ภาษาคณิตศาสตร์ มี คำศัพท์เฉพาะทางและศัพท์เทคนิคมากมาย นอกจากนี้ยังมีศัพท์เฉพาะกลุ่มอยู่บ้าง ซึ่งเป็น วลีที่ใช้กันทั่วไปและเป็นส่วนหนึ่งของวัฒนธรรมทางคณิตศาสตร์มากกว่าจะเป็นส่วนหนึ่งของเนื้อหาวิชา ศัพท์เฉพาะกลุ่มมักปรากฏในการบรรยาย และบางครั้งในงานเขียน ในฐานะคำย่อที่ไม่เป็นทางการสำหรับ ข้อโต้แย้ง ที่เข้มงวดหรือแนวคิดที่แม่นยำ ส่วนใหญ่ใช้คำภาษาอังกฤษทั่วไป แต่มีความหมายเฉพาะที่ไม่ชัดเจนเมื่อใช้ในบริบททางคณิตศาสตร์

วลีบางวลี เช่น "โดยทั่วไป" จะปรากฏอยู่ในหลายส่วนด้านล่าง

เรื่องไร้สาระนามธรรม

เป็นการ อ้างอิง แบบประชดประชันถึงทฤษฎีหมวดหมู่ซึ่งสามารถใช้ในการสร้างข้อโต้แย้งเพื่อพิสูจน์ผลลัพธ์ (ที่อาจเป็นรูปธรรม) โดยไม่ต้องอ้างอิงถึงรายละเอียดเฉพาะของปัญหาในปัจจุบัน ด้วยเหตุนี้จึงเป็นที่รู้จักกันในชื่อความไร้สาระเชิงนามธรรมทั่วไปหรือความไร้สาระเชิงนามธรรมแบบทั่วไป

[บทความของEilenbergและMac Lane  ( 1942 )] ได้นำเสนอแนวคิดนามธรรมอย่างมากเกี่ยวกับ ' หมวดหมู่ ' ซึ่งในสมัยนั้นถูกเรียกว่า 'เรื่องไร้สาระนามธรรมทั่วไป'!

[ Grothendieck ] ยกระดับเรขาคณิตเชิงพีชคณิตไปสู่ระดับนามธรรมใหม่...หากนักคณิตศาสตร์บางคนสามารถปลอบใจตัวเองได้ชั่วขณะด้วยความหวังว่าโครงสร้างที่ซับซ้อนเหล่านี้เป็นเพียง 'เรื่องไร้สาระเชิงนามธรรม'...บทความในภายหลังของ Grothendieck และคนอื่นๆ แสดงให้เห็นว่าปัญหาคลาสสิก...ซึ่งขัดกับความพยายามของนักคณิตศาสตร์ผู้มีความสามารถหลายรุ่น สามารถแก้ไขได้ในแง่ของ...แนวคิดที่ซับซ้อน

หลักการ

หมายถึงรูปแบบมาตรฐานหรือรูปแบบที่ไม่ต้องเลือกของวัตถุทางคณิตศาสตร์ บางอย่าง (เช่น แผนที่มาตรฐาน รูปแบบมาตรฐาน หรือลำดับมาตรฐาน) คำเดียวกันนี้ยังสามารถใช้ในภาษาที่ไม่เป็นทางการเพื่ออ้างถึงสิ่งที่เป็น "มาตรฐาน" หรือ "คลาสสิก" ได้อีกด้วย ตัวอย่างเช่น อาจกล่าวได้ว่าบทพิสูจน์ของยูคลิดเป็น"บทพิสูจน์มาตรฐาน" ของจำนวนเฉพาะที่มีไม่จำกัด

มีบทพิสูจน์พื้นฐานสองแบบที่ใช้กันเสมอเพื่อแสดงให้ผู้ที่ไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญด้านคณิตศาสตร์เข้าใจว่าบทพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์มีลักษณะอย่างไร:

• — การพิสูจน์ว่ามีจำนวน เฉพาะอยู่ เป็น อนันต์
• — การพิสูจน์ว่ารากที่สองของสองเป็นจำนวนอตรรกยะ

ลึก

ผลลัพธ์จะถูกเรียกว่า "ลึกซึ้ง" หากการพิสูจน์ต้องใช้แนวคิดและวิธีการขั้นสูงกว่าแนวคิดที่จำเป็นในการกำหนดผลลัพธ์นั้น ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ – ซึ่งเดิมพิสูจน์โดยใช้เทคนิคการวิเคราะห์เชิงซ้อน – เคยถูกมองว่าเป็นผลลัพธ์ที่ลึกซึ้งจนกระทั่งมีการค้นพบการพิสูจน์ขั้นพื้นฐาน^{[ 1 ]}ในทางกลับกัน ข้อเท็จจริงที่ว่าπเป็นจำนวนอตรรกยะมักถูกมองว่าเป็นผลลัพธ์ที่ลึกซึ้ง เพราะต้องมีการพัฒนาการวิเคราะห์เชิงจริง อย่างมาก ก่อนที่จะสามารถพิสูจน์ได้ แม้ว่าข้ออ้างนั้นจะสามารถกล่าวได้ในแง่ของทฤษฎีจำนวนและเรขาคณิต อย่างง่าย ก็ตาม

สง่างาม

คำว่า "สวยงาม" เป็นคำที่ใช้ในเชิงสุนทรียศาสตร์ หมายถึง ความสามารถของแนวคิดในการให้ความเข้าใจเชิงลึกในคณิตศาสตร์ ไม่ว่าจะเป็นการรวมสาขาที่แตกต่างกัน การนำเสนอมุมมองใหม่ในสาขาเดียว หรือการนำเสนอเทคนิคการพิสูจน์ที่เรียบง่ายเป็นพิเศษ หรือที่สามารถดึงดูดสัญชาตญาณหรือจินตนาการว่าทำไมผลลัพธ์ที่พิสูจน์ได้จึงเป็นจริง ในบางโอกาส คำว่า "สวยงาม" ก็สามารถใช้เพื่อความหมายเดียวกันได้เช่นกัน แม้ว่าGian-Carlo Rotaจะแยกแยะความแตกต่างระหว่างความสง่างามในการนำเสนอและความสวยงามของแนวคิดโดยกล่าวว่า ตัวอย่างเช่น บางหัวข้ออาจเขียนได้อย่างสง่างามแม้ว่าเนื้อหาทางคณิตศาสตร์จะไม่สวยงาม และบางทฤษฎีบทหรือการพิสูจน์อาจสวยงามแต่เขียนได้ไม่สง่างาม

ความงดงามของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์นั้นเป็นอิสระจากคุณสมบัติทางสุนทรียศาสตร์...ของการอธิบายอย่างเข้มงวดของทฤษฎีนั้น บางทฤษฎีที่งดงามอาจไม่เคยได้รับการนำเสนอที่เทียบเท่ากับความงดงามของมัน...นอกจากนี้ยังสามารถพบตัวอย่างของทฤษฎีธรรมดาๆ ที่มีความงดงามน่าสงสัย แต่ได้รับการอธิบายอย่างยอดเยี่ยมและน่าตื่นเต้น...[ทฤษฎีหมวดหมู่] อุดมไปด้วยคำจำกัดความที่งดงามและลึกซึ้ง แต่ขาดการพิสูจน์ที่สง่างาม...[ทฤษฎีบท] ยังคงดูเทอะทะและน่าเบื่อ...[การอธิบายเรขาคณิตเชิงฉาย ] แข่งขันกันในด้านความสง่างามของการนำเสนอและความชาญฉลาดของการพิสูจน์...เมื่อมองย้อนกลับไป เราอาจสงสัยว่าเรื่องวุ่นวายทั้งหมดนั้นเกี่ยวกับอะไรนักคณิตศาสตร์อาจกล่าวว่าทฤษฎีบทนั้นงดงามเมื่อจริงๆ แล้วพวกเขาหมายถึงว่ามันให้ความกระจ่าง เรายอมรับความงดงามของทฤษฎีบทเมื่อเราเห็นว่าทฤษฎีบทนั้น 'เข้ากัน' กับที่ของมัน...เรากล่าวว่าการพิสูจน์นั้นงดงามเมื่อการพิสูจน์นั้นเปิดเผยความลับของทฤษฎีบทในที่สุด...

ประถมศึกษา

บทพิสูจน์หรือผลลัพธ์จะเรียกว่า "พื้นฐาน" หากเกี่ยวข้องเฉพาะแนวคิดและวิธีการพื้นฐานในสาขานั้น ๆ และแตกต่างจาก ผลลัพธ์ เชิงลึกซึ่งต้องอาศัยการพัฒนาเพิ่มเติมภายในหรือภายนอกสาขานั้น ๆ แนวคิดของ "บทพิสูจน์พื้นฐาน" ใช้เฉพาะในทฤษฎีจำนวนซึ่งโดยปกติจะหมายถึงบทพิสูจน์ที่ไม่ต้องใช้วิธีการจากคณิตศาสตร์เชิงซ้อน

นิทานพื้นบ้าน

ผลลัพธ์ที่เรียกว่า "ความรู้พื้นฐาน" คือผลลัพธ์ที่ไม่ชัดเจนและไม่เคยตีพิมพ์มาก่อน แต่เป็นที่รู้จักกันดีในหมู่ผู้เชี่ยวชาญในสาขานั้นๆ ในหลายกรณี ไม่ชัดเจนว่าใครเป็นผู้ค้นพบผลลัพธ์นั้นเป็นคนแรก แต่หากผลลัพธ์นั้นมีความสำคัญ มันอาจจะถูกบรรจุอยู่ในตำราเรียนในที่สุด ซึ่งในกรณีนั้นมันก็จะหยุดเป็นความรู้พื้นฐานไป

ผลลัพธ์หลายอย่างที่กล่าวถึงในบทความนี้ควรได้รับการพิจารณาว่าเป็น "ความรู้พื้นฐาน" เนื่องจากเป็นเพียงการกล่าวถึงแนวคิดที่รู้จักกันดีในหมู่นักวิจัยในสาขานี้ แต่อาจไม่ชัดเจนสำหรับผู้เริ่มต้น และเท่าที่ฉันทราบ ยังไม่มีการกล่าวถึงในที่อื่นใดมาก่อน

เป็นธรรมชาติ

คล้ายกับคำว่า "canonical" แต่มีความเฉพาะเจาะจงมากกว่า และหมายถึงคำอธิบาย (เกือบทั้งหมดในบริบทของการแปลง ) ซึ่งใช้ได้โดยไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกใดๆ แม้ว่าจะใช้กันอย่างไม่เป็นทางการมานานแล้ว แต่คำนี้ก็ได้รับการกำหนดความหมายอย่างเป็นทางการในทฤษฎีหมวดหมู่

พยาธิวิทยา

วัตถุจะแสดงพฤติกรรมผิดปกติ (หรือในความหมายที่กว้างกว่านั้นคือ พฤติกรรมที่เสื่อมถอย ) หากวัตถุนั้นไม่สอดคล้องกับพฤติกรรมทั่วไปของวัตถุประเภทดังกล่าว ไม่เป็นไปตามคุณสมบัติความสม่ำเสมอที่ขึ้นอยู่กับบริบท หรือไม่สอดคล้องกับสัญชาตญาณทางคณิตศาสตร์ในหลายกรณี สิ่งเหล่านี้อาจขัดแย้งกัน และมักจะเป็นเช่นนั้น ในขณะที่ในบางกรณี คำนี้ถูกใช้โดยเจตนาเพื่ออ้างถึงวัตถุที่ถูกสร้างขึ้นมาอย่างประดิษฐ์เพื่อเป็นตัวอย่างค้านต่อคุณสมบัติเหล่านี้ ตัวอย่างง่ายๆ คือ จากนิยามของสามเหลี่ยม ที่ มีมุมรวมกันได้πเรเดียน เส้นตรงเส้นเดียวจะสอดคล้องกับนิยามนี้อย่างผิดปกติ

ในช่วงครึ่งศตวรรษที่ผ่านมา เราได้เห็นการเกิดขึ้นของฟังก์ชัน แปลกประหลาดมากมาย ซึ่งดูเหมือนจะพยายามเลียนแบบฟังก์ชันที่ซื่อสัตย์ซึ่งมีจุดประสงค์บางอย่างให้น้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้...ยิ่งไปกว่านั้น จากมุมมองเชิงตรรกะ ฟังก์ชันแปลกประหลาดเหล่านี้กลับเป็นฟังก์ชันทั่วไปที่สุด...ในปัจจุบัน ฟังก์ชันเหล่านี้ถูกคิดค้นขึ้นมาโดยเฉพาะเพื่อหักล้างเหตุผลของบรรพบุรุษของเรา...

[ ฟังก์ชัน Dirichlet ] มีความสำคัญอย่างมาก...ในฐานะที่เป็นแรงจูงใจในการสร้างฟังก์ชันประเภทใหม่ที่มีคุณสมบัติแตกต่างไปจากสิ่งที่ดูเหมือนจะยอมรับได้โดยสัญชาตญาณอย่างสิ้นเชิง ตัวอย่างที่มีชื่อเสียงของฟังก์ชันที่เรียกว่า 'ผิดปกติ' ดังกล่าว...คือฟังก์ชันที่เสนอโดย Weierstrass ...ฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องแต่ไม่ สามารถ หาอนุพันธ์ ได้

โปรดสังเกตสำหรับคำกล่าวอ้างหลังสุดนั้นว่า เนื่องจากฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้นั้นมีจำนวนน้อยมากเมื่อเทียบกับฟังก์ชันต่อเนื่องอื่นๆ ดังที่บานาคค้นพบในปี 1931 ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้จึงมักเป็นข้อยกเว้นที่หายากในบรรดาฟังก์ชันต่อเนื่อง ดังนั้นจึงแทบไม่มีเหตุผลใดที่จะกล่าวอ้างอีกต่อไปว่าฟังก์ชันต่อเนื่องที่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้นั้นเป็นฟังก์ชันที่ผิดปกติ

ความเข้มงวด (rigour)

การกระทำที่พิสูจน์ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์โดยใช้ตรรกะที่ไม่อาจโต้แย้งได้ แทนที่จะใช้การให้เหตุผลเชิงพรรณนาแบบไม่เป็นทางการ ความเข้มงวดเป็นคุณลักษณะพื้นฐานของคณิตศาสตร์ และมีบทบาทสำคัญในการป้องกันไม่ให้คณิตศาสตร์เสื่อมถอยไปสู่ความผิดพลาดทางตรรกะ

ประพฤติดี

วัตถุจะถือว่ามีพฤติกรรมที่ดี (ตรงข้ามกับพฤติกรรมที่ผิดปกติ ) หากมันเป็นไปตามคุณสมบัติความสม่ำเสมอที่พบได้ทั่วไป หรือหากมันสอดคล้องกับสัญชาตญาณทางคณิตศาสตร์ (แม้ว่าสัญชาตญาณมักจะชี้ให้เห็นพฤติกรรมตรงกันข้ามก็ได้) ในบางโอกาส (เช่นการวิเคราะห์ ) คำว่า " เรียบ"ก็สามารถใช้เพื่อสื่อความหมายเดียวกันได้เช่นกัน

แม้ว่าในท้ายที่สุดแล้ว ข้อโต้แย้งทางคณิตศาสตร์ทุกข้อจะต้องมีความแม่นยำสูง แต่เหล่านักคณิตศาสตร์ก็ใช้คำอธิบายที่ไม่เป็นทางการเพื่ออธิบายประเด็นหรือแนวคิดที่เกิดขึ้นซ้ำๆ ซึ่งมักใช้คำอธิบายที่เป็นทางการที่ซับซ้อน โปรดสังเกตว่าคำศัพท์หลายคำนั้นมีความเข้มงวดอย่างสมบูรณ์ในบริบทนั้นๆ

เกือบทั้งหมด

คำย่อสำหรับ "ทั้งหมด ยกเว้นเซตที่ มี มาตรเป็นศูนย์ " เมื่อมี การกล่าวถึง มาตรโดยวลี " เกือบแน่นอน"และ " เกือบทุกที่ " มีความหมายที่เกี่ยวข้องกัน ตัวอย่างเช่น " จำนวนจริง เกือบทั้งหมด เป็น จำนวน อดิศัย " เพราะจำนวนจริงเชิงพีชคณิตเป็นเซตย่อยที่นับได้ ของจำนวนจริงที่มีมาตรเป็นศูนย์ นอกจากนี้ยังสามารถพูดได้ว่า " จำนวนเต็ม เกือบทั้งหมด" มีคุณสมบัติหมายถึง "ทั้งหมด ยกเว้นจำนวนจำกัด" แม้ว่าจำนวนเต็มเหล่านั้นจะไม่มีมาตรที่สอดคล้องกับการใช้งานก่อนหน้านี้ เช่น "จำนวนเฉพาะเกือบทั้งหมดเป็นจำนวนคี่ " นอกจากนี้ยังมีความหมายที่ซับซ้อนกว่าสำหรับจำนวนเต็ม ซึ่งจะกล่าวถึงในบทความหลัก สุดท้ายนี้ บางครั้งคำนี้ก็ใช้เป็นคำพ้องความหมายกับคำว่า"ทั่วไป"ด้านล่าง

ใหญ่ตามอำเภอใจ

แนวคิดที่เกิดขึ้นส่วนใหญ่ในบริบทของลิมิตโดยอ้างถึงการเกิดซ้ำของปรากฏการณ์เมื่อเข้าใกล้ลิมิต เช่น ประโยคที่ว่าเงื่อนไขPเป็นจริงได้ด้วยค่าที่มากเท่าใดก็ได้ สามารถแสดงในรูปแบบที่เป็นทางการมากขึ้นได้ด้วย∀ x  : ∃ y ≥ x  : P ( y )ดูเพิ่มเติมที่frequentlyประโยคที่ว่าปริมาณf ( x )ที่ขึ้นอยู่กับx "สามารถทำให้" มีค่ามากเท่าใดก็ได้ สอดคล้องกับ∀ y  : ∃ x  : f ( x ) ≥ y

โดยพลการ

คำย่อสำหรับตัวบ่งปริมาณสากลการเลือกโดยพลการ คือการเลือกที่ทำขึ้นโดยไม่มีข้อจำกัด หรืออีกนัยหนึ่ง ข้อความนั้นเป็นจริงสำหรับองค์ประกอบใดๆ ของเซต ถ้าข้อความนั้นเป็นจริงสำหรับองค์ประกอบใดๆ ของเซตนั้น นอกจากนี้ยังใช้กันอย่างแพร่หลายในภาษาทั่วไปในหมู่นักคณิตศาสตร์ เช่น "แน่นอน ปัญหานี้อาจมีความซับซ้อนได้ตามอำเภอใจ"

ในท้ายที่สุด

ในบริบทของลิมิต คำนี้มีความหมายโดยย่อว่า " สำหรับค่า x ที่มีขนาดใหญ่พอสมควร" โดยค่าที่เกี่ยวข้องนั้นแฝงอยู่ในบริบทอยู่แล้ว ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน log(log( x )) ในที่สุดจะมีค่ามากกว่า 100" ในบริบทนี้ "ในที่สุด" หมายถึง "สำหรับค่า x ที่มีขนาดใหญ่พอสมควร "

ปัจจัยผ่าน

คำศัพท์ในทฤษฎีหมวดหมู่ที่หมายถึงการประกอบกันของมอร์ฟิซึม ถ้าสำหรับวัตถุ สามชิ้น A , BและCแผนที่สามารถเขียนได้ในรูปการประกอบกันกับและแล้วfจะกล่าวได้ว่าประกอบกันผ่าน (และทั้งหมด) ของ, , และ${\displaystyle f\colon A\to C}$${\displaystyle f=h\circ g}$${\displaystyle g\colon A\to B}$${\displaystyle h\colon B\to C}$${\displaystyle B}$${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$

จำกัด

เมื่อกล่าวถึงค่าของตัวแปรที่รับค่าจากจำนวนจริงขยาย ที่ไม่เป็นลบ ความหมายโดยทั่วไปคือ "ไม่เป็นอนันต์" ตัวอย่างเช่น ถ้า กล่าว ว่าความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มมีค่าจำกัด นั่นหมายความว่ามันเป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ อาจจะเป็นศูนย์ ในบางบริบท เช่น ใน "แอมพลิจูดเล็กแต่มีค่าจำกัด" ศูนย์และค่าเล็กน้อยมาก ๆ จะต้องถูกยกเว้น เมื่อกล่าวถึงค่าของตัวแปรที่รับค่าจากจำนวนธรรมชาติขยายความหมายก็คือ "ไม่เป็นอนันต์" เมื่อกล่าวถึงเซตหรือวัตถุ ทางคณิตศาสตร์ ที่มีส่วนประกอบหลักเป็นเซต หมายความว่าจำนวนสมาชิกของเซตนั้นน้อยกว่า${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}\cup \{\infty \},}$${\displaystyle \mathbb {N} \cup \{\infty \},}$${\displaystyle \aleph _{0}}$

บ่อย

ในบริบทของลิมิต คำนี้เป็นคำย่อสำหรับอาร์กิวเมนต์ขนาดใหญ่ตามอำเภอใจและคำที่เกี่ยวข้อง เช่นเดียวกับคำ ว่า " ในที่สุด " ตัวแปรที่ต้องการจะสื่อนั้นแฝงอยู่ ตัวอย่างเช่นลำดับ มักจะอยู่ในช่วง (1/2, 3/2) เพราะมีค่าn ขนาดใหญ่ตามอำเภอใจ ที่ทำให้ค่าของลำดับอยู่ในช่วงนั้น${\displaystyle (-1)^{n}}$

เป็นทางการ อย่างเป็นทางการ

ใช้เพื่อระบุสิ่งใดก็ตามที่มีความแม่นยำเพียงพอที่จะแปลได้อย่างตรงไปตรงมาในระบบที่เป็นทางการตัวอย่างเช่นการพิสูจน์ที่เป็นทางการคำนิยามที่เป็นทางการ

ทั่วไป

คำนี้มีความหมายคล้ายคลึงกับคำว่า " เกือบทั้งหมด"แต่ใช้โดยเฉพาะกับแนวคิดที่อยู่นอกขอบเขตของทฤษฎีการวัดคุณสมบัติหนึ่งๆ จะเป็นจริง "โดยทั่วไป" บนเซตหนึ่งๆ ก็ต่อเมื่อเซตนั้นสอดคล้องกับแนวคิดเรื่องความหนาแน่นบางอย่าง (ขึ้นอยู่กับบริบท) หรืออาจจะถ้าส่วนเติมเต็ม ของเซตนั้น สอดคล้องกับแนวคิดเรื่องความเล็กบางอย่าง (ขึ้นอยู่กับบริบท) ตัวอย่างเช่น คุณสมบัติที่เป็นจริงบนเซตG _δ ที่หนาแน่น ( จุดตัด ของ เซตเปิดจำนวนนับได้) กล่าวได้ว่าเป็นจริงโดยทั่วไป ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตเรากล่าวว่าคุณสมบัติของจุดบน วาไร ตี้เชิงพีชคณิตที่เป็นจริงบน เซต เปิด Zariski ที่หนาแน่น นั้นเป็นจริงโดยทั่วไป อย่างไรก็ตาม โดยปกติแล้วจะไม่กล่าวว่าคุณสมบัติที่เป็นจริงเฉพาะบนเซตที่หนาแน่น (ซึ่งไม่ใช่เซตเปิด Zariski) นั้นเป็นคุณสมบัติทั่วไปในสถานการณ์นี้

โดยทั่วไป

ในบริบทเชิงพรรณนา วลีนี้ใช้เพื่ออธิบายลักษณะเฉพาะอย่างง่าย ๆ ของกลุ่มวัตถุ ขนาดใหญ่ โดยมุ่งเน้นไปที่การระบุหลักการที่เป็นเอกภาพ คำนี้ใช้เพื่ออธิบายลักษณะที่ "สง่างาม" ซึ่งใช้ได้กับวัตถุ " ใด ๆ " ก็ตาม ข้อยกเว้นของคำอธิบายนี้อาจกล่าวถึงอย่างชัดเจน เช่นกรณี " ผิดปกติ "

นอร์เบิร์ต เอแคมโปจากมหาวิทยาลัยบาเซิล เคยถามโกรเทนดีคเกี่ยวกับเรื่องที่เกี่ยวข้องกับทรงหลายเหลี่ยมเพลโต โกรเทนดีคแนะนำให้ระมัดระวัง เขาบอกว่าทรงหลายเหลี่ยมเพลโตนั้นสวยงามและพิเศษมาก จนเราไม่สามารถสันนิษฐานได้ว่าความสวยงามพิเศษเช่นนั้นจะคงอยู่ได้ในสถานการณ์ทั่วไป

ด้านซ้าย, ด้านขวา (LHS, RHS)

โดยส่วนใหญ่ คำเหล่านี้มักหมายถึงด้านซ้ายหรือด้านขวาของสมการเช่นมีด้านซ้าย (LHS) และ มี ด้านขวา (RHS) บางครั้ง คำเหล่านี้ก็ถูกใช้ในความหมายของค่า lและค่า r กล่าวคือ ด้านขวา (RHS) คือค่าดั้งเดิม และด้านซ้าย (LHS) คือค่าอนุพันธ์${\displaystyle x=y+1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y+1}$

ดี

โดยทั่วไปแล้ว วัตถุทางคณิตศาสตร์จะถูกเรียกว่า"ดี"หรือ"ดีพอ"หากมันตรงตามสมมติฐานหรือคุณสมบัติบางอย่าง ซึ่งบางครั้งอาจไม่ได้ระบุไว้หรือแม้แต่ไม่เป็นที่รู้จัก แต่เป็นสิ่งที่พึงปรารถนาเป็นพิเศษในบริบทที่กำหนด คำว่า "ดี" ในที่นี้เป็นคำตรงข้ามอย่างไม่เป็นทางการของคำว่า " ผิดปกติ " ตัวอย่างเช่น เราอาจตั้งสมมติฐานว่าตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ควรเป็นไปตามเงื่อนไขขอบเขตบางอย่าง "สำหรับฟังก์ชันทดสอบที่ดี" หรือเราอาจกล่าวว่าตัวแปรเชิงโทโพโลยี ที่น่าสนใจบางอย่าง ควรคำนวณได้ "สำหรับปริภูมิ ที่ดี X "

วัตถุ

สิ่งใดก็ตามที่สามารถกำหนดให้กับตัวแปรได้และสามารถพิจารณาความเท่าเทียม กับวัตถุอื่นได้ คำนี้ถูกบัญญัติขึ้นเมื่อเริ่มมีการใช้ตัวแปรสำหรับ เซตและโครงสร้างทางคณิตศาสตร์

บน

ฟังก์ชัน (ซึ่งในทางคณิตศาสตร์โดยทั่วไปนิยามว่าเป็นการแมปองค์ประกอบของเซตAไปยังองค์ประกอบของเซตB ) เรียกว่า " AบนB " (แทนที่จะเป็น " AไปยังB " หรือ " AลงในB ") ก็ต่อเมื่อเป็นฟังก์ชันทั่วถึง เท่านั้น อาจกล่าวได้ว่า " fเป็นฟังก์ชันทั่วถึง" (เช่น ฟังก์ชันทั่วถึง) ไม่สามารถแปล (โดยไม่ใช้คำอธิบายเพิ่มเติม) เป็นภาษาอื่นที่ไม่ใช่ภาษาอังกฤษได้

เหมาะสม

ถ้าหากว่าสำหรับแนวคิดเรื่องโครงสร้างย่อยบางอย่างวัตถุต่าง ๆเป็นโครงสร้างย่อยของตัวเอง (กล่าวคือ ความสัมพันธ์เป็นแบบสะท้อนกลับ ) แล้ว คุณสมบัติที่เหมาะสมจะต้องกำหนดให้วัตถุเหล่านั้นแตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น เซตย่อย ที่แท้จริงของเซตSคือเซตย่อยของSที่แตกต่างจากSและตัวหารที่แท้จริง ของจำนวนnคือตัวหารของnที่แตกต่างจากn คำ นี้ ซึ่งมีความหมาย หลากหลายก็ไม่ใช่ศัพท์เฉพาะทางสำหรับมอร์ฟิซึมที่แท้จริงด้วย

คุณสมบัติ

คุณลักษณะที่วัตถุทางคณิตศาสตร์อาจมีหรือไม่มี เช่น "เป็นบวก" คุณลักษณะมักแสดงด้วยสูตรและใช้ในการระบุเซตและเซตย่อย โดยทั่วไปจะใช้ สั ญกรณ์การสร้างเซต

ปกติ

ฟังก์ชันจะเรียกว่าเป็นฟังก์ชันปกติ (regular function) หากฟังก์ชันนั้นมีคุณสมบัติความต่อเนื่องและความสามารถในการหาอนุพันธ์ที่น่าพอใจ ซึ่งมักขึ้นอยู่กับบริบท คุณสมบัติเหล่านี้อาจรวมถึงการมีจำนวนอนุพันธ์ ที่กำหนดไว้ โดยที่ฟังก์ชันและอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นมี คุณสมบัติ ที่ดี บางอย่าง (ดูคำว่า niceด้านบน) เช่นความต่อเนื่องแบบ Hölderโดยทั่วไปแล้ว คำนี้บางครั้งใช้ในความหมายเดียวกับ คำว่า "เรียบ" (smooth) การใช้คำว่า"ปกติ" ที่ไม่แม่นยำเหล่านี้ ไม่ควรสับสนกับแนวคิดของปริภูมิเชิงทอพอโลยีปกติ (regular topological space)ซึ่งมีการนิยามไว้อย่างเข้มงวด

ตอบกลับ

(ตามลำดับ) ข้อตกลงในการย่อคำอธิบายคู่ขนาน " A (หรือB ) [มีความสัมพันธ์บางอย่างกับ] X (หรือY )" หมายความว่าA [มีความสัมพันธ์บางอย่างกับ] XและB [มีความสัมพันธ์ (แบบเดียวกัน) กับ] Yด้วย ตัวอย่างเช่นสี่เหลี่ยมจัตุรัส (หรือสามเหลี่ยม) มี 4 ด้าน (หรือ 3 ด้าน) หรือปริภูมิกระชับ (หรือปริภูมิLindelöf ) คือปริภูมิที่ทุกเซต เปิด ครอบคลุมมีเซตย่อยเปิดที่จำกัด (หรือนับได้)

คม

บ่อยครั้งที่ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์จะกำหนดข้อจำกัดเกี่ยวกับพฤติกรรมของวัตถุ บางอย่าง ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันจะแสดงให้เห็นว่ามีขอบเขตบนหรือล่างข้อจำกัดนั้นถือว่า"คม" (บางครั้งอาจเหมาะสมที่สุด ) หากไม่สามารถทำให้เข้มงวดมากขึ้นได้โดยไม่ทำให้เกิดข้อผิดพลาดในบางกรณี ตัวอย่างเช่น สำหรับจำนวนจริงที่ไม่เป็น ลบ x ใดๆฟังก์ชันเลขชี้กำลังe ^xโดยที่e  = 2.7182818... จะให้ขอบเขตบนของค่าของฟังก์ชันกำลังสองx²นี่ไม่ใช่ขอบเขตบนที่คม ช่องว่างระหว่างฟังก์ชันมีค่าอย่างน้อย 1 ทุกที่ ในบรรดาฟังก์ชันเลขชี้กำลังในรูปแบบ α ^{x การ}ตั้งค่า α =  e² ^{/ e}  = 2.0870652... จะทำให้ได้ขอบเขตบนที่คม การเลือก α = 2 ที่เล็กกว่าเล็กน้อยจะไม่ทำให้เกิดขอบเขตบน เนื่องจาก α³ ⁼  8 < ^3²ในสาขาประยุกต์ คำว่า "แน่น" มักใช้ในความหมายเดียวกัน^{[ 2 ]}

เรียบ

ความเรียบเป็นแนวคิดที่คณิตศาสตร์ได้赋予ความหมายมากมาย ตั้งแต่ความสามารถในการหาอนุพันธ์อย่างง่าย ไปจนถึงความสามารถในการหาอนุพันธ์อย่างไม่จำกัด ความเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์และความหมายอื่นๆ ที่ซับซ้อนกว่านั้น การใช้งานแต่ละแบบพยายามที่จะสื่อถึงแนวคิดเรื่องความเรียบที่เข้าใจได้ง่ายในเชิงกายภาพ

แข็งแกร่งขึ้น แข็งแกร่งกว่าเดิม

กล่าวกันว่าทฤษฎีบท หนึ่งนั้น แข็งแกร่งหากมันอนุมานผลลัพธ์ที่จำกัดจากสมมติฐานทั่วไป ตัวอย่างที่โด่งดังคือทฤษฎีบทของโดนัลด์สันซึ่งกำหนดข้อจำกัดที่เข้มงวดสำหรับสิ่งที่ดูเหมือนจะเป็นกลุ่มของแมนิโฟลด์ขนาดใหญ่ การใช้งาน (อย่างไม่เป็นทางการ) นี้สะท้อนความคิดเห็นของชุมชนคณิตศาสตร์: ทฤษฎีบทดังกล่าวไม่เพียงแต่ต้องแข็งแกร่งในแง่ของการอธิบาย (ด้านล่าง) แต่ยังต้องมีความแน่นอนในขอบเขตของมันด้วย ทฤษฎีบท ผลลัพธ์ หรือเงื่อนไขหนึ่งๆ จะถูกเรียกว่าแข็งแกร่งกว่าอีกทฤษฎีบทหนึ่ง หากสามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทที่สองได้ง่ายจากทฤษฎีบทแรก แต่ทำในทางกลับกันไม่ได้ ตัวอย่างเช่น ลำดับของทฤษฎีบท: ทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มาต์ทฤษฎีบทของออยเลอร์ ทฤษฎีบทของลากรองจ์ซึ่งแต่ละทฤษฎีบทแข็งแกร่งกว่าทฤษฎีบทก่อนหน้า อีกตัวอย่างหนึ่งคือ ขอบเขตบนที่คมชัด (ดูคำว่าคมชัดด้านบน) เป็นผลลัพธ์ที่แข็งแกร่งกว่าขอบเขตบนที่ไม่คมชัด สุดท้ายนี้ อาจเติมคำคุณศัพท์strongหรือคำวิเศษณ์strong ต่อท้ายแนวคิดทางคณิตศาสตร์เพื่อบ่งชี้ถึงแนวคิดที่แข็งแกร่งกว่าที่เกี่ยวข้อง ตัวอย่างเช่นstrong antichainคือantichainที่ตรงตามเงื่อนไขเพิ่มเติมบางประการ และในทำนองเดียวกันstrongly regular graphคือregular graphที่ตรงตามเงื่อนไขที่แข็งแกร่งกว่า เมื่อใช้ในลักษณะนี้ แนวคิดที่แข็งแกร่งกว่า (เช่น "strong antichain") จะเป็นคำศัพท์ทางเทคนิคที่มีความหมายที่กำหนดไว้อย่างแม่นยำ ลักษณะของเงื่อนไขเพิ่มเติมไม่สามารถอนุมานได้จากคำจำกัดความของแนวคิดที่อ่อนกว่า (เช่น "antichain")

ใหญ่พอเล็กพอ ใกล้พอ

ในบริบทของลิมิต คำเหล่านี้หมายถึงจุดบางจุด (ที่ไม่ระบุ หรือแม้แต่ไม่ทราบ) ที่ปรากฏการณ์เกิดขึ้นเมื่อเข้าใกล้ลิมิต ข้อความเช่นที่ว่า述語Pเป็นจริงสำหรับค่าที่มากพอ สามารถแสดงในรูปแบบที่เป็นทางการมากขึ้นได้โดย ∃ x  : ∀ y ≥ x  : P ( y ) ดูเพิ่มเติมที่eventuallyด้วย

ชั้นบน ชั้นล่าง

คำว่า "ชั้นบน" เป็นคำที่ใช้อธิบายรูปแบบการเขียน โดย วาง วัตถุ สองชิ้น ซ้อนกัน ชิ้นบนเรียกว่า " ชั้นบน " และชิ้นล่างเรียกว่า " ชั้นล่าง " ตัวอย่างเช่น ในกลุ่มเส้นใยพื้นที่ทั้งหมดมักเรียกว่า"ชั้นบน"และพื้นที่ฐาน เรียกว่า "ชั้นล่าง " ในเศษส่วน บางครั้ง ตัวเศษเรียกว่า " ชั้นบน " และตัวส่วนเรียก ว่า " ชั้นล่าง " เช่น "การนำพจน์ขึ้นไปชั้นบน"

สูงสุดถึงโมดูลัส หารด้วย

เป็นการขยายแนวคิดเรื่องเลขคณิตมอดูลา ร์ไปสู่การอภิปรายทางคณิตศาสตร์ ข้อความหนึ่งเป็นจริงได้ก็ต่อเมื่อการพิสูจน์เงื่อนไขนั้นเป็นอุปสรรคเพียงอย่างเดียวต่อความจริงของข้อความนั้น นอกจากนี้ยังใช้เมื่อทำงานกับสมาชิกของชั้นสมมูลโดยเฉพาะในทฤษฎีหมวดหมู่ซึ่งความสัมพันธ์สมมูลคือไอโซมอร์ฟิซึม (เชิงหมวดหมู่) ตัวอย่างเช่น "ผลคูณเทนเซอร์ในหมวดหมู่โมโนอิดัล แบบอ่อนนั้น มีคุณสมบัติการสลับที่และมีเอกลักษณ์จนถึงไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติ "

หายไป

เพื่อสมมติให้มีค่าเป็น 0 ตัวอย่างเช่น "ฟังก์ชัน sin( x ) จะมีค่าเป็นศูนย์สำหรับค่าxที่เป็นจำนวนเต็มเท่าของπ " หลักการนี้สามารถนำไปใช้กับลิมิตได้เช่นกัน ดู ที่หัวข้อ " มีค่าเป็นศูนย์ที่อนันต์ "

อ่อนแอ อ่อนแอลง

สิ่งที่ตรงกันข้ามกับความแข็งแกร่ง

กำหนดไว้อย่างชัดเจน

อธิบายหรือระบุอย่างถูกต้องและแม่นยำ ตัวอย่างเช่น บางครั้งคำจำกัดความขึ้นอยู่กับการเลือกวัตถุ บางอย่าง ผลลัพธ์ของคำจำกัดความนั้นจะต้องเป็นอิสระจากการเลือกนั้น

ภาษาทางการของการพิสูจน์นั้นดึงเอาแนวคิดจากกลุ่มแนวคิดเล็กๆ กลุ่มหนึ่งมาใช้ซ้ำๆ ซึ่งหลายแนวคิดนั้นถูกนำมาใช้ผ่านคำย่อต่างๆ ในทางปฏิบัติ

อะลิต

คำศัพท์ที่ล้าสมัยซึ่งใช้เพื่อแจ้งให้ผู้อ่านทราบถึงวิธีการทางเลือก หรือการพิสูจน์ผลลัพธ์ ในการพิสูจน์ คำนี้จึงใช้เพื่อชี้ให้เห็นถึงส่วนของเหตุผลที่เกินความจำเป็นจากมุมมองเชิงตรรกะ แต่มีความน่าสนใจในด้านอื่น ๆ

โดยวิธีการขัดแย้ง (BWOC) หรือ "เพราะถ้าไม่เช่นนั้น..."

คำเกริ่นนำเชิงวาทศิลป์ก่อนการพิสูจน์โดยการขัดแย้งซึ่งอยู่ก่อนการปฏิเสธข้อความที่ต้องการพิสูจน์

ก็ต่อเมื่อ (iff)

คำย่อของความสมมูลเชิงตรรกะของข้อความ

โดยทั่วไป

ในบริบทของการพิสูจน์ วลีนี้มักพบเห็นได้ใน ข้อโต้แย้ง แบบอุปนัยเมื่อเปลี่ยนจากกรณีพื้นฐานไปสู่ขั้นตอนการอุปนัย และในทำนองเดียวกัน ในนิยามของลำดับซึ่งแสดงพจน์แรก ๆ เป็นตัวอย่างของการให้สูตรที่แสดงพจน์ทุกพจน์ของลำดับนั้น

จำเป็นและเพียงพอ

รูปแบบย่อยของ "ถ้าและก็ต่อเมื่อ" คือ " Aเป็นเงื่อนไขที่จำเป็น ( และเพียงพอ ) สำหรับB " หมายความว่า " Aก็ต่อเมื่อ (ก็ต่อเมื่อ) B " ตัวอย่างเช่น "สำหรับฟิลด์Kที่จะเป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตจำเป็นและเพียงพอที่มันจะต้องไม่มีส่วนขยายฟิลด์ จำกัด " หมายความว่า " Kเป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตก็ต่อเมื่อมันไม่มีส่วนขยายจำกัด" มักใช้ในรายการ เช่น "เงื่อนไขต่อไปนี้เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับฟิลด์ที่จะเป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต..."

จำเป็นต้องแสดง (NTS), จำเป็นต้องพิสูจน์ (RTP), ต้องการแสดง, อยากจะแสดง (WTS)

บางครั้งการพิสูจน์จะดำเนินการโดยการระบุเงื่อนไขหลายประการ ซึ่งเมื่อรวมกันแล้วจะนำไปสู่ทฤษฎีบทที่ต้องการ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องแสดงเฉพาะข้อความเหล่านั้นเท่านั้น

หนึ่งเดียวเท่านั้น

คำกล่าวที่ยืนยันถึงการมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของวัตถุชิ้นหนึ่ง กล่าวคือ วัตถุชิ้นนั้นมีอยู่จริง และยิ่งไปกว่านั้น ไม่มีวัตถุอื่นใดที่มีลักษณะเช่นเดียวกันนี้อยู่

QED

( Quod erat demonstrandum ): คำย่อภาษาละติน หมายถึง "ซึ่งจะต้องได้รับการพิสูจน์" ซึ่งในอดีตมักใช้ต่อท้ายการพิสูจน์ แต่ปัจจุบันไม่ค่อยนิยมใช้แล้ว โดยถูกแทนที่ด้วยเครื่องหมาย Halmosซึ่งเป็นเครื่องหมายสี่เหลี่ยม ∎

ดีพอสมควร

เงื่อนไขเกี่ยวกับวัตถุที่อยู่ในขอบเขตของการอภิปราย ซึ่งจะระบุรายละเอียดในภายหลัง ที่จะรับประกันว่าคุณสมบัติที่ระบุไว้บางประการนั้นเป็นจริงสำหรับวัตถุเหล่านั้น เมื่อทำการพิสูจน์ทฤษฎีบท การใช้สำนวนนี้ในข้อความของทฤษฎีบทบ่งชี้ว่าเงื่อนไขที่เกี่ยวข้องอาจยังไม่เป็นที่รู้จักของผู้พูด และเจตนาคือการรวบรวมเงื่อนไขที่จะพบว่าจำเป็นสำหรับการพิสูจน์ทฤษฎีบทให้สำเร็จ

สิ่งต่อไปนี้เทียบเท่ากัน (TFAE)

บ่อยครั้งที่เงื่อนไขที่เทียบเท่ากันหลายเงื่อนไข (โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับคำนิยาม เช่นกลุ่มย่อยปกติ ) มีประโยชน์เท่าเทียมกันในทางปฏิบัติ โดยเราจะนำเสนอทฤษฎีบทที่ระบุความเท่าเทียมกันของข้อความมากกว่าสองข้อความด้วย TFAE

การเคลื่อนย้ายโครงสร้าง

บ่อยครั้งที่พบว่าวัตถุ สองชิ้น มีความเทียบเท่ากันในบางลักษณะ และชิ้นหนึ่งมีโครงสร้างเพิ่มเติม โดยใช้ความเทียบเท่านี้ เราอาจกำหนดโครงสร้างดังกล่าวบนวัตถุชิ้นที่สองได้เช่นกัน ผ่านการถ่ายทอดโครงสร้างตัวอย่างเช่น ปริภูมิเวกเตอร์สองปริภูมิ ที่ มีมิติเท่ากันจะเป็นไอโซมอร์ฟิกกันถ้าปริภูมิหนึ่งมีผลคูณภายในและถ้าเรากำหนดไอโซมอร์ฟิซึมเฉพาะเจาะจงแล้ว เราอาจกำหนดผลคูณภายในบนปริภูมิอีกปริภูมิหนึ่งได้โดยการแยกตัวประกอบผ่านไอโซมอร์ฟิซึมนั้น

ให้Vเป็นปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดเหนือk ....ให้ ( e _i ) _{1≤ i ≤ n}เป็นฐานสำหรับV ....มีการสมสัณฐานของพีชคณิตพหุนามk [ T _ij ] _{1≤ i , j ≤ n}ไปยังพีชคณิต Sym _k ( V  ⊗  V ^* )....ซึ่งขยายไปสู่การสมสัณฐานของk [ GL _n ] ไปยังพีชคณิตเฉพาะที่ Sym _k ( V  ⊗  V ^* ) _Dโดยที่D  = det( e _i  ⊗  e _j ^* )....เราเขียนk [ GL ( V )] สำหรับพีชคณิตสุดท้ายนี้ โดยการถ่ายทอดโครงสร้าง เราจะได้กลุ่มพีชคณิตเชิงเส้นGL ( V ) ที่สมสัณฐานกับGL _n

โดยไม่สูญเสียความเป็นทั่วไป (WLOG, WOLOG, WALOG) เราอาจสันนิษฐานได้ว่า (WMA)

บางครั้งการพิสูจน์ข้อเสนออาจทำได้ง่ายขึ้นด้วยการเพิ่มข้อสมมติเพิ่มเติมเกี่ยวกับวัตถุที่เกี่ยวข้อง หากข้อเสนอที่กล่าวมานั้นเป็นผลมาจากข้อเสนอที่แก้ไขแล้ว โดยมีคำอธิบายที่เรียบง่ายและน้อยที่สุด (ตัวอย่างเช่น หากกรณีพิเศษที่เหลือเหมือนกันทุกประการ ยกเว้นสัญลักษณ์) ข้อสมมติที่แก้ไขแล้วจะถูกนำมาใช้พร้อมกับวลีนี้ และข้อเสนอที่เปลี่ยนแปลงไปก็จะได้รับการพิสูจน์

นักคณิตศาสตร์มีวลีหลายคำที่ใช้อธิบายการพิสูจน์หรือเทคนิคการพิสูจน์ ซึ่งมักใช้เป็นคำแนะนำในการเติมรายละเอียดที่ยุ่งยาก

การไล่ล่ามุม

ใช้เพื่ออธิบายการพิสูจน์ทางเรขาคณิตที่เกี่ยวข้องกับการค้นหาความสัมพันธ์ระหว่างมุมต่างๆ ในแผนภาพ^{[ 3 ]}

การคำนวณแบบคร่าวๆ

เป็นการคำนวณแบบไม่เป็นทางการที่ละเว้นความเข้มงวดหลายอย่างโดยไม่ลดทอนความถูกต้อง มักเป็นการคำนวณเพื่อ " พิสูจน์แนวคิด " และพิจารณาเฉพาะกรณีพิเศษที่เข้าถึงได้เท่านั้น

ใช้กำลังดุร้าย

แทนที่จะค้นหาหลักการหรือรูปแบบพื้นฐาน วิธีนี้จะใช้วิธีการประเมินกรณีต่างๆ มากเท่าที่จำเป็น เพื่อพิสูจน์หรือให้หลักฐานที่น่าเชื่อถือว่าสิ่งที่กำลังกล่าวถึงนั้นเป็นจริง บางครั้งอาจเกี่ยวข้องกับการประเมินทุกกรณีที่เป็นไปได้ (ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าการพิสูจน์โดยการครอบคลุม ทุกกรณี )

โดยยกตัวอย่าง

การพิสูจน์โดยใช้ตัวอย่างคือการให้เหตุผลที่ไม่ได้พิสูจน์ข้อความโดยตรง แต่ใช้ตัวอย่างมาอธิบายแทน หากทำได้ดี ตัวอย่างเฉพาะนั้นก็จะสามารถขยายไปสู่การพิสูจน์ทั่วไปได้อย่างง่ายดาย

โดยการตรวจสอบ

เป็นวิธีลัดทางวาทศิลป์ที่ผู้เขียนใช้เพื่อเชิญชวนให้ผู้อ่านตรวจสอบความถูกต้องของนิพจน์หรือข้อสรุปที่เสนอโดยสังเขป หากนิพจน์ใดสามารถประเมินได้โดยการใช้เทคนิคอย่างง่าย ๆ โดยไม่ต้องอาศัยการคำนวณที่ซับซ้อนหรือทฤษฎีทั่วไป ก็สามารถประเมินได้โดยการตรวจสอบวิธีการนี้ยังใช้ในการแก้สมการด้วย เช่น การหาคำตอบของสมการกำลังสองโดยการตรวจสอบ คือการ "สังเกต" หรือตรวจสอบในใจ คำว่า "โดยการตรวจสอบ" สามารถมีบทบาทในลักษณะของการมองเห็นภาพรวมได้ กล่าวคือ คำตอบหรือวิธีแก้ปัญหาจะลงตัวโดยอัตโนมัติ

โดยการข่มขู่

รูปแบบการพิสูจน์ที่ผู้เขียนเชื่อว่าข้ออ้างสามารถตรวจสอบได้ง่ายกลับถูกระบุว่าเป็น 'ชัดเจน' หรือ 'เล็กน้อย' ซึ่งมักส่งผลให้ผู้อ่านสับสน

ชัดเจน สามารถแสดงให้เห็นได้ง่าย

เป็นคำที่ใช้ย่อขั้นตอนการคำนวณที่นักคณิตศาสตร์มองว่าน่าเบื่อหรือซ้ำซากจำเจ ซึ่งบุคคลทั่วไปที่มีความรู้ความเชี่ยวชาญในสาขานั้นสามารถเข้าใจได้ลาปลาซใช้คำว่า "ชัดเจน" ( ภาษาฝรั่งเศส : évident )

สัญชาตญาณที่สมบูรณ์

โดยทั่วไปมักใช้สำหรับเรื่องตลก (การเล่นคำเกี่ยวกับการเหนี่ยวนำอย่างสมบูรณ์ )

การไล่ตามแผนภาพ

^{[ 4 ]}เมื่อกำหนดแผนภาพสลับตำแหน่งของวัตถุและมอร์ฟิซึมระหว่างวัตถุเหล่านั้น หากต้องการพิสูจน์คุณสมบัติบางอย่างของมอร์ฟิซึม (เช่นความเป็นหนึ่งเดียว) ซึ่งสามารถระบุได้ในแง่ขององค์ประกอบการพิสูจน์สามารถดำเนินไปได้โดยการติดตามเส้นทางขององค์ประกอบของวัตถุต่างๆ รอบแผนภาพในขณะที่มอร์ฟิซึมที่ต่อเนื่องกันถูกนำไปใช้กับแผนภาพนั้น กล่าวคือการติดตามองค์ประกอบรอบแผนภาพ หรือตามแผนภาพ

โบกมือ

เป็นวิธีการพิสูจน์ที่ไม่ใช่เทคนิคทางการพิสูจน์ โดยส่วนใหญ่ใช้ในการบรรยาย ซึ่งไม่จำเป็นต้องใช้การให้เหตุผลอย่างเป็นทางการ วิธีการนี้ดำเนินไปโดยการละเว้นรายละเอียดหรือแม้แต่ส่วนประกอบที่สำคัญ และเป็นเพียงการให้เหตุผลที่น่าเชื่อถือเท่านั้น

โดยทั่วไป

ในบริบทที่ไม่ต้องการความเข้มงวดทางตรรกะ วลีนี้มักปรากฏขึ้นเพื่อประหยัดแรงงาน เมื่อรายละเอียดทางเทคนิคของการโต้แย้งอย่างสมบูรณ์จะมากกว่าประโยชน์เชิงแนวคิด ผู้เขียนให้การพิสูจน์ในกรณีที่ง่ายพอที่การคำนวณจะสมเหตุสมผล แล้วระบุว่า "โดยทั่วไป" การพิสูจน์นั้นคล้ายคลึงกัน

การต่อสู้ดัชนี

สำหรับการพิสูจน์ที่เกี่ยวข้องกับวัตถุที่มีดัชนีหลายตัว ซึ่งสามารถแก้ไขได้โดยการไล่ดูจากด้านล่าง (หากใครต้องการลงมือทำ) คล้ายกับการไล่ตามแผนภาพ

ถูกต้องตามหลักศีลธรรม

ใช้เพื่อบ่งชี้ว่าผู้พูดเชื่อว่าข้อความนั้นน่าจะเป็นจริง โดยพิจารณาจากประสบการณ์ทางคณิตศาสตร์ของตน แม้ว่าจะยังไม่มีการพิสูจน์อย่างเป็นทางการก็ตาม ในอีกรูปแบบหนึ่ง ข้อความนั้นอาจเป็นเท็จ แต่เป็นเพียงสโลแกนหรือตัวอย่างประกอบหลักการที่ถูกต้อง หลักการ ท้องถิ่น-สากลของฮัสเซ่เป็นตัวอย่างที่มีอิทธิพลอย่างมากในเรื่องนี้

อย่างชัดเจน

มองเห็นได้ชัดเจน

ส่วนการพิสูจน์นั้น ขอให้ผู้อ่านลองทำเอง

โดยทั่วไปจะใช้กับข้ออ้างภายในหลักฐานที่ใหญ่กว่า เมื่อหลักฐานของข้ออ้างนั้นสามารถแสดงออกมาได้เป็นประจำโดยสมาชิกคนใดก็ได้ในกลุ่มผู้ฟังที่มีความเชี่ยวชาญที่จำเป็น แต่ก็ไม่ได้ง่ายจนเห็นได้ชัดเจน

เรื่องเล็กน้อย

คล้ายกับคำว่า"ชัดเจน " แนวคิดหนึ่งจะเรียกว่า "ไม่สำคัญ" ถ้ามันเป็นจริงตามคำนิยาม เป็นผลลัพธ์ โดยตรง จากข้อความที่ทราบอยู่แล้ว หรือเป็นกรณีพิเศษง่ายๆ ของแนวคิดที่ทั่วไปกว่า

ส่วนนี้รวบรวมคำศัพท์ที่ใช้ในสาขาต่างๆ ของคณิตศาสตร์หรือคำศัพท์ที่ไม่ค่อยปรากฏในพจนานุกรมเฉพาะทางอื่นๆ สำหรับคำศัพท์ที่ใช้เฉพาะในสาขาคณิตศาสตร์บางสาขาเท่านั้น โปรดดูพจนานุกรมในหมวด หมู่: พจนานุกรมคณิตศาสตร์

ไบนารี

ความสัมพันธ์ทวิภาค คือเซตของคู่ลำดับ กล่าวคือสมาชิกx จะมีความสัมพันธ์กับสมาชิก yก็ต่อเมื่อ( x , y )อยู่ในเซตนั้น

การติดต่อสื่อสาร

ความสัมพันธ์จากเซตAไปยังเซตBคือเซตย่อยของผลคูณคาร์ทีเซียนA × Bกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นความสัมพันธ์ทวิภาค แต่มีการระบุเซตแวดล้อมAและBที่ใช้ในการนิยามด้วย

แผนภาพ

ภาพแสดงความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรต่างๆ

การทำงาน

ฟังก์ชันf: A → Bคือสามสิ่งเรียงลำดับ( A, B, f )ที่ประกอบด้วยเซตA, Bและเซตย่อยfของผลคูณคาร์ทีเซียนA × B โดยมีเงื่อนไขว่า( a, b ), ( a, b ′) ∈ fหมายความว่าb = b ′ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็น ความสัมพันธ์แบบพิเศษชนิดหนึ่งโดยที่เมื่อกำหนดสมาชิกaของAแล้ว จะมีสมาชิกbของB เพียงตัวเดียว ที่สอดคล้องกับสมาชิก a นั้น

พื้นฐาน

คำว่า "พื้นฐาน" ใช้เพื่ออธิบายทฤษฎีบทในสาขาคณิตศาสตร์ที่กำหนด ซึ่งถือว่าเป็นทฤษฎีบทที่สำคัญที่สุดในสาขานั้น ๆ (เช่นทฤษฎีบทพื้นฐานทางเลขคณิตสำหรับวิชาเลขคณิต )

คงที่

ค่าคงที่ของวัตถุหรือปริภูมิ คือ คุณสมบัติหรือตัวเลขของวัตถุหรือปริภูมิที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงบางอย่าง

แผนที่

คำว่า "แผนที่" (maps ) เป็นคำพ้องความหมายสำหรับฟังก์ชันระหว่างเซตหรือมอร์ฟิซึมในหมวดหมู่ ขึ้นอยู่กับผู้เขียน คำว่า "แผนที่" หรือคำว่า "ฟังก์ชัน" อาจสงวนไว้สำหรับฟังก์ชันหรือมอร์ฟิซึมประเภทเฉพาะ (เช่น ฟังก์ชันในเชิงวิเคราะห์ และแผนที่ในเชิงทั่วไป)

คณิตศาสตร์

ดูคณิตศาสตร์​

หลายค่า

ฟังก์ชันหลายค่าจากเซตAไปยังเซตBคือฟังก์ชันจากAไปยังเซตย่อยของBโดยทั่วไปจะมีคุณสมบัติว่า สำหรับจุดx เกือบทั้งหมด ในBจะมีบริเวณใกล้เคียงของxซึ่งการจำกัดฟังก์ชันให้อยู่ในบริเวณใกล้เคียงนั้น สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นเซตของฟังก์ชันจากบริเวณใกล้เคียงไปยังB

การฉายภาพ

โดยคร่าวๆ แล้ว การฉายภาพ (projection)คือแผนที่จากพื้นที่หรือวัตถุหนึ่งไปยังอีกพื้นที่หรือวัตถุหนึ่ง โดยละเว้นข้อมูลบางส่วนเกี่ยวกับวัตถุหรือพื้นที่นั้น ตัวอย่างเช่นเป็นการฉายภาพ และการจำกัดการฉายภาพนี้ให้อยู่บนกราฟของฟังก์ชัน ก็เป็นการฉายภาพเช่นกัน คำว่า “ ตัวดำเนินการเอกลักษณ์” ( idempotent operator ) และ “ แผนที่ลืมข้อมูล” (forgetful map ) ก็เป็นคำพ้องความหมายของการฉายภาพด้วย${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,(x,y)\mapsto x}$

โครงสร้าง

โครงสร้างทางคณิตศาสตร์บนวัตถุ คือชุดของวัตถุหรือข้อมูลเพิ่มเติมที่แนบมากับวัตถุนั้น (เช่น ความสัมพันธ์ การดำเนินการ เมตริก โทโพโลยี)

• อภิธานศัพท์สาขาคณิตศาสตร์
• รายการค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์
• รายชื่อสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์
• หมวดหมู่: ศัพท์ทางคณิตศาสตร์

• สารานุกรมคณิตศาสตร์