ในทางฟิสิกส์ปริภูมิเวลาหรือที่เรียกว่าปริภูมิเวลาต่อเนื่องคือแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่หลอมรวมมิติสามมิติของอวกาศและมิติเดียวของเวลา เข้าเป็น ปริภูมิเวลาต่อเนื่องสี่มิติเดียวแผนภาพปริภูมิเวลามีประโยชน์ในการแสดงภาพและทำความเข้าใจ ผลกระทบ เชิงสัมพัทธภาพเช่น วิธีที่ผู้สังเกตการณ์ต่างกันรับรู้ตำแหน่งและเวลาที่เหตุการณ์เกิดขึ้น

จนกระทั่งถึงช่วงต้นศตวรรษที่ 20 สมมติฐานก็คือว่า เรขาคณิตสามมิติของจักรวาล (การอธิบายในแง่ของตำแหน่ง รูปร่าง ระยะทาง และทิศทาง) นั้นแตกต่างจากเวลา (การวัดว่าเหตุการณ์ต่างๆ เกิดขึ้นเมื่อใดภายในจักรวาล) อย่างไรก็ตามอวกาศและเวลาได้มีความหมายใหม่ขึ้นมาด้วยการแปลงลอเรนซ์และทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ

ในปี ค.ศ. 1908 เฮอร์มันน์ มินคอฟสกีได้นำเสนอ การตีความ เชิงเรขาคณิตของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ ซึ่งหลอมรวมเวลาและมิติเชิงพื้นที่ทั้งสามมิติเข้าเป็นเอกภาพในมิติต่อเนื่องสี่มิติ ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อปริภูมิมินคอฟ สกี การตีความนี้พิสูจน์แล้วว่ามีความสำคัญอย่างยิ่งต่อทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปซึ่งระบุว่ากาลอวกาศโค้งงอเนื่องจากมวลและพลังงาน

กลศาสตร์คลาสสิกที่ไม่เกี่ยวข้องกับสัมพัทธภาพถือว่าเวลาเป็นปริมาณการวัดสากลที่มีความสม่ำเสมอทั่วทั้งระบบ แยกออกจากพื้นที่ และเป็นที่ยอมรับของผู้สังเกตการณ์ทุกคน กลศาสตร์คลาสสิกถือว่าเวลามีอัตราการผ่านไปคงที่ โดยไม่ขึ้นอยู่กับสถานะการเคลื่อนที่ของผู้สังเกตการณ์หรือสิ่งภายนอกใดๆ^{[ 1 ]}ถือว่าพื้นที่เป็นแบบยุคลิด : ถือว่าพื้นที่เป็นไปตามเรขาคณิตของสามัญสำนึก^{[ 2 ]}

ในบริบทของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษเวลาไม่สามารถแยกออกจากมิติทั้งสามของอวกาศได้ เนื่องจากอัตราที่สังเกตได้ว่าเวลาผ่านไปสำหรับวัตถุขึ้นอยู่กับความเร็ว ของวัตถุ เมื่อเทียบกับผู้สังเกต^{[ 3 ] : 214–217} ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปให้คำอธิบายว่าสนามโน้มถ่วงสามารถชะลอการผ่านไปของเวลาสำหรับวัตถุเมื่อมองจากผู้สังเกตที่อยู่นอกสนามได้ อย่างไร

ในอวกาศปกติ ตำแหน่งจะถูกระบุด้วยตัวเลขสามตัวที่เรียกว่ามิติในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนมักจะเรียกตัวเลขเหล่านี้ว่าx , yและzจุดในปริภูมิเวลาเรียกว่าเหตุการณ์ และต้องระบุตัวเลขสี่ตัว ได้แก่ ตำแหน่งสามมิติในอวกาศ บวกกับตำแหน่งในเวลา (รูปที่ 1 ⁾เหตุการณ์จะถูกแทนด้วยชุดพิกัดx , y , zและt ^{[ 4} ] ดังนั้นปริภูมิเวลาจึงมีสี่มิติ

ต่างจากการเปรียบเทียบที่ใช้ในงานเขียนยอดนิยมเพื่ออธิบายเหตุการณ์ เช่น ประทัดหรือประกายไฟ เหตุการณ์ทางคณิตศาสตร์มีระยะเวลาเป็นศูนย์และแสดงถึงจุดเดียวในกาลอวกาศ^{[ 5 ]}แม้ว่าจะเป็นไปได้ที่จะเคลื่อนที่สัมพันธ์กับการจุดประทัดหรือประกายไฟ แต่เป็นไปไม่ได้ที่ผู้สังเกตการณ์จะเคลื่อนที่สัมพันธ์กับเหตุการณ์

เส้นทางของอนุภาคผ่านกาลอวกาศสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นลำดับของเหตุการณ์ ลำดับของเหตุการณ์เหล่านี้สามารถเชื่อมโยงเข้าด้วยกันเพื่อสร้างเส้นโค้งที่แสดงถึงความก้าวหน้าของอนุภาคผ่านกาลอวกาศ เส้นทางนั้นเรียกว่าเส้นทางโลกของอนุภาค[ ^{6 ] : 105}

ในทางคณิตศาสตร์ กาลอวกาศเป็นแมนิโฟลด์ซึ่งหมายความว่ามันปรากฏ "แบน" ในระดับท้องถิ่นใกล้กับแต่ละจุดในลักษณะเดียวกับที่พื้นผิวของทรงกลมปรากฏแบนในระดับที่เล็กพอ^{[ 7 ]}ปัจจัยมาตราส่วน(โดยทั่วไปเรียกว่าความเร็วแสง ) เชื่อมโยงระยะทางที่วัดในอวกาศกับระยะทางที่วัดในเวลา ขนาดของปัจจัยมาตราส่วนนี้ (เกือบ 300,000 กิโลเมตรหรือ 190,000 ไมล์ในอวกาศเทียบเท่ากับหนึ่งวินาทีในเวลา) พร้อมกับข้อเท็จจริงที่ว่ากาลอวกาศเป็นแมนิโฟลด์ บ่งชี้ว่าที่ความเร็วปกติที่ไม่ใช่สัมพัทธภาพและที่ระยะทางปกติในระดับมนุษย์ มนุษย์อาจสังเกตเห็นสิ่งที่แตกต่างอย่างเห็นได้ชัดจากสิ่งที่พวกเขาอาจสังเกตเห็นหากโลกเป็นแบบยุคลิด มีเพียงการเกิดขึ้นของการวัดทางวิทยาศาสตร์ที่ละเอียดอ่อนในช่วงกลางทศวรรษ 1800 เช่นการทดลองของ Fizeauและการทดลองของ Michelson–Morleyเท่านั้นที่เริ่มมีการสังเกตความคลาดเคลื่อนที่น่าสงสัยระหว่างการสังเกตกับการคาดการณ์โดยอาศัยสมมติฐานโดยปริยายของพื้นที่ยุคลิด^{[ 8 ]}${\displaystyle c}$

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ ในกรณีส่วนใหญ่ ผู้สังเกตการณ์จะหมายถึงกรอบอ้างอิงที่ใช้ในการวัดชุดของวัตถุหรือเหตุการณ์ การใช้งานนี้แตกต่างอย่างมากจากความหมายทั่วไปของคำในภาษาอังกฤษ กรอบอ้างอิงเป็นโครงสร้างที่ไม่ใช่แบบโลคอลโดยเนื้อแท้ และตามการใช้งานคำนี้ การพูดถึงผู้สังเกตการณ์ว่ามีตำแหน่งจึงไม่สมเหตุสมผล^{[ 9 ]}

ในรูปที่ 1-1 ลองจินตนาการว่ากรอบที่กำลังพิจารณาอยู่นั้นติดตั้งด้วยโครงข่ายนาฬิกาที่หนาแน่นซึ่งซิงโครไนซ์กันภายในกรอบอ้างอิงนี้ ซึ่งขยายออกไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุดตลอดสามมิติของอวกาศ ตำแหน่งเฉพาะใดๆ ภายในโครงข่ายนั้นไม่สำคัญ โครงข่ายของนาฬิกาถูกใช้เพื่อกำหนดเวลาและตำแหน่งของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นภายในกรอบทั้งหมด คำว่าผู้สังเกตการณ์หมายถึงกลุ่มนาฬิกาทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับกรอบอ้างอิงเฉื่อยหนึ่งกรอบ^{[ 9 ] : 17–22}

ในกรณีอุดมคตินี้ ทุกจุดในอวกาศจะมีนาฬิกาที่เกี่ยวข้องอยู่ด้วย ดังนั้นนาฬิกาจึงบันทึกเหตุการณ์แต่ละครั้งได้ทันที โดยไม่มีความล่าช้าระหว่างเหตุการณ์กับการบันทึก ผู้สังเกตการณ์จริงจะเห็นความล่าช้าระหว่างการปล่อยสัญญาณและการตรวจจับเนื่องจากความเร็วของแสง ในการซิงโครไนซ์นาฬิกา ในการลดข้อมูลหลังจากการทดลอง เวลาที่รับสัญญาณจะถูกแก้ไขเพื่อให้สะท้อนถึงเวลาจริงหากได้รับการบันทึกโดยโครงข่ายนาฬิกาในอุดมคติ^{[ 9 ] : 17–22}

ในหนังสือเกี่ยวกับทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษหลายเล่ม โดยเฉพาะเล่มเก่าๆ คำว่า "ผู้สังเกตการณ์" มักถูกใช้ในความหมายทั่วไป โดยปกติแล้วบริบทจะช่วยให้เข้าใจได้ชัดเจนว่าใช้ความหมายใด

นักฟิสิกส์แยกแยะความแตกต่างระหว่างสิ่งที่วัดหรือสังเกตได้หลังจากหักลบความล่าช้าในการแพร่กระจายสัญญาณแล้ว กับสิ่งที่มองเห็นด้วยตาเปล่าโดยไม่มีการแก้ไขดังกล่าว การไม่เข้าใจความแตกต่างระหว่างสิ่งที่วัดได้กับสิ่งที่มองเห็นเป็นสาเหตุของความสับสนมากมายในหมู่นักศึกษาทฤษฎีสัมพัทธภาพ^{[ 10 ]}

รูปที่ 1-2. มิเชลสันและมอร์ลีย์คาดการณ์ว่าการเคลื่อนที่ผ่านอีเธอร์จะทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงเฟสที่แตกต่างกันระหว่างแสงที่เคลื่อนที่ผ่านแขนทั้งสองข้างของอุปกรณ์ของพวกเขา คำอธิบายที่สมเหตุสมผลที่สุดสำหรับผลลัพธ์เชิงลบของพวกเขา คือการลากของอีเธอร์ ซึ่งขัดแย้งกับการสังเกตการเบี่ยงเบนของดาวฤกษ์

ในช่วงกลางทศวรรษ 1800 การทดลองต่างๆ เช่น การสังเกตจุดอาราโกและการวัดความเร็วแสงที่แตกต่างกันในอากาศเทียบกับน้ำถือได้ว่าเป็นการพิสูจน์ธรรมชาติของคลื่นของแสง ตรงข้ามกับทฤษฎีอนุภาค^{[ 11 ]}การแพร่กระจายของคลื่นจึงสันนิษฐานว่าต้องอาศัย ตัวกลางที่ เป็นคลื่นในกรณีของคลื่นแสง ตัวกลางนี้ถือเป็นอีเธอร์ที่เป็นตัวนำแสง ในเชิง สมมติฐาน^{[หมายเหตุ 1 ]}ความพยายามต่างๆ ในการสร้างคุณสมบัติของตัวกลางในเชิงสมมติฐานนี้ให้ผลลัพธ์ที่ขัดแย้งกัน ตัวอย่างเช่นการทดลองของฟิโซในปี 1851 ซึ่งดำเนินการโดยฮิปโปลิต ฟิโซ นักฟิสิกส์ชาวฝรั่งเศส แสดงให้เห็นว่าความเร็วของแสงในน้ำที่ไหลนั้นน้อยกว่าผลรวมของความเร็วแสงในอากาศบวกกับความเร็วของน้ำในปริมาณที่ขึ้นอยู่กับดัชนีหักเหของน้ำ^{[ 12 ]}

ในบรรดาประเด็นอื่นๆ การพึ่งพาการลากอีเธอร์ บางส่วน ที่การทดลองนี้บ่งชี้โดยดัชนีการหักเห (ซึ่งขึ้นอยู่กับความยาวคลื่น) นำไปสู่ข้อสรุปที่ไม่น่าพึงพอใจว่าอีเธอร์ไหลด้วยความเร็วที่แตกต่างกันสำหรับแสงสีต่างๆพร้อมกัน^{[ 13 ]}การทดลองของมิเชลสัน-มอร์ลีย์ในปี 1887 (รูปที่ 1-2) แสดงให้เห็นว่าการเคลื่อนที่ของโลกผ่านอีเธอร์สมมุติไม่มีอิทธิพลที่แตกต่างกันต่อความเร็วของแสง และคำอธิบายที่น่าจะเป็นไปได้มากที่สุดคือการลากอีเธอร์อย่างสมบูรณ์ ซึ่งขัดแย้งกับการสังเกต การเบี่ยงเบน ^ของดาวฤกษ์ [ ^{8 ]}

จอร์จ ฟรานซิส ฟิตซ์เจอรัลด์ในปี พ.ศ. 2432 ^{[ 14 ]}และเฮนดริก ลอเรนซ์ในปี พ.ศ. 2435 ได้เสนอโดยอิสระว่าวัตถุที่เคลื่อนที่ผ่านอีเธอร์คงที่นั้นได้รับผลกระทบทางกายภาพจากการเคลื่อนที่ โดยหดตัวในทิศทางการเคลื่อนที่ด้วยปริมาณที่จำเป็นพอดีเพื่ออธิบายผลลัพธ์เชิงลบของการทดลองของมิเชลสัน-มอร์ลีย์ ไม่มีการเปลี่ยนแปลงความยาวเกิดขึ้นในทิศทางตั้งฉากกับทิศทางการเคลื่อนที่

ในปี พ.ศ. 2447 ลอเรนซ์ได้ขยายทฤษฎีของเขาจนได้มาซึ่งสมการที่เหมือนกันอย่างเป็นทางการกับสมการที่ไอน์สไตน์จะได้มาในภายหลัง นั่นคือ^การแปลงลอเรนซ์ [ ^{15 ]}ในฐานะทฤษฎีพลศาสตร์ (การศึกษาแรงและแรงบิดและผลกระทบต่อการเคลื่อนที่) ทฤษฎีของเขาถือว่ามีการเปลี่ยนแปลงทางกายภาพที่แท้จริงขององค์ประกอบทางกายภาพของสสาร^{[ 16 ] : 163–174} สมการของลอเรนซ์ทำนายปริมาณที่เขาเรียกว่าเวลาท้องถิ่นซึ่งเขาสามารถใช้อธิบายการเบี่ยงเบนของแสงการทดลองของฟิโซ และปรากฏการณ์อื่นๆ ได้

เฮนดริก ลอเรนซ์

อองรี ปวงกาเร

อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์

เฮอร์มันน์ มินคอฟสกี

รูปที่ 1-3

อองรี ปวงกาเรเป็นคนแรกที่รวมอวกาศและเวลาเข้าด้วยกันเป็นกาลอวกาศ^{[ 17 ] [ 18 ] : 73–80, 93–95} เขาโต้แย้งในปี 1898 ว่าความพร้อมกันของสองเหตุการณ์เป็นเรื่องของข้อตกลง^{[ 19 ] [หมายเหตุ 2 ]}ในปี 1900 เขาตระหนักว่า "เวลาท้องถิ่น" ของลอเรนซ์นั้นแท้จริงแล้วคือสิ่งที่นาฬิกาเคลื่อนที่บ่งบอก โดยการใช้คำจำกัดความเชิงปฏิบัติการ ที่ชัดเจน ของการซิงโครไนซ์นาฬิกาโดยสมมติว่าความเร็วแสงคงที่^{[หมายเหตุ 3 ]}ในปี 1900 และ 1904 เขาเสนอความไม่สามารถตรวจจับได้โดยธรรมชาติของอีเธอร์โดยเน้นย้ำถึงความถูกต้องของสิ่งที่เขาเรียกว่าหลักการสัมพัทธภาพในปี 1905/1906 ^{[ 20 ]}เขาได้ปรับปรุงทฤษฎีอิเล็กตรอนของลอเรนซ์ทางคณิตศาสตร์ให้สมบูรณ์เพื่อให้สอดคล้องกับสมมติฐานของสัมพัทธภาพ

ขณะที่อภิปรายสมมติฐานต่างๆ เกี่ยวกับแรงโน้มถ่วงที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงลอเรนซ์ เขาได้นำเสนอแนวคิดใหม่ของปริภูมิเวลา 4 มิติ โดยกำหนดเวกเตอร์ 4 มิติ ต่างๆ ได้แก่ตำแหน่ง 4 มิติความเร็ว4 มิติและแรง 4 มิติ [ ^{21 ] [ 22 ] อย่างไรก็ตาม}เขาไม่ได้ศึกษาแนวคิดแบบ 4 มิติในเอกสารฉบับต่อๆ มา โดยระบุว่าแนวทางการวิจัยนี้ดูเหมือนจะ "ก่อให้เกิดความยากลำบากอย่างมากเพื่อผลกำไรที่จำกัด" และสรุปในที่สุดว่า "ภาษาสามมิติดูเหมือนจะเหมาะสมที่สุดสำหรับการอธิบายโลกของเรา" ^{[ 22 ]}แม้กระทั่งในปี 1909 ปวงกาเรก็ยังคงอธิบายการตีความเชิงพลวัตของการแปลงลอเรนซ์ต่อไป^{[ 16 ] : 163–174}

ในปี ค.ศ. 1905 อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ได้วิเคราะห์ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษในแง่ของจลนศาสตร์ (การศึกษาวัตถุที่เคลื่อนที่โดยไม่คำนึงถึงแรง) แทนที่จะเป็นพลศาสตร์ ผลลัพธ์ของเขาเทียบเท่าทางคณิตศาสตร์กับผลลัพธ์ของลอเรนซ์และปวงกาเร เขาได้รับผลลัพธ์เหล่านั้นโดยการตระหนักว่าทฤษฎีทั้งหมดสามารถสร้างขึ้นจากสมมติฐานสองข้อ ได้แก่ หลักการสัมพัทธภาพและหลักการความคงที่ของความเร็วแสง งานของเขาเต็มไปด้วยภาพที่ชัดเจนเกี่ยวกับการแลกเปลี่ยนสัญญาณแสงระหว่างนาฬิกาที่กำลังเคลื่อนที่ การวัดความยาวของแท่งที่เคลื่อนที่อย่างระมัดระวัง และตัวอย่างอื่นๆ^{[ 23 ] [หมายเหตุ 4 ]}

ในปี ค.ศ. 1905 ไอน์สไตน์ได้ก้าวข้ามความพยายามก่อนหน้านี้เกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างมวลและพลังงานแม่เหล็กไฟฟ้าโดยนำเสนอความสมมูลทั่วไป ของมวลและพลังงาน ซึ่งเป็นสิ่งสำคัญสำหรับการกำหนดหลักการสมมูล ในภายหลังของเขา ในปี ค.ศ. 1907 ซึ่งประกาศความสมมูลของมวลเฉื่อยและมวลโน้มถ่วง โดยใช้ความสมมูลของมวลและพลังงาน ไอน์สไตน์แสดงให้เห็นว่ามวลโน้มถ่วงของวัตถุเป็นสัดส่วนกับปริมาณพลังงาน ซึ่งเป็นหนึ่งในผลลัพธ์แรกๆ ในการพัฒนาทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปแม้ว่าดูเหมือนว่าในตอนแรกเขาไม่ได้คิดเชิงเรขาคณิตเกี่ยวกับกาลอวกาศ^{[ 3 ] : 219} ในการพัฒนาทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปต่อไป ไอน์สไตน์ได้รวมรูปแบบกาลอวกาศเข้าไว้ด้วยอย่างสมบูรณ์

เมื่อไอน์สไตน์ตีพิมพ์ผลงานในปี พ.ศ. 2448 คู่แข่งอีกคนหนึ่งของเขา ซึ่งก็คือศาสตราจารย์ด้านคณิตศาสตร์คนก่อนของเขาเฮอร์มันน์ มินคอฟสกีก็ได้ค้นพบองค์ประกอบพื้นฐานส่วนใหญ่ของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษเช่นกันแม็กซ์ บอร์นเล่าถึงการพบปะกับมินคอฟสกี โดยหวังที่จะเป็นนักศึกษา/ผู้ร่วมงานของมินคอฟสกี: ^{[ 25 ]}

ผมไปที่โคโลญจน์ พบกับมินคอฟสกี และได้ฟังปาฐกถาอันโด่งดังของเขาเรื่อง 'อวกาศและเวลา' ซึ่งบรรยายเมื่อวันที่ 2 กันยายน ค.ศ. 1908 [...] ต่อมาเขาบอกผมว่า เขารู้สึกตกใจมากเมื่อไอน์สไตน์ตีพิมพ์บทความที่ระบุว่าเวลาท้องถิ่นที่แตกต่างกันของผู้สังเกตการณ์ที่เคลื่อนที่สัมพันธ์กันนั้นเท่ากัน เพราะเขาได้ข้อสรุปเดียวกันโดยอิสระ แต่ไม่ได้ตีพิมพ์เพราะเขาต้องการศึกษาโครงสร้างทางคณิตศาสตร์อย่างละเอียดก่อน เขาไม่เคยอ้างสิทธิ์ในผลงานก่อนใคร และให้ไอน์สไตน์มีส่วนร่วมในผลงานค้นพบอันยิ่งใหญ่นี้เสมอ

มินคอฟสกีมีความกังวลเกี่ยวกับสถานะของอิเล็กโทรไดนามิกส์หลังจากการทดลองที่ก่อให้เกิดการเปลี่ยนแปลงของมิเชลสันอย่างน้อยตั้งแต่ฤดูร้อนปี 1905 เมื่อมินคอฟสกีและเดวิด ฮิลเบิร์ตเป็นผู้นำการสัมมนาขั้นสูงซึ่งมีนักฟิสิกส์ที่มีชื่อเสียงในเวลานั้นเข้าร่วมเพื่อศึกษาเอกสารของลอเรนซ์ ปวงกาเร และคนอื่นๆ มินคอฟสกีมองว่างานของไอน์สไตน์เป็นการต่อยอดจากงานของลอเรนซ์ และได้รับอิทธิพลโดยตรงจากปวงกาเรมากที่สุด^{[ 26 ]}

เมื่อวันที่ 5 พฤศจิกายน พ.ศ. 2450 (เพียงเล็กน้อยกว่าหนึ่งปีก่อนที่เขาจะเสียชีวิต) มินคอฟสกีได้นำเสนอการตีความเชิงเรขาคณิตของกาลอวกาศในการบรรยายต่อสมาคมคณิตศาสตร์เกิตติงเงนในหัวข้อหลักการสัมพัทธภาพ ( Das Relativitätsprinzip ) ^{[หมายเหตุ 5 ]}เมื่อวันที่ 21 กันยายน พ.ศ. 2451 มินคอฟสกีได้นำเสนอการบรรยายเรื่องกาลอวกาศและเวลา ( Raum und Zeit ) ^{[ 27 ]}ต่อสมาคมนักวิทยาศาสตร์และแพทย์แห่งเยอรมนี คำกล่าวเปิดเรื่องกาลอวกาศและเวลาประกอบด้วยคำกล่าวของมินคอฟสกีที่ว่า "นับจากนี้ไป กาลอวกาศและเวลาจะลดลงเหลือเพียงเงา และมีเพียงการรวมกันของทั้งสองเท่านั้นที่จะรักษาความเป็นอิสระไว้ได้" กาลอวกาศและเวลาประกอบด้วยการนำเสนอแผนภาพกาลอวกาศต่อสาธารณะเป็นครั้งแรก (รูปที่ 1-4) และมีการสาธิตที่น่าทึ่งว่าแนวคิดของช่วงเวลาที่ไม่เปลี่ยนแปลง ( กล่าวถึงด้านล่าง ) พร้อมกับการสังเกตเชิงประจักษ์ว่าความเร็วของแสงมีค่าจำกัด ทำให้สามารถอนุมานทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษทั้งหมดได้^{[หมายเหตุ 6 ]}

แนวคิดเรื่องปริภูมิเวลาและกลุ่มลอเรนซ์มีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับ เรขาคณิตทรงกลม เรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกหรือเรขาคณิตคอนฟอร์มอ ลบางประเภท และกลุ่มการแปลงของเรขาคณิตเหล่านั้น ซึ่งได้รับการพัฒนาแล้วในศตวรรษที่ 19 โดยใช้ช่วงเวลาคงที่ที่คล้ายคลึงกับช่วงเวลาในปริภูมิเวลา^{[หมายเหตุ 7 ]}

ไอน์สไตน์เองก็ในตอนแรกไม่สนใจการตีความเชิงเรขาคณิตของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษของมินคอฟสกี โดยมองว่าเป็นüberflüssige Gelehrsamkeit (ความรู้ที่ฟุ่มเฟือย) อย่างไรก็ตาม เพื่อให้การค้นหาทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปที่เริ่มต้นในปี 1907 เสร็จสมบูรณ์ การตีความเชิงเรขาคณิตของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิสูจน์แล้วว่ามีความสำคัญอย่างยิ่ง ในปี 1916 ไอน์สไตน์ยอมรับอย่างเต็มที่ว่าเขาเป็นหนี้บุญคุณมินคอฟสกี ซึ่งการตีความของเขาช่วยอำนวยความสะดวกอย่างมากในการเปลี่ยนผ่านไปสู่ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป^{[ 16 ] : 151–152} เนื่องจากมีปริภูมิเวลาประเภทอื่น เช่น ปริภูมิเวลาโค้งของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป ปริภูมิเวลาของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษจึงเป็นที่รู้จักในปัจจุบันในชื่อปริภูมิเวลาของมินคอฟสกี

ในสามมิติระยะห่าง ระหว่างจุดสองจุดสามารถกำหนดได้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส : ${\displaystyle \Delta {d}}$

${\displaystyle (\Delta {d})^{2}=(\Delta {x})^{2}+(\Delta {y})^{2}+(\Delta {z})^{2}}$

แม้ว่าผู้สังเกตการณ์สองคนอาจวัด ตำแหน่ง x , yและzของจุดสองจุดโดยใช้ระบบพิกัดที่แตกต่างกัน แต่ระยะห่างระหว่างจุดทั้งสองจะเท่ากันสำหรับทั้งสองคน โดยสมมติว่าพวกเขากำลังวัดโดยใช้หน่วยเดียวกัน ระยะห่างนั้น "ไม่เปลี่ยนแปลง"

อย่างไรก็ตาม ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ ระยะห่างระหว่างสองจุดจะไม่เท่ากันอีกต่อไปหากวัดโดยผู้สังเกตการณ์สองคนที่แตกต่างกัน เมื่อผู้สังเกตการณ์คนหนึ่งกำลังเคลื่อนที่ เนื่องจากปรากฏการณ์การหดตัวของลอเรนซ์สถานการณ์จะซับซ้อนยิ่งขึ้นหากสองจุดนั้นแยกจากกันทั้งในเวลาและพื้นที่ ตัวอย่างเช่น หากผู้สังเกตการณ์คนหนึ่งเห็นเหตุการณ์สองเหตุการณ์เกิดขึ้นที่เดียวกัน แต่ในเวลาที่ต่างกัน บุคคลที่เคลื่อนที่เมื่อเทียบกับผู้สังเกตการณ์คนแรกจะเห็นเหตุการณ์ทั้งสองเกิดขึ้นที่สถานที่ต่างกัน เนื่องจากมุมมองที่เคลื่อนที่นั้นมองเห็นตัวเองว่าอยู่กับที่ และตำแหน่งของเหตุการณ์นั้นดูเหมือนกำลังถอยห่างออกไปหรือเข้าใกล้เข้ามา ดังนั้นจึงต้องใช้การวัดที่แตกต่างกันเพื่อวัด "ระยะทาง" ที่มีประสิทธิภาพระหว่างสองเหตุการณ์^{[ 31 ] : 48–50, 100–102}

ในปริภูมิเวลาสี่มิติ สิ่งที่เทียบได้กับระยะทางคือช่วงเวลา แม้ว่าเวลาจะเข้ามาเป็นมิติที่สี่ แต่ก็ได้รับการปฏิบัติแตกต่างจากมิติเชิงพื้นที่ ดังนั้นปริภูมิ Minkowski จึงแตกต่างจากปริภูมิ Euclidean สี่มิติ ในประเด็นสำคัญ เหตุผลพื้นฐานสำหรับการรวมพื้นที่และเวลาเข้าเป็นปริภูมิเวลาคือ พื้นที่และเวลาแยกกันนั้นไม่คงที่ กล่าวคือ ภายใต้เงื่อนไขที่เหมาะสม ผู้สังเกตการณ์ที่แตกต่างกันจะไม่เห็นด้วยกับความยาวของเวลาที่อยู่ระหว่างสองเหตุการณ์ (เนื่องจากการยืดเวลา ) หรือระยะทางระหว่างสองเหตุการณ์ (เนื่องจากการหดตัวของความยาว ) ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษให้ค่าคงที่ใหม่ที่เรียกว่าช่วงเวลาปริภูมิเวลาซึ่งรวมระยะทางในพื้นที่และในเวลา ผู้สังเกตการณ์ทุกคนที่วัดเวลาและระยะทางระหว่างสองเหตุการณ์ใดๆ จะคำนวณช่วงเวลาปริภูมิเวลาเดียวกัน สมมติว่าผู้สังเกตการณ์วัดสองเหตุการณ์ว่าแยกจากกันในเวลาด้วยและระยะทางเชิงพื้นที่ด้วย จากนั้นช่วงเวลาปริภูมิเวลายกกำลัง สอง ระหว่างสองเหตุการณ์ที่แยกจากกันด้วยระยะทางในพื้นที่และด้วยในพิกัด คือ: ^{[ 32 ]}${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle \Delta x.}$${\displaystyle (\Delta {s})^{2}}$${\displaystyle \Delta {x}}$${\displaystyle \Delta {ct}=c\Delta t}$${\displaystyle ct}$

${\displaystyle (\Delta s)^{2}=(\Delta ct)^{2}-(\Delta x)^{2},}$

หรือสำหรับมิติสามมิติ

${\displaystyle (\Delta s)^{2}=(\Delta ct)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{2}.}$

ค่าคงที่ความเร็วแสงจะแปลงหน่วยเวลา (เช่น วินาที) ไปเป็นหน่วยพื้นที่ (เช่น เมตร) ช่วงเวลายกกำลังสองเป็นการวัดระยะห่างระหว่างเหตุการณ์ A และ B ที่แยกจากกันทั้งในด้านเวลาและพื้นที่ ไม่ว่าจะเป็นเพราะมีวัตถุสองชิ้นแยกกันที่กำลังเกิดเหตุการณ์ หรือเพราะวัตถุชิ้นเดียวในอวกาศกำลังเคลื่อนที่อย่างเฉื่อยชาอยู่ระหว่างเหตุการณ์ต่างๆ ช่วงเวลาการแยกคือผลต่างระหว่างกำลังสองของระยะทางเชิงพื้นที่ที่แยกเหตุการณ์ B จากเหตุการณ์ A และกำลังสองของระยะทางเชิงพื้นที่ที่สัญญาณแสงเดินทางในช่วงเวลาเดียวกันนั้นหากการแยกเหตุการณ์เกิดจากสัญญาณแสง ผลต่างนี้จะหายไปและเท่ากับ0 ${\displaystyle c,}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \Delta s^{2}}$${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle \Delta s=0}$

เมื่อเหตุการณ์ที่พิจารณาอยู่ใกล้กันมากจนแทบไม่มีจุดสิ้นสุด เราอาจเขียนได้ว่า

${\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}.}$

ในกรอบอ้างอิงเฉื่อยที่แตกต่างกัน เช่น พิกัดช่วงเวลาของปริภูมิเวลาสามารถเขียนได้ในรูปแบบเดียวกันกับข้างต้น เนื่องจากความเร็วแสงคงที่ เหตุการณ์แสงในกรอบอ้างอิงเฉื่อยทั้งหมดจึงอยู่ในช่วงเวลาศูนย์สำหรับเหตุการณ์อนันต์เล็ก ๆ อื่น ๆ ที่สามารถพิสูจน์ได้ว่า ซึ่งเมื่อทำการอินทิเกรตจะนำไปสู่​​[ ^{33 ] : 2} ความไม่แปรเปลี่ยนของช่วงเวลาของปริภูมิเวลาระหว่างเหตุการณ์เดียวกันสำหรับกรอบอ้างอิงเฉื่อยทั้งหมดเป็นหนึ่งในผลลัพธ์พื้นฐานของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ ${\displaystyle (t',x',y',z')}$${\displaystyle ds'}$${\displaystyle ds=ds'=0}$${\displaystyle ds\neq 0}$${\displaystyle ds^{2}=ds'^{2}}$${\displaystyle s=s'}$

แม้ว่าเพื่อความกระชับ เรามักจะเห็นการแสดงช่วงเวลาโดยไม่มีเครื่องหมายเดลต้า รวมถึงในส่วนต่อไปนี้ส่วนใหญ่ แต่ควรเข้าใจว่าโดยทั่วไปแล้วเดลต้า หมายถึง, เป็นต้น เราสนใจเฉพาะความแตกต่างของค่าพิกัดเชิงพื้นที่หรือเชิงเวลาที่เกี่ยวข้องกับเหตุการณ์สองเหตุการณ์ และเนื่องจากไม่มีจุดกำเนิดที่กำหนดไว้ตายตัว ค่าพิกัดเดี่ยวๆ จึงไม่มีความหมายที่สำคัญ ${\displaystyle x}$${\displaystyle \Delta {x}}$

สมการข้างต้นคล้ายกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส ยกเว้นมีเครื่องหมายลบอยู่ระหว่างเทอมและเทอม ช่วงเวลาของปริภูมิเวลาเป็นปริมาณที่ไม่ใช่ตัวมันเอง เหตุผลก็คือ ต่างจากระยะทางในเรขาคณิตแบบยุคลิด ช่วงเวลาในปริภูมิเวลาของมิงโกวสกีสามารถเป็นลบได้ แทนที่จะจัดการกับรากที่สองของจำนวนลบ นักฟิสิกส์มักจะถือว่าเป็นสัญลักษณ์ที่แตกต่างกันในตัวเอง มากกว่าที่จะเป็นกำลังสองของบางสิ่ง^{[ 3 ] : 217} ${\displaystyle (ct)^{2}}$${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle s^{2},}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s^{2}}$

หมายเหตุ:ในเอกสารเกี่ยวกับทฤษฎีสัมพัทธภาพ มีหลักการกำหนดเครื่องหมายสองแบบที่ใช้กัน:

${\displaystyle s^{2}=(ct)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$

และ

${\displaystyle s^{2}=-(ct)^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

ข้อกำหนดเครื่องหมายเหล่านี้เกี่ยวข้องกับเครื่องหมายเมตริก(+−−−)และ(−+++)การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยคือการวางพิกัดเวลาไว้ท้ายสุดแทนที่จะเป็นแรก ข้อกำหนดทั้งสองนี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในสาขาวิชา^{[ 34 ]}

ในการอธิบายต่อไปนี้ เราจะใช้หลักการแรก

โดยทั่วไปสามารถมีค่าเป็นจำนวนจริงใดๆ ก็ได้ ถ้าเป็นค่าบวก ช่วงเวลาของกาลอวกาศจะเรียกว่าเป็นแบบไทม์ไลค์เนื่องจากระยะทางเชิงพื้นที่ที่วัตถุมวลมากเคลื่อนที่นั้นน้อยกว่าระยะทางที่แสงเคลื่อนที่ในช่วงเวลาเดียวกันเสมอ ดังนั้นช่วงเวลาที่เป็นบวกจึงเป็นแบบไทม์ไลค์เสมอ ถ้าเป็นค่าลบ ช่วงเวลาของกาลอวกาศจะเรียกว่าเป็นแบบสเปซไลค์ ช่วงเวลาของกาลอวกาศจะเป็นศูนย์เมื่อในอีกนัยหนึ่ง ช่วงเวลาของกาลอวกาศระหว่างสองเหตุการณ์บนเส้นโลกของสิ่งที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วแสงเป็นศูนย์ ช่วงเวลาดังกล่าวเรียกว่าเป็นแบบไลท์ไลค์หรือศูนย์โฟตอนที่มาถึงดวงตาของเราจากดาวฤกษ์ที่อยู่ไกลออกไปจะไม่แก่ลง แม้ว่า (จากมุมมองของเรา) จะใช้เวลาหลายปีในการเดินทาง^{[ 31 ] : 48–50} ${\displaystyle s^{2}}$${\displaystyle s^{2}}$${\displaystyle s^{2}}$${\displaystyle x=\pm ct.}$

โดยทั่วไปแล้ว แผนภาพปริภูมิเวลาจะถูกวาดด้วยพิกัดพื้นที่และเวลาเพียงพิกัดเดียว รูปที่ 2-1 แสดงแผนภาพปริภูมิเวลาที่แสดงเส้นทางโลก (เช่น เส้นทางในปริภูมิเวลา) ของโฟตอนสองตัว A และ B ซึ่งกำเนิดจากเหตุการณ์เดียวกันและเคลื่อนที่ไปในทิศทางตรงกันข้าม นอกจากนี้ C ยังแสดงเส้นทางโลกของวัตถุที่เคลื่อนที่ช้ากว่าความเร็วแสง พิกัดเวลาในแนวตั้งถูกปรับขนาดเพื่อให้มีหน่วยเดียวกัน (เมตร) กับพิกัดพื้นที่ในแนวนอน เนื่องจากโฟตอนเคลื่อนที่ด้วยความเร็วแสง เส้นทางโลกของพวกมันจึงมีความชัน ±1 ^{[ 31 ] : 23–25} กล่าวอีกนัยหนึ่ง ทุกเมตรที่โฟตอนเคลื่อนที่ไปทางซ้ายหรือขวาต้องใช้เวลาประมาณ 3.3 นาโนวินาที ${\displaystyle c}$

เพื่อให้เข้าใจว่าพิกัดปริภูมิเวลาที่วัดโดยผู้สังเกตการณ์ในกรอบอ้างอิง ที่แตกต่างกัน นั้นเปรียบเทียบกันอย่างไร การทำงานกับชุดการตั้งค่าแบบง่ายโดยใช้กรอบในรูปแบบมาตรฐาน จึงเป็นประโยชน์ ด้วยความระมัดระวัง วิธีนี้ช่วยให้สามารถลดความซับซ้อนของคณิตศาสตร์ได้โดยไม่สูญเสียความทั่วไปของข้อสรุปที่ได้ ในรูปที่ 2-2 แสดง กรอบอ้างอิงกาลิเลียน สองกรอบ (เช่น กรอบปริภูมิ 3 มิติแบบดั้งเดิม) ที่เคลื่อนที่สัมพัทธ์กัน กรอบ S เป็นของผู้สังเกตการณ์คนแรก O และกรอบ S′ (อ่านว่า "เอสไพรม์") เป็นของผู้สังเกตการณ์คนที่สอง O′

• แกนx , y , zของเฟรม S จะวางตัวขนานกับแกนที่มีเครื่องหมายไพรม์กำกับไว้ของเฟรม S′ ตามลำดับ
• เฟรม S′ เคลื่อนที่ไปใน ทิศทาง xของเฟรม S ด้วยความเร็วคงที่vซึ่งวัดได้ในเฟรม S
• จุดเริ่มต้นของเฟรม S และ S′ จะตรงกันเมื่อเวลาt = 0สำหรับเฟรม S และt ′ = 0สำหรับเฟรม S′ ^{[ 6 ] : 107}

รูปที่ 2-3a วาดรูปที่ 2-2 ใหม่ในทิศทางที่แตกต่างกัน รูปที่ 2-3b แสดง แผนภาพ ปริภูมิเวลาสัมพัทธภาพจากมุมมองของผู้สังเกตการณ์ O เนื่องจาก S และ S′ อยู่ในการกำหนดค่ามาตรฐาน จุดกำเนิดของทั้งสองจึงตรงกันที่เวลาt = 0ในเฟรม S และt ′ = 0ในเฟรม S′ แกน ct′ผ่านเหตุการณ์ในเฟรม S′ ซึ่งมีx ′ = 0แต่จุดที่มีx ′ = 0กำลังเคลื่อนที่ในทิศทางx ของเฟรม S ด้วยความเร็ว vดังนั้นจึงไม่ตรงกับ แกน ctในเวลาอื่นใดนอกจากศูนย์ ดังนั้น แกน ct′จึงเอียงเมื่อเทียบกับ แกน ctด้วยมุมθที่กำหนดโดย^{[ 31 ] : 23–31}

${\displaystyle \tan(\theta )=v/c.}$

แกนx ′ ก็เอียงเมื่อเทียบกับ แกน x ด้วยเช่นกัน ในการหาค่ามุมเอียงนี้ เราจะระลึกได้ว่าความชันของเส้นโลกของพัลส์แสงนั้นมีค่าเท่ากับ ±1 เสมอ รูปที่ 2-3c แสดงแผนภาพปริภูมิเวลาจากมุมมองของผู้สังเกตการณ์ O′ เหตุการณ์ P แสดงถึงการปล่อยพัลส์แสงที่x ′ = 0, ct ′ = − a พัลส์ นั้นสะท้อนจากกระจกที่อยู่ห่างจากแหล่งกำเนิดแสงเป็นระยะa (เหตุการณ์ Q) และกลับไปยังแหล่งกำเนิดแสงที่x ′ = 0, ct ′ = a (เหตุการณ์ R)

เหตุการณ์เดียวกัน P, Q, R ถูกพล็อตในรูปที่ 2-3b ในกรอบของผู้สังเกตการณ์ O เส้นทางแสงมีความชัน = 1และ −1 ดังนั้น △PQR จึงสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากโดยที่ PQ และ QR ต่างก็ทำมุม 45 องศากับ แกน xและctเนื่องจากOP = OQ = ORมุมระหว่างx′และxจึงต้องเป็นθ ด้วย ^{[ 6 ]} : ^113–118

ในขณะที่กรอบอ้างอิงคงที่นั้นมีแกนอวกาศและเวลาที่ตัดกันเป็นมุมฉาก กรอบอ้างอิงเคลื่อนที่นั้นถูกวาดด้วยแกนที่ตัดกันเป็นมุมแหลม กรอบอ้างอิงทั้งสองนั้นเทียบเท่ากัน^{[ 31 ] : 23–31} ความไม่สมมาตรเกิดจากความบิดเบี้ยวที่หลีกเลี่ยงไม่ได้ในวิธีการที่พิกัดอวกาศและเวลาสามารถแมปไปยังระนาบคาร์ทีเซียนได้ และไม่ควรพิจารณาว่าแปลกไปกว่าวิธีการที่ในการฉายภาพแบบเมอร์เคเตอร์ของโลก ขนาดสัมพัทธ์ของมวลแผ่นดินใกล้ขั้วโลก (กรีนแลนด์และแอนตาร์กติกา) นั้นถูกขยายให้เกินจริงอย่างมากเมื่อเทียบกับมวลแผ่นดินใกล้เส้นศูนย์สูตร

ในรูปที่ 2–4 เหตุการณ์ O อยู่ที่จุดกำเนิดของแผนภาพปริภูมิเวลา และเส้นทแยงมุมสองเส้นแสดงถึงเหตุการณ์ทั้งหมดที่มีช่วงเวลาปริภูมิเวลาเป็นศูนย์เมื่อเทียบกับเหตุการณ์จุดกำเนิด เส้นสองเส้นนี้ก่อให้เกิดสิ่งที่เรียกว่ากรวยแสงของเหตุการณ์ O เนื่องจากเมื่อเพิ่มมิติเชิงพื้นที่ที่สอง (รูปที่ 2-5) จะทำให้ปรากฏเป็นกรวยวงกลมสองอันที่มาบรรจบกันโดยมีจุดยอดอยู่ที่ O กรวยหนึ่งทอดยาวไปในอนาคต (t>0) อีกกรวยหนึ่งทอดยาวไปในอดีต (t<0)

กรวยแสง (คู่) แบ่งกาลอวกาศออกเป็นบริเวณที่แยกจากกันโดยสัมพันธ์กับจุดยอด ภายในกรวยแสงในอนาคตประกอบด้วยเหตุการณ์ทั้งหมดที่แยกจากจุดยอดด้วยเวลา (ระยะทางเชิงเวลา) มากกว่าที่จำเป็นในการข้ามระยะทางเชิงพื้นที่ด้วยความเร็วแสง เหตุการณ์เหล่านี้ประกอบขึ้นเป็นอนาคตเชิงเวลาของเหตุการณ์ O ในทำนองเดียวกันอดีตเชิงเวลาประกอบด้วยเหตุการณ์ภายในของกรวยแสงในอดีต ดังนั้นในช่วงเวลาเชิงเวลา Δct จึงมากกว่า Δx ทำให้ช่วงเวลาเชิงเวลาเป็นบวก^{[ 3 ] : 220}

บริเวณภายนอกกรวยแสงประกอบด้วยเหตุการณ์ที่แยกจากเหตุการณ์ O ด้วยระยะทาง ที่มากกว่าระยะทาง ที่สามารถเดินทางด้วยความเร็วแสงได้ในเวลา ที่กำหนด เหตุการณ์เหล่านี้ประกอบกันเป็นบริเวณที่เรียกว่า บริเวณ คล้ายอวกาศของเหตุการณ์ O ซึ่งแสดงด้วยคำว่า "ที่อื่น" ในรูปที่ 2-4 เหตุการณ์บนกรวยแสงเองเรียกว่าคล้ายแสง (หรือแยกเป็นศูนย์ ) จาก O เนื่องจากความไม่แปรเปลี่ยนของช่วงเวลาอวกาศ ผู้สังเกตการณ์ทั้งหมดจะกำหนดกรวยแสงเดียวกันให้กับเหตุการณ์ใดๆ ก็ตาม และด้วยเหตุนี้จึงเห็นพ้องต้องกันในการแบ่งช่วงเวลาอวกาศนี้^{[ 3 ] : 220}

กรวยแสงมีบทบาทสำคัญในแนวคิดเรื่องความเป็นเหตุเป็นผลสัญญาณที่เดินทางด้วยความเร็วไม่เร็วกว่าแสงสามารถเดินทางจากตำแหน่งและเวลาของ O ไปยังตำแหน่งและเวลาของ D ได้ (รูปที่ 2-4) ดังนั้น เหตุการณ์ O จึงสามารถมีอิทธิพลเชิงสาเหตุต่อเหตุการณ์ D ได้ กรวยแสงในอนาคตประกอบด้วยเหตุการณ์ทั้งหมดที่อาจได้รับอิทธิพลเชิงสาเหตุจาก O ในทำนองเดียวกัน สัญญาณที่เดินทางด้วยความเร็วไม่เร็วกว่าแสงสามารถเดินทางจากตำแหน่งและเวลาของ A ไปยังตำแหน่งและเวลาของ O ได้ กรวยแสงในอดีตประกอบด้วยเหตุการณ์ทั้งหมดที่อาจมีอิทธิพลเชิงสาเหตุต่อ O ในทางตรงกันข้าม หากสมมติว่าสัญญาณไม่สามารถเดินทางได้เร็วกว่าความเร็วแสง เหตุการณ์ใดๆ เช่น B หรือ C ในบริเวณอวกาศ (ที่อื่น) ก็ไม่สามารถส่งผลกระทบต่อเหตุการณ์ O ได้ และไม่สามารถได้รับผลกระทบจากเหตุการณ์ O ที่ใช้การส่งสัญญาณดังกล่าวได้ ภายใต้สมมติฐานนี้ ความสัมพันธ์เชิงสาเหตุใดๆ ระหว่างเหตุการณ์ O และเหตุการณ์ใดๆ ในบริเวณอวกาศของกรวยแสงจึงถูกตัดออกไป^{[ 35 ]}

ผู้สังเกตการณ์ทุกคนจะเห็นพ้องกันว่า สำหรับเหตุการณ์ใดๆ ก็ตาม เหตุการณ์ภายในกรวยแสงในอนาคตของเหตุการณ์นั้นจะเกิดขึ้นหลังจากเหตุการณ์นั้น ในทำนองเดียวกัน สำหรับเหตุการณ์ใดๆ ก็ตาม เหตุการณ์ภายในกรวยแสงในอดีตของเหตุการณ์นั้นจะเกิดขึ้นก่อนเหตุการณ์นั้น ความสัมพันธ์ก่อน-หลังที่สังเกตได้สำหรับเหตุการณ์ที่แยกจากกันแบบไทม์ไลค์ยังคงไม่เปลี่ยนแปลงไม่ว่ากรอบอ้างอิงของผู้สังเกตการณ์จะเป็นอย่างไร กล่าวคือไม่ว่าผู้สังเกตการณ์จะเคลื่อนที่อย่างไรก็ตาม สถานการณ์จะแตกต่างออกไปสำหรับเหตุการณ์ที่แยกจากกันแบบสเปซไลค์รูปที่ 2-4วาดขึ้นจากกรอบอ้างอิงของผู้สังเกตการณ์ที่เคลื่อนที่ที่v = 0จากกรอบอ้างอิงนี้ สังเกตได้ว่าเหตุการณ์ C เกิดขึ้นหลังจากเหตุการณ์ O และสังเกตได้ว่าเหตุการณ์ B เกิดขึ้นก่อนเหตุการณ์ O ^{[ 36 ]}

จากกรอบอ้างอิงที่แตกต่างกัน ลำดับของเหตุการณ์ที่ไม่เกี่ยวข้องกันในเชิงสาเหตุเหล่านี้สามารถกลับกันได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สังเกตได้ว่าหากเหตุการณ์สองเหตุการณ์เกิดขึ้นพร้อมกันในกรอบอ้างอิงเฉพาะ เหตุการณ์เหล่านั้นจะต้องถูกคั่นด้วยช่วงเวลาเชิงพื้นที่ และดังนั้นจึงไม่เกี่ยวข้องกันในเชิงสาเหตุ การสังเกตว่าการเกิดขึ้นพร้อมกันนั้นไม่ใช่สิ่งสัมบูรณ์ แต่ขึ้นอยู่กับกรอบอ้างอิงของผู้สังเกต เรียกว่าความสัมพันธ์ของการเกิดขึ้นพร้อมกัน^{[ 36 ]}

ภาพที่ 2-6 แสดงให้เห็นถึงการใช้แผนภาพปริภูมิเวลาในการวิเคราะห์ความสัมพันธ์ของความพร้อมกัน เหตุการณ์ในปริภูมิเวลาไม่เปลี่ยนแปลง แต่กรอบพิกัดจะเปลี่ยนแปลงไปดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้นสำหรับภาพที่ 2-3 เหตุการณ์ทั้งสาม(A, B, C)เกิดขึ้นพร้อมกันจากกรอบอ้างอิงของผู้สังเกตที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วv = 0จากกรอบอ้างอิงของผู้สังเกตที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วv = 0.3c เหตุการณ์ต่างๆจะปรากฏในลำดับC, B, Aจากกรอบอ้างอิงของผู้สังเกตที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วv = −0.5c เหตุการณ์ต่างๆ จะปรากฏในลำดับA, B, Cเส้นสีขาวแสดงถึงระนาบของความพร้อมกันที่เคลื่อนที่จากอดีตของผู้สังเกตไปยังอนาคตของผู้สังเกต โดยเน้นเหตุการณ์ที่อยู่บนระนาบนั้น พื้นที่สีเทาคือกรวยแสงของผู้สังเกต ซึ่งยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

ช่วงเวลาอวกาศแบบสเปซไลค์จะให้ระยะทางเดียวกันกับที่ผู้สังเกตการณ์จะวัดได้หากเหตุการณ์ที่กำลังวัดเกิดขึ้นพร้อมกันกับผู้สังเกตการณ์ ดังนั้น ช่วงเวลาอวกาศแบบสเปซไลค์จึงให้การวัดระยะทางที่แท้จริง นั่น คือ ระยะทางที่แท้จริง = ในทำนองเดียวกัน ช่วงเวลาอวกาศแบบไทม์ไลค์จะให้การวัดเวลาเดียวกันกับที่แสดงโดยการนับสะสมของนาฬิกาที่เคลื่อนที่ไปตามเส้นโลกที่กำหนด ดังนั้น ช่วงเวลาอวกาศแบบไทม์ไลค์จึงให้การวัดเวลาที่แท้จริง = ^{[ 3 ] : 220–221} ${\displaystyle {\sqrt {-s^{2}}}.}$${\displaystyle {\sqrt {s^{2}}}.}$

ในปริภูมิยูคลิด (ซึ่งมีมิติเชิงพื้นที่เท่านั้น) เซตของจุดที่อยู่ห่างจากจุดใดจุดหนึ่งเท่ากัน (โดยใช้เมตริกยูคลิด) จะก่อตัวเป็นวงกลม (ในสองมิติ) หรือทรงกลม (ในสามมิติ) ในปริภูมิ เวลาแบบมินคอฟสกี (1+1) มิติ (ซึ่งมีมิติเวลาหนึ่งมิติและมิติเชิงพื้นที่หนึ่งมิติ) จุดที่อยู่ห่างจากจุดกำเนิด (โดยใช้เมตริกมินคอฟสกี) เป็นระยะปริภูมิเวลาคงที่ จะก่อตัวเป็นเส้นโค้งที่กำหนดโดยสมการสองสมการ

${\displaystyle (ct)^{2}-x^{2}=\pm s^{2},}$

โดยมีค่าคงที่จริงบวกบางค่า สมการเหล่านี้อธิบายถึงไฮเปอร์โบลาสองตระกูลใน แผนภาพปริภูมิเวลา x – ctซึ่งเรียกว่าไฮเปอร์โบลาไม่แปรเปลี่ยน ${\displaystyle s^{2}}$

ในรูปที่ 2-7a ไฮเปอร์โบลาสีม่วงแดงแต่ละเส้นเชื่อมต่อเหตุการณ์ทั้งหมดที่มีระยะห่างเชิงพื้นที่คงที่จากจุดกำเนิด ในขณะที่ไฮเปอร์โบลาสีเขียวเชื่อมต่อเหตุการณ์ที่มีระยะห่างเชิงเวลาเท่ากัน

เส้นไฮเปอร์โบลาสีม่วงแดงที่ตัด แกน xเป็นเส้นโค้งแบบเวลา กล่าวคือ ไฮเปอร์โบลาเหล่านี้แสดงถึงเส้นทางจริงที่อนุภาค (ที่เร่งความเร็วอย่างคงที่) สามารถเคลื่อนที่ผ่านได้ในปริภูมิเวลา: ระหว่างเหตุการณ์สองเหตุการณ์ใดๆ บนไฮเปอร์โบลาเส้นหนึ่ง ความสัมพันธ์เชิงสาเหตุเป็นไปได้ เพราะค่าผกผันของความชัน—ซึ่งแสดงถึงความเร็วที่จำเป็น—สำหรับเส้นตัดทั้งหมดมีค่าน้อยกว่าในทางกลับกัน เส้นไฮเปอร์โบลาสีเขียวที่ตัด แกน ctเป็นเส้นโค้งแบบปริภูมิ เพราะช่วงเวลาทั้งหมดตามไฮเปอร์โบลาเหล่านี้เป็นช่วงเวลาแบบปริภูมิ: ความสัมพันธ์เชิงสาเหตุเป็นไปไม่ได้ระหว่างจุดสองจุดใดๆ บนไฮเปอร์โบลาเส้นใดเส้นหนึ่ง เพราะเส้นตัดทั้งหมดแสดงถึงความเร็วที่มากกว่า ${\displaystyle c}$${\displaystyle c}$

รูปที่ 2-7b สะท้อนสถานการณ์ใน ปริภูมิเวลา Minkowski แบบ (1+2) มิติ (หนึ่งมิติเวลาและสองมิติอวกาศ) พร้อมด้วยไฮเปอร์โบโลอิดที่สอดคล้องกัน ไฮเปอร์โบลาที่ไม่เปลี่ยนแปลงซึ่งถูกเลื่อนด้วยช่วงเวลาเชิงพื้นที่จากจุดกำเนิดจะสร้างไฮเปอร์โบโลอิดแบบแผ่นเดียว ในขณะที่ไฮเปอร์โบลาที่ไม่เปลี่ยนแปลงซึ่งถูกเลื่อนด้วยช่วงเวลาเชิงเวลาจากจุดกำเนิดจะสร้างไฮเปอร์โบโลอิดแบบสองแผ่น

ขอบเขตมิติ (1+2) ระหว่างไฮเปอร์โบโลอิดแบบอวกาศและแบบเวลา ซึ่งกำหนดโดยเหตุการณ์ที่ก่อให้เกิดช่วงเวลาอวกาศเป็นศูนย์ไปยังจุดกำเนิด ถูกสร้างขึ้นโดยการทำให้ไฮเปอร์โบโลอิดเสื่อมสภาพไปเป็นกรวยแสง ในมิติ (1+1) ไฮเปอร์โบลาจะเสื่อมสภาพไปเป็นเส้นสีเทา 45° สองเส้นดังที่แสดงในรูปที่ 2-7a

รูปที่ 2-8 แสดงไฮเปอร์โบลาคงที่สำหรับเหตุการณ์ทั้งหมดที่สามารถเข้าถึงได้จากจุดกำเนิดในเวลาที่เหมาะสม 5 เมตร (โดยประมาณ)1.67 × 10 ⁻⁸  วินาที ) เส้นโลกที่แตกต่างกันแสดงถึงนาฬิกาที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วต่างกัน นาฬิกาที่อยู่นิ่งเมื่อเทียบกับผู้สังเกตจะมีเส้นโลกเป็นแนวตั้ง และเวลาที่ผ่านไปที่ผู้สังเกตวัดได้จะเท่ากับเวลาที่แท้จริง สำหรับนาฬิกาที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 0.3  cเวลาที่ผ่านไปที่ผู้สังเกตวัดได้คือ 5.24 เมตร (1.75 × 10 ⁻⁸  วินาที ) ในขณะที่สำหรับนาฬิกาที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 0.7  cเวลาที่ผ่านไปซึ่งวัดโดยผู้สังเกตคือ 7.00 เมตร (2.34 × 10 ⁻⁸  วินาที ). ^{[ 3 ] : 220–221}

สิ่งนี้แสดงให้เห็นถึงปรากฏการณ์ที่เรียกว่าการยืดเวลานาฬิกาที่เดินเร็วขึ้นจะใช้เวลานานขึ้น (ในกรอบอ้างอิงของผู้สังเกต) ในการเดินเวลาที่ถูกต้องเท่ากัน และจะเคลื่อนที่ไปตามแกน x ได้ไกลกว่าภายในเวลาที่ถูกต้องนั้นเมื่อเทียบกับกรณีที่ไม่มีการยืดเวลา^{[ 3 ] : 220–221} การวัดการยืดเวลาโดยผู้สังเกตสองคนในกรอบอ้างอิงเฉื่อยที่แตกต่างกันนั้นเป็นการวัดซึ่งกันและกัน หากผู้สังเกต O วัดนาฬิกาของผู้สังเกต O′ ว่าเดินช้าลงในกรอบของเขา ผู้สังเกต O′ ก็จะวัดนาฬิกาของผู้สังเกต O ว่าเดินช้าลงเช่นกัน

การหดตัวของความยาวเช่นเดียวกับการขยายตัวของเวลา เป็นปรากฏการณ์ที่แสดงให้เห็นถึงความสัมพันธ์เชิงสัมพัทธ์ของความพร้อมกัน การวัดความยาวจำเป็นต้องวัดช่วงเวลาในปริภูมิเวลาKระหว่างสองเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นพร้อมกันในกรอบอ้างอิงของเรา แต่โดยทั่วไปแล้ว เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นพร้อมกันในกรอบอ้างอิงหนึ่ง จะไม่เกิดขึ้นพร้อมกันในกรอบอ้างอิงอื่น

รูปที่ 2-9 แสดงการเคลื่อนที่ของแท่งยาว 1 เมตรที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 0.5  cไปตาม แกน xขอบของแถบสีน้ำเงินแสดงถึงเส้นโลกของจุดปลายทั้งสองของแท่ง ไฮเปอร์โบลาที่ไม่เปลี่ยนแปลงแสดงเหตุการณ์ที่แยกจากจุดกำเนิดด้วยช่วงอวกาศ 1 เมตร จุดปลาย O และ B ที่วัดเมื่อt ′  = 0 เป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นพร้อมกันในเฟรม S′ แต่สำหรับผู้สังเกตการณ์ในเฟรม S เหตุการณ์ O และ B ไม่เกิดขึ้นพร้อมกัน ในการวัดความยาว ผู้สังเกตการณ์ในเฟรม S จะวัดจุดปลายของแท่งตามที่ฉายลงบน แกน x ตามเส้นโลก การฉายภาพ แผ่นโลกของแท่งลงบน แกน xทำให้ได้ความยาวที่ย่อลง OC ^{[ 6 ] : 125}

(ไม่แสดงในภาพ) การลากเส้นแนวตั้งผ่านจุด A จนตัดกับ แกน x ′ แสดงให้เห็นว่า แม้ว่า OB จะดูสั้นลงจากมุมมองของผู้สังเกตการณ์ O แต่ OA ก็ดูสั้นลงจากมุมมองของผู้สังเกตการณ์ O′ เช่นกัน ในทำนองเดียวกันกับที่ผู้สังเกตการณ์แต่ละคนวัดนาฬิกาของอีกฝ่ายว่าเดินช้าลง ผู้สังเกตการณ์แต่ละคนก็วัดไม้บรรทัดของอีกฝ่ายว่าหดลงเช่นกัน

ในส่วนของการหดตัวของความยาวร่วมกันรูปที่ 2-9แสดงให้เห็นว่าเฟรมที่มีเครื่องหมายไพรม์และไม่มีเครื่องหมายไพรม์จะหมุน ซึ่งกันและกัน ด้วยมุมไฮเปอร์โบลิก (คล้ายกับมุมปกติในเรขาคณิตแบบยุคลิด) ^{[หมายเหตุ 8 ]}เนื่องจากการหมุนนี้ การฉายภาพของไม้บรรทัดที่มีเครื่องหมายไพรม์ลงบน แกน x ที่ไม่มีเครื่องหมายไพรม์ จึงสั้นลง ในขณะที่การฉายภาพของไม้บรรทัดที่ไม่มีเครื่องหมายไพรม์ลงบนแกน x′ ที่มีเครื่องหมายไพรม์ก็สั้นลงเช่นกัน

การยืดเวลาและการหดตัวของความยาวร่วมกันมักจะทำให้ผู้เริ่มต้นรู้สึกว่าเป็นแนวคิดที่ขัดแย้งกันเอง หากผู้สังเกตการณ์ในกรอบ S วัดนาฬิกาที่หยุดนิ่งในกรอบ S' ว่าเดินช้ากว่านาฬิกาของตนเอง ในขณะที่ S' กำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็วvใน S หลักการสัมพัทธภาพก็กำหนดให้ผู้สังเกตการณ์ในกรอบ S' วัดนาฬิกาในกรอบ S ที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว −v ใน S' ว่าเดินช้ากว่านาฬิกาของตนเองเช่นกัน คำถามสำคัญที่ "เป็นหัวใจสำคัญของการทำความเข้าใจทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ" คือนาฬิกาทั้งสองเรือนจะเดินช้ากว่า กันได้อย่างไร ^{[ 3 ] : 198}

ความขัดแย้งที่ปรากฏนี้เกิดจากการไม่ได้คำนึงถึงการตั้งค่าที่แตกต่างกันของการวัดที่จำเป็นและเกี่ยวข้องอย่างถูกต้อง การตั้งค่าเหล่านี้ช่วยให้สามารถอธิบาย ความขัดแย้งที่ ปรากฏเพียงอย่างเดียว ได้อย่างสอดคล้อง กัน มันไม่ได้เกี่ยวกับเสียงติ๊กของนาฬิกาที่เหมือนกันสองเรือน แต่เกี่ยวกับวิธีการวัดระยะห่างเชิงเวลาของเสียงติ๊กสองครั้งของนาฬิกาที่กำลังเคลื่อนที่ในกรอบอ้างอิงเดียว ปรากฏว่าในการสังเกตระยะเวลาระหว่างเสียงติ๊กของนาฬิกาแต่ละเรือนที่เคลื่อนที่ในกรอบอ้างอิงของตนเอง จำเป็นต้องใช้นาฬิกาชุดที่แตกต่างกัน ในการวัดระยะเวลาของเสียงติ๊กของนาฬิกาที่กำลังเคลื่อนที่ W′ (ซึ่งหยุดนิ่งใน S′) ในกรอบอ้างอิง S จำเป็นต้องใช้ นาฬิกาที่ซิงโครไนซ์กันเพิ่มเติมอีก สองเรือน W ₁และ W ₂ ซึ่งหยุดนิ่งอยู่ที่จุดคงที่สองจุด ใน S โดยมีระยะห่างเชิงพื้นที่d

สามารถกำหนดเหตุการณ์สองเหตุการณ์ได้ด้วยเงื่อนไข "นาฬิกาสองเรือนอยู่ ณ ที่เดียวกันพร้อมกัน" กล่าวคือ เมื่อ W′ ผ่าน W ₁และ W ₂สำหรับทั้งสองเหตุการณ์ จะมีการบันทึกค่าที่อ่านได้จากนาฬิกาทั้งสองเรือนที่อยู่ ณ ที่เดียวกัน ผลต่างของค่าที่อ่านได้จาก W ₁และ W ₂คือระยะห่างเชิงเวลาของเหตุการณ์ทั้งสองใน S และระยะห่างเชิงพื้นที่คือdผลต่างของค่าที่อ่านได้จาก W′ คือระยะห่างเชิงเวลาของเหตุการณ์ทั้งสองใน S′ ใน S′ เหตุการณ์เหล่านี้แยกจากกันเฉพาะในเวลาเท่านั้น พวกมันเกิดขึ้น ณ ที่เดียวกันใน S′ เนื่องจากความไม่เปลี่ยนแปลงของช่วงเวลาในปริภูมิเวลาที่ครอบคลุมโดยเหตุการณ์ทั้งสอง และการแยกเชิงพื้นที่d ที่ไม่เป็นศูนย์ ใน S ระยะห่างเชิงเวลาใน S′ จึงต้องน้อยกว่าใน S: ระยะห่างเชิงเวลาที่ น้อยกว่าระหว่างเหตุการณ์ทั้งสอง ซึ่งได้จากค่าที่อ่านได้จากนาฬิกา W′ ที่เคลื่อนที่ จะเป็นของนาฬิกา W′ ที่เดินช้ากว่า

ในทางกลับกัน สำหรับการตัดสินระยะห่างเชิงเวลาของเหตุการณ์สองเหตุการณ์บนนาฬิกาเคลื่อนที่ W (ซึ่งหยุดนิ่งอยู่ใน S) ในเฟรม S′ จำเป็นต้องมีนาฬิกาสองเรือนที่หยุดนิ่งอยู่ใน S′

ในการเปรียบเทียบนี้ นาฬิกา W กำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว−vการบันทึกค่าทั้งสี่ค่าสำหรับเหตุการณ์ที่กำหนดโดย "นาฬิกา 2 เรือนพร้อมกัน ณ ที่เดียวกัน" อีกครั้ง จะส่งผลให้ได้ระยะห่างเชิงเวลาที่คล้ายคลึงกันของเหตุการณ์ทั้งสอง ซึ่งใน S′ แยกจากกันทั้งในเชิงเวลาและเชิงพื้นที่ ในขณะที่ใน S แยกจากกันเฉพาะในเชิงเวลาแต่ตั้งอยู่ร่วมกัน เพื่อรักษาระยะเวลาของกาลอวกาศให้คงที่ ระยะห่างเชิงเวลาใน S ต้องน้อยกว่าใน S′ เนื่องจากเหตุการณ์แยกจากกันในเชิงพื้นที่ใน S′: ในที่นี้ นาฬิกา W จึงเดินช้าลง

การบันทึกที่จำเป็นสำหรับการตัดสินทั้งสองครั้ง โดยใช้ "นาฬิกาเคลื่อนที่หนึ่งเรือน" และ "นาฬิกาหยุดนิ่งสองเรือน" ใน S หรือ S′ ตามลำดับ เกี่ยวข้องกับชุดข้อมูลสองชุดที่แตกต่างกัน โดยแต่ละชุดมีนาฬิกาสามเรือน เนื่องจากมีชุดนาฬิกาที่แตกต่างกันที่เกี่ยวข้องกับการวัด จึงไม่มีความจำเป็นโดยเนื้อแท้ที่การวัดจะต้อง "สอดคล้องกัน" ซึ่งกันและกัน เช่น หากผู้สังเกตการณ์คนหนึ่งวัดนาฬิกาเคลื่อนที่ว่าช้า ผู้สังเกตการณ์อีกคนจะวัดนาฬิกาอีกเรือนว่าเร็ว^{[ 3 ] : 198–199}

รูปที่ 2-10 การยืดเวลาซึ่งกันและกัน

รูปที่ 2-10 แสดงให้เห็นถึงการอภิปรายก่อนหน้านี้เกี่ยวกับการยืดเวลาซึ่งกันและกันด้วยแผนภาพมินคอฟสกีภาพด้านบนสะท้อนการวัดที่มองเห็นจากเฟรม S "หยุดนิ่ง" ด้วยแกนสี่เหลี่ยมที่ไม่มีเครื่องหมายไพรม์ และเฟรม S′ "เคลื่อนที่ด้วยv  > 0" ซึ่งมีพิกัดเป็นแกนเฉียงที่มีเครื่องหมายไพรม์ เอียงไปทางขวา ภาพด้านล่างแสดงเฟรม S′ "หยุดนิ่ง" ด้วยพิกัดสี่เหลี่ยมที่มีเครื่องหมายไพรม์ และเฟรม S "เคลื่อนที่ด้วย − v  < 0" ด้วยแกนเฉียงที่ไม่มีเครื่องหมายไพรม์ เอียงไปทางซ้าย

แต่ละเส้นที่ลากขนานกับแกนพิกัดเชิงพื้นที่ ( x , x ′) แสดงถึงเส้นแห่งความพร้อมกัน เหตุการณ์ทั้งหมดบนเส้นดังกล่าวมีค่าเวลาเท่ากัน ( ct , ct ′) ในทำนองเดียวกัน แต่ละเส้นที่ลากขนานกับแกนพิกัดเชิงเวลา ( ct , ct′ ) แสดงถึงเส้นที่มีค่าพิกัดเชิงพื้นที่เท่ากัน ( x , x ′)

ในภาพทั้งสองภาพ เราอาจกำหนดจุดกำเนิดO (= O ′ ) เป็นเหตุการณ์ที่ "นาฬิกาเคลื่อนที่" แต่ละเรือนอยู่ร่วมกับ "นาฬิกาเรือนแรกที่หยุดนิ่ง" ในการเปรียบเทียบทั้งสองครั้ง เห็นได้ชัดว่า สำหรับเหตุการณ์นี้ ค่าที่อ่านได้จากนาฬิกาทั้งสองเรือนในการเปรียบเทียบทั้งสองครั้งเป็นศูนย์ ดังนั้น เส้นทางเดินของนาฬิกาเคลื่อนที่จึงเป็นแกนct ′ ที่เอียงไปทางขวา (ภาพบน นาฬิกา W′) และแกน ctที่เอียงไปทางซ้าย(ภาพล่าง นาฬิกา W) เส้นทางเดินของ W ₁และ W′ ₁คือแกนเวลาแนวตั้งที่สอดคล้องกัน ( ctในภาพบน และct ′ ในภาพล่าง)

ในภาพด้านบน ตำแหน่งของ W ₂ถูกกำหนดให้เป็นA _x > 0 ดังนั้นเส้นโลก (ไม่ได้แสดงในภาพ) ของนาฬิกาเรือนนี้จึงตัดกับเส้นโลกของนาฬิกาที่กำลังเคลื่อนที่ ( แกน ct ′) ในเหตุการณ์ที่ระบุว่าA ซึ่ง "นาฬิกา 2 เรือนอยู่ ณ ที่เดียวกันพร้อมกัน" ในภาพด้านล่าง ตำแหน่งของ W′ ₂ถูกกำหนดให้เป็นC _{x ′}  < 0 ดังนั้นในการวัดนี้ นาฬิกาที่กำลังเคลื่อนที่ W ผ่าน W′ ₂ในเหตุการณ์C

ในภาพด้านบนพิกัดct A _tของเหตุการณ์A (ค่าที่อ่านได้จาก W ₂ ) ถูกกำหนดให้เป็นBดังนั้นจึงให้เวลาที่ผ่านไประหว่างสองเหตุการณ์ ซึ่งวัดด้วย W ₁และ W ₂เป็นOBเพื่อเปรียบเทียบ ความยาวของช่วงเวลาOAซึ่งวัดด้วย W′ จะต้องถูกแปลงให้เข้ากับมาตราส่วนของ แกน ctซึ่งทำได้โดยใช้ไฮเปอร์โบลาไม่แปรเปลี่ยน (ดูรูปที่ 2-8 ด้วย) ผ่านAซึ่งเชื่อมต่อเหตุการณ์ทั้งหมดที่มีช่วงเวลาในปริภูมิเวลาเดียวกันจากจุดกำเนิดเป็นAส่งผลให้เหตุการณ์Cอยู่บน แกน ctและเห็นได้ชัดว่า: OC  <  OBนาฬิกา W′ ที่ "เคลื่อนที่" จึงเดินช้าลง

เพื่อแสดงการยืดเวลาซึ่งกันและกันในภาพด้านบนทันที เหตุการณ์Dอาจถูกสร้างขึ้นเป็นเหตุการณ์ที่x ′ = 0 (ตำแหน่งของนาฬิกา W′ ใน S′) ซึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับC ( OCมีช่วงเวลาอวกาศเท่ากับOA ) ใน S′ สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าช่วงเวลาODยาวกว่าOAซึ่งแสดงให้เห็นว่านาฬิกาที่ "เคลื่อนที่" เดินช้าลง^{[ 6 ] : 124}

ในภาพด้านล่าง เฟรม S กำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว−vในเฟรม S′ ที่หยุดนิ่ง เส้นทางเดินของนาฬิกา W คือแกนct (เอียงไปทางซ้าย) เส้นทางเดินของ W′ ₁คือ แกน ct ′ แนวตั้ง และเส้นทางเดินของ W′ ₂คือเส้นแนวตั้งที่ผ่านเหตุการณ์Cโดยมี พิกัด ct ′ คือDไฮเปอร์โบลาที่ไม่เปลี่ยนแปลงที่ผ่านเหตุการณ์Cจะปรับขนาดช่วงเวลาOCเป็นOAซึ่งสั้นกว่าODนอกจากนี้Bถูกสร้างขึ้น (คล้ายกับDในภาพด้านบน) พร้อมกันกับAใน S ที่x  = 0 ผลลัพธ์OB  >  OCสอดคล้องกับข้างต้นอีกครั้ง

คำว่า "วัด" มีความสำคัญ ในฟิสิกส์คลาสสิก ผู้สังเกตไม่สามารถส่งผลกระทบต่อวัตถุที่ถูกสังเกตได้ แต่สถานะการเคลื่อนที่ของวัตถุสามารถ ส่งผลกระทบต่อ การสังเกตของ ผู้สังเกตได้

บทนำมากมายเกี่ยวกับทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษแสดงให้เห็นความแตกต่างระหว่างทฤษฎีสัมพัทธภาพแบบกาลิเลียนและทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษโดยการตั้ง "ความขัดแย้ง" หลายประการ ความขัดแย้งเหล่านี้แท้จริงแล้วเป็นปัญหาที่ไม่ถูกต้อง ซึ่งเกิดจากความไม่คุ้นเคยของเรากับความเร็วที่เทียบได้กับความเร็วแสง วิธีแก้ไขคือการแก้ปัญหามากมายในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษและทำความคุ้นเคยกับสิ่งที่เรียกว่าการทำนายที่ขัดกับสัญชาตญาณ วิธีการทางเรขาคณิตในการศึกษากาลอวกาศถือเป็นหนึ่งในวิธีที่ดีที่สุดในการพัฒนาสัญชาตญาณสมัยใหม่^{[ 37 ]}

ปรากฏการณ์แฝดเป็นการทดลองทางความคิดที่เกี่ยวข้องกับแฝดเหมือนกันสองคน คนหนึ่งเดินทางไปในอวกาศด้วยจรวดความเร็วสูง กลับมาบ้านแล้วพบว่าแฝดอีกคนที่อยู่บนโลกมีอายุมากขึ้น ผลลัพธ์นี้ดูน่าสับสนเพราะแฝดแต่ละคนสังเกตเห็นแฝดอีกคนเคลื่อนไหว ดังนั้นเมื่อมองแวบแรก ดูเหมือนว่าแต่ละคนควรจะพบว่าอีกคนมีอายุน้อยลง ปรากฏการณ์แฝดหลีกเลี่ยงการให้เหตุผลสำหรับการยืดเวลาซึ่งกันและกันที่นำเสนอไว้ข้างต้นโดยหลีกเลี่ยงข้อกำหนดสำหรับนาฬิกาเรือนที่สาม^{[ 3 ] : 207} อย่างไรก็ตามปรากฏการณ์แฝดไม่ใช่ความขัดแย้งที่แท้จริงเพราะสามารถเข้าใจได้ง่ายภายในบริบทของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ

ความรู้สึกว่ามีความขัดแย้งเกิดขึ้นจากความเข้าใจผิดเกี่ยวกับสิ่งที่ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษกล่าวไว้ ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษไม่ได้ประกาศว่ากรอบอ้างอิงทั้งหมดเทียบเท่ากัน เพียงแต่กรอบอ้างอิงเฉื่อยเท่านั้น กรอบอ้างอิงของฝาแฝดที่เดินทางไม่เฉื่อยในช่วงเวลาที่เธอกำลังเร่งความเร็ว ยิ่งไปกว่านั้น ความแตกต่างระหว่างฝาแฝดสามารถตรวจจับได้จากการสังเกต: ฝาแฝดที่เดินทางต้องจุดจรวดของเธอเพื่อที่จะกลับบ้านได้ ในขณะที่ฝาแฝดที่อยู่บ้านไม่จำเป็นต้องทำเช่นนั้น^{[ 38 ] [หมายเหตุ 9 ]}

ความแตกต่างเหล่านี้ควรส่งผลให้เกิดความแตกต่างในอายุของฝาแฝด แผนภาพกาลอวกาศในรูปที่ 2-11 แสดงกรณีง่ายๆ ของฝาแฝดที่เดินทางตรงไปตามแกน x แล้วหันกลับมาทันที จากมุมมองของฝาแฝดที่อยู่บ้าน ไม่มีอะไรน่าสงสัยเกี่ยวกับความขัดแย้งของฝาแฝดเลย เวลาที่แท้จริงที่วัดตามเส้นทางโลกของฝาแฝดที่เดินทางจาก O ไป C บวกกับเวลาที่แท้จริงที่วัดจาก C ไป B นั้นน้อยกว่าเวลาที่แท้จริงของฝาแฝดที่อยู่บ้านที่วัดจาก O ไป A ไป B วิถีที่ซับซ้อนกว่านี้จำเป็นต้องรวมเวลาที่แท้จริงระหว่างเหตุการณ์ต่างๆ ตามเส้นโค้ง (เช่นปริพันธ์เส้นทาง ) เพื่อคำนวณปริมาณเวลาที่แท้จริงทั้งหมดที่ฝาแฝดที่เดินทางประสบ^{[ 38 ]}

หากวิเคราะห์ปรากฏการณ์แฝดจากมุมมองของแฝดที่เดินทาง จะเกิดความซับซ้อนขึ้น

ต่อไปนี้จะใช้ระบบการตั้งชื่อของไวส์ ซึ่งกำหนดให้ฝาแฝดที่อยู่บ้านคือเทเรนซ์ และฝาแฝดที่เดินทางคือสเตลลา^{[ 38 ]}

Stella ไม่ได้อยู่ในกรอบอ้างอิงเฉื่อย เมื่อพิจารณาข้อเท็จจริงนี้ บางครั้งจึงกล่าวอย่างไม่ถูกต้องว่าการแก้ปัญหาความขัดแย้งของฝาแฝดอย่างสมบูรณ์ต้องอาศัยทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป: ^{[ 38 ]}

การวิเคราะห์ SR บริสุทธิ์จะเป็นดังนี้: เมื่อวิเคราะห์ในกรอบอ้างอิงของสเตลล่า เธอจะอยู่นิ่งตลอดการเดินทาง เมื่อเธอจุดจรวดเพื่อกลับตัว เธอจะประสบกับแรงเสมือนที่คล้ายกับแรงโน้มถ่วง^{[ 38 ]}รูปที่ 2-6และ 2-11 แสดงให้เห็นถึงแนวคิดของเส้น (ระนาบ) ของความพร้อมกัน: เส้นที่ขนานกับ แกน x ของผู้สังเกต ( ระนาบ xy ) แสดงถึงชุดของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นพร้อมกันในกรอบอ้างอิงของผู้สังเกต ในรูปที่ 2-11 เส้นสีน้ำเงินเชื่อมต่อเหตุการณ์บนเส้นโลกของเทเรนซ์ ซึ่งจากมุมมองของสเตลล่าจะเกิดขึ้นพร้อมกับเหตุการณ์บนเส้นโลกของเธอ (เทเรนซ์จะสังเกตเห็นชุดของเส้นแนวนอนของความพร้อมกัน) ตลอดทั้งขาออกและขาเข้าของการเดินทางของสเตลล่า เธอวัดนาฬิกาของเทเรนซ์ได้ว่าเดินช้ากว่านาฬิกาของเธอเองแต่ในช่วงการกลับตัว (เช่น ระหว่างเส้นสีน้ำเงินหนาในรูป) จะเกิดการเปลี่ยนแปลงในมุมของเส้นความพร้อมกันของเธอ ซึ่งสอดคล้องกับการข้ามเหตุการณ์อย่างรวดเร็วในเส้นเวลาของเทเรนซ์ที่สเตลล่าคิดว่าเกิดขึ้นพร้อมกันกับของเธอเอง ดังนั้น ในตอนท้ายของการเดินทาง สเตลล่าพบว่าเทเรนซ์มีอายุมากกว่าเธอ^{[ 38 ]}

แม้ว่าทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปจะไม่จำเป็นสำหรับการวิเคราะห์ปรากฏการณ์แฝด แต่การประยุกต์ใช้หลักการสมดุลของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปก็ให้ข้อมูลเชิงลึกเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ สเตลล่าไม่ได้อยู่นิ่งในกรอบอ้างอิงเฉื่อย เมื่อวิเคราะห์ในกรอบอ้างอิงพักของสเตลล่า เธอจะอยู่นิ่งตลอดการเดินทาง เมื่อเธอกำลังแล่นไป กรอบอ้างอิงพักของเธอจะเป็นกรอบอ้างอิงเฉื่อย และนาฬิกาของเทเรนซ์จะดูเหมือนเดินช้าลง แต่เมื่อเธอจุดจรวดเพื่อกลับตัว กรอบอ้างอิงพักของเธอจะเป็นกรอบอ้างอิงเร่งความเร็ว และเธอจะประสบกับแรงที่ผลักเธอราวกับว่าเธออยู่ในสนามโน้มถ่วง เทเรนซ์จะดูเหมือนอยู่สูงขึ้นไปในสนามนั้น และเนื่องจากการยืดเวลาเนื่องจากแรงโน้มถ่วงนาฬิกาของเขาจะดูเหมือนเดินเร็วขึ้นมาก จนผลลัพธ์สุทธิคือเทเรนซ์จะมีอายุมากกว่าสเตลล่าเมื่อพวกเขากลับมาอยู่ด้วยกัน^{[ 38 ]}ข้อโต้แย้งทางทฤษฎีที่ทำนายการยืดเวลาเนื่องจากแรงโน้มถ่วงนั้นไม่ได้จำกัดเฉพาะทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปเท่านั้น ทฤษฎีแรงโน้มถ่วงใดๆ ก็ตามจะทำนายการยืดเวลาเนื่องจากแรงโน้มถ่วงได้ หากทฤษฎีนั้นเคารพหลักการสมดุล รวมถึงทฤษฎีของนิวตันด้วย^{[ 3 ] : 16}

ส่วนนำนี้เน้นที่ปริภูมิเวลาของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ เนื่องจากอธิบายได้ง่ายที่สุด ปริภูมิเวลาของมิงโกวสกีแบนราบ ไม่คำนึงถึงแรงโน้มถ่วง มีความสม่ำเสมอทั่วทั้งปริภูมิ และทำหน้าที่เป็นเพียงพื้นหลังคงที่สำหรับเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในนั้น การมีอยู่ของแรงโน้มถ่วงทำให้การอธิบายปริภูมิเวลามีความซับซ้อนมากขึ้น ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป ปริภูมิเวลาไม่ได้เป็นพื้นหลังคงที่อีกต่อไป แต่มีปฏิสัมพันธ์อย่างแข็งขันกับระบบทางกายภาพที่บรรจุอยู่ ปริภูมิเวลาโค้งงอเมื่อมีสสาร สามารถแพร่กระจายคลื่น หักเหแสง และแสดงปรากฏการณ์อื่นๆ อีกมากมาย^{[ 3 ] : 221} ปรากฏการณ์เหล่านี้บางส่วนจะอธิบายไว้ในส่วนต่อๆ ไปของบทความนี้

เป้าหมายพื้นฐานคือการเปรียบเทียบการวัดที่ทำโดยผู้สังเกตการณ์ที่เคลื่อนที่สัมพัทธ์กัน หากมีผู้สังเกตการณ์ O ในกรอบอ้างอิง S ที่วัดพิกัดเวลาและพื้นที่ของเหตุการณ์หนึ่ง โดยกำหนดพิกัดคาร์ทีเซียนสามพิกัดและเวลาที่วัดได้บนโครงข่ายนาฬิกาที่ซิงโครไนซ์กันของเขา( x , y , z , t ) (ดูรูปที่ 1-1 ) ผู้สังเกตการณ์คนที่สอง O′ ในกรอบอ้างอิง S′ ที่แตกต่างกัน วัดเหตุการณ์เดียวกันในระบบพิกัดและโครงข่ายนาฬิกาที่ซิงโครไนซ์กันของเธอ( x ′ , y ′ , z ′ , t ′ )ด้วยกรอบอ้างอิงเฉื่อย ผู้สังเกตการณ์ทั้งสองจะไม่มีความเร่ง และชุดสมการง่ายๆ ช่วยให้เราสามารถเชื่อมโยงพิกัด( x , y , z , t )กับ( x ′ , y ′ , z ′ , t ′ )ได้ เนื่องจากระบบพิกัดทั้งสองอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน หมายความว่าระบบพิกัดทั้งสองอยู่ในแนวขนานกัน( x , y , z )และt = 0เมื่อt ′ = 0การแปลงพิกัดจึงเป็นดังนี้: ^{[ 39 ] [ 40 ]}

${\displaystyle x'=x-vt}$

${\displaystyle y'=y}$

${\displaystyle z'=z}$

${\displaystyle t'=t.}$

รูปที่ 3-1 แสดงให้เห็นว่าในทฤษฎีของนิวตัน เวลาเป็นสากล ไม่ใช่ความเร็วแสง^{[ 41 ] : 36–37} ลองพิจารณาการทดลองทางความคิดต่อไปนี้: ลูกศรสีแดงแสดงให้เห็นรถไฟที่กำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 0.4 c เมื่อเทียบกับชานชาลา ภายในรถไฟ ผู้โดยสารยิงกระสุนด้วยความเร็ว 0.4 c ในกรอบอ้างอิงของรถไฟ ลูกศรสีน้ำเงินแสดงให้เห็นว่าบุคคลที่ยืนอยู่บนรางรถไฟวัดกระสุนได้ว่าเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 0.8 c ซึ่งสอดคล้องกับความคาดหวังแบบง่ายๆ ของเรา

โดยทั่วไปแล้ว สมมติว่าเฟรม S′ กำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็วvเทียบกับเฟรม S แล้ว ภายในเฟรม S′ ผู้สังเกตการณ์ O′ จะวัดวัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วu ′ความเร็วuเทียบกับเฟรม S เนื่องจากx = ut , x ′ = x − vtและt = t ′จึงสามารถเขียนได้เป็นx ′ = ut − vt = ( u − v ) t = ( u − v ) t ′ซึ่งนำไปสู่​​u ′ = x ′ / t ′และในที่สุด

${\displaystyle u'=u-v}$  หรือ  ${\displaystyle u=u'+v,}$

ซึ่งเป็นกฎของกาลิเลโอที่เข้าใจง่ายสำหรับการบวกความเร็ว

องค์ประกอบของความเร็วในปริภูมิเวลาเชิงสัมพัทธภาพนั้นแตกต่างกันออกไป เพื่อลดความซับซ้อนของสมการลงเล็กน้อย เราจึงนำเสนอสัญลักษณ์ย่อทั่วไปสำหรับอัตราส่วนของความเร็วของวัตถุเทียบกับความเร็วแสง

${\displaystyle \beta =v/c}$

รูปที่ 3-2a แสดงภาพรถไฟสีแดงที่กำลังเคลื่อนที่ไปข้างหน้าด้วยความเร็วที่กำหนดโดยv / c = β = s / aจากกรอบอ้างอิงของรถไฟ ผู้โดยสารยิงกระสุนด้วยความเร็วที่กำหนดโดยu ′ / c = β ′ = n / mโดยที่ระยะทางวัดตามแนวเส้นตรงที่ขนานกับ แกน x ′ สีแดง แทนที่จะขนานกับ แกน x สีดำ ความเร็วรวมuของกระสุนเทียบกับชานชาลาซึ่งแสดงด้วยลูกศรสีน้ำเงินคือเท่าใด อ้างอิงจากรูปที่ 3-2b:

1. จากแท่นยิง ความเร็วรวมของกระสุนจะคำนวณได้จากสูตรu = c ( s + r ) /( a + b )
2. รูป สามเหลี่ยมสีเหลืองสองรูปนี้คล้ายกันเพราะเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมร่วมกันคือαในรูปสามเหลี่ยมสีเหลืองขนาดใหญ่ อัตราส่วนs / a = v / c = β
3. อัตราส่วนของด้านที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมสีเหลืองสองรูป นั้นคงที่ ดังนั้นr / a = b / s = n / m = β ′ดังนั้นb = u ′ s / cและr = u ′ a / c
4. แทนที่นิพจน์สำหรับbและrลงในนิพจน์สำหรับuในขั้นตอนที่ 1 เพื่อให้ได้สูตรของไอน์สไตน์สำหรับการบวกความเร็ว: ^{[ 41 ] : 42–48}

   ${\displaystyle u={v+u' \over 1+(vu'/c^{2})}.}$

สูตรสัมพัทธภาพสำหรับการบวกความเร็วที่นำเสนอข้างต้นมีลักษณะสำคัญหลายประการ:

• ถ้าu ′และvมีค่าน้อยมากเมื่อเทียบกับความเร็วแสง ผลคูณvu ′ / c ²จะมีค่าน้อยมากจนแทบเป็นศูนย์ และผลลัพธ์โดยรวมจะแยกไม่ออกจากสูตรของกาลิเลโอ (สูตรของนิวตัน) สำหรับการบวกความเร็ว: u  =  u ′  +  vสูตรของกาลิเลโอเป็นกรณีพิเศษของสูตรสัมพัทธภาพที่ใช้ได้กับความเร็วต่ำ
• ถ้าu ′ถูกกำหนดให้เท่ากับcแล้วสูตรจะให้ผลลัพธ์เป็นu  =  cโดยไม่คำนึงถึงค่าเริ่มต้นของvความเร็วของแสงจะเท่ากันสำหรับผู้สังเกตการณ์ทุกคนโดยไม่คำนึงถึงการเคลื่อนที่ของพวกเขาเมื่อเทียบกับแหล่งกำเนิด^{[ 41 ] : 49}

การหาค่าแสดงปริมาณสำหรับการยืดเวลาและการหดตัวของความยาวนั้นทำได้ง่าย ภาพที่ 3-3 เป็นภาพประกอบที่ประกอบด้วยเฟรมแต่ละเฟรมจากแอนิเมชันสองเรื่องก่อนหน้า ซึ่งได้รับการปรับให้เรียบง่ายและติดป้ายกำกับใหม่เพื่อให้เหมาะสมกับส่วนนี้

เพื่อลดความซับซ้อนของสมการลงเล็กน้อย จึงมีสัญลักษณ์ย่อต่างๆ มากมายสำหรับctดังนี้:

${\displaystyle \mathrm {T} =ct}$และพบได้ทั่วไป${\displaystyle w=ct}$

นอกจากนี้ยังพบเห็นการใช้ธรรมเนียมปฏิบัติดังกล่าวบ่อยครั้งมาก${\displaystyle c=1.}$

ในรูปที่ 3-3a ส่วนOAและOKแทนช่วงเวลาเท่ากันในปริภูมิเวลา การยืดเวลาแสดงด้วยอัตราส่วนOB / OKไฮเปอร์โบลาไม่แปรเปลี่ยนมีสมการw = √ x ² + k ²โดยที่k  =  OKและเส้นสีแดงที่แสดงเส้นทางโลกของอนุภาคที่กำลังเคลื่อนที่มีสมการw  =  x / β  =  xc / vการคำนวณทางพีชคณิตเล็กน้อยจะได้${\textstyle OB=OK/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}.}$

นิพจน์ที่เกี่ยวข้องกับสัญลักษณ์รากที่สองปรากฏบ่อยมากในทฤษฎีสัมพัทธภาพ และหนึ่งเหนือนิพจน์เรียกว่าปัจจัยลอเรนซ์ ซึ่งแสดงด้วยอักษรกรีกแกมมา: ^{[ 42 ]}${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}$

ถ้าvมากกว่าหรือเท่ากับcนิพจน์สำหรับจะไม่มีความหมายทางกายภาพ ซึ่งหมายความว่าcคือความเร็วสูงสุดที่เป็นไปได้ในธรรมชาติ สำหรับv ใดๆ ที่มากกว่าศูนย์ ค่าตัวประกอบลอเรนซ์จะมากกว่าหนึ่ง แม้ว่ารูปร่างของเส้นโค้งจะเป็นเช่นนั้น สำหรับความเร็วต่ำ ค่าตัวประกอบลอเรนซ์จะใกล้เคียงกับหนึ่งมาก ${\displaystyle \gamma }$

ในรูปที่ 3-3b ส่วนOAและOKแทนช่วงเวลาในปริภูมิที่เท่ากัน การหดตัวของความยาวแสดงด้วยอัตราส่วนOB / OKไฮเปอร์โบลาไม่แปรเปลี่ยนมีสมการx = √ w ² + k ²โดยที่k  =  OKและขอบของแถบสีน้ำเงินที่แสดงเส้นโลกของจุดปลายของแท่งที่กำลังเคลื่อนที่มีความชัน 1/ β  =  c / vเหตุการณ์ A มีพิกัด ( x ,  w ) = ( γk ,  γβk ) เนื่องจากเส้นสัมผัสที่ผ่าน A และ B มีสมการw  = ( x  −  OB )/ βเราจึงได้γβk  = ( γk  −  OB )/ βและ

${\displaystyle OB/OK=\gamma (1-\beta ^{2})={\frac {1}{\gamma }}}$

การแปลงแบบกาลิเลโอและกฎการบวกความเร็วที่เป็นไปตามหลักการทั่วไปนั้นใช้ได้ผลดีในโลกแห่งความเร็วต่ำทั่วไปของเรา เช่น เครื่องบิน รถยนต์ และลูกบอล อย่างไรก็ตาม ตั้งแต่กลางศตวรรษที่ 19 เป็นต้นมา เครื่องมือทางวิทยาศาสตร์ที่มีความไวสูงเริ่มค้นพบความผิดปกติที่ไม่สอดคล้องกับการบวกความเร็วแบบปกติ

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ การแปลงลอเรนซ์ใช้ในการแปลงพิกัดของเหตุการณ์จากกรอบอ้างอิงหนึ่งไปยังอีกกรอบอ้างอิงหนึ่ง

ปัจจัยลอเรนซ์ปรากฏอยู่ในการแปลงลอเรนซ์:

${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\x'&=\gamma \left(x-vt\right)\\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}}$

การแปลงลอเรนซ์ผกผันมีดังนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma \left(t'+{\frac {vx'}{c^{2}}}\right)\\x&=\gamma \left(x'+vt'\right)\\y&=y'\\z&=z'\end{aligned}}}$

เมื่อv  ≪  cและxมีค่าเล็กพอ พจน์ v ² / c ²และvx / c ²จะเข้าใกล้ศูนย์ และการแปลงลอเรนซ์จะใกล้เคียงกับการแปลงกาลิเลียน

${\displaystyle t'=\gamma (t-vx/c^{2}),}$${\displaystyle x'=\gamma (x-vt)}$ฯลฯ โดยส่วนใหญ่มักหมายถึงฯลฯ แม้ว่าเพื่อความกระชับ สมการการแปลงลอเรนซ์จะเขียนโดยไม่มีเดลต้าxหมายถึง Δx เป็นต้นโดยทั่วไปแล้ว เรามักสนใจความแตกต่าง ของพื้นที่และเวลาที่เกิดขึ้น ระหว่างเหตุการณ์ต่างๆ ${\displaystyle \Delta t'=\gamma (\Delta t-v\Delta x/c^{2}),}$${\displaystyle \Delta x'=\gamma (\Delta x-v\Delta t)}$

การเรียกชุดการแปลงชุดหนึ่งว่าการแปลงลอเรนซ์ปกติ และอีกชุดหนึ่งว่าการแปลงผกผันนั้นทำให้เข้าใจผิด เนื่องจากไม่มีความแตกต่างที่แท้จริงระหว่างเฟรม ผู้เขียนหลายคนเรียกชุดการแปลงชุดใดชุดหนึ่งว่าชุด "ผกผัน" การแปลงไปข้างหน้าและการแปลงผกผันมีความสัมพันธ์กันอย่างง่ายๆ เนื่องจาก เฟรม Sสามารถเคลื่อนที่ไปข้างหน้าหรือถอยหลังได้เท่านั้นเมื่อเทียบกับS ′ดังนั้นการผกผันสมการจึงเกี่ยวข้องกับการสลับตัวแปรที่มีเครื่องหมายไพรม์และไม่มีเครื่องหมายไพรม์ และแทนที่vด้วย − v [ ^{43 ] : 71–79}

ตัวอย่าง:เทเรนซ์และสเตลล่ากำลังเข้าร่วมการแข่งขันอวกาศจากโลกไปยังดาวอังคาร เทเรนซ์เป็นเจ้าหน้าที่ประจำจุดเริ่มต้น ในขณะที่สเตลล่าเป็นผู้เข้าร่วมการแข่งขัน ณ เวลาt = t ′ = 0ยานอวกาศของสเตลล่าเร่งความเร็วขึ้นทันทีเป็นความเร็ว 0.5  cระยะทางจากโลกถึงดาวอังคารคือ 300 วินาทีแสง (ประมาณ90.0 × 10⁶ ^กม  . ) เทเรนซ์สังเกตเห็นสเตลล่าแล่นผ่านนาฬิกาเส้นชัยที่เวลาt  = 600.00 วินาทีแต่สเตลล่าสังเกตเวลาบนนาฬิกาโครโนมิเตอร์ของยานเธอแล้วพบว่าเวลาที่เธอแล่นผ่านเส้นชัยคือ⁠ ⁠${\displaystyle t^{\prime }=\gamma \left(t-vx/c^{2}\right)=519.62\ {\text{s}}}$และเธอคำนวณระยะห่างระหว่างเส้นเริ่มต้นและเส้นชัย โดยวัดจากกรอบอ้างอิงของเธอ ได้เป็น 259.81 วินาทีแสง (ประมาณ 90.0 × 10⁶ กม.)77.9 × 10 ⁶  กม . ). 1).

มีการพิสูจน์การแปลงลอเรนซ์ หลายสิบครั้ง นับตั้งแต่ผลงานดั้งเดิมของไอน์สไตน์ในปี 1905 โดยแต่ละครั้งมีจุดเน้นเฉพาะของตนเอง แม้ว่าการพิสูจน์ของไอน์สไตน์จะอิงตามความไม่เปลี่ยนแปลงของความเร็วแสง แต่ก็มีหลักการทางฟิสิกส์อื่นๆ ที่สามารถใช้เป็นจุดเริ่มต้นได้ ในที่สุด จุดเริ่มต้นทางเลือกเหล่านี้สามารถถือได้ว่าเป็นการแสดงออกที่แตกต่างกันของหลักการพื้นฐานของความเป็นท้องถิ่นซึ่งระบุว่าอิทธิพลที่อนุภาคหนึ่งกระทำต่ออนุภาคอื่นไม่สามารถส่งผ่านได้ทันที^{[ 44 ]}

การพิสูจน์ที่ให้ไว้ในที่นี้และแสดงในรูปที่ 3-5 นั้นอิงตามการพิสูจน์ที่นำเสนอโดย Bais ^{[ 41 ] : 64–66} และใช้ผลลัพธ์ก่อนหน้าจากส่วนการประกอบความเร็วเชิงสัมพัทธภาพ การยืดเวลา และการหดตัวของความยาว เหตุการณ์ P มีพิกัด( w , x )ใน "ระบบหยุดนิ่ง" สีดำ และพิกัด( w ′ , x ′ )ในกรอบสีแดงที่กำลังเคลื่อนที่ด้วยพารามิเตอร์ความเร็วβ = v / cในการกำหนดw ′และx ′ในรูปของwและx (หรือในทางกลับกัน) ในตอนแรกจะง่ายกว่าหากทำการหาอนุพันธ์ของการแปลงลอเรนซ์ ผกผัน

1. ไม่มีการขยาย/หดตัวของความยาวในทิศทางขวางได้y 'ต้องเท่ากับyและz 'ต้องเท่ากับzมิฉะนั้น ลูกบอลขนาด 1 เมตรที่เคลื่อนที่เร็วจะสามารถลอดผ่านรูวงกลมขนาด 1 เมตรได้หรือไม่นั้น จะขึ้นอยู่กับผู้สังเกตการณ์ สมมติฐานข้อแรกของทฤษฎีสัมพัทธภาพระบุว่ากรอบอ้างอิงเฉื่อยทั้งหมดเทียบเท่ากัน และการขยาย/หดตัวตามขวางจะละเมิดกฎนี้^{[ 43 ] : 27–28}
2. จากภาพวาด จะได้ว่าw = a + bและx = r + s
3. จาก ผลลัพธ์ก่อนหน้านี้ที่ใช้สามเหลี่ยมคล้ายกัน เราทราบว่าs / a = b / r = v / c = β
4. เนื่องจากการยืดเวลาa = γw ′
5. เมื่อแทนสมการ (4) ลงในs / a = βจะได้s = γw ′ β
6. การหดตัวของความยาวและสามเหลี่ยมคล้ายทำให้เราได้r = γx ′และb = βr = βγx ′
7. เมื่อแทนค่าs , a , rและbลงในสมการในขั้นตอนที่ 2 จะได้ผลลัพธ์ทันที$${\displaystyle {\begin{aligned}w&=\gamma w'+\beta \gamma x'\\x&=\gamma x'+\beta \gamma w'\end{aligned}}}$$

สมการข้างต้นเป็นนิพจน์ทางเลือกสำหรับสมการ t และ x ของการแปลงลอเรนซ์ผกผัน ดังที่เห็นได้จากการแทนที่ctด้วยw , ct ′ด้วยw ′และv / cด้วยβจากการแปลงผกผัน เราสามารถหาสมการของการแปลงไปข้างหน้าได้โดยการแก้หา t ′และx ′

การแปลงลอเรนซ์มีคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าความเป็นเส้นตรง เนื่องจากx ′และt ′ได้มาจากการรวมกันเชิงเส้นของxและtโดยไม่มีกำลังที่สูงกว่าเข้ามาเกี่ยวข้อง ความเป็นเส้นตรงของการแปลงสะท้อนถึงคุณสมบัติพื้นฐานของกาลอวกาศที่ถูกสมมติไว้โดยปริยายในการพิสูจน์ นั่นคือ คุณสมบัติของกรอบอ้างอิงเฉื่อยไม่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งและเวลา ในกรณีที่ไม่มีแรงโน้มถ่วง กาลอวกาศจะดูเหมือนกันทุกที่^{[ 41 ] : 67} ผู้สังเกตการณ์เฉื่อยทั้งหมดจะเห็นพ้องต้องกันว่าอะไรคือการเคลื่อนที่แบบเร่งความเร็วและไม่เร่งความเร็ว^{[ 43 ] : 72–73} ผู้สังเกตการณ์แต่ละคนสามารถใช้การวัดกาลอวกาศของตนเองได้ แต่ไม่มีอะไรที่แน่นอนเกี่ยวกับการวัดเหล่านั้น ข้อตกลงของผู้สังเกตการณ์คนอื่นก็ใช้ได้เช่นกัน^{[ 3 ] : 190}

ผลประการหนึ่งของความเป็นเชิงเส้นคือ หากใช้การแปลงลอเรนซ์สองครั้งติดต่อกัน ผลลัพธ์ที่ได้ก็จะเป็นการแปลงลอเรนซ์เช่นกัน

ตัวอย่าง:เทเรนซ์สังเกตเห็นสเตลล่าเคลื่อนที่ออกห่างจากเขาด้วยความเร็ว 0.500  cและเขาสามารถใช้การแปลงลอเรนซ์ด้วยβ  = 0.500เพื่อเชื่อมโยงการวัดของสเตลล่ากับการวัดของเขาเอง สเตลล่าในกรอบอ้างอิงของเธอ สังเกตเห็นเออร์ซูล่าเคลื่อนที่ออกห่างจากเธอด้วยความเร็ว 0.250  cและเธอสามารถใช้การแปลงลอเรนซ์ด้วยβ  = 0.250เพื่อเชื่อมโยงการวัดของเออร์ซูล่ากับการวัดของเธอเอง เนื่องจากความเป็นเชิงเส้นของการแปลงและองค์ประกอบเชิงสัมพัทธภาพของความเร็ว เทเรนซ์จึงสามารถใช้การแปลงลอเรนซ์ด้วยβ  = 0.666เพื่อเชื่อมโยงการวัดของเออร์ซูล่ากับการวัดของเขาเองได้

ปรากฏการณ์ดอปเปลอร์คือการเปลี่ยนแปลงความถี่หรือความยาวคลื่นของคลื่นสำหรับตัวรับและแหล่งกำเนิดที่เคลื่อนที่สัมพัทธ์กัน เพื่อความง่าย เราจะพิจารณาสองสถานการณ์พื้นฐานดังนี้: (1) การเคลื่อนที่ของแหล่งกำเนิดและ/หรือตัวรับอยู่ตามแนวเส้นที่เชื่อมต่อกันพอดี (ปรากฏการณ์ดอปเปลอร์ตามแนวยาว) และ (2) การเคลื่อนที่ตั้งฉากกับเส้นดังกล่าว ( ปรากฏการณ์ดอปเปลอร์ตามแนวขวาง ) เราจะไม่พิจารณาสถานการณ์ที่พวกมันเคลื่อนที่ไปตามมุมระหว่างกลาง

การวิเคราะห์แบบดอปเปลอร์แบบคลาสสิกเกี่ยวข้องกับคลื่นที่แพร่กระจายในตัวกลาง เช่น คลื่นเสียงหรือระลอกคลื่นในน้ำ และซึ่งส่งผ่านระหว่างแหล่งกำเนิดและตัวรับที่เคลื่อนที่เข้าหากันหรือออกจากกัน การวิเคราะห์คลื่นดังกล่าวขึ้นอยู่กับว่าแหล่งกำเนิด ตัวรับ หรือทั้งสองกำลังเคลื่อนที่สัมพันธ์กับตัวกลางหรือไม่ ในสถานการณ์ที่ตัวรับอยู่นิ่งเมื่อเทียบกับตัวกลาง และแหล่งกำเนิดเคลื่อนที่ออกไปจากตัวรับโดยตรงด้วยความเร็วv/ _sสำหรับพารามิเตอร์ความเร็วβ _/sความยาวคลื่นจะเพิ่มขึ้น และความถี่ที่สังเกตได้fจะกำหนดโดย

${\displaystyle f={\frac {1}{1+\beta _{s}}}f_{0}}$

ในทางกลับกัน ในกรณีที่แหล่งกำเนิดอยู่กับที่ และตัวรับเคลื่อนที่ออกห่างจากแหล่งกำเนิดด้วยความเร็วv _rโดยมีพารามิเตอร์ความเร็วβ _rความยาวคลื่นจะไม่เปลี่ยนแปลง แต่ความเร็วในการส่งผ่านคลื่นเมื่อเทียบกับตัวรับจะลดลง และความถี่ที่สังเกตได้fจะกำหนดโดย

${\displaystyle f=(1-\beta _{r})f_{0}}$

แสงต่างจากเสียงหรือระลอกคลื่นน้ำตรงที่ไม่แพร่กระจายผ่านตัวกลาง และไม่มีความแตกต่างระหว่างแหล่งกำเนิดที่เคลื่อนที่ออกห่างจากตัวรับหรือตัวรับที่เคลื่อนที่ออกห่างจากแหล่งกำเนิด รูปที่ 3-6 แสดงแผนภาพปริภูมิเวลาสัมพัทธภาพที่แสดงแหล่งกำเนิดแยกออกจากตัวรับด้วยพารามิเตอร์ความเร็วโดยที่ระยะห่างระหว่างแหล่งกำเนิดและตัวรับ ณ เวลาคือเนื่องจากการขยายเวลาเนื่องจากความชันของรังสีแสงสีเขียวคือ −1 ดังนั้นผลกระทบดอปเปลอร์สัมพัทธภาพจึงกำหนดโดย^{[ 41 ] : 58–59} ${\displaystyle \beta ,}$${\displaystyle w}$${\displaystyle \beta w}$${\displaystyle w=\gamma w'.}$${\displaystyle T=w+\beta w=\gamma w'(1+\beta ).}$

${\displaystyle f={\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\,f_{0}.}$

สมมติว่าแหล่งกำเนิดและตัวรับต่างเคลื่อนที่เข้าหากันด้วยการเคลื่อนที่เฉื่อยสม่ำเสมอตามเส้นที่ไม่ตัดกัน และอยู่ในจุดที่ใกล้ที่สุดกัน การวิเคราะห์แบบคลาสสิกจะทำนายว่าตัวรับจะไม่ตรวจพบการเปลี่ยนแปลงแบบดอปเปลอร์ อย่างไรก็ตาม เนื่องจากความซับซ้อนในการวิเคราะห์ ความคาดหวังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องเป็นจริงเสมอไป ถึงกระนั้น เมื่อกำหนดอย่างเหมาะสม การเปลี่ยนแปลงแบบดอปเปลอร์ตามแนวขวางเป็นปรากฏการณ์เชิงสัมพัทธภาพที่ไม่มีแบบอย่างในเชิงคลาสสิก ความซับซ้อนมีดังนี้: ^{[ 45 ] : 541–543}

ในสถานการณ์ (a) จุดที่เข้าใกล้ที่สุดจะไม่ขึ้นกับกรอบอ้างอิง และแสดงถึงช่วงเวลาที่ไม่มีการเปลี่ยนแปลงระยะทางเทียบกับเวลา (กล่าวคือ dr/dt = 0 โดยที่rคือระยะทางระหว่างตัวรับและแหล่งกำเนิด) ดังนั้นจึงไม่มีการเลื่อนความถี่แบบดอปเปลอร์ตามแนวยาว แหล่งกำเนิดสังเกตเห็นตัวรับว่าถูกส่องสว่างด้วยแสงที่มีความถี่f ′แต่ยังสังเกตเห็นว่าตัวรับมีนาฬิกาที่ยืดเวลา ในกรอบอ้างอิง S ตัวรับจึงถูกส่องสว่างด้วยแสงที่มีการเลื่อนความถี่ไปทาง สีน้ำเงิน

${\displaystyle f=f'\gamma =f'/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$

ในสถานการณ์ (b) ภาพประกอบแสดงให้เห็นว่าตัวรับได้รับแสงจากแหล่งกำเนิดแสงเมื่อแหล่งกำเนิดแสงอยู่ใกล้ตัวรับมากที่สุด แม้ว่าแหล่งกำเนิดแสงจะเคลื่อนที่ไปแล้วก็ตาม เนื่องจากนาฬิกาของแหล่งกำเนิดแสงมีการยืดเวลาเมื่อวัดในเฟรม S และเนื่องจาก dr/dt เท่ากับศูนย์ ณ จุดนี้ แสงจากแหล่งกำเนิดแสงที่ปล่อยออกมาจากจุดที่ใกล้ที่สุดนี้จึงมี การเลื่อนความถี่ ไปทางสีแดงด้วยความถี่

${\displaystyle f=f'/\gamma =f'{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$

สถานการณ์ (c) และ (d) สามารถวิเคราะห์ได้โดยใช้เหตุผลการยืดเวลาแบบง่ายๆ ใน (c) ผู้รับสังเกตเห็นแสงจากแหล่งกำเนิดที่มีการเลื่อนไปทางสีน้ำเงินด้วยปัจจัยและใน (d) แสงมีการเลื่อนไปทางสีแดง ความซับซ้อนเพียงอย่างเดียวที่เห็นได้ชัดคือวัตถุที่โคจรอยู่ในการเคลื่อนที่แบบเร่งความเร็ว อย่างไรก็ตาม หากผู้สังเกตการณ์เฉื่อยมองนาฬิกาที่กำลังเร่งความเร็ว ความเร็วทันทีของนาฬิกาเท่านั้นที่มีความสำคัญเมื่อคำนวณการยืดเวลา (อย่างไรก็ตาม ในทางกลับกันนั้นไม่เป็นความจริง) ^{[ 45 ] : 541–543} รายงานส่วนใหญ่เกี่ยวกับการเลื่อนดอปเปลอร์ตามขวางอ้างถึงผลกระทบว่าเป็นการเลื่อนไปทางสีแดงและวิเคราะห์ผลกระทบในแง่ของสถานการณ์ (b) หรือ (d) ^{[หมายเหตุ 11 ]}${\displaystyle \gamma }$

ในกลศาสตร์คลาสสิก สถานะการเคลื่อนที่ของอนุภาคจะถูกกำหนดโดยมวลและความเร็วของมันโมเมนตัมเชิงเส้นซึ่งเป็นผลคูณของมวลและความเร็วของอนุภาค เป็น ปริมาณ เวกเตอร์ที่มีทิศทางเดียวกับความเร็ว: p  =  m vมันเป็น ปริมาณ อนุรักษ์หมายความว่า หากระบบปิดไม่ได้รับผลกระทบจากแรงภายนอก โมเมนตัมเชิงเส้นรวมของระบบจะไม่เปลี่ยนแปลง

ในกลศาสตร์สั ม${\displaystyle (x,t)}$พัทธภาพ เวกเตอร์โมเมนตัมถูกขยายไปยังสี่มิติ นอกจากนี้ยังมีการเพิ่มส่วนประกอบของเวลาเข้าไปในเวกเตอร์โมเมนตัม ซึ่งทำให้เวกเตอร์โมเมนตัมในปริภูมิเวลาสามารถแปลงรูปได้เหมือนกับเวกเตอร์ตำแหน่งในปริภูมิเวลา ใน การ สำรวจคุณสมบัติของโมเมนตัมในปริภูมิเวลา เราเริ่มต้นดังแสดงในรูปที่ 3-8a โดยการตรวจสอบ ลักษณะ ของอนุภาคขณะหยุดนิ่ง ในกรอบอ้างอิงที่หยุดนิ่ง ส่วนประกอบเชิงพื้นที่ของโมเมนตัมเป็นศูนย์ นั่นคือp  = 0แต่ส่วนประกอบของเวลาเท่ากับmc²

เราสามารถหาองค์ประกอบที่แปลงแล้วของเวกเตอร์นี้ในเฟรมเคลื่อนที่ได้โดยใช้การแปลงลอเรนซ์ หรือเราสามารถอ่านได้โดยตรงจากรูปเพราะเรารู้ว่า⁠ ⁠${\displaystyle (mc)^{\prime }=\gamma mc}$และ⁠ ⁠ เนื่องจากแกนสีแดงถูกปรับขนาดใหม่ด้วยแกมมา รูปที่ 3-8b แสดงสถานการณ์ดังที่ปรากฏในเฟรมเคลื่อนที่ เห็น ${\displaystyle p^{\prime }=-\beta \gamma mc}$^ได้ชัดว่าองค์ประกอบเชิงพื้นที่และเวลาของโมเมนตัมสี่มิติมีค่าเป็นอนันต์เมื่อความเร็วของเฟรมเคลื่อนที่เข้าใกล้c [ ^{41 ] : 84–87}

เราจะใช้ข้อมูลนี้ในไม่ช้าเพื่อหาค่าของโมเมนตัมสี่มิติ

อนุภาคแสง หรือโฟตอน เคลื่อนที่ด้วยความเร็วcซึ่งเป็นค่าคงที่ที่โดยทั่วไปเรียกว่าความเร็วแสงข้อความนี้ไม่ใช่การกล่าวซ้ำซ้อน เนื่องจากทฤษฎีสัมพัทธภาพสมัยใหม่หลายสูตรไม่ได้เริ่มต้นด้วยสมมติฐานที่ว่าความเร็วแสงเป็นค่าคงที่ ดังนั้น โฟตอนจึงเคลื่อนที่ไปตามเส้นทางโลกที่คล้ายแสง และในหน่วยที่เหมาะสม จะมีส่วนประกอบของพื้นที่และเวลาที่เท่ากันสำหรับผู้สังเกตทุกคน

ผลที่ตามมาอย่างหนึ่งจากทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าของแม็กซ์เวลล์คือ แสงนำพาพลังงานและโมเมนตัม และอัตราส่วนของทั้งสองเป็นค่าคงที่: ⁠ ⁠${\displaystyle E/p=c}$เมื่อจัดเรียงใหม่จะ ได้ ⁠ ⁠${\displaystyle E/c=p}$และเนื่องจากสำหรับโฟตอน ส่วนประกอบของพื้นที่และเวลาเท่ากัน ดังนั้น E / cจึงต้องเท่ากับส่วนประกอบของเวลาของเวกเตอร์โมเมนตัมของปริภูมิเวลา

โฟตอนเคลื่อนที่ด้วยความเร็วแสง แต่มีโมเมนตัมและพลังงานจำกัด เพื่อให้เป็นเช่นนั้น พจน์มวลในγmcต้องเป็นศูนย์ ซึ่งหมายความว่าโฟตอนเป็นอนุภาคไร้มวลอนันต์คูณศูนย์เป็นปริมาณที่นิยามได้ยาก แต่E / cนั้นนิยามได้ดี

จากการวิเคราะห์นี้ หากพลังงานของโฟตอนเท่ากับEในกรอบอ้างอิงที่หยุดนิ่ง พลังงานนั้นจะเท่ากับ⁠ ⁠${\displaystyle E^{\prime }=(1-\beta )\gamma E}$ในกรอบอ้างอิงที่เคลื่อนที่ ผลลัพธ์นี้สามารถหาได้จากการตรวจสอบรูปที่ 3-9 หรือจากการประยุกต์ใช้การแปลงลอเรนซ์ และสอดคล้องกับการวิเคราะห์ปรากฏการณ์ดอปเปลอร์ที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้^{[ 41 ] : 88}

การพิจารณาความสัมพันธ์ระหว่างส่วนประกอบต่างๆ ของเวกเตอร์โมเมนตัมเชิงสัมพัทธภาพ ทำให้ไอน์สไตน์ได้ข้อสรุปที่สำคัญหลายประการ

• ในขีดจำกัดความเร็วต่ำ เมื่อβ = v / cเข้าใกล้ศูนย์γจะเข้าใกล้ 1 ดังนั้นองค์ประกอบเชิงพื้นที่ของโมเมนตัมสัมพัทธภาพจึง${\displaystyle \beta \gamma mc=\gamma mv}$เข้าใกล้mvซึ่งเป็นเทอมคลาสสิกสำหรับโมเมนตัม จากมุมมองนี้γmสามารถตีความได้ว่าเป็นการขยายความสัมพัทธภาพของm ไอน์สไตน์เสนอว่ามวลสัมพัทธภาพของวัตถุจะเพิ่มขึ้นตามความเร็วตามสูตร⁠ ⁠${\displaystyle m_{\text{rel}}=\gamma m}$
• ในทำนองเดียวกัน เมื่อเปรียบเทียบองค์ประกอบเวลาของโมเมนตัมสัมพัทธภาพกับของโฟตอน⁠ ⁠${\displaystyle \gamma mc=m_{\text{rel}}c=E/c}$ไอน์สไตน์จึงได้ความสัมพันธ์⁠ ⁠${\displaystyle E=m_{\text{rel}}c^{2}}$เมื่อทำให้ง่ายขึ้นเป็นกรณีที่ความเร็วเป็นศูนย์ นี่คือสมการของไอน์สไตน์ที่เชื่อมโยงพลังงานและมวล

อีกวิธีหนึ่งในการพิจารณาความสัมพันธ์ระหว่างมวลและพลังงานคือการพิจารณาการขยายอนุกรมของγmc ²ที่ความเร็วต่ำ: พจน์ที่สองเป็นเพียงนิพจน์สำหรับพลังงานจลน์ของอนุภาค มวลดูเหมือนจะเป็นพลังงานอีกรูปแบบหนึ่ง^{[ 41 ] : 90–92 [ 43 ] : 129–130, 180} $${\displaystyle {\begin{aligned}E&=\gamma mc^{2}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\\&=mc^{2}+{\frac {1}{2}}mv^{2}+\cdots \end{aligned}}}$$

แนวคิดเรื่องมวลสัมพัทธภาพที่ไอน์สไตน์นำเสนอในปี พ.ศ. 2448 m _relแม้ว่าจะได้รับการพิสูจน์อย่างชัดเจนทุกวันในเครื่องเร่งอนุภาคทั่วโลก (หรือในเครื่องมือใดๆ ที่การใช้งานขึ้นอยู่กับอนุภาคความเร็วสูง เช่น กล้องจุลทรรศน์อิเล็กตรอน^{[ 46 ]}โทรทัศน์สีแบบเก่า ฯลฯ) ก็ยังไม่ได้รับการพิสูจน์ว่าเป็น แนวคิด ที่มีประโยชน์ในทางฟิสิกส์ในแง่ที่ว่ามันไม่ใช่แนวคิดที่ใช้เป็นพื้นฐานสำหรับการพัฒนาทฤษฎีอื่นๆ มวลสัมพัทธภาพ ตัวอย่างเช่น ไม่มีบทบาทในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป

ด้วยเหตุนี้ รวมถึงข้อกังวลด้านการสอน นักฟิสิกส์ส่วนใหญ่ในปัจจุบันจึงนิยมใช้คำศัพท์ที่แตกต่างออกไปเมื่อกล่าวถึงความสัมพันธ์ระหว่างมวลและพลังงาน^{[ 47 ]} "มวลสัมพัทธภาพ" เป็นคำที่เลิกใช้แล้ว คำว่า "มวล" ในตัวมันเองหมายถึงมวลนิ่งหรือมวลไม่แปรผันและเท่ากับความยาวไม่แปรผันของเวกเตอร์โมเมนตัมสัมพัทธภาพ เมื่อแสดงเป็นสูตร

${\displaystyle E^{2}-p^{2}c^{2}=m_{\text{rest}}^{2}c^{4}}$

สูตรนี้ใช้ได้กับอนุภาคทั้งหมด ทั้งที่ไม่มีมวลและมีมวล สำหรับโฟตอนที่m _restเท่ากับศูนย์ จะได้ผลลัพธ์ดังนี้⁠ ⁠${\displaystyle E=\pm pc}$ . ^{[ 41 ] : 90–92}

เนื่องจากความสัมพันธ์ที่ใกล้ชิดระหว่างมวลและพลังงาน โมเมนตัมสี่มิติ (หรือเรียกว่า โมเมนตัม 4 มิติ) จึงถูกเรียกว่า เวกเตอร์พลังงาน-โมเมนตัม 4 มิติ โดยใช้ตัวอักษรP ตัวใหญ่ แทนโมเมนตัมสี่มิติ และตัวอักษรp ตัวเล็ก แทนโมเมนตัมเชิงพื้นที่ โมเมนตัมสี่มิติสามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle P\equiv (E/c,{\vec {p}})=(E/c,p_{x},p_{y},p_{z})}$หรืออีกทางเลือกหนึ่ง

${\displaystyle P\equiv (E,{\vec {p}})=(E,p_{x},p_{y},p_{z})}$โดยใช้ธรรมเนียมที่^{[ 43 ] : 129–130, 180} ${\displaystyle c=1.}$

ในวิชาฟิสิกส์ กฎการอนุรักษ์ระบุว่าคุณสมบัติที่วัดได้เฉพาะบางอย่างของระบบทางกายภาพที่แยกตัวจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อระบบวิวัฒนาการไปตามเวลา ในปี พ.ศ. 2458 เอ็มมี เนอเธอร์ ค้นพบว่าเบื้องหลังกฎการอนุรักษ์แต่ละข้อนั้นมีสมมาตรพื้นฐานของธรรมชาติอยู่^{[ 48 ]}ข้อเท็จจริงที่ว่ากระบวนการทางกายภาพไม่สนใจว่า จะเกิดขึ้น ที่ใดในอวกาศ ( สมมาตรการแปลในอวกาศ ) ทำให้เกิดการอนุรักษ์โมเมนตัมข้อเท็จจริงที่ว่ากระบวนการดังกล่าวไม่สนใจ ว่าจะเกิดขึ้น เมื่อใด ( สมมาตรการแปลในเวลา ) ทำให้เกิดการอนุรักษ์พลังงานและอื่นๆ ในส่วนนี้ เราจะตรวจสอบมุมมองของนิวตันเกี่ยวกับการอนุรักษ์มวล โมเมนตัม และพลังงานจากมุมมองเชิงสัมพัทธภาพ

เพื่อทำความเข้าใจว่ามุมมองแบบนิวตันเกี่ยวกับการอนุรักษ์โมเมนตัมจำเป็นต้องได้รับการปรับเปลี่ยนอย่างไรในบริบทสัมพัทธภาพ เราจึงพิจารณาปัญหาของวัตถุสองชิ้นที่ชนกันโดยจำกัดไว้ในมิติเดียว

ในกลศาสตร์แบบนิวตัน สามารถแยกแยะกรณีสุดขั้วสองกรณีของปัญหานี้ได้ ซึ่งให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์ที่มีความซับซ้อนน้อยที่สุด:

1. วัตถุทั้งสองกระเด็นออกจากกันในลักษณะการชนแบบยืดหยุ่นโดยสมบูรณ์
2. วัตถุทั้งสองติดกันและเคลื่อนที่ต่อไปเสมือนเป็นอนุภาคเดียว กรณีที่สองนี้คือกรณีของการชนแบบไม่ยืดหยุ่นโดยสมบูรณ์

สำหรับทั้งกรณี (1) และ (2) โมเมนตัม มวล และพลังงานรวมจะถูกอนุรักษ์ไว้ อย่างไรก็ตาม พลังงานจลน์จะไม่ถูกอนุรักษ์ไว้ในกรณีของการชนแบบไม่ยืดหยุ่น พลังงานจลน์เริ่มต้นส่วนหนึ่งจะถูกแปลงเป็นความร้อน

ในกรณี (2) มวลสองก้อนที่มีโมเมนตัม⁠ ⁠${\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {1}}=m_{1}{\boldsymbol {v}}_{\boldsymbol {1}}}$ และ⁠ ⁠${\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {2}}=m_{2}{\boldsymbol {v}}_{\boldsymbol {2}}}$ชนกันเพื่อสร้างอนุภาคเดี่ยวที่มีมวลอนุรักษ์⁠ ⁠${\displaystyle m=m_{1}+m_{2}}$ซึ่งเคลื่อนที่ด้วย ความเร็ว ศูนย์กลางมวลของระบบเดิมโมเมนตัมรวม⁠ ⁠จะถูกอนุรักษ์ ${\displaystyle {\boldsymbol {v_{cm}}}=\left(m_{1}{\boldsymbol {v_{1}}}+m_{2}{\boldsymbol {v_{2}}}\right)/\left(m_{1}+m_{2}\right)}$${\displaystyle {\boldsymbol {p=p_{1}+p_{2}}}}$

รูปที่ 3-10 แสดงการชนแบบไม่ยืดหยุ่นของอนุภาคสองอนุภาคจากมุมมองเชิงสัมพัทธภาพ ส่วนประกอบของเวลา⁠ ⁠${\displaystyle E_{1}/c}$และ⁠ ⁠${\displaystyle E_{2}/c}$รวมกันเป็นE/c รวม ของเวกเตอร์ลัพธ์ ซึ่งหมายความว่าพลังงานจะถูกอนุรักษ์ ในทำนองเดียวกัน ส่วนประกอบของพื้นที่⁠ ⁠${\displaystyle {\boldsymbol {p_{1}}}}$และ⁠ ⁠${\displaystyle {\boldsymbol {p_{2}}}}$รวมกันเป็นpของเวกเตอร์ลัพธ์ โมเมนตัมสี่มิติเป็นปริมาณที่อนุรักษ์ไว้ตามที่คาดไว้ อย่างไรก็ตาม มวลไม่แปรผันของอนุภาคที่หลอมรวมกัน ซึ่งกำหนดโดยจุดที่ไฮเปอร์โบลาไม่แปรผันของโมเมนตัมรวมตัดกับแกนพลังงาน ไม่เท่ากับผลรวมของมวลไม่แปรผันของอนุภาคแต่ละตัวที่ชนกัน อันที่จริง มันมีค่ามากกว่าผลรวมของมวลแต่ละตัว: ⁠ ⁠${\displaystyle m>m_{1}+m_{2}}$ . ^{[ 41 ] : 94–97}

เมื่อพิจารณาเหตุการณ์ในสถานการณ์นี้ในลำดับย้อนกลับ เราจะเห็นว่าการไม่คงอยู่ของมวลเป็นสิ่งที่เกิดขึ้นทั่วไป: เมื่ออนุภาคพื้นฐาน ที่ไม่เสถียร สลายตัวโดยธรรมชาติเป็นอนุภาคที่เบากว่าสองอนุภาค พลังงานรวมจะถูกอนุรักษ์ แต่มวลจะไม่ถูกอนุรักษ์ ส่วนหนึ่งของมวลจะถูกแปลงเป็นพลังงานจลน์^{[ 43 ] : 134–138}

รูปที่ 3-11 (ด้านบน) กรอบอ้างอิงของห้องปฏิบัติการ ( ด้านขวา) กรอบอ้างอิงของจุดศูนย์กลางโมเมนตัม

อิสระในการเลือกเฟรมใดก็ได้ในการวิเคราะห์ทำให้เราสามารถเลือกเฟรมที่สะดวกเป็นพิเศษได้ สำหรับการวิเคราะห์ปัญหาโมเมนตัมและพลังงาน เฟรมที่สะดวกที่สุดมักจะเป็น "เฟรมศูนย์กลางโมเมนตัม " (เรียกอีกอย่างว่าเฟรมโมเมนตัมศูนย์ หรือเฟรม COM) ซึ่งเป็นเฟรมที่ส่วนประกอบเชิงพื้นที่ของโมเมนตัมรวมของระบบเป็นศูนย์ รูปที่ 3-11 แสดงการแตกตัวของอนุภาคความเร็วสูงเป็นอนุภาคลูกสาวสองตัว ในเฟรมห้องปฏิบัติการ อนุภาคลูกสาวจะถูกปล่อยออกมาในทิศทางที่สอดคล้องกับวิถีการเคลื่อนที่ของอนุภาคเดิมเป็นหลัก อย่างไรก็ตาม ในเฟรม COM อนุภาคลูกสาวทั้งสองจะถูกปล่อยออกมาในทิศทางตรงกันข้าม แม้ว่ามวลและขนาดของความเร็วของพวกมันโดยทั่วไปจะไม่เท่ากันก็ตาม^{[ 49 ]}

ในการวิเคราะห์อนุภาคที่มีปฏิสัมพันธ์กันแบบนิวตัน การแปลงระหว่างเฟรมนั้นง่าย เพราะสิ่งที่จำเป็นคือการใช้การแปลงแบบกาลิเลียนกับความเร็วทั้งหมด เนื่องจาก⁠ ⁠${\displaystyle v'=v-u}$โมเมนตัม⁠ ⁠${\displaystyle p'=p-mu}$ . หากโมเมนตัมรวมของระบบอนุภาคที่มีปฏิสัมพันธ์กันถูกสังเกตว่าอนุรักษ์ไว้ในเฟรมหนึ่ง ก็จะสังเกตได้ว่าอนุรักษ์ไว้ในเฟรมอื่นด้วยเช่นกัน^{[ 43 ] : 241–245}

การอนุรักษ์โมเมนตัมในกรอบ COM หมายถึงข้อกำหนดที่ว่าp  = 0ทั้งก่อนและหลังการชน ในการวิเคราะห์แบบนิวตัน การอนุรักษ์มวลกำหนดว่า⁠ ⁠${\displaystyle m=m_{1}+m_{2}}$ในสถานการณ์แบบหนึ่งมิติที่ง่ายขึ้นที่เราได้พิจารณามานั้น จำเป็นต้องมีข้อจำกัดเพิ่มเติมเพียงข้อเดียวก่อนที่จะสามารถกำหนดโมเมนตัมขาออกของอนุภาคได้ นั่นคือเงื่อนไขพลังงาน ในกรณีหนึ่งมิติของการชนแบบยืดหยุ่นโดยสมบูรณ์โดยไม่มีการสูญเสียพลังงานจลน์ ความเร็วขาออกของอนุภาคที่กระดอนในกรอบ COM จะเท่ากันและตรงข้ามกับความเร็วขาเข้าอย่างแม่นยำ ในกรณีของการชนแบบไม่ยืดหยุ่นโดยสมบูรณ์โดยมีการสูญเสียพลังงานจลน์ทั้งหมด ความเร็วขาออกของอนุภาคที่กระดอนจะเป็นศูนย์^{[ 43 ] : 241–245}

โมเมนตัมแบบนิวตันที่คำนวณได้เป็น⁠ ⁠${\displaystyle p=mv}$จะไม่แสดงพฤติกรรมที่ถูกต้องภายใต้การแปลงแบบลอเรนซ์ การแปลงเชิงเส้นของความเร็ว⁠ ⁠${\displaystyle v'=v-u}$จะถูกแทนที่ด้วย ⁠ ⁠${\displaystyle v^{\prime }=(v-u)/(1-{vu}/{c^{2}})}$ ที่ไม่เชิงเส้นอย่างมาก ดังนั้นการคำนวณที่แสดงให้เห็นถึงการอนุรักษ์โมเมนตัมในเฟรมหนึ่งจึงไม่ถูกต้องในเฟรมอื่น ไอน์สไตน์ต้องเผชิญกับทางเลือกสองทาง คือต้องละทิ้งการอนุรักษ์โมเมนตัม หรือเปลี่ยนนิยามของโมเมนตัม เขาเลือกทางเลือกที่สอง^{[ 41 ] : 104}

รูปที่ 3-12a แผนภาพพลังงาน-โมเมนตัมสำหรับการสลายตัวของไพอนที่มีประจุ

รูปที่ 3-12b การวิเคราะห์การสลายตัวของไพอนประจุโดยใช้เครื่องคิดเลขกราฟิก

กฎการอนุรักษ์พลังงานและโมเมนตัมเชิงสัมพัทธภาพเข้ามาแทนที่กฎการอนุรักษ์พลังงาน โมเมนตัม และมวลแบบคลาสสิกทั้งสามข้อ มวลจะไม่ถูกอนุรักษ์อย่างอิสระอีกต่อไป เพราะมันถูกรวมเข้ากับพลังงานเชิงสัมพัทธภาพทั้งหมดแล้ว ซึ่งทำให้การอนุรักษ์พลังงานเชิงสัมพัทธภาพเป็นแนวคิดที่ง่ายกว่าในกลศาสตร์ที่ไม่ใช่เชิงสัมพัทธภาพ เพราะพลังงานทั้งหมดจะถูกอนุรักษ์โดยไม่มีเงื่อนไขใดๆ พลังงานจลน์ที่แปลงเป็นความร้อนหรือพลังงานศักย์ภายในจะปรากฏออกมาเป็นการเพิ่มขึ้นของมวล^{[ 43 ] : 127}

ทฤษฎีของนิวตันสันนิษฐานว่าการเคลื่อนที่เกิดขึ้นโดยมีกรอบอ้างอิง แบบยุคลิดที่แข็งทื่อเป็นฉากหลัง ซึ่งแผ่ขยายไปทั่วทุกพื้นที่และทุกเวลา แรงโน้มถ่วงเกิดจากแรงลึกลับที่กระทำในทันทีทันใดในระยะทางหนึ่ง ซึ่งการกระทำนั้นเป็นอิสระจากพื้นที่ระหว่างทาง^{[หมายเหตุ 12 ]}ในทางตรงกันข้าม ไอน์สไตน์ปฏิเสธว่ามีกรอบอ้างอิงแบบยุคลิดที่เป็นฉากหลังที่แผ่ขยายไปทั่วทุกพื้นที่ และไม่มีสิ่งใดที่เรียกว่าแรงโน้มถ่วง มีเพียงโครงสร้างของกาลอวกาศเท่านั้น^{[ 51 ] : 175–190}

ในแง่ของกาลอวกาศ เส้นทางของดาวเทียมที่โคจรรอบโลกไม่ได้ถูกกำหนดโดยอิทธิพลที่อยู่ห่างไกลของโลก ดวงจันทร์ และดวงอาทิตย์ แต่ดาวเทียมเคลื่อนที่ผ่านอวกาศโดยตอบสนองต่อเงื่อนไขในท้องถิ่นเท่านั้น เนื่องจากกาลอวกาศแบนราบในระดับท้องถิ่นทุกแห่งเมื่อพิจารณาในระดับที่เล็กพอ ดาวเทียมจึงเคลื่อนที่ตามเส้นตรงในกรอบอ้างอิงเฉื่อยในท้องถิ่นเสมอ เรากล่าวว่าดาวเทียมเคลื่อนที่ตามเส้นทางของจีโอเดสิก เสมอ ไม่พบหลักฐานของแรงโน้มถ่วงที่ติดตามการเคลื่อนที่ของอนุภาคเดี่ยว^{[ 51 ] : 175–190}

ในการวิเคราะห์ปริภูมิเวลาใดๆ หลักฐานของแรงโน้มถ่วงจำเป็นต้องสังเกตความเร่งสัมพัทธ์ของ วัตถุ สองชิ้นหรืออนุภาคที่แยกจากกันสองอนุภาค ในรูปที่ 1 อนุภาคที่แยกจากกันสองอนุภาคซึ่งตกลงมาอย่างอิสระในสนามโน้มถ่วงของโลก แสดงให้เห็นถึงความเร่งแบบไทดัลเนื่องจากความไม่สม่ำเสมอในท้องถิ่นของสนามโน้มถ่วง ทำให้อนุภาคแต่ละตัวเคลื่อนที่ไปตามเส้นทางที่แตกต่างกันในปริภูมิเวลา ความเร่งแบบไทดัลที่อนุภาคเหล่านี้แสดงต่อกันไม่จำเป็นต้องใช้แรงในการอธิบาย แต่ไอน์สไตน์ได้อธิบายไว้ในแง่ของเรขาคณิตของปริภูมิเวลา นั่นคือความโค้งของปริภูมิเวลา ความเร่งแบบไทดัลเหล่านี้เป็นแบบเฉพาะที่เท่านั้น ผลรวมทั้งหมดของปรากฏการณ์ความโค้งในท้องถิ่นหลายๆ อย่างส่งผลให้เกิดแรงโน้มถ่วงที่กระทำในระยะไกลจากโลก^{[ 51 ] : 175–190}

ผู้สังเกตการณ์ที่แตกต่างกันซึ่งมองเห็นสถานการณ์ที่แสดงในรูปนี้ จะตีความสถานการณ์แตกต่างกันไป ขึ้นอยู่กับความรู้เกี่ยวกับสถานการณ์นั้นๆ (i) ผู้สังเกตการณ์คนแรก ซึ่งอยู่ที่จุดศูนย์กลางมวลของอนุภาค 2 และ 3 แต่ไม่ทราบถึงมวลขนาดใหญ่ 1 สรุปว่ามีแรงผลักระหว่างอนุภาคในสถานการณ์ A ในขณะที่มีแรงดึงดูดระหว่างอนุภาคในสถานการณ์ B (ii) ผู้สังเกตการณ์คนที่สอง ซึ่งทราบถึงมวลขนาดใหญ่ 1 ยิ้มเยาะความไร้เดียงสาของผู้รายงานคนแรก ผู้สังเกตการณ์คนที่สองนี้รู้ว่าในความเป็นจริง แรงที่ปรากฏระหว่างอนุภาค 2 และ 3 นั้นแสดงถึงผลกระทบจากแรงดึงดูดที่แตกต่างกันของมวล 1 (iii) ผู้สังเกตการณ์คนที่สาม ซึ่งได้รับการฝึกฝนในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป รู้ว่าในความเป็นจริงแล้ว ไม่มีแรงใดๆ กระทำระหว่างวัตถุทั้งสามเลย แต่แท้จริงแล้ว วัตถุทั้งสามเคลื่อนที่ไปตามเส้นทางโค้งในปริภูมิเวลา

ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปมีพื้นฐานมาจากข้อเสนอหลักสองประการ

• แนวคิดสำคัญประการแรกคือความเป็นอิสระของพิกัด: กฎของฟิสิกส์ไม่สามารถขึ้นอยู่กับระบบพิกัดที่ใช้ได้ นี่เป็นการขยายหลักการสัมพัทธภาพ ที่สำคัญ จากเวอร์ชันที่ใช้ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ ซึ่งระบุว่ากฎของฟิสิกส์ต้องเหมือนกันสำหรับผู้สังเกตการณ์ทุกคนที่เคลื่อนที่ในกรอบอ้างอิงที่ไม่เร่งความเร็ว (เฉื่อย) ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป เพื่อใช้คำพูดของไอน์สไตน์เอง (ที่แปลแล้ว) "กฎของฟิสิกส์ต้องมีลักษณะเช่นนั้นที่สามารถใช้ได้กับระบบอ้างอิงในการเคลื่อนที่ทุกประเภท" ^{[ 52 ] : 113} สิ่งนี้นำไปสู่ปัญหาทันที: ในกรอบที่เร่งความเร็ว เราจะรู้สึกถึงแรงที่ดูเหมือนจะทำให้เราสามารถประเมินสถานะการเร่งความเร็วของเราในแง่สัมบูรณ์ได้ ไอน์สไตน์แก้ปัญหานี้ผ่านหลักการสมดุล^{[ 53 ] : 137–149}

• หลักการสมดุลระบุว่าในบริเวณอวกาศที่มีขนาดเล็กเพียงพอ ผลกระทบของแรงโน้มถ่วงจะเหมือนกับผลกระทบจากความเร่งในรูปที่ 2 บุคคล A อยู่ในยานอวกาศที่อยู่ห่างไกลจากวัตถุมวลมาก ซึ่งกำลังมีความเร่งสม่ำเสมอเท่ากับgบุคคล B อยู่ในกล่องที่วางอยู่บนโลก หากยานอวกาศมีขนาดเล็กพอที่จะไม่สามารถวัดผลกระทบของน้ำขึ้นน้ำลงได้ (เมื่อพิจารณาจากความไวของเครื่องมือวัดแรงโน้มถ่วงในปัจจุบัน A และ B น่าจะมีขนาดเท่าคนแคระ ) จะไม่มีการทดลองใดที่ A และ B สามารถทำได้ซึ่งจะทำให้พวกเขาสามารถบอกได้ว่าพวกเขาอยู่ในสภาพแวดล้อมใด^{[ 53 ] : 141–149} การแสดงออกทางเลือกของหลักการสมดุลคือการสังเกตว่าในกฎแรงโน้มถ่วงสากลของนิวตันF = GMm _g /r ² = m _g gและในกฎข้อที่สองของนิวตันF = m _i aไม่มีเหตุผลล่วงหน้าใดๆที่มวลโน้มถ่วงm _gควรเท่ากับมวลเฉื่อยm _iหลักการสมมูลระบุว่ามวลทั้งสองนี้เหมือนกัน^{[ 53 ] : 141–149}

การที่จะอธิบายแรงโน้มถ่วงได้อย่างสมบูรณ์จากคำอธิบายเบื้องต้นเกี่ยวกับปริภูมิเวลาโค้งข้างต้นนั้น จำเป็นต้องใช้แคลคูลัสเทนเซอร์และเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ซึ่งทั้งสองหัวข้อนี้ต้องใช้การศึกษาอย่างมาก หากปราศจากเครื่องมือทางคณิตศาสตร์เหล่านี้ เราอาจเขียนเกี่ยวกับทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปได้ แต่เราไม่สามารถแสดงการพิสูจน์ใดๆ ที่ซับซ้อนได้

ใน มุมมอง แบบดั้งเดิม ของปวงกาเร เกณฑ์สำคัญที่ควรใช้ในการเลือกเรขาคณิตแบบยุคลิดเทียบกับเรขาคณิตแบบไม่ยุคลิดคือความประหยัดและความเรียบง่าย นักสัจนิยมจะกล่าวว่าไอน์สไตน์ค้นพบว่ากาลอวกาศเป็นแบบไม่ยุคลิด นักดั้งเดิมจะกล่าวว่าไอน์สไตน์เพียงแค่พบว่า การใช้เรขาคณิตแบบไม่ยุคลิด สะดวกกว่านักดั้งเดิมจะยืนยันว่าการวิเคราะห์ของไอน์สไตน์ไม่ได้กล่าวถึงเรขาคณิตของกาลอวกาศที่แท้จริงเลย^{[ 54 ]}

กล่าวเช่นนั้นแล้ว

1. เป็นไปได้หรือไม่ที่จะแสดงทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปในรูปของปริภูมิเวลาแบบราบ?
2. มีสถานการณ์ใดบ้างที่การตีความทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปโดยใช้ปริภูมิเวลาแบบราบ อาจสะดวกกว่าการตีความโดยใช้ปริภูมิเวลาแบบโค้งตามปกติ?

เพื่อตอบคำถามแรก ผู้เขียนหลายท่าน รวมถึง Deser, Grishchuk, Rosen, Weinberg เป็นต้น ได้นำเสนอสูตรต่างๆ ของแรงโน้มถ่วงในฐานะสนามในระนาบแบนราบ ทฤษฎีเหล่านี้ถูกเรียกขานกันหลายชื่อ เช่น " แรงโน้มถ่วงแบบไบเมตริก " "แนวทางทฤษฎีสนามสู่ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป" เป็นต้น^{[ 55 ] [ 56 ] [ 57 ] [ 58 ]} Kip Thorne ได้นำเสนอบทวิจารณ์ที่เป็นที่นิยมของทฤษฎีเหล่านี้^{[ 59 ] : 397–403}

แนวคิดเรื่องปริภูมิเวลาแบบราบนั้นตั้งสมมติฐานว่าสสารสร้างสนามโน้มถ่วงที่ทำให้ไม้บรรทัดหดตัวเมื่อหมุนจากแนวเส้นรอบวงไปเป็นแนวรัศมี และทำให้ความเร็วในการเดินของนาฬิกาเพิ่มขึ้น แนวคิดเรื่องปริภูมิเวลาแบบราบนั้นเทียบเท่ากับแนวคิดเรื่องปริภูมิเวลาแบบโค้งอย่างสมบูรณ์ เพราะทั้งสองแสดงถึงปรากฏการณ์ทางกายภาพเดียวกัน อย่างไรก็ตาม สูตรทางคณิตศาสตร์ของทั้งสองนั้นแตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง นักฟิสิกส์ที่ทำงานอยู่มักจะสลับไปมาระหว่างการใช้เทคนิคปริภูมิเวลาแบบโค้งและแบบราบ ขึ้นอยู่กับข้อกำหนดของปัญหา แนวคิดเรื่องปริภูมิเวลาแบบราบนั้นสะดวกเมื่อทำการคำนวณโดยประมาณในสนามที่อ่อน ดังนั้น เทคนิคปริภูมิเวลาแบบราบจึงมักใช้ในการแก้ปัญหาคลื่นโน้มถ่วง ในขณะที่เทคนิคปริภูมิเวลาแบบโค้งมักใช้ในการวิเคราะห์หลุมดำ^{[ 59 ] : 397–403}

กลุ่มสมมาตรของปริภูมิเวลาสำหรับทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษคือกลุ่มปวงกาเรซึ่งเป็นกลุ่มสิบมิติที่ประกอบด้วยการเร่งความเร็วแบบลอเรนซ์สามครั้ง การหมุนสามครั้ง และการเลื่อนปริภูมิเวลาสี่ครั้ง จึงเป็นเรื่องสมเหตุสมผลที่จะถามว่าสมมาตรใดบ้างที่อาจนำมาใช้ได้ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปกรณีที่สามารถจัดการได้ง่ายอาจเป็นการพิจารณาสมมาตรของปริภูมิเวลาในมุมมองของผู้สังเกตการณ์ที่อยู่ห่างไกลจากแหล่งกำเนิดสนามโน้มถ่วงทั้งหมด ความคาดหวังอย่างง่ายสำหรับสมมาตรของปริภูมิเวลาแบบราบเรียบในเชิงอะซิมโทติกอาจเป็นการขยายและสร้างสมมาตรของปริภูมิเวลาแบบราบเรียบของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษขึ้นมาใหม่นั่นคือกลุ่มปวงกาเร

ในปี พ.ศ. 2505 Hermann Bondi , MG van der Burg, AW Metzner ^{[ 60 ]}และRainer K. Sachs ^{[ 61 ]} ได้กล่าวถึงปัญหา สมมาตรเชิงอะซิมโทติกนี้เพื่อตรวจสอบการไหลของพลังงานที่อนันต์อันเนื่องมาจากคลื่นโน้มถ่วง ที่แพร่กระจาย ขั้นตอนแรกของพวกเขาคือการตัดสินใจเกี่ยวกับเงื่อนไขขอบเขตที่สมเหตุสมผลทางกายภาพบางประการที่จะวางไว้บนสนามโน้มถ่วงที่อนันต์แบบแสงเพื่อกำหนดลักษณะเฉพาะของความหมายของการกล่าวว่าเมตริกแบนราบเชิงอะซิมโทติก โดยไม่มี สมมติฐาน ล่วงหน้าเกี่ยวกับธรรมชาติของกลุ่มสมมาตรเชิงอะซิมโทติก แม้แต่สมมติฐานว่ากลุ่มดังกล่าวมีอยู่จริง จากนั้นหลังจากออกแบบสิ่งที่พวกเขาพิจารณาว่าเป็นเงื่อนไขขอบเขตที่สมเหตุสมผลที่สุดแล้ว พวกเขาได้ตรวจสอบธรรมชาติของการแปลงสมมาตรเชิงอะซิมโทติกที่เกิดขึ้นซึ่งทำให้รูปแบบของเงื่อนไขขอบเขตที่เหมาะสมสำหรับสนามโน้มถ่วงที่แบนราบเชิงอะซิมโทติกยังคงไม่เปลี่ยนแปลง^{[ 62 ] : 35}

สิ่งที่พวกเขาค้นพบคือ การแปลงสมมาตรเชิงอะซิมโทติกนั้นก่อตัวเป็นกลุ่ม และโครงสร้างของกลุ่มนี้ไม่ขึ้นอยู่กับสนามโน้มถ่วงเฉพาะที่ปรากฏอยู่ ซึ่งหมายความว่า ตามที่คาดไว้ เราสามารถแยกจลนศาสตร์ของกาลอวกาศออกจากพลศาสตร์ของสนามโน้มถ่วงได้ อย่างน้อยที่สุดที่ระยะอนันต์เชิงพื้นที่ สิ่งที่น่าประหลาดใจอย่างยิ่งในปี 1962 คือการค้นพบกลุ่มมิติอนันต์ที่อุดมสมบูรณ์ (ที่เรียกว่ากลุ่ม BMS) ในฐานะกลุ่มสมมาตรเชิงอะซิมโทติก แทนที่จะเป็นกลุ่มปวงกาเรมิติจำกัด ซึ่งเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่ม BMS ไม่เพียงแต่การแปลงลอเรนซ์จะเป็นการแปลงสมมาตรเชิงอะซิมโทติกเท่านั้น แต่ยังมีการแปลงเพิ่มเติมที่ไม่ใช่การแปลงลอเรนซ์ แต่เป็นการแปลงสมมาตรเชิงอะซิมโทติกอีกด้วย อันที่จริง พวกเขาพบตัวสร้างการแปลงเพิ่มเติมอีกจำนวนอนันต์ที่เรียกว่าซูเปอร์ ทรานสเลชัน สิ่งนี้ชี้ให้เห็นข้อสรุปว่า ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป (GR) ไม่ลดรูปเป็นทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษในกรณีของสนามที่อ่อนแอในระยะทางไกล^{[ 62 ] : 35}

ด้วยเหตุผลทางกายภาพ ปริภูมิเวลาต่อเนื่องถูกนิยามทางคณิตศาสตร์ว่าเป็นแมนิโฟลด์ลอเรนซ์ แบบเรียบและเชื่อมต่อกันสี่มิติ ซึ่งหมายความว่าเมตริกลอเรนซ์ แบบเรียบ มีลักษณะเฉพาะเมตริกนี้กำหนด${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle (3,1)}$เรขาคณิตของปริภูมิเวลารวมถึงการกำหนดเส้นทางจีโอเดสิกของอนุภาคและลำแสง สำหรับแต่ละจุด (เหตุการณ์) บนแมนิโฟลด์นี้แผนภูมิพิกัดเพื่อแสดงผู้สังเกตการณ์ในกรอบอ้างอิง โดยปกติจะใช้พิกัดคาร์ทีเซียนนอกจากนี้ เพื่อความง่าย หน่วยวัดมักจะถูกเลือกให้ความเร็วแสงเท่ากับ 1 ^{[ 64 ]}${\displaystyle (x,y,z,t)}$${\displaystyle c}$

กรอบอ้างอิง (ผู้สังเกตการณ์) สามารถระบุได้ด้วยแผนภูมิพิกัดเหล่านี้ ผู้สังเกตการณ์ดังกล่าวสามารถอธิบายเหตุการณ์ใดๆ ก็ได้กรอบอ้างอิงอื่นอาจระบุได้ด้วยแผนภูมิพิกัดที่สองเกี่ยวกับผู้สังเกตการณ์สองคน (คนละคนในแต่ละกรอบอ้างอิง) อาจอธิบายเหตุการณ์เดียวกันแต่ได้คำอธิบายที่แตกต่างกัน^{[ 64 ]}${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

โดยปกติแล้ว จำเป็นต้องใช้แผนภูมิพิกัดที่ทับซ้อนกันหลายแผ่นเพื่อครอบคลุมแมนิโฟลด์ เมื่อมีแผนภูมิพิกัดสองแผ่น แผ่นหนึ่งประกอบด้วย(แทนผู้สังเกตการณ์คนหนึ่ง) และอีกแผ่นหนึ่งประกอบด้วย(แทนผู้สังเกตการณ์อีกคนหนึ่ง) จุดตัดของแผนภูมิทั้งสองแสดงถึงบริเวณของปริภูมิเวลาที่ผู้สังเกตการณ์ทั้งสองสามารถวัดปริมาณทางกายภาพและเปรียบเทียบผลลัพธ์ได้ ความสัมพันธ์ระหว่างชุดการวัดทั้งสองชุดกำหนดโดย การแปลงพิกัด ที่ไม่เอกฐานบนจุดตัดนี้ แนวคิดของแผนภูมิพิกัดในฐานะผู้สังเกตการณ์ในพื้นที่ที่สามารถทำการวัดในบริเวณใกล้เคียงก็สมเหตุสมผลในเชิงกายภาพเช่นกัน เนื่องจากนี่คือวิธีการรวบรวมข้อมูลทางกายภาพจริง ๆ — ในพื้นที่^{[ 64 ]}${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

ตัวอย่างเช่น ผู้สังเกตการณ์สองคน คนหนึ่งอยู่บนโลก อีกคนหนึ่งอยู่บนจรวดความเร็วสูงไปยังดาวพฤหัสบดี อาจสังเกตเห็นดาวหางพุ่งชนดาวพฤหัสบดี (นี่คือเหตุการณ์) โดยทั่วไปแล้ว พวกเขาจะมีความเห็นไม่ตรงกันเกี่ยวกับตำแหน่งและเวลาที่แน่นอนของการชนครั้งนี้ กล่าวคือ พวกเขาจะมี 4-tuple ที่แตกต่างกัน(เนื่องจากพวกเขาใช้ระบบพิกัดที่แตกต่างกัน) แม้ว่าคำอธิบายทางจลนศาสตร์ของพวกเขาจะแตกต่างกัน แต่กฎทางพลศาสตร์ (ทางฟิสิกส์) เช่น การอนุรักษ์โมเมนตัมและกฎข้อแรกของอุณหพลศาสตร์ยังคงใช้ได้อยู่ อันที่จริง ทฤษฎีสัมพัทธภาพต้องการมากกว่านี้ในแง่ที่ว่ามันกำหนดว่ากฎเหล่านี้ (และกฎทางฟิสิกส์อื่นๆ ทั้งหมด) ต้องมีรูปแบบเดียวกันในทุกระบบพิกัด นี่จึงเป็นที่มาของการนำเทนเซอร์ มาใช้ ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ ซึ่งใช้ในการแทนปริมาณทางฟิสิกส์ทั้งหมด ${\displaystyle p}$${\displaystyle (x,y,z,t)}$

กล่าวกันว่าจีโอเดสิกเป็นแบบไทม์ไลค์ นัลล์ หรือสเปซไลค์ หากเวกเตอร์สัมผัสที่จุดหนึ่งของจีโอเดสิกมีลักษณะเช่นนี้ เส้นทางของอนุภาคและลำแสงในปริภูมิเวลาแสดงด้วยจีโอเดสิกแบบไทม์ไลค์และนัลล์ (แบบแสง) ตามลำดับ^{[ 64 ]}

มีมิติสองประเภท ได้แก่มิติเชิงพื้นที่ (แบบสองทิศทาง) และมิติเชิงเวลา (แบบทิศทางเดียว) ^{[ 66 ]}ให้จำนวนมิติเชิงพื้นที่เป็นNและจำนวนมิติเชิงเวลาเป็นTการที่N = 3และT = 1 —โดย ไม่คำนึงถึงมิติที่ถูกบีบอัดซึ่งถูกอ้างถึงโดยทฤษฎีสตริงซึ่งยังไม่ถูกตรวจพบจนถึงปัจจุบัน—สามารถอธิบายได้โดยการอ้างอิงถึงผลที่ตามมาทางกายภาพของการให้Nแตกต่างจาก 3 และTแตกต่างจาก 1 ข้อโต้แย้งนี้มักมีลักษณะเป็นแบบมนุษยนิยมและอาจเป็นครั้งแรกในประเภทนี้ แม้ว่าจะเกิดขึ้นก่อนที่แนวคิดที่สมบูรณ์จะได้รับความนิยมก็ตาม

แนวคิดโดยนัยที่ว่ามิติของจักรวาลนั้นมีความพิเศษนั้น มาจากGottfried Wilhelm Leibniz เป็นคนแรก ซึ่งในDiscourse on Metaphysicsได้เสนอว่าโลกคือ " โลกที่เรียบง่ายที่สุดในเชิงสมมติฐานและอุดมสมบูรณ์ที่สุดในเชิงปรากฏการณ์ " ^{[ 67 ]} Immanuel Kantโต้แย้งว่าพื้นที่ 3 มิติเป็นผลมาจากกฎกำลังสองผกผันของแรงโน้มถ่วงสากลแม้ว่าข้อโต้แย้งของ Kant จะมีความสำคัญทางประวัติศาสตร์ แต่John D. Barrowกล่าวว่า "มันทำให้ประเด็นสำคัญกลับหัวกลับหาง: มิติสามมิติของพื้นที่ต่างหากที่อธิบายว่าทำไมเราจึงเห็นกฎแรงกำลังสองผกผันในธรรมชาติ ไม่ใช่ในทางกลับกัน" (Barrow 2002:204) ^{[หมายเหตุ 13 ]}

ในปี พ.ศ. 2463 Paul Ehrenfestแสดงให้เห็นว่าหากมีมิติเวลาเพียงมิติเดียวและมิติเชิงพื้นที่มากกว่าสามมิติวงโคจรของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์จะไม่สามารถคงที่ได้ เช่นเดียวกับวงโคจรของดาวฤกษ์รอบศูนย์กลางของกาแล็กซี^{[ 68 ]} Ehrenfest ยังแสดงให้เห็นว่าหากมีมิติเชิงพื้นที่เป็นจำนวนคู่ ส่วนต่างๆ ของคลื่นแรงกระตุ้นจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วที่แตกต่างกัน หากมีมิติเชิงพื้นที่ โดยที่kเป็นจำนวนเต็มบวก คลื่นแรงกระตุ้นจะบิดเบี้ยว ในปี พ.ศ. 2465 Hermann Weylอ้างว่า ทฤษฎี แม่เหล็กไฟฟ้าของMaxwellสามารถแสดงได้ในรูปของแอคชั่นสำหรับแมนิโฟลด์สี่มิติเท่านั้น^{[ 69 ]}สุดท้าย Tangherlini แสดงให้เห็นในปี พ.ศ. 2506 ว่าเมื่อมีมิติเชิงพื้นที่มากกว่าสามมิติวงโคจร ของอิเล็กตรอน รอบนิวเคลียสจะไม่สามารถคงที่ได้ อิเล็กตรอนจะตกลงไปในนิวเคลียสหรือกระจายออกไป^{[ 70 ]}${\displaystyle 5+2k}$

Max Tegmarkขยายความข้อโต้แย้งก่อนหน้านี้ในลักษณะมนุษยนิยมดังต่อไปนี้^{[ 71 ]}หากTแตกต่างจาก 1 พฤติกรรมของระบบทางกายภาพจะไม่สามารถคาดการณ์ได้อย่างน่าเชื่อถือจากความรู้เกี่ยวกับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย ที่เกี่ยวข้อง ในจักรวาลเช่นนี้ ชีวิตอัจฉริยะที่สามารถควบคุมเทคโนโลยีได้จะไม่สามารถเกิดขึ้นได้ ยิ่งไปกว่านั้น หากT > 1 Tegmark ยืนยันว่าโปรตอนและอิเล็กตรอนจะไม่เสถียรและสามารถสลายตัวเป็นอนุภาคที่มีมวลมากกว่าตัวมันเองได้ (สิ่งนี้จะไม่เกิดขึ้นหากอนุภาคมีอุณหภูมิต่ำเพียงพอ) ^{[ 71 ]}สุดท้าย หากN < 3แรงโน้มถ่วงทุกชนิดจะกลายเป็นปัญหา และจักรวาลอาจจะเรียบง่ายเกินไปที่จะมีผู้สังเกตการณ์ ตัวอย่างเช่น เมื่อN < 3เส้นประสาทไม่สามารถตัดกันได้โดยไม่เกิดการตัดกัน^{[ 71 ]}ดังนั้น ข้อโต้แย้งเชิงมนุษยนิยมและข้อโต้แย้งอื่นๆ จึงตัดกรณีทั้งหมดออกไป ยกเว้นN = 3และT = 1ซึ่งอธิบายถึงโลกรอบตัวเรา

ในทางกลับกัน เมื่อพิจารณาถึงการสร้างหลุมดำจากก๊าซโมโนอะตอม ในอุดมคติ ภายใต้แรงโน้มถ่วงของตัวเอง Wei-Xiang Feng ได้แสดงให้เห็นว่า ปริภูมิเวลาแบบ (3 + 1)มิติเป็นมิติขอบเขต ยิ่งไปกว่านั้น มันเป็นมิติ เดียว ที่สามารถรองรับทรงกลมก๊าซที่ "เสถียร" ด้วยค่าคงที่จักรวาลวิทยาที่ "เป็นบวก" อย่างไรก็ตาม ก๊าซที่มีแรงโน้มถ่วงในตัวเองไม่สามารถถูกผูกมัดอย่างเสถียรได้หากทรงกลมมวลมีขนาดใหญ่กว่า ~10 ²¹มวลของดวงอาทิตย์ เนื่องจากค่าคงที่จักรวาลวิทยาที่เป็นบวกที่สังเกตได้มีขนาดเล็ก^{[ 72 ]}

ในปี 2019 เจมส์ สการ์กิลล์ ได้โต้แย้งว่าสิ่งมีชีวิตที่ซับซ้อนอาจเป็นไปได้ด้วยมิติเชิงพื้นที่สองมิติ ตามที่สการ์กิลล์กล่าว ทฤษฎีแรงโน้มถ่วงแบบสเกลาร์ล้วนๆ อาจทำให้เกิดแรงโน้มถ่วงเฉพาะที่ และเครือข่าย 2 มิติอาจเพียงพอสำหรับเครือข่ายประสาทที่ซับซ้อน^{[ 73 ] [ 74 ]}

• Barrow, John D. ; Tipler, Frank J. (1986). หลักการจักรวาลวิทยาเชิงมานุษยวิทยา (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 1). สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด . ISBN 978-0-19-282147-8. ลคซีเอ็น 87028148 .
• George F. Ellisและ Ruth M. Williams (1992) ปริภูมิเวลาแบบราบและแบบโค้งสำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด ISBN 0-19-851164-7
• Lorentz, HA , Einstein, Albert , Minkowski, HermannและWeyl, Hermann (1952) หลักการสัมพัทธภาพ: รวมบทความต้นฉบับ Dover.
• ลูคัส, จอห์น แรนดอล์ฟ (1973) บทความว่าด้วยเวลาและอวกาศลอนดอน: เมธูเอน
• เพนโรส, โรเจอร์ (2004). เส้นทางสู่ความเป็นจริง . อ็อกซ์ฟอร์ด: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยอ็อกซ์ฟอร์ด. ISBN 0-679-45443-8.บทที่ 17–18
• เทย์เลอร์, อีเอฟ; วีลเลอร์, จอห์น เอ. (1992). ฟิสิกส์กาลอวกาศ ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง . คลังข้อมูลอินเทอร์เน็ต: ดับเบิลยูเอช ฟรีแมน. ISBN 0-7167-2327-1.
• Arkani-Hamed, Nima (1 ธันวาคม 2017). หายนะของกาลอวกาศ: เหตุใดจึงต้องสลายไปสู่โครงสร้างพื้นฐานที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้น (สุนทรพจน์). การประชุมครั้งที่ 2384 ของสมาคม. วอชิงตัน ดี.ซี. สืบค้นเมื่อ16 กรกฎาคม 2022 .

Wikiquote มีคำคมที่เกี่ยวข้องกับกาลอวกาศ

เว็บไซต์ Wikibooks มีหนังสือเกี่ยวกับหัวข้อ: ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ

• สื่อที่เกี่ยวข้องกับกาลอวกาศในวิกิมีเดียคอมมอนส์
• อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ เกี่ยวกับกาลอวกาศฉบับที่ 13 สารานุกรมบริแทนนิกาประวัติศาสตร์: บทความของอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ ปี 1926
• สารานุกรมเกี่ยวกับกาลอวกาศและแรงโน้มถ่วงScholarpediaบทความผู้เชี่ยวชาญ
• สารานุกรมปรัชญาแห่งสแตนฟอร์ด : " อวกาศและเวลา: กรอบอ้างอิงเฉื่อย " โดย โรเบิร์ต ดิซัลเล