K-stability is defined by analogy with the Hilbert–Mumford criterion from finite-dimensional geometric invariant theory. This theory describes the stability of points on polarised varieties, whereas K-stability concerns the stability of the polarised variety itself.

The Hilbert–Mumford criterion shows that to test the stability of a point ${\displaystyle x}$ in a projective algebraic variety ${\displaystyle X\subset \mathbb {CP} ^{N}}$ under the action of a reductive algebraic group${\displaystyle G\subset \operatorname {GL} (N+1,\mathbb {C} )}$, it is enough to consider the one parameter subgroups (1-PS) of ${\displaystyle G}$. To proceed, one takes a 1-PS of ${\displaystyle G}$, say ${\displaystyle \lambda$ :\mathbb {C} ^{*}\hookrightarrow G} , and looks at the limiting point

${\displaystyle x_{0}=\lim _{t\to 0}\lambda (t)\cdot x.}$

This is a fixed point of the action of the 1-PS ${\displaystyle \lambda }$, and so the line over ${\displaystyle x}$ in the affine space${\displaystyle \mathbb {C} ^{N+1}}$ is preserved by the action of ${\displaystyle \lambda }$. An action of the multiplicative group ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$บน ปริภูมิเวกเตอร์หนึ่งมิติมาพร้อมกับน้ำหนักซึ่งเป็นจำนวนเต็มที่เรากำหนดให้เป็น${\displaystyle \mu (x,\lambda )}$โดยมีคุณสมบัติที่ว่า

${\displaystyle \lambda (t)\cdot {\tilde {x}}=t^{\mu (x,\lambda )}{\tilde {x}}}$

สำหรับใดๆ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ในเส้นใยเหนือ${\displaystyle x_{0}}$เกณฑ์ฮิลเบิร์ต-มัมฟอร์ดกล่าวว่า:

• ประเด็น${\displaystyle x}$มีเสถียรภาพกึ่งเสถียรหาก${\displaystyle \mu (x,\lambda )\leq 0}$สำหรับ 1-PS ทั้งหมด${\displaystyle \lambda <G}$.
• ประเด็น${\displaystyle x}$จะมีเสถียรภาพหาก${\displaystyle \mu (x,\lambda )<0}$สำหรับ 1-PS ทั้งหมด${\displaystyle \lambda <G}$.
• ประเด็น${\displaystyle x}$จะไม่เสถียรหาก${\displaystyle \mu (x,\lambda )>0}$สำหรับ 1-PS ใดๆ${\displaystyle \lambda <G}$.

หากต้องการกำหนดนิยามของความเสถียรสำหรับวาไรตี้ เกณฑ์ของฮิลเบิร์ต-มัมฟอร์ดจึงเสนอว่าการพิจารณาการเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์เดียวของวาไรตี้ก็เพียงพอแล้ว ซึ่งนำไปสู่แนวคิดของโครงสร้างทดสอบ

การกำหนดค่าทดสอบสำหรับพันธุ์ที่มีขั้ว${\displaystyle (X,L)}$เป็นคู่${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ที่ไหน${\displaystyle {\mathcal {X}}}$เป็นโครงร่างที่มีมอร์ฟิซึมแบบแบน${\displaystyle \pi$ :{\mathcal {X}}\to \mathbb {C} } และ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$เป็นกลุ่มเส้นที่ค่อนข้างกว้างขวางสำหรับมอร์ฟิซึม${\displaystyle \pi }$โดยที่:

1. สำหรับทุกๆ${\displaystyle t\in \mathbb {C} }$พหุนามฮิลเบิร์ตของไฟเบอร์${\displaystyle ({\mathcal {X}}_{t},{\mathcal {L}}_{t})}$เท่ากับพหุนามฮิลเบิร์ต${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)}$ของ${\displaystyle (X,L)}$นี่เป็นผลมาจากความเรียบของ${\displaystyle \pi }$.
2. มีการกระทำของ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$เกี่ยวกับครอบครัว${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ครอบคลุมการดำเนินการมาตรฐานของ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$บน${\displaystyle \mathbb {C} }$.
3. สำหรับทุกคน (และทุกๆ คน)${\displaystyle t\in \mathbb {C} ^{*}}$,${\displaystyle ({\mathcal {X}}_{t},{\mathcal {L}}_{t})\cong (X,L)}$ในฐานะพันธุ์ที่มีขั้ว โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่ออยู่ห่างจาก${\displaystyle 0\in \mathbb {C} }$ครอบครัวนี้เป็นเรื่องเล็กน้อย:${\displaystyle ({\mathcal {X}}_{t\neq 0},{\mathcal {L}}_{t\neq 0})\cong (X\times \mathbb {C} ^{*},\operatorname {pr} _{1}^{*}L)}$ที่ไหน${\displaystyle \operatorname {pr} _{1}:X\times \mathbb {C} ^{*}\to X}$คือการฉายภาพลงบนปัจจัยแรก

เรากล่าวว่าการกำหนดค่าการทดสอบ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$เป็นการกำหนดค่าผลิตภัณฑ์หาก${\displaystyle {\mathcal {X}}\cong X\times \mathbb {C} }$และการกำหนดค่าที่ไม่สำคัญหาก${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$การดำเนินการเกี่ยวกับ${\displaystyle {\mathcal {X}}\cong X\times \mathbb {C} }$เป็นเรื่องเล็กน้อยเมื่อพิจารณาจากปัจจัยแรก

ในการกำหนดแนวคิดเรื่องความเสถียรในลักษณะเดียวกับเกณฑ์ของฮิลเบิร์ต-มัมฟอร์ด จำเป็นต้องมีแนวคิดเรื่องน้ำหนัก${\displaystyle \mu ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$บนเส้นใย${\displaystyle 0}$ของการกำหนดค่าการทดสอบ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\to \mathbb {C} }$สำหรับพันธุ์ที่มีขั้ว${\displaystyle (X,L)}$ตามคำจำกัดความ ครอบครัวนี้มาพร้อมกับการกระทำของ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ครอบคลุมการกระทำบนฐาน และดังนั้นเส้นใยของการกำหนดค่าการทดสอบจึงครอบคลุม${\displaystyle 0\in \mathbb {C} }$ถูกกำหนดไว้แล้ว นั่นคือ เรามีการกระทำของ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$บนเส้นใยกลาง${\displaystyle ({\mathcal {X}}_{0},{\mathcal {L}}_{0})}$โดยทั่วไปแล้ว เส้นใยกลางนี้ไม่เรียบ หรือแม้แต่มีความหลากหลาย มีหลายวิธีในการกำหนดน้ำหนักบนเส้นใยกลาง คำจำกัดความแรกกำหนดโดยใช้ตัวแปรฟูทากิแบบทั่วไปเวอร์ชันของ Ding-Tian ^{[ 1 ]}คำจำกัดความนี้เป็นเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และเกี่ยวข้องโดยตรงกับปัญหาการมีอยู่จริงในเรขาคณิต Kähler คำจำกัดความเชิงพีชคณิตกำหนดโดยใช้ตัวแปร Donaldson-Futaki และน้ำหนัก CM ที่กำหนดโดยสูตรการตัดกัน

ตามนิยามแล้ว การกระทำของ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ในแผนการแบ่งขั้วนั้นมาพร้อมกับการกระทำของ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$บนมัดเส้นที่กว้างขวาง${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}}$และด้วยเหตุนี้จึงก่อให้เกิดการกระทำต่อปริภูมิเวกเตอร์${\displaystyle H^{0}({\mathcal {X}}_{0},{\mathcal {L}}_{0}^{k})}$สำหรับจำนวนเต็มทั้งหมด${\displaystyle k\geq 0}$การกระทำของ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$บนปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อน${\displaystyle V}$ทำให้เกิดการแยกส่วนผลรวมโดยตรง${\displaystyle V=V_{1}\oplus \cdots \oplus V_{n}}$เข้าไปในช่องว่างน้ำหนักโดยที่แต่ละช่อง${\displaystyle V_{i}}$เป็นปริภูมิย่อยหนึ่งมิติของ${\displaystyle V}$และการกระทำของ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$เมื่อถูกจำกัดไว้${\displaystyle V_{i}}$มีน้ำหนัก${\displaystyle w_{i}}$กำหนดให้น้ำหนักรวมของการกระทำเป็นจำนวนเต็ม${\displaystyle w=w_{1}+\cdots +w_{n}}$นี่เท่ากับน้ำหนักของการกระทำที่เกิดขึ้น${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$บนปริภูมิเวกเตอร์หนึ่งมิติ${\textstyle \bigwedge ^{n}V}$ที่ไหน${\displaystyle n=\dim V}$.

กำหนดฟังก์ชันน้ำหนักของการกำหนดค่าการทดสอบ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$เพื่อเป็นฟังก์ชัน${\displaystyle w(k)}$ที่ไหน${\displaystyle w(k)}$คือน้ำหนักรวมของ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$การกระทำบนปริภูมิเวกเตอร์${\displaystyle H^{0}({\mathcal {X}}_{0},{\mathcal {L}}_{0}^{k})}$สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบแต่ละจำนวน${\displaystyle k\geq 0}$ในขณะที่ฟังก์ชันนั้น${\displaystyle w(k)}$ไม่ใช่พหุนามโดยทั่วไป มันกลายเป็นพหุนามดีกรี${\displaystyle n+1}$สำหรับทุกคน${\displaystyle k>k_{0}\gg 0}$สำหรับจำนวนเต็มคงที่บางค่า${\displaystyle k_{0}}$, ที่ไหน${\displaystyle n=\dim X}$สิ่งนี้สามารถเห็นได้โดยใช้ทฤษฎีบทรีมันน์-รอชแบบสมมาตร โปรดจำไว้ว่าพหุนามฮิลเบิร์ต${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)}$ตรงตามความเท่าเทียมกัน${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)=\dim H^{0}(X,L^{k})=\dim H^{0}({\mathcal {X}}_{0},{\mathcal {L}}_{0}^{k})}$สำหรับทุกคน${\displaystyle k>k_{1}\gg 0}$สำหรับจำนวนเต็มคงที่บางค่า${\displaystyle k_{1}}$และเป็นพหุนามดีกรี${\displaystyle n}$สำหรับเรื่องดังกล่าว${\displaystyle k\gg 0}$ให้เราเขียนกันเถอะ

${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)=a_{0}k^{n}+a_{1}k^{n-1}+O(k^{n-2}),\quad w(k)=b_{0}k^{n+1}+b_{1}k^{n}+O(k^{n-1}).}$

ค่าคง ที่โดนัลด์สัน-ฟุตากิของการกำหนดค่าการทดสอบ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$เป็นจำนวนตรรกยะ

${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})={\frac {b_{0}a_{1}-b_{1}a_{0}}{a_{0}^{2}}}.}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})=-f_{1}}$ที่ไหน${\displaystyle f_{1}}$เป็นพจน์อันดับแรกในการขยาย

${\displaystyle {\frac {w(k)}{k{\mathcal {P}}(k)}}=f_{0}+f_{1}k^{-1}+O(k^{-2}).}$

ค่าคงที่ของ Donaldson-Futaki จะไม่เปลี่ยนแปลงหาก${\displaystyle L}$ถูกแทนที่ด้วยพลังงานบวก${\displaystyle L^{r}}$ดังนั้นในเอกสารทางวิชาการจึงมักมีการกล่าวถึงเสถียรภาพ K โดยใช้${\displaystyle \mathbb {Q} }$- มัดเส้น

เป็นไปได้ที่จะอธิบายค่าคงที่ Donaldson-Futaki ในแง่ของทฤษฎีการตัดกันและนี่คือแนวทางที่ Tian ใช้ในการกำหนดน้ำหนัก CM ^{[ 1 ]}การกำหนดค่าทดสอบใดๆ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ยอมรับการอัดแน่นตามธรรมชาติ${\displaystyle ({\bar {\mathcal {X}}},{\bar {\mathcal {L}}})}$เกิน${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$(เช่น ดู^{[ 16 ] [ 17 ]} ) จากนั้นน้ำหนัก CM จะถูกกำหนดโดย

${\displaystyle CM({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})={\frac {1}{2(n+1)\cdot L^{n}}}\left(\mu \cdot n{({\bar {\mathcal {L}}})}^{n+1}+(n+1){K}_{{\bar {\mathcal {X}}}/{\mathbb {P} }^{1}}\cdot {({\bar {\mathcal {L}}})}^{n}\right)}$

ที่ไหน${\displaystyle \mu =-{\frac {L^{n-1}\cdot K_{X}}{L^{n}}}}$นิยามนี้โดยใช้สูตรการตัดกัน มักถูกนำมาใช้ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตในปัจจุบัน

เป็นที่ทราบกันว่า${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$สอดคล้องกับ${\displaystyle \operatorname {CM} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ดังนั้นเราจึงสามารถรับน้ำหนักได้${\displaystyle \mu ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$จะเป็นอย่างใดอย่างหนึ่ง${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$หรือ${\displaystyle \operatorname {CM} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$น้ำหนัก${\displaystyle \mu ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$สามารถแสดงได้ในรูปของฟอร์ม Chow และไฮเปอร์ดิสคริมิแนนท์^{[ 18 ]} ในกรณีของแมนิโฟลด์ Fano มีการตีความน้ำหนักในแง่ของสิ่งใหม่${\displaystyle \beta }$-ไม่เปลี่ยนแปลงตามการประเมินค่าที่พบโดย Chi Li ^{[ 19 ]}และ Kento Fujita ^{[ 20 ]}

ในการกำหนด K-stability เราจำเป็นต้องยกเว้นการกำหนดค่าทดสอบบางอย่างก่อน ในตอนแรกมีการสันนิษฐานว่าควรเพิกเฉยต่อการกำหนดค่าทดสอบที่ไม่สำคัญตามที่กำหนดไว้ข้างต้น ซึ่งค่าคงที่ Donaldson-Futaki จะเป็นศูนย์เสมอ แต่ Li และ Xu พบว่าจำเป็นต้องระมัดระวังมากขึ้นในการกำหนด^{[ 21 ] [ 22 ]}วิธีที่สง่างามวิธีหนึ่งในการกำหนด K-stability คือวิธีที่Székelyhidi ใช้ โดยใช้บรรทัดฐานของการกำหนดค่าทดสอบ ซึ่งเราจะอธิบายก่อน^{[ 23 ]}

สำหรับการกำหนดค่าทดสอบ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$กำหนดบรรทัดฐานดังต่อไปนี้ ให้${\displaystyle A_{k}}$เป็น ตัวสร้าง อนันต์ของ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$การกระทำบนปริภูมิเวกเตอร์${\displaystyle H^{0}(X,L^{k})}$. แล้ว${\displaystyle \operatorname {Tr} (A_{k})=w(k)}$ในทำนองเดียวกันกับพหุนาม${\displaystyle w(k)}$และ${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)}$ฟังก์ชัน${\displaystyle \operatorname {Tr} (A_{k}^{2})}$เป็นพหุนามสำหรับจำนวนเต็มที่มากพอ${\displaystyle k}$ในกรณีของระดับนี้${\displaystyle n+2}$ให้เราเขียนการขยายความดังนี้

${\displaystyle \operatorname {Tr} (A_{k}^{2})=c_{0}k^{n+2}+O(k^{n+1}).}$

มาตรฐาน ของการกำหนด ค่าการทดสอบถูกกำหนดโดยนิพจน์

${\displaystyle \|({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\|^{2}=c_{0}-{\frac {b_{0}^{2}}{a_{0}}}.}$

ตามหลักการเปรียบเทียบกับเกณฑ์ของฮิลเบิร์ต-มัมฟอร์ด เมื่อเข้าใจถึงการเสียรูป (การกำหนดค่าทดสอบ) และน้ำหนักบนเส้นใยกลาง (ค่าคงที่ของโดนัลด์สัน-ฟูทากิ) แล้ว ก็สามารถกำหนดเงื่อนไขความเสถียรที่เรียกว่าความเสถียรแบบ Kได้

อนุญาต${\displaystyle (X,L)}$เป็นวาไรตี้พีชคณิตแบบโพลาไรซ์ เรากล่าวว่า${\displaystyle (X,L)}$เป็น:

• K-กึ่งเสถียรถ้า${\displaystyle \operatorname {\mu } ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\geq 0}$สำหรับการกำหนดค่าการทดสอบทั้งหมด${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$สำหรับ${\displaystyle (X,L)}$.
• K-เสถียรถ้า${\displaystyle \operatorname {\mu } ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\geq 0}$สำหรับการกำหนดค่าการทดสอบทั้งหมด${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$สำหรับ${\displaystyle (X,L)}$และนอกจากนี้${\displaystyle \operatorname {\mu } ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})>0}$เมื่อใดก็ตาม${\displaystyle \|({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\|>0}$.
• K-polystableถ้า${\displaystyle (X,L)}$เป็น K-semistable และนอกจากนี้เมื่อใดก็ตามที่${\displaystyle \operatorname {\mu } ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})=0}$การกำหนดค่าการทดสอบ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$เป็นการกำหนดค่าผลิตภัณฑ์
• K-unstableถ้าไม่ใช่ K-semistable

คาดว่าสมมติฐานของ Yau–Tian–Donaldson จะสามารถนำไปใช้กับเมตริก cscK ทั่วไปบนวาไรตี้โพลาไรซ์เรียบใดๆ ได้ ในความเป็นจริง สมมติฐานของ Yau–Tian–Donaldson อ้างอิงถึงการตั้งค่าทั่วไปนี้ โดยกรณีของแมนิโฟลด์ Fano เป็นกรณีพิเศษ ซึ่ง Yau และ Tian ได้ตั้งสมมติฐานไว้ก่อนหน้านี้ Donaldson ได้ต่อยอดจากสมมติฐานของ Yau และ Tian จากกรณีของ Fano หลังจากที่เขาได้นำเสนอคำจำกัดความของ K-stability สำหรับวาไรตี้โพลาไรซ์ใดๆ^{[ 2 ]}

ข้อสันนิษฐานของ Yau–Tian–Donaldson สำหรับเมตริกความโค้งสเกลาร์คงที่ : วาไรตี้โพลาไรซ์เรียบ${\displaystyle (X,L)}$ยอมรับเมตริกคาห์เลอร์ที่มีความโค้งสเกลาร์คงที่ในคลาสของ${\displaystyle c_{1}(L)}$ก็ต่อเมื่อคู่ดังกล่าว${\displaystyle (X,L)}$เป็น K-polystable

ดังที่ได้กล่าวไว้ ข้อสันนิษฐานของ Yau–Tian–Donaldson ได้รับการแก้ไขในบริบทของ Fano แล้ว Donaldson ได้พิสูจน์ในปี 2009 ว่าข้อสันนิษฐานของ Yau–Tian–Donaldson เป็นจริงสำหรับวาไรตี้ทอริกที่มีมิติเชิงซ้อน 2 ^{[ 37 ] [ 38 ] [ 39 ]}สำหรับวาไรตี้โพลาไรซ์ใดๆ Stoppa ได้พิสูจน์โดยใช้ผลงานของ Arezzo และ Pacard เช่นกันว่าการมีอยู่ของเมตริก cscK บ่งบอกถึง K-polystability ^{[ 40 ] [ 41 ]}ในแง่หนึ่ง นี่คือทิศทางที่ง่ายของข้อสันนิษฐาน เนื่องจากสมมติว่ามีคำตอบสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่ยาก และได้ผลลัพธ์ทางพีชคณิตที่ค่อนข้างง่าย ความท้าทายที่สำคัญคือการพิสูจน์ทิศทางตรงกันข้าม นั่นคือเงื่อนไขทางพีชคณิตล้วนๆ บ่งบอกถึงการมีอยู่ของคำตอบสำหรับ PDE

เป็นที่ทราบกันมาตั้งแต่ผลงานดั้งเดิมของPierre DeligneและDavid Mumfordว่าเส้นโค้งพีชคณิต เรียบ มีเสถียรภาพเชิงอะซิมโทติกในแง่ของทฤษฎีตัวแปรทางเรขาคณิต และโดยเฉพาะอย่างยิ่งว่ามีเสถียรภาพแบบ K ^{[ 42 ]}ในบริบทนี้ ข้อสันนิษฐานของ Yau–Tian–Donaldson เทียบเท่ากับทฤษฎีบทการทำให้เป็นเอกรูปกล่าวคือ เส้นโค้งเรียบทุกเส้นยอมรับเมตริก Kähler–Einstein ที่มีความโค้งสเกลาร์คงที่${\displaystyle +1}$ในกรณีของเส้นตรงเชิงโปรเจกทีฟ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$,${\displaystyle 0}$ในกรณีของเส้นโค้งวงรีหรือ${\displaystyle -1}$ในกรณีของพื้นผิวรีมันน์ขนาดกะทัดรัดที่มีจีนัส${\displaystyle g>1}$.

สภาพแวดล้อมที่${\displaystyle L=-K_{X}}$เพียงพอแล้วเพื่อให้${\displaystyle X}$แมนิโฟลด์ฟาโนมีความสำคัญเป็นพิเศษ และในบริบทนั้นมีเครื่องมือมากมายที่ใช้ในการตรวจสอบเสถียรภาพ K ของวาไรตี้ฟาโน ตัวอย่างเช่น การใช้เทคนิคทางพีชคณิตล้วนๆ สามารถพิสูจน์ได้ว่าไฮเปอร์เซอร์เฟซของเฟอร์มาต์ทั้งหมด

${\displaystyle F_{n,d}=\{z\in \mathbb {CP} ^{n+1}\mid z_{0}^{d}+\cdots z_{n+1}^{d}=0\}\subset \mathbb {CP} ^{n+1}}$

เป็นพันธุ์ Fano ที่เสถียร K สำหรับ${\displaystyle 3\leq d\leq n+1}$[ ^{43 ] [ 44 ] [ 45 ]​}

ความเสถียรของ K ได้รับการแนะนำครั้งแรกโดย Donaldson ในบริบทของวาไรตี้ทอริก [ ^{2 ] ใน}การตั้งค่าทอริก คำจำกัดความที่ซับซ้อนหลายอย่างของความเสถียรของ K สามารถลดรูปให้เหลือเพียงข้อมูลบนโพลีโทปโมเมนต์ได้${\displaystyle P}$ของชนิดทอริกแบบโพลาไรซ์${\displaystyle (X_{P},L_{P})}$ก่อนอื่นเป็นที่ทราบกันว่าในการทดสอบเสถียรภาพ K นั้น เพียงพอที่จะพิจารณาการกำหนดค่าทดสอบแบบทอริกซึ่งปริภูมิทั้งหมดของการกำหนดค่าทดสอบก็เป็นวาไรตีแบบทอริกเช่นกัน การกำหนดค่าทดสอบแบบทอริกใดๆ ก็ตามสามารถอธิบายได้อย่างสวยงามด้วยฟังก์ชันนูนบนโพลีโทปโมเมนต์ และโดนัลด์สันได้กำหนดเสถียรภาพ K สำหรับฟังก์ชันนูนดังกล่าวไว้แต่เดิม หากการกำหนดค่าทดสอบแบบทอริก${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$สำหรับ${\displaystyle (X_{P},L_{P})}$กำหนดโดยฟังก์ชันนูน${\displaystyle f}$บน${\displaystyle P}$ดังนั้นค่าคงที่ของ Donaldson-Futaki สามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})={\frac {1}{2}}{\mathcal {L}}(f)={\frac {1}{2}}\left(\int _{\partial P}f\,d\sigma -a\int _{P}f\,d\mu \right),}$

ที่ไหน${\displaystyle d\mu }$ค่าการวัดของเลเบสก์คือค่าบน${\displaystyle P}$,${\displaystyle d\sigma }$คือการวัดมาตรฐานบนขอบเขตของ${\displaystyle P}$เกิดขึ้นจากคำอธิบายว่าเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมโมเมนต์ (ถ้าขอบของ${\displaystyle P}$กำหนดโดยอสมการเชิงเส้น${\displaystyle h(x)\leq a}$สำหรับฟังก์ชันเชิงเส้นแอฟฟิน h บางตัวบน${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ถ้าสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มแล้ว${\displaystyle d\mu =\pm dh\wedge d\sigma }$), และ${\displaystyle a=\operatorname {Vol} (\partial P,d\sigma )/\operatorname {Vol} (P,d\mu )}$นอกจากนี้ มาตรฐานของการกำหนดค่าการทดสอบยังสามารถกำหนดได้โดย

${\displaystyle \left\|({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\right\|=\left\|f-{\bar {f}}\right\|_{L^{2}},}$

ที่ไหน${\displaystyle {\bar {f}}}$คือค่าเฉลี่ยของ${\displaystyle f}$บน${\displaystyle P}$ในส่วนที่เกี่ยวกับ${\displaystyle d\mu }$.

โดนัลด์สันได้แสดงให้เห็นว่า สำหรับพื้นผิวทอริก การทดสอบฟังก์ชันนูนที่มีรูปแบบเรียบง่ายเป็นพิเศษก็เพียงพอแล้ว เรากล่าวว่าฟังก์ชันนูนบน${\displaystyle P}$เรียกว่าเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นแบบแบ่งช่วงถ้าสามารถเขียนให้อยู่ในรูปค่าสูงสุดได้${\displaystyle f=\max(h_{1},\dots ,h_{n})}$สำหรับฟังก์ชันเชิงเส้นแอฟฟินบางประเภท${\displaystyle h_{1},\dots ,h_{n}}$โปรดสังเกตว่าตามนิยามของค่าคงที่${\displaystyle a}$ตัวแปรคงที่ของโดนัลด์สัน-ฟุตากิ${\displaystyle {\mathcal {L}}(f)}$จะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การบวกฟังก์ชันเชิงเส้นแอฟฟิน ดังนั้นเราจึงสามารถเลือกหนึ่งในนั้นได้เสมอ${\displaystyle h_{i}}$ให้เป็นฟังก์ชันคงที่${\displaystyle 0}$เรากล่าวว่าฟังก์ชันนูนเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นแบบแบ่งส่วนอย่างง่ายหากเป็นฟังก์ชันที่มีค่าสูงสุดระหว่างสองฟังก์ชัน และดังนั้นจึงกำหนดโดย${\displaystyle f=\max(0,h)}$สำหรับฟังก์ชันเชิงเส้นแอฟฟินบางฟังก์ชัน${\displaystyle h}$และเป็นเชิงเส้นแบบแบ่งส่วนเชิงตรรกะอย่างง่ายถ้า${\displaystyle h}$มีสัมประสิทธิ์เชิงตรรกะ ดอนัลด์สันแสดงให้เห็นว่าสำหรับพื้นผิวทอริก การทดสอบเสถียรภาพ K โดยใช้ฟังก์ชันเชิงเส้นแบบแบ่งส่วนเชิงตรรกะอย่างง่ายก็เพียงพอแล้ว ผลลัพธ์ดังกล่าวมีประสิทธิภาพมาก เนื่องจากสามารถคำนวณค่าคงที่ของดอนัลด์สัน-ฟูทากิของการกำหนดค่าทดสอบอย่างง่ายดังกล่าวได้อย่างง่ายดาย และด้วยเหตุนี้จึงสามารถกำหนดได้ด้วยวิธีการคำนวณว่าพื้นผิวทอริกที่กำหนดมีเสถียรภาพ K หรือไม่

ตัวอย่างหนึ่งของแมนิโฟลด์ที่ไม่เสถียรแบบ K คือพื้นผิวทอริก${\displaystyle \mathbb {F} _{1}=\operatorname {Bl} _{0}\mathbb {CP} ^{2}}$พื้นผิว Hirzebruchแรกซึ่งเป็นการขยายระนาบเชิงซ้อนแบบโปรเจคทีฟที่จุดหนึ่ง โดยสัมพันธ์กับโพลาไรเซชันที่กำหนดโดย${\textstyle L={\frac {1}{2}}(\pi ^{*}{\mathcal {O}}(2)-E)}$, ที่ไหน${\displaystyle \pi$ :\mathbb {F} _{1}\to \mathbb {CP} ^{2}} คือการระเบิดและ${\displaystyle E}$ตัวหารพิเศษ

มาตรการ${\displaystyle d\sigma }$บนพื้นผิวขอบแนวนอนและแนวตั้งของรูปทรงหลายเหลี่ยมนั้นเป็นเพียง${\displaystyle dx}$และ${\displaystyle dy}$บนพื้นผิวแนวทแยง${\displaystyle x+y=2}$การวัดนี้กำหนดโดย${\displaystyle (dx-dy)/2}$พิจารณาฟังก์ชันนูน${\displaystyle f(x,y)=x+y}$บนรูปทรงหลายเหลี่ยมนี้ จากนั้น

${\displaystyle \int _{P}f\,d\mu ={\frac {11}{6}},\qquad \int _{\partial P}f\,d\sigma =6,}$

และ

${\displaystyle \operatorname {Vol} (P,d\mu )={\frac {3}{2}},\qquad \operatorname {Vol} (\partial P,d\sigma )=5,}$

ดังนั้น

${\displaystyle {\mathcal {L}}(f)=6-{\frac {55}{9}}=-{\frac {1}{9}}<0,}$

และด้วยเหตุนี้ พื้นผิว Hirzebruch แรกจึงเกิดขึ้น${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$คือ K-unstable

เสถียรภาพ K เกิดขึ้นจากความคล้ายคลึงกับเกณฑ์ของฮิลเบิร์ต-มัมฟอร์ดสำหรับทฤษฎีตัวแปรทางเรขาคณิตในมิติจำกัด เป็นไปได้ที่จะใช้ทฤษฎีตัวแปรทางเรขาคณิตโดยตรงเพื่อหาแนวคิดอื่นๆ เกี่ยวกับเสถียรภาพสำหรับวาไรตี้ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับเสถียรภาพ K

ลองใช้พันธุ์ที่มีขั้วดู${\displaystyle (X,L)}$ด้วยพหุนามฮิลเบิร์ต${\displaystyle {\mathcal {P}}}$และแก้ไข${\displaystyle r>0}$โดยที่${\displaystyle L^{r}}$กว้างขวางมากโดยมีโคฮอโมโลยีระดับสูงที่หายไป คู่${\displaystyle (X,L^{r})}$จากนั้นสามารถระบุจุดในแผนผังฮิลเบิร์ตของแผนผังย่อยของ${\displaystyle \mathbb {P} ^{{\mathcal {P}}(r)-1}}$ด้วยพหุนามฮิลเบิร์ต${\displaystyle {\mathcal {P}}'(K)={\mathcal {P}}(Kr)}$.

แผนผังฮิลเบิร์ตนี้สามารถฝังลงในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟได้ในฐานะแผนผังย่อยของกราสส์มันน์ (ซึ่งเป็นเชิงโปรเจกทีฟผ่านการฝังแบบพลือกเกอร์ ) กลุ่มเชิงเส้นทั่วไป${\displaystyle \operatorname {GL} ({\mathcal {P}}(r),\mathbb {C} )}$การกระทำนี้เกิดขึ้นบนโครงร่างฮิลเบิร์ต และจุดสองจุดในโครงร่างฮิลเบิร์ตจะเทียบเท่ากันก็ต่อเมื่อวาไรตี้โพลาไรซ์ที่สอดคล้องกันนั้นเป็นไอโซมอร์ฟิกกัน ดังนั้นจึงสามารถใช้ทฤษฎีตัวแปรทางเรขาคณิตสำหรับการกระทำของกลุ่มนี้เพื่อให้ได้แนวคิดเรื่องความเสถียร การสร้างนี้ขึ้นอยู่กับการเลือก${\displaystyle r>0}$ดังนั้นจึงกล่าวได้ว่าวาไรตี้แบบโพลาไรซ์มีเสถียรภาพแบบฮิลเบิร์ตเชิงอะซิมโทติกหากมีเสถียรภาพเมื่อเทียบกับการฝังตัวนี้สำหรับทุก ๆ${\displaystyle r>r_{0}\gg 0}$มีขนาดใหญ่พอสมควร สำหรับค่าคงที่บางค่า${\displaystyle r_{0}}$.

มีการฝังตัวเชิงโปรเจคทีฟอีกแบบหนึ่งของฮิลเบิร์ตสกีมที่เรียกว่าการฝังตัวแบบโชว์ ซึ่งให้การแปลงเชิงเส้นที่แตกต่างกันของฮิลเบิร์ตสกีม และด้วยเหตุนี้จึงมีเงื่อนไขเสถียรภาพที่แตกต่างกัน ดังนั้นจึงสามารถกำหนดเสถียรภาพแบบโชว์เชิงอะซิมโทติก ได้ในทำนองเดียวกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งน้ำหนักแบบโชว์สำหรับค่าคงที่${\displaystyle r>0}$สามารถคำนวณได้ดังนี้

${\displaystyle \operatorname {Chow} _{r}({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})={\frac {rb_{0}}{a_{0}}}-{\frac {w(r)}{{\mathcal {P}}(r)}}}$

สำหรับ${\displaystyle r}$มีขนาดใหญ่เพียงพอ^{[ 46 ]}ต่างจากค่าคงที่ Donaldson-Futaki น้ำหนัก Chow จะเปลี่ยนแปลงหากมัดเส้น${\displaystyle L}$ถูกแทนที่ด้วยพลังงานบางอย่าง${\displaystyle L^{k}}$อย่างไรก็ตาม จากการแสดงออกนั้น

${\displaystyle \operatorname {Chow} _{rk}({\mathcal {X}},{\mathcal {L^{k}}})={\frac {krb_{0}}{a_{0}}}-{\frac {w(kr)}{{\mathcal {P}}(kr)}}}$

สังเกตได้ว่า

${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})=\lim _{k\to \infty }\operatorname {Chow} _{rk}({\mathcal {X}},{\mathcal {L^{k}}}),}$

ดังนั้น เสถียรภาพ K จึงเป็นขีดจำกัดของเสถียรภาพ Chow ในแง่หนึ่ง เมื่อพิจารณาจากมิติของปริภูมิเชิงฉาย${\displaystyle X}$ฝังตัวอยู่ในการเข้าใกล้ค่าอนันต์

เราอาจกำหนดนิยามของภาวะกึ่งเสถียรแบบ Chow เชิงอะซิมโทติกและภาวะกึ่งเสถียรแบบ Hilbert เชิงอะซิมโทติกได้ในทำนองเดียวกัน และแนวคิดต่างๆ เกี่ยวกับความเสถียรมีความสัมพันธ์กันดังนี้:

เสถียรภาพของ Chow ในระยะอสิมโทติก${\displaystyle \implies }$มีเสถียรภาพแบบฮิลเบิร์ตเชิงอะซิมโทติก${\displaystyle \implies }$เสถียรแบบฮิลเบิร์ตเชิงอะซิมโทติก${\displaystyle \implies }$เสถียรภาพกึ่งเสถียรของ Chow เชิงอะซิมโทติก${\displaystyle \implies }$เค-กึ่งเสถียร

อย่างไรก็ตาม ยังไม่เป็นที่ทราบแน่ชัดว่าเสถียรภาพ K หมายถึงเสถียรภาพ Chow แบบอะซิมโทติกหรือไม่^{[ 47 ]}

เดิมที Yau ได้ทำนายไว้ว่า แนวคิดที่ถูกต้องเกี่ยวกับเสถียรภาพสำหรับวาไรตี้ควรจะคล้ายคลึงกับเสถียรภาพของความลาดชันสำหรับกลุ่มเวกเตอร์ Julius Ross และRichard Thomasได้พัฒนาทฤษฎีเสถียรภาพของความลาดชันสำหรับวาไรตี้ ซึ่งรู้จักกันในชื่อเสถียรภาพ K ของความลาดชัน Ross และ Thomas ได้แสดงให้เห็นว่า การกำหนดค่าทดสอบใดๆ นั้นได้มาจากการขยายวาไรตี้ให้ใหญ่ขึ้นเป็นหลัก${\displaystyle X\times \mathbb {C} }$ตามลำดับของ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$อุดมคติที่ไม่เปลี่ยนแปลง รองรับบนไฟเบอร์กลาง^{[ 47 ]}ผลลัพธ์นี้เป็นผลมาจากเดวิด มัมฟอร์ดเป็นหลัก^{[ 48 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การกำหนดค่าการทดสอบทุกแบบจะถูกครอบงำด้วยการระเบิดของ${\displaystyle X\times \mathbb {C} }$ตามอุดมคติของรูปแบบ

${\displaystyle I=I_{0}+tI_{1}+t^{2}I_{2}+\cdots +t^{r-1}I_{r-1}+(t^{r})\subset {\mathcal {O}}_{X}\otimes \mathbb {C} [t],}$

ที่ไหน${\displaystyle t}$คือพิกัดบน${\displaystyle \mathbb {C} }$โดยการยึดมั่นในอุดมคตินี้ เทียบเท่ากับการขยายขอบเขตไปตามธงของแผนย่อยต่างๆ

${\displaystyle Z_{r-1}\subset \cdots \subset Z_{2}\subset Z_{1}\subset Z_{0}\subset X}$

ภายในสำเนา${\displaystyle X\times \{0\}}$ของ${\displaystyle X}$การแยกส่วนนี้ได้มาจากการแยกส่วนพื้นที่น้ำหนักของอุดมคติไม่เปลี่ยนแปลงเป็นหลัก${\displaystyle I}$ภายใต้${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$การกระทำ.

ในกรณีพิเศษที่แฟล็กของซับสกีมนี้มีความยาวหนึ่ง ค่าคงที่ของโดนัลด์สัน-ฟุตากิสามารถคำนวณได้ง่าย และจะได้ความเสถียรแบบ K-stability เมื่อกำหนดซับสกีมแล้ว${\displaystyle Z\subset X}$กำหนดโดยชีฟในอุดมคติ${\displaystyle I_{Z}}$การกำหนดค่าการทดสอบกำหนดโดย

${\displaystyle {\mathcal {X}}=\operatorname {Bl} _{Z\times \{0\}}(X\times \mathbb {C} ),}$

ซึ่งเป็นการเสียรูปของกรวยปกติของการฝังตัว${\displaystyle Z\hookrightarrow X}$.

หากเป็นพันธุ์ต่างๆ${\displaystyle X}$มีพหุนามฮิลเบิร์ต${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)=a_{0}k^{n}+a_{1}k^{n-1}+O(k^{n-2})}$กำหนดความชันของ${\displaystyle X}$จะเป็น

${\displaystyle \mu (X)={\frac {a_{1}}{a_{0}}}.}$

เพื่อกำหนดความชันของแผนย่อย${\displaystyle Z}$พิจารณาพหุนามฮิลเบิร์ต-ซามูเอลของสับสกีม${\displaystyle Z}$,

${\displaystyle \chi (L^{r}\otimes I_{Z}^{xr})=a_{0}(x)r^{n}+a_{1}(x)r^{n-1}+O(r^{n-2}),}$

สำหรับ${\displaystyle r\gg 0}$และ${\displaystyle x}$จำนวนตรรกยะเช่นนั้น${\displaystyle xr\in \mathbb {N} }$สัมประสิทธิ์${\displaystyle a_{i}(x)}$เป็นพหุนามใน${\displaystyle x}$ของปริญญา${\displaystyle n-i}$และความชัน K ของ${\displaystyle I_{Z}}$ในส่วนที่เกี่ยวกับ${\displaystyle c}$ถูกกำหนดโดย

${\displaystyle \mu _{c}(I_{Z})={\frac {\int _{0}^{c}{\big (}a_{1}(x)+{\frac {a_{0}'(x)}{2}}{\big )}\,dx}{\int _{0}^{c}a_{0}(x)\,dx}}.}$

คำจำกัดความนี้สมเหตุสมผลสำหรับการเลือกจำนวนจริงใดๆ ก็ตาม${\displaystyle c\in (0,\epsilon (Z)]}$ที่ไหน${\displaystyle \epsilon (Z)}$คือค่าคงที่ Seshadriของ${\displaystyle Z}$โปรดสังเกตว่าการนำ${\displaystyle Z=\emptyset }$เรากู้คืนความชันของ${\displaystyle X}$ทั้งคู่${\displaystyle (X,L)}$ความชัน K-กึ่งเสถียรถ้าสำหรับสับสคีมที่เหมาะสมทั้งหมด${\displaystyle Z\subset X}$,${\displaystyle \mu _{c}(I_{Z})\leq \mu (X)}$สำหรับทุกคน${\displaystyle c\in (0,\epsilon (Z)]}$(นอกจากนี้ เรายังสามารถกำหนดความเสถียรของความชัน Kและความเสถียรหลายค่าของความชัน Kได้โดยการกำหนดให้ความไม่เท่าเทียมกันนี้เป็นแบบเข้มงวด พร้อมด้วยเงื่อนไขทางเทคนิคเพิ่มเติมบางประการ)

Ross และ Thomas ได้แสดงให้เห็นว่า K-semistability หมายถึง slope K-semistability ^{[ 49 ]}อย่างไรก็ตาม ต่างจากกรณีของเวกเตอร์บันเดิล ความชัน K-stability ไม่ได้หมายถึง K-stability เสมอไป ในกรณีของเวกเตอร์บันเดิล การพิจารณาเพียงซับชีฟเดี่ยวก็เพียงพอแล้ว แต่สำหรับวาไรตี้ จำเป็นต้องพิจารณาแฟล็กที่มีความยาวมากกว่าหนึ่งด้วย ถึงกระนั้น ความชัน K-stability ก็ยังสามารถใช้เพื่อระบุวาไรตี้ K-unstable ได้ และด้วยเหตุนี้ จากผลลัพธ์ของ Stoppa จึงทำให้เกิดอุปสรรคต่อการมีอยู่ของเมตริก cscK ตัวอย่างเช่น Ross และ Thomas ใช้ความชัน K-stability เพื่อแสดงว่าการสร้างโปรเจคทีฟของเวกเตอร์บันเดิลที่ไม่เสถียรเหนือฐาน K-stable นั้น K-unstable และดังนั้นจึงไม่มีเมตริก cscK นี่เป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับผลลัพธ์ของ Hong ซึ่งแสดงให้เห็นว่าการสร้างโปรเจคทีฟของบันเดิลที่เสถียรเหนือฐานที่มีเมตริก cscK นั้นก็มีเมตริก cscK เช่นกัน และดังนั้นจึงเป็น K-stable ^{[ 50 ]}

งานของ Apostolov–Calderbank–Gauduchon–Tønnesen-Friedman แสดงให้เห็นถึงการมีอยู่ของแมนิโฟลด์ที่ไม่ยอมรับเมตริกสุดขั้วใดๆ แต่ดูเหมือนว่าจะไม่เกิดความไม่เสถียรจากการกำหนดค่าทดสอบใดๆ^{[ 51 ]}สิ่งนี้ชี้ให้เห็นว่าคำจำกัดความของ K-stability ตามที่ระบุไว้ที่นี่อาจไม่แม่นยำเพียงพอที่จะบ่งชี้ถึงสมมติฐาน Yau–Tian–Donaldson โดยทั่วไป อย่างไรก็ตาม ตัวอย่างนี้ไม่เสถียรจากขีดจำกัดของการกำหนดค่าทดสอบ สิ่งนี้ได้รับการทำให้แม่นยำยิ่งขึ้นโดยSzékelyhidiผู้ซึ่งแนะนำfiltration K-stability [ ^{46 ] [ 23 ] การ}กรองในที่นี้คือการกรองของวงแหวนพิกัด

${\displaystyle R=\bigoplus _{k\geq 0}H^{0}(X,L^{k})}$

ของชนิดที่มีขั้ว${\displaystyle (X,L)}$การกรองที่พิจารณาจะต้องสอดคล้องกับการจัดระดับบนวงแหวนพิกัดในความหมายดังต่อไปนี้: การกรอง${\displaystyle \chi }$ของ${\displaystyle R}$เป็นสายโซ่ของปริภูมิย่อยที่มีมิติจำกัด

${\displaystyle \mathbb {C} =F_{0}R\subset F_{1}R\subset F_{2}R\subset \dots \subset R}$

โดยที่เงื่อนไขต่อไปนี้ต้องเป็นจริง:

1. การกรองเป็นแบบทวีคูณกล่าวคือ${\displaystyle (F_{i}R)(F_{j}R)\subset F_{i+j}R}$สำหรับทุกคน${\displaystyle i,j\geq 0}$.
2. ระบบการกรองเข้ากันได้กับการจัดระดับบน${\displaystyle R}$มาจากชิ้นส่วนที่ได้รับการจัดเกรด${\displaystyle R_{k}=H^{0}(X,L^{k})}$นั่นคือ ถ้า${\displaystyle f\in F_{i}R}$จากนั้นชิ้นส่วนที่เป็นเนื้อเดียวกันแต่ละชิ้นของ${\displaystyle f}$อยู่ใน${\displaystyle F_{i}R}$.
3. ระบบกรองไอเสีย${\displaystyle R}$นั่นคือ เรามี${\displaystyle \bigcup _{i\geq 0}F_{i}R=R}$.

เมื่อกำหนดตัวกรองแล้ว${\displaystyle \chi }$พีชคณิตรีส์ของมันถูกกำหนดโดย

${\displaystyle \operatorname {Rees} (\chi )=\bigoplus _{i\geq 0}(F_{i}R)t^{i}\subset R[t].}$

เรากล่าวว่าการกรองถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัดหากพีชคณิตรีสของมันถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัด เดวิด วิทท์ นีสตรอม ได้พิสูจน์แล้วว่าการกรองถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัดก็ต่อเมื่อมันเกิดขึ้นจากการกำหนดค่าทดสอบ และเซเกลีฮิดีได้พิสูจน์แล้วว่าการกรองใดๆ ก็ตามเป็นลิมิตของการกรองที่ถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัด^{[ 52 ]}เมื่อรวมผลลัพธ์เหล่านี้ เซเกลีฮิดีสังเกตว่าตัวอย่างของอโพสโตลอฟ-คาลเดอร์แบงก์-เกาดูชง-ทอนเนเซน-ฟรีดแมนจะไม่ละเมิดสมมติฐานของเยา-เทียน-โดนัลด์สัน หากความเสถียร K ถูกแทนที่ด้วยความเสถียร K ของการกรอง สิ่งนี้ชี้ให้เห็นว่าคำจำกัดความของความเสถียร K อาจจำเป็นต้องได้รับการแก้ไขเพื่อพิจารณาตัวอย่างจำกัดเหล่านี้