ในทางคณิตศาสตร์แนวคิดเรื่องวัตถุอิสระเป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานของพีชคณิตนามธรรมโดยทั่วไปแล้ว วัตถุอิสระบนเซตAสามารถคิดได้ว่าเป็นโครงสร้างพีชคณิต "ทั่วไป" บนA กล่าว คือ สมการเดียวที่ใช้ได้ระหว่างสมาชิกของวัตถุอิสระคือสมการที่ได้มาจากสัจพจน์ที่กำหนดโครงสร้างพีชคณิตนั้น ตัวอย่างเช่นโมโนอิดอิสระกลุ่มอิสระพีชคณิตเทนเซอร์หรือแลตทิซอิสระ

แนวคิดนี้เป็นส่วนหนึ่งของพีชคณิตสากลในแง่ที่ว่ามันเกี่ยวข้องกับโครงสร้างพีชคณิตทุกประเภท (ที่มี การดำเนินการ แบบจำกัด ) นอกจากนี้ยังมีสูตรในแง่ของทฤษฎีหมวดหมู่แม้ว่าจะอยู่ในรูปนามธรรมยิ่งกว่าก็ตาม

วัตถุอิสระ (Free objects) คือการขยายแนวคิดเรื่องฐาน (basis) ในปริภูมิเวกเตอร์ (vector space ) ไปสู่หมวดหมู่ ( category) โดยตรง ฟังก์ชันเชิงเส้นu  : E ₁ → E ₂ระหว่างปริภูมิเวกเตอร์ถูกกำหนดโดยสมบูรณ์จากค่าของมันบนฐานของปริภูมิเวกเตอร์E ₁คำจำกัดความต่อไปนี้แปลแนวคิดนี้ไปสู่หมวดหมู่ใดๆ

หมวดหมู่รูปธรรม (Concrete Category)คือหมวดหมู่ที่มีฟังก์ชันซื่อสัตย์ (faithful functor)ไปยังSetซึ่งเป็นหมวดหมู่ของเซตให้Cเป็นหมวดหมู่รูปธรรมที่มีฟังก์ชันซื่อสัตย์U  : C → Setให้Xเป็นเซต (นั่นคือ วัตถุในSet ) ซึ่งจะเป็นฐานของวัตถุอิสระที่จะกำหนดวัตถุอิสระบนXคือคู่ที่ประกอบด้วยวัตถุในCและการฉีด (injection) ที่เรียกว่าการฉีดแบบแคนอนิก (canonical injection ) ซึ่งมีคุณสมบัติสากล ดังต่อไปนี้ : ${\displaystyle A}$${\displaystyle i:X\to U(A)}$

สำหรับวัตถุB ใดๆ ในCและแผนที่ใดๆ ระหว่างเซตจะมีมอร์ฟิซึมที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียวในCซึ่งทำให้นั่นคือแผนภาพต่อไปนี้สลับที่ได้:${\displaystyle g:X\to U(B)}$${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle g=U(f)\circ i}$

ถ้าวัตถุอิสระมีอยู่ในC คุณสมบัติสากลจะบ่งชี้ว่าทุกแผนที่ระหว่างสองเซตจะเหนี่ยวนำให้เกิดมอร์ฟิซึมที่ไม่ซ้ำกันระหว่างวัตถุอิสระที่สร้างขึ้นบนเซตเหล่านั้น และสิ่งนี้จะกำหนดฟังก์ชันดังนั้น ถ้าวัตถุอิสระมีอยู่ในCฟังก์ชันFซึ่งเรียกว่าฟังก์ชันอิสระจะเป็นตัวผกผันซ้ายของฟังก์ชันซื่อสัตย์Uนั่นคือ มีการจับคู่แบบ หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง${\displaystyle F:\mathbf {Set} \to \mathbf {C} }$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathbf {Set} }(X,U(B))\cong \operatorname {Hom} _{\mathbf {C} }(F(X),B).}$

การสร้างวัตถุอิสระดำเนินไปในสองขั้นตอน สำหรับพีชคณิตที่สอดคล้องกับกฎการสลับที่ขั้นตอนแรกคือการพิจารณาชุดของคำ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด ที่สร้างขึ้นจากตัวอักษร จากนั้น จึงกำหนดชุดความสัมพันธ์สมมูลให้กับคำเหล่านั้น โดยที่ความสัมพันธ์เหล่านั้นเป็นความสัมพันธ์ที่กำหนดวัตถุพีชคณิตที่กำลังพิจารณา วัตถุอิสระจึงประกอบด้วยเซตของชั้นสมมูล

ยกตัวอย่างเช่น การสร้างกลุ่มอิสระ ด้วย ตัวสร้างสอง ตัว เริ่มต้นด้วยตัวอักษรห้าตัวในขั้นตอนแรก ยังไม่มีการกำหนดความหมายให้กับ "ตัวอักษร" หรือความหมายจะถูกกำหนดในภายหลัง ในขั้นตอนที่สอง ดังนั้น เราอาจเริ่มต้นด้วยตัวอักษรห้าตัวก็ได้ นั่นคือในตัวอย่างนี้ เซตของคำหรือสตริงทั้งหมดจะรวมถึงสตริงเช่นaebecedeและabdcเป็นต้น ซึ่งมีความยาวจำกัดตามอำเภอใจ และตัวอักษรเรียงกันในลำดับที่เป็นไปได้ทุกแบบ ${\displaystyle \{e,a,b,a^{-1},b^{-1}\}}$${\displaystyle a^{-1}}$${\displaystyle b^{-1}}$${\displaystyle S=\{a,b,c,d,e\}}$${\displaystyle W(S)}$

ในขั้นตอนต่อไป เราจะกำหนดความสัมพันธ์สมมูลชุดหนึ่ง ความสัมพันธ์สมมูลสำหรับกลุ่มคือ การคูณด้วยเอกลักษณ์และการคูณด้วยตัวผกผัน: เมื่อนำความสัมพันธ์เหล่านี้ไปใช้กับสตริงข้างต้น จะได้ ${\displaystyle ge=eg=g}$${\displaystyle gg^{-1}=g^{-1}g=e}$

${\displaystyle aebecede=aba^{-1}b^{-1},}$

โดยที่เข้าใจกันว่าเป็นตัวแทนของและเป็นตัวแทนของในขณะที่เป็นองค์ประกอบเอกลักษณ์ ในทำนองเดียวกัน หนึ่งมี ${\displaystyle c}$${\displaystyle a^{-1}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle b^{-1}}$${\displaystyle e}$

${\displaystyle abdc=abb^{-1}a^{-1}=e.}$

โดยกำหนดให้ความสัมพันธ์สมมูลหรือความสอดคล้องเป็นวัตถุอิสระก็คือกลุ่มของคลาสคำที่สมมูลกัน ดังนั้น ในตัวอย่างนี้ กลุ่มอิสระที่มีตัวสร้างสองตัวก็คือผลหาร${\displaystyle \sim }$

${\displaystyle F_{2}=W(S)/\sim .}$

โดยทั่วไปมักเขียนในรูปแบบที่คือเซตของคำทั้งหมด และคือชั้นสมมูลของเอกลักษณ์ หลังจากที่ได้กำหนดความสัมพันธ์ที่กำหนดกลุ่มแล้ว ${\displaystyle F_{2}=W(S)/E}$${\displaystyle W(S)=\{a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\,\vert \;a_{k}\in S\,;\,n\in \mathbb {N} \}}$${\displaystyle E=\{a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\,\vert \;e=a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\,;\,a_{k}\in S\,;\,n\in \mathbb {N} \}}$

ตัวอย่างที่ง่ายกว่าคือโมโนอิดอิสระโมโนอิดอิสระบนเซตXคือโมโนอิดของสตริง จำกัดทั้งหมด โดยใช้Xเป็นตัวอักษร โดยมีการดำเนินการคือการต่อสตริง เอกลักษณ์คือสตริงว่าง โดยพื้นฐานแล้ว โมโนอิดอิสระก็คือเซตของคำทั้งหมดโดยไม่มีความสัมพันธ์สมมูลใดๆ ตัวอย่างนี้ได้รับการพัฒนาเพิ่มเติมในบทความเกี่ยวกับดาวคลีน (Kleene star )

โดยทั่วไปแล้ว ความสัมพันธ์ทางพีชคณิตไม่จำเป็นต้องเป็นแบบสมาคม ในกรณีเช่นนั้น จุดเริ่มต้นจะไม่ใช่เซตของคำทั้งหมด แต่จะเป็นสตริงที่คั่นด้วยวงเล็บ ซึ่งใช้เพื่อระบุการจัดกลุ่มตัวอักษรที่ไม่เป็นสมาคม สตริงดังกล่าวอาจแสดงได้เทียบเท่ากับต้นไม้ไบนารีหรือแมกมาอิสระโดยใบของต้นไม้จะเป็นตัวอักษรจากตัวอักษรภาษาอังกฤษ

ความสัมพันธ์ทางพีชคณิตอาจเป็นความสัมพันธ์ ทั่วไป หรือความสัมพันธ์จำกัดบนใบของต้นไม้ แทนที่จะเริ่มต้นด้วยการรวบรวมสตริงที่อยู่ในวงเล็บที่เป็นไปได้ทั้งหมด การเริ่มต้นด้วยเอกภพของ Herbrand อาจสะดวกกว่า การอธิบายหรือแจกแจงเนื้อหาของวัตถุอิสระอย่างถูกต้องอาจง่ายหรือยาก ขึ้นอยู่กับวัตถุทางพีชคณิตเฉพาะนั้นๆ ตัวอย่างเช่น กลุ่มอิสระในตัวสร้างสองตัวสามารถอธิบายได้ง่าย ในทางตรงกันข้าม แทบไม่มีข้อมูลใดๆ เกี่ยวกับโครงสร้างของพีชคณิต Heyting อิสระในตัวสร้างมากกว่าหนึ่งตัว^{[ 1 ]}ปัญหาของการพิจารณาว่าสตริงที่แตกต่างกันสองสตริงอยู่ในชั้นสมมูลเดียวกันหรือไม่เรียกว่าปัญหาคำพูด

ดังที่ตัวอย่างได้แสดงให้เห็น วัตถุอิสระมีลักษณะเหมือนโครงสร้างจากไวยากรณ์ในทางกลับกัน ระบบไวยากรณ์เองก็สามารถถูกจัดลักษณะเป็นวัตถุอิสระได้เช่นกัน จากมุมมองนี้ การใช้เครื่องหมายวรรคตอนจำนวนมากในสัญลักษณ์ (เช่น ในภาษาโปรแกรม) เป็นผลข้างเคียงของการแปลงโครงสร้างอิสระให้เป็นแบบอนุกรม

ให้เป็นเซต และเป็นโครงสร้างพีชคณิตประเภทที่สร้างขึ้นโดยเซตพื้นฐานของโครงสร้างพีชคณิตนี้ซึ่งมักเรียกว่าเอกภพของมัน จะถูกแทนด้วยให้เป็นฟังก์ชัน เรากล่าวว่า(หรือเรียกอย่างไม่เป็นทางการว่า) เป็นพีชคณิตอิสระประเภทบนเซตของตัวสร้างอิสระ ถ้าคุณสมบัติสากลต่อไปนี้เป็นจริง: ${\displaystyle S}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle S}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \psi :S\to A}$${\displaystyle (A,\psi )}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle S}$

สำหรับพีชคณิตทุกตัวที่มีประเภทและฟังก์ชันทุกตัวโดยที่คือเอกภพของจะมีโฮโมมอร์ฟิซึมที่ ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียว ซึ่งทำให้แผนภาพต่อไปนี้สลับกันได้: ${\displaystyle B}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \tau :S\to B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \sigma :A\to B}$

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}S&\xrightarrow {\psi } &A\\&\searrow _{\tau }&\downarrow ^{\sigma }\\&&B\ \end{array}}}$

ซึ่งหมายความว่า. ${\displaystyle \sigma \circ \psi =\tau }$

บริบททั่วไปที่สุดสำหรับวัตถุอิสระคือในทฤษฎีหมวดหมู่ซึ่งมีการกำหนดฟังก์ชันเตอร์ ฟังก์ชัน เตอร์อิสระซึ่งเป็นฟังก์ชันผกผันทางซ้ายของ ฟังก์ชัน เตอร์ ลืม

พิจารณาหมวดหมู่Cของโครงสร้างพีชคณิตวัตถุต่างๆ สามารถคิดได้ว่าเป็นเซตบวกกับการดำเนินการ ซึ่งเป็นไปตามกฎบางอย่าง หมวดหมู่นี้มีฟังก์ชันฟังก์ชันลืม ( forgetful functor ) ซึ่งแมปวัตถุและมอร์ฟิซึมในCไปยังSetซึ่งเป็นหมวดหมู่ของเซตฟังก์ชันลืมนั้นง่ายมาก กล่าวคือ มันไม่สนใจการดำเนินการใดๆ เลย ${\displaystyle U:\mathbf {C} \to \mathbf {Set} }$

ฟังก์ชันอิสระF (ถ้ามี) คือตัวผกผันซ้ายของUกล่าวคือแปลงเซตXในSetไปเป็นวัตถุอิสระF ( X ) ที่สอดคล้องกันในหมวดหมู่CเซตXสามารถคิดได้ว่าเป็นเซตของ "ตัวสร้าง" ของวัตถุอิสระF ( X ) ${\displaystyle F:\mathbf {Set} \to \mathbf {C} }$

เพื่อให้ฟังก์ชันอิสระเป็นตัวผกผันซ้าย จะต้องมีมอร์ฟิซึมของเซต ด้วย กล่าว ให้ชัดเจนยิ่งขึ้นF นั้น มี คุณสมบัติสากลดังต่อไปนี้ (โดยไม่รวมไอโซมอร์ฟิซึมในC) : ${\displaystyle \eta _{X}:X\to U(F(X))\,\!}$

เมื่อใดก็ตามที่Bเป็นพีชคณิตในCและเป็นฟังก์ชัน (มอร์ฟิซึมในหมวดหมู่ของเซต) แล้วจะมีมอร์ฟิซึมC ที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น ที่ทำให้${\displaystyle g\colon X\to U(B)}$${\displaystyle f\colon F(X)\to B}$${\displaystyle g=U(f)\circ \eta _{X}}$

กล่าวโดยละเอียด การกระทำนี้จะส่งเซตเข้าไปในวัตถุอิสระบนเซตนั้น ซึ่งก็คือ "การรวมฐาน" (การใช้สัญลักษณ์นี้ไม่ถูกต้อง เพราะXเป็นเซต ในขณะที่F ( X ) เป็นพีชคณิต ซึ่งที่ถูกต้องคือ) ${\displaystyle X\to F(X)}$${\displaystyle X\to U(F(X))}$

การแปลงตามธรรมชาติ เรียกว่าหน่วย (unit ) เมื่อรวมกับหน่วยย่อย (counit ) จะสามารถสร้างพีชคณิต T (T-algebra ) และโมนาด (monad ) ได้${\displaystyle \eta :\operatorname {id} _{\mathbf {Set} }\to UF}$${\displaystyle \varepsilon :FU\to \operatorname {id} _{\mathbf {C} }}$

ฟังก์ชันโคฟรี (Cofree functor)คือตัวผกผันทางขวาของฟังก์ชันลืม (Forgetful functor) ดูตัวอย่างเช่น โคอัลจีบราโคฟรี (Cofree coalgebra )

มีทฤษฎีบทการดำรงอยู่ทั่วไปที่ใช้ได้ โดยทฤษฎีบทพื้นฐานที่สุดรับประกันว่า

เมื่อใดก็ตามที่Cเป็นวาไรตี้แล้ว สำหรับทุกเซตXจะมีวัตถุอิสระF ( X ) ในC

ในที่นี้ คำว่า "ความหลากหลาย" เป็นคำพ้องความหมายกับ " หมวดหมู่พีชคณิตแบบจำกัด"ซึ่ง หมายความว่าเซตของความสัมพันธ์นั้นเป็นแบบจำกัดและเป็นพีชคณิตเพราะมันเป็นเอกภาคเหนือเซต

การลืมในรูปแบบอื่นๆ ก็ก่อให้เกิดวัตถุที่คล้ายกับวัตถุอิสระได้เช่นกัน กล่าวคือ วัตถุเหล่านั้นจะสัมพันธ์กับฟังก์ชันการลืมทางซ้าย ไม่จำเป็นต้องสัมพันธ์กับเซตเสมอไป

ตัวอย่างเช่น การสร้าง พีชคณิตเทนเซอร์บนปริภูมิเวกเตอร์คือตัวผกผันซ้ายของฟังก์ชันบนพีชคณิตแบบเชื่อมโยงที่ไม่สนใจโครงสร้างของพีชคณิต ดังนั้นจึงมักเรียกว่าพีชคณิตอิสระ ในทำนอง เดียวกัน พีชคณิตสมมาตรและพีชคณิตภายนอกก็เป็นพีชคณิตสมมาตรและพีชคณิตปฏิสมมาตรอิสระบนปริภูมิเวกเตอร์ เช่นกัน

ประเภทของวัตถุฟรีโดยเฉพาะ ได้แก่:

• พีชคณิตฟรี
  • พีชคณิตแบบสมาคมอิสระ
  • พีชคณิตสลับที่อิสระ
• หมวดหมู่ฟรี
  • หมวดหมู่โมโนอิดัลที่เข้มงวดและเป็นอิสระ
• กลุ่มอิสระ
  • กลุ่มอาเบเลียนอิสระ
  • กลุ่มสลับตำแหน่งบางส่วนอิสระ
• พีชคณิตคลีนฟรี
• แลตติซอิสระ
  • พีชคณิตบูลีนฟรี
  • แลตทิซกระจายอิสระ
  • พีชคณิตเฮย์ติงฟรี
  • แลตติซโมดูลาร์อิสระ
• พีชคณิตลีอิสระ
• แม็กม่าฟรี
• โมดูลอิสระและโดยเฉพาะอย่างยิ่งปริภูมิเวกเตอร์
• โมโนอิดอิสระ
  • โมโนอิดสลับที่อิสระ
  • โมโนอิดอิสระที่สลับตำแหน่งได้บางส่วน
• แหวนฟรี
• เซมิกรุ๊ปอิสระ
• เซมิริงอิสระ
  • เซมิริงสลับที่อิสระ
• ทฤษฎีอิสระ
• พีชคณิตเทอม
• พื้นที่แยกส่วน

• ชุดกำเนิดไฟฟ้า
• วัตถุเริ่มต้น

• ในnLab : ฟังก์ชันอิสระ , วัตถุอิสระ , ปริภูมิเวกเตอร์