โดยทั่วไปแล้วจำนวนจริงที่นิยามได้คือจำนวนจริงที่สามารถระบุได้อย่างเฉพาะเจาะจงด้วยคำอธิบาย คำอธิบายนั้นอาจแสดงออกมาในรูปของโครงสร้างหรือสูตรในภาษาที่เป็นทางการตัวอย่างเช่น รากที่สองที่เป็นบวกของ 2, , , สามารถนิยามได้ว่าเป็นคำตอบที่เป็นบวกเพียงหนึ่งเดียวของสมการและสามารถสร้างได้โดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle x^{2}=2}$

การเลือกใช้ภาษาที่เป็นทางการหรือการตีความที่แตกต่างกัน ก่อให้เกิดแนวคิดเรื่องความสามารถในการนิยามที่แตกต่างกัน ตัวอย่างของจำนวนที่สามารถนิยามได้ ได้แก่ จำนวนที่สร้างได้ในเรขาคณิตจำนวนพีชคณิตและจำนวนที่คำนวณได้

วิธีหนึ่งในการระบุจำนวนจริงคือการใช้เทคนิคทางเรขาคณิต จำนวนจริงเรียกว่าจำนวนที่สร้างได้ ถ้ามีวิธีสร้างส่วนของเส้นตรงที่มีความยาวโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด โดยเริ่มต้นจากส่วนของเส้นตรงคงที่ที่มีความยาว 1 ${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$

จำนวนเต็มบวกทุกจำนวน และจำนวนตรรกยะบวกทุกจำนวน สามารถสร้างได้ รากที่สองของ 2 ที่ เป็น บวกก็สามารถสร้างได้เช่นกัน อย่างไรก็ตาม รากที่สามของ 2 ไม่สามารถสร้างได้ เนื่องจากเป็นไปไม่ได้ที่จะคูณกำลังสามด้วยจำนวนเต็มบวก

จำนวนจริงเรียกว่าจำนวนพีชคณิต จริง ถ้ามีพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มเท่านั้น โดยที่เป็นรากของนั่นคือแต่ละจำนวนพีชคณิตจริงสามารถกำหนดได้ทีละตัวโดยใช้ความสัมพันธ์ลำดับบนจำนวนจริง ตัวอย่างเช่น ถ้าพหุนามมีรากจริง 5 ราก รากที่สามสามารถกำหนดได้เป็น ที่ไม่ซ้ำกันโดยที่และ โดยที่มีตัวเลขที่แตกต่างกันสองตัวที่น้อยกว่าซึ่งมีค่าเป็นศูนย์ ${\displaystyle r}$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p(r)=0}$${\displaystyle q(x)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle q(r)=0}$${\displaystyle r}$${\displaystyle q}$

จำนวนตรรกยะทั้งหมดสามารถสร้างได้ และจำนวนที่สร้างได้ทั้งหมดเป็นจำนวนพีชคณิต มีจำนวนบางจำนวน เช่น รากที่สามของ 2 ซึ่งเป็นจำนวนพีชคณิตแต่ไม่สามารถสร้างได้

จำนวนพีชคณิตจริงเป็นฟิลด์ย่อยของจำนวนจริง ซึ่งหมายความว่า 0 และ 1 เป็นจำนวนพีชคณิต และยิ่งไปกว่านั้น ถ้า 0 และ 1 เป็นจำนวนพีชคณิต แล้ว, , ก็เป็นจำนวนพีชคณิตเช่นกันและถ้าไม่เป็นศูนย์ ก็จะเป็นจำนวนพีชคณิต ด้วย ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a+b}$${\displaystyle ab}$${\displaystyle ab}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a/b}$

จำนวนพีชคณิตจริงยังมีคุณสมบัติที่นอกเหนือไปจากการเป็นฟิลด์ย่อยของจำนวนจริง นั่นคือ สำหรับจำนวนเต็มบวกแต่ละจำนวนและจำนวนพีชคณิตจริงแต่ละจำนวน รากที่ n ของ จำนวนเหล่านั้น ทั้งหมดเป็นจำนวนจริงและเป็นจำนวนพีชคณิตด้วย ${\displaystyle n}$${\displaystyle a}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a}$

จำนวนพีชคณิต มีอยู่เพียงจำนวนนับได้แต่จำนวนจริงมีอยู่เป็นจำนวนนับไม่ได้ ดังนั้นในแง่ของ จำนวน สมาชิกจำนวนจริงส่วนใหญ่จึงไม่ใช่จำนวนพีชคณิตบทพิสูจน์ที่ไม่ใช้การสร้าง นี้ ที่ว่าจำนวนจริงทั้งหมดไม่ใช่จำนวนพีชคณิต ได้รับการตีพิมพ์ครั้งแรกโดย Georg Cantor ในบทความปี 1874 ของเขาเรื่อง " เกี่ยวกับคุณสมบัติของกลุ่มจำนวนพีชคณิตจริงทั้งหมด "

จำนวนที่ไม่ใช่พีชคณิตเรียกว่าจำนวนอดิศัยจำนวนอดิศัยที่รู้จักกันดีที่สุดคือ πและe

จำนวนจริงคือจำนวนที่คำนวณได้หากมีอัลกอริทึมที่เมื่อกำหนดจำนวนธรรมชาติแล้ว จะสร้างการขยายทศนิยมสำหรับจำนวนนั้นได้อย่างแม่นยำถึงตำแหน่งทศนิยม แนวคิดนี้ได้รับการแนะนำโดยอลัน ทัวริงในปี พ.ศ. 2479 ^{[ 1 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

จำนวนที่คำนวณได้ประกอบด้วยจำนวนพีชคณิตและจำนวนอดิศัยจำนวนมาก รวมถึงและเช่นเดียวกับจำนวนพีชคณิต จำนวนที่คำนวณได้ก็เป็นฟิลด์ย่อยของจำนวนจริง และจำนวนที่คำนวณได้ที่เป็นบวกจะปิดภายใต้การถอดรากที่ th สำหรับแต่ละจำนวนบวก${\displaystyle \pi }$${\displaystyle e}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

ไม่ใช่ว่าจำนวนจริงทุกจำนวนจะสามารถคำนวณได้ ตัวอย่างเฉพาะของจำนวนจริงที่ไม่สามารถคำนวณได้ ได้แก่ ลิมิตของลำดับสเปคเกอร์และจำนวนจริงสุ่มแบบอัลกอริทึมเช่นจำนวนโอเมกาของไชติน

แนวคิดเรื่องความสามารถในการนิยามอีกประการหนึ่งมาจากทฤษฎีทางคณิตศาสตร์เชิงรูปธรรม เช่นเลขคณิตของพีอาโนภาษาของเลขคณิตมีสัญลักษณ์สำหรับ 0, 1, การดำเนินการที่ตามมา, การบวก และการคูณ ซึ่งมีจุดประสงค์เพื่อให้ตีความในลักษณะปกติบนจำนวนธรรมชาติเนื่องจากไม่มีตัวแปรใดในภาษานี้ครอบคลุมจำนวนจริงจึงจำเป็นต้องมีความสามารถในการนิยามอีกแบบหนึ่งเพื่ออ้างถึงจำนวนจริง จำนวนจริงสามารถนิยามได้ในภาษาของเลขคณิต (หรือภาษาเชิงเลขคณิต ) หากส่วนตัดของเดเดคินด์สามารถนิยามได้เป็นภาคแสดงในภาษานั้น กล่าวคือ หากมีสูตรอันดับหนึ่งในภาษาของเลขคณิตที่มีตัวแปรอิสระสามตัว โดยที่ m , n และ p ครอบคลุมจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ${\displaystyle a}$${\displaystyle \varphi }$$${\displaystyle \forall m\,\forall n\,\forall p\left(\varphi (n,m,p)\iff {\frac {(-1)^{p}\cdot n}{m+1}}<a\right).}$$

ภาษาเลขคณิตลำดับที่สองนั้นเหมือนกับภาษาเลขคณิตลำดับที่หนึ่ง ยกเว้นว่าตัวแปรและตัวบ่งปริมาณสามารถครอบคลุมเซตของจำนวนธรรมชาติได้ จำนวนจริงที่สามารถนิยามได้ในภาษาเลขคณิตลำดับที่สองเรียกว่าจำนวนจริงเชิง วิเคราะห์

จำนวนจริงที่คำนวณได้ทุกจำนวนเป็นจำนวนเชิงเลขคณิต และจำนวนเชิงเลขคณิตเป็นฟิลด์ย่อยของจำนวนจริง เช่นเดียวกับจำนวนเชิงวิเคราะห์ จำนวนเชิงเลขคณิตทุกจำนวนเป็นจำนวนเชิงวิเคราะห์ แต่จำนวนเชิงวิเคราะห์ทุกจำนวนไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเชิงเลขคณิต เนื่องจากมีจำนวนเชิงวิเคราะห์เพียงจำนวนนับได้ ดังนั้นจำนวนจริงส่วนใหญ่จึงไม่ใช่จำนวนเชิงวิเคราะห์ และด้วยเหตุนี้จึงไม่ใช่จำนวนเชิงเลขคณิตด้วย

จำนวนที่คำนวณได้ทุกจำนวนเป็นจำนวนเลขคณิต แต่จำนวนเลขคณิตทุกจำนวนไม่จำเป็นต้องคำนวณได้ ตัวอย่างเช่น ลิมิตของลำดับสเปคเกอร์เป็นจำนวนเลขคณิตที่ไม่สามารถคำนวณได้

นิยามของจำนวนจริงเชิงเลขคณิตและเชิงวิเคราะห์สามารถแบ่งออกได้เป็นลำดับชั้นเชิงเลขคณิตและลำดับชั้นเชิงวิเคราะห์โดยทั่วไปแล้ว จำนวนจริงจะคำนวณได้ก็ต่อเมื่อเดเดคินด์คัทของจำนวนจริงนั้นอยู่ในระดับของลำดับชั้นเชิงเลขคณิต ซึ่งเป็นหนึ่งในระดับต่ำสุด ในทำนองเดียวกัน จำนวนจริงที่มีเดเดคินด์คัทเชิงเลขคณิตจะประกอบเป็นระดับต่ำสุดของลำดับชั้นเชิงวิเคราะห์ ${\displaystyle \Delta _{1}^{0}}$

จำนวนจริงสามารถกำหนดลำดับแรกได้ในภาษาของทฤษฎีเซต โดยไม่มีพารามิเตอร์ สัมพันธ์กับ แบบจำลองเฉพาะของZFCหากมีสูตรในภาษาของทฤษฎีเซต โดยมี ตัวแปรอิสระหนึ่งตัวโดยที่เป็นจำนวนจริงที่ไม่ซ้ำกันใน ที่เป็นจริง[ ^{2 ] สิ่ง} นี้ทำให้เกิดแนวคิดที่แตกต่างกันของความสามารถในการกำหนดสำหรับแบบจำลองที่แตกต่างกัน ซึ่งไม่สามารถกำหนดลักษณะได้ด้วยสูตรในภาษาของทฤษฎีเซต ${\displaystyle a}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle a}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \varphi (a)}$

จำนวนเชิงวิเคราะห์ทั้งหมด โดยเฉพาะอย่างยิ่งจำนวนที่คำนวณได้ทั้งหมด สามารถนิยามได้ในภาษาของทฤษฎีเซต ดังนั้น จำนวนจริงที่นิยามได้ในภาษาของทฤษฎีเซตจึงรวมถึงจำนวนจริงที่คุ้นเคยทั้งหมด เช่น0 , 1 , ..., ... เป็นต้น พร้อมกับจำนวนพีชคณิตทั้งหมด สมมติว่าพวกมันก่อตัวเป็นเซตในแบบจำลอง จำนวนจริงที่นิยามได้ในภาษาของทฤษฎีเซตจึงก่อตัวเป็นฟิลด์ ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle e}$

แบบจำลองแต่ละแบบที่มีจำนวนจริงนับไม่ถ้วนจะต้องมีจำนวนจริงที่ไม่สามารถหาค่าได้โดยสัมพันธ์กับ(โดยไม่มีพารามิเตอร์) นี่เป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่ามีสูตรอยู่เพียงจำนวนนับได้ และดังนั้นจึงมีองค์ประกอบเพียงจำนวนนับได้ของ ที่สามารถหาค่าได้โดยสัมพันธ์กับดังนั้น ถ้ามีจำนวนจริงนับไม่ถ้วน เราสามารถพิสูจน์ได้จาก "ภายนอก" ว่าไม่ใช่ทุกจำนวนจริงของที่สามารถหาค่าได้โดยสัมพันธ์กับ ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

ข้อโต้แย้งนี้จะยิ่งมีปัญหามากขึ้นหากนำไปใช้กับ แบบจำลอง คลาสของ ZFC เช่นเอกภพของฟอน นอยมันน์การยืนยันที่ว่า "จำนวนจริงสามารถนิยามได้บนแบบจำลองคลาส " ไม่สามารถแสดงเป็นสูตรของ ZFC ได้^{[ 3 ] [ 4 ]}ในทำนองเดียวกัน คำถามที่ว่าเอกภพของฟอน นอยมันน์มีจำนวนจริงที่ไม่สามารถนิยามได้หรือไม่นั้น ไม่สามารถแสดงเป็นประโยคในภาษาของ ZFC ได้ ยิ่งไปกว่านั้น ยังมีแบบจำลองที่นับได้ของ ZFC ซึ่งจำนวนจริงทั้งหมด เซตของจำนวนจริงทั้งหมด ฟังก์ชันบนจำนวนจริง ฯลฯ สามารถนิยามได้^{[ 3 ] [ 4 ]}${\displaystyle x}$${\displaystyle N}$

• ปรากฏการณ์ขัดแย้งของเบอร์รี
• จักรวาลที่สร้างได้
• Entscheidungsproblem
• เซตที่กำหนดลำดับได้
• ความขัดแย้งของริชาร์ด
• ทฤษฎีบทที่ไม่อาจนิยามได้ของทาร์สกี้