle (\varphi \to \psi )}$${\displaystyle \varphi \models \psi }$${\displaystyle \models (\varphi \to \psi )}$

ระบบการพิสูจน์ในตรรกศาสตร์เชิงประพจน์สามารถจำแนกได้กว้างๆ เป็นระบบการพิสูจน์เชิงความหมายและระบบการพิสูจน์เชิงไวยากรณ์ [ ^{89 ] [ 90 ] [ 91 ]}ตามประเภทของผลลัพธ์เชิงตรรกะที่ระบบเหล่านั้นอาศัย: ระบบการพิสูจน์เชิงความหมายอาศัยผลลัพธ์เชิงความหมาย ( ⁾ [ ^{92 ] ใน}ขณะที่ระบบการพิสูจน์เชิงไวยากรณ์อาศัยผลลัพธ์เชิงไวยากรณ์ ( ) ^{[ 93 ]}ผลลัพธ์เชิงความหมายเกี่ยวข้องกับค่าความจริงของประพจน์ในการตีความที่เป็นไปได้ทั้งหมด ในขณะที่ผลลัพธ์เชิงไวยากรณ์เกี่ยวข้องกับการอนุมานข้อสรุปจากข้อสมมติโดยอาศัยกฎและสัจพจน์ภายในระบบที่เป็นทางการ^{[ 94 ]}ส่วนนี้ให้ภาพรวมโดยย่อของระบบการพิสูจน์ประเภทต่างๆ พร้อมลิงก์ไปยังส่วนที่เกี่ยวข้องของบทความนี้ในแต่ละประเภท รวมถึงบทความวิกิพีเดียแยกต่างหากในแต่ละประเภทด้วย ${\displaystyle \varphi \models \psi }$${\displaystyle \varphi \vdash \psi }$

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|}x_{0}&x_{1}&{\bar {x_{1}}}&x_{0}\&{\bar {x_{1}}}\\\hline 0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&1&1\\1&1&0&0\end{array}}}$

ตัวอย่างตารางความจริง

ระบบการพิสูจน์เชิงความหมายอาศัยแนวคิดของผลลัพธ์เชิงความหมายซึ่งแสดงด้วยสัญลักษณ์ ซึ่งบ่งชี้ว่าถ้าเป็นจริงก็ต้องเป็นจริงในทุกการตีความที่เป็นไปได้เช่นกัน^{[ 94 ]}${\displaystyle \varphi \models \psi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \psi }$

ตารางความจริงเป็นวิธีการพิสูจน์เชิงความหมายที่ใช้ในการกำหนดค่าความจริงของนิพจน์ตรรกะเชิงประพจน์ในทุกสถานการณ์ที่เป็นไปได้^{[ 95 ]}โดยการแสดงรายการค่าความจริงของอะตอมที่เป็นส่วนประกอบทั้งหมด ตารางความจริงสามารถแสดงให้เห็นว่าประพจน์นั้นเป็นจริง เท็จ สัจนิรันดร์ หรือขัดแย้งกัน^{[ 96 ]}ดู§ การพิสูจน์เชิงความหมายผ่านตารางความจริง

ตารางความหมายเป็นเทคนิคการพิสูจน์ความหมายอีกแบบหนึ่งที่สำรวจความจริงของข้อเสนออย่างเป็นระบบ^{[ 97 ]}โดยจะสร้างต้นไม้ที่แต่ละกิ่งแสดงถึงการตีความที่เป็นไปได้ของข้อเสนอที่เกี่ยวข้อง^{[ 98 ]}หากทุกกิ่งนำไปสู่ความขัดแย้ง ข้อเสนอเดิมจะถือว่าเป็นความขัดแย้ง และการปฏิเสธของข้อเสนอนั้นจะถือว่าเป็นสัจนิรันดร์ [ ^{40 ] ดู} § การพิสูจน์ความหมายผ่านตาราง

ในทางตรงกันข้าม ระบบการพิสูจน์ทางไวยากรณ์จะเน้นไปที่การจัดการสัญลักษณ์อย่างเป็นทางการตามกฎเฉพาะ แนวคิดของผลลัพธ์ทางไวยากรณ์หมายถึงสิ่งที่สามารถอนุมานได้จากการใช้กฎของระบบอย่างเป็นทางการ^{[ 94 ]}${\displaystyle \varphi \vdash \psi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \varphi }$

ระบบสัจพจน์แบบฮิลเบิร์ต หรือระบบฮิลเบิร์ตคือชุดของสัจพจน์หรือข้อสมมติที่ใช้ในการอนุมานข้อความอื่นๆ (ทฤษฎีบท) ทางตรรกะ^{[ 99 ]}ในตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ ระบบสัจพจน์จะกำหนดชุดพื้นฐานของประพจน์ที่ถือว่าเป็นจริงโดยชัดแจ้ง และทฤษฎีบทจะได้รับการพิสูจน์โดยการใช้กฎการอนุมานกับสัจพจน์เหล่านี้^{[ 100 ]}ดู§ การพิสูจน์เชิงไวยากรณ์ผ่านสัจพจน์

การอนุมานตามธรรมชาติเป็นวิธีการพิสูจน์เชิงไวยากรณ์ที่เน้นการอนุมานข้อสรุปจากข้อตั้งต้นโดยใช้กฎที่เข้าใจง่ายซึ่งสะท้อนถึงการให้เหตุผลทั่วไป^{[ 101 ]}แต่ละกฎสะท้อนถึงตัวเชื่อมตรรกะเฉพาะและแสดงวิธีการนำหรือกำจัดตัวเชื่อมนั้น^{[ 101 ]}ดู§ การพิสูจน์เชิงไวยากรณ์ผ่านการอนุมานตามธรรมชาติ

แคลคูลัสลำดับเป็นระบบที่เป็นทางการที่แสดงการอนุมานเชิงตรรกะเป็นลำดับหรือ "ลำดับ" ของสูตร^{[ 102 ]} แนวทางนี้ พัฒนาโดยGerhard Gentzenโดยเน้นที่คุณสมบัติเชิงโครงสร้างของการอนุมานเชิงตรรกะและให้กรอบการทำงานที่มีประสิทธิภาพสำหรับการพิสูจน์ข้อความภายในตรรกะเชิงประพจน์^{[ 102 ] [ 103 ]}

การใช้ประโยชน์จากแนวคิดเชิงความหมายของความถูกต้อง (ความจริงในทุกการตีความ) ทำให้สามารถพิสูจน์ความถูกต้องของสูตรได้โดยใช้ตารางความจริงซึ่งให้การตีความที่เป็นไปได้ทั้งหมด (การกำหนดค่าความจริงให้กับตัวแปร) ของสูตร^{[ 96 ] [ 50 ] [ 38 ]}ถ้าและเฉพาะเมื่อทุกบรรทัดในตารางความจริงเป็นจริง สูตรนั้นจึงจะมีความหมายถูกต้อง (เป็นจริงในทุกการตีความ) ^{[ 96 ] [ 50 ]}นอกจากนี้ ถ้า (และเฉพาะเมื่อ) ถูกต้อง แสดงว่าไม่สอดคล้องกัน^{[ 84 ] [ 85 ] [ 86 ]}${\displaystyle \neg \varphi }$${\displaystyle \varphi }$

ตัวอย่างเช่น ตารางนี้แสดงให้เห็นว่า " p → ( q ∨ r → ( r → ¬ p )) " ไม่ถูกต้อง: ^{[ 50 ]}

การคำนวณคอลัมน์สุดท้ายของบรรทัดที่สามอาจแสดงได้ดังนี้: ^{[ 50 ]}

นอกจากนี้ การใช้ทฤษฎีบทที่ว่าถ้าและเฉพาะเมื่อเป็นจริง^{[ 71 ] [ 81 ]}เราสามารถใช้ตารางความจริงเพื่อพิสูจน์ว่าสูตรเป็นผลสืบเนื่องทางความหมายของชุดสูตรได้ถ้าและเฉพาะเมื่อ เราสามารถสร้างตารางความจริงที่เป็นจริงทั้งหมดสำหรับสูตรได้(นั่นคือ ถ้า) ^{[ 104 ] [ 105 ]}${\displaystyle \varphi \models \psi }$${\displaystyle (\varphi \to \psi )}$${\displaystyle \{\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3},...,\varphi _{n}\}\models \psi }$${\displaystyle \left(\left(\bigwedge _{i=1}^{n}\varphi _{i}\right)\rightarrow \psi \right)}$${\displaystyle \models \left(\left(\bigwedge _{i=1}^{n}\varphi _{i}\right)\rightarrow \psi \right)}$

เนื่องจากตารางความจริงมี 2n ^{บรรทัด}สำหรับตัวแปร n ตัว จึงอาจยาวจนน่าเบื่อสำหรับค่า n ขนาดใหญ่^{[ 40 ]}ตารางวิเคราะห์เป็นวิธีการพิสูจน์ความหมายที่มีประสิทธิภาพมากกว่า แต่ก็ยังเป็นแบบกลไก^{[ 72 ]}โดยใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่า "เราไม่ได้เรียนรู้อะไรเกี่ยวกับความถูกต้องของการอนุมานจากการตรวจสอบการกระจายค่าความจริงที่ทำให้ข้อสมมติเป็นเท็จหรือข้อสรุปเป็นจริง การกระจายที่เกี่ยวข้องเพียงอย่างเดียวเมื่อพิจารณาความถูกต้องของการอนุมานคือการกระจายที่ทำให้ข้อสมมติเป็นจริงหรือข้อสรุปเป็นเท็จอย่างชัดเจน" ^{[ 40 ]}

ตารางวิเคราะห์สำหรับตรรกะเชิงประพจน์ได้รับการระบุอย่างครบถ้วนโดยกฎที่ระบุไว้ในรูปแบบแผนผังด้านล่าง^{[ 52 ]}กฎเหล่านี้ใช้ "สูตรที่มีเครื่องหมาย" โดยที่สูตรที่มีเครื่องหมายคือนิพจน์หรือโดยที่เป็นสูตร (ที่ไม่มีเครื่องหมาย) ของภาษา[ ^{52 ] (} โดยทั่วไปอ่านว่า " เป็นจริง" และอ่านว่า " เป็นเท็จ") ^{[ 52 ]} คำจำกัดความเชิงความหมายอย่างเป็นทางการคือ "ภายใต้การตีความใดๆ สูตรที่มีเครื่องหมายเรียกว่าจริงถ้าเป็นจริง และเป็นเท็จถ้าเป็นเท็จ ในขณะที่สูตรที่มีเครื่องหมายเรียกว่าเท็จถ้าเป็นจริง และเป็นจริงถ้าเป็นเท็จ" ^{[ 52 ]}${\displaystyle TX}$${\displaystyle FX}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle TX}$${\displaystyle X}$${\displaystyle FX}$${\displaystyle X}$${\displaystyle TX}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle FX}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&1)\quad {\frac {T\sim X}{FX}}\quad &&{\frac {F\sim X}{TX}}\\{\phantom {spacer}}\\&2)\quad {\frac {T(X\land Y)}{\begin{matrix}TX\\TY\end{matrix}}}\quad &&{\frac {F(X\land Y)}{FX|FY}}\\{\phantom {spacer}}\\&3)\quad {\frac {T(X\lor Y)}{TX|TY}}\quad &&{\frac {F(X\lor Y)}{\begin{matrix}FX\\FY\end{matrix}}}\\{\phantom {spacer}}\\&4)\quad {\frac {T(X\supset Y)}{FX|TY}}\quad &&{\frac {F(X\supset Y)}{\begin{matrix}TX\\FY\end{matrix}}}\end{aligned}}}$

ในสัญลักษณ์นี้ กฎข้อที่ 2 หมายความว่าให้ผลลัพธ์ทั้งในขณะที่แยกออกเป็นสัญลักษณ์นี้ควรเข้าใจในทำนองเดียวกันสำหรับกฎข้อที่ 3 และ 4 ^{[ 52 ]}บ่อยครั้งในตารางสำหรับตรรกะแบบคลาสสิกสัญลักษณ์สูตรที่มีเครื่องหมายจะถูกทำให้ง่ายขึ้นเพื่อให้เขียนง่ายๆ เป็นและเป็นซึ่งเป็นเหตุผลที่ทำให้กฎข้อที่ 1 ถูกเรียกว่า " กฎแห่งการปฏิเสธซ้ำซ้อน " ^{[ 40 ] [ 72 ]}${\displaystyle T(X\land Y)}$${\displaystyle TX,TY}$${\displaystyle F(X\land Y)}$${\displaystyle FX,FY}$${\displaystyle T\varphi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle F\varphi }$${\displaystyle \neg \varphi }$

เราสร้างตารางสำหรับชุดสูตรโดยการใช้กฎเพื่อสร้างเส้นและกิ่งต้นไม้เพิ่มเติมจนกว่าจะใช้ทุกเส้นจนหมด ทำให้เกิด ตาราง ที่สมบูรณ์ในบางกรณี กิ่งอาจมีทั้งและสำหรับบางซึ่งก็คือความขัดแย้ง ในกรณีนั้น กิ่งนั้นจะเรียกว่าปิด^{[ 40 ]}ถ้าทุกกิ่งในต้นไม้ปิด ต้นไม้นั้นเองก็จะเรียกว่าปิด[ ^{40 ] ตาม}กฎสำหรับการสร้างตาราง ต้นไม้ที่ปิดแล้วเป็นหลักฐานว่าสูตรดั้งเดิม หรือชุดสูตรที่ใช้สร้างนั้นขัดแย้งในตัวเอง และดังนั้นจึงเป็นเท็จ^{[ 40 ]}ในทางกลับกัน ตารางยังสามารถพิสูจน์ได้ว่าสูตรตรรกะเป็นสัจนิรันดร์ : ถ้าสูตรเป็นสัจนิรันดร์ การปฏิเสธของมันจะเป็นความขัดแย้ง ดังนั้นตารางที่สร้างจากการปฏิเสธของมันจะปิด^{[ 40 ]}${\displaystyle TX}$${\displaystyle FX}$${\displaystyle X}$

ในการสร้างตารางสำหรับข้อโต้แย้งขั้นแรกให้เขียนชุดสูตรสมมติฐานโดยแต่ละสูตรอยู่บนบรรทัดเดียว ทำเครื่องหมายด้วย(นั่นคือสำหรับแต่ละในชุด) ^{[ 72 ]}และพร้อมกับสูตรเหล่านั้น (ลำดับไม่สำคัญ) ให้เขียนข้อสรุปโดยทำเครื่องหมายด้วย(นั่นคือ) ^{[ 72 ]}จากนั้นสร้างต้นไม้ความจริง (ตารางวิเคราะห์) โดยใช้บรรทัดทั้งหมดเหล่านั้นตามกฎ^{[ 72 ]}ต้นไม้ปิดจะเป็นหลักฐานว่าข้อโต้แย้งนั้นถูกต้อง โดยอาศัยข้อเท็จจริงที่ว่าถ้าและเฉพาะเมื่อไม่สอดคล้องกัน (เขียนเป็น) ^{[ 72 ]}${\displaystyle \langle \{\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3},...,\varphi _{n}\},\psi \rangle }$${\displaystyle \{\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3},...,\varphi _{n}\}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T\varphi }$${\displaystyle T\varphi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle F}$${\displaystyle F\psi }$${\displaystyle \varphi \models \psi }$${\displaystyle \{\varphi ,\sim \psi \}}$${\displaystyle \varphi ,\sim \psi \models }$

การใช้วิธีการตรวจสอบความหมาย เช่น ตารางความจริงหรือตารางความหมาย เพื่อตรวจสอบสัจนิรันดร์และผลลัพธ์เชิงความหมาย สามารถแสดงให้เห็นได้ว่า ในตรรกะแบบคลาสสิก รูปแบบการโต้แย้งแบบคลาสสิกต่อไปนี้มีความถูกต้องทางความหมาย กล่าวคือ สัจนิรันดร์และผลลัพธ์เชิงความหมายเหล่านี้เป็นจริง^{[ 38 ] เราใช้ ⟚ เพื่อแสดงถึงความเท่าเทียมกันของ และ นั่นคือ เป็นตัวย่อสำหรับทั้ง และ [ 38 ]เพื่อช่วย}ในการอ่านสัญลักษณ์คำอธิบายของ^{แต่ละสูตร}จะถูกให้ไว้ คำอธิบายอ่านสัญลักษณ์ ⊧ (เรียกว่า "ประตูหมุนคู่") ว่า "ดังนั้น" ซึ่งเป็นการอ่านทั่วไป^{[ 38 ] [ 106 ]}แม้ว่าผู้เขียนหลายคนจะชอบอ่านว่า "บ่งชี้" ^{[ 38 ] [ 107 ]}หรือ "แบบจำลอง" ^{[ 108 ]}${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \varphi \models \psi }$${\displaystyle \psi \models \varphi }$

ชื่อ	ลำดับ	คำอธิบาย
โมดัส โพเนนส์	${\displaystyle ((p\to q)\land p)\models q}$[ 35 ]	ถ้าpแล้วq ; p ; ดังนั้นq
โมดัส ทอลเลนส์	${\displaystyle ((p\to q)\land \neg q)\models \neg p}$[ 35 ]	ถ้าpแล้วq ; ไม่ใช่q ; ดังนั้นไม่ใช่p
ตรรกบทสมมติฐาน	${\displaystyle ((p\to q)\land (q\to r))\models (p\to r)}$[ 39 ]	ถ้าpแล้วq ; ถ้าqแล้วr ; ดังนั้น ถ้าpแล้วr
ตรรกบทแบบแยกส่วน	${\displaystyle ((p\lor q)\land \neg p)\models q}$[ 109 ]	pหรือqหรือทั้งสองอย่าง; ไม่ใช่p ;ดังนั้นq
ภาวะกลืนไม่เข้าคายไม่ออกเชิงสร้างสรรค์	${\displaystyle ((p\to q)\land (r\to s)\land (p\lor r))\models (q\lor s)}$[ 39 ]	ถ้าpแล้วq ; และถ้าrแล้วs ; แต่pหรือr ; ดังนั้นqหรือs
ภาวะกลืนไม่เข้าคายไม่ออกที่ทำลายล้าง	${\displaystyle ((p\to q)\land (r\to s)\land (\neg q\lor \neg s))\models (\neg p\lor \neg r)}$	ถ้าpแล้วq ; และถ้าrแล้วs ; แต่ไม่ใช่qหรือไม่ใช่s ; ดังนั้น ไม่ใช่pหรือไม่ใช่r
ปัญหาสองทิศทาง	${\displaystyle ((p\to q)\land (r\to s)\land (p\lor \neg s))\models (q\lor \neg r)}$	ถ้าpแล้วq ; และถ้าrแล้วs ; แต่pหรือไม่ใช่s ; ดังนั้นqหรือไม่ใช่r
การทำให้ง่ายขึ้น	${\displaystyle (p\land q)\models p}$[ 35 ]	pและqเป็นจริง ดังนั้นp จึง เป็นจริง
การเชื่อมโยง	${\displaystyle p,q\models (p\land q)}$[ 35 ]	pและqเป็นจริงแยกกัน ดังนั้น p และ q จึงเป็นจริงร่วมกัน
ส่วนที่เพิ่มเข้าไป	${\displaystyle p\models (p\lor q)}$[ 35 ] [ 109 ]	pเป็นจริง ดังนั้น การเชื่อมแบบ "หรือ" ( pหรือq ) จึงเป็นจริง
องค์ประกอบของการเชื่อมโยง	${\displaystyle ((p\to q)\land (p\to r))}$⟚${\displaystyle (p\to (q\land r))}$	ถ้าpเป็นจริง แล้วqเป็นจริง และถ้าp เป็นจริง แล้วrเป็นจริง ดังนั้น ถ้าpเป็นจริง แล้วqและrก็เป็นจริงด้วย
การประกอบกันของการแยก	${\displaystyle ((p\to q)\lor (p\to r))}$⟚${\displaystyle (p\to (q\lor r))}$	ถ้าpเป็นจริง แล้วqเป็นจริง หรือถ้าp เป็นจริง แล้วrเป็นจริง ดังนั้น ถ้าpเป็นจริง แล้วqหรือrก็เป็นจริงด้วย
ทฤษฎีบทของเดอ มอร์แกน (1)	${\displaystyle \neg (p\land q)}$⟚ [ 35 ]${\displaystyle (\neg p\lor \neg q)}$	การปฏิเสธของ ( pและq ) เทียบเท่ากับ (ไม่ใช่pหรือไม่ใช่q )
ทฤษฎีบทของเดอ มอร์แกน (2)	${\displaystyle \neg (p\lor q)}$⟚ [ 35 ]${\displaystyle (\neg p\land \neg q)}$	การปฏิเสธของ ( pหรือq ) เทียบเท่ากับ (ไม่ใช่pและไม่ใช่q )
การสลับเปลี่ยน (1)	${\displaystyle (p\lor q)}$⟚ [ 109 ]${\displaystyle (q\lor p)}$	( pหรือq ) เทียบเท่ากับ ( qหรือp )
การสลับเปลี่ยน (2)	${\displaystyle (p\land q)}$⟚ [ 109 ]${\displaystyle (q\land p)}$	( pและq ) เทียบเท่ากับ ( qและp )
การสลับเปลี่ยน (3)	${\displaystyle (p\leftrightarrow q)}$⟚ [ 109 ]${\displaystyle (q\leftrightarrow p)}$	( p iff q ) เทียบเท่ากับ ( q iff p )
สมาคม (1)	${\displaystyle (p\lor (q\lor r))}$⟚ [ 40 ]${\displaystyle ((p\lor q)\lor r)}$	pหรือ ( qหรือr ) เทียบเท่ากับ ( pหรือq ) หรือr
สมาคม (2)	${\displaystyle (p\land (q\land r))}$⟚ [ 40 ]${\displaystyle ((p\land q)\land r)}$	pและ ( qและr ) เทียบเท่ากับ ( pและq ) และr
การกระจาย (1)	${\displaystyle (p\land (q\lor r))}$⟚ [ 109 ]${\displaystyle ((p\land q)\lor (p\land r))}$	pและ ( qหรือr ) เทียบเท่ากับ ( pและq ) หรือ ( pและr )
การกระจาย (2)	${\displaystyle (p\lor (q\land r))}$⟚ [ 109 ]${\displaystyle ((p\lor q)\land (p\lor r))}$	pหรือ ( qและr ) เทียบเท่ากับ ( pหรือq ) และ ( pหรือr )
การปฏิเสธซ้ำซ้อน	${\displaystyle p}$⟚ [ 35 ] [ 109 ]${\displaystyle \neg \neg p}$	pเทียบเท่ากับการปฏิเสธของไม่ใช่p
การสลับตำแหน่ง	${\displaystyle (p\to q)}$⟚ [ 35 ]${\displaystyle (\neg q\to \neg p)}$	ถ้าpแล้วqจะเทียบเท่ากับ ถ้าไม่ใช่qแล้วไม่ใช่p
ผลกระทบทางวัตถุ	${\displaystyle (p\to q)}$⟚ [ 109 ]${\displaystyle (\neg p\lor q)}$	ถ้าpแล้วqเทียบเท่ากับไม่ใช่pหรือq
ความเทียบเท่าของวัสดุ (1)	${\displaystyle (p\leftrightarrow q)}$⟚ [ 109 ]${\displaystyle ((p\to q)\land (q\to p))}$	( pก็ต่อเมื่อq ) เทียบเท่ากับ (ถ้าpเป็นจริงแล้วqก็เป็นจริง) และ (ถ้าqเป็นจริงแล้วpก็เป็นจริง)
ความเทียบเท่าของวัสดุ (2)	${\displaystyle (p\leftrightarrow q)}$⟚ [ 109 ]${\displaystyle ((p\land q)\lor (\neg p\land \neg q))}$	( pก็ต่อเมื่อq ) เทียบเท่ากับ ( pและqเป็นจริง) หรือ ( pและqเป็นเท็จทั้งคู่)
ความเทียบเท่าของวัสดุ (3)	${\displaystyle (p\leftrightarrow q)}$⟚${\displaystyle ((p\lor \neg q)\land (\neg p\lor q))}$	( p iff q ) เทียบเท่ากับทั้ง ( pหรือไม่ใช่qเป็นจริง) และ (ไม่ใช่pหรือไม่ใช่qเป็นจริง)
การส่งออก	${\displaystyle ((p\land q)\to r)\models (p\to (q\to r))}$[ 110 ]	จาก (ถ้าpและqเป็นจริง แล้วrก็เป็นจริง) เราสามารถพิสูจน์ได้ว่า (ถ้าqเป็นจริง แล้วrก็เป็นจริง ถ้าpเป็นจริง)
การนำเข้า	${\displaystyle (p\to (q\to r))\models ((p\land q)\to r)}$[ 39 ]	ถ้าpแล้ว (ถ้าqแล้วr ) เทียบเท่ากับ ถ้าpและqแล้วr
ความเป็นอิสระของการแยก	${\displaystyle p}$⟚ [ 109 ]${\displaystyle (p\lor p)}$	pเป็นจริง เทียบเท่ากับpเป็นจริง หรือpเป็นจริง
ความไร้อำนาจของการเชื่อมโยง	${\displaystyle p}$⟚ [ 109 ]${\displaystyle (p\land p)}$	pเป็นจริง เทียบเท่ากับpเป็นจริง และpเป็นจริง
Tertium non datur (กฎแห่งการยกเว้นตรงกลาง)	${\displaystyle \models (p\lor \neg p)}$[ 35 ] [ 109 ]	pหรือไม่pเป็นจริง
กฎแห่งความไม่ขัดแย้ง	${\displaystyle \models \neg (p\land \neg p)}$[ 35 ] [ 109 ]	pและไม่ใช่pเป็นเท็จ เป็นข้อความที่เป็นจริง
การระเบิด	${\displaystyle (p\land \neg p)\models q}$[ 35 ]	pและไม่ใช่pดังนั้นq