ในการวิเคราะห์เชิงตัวเลข วิธีผลต่างจำกัด ( Finite-Difference Methods : FDM ) เป็นกลุ่มของเทคนิคเชิงตัวเลขสำหรับการแก้ สม การเชิงอนุพันธ์โดยการประมาณค่าอนุพันธ์ด้วยผลต่างจำกัดทั้งในโดเมนเชิงพื้นที่และโดเมนเวลา (ถ้ามี) จะ ถูก แบ่งเป็นช่วงย่อยจำนวนจำกัด และค่าของคำตอบ ณ จุดปลายของช่วงย่อยเหล่านั้นจะถูกประมาณโดยการแก้สมการพีชคณิตที่มีผลต่างจำกัดและค่าจากจุดใกล้เคียง

วิธีผลต่างจำกัดจะแปลงสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (ODE) หรือสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (PDE) ซึ่งอาจเป็นแบบไม่เชิงเส้นให้เป็นระบบสมการเชิงเส้นที่สามารถแก้ได้ด้วย เทคนิค พีชคณิตเมทริกซ์ คอมพิวเตอร์สมัยใหม่สามารถคำนวณ พีชคณิต เชิงเส้น เหล่านี้ ได้อย่างมีประสิทธิภาพ และด้วยเหตุนี้ ความง่ายในการใช้งาน ทำให้ FDM ถูกนำมาใช้อย่างแพร่หลายในการวิเคราะห์เชิงตัวเลขสมัยใหม่^{[ 1 ] ปัจจุบัน FDM เป็นหนึ่งในวิธีการที่ ใช้} กันทั่วไปในการแก้ PDE เชิงตัวเลข ควบคู่ไปกับวิธีองค์ประกอบจำกัด [ ^{1 ]}

สำหรับ ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ nครั้ง ตามทฤษฎีบทของเทย์เลอร์การ กระจายอนุกรม เทย์เลอร์มีดังนี้ $${\displaystyle f(x_{0}+h)=f(x_{0})+{\frac {f'(x_{0})}{1!}}h+{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}h^{n}+R_{n}(x),}$$

โดยที่n ! หมายถึงแฟกทอเรียลของnและR _n ( x ) คือพจน์เศษเหลือ ซึ่งหมายถึงผลต่างระหว่างพหุนามเทย์เลอร์ดีกรีnกับฟังก์ชันดั้งเดิม

ต่อไปนี้คือขั้นตอนการหาค่าประมาณของอนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชันfโดยการตัดทอนพหุนามเทย์เลอร์และส่วนที่เหลือ: หารด้วยhจะได้: แก้หาค่า: $${\displaystyle f(x_{0}+h)=f(x_{0})+f'(x_{0})h+R_{1}(x).}$$$${\displaystyle {f(x_{0}+h) \over h}={f(x_{0}) \over h}+f'(x_{0})+{R_{1}(x) \over h}}$$${\displaystyle f'(x_{0})}$$${\displaystyle f'(x_{0})={f(x_{0}+h)-f(x_{0}) \over h}-{R_{1}(x) \over h}.}$$

สมมติว่ามีค่าเล็กเพียงพอ การประมาณค่าอนุพันธ์อันดับแรกของfคือ: ${\displaystyle R_{1}(x)}$$${\displaystyle f'(x_{0})\approx {f(x_{0}+h)-f(x_{0}) \over h}.}$$

นี่คล้ายกับนิยามของอนุพันธ์ ซึ่งก็คือ ยกเว้นลิมิตที่เข้าใกล้ศูนย์ (วิธีการนี้ตั้งชื่อตามสมมติฐานนี้) $${\displaystyle f'(x_{0})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}.}$$

ความคลาดเคลื่อนในวิธีการแก้ปัญหาถูกกำหนดให้เป็นผลต่างระหว่างค่าประมาณและคำตอบเชิงวิเคราะห์ที่ถูกต้อง แหล่งที่มาของความคลาดเคลื่อนสองประการในวิธีการผลต่างจำกัด ได้แก่ความคลาดเคลื่อนจากการปัดเศษ ซึ่งเป็นการสูญเสียความแม่นยำเนื่องจากการปัดเศษของคอมพิวเตอร์สำหรับค่าทศนิยม และความคลาดเคลื่อนจากการตัดทอนหรือความคลาดเคลื่อนจากการแบ่งส่วนย่อยซึ่งเป็นผลต่างระหว่างคำตอบที่ถูกต้องของสมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิมและปริมาณที่ถูกต้องโดยสมมติว่าการคำนวณสมบูรณ์แบบ (ไม่มีการปัดเศษ)

ในการใช้ระเบียบวิธีผลต่างจำกัดเพื่อประมาณคำตอบของปัญหา จำเป็นต้องแบ่งโดเมนของปัญหาออกเป็นส่วนย่อยก่อน ซึ่งโดยทั่วไปจะทำได้โดยการแบ่งโดเมนออกเป็นตารางกริดที่สม่ำเสมอ (ดูภาพประกอบ) นั่นหมายความว่าระเบียบวิธีผลต่างจำกัดจะสร้างชุดของการประมาณค่าเชิงตัวเลขแบบไม่ต่อเนื่องของอนุพันธ์ โดยมักจะทำในลักษณะ "การก้าวเวลา"

นิพจน์ที่น่าสนใจโดยทั่วไปคือข้อผิดพลาดการตัดทอนเฉพาะที่ของวิธีการ โดยทั่วไปจะแสดงโดยใช้สัญกรณ์ Big-Oข้อผิดพลาดการตัดทอนเฉพาะที่หมายถึงข้อผิดพลาดจากการประยุกต์ใช้วิธีการเพียงครั้งเดียว นั่นคือ เป็นปริมาณถ้าหมายถึงค่าที่แท้จริงและ หมายถึงค่าประมาณเชิงตัวเลข พจน์ที่เหลือของพหุนามเทย์เลอร์สามารถใช้ในการวิเคราะห์ข้อผิดพลาดการตัดทอนเฉพาะที่ได้การใช้รูปแบบลากรางจ์ของพจน์ที่เหลือจากพหุนามเทย์เลอร์สำหรับสามารถ ค้นพบพจน์เด่นของข้อผิดพลาดการตัดทอนเฉพาะที่ได้ ตัวอย่างเช่น การใช้สูตรผลต่างไปข้างหน้าสำหรับอนุพันธ์อันดับแรก โดยรู้ว่าและ ด้วยการจัดการทางพีชคณิตบางอย่าง จะนำไปสู่ ​​และสังเกตเพิ่มเติมว่าปริมาณทางด้านซ้ายคือค่าประมาณจากวิธีการผลต่างจำกัด และปริมาณทางด้านขวาคือปริมาณที่แท้จริงที่สนใจบวกกับพจน์ที่เหลือ เห็นได้ชัดว่าพจน์ที่เหลือนั้นคือข้อผิดพลาดการตัดทอนเฉพาะที่ นิพจน์สุดท้ายของตัวอย่างนี้และลำดับของมันคือ: ${\displaystyle f'(x_{i})-f'_{i}}$${\displaystyle f'(x_{i})}$${\displaystyle f'_{i}}$${\displaystyle f(x_{0}+h)}$$${\displaystyle R_{n}(x_{0}+h)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(h)^{n+1}\,,\quad x_{0}<\xi <x_{0}+h,}$$${\displaystyle f(x_{i})=f(x_{0}+ih)}$$${\displaystyle f(x_{0}+ih)=f(x_{0})+f'(x_{0})ih+{\frac {f''(\xi )}{2!}}(ih)^{2},}$$$${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+ih)-f(x_{0})}{ih}}=f'(x_{0})+{\frac {f''(\xi )}{2!}}ih,}$$$${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+ih)-f(x_{0})}{ih}}=f'(x_{0})+O(h).}$$

ในกรณีนี้ ข้อผิดพลาดการตัดทอนเฉพาะที่นั้นเป็นสัดส่วนกับขนาดของขั้นตอน คุณภาพและระยะเวลาของโซลูชัน FDM ที่จำลองขึ้นอยู่กับการเลือกสมการการแบ่งส่วนและขนาดของขั้นตอน (ขั้นตอนเวลาและพื้นที่) คุณภาพข้อมูลและระยะเวลาการจำลองจะเพิ่มขึ้นอย่างมีนัยสำคัญเมื่อขนาดขั้นตอนเล็กลง^{[ 2 ]}ดังนั้น ความสมดุลที่เหมาะสมระหว่างคุณภาพข้อมูลและระยะเวลาการจำลองจึงเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการใช้งานจริง ขั้นตอนเวลาขนาดใหญ่มีประโยชน์ในการเพิ่มความเร็วในการจำลองในทางปฏิบัติ อย่างไรก็ตาม ขั้นตอนเวลาที่ใหญ่เกินไปอาจทำให้เกิดความไม่เสถียรและส่งผลกระทบต่อคุณภาพข้อมูล^{[ 3 ] [ 4 ]}

เกณฑ์von NeumannและCourant-Friedrichs-Lewyมักถูกประเมินเพื่อกำหนดความเสถียรของแบบจำลองเชิงตัวเลข^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

ตัวอย่างเช่น พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ วิธี ของ ออยเลอร์ ในการแก้สมการนี้ใช้ผลหารความแตกต่างจำกัด เพื่อประมาณสมการเชิงอนุพันธ์โดยการแทนค่าลงในก่อน จากนั้นจึงใช้พีชคณิตเล็กน้อย (คูณทั้งสองข้างด้วยhแล้วบวกทั้งสองข้าง) เพื่อให้ได้ สมการสุดท้ายเป็นสมการความแตกต่างจำกัด และการแก้สมการนี้จะให้คำตอบโดยประมาณของสมการเชิงอนุพันธ์ $${\displaystyle u'(x)=3u(x)+2.}$$$${\displaystyle {\frac {u(x+h)-u(x)}{h}}\approx u'(x)}$$${\displaystyle u'(x)}$${\displaystyle u(x)}$$${\displaystyle u(x+h)\approx u(x)+h(3u(x)+2).}$$

พิจารณาสมการความร้อนแบบ นอร์มาไลซ์ ในมิติเดียว โดยมีเงื่อนไขขอบเขตแบบ Dirichlet ที่เป็นเอกพันธ์

$${\displaystyle {\begin{cases}U_{t}=U_{xx}\\U(0,t)=U(1,t)=0&{\text{(เงื่อนไขขอบเขต)}}\\U(x,0)=U_{0}(x)&{\text{(เงื่อนไขเริ่มต้น)}}\end{cases}}}$$

วิธีหนึ่งในการแก้สมการนี้ด้วยวิธีเชิงตัวเลขคือการประมาณค่าอนุพันธ์ทั้งหมดโดยใช้ผลต่างจำกัด ขั้นแรกแบ่งโดเมนในเชิงพื้นที่โดยใช้ตาข่ายและในเชิงเวลาโดยใช้ตาข่ายสมมติว่าการแบ่งส่วนมีความสม่ำเสมอทั้งในเชิงพื้นที่และเชิงเวลา ดังนั้นผลต่างระหว่างจุดสองจุดที่อยู่ติดกันในเชิงพื้นที่จะเป็นhและระหว่างจุดสองจุดที่อยู่ติดกันในเชิงเวลาจะเป็นkจุดต่างๆ ${\displaystyle x_{0},\dots ,x_{J}}$${\displaystyle t_{0},\dots ,t_{N}}$

$${\displaystyle u(x_{j},t_{n})=u_{j}^{n}}$$

จะแสดงถึงค่าประมาณเชิงตัวเลขของ${\displaystyle u(x_{j},t_{n}).}$

การใช้ผลต่างไปข้างหน้าณ เวลา และ ${\displaystyle t_{n}}$ผลต่างกลางอันดับสองสำหรับอนุพันธ์เชิงพื้นที่ ณ ตำแหน่ง( FTCS ) จะได้สมการเวียนเกิดดังนี้: ${\displaystyle x_{j}}$

$${\displaystyle {\frac {u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{k}}={\frac {u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}}{h^{2}}}.}$$

นี่เป็นวิธีการที่ชัดเจน ในการแก้สม การความร้อนแบบหนึ่งมิติ

เราสามารถหาค่าอื่นๆ ได้ด้วยวิธีนี้: ${\displaystyle u_{j}^{n+1}}$

$${\displaystyle u_{j}^{n+1}=(1-2r)u_{j}^{n}+ru_{j-1}^{n}+ru_{j+1}^{n}}$$

ที่ไหน${\displaystyle r=k/h^{2}.}$

ดังนั้น ด้วยความสัมพันธ์เวียนเกิดนี้ และเมื่อทราบค่า ณ เวลาnแล้ว เราจึงสามารถหาค่าที่สอดคล้องกัน ณ เวลาn + 1 ได้และจะต้องแทนที่ด้วยเงื่อนไขขอบเขต ในตัวอย่างนี้คือ 0 ทั้งคู่ ${\displaystyle u_{0}^{n}}$${\displaystyle u_{J}^{n}}$

วิธีการที่เห็นได้ชัดนี้ทราบกันดีว่ามีเสถียรภาพเชิงตัวเลขและลู่เข้าเมื่อใดก็ตามที่[ ^{7 ] ข้อ}ผิดพลาดเชิงตัวเลขเป็นสัดส่วนกับขั้นตอนเวลาและกำลังสองของขั้นตอนพื้นที่: ${\displaystyle r\leq 1/2}$$${\displaystyle \Delta u=O(k)+O(h^{2})}$$

การใช้ผลต่างย้อนหลังณ เวลา${\displaystyle t_{n+1}}$และผลต่างศูนย์กลางอันดับสองสำหรับอนุพันธ์เชิงพื้นที่ ณ ตำแหน่ง(วิธีเวลาแบบย้อนกลับ ศูนย์กลางเชิงพื้นที่ "BTCS") ทำให้ได้สมการเวียนเกิดดังนี้: ${\displaystyle x_{j}}$

$${\displaystyle {\frac {u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{k}}={\frac {u_{j+1}^{n+1}-2u_{j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^{2}}}.}$$

นี่เป็นวิธีการโดยปริยาย ในการแก้สม การความร้อนแบบหนึ่งมิติ

เราสามารถหาผลลัพธ์ได้จากการแก้ระบบสมการเชิงเส้นดังนี้: ${\displaystyle u_{j}^{n+1}}$

$${\displaystyle (1+2r)u_{j}^{n+1}-ru_{j-1}^{n+1}-ru_{j+1}^{n+1}=u_{j}^{n}}$$

วิธีการนี้มีเสถียรภาพเชิงตัวเลขและลู่เข้าเสมอ แต่โดยทั่วไปแล้วจะใช้การคำนวณมากกว่าวิธีแบบชัดแจ้ง เนื่องจากต้องแก้ระบบสมการเชิงตัวเลขในแต่ละช่วงเวลา ข้อผิดพลาดจะเป็นเชิงเส้นเมื่อเทียบกับช่วงเวลา และเป็นกำลังสองเมื่อเทียบกับช่วงพื้นที่: $${\displaystyle \Delta u=O(k)+O(h^{2}).}$$

สุดท้ายนี้ การใช้ผลต่างกลางที่เวลาและผลต่างกลางอันดับสองสำหรับอนุพันธ์เชิงพื้นที่ที่ตำแหน่ง("CTCS") จะได้สมการเวียนเกิดดังนี้: ${\displaystyle t_{n+1/2}}$${\displaystyle x_{j}}$

$${\displaystyle {\frac {u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{k}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {u_{j+1}^{n+1}-2u_{j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^{2}}}+{\frac {u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}}{h^{2}}}\right).}$$

สูตรนี้เป็นที่รู้จักกันในชื่อวิธีแคร้งค์-นิโคลสัน

เราสามารถหาผลลัพธ์ได้จากการแก้ระบบสมการเชิงเส้นดังนี้: ${\displaystyle u_{j}^{n+1}}$

$${\displaystyle (2+2r)u_{j}^{n+1}-ru_{j-1}^{n+1}-ru_{j+1}^{n+1}=(2-2r)u_{j}^{n}+ru_{j-1}^{n}+ru_{j+1}^{n}}$$

วิธีการนี้มีเสถียรภาพเชิงตัวเลขและลู่เข้าเสมอ แต่โดยทั่วไปแล้วจะใช้ทรัพยากรเชิงตัวเลขมากกว่า เนื่องจากต้องแก้ระบบสมการเชิงตัวเลขในแต่ละช่วงเวลา ข้อผิดพลาดจะเป็นแบบกำลังสองทั้งในส่วนของช่วงเวลาและส่วนของพื้นที่: $${\displaystyle \Delta u=O(k^{2})+O(h^{2}).}$$

โดยสรุปแล้ว โดยทั่วไปแล้ววิธี Crank–Nicolsonเป็นวิธีที่แม่นยำที่สุดสำหรับช่วงเวลาสั้นๆ สำหรับช่วงเวลาที่ใหญ่ขึ้น วิธีแบบปริยายจะทำงานได้ดีกว่า เนื่องจากใช้ทรัพยากรในการคำนวณน้อยกว่า ส่วนวิธีแบบชัดแจ้งนั้นมีความแม่นยำน้อยที่สุดและอาจไม่เสถียร แต่ก็เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการใช้งานและใช้ทรัพยากรในการคำนวณน้อยที่สุด

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่าง รูปภาพด้านล่างแสดงผลลัพธ์ที่ได้จากวิธีการข้างต้นในการประมาณสมการความร้อน

$${\displaystyle U_{t}=\alpha U_{xx},\quad \alpha ={\frac {1}{\pi ^{2}}},}$$

โดยมีเงื่อนไขขอบเขต

$${\displaystyle U(0,t)=U(1,t)=0.}$$

คำตอบที่ถูกต้องคือ

$${\displaystyle U(x,t)={\frac {1}{\pi ^{2}}}e^{-t}\sin(\pi x).}$$

การเปรียบเทียบวิธีการผลต่างจำกัด

วิธีการแบบชัดเจน ( ไม่เสถียร)

วิธีโดยปริยาย (เสถียร)

วิธี Crank-Nicolson (เสถียร)

ตัวดำเนินการลาปลาส (ต่อเนื่อง) ในมิติ -มิติ กำหนดโดย. ตัวดำเนินการลาปลาสแบบไม่ต่อเนื่องขึ้นอยู่กับมิติ${\displaystyle n}$${\displaystyle \Delta u(x)=\sum _{i=1}^{n}\partial _{i}^{2}u(x)}$${\displaystyle \Delta _{h}u}$${\displaystyle n}$

ในมิติเดียว ตัวดำเนินการลาปลาสจะถูกประมาณค่าเป็น การ ประมาณค่านี้มักแสดงโดยใช้รูปแบบ ต่อไปนี้ ซึ่งแทนเมทริกซ์สมมาตรสามแถว สำหรับกริดที่มีระยะห่างเท่ากัน จะได้เมทริกซ์โทปลิตซ์ $${\displaystyle \Delta u(x)=u''(x)\approx {\frac {u(x-h)-2u(x)+u(x+h)}{h^{2}}}=:\Delta _{h}u(x)\,.}$$$${\displaystyle \Delta _{h}={\frac {1}{h^{2}}}{\begin{bmatrix}1&-2&1\end{bmatrix}}}$$

กรณี 2 มิติแสดงลักษณะทั้งหมดของกรณี n มิติโดยทั่วไป อนุพันธ์ย่อยอันดับสองแต่ละตัวจำเป็นต้องประมาณค่าในลักษณะเดียวกับกรณี 1 มิติ ซึ่งโดยปกติจะกำหนดโดยรูปแบบ ต่อไปนี้$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta u(x,y)&=u_{xx}(x,y)+u_{yy}(x,y)\\&\approx {\frac {u(x-h,y)-2u(x,y)+u(x+h,y)}{h^{2}}}+{\frac {u(x,y-h)-2u(x,y)+u(x,y+h)}{h^{2}}}\\&={\frac {u(x-h,y)+u(x+h,y)-4u(x,y)+u(x,y-h)+u(x,y+h)}{h^{2}}}\\&=:\Delta _{h}u(x,y)\,,\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \Delta _{h}={\frac {1}{h^{2}}}{\begin{bmatrix}&1\\1&-4&1\\&1\end{bmatrix}}\,.}$$

ความสอดคล้องของการประมาณค่าที่กล่าวถึงข้างต้นสามารถแสดงให้เห็นได้สำหรับฟังก์ชันที่มีความสม่ำเสมอสูง เช่นข้อความดังกล่าวคือ ${\displaystyle u\in C^{4}(\Omega )}$$${\displaystyle \Delta u-\Delta _{h}u={\mathcal {O}}(h^{2})\,.}$$

เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ จำเป็นต้องแทนที่ การกระจายอนุกรม เทย์เลอร์จนถึงอันดับที่ 3 ลงในตัวดำเนินการลาปลาสแบบไม่ต่อเนื่อง

เช่นเดียวกับฟังก์ชันซับฮาร์มอนิกต่อเนื่องเราสามารถกำหนดฟังก์ชันซับฮาร์มอนิกสำหรับการประมาณค่าความแตกต่างจำกัดได้${\displaystyle u_{h}}$$${\displaystyle -\Delta _{h}u_{h}\leq 0\,.}$$

เราสามารถกำหนด แม่แบบทั่วไปของประเภทบวกได้โดย $${\displaystyle {\begin{bmatrix}&\alpha _{N}\\\alpha _{W}&-\alpha _{C}&\alpha _{E}\\&\alpha _{S}\end{bmatrix}}\,,\quad \alpha _{i}>0\,,\quad \alpha _{C}=\sum _{i\in \{N,E,S,W\}}\alpha _{i}\,.}$$

ถ้าเป็นซับฮาร์มอนิก (แบบไม่ต่อเนื่อง) แล้วคุณสมบัติค่าเฉลี่ย ต่อไปนี้ จะเป็นจริง โดยที่การประมาณค่าจะถูกประเมินบนจุดต่างๆ ของตาราง และถือว่าสเตนซิลเป็นชนิดบวก ${\displaystyle u_{h}}$$${\displaystyle u_{h}(x_{C})\leq {\frac {\sum _{i\in \{N,E,S,W\}}\alpha _{i}u_{h}(x_{i})}{\sum _{i\in \{N,E,S,W\}}\alpha _{i}}}\,,}$$

คุณสมบัติค่าเฉลี่ยที่คล้ายกันนี้ยังใช้ได้กับกรณีต่อเนื่องด้วย

สำหรับฟังก์ชันซับฮาร์มอนิก (แบบไม่ต่อเนื่อง) จะเป็นไปตามข้อต่อไปนี้ โดยที่เป็นการแบ่งส่วนย่อยของโดเมนต่อเนื่อง และ เป็น ขอบเขต ตามลำดับ${\displaystyle u_{h}}$$${\displaystyle \max _{\Omega _{h}}u_{h}\leq \max _{\partial \Omega _{h}}u_{h}\,,}$$${\displaystyle \Omega _{h},\partial \Omega _{h}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \partial \Omega }$

หลักการค่าสูงสุดที่คล้ายกันนี้ยังใช้ได้กับกรณีต่อเนื่องด้วย

วิธี SBP-SAT ( การรวมส่วน - เทอมการประมาณพร้อมกัน ) เป็นเทคนิคที่เสถียรและแม่นยำสำหรับการแบ่งส่วนและการกำหนดเงื่อนไขขอบเขตของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเชิง เส้นที่กำหนดไว้อย่างดี โดยใช้ความแตกต่างจำกัดอันดับสูง^{[ 8 ] [ 9 ]}

วิธีการนี้ใช้หลักการของผลต่างจำกัด โดยที่ตัวดำเนินการหาอนุพันธ์มี คุณสมบัติ การรวมโดยส่วน โดยทั่วไป ตัวดำเนินการเหล่านี้ประกอบด้วยเมทริกซ์หาอนุพันธ์ที่มีแม่แบบผลต่างกลางอยู่ภายใน และมีแม่แบบขอบเขตด้านเดียวที่เลือกมาอย่างระมัดระวัง ซึ่งออกแบบมาเพื่อเลียนแบบการอินทิเกรตโดยส่วนในบริบทแบบไม่ต่อเนื่อง การใช้เทคนิค SAT เงื่อนไขขอบเขตของสมการอนุพันธ์ย่อยจะถูกกำหนดอย่างอ่อน โดยที่ค่าขอบเขตจะถูก "ดึง" ไปสู่เงื่อนไขที่ต้องการแทนที่จะเป็นไปตามเงื่อนไขอย่างแม่นยำ หากเลือกพารามิเตอร์การปรับแต่ง (ซึ่งเป็นคุณสมบัติเฉพาะของเทคนิค SAT) อย่างเหมาะสม ระบบสมการอนุพันธ์สามัญที่ได้จะมีพฤติกรรมพลังงานคล้ายกับสมการอนุพันธ์ย่อยแบบต่อเนื่อง กล่าวคือ ระบบไม่มีการเติบโตของพลังงานที่ไม่เป็นไปตามหลักฟิสิกส์ ซึ่งรับประกันความเสถียรหากใช้ แผนการอินทิเกรตที่มีขอบเขตความเสถียรซึ่งรวมถึงส่วนของแกนจินตนาการ เช่น วิธี Runge-Kutta อันดับสี่ ด้วยเหตุนี้ เทคนิค SAT จึงเป็นวิธีที่น่าสนใจในการกำหนดเงื่อนไขขอบเขตสำหรับวิธีการผลต่างจำกัดอันดับสูง เมื่อเปรียบเทียบกับตัวอย่างเช่น วิธีการฉีด ซึ่งโดยทั่วไปจะไม่เสถียรหากใช้ตัวดำเนินการอนุพันธ์อันดับสูง

• KW Morton และ DF Mayers, การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยด้วยวิธีเชิงตัวเลข: บทนำ . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2005.
• Autar Kaw และ E. Eric Kalu, วิธีการเชิงตัวเลขพร้อมการประยุกต์ใช้ (2008) [1]ประกอบด้วยบทนำสั้นๆ ที่เน้นด้านวิศวกรรมเกี่ยวกับ FDM (สำหรับ ODE) ในบทที่ 08.07
• John Strikwerda (2004). แผนวิธีผลต่างจำกัดและสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (ฉบับที่ 2). SIAM. ISBN 978-0-89871-639-9.
• Smith, GD (1985), การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยด้วยวิธีเชิงตัวเลข: วิธีผลต่างจำกัด ฉบับที่ 3 สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด
• Peter Olver (2013). บทนำสู่สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย . Springer. บทที่ 5: ผลต่างจำกัด. ISBN 978-3-319-02099-0..
• Randall J. LeVeque , วิธีผลต่างจำกัดสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญและเชิงอนุพันธ์ย่อย , SIAM, 2007
• Sergey Lemeshevsky, Piotr Matus, Dmitriy Poliakov (บรรณาธิการ): "Exact Finite-Difference Schemes", De Gruyter (2016) ดอย : https://doi.org/10.1515/9783110491326 .
• Mikhail Shashkov: วิธีผลต่างจำกัดแบบอนุรักษ์บนกริดทั่วไป , CRC Press, ISBN 0-8493-7375-1 (1996)