พลังงานของโมเมนต์แม่เหล็กในสนามแม่เหล็กมีค่าดังนี้ $${\displaystyle \Delta H=-{\boldสัญลักษณ์ {\mu }}\cdot \mathbf {B} ,}$$ โดยที่μคือโมเมนต์แม่เหล็กของอนุภาค และBคือสนามแม่เหล็กที่อนุภาคได้รับ

เราจะเริ่มจากสนามแม่เหล็กก่อน แม้ว่าในกรอบอ้างอิงของนิวเคลียสจะไม่มีสนามแม่เหล็กกระทำต่ออิเล็กตรอน แต่ก็มีสนามแม่เหล็กกระทำอยู่ในกรอบอ้างอิงของอิเล็กตรอน (ดูแม่เหล็กไฟฟ้าแบบคลาสสิกและทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ ) หากเราละเว้นข้อเท็จจริงที่ว่ากรอบอ้างอิงนี้ไม่ใช่กรอบอ้างอิงเฉื่อย ไปก่อน เราจะได้สมการดังนี้ $${\displaystyle \mathbf {B} =-{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {E} }{c^{2}}},}$$ โดยที่vคือความเร็วของอิเล็กตรอน และEคือสนามไฟฟ้าที่อิเล็กตรอนเคลื่อนที่ผ่าน^{[ a ]} ​​ในที่นี้ ในขีดจำกัดที่ไม่เป็นสัมพัทธภาพ เราถือว่าปัจจัยลอเรนซ์${\displaystyle \gamma \backsimeq 1}$ตอนนี้เรารู้แล้วว่าEเป็นเมทริกซ์แนวรัศมี ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนใหม่ได้${\textstyle \mathbf {E} =\left|E\right|{\frac {\mathbf {r} }{r}}}$นอกจากนี้เรารู้ว่าโมเมนตัมของอิเล็กตรอน${\displaystyle \mathbf {p} =m_{\text{e}}\mathbf {v} }$แทนที่สิ่งเหล่านี้และเปลี่ยนลำดับของผลคูณไขว้ (โดยใช้เอกลักษณ์)${\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =-\mathbf {B} \times \mathbf {A} }$) ให้ $${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {p} }{m_{\text{e}}c^{2}}}\left|{\frac {E}{r}}\right|.}$$

ต่อไป เราจะแสดงสนามไฟฟ้าในรูปของเกรเดียนต์ของศักย์ไฟฟ้า${\displaystyle \mathbf {E} =-\นาบลา V}$ในที่นี้เราใช้การประมาณสนามศูนย์กลางนั่นคือ ศักย์ไฟฟ้าสถิตมีสมมาตรทรงกลม ดังนั้นจึงขึ้นอยู่กับรัศมีเท่านั้น การประมาณนี้ถูกต้องสำหรับไฮโดรเจนและระบบที่คล้ายไฮโดรเจน ตอนนี้เราสามารถกล่าวได้ว่า $${\displaystyle |E|=\left|{\frac {\partial V}{\partial r}}\right|={\frac {1}{e}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}},}$$

ที่ไหน${\displaystyle U=-eV}$คือพลังงานศักยภาพของอิเล็กตรอนในสนามกลาง และeคือประจุพื้นฐานเราจำได้จากกลศาสตร์คลาสสิกว่าโมเมนตัมเชิงมุมของอนุภาค${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$เมื่อนำทุกอย่างมารวมกัน เราก็จะได้ $${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {1}{m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} .}$$

ณ จุดนี้Bเป็นจำนวนบวกที่คูณด้วยLซึ่งหมายความว่าสนามแม่เหล็กขนานกับโมเมนตัมเชิงมุมวงโคจร ของอนุภาค ซึ่งตั้งฉากกับความเร็วของอนุภาค

โมเมนต์แม่เหล็กสปินของอิเล็กตรอนคือ $${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{S}=-g_{\text{s}}\mu _{\text{B}}{\frac {\mathbf {S} }{\hbar }},}$$ ที่ไหน${\displaystyle \mathbf {S} }$คือเวกเตอร์สปิน (หรือโมเมนตัมเชิงมุมภายใน)${\displaystyle \mu _{\text{B}}}$คือค่าแมกเนตอนของโบร์และ${\displaystyle g_{\text{s}}=2.0023...\approx 2}$คือ ค่า g-factorของการหมุนอิเล็กตรอนที่นี่${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$เป็นค่าคงที่ลบที่คูณด้วยค่าสปินดังนั้นโมเมนต์แม่เหล็กของสปินจึงมีทิศทางตรงข้ามกับค่าสปิน

ศักย์สปิน-ออร์บิตประกอบด้วยสองส่วน ส่วนลาร์มอร์เกี่ยวข้องกับปฏิสัมพันธ์ระหว่างโมเมนต์แม่เหล็กสปินของอิเล็กตรอนกับสนามแม่เหล็กของนิวเคลียสในกรอบอ้างอิงร่วมเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอน ส่วนที่สองเกี่ยวข้องกับการหมุนควงของโทมัส

พลังงานปฏิสัมพันธ์ลาร์มอร์คือ $${\displaystyle \Delta H_{\text{L}}=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} .}$$

เมื่อแทนค่านิพจน์สำหรับโมเมนต์แม่เหล็กสปินและสนามแม่เหล็กในสมการนี้ จะได้ $${\displaystyle \Delta H_{\text{L}}={\frac {g_{\text{s}}\mu _{\text{B}}}{\hbar m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \approx {\frac {2\mu _{\text{B}}}{\hbar m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} .}$$

ตอนนี้เราต้องนำ การแก้ไขการ เคลื่อนที่แบบเพร็กชันของโทมัสมา พิจารณา สำหรับวิถีโค้งของอิเล็กตรอนด้วย

ในปี พ.ศ. 2469 ลูเวลลิน โทมัสได้คำนวณระยะห่างระหว่างคู่ในโครงสร้างละเอียดของอะตอมใหม่โดยใช้ทฤษฎี สัมพัทธภาพ ^{[ 2 ]}อัตราการหมุนวนของโทมัส${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}_{\text{T}}}$เกี่ยวข้องกับความถี่เชิงมุมของการเคลื่อนที่ในวงโคจร${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ของอนุภาคหมุนดังต่อไปนี้: ^{[ 3 ] [ 4 ]}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}_{\text{T}}=-{\boldsymbol {\omega }}(\gamma -1),}$$ ที่ไหน${\displaystyle \gamma }$คือแฟกเตอร์ลอเรนซ์ของอนุภาคที่เคลื่อนที่ แฮมิลโทเนียนที่ทำให้เกิดการหมุนควงของสปิน${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}_{\text{T}}}$ได้รับจาก $${\displaystyle \Delta H_{\text{T}}={\boldsymbol {\Omega }}_{\text{T}}\cdot \mathbf {S} .}$$

ถึงลำดับแรกใน${\displaystyle (v/c)^{2}}$เราจึงได้รับ $${\displaystyle \Delta H_{\text{T}}=-{\frac {\mu _{\text{B}}}{\hbar m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} .}$$

ศักย์สปิน-ออร์บิตรวมในศักย์ไฟฟ้าสถิตภายนอกมีรูปแบบดังนี้ $${\displaystyle \Delta H\equiv \Delta H_{\text{L}}+\Delta H_{\text{T}}={\frac {(g_{\text{s}}-1)\mu _{\text{B}}}{\hbar m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \approx {\frac {\mu _{\text{B}}}{\hbar m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} .}$$ ผลสุทธิของการหมุนควงแบบโทมัสคือการลดพลังงานปฏิสัมพันธ์แบบลาร์มอร์ลงประมาณครึ่งหนึ่ง ซึ่งต่อมาได้รู้จักกันในชื่อครึ่งโทมัส

ด้วยการประมาณค่าทั้งหมดข้างต้น เราจึงสามารถประเมินการเปลี่ยนแปลงพลังงานโดยละเอียดในแบบจำลองนี้ได้แล้ว โปรดทราบว่าL และS ไม่ใช่ปริมาณอนุรักษ์อีกต่อไป โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราต้องการหาฐานใหม่ที่ทำให้H (แฮมิลโทเนียนที่ไม่ถูกรบกวน) และΔ H เป็นเมทริกซ์ทแยงมุม เพื่อหาว่าฐานนี้คืออะไร ก่อนอื่นเราต้องกำหนดตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงมุมรวม$${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} .}$$

เมื่อนำ ค่า นี้ มาหา ผลคูณดอท กับตัวเอง เราจะได้$${\displaystyle \mathbf {J} ^{2}=\mathbf {L} ^{2}+\mathbf {S} ^{2}+2\,\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} }$$ (เนื่องจากLและSสลับที่กันได้) และดังนั้น $${\displaystyle \mathbf {L} \cdot \mathbf {S} ={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {J} ^{2}-\mathbf {L} ^{2}-\mathbf {S} ^{2}\right)}$$

สามารถแสดงได้ว่าตัวดำเนินการทั้งห้าH , J ² , L ² , S ²และJ สลับที่กันได้และสลับที่กับ Δ Hด้วย ดังนั้นฐานที่เรากำลังมองหาคือฐานค่าลักษณะ เฉพาะพร้อมกัน ของตัวดำเนินการทั้งห้านี้ (กล่าวคือ ฐานที่ตัวดำเนินการทั้งห้าเป็นเมทริกซ์ทแยงมุม) องค์ประกอบของฐานนี้มีเลขควอนตัม ห้าตัวดังนี้ :${\displaystyle n}$(เลขควอนตัมหลัก)${\displaystyle j}$(เลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุมรวม)${\displaystyle \ell }$(เลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุมวงโคจร)${\displaystyle s}$(เลขควอนตัมสปิน) และ${\displaystyle j_{z}}$(ส่วนประกอบ " zของโมเมนตัมเชิงมุมรวม")

เพื่อประเมินพลังงาน เราสังเกตว่า $${\displaystyle \left\langle {\frac {1}{r^{3}}}\right\rangle ={\frac {2}{a^{3}n^{3}\;\ell (\ell +1)(2\ell +1)}}}$$ สำหรับฟังก์ชันคลื่นไฮโดรเจนิก (ที่นี่)${\displaystyle a=\hbar /(Z\alpha m_{\text{e}}c)}$คือรัศมีของโบร์หารด้วยประจุของนิวเคลียสZ ); และ $${\displaystyle \left\langle \mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \right\rangle ={\frac {1}{2}}{\big (}\langle \mathbf {J} ^{2}\rangle -\langle \mathbf {L} ^{2}\rangle -\langle \mathbf {S} ^{2}\rangle {\big )}={\frac {\hbar ^{2}}{2}}{\big (}j(j+1)-\ell (\ell +1)-s(s+1){\big )}.}$$

ตอนนี้เราสามารถพูดได้ว่า $${\displaystyle \Delta E={\frac {\beta }{2}}{\big (}j(j+1)-\ell (\ell +1)-s(s+1){\big )},}$$ โดยที่ค่าคงที่การคู่ควบสปิน-ออร์บิตคือ $${\displaystyle \beta =\beta (n,l)=Z^{4}{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}g_{\text{s}}\mu _{\text{B}}^{2}{\frac {1}{n^{3}a_{0}^{3}\;\ell (\ell +1/2)(\ell +1)}}.}$$

สำหรับผลลัพธ์เชิงสัมพัทธภาพที่แม่นยำ โปรดดูคำตอบของสมการดิแรกสำหรับอะตอมที่คล้ายไฮโดรเจน

การคำนวณข้างต้นคำนวณพลังงานปฏิสัมพันธ์ในกรอบอ้างอิงที่หยุดนิ่ง (ชั่วขณะ) ของอิเล็กตรอน และในกรอบอ้างอิงนี้มีสนามแม่เหล็กซึ่งไม่มีอยู่ในกรอบอ้างอิงที่หยุดนิ่งของนิวเคลียส

แนวทางอื่นคือการคำนวณในกรอบอ้างอิงของนิวเคลียส ดูตัวอย่างเช่น George P. Fisher: Electric Dipole Moment of a Moving Magnetic Dipole (1971) ^{[ 5 ]}อย่างไรก็ตาม บางครั้งก็หลีกเลี่ยงการคำนวณในกรอบอ้างอิง เนื่องจากต้องคำนึงถึงโมเมนตัมที่ซ่อนอยู่^{[ 6 ]}

แถบโฮลของสารกึ่งตัวนำซิงค์เบลนด์แบบสามมิติ (3D) จะถูกแยกออกโดย${\displaystyle \Delta _{0}}$เข้าไปในรูที่หนักและเบา (ซึ่งก่อตัวเป็น${\displaystyle \Gamma _{8}}$แฝดสี่ใน${\displaystyle \Gamma }$-จุดของโซนบริลลูอิน) และแถบแยกออก (${\displaystyle \Gamma _{7}}$ดับเบิลเล็ต) รวมถึงแถบนำไฟฟ้าสองแถบ (${\displaystyle \Gamma _{6}}$ดับเบิลใน${\displaystyle \Gamma }$(จุด -point) ระบบนี้อธิบายได้ด้วยแบบจำลองแปดแถบที่มีประสิทธิภาพของ Kohn และ Luttingerหากสนใจเฉพาะส่วนบนสุดของแถบวาเลนซ์เท่านั้น (ตัวอย่างเช่น เมื่อ${\displaystyle E_{\text{F}}\ll \Delta _{0}}$(ระดับเฟอร์มิที่วัดจากด้านบนของแถบวาเลนซ์) แบบจำลองสี่แถบที่มีประสิทธิภาพที่เหมาะสมคือ $${\displaystyle H_{\text{KL}}(k_{\text{x}},k_{\text{y}},k_{\text{z}})=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left[\left(\gamma _{1}+{{\tfrac {5}{2}}\gamma _{2}}\right)k^{2}-2\gamma _{2}\left(J_{\text{x}}^{2}k_{\text{x}}^{2}+J_{\text{y}}^{2}k_{\text{y}}^{2}+J_{\text{z}}^{2}k_{\text{z}}^{2}\right)-2\gamma _{3}\sum _{m\neq n}J_{m}J_{n}k_{m}k_{n}\right]}$$ ที่ไหน${\displaystyle \gamma _{1,2,3}}$คือพารามิเตอร์ของลุตติงเกอร์ (ซึ่งเทียบได้กับมวลยังผลเดี่ยวของแบบจำลองอิเล็กตรอนแบบแถบเดียว) และ${\displaystyle J_{{\text{x}},{\text{y}},{\text{z}}}}$เป็นเมทริกซ์โมเมนตัมเชิงมุม 3/2 (${\displaystyle m}$( มวลของอิเล็กตรอนอิสระ) เมื่อรวมกับการทำให้เป็นแม่เหล็ก ปฏิสัมพันธ์แบบสปิน-ออร์บิตชนิดนี้จะทำให้แถบอิเล็กตรอนบิดเบี้ยวไปตามทิศทางของการทำให้เป็นแม่เหล็ก ส่งผลให้เกิดความไม่สมมาตรของแม่เหล็กผลึก (ความไม่สมมาตรของแม่เหล็กชนิดพิเศษ) ยิ่งไปกว่านั้น หากสารกึ่งตัวนำขาดสมมาตรแบบผกผัน แถบโฮลจะแสดงการแยกแบบ Dresselhaus ลูกบาศก์ ภายในสี่แถบ (โฮลเบาและโฮลหนัก) เทอมที่เด่นที่สุดคือ $${\displaystyle H_{{\text{D}}3}=b_{41}^{8{\text{v}}8{\text{v}}}[(k_{\text{x}}k_{\text{y}}^{2}-k_{\text{x}}k_{\text{z}}^{2})J_{\text{x}}+(k_{\text{y}}k_{\text{z}}^{2}-k_{\text{y}}k_{\text{x}}^{2})J_{\text{y}}+(k_{\text{z}}k_{\text{x}}^{2}-k_{\text{z}}k_{\text{y}}^{2})J_{\text{z}}]}$$

โดยที่พารามิเตอร์ของวัสดุ${\displaystyle b_{41}^{8{\text{v}}8{\text{v}}}=-81.93\,{\text{meV}}\cdot {\text{nm}}^{3}}$สำหรับ GaAs (ดูหน้า 72 ในหนังสือของ Winkler ตามข้อมูลล่าสุด ค่าคงที่ Dresselhaus ใน GaAs คือ 9 eVÅ ³ ; ^{[ 15 ]} Hamiltonian ทั้งหมดจะเป็น${\displaystyle H_{\text{KL}}+H_{{\text{D}}3}}$อิเล็กตรอนก๊าซสองมิติในบ่อควอนตัมที่ไม่สมมาตร (หรือโครงสร้างเฮเทอโร) จะรู้สึกถึงอันตรกิริยาแบบ Rashba แฮมิลโทเนียนที่มีประสิทธิภาพแบบสองแถบที่เหมาะสม คือ$${\displaystyle H_{0}+H_{\text{R}}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m^{*}}}\sigma _{0}+\alpha (k_{\text{y}}\sigma _{\text{x}}-k_{\text{x}}\sigma _{\text{y}})}$$ ที่ไหน${\displaystyle \sigma _{0}}$คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ขนาด 2 × 2${\displaystyle \sigma _{{\text{x}},{\text{y}}}}$เมทริกซ์ของเปาลีและ${\displaystyle m^{*}}$มวลยังผลของอิเล็กตรอน ส่วนของแฮมิลโทเนียนที่เกี่ยวข้องกับสปิน-ออร์บิต${\displaystyle H_{\text{R}}}$ถูกกำหนดพารามิเตอร์โดย${\displaystyle \alpha }$บางครั้งเรียกว่าพารามิเตอร์ Rashba (ซึ่งคำจำกัดความอาจแตกต่างกันไปบ้าง) ซึ่งเกี่ยวข้องกับความไม่สมมาตรของโครงสร้าง

นิพจน์ข้างต้นสำหรับปฏิสัมพันธ์ระหว่างสปินและวงโคจรจะเชื่อมโยงเมทริกซ์สปินเข้าด้วยกัน${\displaystyle \mathbf {J} }$และ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ไปยังโมเมนตัมเสมือน${\displaystyle \mathbf {k} }$และไปยังศักยภาพเวกเตอร์${\displaystyle \mathbf {A} }$ของสนามไฟฟ้ากระแสสลับผ่านการแทนที่ของ Peierls${\textstyle \mathbf {k} =-i\nabla -{\frac {e}{\hbar c}}\mathbf {A} }$พจน์เหล่านี้เป็นพจน์ลำดับต่ำกว่าของ ทฤษฎีการรบกวนk·pของ Luttinger–Kohn ในรูปกำลังของ${\displaystyle k}$เงื่อนไขถัดไปของการขยายนี้ยังสร้างเงื่อนไขที่เชื่อมโยงตัวดำเนินการสปินของพิกัดอิเล็กตรอนด้วย${\displaystyle \mathbf {r} }$อันที่จริง ผลคูณไขว้${\displaystyle ({\boldsymbol {\sigma }}\times {\mathbf {k} })}$มีค่าคงที่เมื่อเทียบกับการผกผันเวลา ในผลึกทรงลูกบาศก์ ค่านี้มีสมมาตรแบบเวกเตอร์และมีความหมายเหมือนกับการมีส่วนร่วมของสปิน-ออร์บิต${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{\text{SO}}}$สำหรับตัวดำเนินการพิกัด สำหรับอิเล็กตรอนในสารกึ่งตัวนำที่มีช่องว่างพลังงานแคบ${\displaystyle E_{\rm {G}}}$ระหว่างแถบการนำไฟฟ้าและแถบโฮลหนัก Yafet ได้สมการ^{[ 16 ] [ 17 ]}$${\displaystyle {\mathbf {r} }_{\text{SO}}={\frac {\hbar ^{2}g}{4m_{0}}}\left({\frac {1}{E_{\rm {G}}}}+{\frac {1}{E_{\rm {G}}+\Delta _{0}}}\right)({\boldsymbol {\sigma }}\times {\mathbf {k} })}$$ ที่ไหน${\displaystyle m_{0}}$คือมวลของอิเล็กตรอนอิสระ และ${\displaystyle g}$เป็น${\displaystyle g}$-แฟกเตอร์ได้รับการปรับค่าใหม่ให้เหมาะสมสำหรับการปฏิสัมพันธ์ระหว่างสปินและวงโคจร ตัวดำเนินการนี้เชื่อมโยงสปินของอิเล็กตรอน${\displaystyle \mathbf {S} ={\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\sigma }}}$โดยตรงไปยังสนามไฟฟ้า${\displaystyle \mathbf {E} }$ผ่านพลังงานปฏิสัมพันธ์${\displaystyle -e(\mathbf {r} _{\text{SO}}\cdot \mathbf {E} )}$.

การเรโซแนนซ์สปินไดโพลไฟฟ้า (EDSR) คือการจับคู่ของสปินอิเล็กตรอนกับสนามไฟฟ้าที่สั่น คล้ายกับการเรโซแนนซ์สปินอิเล็กตรอน (ESR) ซึ่งอิเล็กตรอนสามารถถูกกระตุ้นด้วยคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่มีพลังงานตามผลของซีแมนใน EDSR การเรโซแนนซ์สามารถเกิดขึ้นได้หากความถี่สัมพันธ์กับการแยกแถบพลังงานที่เกิดจากการจับคู่สปิน-ออร์บิตในของแข็ง ในขณะที่ใน ESR การจับคู่เกิดขึ้นผ่านส่วนแม่เหล็กของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้ากับโมเมนต์แม่เหล็กของอิเล็กตรอน ESDR คือการจับคู่ของส่วนไฟฟ้ากับสปินและการเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอน กลไกนี้ได้รับการเสนอเพื่อควบคุมสปินของอิเล็กตรอนในควอนตัมดอตและระบบเมโซสโคปิกอื่น ๆ ^{[ 18 ]}