ในทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทการขยายของสไตน์สปริงหรือที่เรียกว่าทฤษฎีบทการแยกตัวประกอบของสไตน์สปริงซึ่งตั้งชื่อตามดับเบิลยู. ฟอร์เรสต์ สไตน์สปริงเป็นผลลัพธ์จากทฤษฎีตัวดำเนินการ ที่แสดงถึง แผนที่บวกสมบูรณ์ใดๆบนพีชคณิตC*-A ในรูปของการประกอบกันของแผนที่บวกสมบูรณ์สองแผนที่ โดยแต่ละแผนที่นั้นมีรูปแบบพิเศษ:

1. การแทนแบบ * ของAบนปริภูมิฮิลเบิร์ต เสริม K บางส่วน ตามด้วย
2. แผนที่ตัวดำเนินการในรูปแบบT ↦ V* TV

ยิ่งไปกว่านั้น ทฤษฎีบทของสไตน์สปริงเป็นทฤษฎีบทโครงสร้างจากพีชคณิต C* ไปสู่พีชคณิตของตัวดำเนินการที่มีขอบเขตบนปริภูมิฮิลเบิร์ต แผนที่บวกสมบูรณ์แสดงให้เห็นว่าเป็นการดัดแปลงอย่างง่ายของตัวแทน * หรือบางครั้งเรียกว่าโฮโมมอร์ฟิซึม *

ในกรณีของ พีชคณิต C* ที่มีเอกลักษณ์ผลลัพธ์จะเป็นดังนี้:

ทฤษฎีบท . ให้Aเป็นพีชคณิต C*-เอกลักษณ์, Hเป็นปริภูมิฮิลเบิร์ต และB ( H ) เป็นตัวดำเนินการที่มีขอบเขตบนHสำหรับทุก ๆ ตัวดำเนินการบวกสมบูรณ์

${\displaystyle \Phi :A\to B(H),}$

มีปริภูมิฮิลเบิร์ต Kและโฮโมมอร์ฟิซึม *-เอกลักษณ์ อยู่

${\displaystyle \pi :A\to B(K)}$

โดยที่

${\displaystyle \Phi (a)=V^{\ast }\pi (a)V,}$

โดยที่เป็นตัวดำเนินการที่มีขอบเขต นอกจากนี้ เรายังมี ${\displaystyle V:H\to K}$

${\displaystyle \|\Phi (1)\|=\|V\|^{2}.}$

โดยไม่เป็นทางการ อาจกล่าวได้ว่า แผนที่เชิงบวกทุกแผนที่สามารถ " ยก " ขึ้นไปเป็นแผนที่ในรูปแบบดังกล่าวได้ ${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle V^{*}(\cdot )V}$

บทกลับของทฤษฎีบทนี้เป็นจริงอย่างเห็นได้ชัด ดังนั้นผลลัพธ์ของ Stinespring จึงจำแนกแผนที่บวกสมบูรณ์ได้

ต่อไปนี้เราจะสรุปวิธีการพิสูจน์โดยสังเขป ให้สำหรับกำหนดให้ ${\displaystyle K=A\otimes H}$${\displaystyle a\otimes h,\ b\otimes g\in K}$

${\displaystyle \langle a\otimes h,b\otimes g\rangle _{K}:=\langle \Phi (b^{*}a)h,g\rangle _{H}=\langle h,\Phi (a^{*}b)g\rangle _{H}}$

และขยายโดยกึ่งเชิงเส้นไปยัง Kทั้งหมดนี่คือรูปแบบเซสควิลิเนียร์เฮอร์มิเชียน เนื่องจากเข้ากันได้กับการดำเนินการ * จากนั้นใช้ความเป็นบวกสมบูรณ์ของเพื่อแสดงว่ารูปแบบเซสควิลิเนียร์นี้เป็นบวกกึ่งกำหนด เนื่องจาก รูปแบบเซสควิลิเนียร์เฮอร์มิเชียนบวกกึ่ง กำหนดเป็นไปตามอสมการโคชี-ชวาร์ซ ดังนั้นเซตย่อย ${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle K'=\{x\in K\mid \langle x,x\rangle _{K}=0\}\subset K}$

เป็นปริภูมิย่อย เราสามารถขจัดความเสื่อม ได้ โดยพิจารณาปริภูมิผลหาร การเติมเต็มของปริภูมิผลหารนี้จะเป็นปริภูมิฮิลเบิร์ต ซึ่งเขียนแทนด้วยต่อไปกำหนดและเราสามารถตรวจสอบได้ว่าและมีคุณสมบัติที่ต้องการ ${\displaystyle K/K'}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \pi (a)(b\otimes g)=ab\otimes g}$${\displaystyle Vh=1_{A}\otimes h}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle V}$

โปรดสังเกตว่านี่คือการฝังเชิงพีชคณิตตามธรรมชาติของHลงในKเราสามารถตรวจสอบได้ว่าเงื่อนไขนี้เป็นจริง โดยเฉพาะอย่างยิ่งเงื่อนไขนี้เป็นจริง ดังนั้น จึงเป็นไอโซเมตรีก็ต่อเมื่อในกรณีนี้H สามารถฝังลงใน Kได้ในแง่ของปริภูมิฮิลเบิร์ตและเมื่อกระทำกับKจะกลายเป็นการฉายภาพลงบนH ใน เชิงสัญลักษณ์ เราสามารถเขียนได้ว่า ${\displaystyle V}$${\displaystyle V^{\ast }(a\otimes h)=\Phi (a)h}$${\displaystyle V^{\ast }V=\พี (1)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \Phi (1)=1}$${\displaystyle V^{\ast }}$

${\displaystyle \Phi (a)=P_{H}\;\pi (a){\Big |}_{H}.}$

ในภาษาของทฤษฎีการขยายขนาดกล่าวคือเป็นการบีบอัดของดังนั้นจึงเป็นผลลัพธ์ที่ตามมาของทฤษฎีบทของสไตน์สปริงที่ว่า แผนที่บวกสมบูรณ์ที่มีเอกลักษณ์ทุกแผนที่คือการบีบอัดของ*-โฮโมมอร์ฟิซึมบาง ตัว${\displaystyle \Phi (a)}$${\displaystyle \pi (a)}$

สามสิ่ง ( π , V , K ) เรียกว่าการแสดงแทนแบบสไตน์สปริงของ Φ คำถามที่เกิดขึ้นตามมาก็คือ เราสามารถลดทอนการแสดงแทนแบบสไตน์สปริงที่กำหนดให้ในแง่ใดแง่หนึ่งได้หรือไม่

ให้K เป็นปริภูมิเชิงเส้นปิดของπ ( A ) VHโดยคุณสมบัติของการแทนแบบ *-โดยทั่วไปK เป็นปริภูมิย่อยไม่แปรเปลี่ยนของπ ( a ) สำหรับทุกaนอกจากนี้K ยัง ประกอบด้วยVHกำหนด

${\displaystyle \pi _{1}(a)=\pi (a){\Big |}_{K_{1}}.}$

เราสามารถคำนวณได้โดยตรง

$${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}(a)\pi _{1}(b)&=\pi (a){\Big |}_{K_{1}}\pi (b){\Big |}_{K_{1}}\\&=\pi (a)\pi (b){\Big |}_{K_{1}}\\&=\pi (ab){\Big |}_{K_{1}}\\&=\pi _{1}(ab)\end{aligned}}}$$

และถ้าkและℓอยู่ในK

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \pi _{1}(a^{*})k,\ell \rangle &=\langle \pi (a^{*})k,\ell \rangle \\&=\langle \pi (a)^{*}k,\ell \rangle \\&=\langle k,\pi (a)\ell \rangle \\&=\langle k,\pi _{1}(a)\ell \rangle \\&=\langle \pi _{1}(a)^{*}k,\ell \rangle .\end{aligned}}}$$

ดังนั้น ( π , V , K ) จึงเป็นการแสดงแทนแบบ Stinespring ของ Φ และมีคุณสมบัติเพิ่มเติมคือK เป็นปริภูมิเชิงเส้นปิดของπ ( A ) VHการแสดงแทนแบบนี้เรียกว่า การแสดงแทนแบบ Stinespring ขั้นต่ำ

ให้ ( π , V , K ) และ ( π , V , K ) เป็นการแสดงแทนแบบสไตน์สปริงสองแบบของ Φ ที่กำหนดให้ กำหนดไอโซเมตรีบางส่วนW  : K → K โดย

${\displaystyle \;W\pi _{1}(a)V_{1}h=\pi _{2}(a)V_{2}h.}$

บนV H ⊂ K นี้ทำให้เกิดความสัมพันธ์ที่เกี่ยวพันกัน

${\displaystyle \;W\pi _{1}=\pi _{2}W.}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าการแสดงแทนแบบ Stinespring ทั้งสองแบบเป็นแบบมินิมัลลิ สต์ Wก็จะเป็นแบบยูนิแทรีดังนั้น การแสดงแทนแบบ Stinespring แบบมินิมัลลิสต์จึงมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวจนถึงการแปลงแบบยูนิแทรี

เราจะกล่าวถึงผลลัพธ์บางส่วนที่สามารถมองได้ว่าเป็นผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบทของสไตน์สปริง ในเชิงประวัติศาสตร์ ผลลัพธ์บางส่วนที่กล่าวถึงด้านล่างนี้เกิดขึ้นก่อนทฤษฎีบทของสไตน์สปริง

การสร้างแบบ Gelfand –Naimark–Segal (GNS)มีดังนี้ ให้Hในทฤษฎีบทของ Stinespring เป็นมิติเดียว นั่นคือจำนวนเชิงซ้อนดังนั้น Φ จึงเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นบวกบนAถ้าเราสมมติว่า Φ เป็นสถานะนั่นคือ Φ มีนอร์ม 1 แล้วไอโซเมตรีจะถูกกำหนดโดย ${\displaystyle V:H\to K}$

${\displaystyle V1=\xi }$

สำหรับบรรทัดฐานของ หน่วยบางส่วน ดังนั้น ${\displaystyle \xi \in K}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (a)=V^{*}\pi (a)V&=\langle V^{*}\pi (a)V1,1\rangle _{H}\\&=\langle \pi (a)V1,V1\rangle _{K}\\&=\langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle _{K}\end{aligned}}}$$

และเราได้กู้คืนการแสดงสถานะในรูปแบบ GNS แล้ว นี่เป็นวิธีหนึ่งที่จะเห็นว่าแผนที่ที่เป็นบวกอย่างสมบูรณ์ ไม่ใช่เพียงแค่แผนที่ที่เป็นบวกเท่านั้น เป็นการสรุปทั่วไปที่แท้จริงของฟังก์ชันนอลที่เป็นบวก

ฟังก์ชันเชิงเส้นบวกบนพีชคณิต C* จะต่อเนื่องอย่างสมบูรณ์เมื่อเทียบกับฟังก์ชันอื่น (เรียกว่าฟังก์ชันอ้างอิง) ถ้าฟังก์ชันนั้นเป็นศูนย์บนองค์ประกอบบวก ใดๆ ที่ฟังก์ชันอ้างอิงบวกเป็นศูนย์ สิ่งนี้จะนำไปสู่การวางนัยทั่วไปแบบไม่สลับที่ของทฤษฎีบท Radon–Nikodym ตัวดำเนินการความหนาแน่นของสถานะ ตาม ปกติ บน พีชคณิตเมทริกซ์ เมื่อเทียบกับ ร่องรอยมาตรฐานนั้นก็คืออนุพันธ์ Radon–Nikodym เมื่อเลือกฟังก์ชันอ้างอิงเป็นร่องรอยBelavkinได้นำเสนอแนวคิดของความต่อเนื่องอย่างสมบูรณ์ของแผนที่บวกอย่างสมบูรณ์หนึ่งแผนที่เมื่อเทียบกับแผนที่อื่น (อ้างอิง) และพิสูจน์ตัวแปรตัวดำเนินการของ ทฤษฎีบท Radon–Nikodym แบบ ไม่สลับที่สำหรับแผนที่บวกอย่างสมบูรณ์ กรณีเฉพาะของทฤษฎีบทนี้ที่สอดคล้องกับแผนที่อ้างอิงบวกอย่างสมบูรณ์แบบร่องรอยบนพีชคณิตเมทริกซ์นำไปสู่ตัวดำเนินการ Choi ในฐานะอนุพันธ์ Radon–Nikodym ของแผนที่ CP เมื่อเทียบกับร่องรอยมาตรฐาน (ดูทฤษฎีบทของ Choi)

Man-Duen Choiได้แสดงให้เห็นว่า ถ้าΦ เป็นบวกโดยสมบูรณ์ โดยที่GและHเป็นปริภูมิฮิลเบิร์ตแบบมิติจำกัดที่มีมิติnและmตามลำดับ แล้ว Φ จะมีรูปแบบดังนี้: ${\displaystyle \Phi :B(G)\to B(H)}$

${\displaystyle \Phi (a)=\sum _{i=1}^{nm}V_{i}^{*}aV_{i}.}$

นี่เรียกว่าทฤษฎีบทของ Choi เกี่ยวกับแผนที่บวกสมบูรณ์ Choi พิสูจน์สิ่งนี้โดยใช้เทคนิคพีชคณิตเชิงเส้น แต่ผลลัพธ์ของเขาสามารถมองได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทของ Stinespring เช่นกัน: ให้ ( π , V , K ) เป็นการแทนแบบ Stinespring ที่เล็กที่สุดของ Φ โดยหลักการความเล็กที่สุดKมีมิติที่น้อยกว่าของดังนั้นโดยไม่เสียความเป็นทั่วไปKสามารถระบุได้ว่าเป็น ${\displaystyle C^{n\times n}\otimes C^{m}}$

${\displaystyle K=\bigoplus _{i=1}^{nm}C_{i}^{n}.}$

แต่ละอันเป็นสำเนาของ ปริภูมิฮิลเบิร์ต nมิติ จากเราจะเห็นว่าการระบุK ข้างต้น สามารถจัดเรียงได้ดังนี้โดยที่Pi การฉายภาพจากKไปยัง ให้เรามี ${\displaystyle C_{i}^{n}}$${\displaystyle \pi (a)(b\otimes g)=ab\otimes g}$${\displaystyle \;P_{i}\pi (a)P_{i}=a}$${\displaystyle C_{i}^{n}}$${\displaystyle V_{i}=P_{i}V}$

${\displaystyle \Phi (a)=\sum _{i=1}^{nm}(V^{*}P_{i})(P_{i}\pi (a)P_{i})(P_{i}V)=\sum _{i=1}^{nm}V_{i}^{*}aV_{i}}$

และผลลัพธ์ของชอยก็ได้รับการพิสูจน์แล้ว

ผลลัพธ์ของ Choi เป็นกรณีเฉพาะของทฤษฎีบท Radon–Nikodym แบบไม่สลับที่สำหรับแผนที่บวกสมบูรณ์ (CP) ที่สอดคล้องกับแผนที่อ้างอิงบวกสมบูรณ์แบบร่องรอยบนพีชคณิตเมทริกซ์ ในรูปแบบตัวดำเนินการที่แข็งแกร่ง ทฤษฎีบททั่วไปนี้ได้รับการพิสูจน์โดย Belavkin ในปี 1985 ซึ่งแสดงให้เห็นถึงการมีอยู่ของตัวดำเนินการความหนาแน่นบวกที่แสดงถึงแผนที่ CP ซึ่งมีความต่อเนื่องสัมบูรณ์สมบูรณ์เมื่อเทียบกับแผนที่ CP อ้างอิง ความเป็นเอกลักษณ์ของตัวดำเนินการความหนาแน่นนี้ในการแสดงแทน Steinspring อ้างอิงนั้นได้มาจากการที่การแสดงแทนนี้มีค่าน้อยที่สุด ดังนั้น ตัวดำเนินการของ Choi จึงเป็นอนุพันธ์ Radon–Nikodym ของแผนที่ CP มิติจำกัดเมื่อเทียบกับร่องรอยมาตรฐาน

โปรดสังเกตว่า ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Choi รวมถึงทฤษฎีบทของ Belavkin จากสูตรของ Stinespring นั้น ข้อโต้แย้งไม่ได้ให้ตัวดำเนินการ Kraus V อย่างชัดเจน เว้นแต่จะระบุพื้นที่ต่างๆ อย่างชัดเจน ในทางกลับกัน การพิสูจน์ดั้งเดิมของ Choi เกี่ยวข้องกับการคำนวณตัวดำเนินการเหล่านั้นโดยตรง

ทฤษฎีบทของ Naimark กล่าวว่า การวัด แบบนับได้อ่อนๆ ที่มีค่าเป็นB ( H ) บนปริภูมิ Hausdorff กระชับX ใดๆ สามารถ "ยกขึ้น" ได้เพื่อให้การวัดนั้นกลายเป็นการวัดเชิงสเปกตรัมสามารถพิสูจน์ได้โดยการรวมข้อเท็จจริงที่ว่าC ( X ) เป็นพีชคณิต C* แบบสลับที่ได้ และทฤษฎีบทของ Stinespring

ผลลัพธ์นี้ระบุว่าการหด ตัวทุกรูปแบบ ในปริภูมิฮิลเบิร์ตจะมีการขยายแบบเอกภาพที่มีคุณสมบัติความน้อยที่สุด

ในทฤษฎีสารสนเทศควอนตัมช่องสัญญาณควอนตัมหรือการดำเนินการควอนตัมถูกนิยามว่าเป็นแผนที่บวกสมบูรณ์ระหว่างพีชคณิต C* ทฤษฎีบทของสไตน์สปริง ซึ่งเป็นการจำแนกประเภทของแผนที่ดังกล่าวทั้งหมด จึงมีความสำคัญในบริบทนี้ ตัวอย่างเช่น ส่วนความเป็นเอกลักษณ์ของทฤษฎีบทนี้ถูกนำมาใช้ในการจำแนกประเภทของช่องสัญญาณควอนตัมบางประเภท

สำหรับการเปรียบเทียบช่องสัญญาณต่างๆ และการคำนวณความเที่ยงตรงร่วมกันและข้อมูลของช่องสัญญาณเหล่านั้น การแสดงช่องสัญญาณอีกรูปแบบหนึ่งโดยใช้ "อนุพันธ์เรดอน-นิโคดิม" ที่เบลาฟกินนำเสนอไว้นั้นมีประโยชน์ ในกรณีมิติจำกัด ทฤษฎีบทของชอยซึ่งเป็นรูปแบบร่องรอยของทฤษฎีบทเรดอน-นิโคดิมของเบลาฟกินสำหรับแผนที่บวกสมบูรณ์ก็มีความเกี่ยวข้องเช่นกัน ตัวดำเนินการจากนิพจน์ ${\displaystyle \{V_{i}\}}$

${\displaystyle \Phi (a)=\sum _{i=1}^{nm}V_{i}^{*}aV_{i}.}$

เรียกว่าตัวดำเนินการ Krausของ Φ นิพจน์

${\displaystyle \sum _{i=1}^{nm}V_{i}^{*}(\cdot )V_{i}}$

บางครั้งเรียกว่าการแสดงผลรวมตัวดำเนินการของ Φ