แบบจำลอง Arrow–Debreu

ในเศรษฐศาสตร์คณิตศาสตร์แบบจำลอง Arrow–Debreuเป็น แบบจำลอง สมดุลทั่วไป เชิงทฤษฎี โดยตั้งสมมติฐานว่าภายใต้สมมติฐานทางเศรษฐกิจบางประการ ( ความชอบแบบนูน การแข่งขันสมบูรณ์และความเป็นอิสระของอุปสงค์) จะต้องมีชุดราคาที่ทำให้อุปทานรวมเท่ากับอุปสงค์รวมสำหรับสินค้าทุกชนิดในระบบเศรษฐกิจ^{[ 1 ]}

แบบจำลองนี้เป็นหัวใจสำคัญของทฤษฎีสมดุลทั่วไป (ทางเศรษฐกิจ)และใช้เป็นข้อมูลอ้างอิงทั่วไปสำหรับแบบจำลองเศรษฐศาสตร์จุลภาคอื่นๆ แบบจำลองนี้ได้รับการเสนอโดยKenneth ArrowและGérard Debreuในปี 1954 ^{[ 1 ]}และLionel W. McKenzieอย่างอิสระในปี 1954 ^{[ 2 ]}โดยมีการปรับปรุงเพิ่มเติมในภายหลังในปี 1959 ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

แบบจำลอง AD เป็นหนึ่งในแบบจำลองทั่วไปที่สุดของเศรษฐกิจแข่งขัน และเป็นส่วนสำคัญของทฤษฎีดุลยภาพทั่วไปเนื่องจากสามารถใช้พิสูจน์การมีอยู่ของดุลยภาพทั่วไป (หรือดุลยภาพแบบวอลราส ) ของเศรษฐกิจได้ โดยทั่วไปแล้ว อาจมีดุลยภาพได้หลายแบบ

Arrow (1972) และ Debreu (1983) ได้รับรางวัลโนเบลสาขาเศรษฐศาสตร์ แยกกัน สำหรับการพัฒนารูปแบบดังกล่าว อย่างไรก็ตาม McKenzie ไม่ได้รับรางวัลนี้^{[ 5 ]}

คำแถลงอย่างเป็นทางการ

เนื้อหาของทฤษฎีบททั้งสอง [ทฤษฎีบทพื้นฐานของเศรษฐศาสตร์สวัสดิการ] เป็นความเชื่อเก่าแก่ในทางเศรษฐศาสตร์ Arrow และ Debreu เพิ่งศึกษาประเด็นนี้ด้วยเทคนิคที่ช่วยให้สามารถพิสูจน์ได้

— เจอราร์ด เดอบรู, สมดุลการประเมินค่าและจุดเหมาะสมที่สุดแบบพาเรโต (1954)

คำกล่าวนี้ถูกต้องอย่างยิ่ง ครั้งหนึ่งเคยมีความเชื่อ บัดนี้มีความรู้แล้ว แบบจำลอง Arrow-Debreu ตามที่สื่อสารไว้ในทฤษฎีมูลค่า ได้เปลี่ยนความคิดพื้นฐานและกลายเป็นแบบจำลองมาตรฐานของทฤษฎีราคาอย่างรวดเร็ว มันเป็นแบบจำลอง "เกณฑ์มาตรฐาน" ในด้านการเงิน การค้าระหว่างประเทศ การคลังสาธารณะ การขนส่ง และแม้แต่เศรษฐศาสตร์มหภาค... ในเวลาอันสั้น มันไม่ได้เป็นเพียง "แบบจำลอง" ในงานของ Marshall, Hicks และ Samuelson อีกต่อไป แต่กลายเป็น "แบบจำลอง" ในทฤษฎีมูลค่าแทน

— Hugo Sonnenschein คำกล่าวในการประชุม Debreu ที่ Berkeley, 2005

ส่วนนี้เป็นไปตามการนำเสนอใน^{[ 6 ]}ซึ่งอ้างอิงจาก^{[ 7 ]}

คำอธิบายเชิงลึกของแบบจำลอง Arrow–Debreu

แบบจำลอง Arrow–Debreu จำลองเศรษฐกิจว่าเป็นผลรวมของตัวแทนสามประเภท ได้แก่ ครัวเรือน ผู้ผลิต และตลาด ครัวเรือนและผู้ผลิตทำธุรกรรมกับตลาด แต่ไม่ได้ทำธุรกรรมระหว่างกันโดยตรง

ครัวเรือนแต่ละแห่งมีสินทรัพย์เริ่มต้น (กลุ่มสินค้าที่พวกเขามีตั้งแต่แรก) ซึ่งอาจมองได้ว่าเป็น "มรดก" เพื่อความชัดเจนทางคณิตศาสตร์ ครัวเรือนทุกหลังต้องขายสินค้าเริ่มต้นทั้งหมดให้กับตลาดในตอนเริ่มต้น หากพวกเขาต้องการเก็บรักษาสินทรัพย์บางส่วนไว้ พวกเขาจะต้องซื้อคืนจากตลาดในภายหลัง สินทรัพย์เริ่มต้นอาจเป็นชั่วโมงทำงาน การใช้ที่ดิน ปริมาณข้าวโพด ฯลฯ

ครัวเรือนแต่ละแห่งมีกรรมสิทธิ์ในบริษัทผู้ผลิตตามสัดส่วน ซึ่งอาจมองได้ว่าเป็นบริษัทร่วมทุนกำไรที่บริษัทผู้ผลิตได้รับจะถูกแบ่งให้แก่ครัวเรือนตามสัดส่วนของหุ้นที่แต่ละครัวเรือนถือครองอยู่กรรมสิทธิ์ถูกกำหนดไว้ตั้งแต่เริ่มต้น และครัวเรือนไม่สามารถขาย ซื้อ สร้าง หรือทิ้งหุ้นเหล่านั้นได้ $j$ $j$

ครัวเรือนได้รับงบประมาณ รายได้จากการขายสินทรัพย์ และเงินปันผลจากกำไรของผู้ผลิต ครัวเรือนมีความชอบต่อสินค้าแต่ละประเภท ซึ่งภายใต้สมมติฐานที่กำหนด ทำให้พวกเขากลายเป็นผู้ที่แสวงหาอรรถประโยชน์สูงสุดครัวเรือนเลือกแผนการบริโภคที่มีอรรถประโยชน์สูงสุดเท่าที่จะจ่ายได้โดยใช้งบประมาณของตน

ผู้ผลิตสามารถแปรรูปสินค้ากลุ่มหนึ่งไปเป็นสินค้ากลุ่มอื่นได้ ผู้ผลิตไม่มีฟังก์ชันอรรถประโยชน์แยกต่างหาก แต่ทุกคนล้วนเป็นผู้มุ่งหวังที่จะเพิ่มผลกำไรสูงสุด

ตลาดสามารถ "เลือก" เวกเตอร์ราคาตลาดได้เท่านั้น ซึ่งเป็นรายการราคาของสินค้าแต่ละชนิดที่ผู้ผลิตและครัวเรือนทุกรายยอมรับ (ไม่มีการต่อรอง – ผู้ผลิตและครัวเรือนทุกรายเป็นผู้รับราคา ) ตลาดไม่มีอรรถประโยชน์หรือกำไร แต่ตลาดมุ่งที่จะเลือกเวกเตอร์ราคาตลาดเพื่อให้แม้ว่าแต่ละครัวเรือนและผู้ผลิตจะพยายามเพิ่มอรรถประโยชน์และกำไรสูงสุด แต่แผนการบริโภคและการผลิตของพวกเขาก็ "สอดคล้องกัน" กล่าวคือ " ตลาดเข้าสู่ภาวะ สมดุล " กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตลาดกำลังทำหน้าที่เป็น " ผู้ประมูลแบบวาลราส "

แบบจำลอง Arrow–Debreu ดำเนินไปอย่างไรตั้งแต่ต้นจนจบ
ครัวเรือน	ผู้ผลิต
ได้รับเงินบริจาคและกรรมสิทธิ์ในกลุ่มผู้ผลิต
ขายทรัพย์สินที่ได้รับบริจาคทั้งหมดสู่ตลาด
	วางแผนการผลิตเพื่อเพิ่มผลกำไรสูงสุด
	ทำข้อตกลงซื้อขายระหว่างตลาดและระหว่างกัน
	ดำเนินการตามแผนการผลิต
	ขายทุกอย่างให้ตลาด
	ส่งผลกำไรทั้งหมดให้แก่ครัวเรือนตามสัดส่วนการถือครอง
วางแผนการบริโภคเพื่อเพิ่มอรรถประโยชน์สูงสุดภายใต้ข้อจำกัดด้านงบประมาณ
ซื้อปริมาณการบริโภคที่วางแผนไว้จากตลาด

การตั้งค่าสัญลักษณ์

โดยทั่วไป เราจะเขียนดัชนีของตัวแทนเป็นตัวยก และดัชนีพิกัดเวกเตอร์เป็นตัวห้อย

สัญลักษณ์ที่มีประโยชน์สำหรับเวกเตอร์จริง

$x\succeq y$ ถ้า $\forall n,x_{n}\geq y_{n}$
$\mathbb {R} _{+}^{N}$ คือเซตของซึ่ง $x$ $x\succeq 0$
$\mathbb {R} _{++}^{N}$ คือเซตของซึ่ง $x$ $x\succ 0$
$\Delta _{N}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{N}:x_{1},...,x_{N}\geq 0,\sum _{n\in 1:N}x_{n}=1\right\}$ คือN-simplexเรามักเรียกมันว่าprice simplexเนื่องจากบางครั้งเราปรับขนาดเวกเตอร์ราคาให้วางอยู่บนนั้น

ตลาด

สินค้าโภคภัณฑ์มีการกำหนดดัชนีเป็น โดยที่คือจำนวนสินค้าโภคภัณฑ์ในระบบเศรษฐกิจ ซึ่งเป็นจำนวนจำกัด $n\in 1:N$ $N$
เวกเตอร์ราคา เป็นเวกเตอร์ที่มีความยาวโดยแต่ละพิกัดคือราคาของสินค้า ราคาอาจเป็นศูนย์หรือเป็นบวกก็ได้ $p=(p_{1},...,p_{N})\in \mathbb {R} _{++}^{N}$ $N$

ครัวเรือน

ครัวเรือนเหล่านี้ได้รับการจัดทำดัชนีเป็น. $i\in I$
แต่ละครัวเรือนเริ่มต้นด้วยการได้รับสิ่งของเครื่องนุ่งห่มเป็นทุน เริ่ม ต้น $r^{i}\in \mathbb {R} _{+}^{N}$
แต่ละครัวเรือนเริ่มต้นด้วยคู่ของกรรมสิทธิ์ของผู้ผลิตกรรมสิทธิ์เหล่านั้นเป็นไปตามเงื่อนไข... $\alpha ^{i,j}\geq 0$ $\sum _{i\in I}\alpha ^{i,j}=1\quad \forall j\in J$
งบประมาณที่ครัวเรือนได้รับคือผลรวมของรายได้จากการขายทรัพย์สินในราคาตลาด บวกกับกำไรจากการเป็นเจ้าของผู้ผลิต( หมายถึงเงิน ) $M^{i}(p)=\langle p,r^{i}\rangle +\sum _{j\in J}\alpha ^{i,j}\Pi ^{j}(p)$ $M$
แต่ละครัวเรือนมี ชุดความเป็นไปได้ ในการบริโภค ${\mathit {CPS}}^{i}\subset \mathbb {R} _{+}^{N}$
แต่ละครัวเรือนมีความสัมพันธ์ของความชอบ ต่อ สิ่ง ต่างๆ $\succeq ^{i}$ ${\mathit {CPS}}^{i}$
ภายใต้สมมติฐานเกี่ยวกับ(ซึ่งจะกล่าวถึงในส่วนถัดไป) ความสัมพันธ์ของความชอบแต่ละอย่างสามารถแสดงได้ด้วยฟังก์ชันอรรถประโยชน์ตามทฤษฎีบทของเดอบรูดังนั้น แทนที่จะมุ่งเน้นการเพิ่มความชอบให้สูงสุด เราสามารถกล่าวได้ว่าครัวเรือนกำลังเพิ่มอรรถประโยชน์ให้สูงสุดเช่นกัน $\succeq ^{i}$ $u^{i}:{\mathit {CPS}}^{i}\to [0,1]$
แผนการบริโภคเป็นเวกเตอร์ใน ซึ่งเขียนได้เป็น ${\mathit {CPS}}^{i}$ $x^{i}$
$U_{+}^{i}(x^{i})$ แผนการบริโภคชุดนั้นมีความน่าพึงพอใจอย่างน้อยก็เท่ากับหรือไม่ $x^{i}$
งบประมาณที่กำหนดไว้คือชุดแผนการบริโภคที่องค์กรสามารถจ่ายได้: . $B^{i}(p)=\{x^{i}\in {\mathit {CPS}}^{i}:\langle p,x^{i}\rangle \leq M^{i}(p)\}$
สำหรับเวกเตอร์ราคาแต่ละตัวครัวเรือนจะมี เวกเตอร์ อุปสงค์สำหรับสินค้าโภคภัณฑ์ ดังนี้ฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดให้เป็นคำตอบของปัญหาการเพิ่มค่าสูงสุดภายใต้ข้อจำกัด ฟังก์ชันนี้ขึ้นอยู่กับทั้งเศรษฐกิจและการกระจายตัวเริ่มต้นอาจจะไม่สามารถกำหนดได้อย่างชัดเจนสำหรับทุกค่าอย่างไรก็ตาม เราจะใช้สมมติฐานที่เพียงพอเพื่อให้ฟังก์ชันนี้สามารถกำหนดได้อย่างชัดเจนที่เวกเตอร์ราคาสมดุล $p$ $D^{i}(p)\in \mathbb {R} _{+}^{N}$ $D^{i}(p):=\arg \max _{x^{i}\in B^{i}(p)}u^{i}(x^{i})$ $p\in \mathbb {R} _{++}^{N}$

ผู้ผลิต

ผู้ผลิตจะถูกจัดทำดัชนีเป็น. $j\in J$
ผู้ผลิตแต่ละรายมีชุดความเป็นไปได้ในการผลิต โปรดทราบว่าเวกเตอร์อุปทานอาจมีทั้งพิกัดบวกและลบ ตัวอย่างเช่นแสดงถึงแผนการผลิตที่ใช้สินค้า 1 จำนวน 1 หน่วยเพื่อผลิตสินค้า 2 จำนวน 1 หน่วย ${\mathit {PPS}}^{j}$ $(-1,1,0)$
แผนการผลิตเป็นเวกเตอร์ในรูปแบบซึ่งเขียนแทนด้วย ${\mathit {PPS}}^{j}$ $y^{j}$
สำหรับเวกเตอร์ราคาแต่ละตัวผู้ผลิตจะมี เวกเตอร์ อุปทานสำหรับสินค้าโภคภัณฑ์ ดังนี้ฟังก์ชันนี้จะถูกกำหนดเป็นคำตอบของปัญหาการเพิ่มค่าสูงสุดภายใต้ข้อจำกัด ฟังก์ชันนี้ขึ้นอยู่กับทั้งเศรษฐกิจและการกระจายตัวเริ่มต้นอาจจะไม่สามารถกำหนดได้อย่างชัดเจนสำหรับทุกค่าอย่างไรก็ตาม เราจะใช้สมมติฐานที่เพียงพอเพื่อให้ฟังก์ชันนี้สามารถกำหนดได้อย่างชัดเจนที่เวกเตอร์ราคาสมดุล $p$ $S^{j}(p)\in \mathbb {R} ^{N}$ $S^{j}(p):=\arg \max _{y^{j}\in {\mathit {PPS}}^{j}}\langle p,y^{j}\rangle$ $p\in \mathbb {R} _{++}^{N}$
กำไรคือ $\Pi ^{j}(p):=\langle p,S^{j}(p)\rangle =\max _{y^{j}\in {\mathit {PPS}}^{j}}\langle p,y^{j}\rangle$

มวลรวม

ชุดความเป็นไปได้ของการบริโภครวม ${\mathit {CPS}}=\sum _{i\in I}{\mathit {CPS}}^{i}$
ชุดความเป็นไปได้ในการผลิตโดยรวม ${\mathit {PPS}}=\sum _{j\in J}{\mathit {PPS}}^{j}$
กองทุนรวม $r=\sum _{i}r^{i}$
อุปสงค์รวม $D(p):=\sum _{i}D^{i}(p)$
อุปทานรวม $S(p):=\sum _{j}S^{j}(p)$
ความต้องการส่วนเกิน $Z(p)=D(p)-S(p)-r$

เศรษฐกิจโดยรวม

ระบบเศรษฐกิจคือทูเปิลซึ่งเป็นทูเปิลที่ระบุถึงสินค้า ความต้องการของผู้บริโภค ชุดความเป็นไปได้ในการบริโภค และชุดความเป็นไปได้ในการผลิตของผู้ผลิต $(N,I,J,{\mathit {CPS}}^{i},\succeq ^{i},{\mathit {PPS}}^{j})$
ระบบเศรษฐกิจที่มีการกระจายตัวเริ่มต้นคือ ระบบเศรษฐกิจหนึ่ง พร้อมด้วยทูเปิลการกระจายตัวเริ่มต้นสำหรับระบบเศรษฐกิจนั้น $(r^{i},\alpha ^{i,j})_{i\in I,j\in J}$
สถานะ ของ เศรษฐกิจคือชุดของราคา แผนการบริโภค และแผนการผลิตสำหรับแต่ละครัวเรือนและผู้ผลิต: . $((p_{n})_{n\in 1:N},(x^{i})_{i\in I},(y^{j})_{j\in J})$
สถานะหนึ่งจะเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อแต่ละ, แต่ละ, และ. $x^{i}\in {\mathit {CPS}}^{i}$ $y^{j}\in {\mathit {PPS}}^{j}$ $\sum _{i\in I}x^{i}\preceq \sum _{j\in J}y^{j}+r$
ชุดความเป็นไปได้ในการผลิตที่ทำได้จริง โดยพิจารณาจากทรัพยากรที่มีอยู่คือ $r$ ${\mathit {PPS}}_{r}:=\{y\in {\mathit {PPS}}:y+r\succeq 0\}$
ในระบบเศรษฐกิจที่มีการกระจายตัวสถานะที่สอดคล้องกับเวกเตอร์ราคา คือ $p$ $(p,(D^{i}(p))_{i\in I},(S^{j}(p))_{j\in J})$
ในระบบเศรษฐกิจที่มีการกระจายตัวเริ่มต้น เวกเตอร์ราคาจะเป็นเวกเตอร์ราคาสมดุลสำหรับระบบเศรษฐกิจที่มีการกระจายตัวเริ่มต้นก็ต่อเมื่อนั่นคือ ถ้าสินค้าไม่ฟรี อุปทานจะเท่ากับอุปสงค์พอดี และถ้าสินค้าฟรี อุปทานจะเท่ากับหรือมากกว่าอุปสงค์ (เราอนุญาตให้สินค้าฟรีมีปริมาณเกินความต้องการได้) $p$ $Z(p)_{n}{\begin{cases}\leq 0{\text{ ถ้า }}p_{n}=0\\=0{\text{ ถ้า }}p_{n}>0\end{cases}}$
สถานะใด ๆ จะถือว่าเป็นสถานะสมดุลก็ต่อเมื่อสถานะนั้นสอดคล้องกับเวกเตอร์ราคาสมดุล

ข้อสมมติฐาน

ในครัวเรือน
สมมติฐาน	คำอธิบาย	เราสามารถผ่อนคลายมันได้ไหม?
${\mathit {CPS}}^{i}$ ปิดแล้ว	ข้อสมมติทางเทคนิคที่จำเป็นสำหรับการพิสูจน์	ไม่ มันจำเป็นต่อการดำรงอยู่ของฟังก์ชันอุปสงค์
ภาวะไม่อิ่มตัวเฉพาะที่: $\forall x\in {\mathit {CPS}}^{i},\epsilon >0,$ $\exists x'\in {\mathit {CPS}}^{i},x'\succ ^{i}x,\\|x'-x\\|<\epsilon$	ครัวเรือนต่างๆ มักต้องการบริโภคเพิ่มขึ้นอีกเล็กน้อยเสมอ	ไม่ กฎของวาลรัสจำเป็นต้องมีผลบังคับใช้
${\mathit {CPS}}^{i}$ เป็นนูนอย่างเคร่งครัด	อรรถประโยชน์ส่วนเพิ่มที่ลดลงอย่างเคร่งครัด	ใช่แล้ว เฉพาะในส่วนของความนูนเท่านั้น โดยใช้ทฤษฎีบทจุดตรึงของคากุทานิ ดูรายละเอียดในส่วนถัดไป
${\mathit {CPS}}^{i}$ นูน	อรรถประโยชน์ส่วนเพิ่มที่ลดลง	ใช่ สำหรับภาวะไม่นูน โดยใช้ทฤษฎีบท Shapley– Folkman
ความต่อเนื่อง: ปิดแล้ว $U_{+}^{i}(x^{i})$	ข้อสมมติทางเทคนิคที่จำเป็นสำหรับการมีอยู่ของฟังก์ชันอรรถประโยชน์ตามทฤษฎีบทของเดอบรู	ไม่ ถ้าความต้องการไม่ต่อเนื่อง ฟังก์ชันอุปสงค์ส่วนเกินก็อาจจะไม่ต่อเนื่องเช่นกัน
$U_{+}^{i}(x^{i})$ เป็นรูปทรงนูนอย่างแท้จริง	สำหรับชุดสินค้าอุปโภคบริโภคสองชุด ชุดสินค้าใดๆ ที่อยู่ระหว่างสองชุดนั้นจะดีกว่าชุดสินค้าที่มีปริมาณการบริโภคน้อยกว่า	ใช่แล้ว สำหรับความนูนธรรมดา โดยใช้ทฤษฎีจุดตรึงของคากุทานิ ดูรายละเอียดในส่วนถัดไป
$U_{+}^{i}(x^{i})$ เป็นรูปทรงนูน	สำหรับชุดการบริโภคสองชุด ชุดการบริโภคใดๆ ที่อยู่ระหว่างสองชุดนั้นย่อมไม่ด้อยไปกว่าชุดการบริโภคที่มีปริมาณน้อยกว่า	ใช่ สำหรับภาวะไม่นูน โดยใช้ทฤษฎีบท Shapley– Folkman
ครัวเรือนทุกหลังจะต้องมีแผนการบริโภคที่เป็นไปได้จริงอย่างน้อยหนึ่งแผนเสมอ	ไม่มีการล้มละลาย	ไม่ มันจำเป็นต่อการดำรงอยู่ของฟังก์ชันอุปสงค์

เกี่ยวกับผู้ผลิต
สมมติฐาน	คำอธิบาย	เราสามารถผ่อนคลายมันได้ไหม?
${\mathit {PPS}}^{j}$ เป็นนูนอย่างเคร่งครัด	ความไม่ประหยัดจากขนาด	ใช่แล้ว เฉพาะในส่วนของความนูนเท่านั้น โดยใช้ทฤษฎีบทจุดตรึงของคากุทานิ ดูรายละเอียดในส่วนถัดไป
${\mathit {PPS}}^{j}$ นูน	ไม่มีการประหยัดจากขนาด	ใช่ สำหรับภาวะไม่นูน โดยใช้ทฤษฎีบท Shapley– Folkman
${\mathit {PPS}}^{j}$ ประกอบด้วย 0	ผู้ผลิตสามารถปิดกิจการได้โดยไม่เสียค่าใช้จ่ายใดๆ
${\mathit {PPS}}^{j}$ เป็นเซตปิด	ข้อสมมติทางเทคนิคที่จำเป็นสำหรับการพิสูจน์	ไม่ มันจำเป็นต่อการทำงานของฟังก์ชันการจัดหา
${\mathit {PPS}}\cap \mathbb {R} _{+}^{N}$ มีขอบเขต	ไม่มี "อาหารฟรี" ที่มีขนาดใหญ่เกินความจำเป็น	ไม่ เศรษฐกิจต้องการความขาดแคลน
${\mathit {PPS}}\cap (-{\mathit {PPS}})$ มีขอบเขต	ระบบเศรษฐกิจไม่สามารถย้อนกลับการเปลี่ยนแปลงครั้งใหญ่ที่เกิดขึ้นโดยพลการได้

การกำหนดข้อจำกัดเทียม

ฟังก์ชันเหล่านี้ไม่จำเป็นต้องมีนิยามที่ชัดเจนสำหรับเวกเตอร์ราคาทุกตัวตัวอย่างเช่น หากผู้ผลิต 1 สามารถแปลงหน่วยของสินค้า 1 เป็นหน่วยของสินค้า 2 ได้ และเรามีแล้วผู้ผลิตสามารถสร้างแผนการผลิตที่มีกำไรไม่จำกัด ดังนั้นและจึงไม่มีนิยาม $D^{i}(p),S^{j}(p)$ $p$ $t$ ${\sqrt {(t+1)^{2}-1}}$ $p_{1}/p_{2}<1$ $\Pi ^{j}(p)=+\infty$ $S^{j}(p)$

ดังนั้น เราจึงกำหนด " ตลาดที่ถูกจำกัด " ให้เป็นตลาดเดียวกัน ยกเว้นว่ามีขอบเขตบนที่เป็นสากลซึ่งทำให้ผู้ผลิตทุกคนต้องใช้แผนการผลิตครัวเรือนแต่ละครัวเรือนต้องใช้แผนการบริโภคแทนปริมาณที่สอดคล้องกันในตลาดที่ถูกจำกัดด้วยเครื่องหมายทิลเด ดังนั้น ตัวอย่างเช่นคือฟังก์ชันอุปสงค์ส่วนเกินในตลาดที่ถูกจำกัด^[⁸^] $C$ $\|y^{j}\|\leq C$ $\|x^{i}\|\leq C$ ${\tilde {Z}}(p)$

$C$ เลือกให้มีขนาด "ใหญ่พอ" สำหรับระบบเศรษฐกิจ เพื่อให้ข้อจำกัดดังกล่าวไม่มีผลภายใต้สภาวะสมดุล (ดูหัวข้อถัดไป) โดยละเอียดแล้วเลือกให้มีขนาดใหญ่พอดังนี้: $C$

สำหรับแผนการบริโภคใดๆที่มีลักษณะเช่นนั้นแผนดังกล่าว "ฟุ่มเฟือย" มากเสียจนแม้ผู้ผลิตทั้งหมดจะประสานงานกัน พวกเขาก็ยังไม่สามารถผลิตได้เพียงพอต่อความต้องการ $x$ $x\succeq 0,\|x\|=C$
สำหรับรายการแผนการผลิตใดๆ ของระบบเศรษฐกิจถ้าแล้วสำหรับแต่ละกล่าวอีกนัยหนึ่ง สำหรับแผนการผลิตที่สามารถบรรลุได้ภายใต้ทรัพยากรที่กำหนดแผนการผลิตส่วนบุคคลของผู้ผลิตแต่ละรายจะต้องอยู่ภายในข้อจำกัดนั้นอย่างเคร่งครัด $(y^{j}\in {\mathit {PPS}}^{j})_{j\in J}$ $\sum _{j\in J}y^{j}+r\succeq 0$ $\|y^{j}\|<C$ $j\in J$ $r$

ข้อกำหนดแต่ละข้อสามารถปฏิบัติตามได้

กำหนดให้เซตของแผนการผลิตรวมที่สามารถบรรลุได้คือแล้วภายใต้สมมติฐานสำหรับผู้ผลิตที่ระบุไว้ข้างต้น (โดยเฉพาะสมมติฐาน "ไม่มีผลประโยชน์ฟรีที่มากเกินไป") จะมีขอบเขตสำหรับทุก(ละเว้นการพิสูจน์) ดังนั้นข้อกำหนดแรกจึงสามารถเป็นไปได้ ${\mathit {PPS}}_{r}=\left\{\sum _{j\in J}y^{j}:y^{j}\in {\mathit {PPS}}^{j}{\text{ for each }}j\in J,{\text{ and }}\sum _{j\in J}y^{j}+r\succeq 0\right\}$ ${\mathit {PPS}}_{r}$ $r\succeq 0$
กำหนดเซตของแผนการผลิตรายบุคคลที่สามารถบรรลุได้ภายใต้สมมติฐานสำหรับผู้ผลิตที่ระบุไว้ข้างต้น (โดยเฉพาะสมมติฐาน "ไม่มีการเปลี่ยนแปลงขนาดใหญ่ตามอำเภอใจ") ซึ่งจะมีขอบเขตสำหรับทุก ๆ(ละเว้นการพิสูจน์) ดังนั้นข้อกำหนดที่สองจึงสามารถเป็นไปได้ ${\mathit {PPS}}_{r}^{j}:=\{y^{j}\in {\mathit {PPS}}^{j}:y^{j}{\text{ is a part of some attainable production plan under endowment }}r\}$ ${\mathit {PPS}}_{r}^{j}$ $j\in J,r\succeq 0$

ข้อกำหนดทั้งสองข้อนี้รวมกันแล้วบ่งชี้ว่า ข้อจำกัดนั้นไม่ใช่ข้อจำกัดที่แท้จริง เมื่อแผนการผลิตและแผนการบริโภคอยู่ภายในขอบเขตของข้อจำกัดนั้น

ที่เวกเตอร์ราคาใดๆถ้าแล้วจะมีอยู่และเท่ากับ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าแผนการผลิตของผู้ผลิตที่ถูกจำกัดอยู่ภายในข้อจำกัดเทียม ผู้ผลิตที่ไม่ถูกจำกัดก็จะเลือกแผนการผลิตเดียวกัน สิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์โดยการใช้เงื่อนไขข้อที่สองเกี่ยวกับ $p$ $\|{\tilde {S}}^{j}(p)\|<C$ $S^{j}(p)$ ${\tilde {S}}^{j}(p)$ $C$
ถ้าเงื่อนไขทั้งหมดเป็นจริง ครัวเรือนที่มีข้อจำกัดและไม่มีข้อจำกัดจะมีงบประมาณเท่ากัน และถ้าเงื่อนไข เป็นจริงด้วยแล้วเงื่อนไข จะมีอยู่และเท่ากับ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ถ้าแผนการบริโภคของครัวเรือนที่มีข้อจำกัดอยู่ภายในข้อจำกัดเทียม ครัวเรือนที่ไม่มีข้อจำกัดก็จะเลือกแผนการบริโภคเดียวกัน สิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์โดยการใช้เงื่อนไขแรกเกี่ยวกับ $S^{j}(p)={\tilde {S}}^{j}(p)$ $\|{\tilde {D}}^{i}(p)\|<C$ $D^{i}(p)$ ${\tilde {D}}^{i}(p)$ $C$

ข้อเสนอทั้งสองนี้บ่งชี้ว่า ดุลยภาพของตลาดที่มีข้อจำกัดนั้นเป็นดุลยภาพของตลาดที่ไม่มีข้อจำกัด:

ทฤษฎีบท—ถ้าเป็นเวกเตอร์ราคาสมดุลสำหรับตลาดที่มีข้อจำกัดแล้ว ก็จะเป็นเวกเตอร์ราคาสมดุลสำหรับตลาดที่ไม่มีข้อจำกัดด้วย ยิ่งไปกว่านั้น เรายังมี $p$ ${\tilde {D}}^{i}(p)=D^{i}(p),{\tilde {S}}^{j}(p)=S^{j}(p)$

การมีอยู่ของดุลยภาพทั่วไป

ในขั้นตอนสุดท้ายของการสร้าง เราจะกำหนดกฎของวาลรัส :

ตลาดเสรีที่ไม่มีข้อจำกัดจะสอดคล้องกับกฎของ Walras ก็ต่อเมื่อทุกอย่างได้รับการกำหนดไว้ และนั่นคือ $p$ $S^{j}(p),D^{i}(p)$ $\langle p,Z(p)\rangle =0$ $\sum _{j\in J}\langle p,S^{j}(p)\rangle +\langle p,r\rangle =\sum _{i\in I}\langle p,D^{i}(p)\rangle$
ตลาดที่มีข้อจำกัดจะสอดคล้องกับกฎของ Walras ก็ต่อเมื่อ $p$ $\langle p,{\tilde {Z}}(p)\rangle =0$

กฎของวาลรัสสามารถตีความได้ทั้งสองด้าน:

ในส่วนของครัวเรือนนั้น กล่าวกันว่ารายจ่ายรวมของครัวเรือนเท่ากับกำไรรวมและรายได้รวมจากการขายทรัพย์สินที่ได้รับบริจาค กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ทุกครัวเรือนใช้จ่ายงบประมาณทั้งหมดที่มีอยู่
ในมุมมองของผู้ผลิต หมายความว่ากำไรโดยรวมบวกต้นทุนโดยรวมเท่ากับรายได้โดยรวม

ทฤษฎีบทนี้สอดคล้องกับกฎของ Walras แบบอ่อน : สำหรับทุก ค่า และถ้าแล้วสำหรับบางค่า ${\tilde {Z}}$ $p\in \mathbb {R} _{++}^{N}$ $\langle p,{\tilde {Z}}(p)\rangle \leq 0$ $\langle p,{\tilde {Z}}(p)\rangle <0$ ${\tilde {Z}}(p)_{n}>0$ $n$

ภาพร่างพิสูจน์อักษร

ถ้ามูลค่าอุปสงค์ส่วนเกินรวมเป็นศูนย์พอดี แสดงว่าทุกครัวเรือนใช้จ่ายงบประมาณทั้งหมดแล้ว มิฉะนั้น บางครัวเรือนจะถูกจำกัดให้ใช้จ่ายได้เพียงบางส่วนของงบประมาณเท่านั้น ดังนั้น ชุดการบริโภคของครัวเรือนนั้นจึงอยู่บนขอบเขตของข้อจำกัด นั่นคือเราได้เลือก (ในส่วนก่อนหน้า) ให้มีขนาดใหญ่มากจนแม้ว่าผู้ผลิตทั้งหมดจะประสานงานกัน พวกเขาก็ยังคงไม่สามารถตอบสนองความต้องการได้ ดังนั้นจึงมีสินค้าบางอย่างที่ทำให้ $\|{\tilde {D}}^{i}(p)\|=C$ $C$ $n$ ${\tilde {D}}^{i}(p)_{n}>{\tilde {S}}(p)_{n}+r_{n}$

ทฤษฎีบท—เวกเตอร์ราคาดุลยภาพมีอยู่สำหรับตลาดที่มีข้อจำกัด ซึ่ง ณ จุดนั้น ตลาดที่มีข้อจำกัดจะสอดคล้องกับกฎของวาลรัส

ภาพร่างพิสูจน์อักษร

ตามนิยามของภาวะสมดุล ถ้าเป็นเวกเตอร์ราคาสมดุลสำหรับตลาดที่มีข้อจำกัด ณ จุดนั้น ตลาดที่มีข้อจำกัดจะสอดคล้องกับกฎของวาลรัส $p$

${\tilde {Z}}$ เป็นค่าต่อเนื่อง เนื่องจากทุกสิ่งล้วนเป็นค่าต่อเนื่อง ${\tilde {S}}^{j},{\tilde {D}}^{i}$

กำหนดฟังก์ชันบนซิมเพล็กซ์ราคา โดยที่เป็นค่าคงที่บวกที่กำหนดไว้ $f(p)={\frac {\max(0,p+\gamma {\tilde {Z}}(p))}{\sum _{n}\max(0,p_{n}+\gamma {\tilde {Z}}(p)_{n})}}$ $\gamma$

ตามกฎของวาลรัสแบบอ่อน ฟังก์ชันนี้จึงนิยามได้อย่างชัดเจน ตามทฤษฎีบทจุดตรึงของบราวเวอร์ ฟังก์ชันนี้มีจุดตรึง และตามกฎของวาลรัสแบบอ่อน จุดตรึงนี้คือดุลยภาพของตลาด

โปรดทราบว่าการพิสูจน์ข้างต้นไม่ได้ให้ขั้นตอนวิธีแบบวนซ้ำสำหรับการค้นหาสมดุลใดๆ เนื่องจากไม่มีการรับประกันว่าฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันหดตัว ซึ่งไม่น่าแปลกใจ เพราะไม่มีการรับประกัน (หากไม่มีข้อสมมติเพิ่มเติม) ว่าสมดุลของตลาดใดๆ จะเป็นสมดุลที่เสถียร $f$

บทสรุป—เวกเตอร์ราคาดุลยภาพมีอยู่สำหรับตลาดที่ไม่จำกัด ซึ่ง ณ จุดนั้น ตลาดที่ไม่จำกัดจะสอดคล้องกับกฎของวาลรัส

บทบาทของความนูน

ในปี 1954 แมคเคนซีและแอร์โรว์กับเดอบรูได้พิสูจน์การมีอยู่ของสมดุลทั่วไปโดยอิสระ โดยใช้ทฤษฎีบทจุดตรึงของคากุตานิเกี่ยวกับจุดตรึงของฟังก์ชัน ต่อ เนื่องจาก เซต กระชับและนูนไปยังตัวมันเอง ในแนวทางของแอร์โรว์-เดอบรู ความนูนเป็นสิ่งสำคัญ เพราะทฤษฎีบทจุดตรึงดังกล่าวใช้ไม่ได้กับเซตที่ไม่นูน ตัวอย่างเช่น การหมุนวงกลมหนึ่งหน่วย 90 องศาไม่มีจุดตรึง แม้ว่าการหมุนนี้จะเป็นการแปลงต่อเนื่องของเซตกระชับไปยังตัวมันเองก็ตาม แม้ว่าวงกลมหนึ่งหน่วยจะกระชับ แต่ก็ไม่นูน ในทางตรงกันข้าม การหมุนแบบเดียวกันที่ใช้กับส่วนนูนของวงกลมหนึ่งหน่วยจะทำให้จุด (0,0)คงที่ โปรดสังเกตว่าทฤษฎีบทคากุตานิไม่ได้ยืนยันว่ามีจุดตรึงเพียงจุดเดียว การสะท้อนวงกลมหนึ่งหน่วยข้ามแกน y จะทำให้ส่วนของเส้นตรงแนวตั้งคงที่ ดังนั้นการสะท้อนนี้จึงมีจุดตรึงจำนวนอนันต์

ภาวะไม่นูนในเศรษฐกิจขนาดใหญ่

สมมติฐานเรื่องความนูนขัดขวางการประยุกต์ใช้หลายอย่าง ซึ่งมีการอภิปรายในวารสารเศรษฐศาสตร์การเมืองตั้งแต่ปี พ.ศ. 2492 ถึง พ.ศ. 2504 โดย Francis M. Bator, M. J. Farrell , Tjalling Koopmansและ Thomas J. Rothenberg ^{[ 9 ]} Ross M. Starr ( 1969 ) พิสูจน์การมีอยู่ของดุลยภาพทางเศรษฐกิจเมื่อความชอบของผู้บริโภค บางส่วน ไม่จำเป็นต้องเป็นความนูน [ ^{9 ] ใน}บทความของเขา Starr พิสูจน์ว่าเศรษฐกิจที่ "ทำให้เป็นความนูน" มีดุลยภาพทั่วไปที่ใกล้เคียงกับ "ดุลยภาพเสมือน" ของเศรษฐกิจดั้งเดิม การพิสูจน์ของ Starr ใช้ทฤษฎีบทShapley–Folkman ^{[ 10 ]}

ทฤษฎีบทสมมูลของอุซาวะ

( Uzawa , 1962) ^{[ 11 ]}แสดงให้เห็นว่าการมีอยู่ของดุลยภาพทั่วไปในระบบเศรษฐกิจที่มีลักษณะเฉพาะด้วยฟังก์ชันอุปสงค์ส่วนเกินต่อเนื่องที่สอดคล้องกับกฎของ Walras นั้นเทียบเท่ากับทฤษฎีบทจุดคงที่ของ Brouwer ดังนั้น การใช้ทฤษฎีบทจุดคงที่ของ Brouwer จึงมีความสำคัญในการแสดงให้เห็นว่าดุลยภาพมีอยู่ทั่วไป^{[ 12 ]}

ทฤษฎีบทพื้นฐานของเศรษฐศาสตร์สวัสดิการ

ในเศรษฐศาสตร์สวัสดิการ ประเด็นหนึ่งที่น่ากังวลคือ การค้นหาแผนเศรษฐกิจ ที่เหมาะสมที่สุดตามหลักพาเรโต

โดยสัญชาตญาณแล้ว ปัญหาเศรษฐศาสตร์สวัสดิการอาจเปรียบได้กับปัญหาที่นักวางแผนหลักของเศรษฐกิจโดยรวมต้องเผชิญ กล่าวคือ เมื่อกำหนดทรัพยากรเริ่มต้นสำหรับสังคมทั้งหมดแล้ว นักวางแผนจะต้องเลือกแผนแม่บทการผลิตและการบริโภคที่สามารถทำได้จริงนักวางแผนหลักมีอิสระอย่างกว้างขวางในการเลือกแผนแม่บท แต่ผู้วางแผนที่มีเหตุผลทุกคนควรเห็นพ้องต้องกันว่า หากสามารถเพิ่มอรรถประโยชน์ของคนบางคนได้ ในขณะที่อรรถประโยชน์ของคนอื่นๆ ไม่ลดลง นั่นคือแผนที่ดีกว่า กล่าวคือ ควรปฏิบัติตามลำดับพาเรโต $r$ $((x^{i})_{i\in I},(y^{j})_{j\in J})$

กำหนดลำดับพาเรโตบนเซตของแผนทั้งหมดโดยก็ต่อเมื่อสำหรับทุกๆ $((x^{i})_{i\in I},(y^{j})_{j\in J})$ $((x^{i})_{i\in I},(y^{j})_{j\in J})\succeq ((x'^{i})_{i\in I},(y'^{j})_{j\in J})$ $x^{i}\succeq ^{i}x'^{i}$ $i\in I$

จากนั้น เรากล่าวว่าแผนงานหนึ่งมีประสิทธิภาพแบบพาเรโตเมื่อเทียบกับเงินทุนเริ่มต้น ก็ต่อเมื่อแผนงานนั้นสามารถนำไปปฏิบัติได้จริง และไม่มีแผนงานอื่นใดที่สามารถนำไปปฏิบัติได้จริงและดีกว่าอย่างชัดเจนในลำดับพาเรโต $r$

โดยทั่วไปแล้ว มีแผนการลงทุนที่มีประสิทธิภาพตามหลักพาเรโตอยู่มากมายหลายแบบสำหรับเงินทุนเริ่มต้นแต่ละระดับ $r$

ด้วยการจัดตั้งนี้ เรามีทฤษฎีพื้นฐานสองข้อของเศรษฐศาสตร์สวัสดิการ: ^{[ 13 ]}

ทฤษฎีพื้นฐานข้อแรกของเศรษฐศาสตร์สวัสดิการ—สภาวะสมดุลของตลาดใดๆ ก็ตามล้วนมีประสิทธิภาพแบบพาเรโต

ภาพร่างพิสูจน์อักษร

ระนาบราคาแบ่งแยกการผลิตที่สามารถบรรลุได้และการบริโภคที่ดีกว่าแบบพาเรโต นั่นคือ ระนาบราคาแบ่งแยกและโดยที่คือเซตของค่าทั้งหมดที่และนั่นคือ เป็นเซตของผลรวมของแผนการบริโภคที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่ดีกว่าแบบพาเรโตอย่างแท้จริง $\langle p^{*},q\rangle =\langle p^{*},D(p^{*})\rangle$ $r+{\mathit {PPS}}_{r}$ $U_{++}$ $U_{++}$ $\sum _{i\in I}x'^{i}$ $\forall i\in I,x'^{i}\in {\mathit {CPS}}^{i},x'^{i}\succeq ^{i}x^{i}$ $\exists i\in I,x'^{i}\succ ^{i}x^{i}$

ผลผลิตที่สามารถบรรลุได้นั้นอยู่ทางด้านล่างของระนาบราคา ในขณะที่การบริโภคที่ดีกว่าตามหลักพาเรโตนั้นอยู่ ทางด้านบนของระนาบราคา อย่างชัดเจนดังนั้น แผนใดๆ ที่ดีกว่าตามหลักพาเรโตจึงไม่สามารถบรรลุได้

แผนการบริโภคใดๆ ที่ดีกว่าตามหลักพาเรโตจะต้องมีต้นทุนอย่างน้อยเท่ากันสำหรับทุกครัวเรือน และต้องมีต้นทุนสูงกว่าสำหรับอย่างน้อยหนึ่งครัวเรือน
แผนการผลิตใดๆ ที่สามารถนำไปปฏิบัติได้ จะต้องสร้างผลกำไรให้แก่ผู้ผลิตทุกรายอย่างเท่าเทียมกัน

ทฤษฎีบทพื้นฐานข้อที่สองของเศรษฐศาสตร์สวัสดิการ—สำหรับทรัพยากรเริ่มต้นทั้งหมดใดๆและสถานะที่มีประสิทธิภาพแบบพาเรโตใดๆ ที่สามารถบรรลุได้โดยใช้ทรัพยากรเริ่มต้นนั้น จะมีการกระจายทรัพยากรเริ่มต้นและการเป็นเจ้าของส่วนตัวของผู้ผลิตอยู่ ซึ่งทำให้สถานะที่กำหนดเป็นสถานะสมดุลของตลาดสำหรับเวกเตอร์ราคาบางตัว $r$ $\{r^{i}\}_{i\in I}$ $\{\alpha ^{i,j}\}_{i\in I,j\in J}$ $p\in \mathbb {R} _{++}^{N}$

แนวคิดในการพิสูจน์: แผนการบริโภคที่เหมาะสมที่สุดตามหลักพาเรโตจะถูกแยกออกจากชุดของแผนการบริโภคที่เป็นไปได้โดยระนาบไฮเปอร์เพลน ความชันของระนาบไฮเปอร์เพลนจะเป็นราคาดุลยภาพ ตรวจสอบว่าภายใต้ราคาดังกล่าว ผู้ผลิตและครัวเรือนแต่ละรายจะพบว่าสถานะที่กำหนดนั้นเหมาะสมที่สุด ตรวจสอบว่ากฎของวาลราสเป็นจริง และดังนั้นรายจ่ายจึงตรงกับรายได้บวกกำไร และดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะจัดสรรงบประมาณที่จำเป็นให้กับแต่ละครัวเรือนได้อย่างแม่นยำ

การพิสูจน์

เนื่องจากสถานะดังกล่าวสามารถบรรลุได้ เราจึงมีความเท่าเทียมกันนี้ไม่จำเป็นต้องเป็นจริงเสมอไป ดังนั้นเราจึงกำหนดเซตของการบริโภครวมที่สามารถบรรลุได้ชุดการบริโภครวมใดๆ ในสามารถบรรลุได้ และชุดใดๆ ที่อยู่นอก ไม่สามารถบรรลุได้ $\sum _{i\in I}x^{i}\preceq \sum _{j\in J}y^{j}+r$ $V:=\{r+y-z:y\in {\mathit {PPS}},z\succeq 0\}$ $V$

ค้นหา ราคาตลาด $p$

กำหนดให้ เป็นเซตของค่าทั้งหมดโดยที่และนั่นคือ เป็นเซตของผลรวมของแผนการบริโภคที่เป็นไปได้ทั้งหมดซึ่งดีกว่าแบบพาเรโตอย่างเคร่งครัด เนื่องจากแต่ละค่าเป็นเซตแบบนูน และแต่ละค่าความชอบเป็นเซตแบบนูน ดังนั้นเซตจึงเป็นเซตแบบนูนด้วย

U_{++}

\sum _{i\in I}x'^{i}

\forall i\in I,x'^{i}\in {\mathit {CPS}}^{i},x'^{i}\succeq ^{i}x^{i}

\exists i\in I,x'^{i}\succ ^{i}x^{i}

{\mathit {CPS}}^{i}

U_{++}

เนื่องจากสถานะดังกล่าวเป็นสถานะที่เหมาะสมที่สุดตามหลักพาเรโต ดังนั้นเซตดังกล่าวจึงต้องไม่สามารถเข้าถึงได้ด้วยทรัพยากรที่มีอยู่ กล่าวคือไม่ทับซ้อนกับเนื่องจากทั้งสองเซตเป็นเซตแบบนูน จึงมีระนาบแบ่งแยกอยู่ระหว่างทั้งสองเซต

U_{++}

U_{++}

V

ให้ไฮเปอร์เพลนถูกกำหนดโดย โดยที่และเลือกเครื่องหมายให้และ

\langle p,q\rangle =c

p\in \mathbb {R} ^{N},p\neq 0

c=\sum _{i\in I}\langle p,x^{i}\rangle

\langle p,U_{++}\rangle \geq c

\langle p,r+{\mathit {PPS}}\rangle \leq c

เรียกร้อง: . $p\succ 0$

สมมติว่าไม่ใช่เช่นนั้น ก็จะมีอยู่จริงที่ทำให้ถ้ามีค่ามากพอ แต่เราก็มี ด้วยเช่นกันซึ่งจะเกิดข้อขัดแย้ง

n\in 1:N

p_{n}<0

\langle p,r+0-ke_{n}\rangle >c

k

r+0-ke_{n}\in V

โดยโครงสร้างแล้วเรามีและตอนนี้เราขอประกาศว่า: $\langle p,\sum _{i\in I}x^{i}\rangle =c$ $\langle p,V\rangle \leq c$ $\langle p,U_{++}\rangle >c$

สำหรับแต่ละครัวเรือนให้เป็นเซตของแผนการบริโภคสำหรับที่มีคุณภาพอย่างน้อยเท่ากับและให้ เป็นเซตของแผนการบริโภคสำหรับที่มีคุณภาพดีกว่า อย่างชัดเจน

i

U_{+}^{i}(x^{i})

i

x^{i}

U_{++}^{i}(x^{i})

i

x^{i}

เนื่องจากการไม่อิ่มตัวในระดับท้องถิ่นของครึ่งพื้นที่ปิดจึงประกอบด้วย

\succeq ^{i}

\langle p,q\rangle \geq \langle p,x^{i}\rangle

U_{+}^{i}(x^{i})

โดยความต่อเนื่องของครึ่งพื้นที่เปิดนั้นประกอบด้วย

\succeq ^{i}

\langle p,q\rangle >\langle p,x^{i}\rangle

U_{++}^{i}(x^{i})

เมื่อนำมารวมกัน เราพบว่าครึ่งพื้นที่เปิดนั้นประกอบด้วย

\langle p,q\rangle >c

U_{++}

ข้อเรียกร้อง (กฎของวาลราส): $\langle p,r+\sum _{j}y^{j}\rangle =c=\langle p,\sum _{i}x^{i}\rangle$

เนื่องจากสามารถผลิตได้ เราจึงได้และเนื่องจากเราจึงได้

r+\sum _{j}y^{j}\succeq \sum _{i}x^{i}

p\succ 0

\langle p,r+\sum _{j}y^{j}\rangle \geq \langle p,\sum _{i}x^{i}\rangle

โดยการสร้างระนาบแยก เราก็จะได้ เช่นกันดังนั้นเราจึงมีความเท่าเทียมกัน

\langle p,r+\sum _{j}y^{j}\rangle \leq c=\langle p,\sum _{i}x^{i}\rangle

ข้ออ้าง: ที่ราคาผู้ผลิตแต่ละรายจะได้รับกำไรสูงสุดที่ $p$ $j$ $y^{j}$

หากมีแผนการผลิตใดที่ทำให้ผู้ผลิตรายหนึ่งสามารถทำกำไรได้สูงขึ้นแล้ว

y'^{j}

\langle p,y'^{j}\rangle >\langle p,y^{j}\rangle

\langle p,r\rangle +\sum _{j\in J}\langle p,y'^{j}\rangle >\langle p,r\rangle +\sum _{j\in J}\langle p,y^{j}\rangle =c

แต่ถ้าเป็นเช่นนั้น เราก็จะมีจุดอยู่ฝั่งตรงข้ามของระนาบแบ่งแยก ซึ่งจะขัดกับการสร้างของเรา

r+{\mathit {PPS}}

ข้ออ้าง: ที่ราคาและงบประมาณที่กำหนดครัวเรือนจะได้รับอรรถประโยชน์สูงสุดที่... $p$ $\langle p,x^{i}\rangle$ $i$ $x^{i}$

มิฉะนั้น จะมีบางค่าที่ทำให้และจากนั้น พิจารณาชุดการบริโภครวมซึ่งอยู่ในแต่ก็สอดคล้องกับ เช่นกันแต่สิ่งนี้ขัดแย้งกับข้ออ้างก่อนหน้านี้ที่ว่า

x'^{i}

x'^{i}\succ ^{i}x^{i}

\langle p,x'^{i}\rangle \leq \langle p,x^{i}\rangle

q':=\sum _{i'\in I,i'\neq i}x^{i}+x'^{i}

U_{++}

\langle p,q'\rangle \leq \sum \langle p,x^{i}\rangle =c

\langle p,U_{++}\rangle >c

ตามกฎของวาลรัส รายได้และกำไรจากการลงทุนรวมจะเท่ากับรายจ่ายรวมพอดี ดังนั้นจึงเหลือเพียงการจัดสรรให้แต่ละครัวเรือนได้รับตามงบประมาณที่ตั้งไว้ ซึ่งเป็นเรื่องง่ายมาก $i$ $\langle p,x^{i}\rangle$

นี่คืออัลกอริทึมแบบโลภ (greedy algorithm) ที่ใช้ในการดำเนินการ: ขั้นแรก ให้แจกจ่ายทรัพยากรทั้งหมดของสินค้าที่ 1 ให้แก่ครัวเรือนที่ 1 หากครัวเรือนที่ 1 สามารถใช้ทรัพยากรได้ครบตามงบประมาณก่อนที่จะแจกจ่ายทั้งหมด ก็ให้ดำเนินการต่อที่ครัวเรือนที่ 2 มิเช่นนั้น ให้เริ่มแจกจ่ายทรัพยากรทั้งหมดของสินค้าที่ 2 ต่อไปเรื่อยๆ ใช้หลักการเดียวกันนี้กับการถือครองกรรมสิทธิ์ของผู้ผลิตด้วย

ความนูนเทียบกับความนูนอย่างเคร่งครัด

ข้อสมมติเรื่องความนูนอย่างเคร่งครัดสามารถผ่อนคลายลงเหลือเพียงความนูนได้ การปรับเปลี่ยนนี้จะเปลี่ยนฟังก์ชันอุปสงค์และอุปทานจากฟังก์ชันค่าจุดไปเป็นฟังก์ชันค่าเซต (หรือ "การจับคู่") และการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทจุดตรึงของ Brouwer ไปสู่ทฤษฎีบทจุดตรึงของ Kakutani

การปรับเปลี่ยนนี้คล้ายกับการขยายทฤษฎีบทมินิแม็กซ์ไปสู่การมีอยู่ของสมดุลแนช

ทฤษฎีพื้นฐานสองข้อของเศรษฐศาสตร์สวัสดิการยังคงใช้ได้โดยไม่มีการเปลี่ยนแปลงใดๆ

การแปลงจากความนูนแบบเข้มงวดไปเป็นความนูน
กรณีนูนอย่างเคร่งครัด	กรณีนูน
${\mathit {PPS}}^{j}$ เป็นนูนอย่างเคร่งครัด	${\mathit {PPS}}^{j}$ นูน
${\mathit {CPS}}^{i}$ เป็นนูนอย่างเคร่งครัด	${\mathit {CPS}}^{i}$ นูน
$\succeq ^{i}$ เป็นนูนอย่างเคร่งครัด	$\succeq ^{i}$ นูน
${\tilde {S}}^{j}(p)$ มีค่าเป็นจุด	${\tilde {S}}^{j}(p)$ เป็นเซตค่า
${\tilde {S}}^{j}(p)$ ต่อเนื่อง	${\tilde {S}}^{j}(p)$ มีกราฟปิด ("ครึ่งบนต่อเนื่อง")
$\langle p,{\tilde {Z}}(p)\rangle \leq 0$	$\langle p,z\rangle \leq 0$ สำหรับใดๆ $z\in {\tilde {Z}}(p)$
...	...
สมดุลมีอยู่จริงตามทฤษฎีจุดตรึงของบราวเวอร์	สมดุลมีอยู่จริงตามทฤษฎีจุดตรึงของคากุทานิ

สมดุลกับ "สมดุลเสมือน"

นิยามของดุลยภาพของตลาดถือว่าครัวเรือนทุกครัวเรือนดำเนินการเพิ่มอรรถประโยชน์สูงสุดภายใต้ข้อจำกัดด้านงบประมาณ นั่นคือปัญหาคู่ขนานจะเป็นการลดต้นทุนให้น้อยที่สุดภายใต้ข้อจำกัดด้านอรรถประโยชน์ นั่นคือสำหรับจำนวนจริงบางจำนวน ช่องว่างทวิภาคระหว่างสองปัญหานี้ไม่เป็นลบ และอาจเป็นบวกได้ ดังนั้น ผู้เขียนบางคนจึงศึกษาปัญหาคู่ขนานและคุณสมบัติของ "ดุลยภาพเสมือน" ^[¹⁴^] (หรือ "ดุลยภาพชดเชย" ^[¹⁵^] ) ดุลยภาพทุกอันเป็นดุลยภาพเสมือน แต่ในทางกลับกันไม่จำเป็นต้องเป็นจริงเสมอไป^[¹⁵^] ${\begin{cases}\max _{x^{i}}u^{i}(x^{i})\\\langle p,x^{i}\rangle \leq M^{i}(p)\end{cases}}$ ${\begin{cases}u^{i}(x^{i})\geq u_{0}^{i}\\\min _{x^{i}}\langle p,x^{i}\rangle \end{cases}}$ $u_{0}^{i}$

ส่วนขยาย

การคำนึงถึงการต่อรองเชิงกลยุทธ์

ในแบบจำลองนี้ ผู้ผลิตและครัวเรือนทั้งหมดเป็น " ผู้รับราคา " หมายความว่าพวกเขาทำธุรกรรมกับตลาดโดยใช้เวกเตอร์ราคาโดยเฉพาะอย่างยิ่ง พฤติกรรมต่างๆ เช่น การรวมกลุ่มผูกขาด การผูกขาด การรวมกลุ่มผู้บริโภค ฯลฯ ไม่ได้ถูกนำมาพิจารณาในแบบจำลอง ทฤษฎีบทลิมิตของเอ็ดจ์เวิร์ธแสดงให้เห็นว่า ภายใต้สมมติฐานที่เข้มงวดกว่าบางประการ ครัวเรือนจะไม่สามารถทำได้ดีกว่าการรับราคาในขีดจำกัดของเศรษฐกิจที่มีขนาดใหญ่เป็นอนันต์ $p$

การตั้งค่า

โดยละเอียดแล้ว เราจะกล่าวถึงแบบจำลองทางเศรษฐกิจเกี่ยวกับครัวเรือนและผู้ผลิตต่อไป แต่เราจะพิจารณาวิธีการออกแบบการผลิตและการกระจายสินค้าที่แตกต่างจากระบบเศรษฐกิจแบบตลาด ซึ่งอาจตีความได้ว่าเป็นแบบจำลองของเศรษฐกิจแบบ "สังคมนิยม"

ไม่มีเงิน ไม่มีตลาด หรือกรรมสิทธิ์ส่วนบุคคลของผู้ผลิต
เนื่องจากเราได้ยกเลิกกรรมสิทธิ์ส่วนบุคคล เงิน และแรงจูงใจในการแสวงหาผลกำไรแล้ว จึงไม่มีประโยชน์ที่จะแยกแยะผู้ผลิตแต่ละรายออกจากกัน ดังนั้น แทนที่ผู้ผลิตแต่ละรายจะวางแผนแยกกันก็เหมือนกับว่าทั้งสังคมมีผู้ผลิตรายใหญ่เพียงรายเดียวที่ทำการผลิต $y^{j}\in {\mathit {PPS}}^{j}$ $y\in {\mathit {PPS}}$
ครัวเรือนยังคงมีรสนิยมและทรัพยากรเหมือนเดิม แต่พวกเขาไม่มีงบประมาณอีกต่อไปแล้ว
ผู้ผลิตไม่ได้ผลิตเพื่อเพิ่มผลกำไรสูงสุด เนื่องจากไม่มีผลกำไร ทุกครัวเรือนจึงร่วมมือกันสร้างรัฐขึ้น มา ซึ่งเป็นแผนการผลิตและการบริโภคสำหรับเศรษฐกิจโดยรวม โดยมีข้อจำกัดดังต่อไปนี้: $((x_{i})_{i\in I},y)$ $x^{i}\in {\mathit {CPS}}^{i},y\in {\mathit {PPS}},y\succeq \sum _{i}(x^{i}-r^{i})$
กลุ่มครัวเรือนใดๆ ที่ไม่ว่างเปล่า อาจกำจัดครัวเรือนอื่นๆ ทั้งหมดได้ ในขณะที่ยังคงควบคุมผู้ผลิตเอาไว้

ดังนั้น ระบบเศรษฐกิจนี้จึงเป็นเกมความร่วมมือโดยแต่ละครัวเรือนเป็นผู้เล่น และเรามีแนวคิดต่อไปนี้จากทฤษฎีเกมความร่วมมือ:

กลุ่มพันธมิตรที่ขัดขวางคือกลุ่มย่อยของครัวเรือนที่ไม่ว่างเปล่า ซึ่งหมายความว่าจะมีแผนที่ดีกว่าตามหลักพาเรโตอย่างแท้จริง แม้ว่ากลุ่มพันธมิตรนี้จะกำจัดครัวเรือนอื่นๆ ทั้งหมดออกไปก็ตาม
รัฐใดจะเป็นรัฐแกนกลางได้ก็ต่อเมื่อไม่มีกลุ่มพันธมิตรใดขัดขวาง
แก่นแท้ของเศรษฐกิจคือกลุ่มของรัฐหลักๆ

เนื่องจากเราตั้งสมมติฐานว่ากลุ่มครัวเรือนที่ไม่ว่างเปล่าใดๆ ก็ตามสามารถกำจัดครัวเรือนอื่นๆ ทั้งหมดได้ ในขณะที่ยังคงควบคุมผู้ผลิตไว้ได้ ดังนั้นสถานะเดียวที่สามารถดำเนินการได้คือสถานะหลัก สถานะที่ไม่ใช่สถานะหลักจะถูกคัดค้านโดยกลุ่มครัวเรือนในทันที

เราต้องการข้อสมมติเพิ่มเติมอีกข้อหนึ่งเกี่ยวกับนั่นคือมันเป็นรูปทรงกรวยนั่นคือสำหรับค่าใดๆข้อสมมตินี้จะตัดความเป็นไปได้สองทางที่เศรษฐกิจจะกลายเป็นเรื่องเล็กน้อยออกไป ${\mathit {PPS}}$ $k\cdot {\mathit {PPS}}\subset {\mathit {PPS}}$ $k\geq 0$

คำสาปของอาหารฟรี: ในแบบจำลองนี้ ทุกสิ่งทุกอย่างพร้อมให้กลุ่มพันธมิตรใดๆ ก็ได้ครอบครอง แม้แต่กลุ่มพันธมิตรที่มีสมาชิกเพียงคนเดียวก็ตาม ดังนั้น หากไม่มีใครมีทรัพย์สินใดๆ เลย แต่กลับมี "อาหารฟรี" อยู่(โดยสมมติว่าความชอบเป็นแบบโมโนโทนิก) ทุกครัวเรือนก็จะอยากเอาทั้งหมดไปเป็นของตนเอง และด้วยเหตุนี้จึงไม่มีรัฐหลักอยู่จริง โดยสัญชาตญาณแล้ว ภาพของโลกคือคณะกรรมการของคนเห็นแก่ตัว ที่คอยคัดค้านแผนใดๆ ก็ตามที่ไม่ให้ "อาหารฟรี" ทั้งหมดแก่ตนเอง ${\mathit {PPS}}$ ${\mathit {PPS}}$ $y\succ 0$ $y$
ขีดจำกัดของการเติบโต: ลองพิจารณาสังคมที่มีสินค้า 2 ชนิด คือ "แรงงาน" และ "อาหาร" แต่ละครัวเรือนมีเพียงแรงงานเป็นทรัพยากรเริ่มต้น แต่บริโภคเพียงอาหารเท่านั้น เปรียบเสมือนทางลาดที่มีส่วนบนแบนราบ ดังนั้น การใช้แรงงาน 0-1 พันชั่วโมง จะผลิตอาหารได้ 0-1 พันกิโลกรัมอย่างเป็นเส้นตรง แต่การใช้แรงงานมากกว่านั้นจะไม่ผลิตอาหารอีกต่อไป สมมติว่าแต่ละครัวเรือนมีแรงงาน 1 พันชั่วโมง เห็นได้ชัดว่าทุกครัวเรือนจะกีดขวางครัวเรือนอื่นทันที เพราะการที่ครัวเรือนหนึ่งใช้ทรัพยากรทั้งหมดเพียงลำพังย่อมดีกว่าเสมอ ${\mathit {PPS}}$ ${\mathit {PPS}}$

ผลลัพธ์หลัก (Debreu และ Scarf, 1963)

ข้อเสนอ—ภาวะสมดุลของตลาดเป็นสถานะหลัก

การพิสูจน์

กำหนดระนาบราคาเนื่องจากเป็นระนาบรองรับของและเป็นกรวยนูน ระนาบราคาจึงผ่านจุดกำเนิดดังนั้น $\langle p,q\rangle =\langle p,\sum _{j}y^{j}\rangle$ ${\mathit {PPS}}$ ${\mathit {PPS}}$ $\langle p,\sum _{j}y^{j}\rangle =\langle p,\sum _{i}x^{i}-r^{i}\rangle =0$

เนื่องจากคือกำไรทั้งหมด และผู้ผลิตทุกคนสามารถทำกำไรได้อย่างน้อยศูนย์ (นั่นคือ) หมายความว่ากำไรเป็นศูนย์อย่างแน่นอนสำหรับผู้ผลิตทุกคน ดังนั้น งบประมาณของทุกครัวเรือนจึงเท่ากับ จากการขายสินทรัพย์ที่มีอยู่ $\sum _{j}\langle p,y^{j}\rangle$ $0\in {\mathit {PPS}}^{j}$

$\langle p,x^{i}\rangle =\langle p,r^{i}\rangle$

ด้วยการเพิ่มอรรถประโยชน์สูงสุด ทุกครัวเรือนจึงทำดีที่สุดเท่าที่จะทำได้แล้ว ดังนั้นเราจึงได้... $\langle p,U_{++}^{i}(x^{i})\rangle >\langle p,r^{i}\rangle$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับกลุ่มพันธมิตรใดๆและแผนการผลิตใดๆที่ดีกว่าในเชิงพาเรโต เรามี $I'\subset I$ $x'^{i}$

$\sum _{i\in I'}\langle p,x'^{i}\rangle >\sum _{i\in I'}\langle p,r^{i}\rangle$ และด้วยเหตุนี้ จุดดังกล่าวจึงอยู่เหนือระนาบราคา ทำให้ไม่สามารถเข้าถึงได้ $\sum _{i\in I'}x'^{i}-r^{i}$

ในบทความของ Debreu และ Scarf พวกเขาได้กำหนดวิธีการเฉพาะในการเข้าถึงเศรษฐกิจขนาดใหญ่ที่ไม่มีที่สิ้นสุด โดยการ "จำลองครัวเรือน" กล่าวคือ สำหรับจำนวนเต็มบวกใดๆให้กำหนดเศรษฐกิจที่มีครัวเรือนจำนวนหนึ่งซึ่งมีชุดความเป็นไปได้ในการบริโภคและความชอบเหมือนกับครัวเรือนแรกทุกประการ $K$ $K$ $i$

ให้แทนแผนการบริโภคของครัวเรือนจำลองลำดับที่ กำหนดให้แผนมีความเป็นธรรมก็ต่อเมื่อสำหรับทุก และ $x^{i,k}$ $k$ $i$ $x^{i,k}\sim ^{i}x^{i,k'}$ $i\in I$ $k,k'\in K$

โดยทั่วไป สถานะหนึ่งๆ จะค่อนข้างซับซ้อน โดยจะปฏิบัติต่อตัวอย่างแต่ละชุดแตกต่างกัน แต่สถานะหลักนั้นเรียบง่ายกว่ามาก กล่าวคือ มีความเป็นธรรม โดยปฏิบัติต่อตัวอย่างทุกชุดอย่างเท่าเทียมกัน

ข้อเสนอ—รัฐหลักใดๆ ก็มีความเท่าเทียมกัน

การพิสูจน์

เราใช้ "กลุ่มพันธมิตรผู้ด้อยโอกาส"

พิจารณารัฐหลัก กำหนดนิยาม ของ การกระจายค่าเฉลี่ย $x^{i,k}$ ${\bar {x}}^{i}:={\frac {1}{K}}\sum _{k\in K}x^{i,k}$

มันเป็นไปได้ ดังนั้นเราจึงมี $K\sum _{i}({\bar {x}}^{i}-r^{i})\in {\mathit {PPS}}$

สมมติว่ามีความไม่เท่าเทียมกันอยู่จริง นั่นคือ บางค่าแล้วด้วยคุณสมบัติความนูนของความชอบ เราจะได้ว่า โดยที่คือครัวเรือนประเภทที่ได้รับการปฏิบัติอย่างเลวร้ายที่สุด $x^{i,k}\succ ^{i}x^{i,k'}$ ${\bar {x}}^{i}\succ ^{i}x^{i,k'}$ $k'$ $i$

ตอนนี้ให้กำหนด "กลุ่มผู้ด้อยโอกาส" ซึ่งประกอบด้วยครัวเรือนที่ได้รับการปฏิบัติอย่างเลวร้ายที่สุดในแต่ละประเภท และพวกเขาเสนอให้แจกจ่ายตามนี่คือวิธีที่ดีกว่าตามหลักพาเรโตสำหรับกลุ่มนี้ และเนื่องจากเป็นรูปกรวย เราจึงมีดังนั้นแผนนี้จึงสามารถทำได้ ขัดแย้งกัน ${\bar {x}}^{i}$ $PP$ $\sum _{i}({\bar {x}}^{i}-r^{i})\in {\mathit {PPS}}$

ดังนั้น เมื่อศึกษาเกี่ยวกับสถานะหลัก จึงเพียงพอที่จะพิจารณาแผนการบริโภคหนึ่งแผนสำหรับครัวเรือนแต่ละประเภท กำหนดให้ เป็นเซตของสถานะหลักทั้งหมดสำหรับเศรษฐกิจโดยแต่ละครัวเรือนมีการจำลองแบบ เห็นได้ชัดว่าดังนั้นเราจึงสามารถกำหนดเซตจำกัดของสถานะหลักได้ $C_{K}$ $K$ $C_{1}\supset C_{2}\supset \cdots$ $C:=\cap _{K=1}^{\infty }C_{K}$

เราได้เห็นแล้วว่าประกอบด้วยชุดสมดุลตลาดสำหรับเศรษฐกิจดั้งเดิม ในทางกลับกันก็เป็นจริงภายใต้สมมติฐานเพิ่มเติมเล็กน้อย: ^[¹⁶^] $C$

(เดอบรูและสการ์ฟ, 1963) —ถ้าเป็นกรวยรูปหลายเหลี่ยม หรือถ้าทุกมีพื้นที่ภายในที่ไม่ว่างเปล่าเมื่อเทียบกับแล้วคือเซตของดุลยภาพของตลาดสำหรับเศรษฐกิจดั้งเดิม ${\mathit {PPS}}$ ${\mathit {CPS}}^{i}$ $\mathbb {R} ^{N}$ $C$

ข้อสมมติที่ว่าเป็นกรวยรูปหลายเหลี่ยม หรือทุก ๆมีพื้นที่ภายในไม่ว่างเปล่า เป็นสิ่งจำเป็นเพื่อหลีกเลี่ยงปัญหาทางเทคนิคของ "ภาวะสมดุลเสมือน" หากไม่มีข้อสมมตินี้ เราจะสามารถพิสูจน์ได้เพียงว่าอยู่ในเซตของภาวะสมดุลเสมือน เท่านั้น ${\mathit {PPS}}$ ${\mathit {CPS}}^{i}$ $C$

การคำนึงถึงความไม่นูน

ข้อสมมติฐานที่ว่าเซตความเป็นไปได้ในการผลิตเป็นเซตแบบนูนนั้นเป็นข้อจำกัดที่เข้มงวดมาก เพราะมันหมายความว่าไม่มีการประหยัดจากขนาด ในทำนองเดียวกัน เราอาจพิจารณาเซตความเป็นไปได้ในการบริโภคที่ไม่เป็นเซตแบบนูนและความชอบที่ไม่เป็นเซตแบบนูน ในกรณีเช่นนี้ ฟังก์ชันอุปทานและอุปสงค์อาจไม่ต่อเนื่องเมื่อเทียบกับเวกเตอร์ราคา ดังนั้นดุลยภาพทั่วไปอาจไม่มีอยู่แล้ว $S^{j}(p),D^{i}(p)$

อย่างไรก็ตาม เราอาจ "ทำให้เศรษฐกิจมีความนูน" และหาจุดสมดุลได้ จากนั้นโดยทฤษฎีบท Shapley–Folkman–Starr จุดสมดุลนั้นก็จะเป็นจุดสมดุลโดยประมาณสำหรับเศรษฐกิจดั้งเดิม

โดยละเอียดแล้ว สำหรับเศรษฐกิจใดๆ ที่สอดคล้องกับสมมติฐานทั้งหมดที่กำหนด ยกเว้นความนูนของและเราจะนิยาม "เศรษฐกิจแบบนูน" ว่าเป็นเศรษฐกิจเดียวกัน ยกเว้นว่า ${\mathit {PPS}}^{j},{\mathit {CPS}}^{i}$ $\succeq ^{i}$

${\mathit {PPS}}'^{j}=\mathrm {Conv} ({\mathit {PPS}}^{j})$
${\mathit {CPS}}'^{i}=\mathrm {Conv} ({\mathit {CPS}}^{i})$
$x\succeq '^{i}y$ อิฟ. $\forall z\in {\mathit {CPS}}^{i},y\in \mathrm {Conv} (U_{+}^{i}(z))\implies x\in \mathrm {Conv} (U_{+}^{i}(z))$

โดยที่หมายถึงส่วนนูน ของรูปทรง $\mathrm {Conv}$

ด้วยเหตุนี้ สมดุลทั่วไปใดๆ สำหรับเศรษฐกิจแบบนูนจึงเป็นสมดุลโดยประมาณสำหรับเศรษฐกิจดั้งเดิมด้วย กล่าวคือ ถ้าเป็นเวกเตอร์ราคาสมดุลสำหรับเศรษฐกิจแบบนูนแล้ว^[¹⁷^]โดยที่คือระยะทางแบบยุคลิด และคือขอบเขตบนใดๆ ของรัศมีภายในของทั้งหมด(ดูหน้าเกี่ยวกับทฤษฎีบท Shapley–Folkman–Starr สำหรับคำจำกัดความของรัศมีภายใน) $p^{*}$ ${\begin{aligned}d(D'(p^{*})-S'(p^{*}),D(p^{*})-S(p^{*}))&\leq N{\sqrt {L}}\\d(r,D(p^{*})-S(p^{*}))&\leq N{\sqrt {L}}\end{aligned}}$ $d(\cdot ,\cdot )$ $L$ ${\mathit {PPS}}^{j},{\mathit {CPS}}^{i}$

เศรษฐกิจแบบนูนอาจไม่เป็นไปตามข้อสมมติ ตัวอย่างเช่น เซตนั้นเป็นเซตปิด แต่ส่วนนูนของเซตนั้นไม่ใช่เซตปิด หากเรากำหนดข้อสมมติเพิ่มเติมว่าเศรษฐกิจแบบนูนนั้นเป็นไปตามข้อสมมติด้วย เราจะพบว่าเศรษฐกิจดั้งเดิมนั้นมีจุดสมดุลโดยประมาณเสมอ $\{(x,0):x\geq 0\}\cup \{(x,y):xy=1,x>0\}$

การคำนึงถึงเวลา สถานที่ และความไม่แน่นอน

สินค้าในแบบจำลอง Arrow–Debreu เป็นนามธรรมโดยสิ้นเชิง ดังนั้น แม้ว่าโดยทั่วไปจะแสดงเป็นตลาดคงที่ แต่ก็สามารถใช้จำลองเวลา สถานที่ และความไม่แน่นอนได้ โดยการแบ่งสินค้าหนึ่งชนิดออกเป็นหลายชนิด แต่ละชนิดขึ้นอยู่กับเวลา สถานที่ และสภาวะของโลก ตัวอย่างเช่น "แอปเปิล" สามารถแบ่งออกเป็น "แอปเปิลในนิวยอร์กในเดือนกันยายน หากมีส้ม" และ "แอปเปิลในชิคาโกในเดือนมิถุนายน หากไม่มีส้ม"

การซื้อขายระหว่างตัวแทนสามารถจำลองได้สองวิธี วิธีแรกคือหลักทรัพย์ Arrow-Debreuจะถูกซื้อขายในช่วงเริ่มต้นของเวลา สำหรับทุกความเป็นไปได้ของความไม่แน่นอน และหลังจากนั้นจะไม่มีการซื้อขายเกิดขึ้นอีกหรือ วิธีที่สองคือ หลักทรัพย์ Arrowจะถูกซื้อขายตามลำดับในแต่ละช่วงเวลา

หลักทรัพย์ Arrow-Debreuยังเป็นที่รู้จักในชื่อ หลักทรัพย์ราคาสถานะหลักทรัพย์บริสุทธิ์หรือหลักทรัพย์ดั้งเดิม หลักทรัพย์เหล่านี้เป็นสัญญาที่ตกลงที่จะจ่ายหนึ่งหน่วยของหน่วยเงินตรา (สกุลเงินหรือสินค้าโภคภัณฑ์) หากสถานะเฉพาะเกิดขึ้นในเวลาที่กำหนดในอนาคต และจ่ายหน่วยเงินตราเป็นศูนย์ในสถานะอื่นๆ ทั้งหมด ราคาของหลักทรัพย์นี้คือราคาสถานะของสถานะเฉพาะนี้ของโลกเวกเตอร์ ราคาสถานะ คือเวกเตอร์ของราคาสถานะสำหรับทุกสถานะ^{[ 18 ]}

หลักทรัพย์Arrowเป็นตราสารที่มีการจ่ายคงที่หนึ่งหน่วยในสถานะที่กำหนด และไม่มีการจ่ายในสถานะอื่น^{[ 19 ]}

ตัวอย่าง

ลองจินตนาการถึงโลกที่มีสองสถานะที่เป็นไปได้ในวันพรุ่งนี้ ได้แก่ สันติภาพ (P) และสงคราม (W) ให้ ω แทนตัวแปรสุ่มที่แสดงถึงสถานะในวันพรุ่งนี้ และให้ ω₁ แทนตัวแปรสุ่มในวันพรุ่งนี้_{ดังนั้น} ω₁ _{สามารถ}มีค่าได้สองค่า คือ ω₁ ₌ P และ ω₁ ₌ W

ลองจินตนาการว่า:

มีหลักทรัพย์ชนิดหนึ่งที่จ่ายเงิน 1 ปอนด์ หากสถานะในวันพรุ่งนี้เป็น "P" และจะไม่จ่ายอะไรเลยหากสถานะเป็น "W" ราคาของหลักทรัพย์นี้คือ q _P
มีหลักทรัพย์ชนิดหนึ่งที่จ่ายเงิน 1 ปอนด์ หากสถานะในวันพรุ่งนี้เป็น "W" และจะไม่จ่ายอะไรเลยหากสถานะเป็น "P" ราคาของหลักทรัพย์นี้คือ_qW

ราคา q _Pและ q _Wคือราคาของแต่ละรัฐ

ปัจจัยที่มีผลต่อราคาในแต่ละรัฐ ได้แก่:

“ความชอบด้านเวลาสำหรับการบริโภคและผลผลิตของทุน” ^{[ 20 ]}กล่าวคือมูลค่าของเงินตามเวลามีผลต่อราคาของรัฐ
ความน่าจะเป็นของ ω ₁ =P และ ω ₁ =W ยิ่งโอกาสที่จะเกิดการเปลี่ยนแปลงไปสู่ W มากขึ้นเท่าใด ราคา q _W ก็ยิ่งสูงขึ้นเท่านั้น เนื่องจาก q _Wเป็นการประกันความเสี่ยงให้แก่ตัวแทนจากการเกิดสถานะ W ผู้ขายประกันนี้จะเรียกร้องเบี้ยประกันที่สูงขึ้น (หากเศรษฐกิจมีประสิทธิภาพ)
ความต้องการของตัวแทน สมมติว่าตัวแทนมี ฟังก์ชัน อรรถประโยชน์แบบเว้า มาตรฐาน ซึ่งขึ้นอยู่กับสถานะของโลก สมมติว่าตัวแทนจะสูญเสียในปริมาณเท่ากันหากสถานะเป็น "W" เท่ากับที่เขาจะได้รับหากสถานะเป็น "P" แม้ว่าคุณจะสมมติว่าความน่าจะเป็น ω₁ ₌ P และ ω₁ ₌ W ที่กล่าวถึงข้างต้นเท่ากัน การเปลี่ยนแปลงของอรรถประโยชน์สำหรับตัวแทนก็ไม่เท่ากัน: เนื่องจากอรรถประโยชน์ส่วน เพิ่มของเขาลดลง อรรถประโยชน์ที่ได้รับจาก "ผลประโยชน์แห่งสันติภาพ" ในวันพรุ่งนี้จะต่ำกว่าอรรถประโยชน์ที่สูญเสียไปจากสถานะ "สงคราม" หากตัวแทนของเรามีเหตุผลเขาจะจ่ายเงินมากขึ้นเพื่อประกันความเสี่ยงจากสถานะที่ตกต่ำมากกว่าผลกำไรสุทธิของเขาจากสถานะที่ดีขึ้น

ในด้านการเงิน

ราคาสถานะอาจนำไปใช้ในการกำหนด ราคา อนุพันธ์และการป้องกันความเสี่ยงได้: สัญญาที่มีมูลค่าการชำระบัญชีเป็นฟังก์ชันของสินทรัพย์อ้างอิงซึ่งมีมูลค่าไม่แน่นอน ณ วันที่ทำสัญญา สามารถแยกย่อยได้เป็นการรวมเชิงเส้นของหลักทรัพย์ Arrow–Debreu และด้วยเหตุนี้จึงเป็นผลรวมถ่วงน้ำหนักของราคาสถานะ ^{[ 21 ]}^{[ 22 ]} ดู การวิเคราะห์ การ เรียกร้องตามเงื่อนไขงานของBreedenและLitzenberger ในปี 1978 ^{[ 23 ]}ได้กำหนดการใช้งานราคาสถานะในด้านการเงินที่ทั่วไปมากขึ้น

นับตั้งแต่ผลงานของพวกเขา นักวิจัยจำนวนมากได้ใช้ตัวเลือกในการดึงราคา Arrow–Debreu สำหรับการใช้งานที่หลากหลายในเศรษฐศาสตร์การเงิน^{[ 24 ]}

ในทำนองเดียวกัน สำหรับตัวแปรสุ่มต่อเนื่องที่แสดงถึงสถานะที่เป็นไปได้มากมาย ค่าของมันจะหาได้จากการอินทิเกรตเหนือ ความหนาแน่นของราคาสถานะ

การอธิบายถึงการมีอยู่ของเงิน

ในที่นี้ไม่ได้นำเสนอทฤษฎีเกี่ยวกับเงิน และถือว่าระบบเศรษฐกิจสามารถดำเนินไปได้โดยไม่ต้องอาศัยสินค้าที่เป็นสื่อกลางในการแลกเปลี่ยน

— เจอราร์ด เดอบรู, ทฤษฎีมูลค่า: การวิเคราะห์เชิงสัจพจน์ของสมดุลทางเศรษฐกิจ (1959)

สำหรับนักทฤษฎีโดยแท้จริง ในสถานการณ์ปัจจุบัน สิ่งที่น่าสนใจและท้าทายที่สุดเกี่ยวกับเงินก็คือ เงินไม่สามารถหาที่ยืนในระบบเศรษฐกิจแบบแอร์โรว์-เดอบรูได้ สถานการณ์นี้ควรมีความสำคัญอย่างมากต่อนักเศรษฐศาสตร์มหภาคด้วยเช่นกัน แต่กลับไม่ค่อยมีใครให้ความสนใจ

— แฟรงค์ ฮาห์น , รากฐานของทฤษฎีการเงิน (1987)

โดยทั่วไป นักเศรษฐศาสตร์พิจารณาว่าหน้าที่ของเงินคือหน่วยวัดมูลค่า การเก็บรักษามูลค่า สื่อกลางในการแลกเปลี่ยน และมาตรฐานการชำระเงินล่าช้า อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้ไม่สอดคล้องกับตลาดที่สมบูรณ์แบบของ Arrow–Debreu ที่อธิบายไว้ข้างต้น ในตลาดที่สมบูรณ์แบบ จะมีการทำธุรกรรมเพียงครั้งเดียวในตลาด "ในตอนต้นของเวลา" หลังจากนั้น ครัวเรือนและผู้ผลิตจะดำเนินการผลิต การบริโภค และการส่งมอบสินค้าตามแผนของตนไปจนถึงสิ้นสุดเวลา ดังนั้น จึงไม่มีประโยชน์สำหรับการเก็บรักษามูลค่าหรือสื่อกลางในการแลกเปลี่ยน สิ่งนี้ไม่เพียงใช้กับตลาดที่สมบูรณ์แบบของ Arrow–Debreu เท่านั้น แต่ยังใช้กับแบบจำลอง (เช่น แบบจำลองที่มีตลาดสินค้าผันผวนและสัญญาประกันภัย Arrow) ที่แตกต่างกันในรูปแบบ แต่เทียบเท่ากันทางคณิตศาสตร์^{[ 25 ]}

การคำนวณสมดุลทั่วไป

Scarf (1967) ^{[ 26 ]}เป็นอัลกอริทึมแรกที่คำนวณสมดุลทั่วไป ดู Scarf (2018) ^{[ 27 ]}และ Kubler (2012) ^{[ 28 ]}สำหรับบทวิจารณ์

จำนวนจุดสมดุล

เศรษฐกิจบางแห่งที่มีเวกเตอร์การจัดสรรบางอย่างอาจมีเวกเตอร์ราคาสมดุลได้ไม่จำกัดจำนวน อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้ว เศรษฐกิจจะมีเวกเตอร์ราคาสมดุลเพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น ในที่นี้ คำว่า "โดยทั่วไป" หมายถึง "ในทุกจุด ยกเว้นเซตปิดที่มีการวัดเลเบสเป็นศูนย์" ดังเช่นในทฤษฎีบทของ Sard ^{[ 29 ]}^{[ 30 ]}

มีทฤษฎีบทเกี่ยวกับความเป็นทั่วไปอยู่มากมาย ตัวอย่างหนึ่งคือดังต่อไปนี้: ^{[ 31 ]}^{[ 32 ]}

ความทั่วไป—สำหรับการกระจายเงินทุนเริ่มต้นที่เป็นบวกอย่างเคร่งครัดและเวกเตอร์ราคาที่เป็นบวกอย่างเคร่งครัดให้กำหนดอุปสงค์ส่วนเกินดังเช่นที่กล่าวมาแล้ว $r^{1},...,r^{I}\in \mathbb {R} _{++}^{N}$ $p\in \mathbb {R} _{++}^{N}$ $Z(p,r^{1},...,r^{I})$

ถ้าหากมีกรณีใดๆก็ตาม $p,r^{1},...,r^{I}\in \mathbb {R} _{++}^{N}$

$Z(p,r^{1},...,r^{I})$ มีการกำหนดไว้อย่างชัดเจน
$Z$ สามารถหาอนุพันธ์ได้
$\nabla _{p}Z$ มี, $(N-1)$

ดังนั้นสำหรับรูปแบบการจัดสรรทรัพยากรใดๆ โดยทั่วไปแล้วจะมีจุดสมดุลเพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น $r^{1},...,r^{I}\in \mathbb {R} _{++}^{N}$ $p^{*}\in \mathbb {R} _{++}^{N}$

หลักฐาน (ร่าง)

นิยาม "แมนิโฟลด์สมดุล" ว่าเป็นเซตของคำตอบของสมการตามกฎของวาลรัส ข้อจำกัดข้อหนึ่งจะซ้ำซ้อน ตามสมมติฐานที่ว่ามีอันดับจึงไม่มีข้อจำกัดใดซ้ำซ้อนอีกต่อไป ดังนั้น แมนิโฟลด์สมดุลจึงมีมิติซึ่งเท่ากับปริภูมิของการกระจายทั้งหมดของเงินทุนเริ่มต้นที่เป็นบวกอย่างเคร่งครัด $Z=0$ $\nabla _{p}Z$ $(N-1)$ $N\times I$ $\mathbb {R} _{++}^{N\times I}$

เนื่องจากความต่อเนื่องของการฉายภาพจึงเป็นแบบปิด ดังนั้นโดยทฤษฎีบทของ Sard การฉายภาพจากแมนิโฟลด์สมดุลไปยังจะมีความสำคัญเฉพาะบนเซตที่มีขนาด 0 เท่านั้น เหลือเพียงตรวจสอบว่าภาพผกผันของการฉายภาพนั้นโดยทั่วไปแล้วไม่เพียงแต่เป็นแบบไม่ต่อเนื่อง แต่ยังต้องเป็นแบบจำกัดด้วย $Z$ $\mathbb {R} _{++}^{N\times I}$

ดูเพิ่มเติม

แบบจำลอง (เศรษฐศาสตร์)
ตลาดที่ไม่สมบูรณ์
ตลาดแลกเปลี่ยน Arrow-Debreu - แบบจำลองตลาดที่เรียบง่ายกว่า ซึ่งมีเพียงครัวเรือน (ที่สามารถเป็นได้ทั้งผู้ซื้อและผู้ขาย) แต่ไม่มีผู้ผลิต
ตลาดฟิชเชอร์ - แบบจำลองตลาดที่เรียบง่ายกว่า โดยมีเพียงผู้ซื้อเท่านั้น ปริมาณรวมของสินค้าแต่ละชนิดมีกำหนดไว้ และผู้ซื้อแต่ละรายมีเพียงงบประมาณทางการเงินเท่านั้น
รายชื่อบทความเกี่ยวกับการกำหนดราคาหลักทรัพย์
เศรษฐศาสตร์การเงิน § เศรษฐศาสตร์พื้นฐาน

อ่านเพิ่มเติม

Athreya, Kartik B. ( 2013). "แนวทางเศรษฐศาสตร์มหภาคสมัยใหม่และแบบจำลอง Arrow–Debreu–McKenzie" แนวคิดสำคัญในเศรษฐศาสตร์มหภาค: มุมมองที่ไม่ใช่เชิงเทคนิคเคมบริดจ์: สำนักพิมพ์ MIT หน้า 11–46 ISBN 978-0-262-01973-6.
Geanakoplos, John (1987). "แบบจำลองสมดุลทั่วไปของ Arrow–Debreu". The New Palgrave: A Dictionary of Economics . เล่ม 1. หน้า 116–124 .
ทาคายามะ, อากิระ (1985). เศรษฐศาสตร์คณิตศาสตร์ (ฉบับที่ 2). ลอนดอน: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. หน้า 255–284 . ISBN 978-0-521-31498-5.
Düppe, Till (2012). "Arrow และ Debreu ถูกแยกออกจากกัน". วารสารประวัติศาสตร์ความคิดทางเศรษฐศาสตร์ 34 ( 4): 491– 514. CiteSeerX 10.1.1.416.2120 . doi : 10.1017/s1053837212000491 . S2CID 15771197 .

ลิงก์ภายนอก

หมายเหตุเกี่ยวกับแบบจำลองเศรษฐกิจของ Arrow–Debreu–McKenzieโดยศาสตราจารย์Kim C. Border สถาบันเทคโนโลยีแคลิฟอร์เนีย
"ทฤษฎีบทพื้นฐาน" ของการเงินตอนที่ 2โดยศาสตราจารย์มาร์ค รูบินสไตน์โรงเรียนธุรกิจฮาส

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 7 ]

[

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[

[

[

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

แบบจำลอง Arrow–Debreu

คำแถลงอย่างเป็นทางการ

คำอธิบายเชิงลึกของแบบจำลอง Arrow–Debreu

การตั้งค่าสัญลักษณ์

สัญลักษณ์ที่มีประโยชน์สำหรับเวกเตอร์จริง

ตลาด

ครัวเรือน

ผู้ผลิต

มวลรวม

เศรษฐกิจโดยรวม

ข้อสมมติฐาน

การกำหนดข้อจำกัดเทียม

การมีอยู่ของดุลยภาพทั่วไป

บทบาทของความนูน

ภาวะไม่นูนในเศรษฐกิจขนาดใหญ่

ทฤษฎีบทสมมูลของอุซาวะ

ทฤษฎีบทพื้นฐานของเศรษฐศาสตร์สวัสดิการ

ความนูนเทียบกับความนูนอย่างเคร่งครัด

สมดุลกับ "สมดุลเสมือน"

ส่วนขยาย

การคำนึงถึงการต่อรองเชิงกลยุทธ์

การตั้งค่า

ผลลัพธ์หลัก (Debreu และ Scarf, 1963)

การคำนึงถึงความไม่นูน

การคำนึงถึงเวลา สถานที่ และความไม่แน่นอน

ตัวอย่าง

ในด้านการเงิน

การอธิบายถึงการมีอยู่ของเงิน

การคำนวณสมดุลทั่วไป

จำนวนจุดสมดุล

ดูเพิ่มเติม

อ่านเพิ่มเติม

ลิงก์ภายนอก

ข้อมูลสำคัญจากบทความ