ในเศรษฐศาสตร์สวัสดิการและทฤษฎีการเลือกทางสังคมฟังก์ชันสวัสดิการสังคม —เรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชันการจัดลำดับทางสังคม การจัดอันดับ อรรถประโยชน์ หรือการเลือก —คือฟังก์ชันที่จัดอันดับ ชุดสถานะทางสังคมตามความน่าปรารถนา ความชอบของแต่ละบุคคลจะถูกรวมเข้าด้วยกันในบางวิธีเพื่อกำหนดว่าผลลัพธ์ใดที่สังคมโดยรวมถือว่าดีกว่า^{[ 1 ]}อาจมองได้ว่าเป็นการทำให้แนวคิดเรื่องเจตจำนงทั่วไปของรุสโซ เป็นทางการทาง คณิตศาสตร์

นักเศรษฐศาสตร์ศึกษาฟังก์ชันสวัสดิการสังคมในฐานะวิธีการระบุการตัดสินใจที่เหมาะสมทางสังคม โดยให้ขั้นตอนในการกำหนดอย่างเข้มงวดว่าผลลัพธ์ใดในสองผลลัพธ์ควรได้รับการพิจารณาว่าดีกว่าสำหรับสังคมโดยรวม (เช่น เพื่อเปรียบเทียบการกระจายรายได้ ที่เป็นไปได้สองแบบที่แตกต่างกัน ) ^{[ 2 ]} รัฐบาล ประชาธิปไตยยังใช้ฟังก์ชันเหล่านี้ในการเลือกระหว่างตัวเลือกต่างๆ ในการเลือกตั้งโดยอิงตามความชอบของผู้มีสิทธิเลือกตั้ง ในบริบทนี้ ฟังก์ชันการเลือกทางสังคมมักถูกเรียกว่าระบบการเลือกตั้ง

แนวคิดเรื่องอรรถประโยชน์ทางสังคมนั้นคล้ายคลึงกับแนวคิดเรื่องฟังก์ชันอรรถประโยชน์ในการเลือกของผู้บริโภคอย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันสวัสดิการสังคมนั้นแตกต่างออกไปตรงที่เป็นการแมปฟังก์ชัน อรรถประโยชน์ ของแต่ละบุคคลไปยังผลลัพธ์เดียว ในลักษณะที่คำนึงถึงการตัดสินใจของทุกคนในสังคม ฟังก์ชันอรรถประโยชน์ทางสังคมสามารถแตกต่างกันไปตามการแบ่งส่วนการปกครองของสังคม เช่นระบบสหพันธรัฐการแบ่งแยกดินแดนหรือ การ รวมกลุ่มระดับภูมิภาค^{[ 3 ]}

นักเศรษฐศาสตร์ใช้แนวคิดเรื่องสวัสดิการสังคมที่แตกต่างกันสองแบบ:

• ฟังก์ชันการลงคะแนน แบบลำดับ (หรือการลงคะแนนแบบจัดอันดับ ) ใช้เฉพาะ ข้อมูล เชิงลำดับ เท่านั้น กล่าวคือ ข้อมูลที่ใช้ประเมินว่าตัวเลือกหนึ่งดีกว่าอีกตัวเลือกหนึ่งหรือไม่
• ฟังก์ชันการให้คะแนน แบบคาร์ดินัล (หรือการให้คะแนนแบบจัดอันดับ ) ก็ใช้ ข้อมูล แบบคาร์ดินัล เช่นกัน กล่าวคือ ข้อมูลว่าตัวเลือกหนึ่งดีกว่าอีกตัวเลือกหนึ่งมากน้อยเพียงใด

ทฤษฎีบทความเป็นไปไม่ได้ของแอร์โรว์เป็นผลลัพธ์สำคัญของฟังก์ชันสวัสดิการสังคม ซึ่งแสดงให้เห็นถึงความแตกต่างที่สำคัญระหว่างการเลือกทางสังคมและการเลือกของผู้บริโภค กล่าวคือ ในขณะที่สามารถสร้าง กระบวนการตัดสินใจ ที่มีเหตุผล (ไม่ขัดแย้งในตัวเอง) สำหรับผู้บริโภคโดยอาศัยเพียงลำดับความชอบได้ แต่เป็นไปไม่ได้ที่จะทำเช่นเดียวกันในบริบทของการเลือกทางสังคม ทำให้กระบวนการตัดสินใจตามลำดับความชอบดังกล่าวกลายเป็นทางเลือกที่ดีรองลงมา

นักเขียนบางท่านยังคงแยกแยะความแตกต่างระหว่างแนวคิดสามประการที่เกี่ยวข้องกันอย่างใกล้ชิดไว้ดังนี้:

1. ฟังก์ชัน การเลือกทางสังคมจะเลือกผลลัพธ์ที่ดีที่สุดเพียงหนึ่งเดียว (ผู้สมัครคนเดียวที่ชนะ หรือผู้สมัครหลายคนหากมีคะแนนเท่ากัน)
2. ฟังก์ชัน การจัดลำดับทางสังคมจะจัดอันดับผู้สมัครจากดีที่สุดไปแย่ที่สุด
3. ฟังก์ชัน การให้คะแนนทางสังคมจะกำหนดตัวเลขที่แสดงถึงคุณภาพของผู้สมัคร ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันการให้คะแนนทางสังคมมาตรฐานสำหรับการเลือกตั้งที่ได้คะแนนเสียงมากที่สุดเป็นอันดับแรกคือ จำนวนผู้มีสิทธิเลือกตั้งทั้งหมดที่จัดอันดับผู้สมัครคนนั้นเป็นอันดับแรก

ลำดับทางสังคมทุกแบบสามารถสร้างเป็นฟังก์ชันการเลือกได้โดยพิจารณาเฉพาะผลลัพธ์ที่มีอันดับสูงสุดเท่านั้น อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันการเลือกทางสังคมทุกแบบก็เป็นฟังก์ชันการจัดลำดับเช่นกัน การลบผลลัพธ์ที่ดีที่สุดออก แล้วหาผู้ชนะคนใหม่ จะได้ผู้เข้ารอบรองชนะเลิศซึ่งได้รับตำแหน่งที่สอง การทำซ้ำกระบวนการนี้จะให้การจัดอันดับที่สมบูรณ์ของผู้สมัครทั้งหมด^{[ 4 ]}

เนื่องจากความสัมพันธ์ที่ใกล้ชิดนี้ ฟังก์ชันทั้งสามประเภทจึงมักถูกเข้าใจผิดว่าเป็นสิ่งเดียวกันโดยการใช้คำศัพท์ที่ไม่ถูกต้อง

ลองพิจารณา การเลือกตั้ง แบบรันออฟทันทีระหว่างผู้สมัครกลุ่มท็อป กลุ่มกลาง และกลุ่มล่าง กลุ่มท็อปมีคะแนนเสียงเลือกอันดับแรกมากที่สุด กลุ่มล่างมีคะแนนเสียงเลือกอันดับแรกมากเป็นอันดับสอง และกลุ่มกลาง (ซึ่งอยู่ระหว่างสองกลุ่มนี้ ) มีคะแนนเสียงเลือกอันดับแรกน้อยที่สุด

ในระบบการลงคะแนนแบบตัดออกทันที ผู้สมัครอันดับต้น ๆ จะเป็นผู้ชนะ ผู้สมัครกลุ่มกลางจะถูกคัดออกในรอบแรก และคะแนนความชอบอันดับสองของพวกเขาจะถูกแบ่งเท่า ๆ กันระหว่างผู้สมัครอันดับต้น ๆ และผู้สมัครอันดับล่าง ทำให้ผู้สมัครอันดับต้น ๆ เป็นผู้ชนะในที่สุด

ในการหาผู้ที่ได้อันดับสอง เราจะหาผู้ชนะหากผู้ที่ได้อันดับสูงสุดไม่ได้ลงสมัคร ในกรณีนี้ การเลือกตั้งจะเป็นการแข่งขันระหว่างผู้ที่ได้อันดับกลางและผู้ที่ได้อันดับล่าง

(โปรดทราบว่าลำดับการจบการแข่งขันไม่เหมือนกับลำดับการถูกคัดออกในวิธีการคัดออกตามลำดับ : แม้ว่าพรรค Center จะถูกคัดออกเป็นพรรคแรก แต่ก็ยังเป็นผู้ที่ได้คะแนนรองลงมาในการเลือกตั้งครั้งนี้)

ในบทความปี 1938 อับรัม เบิร์กสันได้นำเสนอคำว่า " ฟังก์ชันสวัสดิการสังคม"โดยมีเจตนา "เพื่อระบุอย่างชัดเจนถึงการตัดสินคุณค่าที่จำเป็นสำหรับการหาเงื่อนไขของสวัสดิการทางเศรษฐกิจสูงสุด" ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันค่าจริงและสามารถหาอนุพันธ์ได้โดยมีวัตถุประสงค์เพื่ออธิบายสังคมโดยรวม ตัวแปรในฟังก์ชันประกอบด้วยปริมาณสินค้าต่างๆ ที่ผลิตและบริโภค รวมถึงทรัพยากรที่ใช้ในการผลิตสินค้าต่างๆ ซึ่งรวมถึงแรงงานด้วย

เงื่อนไขทั่วไปที่จำเป็นคือ ณ ค่าสูงสุดของฟังก์ชัน:

• มูลค่าสวัสดิการส่วนเพิ่มต่อดอลลาร์นั้นเท่ากันสำหรับแต่ละบุคคลและสำหรับสินค้าแต่ละชนิด
• ความ "เสียเปรียบ" ส่วนเพิ่มของแรงงานแต่ละดอลลาร์นั้นเท่ากันสำหรับสินค้าทุกชนิดที่ผลิตโดยผู้จัดหาแรงงานแต่ละราย
• ต้นทุนส่วนเพิ่มของทรัพยากรแต่ละหน่วยเท่ากับมูลค่าส่วนเพิ่มของผลผลิตสำหรับสินค้าแต่ละชนิด

เบอร์กสันแย้งว่าเศรษฐศาสตร์สวัสดิการได้อธิบายถึงมาตรฐานของประสิทธิภาพทางเศรษฐกิจ แม้ว่าจะละทิ้งอรรถประโยชน์เชิงปริมาณ ที่สามารถเปรียบเทียบได้ ระหว่างบุคคล ซึ่งการตั้งสมมติฐานดังกล่าวอาจเป็นเพียงการปกปิดการตัดสินคุณค่า และการตัดสินคุณค่าเหล่านั้นก็เป็นเพียงอัตวิสัยเท่านั้น

ทฤษฎีสวัสดิการแบบนีโอคลาสสิกในยุคแรก ซึ่งสืบทอดมาจากลัทธิอรรถประโยชน์ นิยมแบบคลาสสิก ของเบนแธมมัก มองว่า กฎของอรรถประโยชน์ส่วนเพิ่มที่ลดลงนั้นหมายถึงอรรถประโยชน์ที่เปรียบเทียบกันได้ระหว่างบุคคล โดยไม่คำนึงถึงความสามารถในการเปรียบเทียบดังกล่าว รายได้หรือความมั่งคั่งสามารถวัดได้ และโดยทั่วไปแล้วมักอนุมานว่าการกระจายรายได้จากคนรวยไปยังคนจนมีแนวโน้มที่จะเพิ่มอรรถประโยชน์รวม (ไม่ว่าจะวัดด้วยวิธีใด) ในสังคม แต่ใน ( 1935 , บทที่ VI) ไลโอเนล ร็อบบินส์แย้งว่า วิธีหรือจำนวนของอรรถประโยชน์ ซึ่งเป็นเหตุการณ์ทางจิต เปลี่ยนแปลงไปอย่างไรเมื่อเทียบกับกันและกันนั้น ไม่สามารถวัดได้ด้วยการทดสอบเชิงประจักษ์ใดๆ ดังนั้นจึงทำให้ไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นเท็จ เขาจึงปฏิเสธ ทฤษฎี ดังกล่าวว่าไม่สอดคล้องกับ พฤติกรรมนิยมเชิงปรัชญาของเขาเอง

Auxiliary specifications enable comparison of different social states by each member of society in preference satisfaction. These help define Pareto efficiency, which holds that if all alternatives have been exhausted, to put at least one person in a more preferred position with no one put in a less preferred position. Bergson described an "economic welfare increase" (later called a Pareto improvement) as at least one individual moving to a more preferred position with everyone else indifferent. The social welfare function could then be specified in a substantively individualistic sense to derive Pareto efficiency (optimality).

Paul Samuelson (2004, p. 26) noted that Bergson's function "could derive Pareto optimality conditions as necessary but not sufficient for defining interpersonal normative equity." Still, Pareto efficiency could also characterize one dimension of a particular social welfare function with distribution of commodities among individuals characterizing another dimension. As Bergson noted, a welfare improvement from the social welfare function could come from the "position of some individuals" improving at the expense of others. That social welfare function could then be described as characterizing an equity dimension.

Samuelson (1947, p. 221) himself stressed the flexibility of the social welfare function to characterize any one ethical belief, Pareto-bound or not, consistent with:

• A complete and transitive ranking (an ethically "better," "worse," or "indifferent" ranking) of all social alternatives, and
• One set out of an infinity of welfare indices and cardinal indicators to characterize the belief

As Samuelson (1983, p. xxii) noted, Bergson clarified how production and consumption efficiency conditions are distinct from the interpersonal ethical values of the social welfare function.

ซามูเอลสันได้ทำให้ความแตกต่างนั้นชัดเจนยิ่งขึ้นโดยการระบุฟังก์ชันสวัสดิการและฟังก์ชันความเป็นไปได้ (1947, หน้า 243–49) แต่ละฟังก์ชันมีชุดฟังก์ชันอรรถประโยชน์ของทุกคนในสังคมเป็นตัวแปร แต่ละฟังก์ชันสามารถ—และโดยทั่วไปก็ทำเช่นนั้น—รวมเอาประสิทธิภาพแบบพาเรโตไว้ด้วย ฟังก์ชันความเป็นไปได้ยังขึ้นอยู่กับเทคโนโลยีและข้อจำกัดของทรัพยากร มันถูกเขียนในรูปแบบโดยนัย ซึ่งสะท้อนถึงตำแหน่ง ที่เป็นไปได้ของชุดค่าผสมอรรถประโยชน์ที่กำหนดโดยข้อจำกัดและได้รับอนุญาตโดยประสิทธิภาพแบบพาเรโต ณ จุดใดจุดหนึ่งบนฟังก์ชันความเป็นไปได้ หากอรรถประโยชน์ของทุกคนยกเว้นคนเดียวถูกกำหนดแล้ว อรรถประโยชน์ของคนที่เหลือก็จะถูกกำหนดเช่นกัน ฟังก์ชันสวัสดิการจัดลำดับชุดอรรถประโยชน์สมมติที่แตกต่างกันสำหรับทุกคนในสังคมจากต่ำสุดทางจริยธรรมขึ้นไป (โดยอนุญาตให้มีค่าเท่ากันได้) กล่าวคือ มันทำการเปรียบเทียบอรรถประโยชน์ระหว่างบุคคล ดังนั้น การเพิ่มสวัสดิการให้สูงสุดจึงประกอบด้วยการเพิ่มฟังก์ชันสวัสดิการให้สูงสุดภายใต้ฟังก์ชันความเป็นไปได้เป็นข้อจำกัด เงื่อนไขการเพิ่มสวัสดิการให้สูงสุดแบบเดียวกันนี้เกิดขึ้นเช่นเดียวกับการวิเคราะห์ของเบิร์กสัน

หนังสือ ของ เคนเนธ แอร์โรว์ใน ปี 1963 แสดงให้เห็นถึงปัญหาของแนวทางดังกล่าว แม้ว่าเขาจะไม่ตระหนักถึงเรื่องนี้ในทันทีก็ตาม ในทำนองเดียวกัน เวอร์ชันของแอร์โรว์เกี่ยวกับฟังก์ชันสวัสดิการสังคม หรือที่เรียกว่า "รัฐธรรมนูญ" นั้น จะกำหนดลำดับความต้องการส่วนบุคคล ( ฟังก์ชันอรรถประโยชน์เชิงลำดับ ) สำหรับทุกคนในสังคมไปสู่ลำดับทางสังคม ซึ่งจัดอันดับสถานะทางสังคมทางเลือกต่างๆ เช่น ควรเลือกตั้งผู้สมัครคนใดในบรรดาผู้สมัครหลายคน

แอร์โรว์พบว่า ตรงกันข้ามกับข้อกล่าวอ้างของไลโอเนล ร็อบบินส์และนักพฤติกรรมศาสตร์ คนอื่นๆ การยกเลิกข้อกำหนดเรื่องลำดับทางสังคมที่มีค่าเป็นจำนวนจริง (และดังนั้นจึงเป็นจำนวนเชิงปริมาณ ) ทำให้ พฤติกรรม ที่มีเหตุผลหรือสอดคล้องกันในระดับสังคมเป็นไปไม่ได้ ผลลัพธ์นี้เป็นที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทความเป็นไปไม่ได้ของแอร์โรว์ทฤษฎีบทของแอร์โรว์แสดงให้เห็นว่า เป็นไปไม่ได้ที่ฟังก์ชันสวัสดิการสังคมเชิงลำดับจะสอดคล้องกับสัจพจน์มาตรฐานของพฤติกรรมที่มีเหตุผลซึ่งเรียกว่าความเป็นอิสระของทางเลือกที่ไม่เกี่ยวข้อง ตามสัจพจน์นี้ การเปลี่ยนแปลงค่าของผลลัพธ์หนึ่งไม่ควรส่งผลกระทบต่อทางเลือกที่ไม่เกี่ยวข้องกับผลลัพธ์นั้น ตัวอย่างเช่น หากลูกค้าซื้อแอปเปิลเพราะเขาชอบแอปเปิลมากกว่าบลูเบอร์รี่ การบอกเขาว่าเชอร์รี่กำลังลดราคาไม่ควรทำให้เขาซื้อบลูเบอร์รี่แทนแอปเปิล

ต่อมา จอห์น ฮาร์ซานยีได้เสริมความแข็งแกร่งให้กับผลลัพธ์นี้ โดยแสดงให้เห็นว่า หากสังคมต้องตัดสินใจภายใต้ความไม่แน่นอนฟังก์ชันสวัสดิการสังคมเพียงหนึ่งเดียวที่สอดคล้องกับความสอดคล้องและประสิทธิภาพแบบพาเรโต คือกฎอรรถประโยชน์นิยม

ฟังก์ชันสวัสดิการสังคมเชิงปริมาณคือ ฟังก์ชันที่รับค่าตัวเลขที่แสดงถึงอรรถประโยชน์ของแต่ละบุคคล (หรือที่เรียกว่าอรรถประโยชน์เชิงปริมาณ ) เป็นอินพุต และให้ผลลัพธ์เป็นค่าตัวเลขที่แสดงถึงสวัสดิการโดยรวม ข้อสมมติฐานพื้นฐานคือ อรรถประโยชน์ของแต่ละบุคคลสามารถนำมาเปรียบเทียบกันได้ในมาตราส่วนเดียวกัน ตัวอย่างของการวัดดังกล่าว ได้แก่อายุขัยเฉลี่ยหรือรายได้ต่อหัว

เพื่อวัตถุประสงค์ของมาตรานี้ รายได้จะถูกกำหนดให้เป็นตัววัดอรรถประโยชน์

รูปแบบของฟังก์ชันสวัสดิการสังคมมีจุดประสงค์เพื่อแสดงถึงเป้าหมายของสังคม

ฟังก์ชันสวัสดิการสังคม แบบอรรถประโยชน์นิยมหรือแบบเบนแธมนั้นวัดสวัสดิการสังคมโดยพิจารณาจากผลรวมของอรรถประโยชน์ส่วนบุคคล:

${\displaystyle W=\sum _{i=1}^{n}Y_{i}}$

โดยที่สวัสดิการสังคมและรายได้ของแต่ละบุคคลในสังคมคืออะไร ในกรณีนี้ การเพิ่มสวัสดิการสังคมให้สูงสุดหมายถึงการเพิ่มรายได้รวมของประชาชนในสังคมให้สูงสุด โดยไม่คำนึงถึงการกระจายรายได้ในสังคม และไม่แยกแยะระหว่างการโอนรายได้จากคนรวยไปสู่คนจนและในทางกลับกัน หากการโอนรายได้จากคนจนไปสู่คนรวยส่งผลให้ความพึงพอใจของคนรวยเพิ่มขึ้นมากกว่าความพึงพอใจของคนจนลดลง สังคมก็คาดว่าจะยอมรับการโอนดังกล่าว เพราะความพึงพอใจโดยรวมของสังคมเพิ่มขึ้น อีกทางหนึ่ง สวัสดิการของสังคมสามารถวัดได้ภายใต้ฟังก์ชันนี้โดยการหาค่าเฉลี่ยของรายได้แต่ละบุคคล: ${\displaystyle W}$${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle W={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}Y_{i}={\overline {Y}}}$

ในทางตรงกันข้าม ฟังก์ชันสวัสดิการสังคมแบบสูงสุด-ต่ำสุด หรือแบบรอว์ลส์ (ซึ่งอิงจากงานทางปรัชญาของจอห์น รอว์ลส์ ) วัดสวัสดิการสังคมของสังคมโดยรวมบนพื้นฐานของสวัสดิการของสมาชิกแต่ละคนที่ด้อยโอกาสที่สุดในสังคม:

${\displaystyle W=\min(Y_{1},Y_{2},\cdots ,Y_{n})}$

ในที่นี้ การเพิ่มสวัสดิภาพทางสังคมให้สูงสุด หมายถึงการเพิ่มรายได้ของบุคคลที่ยากจนที่สุดในสังคมให้สูงสุด โดยไม่คำนึงถึงรายได้ของบุคคลอื่น

ฟังก์ชันสวัสดิการสังคมทั้งสองนี้แสดงให้เห็นมุมมองที่แตกต่างกันอย่างมากเกี่ยวกับวิธีการจัดระเบียบสังคมเพื่อให้เกิดสวัสดิการสูงสุด โดยฟังก์ชันแรกเน้นรายได้รวม และฟังก์ชันที่สองเน้นความต้องการของผู้ด้อยโอกาสที่สุด ฟังก์ชันสวัสดิการแบบสูงสุด-ต่ำสุดสามารถมองได้ว่าสะท้อนถึงความไม่ชอบความไม่แน่นอนอย่างสุดขั้วของสังคมโดยรวม เนื่องจากฟังก์ชันนี้คำนึงถึงเฉพาะสภาวะที่เลวร้ายที่สุดที่สมาชิกในสังคมอาจเผชิญเท่านั้น

อมาร์ตยา เซนเสนอแนวคิดเรื่องหน้าที่ด้านสวัสดิการในปี 1973:

${\displaystyle W_{\mathrm {Gini} }={\overline {Y}}(1-G)}$

รายได้เฉลี่ยต่อหัวของกลุ่มที่วัด (เช่น ประเทศ) จะถูกคูณด้วย โดยที่คือดัชนี Giniซึ่งเป็นมาตรวัดความไม่เท่าเทียมกันเชิงสัมพัทธ์ ${\displaystyle (1-G)}$${\displaystyle G}$

เจมส์ อี. ฟอสเตอร์ (1996) เสนอให้ใช้ ดัชนีของ แอตกินสัน ตัวหนึ่ง ซึ่งเป็นการวัดเอนโทรปี เนื่องจากความสัมพันธ์ระหว่างการวัดเอนโทรปีของแอตกินสันกับดัชนีเธลฟังก์ชันสวัสดิการของฟอสเตอร์จึงสามารถคำนวณได้โดยตรงโดยใช้ดัชนีเธล-แอล:

${\displaystyle W_{\mathrm {Theil-L} }={\overline {Y}}\mathrm {e} ^{-T_{L}}}$

ค่าที่ได้จากฟังก์ชันนี้มีความหมายที่ชัดเจน มีรายได้หลายระดับที่บุคคลที่สุ่มเลือกจากประชากรที่มีการกระจายรายได้ไม่เท่ากันอาจได้รับ ฟังก์ชันสวัสดิการนี้แสดงถึงรายได้ที่บุคคลที่สุ่มเลือกนั้นมีแนวโน้มที่จะได้รับมากที่สุด เช่นเดียวกับค่ามัธยฐาน รายได้นี้จะน้อยกว่ารายได้เฉลี่ยต่อหัว

${\displaystyle W_{\mathrm {Theil-T} }={\overline {Y}}\mathrm {e} ^{-T_{T}}}$

ในที่นี้จะใช้ดัชนี Theil-T ค่าผกผันที่ได้จากฟังก์ชันนี้มีความหมายที่ชัดเจนเช่นกัน รายได้หนึ่งยูโรอาจอยู่ในกลุ่มรายได้หลายกลุ่ม โดยสุ่มเลือกจากผลรวมของรายได้ที่กระจายอย่างไม่เท่าเทียมกันทั้งหมด ฟังก์ชันสวัสดิการนี้บ่งชี้ถึงกลุ่มรายได้ที่ยูโรที่สุ่มเลือกมานั้นมีแนวโน้มที่จะอยู่ในมากที่สุด ค่าผกผันของฟังก์ชันนั้นจะมีค่ามากกว่ารายได้เฉลี่ยต่อหัว

สมมติว่าเราได้รับความสัมพันธ์ความชอบRบนโปรไฟล์อรรถประโยชน์Rเป็นลำดับรวม ที่อ่อนแอ ของโปรไฟล์อรรถประโยชน์ ซึ่งสามารถบอกเราได้ว่า เมื่อกำหนดโปรไฟล์อรรถประโยชน์สองโปรไฟล์ใดๆ โปรไฟล์ทั้งสองนั้นไม่แตกต่างกัน หรือโปรไฟล์หนึ่งดีกว่าอีกโปรไฟล์หนึ่ง ลำดับความชอบที่สมเหตุสมผลควรเป็นไปตามสัจพจน์หลายประการ: ^{[ 5 ] : 66–69}

1. ความเป็นเอกรูป (Monotonicity ): หากอรรถประโยชน์ของบุคคลหนึ่งเพิ่มขึ้นในขณะที่อรรถประโยชน์ของบุคคลอื่นยังคงเท่าเดิม Rควรเลือกโปรไฟล์ที่สองอย่างชัดเจน ตัวอย่างเช่น ควรเลือกโปรไฟล์ (1, 4, 4, 5) มากกว่า (1, 2, 4, 5) การเปลี่ยนแปลงเช่นนี้เรียกว่า การปรับปรุงแบบพาเรโต (Pareto improvement )
2. ความสมมาตร :การเรียงลำดับใหม่หรือการติดป้ายกำกับใหม่ให้กับค่าต่างๆ ในโปรไฟล์อรรถประโยชน์ไม่ควรเปลี่ยนแปลงผลลัพธ์ของ Rหลักการนี้เป็นการกำหนดแนวคิดที่ว่าทุกคนควรได้รับการปฏิบัติอย่างเท่าเทียมกันในสังคม ตัวอย่างเช่น Rควรจะไม่มีความแตกต่างระหว่าง (1, 4, 4, 5) และ (5, 4, 4, 1) เนื่องจากโปรไฟล์เหล่านี้เป็นการเรียงลำดับใหม่ของกันและกัน
3. ความต่อเนื่อง : สำหรับทุกโปรไฟล์vเซตของโปรไฟล์ที่ดีกว่าv เล็กน้อย และเซตของโปรไฟล์ที่แย่กว่าv เล็กน้อย เป็นเซตปิด
4. ความเป็นอิสระจากตัวแทนที่ไม่เกี่ยวข้อง: Rควรเป็นอิสระจากบุคคลที่มีอรรถประโยชน์ไม่เปลี่ยนแปลง ตัวอย่างเช่น หากRชอบ (2, 2, 4) มากกว่า (1, 3, 4) มันก็จะชอบ (2, 2, 9) มากกว่า (1, 3, 9) ด้วยเช่นกัน อรรถประโยชน์ของตัวแทนที่ 3 ไม่ควรส่งผลกระทบต่อการเปรียบเทียบระหว่างโปรไฟล์อรรถประโยชน์ของตัวแทนที่ 1 และ 2 คุณสมบัตินี้อาจเรียกว่าความเป็นท้องถิ่นหรือความสามารถในการแยกออกจากกันได้มันช่วยให้เราสามารถจัดการปัญหาการจัดสรรในลักษณะเฉพาะที่ และแยกมันออกจากการจัดสรรในส่วนที่เหลือของสังคม

ความสัมพันธ์ความชอบทุกแบบที่มีคุณสมบัติ 1–4 สามารถแสดงได้ด้วยฟังก์ชันซึ่งเป็นผลรวมในรูปแบบ: ${\displaystyle W}$

${\displaystyle W(u_{1},\dots ,u_{n})=\sum _{i=1}^{n}w(u_{i})}$

โดยที่เป็นฟังก์ชันเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง ${\displaystyle W}$

การเพิ่มสัจพจน์อีกหนึ่งข้อ—การไม่มีอยู่ของหนังสือแบบดัตช์หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ การเลือกทางสังคมเป็นไปตามสัจพจน์ของการเลือกอย่างมีเหตุผล —หมายความว่า ฟังก์ชันการเลือกทางสังคมจะต้องเป็นกฎของอรรถประโยชน์ —กล่าวคือ ฟังก์ชันการถ่วงน้ำหนักจะต้องเท่ากับฟังก์ชันอรรถประโยชน์ของแต่ละบุคคล ผลลัพธ์นี้เรียกว่าทฤษฎีบทอรรถประโยชน์ของฮาร์ซานยีตามทฤษฎีบทของฮาร์ซานยี ฟังก์ชันการเลือกทางสังคมที่ไม่ใช่อรรถประโยชน์ใดๆ จะไม่สอดคล้องกัน กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ มันจะเห็นด้วยกับการเดิมพันบางอย่างที่สมาชิกทุกคนในสังคมคัดค้านอย่างเป็นเอกฉันท์ อย่างไรก็ตาม ยังคงสามารถกำหนดคุณสมบัติของฟังก์ชันดังกล่าวได้ ${\displaystyle w(u)}$

แทนที่จะกำหนดพฤติกรรมที่มีเหตุผลให้กับฟังก์ชันอรรถประโยชน์ทางสังคม เราอาจกำหนดเกณฑ์ที่อ่อนกว่าที่เรียกว่าความเป็นอิสระของมาตราส่วนร่วม : ความสัมพันธ์ระหว่างโปรไฟล์อรรถประโยชน์สองแบบจะไม่เปลี่ยนแปลงหากทั้งสองแบบถูกคูณด้วยค่าคงที่เดียวกัน ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันอรรถประโยชน์ไม่ควรขึ้นอยู่กับว่าเราวัดรายได้เป็นเซนต์หรือดอลลาร์

ถ้าความสัมพันธ์ความชอบมีคุณสมบัติข้อ 1–5 ฟังก์ชันwจะต้องเป็นฟังก์ชันไอโซอีลาสติก :

${\displaystyle {\frac {c^{1-\eta }-1}{1-\eta }}}$

ครอบครัวนี้มีสมาชิกที่คุ้นเคยอยู่บ้าง:

• ขีดจำกัด ของ การเรียงลำดับเลกซิมินคือ อะไร${\displaystyle \eta \to -\infty }$
• เพราะเราได้วิธีการต่อรองแบบแนช ซึ่งก็คือการเพิ่มผลคูณของประโยชน์ใช้สอยให้สูงสุด${\displaystyle \eta =0}$
• เพราะเราได้ ฟังก์ชันสวัสดิการตามหลัก อรรถประโยชน์นิยมซึ่งก็คือการเพิ่มผลรวมของอรรถประโยชน์ให้สูงสุด${\displaystyle \eta =1}$
• ขีดจำกัดของการเรียงลำดับแบบเลกซิแม็กซ์คือ อะไร${\displaystyle \eta \to \infty }$

ถ้าเราต้องการหลักการของ Pigou–Dalton (ที่ว่าความไม่เท่าเทียมกันไม่ใช่สิ่งที่ดีในเชิงบวก) แล้วในกลุ่มข้างต้นจะต้องมีค่าอย่างมากที่สุดเพียง 1 เท่านั้น ${\displaystyle \eta }$