นิยามของเครือข่ายเชิงกำหนด (deterministic network) แตกต่างจากนิยามของเครือข่ายเชิงความน่าจะเป็น (probabilistic network) ในเครือข่ายเชิงกำหนดที่ไม่ถ่วงน้ำหนัก ขอบ (edges) จะมีอยู่หรือไม่มีอยู่เท่านั้น โดยปกติเราจะใช้ 0 แทนการไม่มีอยู่ของขอบ และใช้ 1 แทนการมีอยู่ของขอบ ในเครือข่ายเชิงกำหนดที่ถ่วงน้ำหนัก ค่าของขอบจะแสดงถึงน้ำหนักของแต่ละขอบ เช่น ระดับความแข็งแกร่ง

ในเครือข่ายความน่าจะเป็น ค่าที่อยู่เบื้องหลังขอบแต่ละเส้นแสดงถึงความน่าจะเป็นของการมีอยู่ของขอบแต่ละเส้น ตัวอย่างเช่น ถ้าขอบหนึ่งมีค่าเท่ากับ 0.9 เราจะกล่าวว่าความน่าจะเป็นของการมีอยู่ของขอบนี้คือ 0.9 ^{[ 10 ]}

ขนาดของเครือข่ายอาจหมายถึงจำนวนโหนด${\displaystyle N}$หรือในกรณีที่พบน้อยกว่า คือจำนวนขอบ${\displaystyle E}$ซึ่ง (สำหรับกราฟที่เชื่อมต่อกันโดยไม่มีขอบหลายเส้น) สามารถมีค่าได้ตั้งแต่${\displaystyle N-1}$(ต้นไม้) ถึง${\displaystyle E_{\max }}$(กราฟสมบูรณ์) ในกรณีของกราฟแบบง่าย (เครือข่ายที่มีขอบ (แบบไม่ระบุทิศทาง) มากที่สุดหนึ่งเส้นระหว่างจุดยอดแต่ละคู่ และไม่มีจุดยอดใดเชื่อมต่อกับตัวเอง) เราจะมี${\displaystyle E_{\max }={\tbinom {N}{2}}=N(N-1)/2}$สำหรับกราฟแบบมีทิศทาง (ที่ไม่มีโหนดเชื่อมต่อตัวเอง)${\displaystyle E_{\max }=N(N-1)}$สำหรับกราฟแบบมีทิศทางที่อนุญาตให้มีการเชื่อมต่อตัวเองได้${\displaystyle E_{\max }=N^{2}}$ในกรณีของกราฟที่มีเส้นเชื่อมหลายเส้นระหว่างจุดยอดสองจุด${\displaystyle E_{\max }=\infty }$.

ความหนาแน่น${\displaystyle D}$ค่าของเครือข่ายถูกกำหนดให้เป็นอัตราส่วนมาตรฐานระหว่าง 0 และ 1 ของจำนวนขอบ${\displaystyle E}$จำนวนขอบที่เป็นไปได้ในเครือข่ายที่มี${\displaystyle N}$โหนด ความหนาแน่นของเครือข่ายคือการวัดเปอร์เซ็นต์ของขอบ "ที่ไม่จำเป็น" ที่มีอยู่ในเครือข่าย และสามารถคำนวณได้ดังนี้ ${\displaystyle D={\frac {E-E_{\mathrm {min} }}{E_{\mathrm {max} }-E_{\mathrm {min} }}}}$ ที่ไหน${\displaystyle E_{\คณิตศาสตร์ {นาที} }}$และ${\displaystyle E_{\คณิตศาสตร์ {สูงสุด} }}$คือจำนวนขอบขั้นต่ำและสูงสุดในเครือข่ายที่เชื่อมต่อกัน${\displaystyle N}$ตามลำดับ ในกรณีของกราฟแบบง่าย${\displaystyle E_{\คณิตศาสตร์ {สูงสุด} }}$กำหนดโดยสัมประสิทธิ์ทวินาม${\displaystyle {\tbinom {N}{2}}}$และ${\displaystyle E_{\mathrm {min} }=N-1}$ทำให้เกิดความหนาแน่น ${\displaystyle D={\frac {E-(N-1)}{E_{\mathrm {max} }-(N-1)}}={\frac {2(E-N+1)}{N(N-3)+2}}}$สมการอีกแบบหนึ่งที่เป็นไปได้คือ${\displaystyle D={\frac {T-2N+2}{N(N-3)+2}},}$ในขณะที่ความสัมพันธ์${\displaystyle T}$เป็นแบบทิศทางเดียว (Wasserman & Faust 1994) ^{[ 11 ]}ซึ่งทำให้เห็นภาพรวมของความหนาแน่นของเครือข่ายได้ดีขึ้น เนื่องจากสามารถวัดความสัมพันธ์แบบทิศทางเดียวได้

ความหนาแน่น${\displaystyle D}$ของเครือข่ายที่ไม่มีจุดตัดระหว่างขอบ จะถูกกำหนดเป็นอัตราส่วนของจำนวนขอบ${\displaystyle E}$จำนวนขอบที่เป็นไปได้ในเครือข่ายที่มี${\displaystyle N}$โหนดที่กำหนดโดยกราฟที่ไม่มีขอบตัดกัน${\displaystyle (E_{\max }=3N-6)}$การให้${\displaystyle D={\frac {E-N+1}{2N-5}}.}$

ปริญญา​${\displaystyle k}$ระดับดีกรีของโหนดคือจำนวนขอบที่เชื่อมต่อกับโหนดนั้น ซึ่งมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับความหนาแน่นของเครือข่ายคือระดับดีกรีเฉลี่ย${\displaystyle \langle k\rangle ={\tfrac {2E}{N}}}$(หรือในกรณีของกราฟแบบมีทิศทาง)${\displaystyle \langle k\rangle ={\tfrac {E}{N}}}$โดยปัจจัยเดิมของ 2 ที่เกิดขึ้นจากขอบแต่ละขอบในกราฟแบบไม่มีทิศทางซึ่งมีส่วนช่วยในดีกรีของจุดยอดสองจุดที่แตกต่างกัน) ในแบบจำลองกราฟสุ่ม ER (${\displaystyle G(N,p)}$) เราสามารถคำนวณค่าที่คาดหวังของ ${\displaystyle \langle k\rangle }$(เท่ากับค่าที่คาดหวังของ${\displaystyle k}$(ของจุดยอดใดๆ): จุดยอดแบบสุ่มมี${\displaystyle N-1}$จุดยอดอื่นๆ ในเครือข่ายที่พร้อมใช้งาน และด้วยความน่าจะเป็น${\displaystyle p}$เชื่อมต่อถึงกัน ดังนั้น${\displaystyle \mathbb {E} [\langle k\rangle ]=\mathbb {E} [k]=p(N-1)}$.

การกระจายระดับปริญญา${\displaystyle P(k)}$ระดับดีกรี (degree distribution) เป็นคุณสมบัติพื้นฐานของทั้งเครือข่ายจริง เช่นอินเทอร์เน็ตและเครือข่ายสังคมและของแบบจำลองทางทฤษฎี การกระจายระดับดีกรีP ( k ) ของเครือข่ายถูกกำหนดให้เป็นสัดส่วนของโหนดในเครือข่ายที่มีระดับดีกรีkแบบจำลองเครือข่ายที่ง่ายที่สุด เช่นกราฟสุ่ม (แบบจำลอง Erdős–Rényi) ซึ่งแต่ละ โหนด nโหนดเชื่อมต่อกันอย่างอิสระ (หรือไม่) ด้วยความน่าจะเป็นp (หรือ 1 − p ) จะมีการกระจายระดับดีกรีk แบบทวินาม (หรือแบบปัวซงในกรณีที่n มีขนาดใหญ่ ) อย่างไรก็ตาม เครือข่ายจริงส่วนใหญ่ ตั้งแต่WWWไปจนถึงเครือข่ายปฏิสัมพันธ์ของโปรตีนมีการกระจายระดับดีกรีที่เบ้ขวา อย่างมาก หมายความว่าโหนดส่วนใหญ่มีระดับดีกรีต่ำ แต่มีจำนวนน้อยที่เรียกว่า "ฮับ" ซึ่งมีระดับดีกรีสูง สำหรับเครือข่ายแบบไร้มาตราส่วน ดังกล่าว การกระจายระดับดีกรีจะเป็นไปตามกฎกำลัง โดยประมาณ :${\displaystyle P(k)\sim k^{-\gamma }}$โดยที่γคือเลขชี้กำลังของดีกรี และ เป็นค่าคงที่เครือข่ายไร้มาตราส่วน ดังกล่าว มีคุณสมบัติเชิงโครงสร้างและพลวัตที่ไม่คาดคิด ซึ่งมีรากฐานมาจากโมเมนต์ที่สองที่ล diverging ของการกระจายดีกรี^{[ 6 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]}

ความยาวเฉลี่ยของเส้นทางที่สั้นที่สุดคำนวณได้จากการหาเส้นทางที่สั้นที่สุดระหว่างโหนดทุกคู่ แล้วหาค่าเฉลี่ยของความยาวเส้นทางทั้งหมด (ความยาวคือจำนวนขอบกลางที่อยู่ในเส้นทางนั้น กล่าวคือ ระยะทาง)${\displaystyle d_{u,v}}$ระหว่างจุดยอดทั้งสอง${\displaystyle u,v}$(ภายในกราฟ) ซึ่งแสดงให้เราเห็นโดยเฉลี่ยว่าต้องใช้กี่ขั้นตอนในการเดินทางจากสมาชิกหนึ่งในเครือข่ายไปยังอีกสมาชิกหนึ่ง พฤติกรรมของความยาวเส้นทางที่สั้นที่สุดโดยเฉลี่ยที่คาดหวัง (นั่นคือ ค่าเฉลี่ยของความยาวเส้นทางที่สั้นที่สุดโดยเฉลี่ย) เป็นฟังก์ชันของจำนวนจุดยอด${\displaystyle N}$ของแบบจำลองเครือข่ายแบบสุ่มจะกำหนดว่าแบบจำลองนั้นแสดงปรากฏการณ์เครือข่ายขนาดเล็กหรือไม่ หากมีการปรับขนาดตาม${\displaystyle O(\ln N)}$แบบจำลองนี้สร้างเครือข่ายโลกขนาดเล็ก สำหรับการเติบโตที่เร็วกว่าอัตราลอการิทึม แบบจำลองนี้จะไม่สร้างเครือข่ายโลกขนาดเล็ก กรณีพิเศษของ${\displaystyle O(\ln \ln N)}$เป็นที่รู้จักกันในชื่อปรากฏการณ์โลกขนาดเล็กพิเศษ (ultra-small world effect)

อีกวิธีหนึ่งในการวัดกราฟเครือข่าย เราสามารถกำหนดเส้นผ่านศูนย์กลางของเครือข่ายได้ว่าเป็นระยะทางที่สั้นที่สุดที่คำนวณได้จากเส้นทางที่สั้นที่สุดในเครือข่าย มันคือระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างโหนดสองโหนดที่อยู่ห่างกันมากที่สุดในเครือข่าย กล่าวอีกนัยหนึ่ง เมื่อคำนวณความยาวเส้นทางที่สั้นที่สุดจากทุกโหนดไปยังทุกโหนดอื่น ๆ แล้ว เส้นผ่านศูนย์กลางจะเป็นความยาวเส้นทางที่สั้นที่สุดที่คำนวณได้ทั้งหมด เส้นผ่านศูนย์กลางแสดงถึงขนาดเชิงเส้นของเครือข่าย หากโหนด ABCD เชื่อมต่อกัน โดยเดินทางจาก A ไป D เส้นผ่านศูนย์กลางจะมีค่าเท่ากับ 3 (3 ฮอป 3 ลิงก์)

ค่าสัมประสิทธิ์การจัดกลุ่มเป็นการวัดคุณสมบัติ "เพื่อนของฉันทุกคนรู้จักกัน" ซึ่งบางครั้งอาจอธิบายได้ว่า เพื่อนของเพื่อนฉันก็คือเพื่อนของฉัน กล่าวโดยละเอียด ค่าสัมประสิทธิ์การจัดกลุ่มของโหนดคืออัตราส่วนของลิงก์ที่มีอยู่ซึ่งเชื่อมต่อเพื่อนบ้านของโหนดเข้าด้วยกันกับจำนวนลิงก์สูงสุดที่เป็นไปได้ ค่าสัมประสิทธิ์การจัดกลุ่มสำหรับเครือข่ายทั้งหมดคือค่าเฉลี่ยของค่าสัมประสิทธิ์การจัดกลุ่มของทุกโหนด ค่าสัมประสิทธิ์การจัดกลุ่มที่สูงสำหรับเครือข่ายเป็นอีกตัวบ่งชี้หนึ่งของโลกขนาดเล็ก^{[ 6 ]}

สัมประสิทธิ์การจัดกลุ่มของ${\displaystyle i}$โหนดที่ 'th คือ

${\displaystyle C_{i}={2e_{i} \over k_{i}{(k_{i}-1)}}\,,}$

ที่ไหน${\displaystyle k_{i}}$คือจำนวนเพื่อนบ้านของ${\displaystyle i}$โหนดที่ ' และ${\displaystyle e_{i}}$คือจำนวนการเชื่อมต่อระหว่างเพื่อนบ้านเหล่านี้ ดังนั้นจำนวนการเชื่อมต่อสูงสุดที่เป็นไปได้ระหว่างเพื่อนบ้านคือ

${\displaystyle {\binom {k}{2}}={{k(k-1)} \over 2}\,.}$

จากมุมมองทางสถิติ ค่าสัมประสิทธิ์การจัดกลุ่มเฉพาะที่ที่คาดหวังคือโอกาสที่การเชื่อมโยงจะเกิดขึ้นระหว่างเพื่อนบ้านสองรายใดๆ ของโหนดเดียวกัน

วิธีการเชื่อมต่อของเครือข่ายมีบทบาทสำคัญอย่างยิ่งต่อการวิเคราะห์และการตีความเครือข่าย เครือข่ายถูกจำแนกออกเป็นสี่ประเภทหลัก:

• กลุ่มโหนด / กราฟสมบูรณ์ : เครือข่ายที่เชื่อมต่อกันอย่างสมบูรณ์ โดยที่ทุกโหนดเชื่อมต่อกับทุกโหนดอื่น เครือข่ายเหล่านี้มีความสมมาตร กล่าวคือ ทุกโหนดมีลิงก์ขาเข้าและลิงก์ขาออกจากโหนดอื่น ๆ ทั้งหมด
• ส่วนประกอบขนาดใหญ่ (Giant Component) : ส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันเพียงชิ้นเดียว ซึ่งประกอบด้วยโหนดส่วนใหญ่ในเครือข่าย
• ส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันอย่างอ่อน (Weakly Connected Component ): กลุ่มของโหนดที่สามารถเชื่อมต่อจากโหนดใดๆ ไปยังโหนดอื่นๆ ได้ โดยไม่คำนึงถึงทิศทางของเส้นเชื่อม
• ส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันอย่างแน่นหนา : กลุ่มของโหนดที่มี เส้นทาง กำหนดทิศทางจากโหนดใดๆ ไปยังโหนดอื่นๆ ได้

ดัชนีความสำคัญสร้างการจัดอันดับที่มุ่งระบุโหนดที่สำคัญที่สุดในแบบจำลองเครือข่าย ดัชนีความสำคัญที่แตกต่างกันจะเข้ารหัสบริบทที่แตกต่างกันสำหรับคำว่า "ความสำคัญ" ตัวอย่างเช่น ดัชนีความสำคัญ แบบระหว่างกลาง (betweenness centrality ) ถือว่าโหนดมีความสำคัญสูงหากโหนดนั้นสร้างสะพานเชื่อมระหว่างโหนดอื่นๆ จำนวนมาก ในทางตรงกันข้าม ดัชนีความสำคัญ แบบค่าลักษณะเฉพาะ (eigenvalue centrality)ถือว่าโหนดมีความสำคัญสูงหากมีโหนดสำคัญอื่นๆ จำนวนมากเชื่อมโยงกับโหนดนั้น มีการเสนอมาตรวัดดังกล่าวหลายร้อยแบบในเอกสารทางวิชาการ

ดัชนีความเป็นศูนย์กลางมีความแม่นยำเฉพาะในการระบุโหนดที่สำคัญที่สุดเท่านั้น การวัดเหล่านี้แทบจะไม่มีความหมายสำหรับโหนดเครือข่ายที่เหลือ^{[ 16 ] [ 17 ]}นอกจากนี้ การบ่งชี้ของพวกมันมีความแม่นยำเฉพาะภายในบริบทที่สมมติขึ้นสำหรับความสำคัญ และมักจะ "ผิดพลาด" สำหรับบริบทอื่นๆ^{[ 18 ]}ตัวอย่างเช่น ลองนึกภาพชุมชนสองแห่งที่แยกจากกันซึ่งมีเพียงการเชื่อมโยงระหว่างสมาชิกที่อายุน้อยที่สุดของแต่ละชุมชน เนื่องจากการถ่ายโอนใดๆ จากชุมชนหนึ่งไปยังอีกชุมชนหนึ่งจะต้องผ่านการเชื่อมโยงนี้ สมาชิกที่อายุน้อยที่สุดสองคนจะมีค่าความเป็นศูนย์กลางระหว่างกลางสูง แต่เนื่องจากพวกเขายังอายุน้อย (โดยสันนิษฐาน) พวกเขาจึงมีการเชื่อมต่อกับโหนด "สำคัญ" ในชุมชนของพวกเขาน้อย ซึ่งหมายความว่าค่าความเป็นศูนย์กลางของค่าลักษณะเฉพาะของพวกเขาจะค่อนข้างต่ำ

ข้อจำกัดของการวัดค่าศูนย์กลางนำไปสู่การพัฒนาการวัดค่าทั่วไปมากขึ้น ตัวอย่างสองประการคือการเข้าถึงซึ่งใช้ความหลากหลายของการเดินแบบสุ่มเพื่อวัดว่าส่วนที่เหลือของเครือข่ายสามารถเข้าถึงได้มากน้อยเพียงใดจากโหนดเริ่มต้นที่กำหนด^{[ 19 ]} และแรงที่คาดหวังซึ่งได้มาจากค่าที่คาดหวังของแรงการติดเชื้อที่สร้างขึ้นโดยโหนด^{[ 16 ]} การวัดทั้งสองนี้สามารถคำนวณได้อย่างมีความหมายจากโครงสร้างของเครือข่ายเพียงอย่างเดียว

โหนดในเครือข่ายอาจถูกแบ่งออกเป็นกลุ่มที่แสดงถึงชุมชน ขึ้นอยู่กับบริบท ชุมชนอาจแตกต่างกันอย่างชัดเจนหรืออาจทับซ้อนกัน โดยทั่วไป โหนดในชุมชนดังกล่าวจะเชื่อมต่อกับโหนดอื่น ๆ ในชุมชนเดียวกันอย่างแน่นแฟ้น แต่จะเชื่อมต่อกับโหนดภายนอกชุมชนอย่างอ่อน ในกรณีที่ไม่มีข้อมูลพื้นฐานที่อธิบายโครงสร้างชุมชนของเครือข่ายเฉพาะนั้น ๆ ได้มีการพัฒนาอัลกอริทึมหลายอย่างเพื่ออนุมานโครงสร้างชุมชนที่เป็นไปได้โดยใช้วิธีการจัดกลุ่มแบบมีผู้กำกับดูแลหรือแบบไม่มีผู้กำกับดูแล

แบบจำลอง Erdős –Rényiซึ่งตั้งชื่อตามPaul ErdősและAlfréd Rényiนั้นใช้สำหรับสร้างกราฟแบบสุ่มโดยที่ขอบระหว่างโหนดต่างๆ จะถูกกำหนดด้วยความน่าจะเป็นที่เท่ากัน แบบจำลองนี้สามารถใช้ในวิธีการทางความน่าจะเป็นเพื่อพิสูจน์การมีอยู่ของกราฟที่ตรงตามเงื่อนไขต่างๆ หรือเพื่อให้คำจำกัดความที่เข้มงวดว่าการที่เงื่อนไขหนึ่งๆ เป็นจริงสำหรับกราฟเกือบทั้งหมดหมายความว่าอย่างไร

เพื่อสร้างแบบจำลองแอร์ดอส-เรนยี${\displaystyle G(n,p)}$ต้องระบุพารามิเตอร์สองตัว ได้แก่ จำนวนโหนดทั้งหมดnและความน่าจะเป็นpที่โหนดคู่ใดคู่หนึ่งจะมีเส้นเชื่อมระหว่างกัน

เนื่องจากแบบจำลองถูกสร้างขึ้นโดยปราศจากอคติต่อโหนดใดโหนดหนึ่งโดยเฉพาะ การกระจายระดับดีกรีจึงเป็นแบบทวินาม: สำหรับจุดยอดที่เลือกแบบสุ่ม${\displaystyle v}$,

${\displaystyle P(\deg(v)=k)={n-1 \choose k}p^{k}(1-p)^{n-1-k}.}$

ในแบบจำลองนี้ ค่าสัมประสิทธิ์การจัดกลุ่มคือ0 เกือบทุกจุดพฤติกรรมของ${\displaystyle G(n,p)}$ สามารถแบ่งออกได้เป็นสามภูมิภาค

ต่ำกว่าจุดวิกฤต${\displaystyle np<1}$ส่วนประกอบทั้งหมดนั้นเรียบง่ายและมีขนาดเล็กมาก ส่วนประกอบที่ใหญ่ที่สุดมีขนาด...${\displaystyle |C_{1}|=O(\log n)}$;

วิกฤต${\displaystyle np=1}$:${\displaystyle |C_{1}|=O(n^{\frac {2}{3}})}$;

วิกฤตยิ่งยวด${\displaystyle np>1}$:${\displaystyle |C_{1}|\approx yn}$ที่ไหน${\displaystyle y=y(np)}$เป็นคำตอบเชิงบวกของสมการ${\displaystyle e^{-pny}=1-y}$.

ส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันขนาดใหญ่ที่สุดมีความซับซ้อนสูง ส่วนประกอบอื่นๆ ทั้งหมดนั้นเรียบง่ายและมีขนาดเล็ก${\displaystyle |C_{2}|=O(\log n)}$.

แบบจำลองการกำหนดค่าใช้ลำดับดีกรี^{[ 20 ] [ 21 ]}หรือการกระจายดีกรี^{[ 22 ] [ 23 ]} (ซึ่งต่อมาใช้ในการสร้างลำดับดีกรี) เป็นอินพุต และสร้างกราฟที่เชื่อมต่อแบบสุ่มในทุกด้านยกเว้นลำดับดีกรี ซึ่งหมายความว่าสำหรับตัวเลือกของลำดับดีกรีที่กำหนด กราฟจะถูกเลือกแบบสุ่มอย่างสม่ำเสมอจากเซตของกราฟทั้งหมดที่สอดคล้องกับลำดับดีกรีนี้ ดีกรี${\displaystyle k}$ค่าของจุดยอดที่เลือกแบบสุ่มเป็น ตัวแปรสุ่ม อิสระและมีการกระจายเหมือนกันโดยมีค่าเป็นจำนวนเต็ม เมื่อ ${\textstyle \mathbb {E} [k^{2}]-2\mathbb {E} [k]>0}$กราฟการกำหนดค่าประกอบด้วยส่วนประกอบที่เชื่อมต่อขนาดใหญ่ซึ่งมีขนาดอนันต์^{[ 21 ]}ส่วนประกอบที่เหลือมีขนาดจำกัด ซึ่งสามารถวัดปริมาณได้ด้วยแนวคิดของการกระจายขนาด ความน่าจะเป็น${\displaystyle w(n)}$โหนดที่สุ่มเลือกมานั้นเชื่อมต่อกับส่วนประกอบที่มีขนาด${\displaystyle n}$กำหนดโดยกำลังการสังเคราะห์ของการกระจายระดับ: ^{[ 24 ]}$${\displaystyle w(n)={\begin{cases}{\frac {\mathbb {E} [k]}{n-1}}u_{1}^{*n}(n-2),&n>1,\\u(0)&n=1,\end{cases}}}$$ที่ไหน${\displaystyle u(k)}$แสดงถึงการกระจายระดับดีกรีและ${\displaystyle u_{1}(k)={\frac {(k+1)u(k+1)}{\mathbb {E} [k]}}}$ส่วนประกอบขนาดยักษ์สามารถถูกทำลายได้โดยการสุ่มกำจัดเศษส่วนวิกฤตออกไป${\displaystyle p_{c}}$ของขอบทั้งหมด กระบวนการนี้เรียกว่าการแพร่กระจายบนเครือข่ายสุ่มเมื่อโมเมนต์ที่สองของการกระจายระดับดีกรีมีค่าจำกัด${\textstyle \mathbb {E} [k^{2}]<\infty }$เศษส่วนขอบวิกฤตนี้กำหนดโดย^{[ 25 ]}${\displaystyle p_{c}=1-{\frac {\mathbb {E} [k]}{\mathbb {E} [k^{2}]-\mathbb {E} [k]}}}$และระยะห่างเฉลี่ยระหว่างจุดยอด${\displaystyle l}$ส่วนประกอบขนาดใหญ่จะแปรผันตามลอการิทึมกับขนาดโดยรวมของเครือข่าย${\displaystyle l=O(\log N)}$[ ^{23 ]​}

ในแบบจำลองการกำหนดค่าแบบมีทิศทาง ระดับของโหนดจะกำหนดโดยตัวเลขสองตัว คือ ระดับขาเข้าและระดับขาเข้า${\displaystyle k_{\text{in}}}$และดีกรีออก${\displaystyle k_{\text{out}}}$และด้วยเหตุนี้ การกระจายระดับดีกรีจึงเป็นแบบสองตัวแปร จำนวนขอบขาเข้าและขอบขาออกที่คาดหวังจึงตรงกัน ดังนั้น${\textstyle \mathbb {E} [k_{\text{in}}]=\mathbb {E} [k_{\text{out}}]}$แบบจำลองการกำหนดค่าแบบกำหนดทิศทางประกอบด้วยส่วนประกอบขนาดใหญ่ก็ต่อเมื่อ^{[ 26 ]}$${\displaystyle 2\mathbb {E} [k_{\text{in}}]\mathbb {E} [k_{\text{in}}k_{\text{out}}]-\mathbb {E} [k_{\text{in}}]\mathbb {E} [k_{\text{out}}^{2}]-\mathbb {E} [k_{\text{in}}]\mathbb {E} [k_{\text{in}}^{2}]+\mathbb {E} [k_{\text{in}}^{2}]\mathbb {E} [k_{\text{out}}^{2}]-\mathbb {E} [k_{\text{in}}k_{\text{out}}]^{2}>0.}$$โปรดทราบว่า${\textstyle \mathbb {E} [k_{\text{in}}]}$และ${\textstyle \mathbb {E} [k_{\text{out}}]}$เท่ากันและจึงสามารถสลับเปลี่ยนกันได้ในอสมการหลัง ความน่าจะเป็นที่จุดยอดที่สุ่มเลือกจะอยู่ในส่วนประกอบที่มีขนาด${\displaystyle n}$กำหนดโดย: ^{[ 27 ]}$${\displaystyle h_{\text{in}}(n)={\frac {\mathbb {E} [k_{in}]}{n-1}}{\tilde {u}}_{\text{in}}^{*n}(n-2),\;n>1,\;{\tilde {u}}_{\text{in}}={\frac {k_{\text{in}}+1}{\mathbb {E} [k_{\text{in}}]}}\sum \limits _{k_{\text{out}}\geq 0}u(k_{\text{in}}+1,k_{\text{out}}),}$$สำหรับส่วนประกอบภายใน และ

${\displaystyle h_{\text{out}}(n)={\frac {\mathbb {E} [k_{\text{out}}]}{n-1}}{\tilde {u}}_{\text{out}}^{*n}(n-2),\;n>1,\;{\tilde {u}}_{\text{out}}={\frac {k_{\text{out}}+1}{\mathbb {E} [k_{\text{out}}]}}\sum \limits _{k_{\text{in}}\geq 0}u(k_{\text{in}},k_{\text{out}}+1),}$

สำหรับส่วนประกอบภายนอก

แบบจำลอง Watts และ Strogatzเป็นแบบจำลองการสร้างกราฟแบบสุ่มที่สร้างกราฟที่มีคุณสมบัติแบบโลกขนาดเล็ก (small-world properties )

โครงสร้างโครงข่ายเริ่มต้นถูกนำมาใช้เพื่อสร้างแบบจำลอง Watts–Strogatz โดยแต่ละโหนดในเครือข่ายจะเชื่อมโยงกับโหนดอื่นในตอนเริ่มต้น${\displaystyle \langle k\rangle }$เพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุด พารามิเตอร์อีกตัวหนึ่งที่ระบุไว้คือความน่าจะเป็นของการเชื่อมต่อใหม่ แต่ละขอบมีความน่าจะเป็น${\displaystyle p}$โดยจะถูกเชื่อมต่อใหม่เข้ากับกราฟในรูปแบบของขอบแบบสุ่ม จำนวนลิงก์ที่คาดว่าจะถูกเชื่อมต่อใหม่ในแบบจำลองคือ${\displaystyle pE=pN\langle k\rangle /2}$.

เนื่องจากแบบจำลอง Watts–Strogatz เริ่มต้นด้วยโครงสร้างตาข่ายที่ไม่สุ่ม จึงมีค่าสัมประสิทธิ์การรวมกลุ่มสูงมาก พร้อมกับความยาวเส้นทางเฉลี่ยสูง การเชื่อมต่อใหม่แต่ละครั้งมีแนวโน้มที่จะสร้างทางลัดระหว่างกลุ่มที่มีการเชื่อมต่อสูง เมื่อความน่าจะเป็นของการเชื่อมต่อใหม่เพิ่มขึ้น ค่าสัมประสิทธิ์การรวมกลุ่มจะลดลงช้ากว่าความยาวเส้นทางเฉลี่ย ในทางปฏิบัติแล้ว สิ่งนี้ทำให้ความยาวเส้นทางเฉลี่ยของเครือข่ายลดลงอย่างมากโดยที่ค่าสัมประสิทธิ์การรวมกลุ่มลดลงเพียงเล็กน้อย ค่า p ที่สูงขึ้นจะบังคับให้มีการเชื่อมต่อใหม่มากขึ้น ซึ่งในทางปฏิบัติแล้วทำให้แบบจำลอง Watts–Strogatz กลายเป็นเครือข่ายแบบสุ่ม

แบบจำลอง Barabási –Albertเป็นแบบจำลองเครือข่ายแบบสุ่มที่ใช้เพื่อแสดงให้เห็นถึงการเชื่อมต่อแบบพิเศษหรือปรากฏการณ์ "คนรวยยิ่งรวยขึ้น" ในแบบจำลองนี้ เส้นเชื่อมมีแนวโน้มที่จะเชื่อมต่อกับโหนดที่มีดีกรีสูงกว่า เครือข่ายเริ่มต้นด้วยเครือข่ายเริ่มต้นที่มีโหนด m₀ จำนวน m₀ ≥ 2 และดีกรีของแต่ละโหนดในเครือข่ายเริ่มต้นควรมีอย่างน้อย1 มิฉะนั้นโหนดนั้นจะยังคงตัดขาดจากส่วนที่เหลือของเครือข่ายเสมอ   

ในแบบจำลอง BA โหนดใหม่จะถูกเพิ่มเข้าไปในเครือข่ายทีละโหนด โดยแต่ละโหนดใหม่จะเชื่อมต่อกับ${\displaystyle m}$โหนดที่มีอยู่ด้วยความน่าจะเป็นที่เป็นสัดส่วนกับจำนวนลิงก์ที่โหนดที่มีอยู่มีอยู่แล้ว ในทางรูปธรรม ความน่าจะเป็นp ที่โหนดใหม่เชื่อมต่อกับโหนดiคือ^{[ 28 ]}

${\displaystyle p_{i}={\frac {k_{i}}{\sum _{j}k_{j}}},}$

โดยที่k คือระดับของโหนดiโหนดที่มีการเชื่อมโยงหนาแน่น ("ฮับ") มีแนวโน้มที่จะสะสมการเชื่อมโยงเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว ในขณะที่โหนดที่มีการเชื่อมโยงเพียงไม่กี่ลิงก์มีโอกาสน้อยที่จะถูกเลือกเป็นปลายทางสำหรับการเชื่อมโยงใหม่ โหนดใหม่มี "ความชอบ" ที่จะเชื่อมต่อกับโหนดที่มีการเชื่อมโยงหนาแน่นอยู่แล้ว

การกระจายระดับดีกรีที่ได้จากแบบจำลอง BA นั้นเป็นแบบไม่ขึ้นกับมาตราส่วน โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับดีกรีสูงนั้นจะเป็นไปตามกฎกำลังในรูปแบบ:

${\displaystyle P(k)\sim k^{-3}\,}$

ฮับมีค่าความเป็นศูนย์กลางระหว่างโหนดสูง ซึ่งทำให้มีเส้นทางสั้นๆ ระหว่างโหนดต่างๆ ส่งผลให้แบบจำลอง BA มีความยาวเส้นทางเฉลี่ยสั้นมาก นอกจากนี้ ค่าสัมประสิทธิ์การจัดกลุ่มของแบบจำลองนี้ยังมีแนวโน้มเข้าใกล้ 0 ด้วย

แบบจำลอง Barabási–Albert ^{[ 29 ]}ได้รับการพัฒนาสำหรับเครือข่ายแบบไม่มีทิศทาง โดยมีเป้าหมายเพื่ออธิบายความเป็นสากลของคุณสมบัติแบบไร้มาตราส่วน และนำไปใช้กับเครือข่ายและแอปพลิเคชันที่หลากหลาย เวอร์ชันแบบมีทิศทางของแบบจำลองนี้คือแบบจำลอง Price ^{[ 30 ] [ 31 ]}ซึ่งได้รับการพัฒนาสำหรับเครือข่ายการอ้างอิงเท่านั้น

^{Caldarelli และคณะ [ 34 ]}ได้นำเสนอแบบจำลองอีกแบบหนึ่งที่ส่วนประกอบสำคัญคือลักษณะของจุดยอด โดยในแบบจำลองนี้จะสร้างการเชื่อมโยงระหว่างจุดยอดสองจุด${\displaystyle i,j}$โดยมีความน่าจะเป็นที่กำหนดโดยฟังก์ชันเชื่อมโยง${\displaystyle f(\eta _{i},\eta _{j})}$ของความเหมาะสมของจุดยอดที่เกี่ยวข้อง ระดับของจุดยอด i กำหนดโดย^{[ 35 ]}

${\displaystyle k(\eta _{i})=N\int _{0}^{\infty }f(\eta _{i},\eta _{j})\rho (\eta _{j})\,d\eta _{j}}$

ถ้า${\displaystyle k(\eta _{i})}$เป็นฟังก์ชันผกผันและเพิ่มขึ้นของ${\displaystyle \eta _{i}}$จากนั้นจึงเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็น${\displaystyle P(k)}$ได้รับจาก

${\displaystyle P(k)=\rho (\eta (k))\cdot \eta '(k)}$

ดังนั้น หากสมรรถภาพทางกายดีขึ้น${\displaystyle \eta }$ถ้าค่าต่างๆ มีการกระจายตัวตามกฎกำลัง ค่าดีกรีของโหนดก็จะมีการกระจายตัวตามกฎกำลังเช่นกัน

โดยธรรมชาติแล้วอาจเข้าใจยากกว่าเมื่อใช้การกระจายความน่าจะเป็นที่ลดลงอย่างรวดเร็ว ${\displaystyle \rho (\eta )=e^{-\eta }}$พร้อมด้วยฟังก์ชันเชื่อมโยงประเภทหนึ่ง

${\displaystyle f(\eta _{i},\eta _{j})=\Theta (\eta _{i}+\eta _{j}-Z)}$

กับ${\displaystyle Z}$ค่าคงที่และ${\displaystyle \Theta }$ด้วยฟังก์ชัน Heavyside เรายังสามารถสร้างเครือข่ายแบบไร้มาตราส่วนได้อีกด้วย

แบบจำลองดังกล่าวได้รับการประยุกต์ใช้สำเร็จในการอธิบายการค้าขายระหว่างประเทศ โดยใช้ GDP เป็นตัวชี้วัดความเหมาะสมของแต่ละส่วน${\displaystyle i,j}$และฟังก์ชันการเชื่อมโยงประเภท ^{[ 36 ] [ 37 ]}

${\displaystyle {\frac {\delta \eta _{i}\eta _{j}}{1+\delta \eta _{i}\eta _{j}}}.}$

แบบจำลองกราฟสุ่มตระกูลเอกซ์โพเนนเชียล (ERGM) เป็นตระกูลของแบบจำลองทางสถิติสำหรับการวิเคราะห์ข้อมูลจาก เครือข่าย สังคมและเครือข่ายอื่นๆ^{[ 6 ] [ 38 ]}ตระกูลเอกซ์โพเนนเชียลเป็นตระกูลแบบจำลองที่ครอบคลุมข้อมูลหลายประเภท ไม่ใช่แค่เครือข่ายเท่านั้น ERGM เป็นแบบจำลองจากตระกูลนี้ที่อธิบายเครือข่าย

เราใช้สัญลักษณ์นี้เพื่อแทนกราฟสุ่ม${\displaystyle Y\in {\mathcal {Y}}}$ผ่านชุดของ${\displaystyle n}$โหนดและชุดของตัวแปรเชื่อมโยง${\displaystyle \{Y_{ij}:i=1,\dots ,n;j=1,\dots ,n\}}$โดยมีการจัดทำดัชนีตามคู่ของโหนด${\displaystyle ij}$, ที่ไหน${\displaystyle Y_{ij}=1}$ถ้าโหนด${\displaystyle (i,j)}$เชื่อมต่อกันด้วยขอบและ${\displaystyle Y_{ij}=0}$มิฉะนั้น.

ข้อสมมติฐานพื้นฐานของ ERGM คือโครงสร้างในกราฟที่สังเกตได้${\displaystyle y}$สามารถอธิบายได้ด้วยเวกเตอร์สถิติที่เพียงพอ ที่กำหนดให้${\displaystyle s(y)}$ซึ่งเป็นฟังก์ชันของเครือข่ายที่สังเกตได้ และในบางกรณี คุณลักษณะของโหนด ความน่าจะเป็นของกราฟ${\displaystyle y\in {\mathcal {Y}}}$ใน ERGM นั้นถูกกำหนดโดย:

${\displaystyle P(Y=y|\theta )={\frac {\exp(\theta ^{T}s(y))}{c(\theta )}}}$

ที่ไหน${\displaystyle \theta }$เป็นเวกเตอร์ของพารามิเตอร์แบบจำลองที่เกี่ยวข้องกับ${\displaystyle s(y)}$และ${\displaystyle c(\theta )=\sum _{y'\in {\mathcal {Y}}}\exp(\theta ^{T}s(y'))}$เป็นค่าคงที่สำหรับการปรับให้เป็นมาตรฐาน

การวิเคราะห์ เครือข่ายสังคมจะตรวจสอบโครงสร้างของความสัมพันธ์ระหว่างหน่วยงานทางสังคม^{[ 6 ] [ 39 ]} หน่วยงานเหล่านี้มักจะ เป็นบุคคล แต่ก็อาจเป็นกลุ่มองค์กรรัฐชาติเว็บไซต์สิ่งพิมพ์ทางวิชาการได้ เช่นกัน

นับตั้งแต่ทศวรรษ 1970 การศึกษาเชิงประจักษ์ของเครือข่ายมีบทบาทสำคัญในสังคมศาสตร์ และ เครื่องมือ ทางคณิตศาสตร์และสถิติ หลายอย่าง ที่ใช้ในการศึกษาเครือข่ายได้รับการพัฒนาขึ้นครั้งแรกในสาขาสังคมวิทยา^{[ 6 ] [ 40 ]} ในบรรดา การ ประยุกต์ใช้อื่นๆ อีกมากมาย การวิเคราะห์เครือข่ายสังคมถูกนำมาใช้เพื่อทำความเข้าใจการแพร่กระจายของนวัตกรรมข่าวสาร และข่าวลือในทำนองเดียวกัน มันถูกนำไปใช้เพื่อตรวจสอบการแพร่กระจายของทั้งโรคภัยไข้เจ็บและพฤติกรรมที่เกี่ยวข้องกับสุขภาพนอกจากนี้ยังถูกนำไปใช้ในการศึกษาตลาดโดยใช้เพื่อตรวจสอบบทบาทของความไว้วางใจในความสัมพันธ์การแลกเปลี่ยนและกลไกทางสังคมในการกำหนดราคา ในทำนองเดียวกัน มันถูกนำไปใช้เพื่อศึกษาการสรรหาเข้าสู่ขบวนการทางการเมืองและองค์กรทางสังคม นอกจากนี้ยังถูกใช้เพื่อสร้างแนวคิดเกี่ยวกับความขัดแย้งทางวิทยาศาสตร์ ตลอดจนเกียรติยศทางวิชาการ เมื่อไม่นานมานี้ การวิเคราะห์เครือข่าย (และการวิเคราะห์การจราจร ซึ่งมีความใกล้เคียงกัน ) ได้รับการใช้งานอย่างมีนัยสำคัญในหน่วยข่าวกรองทางทหาร เพื่อเปิดเผยเครือข่ายผู้ก่อการร้ายทั้งแบบมีลำดับชั้นและไม่มีผู้นำ^{[ 41 ] [ 42 ]}ในวิชาอาชญวิทยามีการใช้เพื่อระบุผู้มีอิทธิพลในแก๊งอาชญากร การเคลื่อนไหวของผู้กระทำผิด การกระทำผิดร่วมกัน ทำนายกิจกรรมทางอาชญากรรม และกำหนดนโยบาย^{[ 43 ]}

การวิเคราะห์เครือข่ายแบบไดนามิกจะตรวจสอบโครงสร้างความสัมพันธ์ที่เปลี่ยนแปลงไปในกลุ่มของเอนทิตีต่าง ๆ ในระบบสังคมและเทคโนโลยีที่ซับซ้อน และสะท้อนถึงเสถียรภาพทางสังคมและการเปลี่ยนแปลง เช่น การเกิดขึ้นของกลุ่ม หัวข้อ และผู้นำใหม่ ๆ^{[ 44 ] [ 45 ] [ 46 ]} การวิเคราะห์เครือข่ายแบบไดนามิกมุ่งเน้นไปที่เมตาเน็ตเวิร์กที่ประกอบด้วยโหนด (เอนทิตี) หลายประเภทและลิงก์หลายประเภทเอนทิตีเหล่านี้อาจมีความหลากหลายสูง ตัวอย่างเช่น บุคคล องค์กร หัวข้อ ทรัพยากร งาน เหตุการณ์ สถานที่ และความเชื่อ

เทคนิคเครือข่ายแบบไดนามิกมีประโยชน์อย่างยิ่งสำหรับการประเมินแนวโน้มและการเปลี่ยนแปลงในเครือข่ายเมื่อเวลาผ่านไป การระบุผู้นำที่เกิดขึ้นใหม่ และการตรวจสอบวิวัฒนาการร่วมกันของบุคคลและแนวคิด

ด้วยข้อมูลทางชีววิทยาที่มีปริมาณมากซึ่งเปิดเผยต่อสาธารณะเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วในช่วงไม่นานมานี้ การวิเคราะห์เครือข่ายโมเลกุลจึงได้รับความสนใจอย่างมาก ประเภทของการวิเคราะห์ในเนื้อหานี้มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการวิเคราะห์เครือข่ายสังคม แต่โดยทั่วไปจะเน้นไปที่รูปแบบเฉพาะที่ในเครือข่าย ตัวอย่างเช่นรูปแบบเครือข่ายคือกราฟย่อยขนาดเล็กที่มีจำนวนมากเกินไปในเครือข่ายรูปแบบกิจกรรมคือรูปแบบที่มีจำนวนมากเกินไปในลักษณะของโหนดและขอบในเครือข่ายที่มีจำนวนมากเกินไปเมื่อพิจารณาจากโครงสร้างของเครือข่าย การวิเคราะห์เครือข่ายทางชีววิทยาได้นำไปสู่การพัฒนาการแพทย์เครือข่ายซึ่งพิจารณาถึงผลกระทบของโรคในอินเทอร์แอคทอม^{[ 47 ]}

การวิเคราะห์ เครือข่ายความหมายเป็นสาขาย่อยของการวิเคราะห์เครือข่ายที่เน้นความสัมพันธ์ระหว่างคำและแนวคิดในเครือข่าย คำต่างๆ จะถูกแทนด้วยโหนด และความใกล้เคียงหรือการเกิดขึ้นร่วมกันในข้อความจะถูกแทนด้วยขอบ ดังนั้น เครือข่ายความหมายจึงเป็นการแสดงความรู้ในรูปแบบกราฟิก และมักใช้ในประสาทวิทยาศาสตร์ทางภาษาและการประมวลผลภาษาธรรมชาติการวิเคราะห์เครือข่ายความหมายยังใช้เป็นวิธีการวิเคราะห์ข้อความขนาดใหญ่และระบุหัวข้อและประเด็นหลัก (เช่น โพสต์ในโซเชียลมีเดีย ) เพื่อเปิดเผยอคติ (เช่น ในการรายงานข่าว) หรือแม้กระทั่งเพื่อทำแผนที่สาขาการวิจัยทั้งหมด^{[ 48 ]}

การวิเคราะห์ความเชื่อมโยงเป็นส่วนย่อยของการวิเคราะห์เครือข่าย โดยสำรวจความสัมพันธ์ระหว่างวัตถุต่างๆ ตัวอย่างเช่น การตรวจสอบที่อยู่ของผู้ต้องสงสัยและเหยื่อ หมายเลขโทรศัพท์ที่พวกเขาโทรออก ธุรกรรมทางการเงินที่พวกเขาทำในช่วงเวลาที่กำหนด และความสัมพันธ์ทางครอบครัวระหว่างบุคคลเหล่านี้ ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของการสืบสวนของตำรวจ การวิเคราะห์ความเชื่อมโยงในที่นี้จะให้ความสัมพันธ์และการเชื่อมโยงที่สำคัญระหว่างวัตถุประเภทต่างๆ ซึ่งไม่ปรากฏชัดจากข้อมูลที่แยกส่วน การวิเคราะห์ความเชื่อมโยงโดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วยหรือแบบอัตโนมัติเต็มรูปแบบถูกนำมาใช้มากขึ้นโดยธนาคารและ บริษัท ประกันภัยใน การตรวจ จับการฉ้อโกงโดยผู้ให้บริการโทรคมนาคมในการวิเคราะห์เครือข่ายโทรคมนาคม โดยภาคการแพทย์ในด้านระบาดวิทยาและเภสัชวิทยาในการสืบสวนของ หน่วยงานบังคับใช้กฎหมาย โดยเครื่องมือค้นหาสำหรับ การจัดอันดับ ความเกี่ยวข้อง (และในทางกลับกันโดยผู้ส่งสแปมสำหรับการจัดทำดัชนีสแปมและโดยเจ้าของธุรกิจสำหรับการเพิ่มประสิทธิภาพเครื่องมือค้นหา ) และทุกที่อื่นๆ ที่ต้องวิเคราะห์ความสัมพันธ์ระหว่างวัตถุจำนวนมาก

แบบจำลอง SIRเป็นหนึ่งในอัลกอริทึมที่เป็นที่รู้จักมากที่สุดในการทำนายการแพร่กระจายของโรคระบาดใหญ่ทั่วโลกภายในประชากรที่ติดเชื้อ

อัลกอริทึม การจัดอันดับการค้นหาบนเว็บ หลายตัวใช้เมตริกความสำคัญของลิงก์ รวมถึง (เรียงตามลำดับการปรากฏ) Hyper SearchของMarchiori , PageRankของGoogle , อัลกอริทึม HITSของ Kleinberg , CheiRankและTrustRankการวิเคราะห์ลิงก์ยังดำเนินการในสาขาวิทยาศาสตร์สารสนเทศและวิทยาศาสตร์การสื่อสาร เพื่อทำความเข้าใจและดึงข้อมูลจากโครงสร้างของกลุ่มเว็บเพจ ตัวอย่างเช่น การวิเคราะห์อาจเป็นการวิเคราะห์การเชื่อมโยงระหว่างเว็บไซต์หรือบล็อกของนักการเมือง

ข้อมูลเกี่ยวกับความสำคัญสัมพัทธ์ของโหนดและขอบในกราฟสามารถหาได้จาก การวัดค่า ความเป็นศูนย์กลางซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายในสาขาวิชาต่างๆ เช่นสังคมวิทยาการวัดค่าความเป็นศูนย์กลางมีความสำคัญอย่างยิ่งเมื่อการวิเคราะห์เครือข่ายต้องตอบคำถามเช่น "ควรเลือกโหนดใดในเครือข่ายเพื่อให้แน่ใจว่าข้อความหรือข้อมูลแพร่กระจายไปยังโหนดทั้งหมดหรือส่วนใหญ่ในเครือข่าย" หรือในทางกลับกัน "ควรเลือกโหนดใดเพื่อยับยั้งการแพร่กระจายของโรค" การวัดค่าความเป็นศูนย์กลางที่ได้รับการยอมรับอย่างเป็นทางการ ได้แก่ความเป็นศูนย์กลางตามระดับ (degree centrality ) , ความเป็นศูนย์กลางตามความใกล้ชิด (closeness centrality) , ความเป็น ศูนย์กลางตามความอยู่ระหว่าง (betweenness centrality) , ความเป็นศูนย์กลางตามเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ (eigenvector centrality ) และความเป็นศูนย์กลางตามค่า Katz (katz centrality) โดยทั่วไปวัตถุประสงค์ของการวิเคราะห์เครือข่ายจะเป็นตัวกำหนดประเภทของการวัดค่าความเป็นศูนย์กลางที่จะใช้^{[ 39 ]}

• ค่าความเป็นศูนย์กลางของโหนดในเครือข่าย คือ จำนวนลิงก์ (จุดยอด) ที่เชื่อมต่อกับโหนดนั้น
• ค่าความใกล้ชิด (Closeness centrality)กำหนดว่าโหนดหนึ่งอยู่ "ใกล้" กับโหนดอื่นๆ ในเครือข่ายมากแค่ไหน โดยวัดจากผลรวมของระยะทางที่สั้นที่สุด (เส้นทางจีโอเดสิก) ระหว่างโหนดนั้นกับโหนดอื่นๆ ทั้งหมดในเครือข่าย
• ค่า Betweenness centralityกำหนดความสำคัญสัมพัทธ์ของโหนดโดยการวัดปริมาณการรับส่งข้อมูลที่ไหลผ่านโหนดนั้นไปยังโหนดอื่นๆ ในเครือข่าย โดยจะวัดสัดส่วนของเส้นทางที่เชื่อมต่อโหนดทุกคู่และมีโหนดที่สนใจอยู่ด้วย ส่วนค่า Group Betweenness centrality วัดปริมาณการรับส่งข้อมูลที่ไหลผ่านกลุ่มของโหนด
• ความเป็นศูนย์กลางแบบเวกเตอร์ลักษณะ เฉพาะ (Eigenvector centrality)เป็นรูปแบบที่ซับซ้อนกว่าความเป็นศูนย์กลางแบบดีกรี (Degree centrality) โดยที่ความเป็นศูนย์กลางของโหนดไม่ได้ขึ้นอยู่กับจำนวนลิงก์ที่เชื่อมต่อกับโหนดนั้นเท่านั้น แต่ยังขึ้นอยู่กับคุณภาพของลิงก์เหล่านั้นด้วย ปัจจัยด้านคุณภาพนี้ถูกกำหนดโดยเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ประชิดของเครือข่าย
• ค่า ความเป็นศูนย์กลางของ Katzของโหนดวัดได้จากการรวมระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างโหนดนั้นกับโหนดทั้งหมด (ที่สามารถเข้าถึงได้) ในเครือข่าย ระยะทางเหล่านี้จะมีค่าน้ำหนัก โดยระยะทางที่เชื่อมต่อโหนดกับเพื่อนบ้านที่อยู่ใกล้เคียงจะมีน้ำหนักมากกว่าระยะทางที่เชื่อมต่อกับโหนดที่อยู่ไกลออกไปจากเพื่อนบ้านเหล่านั้น

ในปี ค.ศ. 1927 ดับเบิลยู.โอ. เคอร์แม็ค และ เอ.จี. แม็คเคนดริก ได้สร้างแบบจำลองขึ้น โดยพิจารณาประชากรคงที่ที่มีเพียงสามกลุ่มย่อย คือ กลุ่มที่อ่อนแอต่อโรค:${\displaystyle S(t)}$, ติดเชื้อแล้ว,${\displaystyle I(t)}$และฟื้นตัวแล้ว${\displaystyle R(t)}$ส่วนประกอบที่ใช้ในแบบจำลองนี้ประกอบด้วยสามประเภท:

• ${\displaystyle S(t)}$ใช้เพื่อแสดงจำนวนบุคคลที่ยังไม่ติดเชื้อ ณ เวลา t หรือบุคคลที่มีความเสี่ยงต่อการติดเชื้อ
• ${\displaystyle I(t)}$หมายถึงจำนวนผู้ที่ติดเชื้อและสามารถแพร่เชื้อไปยังผู้ที่อยู่ในกลุ่มเสี่ยงได้
• ${\displaystyle R(t)}$ช่องนี้ใช้สำหรับผู้ที่ติดเชื้อและหายจากโรคแล้ว ผู้ที่อยู่ในกลุ่มนี้จะไม่สามารถติดเชื้อซ้ำหรือแพร่เชื้อไปยังผู้อื่นได้

สามารถพิจารณาขั้นตอนการทำงานของแบบจำลองนี้ได้ดังต่อไปนี้:

${\displaystyle {\mathcal {S}}\rightarrow {\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {R}}}$

โดยใช้ประชากรคงที่${\displaystyle N=S(t)+I(t)+R(t)}$เคอร์แม็คและแมคเคนดริกได้พัฒนาสมการต่อไปนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=-\beta SI\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&=\beta SI-\gamma I\\[8pt]{\frac {dR}{dt}}&=\gamma I\end{aligned}}}$

ในการกำหนดสมการเหล่านี้ มีการตั้งสมมติฐานหลายประการ: ประการแรก บุคคลในประชากรแต่ละคนจะต้องถือว่ามีโอกาสเท่ากันกับบุคคลอื่น ๆ ในการติดเชื้อโรคด้วยอัตรา (Rate)${\displaystyle \beta }$ซึ่งถือเป็นอัตราการสัมผัสหรือการติดเชื้อของโรค ดังนั้น ผู้ติดเชื้อจึงสามารถสัมผัสและแพร่เชื้อไปยังผู้อื่นได้${\displaystyle \beta N}$อื่นๆ ต่อหน่วยเวลา และสัดส่วนของการสัมผัสระหว่างผู้ติดเชื้อกับผู้ที่ยังไม่ติดเชื้อคือ${\displaystyle S/N}$จำนวนการติดเชื้อใหม่ต่อหน่วยเวลาต่อผู้ติดเชื้อหนึ่งรายคือ${\displaystyle \beta N(S/N)}$โดยให้ค่าอัตราการติดเชื้อใหม่ (หรือผู้ที่ออกจากกลุ่มเสี่ยง) เป็นดังนี้${\displaystyle \beta N(S/N)I=\beta SI}$(Brauer & Castillo-Chavez, 2001) สำหรับสมการที่สองและสาม ให้พิจารณาจำนวนประชากรที่ออกจากกลุ่มผู้เสี่ยงต่อการติดเชื้อเท่ากับจำนวนประชากรที่เข้าสู่กลุ่มผู้ติดเชื้อ อย่างไรก็ตาม ผู้ติดเชื้อจะออกจากกลุ่มนี้ต่อหน่วยเวลาเพื่อเข้าสู่กลุ่มผู้หายป่วย/ผู้ถูกกำจัดเชื้อในอัตราหนึ่ง${\displaystyle \gamma }$ต่อหน่วยเวลา (โดยที่${\displaystyle \gamma }$แสดงถึงอัตราการฟื้นตัวเฉลี่ย หรือ${\displaystyle 1/\gamma }$ ระยะเวลาการติดเชื้อเฉลี่ย) กระบวนการเหล่านี้ซึ่งเกิดขึ้นพร้อมกันเรียกว่ากฎแห่งการกระทำมวลสารซึ่งเป็นแนวคิดที่ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางว่า อัตราการติดต่อกันระหว่างสองกลุ่มในประชากรเป็นสัดส่วนกับขนาดของแต่ละกลุ่มที่เกี่ยวข้อง (Daley & Gani, 2005) สุดท้ายนี้ สันนิษฐานว่าอัตราการติดเชื้อและการฟื้นตัวเร็วกว่าช่วงเวลาของการเกิดและการตายมาก ดังนั้น ปัจจัยเหล่านี้จึงถูกละเลยในแบบจำลองนี้

สามารถอ่านข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับแบบจำลองนี้ได้ที่ หน้าแบบ จำลองการระบาด (Epidemic model page)

สมการหลักสามารถแสดงพฤติกรรมของเครือข่ายที่เติบโตแบบไม่มีทิศทาง โดยในแต่ละช่วงเวลา จะมีการเพิ่มโหนดใหม่เข้าไปในเครือข่าย ซึ่งเชื่อมโยงกับโหนดเก่า (ที่เลือกแบบสุ่มและไม่มีความชอบเป็นพิเศษ) เครือข่ายเริ่มต้นประกอบด้วยสองโหนดและสองลิงก์ระหว่างกัน ณ เวลา t${\displaystyle t=2}$การกำหนดค่านี้จำเป็นเพียงเพื่อลดความซับซ้อนของการคำนวณต่อไปเท่านั้น ดังนั้นในบางครั้ง${\displaystyle t=n}$เครือข่ายมี${\displaystyle n}$โหนดและ${\displaystyle n}$ลิงก์

สมการหลักสำหรับเครือข่ายนี้คือ:

${\displaystyle p(k,s,t+1)={\frac {1}{t}}p(k-1,s,t)+\left(1-{\frac {1}{t}}\right)p(k,s,t),}$

ที่ไหน${\displaystyle p(k,s,t)}$คือความน่าจะเป็นที่จะมีโหนดนั้น${\displaystyle s}$ด้วยปริญญา${\displaystyle k}$ในเวลานั้น${\displaystyle t+1}$, และ${\displaystyle s}$คือช่วงเวลาที่โหนดนี้ถูกเพิ่มเข้าไปในเครือข่าย โปรดทราบว่ามีเพียงสองวิธีเท่านั้นสำหรับโหนดเก่า${\displaystyle s}$ที่จะมี${\displaystyle k}$ลิงก์ ณ เวลา${\displaystyle t+1}$:

• โหนด${\displaystyle s}$มีปริญญา${\displaystyle k-1}$ในเวลานั้น${\displaystyle t}$และจะเชื่อมต่อโดยโหนดใหม่ด้วยความน่าจะเป็น${\displaystyle 1/t}$
• มีปริญญาอยู่แล้ว${\displaystyle k}$ในเวลานั้น${\displaystyle t}$และจะไม่ถูกเชื่อมโยงโดยโหนดใหม่

หลังจากลดความซับซ้อนของแบบจำลองนี้แล้ว การกระจายระดับดีกรีจะเป็นดังนี้${\displaystyle P(k)=2^{-k}.}$^{[ 50 ]}

จากเครือข่ายที่กำลังเติบโตนี้ จึงได้มีการพัฒนารูปแบบการแพร่ระบาดโดยใช้กฎง่ายๆ ดังนี้: ทุกครั้งที่มีการเพิ่มโหนดใหม่ และหลังจากเลือกโหนดเก่าที่จะเชื่อมต่อแล้ว จะมีการตัดสินใจว่าโหนดใหม่นี้จะติดเชื้อหรือไม่ สมการหลักสำหรับรูปแบบการแพร่ระบาดนี้คือ:

${\displaystyle p_{r}(k,s,t)=r_{t}{\frac {1}{t}}p_{r}(k-1,s,t)+\left(1-{\frac {1}{t}}\right)p_{r}(k,s,t),}$

ที่ไหน${\displaystyle r_{t}}$แสดงถึงการตัดสินใจที่จะแพร่เชื้อ (${\displaystyle r_{t}=1}$) หรือไม่ (${\displaystyle r_{t}=0}$เมื่อแก้สมการหลักนี้แล้ว จะได้คำตอบดังต่อไปนี้:${\displaystyle {\tilde {P}}_{r}(k)=\left({\frac {r}{2}}\right)^{k}.}$^{[ 51 ]}