ในทฤษฎีกราฟและการวิเคราะห์เครือข่ายตัวชี้วัดความเป็นศูนย์กลางจะกำหนดตัวเลขหรืออันดับให้กับโหนดภายในกราฟที่สอดคล้องกับตำแหน่งในเครือข่าย การประยุกต์ใช้ ได้แก่ การระบุบุคคลที่มีอิทธิพลมากที่สุดในเครือข่ายสังคมโหนดโครงสร้างพื้นฐานที่สำคัญในอินเทอร์เน็ตหรือเครือข่ายเมืองผู้แพร่กระจายโรคอย่างรวดเร็วและเครือข่ายสมอง^{[ 1 ] [ 2 ]}แนวคิดเรื่องความเป็นศูนย์กลางได้รับการพัฒนาขึ้นครั้งแรกในการวิเคราะห์เครือข่ายสังคมและคำศัพท์หลายคำที่ใช้ในการวัดความเป็นศูนย์กลางสะท้อนถึงต้นกำเนิดทางสังคมวิทยา^{[ 3 ]}เมื่อเวลาผ่านไป แนวคิดนี้ได้ขยายตัวอย่างมาก นำไปสู่การพัฒนามาตรวัดความเป็นศูนย์กลางที่แตกต่างกันหลายร้อยรายการ ซึ่งรายการที่ครอบคลุมที่สุดได้รับการบันทึกไว้ในแคตตาล็อกออนไลน์ CentralityZoo ^{[ 4 ]}

ดัชนีความเป็นศูนย์กลางเป็นคำตอบของคำถามที่ว่า "อะไรคือลักษณะเฉพาะของจุดยอดที่สำคัญ?" คำตอบนั้นได้มาจากฟังก์ชันค่าจริงบนจุดยอดของกราฟ โดยค่าที่ได้นั้นคาดว่าจะให้การจัดอันดับที่ระบุโหนดที่สำคัญที่สุด^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

คำว่า "ความสำคัญ" มีความหมายหลากหลาย ทำให้เกิดคำจำกัดความของความเป็นศูนย์กลางที่แตกต่างกันมากมาย มีการเสนอแผนการจัดหมวดหมู่สองแบบ "ความสำคัญ" สามารถพิจารณาได้ในแง่ของประเภทของการไหลหรือการถ่ายโอนข้ามเครือข่าย ซึ่งทำให้สามารถจำแนกความเป็นศูนย์กลางตามประเภทของการไหลที่ถือว่าสำคัญได้^{[ 6 ]}หรืออีกทางหนึ่ง "ความสำคัญ" สามารถพิจารณาได้ในแง่ของการมีส่วนร่วมในความเหนียวแน่นของเครือข่าย ซึ่งทำให้สามารถจำแนกความเป็นศูนย์กลางตามวิธีการวัดความเหนียวแน่นได้^{[ 8 ]}ทั้งสองแนวทางนี้แบ่งความเป็นศูนย์กลางออกเป็นหมวดหมู่ที่แตกต่างกัน ข้อสรุปเพิ่มเติมคือ ความเป็นศูนย์กลางที่เหมาะสมสำหรับหมวดหมู่หนึ่งมักจะ "ไม่เหมาะสม" เมื่อนำไปใช้กับหมวดหมู่อื่น^{[ 6 ]}

มาตรวัดความเป็นศูนย์กลางจำนวนมาก แม้จะไม่ใช่ทั้งหมด นับจำนวนเส้นทาง (หรือเรียกว่าการเดิน) บางประเภทที่ผ่านจุดยอดที่กำหนด มาตรวัดเหล่านี้แตกต่างกันในวิธีการกำหนดและนับการเดินที่เกี่ยวข้อง การจำกัดการพิจารณาเฉพาะกลุ่มนี้ทำให้สามารถจัดหมวดหมู่ซึ่งวางความเป็นศูนย์กลางจำนวนมากไว้บนสเปกตรัมตั้งแต่ที่เกี่ยวข้องกับการเดินที่มีความยาวหนึ่ง ( ความเป็นศูนย์กลางตามดีกรี ) ไปจนถึงการเดินที่ไม่มีที่สิ้นสุด ( ความเป็นศูนย์กลางตามเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ ) ^{[ 5 ] [ 9 ]}มาตรวัดความเป็นศูนย์กลางอื่นๆ เช่นความเป็นศูนย์กลางระหว่างกลางไม่ได้มุ่งเน้นเฉพาะการเชื่อมต่อโดยรวมเท่านั้น แต่ยังมุ่งเน้นที่ตำแหน่งที่เป็นจุดสำคัญต่อการเชื่อมต่อของเครือข่ายด้วย

เครือข่ายสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นคำอธิบายของเส้นทางที่บางสิ่งไหลผ่าน ซึ่งช่วยให้สามารถกำหนดลักษณะตามประเภทของการไหลและประเภทของเส้นทางที่เข้ารหัสโดยศูนย์กลาง การไหลอาจขึ้นอยู่กับการถ่ายโอน โดยที่แต่ละรายการที่ไม่สามารถแบ่งแยกได้จะเคลื่อนจากโหนดหนึ่งไปยังอีกโหนดหนึ่ง เช่น การจัดส่งพัสดุจากสถานที่จัดส่งไปยังบ้านของลูกค้า กรณีที่สองคือการทำซ้ำแบบอนุกรม ซึ่งรายการจะถูกทำซ้ำเพื่อให้ทั้งแหล่งที่มาและปลายทางมีรายการนั้น ตัวอย่างเช่น การแพร่กระจายข้อมูลผ่านการนินทา โดยข้อมูลจะถูกแพร่กระจายในลักษณะส่วนตัว และทั้งโหนดแหล่งที่มาและปลายทางจะได้รับแจ้งเมื่อสิ้นสุดกระบวนการ กรณีสุดท้ายคือการทำซ้ำแบบขนาน โดยที่รายการจะถูกทำซ้ำไปยังลิงก์หลายลิงก์ในเวลาเดียวกัน เช่น การออกอากาศทางวิทยุซึ่งให้ข้อมูลเดียวกันแก่ผู้ฟังจำนวนมากในคราวเดียว^{[ 6 ]}

ในทำนองเดียวกัน ประเภทของเส้นทางสามารถจำกัดได้เป็นเส้นทางจีโอเดสิก (เส้นทางที่สั้นที่สุด) เส้นทาง (ไม่มีจุดยอดใดถูกเยี่ยมชมมากกว่าหนึ่งครั้ง) เส้นทางเดิน (จุดยอดสามารถถูกเยี่ยมชมได้หลายครั้ง ไม่มีขอบใดถูกเดินทางผ่านมากกว่าหนึ่งครั้ง) หรือทางเดิน (จุดยอดและขอบสามารถถูกเยี่ยมชม/เดินทางผ่านได้หลายครั้ง) ^{[ 6 ]}

การจำแนกประเภททางเลือกอื่นสามารถอนุมานได้จากวิธีการสร้างค่าความเป็นศูนย์กลาง ซึ่งจะแบ่งออกเป็นสองประเภทอีกครั้ง ค่าความเป็นศูนย์กลางมีทั้งแบบรัศมีและแบบมัธยฐานค่าความเป็นศูนย์กลางแบบรัศมีนับเส้นทางที่เริ่มต้น/สิ้นสุดจากจุดยอดที่กำหนด ค่า ความเป็นศูนย์กลางตาม ดีกรีและค่าไอเกนเป็นตัวอย่างของค่าความเป็นศูนย์กลางแบบรัศมี ซึ่งนับจำนวนเส้นทางที่มีความยาวหนึ่งหรือความยาวอนันต์ ค่าความเป็นศูนย์กลางแบบมัธยฐานนับเส้นทางที่ผ่านจุดยอดที่กำหนด ตัวอย่างที่เป็นแบบอย่างคือ ค่าความเป็นศูนย์กลาง ระหว่างกลาง ของฟรีแมน ซึ่งเป็นจำนวนเส้นทางที่สั้นที่สุดที่ผ่านจุดยอดที่กำหนด^{[ 8 ]}

ในทำนองเดียวกัน การนับสามารถบันทึกได้ทั้งปริมาณหรือความยาวของเส้นทางเดิน ปริมาณคือจำนวนเส้นทางเดินทั้งหมดของประเภทที่กำหนด ตัวอย่างทั้งสามจากย่อหน้าก่อนหน้านี้จัดอยู่ในหมวดหมู่นี้ ความยาวบันทึกระยะทางจากจุดยอดที่กำหนดไปยังจุดยอดที่เหลือในกราฟ ความ เป็นศูนย์กลาง ความใกล้ชิดระยะทางรวมตามเส้นทางจีโอเดสิกจากจุดยอดที่กำหนดไปยังจุดยอดอื่นๆ ทั้งหมด เป็นตัวอย่างที่รู้จักกันดีที่สุด^{[ 8 ]}โปรดทราบว่าการจำแนกประเภทนี้เป็นอิสระจากประเภทของเส้นทางเดินที่นับ (เช่น เส้นทางเดิน, ทางเดิน, เส้นทาง, เส้นทางจีโอเดสิก)

Borgatti และ Everett เสนอว่าประเภทนี้ให้ข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับวิธีการเปรียบเทียบมาตรวัดความเป็นศูนย์กลางที่ดีที่สุด ความเป็นศูนย์กลางที่อยู่ในกล่องเดียวกันในการจัดประเภท 2×2 นี้มีความคล้ายคลึงกันมากพอที่จะทำให้เป็นทางเลือกที่สมเหตุสมผล เราสามารถเปรียบเทียบได้อย่างสมเหตุสมผลว่าอันไหนดีกว่าสำหรับการใช้งานที่กำหนด อย่างไรก็ตาม มาตรวัดจากกล่องที่ต่างกันนั้นแตกต่างกันโดยสิ้นเชิง การประเมินความเหมาะสมสัมพัทธ์ใดๆ จะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อกำหนดล่วงหน้าว่าหมวดหมู่ใดเหมาะสมกว่า ทำให้การเปรียบเทียบนั้นไร้ประโยชน์^{[ 8 ]}

การวิเคราะห์โครงสร้างเส้นทางแสดงให้เห็นว่าค่าความเป็นศูนย์กลางที่ใช้กันอย่างแพร่หลายเกือบทั้งหมดเป็นการวัดแบบปริมาตรเชิงรัศมี ซึ่งสะท้อนถึงความเชื่อที่ว่าความเป็นศูนย์กลางของจุดยอดหนึ่งๆ นั้นขึ้นอยู่กับความเป็นศูนย์กลางของจุดยอดอื่นๆ ที่มันเกี่ยวข้องด้วย ค่าความเป็นศูนย์กลางแต่ละแบบจะแตกต่างกันไปตามวิธีการกำหนดความสัมพันธ์

Bonacich แสดงให้เห็นว่าหากความสัมพันธ์ถูกกำหนดในแง่ของการเดินแล้ว จะสามารถกำหนดตระกูลของค่าความเป็นศูนย์กลางได้โดยพิจารณาจากความยาวของการเดิน^{[ 5 ]}ค่าความเป็นศูนย์กลางตามดีกรีจะนับการเดินที่มีความยาวหนึ่ง ในขณะที่ค่าความเป็นศูนย์กลางตามค่าลักษณะเฉพาะจะนับการเดินที่มีความยาวอนันต์ คำจำกัดความทางเลือกของความสัมพันธ์ก็สมเหตุสมผลเช่นกันค่าความเป็นศูนย์กลางแบบอัลฟาอนุญาตให้จุดยอดมีแหล่งอิทธิพลภายนอก ค่าความเป็นศูนย์กลางแบบกราฟย่อยของ Estrada เสนอให้พิจารณาเฉพาะเส้นทางปิด (สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม ฯลฯ) เท่านั้น

หัวใจสำคัญของมาตรการดังกล่าวคือการสังเกตว่ากำลังของเมทริกซ์ประชิดของกราฟจะให้จำนวนเส้นทางเดินที่มีความยาวตามกำลังนั้น ในทำนองเดียวกัน เมทริกซ์เอกซ์โพเนนเชียลก็มีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับจำนวนเส้นทางเดินที่มีความยาวที่กำหนด การแปลงเมทริกซ์ประชิดเบื้องต้นช่วยให้สามารถกำหนดประเภทของเส้นทางเดินที่นับได้แตกต่างกัน ภายใต้แนวทางใดแนวทางหนึ่ง ความเป็นศูนย์กลางของจุดยอดสามารถแสดงได้เป็นผลรวมอนันต์ ไม่ว่าจะเป็น

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }A_{R}^{k}\beta ^{k}}$

สำหรับกำลังเมทริกซ์หรือ

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(A_{R}\beta )^{k}}{k!}}}$

สำหรับเมทริกซ์เอกซ์โพเนนเชียล โดยที่

• ${\displaystyle k}$คือระยะทางเดิน
• ${\displaystyle A_{R}}$คือเมทริกซ์ประชิดที่แปลงแล้ว และ
• ${\displaystyle \beta }$เป็นพารามิเตอร์ส่วนลดที่ช่วยให้ผลรวมลู่เข้าสู่ค่าที่เหมาะสม

ตระกูลการวัดของ Bonacich ไม่ได้แปลงเมทริกซ์ความประชิดAlpha centralityแทนที่เมทริกซ์ความประชิดด้วยresolvent ของมัน Subgraph centrality แทนที่เมทริกซ์ความประชิดด้วย trace ของมัน ข้อสรุปที่น่าประหลาดใจคือ ไม่ว่าการแปลงเริ่มต้นของเมทริกซ์ความประชิดจะเป็นอย่างไร วิธีการทั้งหมดเหล่านี้มีพฤติกรรมจำกัดร่วมกัน เมื่อเข้าใกล้ศูนย์ ดัชนีจะลู่เข้าสู่degree centralityเมื่อเข้าใกล้ค่าสูงสุด ดัชนีจะลู่เข้าสู่eigenvalue centrality ^{[ 9 ]}${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta }$

ลักษณะทั่วไปของมาตรการมาตรฐานส่วนใหญ่ที่กล่าวมาข้างต้นคือ การประเมินความสำคัญของโหนดโดยมุ่งเน้นเฉพาะบทบาทที่โหนดนั้นมีด้วยตัวมันเองเท่านั้น อย่างไรก็ตาม ในหลายแอปพลิเคชัน วิธีการดังกล่าวไม่เพียงพอ เนื่องจากอาจเกิดการทำงานร่วมกันหากพิจารณาการทำงานของโหนดเป็นกลุ่ม

ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาปัญหาการหยุดยั้งการระบาดของโรค ดูจากภาพเครือข่ายด้านบน เราควรฉีดวัคซีนให้โหนดใดบ้าง? จากมาตรการที่อธิบายไว้ก่อนหน้านี้ เราต้องการระบุโหนดที่มีความสำคัญที่สุดในการแพร่กระจายของโรค แนวทางที่อิงตามค่าความเป็นศูนย์กลางเพียงอย่างเดียว ซึ่งเน้นที่ลักษณะเฉพาะของโหนดแต่ละโหนด อาจไม่ใช่ความคิดที่ดี โหนดในกรอบสีแดงแต่ละโหนดไม่สามารถหยุดยั้งการแพร่กระจายของโรคได้ แต่เมื่อพิจารณาเป็นกลุ่ม เราจะเห็นได้อย่างชัดเจนว่าพวกมันสามารถหยุดยั้งโรคได้หากโรคเริ่มต้นที่โหนด, , และค่าความเป็นศูนย์กลางตามทฤษฎีเกมพยายามพิจารณาปัญหาและโอกาสที่อธิบายไว้ โดยใช้เครื่องมือจากทฤษฎีเกม แนวทางที่เสนอใน^{[ 10 ]}ใช้ค่า Shapleyเนื่องจากความยากลำบากในการคำนวณค่า Shapley ในแง่ของความซับซ้อนของเวลา ความพยายามส่วนใหญ่ในโดเมนนี้จึงมุ่งเน้นไปที่การนำอัลกอริทึมและวิธีการใหม่ๆ มาใช้ ซึ่งอาศัยโทโพโลยีเฉพาะของเครือข่ายหรือลักษณะพิเศษของปัญหา แนวทางดังกล่าวอาจนำไปสู่การลดความซับซ้อนของเวลาจากเลขชี้กำลังเป็นพหุนาม ${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle v_{4}}$${\displaystyle v_{5}}$

ในทำนองเดียวกัน แนวคิดการแก้ปัญหาการกระจายอำนาจ ( ^{[ 11 ]} ) ใช้ดัชนีอำนาจ Shapley-Shubikแทนค่า Shapleyเพื่อวัดอิทธิพลโดยตรงแบบทวิภาคีระหว่างผู้เล่น การกระจายนี้เป็นประเภทหนึ่งของความเป็นศูนย์กลางเวกเตอร์เฉพาะ มันถูกใช้เพื่อจัดเรียงวัตถุข้อมูลขนาดใหญ่ใน Hu (2020) ^{[ 12 ]}เช่น การจัดอันดับวิทยาลัยในสหรัฐอเมริกา

ดัชนีความเป็นศูนย์กลางมีข้อจำกัดที่สำคัญสองประการ ประการหนึ่งชัดเจนและอีกประการหนึ่งไม่ชัดเจน ข้อจำกัดที่ชัดเจนคือ ความเป็นศูนย์กลางที่เหมาะสมที่สุดสำหรับการใช้งานหนึ่ง มักจะไม่เหมาะสมที่สุดสำหรับการใช้งานอื่น อันที่จริง หากไม่เป็นเช่นนั้น เราคงไม่ต้องการความเป็นศูนย์กลางที่แตกต่างกันมากมาย ตัวอย่างของปรากฏการณ์นี้คือกราฟว่าว Krackhardtซึ่งแนวคิดเรื่องความเป็นศูนย์กลางที่แตกต่างกันสามแบบทำให้ได้ตัวเลือกจุดยอดที่เป็นศูนย์กลางที่สุดที่แตกต่างกันสามแบบ^{[ 13 ]}

ข้อจำกัดที่ละเอียดอ่อนกว่านั้นคือความเข้าใจผิดที่แพร่หลายว่าความสำคัญของจุดยอดบ่งชี้ถึงความสำคัญสัมพัทธ์ของจุดยอด ดัชนีความสำคัญได้รับการออกแบบมาโดยเฉพาะเพื่อสร้างการจัดอันดับที่ช่วยให้สามารถระบุจุดยอดที่สำคัญที่สุดได้^{[ 5 ] [ 6 ]}ซึ่งทำได้ดีภายใต้ข้อจำกัดที่กล่าวมาข้างต้น ดัชนีเหล่านี้ไม่ได้ออกแบบมาเพื่อวัดอิทธิพลของโหนดโดยทั่วไป เมื่อเร็วๆ นี้ นักฟิสิกส์เครือข่ายได้เริ่มพัฒนา เมตริกอิทธิพลของโหนดเพื่อแก้ไขปัญหานี้

ข้อผิดพลาดมีสองประการ ประการแรก การจัดอันดับจะเรียงลำดับจุดยอดตามความสำคัญเท่านั้น ไม่ได้ระบุปริมาณความแตกต่างของความสำคัญระหว่างระดับการจัดอันดับที่แตกต่างกัน ซึ่งอาจบรรเทาได้โดยการใช้Freeman centralizationกับการวัดค่า centrality ดังกล่าว ซึ่งให้ข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับความสำคัญของโหนดโดยขึ้นอยู่กับความแตกต่างของคะแนน centralization นอกจากนี้ Freeman centralization ยังช่วยให้สามารถเปรียบเทียบเครือข่ายหลายเครือข่ายได้โดยการเปรียบเทียบคะแนน centralization สูงสุด^{[ 14 ]}

ประการที่สอง คุณสมบัติที่ระบุจุดยอดที่สำคัญที่สุดในเครือข่าย/แอปพลิเคชันที่กำหนด (อย่างถูกต้อง) ไม่จำเป็นต้องสามารถนำไปใช้กับจุดยอดที่เหลือได้ สำหรับโหนดเครือข่ายส่วนใหญ่ การจัดอันดับอาจไม่มีความหมาย^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}นี่คือเหตุผลว่าทำไม ตัวอย่างเช่น ผลลัพธ์เพียงไม่กี่รายการแรกของการค้นหารูปภาพของ Google จึงปรากฏในลำดับที่เหมาะสม PageRank เป็นมาตรวัดที่ไม่เสถียรอย่างมาก แสดงให้เห็นการเปลี่ยนแปลงอันดับบ่อยครั้งหลังจากการปรับพารามิเตอร์การกระโดดเพียงเล็กน้อย^{[ 19 ]}

แม้ว่าความล้มเหลวของดัชนีศูนย์กลางในการสรุปผลไปยังส่วนที่เหลือของเครือข่ายอาจดูเหมือนขัดกับสัญชาตญาณในตอนแรก แต่ก็เป็นผลโดยตรงจากคำจำกัดความข้างต้น เครือข่ายที่ซับซ้อนมีโทโพโลยีที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน ในระดับที่การวัดที่เหมาะสมที่สุดขึ้นอยู่กับโครงสร้างเครือข่ายของจุดยอดที่สำคัญที่สุด การวัดที่เหมาะสมที่สุดสำหรับจุดยอดดังกล่าวจึงไม่เหมาะสมที่สุดสำหรับส่วนที่เหลือของเครือข่าย^{[ 15 ]}

ในอดีต แนวคิดแรกและง่ายที่สุดคือค่าศูนย์กลางตามจำนวนลิงก์ (degree centrality ) ซึ่งนิยามว่าคือจำนวนลิงก์ที่เข้ามายังโหนด (กล่าวคือ จำนวนความสัมพันธ์ที่โหนดนั้นมี) ค่าศูนย์กลางนี้สามารถตีความได้ในแง่ของความเสี่ยงโดยตรงที่โหนดนั้นจะติดสิ่งที่ไหลผ่านเครือข่าย (เช่น ไวรัส หรือข้อมูลบางอย่าง) ในกรณีของเครือข่ายแบบมีทิศทาง (ที่ความสัมพันธ์มีทิศทาง) เรามักจะกำหนดค่าศูนย์กลางตามจำนวนลิงก์สองแบบแยกกัน คือ ค่าศูนย์กลางขาเข้า (indegree)และ ค่าศูนย์กลางขา ออก (outdegree ) โดยค่าศูนย์กลางขาเข้าคือจำนวนความสัมพันธ์ที่ส่งตรงมายังโหนด และค่าศูนย์กลางขาออกคือจำนวนความสัมพันธ์ที่โหนดนั้นส่งไปยังโหนดอื่น เมื่อความสัมพันธ์เกี่ยวข้องกับแง่มุมเชิงบวก เช่น มิตรภาพหรือความร่วมมือ ค่าศูนย์กลางขาเข้ามักถูกตีความว่าเป็นรูปแบบของความนิยม และค่าศูนย์กลางขาออกเป็นลักษณะของความเป็นมิตร

ค่าความสำคัญของจุดยอด (degree centrality) สำหรับกราฟที่กำหนดซึ่งมีจุดยอดและขอบจำนวนหนึ่ง ถูกกำหนดดังนี้ ${\displaystyle v}$${\displaystyle G:=(V,E)}$${\displaystyle |V|}$${\displaystyle |E|}$

${\displaystyle C_{D}(v)=\deg(v)}$

การคำนวณค่าความสำคัญของโหนดทั้งหมดในกราฟจะใช้เมทริกซ์ความสัมพันธ์แบบหนาแน่นในการแสดงกราฟ และสำหรับขอบจะใช้เมทริกซ์ความสัมพันธ์แบบเบาบางในการแสดง กราฟ${\displaystyle \ทีต้า (V^{2})}$${\displaystyle \Theta (E)}$

นิยามของความเป็นศูนย์กลางในระดับโหนดสามารถขยายไปยังกราฟทั้งหมดได้ ซึ่งในกรณีนี้เรากำลังพูดถึงการทำให้กราฟเป็นศูนย์กลาง [ ^{20 ] ให้}เป็นโหนดที่มีความเป็นศูนย์กลางระดับสูงสุดในให้เป็นกราฟที่เชื่อมต่อกัน n โหนด ที่ทำให้ปริมาณต่อไปนี้มีค่าสูงสุด (โดยที่เป็นโหนดที่มีความเป็นศูนย์กลางระดับสูงสุดใน): ${\displaystyle v*}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X:=(Y,Z)}$${\displaystyle |Y|}$${\displaystyle y*}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle H=\sum _{j=1}^{|Y|}[C_{D}(y*)-C_{D}(y_{j})]}$

ดังนั้น การกระจายตัวของดีกรีในกราฟจึงเป็นดังนี้: ${\displaystyle G}$

${\displaystyle C_{D}(G)={\frac {\sum _{i=1}^{|V|}[C_{D}(v*)-C_{D}(v_{i})]}{H}}}$

ค่าของจะมีค่าสูงสุดเมื่อกราฟมีโหนดกลางเพียงโหนดเดียวที่เชื่อมต่อกับโหนดอื่นๆ ทั้งหมด ( กราฟรูปดาว ) และในกรณีนี้ ${\displaystyle H}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle H=(n-1)\cdot ((n-1)-1)=n^{2}-3n+2.}$

ดังนั้น สำหรับกราฟใดๆ${\displaystyle G:=(V,E),}$

${\displaystyle C_{D}(G)={\frac {\sum _{i=1}^{|V|}[C_{D}(v*)-C_{D}(v_{i})]}{|V|^{2}-3|V|+2}}}$

นอกจากนี้ การวัดระดับศูนย์กลางทั่วโลกแบบใหม่ที่ครอบคลุมมากขึ้นซึ่งเรียกว่า Tendency to Make Hub (TMH) กำหนดไว้ดังนี้: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\text{TMH}}={\frac {\sum _{i=1}^{|V|}\deg(v)^{2}}{\sum _{i=1}^{|V|}\deg(v)}}}$

โดยที่ TMH จะเพิ่มขึ้นตามการปรากฏของค่าศูนย์กลางดีกรีในเครือข่าย

ในกราฟที่เชื่อมต่อกัน ค่าความใกล้ชิดที่ปรับให้เป็นมาตรฐาน (หรือค่าความใกล้ชิด ) ของโหนด คือความยาวเฉลี่ยของเส้นทางที่สั้นที่สุดระหว่างโหนดนั้นกับโหนดอื่นๆ ทั้งหมดในกราฟ ดังนั้น ยิ่งโหนดมีความเป็นศูนย์กลางมากเท่าใด ก็ยิ่งอยู่ใกล้กับโหนดอื่นๆ มากขึ้นเท่านั้น

ความใกล้ชิดถูกกำหนดโดยAlex Bavelas (1950) ว่าเป็นส่วนกลับของความห่างไกล [ ^{21 ] [ 22 ] นั่น}คือโดยที่คือระยะทางระหว่างจุดยอดuและvอย่างไรก็ตาม เมื่อพูดถึงศูนย์กลางความใกล้ชิด ผู้คนมักจะอ้างถึงรูปแบบมาตรฐาน ซึ่งกำหนดโดยสูตรก่อนหน้าคูณด้วย โดยที่คือจำนวนโหนดในกราฟ ${\textstyle C_{B}(วี)=(\sum _{u}d(u,v))^{-1}}$${\displaystyle d(u,v)}$${\displaystyle N-1}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle C(v)={\frac {N-1}{\sum _{u}d(u,v)}}.}$

การทำให้เป็นมาตรฐานนี้ช่วยให้สามารถเปรียบเทียบระหว่างโหนดของกราฟที่มีขนาดต่างกันได้ สำหรับกราฟจำนวนมาก มีความสัมพันธ์ที่แข็งแกร่งระหว่างค่าผกผันของความใกล้ชิดและลอการิทึมของดีกรี^{[ 23 ]} โดยที่คือดีกรีของจุดยอดvในขณะที่ α และ β เป็นค่าคงที่สำหรับแต่ละเครือข่าย ${\displaystyle (C(v))^{-1}\ประมาณ -\alpha \ln(k_{v})+\beta }$${\displaystyle k_{v}}$

การคำนวณระยะห่างจากหรือไปยังโหนดอื่นๆ ทั้งหมดนั้นไม่มีความสำคัญในกราฟแบบไม่มีทิศทาง ในขณะที่อาจให้ผลลัพธ์ที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิงในกราฟแบบมีทิศทาง (เช่น เว็บไซต์หนึ่งอาจมีค่าความใกล้ชิดสูงจากลิงก์ขาออก แต่มีค่าความใกล้ชิดต่ำจากลิงก์ขาเข้า)

ในกราฟ (ที่ไม่จำเป็นต้องเชื่อมต่อกัน) ค่าฮาร์มอนิกเซ็นทรัลลิตี้จะกลับผลรวมและผลต่างในนิยามของค่าโคลเนสเซ็นทรัลลิตี้:

${\displaystyle H(v)=\sum _{u|u\neq v}{\frac {1}{d(u,v)}}}$

ในกรณีที่ไม่มีเส้นทางจากuไปยังvค่าฮาร์มอนิกเซ็นทรัลลิตี้สามารถทำให้เป็นมาตรฐานได้โดยการหารด้วย โดยที่คือจำนวนโหนดในกราฟ ${\displaystyle 1/d(u,v)=0}$${\displaystyle N-1}$${\displaystyle N}$

MarchioriและLatora (2000) ^{[ 24 ]}เสนอแนวคิดเรื่องศูนย์กลางฮาร์มอนิกและต่อมา Dekker (2005) เสนอแนวคิดนี้โดยอิสระ โดยใช้ชื่อว่า "ศูนย์กลางที่มีค่า" ^{[ 25 ]}และ Rochat (2009) ^{[ 26 ]}

ค่า Betweennessเป็นการวัดความสำคัญของจุดยอดภายในกราฟ (นอกจากนี้ยังมี ค่า Betweenness ของขอบซึ่งไม่ได้กล่าวถึงในที่นี้) ค่า Betweenness centrality จะวัดจำนวนครั้งที่โหนดทำหน้าที่เป็นสะพานตามเส้นทางที่สั้นที่สุดระหว่างโหนดอื่นสองโหนดLinton Freemanได้ นำเสนอค่านี้เพื่อใช้เป็นมาตรวัดการควบคุมของมนุษย์ต่อการสื่อสารระหว่างมนุษย์ด้วยกันในเครือข่ายสังคม ^{[ 27 ]} ในแนวคิดของเขา จุดยอดที่มีความน่าจะเป็นสูงที่จะปรากฏบน เส้นทางที่สั้นที่สุดที่เลือกแบบสุ่มระหว่างจุดยอดสองจุดที่เลือกแบบสุ่มจะมีค่า Betweenness สูง

ค่าความเป็นกลางของจุดยอดในกราฟที่มีจุดยอดจำนวน n จุด คำนวณได้ดังนี้: ${\displaystyle v}$${\displaystyle G:=(V,E)}$${\displaystyle V}$

1. สำหรับแต่ละคู่ของจุดยอด ( s , t ) ให้คำนวณหาเส้นทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุดยอดทั้งสอง
2. สำหรับแต่ละคู่ของจุดยอด ( s , t ) ให้หาเศษส่วนของเส้นทางที่สั้นที่สุดที่ผ่านจุดยอดนั้น (ในที่นี้คือจุดยอดv )
3. รวมเศษส่วนนี้เข้าด้วยกันสำหรับทุกคู่ของจุดยอด ( s , t )

โดยกระชับยิ่งขึ้น ความอยู่ระหว่างกลางสามารถแสดงได้ดังนี้: ^{[ 28 ]}

${\displaystyle C_{B}(v)=\sum _{s\neq v\neq t\in V}{\frac {\sigma _{st}(v)}{\sigma _{st}}}}$

โดยที่คือจำนวนเส้นทางที่สั้นที่สุดทั้งหมดจากโหนดหนึ่งไปยังอีกโหนดหนึ่งและคือจำนวนเส้นทางเหล่านั้นที่ผ่านโหนดนั้นค่าระหว่างกลาง (betweenness) สามารถทำให้เป็นค่ามาตรฐานได้โดยการหารด้วยจำนวนคู่ของจุดยอดที่ไม่รวมvซึ่งสำหรับกราฟแบบมีทิศทางคือและสำหรับกราฟแบบไม่มีทิศทางคือตัวอย่างเช่น ในกราฟรูปดาว แบบไม่มี ทิศทาง จุดยอดตรงกลาง (ซึ่งอยู่ในทุกเส้นทางที่สั้นที่สุดที่เป็นไปได้) จะมีค่าระหว่างกลางเท่ากับ(1 ถ้าทำให้เป็นค่ามาตรฐาน) ในขณะที่จุดยอดใบ (ซึ่งไม่อยู่ในเส้นทางที่สั้นที่สุดใดๆ) จะมีค่าระหว่างกลางเท่ากับ 0 ${\displaystyle \sigma _{st}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \sigma _{st}(v)}$${\displaystyle v}$${\displaystyle (n-1)(n-2)}$${\displaystyle (n-1)(n-2)/2}$${\displaystyle (n-1)(n-2)/2}$

ในแง่ของการคำนวณ ทั้งค่าความเป็นศูนย์กลางระหว่างจุดและค่าความเป็นศูนย์กลางความใกล้ชิดของจุดยอดทั้งหมดในกราฟนั้นเกี่ยวข้องกับการคำนวณเส้นทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุดยอดทุกคู่บนกราฟ ซึ่งต้องใช้เวลาด้วยอัลกอริทึม Floyd–Warshallอย่างไรก็ตาม ในกราฟแบบเบาบางอัลกอริทึมของ Johnsonอาจมีประสิทธิภาพมากกว่า แต่ต้องใช้เวลา ในกรณีของกราฟที่ไม่มีน้ำหนัก การคำนวณสามารถทำได้ด้วยอัลกอริทึมของ Brandes ^{[ 28 ]}ซึ่งต้องใช้เวลา โดยปกติแล้ว อัลกอริทึมเหล่านี้จะถือว่ากราฟเป็นกราฟแบบไม่มีทิศทางและเชื่อมต่อกันโดยอนุญาตให้มีวงวนและขอบหลายเส้น เมื่อต้องจัดการกับกราฟเครือข่ายโดยเฉพาะ กราฟมักจะไม่มีวงวนหรือขอบหลายเส้นเพื่อรักษาความสัมพันธ์ที่เรียบง่าย (โดยที่ขอบแสดงถึงการเชื่อมต่อระหว่างบุคคลหรือจุดยอดสองจุด) ในกรณีนี้ การใช้อัลกอริทึมของ Brandes จะหารคะแนนความเป็นศูนย์กลางสุดท้ายด้วย 2 เพื่อคำนึงถึงเส้นทางที่สั้นที่สุดแต่ละเส้นที่ถูกนับสองครั้ง^{[ 28 ]}${\displaystyle O(V^{3})}$${\displaystyle O(|V||E|+|V|^{2}\log |V|)}$${\displaystyle O(|V||E|)}$

ค่าความเป็นศูนย์กลางของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ (เรียกอีกอย่างว่าค่าความเป็นศูนย์กลาง ของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ ) เป็นการวัดอิทธิพลของโหนดในเครือข่ายโดยจะกำหนดคะแนนสัมพัทธ์ให้กับทุกโหนดในเครือข่ายโดยอิงจากแนวคิดที่ว่าการเชื่อมต่อกับโหนดที่มีคะแนนสูงจะส่งผลต่อคะแนนของโหนดนั้นมากกว่าการเชื่อมต่อที่เท่ากันกับโหนดที่มีคะแนนต่ำ^{[ 29 ] [ 7 ]} PageRankของGoogleและค่าความเป็นศูนย์กลางของ Katzเป็นรูปแบบหนึ่งของค่าความเป็นศูนย์กลางของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ^{[ 30 ]}

สำหรับกราฟที่มีจำนวนจุดยอด ให้เป็นเมทริกซ์ประชิด กล่าว คือถ้าจุดยอดเชื่อมโยงกับจุดยอดและเป็น มิเช่นนั้น คะแนนความสำคัญสัมพัทธ์ของจุดยอดสามารถกำหนดได้ว่าเป็นคำตอบที่ไม่เป็นลบของเซตของจุดยอดต่อสมการต่อไปนี้: ${\displaystyle G:=(V,E)}$${\displaystyle |V|}$${\displaystyle A=(a_{v,t})}$${\displaystyle a_{v,t}=1}$${\displaystyle v}$${\displaystyle t}$${\displaystyle a_{v,t}=0}$${\displaystyle x_{v}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v\in V}$

${\displaystyle x_{v}={\frac {1}{\lambda }}\sum _{t\in M(v)}x_{t}={\frac {1}{\lambda }}\sum _{t\in G}a_{v,t}x_{t}}$

โดย ที่เป็นเซตของเพื่อนบ้านของและเป็นค่าคงที่ เมื่อจัดเรียงใหม่เล็กน้อย สามารถเขียนใหม่ในรูปแบบเวกเตอร์ได้เป็นสมการเวกเตอร์ ลักษณะเฉพาะ${\displaystyle M(v)}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \mathbf {Ax} ={\lambda }\mathbf {x} }$.

โดยทั่วไป จะมีค่าไอเกน ที่แตกต่างกันมากมาย ซึ่งมีเวกเตอร์ไอเกนที่ไม่เป็นศูนย์อยู่ เนื่องจากค่าในเมทริกซ์ประชิดไม่เป็นลบ จึงมีค่าไอเกนที่ใหญ่ที่สุดเพียงค่าเดียว ซึ่งเป็นจำนวนจริงและเป็นบวก ตามทฤษฎีบทของ Perron–Frobeniusค่าไอเกนที่มากที่สุดนี้จะส่งผลให้ได้ค่าการวัดความเป็นศูนย์กลางที่ต้องการ^{[ 29 ]}ส่วนประกอบของเวกเตอร์ไอเกนที่เกี่ยวข้องจะให้คะแนนความเป็นศูนย์กลางสัมพัทธ์ของจุดยอดในเครือข่าย เวกเตอร์ไอเกนถูกกำหนดไว้เฉพาะจนถึงปัจจัยร่วมเท่านั้น ดังนั้นอัตราส่วนของความเป็นศูนย์กลางของจุดยอดจึงถูกกำหนดไว้อย่างดีเท่านั้น ในการกำหนดคะแนนสัมบูรณ์ จะต้องทำให้เวกเตอร์ไอเกนเป็นมาตรฐาน เช่น ให้ผลรวมของจุดยอดทั้งหมดเป็น 1 หรือจำนวนจุดยอดทั้งหมดn การวนซ้ำกำลัง เป็นหนึ่งใน อัลกอริทึมค่าไอเกนหลายอย่างที่อาจใช้เพื่อค้นหาเวกเตอร์ไอเกนที่โดดเด่นนี้^{[ 30 ]}ยิ่งไปกว่านั้น สิ่งนี้สามารถขยายให้ทั่วไปได้ โดยที่รายการในAสามารถเป็นจำนวนจริงที่แสดงถึงความแข็งแกร่งของการเชื่อมต่อ เช่นเดียวกับในเมทริกซ์สุ่ม ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle v^{th}}$${\displaystyle v}$

ความเป็นศูนย์กลางของ Katz ^{[ 31 ]}เป็นการขยายความเป็นศูนย์กลางของดีกรี ความเป็นศูนย์กลางของดีกรีจะวัดจำนวนเพื่อนบ้านโดยตรง และความเป็นศูนย์กลางของ Katz จะวัดจำนวนโหนดทั้งหมดที่สามารถเชื่อมต่อผ่านเส้นทางได้ ในขณะที่การมีส่วนร่วมของโหนดที่อยู่ห่างไกลจะถูกลงโทษ ในทางคณิตศาสตร์ นิยามได้ดังนี้

${\displaystyle x_{i}=\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{N}\alpha ^{k}(A^{k})_{ji}}$

โดยที่เป็นปัจจัยการลดทอนใน . ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle (0,1)}$

ค่าความเป็นศูนย์กลางแบบ Katz สามารถมองได้ว่าเป็นรูปแบบหนึ่งของค่าความเป็นศูนย์กลางแบบเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ อีกรูปแบบหนึ่งของค่าความเป็นศูนย์กลางแบบ Katz คือ

${\displaystyle x_{i}=\alpha \sum _{j=1}^{N}a_{ij}(x_{j}+1)}$

เมื่อเปรียบเทียบกับการแสดงออกของค่าความสำคัญของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะจะถูกแทนที่ด้วย ${\displaystyle x_{j}}$${\displaystyle x_{j}+1.}$

แสดงให้เห็นว่า^{[ 32 ]}เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะหลัก (ที่เกี่ยวข้องกับค่าลักษณะเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดของเมทริกซ์ประชิด) คือขีดจำกัดของศูนย์กลาง Katz เมื่อเข้าใกล้จากด้านล่าง ${\displaystyle A}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle {\tfrac {1}{\แลมบ์ดา }}}$

PageRankเป็นไปตามสมการต่อไปนี้

${\displaystyle x_{i}=\alpha \sum _{j}a_{ji}{\frac {x_{j}}{L(j)}}+{\frac {1-\alpha }{N}},}$

ที่ไหน

${\displaystyle L(j)=\sum _{i}a_{ji}}$

คือจำนวนเพื่อนบ้านของโหนด(หรือจำนวนลิงก์ขาออกในกราฟแบบมีทิศทาง) เมื่อเปรียบเทียบกับค่า eigenvector centrality และ Katz centrality ความแตกต่างที่สำคัญประการหนึ่งคือปัจจัยการปรับขนาด ความแตกต่างอีกประการหนึ่งระหว่าง PageRank และ eigenvector centrality คือเวกเตอร์ PageRank เป็น eigenvector ด้านซ้าย (โปรดสังเกตว่าปัจจัยมีดัชนีกลับด้าน) ^{[ 33 ]}${\displaystyle j}$${\displaystyle L(j)}$${\displaystyle a_{ji}}$

มีมาตรวัดความสำคัญมากมายที่ใช้ในการกำหนด "ความสำคัญ" ของโหนดเดียวในเครือข่ายที่ซับซ้อน อย่างไรก็ตาม มาตรวัดเหล่านี้วัดความสำคัญของโหนดในแง่ของโครงสร้างทางภูมิศาสตร์เท่านั้น และค่าของโหนดไม่ได้ขึ้นอยู่กับ "สถานะ" ของโหนดแต่อย่างใด มันยังคงคงที่โดยไม่คำนึงถึงพลวัตของเครือข่าย นี่เป็นความจริงแม้กระทั่งสำหรับมาตรวัดความสำคัญแบบถ่วงน้ำหนัก อย่างไรก็ตาม โหนดอาจตั้งอยู่ใจกลางในแง่ของความสำคัญแบบระหว่างโหนดหรือมาตรวัดความสำคัญอื่น ๆ แต่ก็อาจไม่ได้ตั้งอยู่ "ใจกลาง" ในบริบทของเครือข่ายที่มีการแพร่กระจาย การแพร่กระจายของ "โรคติดต่อ" เกิดขึ้นในเครือข่ายที่ซับซ้อนในหลายสถานการณ์ ตัวอย่างเช่น การติดเชื้อไวรัสหรือแบคทีเรียสามารถแพร่กระจายผ่านเครือข่ายสังคมของผู้คน ซึ่งเรียกว่าเครือข่ายการติดต่อ การแพร่กระจายของโรคยังสามารถพิจารณาได้ในระดับนามธรรมที่สูงขึ้น โดยการพิจารณาเครือข่ายของเมืองหรือศูนย์กลางประชากรที่เชื่อมต่อกันด้วยถนน ทางรถไฟ หรือทางอากาศ ไวรัสคอมพิวเตอร์สามารถแพร่กระจายผ่านเครือข่ายคอมพิวเตอร์ได้ ข่าวลือหรือข่าวสารเกี่ยวกับข้อเสนอและข้อตกลงทางธุรกิจสามารถแพร่กระจายผ่านเครือข่ายสังคมของผู้คนได้เช่นกัน ในทุกสถานการณ์เหล่านี้ 'การแพร่ระบาด' จะแพร่กระจายไปตามลิงก์ของเครือข่ายที่ซับซ้อน เปลี่ยนแปลง 'สถานะ' ของโหนดต่างๆ ขณะที่การแพร่กระจาย ไม่ว่าจะเป็นสถานะที่สามารถฟื้นตัวได้หรือไม่ได้ก็ตาม ตัวอย่างเช่น ในสถานการณ์ทางระบาดวิทยา บุคคลจะเปลี่ยนจากสถานะ 'เสี่ยงต่อการติดเชื้อ' ไปเป็น 'ติดเชื้อ' เมื่อการติดเชื้อแพร่กระจาย สถานะที่โหนดแต่ละโหนดสามารถมีได้ในตัวอย่างข้างต้นอาจเป็นแบบไบนารี (เช่น ได้รับ/ไม่ได้รับข่าวสาร) แบบไม่ต่อเนื่อง (เสี่ยงต่อการติดเชื้อ/ติดเชื้อ/ฟื้นตัว) หรือแม้แต่แบบต่อเนื่อง (เช่น สัดส่วนของผู้ติดเชื้อในเมือง) ขณะที่การแพร่ระบาดแพร่กระจาย คุณลักษณะทั่วไปในทุกสถานการณ์เหล่านี้คือ การแพร่กระจายของการแพร่ระบาดส่งผลให้สถานะของโหนดในเครือข่ายเปลี่ยนแปลงไป ค่าความเป็นศูนย์กลางของการแพร่กระจาย (Percolation Centrality: PC) ถูกเสนอขึ้นโดยคำนึงถึงสิ่งนี้ ซึ่งเป็นการวัดความสำคัญของโหนดในแง่ของการช่วยให้การแพร่กระจายผ่านเครือข่ายโดยเฉพาะ มาตรวัดนี้ถูกเสนอโดย Piraveenan และคณะ^{[ 34 ]}

ค่าความเป็นศูนย์กลางการแพร่กระจาย (Percolation centrality)ถูกกำหนดสำหรับโหนดใดโหนดหนึ่ง ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง โดยเป็นสัดส่วนของ 'เส้นทางแพร่กระจาย' ที่ผ่านโหนดนั้น 'เส้นทางแพร่กระจาย' คือเส้นทางที่สั้นที่สุดระหว่างโหนดสองโหนด โดยที่โหนดต้นทางมีการแพร่กระจายแล้ว (เช่น โหนดที่ติดเชื้อ) ส่วนโหนดปลายทางอาจมีการแพร่กระจายแล้วหรือไม่ก็ได้ หรืออยู่ในสถานะแพร่กระจายบางส่วนก็ได้

${\displaystyle PC^{t}(v)={\frac {1}{N-2}}\sum _{s\neq v\neq r}{\frac {\sigma _{sr}(v)}{\sigma _{sr}}}{\frac {{x^{t}}_{s}}{{\sum {[{x^{t}}_{i}}]}-{x^{t}}_{v}}}}$

โดยที่คือจำนวนเส้นทางที่สั้นที่สุดทั้งหมดจากโหนดหนึ่งไปยังอีกโหนดหนึ่งและคือจำนวนเส้นทางเหล่านั้นที่ผ่านโหนดนั้นสถานะการแพร่กระจายของโหนดณ เวลา t จะแสดงด้วยและมีกรณีพิเศษสองกรณีคือ เมื่อซึ่งบ่งชี้ถึงสถานะที่ไม่แพร่กระจาย ณ เวลา t ในขณะที่ เมื่อซึ่งบ่งชี้ถึงสถานะที่แพร่กระจายอย่างสมบูรณ์ ณ เวลาt ค่าระหว่างนั้นบ่งชี้ถึงสถานะที่แพร่กระจายบางส่วน (เช่น ในเครือข่ายของเมืองเล็กๆ ค่านี้จะเป็นเปอร์เซ็นต์ของผู้ติดเชื้อในเมืองนั้น) ${\displaystyle \sigma _{sr}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \sigma _{sr}(v)}$${\displaystyle v}$${\displaystyle i}$${\displaystyle t}$${\displaystyle {x^{t}}_{i}}$${\displaystyle {x^{t}}_{i}=0}$${\displaystyle t}$${\displaystyle {x^{t}}_{i}=1}$${\displaystyle t}$

ค่าน้ำหนักที่กำหนดให้กับเส้นทางการแพร่กระจายขึ้นอยู่กับระดับการแพร่กระจายที่กำหนดให้กับโหนดต้นทาง โดยอิงจากสมมติฐานที่ว่ายิ่งระดับการแพร่กระจายของโหนดต้นทางสูงเท่าใด เส้นทางที่เริ่มต้นจากโหนดนั้นก็จะยิ่งมีความสำคัญมากขึ้นเท่านั้น ดังนั้น โหนดที่อยู่บนเส้นทางที่สั้นที่สุดซึ่งเริ่มต้นจากโหนดที่มีการแพร่กระจายสูงจึงอาจมีความสำคัญต่อการแพร่กระจายมากกว่า นิยามของค่าศูนย์กลางการแพร่กระจาย (PC) อาจขยายไปรวมถึงค่าน้ำหนักของโหนดเป้าหมายด้วย การคำนวณค่าศูนย์กลางการแพร่กระจายใช้เวลาด้วยการใช้งานที่มีประสิทธิภาพซึ่งนำมาจากอัลกอริทึมแบบเร็วของ Brandes และหากการคำนวณจำเป็นต้องพิจารณาค่าน้ำหนักของโหนดเป้าหมาย เวลาที่แย่ที่สุดคือ ${\displaystyle O(NM)}$${\displaystyle O(N^{3})}$

ความเป็นศูนย์กลางแบบข้ามกลุ่มของโหนดเดียวในกราฟที่ซับซ้อนจะกำหนดการเชื่อมต่อของโหนดกับกลุ่ม ต่างๆ โหนดที่มีการเชื่อมต่อแบบข้ามกลุ่มสูงจะช่วยอำนวยความสะดวกในการแพร่กระจายข้อมูลหรือโรคในกราฟ กลุ่มคือกราฟย่อยที่ทุกโหนดเชื่อมต่อกับทุกโหนดอื่นในกลุ่ม การเชื่อมต่อแบบข้ามกลุ่มของโหนดสำหรับกราฟที่กำหนดที่มีจุดยอดและขอบ จะถูกกำหนดเป็น โดยที่คือจำนวนกลุ่มที่จุดยอดเป็นสมาชิกอยู่ การวัดนี้ถูกใช้โดย Faghani ในปี 2013 ^{[ 35 ]}แต่ได้รับการเสนอครั้งแรกโดย Everett และ Borgatti ในปี 1998 ซึ่งพวกเขาเรียกว่าความเป็นศูนย์กลางแบบทับซ้อนกลุ่ม ${\displaystyle v}$${\displaystyle G:=(V,E)}$${\displaystyle |V|}$${\displaystyle |E|}$${\displaystyle X(v)}$${\displaystyle X(v)}$${\displaystyle v}$

การรวมศูนย์ของเครือข่ายใดๆ เป็นการวัดว่าโหนดที่เป็นศูนย์กลางที่สุดของเครือข่ายนั้นมีความเป็นศูนย์กลางมากน้อยเพียงใดเมื่อเทียบกับโหนดอื่นๆ ทั้งหมด^{[ 14 ]}การวัดการรวมศูนย์จะ (ก) คำนวณผลรวมของความแตกต่างในความเป็นศูนย์กลางระหว่างโหนดที่เป็นศูนย์กลางที่สุดในเครือข่ายกับโหนดอื่นๆ ทั้งหมด และ (ข) หารปริมาณนี้ด้วยผลรวมของความแตกต่างดังกล่าวที่มากที่สุดในทางทฤษฎีในเครือข่ายใดๆ ที่มีขนาดเท่ากัน^{[ 14 ]} ดังนั้น การวัดความเป็นศูนย์กลางทุกแบบจึงสามารถมีการวัดการรวมศูนย์ของตัวเองได้ หากกำหนดอย่างเป็นทางการ ถ้าเป็นการวัดความเป็นศูนย์กลางใดๆ ของจุดถ้าเป็นการวัดดังกล่าวที่ใหญ่ที่สุดในเครือข่าย และถ้า: ${\displaystyle C_{x}(p_{i})}$${\displaystyle i}$${\displaystyle C_{x}(p_{*})}$

${\displaystyle \max \sum _{i=1}^{N}(C_{x}(p_{*})-C_{x}(p_{i}))}$

หากผลรวมของความแตกต่างในศูนย์กลางจุดที่ใหญ่ที่สุดสำหรับกราฟใดๆ ที่มีจำนวนโหนดเท่ากัน ศูนย์กลางของเครือข่ายจะเป็นดังนี้: ^{[ 14 ]}${\displaystyle C_{x}}$

${\displaystyle C_{x}={\frac {\sum _{i=1}^{N}(C_{x}(p_{*})-C_{x}(p_{i}))}{\max \sum _{i=1}^{N}(C_{x}(p_{*})-C_{x}(p_{i}))}}.}$

แนวคิดนี้มาจากลินตัน ฟรีแมน

เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ดีขึ้นในการจัดอันดับโหนดของเครือข่ายที่กำหนด Alvarez-Socorro และคณะ^{[ 36 ]}ใช้การวัดความไม่เหมือนกัน (เฉพาะทฤษฎีการจำแนกประเภทและการทำเหมืองข้อมูล) เพื่อเสริมการวัดความเป็นศูนย์กลางในเครือข่ายที่ซับซ้อน ซึ่งแสดงให้เห็นด้วย การวัด ความเป็นศูนย์กลางของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะโดยคำนวณความเป็นศูนย์กลางของแต่ละโหนดผ่านการแก้ปัญหาค่าลักษณะเฉพาะ

${\displaystyle W\mathbf {c} =\lambda \mathbf {c} }$

โดยที่(ผลคูณพิกัดต่อพิกัด) และเป็น เมทริกซ์ ความไม่เหมือน กันใดๆ ที่กำหนดผ่านการวัดความไม่เหมือนกัน เช่น ความไม่เหมือนกัน แบบ Jaccardที่กำหนดโดย ${\displaystyle W_{ij}=A_{ij}D_{ij}}$${\displaystyle D_{ij}}$

${\displaystyle D_{ij}=1-{\dfrac {|V^{+}(i)\cap V^{+}(j)|}{|V^{+}(i)\cup V^{+}(j)|}}}$

มาตรการนี้ช่วยให้เราสามารถวัดปริมาณการมีส่วนร่วมทางด้านโทโพโลยี (ซึ่งเป็นเหตุผลที่เรียกว่า ความเป็นศูนย์กลางแบบมีส่วนร่วม) ของแต่ละโหนดต่อความเป็นศูนย์กลางของโหนดที่กำหนด โดยโหนดที่มีความแตกต่างกันมากจะมีน้ำหนัก/ความสำคัญมากกว่า เนื่องจากโหนดเหล่านั้นจะช่วยให้โหนดที่กำหนดสามารถเข้าถึงโหนดอื่นๆ ที่ตัวมันเองไม่สามารถเข้าถึงได้โดยตรง

เป็นที่น่าสังเกตว่ามีค่าไม่เป็นลบ เนื่องจากและเป็นเมทริกซ์ที่ไม่เป็นลบ ดังนั้นเราจึงสามารถใช้ทฤษฎีบท Perron–Frobeniusเพื่อให้แน่ใจว่าปัญหาข้างต้นมีคำตอบเดียวสำหรับλ = λ โดยที่cมีค่าไม่เป็นลบ ซึ่งทำให้เราสามารถอนุมานค่าความเป็นศูนย์กลางของแต่ละโหนดในเครือข่ายได้ ดังนั้น ค่าความเป็นศูนย์กลางของโหนดที่ i คือ ${\displaystyle W}$${\displaystyle A}$${\displaystyle D}$

${\displaystyle c_{i}={\dfrac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}W_{ij}c_{j},\,\,\,\,\,\,i=1,\cdots ,n}$

โดยที่จำนวนโหนดในเครือข่ายคือเท่าใด มีการทดสอบมาตรวัดความไม่เหมือนกันและเครือข่ายหลายรายการใน^{[ 37 ]}ซึ่งได้ผลลัพธ์ที่ดีขึ้นในกรณีที่ศึกษา ${\displaystyle n}$

เครือข่ายการขนส่ง เช่น เครือข่ายถนนและเครือข่ายทางรถไฟ ได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวางในวิทยาศาสตร์การขนส่งและการวางผังเมือง งานวิจัยล่าสุดหลายชิ้นได้มุ่งเน้นไปที่การใช้มาตรวัดความเป็นศูนย์กลางในการวิเคราะห์เครือข่ายการขนส่ง แม้ว่างานวิจัยเหล่านี้จำนวนมากจะใช้มาตรวัดความเป็นศูนย์กลางทั่วไป เช่น Betweenness Centrality แต่ก็มีการกำหนดมาตรวัดความเป็นศูนย์กลางแบบกำหนดเองขึ้นมาโดยเฉพาะสำหรับการวิเคราะห์เครือข่ายการขนส่ง มาตรวัดที่โดดเด่นในจำนวนนี้คือTransportation Centrality ^{[ 38 ]}

ค่าความเป็นศูนย์กลางด้านการขนส่ง (Transportation Centrality) วัดผลรวมของสัดส่วนของเส้นทางจากคู่ของโหนดในเครือข่ายที่ผ่านโหนดที่กำลังพิจารณา ในแง่นี้จึงคล้ายกับค่าความเป็นศูนย์กลางระหว่างโหนด (Betweenness Centrality) อย่างไรก็ตาม ต่างจากค่าความเป็นศูนย์กลางระหว่างโหนดที่พิจารณาเฉพาะเส้นทางที่สั้นที่สุด ค่าความเป็นศูนย์กลางด้านการขนส่งจะพิจารณาเส้นทางที่เป็นไปได้ทั้งหมดระหว่างคู่ของโหนด ดังนั้น ค่าความเป็นศูนย์กลางด้านการขนส่งจึงเป็นเวอร์ชันทั่วไปของค่าความเป็นศูนย์กลางระหว่างโหนด และภายใต้เงื่อนไขบางประการ มันก็สามารถลดทอนลงเหลือค่าความเป็นศูนย์กลางระหว่างโหนดได้

ศูนย์กลางการขนส่งของโหนดv ที่กำหนด จะถูกกำหนดดังนี้: ^{[ 38 ]}

${\displaystyle TC(v)=1/((N-1)(N-2))\Sigma _{s\neq v\neq t}{\frac {\Sigma _{i\in P_{s,t}^{v}}e^{-\beta C_{s,t}^{i}}}{\Sigma _{j\in P_{s,t}^{v}}e^{-\beta C_{s,t}^{j}}}}}$

• ความเป็นศูนย์กลางอัลฟา
• ความเป็นศูนย์กลางของกลุ่ม
• โครงสร้างแกนกลาง-รอบนอก
• ระยะทางในกราฟ

• Koschützki, D.; Lehmann, KA; Peeters, L.; Richter, S.; Tenfelde-Podehl, D. และ Zlotowski, O. (2005) ดัชนีความเป็นศูนย์กลาง ใน Brandes, U. และ Erlebach, T. (บรรณาธิการ) การวิเคราะห์เครือข่าย: พื้นฐานวิธีการหน้า 16–61, LNCS 3418, Springer-Verlag.