ในทางคณิตศาสตร์ระบบพิกัดทรงกลมระบุจุดที่กำหนดในปริภูมิสามมิติโดยใช้ระยะทางและมุมสองมุมเป็นพิกัด ทั้งสาม ได้แก่ ระยะทาง มุม และ มุม

• ระยะทางรัศมีrตามแนวเส้นตรงที่เชื่อมจุดหนึ่งกับจุดคงที่ที่เรียกว่าจุดกำเนิด ;
• มุมเชิงขั้วθระหว่างเส้นรัศมีนี้กับแกนเชิงขั้ว ที่กำหนด ; ^{[ a ]} ​​และ
• มุมอะซิมุทัลφซึ่งเป็นมุมการหมุนของเส้นรัศมีรอบแกนขั้วโลก^{[ b ]}

(ดูภาพประกอบเกี่ยวกับ "อนุสัญญาทางฟิสิกส์")

เมื่อกำหนดรัศมีแล้ว พิกัดทั้งสาม ( r , θ , φ ) ซึ่งเรียกว่า 3- tupleจะให้ระบบพิกัดบนทรงกลมซึ่งโดยทั่วไปเรียกว่าพิกัดเชิงขั้วทรงกลมระนาบที่ผ่านจุดกำเนิดและตั้งฉากกับแกนเชิงขั้ว (โดยที่มุมเชิงขั้วเป็นมุมฉาก ) เรียกว่าระนาบอ้างอิง (บางครั้ง เรียกว่า ระนาบพื้นฐาน )

ระยะทางรัศมีจากจุดกำเนิดคงที่เรียกว่ารัศมีหรือเส้นรัศมีหรือพิกัดรัศมี มุมเชิงขั้วอาจเรียกว่ามุมเอียงมุมสูงสุด มุมปกติหรือมุมละติจูดร่วมผู้ใช้สามารถเลือกที่จะแทนที่มุมเอียงด้วยมุมตรงข้าม คือมุมเงย (หรือมุมระดับความสูง ) ซึ่งวัดขึ้นไปจากระนาบอ้างอิงไปยังเส้นรัศมี กล่าวคือ จากระนาบอ้างอิงขึ้นไป (ไปทางแกน z บวก) ไปยังเส้นรัศมี มุมกดลงคือค่าลบของมุมเงย(ดูภาพประกอบเกี่ยวกับ "ข้อตกลงทางฟิสิกส์" ไม่ใช่ "ข้อตกลงทางคณิตศาสตร์")

การใช้สัญลักษณ์และลำดับการตั้งชื่อพิกัดทูเพิลนั้นแตกต่างกันไปตามแหล่งข้อมูลและสาขาวิชาต่างๆ บทความนี้จะใช้แบบแผน ISO ^{[ 1 ]}ที่พบได้บ่อยในวิชาฟิสิกส์โดยที่ทูเพิลการตั้งชื่อจะกำหนดลำดับดังนี้: ระยะทางรัศมี มุมเชิงขั้ว มุมอะซิมุท หรือ(ดูภาพประกอบเกี่ยวกับ "แบบแผนทางฟิสิกส์") ในทางตรงกันข้าม แบบแผนในหนังสือและตำราคณิตศาสตร์หลายเล่มจะกำหนดลำดับการตั้งชื่อที่แตกต่างกันออกไป เช่น ระยะทางรัศมี "มุมอะซิมุท" "มุมเชิงขั้ว" และหรือ—ซึ่งสลับการใช้งานและความหมายของสัญลักษณ์ θ และ φ อาจมีการใช้แบบแผนอื่นๆ ด้วย เช่นrสำหรับรัศมีจาก แกน zที่ไม่ได้มาจากจุดกำเนิด ต้องใช้ความระมัดระวังเป็นพิเศษในการตรวจสอบความหมายของสัญลักษณ์ ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$${\displaystyle (\rho ,\theta ,\varphi )}$${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$

ตามหลักการของระบบพิกัดทางภูมิศาสตร์ตำแหน่งจะวัดโดยใช้ละติจูด ลองจิจูด และความสูง (ระดับความสูง) มีระบบพิกัดท้องฟ้า หลายระบบ ที่ใช้ระนาบพื้นฐาน ต่างกัน และมีคำศัพท์ที่แตกต่างกันสำหรับพิกัดต่างๆ ระบบพิกัดทรงกลมที่ใช้ในคณิตศาสตร์โดยปกติจะใช้เรเดียนแทนองศา (หมายเหตุ 90 องศาเท่ากับπ / 2เรเดียน) และระบบเหล่านี้ตาม หลักการทางคณิตศาสตร์อาจวัดมุมอะซิมุททวนเข็ม นาฬิกา (เช่น จากทิศใต้ตาม แกน xหรือ 180° ไปทางทิศตะวันออกตาม แกน yหรือ +90°) แทนที่จะวัดตามเข็มนาฬิกา (เช่น จากทิศเหนือตามแกน x หรือ 0° ไปทางทิศตะวันออกตามแกน y หรือ +90°) เหมือนในระบบพิกัดแนวนอน [ ^{2 ] (ดูภาพประกอบเกี่ยวกับ "หลักการ ทาง}คณิตศาสตร์")

ระบบพิกัดทรงกลมตามแบบแผนทางฟิสิกส์สามารถมองได้ว่าเป็นการขยายความของระบบพิกัดเชิงขั้วในปริภูมิสามมิติและ สามารถขยายต่อไปยังปริภูมิที่มีมิติสูงกว่าได้ โดยจะเรียกว่าระบบพิกัดไฮเปอร์ทรงกลม

ในการกำหนดระบบพิกัดทรงกลม จำเป็นต้องกำหนด จุด กำเนิดในอวกาศOและทิศทางตั้งฉากสองทิศทาง ได้แก่ ทิศทางอ้างอิง จุด สูงสุด (zenith reference direction) และ ทิศทาง อ้างอิงมุมราบ (azimuth reference direction) การเลือกเหล่านี้จะกำหนดระนาบอ้างอิง ซึ่งโดยทั่วไปจะกำหนดให้ประกอบด้วยจุดกำเนิดและแกน x และแกน yโดยที่แกนใดแกนหนึ่งอาจกำหนดให้เป็น ทิศทาง อ้างอิงมุมราบได้ระนาบอ้างอิงจะตั้งฉาก (orthogonal) กับทิศทางจุดสูงสุด และโดยทั่วไปจะกำหนดให้เป็น "แนวนอน" เมื่อเทียบกับ "แนวตั้ง" ของทิศทางจุดสูงสุด พิกัดทรงกลมของจุดPจึงถูกกำหนดดังนี้:

• รัศมีหรือระยะทางเชิงรัศมีคือระยะทางแบบยุคลิดจากจุดกำเนิดOไปยังจุดP
• มุมเอียง (หรือมุมเชิงขั้ว ) คือมุมที่มีเครื่องหมายจากทิศทางอ้างอิงจุดสูงสุดไปยังส่วนของเส้นตรงOP ( อาจใช้มุมเงย เป็นมุมเชิงขั้วแทน มุมเอียง ได้ โปรดดูรายละเอียดด้านล่าง)
• มุมอะซิมุธ (หรือมุมอะซิมุธัล ) คือมุมที่มีเครื่องหมายซึ่งวัดจาก ทิศทาง อ้างอิงอะซิมุธไปยังการฉายภาพตั้งฉากของส่วนของเส้นตรงรัศมีOPบนระนาบอ้างอิง

เครื่องหมายของมุมอะซิมุธถูกกำหนดโดยการระบุทิศทางการหมุน ซึ่งเป็น ทิศทาง บวกของการหมุนรอบจุดสูงสุด การเลือกนี้เป็นไปโดยพลการ และเป็นส่วนหนึ่งของคำจำกัดความของระบบพิกัด (ถ้าความเอียงเป็นศูนย์หรือ 180 องศา (= πเรเดียน) มุมอะซิมุธจะเป็นไปโดยพลการ ถ้าหากรัศมีเป็นศูนย์ ทั้งมุมอะซิมุธและความเอียงจะเป็นไปโดยพลการ)

มุมเงย คือ มุมที่มีเครื่องหมายจากระนาบอ้างอิง xy ไปยังส่วนของเส้นตรงรัศมีOPโดยมุมบวกหมายถึงมุมขึ้นไปยังจุดอ้างอิงสูงสุดมุมเงยคือ 90 องศา (= ⁠π/2⁠เรเดียน) ลบด้วยความเอียงดังนั้น ถ้าความเอียงคือ 60 องศา (= ⁠π/3ถ้าเป็น เรเดียนมุมเงยจะเป็น 30 องศา (= ⁠π/6(เรเดียน)

ในพีชคณิตเชิงเส้นเวกเตอร์จากจุดกำเนิดOไปยังจุดPมักเรียกว่า เวก เตอร์ ตำแหน่งของP

มีข้อกำหนดที่แตกต่างกันหลายแบบสำหรับการแสดงพิกัดทรงกลมและการกำหนดลำดับการตั้งชื่อสัญลักษณ์ ชุดตัวเลข 3 ตัวแสดงถึงระยะทางรัศมี มุมเชิงขั้ว—"มุมเอียง" หรืออีกนัยหนึ่งคือ "มุมเงย"—และมุมอะซิมุท นี่เป็นวิธีปฏิบัติทั่วไปในข้อกำหนดทางฟิสิกส์ ตามที่ระบุไว้ในมาตรฐานISO 80000-2:2019และก่อนหน้านี้ในISO 31-11 (1992) ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$

ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น บทความนี้อธิบายถึง "ข้อกำหนดทางฟิสิกส์" ของ ISO เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น

อย่างไรก็ตาม ผู้เขียนบางคน (รวมถึงนักคณิตศาสตร์) ใช้สัญลักษณ์ρ (โร) แทนรัศมี หรือระยะทางเชิงรัศมีφแทนความเอียง (หรือระดับความสูง) และθแทนมุมอะซิมุธ ในขณะที่คนอื่นๆ ยังคงใช้rแทนรัศมี ซึ่งทั้งหมดนี้ "เป็นการขยายเชิงตรรกะของสัญลักษณ์พิกัดเชิงขั้วแบบปกติ" ^{[ 3 ]}สำหรับลำดับ ผู้เขียนบางคนระบุมุมอะซิมุธก่อนมุมเอียง (หรือมุมระดับความสูง) การรวมกันของตัวเลือกเหล่านี้บางอย่างส่งผลให้เกิด ระบบพิกัด มือซ้ายชุด 3-tuple "ตามแบบแผนทางฟิสิกส์" มาตรฐาน ขัดแย้งกับสัญลักษณ์ปกติสำหรับ พิกัดเชิงขั้วสองมิติ และ พิกัดทรงกระบอกสามมิติซึ่งมักใช้θ แทนมุมอะซิมุธ ^{[ 3 ]}${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$

โดยทั่วไปมุมจะวัดเป็นองศา (°) หรือเรเดียน (rad) โดยที่ 360° = 2 π rad การใช้องศาเป็นเรื่องปกติในทางภูมิศาสตร์ ดาราศาสตร์ และวิศวกรรม ในขณะที่เรเดียนมักใช้ในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์เชิงทฤษฎีหน่วยของระยะทางรัศมีมักถูกกำหนดโดยบริบท เช่นเดียวกับการประยุกต์ใช้ "ทรงกลมหน่วย" ดูที่หัวข้อการประยุกต์ใช้

เมื่อใช้ระบบนี้ในการกำหนดพื้นที่สามมิติทางกายภาพ มักจะกำหนดให้มุมอะซิมุธเป็นค่าบวก โดยวัดใน ทิศทาง ทวน เข็มนาฬิกา จากทิศทางอ้างอิงบนระนาบอ้างอิง—เมื่อมองจากด้าน "จุดสูงสุด" ของระนาบ ธรรมเนียมนี้ใช้โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับพิกัดทางภูมิศาสตร์ ซึ่งทิศทาง "จุดสูงสุด" คือทิศเหนือและมุมอะซิมุธ (ลองจิจูด) ที่เป็นบวกจะวัดไปทางทิศตะวันออกจากเส้นเมริเดียนหลัก บาง เส้น

หมายเหตุ: ทิศตะวันออก ( E ), ทิศเหนือ ( N ) , ทิศขึ้น ( U ) ในกรณีของ( U , S , E ) มุม อะซิมุธท้องถิ่นจะวัดทวนเข็ม นาฬิกา จากทิศใต้ไปยังทิศตะวันออก

ชุดพิกัดทรงกลมสามตัว (หรือสองตัว) ใดๆระบุจุดเดียวในปริภูมิสามมิติ ในทางกลับกัน จุดเดียวใดๆ ก็มีพิกัดทรงกลมที่เทียบเท่ากันได้เป็นอนันต์ นั่นคือ ผู้ใช้สามารถเพิ่มหรือลบจำนวนรอบเต็มใดๆ ก็ได้ให้กับค่าเชิงมุมโดยไม่เปลี่ยนแปลงมุมเหล่านั้น และด้วยเหตุนี้จึงไม่เปลี่ยนแปลงจุด ในหลายบริบท การใช้ระยะทางรัศมีติดลบเป็นเรื่องสะดวก โดยมีธรรมเนียมว่าซึ่งเทียบเท่ากับหรือสำหรับr , θและφ ใดๆ ยิ่งไปกว่านั้นยังเทียบเท่ากับด้วย ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$${\displaystyle (-r,\theta ,\varphi )}$${\displaystyle (r,\theta {+}180^{\circ },\varphi )}$${\displaystyle (r,180^{\circ }{-}\theta ,\varphi {+}180^{\circ })}$${\displaystyle (r,-\theta ,\varphi )}$${\displaystyle (r,\theta ,\varphi {+}180^{\circ })}$

เมื่อจำเป็นต้องกำหนดชุดพิกัดทรงกลมที่ไม่ซ้ำกันสำหรับแต่ละจุด ผู้ใช้ต้องจำกัดช่วง หรือช่วงห่างของแต่ละพิกัด ตัวเลือกที่นิยมใช้คือ:

แต่แทนที่จะใช้ช่วง[0°, 360°)ค่ามุมอะซิมุธφมักจะถูกจำกัดไว้ที่ช่วงครึ่งเปิด(−180°, +180°]หรือ(−π , + π ]เรเดียน ซึ่งเป็นแบบแผนมาตรฐานสำหรับลองจิจูดทางภูมิศาสตร์

สำหรับมุมเชิงขั้วθช่วง (ระยะ) ของความเอียงคือ[0°, 180°]ซึ่งเทียบเท่ากับช่วง (ระยะ) ของระดับความสูง[−90°, +90°]ในทางภูมิศาสตร์ ละติจูดก็คือระดับความสูงนั่นเอง

ถึงแม้จะมีข้อจำกัดเหล่านี้แล้วก็ตาม หากมุมเชิงขั้ว (ความเอียง) เป็น 0° หรือ 180°—มุมเงยเป็น −90° หรือ +90°—มุมอะซิมุธก็จะเป็นค่าใดๆ ก็ได้ และหากrเป็นศูนย์ ทั้งมุมอะซิมุธและมุมเชิงขั้วก็จะเป็นค่าใดๆ ก็ได้ ในการกำหนดพิกัดให้เป็นค่าที่ไม่ซ้ำกัน ผู้ใช้สามารถกำหนดข้อตกลงว่า (ในกรณีเหล่านี้) พิกัดที่เป็นค่าใดๆ ก็ได้จะถูกตั้งค่าเป็นศูนย์

ในการพล็อตจุดใดๆ จากพิกัดทรงกลม( r , θ , φ )โดยที่θคือมุมเอียง ผู้ใช้จะต้อง: เคลื่อนที่rหน่วยจากจุดกำเนิดในทิศทางอ้างอิงจุดสูงสุด (แกน z); จากนั้นหมุนด้วยมุมอะซิมุธ ( φ ) รอบจุดกำเนิด จาก ทิศทาง อ้างอิงอะซิมุธที่กำหนด(เช่น แกน x หรือแกน y ดูคำจำกัดความด้านบน); และจากนั้นหมุนจากแกน z ด้วยมุม θ

เช่นเดียวกับ ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสองมิติที่มีประโยชน์—และมีการใช้งานที่หลากหลาย—บนพื้นผิวระนาบ ระบบพิกัดทรงกลมสองมิติก็มีประโยชน์บนพื้นผิวของทรงกลมเช่นกัน ตัวอย่างเช่น ทรงกลมหนึ่งที่อธิบายในพิกัดคาร์ทีเซียนด้วยสมการ x² + y² + z² = c² ^{สามารถ}อธิบาย ในพิกัดทรงกลมได้ด้วยสม^การง่ายๆr ⁼ c (ในระบบนี้— ^ที่แสดงไว้ที่นี่ตามแบบแผนทางคณิตศาสตร์ —ทรงกลมถูกปรับให้เป็นทรงกลมหน่วยโดยที่รัศมีถูกกำหนดให้เป็นหนึ่งและโดยทั่วไปสามารถละเลยได้ ดูภาพประกอบ)

การลดรูป (ทรงกลมหน่วย) นี้ยังมีประโยชน์เมื่อต้องจัดการกับวัตถุต่างๆ เช่นเมทริกซ์การหมุนพิกัดทรงกลมยังมีประโยชน์ในการวิเคราะห์ระบบที่มีสมมาตรบางส่วนรอบจุดหนึ่ง รวมถึง: ปริมาตรอินทิกรัลภายในทรงกลม; สนามพลังงานศักย์ที่ล้อมรอบมวลหรือประจุที่มีความเข้มข้น; หรือการจำลองสภาพอากาศทั่วโลกในชั้นบรรยากาศของดาวเคราะห์

การสร้างแบบจำลองสามมิติของ รูปแบบการกระจายเสียง ของลำโพงสามารถใช้ในการทำนายประสิทธิภาพของลำโพงได้ จำเป็นต้องมีการสร้างกราฟแสดงการกระจายเสียงหลายจุดในช่วงความถี่ที่หลากหลาย เนื่องจากรูปแบบการกระจายเสียงเปลี่ยนแปลงไปอย่างมากตามความถี่ กราฟแสดงการกระจายเสียงช่วยแสดงให้เห็นว่าลำโพงหลายตัวมีแนวโน้มที่จะกระจายเสียงรอบทิศทางในช่วงความถี่ต่ำ

การ ประยุกต์ใช้พิกัดทรงกลมที่สำคัญอย่างหนึ่งคือการแยกตัวแปรในสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยสองสมการได้แก่สมการลาปลาสและสมการเฮล์มโฮลทซ์ซึ่งเกิดขึ้นในปัญหาทางฟิสิกส์หลายอย่าง ส่วนเชิงมุมของคำตอบของสมการดังกล่าวจะอยู่ในรูปแบบของฮาร์มอนิกทรงกลม การประยุกต์ใช้อีกอย่างหนึ่งคือ การออกแบบตามหลักสรีรศาสตร์โดยที่rคือความยาวแขนของบุคคลที่อยู่นิ่ง และมุมต่างๆ อธิบายทิศทางของแขนขณะที่ยื่นออกไป ระบบพิกัดทรงกลมยังใช้กันทั่วไปในการพัฒนาเกม 3 มิติ เพื่อหมุนกล้องรอบตำแหน่งของผู้เล่น^{[ 4 ]}

แทนที่จะใช้ค่าความเอียงระบบพิกัดทางภูมิศาสตร์ใช้ค่ามุมเงย (หรือละติจูด ) ในช่วง (หรือโดเมน ) −90° ≤ φ ≤ 90°และหมุนไปทางเหนือจาก ระนาบ เส้นศูนย์สูตรละติจูด (เช่นมุมของละติจูด) อาจเป็นละติจูดแบบศูนย์กลางโลกซึ่งวัด (หมุน) จากศูนย์กลางของโลก และกำหนดด้วยสัญลักษณ์ต่างๆ เช่นψ , q , φ ′, φc , φgหรือละติจูดแบบธรณีวิทยา ซึ่งวัด (หมุน) จาก แนวตั้งท้องถิ่นของผู้สังเกตและโดยทั่วไปกำหนดด้วยφมุมขั้วโลก (ความเอียง) ซึ่งคือ 90° ลบด้วยละติจูด และมีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 180° เรียกว่าโคลาติจูด_{ในทาง}ภูมิศาสตร์

มุมอะซิมุธ (หรือลองจิจูด ) ของตำแหน่งใด ๆ บนโลก ซึ่งโดยทั่วไปใช้สัญลักษณ์λนั้น วัดเป็นองศาทางทิศตะวันออกหรือทิศตะวันตกจากเส้นเมริเดียน อ้างอิงมาตรฐาน (โดยทั่วไป คือ เส้นเมริเดียนอ้างอิง IERS ) ดังนั้นช่วง (หรือขอบเขต) ของมันคือ−180° ≤ λ ≤ 180°และค่าที่วัดได้มักจะระบุว่า "ตะวันออก" หรือ "ตะวันตก" สำหรับตำแหน่งบนโลก หรือ วัตถุท้องฟ้าที่เป็นของแข็งอื่น ๆระนาบอ้างอิงมักจะถือเป็นระนาบที่ตั้งฉากกับแกน หมุน

แทนที่จะใช้ระยะทางรัศมีนักภูมิศาสตร์มักใช้ระดับความสูงเหนือหรือใต้พื้นผิวอ้างอิงท้องถิ่น ( ระดับอ้างอิงแนวตั้ง ) ซึ่งอาจเป็น ระดับน้ำทะเลเฉลี่ยตัวอย่างเช่นเมื่อจำเป็น สามารถคำนวณระยะทางรัศมีได้จากระดับความสูงโดยการบวกด้วยรัศมีของโลกซึ่งมีค่าประมาณ 6,360 ± 11 กิโลเมตร (3,952 ± 7 ไมล์)

อย่างไรก็ตาม ระบบพิกัดทางภูมิศาสตร์สมัยใหม่ค่อนข้างซับซ้อน และตำแหน่งที่ได้จากสูตรอย่างง่ายเหล่านี้อาจคลาดเคลื่อนไปหลายกิโลเมตร ความหมายมาตรฐานที่แม่นยำของละติจูด ลองจิจูดและระดับความสูงในปัจจุบันถูกกำหนดโดยระบบพิกัดทางภูมิศาสตร์โลก (WGS) ซึ่งคำนึงถึงความแบนราบของโลกบริเวณขั้วโลก (ประมาณ 21 กิโลเมตร หรือ 13 ไมล์) และรายละเอียดอื่นๆ อีกมากมาย

ระบบพิกัดดาวเคราะห์ใช้สูตรที่คล้ายคลึงกับระบบพิกัดทางภูมิศาสตร์

มีการใช้ ระบบพิกัดทางดาราศาสตร์หลายระบบเพื่อวัดมุมเงยจากระนาบพื้นฐาน หลาย ระนาบ ระนาบอ้างอิงเหล่านี้ได้แก่ขอบฟ้า ของผู้สังเกตการณ์ เส้นศูนย์สูตรกาแล็กซี (กำหนดโดยการหมุนของทางช้างเผือก ) เส้นศูนย์สูตรท้องฟ้า (กำหนดโดยการหมุนของโลก ) ระนาบสุริย วิถี (กำหนดโดยวงโคจรของโลกรอบดวงอาทิตย์ ) และระนาบเส้นแบ่ง กลางวันกลางคืนของโลก (ตั้งฉากกับทิศทางทันทีไปยังดวงอาทิตย์ )

เนื่องจากระบบพิกัดทรงกลมเป็นเพียงหนึ่งในระบบพิกัดสามมิติหลายระบบ จึงมีสมการสำหรับการแปลงพิกัดระหว่างระบบพิกัดทรงกลมและระบบพิกัดอื่นๆ

พิกัดทรงกลมของจุดในระบบพิกัด ISO (เช่น ในทางฟิสิกส์: รัศมี r , มุมเอียง θ , มุมอะซิมุธ φ ) สามารถหาได้จากพิกัดคาร์ทีเซียน( x , y , z )โดยใช้สูตรต่อไปนี้

$${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\theta &=\arccos {\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}=\arccos {\frac {z}{r}}={\begin{cases}\arctan {\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}&{\text{if }}z>0\\\pi +\arctan {\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}&{\text{if }}z<0\\+{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}z=0{\text{ และ }}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\neq 0\\{\text{undefined}}&{\text{if }}x=y=z=0\\\end{cases}}\\\varphi &=\operatorname {sgn}(y)\arccos {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\text{if }}x>0,\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0,\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y<0,\\+{\frac {\pi }{2}}&{\text{ถ้า }}x=0{\text{ และ }}y>0,\\-{\frac {\pi }{2}}&{\text{ถ้า }}x=0{\text{ และ }}y<0,\\{\text{ไม่นิยาม}}&{\text{ถ้า }}x=0{\text{ และ }}y=0.\end{cases}}\end{aligned}}}$$ โดยที่sgn(0) = 1ค่าแทนเจนต์ผกผันแสดงด้วยφ = arctan ⁠y/x⁠จะต้องได้รับการกำหนดอย่างเหมาะสม โดยคำนึงถึงควอดแรนต์ที่ถูกต้องของ( x , y )ดังที่ทำในสมการข้างต้น ดูบทความเกี่ยวกับ atan2

อีกทางเลือกหนึ่ง การแปลงสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นการแปลงจากรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นรูปเชิงขั้ว สองครั้งต่อเนื่อง กัน ครั้งแรกในระนาบคาร์ทีเซียนxyจาก( x , y )ไปยัง( R , φ )โดยที่Rคือการฉายภาพของrลงบน ระนาบ xyและครั้งที่สองในระนาบคาร์ทีเซียนzRจาก( z , R )ไปยัง( r , θ )ควอดแรนต์ที่ถูกต้องสำหรับφและθนั้นได้มาจากความถูกต้องของการแปลงจากรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าในระนาบเป็นรูปเชิงขั้ว

สูตรเหล่านี้ตั้งอยู่บนสมมติฐานว่าระบบทั้งสองมีจุดกำเนิดเดียวกัน ระนาบอ้างอิงทรงกลมคือระนาบxy ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน θคือมุมเอียงจาก ทิศทาง zและมุมอะซิมุธวัดจาก แกน x ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน (ดังนั้น แกน y จึง มีφ = +90° ) หากθวัดมุมเงยจากระนาบอ้างอิงแทนที่จะเป็นมุมเอียงจากจุดสูงสุด arccos ด้านบนจะกลายเป็น arcsin และcos θและsin θด้านล่างจะสลับกัน

ในทางกลับกัน พิกัดคาร์ทีเซียนสามารถดึงกลับมาได้จากพิกัดทรงกลม ( รัศมีr , มุมเอียงθ , มุมอะซิมุธφ ) โดยที่r ∈ [0, ∞) , θ ∈ [0, π ] , φ ∈ [0, 2 π )โดย $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\sin \theta \,\cos \varphi ,\\y&=r\sin \theta \,\sin \varphi ,\\z&=r\cos \theta .\end{aligned}}}$$

พิกัดทรงกระบอก ( รัศมี แกน ρ , มุมอะซิมุธφ , มุมเงยz ) สามารถแปลงเป็นพิกัดทรงกลม ( รัศมีศูนย์กลางr , มุมเอียงθ , มุมอะซิมุธφ ) ได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้

$${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}},\\\theta &=\arctan {\frac {\rho }{z}}=\arccos {\frac {z}{\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}},\\\varphi &=\varphi .\end{aligned}}}$$

ในทางกลับกัน พิกัดทรงกลมสามารถแปลงเป็นพิกัดทรงกระบอกได้โดยใช้สูตร

$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=r\sin \theta ,\\\varphi &=\varphi ,\\z&=r\cos \theta .\end{aligned}}}$$

สูตรเหล่านี้ตั้งอยู่บนสมมติฐานว่าระบบทั้งสองมีจุดกำเนิดและระนาบอ้างอิงเดียวกัน วัดมุมอะซิมุธφในทิศทางเดียวกันจากแกนเดียวกัน และมุมทรงกลมθคือมุมเอียงจากแกน ทรงกระบอก z

นอกจากนี้ ยังสามารถจัดการกับทรงรีในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้โดยใช้ระบบพิกัดทรงกลมแบบดัดแปลง

ให้ P เป็นทรงรีที่กำหนดโดยเซตระดับ

$${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=d.}$$

พิกัดทรงกลมที่ปรับเปลี่ยนแล้วของจุดใน P ตามแบบแผน ISO (เช่น ในทางฟิสิกส์: รัศมีr , มุมเอียงθ , มุม อะซิมุธφ ) สามารถหาได้จากพิกัดคาร์ทีเซียน( x , y , z )โดยใช้สูตรต่อไปนี้

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1}{\sqrt {a}}}r\sin \theta \,\cos \varphi ,\\y&={\frac {1}{\sqrt {b}}}r\sin \theta \,\sin \varphi ,\\z&={\frac {1}{\sqrt {c}}}r\cos \theta ,\\r^{2}&=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}.\end{aligned}}}$$

องค์ประกอบปริมาตรขนาดเล็กมากกำหนดโดย

$${\displaystyle \mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}\right|\,dr\,d\theta \,d\varphi ={\frac {1}{\sqrt {abc}}}r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi ={\frac {1}{\sqrt {abc}}}r^{2}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \Omega .}$$

ตัวประกอบรากที่สองมาจากคุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ที่ช่วยให้สามารถดึงค่าคงที่ออกมาจากคอลัมน์ได้:

$${\displaystyle {\begin{vmatrix}ka&b&c\\kd&e&f\\kg&h&i\end{vmatrix}}=k{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}.}$$

สมการต่อไปนี้ (Iyanaga 1977) ถือว่าละติจูดร่วมθคือมุมเอียงจาก แกน zบวก ตามแบบแผนทางฟิสิกส์ที่ได้กล่าวถึงไปแล้ว

องค์ประกอบเส้นสำหรับการกระจัดเล็กน้อยจาก( r , θ , φ )ไปยัง( r + d r , θ + d θ , φ + d φ )คือ โดยที่ เป็น เวกเตอร์หน่วย ตั้งฉากเฉพาะที่ในทิศทางที่r , θ , และφ เพิ่มขึ้น ตามลำดับ และx̂ , ŷ , และẑเป็นเวกเตอร์หน่วยในพิกัดคาร์ทีเซียน การแปลงเชิงเส้นไปยังชุดพิกัดมือขวานี้คือเมท ริกซ์การหมุน$${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} =\mathrm {d} r\,{\hat {\mathbf {r} }}+r\,\mathrm {d} \theta \,{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r\sin {\theta }\,\mathrm {d} \varphi \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\varphi }}} ,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {r} }}&=\sin \theta \cos \varphi \,{\hat {\mathbf {x} }}+\sin \theta \sin \varphi \,{\hat {\mathbf {y} }}+\cos \theta \,{\hat {\mathbf {z} }},\\{\hat {\boldsymbol {\theta }}}&=\cos \theta \cos \varphi \,{\hat {\mathbf {x} }}+\cos \theta \sin \varphi \,{\hat {\mathbf {y} }}-\sin \theta \,{\hat {\mathbf {z} }},\\{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}&=-\sin \varphi \,{\hat {\mathbf {x} }}+\cos \varphi \,{\hat {\mathbf {y} }}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle R={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\sin \theta \sin \varphi &{\hphantom {-}}\cos \theta \\\cos \theta \cos \varphi &\cos \theta \sin \varphi &-\sin \theta \\-\sin \varphi &\cos \varphi &{\hphantom {-}}0\end{pmatrix}}.}$$

นี่คือการแปลงจากพิกัดคาร์ทีเซียนไปเป็นพิกัดทรงกลม ส่วนการแปลงจากพิกัดคาร์ทีเซียนไปเป็นพิกัดทรงกลมนั้นได้มาจากการใช้เมทริกซ์ผกผัน หมายเหตุ: เมทริกซ์นี้เป็นเมทริกซ์เชิงตั้งฉาก นั่นคือ เมทริก ซ์ผกผันของมันก็คือเมทริก ซ์ทรานสโพสของมันนั่นเอง

เวกเตอร์หน่วยคาร์ทีเซียนจึงมีความสัมพันธ์กับเวกเตอร์หน่วยทรงกลมดังนี้: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\cos \theta \cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\cos \theta \sin \varphi &{\hphantom {-}}\cos \varphi \\\cos \theta &-\sin \theta &{\hphantom {-}}0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {r}}}\\{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\\{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\end{bmatrix}}}$$

รูปแบบทั่วไปของสูตรเพื่อพิสูจน์องค์ประกอบเส้นเชิงอนุพันธ์คือ^{[ 5 ]} นั่นคือ การเปลี่ยนแปลงในจะถูกแยกย่อยออกเป็นการเปลี่ยนแปลงแต่ละรายการที่สอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงในพิกัดแต่ละรายการ $${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} =\sum _{i}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\,\mathrm {d} x_{i}=\sum _{i}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\right|{\frac {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}{\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\right|}}\,\mathrm {d} x_{i}=\sum _{i}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\right|\,\mathrm {d} x_{i}\,{\hat {\boldsymbol {x}}}_{i},}$$${\displaystyle \mathbf {r} }$

ในการนำหลักการนี้มาใช้กับกรณีปัจจุบัน จำเป็นต้องคำนวณว่าค่าเปลี่ยนแปลงไปอย่างไรเมื่อเปลี่ยนพิกัดแต่ละค่า ตามข้อกำหนดที่ใช้ ${\displaystyle \mathbf {r} }$$${\displaystyle \mathbf {r} ={\begin{bmatrix}r\sin \theta \,\cos \varphi \\r\sin \theta \,\sin \varphi \\r\cos \theta \end{bmatrix}},x_{1}=r,x_{2}=\theta ,x_{3}=\varphi .}$$

ดังนั้น, $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial r}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \,\cos \varphi \\\sin \theta \,\sin \varphi \\\cos \theta \end{bmatrix}}=\mathbf {\hat {r}} ,\quad {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}={\begin{bmatrix}r\cos \theta \,\cos \varphi \\r\cos \theta \,\sin \varphi \\-r\sin \theta \end{bmatrix}}=r\,{\hat {\boldsymbol {\theta }}},\quad {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}={\begin{bmatrix}-r\sin \theta \,\sin \varphi \\{\hphantom {-}}r\sin \theta \,\cos \varphi \\0\end{bmatrix}}=r\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\varphi }}} .}$$

ค่าสัมประสิทธิ์ที่ต้องการคือขนาดของเวกเตอร์เหล่านี้: ^{[ 5 ]}$${\displaystyle \left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial r}}\right|=1,\quad \left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right|=r,\quad \left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}\right|=r\sin \theta .}$$

องค์ประกอบพื้นผิวที่ทอดจากθไปยังθ + d θและ จาก φไปยังφ + d φบนพื้นผิวทรงกลมที่รัศมีr (คงที่) คือ $${\displaystyle \mathrm {d} S_{r}=\left\|{\frac {\partial {\mathbf {r} }}{\partial \theta }}\times {\frac {\partial {\mathbf {r} }}{\partial \varphi }}\right\|\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =\left|r{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\times r\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\right|\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi ~.}$$

ดังนั้นมุมตัน เชิงอนุพันธ์ คือ $${\displaystyle \mathrm {d} \Omega ={\frac {\mathrm {d} S_{r}}{r^{2}}}=\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .}$$

องค์ประกอบพื้นผิวในพื้นผิวที่มีมุมเชิงขั้วθคงที่ (กรวยที่มีจุดยอดอยู่ที่จุดกำเนิด) คือ $${\displaystyle \mathrm {d} S_{\theta }=r\sin \theta \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} r.}$$

องค์ประกอบพื้นผิวในพื้นผิวที่มีมุมอะซิมุธφคงที่ (ระนาบครึ่งแนวตั้ง) คือ $${\displaystyle \mathrm {d} S_{\varphi }=r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta .}$$

องค์ประกอบปริมาตรที่ครอบคลุมตั้งแต่rถึงr + d r , θถึงθ + d θและφถึงφ + d φถูกกำหนดโดยดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จาโคเบียนของอนุพันธ์ย่อย กล่าว คือ $${\displaystyle J={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &{\hphantom {-}}r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &{\hphantom {-}}0\end{pmatrix}},}$$$${\displaystyle \mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}\right|\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \Omega ~.}$$

ดังนั้น ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันf ( r , θ , φ )สามารถหาปริพันธ์ได้เหนือทุกจุดในR ³โดยใช้ปริพันธ์สามชั้น$${\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }\int \limits _{0}^{\infty }f(r,\theta ,\varphi )r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi ~.}$$

ตัว ดำเนินการ เดลในระบบนี้ นำไปสู่การแสดงออกต่อไปนี้สำหรับเกรเดียนต์และลาปลาเซียนของฟิลด์สเกลาร์ และนำไปสู่การแสดงออกต่อไปนี้สำหรับไดเวอร์เจนซ์และเคิร์ลของฟิลด์เวกเตอร์ $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla f&={\partial f \over \partial r}{\hat {\mathbf {r} }}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \theta }{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+{1 \over r\sin \theta }{\partial f \over \partial \varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}},\\[8pt]\nabla ^{2}f&={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}\\[8pt]&=\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)f+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)f+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}f~,\\[8pt]\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} ={\frac {1}{r^{2}}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}A_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta A_{\theta }\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial A_{\varphi } \over \partial \varphi },}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {A} ={}&{\frac {1}{r\sin \theta }}\left[{\partial \over \partial \theta }\left(A_{\varphi }\sin \theta \right)-{\partial A_{\theta } \over \partial \varphi }\right]{\hat {\mathbf {r} }}\\[4pt]&{}+{\frac {1}{r}}\left[{1 \over \sin \theta }{\partial A_{r} \over \partial \varphi }-{\partial \over \partial r}\left(rA_{\varphi }\right)\right]{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\[4pt]&{}+{\frac {1}{r}}\left[{\partial \over \partial r}\left(rA_{\theta }\right)-{\partial A_{r} \over \partial \theta }\right]{\hat {\boldsymbol {\varphi }}},\end{aligned}}}$$

นอกจากนี้ เมทริกซ์ Jacobian ผกผันในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนคือ และ เมทริกซ์เมตริกเทนเซอร์ในระบบพิกัดทรงกลมคือ $${\displaystyle J^{-1}={\begin{pmatrix}{\dfrac {x}{r}}&{\dfrac {y}{r}}&{\dfrac {z}{r}}\\\\{\dfrac {xz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\dfrac {yz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\dfrac {-\left(x^{2}+y^{2}\right)}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}\\\\{\dfrac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\end{pmatrix}}.}$$${\displaystyle g=J^{T}J}$

ในพิกัดทรงกลม เมื่อกำหนดจุดสองจุดโดยที่φเป็นพิกัดเชิงมุม ระยะห่างระหว่างจุดทั้งสองสามารถแสดงได้ดังนี้^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {r} }&=(r,\theta ,\varphi ),\\{\mathbf {r} '}&=(r',\theta ',\varphi ')\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}D&={\sqrt {r^{2}+r'^{2}-2rr'(\sin {\theta }\sin {\theta '}\cos {(\varphi -\varphi ')}+\cos {\theta }\cos {\theta '})}}\end{aligned}}}$$

มุมระหว่างจุดสองจุดสามารถหาได้จากผลคูณดอทในพิกัดคาร์ทีเซียน: ซึ่งตามเอกลักษณ์ความแตกต่างของมุมสำหรับโคไซน์คือ^{[ 7 ]}${\displaystyle \gamma }$$${\displaystyle \cos \gamma =\cos \theta \cos \theta '+\sin \theta \sin \theta '(\cos \phi \cos \phi '+\sin \phi \sin \phi ')}$$$${\displaystyle \cos \gamma =\cos \theta \cos \theta '+\sin \theta \sin \theta '\cos(\phi -\phi ')}$$

ในพิกัดทรงกลม ตำแหน่งของจุดหรืออนุภาค (แม้ว่าจะเขียนได้ดีกว่าในรูปสามพิกัด ) สามารถเขียนได้เป็น^{[ 8 ]} ความเร็วของมันคือ^{[ 8 ]} และความเร่งของมันคือ^{[ 8 ]}${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$$${\displaystyle \mathbf {r} =r\mathbf {\hat {r}} .}$$$${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\dot {r}}\mathbf {\hat {r}} +r\,{\dot {\theta }}\,{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r\,{\dot {\varphi }}\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\varphi }}} }$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} ={}&{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\\[1ex]={}&{\hphantom {+}}\;\left({\ddot {r}}-r\,{\dot {\theta }}^{2}-r\,{\dot {\varphi }}^{2}\sin ^{2}\theta \right)\mathbf {\hat {r}} \\&{}+\left(r\,{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}\,{\dot {\theta }}-r\,{\dot {\varphi }}^{2}\sin \theta \cos \theta \right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\&{}+\left(r{\ddot {\varphi }}\,\sin \theta +2{\dot {r}}\,{\dot {\varphi }}\,\sin \theta +2r\,{\dot {\theta }}\,{\dot {\varphi }}\,\cos \theta \right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\end{aligned}}}$$

โมเมนตัมเชิงมุมคือ โดยที่คือมวล ในกรณีที่φ คงที่ หรือมิฉะนั้นθ = ⁠$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v} =mr^{2}\left(-{\dot {\varphi }}\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\theta }}} +{\dot {\theta }}\,{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\right)}$$${\displaystyle m}$π/2ซึ่งลดทอนลงเหลือเพียงแคลคูลัสเวกเตอร์ในพิกัดเชิงขั้ว

ตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงมุมที่สอดคล้องกันจึงได้มาจากการกำหนดรูปแบบใหม่ในปริภูมิเฟสของข้างต้น $${\displaystyle \mathbf {L} =-i\hbar ~\mathbf {r} \times \nabla =i\hbar \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\theta }}}{\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}-{\hat {\boldsymbol {\phi }}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right).}$$

แรงบิดจะกำหนดเป็น^{[ 8 ]}$${\displaystyle \mathbf {\tau } ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =-m\left(2r{\dot {r}}{\dot {\varphi }}\sin \theta +r^{2}{\ddot {\varphi }}\sin {\theta }+2r^{2}{\dot {\theta }}{\dot {\varphi }}\cos {\theta }\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}+m\left(r^{2}{\ddot {\theta }}+2r{\dot {r}}{\dot {\theta }}-r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}\sin \theta \cos \theta \right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}}$$

พลังงานจลน์กำหนดเป็น^{[ 8 ]}$${\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}m\left[\left({\dot {r}}\right)^{2}+\left(r{\dot {\theta }}\right)^{2}+\left(r{\dot {\varphi }}\sin \theta \right)^{2}\right]}$$

• ระบบพิกัดท้องฟ้า  – ระบบที่ใช้ระบุตำแหน่งของวัตถุบนท้องฟ้าPages displaying short descriptions of redirect targets
• ระบบพิกัด  – วิธีการระบุตำแหน่งของจุด
• Del ในระบบพิกัดทรงกระบอกและทรงกลม  – ตัวดำเนินการหาอนุพันธ์เชิงคณิตศาสตร์ในระบบพิกัดบางระบบ
• วิธีการทรงกลมฟูริเยร์คู่  – เทคนิคทางคณิตศาสตร์
• ระดับความสูง (วิถีกระสุน)  – มุมในวิถีกระสุน
• มุมออยเลอร์  – คำอธิบายเกี่ยวกับทิศทางของวัตถุแข็งเกร็ง
• การล็อกแกนหมุน  – การสูญเสียองศาอิสระหนึ่งองศาในกลไกสามมิติแบบสามแกนหมุน
• ไฮเปอร์สเฟียร์  – วัตถุทางคณิตศาสตร์Pages displaying short descriptions of redirect targets
• เมทริกซ์จาโคเบียนและดีเทอร์มิแนนต์  – เมทริกซ์ของอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันเวกเตอร์
• รายการการแปลงพิกัดมาตรฐาน
• ทรงกลม  – เซตของจุดที่อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากัน
• ฮาร์มอนิกทรงกลม  – ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์พิเศษที่กำหนดบนพื้นผิวของทรงกลมPages displaying short descriptions of redirect targets
• กล้องวัดมุม  – เครื่องมือสำรวจทางแสง
• สนามเวกเตอร์ในระบบพิกัดทรงกระบอกและทรงกลม  – การแสดงสนามเวกเตอร์ในระบบพิกัดโค้ง 3 มิติ
• การหมุนรอบแกนตั้ง แกนดิ่ง และแกนหมุนรอบแกนตามยาว  – ทิศทางหลักในการบินPages displaying short descriptions of redirect targets

• อิยานางะ, โชกิจิ; คาวาดะ, ยูกิโยชิ (1977) พจนานุกรมสารานุกรมคณิตศาสตร์ . สำนักพิมพ์เอ็มไอที. ไอเอสบีเอ็น 978-0262090162.
• Morse PM , Feshbach H (1953). วิธีการทางฟิสิกส์เชิงทฤษฎี เล่ม 1.นิวยอร์ก: McGraw-Hill. หน้า 658. ISBN 0-07-043316-X. ลคซีเอ็น 52011515 .{{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
• Margenau H , Murphy GM (1956). คณิตศาสตร์ของฟิสิกส์และเคมี . นิวยอร์ก: D. van Nostrand. หน้า  177–178 . LCCN  55010911 .
• Korn GA, Korn TM (1961). คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับนักวิทยาศาสตร์และวิศวกร . นิวยอร์ก: McGraw-Hill. หน้า  174–175 . LCCN  59014456. ASIN B0000CKZX7.
• ซาวเออร์ อาร์, Szabó I (1967) แมทเธมาติส ฮิลฟ์สมิตเทล เด อินเฌอเนียร์ นิวยอร์ก: สปริงเกอร์ แวร์แล็ก. หน้า  95–96 . LCCN  67025285 .
• Moon P, Spencer DE (1988). "พิกัดทรงกลม (r, θ, ψ)". คู่มือทฤษฎีสนาม รวมถึงระบบพิกัด สมการเชิงอนุพันธ์ และคำตอบ (ฉบับแก้ไขครั้งที่ 2 ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 3). นิวยอร์ก: Springer-Verlag. หน้า 24–27 (ตาราง 1.05). ISBN 978-0-387-18430-2.
• Duffett-Smith P, Zwart J (2011). ดาราศาสตร์เชิงปฏิบัติด้วยเครื่องคิดเลขหรือสเปรดชีตของคุณ ฉบับที่ 4นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ หน้า 34 ISBN 978-0521146548.

• "พิกัดทรงกลม" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• คำอธิบายพิกัดทรงกลมจาก MathWorld
• โปรแกรมแปลงพิกัด – แปลงระหว่างพิกัดเชิงขั้ว พิกัดคาร์ทีเซียน และพิกัดทรงกลม