ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (pdf) ของการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลคือ

${\displaystyle f(x;\lambda )={\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}}$

ในที่นี้λ > 0 คือพารามิเตอร์ของการแจกแจง ซึ่งมักเรียกว่าพารามิเตอร์อัตราการแจกแจงนี้ครอบคลุมช่วง[ 0, ∞)หากตัวแปรสุ่มXมีการแจกแจงนี้ เราจะเขียนว่าX ~ Exp( λ )  

การแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลแสดงให้เห็นถึงการหารลงตัวอย่างไม่มีที่สิ้นสุด

ฟังก์ชันการกระจายสะสมกำหนดโดย

${\displaystyle F(x;\lambda )={\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}}$

การแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลบางครั้งจะถูกกำหนดพารามิเตอร์โดยใช้พารามิเตอร์มาตราส่วนβ = 1/ λซึ่งก็คือค่าเฉลี่ยด้วยเช่นกัน: $${\displaystyle f(x;\beta )={\begin{cases}{\frac {1}{\beta }}e^{-x/\beta }&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}\qquad \qquad F(x;\beta )={\begin{cases}1-e^{-x/\beta }&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}}$$

ค่าเฉลี่ยหรือค่าคาดหวังของตัวแปรสุ่มX ที่มีการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียล โดยมีพารามิเตอร์อัตราλจะกำหนดโดย $${\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {1}{\lambda }}.}$$

จากตัวอย่างที่ยกมาด้านล่างนี้ ทำให้เข้าใจได้ คนที่ได้รับโทรศัพท์โดยเฉลี่ยสองสายต่อชั่วโมง สามารถคาดหวังได้ว่าช่วงเวลาระหว่างการโทรแต่ละครั้งจะอยู่ที่ 0.5 ชั่วโมง หรือ 30 นาที

ค่าความแปรปรวนของXกำหนดโดย $${\displaystyle \operatorname {Var} [X]={\frac {1}{\lambda ^{2}}},}$$ ดังนั้นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจึงเท่ากับค่าเฉลี่ย

ช่วงเวลาของXสำหรับ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ได้รับจาก $${\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{n}\right]={\frac {n!}{\lambda ^{n}}}.}$$

ช่วงเวลาสำคัญของXสำหรับ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ได้รับจาก $${\displaystyle \mu _{n}={\frac {!n}{\lambda ^{n}}}={\frac {n!}{\lambda ^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.}$$ โดยที่ ! nคือ แฟกทอเรี ยลย่อยของn

ค่ามัธยฐานของXหาได้จากสูตร $${\displaystyle \operatorname {m} [X]={\frac {\ln(2)}{\lambda }}<\operatorname {E} [X],}$$ โดยที่lnหมายถึงลอการิทึมธรรมชาติดังนั้นผลต่างสัมบูรณ์ระหว่างค่าเฉลี่ยและค่ามัธยฐานคือ $${\displaystyle \left|\operatorname {E} \left[X\right]-\operatorname {m} \left[X\right]\right|={\frac {1-\ln(2)}{\lambda }}<{\frac {1}{\lambda }}=\operatorname {\sigma } [X],}$$

ตามความไม่เท่าเทียมกันระหว่างค่ามัธยฐานและค่าเฉลี่ย

ตัวแปรสุ่มT ที่มีการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียล เป็นไปตามความสัมพันธ์ ดังต่อไปนี้$${\displaystyle \Pr \left(T>s+t\mid T>s\right)=\Pr(T>t),\qquad \forall s,t\geq 0.}$$

สามารถเห็นได้จากการพิจารณาฟังก์ชันการกระจายสะสมเสริม : $${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr \left(T>s+t\mid T>s\right)&={\frac {\Pr \left(T>s+t\cap T>s\right)}{\Pr \left(T>s\right)}}\\[4pt]&={\frac {\Pr \left(T>s+t\right)}{\Pr \left(T>s\right)}}\\[4pt]&={\frac {e^{-\lambda (s+t)}}{e^{-\lambda s}}}\\[4pt]&=e^{-\lambda t}\\[4pt]&=\Pr(T>t).\end{aligned}}}$$

เมื่อตีความT ว่าเป็นเวลาที่ต้องรอให้เหตุการณ์เกิดขึ้นเมื่อเทียบกับเวลาเริ่มต้นบางค่า ความสัมพันธ์นี้บ่งชี้ว่า หาก Tมีเงื่อนไขว่าไม่สามารถสังเกตเห็นเหตุการณ์ได้ในช่วงเวลาเริ่มต้นsค่าความน่าจะเป็นของเวลาที่ต้องรอที่เหลืออยู่จะเหมือนกับค่าความน่าจะเป็นแบบไม่มีเงื่อนไขเดิม ตัวอย่างเช่น หากเหตุการณ์ไม่เกิดขึ้นหลังจาก 30 วินาทีความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้นในอีกอย่างน้อย 10 วินาทีข้างหน้าจะเท่ากับความน่าจะเป็นแบบไม่มีเงื่อนไขของการสังเกตเห็นเหตุการณ์หลังจากเวลาเริ่มต้นมากกว่า 10 วินาที

การแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลและการแจกแจงแบบเรขาคณิตเป็นเพียงการแจกแจงความน่าจะเป็นที่ไม่มีความจำเพียงสองแบบเท่านั้น

ดังนั้น การแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลจึงเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องเพียงอย่างเดียวที่มีอัตราความล้มเหลว คงที่ด้วยเช่น กัน

ฟังก์ชันควอนไทล์ (ฟังก์ชันการกระจายสะสมผกผัน) สำหรับ Exp( λ ) คือ $${\displaystyle F^{-1}(p;\lambda )={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }},\qquad 0\leq p<1}$$

ดังนั้น ควาร์ไทล์จึงเป็นดังนี้:

• ควาร์ไทล์แรก: ln(4/3)/ λ
• ค่ามัธยฐาน : ln(2)/ λ
• ควาร์ไทล์ที่สาม: ln(4)/ λ

และผลที่ตามมาคือช่วงควาร์ไทล์คือln(3)/ λ

ค่าความเสี่ยงตามเงื่อนไข (CVaR) หรือที่รู้จักกันในชื่อการขาดทุนที่คาดหวังหรือซูเปอร์ควอนไทล์สำหรับ Exp( λ ) ได้มาดังนี้: ^{[ 4 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {q}}_{\alpha }(X)&={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{\alpha }^{1}q_{p}(X)dp\\&={\frac {1}{(1-\alpha )}}\int _{\alpha }^{1}{\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }}dp\\&={\frac {-1}{\lambda (1-\alpha )}}\int _{1-\alpha }^{0}-\ln(y)dy\\&={\frac {-1}{\lambda (1-\alpha )}}\int _{0}^{1-\alpha }\ln(y)dy\\&={\frac {-1}{\lambda (1-\alpha )}}[(1-\alpha )\ln(1-\alpha )-(1-\alpha )]\\&={\frac {-\ln(1-\alpha )+1}{\lambda }}\\\end{aligned}}}$$

ความน่าจะเป็นที่เกินค่าที่ปรับแก้แล้วคือหนึ่งลบด้วยระดับความน่าจะเป็นที่ค่า CVaR เท่ากับค่าเกณฑ์${\displaystyle x}$ได้มาดังนี้: ^{[ 4 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {p}}_{x}(X)&=\{1-\alpha |{\bar {q}}_{\alpha }(X)=x\}\\&=\{1-\alpha |{\frac {-\ln(1-\alpha )+1}{\lambda }}=x\}\\&=\{1-\alpha |\ln(1-\alpha )=1-\lambda x\}\\&=\{1-\alpha |e^{\ln(1-\alpha )}=e^{1-\lambda x}\}=\{1-\alpha |1-\alpha =e^{1-\lambda x}\}=e^{1-\lambda x}\end{aligned}}}$$

ความแตกต่าง แบบKullback–Leibler ที่มีทิศทาง ในnatsของ${\displaystyle e^{\lambda }}$(การแจกแจงโดยประมาณ) จาก${\displaystyle e^{\lambda _{0}}}$(การกระจาย 'ที่แท้จริง') กำหนดโดย $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (\lambda _{0}\parallel \lambda )&=\mathbb {E} _{\lambda _{0}}\left(\log {\frac {p_{\lambda _{0}}(x)}{p_{\lambda }(x)}}\right)\\&=\mathbb {E} _{\lambda _{0}}\left(\log {\frac {\lambda _{0}e^{\lambda _{0}x}}{\lambda e^{\lambda x}}}\right)\\&=\log(\lambda _{0})-\log(\lambda )-(\lambda _{0}-\lambda )E_{\lambda _{0}}(x)\\&=\log(\lambda _{0})-\log(\lambda )+{\frac {\lambda }{\lambda _{0}}}-1.\end{aligned}}}$$

ในบรรดาการแจกแจงความน่าจะเป็นต่อเนื่องทั้งหมดที่มีช่วง[ 0, ∞)และค่าเฉลี่ยμการแจกแจงเอกซ์โพเนนเชียลที่มีλ = 1/ μ มี เอนโทรปีเชิงอนุพันธ์มากที่สุดกล่าวอีกนัยหนึ่งคือเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นที่มีเอนโทรปีสูงสุดสำหรับตัวแปรสุ่มXซึ่งมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์และสำหรับ E[ X ] คงที่^{[ 5 ]}

ให้X , ..., X เป็น ตัวแปรสุ่ม อิสระที่มีการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียล โดยมีพารามิเตอร์อัตราλ , ..., λ แล้ว $${\displaystyle \min \left\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\right\}}$$ นอกจากนี้ยังมีการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลด้วย โดยมีพารามิเตอร์ $${\displaystyle \lambda =\lambda _{1}+\dotsb +\lambda _{n}.}$$

สามารถเห็นได้จากการพิจารณาฟังก์ชันการกระจายสะสมเสริม : $${\displaystyle {\begin{aligned}&\Pr \left(\min\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}>x\right)\\={}&\Pr \left(X_{1}>x,\dotsc ,X_{n}>x\right)\\={}&\prod _{i=1}^{n}\Pr \left(X_{i}>x\right)\\={}&\prod _{i=1}^{n}\exp \left(-x\lambda _{i}\right)=\exp \left(-x\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\right).\end{aligned}}}$$

ดัชนีของตัวแปรที่ได้ค่าต่ำสุดจะมีการกระจายตัวตามการแจกแจงเชิงหมวดหมู่ $${\displaystyle \Pr \left(X_{k}=\min\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}\right)={\frac {\lambda _{k}}{\lambda _{1}+\dotsb +\lambda _{n}}}.}$$

สามารถเห็นหลักฐานได้โดยการปล่อยให้${\displaystyle I=\operatorname {argmin} _{i\in \{1,\dotsb ,n\}}\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}}$. แล้ว, $${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(I=k)&=\int _{0}^{\infty }\Pr(X_{k}=x)\Pr(\forall _{i\neq k}X_{i}>x)\,dx\\&=\int _{0}^{\infty }\lambda _{k}e^{-\lambda _{k}x}\left(\prod _{i=1,i\neq k}^{n}e^{-\lambda _{i}x}\right)dx\\&=\lambda _{k}\int _{0}^{\infty }e^{-\left(\lambda _{1}+\dotsb +\lambda _{n}\right)x}dx\\&={\frac {\lambda _{k}}{\lambda _{1}+\dotsb +\lambda _{n}}}.\end{aligned}}}$$

โปรดทราบว่า $${\displaystyle \max\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}}$$ ไม่มีการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียล หากX , ..., X ไม่มีพารามิเตอร์เป็น 0 ทั้งหมด^{[ 6 ]}

อนุญาต${\displaystyle X_{1},\dotsc ,X_{n}}$เป็น${\displaystyle n}$ตัวแปรสุ่มเอกซ์โพเนน เชียลอิสระและมีการกระจายเหมือนกันโดยมีพารามิเตอร์อัตราλให้${\displaystyle X_{(1)},\dotsc ,X_{(n)}}$แทนค่าสถิติลำดับ ที่สอดคล้องกัน สำหรับ${\displaystyle i<j}$โมเมนต์ร่วม${\displaystyle \operatorname {E} \left[X_{(i)}X_{(j)}\right]}$ของสถิติลำดับ${\displaystyle X_{(i)}}$และ${\displaystyle X_{(j)}}$ได้รับจาก $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X_{(i)}X_{(j)}\right]&=\sum _{k=0}^{j-1}{\frac {1}{(n-k)\lambda }}\operatorname {E} \left[X_{(i)}\right]+\operatorname {E} \left[X_{(i)}^{2}\right]\\&=\sum _{k=0}^{j-1}{\frac {1}{(n-k)\lambda }}\sum _{k=0}^{i-1}{\frac {1}{(n-k)\lambda }}+\sum _{k=0}^{i-1}{\frac {1}{((n-k)\lambda )^{2}}}+\left(\sum _{k=0}^{i-1}{\frac {1}{(n-k)\lambda }}\right)^{2}.\end{aligned}}}$$

สิ่งนี้สามารถเห็นได้จากการอ้างอิงกฎแห่งความคาดหวังโดยรวมและคุณสมบัติไร้ความทรงจำ: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X_{(i)}X_{(j)}\right]&=\int _{0}^{\infty }\operatorname {E} \left[X_{(i)}X_{(j)}\mid X_{(i)}=x\right]f_{X_{(i)}}(x)\,dx\\&=\int _{x=0}^{\infty }x\operatorname {E} \left[X_{(j)}\mid X_{(j)}\geq x\right]f_{X_{(i)}}(x)\,dx&&\left({\textrm {since}}~X_{(i)}=x\implies X_{(j)}\geq x\right)\\&=\int _{x=0}^{\infty }x\left[\operatorname {E} \left[X_{(j)}\right]+x\right]f_{X_{(i)}}(x)\,dx&&\left({\text{by the memoryless property}}\right)\\&=\sum _{k=0}^{j-1}{\frac {1}{(n-k)\lambda }}\operatorname {E} \left[X_{(i)}\right]+\operatorname {E} \left[X_{(i)}^{2}\right].\end{aligned}}}$$

สมการแรกได้มาจากกฎของความคาดหวังโดยรวมสมการที่สองใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่า เมื่อเรากำหนดเงื่อนไขบน${\displaystyle X_{(i)}=x}$จึงต้องสรุปได้ว่า${\displaystyle X_{(j)}\geq x}$สมการที่สามอาศัยคุณสมบัติไร้ความทรงจำในการแทนที่${\displaystyle \operatorname {E} \left[X_{(j)}\mid X_{(j)}\geq x\right]}$กับ${\displaystyle \operatorname {E} \left[X_{(j)}\right]+x}$.

ฟังก์ชันการกระจายความน่าจะเป็น (PDF) ของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัว คือการสังเคราะห์ (convolution) ของ PDF ของตัวแปรสุ่มแต่ละตัวถ้า${\displaystyle X_{1}}$และ${\displaystyle X_{2}}$เป็นตัวแปรสุ่มเอกซ์โพเนนเชียลอิสระที่มีพารามิเตอร์อัตราตามลำดับ${\displaystyle \lambda _{1}}$และ${\displaystyle \lambda _{2},}$จากนั้นความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของ${\displaystyle Z=X_{1}+X_{2}}$ได้รับจาก $${\displaystyle {\begin{aligned}f_{Z}(z)&=\int _{-\infty }^{\infty }f_{X_{1}}(x_{1})f_{X_{2}}(z-x_{1})\,dx_{1}\\&=\int _{0}^{z}\lambda _{1}e^{-\lambda _{1}x_{1}}\lambda _{2}e^{-\lambda _{2}(z-x_{1})}\,dx_{1}\\&=\lambda _{1}\lambda _{2}e^{-\lambda _{2}z}\int _{0}^{z}e^{(\lambda _{2}-\lambda _{1})x_{1}}\,dx_{1}\\&={\begin{cases}{\dfrac {\lambda _{1}\lambda _{2}}{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}\left(e^{-\lambda _{1}z}-e^{-\lambda _{2}z}\right)&{\text{ if }}\lambda _{1}\neq \lambda _{2}\\[4pt]\lambda ^{2}ze^{-\lambda z}&{\text{ if }}\lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda .\end{cases}}\end{aligned}}}$$ เอนโทรปีของการแจกแจงนี้สามารถหาได้ในรูปแบบปิด: โดยสมมติว่า${\displaystyle \lambda _{1}>\lambda _{2}}$(โดยไม่เสียความเป็นทั่วไป) แล้ว $${\displaystyle {\begin{aligned}H(Z)&=1+\gamma +\ln \left({\frac {\lambda _{1}-\lambda _{2}}{\lambda _{1}\lambda _{2}}}\right)+\psi \left({\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{1}-\lambda _{2}}}\right),\end{aligned}}}$$ ที่ไหน${\displaystyle \gamma }$คือค่าคงที่ออยเลอร์-มาสเชโรนีและ${\displaystyle \psi (\cdot )}$คือฟังก์ชันไดแกมมา^{[ 7 ]}

ในกรณีที่พารามิเตอร์อัตราเท่ากัน ผลลัพธ์ที่ได้คือการแจกแจงแบบ Erlangที่มีรูปร่าง 2 และพารามิเตอร์${\displaystyle \lambda ,}$ซึ่งในทางกลับกันก็เป็นกรณีพิเศษของ การ แจกแจงแกมมา

ผลรวมของตัวแปรสุ่มเอกซ์โพเนนเชียลอิสระ n ตัว Exp( λ) มี การแจกแจงแบบแกมมา(n, λ)

ข้อมูลฟิชเชอร์ซึ่งแสดงด้วยสัญลักษณ์${\displaystyle {\mathcal {I}}(\lambda )}$สำหรับตัวประมาณค่าพารามิเตอร์อัตรา${\displaystyle \lambda }$กำหนดให้เป็นดังนี้: $${\displaystyle {\mathcal {I}}(\lambda )=\operatorname {E} \left[\left.\left({\frac {\partial }{\partial \lambda }}\log f(x;\lambda )\right)^{2}\right|\lambda \right]=\int \left({\frac {\partial }{\partial \lambda }}\log f(x;\lambda )\right)^{2}f(x;\lambda )\,dx}$$

เมื่อแทนค่าการแจกแจงและแก้สมการจะได้ผลลัพธ์ดังนี้: $${\displaystyle {\mathcal {I}}(\lambda )=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\partial }{\partial \lambda }}\log \lambda e^{-\lambda x}\right)^{2}\lambda e^{-\lambda x}\,dx=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{\lambda }}-x\right)^{2}\lambda e^{-\lambda x}\,dx=\lambda ^{-2}.}$$

สิ่งนี้จะกำหนดปริมาณข้อมูลที่แต่ละตัวอย่างอิสระของการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลมีเกี่ยวกับพารามิเตอร์อัตราที่ไม่ทราบค่า${\displaystyle \lambda }$.

ช่วงความเชื่อมั่น 100(1 − α)% ที่แน่นอนสำหรับพารามิเตอร์อัตราของการแจกแจงแบบเอกซ์โพเนนเชียลกำหนดโดย: ^{[ 14 ]}$${\displaystyle {\frac {2n}{{\widehat {\lambda }}_{\textrm {mle}}\chi _{{\frac {\alpha }{2}},2n}^{2}}}<{\frac {1}{\lambda }}<{\frac {2n}{{\widehat {\lambda }}_{\textrm {mle}}\chi _{1-{\frac {\alpha }{2}},2n}^{2}}}\,,}$$ ซึ่งเท่ากับเช่นกัน $${\displaystyle {\frac {2n{\overline {x}}}{\chi _{{\frac {\alpha }{2}},2n}^{2}}}<{\frac {1}{\lambda }}<{\frac {2n{\overline {x}}}{\chi _{1-{\frac {\alpha }{2}},2n}^{2}}}\,,}$$ โดยที่χ²p คือเปอร์เซ็นไทล์ที่¹⁰⁰ ( p ) ของ การแจกแจงไคกำลังสองมีv องศาอิสระ n คือจำนวนการสังเกต และ x-bar คือค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง สามารถประมาณค่าจุดปลายของช่วงความเชื่อมั่นได้อย่างง่าย ๆ โดยใช้การประมาณค่าแบบปกติของ การแจกแจง χ²p นี้ให้ค่าต่อไปนี้สำหรับช่วงความเชื่อมั่น 95% ^:$${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{\text{lower}}&={\widehat {\lambda }}\left(1-{\frac {1.96}{\sqrt {n}}}\right)\\\lambda _{\text{upper}}&={\widehat {\lambda }}\left(1+{\frac {1.96}{\sqrt {n}}}\right)\end{aligned}}}$$

การประมาณค่านี้อาจยอมรับได้สำหรับตัวอย่างที่มีองค์ประกอบอย่างน้อย 15 ถึง 20 รายการ^{[ 15 ]}

การแจกแจงความน่าจะเป็นก่อนหน้าแบบสังยุคสำหรับการแจกแจงเอกซ์โพเนนเชียลคือการแจกแจงแกมมา (ซึ่งการแจกแจงเอกซ์โพเนนเชียลเป็นกรณีพิเศษของการแจกแจงแกมมา) การกำหนดพารามิเตอร์ของฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของแกมมาต่อไปนี้มีประโยชน์:

$${\displaystyle \operatorname {Gamma} (\lambda$$ ;\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\lambda ^{\alpha -1}\exp(-\lambda \beta ).}

การแจกแจงความน่าจะเป็นภายหลังpสามารถแสดงได้ในรูปของฟังก์ชันความน่าจะเป็นที่กำหนดไว้ข้างต้นและค่าความน่าจะเป็นก่อนหน้าแบบแกมมา:

$${\displaystyle {\begin{aligned}p(\lambda )&\propto L(\lambda )\Gamma (\lambda$$ ;\alpha ,\beta )\\&=\lambda ^{n}\exp \left(-\lambda n{\overline {x}}\right){\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\lambda ^{\alpha -1}\exp(-\lambda \beta )\\&\propto \lambda ^{(\alpha +n)-1}\exp(-\lambda \left(\beta +n{\overline {x}}\right)).\end{aligned}}}

ตอนนี้ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นภายหลังpได้ถูกกำหนดไว้แล้ว ยกเว้นค่าคงที่การทำให้เป็นมาตรฐานที่ขาดหายไป เนื่องจากมีรูปแบบเป็นฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นแบบแกมมา จึงสามารถเติมค่านี้ได้อย่างง่ายดาย และจะได้ผลลัพธ์ดังนี้:

$${\displaystyle p(\lambda )=\operatorname {Gamma} (\lambda$$ ;\alpha +n,\beta +n{\overline {x}}).}

ในที่นี้พารามิเตอร์αสามารถตีความได้ว่าเป็นจำนวนการสังเกตการณ์ก่อนหน้า และβเป็นผลรวมของการสังเกตการณ์ก่อนหน้า ค่าเฉลี่ยภายหลังในที่นี้คือ: $${\displaystyle {\frac {\alpha +n}{\beta +n{\overline {x}}}}.}$$

การแจกแจงเอกซ์โพเนนเชียลเป็นหนึ่งในหลายๆ การแจกแจงทางสถิติที่มี โครงสร้าง แบบกลุ่มเนื่องจากโครงสร้างแบบกลุ่มนี้ การแจกแจงเอกซ์โพเนนเชียลจึงมีมาตรวัดฮาร์ ที่เกี่ยวข้อง ซึ่งก็คือ${\displaystyle 1/\lambda .}$การใช้มาตรวัด Haarเป็นค่าก่อนหน้า (เรียกว่าค่าก่อนหน้า Haar) ในการทำนายแบบ Bayesian จะให้ค่าความน่าจะเป็นที่ปรับเทียบได้อย่างสมบูรณ์แบบ สำหรับค่าพารามิเตอร์ที่แท้จริงพื้นฐานใดๆ^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}ค่าความน่าจะเป็นที่ปรับเทียบได้อย่างสมบูรณ์แบบมีคุณสมบัติที่ว่าค่าความน่าจะเป็นที่ทำนายไว้จะตรงกับความถี่ของเหตุการณ์นอกตัวอย่างอย่างแม่นยำ สำหรับเลขชี้กำลัง มีนิพจน์ที่แน่นอนสำหรับการทำนายแบบ Bayesian ที่สร้างขึ้นโดยใช้ค่าก่อนหน้า Haar ซึ่งกำหนดโดย

${\displaystyle p_{\rm {Haar-prior}}(x_{n+1}\mid x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {n^{n+1}\left({\overline {x}}\right)^{n}}{\left(n{\overline {x}}+x_{n+1}\right)^{n+1}}}.}$

นี่เป็นตัวอย่างของการปรับเทียบการทำนายก่อนหน้า โดยเลือกค่าก่อนหน้าเพื่อปรับปรุงการปรับเทียบ (และในกรณีนี้ เพื่อให้การปรับเทียบสมบูรณ์แบบ) การปรับเทียบการทำนายก่อนหน้าสำหรับฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลโดยใช้ค่าก่อนหน้าของ Haar นั้นถูกนำไปใช้ใน แพ็กเกจซอฟต์แวร์ Rที่ชื่อ fitdistcp

การคาดการณ์เดียวกันนี้สามารถได้มาจากมุมมองอื่นๆ อีกหลายประการ ดังที่ได้กล่าวไว้ใน ส่วน การคาดการณ์ด้านล่าง

การแจกแจงแบบเอกซ์โปเน นเชียลเกิดขึ้นตามธรรมชาติเมื่ออธิบายความยาวของช่วงเวลาระหว่างการมาถึงในกระบวนการปัวซง ที่เป็นเอกพันธ์

การแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลอาจมองได้ว่าเป็นรูปแบบต่อเนื่องที่เทียบเคียงได้กับการแจกแจงแบบเรขาคณิตซึ่งอธิบายจำนวนครั้งของการทดลองแบบเบอร์นูลลีที่จำเป็นสำหรับ กระบวนการ แบบไม่ต่อเนื่องในการเปลี่ยนสถานะ ในทางตรงกันข้าม การแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลอธิบายถึงเวลาที่กระบวนการแบบต่อเนื่องจะเปลี่ยนสถานะ

ในสถานการณ์จริง การสมมติว่าอัตราคงที่ (หรือความน่าจะเป็นต่อหน่วยเวลา) นั้นแทบจะไม่เป็นจริงเลย ตัวอย่างเช่น อัตราการโทรเข้าจะแตกต่างกันไปตามช่วงเวลาของวัน แต่ถ้าเราพิจารณาช่วงเวลาที่อัตราค่อนข้างคงที่ เช่น ตั้งแต่ 2 ถึง 4 โมงเย็นในวันทำงาน การแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลสามารถใช้เป็นแบบจำลองโดยประมาณที่ดีสำหรับเวลาจนกว่าจะมีสายเรียกเข้าครั้งต่อไป ข้อควรระวังที่คล้ายกันนี้ใช้กับตัวอย่างต่อไปนี้ซึ่งให้ตัวแปรที่มีการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลโดยประมาณ:

• ระยะเวลาจนกว่าอนุภาคกัมมันตรังสีจะสลายตัวหรือระยะเวลาระหว่างการนับของเครื่องวัดรังสีไกเกอร์ แต่ละครั้ง
• ช่วงเวลาระหว่างการรับโทรศัพท์ครั้งหนึ่งกับการรับโทรศัพท์ครั้งต่อไป
• ระยะเวลาจนกว่าจะผิดนัดชำระหนี้ (แก่เจ้าหนี้ของบริษัท) ในแบบจำลองความเสี่ยงด้านเครดิตแบบลดรูป

ตัวแปรเลขชี้กำลังยังสามารถใช้ในการจำลองสถานการณ์ที่เหตุการณ์บางอย่างเกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็นคงที่ต่อหน่วยความยาว เช่น ระยะห่างระหว่างการกลายพันธุ์บน สาย ดีเอ็นเอหรือระยะห่างระหว่างสัตว์ที่ถูกรถชนตายบนถนนสายใดสายหนึ่ง

ในทฤษฎีการเข้าคิวเวลาในการให้บริการของตัวแทนในระบบ (เช่น ระยะเวลาที่พนักงานธนาคารใช้ในการให้บริการลูกค้า) มักถูกจำลองเป็นตัวแปรที่มีการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียล (ตัวอย่างเช่น การมาถึงของลูกค้าก็ถูกจำลองโดยการแจกแจงแบบปัวซง เช่นกัน หากการมาถึงเป็นอิสระและมีการแจกแจงเหมือนกัน) ความยาวของกระบวนการที่สามารถคิดได้ว่าเป็นลำดับของงานอิสระหลายงานนั้นเป็นไปตามการแจกแจงแบบเออร์ลัง (ซึ่งเป็นการแจกแจงของผลรวมของตัวแปรอิสระหลายตัวที่มีการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียล)

ทฤษฎีความน่าเชื่อถือและวิศวกรรมความน่าเชื่อถือยังใช้การแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลอย่างกว้างขวาง เนื่องจากคุณสมบัติที่ไม่เปลี่ยนแปลงของค่าที่หายไป การแจกแจงนี้จึงเหมาะอย่างยิ่งสำหรับการจำลองส่วนอัตราความเสี่ยง คงที่ของ เส้นโค้งรูปอ่างอาบน้ำที่ใช้ในทฤษฎีความน่าเชื่อถือ นอกจากนี้ยังสะดวกมากเพราะง่ายต่อการเพิ่มอัตราความล้มเหลวในแบบจำลองความน่าเชื่อถือ อย่างไรก็ตาม การแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลไม่เหมาะสมที่จะใช้จำลองอายุการใช้งานโดยรวมของสิ่งมีชีวิตหรืออุปกรณ์ทางเทคนิค เนื่องจาก "อัตราความล้มเหลว" ในที่นี้ไม่คงที่ กล่าวคือ ระบบที่อายุน้อยมากและระบบที่เก่ามากจะเกิดความล้มเหลวมากกว่า

ในวิชาฟิสิกส์หากคุณสังเกตก๊าซที่อุณหภูมิและความดัน คงที่ใน สนามโน้มถ่วงสม่ำเสมอระดับความสูงของโมเลกุลต่างๆ จะมีการกระจายตัวแบบเอกซ์โปเนนเชียลโดยประมาณ ซึ่งเรียกว่าสูตรบารอมิเตอร์นี่เป็นผลมาจากคุณสมบัติของเอนโทรปีที่กล่าวถึงด้านล่าง

ในด้านอุทกวิทยาการกระจายแบบเอกซ์โพเนนเชียลใช้ในการวิเคราะห์ค่าสุดขั้วของตัวแปรต่างๆ เช่น ค่าสูงสุดรายเดือนและรายปีของปริมาณน้ำฝนรายวันและปริมาณการไหลของแม่น้ำ^{[ 19 ]}

ภาพสีน้ำเงินแสดงตัวอย่างการปรับใช้การแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลกับปริมาณน้ำฝนสูงสุดในหนึ่งวันต่อปีที่เรียงลำดับแล้ว โดยแสดงแถบความเชื่อมั่น 90% ตามการแจกแจงแบบทวินาม ด้วย ข้อมูลปริมาณน้ำฝนแสดงโดย การพล็ อตตำแหน่งเป็นส่วนหนึ่งของการวิเคราะห์ความถี่สะสม

ในการจัดการห้องผ่าตัด การกระจายระยะเวลาการผ่าตัดสำหรับกลุ่มการผ่าตัดที่ไม่มีเนื้อหางานเฉพาะเจาะจง (เช่น ในห้องฉุกเฉิน ซึ่งครอบคลุมการผ่าตัดทุกประเภท)

เมื่อได้สังเกตตัวอย่าง ข้อมูล nจุดจาก1การแจกแจงเอกซ์โพเนนเชียลที่ไม่ทราบค่าแล้ว งานทั่วไปอย่างหนึ่งคือการใช้ตัวอย่างเหล่านี้เพื่อทำนายข้อมูลในอนาคตจากแหล่งเดียวกัน การแจกแจงทำนายทั่วไปสำหรับตัวอย่างในอนาคตคือการแจกแจงแบบปลั๊กอิน ซึ่งเกิดจากการแทนค่าประมาณที่เหมาะสมสำหรับพารามิเตอร์อัตราλลงในฟังก์ชันความหนาแน่นเอกซ์โพเนนเชียล ตัวเลือกทั่วไปของค่าประมาณคือค่าที่ได้จากหลักการความน่าจะเป็นสูงสุด และการใช้ค่านี้จะให้ความหนาแน่นของการทำนายสำหรับตัวอย่างในอนาคตx โดยมีเงื่อนไขจากตัวอย่างที่สังเกตได้x = ( x , ..., x ) ที่กำหนดโดย $${\displaystyle p_{\rm {ML}}(x_{n+1}\mid x_{1},\ldots ,x_{n})=\left({\frac {1}{\overline {x}}}\right)\exp \left(-{\frac {x_{n+1}}{\overline {x}}}\right).}$$

วิธีการแบบเบย์เซียนให้การแจกแจงการทำนายที่คำนึงถึงความไม่แน่นอนของพารามิเตอร์ที่ประมาณค่าได้ แม้ว่าสิ่งนี้อาจขึ้นอยู่กับการเลือกค่าความน่าจะเป็นก่อนหน้าอย่างมากก็ตาม

การแจกแจงการทำนายที่ปราศจากปัญหาในการเลือกค่าความน่าจะเป็นล่วงหน้า (priors) ที่เกิดขึ้นภายใต้แนวทางแบบเบย์เซียนเชิงอัตวิสัย คือ

$${\displaystyle p_{\rm {CNML}}(x_{n+1}\mid x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {n^{n+1}\left({\overline {x}}\right)^{n}}{\left(n{\overline {x}}+x_{n+1}\right)^{n+1}}},}$$

ซึ่งสามารถพิจารณาได้ว่าเป็น

1. การแจกแจงความเชื่อมั่นแบบความถี่ซึ่งได้มาจากการแจกแจงของปริมาณสำคัญ${\displaystyle {x_{n+1}}/{\overline {x}}}$; ^{[ 20 ]}
2. ความน่าจะเป็นในการทำนายโปรไฟล์ที่ได้มาจากการกำจัดพารามิเตอร์λจากความน่าจะเป็นร่วมของx และλโดยการเพิ่มค่าสูงสุด^{[ 21 ]}
3. การแจกแจงความน่าจะเป็นภายหลังแบบเบย์เซียนเชิงวัตถุประสงค์ที่ได้มาโดยใช้ความน่าจะเป็นก่อนหน้าของเจฟฟรีย์ที่ ไม่ให้ข้อมูล 1/ λซึ่งเท่ากับความน่าจะเป็นก่อนหน้าของฮาร์ด้านขวาในกรณีนี้ การคาดการณ์ที่สร้างขึ้นโดยใช้ความน่าจะเป็นก่อนหน้าของฮาร์ด้านขวาจะรับประกันว่าจะให้ความน่าจะเป็นที่ปรับเทียบอย่างสมบูรณ์แบบ^{[ 22 ] [ 23 ]}
4. การแจกแจงการทำนายความน่าจะเป็นสูงสุดแบบปกติตามเงื่อนไข (CNML) จากการพิจารณาทางทฤษฎีสารสนเทศ^{[ 24 ]}

ความแม่นยำของการแจกแจงการทำนายสามารถวัดได้โดยใช้ระยะทางหรือความแตกต่างระหว่างการแจกแจงเอกซ์โพเนนเชียลที่แท้จริงที่มีพารามิเตอร์อัตราλ และการแจกแจงการทำนายโดยอิงจากตัวอย่างx ความแตกต่างของ Kullback –Leiblerเป็นมาตรวัดความแตกต่างระหว่างการแจกแจงสองแบบที่ใช้กันทั่วไปและไม่ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ ให้ Δ( λ || p ) แทนความแตกต่างของ Kullback–Leibler ระหว่างเอกซ์โพเนนเชียลที่มีพารามิเตอร์อัตราλ และการแจกแจงการทำนายpจะสามารถแสดงได้ว่า

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} _{\lambda _{0}}\left[\Delta (\lambda _{0}\parallel p_{\rm {ML}})\right]&=\psi (n)+{\frac {1}{n-1}}-\log(n)\\\operatorname {E} _{\lambda _{0}}\left[\Delta (\lambda _{0}\parallel p_{\rm {CNML}})\right]&=\psi (n)+{\frac {1}{n}}-\log(n)\end{aligned}}}$$

โดยที่ค่าคาดหวังจะคำนวณจากค่าการแจกแจงแบบเอกซ์โพเนนเชียลที่มีพารามิเตอร์อัตราλ ∈ (0, ∞)และψ( · )คือฟังก์ชันไดแกมมา เห็นได้ชัดว่าการแจกแจงทำนาย CNML นั้นเหนือกว่าการแจกแจงแบบปลั๊กอินความน่าจะเป็นสูงสุดอย่างชัดเจนในแง่ของค่าเฉลี่ยความแตกต่างของ Kullback–Leibler สำหรับขนาดตัวอย่างทั้งหมดn > 0