0.999...เป็นทศนิยมซ้ำที่แทนเลข1 ^{[ 1 ] [ 2 ]}จุดสามจุดแทนรายการตัวเลข "9" ที่ไม่มีที่สิ้นสุด^{[ a ]} ​​ตามกฎมาตรฐานสำหรับการแสดงจำนวนจริงในสัญกรณ์ทศนิยม ค่าของมันคือจำนวนที่เล็กที่สุดที่มากกว่าหรือเท่ากับทุกจำนวนในลำดับ 0.9, 0.99, 0.999 และอื่นๆ สามารถพิสูจน์ได้ว่าจำนวนนี้คือ 1 นั่นคือ $${\displaystyle 0.999\ldots =1.}$$

แม้จะมีคนเข้าใจผิดกันบ่อยๆ แต่ 0.999... ไม่ได้หมายความว่า "เกือบจะเท่ากับ 1" หรือ "ใกล้เคียงมากแต่ไม่ถึง 1" แต่ "0.999..." และ "1" นั้นหมายถึงจำนวนเดียวกัน อย่างแท้จริง

มีหลายวิธีในการแสดงความเท่าเทียมกันนี้ ตั้งแต่ การใช้เหตุผล โดยสัญชาตญาณไปจนถึงการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวด เหตุผล โดยสัญชาตญาณโดยทั่วไปจะอิงตามคุณสมบัติของทศนิยมจำกัดซึ่งขยายไปสู่ทศนิยมอนันต์โดยไม่ต้องพิสูจน์ การพิสูจน์อย่างง่ายแต่เข้มงวดมีดังต่อไปนี้ ซึ่งเกี่ยวข้องกับการคำนวณเลขคณิตพื้นฐานและคุณสมบัติของอาร์คิมีดีส เท่านั้น กล่าว คือ สำหรับจำนวนจริงแต่ละจำนวน จะมีจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า (ตัวอย่างเช่น โดยการปัดเศษขึ้น) การพิสูจน์อื่นๆ โดยทั่วไปเกี่ยวข้องกับคุณสมบัติพื้นฐานของจำนวนจริงและวิธีการทางแคลคูลัสเช่นอนุกรมและลิมิตเหตุใดบางคนจึงปฏิเสธความเท่าเทียมกันนี้เป็นคำถามที่ศึกษาในด้าน การ ศึกษา คณิตศาสตร์

ในระบบตัวเลขอื่นๆ 0.999... อาจมีความหมายเหมือนกัน มีนิยามที่แตกต่างกัน หรืออาจไม่มีความหมายเลยก็ได้ทศนิยมที่สิ้นสุด โดยไม่เป็นศูนย์ทุกตัว จะมีค่าแทนสองค่าที่เท่ากัน (ตัวอย่างเช่น 8.32000... และ 8.31999...) การมีค่าที่มีค่าแทนหลายค่าเป็นคุณสมบัติของระบบตัวเลขแบบตำแหน่ง ทุกระบบ ที่ใช้แทนจำนวนจริง

เป็นไปได้ที่จะพิสูจน์สมการ0.999... = 1โดยใช้เพียงเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ของการเปรียบเทียบและการบวกจำนวนทศนิยม (จำกัด) โดยไม่ต้องอ้างอิงถึงหัวข้อขั้นสูงใดๆ การพิสูจน์ที่แสดงด้านล่างนี้เป็นการทำให้เป็นทางการโดยตรงของข้อเท็จจริงเชิงสัญชาตญาณที่ว่า หากเราลาก 0.9, 0.99, 0.999 ฯลฯ บนเส้นจำนวนจะไม่มีที่ว่างเหลือสำหรับวางจำนวนใดๆ ระหว่างจำนวนเหล่านั้นกับ 1 ความหมายของสัญลักษณ์ 0.999... คือจุดที่เล็กที่สุดบนเส้นจำนวนที่อยู่ทางด้านขวาของจำนวนทั้งหมด 0.9, 0.99, 0.999 ฯลฯ เนื่องจากในที่สุดแล้วไม่มีที่ว่างระหว่าง 1 กับจำนวนเหล่านี้ จุด 1 จึงต้องเป็นจุดที่เล็กที่สุดนี้ และดังนั้น0.999... = 1

ถ้าเราวาง 0.9, 0.99, 0.999 ฯลฯ ลงบนเส้นจำนวนเราจะเห็นได้ทันทีว่าจุดเหล่านี้ทั้งหมดอยู่ทางซ้ายของ 1 และเข้าใกล้ 1 มากขึ้นเรื่อยๆ สำหรับจำนวนใดๆที่น้อยกว่า 1 ลำดับ 0.9, 0.99, 0.999 และอื่นๆ จะไปถึงจำนวนที่มากกว่า 1 ในที่สุดดังนั้น จึงไม่สมเหตุสมผลที่จะระบุว่า 0.999 ... คือจำนวนใดๆ ที่น้อยกว่า 1 ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

ในขณะเดียวกัน ทุกจำนวนที่มากกว่า 1 จะมีค่ามากกว่าทศนิยมใดๆ ในรูปแบบ 0.999...9 สำหรับจำนวนเก้าที่จำกัดใดๆ ดังนั้น 0.999... จึงไม่สามารถระบุได้ว่าเป็นจำนวนใดๆ ที่มากกว่า 1 เช่นกัน

เนื่องจาก 0.999... ไม่สามารถมากกว่า 1 หรือน้อยกว่า 1 ได้ ดังนั้นจึงต้องเท่ากับ 1 หากจะเป็นจำนวนจริงใดๆ^{[ 3 ] [ 4 ]}

ให้ 0.(9) _nแทนจำนวน 0.999...9 โดยมีเลขเก้าอยู่หลังจุดทศนิยม ดังนั้น0.(9) ₁ = 0.9 , 0.(9) ₂ = 0.99 , 0.(9) ₃ = 0.999และอื่นๆ จะได้1 − 0.(9) ₁ = 0.1 = ⁠ ⁠ , 1 − 0.(9) ₂ = 0.01 = ⁠ ⁠ และอื่นๆ นั่นคือ1 − 0.(9) _n =สำหรับทุกจำนวนธรรมชาติ⁠ ⁠ . ${\displaystyle n}$${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{10}}}$${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{10^{2}}}}$${\textstyle {\frac {1}{10^{n}}}}$${\displaystyle n}$

ให้ n เป็นจำนวนที่ไม่มากกว่า 1 และมากกว่า 0.9, 0.99, 0.999 เป็นต้น นั่นคือ0.(9) _n < ≤ 1สำหรับทุก⁠ ⁠ โดยการลบอสมการเหล่า นี้ ออกจาก 1 จะได้0 ≤ 1 − < ⁠ ⁠${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{10^{n}}}}$

การพิสูจน์ขั้นสุดท้ายต้องไม่มีจำนวนบวกใดที่น้อยกว่าสำหรับทุกซึ่งเป็นผลมาจากคุณสมบัติของอาร์คิมีเดียนซึ่งสามารถแสดงได้ว่า "สำหรับจำนวนจริงทุกจำนวน จะมีจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า" โดยการคำนวณส่วนกลับสิ่งนี้บ่งชี้ว่าสำหรับจำนวนจริงบวกทุกจำนวน จะมีจำนวนธรรมชาติที่มีส่วนกลับน้อยกว่า ดังนั้น สำหรับจำนวนจริงบวกใดๆ จะต้องมีบางค่าที่น้อยกว่า[ ^{5 ] [ 6 ] คุณสมบัติ}นี้บ่งชี้ว่า ถ้า1 − <สำหรับทุกแล้ว 1 − จะเท่ากับ 0 เท่านั้น ดังนั้น= 1 และ 1 เป็นจำนวน ที่เล็กที่สุดที่มากกว่า 0.9, 0.99, 0.999 ฯลฯ นั่นคือ1 = 0.999...ตามที่กล่าวอ้าง^{[ 7 ]}${\textstyle {\frac {1}{10^{n}}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\textstyle {\frac {1}{10^{n}}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{10^{n}}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

การพิสูจน์นี้อาศัยคุณสมบัติของอาร์คิมีเดียนของจำนวนตรรกยะและจำนวนจริง จำนวนจริงสามารถขยายเป็นระบบจำนวนได้ เช่นจำนวนไฮเปอร์เรียลโดยมีจำนวนเล็กอนันต์ (จำนวนอนันต์ เล็ก ) และจำนวนใหญ่อนันต์ ( จำนวนอนันต์ ) ^{[ 8 ] [ 9 ]}เมื่อใช้ระบบดังกล่าว โดยทั่วไปจะไม่ใช้สัญลักษณ์ 0.999... เนื่องจากไม่มีจำนวนที่เล็กที่สุดในบรรดาจำนวนที่มากกว่า 0.(9) _nทั้งหมด^{[ b ]}

ส่วนหนึ่งของข้อโต้แย้งนี้แสดงให้เห็นว่ามีขอบเขตบนน้อยที่สุดของลำดับ 0.9, 0.99, 0.999 เป็นต้น นั่นคือจำนวนที่เล็กที่สุดที่มากกว่าทุกพจน์ของลำดับ หนึ่งในสัจพจน์ของระบบจำนวนจริงคือสัจพจน์ความสมบูรณ์ซึ่งระบุว่าลำดับที่มีขอบเขตทุกลำดับมีขอบเขตบนน้อยที่สุด^{[ 10 ] [ 11 ]} ขอบเขตบนน้อยที่สุดนี้เป็นวิธีหนึ่งในการกำหนดการขยายทศนิยมอนันต์: จำนวนจริงที่แสดงโดยทศนิยมอนันต์คือขอบเขตบนน้อยที่สุดของการตัดทอนแบบจำกัด^{[ 12 ]} ข้อโต้แย้งในที่นี้ไม่จำเป็นต้องสมมติความสมบูรณ์เพื่อให้ถูกต้อง เพราะมันแสดงให้เห็นว่าลำดับเฉพาะของจำนวนตรรกยะนี้มีขอบเขตบนน้อยที่สุดและขอบเขตบนน้อยที่สุดนี้เท่ากับหนึ่ง^{[ 13 ]}

การยกตัวอย่างความเท่าเทียมกันโดยใช้พีชคณิตอย่างง่ายเป็นหัวข้อของการอภิปรายและการวิพากษ์วิจารณ์ในเชิงการสอนไบเออร์ส (2007)กล่าวถึงข้อโต้แย้งที่ว่า ในโรงเรียนประถม เราเรียนรู้ว่า 1 = 0.333...ดังนั้น หากละเลยรายละเอียดปลีกย่อยที่สำคัญทั้งหมด การ "คูณ" เอกลักษณ์นี้ด้วย 3 จะได้1 = 0.999...เขายังกล่าวอีกว่า ข้อโต้แย้งนี้ไม่น่าเชื่อถือ เนื่องจากความกำกวมที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขเกี่ยวกับความหมายของเครื่องหมายเท่ากับนักเรียนอาจคิดว่า "มันคงไม่ได้หมายความว่าเลข 1 เหมือนกับที่หมายถึงโดยสัญลักษณ์ 0.999... แน่นอน" นักศึกษาเอกคณิตศาสตร์ระดับปริญญาตรีส่วนใหญ่ที่ไบเออร์สพบเจอรู้สึกว่า แม้ว่า 0.999... จะ "ใกล้เคียงมาก" กับ 1 ตามข้อโต้แย้งนี้ โดยบางคนถึงกับบอกว่ามัน "ใกล้เคียงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด" แต่พวกเขายังไม่พร้อมที่จะบอกว่ามันเท่ากับ 1 ^{[ 14 ]}ริชแมน (1999)กล่าวถึงว่า "ข้อโต้แย้งนี้ได้รับแรงสนับสนุนจากข้อเท็จจริงที่ว่าคนส่วนใหญ่ได้รับการปลูกฝังให้ยอมรับสมการแรก [ เช่น = 0.333... ] โดยไม่ต้องคิด" แต่ยังแนะนำว่าข้อโต้แย้งนี้อาจทำให้ผู้ที่สงสัยตั้งคำถามเกี่ยวกับสมมติฐานนี้^{[ 15 ]}${\textstyle {\frac {1}{3}}}$${\textstyle {\frac {1}{3}}}$

ไบเออร์สยังได้นำเสนอข้อโต้แย้งดังต่อไปนี้ด้วย

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=0.999\ldots \\10x&=9.999\ldots &&{\text{by multiplying by }}10\\10x&=9+0.999\ldots &&{\text{by splitting off integer part}}\\10x&=9+x&&{\text{by definition of }}x\\9x&=9&&{\text{by subtracting }}x\\x&=1&&{\text{by dividing by }}9\end{aligned}}}$

นักเรียนที่ไม่ยอมรับข้อโต้แย้งแรกบางครั้งยอมรับข้อโต้แย้งที่สอง แต่ในความเห็นของไบเออร์ส พวกเขายังคงไม่สามารถแก้ไขความกำกวมได้ และด้วยเหตุนี้จึงไม่เข้าใจการแสดงทศนิยมอนันต์เพเรสซินีและเพเรสซินี (2007)นำเสนอข้อโต้แย้งเดียวกันและระบุว่าข้อโต้แย้งนี้ไม่ได้อธิบายความเท่าเทียมกัน ซึ่งบ่งชี้ว่าคำอธิบายดังกล่าวอาจเกี่ยวข้องกับแนวคิดของอนันต์และความสมบูรณ์^{[ 16 ]}บอลด์วินและนอร์ตัน (2012)อ้างถึงแคทซ์และแคทซ์ (2010a)สรุปว่าการพิจารณาเอกลักษณ์โดยอาศัยข้อโต้แย้งเช่นนี้ โดยไม่มีแนวคิดที่เป็นทางการของลิมิตนั้นยังไม่เหมาะสม^{[ 17 ]}เฉิง (2023)เห็นด้วย โดยโต้แย้งว่าการรู้ว่าสามารถคูณ 0.999... ด้วย 10 โดยการเลื่อนจุดทศนิยมนั้น สันนิษฐานคำตอบสำหรับคำถามที่ลึกซึ้งกว่านั้นว่าเราจะกำหนดความหมายให้กับนิพจน์ 0.999... ได้อย่างไร^{[ 18 ]} Richman (1999)ก็ได้ให้เหตุผลเดียวกัน โดยระบุว่าผู้ที่สงสัยอาจตั้งคำถามว่าสามารถตัดทอนได้ หรือไม่ กล่าว คือ การลบออก จากทั้งสองข้างนั้น สมเหตุสมผลหรือไม่^{[ 15 ]} Eisenmann (2008)ก็ได้ให้เหตุผลในทำนองเดียวกันว่าทั้งการคูณและการลบที่กำจัดทศนิยมอนันต์นั้นจำเป็นต้องมีการให้เหตุผลเพิ่มเติม^{[ 19 ]}${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

การวิเคราะห์เชิงจริงคือการศึกษาพื้นฐานเชิงตรรกะของแคลคูลัสรวมถึงพฤติกรรมของลำดับและอนุกรมของจำนวนจริง^{[ 20 ]}การพิสูจน์ในส่วนนี้สร้าง0.999... = 1โดยใช้เทคนิคที่คุ้นเคยจากการวิเคราะห์เชิงจริง

รูปแบบทั่วไปของการขยายทศนิยมคือการกำหนดให้เป็นอนุกรมอนันต์โดยทั่วไป $${\displaystyle b_{0}.b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}\ldots =b_{0}+b_{1}\left({\tfrac {1}{10}}\right)+b_{2}\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{2}+b_{3}\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{3}+b_{4}\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{4}+\cdots .}$$

สำหรับ 0.999... สามารถใช้ ทฤษฎีบท การลู่เข้าเกี่ยวกับอนุกรมเรขาคณิตได้โดยระบุว่าถ้า< 1${\displaystyle \vert r\vert }$แล้ว^{[ 21 ]}$${\displaystyle ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots ={\frac {ar}{1-r}}.}$$

เนื่องจาก 0.999... เป็นผลรวมที่มีอัตราส่วนร่วม⁠ ⁠ดังนั้นทฤษฎีบทนี้จึงช่วยแก้ปัญหานี้ได้อย่างรวดเร็ว: ${\displaystyle a=9}$${\displaystyle \textstyle r={\frac {1}{10}}}$$${\displaystyle 0.999\ldots =0+9\left({\tfrac {1}{10}}\right)+9\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{2}+9\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{3}+\cdots ={\frac {9\left({\tfrac {1}{10}}\right)}{1-{\tfrac {1}{10}}}}=1.}$$

หลักฐานนี้ปรากฏครั้งแรกในปี 1770 ในหนังสือ Elements of AlgebraของLeonhard Euler ^{[ 22 ]}

ผลรวมของอนุกรมเรขาคณิตเป็นผลลัพธ์ที่เก่าแก่กว่าออยเลอร์เสียอีก การพิสูจน์ทั่วไปในศตวรรษที่ 18 ใช้การจัดการทีละพจน์ที่คล้ายกับการพิสูจน์ทางพีชคณิตที่กล่าวมาข้างต้น และแม้กระทั่งในปี 1811 ตำราAn Introduction to Algebra ของ Bonnycastle ก็ยังใช้การโต้แย้งดังกล่าวสำหรับอนุกรมเรขาคณิตเพื่อพิสูจน์การกระทำเดียวกันกับ 0.999... [^{23 ] ปฏิกิริยา}ในศตวรรษที่ 19 ต่อวิธีการบวกแบบเสรีดังกล่าวส่งผลให้เกิดคำจำกัดความที่ยังคงครอบงำอยู่ในปัจจุบัน นั่นคือ ผลรวมของอนุกรมถูกกำหนดให้เป็นลิมิตของลำดับของผลรวมย่อย การพิสูจน์ทฤษฎีบทที่สอดคล้องกันจะคำนวณลำดับนั้นอย่างชัดเจน สามารถพบได้ในบทนำที่อิงตามการพิสูจน์หลายเล่มเกี่ยวกับแคลคูลัสหรือการวิเคราะห์^{[ 24 ]}

ลำดับ( , , , ...)จะมีค่าเป็นลิมิตก็ต่อเมื่อระยะ ห่างมี ค่า น้อยลงเรื่อยๆ เมื่อเพิ่มขึ้น ข้อความที่ว่า0.999... = 1สามารถตีความและพิสูจน์ได้ว่าเป็นลิมิต: ^{[ c ]}${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \left\vert x-x_{n}\right\vert }$${\displaystyle n}$$${\displaystyle 0.999\ldots \ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \lim _{n\to \infty }0.\underbrace {99\ldots 9} _{n}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {9}{10^{k}}}=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{10^{n}}}\right)=1-\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=1-0=1.}$$

ความเท่าเทียมกันสองข้อแรกสามารถตีความได้ว่าเป็นนิยามย่อเชิงสัญลักษณ์ ส่วนความเท่าเทียมกันที่เหลือสามารถพิสูจน์ได้ ขั้นตอนสุดท้ายที่ว่า 10 ^{− n}เข้าใกล้ 0 เมื่อ n เข้าใกล้อนันต์ ( ⁠ ⁠ ) มักได้รับการพิสูจน์โดยคุณสมบัติของอาร์คิมีดีสของจำนวนจริง ทัศนคติที่อิงตามขีดจำกัดนี้ต่อ 0.999... มักถูกนำเสนอในแง่ที่ชวนให้คิดมากกว่าแต่ไม่แม่นยำนัก ตัวอย่างเช่น ตำราเรียนThe University Arithmetic ปี 1846 อธิบายว่า ".999 + ต่อไปจนถึงอนันต์ = 1 เพราะการเพิ่ม 9 ทุกครั้งจะทำให้ค่าเข้าใกล้ 1 มากขึ้น" และตำราArithmetic for Schools ปี 1895 กล่าวว่า "เมื่อใช้ 9 จำนวนมาก ความแตกต่างระหว่าง 1 และ .99999... จะน้อยลงจนแทบเป็นไปไม่ได้" ^{[ 25 ]}ฮิวริสติกส์ดังกล่าวมักถูกนักเรียนตีความผิดว่าหมายความว่า 0.999... นั้นน้อยกว่า 1 ^{[ 26 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle \infty }$

นิยามอนุกรมข้างต้นกำหนดจำนวนจริงที่ตั้งชื่อตามการกระจายทศนิยม แนวทางเสริมได้รับการออกแบบมาเพื่อกระบวนการตรงกันข้าม: สำหรับจำนวนจริงที่กำหนด ให้กำหนดการกระจายทศนิยมเพื่อตั้งชื่อจำนวนนั้น

หาก ทราบว่าจำนวน จริงอยู่ใน ช่วงปิด[0, 10] (กล่าวคือ มากกว่าหรือเท่ากับ 0 และน้อยกว่าหรือเท่ากับ 10) เราสามารถจินตนาการถึงการแบ่งช่วงนั้นออกเป็นสิบส่วน โดยส่วนที่ทับซ้อนกันมีเพียงที่จุดปลายเท่านั้น ได้แก่[0, 1] , [1, 2] , [2, 3]และต่อไปเรื่อยๆ จนถึง[9, 10]จำนวนนั้นจะต้องอยู่ในส่วนใดส่วนหนึ่งเหล่านี้ หากอยู่ใน[2, 3]เราจะบันทึกเลข "2" และแบ่งช่วงนั้นออกเป็น[2, 2.1] , [2.1, 2.2] , ..., [2.8, 2.9] , [2.9, 3 ] การดำเนินการตามกระบวนการนี้ต่อไปจะให้ลำดับอนันต์ของช่วงที่ซ้อนกันโดยมีป้ายกำกับเป็นลำดับอนันต์ของตัวเลข⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ... และเราสามารถเขียนได้ว่า ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle b_{1}}$${\displaystyle b_{2}}$${\displaystyle b_{3}}$$${\displaystyle x=b_{0}.b_{1}b_{2}b_{3}\ldots .}$$

ในรูปแบบนี้ เอกลักษณ์1 = 0.999...และ1 = 1.000...สะท้อนถึงข้อเท็จจริงที่ว่า 1 อยู่ในทั้ง[0, 1]และ[1, 2] ตามลำดับ ดังนั้นจึงสามารถเลือกช่วงย่อยใดก็ได้เมื่อค้นหาตัวเลข เพื่อให้แน่ใจว่าสัญกรณ์นี้ไม่ได้ใช้เครื่องหมาย "=" อย่างไม่เหมาะสม จำเป็นต้องมีวิธีสร้างจำนวนจริงที่ไม่ซ้ำกันสำหรับแต่ละทศนิยม ซึ่งสามารถทำได้ด้วยลิมิต แต่การสร้างอื่นๆ ยังคงดำเนินต่อไปตามแนวคิดการเรียงลำดับ^{[ 27 ]}

ทางเลือกที่ตรงไปตรงมาอย่างหนึ่งคือทฤษฎีบทช่วงซ้อนกันซึ่งรับประกันว่าเมื่อกำหนดลำดับของช่วงปิดซ้อนกันซึ่งมีความยาวเล็กลงเรื่อยๆ ช่วงเหล่านั้นจะมีจำนวนจริงเพียงจำนวนเดียวในจุดตัดดังนั้น⁠ ⁠${\displaystyle b_{1}}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle b_{2}}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle b_{3}}$ , ... จึงถูกกำหนดให้เป็นจำนวนเฉพาะที่อยู่ในช่วง[ , + 1]${\displaystyle b_{0}}$${\displaystyle b_{0}}$ , [ , + 0.1]${\displaystyle b_{0}.b_{1}}$${\displaystyle b_{0}.b_{1}}$และอื่นๆ 0.999... จึงเป็นจำนวนจริงเฉพาะที่อยู่ในช่วง[0, 1] , [0.9, 1 ] , [0.99, 1]และ[0.99...9, 1]สำหรับทุกสตริงจำกัดของเลข 9 เนื่องจาก 1 เป็นสมาชิกของแต่ละช่วงเหล่านี้ ดังนั้น0.999... = 1 ^{[ 28 ]}

ทฤษฎีบทช่วงซ้อนกันมักจะตั้งอยู่บนลักษณะพื้นฐานที่สำคัญกว่าของจำนวนจริง นั่นคือ การมีอยู่ของขอบเขตบนที่น้อยที่สุดหรือค่าสูงสุด เพื่อใช้ประโยชน์จากวัตถุเหล่านี้โดยตรง เราอาจกำหนด ... ให้เป็นขอบเขตบนที่น้อยที่สุดของเซตของค่าประมาณ , , , ... [ 29 ] ^จากนั้นเราสามารถ${\displaystyle b_{0}.b_{1}b_{2}b_{3}}$แสดงได้ว่า${\displaystyle b_{0}}$คำ${\displaystyle b_{0}.b_{1}}$จำกัดความ^{นี้ (}หรือคำ จำกัดความของช่วงซ้อน กัน${\displaystyle b_{0}.b_{1}b_{2}}$ ) สอดคล้องกับกระบวนการแบ่งย่อย ซึ่งหมายความว่า0.999... = 1อีกครั้งทอม อโพสโตลสรุปว่า "ข้อเท็จจริงที่ว่าจำนวนจริงอาจมีการแสดงทศนิยมที่แตกต่างกันสองแบบเป็นเพียงการสะท้อนของข้อเท็จจริงที่ว่าเซตของจำนวนจริงที่แตกต่างกันสองเซตสามารถมีค่าสูงสุดเดียวกันได้" ^{[ 30 ]}

แนวทางบางอย่างกำหนดจำนวนจริงอย่างชัดเจนให้เป็นโครงสร้างบางอย่างที่สร้างขึ้นบนจำนวนตรรกยะโดยใช้ทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์จำนวนธรรมชาติ { 0, 1, 2, 3, ...}เริ่มต้นด้วย 0 และเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ เพื่อให้ทุกจำนวนมีตัวสืบทอด เราสามารถขยายจำนวนธรรมชาติด้วยจำนวนลบเพื่อให้ได้จำนวนเต็ม ทั้งหมด และขยายต่อไปเป็นอัตราส่วนเพื่อให้ได้จำนวนตรรกยะระบบจำนวนเหล่านี้มาพร้อมกับการคำนวณเลขคณิตของการบวก การลบ การคูณ และการหาร^{[ 31 ] [ 32 ]}ที่ละเอียดอ่อนกว่านั้นคือ พวกมันรวมถึงการเรียงลำดับเพื่อให้สามารถเปรียบเทียบจำนวนหนึ่งกับอีกจำนวนหนึ่งและพบว่าน้อยกว่า มากกว่า หรือเท่ากับอีกจำนวนหนึ่ง^{[ 33 ]}

ขั้นตอนจากจำนวนตรรกยะไปสู่จำนวนจริงเป็นการขยายที่สำคัญ มีอย่างน้อยสองวิธีที่เป็นที่นิยมในการบรรลุขั้นตอนนี้ ซึ่งทั้งสองวิธีได้รับการตีพิมพ์ในปี 1872 ได้แก่การตัดของเดเดคินด์และลำดับโคชี ไม่พบ การพิสูจน์ว่า0.999... = 1โดยตรงโดยใช้การสร้างเหล่านี้ในตำราเกี่ยวกับการวิเคราะห์จำนวนจริง ซึ่งแนวโน้มสมัยใหม่ในช่วงไม่กี่ทศวรรษที่ผ่านมาคือการใช้การวิเคราะห์เชิงสัจพจน์ แม้ว่าจะมีการนำเสนอการสร้าง แต่โดยปกติแล้วจะนำไปใช้เพื่อพิสูจน์สัจพจน์ของจำนวนจริง ซึ่งจะสนับสนุนการพิสูจน์ข้างต้น อย่างไรก็ตาม ผู้เขียนหลายคนแสดงความคิดเห็นว่าการเริ่มต้นด้วยการสร้างนั้นเหมาะสมทางตรรกะมากกว่า และการพิสูจน์ที่ได้นั้นมีความสมบูรณ์ในตัวเองมากกว่า^{[ d ]}

ใน แนวทางการตัด ของDedekindแต่ละจำนวนจริงจะถูกกำหนดให้เป็นเซตอนันต์ ของ จำนวนตรรกยะทั้งหมดที่น้อยกว่า⁠ ⁠ ^{[ e ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จำนวนจริง 1 คือเซตของจำนวนตรรกยะทั้งหมดที่น้อยกว่า 1 ^{[ f ]}การขยายทศนิยมบวกทุกค่าสามารถกำหนดการตัดของ Dedekind ได้อย่างง่ายดาย นั่นคือเซตของจำนวนตรรกยะที่น้อยกว่าค่าใดค่าหนึ่งของการขยาย ดังนั้นจำนวนจริง 0.999... คือเซตของจำนวนตรรกยะที่< 0หรือ< 0.9หรือ< 0.99หรือน้อยกว่าจำนวนอื่น ๆ ในรูปแบบ^{[ 34 ]}${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$$${\displaystyle 1-{\frac {1}{10^{n}}}=0.(9)_{n}=0.\underbrace {99\ldots 9} _{n{\text{ nines}}}.}$$

ทุกองค์ประกอบของ 0.999... มีค่าน้อยกว่า 1 ดังนั้นจึงเป็นองค์ประกอบของจำนวนจริง 1 ในทางกลับกัน ทุกองค์ประกอบของ 1 เป็นจำนวนตรรกยะที่สามารถเขียนได้ในรูป โดย ที่ และซึ่งหมายความว่า และดังนั้น $${\displaystyle {\frac {a}{b}}<1,}$$${\displaystyle b>0}$${\displaystyle b>a}$$${\displaystyle 1-{\frac {a}{b}}={\frac {b-a}{b}}\geq {\frac {1}{b}}>{\frac {1}{10^{b}}},}$$$${\displaystyle {\frac {a}{b}}<1-{\frac {1}{10^{b}}}.}$$

เนื่องจาก ตามนิยามข้างต้น สมาชิกทุกตัวของ 1 ก็เป็นสมาชิกของ 0.999... ด้วย และเมื่อรวมกับการพิสูจน์ข้างต้นที่ว่า สมาชิกทุกตัวของ 0.999... ก็เป็นสมาชิกของ 1 ด้วย ดังนั้นเซต 0.999... และ 1 จึงประกอบด้วยจำนวนตรรกยะเดียวกัน และจึงเป็นเซตเดียวกัน นั่นคือ0.999... = 1 $${\displaystyle 1-{\frac {1}{10^{b}}}=0.(9)_{b}<0.999\ldots ,}$$

นิยามของจำนวนจริงในฐานะ Dedekind cuts ได้รับการตีพิมพ์ครั้งแรกโดยRichard Dedekindในปี 1872 ^{[ 35 ]} แนวทางข้างต้นในการกำหนดจำนวนจริงให้กับการขยายทศนิยมแต่ละครั้งนั้นมาจากบทความอธิบายเรื่อง "Is 0.999 ... = 1 ?" โดย Fred Richman ในMathematics Magazine [ ^{15 ] Richman}ตั้งข้อสังเกตว่าการใช้ Dedekind cuts ในเซตย่อยหนาแน่น ใดๆ ของจำนวนตรรกยะจะให้ผลลัพธ์เดียวกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เขาใช้เศษส่วนทศนิยมซึ่งการพิสูจน์นั้นชัดเจนกว่า เขายังตั้งข้อสังเกตอีกว่าโดยทั่วไปแล้วนิยามจะอนุญาตให้{ | < 1}${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$เป็น cut ได้ แต่{ | ≤ 1}${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$ ไม่ใช่ (หรือในทางกลับกัน) ^{[ 36 ]}การปรับเปลี่ยนขั้นตอนเพิ่มเติมจะนำไปสู่โครงสร้างที่แตกต่างกันซึ่งทั้งสองไม่เท่ากัน แม้ว่าจะสอดคล้องกัน แต่กฎทั่วไปหลายข้อของเลขคณิตทศนิยมก็ไม่เป็นจริงอีกต่อไป ตัวอย่างเช่น เศษส่วนไม่มีการแสดงแทน ดู§ ระบบจำนวนทางเลือกด้านล่าง ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$

แนวทางอื่นคือการกำหนดจำนวนจริงเป็นลิมิตของลำดับโคชีของจำนวนตรรกยะ การสร้างจำนวนจริงนี้ใช้การเรียงลำดับของจำนวนตรรกยะโดยตรงน้อยกว่า ขั้นแรก ระยะห่างระหว่างและถูกกำหนดให้เป็นค่าสัมบูรณ์โดยที่ค่าสัมบูรณ์ถูกกำหนดให้เป็นค่าสูงสุดของและดังนั้นจึง ไม่เป็น ลบจาก นั้นจำนวนจริงจะถูกกำหนดให้เป็นลำดับของจำนวนตรรกยะที่มี คุณสมบัติลำดับโคชีโดยใช้ระยะห่างนี้ นั่นคือ ในลำดับ, , , ...ซึ่งเป็นการ แม ปจากจำนวนธรรมชาติไปยังจำนวนตรรกยะ สำหรับจำนวนตรรกยะบวกใดๆจะมี ที่ทำให้สำหรับทุก; ระยะห่างระหว่างพจน์จะน้อยกว่าจำนวนตรรกยะบวกใดๆ^{[ 37 ]}${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \left\vert x-y\right\vert }$${\displaystyle \left\vert z\right\vert }$${\displaystyle z}$${\displaystyle -z}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle N}$${\displaystyle \left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert \leq \delta }$${\displaystyle m,n>N}$

ถ้าและเป็นลำดับโคชีสองลำดับ ลำดับทั้งสองจะเท่ากันเป็นจำนวนจริงก็ต่อเมื่อลำดับ มีลิมิตเป็น 0การตัดทอนของจำนวนทศนิยม...สร้างลำดับของจำนวนตรรกยะ ซึ่งเป็นลำดับโคชี สิ่งนี้ถูกนำมาใช้เพื่อกำหนดค่าจริงของจำนวน^{[ 38 ]}ดังนั้นในรูปแบบนี้ งานคือการแสดงว่าลำดับของจำนวนตรรกยะ มีลิมิตเป็น 0 เมื่อพิจารณา พจน์ ที่ของลำดับ สำหรับดังนั้นจึงต้องแสดงว่า ${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle (y_{n})}$${\displaystyle (x_{n}-y_{n})}$${\displaystyle b_{0}.b_{1}b_{2}b_{3}}$$${\displaystyle \left(1-0,1-{9 \over 10},1-{99 \over 100},\ldots \right)=\left(1,{1 \over 10},{1 \over 100},\ldots \right)}$$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=0.}$$

สิ่งนี้สามารถพิสูจน์ได้ด้วยนิยามของลิมิตดังนั้นอีกครั้ง0.999... = 1 ^{[ 39 ]}

นิยามของจำนวนจริงในรูปของลำดับโคชีได้รับการตีพิมพ์แยกกันครั้งแรกโดยEduard HeineและGeorg Cantorในปี 1872 เช่นกัน^{[ 35 ]}แนวทางข้างต้นในการขยายทศนิยม รวมถึงการพิสูจน์ว่า0.999... = 1เป็นไปตามงานของ Griffiths & Hilton ในปี 1970 อย่างใกล้ชิด ตำราเรียนคณิตศาสตร์คลาสสิกที่ครอบคลุม : การตีความร่วมสมัย^{[ 40 ]}

โดยทั่วไปใน การเรียนการสอนคณิตศาสตร์ใน โรงเรียนมัธยมจำนวนจริงจะถูกสร้างขึ้นโดยการกำหนดจำนวนโดยใช้จำนวนเต็มตามด้วยจุดทศนิยมและลำดับอนันต์ที่เขียนออกมาเป็นสตริงเพื่อแสดงส่วนที่เป็นเศษส่วนของจำนวนจริงที่กำหนด ในการสร้างนี้ เซตของการรวมกันของจำนวนเต็มและตัวเลขหลังจุดทศนิยม (หรือจุดทศนิยมในระบบที่ไม่ใช่ฐาน 10) คือเซตของจำนวนจริง การสร้างนี้สามารถแสดงให้เห็นได้อย่างเข้มงวดว่าสอดคล้องกับสัจพจน์ของจำนวนจริง ทั้งหมด หลังจากกำหนดความสัมพันธ์สมมูลเหนือเซตที่กำหนด1 = _{เท่ากับ} 0.999...เช่นเดียวกับทศนิยมที่ไม่เป็นศูนย์อื่นๆ ที่มีพจน์ที่ไม่เป็นศูนย์เพียงจำนวนจำกัดในสตริงทศนิยมที่มีเวอร์ชันต่อท้ายด้วย 9 กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความเท่าเทียมกัน0.999... = 1ที่เป็นจริงเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับสตริงของตัวเลขที่จะมีพฤติกรรมเหมือนจำนวนจริง^{[ 41 ] [ 42 ]}

หนึ่งในแนวคิดที่สามารถแก้ไขปัญหานี้ได้คือข้อกำหนดที่ว่าจำนวนจริงจะต้องมีการเรียงลำดับแบบหนาแน่นการเรียงลำดับแบบหนาแน่นหมายความว่าหากไม่มีองค์ประกอบใหม่ใดๆ อยู่ระหว่างองค์ประกอบสองตัวของเซต องค์ประกอบทั้งสองจะต้องถือว่าเท่ากัน ดังนั้น หาก 0.999... แตกต่างจาก 1 จะต้องมีจำนวนจริงอีกตัวหนึ่งอยู่ระหว่างนั้น แต่ไม่มี: ไม่สามารถเปลี่ยนหลักเดียวในทั้งสองจำนวนเพื่อให้ได้จำนวนดังกล่าวได้^{[ 43 ]}

ผลลัพธ์ที่ว่า0.999... = 1สามารถสรุปได้โดยทั่วไปในสองวิธี วิธีแรก ทุกจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ที่มีสัญกรณ์ทศนิยมจำกัด (เทียบเท่ากับเลข 0 ต่อท้ายไม่สิ้นสุด) จะมีจำนวนที่เทียบเท่ากับจำนวนที่มีเลข 9 ต่อท้าย ตัวอย่างเช่น 0.24999... เท่ากับ 0.25 เหมือนกับในกรณีพิเศษที่พิจารณาไว้ จำนวนเหล่านี้เป็นเศษส่วนทศนิยมอย่างแท้จริง และมีความหนาแน่น^{[ 44 ] [ 12 ]}

ประการที่สอง ทฤษฎีบทที่เทียบเคียงได้นั้นใช้ได้กับฐาน แต่ละ ฐาน ตัวอย่างเช่น ในฐาน 2 ( ระบบเลขฐานสอง ) 0.111... เท่ากับ 1 และในฐาน 3 ( ระบบเลขฐานสาม ) 0.222... เท่ากับ 1 โดยทั่วไปนิพจน์ฐานที่สิ้นสุดใดๆ จะมีคู่เทียบที่มีตัวเลขต่อท้ายซ้ำกันเท่ากับตำราการวิเคราะห์เชิงจริงมักจะข้ามตัวอย่างของ 0.999... และนำเสนอการสรุปทั่วไปอย่างใดอย่างหนึ่งหรือทั้งสองอย่างนี้ตั้งแต่เริ่มต้น^{[ 45 ]}${\displaystyle b}$${\displaystyle b-1}$

นอกจากนี้ ยังมีการแสดงค่า 1 ในรูปแบบอื่นในฐานที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น ในฐานอัตราส่วนทองคำการแสดงค่ามาตรฐานสองแบบคือ 1.000... และ 0.101010... และยังมีการแสดงค่าอื่นๆ อีกมากมายนับไม่ถ้วนที่รวมถึงเลข 1 ที่อยู่ติดกัน โดยทั่วไปแล้ว สำหรับเกือบทุกจำนวน ระหว่าง 1 ถึง 2 จะมี การขยาย ฐานของ 1 นับไม่ถ้วน ในทางตรงกันข้าม ยังมีจำนวนนับไม่ถ้วนอีกจำนวนมากรวมถึงจำนวนธรรมชาติทั้งหมดที่มากกว่า 1 ซึ่งมีเพียง การขยาย ฐานของ 1 เพียงแบบเดียว นอกเหนือจาก 1.000... ที่เห็น ได้ ชัด ผลลัพธ์นี้ได้มาจากการค้นพบครั้งแรกโดยPaul Erdős , Miklos Horváth และ István Joó ในช่วงประมาณปี 1990 ในปี 1998 Vilmos Komornik และPaola Loretiได้กำหนดค่าฐานที่เล็กที่สุดดังกล่าว ซึ่งก็คือค่าคงที่ Komornik–Loreti = 1.787231650 ... ในฐานนี้1 = 0.11010011001011010010110011010011... ; ตัวเลขกำหนดโดยลำดับ Thue–Morseซึ่งไม่ซ้ำกัน^{[ 46 ]}${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$

การสรุปทั่วไปที่ครอบคลุมมากขึ้นจะกล่าวถึงระบบตัวเลขตำแหน่งทั่วไปที่สุดพวกมันก็มีการแสดงหลายแบบเช่นกัน และในบางแง่ ความยากลำบากก็ยิ่งแย่ลงไปอีก ตัวอย่างเช่น: ^{[ 47 ]}

• ในระบบไตรภาคที่สมดุล= 0.111... = 1. 111 ... ‍ .${\textstyle {\frac {1}{2}}}$
• ในระบบเลขแฟกทอเรียล ผกผัน (โดยใช้ฐาน 2!, 3!, 4!, ... สำหรับตำแหน่งหลังจุดทศนิยม) 1 = 1.000... = 0.1234 ...

Petkovšek (1990)ได้พิสูจน์แล้วว่าสำหรับระบบตำแหน่งใดๆ ที่ระบุจำนวนจริงทั้งหมด เซตของจำนวนจริงที่มีการแสดงแทนหลายแบบจะมีความหนาแน่นเสมอ เขาเรียกการพิสูจน์นี้ว่า "แบบฝึกหัดที่ให้ความรู้เกี่ยวกับโทโพโลยีเซตจุด เบื้องต้น " ซึ่งเกี่ยวข้องกับการมองเซตของค่าตำแหน่งเป็นปริภูมิสโตน และสังเกตว่าการแสดงแทนจำนวนจริง ^ของเซตเหล่านั้นกำหนดโดยฟังก์ชันต่อเนื่อง^[ 48 ^]

การประยุกต์ใช้ 0.999... แทน 1 เกิดขึ้นในทฤษฎีจำนวน เบื้องต้น ในปี พ.ศ. 2345 H. Goodwyn ได้ตีพิมพ์ข้อสังเกตเกี่ยวกับการปรากฏของ 9 ในการแสดงเศษส่วนแบบทศนิยมซ้ำที่มีตัวส่วนเป็นจำนวนเฉพาะบางจำนวน[ ^{49 ] ตัวอย่าง}ได้แก่:

• ${\textstyle {\frac {1}{7}}}$= 0.142857และ142 + 857 = 999
• ${\textstyle {\frac {1}{73}}}$= 0.01369863และ0136 + 9863 = 9999

E. Midy ได้พิสูจน์ผลลัพธ์ทั่วไปเกี่ยวกับเศษส่วนดังกล่าว ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าทฤษฎีบทของ Midyในปี 1836 การตีพิมพ์นั้นไม่เป็นที่รู้จัก และไม่ชัดเจนว่าการพิสูจน์ของเขาเกี่ยวข้องกับ 0.999... โดยตรงหรือไม่ แต่การพิสูจน์สมัยใหม่โดย William G. Leavitt อย่างน้อยหนึ่งรายการก็เกี่ยวข้อง หากสามารถพิสูจน์ได้ว่าทศนิยมในรูปแบบ⁠ ⁠${\displaystyle 0.b_{1}b_{2}b_{3}}$ ... เป็นจำนวนเต็มบวก จะต้องเป็น 0.999... ซึ่งเป็นที่มาของเลข 9 ในทฤษฎีบท^{[ 50 ]}การวิจัยในทิศทางนี้สามารถกระตุ้นแนวคิดต่างๆ เช่น ตัวหารร่วมมากเลขคณิตมอดูลาร์ จำนวนเฉพาะของแฟร์ มาต์ ลำดับของ สมาชิก กลุ่มและ การ แลกเปลี่ยนกำลังสอง^{[ 51 ]}

เมื่อกลับมาพิจารณาการวิเคราะห์เชิงจริง ค่าอนาล็อกฐาน 3 0.222... = 1มีบทบาทสำคัญในการกำหนดลักษณะของแฟร็กทัล ที่ง่ายที่สุดอย่างหนึ่ง นั่นคือ เซตแคนเตอร์แบบสามส่วนตรงกลาง: จุดในช่วงหน่วยจะอยู่ในเซตแคนเตอร์ก็ต่อเมื่อสามารถแสดงในระบบเลขฐานสามโดยใช้เพียงตัวเลข 0 และ 2 เท่านั้น

ตัวเลข หลักที่ ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ของการแสดงผลสะท้อนถึงตำแหน่งของจุดใน ขั้นตอนที่ ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ของการสร้าง ตัวอย่างเช่น จุดจะได้รับการแสดงผลตามปกติเป็น 0.2 หรือ 0.2000... เนื่องจากอยู่ทางขวาของการลบครั้งแรกและทางซ้ายของการลบทุกครั้งหลังจากนั้น จุดจะไม่แสดงเป็น 0.1 แต่เป็น 0.0222... เนื่องจากอยู่ทางซ้ายของการลบครั้งแรกและทางขวาของการลบทุกครั้งหลังจากนั้น^{[ 52 ]}${\textstyle {\frac {2}{3}}}$${\textstyle {\frac {1}{3}}}$

เลขเก้าที่ซ้ำกันยังปรากฏขึ้นในงานอีกชิ้นหนึ่งของ Georg Cantor ด้วย จำเป็นต้องนำเลขเก้าเหล่านี้มาพิจารณาเพื่อสร้างบทพิสูจน์ที่ถูกต้อง โดยใช้การโต้แย้งแนวทแยงมุมในปี 1891 ของเขาในการขยายทศนิยม เพื่อ พิสูจน์ว่าช่วงหน่วยนั้น นับไม่ได้บทพิสูจน์ดังกล่าวจำเป็นต้องสามารถประกาศว่าจำนวนจริงบางคู่แตกต่างกันโดยอาศัยการขยายทศนิยม ดังนั้นจึงต้องหลีกเลี่ยงคู่เช่น 0.2 และ 0.1999... วิธีการง่ายๆ จะแสดงจำนวนทั้งหมดที่มีการขยายที่ไม่สิ้นสุด วิธีการตรงกันข้ามจะตัดเลขเก้าที่ซ้ำกันออกไป^{[ g ]}ตัวแปรที่อาจใกล้เคียงกับการโต้แย้งดั้งเดิมของ Cantor ใช้ฐาน 2 และโดยการเปลี่ยนการขยายฐาน 3 เป็นการขยายฐาน 2 ก็สามารถพิสูจน์ได้ว่าเซต Cantor นั้นนับไม่ได้เช่นกัน^{[ 53 ]}

นักศึกษาคณิตศาสตร์มักปฏิเสธความเท่าเทียมกันของ 0.999... และ 1 ด้วยเหตุผลต่างๆ ตั้งแต่ลักษณะที่แตกต่างกัน ไปจนถึงความกังวลอย่างลึกซึ้งเกี่ยวกับ แนวคิด เรื่องลิมิตและความไม่ลงรอยกันเกี่ยวกับธรรมชาติของปริมาณอนันต์มีปัจจัยร่วมหลายประการที่ก่อให้เกิดความสับสนนี้:

• นักเรียนมักจะ "ยึดมั่นในความคิดที่ว่าตัวเลขสามารถแสดงได้เพียงวิธีเดียวด้วยทศนิยม" การเห็นทศนิยมสองค่าที่แตกต่างกันอย่างชัดเจนแทนตัวเลขเดียวกันนั้นดูเหมือนจะเป็นความขัดแย้งซึ่งยิ่งทวีความรุนแรงขึ้นเมื่อปรากฏตัวเลข 1 ที่ดูเหมือนจะเข้าใจได้ง่าย^{[ h ]}
• นักเรียนบางคนตีความ "0.999..." (หรือสัญลักษณ์ที่คล้ายกัน) ว่าเป็นสตริงเลข 9 ขนาดใหญ่แต่จำกัด ซึ่งอาจมีความยาวแปรผันและไม่ระบุ หากพวกเขายอมรับสตริงเลข 9 ที่ไม่มีที่สิ้นสุด พวกเขาอาจยังคงคาดหวังเลข 9 ตัวสุดท้าย "ที่อนันต์" ^{[ 54 ]}
• สัญชาตญาณและการสอนที่ไม่ชัดเจนทำให้ผู้เรียนคิดว่าลิมิตของลำดับเป็นกระบวนการอนันต์ชนิดหนึ่ง แทนที่จะเป็นค่าคงที่ เนื่องจากลำดับไม่จำเป็นต้องถึงลิมิต เมื่อผู้เรียนยอมรับความแตกต่างระหว่างลำดับของตัวเลขกับลิมิต พวกเขาอาจอ่าน "0.999..." ว่าหมายถึงลำดับ ไม่ใช่ลิมิต^{[ 55 ]}

แนวคิดเหล่านี้ผิดพลาดในบริบทของจำนวนจริงมาตรฐาน แม้ว่าบางแนวคิดอาจใช้ได้ในระบบจำนวนอื่น ๆ ซึ่งอาจถูกคิดค้นขึ้นเพื่อประโยชน์ทางคณิตศาสตร์โดยทั่วไป หรือเป็นตัวอย่างค้าน ที่ช่วย ให้เข้าใจ 0.999... ได้ดียิ่งขึ้น โปรดดูหัวข้อ § ในระบบจำนวนทางเลือกด้านล่าง

คำอธิบายเหล่านี้จำนวนมากพบโดยDavid Tallซึ่งศึกษาลักษณะการสอนและการรับรู้ที่นำไปสู่ความเข้าใจผิดบางประการที่เขาพบเจอกับนักศึกษาในวิทยาลัยของเขา การสัมภาษณ์นักศึกษาเพื่อหาสาเหตุว่าทำไมส่วนใหญ่จึงปฏิเสธความเท่าเทียมกันในตอนแรก เขาพบว่า "นักศึกษายังคงคิดว่า 0.999... เป็นลำดับของตัวเลขที่เข้าใกล้ 1 มากขึ้นเรื่อยๆ และไม่ใช่ค่าคงที่ เพราะ 'คุณไม่ได้ระบุว่ามีกี่ตำแหน่ง' หรือ 'มันเป็นทศนิยมที่ใกล้ที่สุดที่เป็นไปได้ที่ต่ำกว่า 1 ' " ^{[ 26 ]}

การให้เหตุผลเบื้องต้นโดยการคูณ0.333... =${\textstyle {\frac {1}{3}}}$ด้วย 3 สามารถโน้มน้าวให้นักเรียนที่ไม่เต็มใจเชื่อว่า 0.999... = 1 ได้ อย่างไรก็ตาม เมื่อเผชิญกับความขัดแย้งระหว่างความเชื่อในสมการแรกและความไม่เชื่อในสมการที่สอง นักเรียนบางคนอาจเริ่มไม่เชื่อสมการแรกหรือเพียงแค่รู้สึกหงุดหงิด^{[ 56 ]}แม้แต่วิธีการที่ซับซ้อนกว่าก็ไม่ได้สมบูรณ์แบบเสมอไป นักเรียนที่สามารถใช้คำจำกัดความที่เข้มงวดได้อย่างเต็มที่ก็อาจยังคงใช้ภาพที่เข้าใจง่ายเมื่อพวกเขาประหลาดใจกับผลลัพธ์ในคณิตศาสตร์ขั้นสูง รวมถึง 0.999... ‍ ตัวอย่าง เช่น นักเรียนวิเคราะห์จริงคนหนึ่งสามารถพิสูจน์ได้ว่า0.333... =${\textstyle {\frac {1}{3}}}$โดยใช้ คำจำกัดความ สูงสุดแต่เธอกลับยืนยันว่า0.999... < 1โดยอาศัยความเข้าใจก่อนหน้านี้เกี่ยวกับการหารยาว^{[ 57 ]}บางคนยังสามารถพิสูจน์ได้ว่า= 0.333...แต่เมื่อเผชิญกับการพิสูจน์เศษส่วน พวกเขาก็ยืนยันว่า "ตรรกะ" สำคัญกว่าการคำนวณทางคณิตศาสตร์ ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$

Mazur (2005)เล่าเรื่องราวของนักเรียนแคลคูลัสที่เก่งกาจคนหนึ่งของเขาซึ่ง "ท้าทายเกือบทุกสิ่งที่ฉันพูดในชั้นเรียน แต่ไม่เคยตั้งคำถามกับเครื่องคิดเลขของเขาเลย" และเชื่อว่าตัวเลขเก้าหลักก็เพียงพอแล้วสำหรับการคำนวณทางคณิตศาสตร์ รวมถึงการคำนวณรากที่สองของ 23 นักเรียนยังคงรู้สึกไม่สบายใจกับข้อโต้แย้งเชิงจำกัดที่ว่า9.99... = 10โดยเรียกมันว่า "กระบวนการเติบโตอนันต์ที่จินตนาการอย่างบ้าคลั่ง" ^{[ 58 ]}

ในฐานะส่วนหนึ่งของ ทฤษฎี การเรียนรู้คณิตศาสตร์APOS Dubinsky et al. (2005)เสนอว่านักเรียนที่เข้าใจ 0.999... ว่าเป็นสตริงที่จำกัดและไม่แน่นอนซึ่งมีระยะห่างเล็กน้อยจาก 1 นั้น "ยังไม่ได้สร้างแนวคิดกระบวนการที่สมบูรณ์ของทศนิยมอนันต์" นักเรียนคนอื่นๆ ที่มีแนวคิดกระบวนการที่สมบูรณ์ของ 0.999... อาจยังไม่สามารถ "ห่อหุ้ม" กระบวนการนั้นลงใน "แนวคิดวัตถุ" ได้ เช่นเดียวกับแนวคิดวัตถุที่พวกเขามีต่อ 1 ดังนั้นพวกเขาจึงมองว่ากระบวนการ 0.999... และวัตถุ 1 นั้นไม่เข้ากัน พวกเขายังเชื่อมโยงความสามารถทางจิตในการห่อหุ้มนี้กับการมองว่าเป็นตัวเลขในตัวของมันเองและการจัดการกับเซตของจำนวนธรรมชาติโดยรวม^{[ 59 ]}${\textstyle {\frac {1}{3}}}$

ด้วยการแพร่หลายของอินเทอร์เน็ตการถกเถียงเกี่ยวกับ 0.999... จึงกลายเป็นเรื่องปกติในกลุ่มข่าวและกระดานข้อความรวมถึงกลุ่มข่าวจำนวนมากที่แทบจะไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์เลย ในกลุ่มข่าวsci.mathในช่วงทศวรรษ 1990 การโต้เถียงเกี่ยวกับ 0.999... กลายเป็น "กีฬาที่ได้รับความนิยม" และเป็นหนึ่งในคำถามที่ได้รับคำตอบในคำถาม ที่พบ บ่อย^{[ 60 ] [ 61 ]}คำถามที่พบบ่อยครอบคลุมการคูณ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{3}}}$ด้วย 10 และลิมิตโดยย่อ และยังกล่าวถึงลำดับโคชีอีกด้วย

คอลัมน์ "The Straight Dope"ในหนังสือพิมพ์ทั่วไปฉบับปี 2003 กล่าวถึง 0.999... ผ่านและข้อจำกัด โดยกล่าวถึงความเข้าใจผิดต่างๆ ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$

สัญชาตญาณของไพรเมตในตัวเรายังคงต่อต้าน โดยกล่าวว่า .999~ ไม่ได้แสดงถึงตัวเลข จริงๆ แต่เป็นกระบวนการต่างหาก เพื่อที่จะหาตัวเลข เราต้องหยุดกระบวนการ ซึ่ง ณ จุดนั้น สิ่งที่ .999~ = 1 ก็จะพังทลายลง ไร้สาระ^{[ 62 ]}

บทความของ Slateรายงานว่าแนวคิดของ 0.999... นั้น "มีการถกเถียงกันอย่างดุเดือดในเว็บไซต์ต่างๆ ตั้งแต่กระดานข้อความของ World of Warcraft ไปจนถึงฟอรัมของ Ayn Rand " ^{[ 63 ]} 0.999... ยังปรากฏในเรื่องตลกทางคณิตศาสตร์เช่น: ^{[ 64 ]}

ถาม: ต้องใช้คณิตศาสตร์กี่คนถึงจะเปลี่ยนหลอดไฟได้ ? ตอบ: 0.999999....

ข้อเท็จจริงที่ว่า 0.999... เท่ากับ 1 ได้ถูกนำมาเปรียบเทียบกับปริศนานักวิ่งของซีโน [ ^{65 ] ปริศนา}นักวิ่งสามารถสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ได้ และจากนั้นก็สามารถแก้ไขได้เช่นเดียวกับ 0.999... โดยใช้ชุดอนุกรมเรขาคณิต อย่างไรก็ตาม ยังไม่ชัดเจนว่าวิธีการทางคณิตศาสตร์นี้ได้กล่าวถึงประเด็นอภิปรัชญาพื้นฐานที่ซีโนกำลังสำรวจอยู่หรือไม่^{[ 66 ]}

แม้ว่าจำนวนจริงจะเป็นระบบจำนวน ที่มีประโยชน์อย่างยิ่ง แต่การตัดสินใจตีความสัญลักษณ์ "0.999..." ว่าเป็นการตั้งชื่อจำนวนจริงนั้นเป็นเพียงข้อตกลง และทิโมธี โกเวอร์สได้โต้แย้งในหนังสือคณิตศาสตร์: บทนำฉบับย่อว่า เอกลักษณ์ที่ได้คือ0.999... = 1ก็เป็นเพียงข้อตกลงเช่นกัน

อย่างไรก็ตาม มันไม่ใช่ธรรมเนียมปฏิบัติที่กำหนดขึ้นโดยพลการแต่อย่างใด เพราะการไม่นำมาใช้จะทำให้ต้องประดิษฐ์วัตถุแปลกใหม่ขึ้นมา หรือต้องละทิ้งกฎเกณฑ์ทางคณิตศาสตร์ที่คุ้นเคยบางประการ^{[ 67 ]}

การพิสูจน์บางอย่างที่ว่า0.999... = 1อาศัยคุณสมบัติของอาร์คิมีดีสของจำนวนจริง กล่าวคือ ไม่มีค่าอนันต์ เล็กที่ไม่เป็นศูนย์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ผลต่าง1 − 0.999...จะต้องมีค่าน้อยกว่าจำนวนตรรกยะบวกใดๆ ดังนั้นจึงต้องเป็นค่าอนันต์เล็ก แต่เนื่องจากจำนวนจริงไม่มีค่าอนันต์เล็กที่ไม่เป็นศูนย์ ผลต่างจึงเป็นศูนย์ และด้วยเหตุนี้ ค่าทั้งสองจึงเท่ากัน

อย่างไรก็ตาม มีโครงสร้างพีชคณิต เรียงลำดับที่สอดคล้องกับคณิตศาสตร์ รวมถึงทางเลือกต่างๆ สำหรับจำนวนจริง ซึ่งไม่ใช่จำนวนอาร์คิมีเดียนการวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐานให้ระบบจำนวนที่มีอาร์เรย์เต็มรูปแบบของอนันต์เล็ก (และส่วนกลับของพวกมัน) ^{[ i ]} AH Lightstoneได้พัฒนาการขยายทศนิยมสำหรับจำนวนไฮเปอร์เรียลใน(0, 1) ^∗ Lightstone แสดงวิธีการเชื่อมโยงแต่ละจำนวนกับลำดับของตัวเลข โดยมีดัชนีเป็น จำนวน ไฮเปอร์เนเชอรัลแม้ว่าเขาจะไม่ได้กล่าวถึง 0.999... โดยตรง แต่เขาแสดงให้เห็นว่าจำนวนจริงนั้นแสดงด้วย 0.333...;...333... ซึ่งเป็นผลมาจากหลักการถ่ายโอน ผลที่ตามมาคือจำนวน0.999...;...999... = 1ด้วยการแสดงทศนิยมประเภทนี้ การขยายทุกแบบไม่ได้แสดงถึงจำนวนใดๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง "0.333...;...000..." และ "0.999...;...000..." ไม่สอดคล้องกับจำนวนใดๆ^{[ 68 ]}$${\displaystyle 0.d_{1}d_{2}d_{3}\ldots ;\ldots d_{\infty -1}d_{\infty }d_{\infty +1}\ldots ,}$$${\textstyle {\frac {1}{3}}}$

นิยามมาตรฐานของจำนวน 0.999... คือลิมิตของลำดับ 0.9, 0.99, 0.999, ... ‍ นิยาม ที่แตกต่างเกี่ยวข้องกับอัลตรา ลิมิต กล่าว คือ ชั้นสมมูล[(0.9, 0.99, 0.999, ...)]ของลำดับนี้ในการสร้างอัลตราพาวเวอร์ซึ่งเป็นจำนวนที่น้อยกว่า 1 เพียงเล็กน้อย^{[ 69 ]}โดยทั่วไปแล้ว จำนวนไฮเปอร์เรียล= 0.999...;...999000...ที่มีหลักสุดท้าย 9 อยู่ที่อันดับไฮเปอร์เนเชอ รัลอนันต์ ⁠ ⁠จะสอดคล้องกับอสมการที่เข้มงวด⁠ ⁠ดังนั้น การตีความทางเลือกสำหรับ "ศูนย์ตามด้วย 9 จำนวนอนันต์" อาจเป็น^{[ 70 ]}${\displaystyle u_{H}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle u_{H}<1}$$${\displaystyle {\underset {H}{0.\underbrace {999\ldots } }}\;=1\;-\;{\frac {1}{10^{H}}}.}$$

การตีความ "0.999..." ทั้งหมดนั้นใกล้เคียงกับ 1 อย่างไม่มีที่สิ้นสุดเอียน สจ๊วตอธิบายการตีความนี้ว่าเป็นวิธีที่ "สมเหตุสมผลอย่างยิ่ง" ในการพิสูจน์อย่างเข้มงวดถึงสัญชาตญาณที่ว่า "มีบางอย่างหายไปเล็กน้อย" จาก 1 ใน 0.999.... ^{[ j ]}เช่นเดียวกับKatz & Katz (2010b) Ely (2010)ยังตั้งคำถามถึงสมมติฐานที่ว่าความคิดของนักเรียนเกี่ยวกับ0.999... < 1เป็นสัญชาตญาณที่ผิดพลาดเกี่ยวกับจำนวนจริง โดยตีความว่าเป็น สัญชาตญาณที่ ไม่เป็นมาตรฐานซึ่งอาจมีคุณค่าในการเรียนรู้แคลคูลัส^{[ 71 ]}

ทฤษฎีเกมเชิงการจัดเรียงให้แนวคิดทั่วไปของจำนวนที่ครอบคลุมจำนวนจริงและอื่นๆ อีกมากมาย^{[ 72 ]}ตัวอย่างเช่น ในปี 1974 Elwyn Berlekampได้อธิบายความสอดคล้องกันระหว่างสตริงของส่วนสีแดงและสีน้ำเงินในHackenbushและการขยายเลขฐานสองของจำนวนจริง โดยได้รับแรงบันดาลใจจากแนวคิดของการบีบอัดข้อมูลตัวอย่างเช่น ค่าของสตริง Hackenbush LRRLRLRL... คือ0.010101... ₂ = อย่างไรก็ตาม${\textstyle {\frac {1}{3}}}$ค่าของ LRLLL... (ซึ่งสอดคล้องกับ 0.111... ₂ ) มี ค่าน้อยกว่า 1 เล็กน้อย ความแตกต่างระหว่างทั้งสองคือจำนวนเหนือจริง โดยที่ คือ ลำดับอนันต์แรกเกมที่เกี่ยวข้องคือ LRRRR... หรือ 0.000... ₂ ^{[ k ]}${\textstyle {\frac {1}{\omega }}}$${\displaystyle \omega }$

นี่เป็นความจริงสำหรับการขยายเลขฐานสองของจำนวนตรรกยะจำนวนมาก ซึ่งค่าของตัวเลขเท่ากัน แต่ เส้นทาง ในต้นไม้ไบนารี ที่สอดคล้องกันนั้น แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น0.10111... ₂ = 0.11000... ₂ซึ่งทั้งสองเท่ากันแต่ การแสดง แบบ${\displaystyle \textstyle {\frac {3}{4}}}$แรกสอดคล้องกับเส้นทางในต้นไม้ไบนารี LRLRLLL... ในขณะที่แบบที่สองสอดคล้องกับเส้นทางที่แตกต่างกันคือ LRLLRRR ...

อีกวิธีหนึ่งที่การพิสูจน์อาจถูกบั่นทอนคือ ถ้า1 − 0.999...ไม่มีอยู่จริง เพราะการลบไม่สามารถทำได้เสมอไป โครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่มีการดำเนินการบวกแต่ไม่มีการดำเนินการลบ ได้แก่เซมิกรุปสลับที่โมโนอิดสลับที่และเซมิริงริชแมน (1999)พิจารณาระบบดังกล่าวสองระบบ ซึ่งออกแบบมาเพื่อให้0.999... < 1 ^{[ 15 ]}

ประการแรกริชแมน (1999)นิยามจำนวนทศนิยม ที่ไม่เป็นลบ ว่าเป็นการขยายทศนิยมตามตัวอักษร เขานิยามลำดับพจนานุกรมและการดำเนินการบวก โดยสังเกตว่า0.999... < 1เพียงเพราะ0 < 1ในหลักหน่วย แต่สำหรับจำนวนที่ไม่สิ้นสุดใดๆ ก็ตาม0.999 ...${\displaystyle x}$ + = 1 +${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$ดังนั้นลักษณะเฉพาะอย่างหนึ่งของจำนวนทศนิยมคือการบวกไม่สามารถตัดทอนได้เสมอไป อีกประการหนึ่งคือไม่มีจำนวนทศนิยมใดที่สอดคล้องกับหลังจาก นิยามการคูณแล้ว จำนวนทศนิยม ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{3}}}$จะก่อตัวเป็นเซมิริงแบบสลับที่ที่มีลำดับสมบูรณ์และเป็นบวก^{[ 73 ]}

ในกระบวนการนิยามการคูณ ริชแมนยังได้นิยามระบบอีกระบบหนึ่งที่เขาเรียกว่า "การตัด" ซึ่ง${\displaystyle D}$เป็นเซตของการตัดเดเดคินด์ของเศษส่วนทศนิยม โดยปกติแล้ว นิยามนี้จะนำไปสู่จำนวนจริง แต่สำหรับเศษส่วนทศนิยมเขาอนุญาตให้ใช้ทั้งการตัด( ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ )และ "การตัดหลัก" ( ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ ]ผลที่ได้คือจำนวนจริง "อยู่ร่วมกันอย่างไม่ราบรื่น" กับเศษส่วนทศนิยม อีกครั้ง0.999... < 1ไม่มีค่าอนันต์เล็กๆ ที่เป็นบวกในการตัด⁠ ⁠แต่มี "ค่าอนันต์เล็กๆ ที่เป็นลบ" ชนิดหนึ่ง คือ 0 ⁻ซึ่งไม่มีการขยายทศนิยม เขาจึงสรุปว่า0.999... = 1 + 0 ⁻ในขณะที่สมการ " 0.999... + = 1 " ไม่มีคำตอบ^{[ l ]}${\displaystyle d}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle d}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle d}$${\displaystyle D}$${\displaystyle x}$

เมื่อถูกถามเกี่ยวกับ 0.999... ผู้เริ่มต้นมักเชื่อว่าควรมี "เลข 9 ตัวสุดท้าย" โดยเชื่อว่า1 − 0.999...เป็นจำนวนบวกซึ่งพวกเขาเขียนเป็น "0.000...1" ไม่ว่าจะสมเหตุสมผลหรือไม่ก็ตาม เป้าหมายโดยสัญชาตญาณนั้นชัดเจน: การเพิ่ม 1 ให้กับเลข 9 ตัวสุดท้ายใน 0.999... จะทำให้เลข 9 ทั้งหมดกลายเป็น 0 และเหลือเลข 1 ไว้ในหลักหน่วย แนวคิดนี้ล้มเหลวด้วยเหตุผลหลายประการ เนื่องจากไม่มี "เลข 9 ตัวสุดท้าย" ใน 0.999... [^{74 ] อย่างไรก็ตาม}มีระบบที่มีสตริงอนันต์ของเลข 9 รวมถึงเลข 9 ตัวสุดท้าย แต่จุดทศนิยมอยู่ทางขวาของเลข 9 แทนที่จะอยู่ทางซ้าย

จำนวน -adicเป็นระบบจำนวนทางเลือกที่น่าสนใจในทฤษฎีจำนวน เช่นเดียว กับจำนวนจริง จำนวน -adicสามารถสร้างขึ้นจากจำนวนตรรกยะผ่านลำดับโคชีได้ การสร้างใช้เมตริกที่แตกต่างกันซึ่ง 0 อยู่ใกล้⁠ ⁠และอยู่ใกล้⁠ ⁠มากกว่า 1 ^{[ 75 ]}จำนวน-adicสร้างฟิลด์สำหรับจำนวนเฉพาะและริงสำหรับ⁠ ⁠ อื่นๆ รวมถึง 10 ดังนั้นจึงสามารถทำการคำนวณเลขคณิตในจำนวน-adic ได้${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p^{n}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

ในจำนวน 10-adic การขยายทศนิยมจะวิ่งไปทางซ้าย การขยาย 10-adic ...999 มีเลข 9 ตัวสุดท้าย และไม่มีเลข 9 ตัวแรก เราสามารถบวก 1 เข้าไปในหลักหน่วย และจะเหลือเพียงเลข 0 หลังจากทดเลข: 1 + ...999 = ...000 = 0ดังนั้น...999 = −1 ^[ 76 ^]การหาอนุพันธ์อีกวิธีหนึ่งใช้ชุดอนุกรมเรขาคณิต อนุกรมอนันต์ที่บ่งบอกโดย "...999" ไม่ลู่เข้าในจำนวนจริง แต่ลู่เข้าใน 10-adic ดังนั้นจึงสามารถใช้สูตรที่คุ้นเคยได้อีกครั้ง^{: [ 77 ]}$${\displaystyle \ldots 999=9+9(10)+9(10)^{2}+9(10)^{3}+\cdots ={\frac {9}{1-10}}=-1.}$$

เปรียบเทียบกับอนุกรมในส่วนด้านบนการพิสูจน์ครั้งที่สามถูกคิดค้นโดยนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ซึ่งสงสัยในข้อโต้แย้งจำกัดของครูที่ว่า0.999... = 1แต่ได้รับแรงบันดาลใจให้ใช้การพิสูจน์การคูณด้วย 10 ข้างต้นในทิศทางตรงกันข้าม: ถ้า= ...999แล้ว10 = ...990ดังนั้น10 = − 9ดังนั้น= −1อีกครั้ง^{[ 76 ]}${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

ในเลขฐานสิบ0.999...ไม่ใช่การขยายที่มีความหมาย เพราะผลรวมย่อยไม่ลู่เข้า ในการขยายขั้นสุดท้าย เนื่องจาก0.999... = 1 (ในจำนวนจริง) และ...999 = −1 (ในเลขฐานสิบ) ดังนั้นโดย "ศรัทธาที่มองไม่เห็นและการสลับสัญลักษณ์อย่างไม่ละอาย" ^{[ 78 ]}เราอาจบวกสมการทั้งสองและได้...999.999... = 0สมการนี้ไม่มีความหมายทั้งในฐานะการขยายเลขฐานสิบหรือการขยายทศนิยมธรรมดา แต่กลับกลายเป็นว่ามีความหมายและเป็นจริงในการขยายทศนิยมอนันต์สองเท่า ของโซลีนอยด์เลขฐานสิบโดยในที่สุดปลายด้านซ้ายจะซ้ำกันเพื่อแสดงจำนวนจริง และในที่สุดปลายด้านขวาจะซ้ำกันเพื่อแสดงจำนวนเลขฐานสิบ^{[ 79 ]}

• ความจำกัด
• คณิตศาสตร์แบบไม่เป็นทางการ
• ปรากฏการณ์ความขัดแย้งแบบทวิภาค (Dichotomy paradox ) คือปรากฏการณ์ที่เกิดขึ้นจากความไม่เข้าใจลำดับอนันต์โดยสัญชาตญาณ

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับ0.999 …

• .999999... = 1?จากCut-the-Knot
• ทำไม 0.9999... ถึงเท่ากับ 1 ?
• การพิสูจน์ความเท่าเทียมกันโดยใช้หลักเลขคณิตจาก Math Central
• งานวิจัย ของเดวิด ทอลล์เกี่ยวกับการรับรู้ทางคณิตศาสตร์
• การคิดว่าจำนวนจริงเป็นทศนิยมอนันต์นั้นผิดตรงไหน?
• ทฤษฎีบท 0.999...บนMetamath