คณิตศาสตร์เชิงรูปธรรมนั้นตั้งอยู่บนพื้นฐานของ ความจริง ที่พิสูจน์ได้ในทางคณิตศาสตร์ จำนวนกรณีใดๆ ที่สนับสนุน ข้อสันนิษฐาน ที่มีปริมาณสากลไม่ว่าจะมากเพียงใด ก็ไม่เพียงพอที่จะพิสูจน์ความถูกต้องของข้อสันนิษฐานนั้นได้ เนื่องจากตัวอย่างค้าน เพียงตัวเดียว ก็สามารถล้มล้างข้อสันนิษฐานนั้นได้ทันที วารสารทางคณิตศาสตร์บางครั้งตีพิมพ์ผลลัพธ์เล็กๆ น้อยๆ ของทีมวิจัยที่ได้ขยายการค้นหาตัวอย่างค้านออกไปไกลกว่าที่เคยทำมาก่อน ตัวอย่างเช่นข้อสันนิษฐานของคอลลาทซ์ซึ่งเกี่ยวข้องกับว่าลำดับของจำนวนเต็มบางลำดับจะสิ้นสุดหรือไม่ ได้รับการทดสอบกับจำนวนเต็มทั้งหมดจนถึง 1.2 × 10¹² (1.2 ล้าน ^ล้าน ) อย่างไรก็ตาม การไม่พบตัวอย่างค้านหลังจากค้นหาอย่างกว้างขวางไม่ได้หมายความว่าข้อสันนิษฐานนั้นเป็นจริง เพราะข้อสันนิษฐานอาจเป็นเท็จได้ แต่มีตัวอย่างค้านขั้นต่ำที่ใหญ่มาก

อย่างไรก็ตาม นักคณิตศาสตร์มักถือว่าการคาดเดาได้รับการสนับสนุนอย่างมากจากหลักฐาน แม้ว่าจะยังไม่ได้รับการพิสูจน์ก็ตาม หลักฐานดังกล่าวอาจมีหลายประเภท เช่น การตรวจสอบผลที่ตามมา หรือการเชื่อมโยงอย่างแน่นแฟ้นกับผลลัพธ์ที่ทราบแล้ว^{[ 5 ]}

ข้อสันนิษฐานจะถือว่าได้รับการพิสูจน์แล้วก็ต่อเมื่อได้แสดงให้เห็นแล้วว่าเป็นไปไม่ได้ในเชิงตรรกะที่จะเป็นเท็จ มีวิธีการต่างๆ มากมายในการทำเช่นนั้น โปรดดูรายละเอียดเพิ่มเติมในหัวข้อวิธีการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์

วิธีการพิสูจน์วิธีหนึ่งที่ใช้ได้เมื่อมีจำนวนกรณีที่อาจนำไปสู่ตัวอย่างค้านได้เพียงจำนวนจำกัด คือ วิธี "บ รูทฟอร์ซ" ( brute force ): ในวิธีนี้ จะพิจารณากรณีที่เป็นไปได้ทั้งหมดและแสดงให้เห็นว่าไม่มีตัวอย่างค้าน ในบางโอกาส จำนวนกรณีอาจมีมาก ซึ่งในกรณีนั้น การพิสูจน์แบบบรูทฟอร์ซอาจต้องใช้โปรแกรมคอมพิวเตอร์ช่วยตรวจสอบทุกกรณี ตัวอย่างเช่น ความถูกต้องของการพิสูจน์ทฤษฎีบทสี่สีแบบบรูทฟอร์ซด้วยคอมพิวเตอร์ในปี 1976 และ 1997 ในตอนแรกถูกตั้งข้อสงสัย แต่ในที่สุดก็ได้รับการยืนยันในปี 2005 โดยซอฟต์แวร์พิสูจน์ทฤษฎีบท

เมื่อข้อสันนิษฐานได้รับการพิสูจน์แล้ว มันจะไม่ใช่ข้อสันนิษฐานอีกต่อไป แต่จะเป็นทฤษฎีบททฤษฎีบทสำคัญหลายข้อเคยเป็นข้อสันนิษฐานมาก่อน เช่นทฤษฎีบทเรขาคณิต (ซึ่งแก้ปัญหาข้อสันนิษฐานของปวงกาเร ) ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์และอื่นๆ

ข้อสันนิษฐานที่ถูกหักล้างด้วยตัวอย่างค้านบางครั้งเรียกว่าข้อสันนิษฐานเท็จ (เช่นข้อสันนิษฐานของโปลยาและข้อสันนิษฐานผลรวมกำลังของออยเลอร์ ) ในกรณีหลัง ตัวอย่างค้านแรกที่พบสำหรับกรณี n=4 เกี่ยวข้องกับตัวเลขหลักล้าน แม้ว่าต่อมาจะพบว่าตัวอย่างค้านที่เล็กที่สุดนั้นมีขนาดเล็กกว่าก็ตาม

ไม่ใช่ทุกข้อสันนิษฐานจะได้รับการพิสูจน์ว่าเป็นจริงหรือเท็จเสมอไป สมมติฐานความต่อเนื่องซึ่งพยายามตรวจสอบจำนวนสมาชิกสัมพัทธ์ ของ เซตอนันต์บางกลุ่มในที่สุดก็ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นอิสระจากชุดของสัจพจน์ของ Zermelo–Fraenkel ที่ได้รับการยอมรับโดยทั่วไปในทฤษฎีเซต ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะนำข้อความนี้ หรือข้อความปฏิเสธของมัน มาเป็น สัจพจน์ใหม่ในลักษณะที่สอดคล้องกัน (เช่นเดียวกับสัจพจน์เส้นขนานของยูคลิดที่สามารถถือได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จในระบบสัจพจน์สำหรับเรขาคณิต)

ในกรณีนี้ หากการพิสูจน์ใช้ข้อความนี้ นักวิจัยมักจะมองหาการพิสูจน์ใหม่ที่ไม่ต้องใช้สมมติฐาน (ในทำนองเดียวกับที่พึงปรารถนาที่จะพิสูจน์ข้อความในเรขาคณิตแบบยุคลิดโดยใช้เพียงสัจพจน์ของเรขาคณิตแบบเป็นกลาง กล่าวคือ โดยไม่ต้องใช้สัจพจน์เส้นขนาน) ข้อยกเว้นที่สำคัญประการหนึ่งในทางปฏิบัติคือสัจพจน์ของการเลือกเนื่องจากนักวิจัยส่วนใหญ่มักไม่กังวลว่าผลลัพธ์นั้นจำเป็นต้องใช้สัจพจน์นี้หรือไม่ เว้นแต่ว่าพวกเขากำลังศึกษาสัจพจน์นี้โดยเฉพาะ

ในทฤษฎีจำนวนทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ (บางครั้งเรียกว่าข้อสันนิษฐานของแฟร์มาต์โดยเฉพาะในตำราเก่าๆ) กล่าวว่า ไม่มีจำนวนเต็มบวก สามจำนวนใดๆ${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$, และ${\displaystyle c}$สามารถสอดคล้องกับสมการได้${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$สำหรับค่าจำนวนเต็มใดๆ ของ${\displaystyle n}$มากกว่าสอง

ทฤษฎีบทนี้ถูกตั้งสมมติฐานขึ้นครั้งแรกโดยปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์ในปี 1637 ที่ขอบของสำเนาหนังสือArithmeticaโดยเขาอ้างว่าเขามีบทพิสูจน์ที่ยาวเกินกว่าจะใส่ลงในขอบได้^{[ 6 ]}บทพิสูจน์ที่ประสบความสำเร็จครั้งแรกได้รับการเผยแพร่ในปี 1994 โดยแอนดรูว์ ไวลส์และตีพิมพ์อย่างเป็นทางการในปี 1995 หลังจากความพยายามของนักคณิตศาสตร์เป็นเวลา 358 ปี ปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขนี้กระตุ้นให้เกิดการพัฒนาทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตในศตวรรษที่ 19 และการพิสูจน์ทฤษฎีบทโมดูลาริตีในศตวรรษที่ 20 ทฤษฎีบทนี้เป็นหนึ่งในทฤษฎีบทที่โดดเด่นที่สุดในประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์และก่อนที่จะมีการพิสูจน์ ทฤษฎีบทนี้เคยอยู่ในGuinness Book of World Recordsในหัวข้อ "ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ยากที่สุด" ^{[ 7 ]}

ในทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทสี่สีหรือทฤษฎีบทแผนที่สี่สี ระบุว่า เมื่อกำหนดการแบ่งระนาบออกเป็น บริเวณ ที่ต่อเนื่องกันทำให้เกิดรูปทรงที่เรียกว่าแผนที่จะต้องใช้สีไม่เกินสี่สีในการระบายสีบริเวณต่างๆ ของแผนที่ เพื่อไม่ให้บริเวณที่อยู่ติดกันสองบริเวณมีสีเดียวกัน บริเวณสองบริเวณจะเรียกว่าอยู่ติดกันหากมีขอบเขตร่วมกันที่ไม่ใช่จุดมุม โดยจุดมุมคือจุดที่ใช้ร่วมกันโดยสามบริเวณขึ้นไป^{[ 8 ]}ตัวอย่างเช่น ในแผนที่ของสหรัฐอเมริกา ยูทาห์และแอริโซนาอยู่ติดกัน แต่ยูทาห์และนิวเม็กซิโก ซึ่งมีจุด ร่วมกันเพียงจุดเดียว ที่อยู่ในแอริโซนาและโคโลราโดด้วยนั้น ไม่ได้อยู่ติดกัน

Möbiusกล่าวถึงปัญหานี้ในการบรรยายของเขาตั้งแต่ปี 1840 ^{[ 9 ]}ข้อสันนิษฐานนี้ได้รับการเสนอครั้งแรกเมื่อวันที่ 23 ตุลาคม 1852 ^{[ 10 ]}เมื่อFrancis Guthrieพยายามระบายสีแผนที่ของมณฑลต่างๆ ในอังกฤษ และสังเกตเห็นว่าจำเป็นต้องใช้สีที่แตกต่างกันเพียงสี่สีเท่านั้นทฤษฎีบทห้าสีซึ่งมีการพิสูจน์เบื้องต้นสั้นๆ ระบุว่าสีห้าสีก็เพียงพอที่จะระบายสีแผนที่ได้ และได้รับการพิสูจน์ในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 ^{[ 11 ]}อย่างไรก็ตาม การพิสูจน์ว่าสีสี่สีเพียงพอกลับกลายเป็นเรื่องยากกว่ามาก มีการพิสูจน์ที่ผิดพลาดและตัวอย่างค้าน ที่ผิดพลาดจำนวนมาก ปรากฏขึ้นนับตั้งแต่มีการกล่าวถึงทฤษฎีบทสี่สีครั้งแรกในปี 1852

ทฤษฎีบทสี่สีได้รับการพิสูจน์อย่างเป็นทางการในปี 1976 โดยเคนเนธ แอปเปลและโวล์ฟกัง ฮาเคนนับเป็นทฤษฎีบท สำคัญแรก ที่ได้รับการพิสูจน์โดยใช้คอมพิวเตอร์แนวทางของแอปเปลและฮาเคนเริ่มต้นด้วยการแสดงให้เห็นว่ามีแผนที่ชุดหนึ่งจำนวน 1,936 แผนที่ ซึ่งแต่ละแผนที่นั้นไม่สามารถเป็นส่วนหนึ่งของตัวอย่างค้านที่มีขนาดเล็กที่สุดของทฤษฎีบทสี่สีได้ (กล่าวคือ หากแผนที่เหล่านั้นปรากฏขึ้นจริง ก็จะสามารถสร้างตัวอย่างค้านที่มีขนาดเล็กกว่าได้) แอปเปลและฮาเคนใช้โปรแกรมคอมพิวเตอร์เฉพาะทางเพื่อยืนยันว่าแผนที่แต่ละแผนที่เหล่านี้มีคุณสมบัติดังกล่าว นอกจากนี้ แผนที่ใดๆ ที่อาจเป็นตัวอย่างค้านได้จะต้องมีส่วนหนึ่งที่ดูเหมือนหนึ่งใน 1,936 แผนที่เหล่านี้ แอปเปลและฮาเคนได้แสดงให้เห็นสิ่งนี้ด้วยการวิเคราะห์ด้วยมือหลายร้อยหน้า และสรุปได้ว่าไม่มีตัวอย่างค้านที่มีขนาดเล็กที่สุดอยู่จริง เพราะตัวอย่างค้านใดๆ ก็ตามจะต้องมี แต่ในขณะเดียวกันก็ไม่มี หนึ่งใน 1,936 แผนที่เหล่านี้ ความขัดแย้งนี้หมายความว่าไม่มีตัวอย่างค้านเลย และดังนั้นทฤษฎีบทจึงเป็นจริง ในตอนแรก นักคณิตศาสตร์ไม่ยอมรับการพิสูจน์ของพวกเขาเลย เพราะการพิสูจน์โดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วยนั้นเป็นไปไม่ได้ที่มนุษย์จะตรวจสอบด้วยมือ^{[ 12 ]}อย่างไรก็ตาม ตั้งแต่นั้นมา การพิสูจน์ดังกล่าวก็ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางมากขึ้น แม้ว่าจะยังคงมีข้อสงสัยอยู่บ้างก็ตาม^{[ 13 ]}

Hauptvermutung (ภาษาเยอรมันแปลว่า ข้อสันนิษฐานหลัก) ของ โทโพโล ยีเชิงเรขาคณิตคือข้อสันนิษฐานที่ว่าการแบ่งสามเหลี่ยม สองแบบใดๆ ของปริภูมิที่แบ่งสามเหลี่ยมได้จะมีการปรับปรุงร่วมกัน ซึ่งเป็นการแบ่งสามเหลี่ยมแบบเดียวที่เป็นส่วนย่อยของการแบ่งสามเหลี่ยมทั้งสองแบบนั้น ข้อสันนิษฐานนี้ได้รับการกำหนดขึ้นครั้งแรกในปี พ.ศ. 2451 โดยSteinitzและTietze ^{[ 14 ]}

ข้อสันนิษฐานนี้ทราบกันดีว่าไม่เป็นความจริง เวอร์ชันที่ไม่ใช่แมนิโฟลด์ถูกหักล้างโดยJohn Milnor ^{[ 15 ]}ในปี พ.ศ. 2504 โดยใช้ แรงบิด ของReidemeister

เวอร์ชันแมนิโฟลด์เป็นจริงในมิติm ≤ 3กรณีm = 2 และ 3ได้รับการพิสูจน์โดยTibor RadóและEdwin E. Moise ^{[ 16 ]}ในช่วงทศวรรษ 1920 และ 1950 ตามลำดับ

ในทางคณิตศาสตร์ข้อสันนิษฐานของไวล์ (Weil conjectures)เป็นข้อเสนอที่มีอิทธิพลอย่างมากโดย อังเดร ไวล์ ( André Weil) ( 1949 ) เกี่ยว กับฟังก์ชันก่อกำเนิด (หรือที่รู้จักกันในชื่อฟังก์ชันซีตาเฉพาะที่ ) ซึ่งได้มาจากการนับจำนวนจุดบนวาไรตี้พีชคณิตเหนือฟิลด์จำกัด 

วาไรตี้Vบนฟิลด์จำกัดที่มี สมาชิก q ตัว มี จุดตรรกยะจำนวนจำกัดเช่นเดียวกับจุดบนฟิลด์จำกัดทุกฟิลด์ที่มี สมาชิก q ^k ตัว ซึ่งประกอบด้วยฟิลด์นั้น ฟังก์ชันก่อกำเนิดมีสัมประสิทธิ์ที่ได้มาจากจำนวนN ของจุดบนฟิลด์ (ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วมีเพียงหนึ่งเดียว) ที่มี สมาชิก q ^kตัว

ไวล์ตั้งข้อสันนิษฐานว่าฟังก์ชันซีตา เหล่านั้น ควรเป็นฟังก์ชันตรรกยะ ควรสอดคล้องกับ สมการเชิงฟังก์ชันรูปแบบหนึ่งและควรมีจุดศูนย์อยู่ในตำแหน่งที่จำกัด สองส่วนหลังนี้ถูกจำลองขึ้นอย่างตั้งใจจากฟังก์ชันซีตาของรีมันน์และสมมติฐานของรีมันน์ ความเป็นฟังก์ชันตรรกยะ ได้รับการพิสูจน์โดยดวอร์ค (1960)สมการเชิงฟังก์ชันโดยโกรเทนดีค (1965)และสมมติฐานของรีมันน์ในรูปแบบเดียวกันได้รับการพิสูจน์โดยเดลิญ (1974 )

ในทางคณิตศาสตร์ข้อสันนิฐานของปวงกาเรเป็นทฤษฎีบทเกี่ยวกับลักษณะเฉพาะของทรงกลม 3 มิติซึ่งเป็นไฮเปอร์สเฟียร์ที่ล้อมรอบลูกบอลหน่วยในปริภูมิสี่มิติ ข้อสันนิฐานนี้กล่าวว่า:

ระนาบ สามมิติแบบปิดที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายทุก ระนาบ จะมีสมบัติทาง โทโพโลยี เหมือนกับทรงกลมสามมิติ

รูปแบบที่เทียบเท่ากันของข้อสันนิษฐานนี้เกี่ยวข้องกับรูปแบบความเท่าเทียมกันที่หยาบกว่าโฮมีโอเมอร์ฟิซึม เรียกว่าความเท่าเทียมกันแบบโฮโมโทปี : ถ้าแมนิโฟลด์ 3 มิติมีความเท่าเทียมกันแบบโฮโมโทปี กับทรงกลม 3 มิติแล้ว แมนิโฟลด์ 3 มิติก็จะมี ความเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับทรง กลม 3 มิติ อย่างแน่นอน

ทฤษฎีบทนี้ ซึ่งเสนอโดยอองรี ปวงกาเรในปี ค.ศ. 1904 เกี่ยวข้องกับปริภูมิที่ดูเหมือนปริภูมิสามมิติธรรมดาในระดับท้องถิ่น แต่เป็นปริภูมิที่เชื่อมต่อกัน มีขนาดจำกัด และไม่มีขอบเขต ( ปริภูมิสามมิติปิด ) ข้อสันนิษฐานของปวงกาเรกล่าวว่า หากปริภูมิดังกล่าวมีคุณสมบัติเพิ่มเติมคือวงรอบ แต่ละวง ในปริภูมิสามารถกระชับเข้าสู่จุดเดียวได้อย่างต่อเนื่อง ปริภูมินั้นก็จะเป็นทรงกลมสามมิติอย่างแน่นอนผลลัพธ์ที่คล้ายคลึงกันนี้เป็นที่รู้จักกันในมิติที่สูงกว่ามานานแล้ว

หลังจากความพยายามเกือบศตวรรษของนักคณิตศาสตร์Grigori Perelmanได้นำเสนอการพิสูจน์ข้อสันนิษฐานในเอกสารสามฉบับที่เผยแพร่ในปี 2002 และ 2003 บนarXivการพิสูจน์นี้สืบเนื่องมาจากโครงการของRichard S. Hamiltonที่ใช้การไหลของ Ricciเพื่อพยายามแก้ปัญหา Hamilton ต่อมาได้แนะนำการปรับเปลี่ยนการไหลของ Ricci มาตรฐาน เรียกว่าการไหลของ Ricci พร้อมการผ่าตัดเพื่อตัดพื้นที่เอกลักษณ์ออกอย่างเป็นระบบในขณะที่พัฒนาขึ้นในลักษณะที่มีการควบคุม แต่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าวิธีการนี้ "บรรจบกัน" ในสามมิติ^{[ 17 ]} Perelman ได้ทำการพิสูจน์ส่วนนี้ให้เสร็จสมบูรณ์ ทีมของนักคณิตศาสตร์หลายทีมได้ตรวจสอบแล้วว่าการพิสูจน์ของ Perelman นั้นถูกต้อง

ก่อนที่จะได้รับการพิสูจน์ ข้อสันนิษฐานของปวงกาเรเป็นหนึ่งในคำถามที่ยังไม่มีคำตอบที่สำคัญที่สุดในวิชาโทโพโลยี

ในทางคณิตศาสตร์สมมติฐานของรีมันน์ซึ่งเสนอโดยแบร์นฮาร์ดรีมันน์( ค.ศ. 1859 ) เป็นข้อสันนิษฐานที่ว่า ศูนย์ที่ไม่ใช่ศูนย์ของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ทั้งหมดมีส่วนจริงเท่ากับ 1/2 ชื่อนี้ยังใช้กับสิ่งที่คล้ายคลึงกันอย่างใกล้ชิด เช่นสมมติฐานของรีมันน์สำหรับเส้นโค้งบนฟิลด์จำกัด 

สมมติฐานของรีมันน์บ่งชี้ถึงผลลัพธ์เกี่ยวกับการกระจายของจำนวนเฉพาะพร้อมกับการวางนัยทั่วไปที่เหมาะสม นักคณิตศาสตร์บางคนถือว่ามันเป็นปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขที่สำคัญที่สุดในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ [ ^{18 ] สมมติฐาน}ของรีมันน์ พร้อมกับสมมติฐานของโกลด์บั ค เป็นส่วนหนึ่งของปัญหาที่แปดของฮิลเบิร์ตในรายการปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไข 23 ข้อ ของ เดวิด ฮิลเบิร์ต และยังเป็นหนึ่งใน ปัญหารางวัลมิลเลนเนียม ของ สถาบันคณิตศาสตร์เคลย์อีกด้วย

ปัญหา P เทียบกับ NPเป็นปัญหาสำคัญที่ยังแก้ไม่ตกในวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์โดยทั่วไปแล้ว ปัญหานี้ถามว่าปัญหาทุกปัญหาที่สามารถตรวจสอบคำตอบได้อย่างรวดเร็วด้วยคอมพิวเตอร์นั้น สามารถแก้ไขได้อย่างรวดเร็วด้วยคอมพิวเตอร์หรือไม่ ซึ่งโดยทั่วไปแล้วมีการคาดเดาว่าคำตอบคือไม่ใช่ ปัญหานี้ถูกกล่าวถึงครั้งแรกในจดหมายที่เขียนโดยKurt GödelถึงJohn von Neumann ในปี 1956 Gödel ถามว่าปัญหา NP-complete บางอย่างสามารถแก้ไขได้ในเวลาแบบกำลังสองหรือเชิงเส้นหรือไม่^{[ 19 ]} Stephen Cookได้นำเสนอคำกล่าวที่ชัดเจนเกี่ยวกับปัญหา P=NP ในปี 1971 ในบทความสำคัญของเขาเรื่อง "ความซับซ้อนของขั้นตอนการพิสูจน์ทฤษฎีบท" ^{[ 20 ]}และหลายคนถือว่าเป็นปัญหาเปิดที่สำคัญที่สุดในสาขานี้^{[ 21 ]}เป็นหนึ่งในเจ็ดปัญหา Millennium Prize Problemsที่สถาบัน Clay Mathematics Institute เลือก ให้มีรางวัล 1,000,000 ดอลลาร์สหรัฐสำหรับคำตอบที่ถูกต้องครั้งแรก

• ข้อสันนิษฐานของโกลด์บัค
• สมมติฐานจำนวนเฉพาะคู่แฝด
• สมมติฐานคอลลาทซ์
• สมมติฐานของ มานิน
• สมมติฐานมัลดาเซนา
• ข้อสันนิษฐานของออยเลอร์ซึ่งเสนอโดยออยเลอร์ในศตวรรษที่ 18 แต่มีตัวอย่างค้านสำหรับเลขชี้กำลังจำนวนหนึ่ง (เริ่มต้นที่ n=4) ที่พบตั้งแต่กลางศตวรรษที่ 20 เป็นต้นมา
• ข้อสันนิษฐาน ของHardy-Littlewoodเป็นข้อสันนิษฐานสองข้อเกี่ยวกับการกระจายของจำนวนเฉพาะ โดยข้อแรกขยายความจากข้อสันนิษฐานจำนวนเฉพาะคู่ที่กล่าวถึงข้างต้น ยังไม่มีการพิสูจน์หรือหักล้างข้อสันนิษฐานทั้งสองข้อ แต่มีการพิสูจน์แล้วว่าทั้งสองข้อไม่สามารถเป็นจริงพร้อมกันได้ (กล่าวคือ อย่างน้อยหนึ่งข้อต้องเป็นเท็จ) ยังไม่มีการพิสูจน์ว่าข้อใดเป็นเท็จ แต่เป็นที่เชื่อกันอย่างกว้างขวางว่าข้อสันนิษฐานข้อแรกเป็นจริงและข้อที่สองเป็นเท็จ^{[ 22 ]}
• โปรแกรมLanglands ^{[ 23 ]}เป็นเครือข่ายที่กว้างขวางของแนวคิด ' สมมติฐานที่เป็นเอกภาพ ' ที่เชื่อมโยงสาขาย่อยต่างๆ ของคณิตศาสตร์ (เช่น ระหว่างทฤษฎีจำนวนและทฤษฎีการแทนของกลุ่ม Lie ) สมมติฐานเหล่านี้บางส่วนได้รับการพิสูจน์แล้ว