พีชคณิต

Q: ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับ ไม่มีชื่อบทความ

พีชคณิต เป็นสาขาหนึ่งของ คณิตศาสตร์ ที่เกี่ยวข้องกับระบบนามธรรมที่เรียกว่า โครงสร้างพีชคณิต และการจัดการ นิพจน์ ภายในระบบเหล่านั้น มันเป็นการขยายขอบเขตของ เลขคณิต โดยการนำ ตัวแปร..

พีชคณิตเบื้องต้นศึกษาค่าต่างๆ ที่ใช้แก้สมการที่สร้างขึ้นโดยใช้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

พีชคณิตนามธรรมศึกษาโครงสร้างทางพีชคณิตเช่นวงแหวนของจำนวนเต็มที่กำหนดโดยเซตของจำนวนเต็ม

(\mathbb {Z} )

พร้อมกับการดำเนิน การบวก( ⁠

+

)และการคูณ ( )

\times

)

พีชคณิตเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับระบบนามธรรมที่เรียกว่าโครงสร้างพีชคณิตและการจัดการนิพจน์ภายในระบบเหล่านั้น มันเป็นการขยายขอบเขตของเลขคณิตโดยการนำตัวแปรและการดำเนินการทางพีชคณิต มาใช้ นอกเหนือจากการดำเนินการทางเลขคณิตมาตรฐาน เช่นการบวกและการคูณ

พีชคณิตเบื้องต้นเป็นรูปแบบหลักของพีชคณิตที่สอนในโรงเรียน โดยจะศึกษาประโยคทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ตัวแปรสำหรับค่าที่ไม่ระบุ และพยายามหาว่าประโยคเหล่านั้นเป็นจริงสำหรับค่าใดบ้าง ในการทำเช่นนั้น จะใช้วิธีการต่างๆ ในการแปลงสมการเพื่อแยกตัวแปรพีชคณิตเชิงเส้นเป็นสาขาที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิด ซึ่งศึกษาเกี่ยวกับสมการเชิงเส้นและการรวมกันของสมการเหล่านั้นที่เรียกว่าระบบสมการเชิงเส้นโดยจะนำเสนอวิธีการหาค่าที่แก้สมการทั้งหมดในระบบได้พร้อมกัน และศึกษาเซตของคำตอบเหล่านั้น

พีชคณิตนามธรรมศึกษาโครงสร้างพีชคณิตซึ่งประกอบด้วยเซตของวัตถุทางคณิตศาสตร์พร้อมกับการดำเนินการ หนึ่งหรือหลายอย่างที่กำหนดไว้บนเซตนั้น มันเป็นการขยายความของพีชคณิตพื้นฐานและพีชคณิตเชิงเส้น เนื่องจากอนุญาตให้ มีวัตถุทางคณิตศาสตร์อื่นนอกเหนือจากตัวเลขและการดำเนินการที่ไม่ใช่เลขคณิต มันแยกแยะความแตกต่างระหว่างโครงสร้างพีชคณิตประเภทต่างๆ เช่นกลุ่มวงแหวนและฟิลด์โดยพิจารณาจากจำนวนการดำเนินการที่ใช้และกฎที่ปฏิบัติตาม ซึ่งเรียกว่าสัจพจน์พีชคณิต สากลและทฤษฎีหมวดหมู่ให้กรอบการทำงานทั่วไปในการตรวจสอบรูปแบบนามธรรมที่บ่งบอกลักษณะเฉพาะของโครงสร้างพีชคณิตประเภทต่างๆ

วิธีการทางพีชคณิตได้รับการศึกษาครั้งแรกในสมัยโบราณเพื่อแก้ปัญหาเฉพาะด้านในสาขาต่างๆ เช่นเรขาคณิตแต่สิ่งนี้เปลี่ยนไปในศตวรรษที่ 9 เมื่อมุฮัมมัด อิบนุ มูซา อัล-คาวาริซมีได้วางระบบพีชคณิตให้เป็นสาขาวิชาคณิตศาสตร์อิสระที่แตกต่างจากเรขาคณิต นักคณิตศาสตร์ยุคแรกๆ อธิบายสมการและคำตอบโดยใช้คำและตัวย่อ จนกระทั่งศตวรรษที่ 16 และ 17 จึงมีการพัฒนารูปแบบเชิงสัญลักษณ์ที่เข้มงวดขึ้น ในช่วงกลางศตวรรษที่ 19 ขอบเขตของพีชคณิตขยายออกไปนอกเหนือจากทฤษฎีสมการเพื่อครอบคลุมการดำเนินการและโครงสร้างทางพีชคณิตที่หลากหลาย พีชคณิตมีความเกี่ยวข้องกับสาขาคณิตศาสตร์หลายสาขา เช่น เรขาคณิตโทโพโลยีทฤษฎีจำนวนและแคลคูลัสรวมถึงสาขาอื่นๆ เช่นตรรกศาสตร์และวิทยาศาสตร์เชิงประจักษ์

ความหมายและที่มาของคำ

พีชคณิตเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาโครงสร้างพีชคณิตและการดำเนินการที่ใช้^{[ 1 ]}โครงสร้างพีชคณิตคือเซตของวัตถุทางคณิตศาสตร์ ที่ไม่ว่างเปล่า เช่นจำนวนเต็มพร้อมด้วยการดำเนินการทางพีชคณิตที่กำหนดไว้บนเซตนั้น เช่นการบวกและการคูณ [ ^{2 ] [}^{ก ] พีชคณิต}สำรวจกฎ ลักษณะทั่วไป และประเภทของโครงสร้างพีชคณิต ภายในโครงสร้างพีชคณิตบางอย่าง พีชคณิตจะตรวจสอบการใช้ตัวแปรในสมการและวิธีการจัดการสมการเหล่านี้^{[ 4 ]}^[ข]

พีชคณิตมักถูกเข้าใจว่าเป็นการขยายความของเลขคณิต^{[ 8 ]}เลขคณิตศึกษาการดำเนินการต่างๆ เช่น การบวกการลบ การคูณ และการหารในโดเมนของตัวเลขเฉพาะ เช่น จำนวนจริง^{[ 9 ]}พีชคณิตเบื้องต้นถือเป็นระดับนามธรรมขั้นแรก เช่นเดียวกับเลขคณิต มันจำกัดตัวเองไว้เฉพาะตัวเลขและการดำเนินการบางประเภทเท่านั้น มันขยายความการดำเนินการเหล่านี้โดยอนุญาตให้มีปริมาณที่ไม่แน่นอนในรูปของตัวแปรนอกเหนือจากตัวเลข^{[ 10 ]}ระดับนามธรรมที่สูงขึ้นพบได้ในพีชคณิตนามธรรมซึ่งไม่จำกัดเฉพาะโดเมนใดโดเมนหนึ่ง และตรวจสอบโครงสร้างพีชคณิต เช่นกลุ่มและวงแหวนมันขยายออกไปนอกเหนือจากการดำเนินการทางเลขคณิตทั่วไปโดยครอบคลุมการดำเนินการประเภทอื่นๆ ด้วย^{[ 11 ]}พีชคณิตสากลเป็นนามธรรมยิ่งกว่านั้นอีกตรงที่มันไม่สนใจโครงสร้างพีชคณิตเฉพาะ แต่ตรวจสอบลักษณะของโครงสร้างพีชคณิตโดยทั่วไป^{[ 12 ]}

หน้าปกของหนังสือคู่มือฉบับย่อเกี่ยวกับการคำนวณโดยการทำให้สมบูรณ์และการปรับสมดุล — คำว่า*พีชคณิต*มาจากชื่อหนังสือของอัล-ควาริซ มีที่ *ชื่อว่าอัล-จาบ*รฺ^{[ 13 ]}

บางครั้ง คำว่าพีชคณิตถูกใช้ในความหมายที่แคบกว่า โดยหมายถึงเฉพาะพีชคณิตพื้นฐานหรือเฉพาะพีชคณิตนามธรรมเท่านั้น^{[ 14 ]}เมื่อใช้เป็นคำนามนับได้พีชคณิตคือโครงสร้างพีชคณิตประเภทหนึ่งโดยเฉพาะซึ่งเกี่ยวข้อง กับ ปริภูมิเวกเตอร์ที่มีการดำเนินการแบบไบนารีบางประเภท คือแผนที่เชิงเส้นคู่^{[ 15 ]}ขึ้นอยู่กับบริบท "พีชคณิต" ยังสามารถหมายถึงโครงสร้างพีชคณิตอื่นๆ เช่นพีชคณิตลีหรือพีชคณิตแบบเชื่อมโยงได้อีก ด้วย ^{[ 16 ]}

คำว่าพีชคณิต (algebra)มาจากคำภาษาอาหรับว่าالجبر ( al-jabr ) ซึ่งเดิมหมายถึงการรักษาทางศัลยกรรมจัดกระดูกในศตวรรษที่ 9 คำนี้ได้รับความหมายทางคณิตศาสตร์เมื่อนักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซียมูฮัมหมัด อิบนุ มูซา อัล-ควาริซมีนำมาใช้ตั้งชื่อวิธีการแปลงสมการ และใช้ในชื่อตำราของเขาว่าal-Kitāb al-Mukhtaṣar fī Ḥisāb al-Jabr wal-Muqābalah [ หนังสือรวบรวมเกี่ยวกับการคำนวณโดยการเติมเต็มและการปรับสมดุล ] ซึ่งได้รับการแปลเป็นภาษาละตินว่าLiber Algebrae et Almucabola [ ^{c ] คำ}นี้เข้าสู่ภาษาอังกฤษในศตวรรษที่ 16 จากภาษาอิตาลีสเปน และละตินยุคกลาง^{[ 18 ]}ในตอนแรก ความหมายของมันถูกจำกัดไว้เฉพาะทฤษฎีของสมการนั่นคือ ศิลปะในการจัดการสมการพหุนามเพื่อแก้ปัญหา ซึ่งสิ่งนี้เปลี่ยนไปในศตวรรษที่ 19 ^{[ d ]}เมื่อขอบเขตของพีชคณิตขยายออกไปเพื่อครอบคลุมการศึกษาการดำเนินการและโครงสร้างทางพีชคณิตประเภทต่างๆ พร้อมกับสัจพจน์ พื้นฐาน กฎที่พวกมันปฏิบัติตาม^{[ 21 ]}

สาขาหลัก

พีชคณิตเบื้องต้น

{\displaystyle c} — สัญลักษณ์นิพจน์พีชคณิต: 1 – กำลัง (เลขชี้กำลัง) 2 – สัมประสิทธิ์ 3 – พจน์ 4 – ตัวดำเนินการ 5 – ค่าคงที่ $c$ - คงที่ $x$ $y$ – ตัวแปร

พีชคณิตเบื้องต้น หรือที่เรียกว่าพีชคณิตโรงเรียน พีชคณิตวิทยาลัย และพีชคณิตคลาสสิก^{[ 22 ]}เป็นพีชคณิตรูปแบบที่เก่าแก่ที่สุดและพื้นฐานที่สุด เป็นการขยายความของเลขคณิตที่อาศัยตัวแปรและตรวจสอบว่าข้อความ ทางคณิตศาสตร์ สามารถแปลงได้ อย่างไร ^{[ 23 ]}

เลขคณิตคือการศึกษาเกี่ยวกับการดำเนินการทางตัวเลข และตรวจสอบว่าตัวเลขต่างๆ ถูกรวมและแปลงรูปอย่างไรโดยใช้การดำเนินการทางเลขคณิต ได้แก่การบวกการ ลบ การ คูณ การหารการยกกำลังการ ถอดรากและลอการิทึม ตัวอย่างเช่น การดำเนินการบวกเป็นการรวมตัวเลขสอง ตัว ที่เรียกว่าตัวบวก เข้าด้วย กันเป็นตัวเลขที่สามที่เรียกว่าผลรวม ดังเช่น (1 - 2) $2+5=7$ [ ⁹^]

พีชคณิตเบื้องต้นใช้การดำเนินการแบบเดียวกัน แต่เพิ่มตัวแปรนอกเหนือจากตัวเลขปกติ ตัวแปรเป็นสัญลักษณ์แทนปริมาณที่ไม่ระบุหรือไม่ทราบค่า ทำให้สามารถระบุความสัมพันธ์ที่ไม่ทราบค่าที่แน่นอน และแสดงกฎทั่วไปที่ถูกต้องโดยไม่ขึ้นอยู่กับตัวเลขที่ใช้ ตัวอย่างเช่นสม การ $2\times 3=3\times 2$ เป็นส่วนหนึ่งของเลขคณิตและแสดงความเท่าเทียมกันเฉพาะกับตัวเลขที่ระบุเท่านั้น โดยการแทนที่ตัวเลขด้วยตัวแปร เราสามารถแสดงกฎทั่วไปที่ใช้ได้กับตัวเลขทุกชุดที่เป็นไปได้ เช่นคุณสมบัติการสลับที่ของการคูณซึ่งแสดงอยู่ในสมการ $a\times b=b\times a$ [ ²³^]

นิพจน์พีชคณิตเกิดจากการใช้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์เพื่อรวมตัวแปรและตัวเลขเข้าด้วยกัน ตามธรรมเนียมแล้วจะใช้ตัวอักษรพิมพ์เล็ก⁠ $x$ , ⁠ $y$ และ $z$ แทนตัวแปร ในบางกรณี จะมีการเพิ่มตัวห้อยเพื่อแยกแยะตัวแปร เช่น⁠ $x_{1}$ , ⁠ $x_{2}$ และ $x_{3}$ ตัวอักษรพิมพ์เล็ก $a$ , ⁠ $b$ และ $c$ โดยทั่วไปจะใช้สำหรับค่าคงที่และสัมประสิทธิ์^{[ e ]}นิพจน์ $5x+3$ เป็นนิพจน์พีชคณิตที่สร้างขึ้นโดยการคูณเลข 5 กับตัวแปร $x$ และบวกเลข 3 เข้ากับผลลัพธ์ ตัวอย่างอื่นๆ ของนิพจน์พีชคณิต ได้แก่ $32xyz$ และ $64x_{1}{}^{2}+7x_{2}-c$ [ ²⁵^]

นิพจน์พีชคณิตบางนิพจน์อยู่ในรูปของประโยคที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างนิพจน์สองตัว สมการคือประโยคที่เกิดจากการเปรียบเทียบนิพจน์สองตัว โดยระบุว่านิพจน์ทั้งสองเท่ากัน ซึ่งสามารถแสดงได้โดยใช้เครื่องหมายเท่ากับ ( ⁠ $=$ )เช่นเดียวกับใน ⁠ $5x^{2}+6x=3y+4$ อสมการ เกี่ยวข้อง กับการเปรียบเทียบอีกรูปแบบหนึ่ง โดยกล่าวว่าทั้งสองข้างไม่เหมือนกัน ซึ่งสามารถแสดงได้โดยใช้สัญลักษณ์ เช่นเครื่องหมายน้อยกว่า ( ) $<$ )เครื่องหมายมากกว่า( ⁠ $>$ )และเครื่องหมายอสมการ ( ) $\neq$ ( ). ต่างจากนิพจน์อื่นๆ ประโยคบอกเล่าสามารถเป็นจริงหรือเท็จได้ และค่าความจริง ของประโยคบอกเล่า มักขึ้นอยู่กับค่าของตัวแปร ตัวอย่างเช่น ประโยคบอกเล่า $x^{2}=4$ เป็นจริงถ้า $x$ มีค่าเป็น 2 หรือ −2 และเป็นเท็จในกรณีอื่น^{[ 26 ]}สมการที่มีตัวแปรสามารถแบ่งออกเป็นสมการเอกลักษณ์และสมการเงื่อนไข สมการเอกลักษณ์เป็นจริงสำหรับทุกค่าที่สามารถกำหนดให้กับตัวแปรได้ เช่น สมการ⁠ $2x+5x=7x$ สมการแบบมีเงื่อนไขจะเป็นจริงเฉพาะกับบางค่าเท่านั้น ตัวอย่างเช่น สมการ $x+4=9$ เป็นจริงก็ต่อเมื่อ $x$ คือ 5. ^{[ 27 ]}

เป้าหมายหลักของพีชคณิตเบื้องต้นคือการหาค่าที่ทำให้ข้อความนั้นเป็นจริง ซึ่งสามารถทำได้โดยการแปลงและจัดการข้อความตามกฎบางอย่าง หลักการสำคัญที่ชี้นำกระบวนการนี้คือ การดำเนินการใดๆ ที่ใช้กับด้านหนึ่งของสมการ จะต้องดำเนินการกับอีกด้านหนึ่งด้วย ตัวอย่างเช่น ถ้าเราลบ 5 ออกจากด้านซ้ายของสมการ เราก็ต้องลบ 5 ออกจากด้านขวาด้วยเพื่อให้ทั้งสองข้างสมดุลกัน เป้าหมายของขั้นตอนเหล่านี้มักจะเป็นการแยกตัวแปรที่เราสนใจไว้ด้านใดด้านหนึ่ง ซึ่งเป็นกระบวนการที่เรียกว่าการแก้สมการหาตัวแปรนั้น ตัวอย่างเช่น สมการ $x-7=4$ สามารถแก้ไขสำหรับ $x$ โดยการเพิ่ม 7 เข้าไปทั้งสองด้าน ซึ่งจะแยกออก $x$ ทางด้านซ้ายและส่งผลให้ได้สมการ⁠ $x=11$ . ^[²⁸^]

มีเทคนิคอื่นๆ อีกมากมายที่ใช้ในการแก้สมการ การทำให้ง่ายขึ้นนั้นใช้เพื่อแทนที่นิพจน์ที่ซับซ้อนด้วยนิพจน์ที่ง่ายกว่า ตัวอย่างเช่น นิพจน์ $7x-3x$ สามารถแทนที่ด้วยนิพจน์ได้ $4x$ เนื่องจาก $7x-3x=(7-3)x=4x$ โดยคุณสมบัติการกระจาย^{[ 29 ]}สำหรับข้อความที่มีตัวแปรหลายตัวการแทนที่ถือเป็นเทคนิคทั่วไปในการแทนที่ตัวแปรหนึ่งด้วยนิพจน์ที่เทียบเท่ากันซึ่งไม่ได้ใช้ตัวแปรนี้ ตัวอย่างเช่น หากทราบว่า $y=3x$ จากนั้นเราก็สามารถทำให้การแสดงออกนั้นง่ายขึ้นได้ $7xy$ เพื่อไปถึง⁠ $21x^{2}$ ใน ทำนองเดียวกัน หากทราบค่าของตัวแปรหนึ่ง ก็อาจใช้ค่าดังกล่าวในการกำหนดค่าของตัวแปรอื่นได้^{[ 30 ]}

{\displaystyle x} — สมการพีชคณิตสามารถใช้เพื่ออธิบายรูปทรงเรขาคณิตได้ ค่าทั้งหมดสำหรับ $x$ และ $y$ จุดที่แก้สมการได้จะถูกตีความว่าเป็นจุด โดยจุดเหล่านั้นจะถูกวาดเป็นเส้นสีแดงลาดขึ้นในกราฟด้านบน

สมการพีชคณิตสามารถตีความในเชิงเรขาคณิตเพื่ออธิบายรูปทรงสามมิติในรูปของกราฟได้ โดยที่ตัวแปรต่างๆ ในสมการจะถูกเข้าใจว่าเป็นพิกัดและค่าที่แก้สมการจะถูกตีความว่าเป็นจุดบนกราฟ ตัวอย่างเช่น ถ้า $x$ ถูกกำหนดให้เป็นศูนย์ในสมการ $y=0.5x-1$ จากนั้น $y$ ค่าต้องเป็น −1 เพื่อให้สมการเป็นจริง ซึ่งหมายความว่า $(x,y)$ -คู่ $(0,-1)$ เป็นส่วนหนึ่งของกราฟของสมการ $(x,y)$ - คู่ $(0,7)$ ในทางตรงกันข้าม ไม่สามารถแก้สมการได้ ดังนั้นจึงไม่เป็นส่วนหนึ่งของกราฟ กราฟครอบคลุมทั้งหมดของ $(x,y)$ -คู่ที่แก้สมการ^{[ 31 ]}

พหุนาม

พหุนามคือ นิพจน์ที่ประกอบด้วยพจน์หนึ่งหรือมากกว่านั้น ซึ่งนำมาบวกหรือลบกัน เช่น⁠ $x^{4}+3xy^{2}+5x^{3}-1$ แต่ละพจน์เป็น ได้ทั้งค่าคงที่ ตัวแปร หรือผลคูณของค่าคงที่และตัวแปร ตัวแปรแต่ละตัวสามารถยกกำลังด้วยจำนวนเต็มบวกได้ พหุนามเอกนามคือพหุนามที่มีพจน์เดียว ในขณะที่พหุนามสองและสามพจน์เรียกว่าทวินามและไตรนาม ดีกรีของพหุนามคือค่าสูงสุด (ในบรรดาพจน์ต่างๆ) ของผลรวมของเลขชี้กำลังของตัวแปร (4 ในตัวอย่างข้างต้น)^{[ 32 ]}พหุนามดีกรีหนึ่งเรียกว่าพหุนามเชิงเส้นพีชคณิตเชิงเส้นศึกษาระบบของพหุนามเชิงเส้น^{[ 33 ]}พหุนามเรียกว่าพหุนามเอกตัวแปรหรือพหุตัวแปรขึ้นอยู่กับว่าใช้ตัวแปรเดียวหรือมากกว่าหนึ่งตัวแปร^{[ 34 ]}

การแยกตัวประกอบเป็นวิธีการที่ใช้ในการลดรูปพหุนาม ทำให้วิเคราะห์ได้ง่ายขึ้นและหาค่าที่ทำให้พหุนามนั้นเป็นศูนย์ ได้ง่ายขึ้น การแยกตัวประกอบประกอบด้วยการเขียนพหุนามใหม่เป็นผลคูณของตัวประกอบหลายตัว ตัวอย่างเช่น พหุนาม $x^{2}-3x-10$ สามารถแยกตัวประกอบได้ดังนี้ $(x+2)(x-5)$ พหุนามโดยรวมจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อตัวประกอบตัวใดตัวหนึ่งของมันเป็นศูนย์ กล่าวคือ ถ้า $x$ มีค่าเป็น −2 หรือ 5 ^{[ 35 ]}ก่อนศตวรรษที่ 19 พีชคณิตส่วนใหญ่ทุ่มเทให้กับสมการพหุนามนั่นคือสมการที่ได้จากการเทียบพหุนามกับศูนย์ ความพยายามครั้งแรกในการแก้สมการพหุนามคือการแสดงคำตอบในรูปของราก ที่ $n$ คำตอบของสมการพหุนามดีกรีสองในรูปแบบ $ax^{2}+bx+c=0$ กำหนดโดยสูตรกำลังสอง^{[ 36 ]} $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}.$

วิธีแก้ปัญหาสำหรับดีกรี 3 และ 4 ได้รับจาก สูตร ลูกบาศก์และควอติกไม่มีวิธีแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับดีกรีที่สูงกว่านี้ ดังที่พิสูจน์แล้วในศตวรรษที่ 19 โดยทฤษฎีบทAbel–Ruffini ^{[ 37 ]}แม้ว่าจะไม่มีวิธีแก้ปัญหาทั่วไป แต่ก็สามารถหาวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณได้โดยใช้เครื่องมือเชิงตัวเลข เช่นวิธี Newton– Raphson ^{[ 38 ]}

ทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตกล่าวว่าสมการพหุนามเอกตัวแปรทุกสมการที่มีดีกรีเป็นบวกและมี สัมประสิทธิ์เป็น จำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนจะมีคำตอบเชิงซ้อนอย่างน้อยหนึ่งคำตอบ ดังนั้นพหุนามทุกตัวที่มีดีกรีเป็นบวกจึงสามารถแยกตัวประกอบเป็นพหุนามเชิงเส้นได้ ทฤษฎีบทนี้ได้รับการพิสูจน์ในช่วงต้นศตวรรษที่ 19 แต่สิ่งนี้ไม่ได้ปิดปัญหาเนื่องจากทฤษฎีบทไม่ได้ให้วิธีการใด ๆ ในการคำนวณคำตอบ^{[ 39 ]}

พีชคณิตเชิงเส้น

พีชคณิตเชิงเส้นเริ่มต้นด้วยการศึกษาระบบสมการเชิงเส้น [ ^{40 ] สม}การจะเป็นเชิงเส้นก็ต่อเมื่อสามารถแสดงในรูปแบบ⁠ $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}=b$ โดยที่ $a_{1}$ , ⁠ $a_{2}$ , ..., $a_{n}$ และ $b$ เป็นค่าคงที่ ตัวอย่างเช่น $x_{1}-7x_{2}+3x_{3}=0$ และ $\textstyle {\frac {1}{4}}x-y=4$ ระบบสมการเชิงเส้นคือชุดสมการเชิงเส้นที่เราสนใจคำตอบร่วม^กัน^[ 41 ^]

เมทริกซ์เป็นอาร์เรย์สี่เหลี่ยมของค่าต่างๆ ซึ่งเดิมทีถูกนำมาใช้เพื่อให้มีสัญกรณ์ที่กระชับและสังเคราะห์สำหรับระบบสมการเชิงเส้น^{[ 42 ]}ตัวอย่างเช่น ระบบสมการ ${\begin{aligned}9x_{1}+3x_{2}-13x_{3}&=0\\2.3x_{1}+7x_{3}&=9\\-5x_{1}-17x_{2}&=-3\end{aligned}}$ สามารถเขียนได้ดังนี้ $AX=B,$ ที่ไหน $A$ ⁠ , $X$ และ $B$ เมทริกซ์เหล่านั้นคืออะไร $A={\begin{bmatrix}9&3&-13\\2.3&0&7\\-5&-17&0\end{bmatrix}},\quad X={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}0\\9\\-3\end{bmatrix}}.$

ภายใต้เงื่อนไขบางประการเกี่ยวกับจำนวนแถวและคอลัมน์ เมทริกซ์สามารถบวกคูณและบางครั้งก็หาเมทริกซ์ผกผันได้วิธีการทั้งหมดในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นสามารถแสดงได้ในรูปของการจัดการเมทริกซ์โดยใช้การดำเนินการเหล่านี้ ตัวอย่างเช่น การแก้ระบบสมการข้างต้นประกอบด้วยการคำนวณเมทริกซ์ผกผัน $A^{-1}$ โดยที่ $A^{-1}A=I,$ ที่ไหน $I$ คือเมทริกซ์เอกลักษณ์จากนั้นคูณทั้งสองข้างของสมการเมทริกซ์ข้างต้นทางด้านซ้ายด้วย $A^{-1},$ จะได้คำตอบของระบบสมการเชิงเส้นดังนี้^{[ 43 ]} $X=A^{-1}B.$

วิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้นมีตั้งแต่แบบเบื้องต้น เช่น การแทนที่^{[ 44 ]}และการกำจัด^{[ 45 ]}ไปจนถึงเทคนิคขั้นสูงที่ใช้เมทริกซ์ เช่นกฎของเครเมอร์การ กำจัด แบบเกาส์เซียนและการแยกส่วน LU ^{[ 46 ]}ระบบสมการบางระบบไม่สอดคล้องกันหมายความว่าไม่มีคำตอบเนื่องจากสมการขัดแย้งกัน^{[ 47 ]}^{[ f ]}ระบบที่สอดคล้องกันจะมีคำตอบที่ไม่ซ้ำกันหนึ่งคำตอบหรือมีคำตอบอนันต์จำนวนหนึ่ง^{[ 48 ]}^{[ g ]}

การศึกษาเกี่ยวกับปริภูมิเวกเตอร์และแผนที่เชิงเส้นเป็นส่วนสำคัญของพีชคณิตเชิงเส้น ปริภูมิเวกเตอร์เป็นโครงสร้างพีชคณิตที่เกิดจากเซตที่มีการบวกซึ่งทำให้เป็นกลุ่มอาเบเลียนและการคูณสเกลาร์ที่เข้ากันได้กับการบวก (ดู รายละเอียดใน ปริภูมิเวกเตอร์ ) แผนที่เชิงเส้นเป็นฟังก์ชันระหว่างปริภูมิเวกเตอร์ที่เข้ากันได้กับการบวกและการคูณสเกลาร์ ในกรณีของปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดเวกเตอร์และแผนที่เชิงเส้นสามารถแสดงได้ด้วยเมทริกซ์ ดังนั้นทฤษฎีของเมทริกซ์และปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดจึงเหมือนกันโดยพื้นฐาน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ปริภูมิเวกเตอร์ให้วิธีการที่สามในการแสดงและจัดการระบบสมการเชิงเส้น^{[ 49 ]}จากมุมมองนี้ เมทริกซ์เป็นการแสดงแทนของแผนที่เชิงเส้น: หากเลือกฐาน เฉพาะ เพื่ออธิบายเวกเตอร์ที่กำลังถูกแปลง รายการในเมทริกซ์จะให้ผลลัพธ์ของการใช้แผนที่เชิงเส้นกับเวกเตอร์ฐาน^{[ 50 ]}

ระบบสมการสามารถตีความได้ว่าเป็นรูปทรงเรขาคณิต สำหรับระบบที่มีตัวแปรสองตัว แต่ละสมการจะแสดงถึงเส้นตรงในปริภูมิสองมิติจุดที่เส้นตรงทั้งสองตัดกันคือคำตอบของระบบสมการทั้งหมด เนื่องจากเป็นจุดเดียวที่แก้สมการทั้งสมการแรกและสมการที่สองได้ สำหรับระบบสมการที่ไม่สอดคล้องกัน เส้นตรงทั้งสองจะขนานกัน ซึ่งหมายความว่าไม่มีคำตอบ เนื่องจากเส้นตรงทั้งสองไม่ตัดกัน หากสมการสองสมการไม่เป็นอิสระต่อกัน สมการทั้งสองจะอธิบายเส้นตรงเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าทุกคำตอบของสมการหนึ่งก็เป็นคำตอบของอีกสมการหนึ่งด้วย ความสัมพันธ์เหล่านี้ทำให้สามารถหาคำตอบได้ด้วยวิธีทางกราฟิก โดยการพล็อตสมการและกำหนดจุดตัดของสมการ^{[ 51 ]}หลักการเดียวกันนี้ยังใช้กับระบบสมการที่มีตัวแปรมากกว่า โดยมีความแตกต่างกันตรงที่สมการไม่ได้อธิบายเส้นตรง แต่เป็นรูปทรงที่มีมิติสูงกว่า ตัวอย่างเช่น สมการที่มีตัวแปรสามตัวจะสอดคล้องกับระนาบในปริภูมิสามมิติและจุดที่ระนาบทั้งหมดตัดกันจะเป็นคำตอบของระบบสมการ^{[ 52 ]}

พีชคณิตนามธรรม

พีชคณิตนามธรรม หรือที่เรียกว่าพีชคณิตสมัยใหม่^{[ 53 ]}คือการศึกษาโครงสร้างพีชคณิตโครงสร้างพีชคณิตเป็นกรอบสำหรับการทำความเข้าใจการดำเนินการกับวัตถุทางคณิตศาสตร์ เช่น การบวกจำนวน ในขณะที่พีชคณิตพื้นฐานและพีชคณิตเชิงเส้นทำงานภายในขอบเขตของโครงสร้างพีชคณิตเฉพาะ พีชคณิตนามธรรมใช้แนวทางทั่วไปมากขึ้นที่เปรียบเทียบ ว่าโครงสร้างพีชคณิตแตกต่างกันอย่างไร และมีโครงสร้างพีชคณิตประเภทใดบ้าง เช่นกลุ่มวงแหวนและฟิลด์^[⁵⁴ ] ความแตกต่างที่สำคัญระหว่างโครงสร้างพีชคณิตประเภทเหล่า ^นี้อยู่ที่จำนวนการดำเนินการที่ใช้และกฎที่ปฏิบัติตาม^[⁵⁵^]ในการศึกษาคณิตศาสตร์พีชคณิตนามธรรมหมายถึง หลักสูตร ระดับปริญญาตรี ขั้นสูง ที่นักศึกษาเอกคณิตศาสตร์เรียนหลังจากเรียนจบหลักสูตรพีชคณิตเชิงเส้น^[⁵⁶^]

ในระดับที่เป็นทางการ โครงสร้างพีชคณิตคือเซต^{[ h ]}ของวัตถุทางคณิตศาสตร์ เรียกว่าเซตพื้นฐาน พร้อมด้วยการดำเนินการหนึ่งหรือหลายอย่าง^{[ i ] พีชคณิตนามธรรมสนใจการดำเนินการแบบไบนารีเป็นหลัก [}^{j ] ซึ่ง}รับวัตถุสอง^ชิ้น^ใดๆ จากเซตพื้นฐานเป็นอินพุตและแมปไปยังวัตถุอื่นจากเซตนี้เป็นเอาต์พุต^[⁶⁰^]ตัวอย่างเช่น โครงสร้างพีชคณิต $\langle \mathbb {N} ,+\rangle$ มีจำนวนธรรมชาติ ( ⁠ $\mathbb {N}$ )เป็นเซตพื้นฐานและการบวก ( ⁠ $+$ )เป็นการดำเนินการแบบไบนารี^{[ 58 ]}เซตพื้นฐานสามารถมีวัตถุทางคณิตศาสตร์อื่นที่ไม่ใช่ตัวเลข และการดำเนินการไม่ได้จำกัดอยู่เฉพาะการดำเนินการทางเลขคณิตทั่วไป^{[ 61 ]}ตัวอย่างเช่น เซตพื้นฐานของกลุ่มสมมาตรของวัตถุทางเรขาคณิตประกอบด้วยการแปลงทางเรขาคณิตเช่นการหมุนซึ่งวัตถุยังคงไม่เปลี่ยนแปลงการดำเนินการแบบไบนารีคือการประกอบฟังก์ชันซึ่งรับการแปลงสองรายการเป็นอินพุต และมีการแปลงที่ได้จากการใช้การแปลงรายการแรกตามด้วยการแปลงรายการที่สองเป็นเอาต์พุต^{[ 62 ]}

ทฤษฎีกลุ่ม

พีชคณิตนามธรรมจำแนกโครงสร้างพีชคณิตตามกฎหรือสัจพจน์ที่การดำเนินการต่างๆ ปฏิบัติตาม และจำนวนการดำเนินการที่ใช้ หนึ่งในประเภทพื้นฐานที่สุดคือกลุ่ม ซึ่งมีการดำเนินการหนึ่งอย่าง และกำหนดให้การดำเนินการนั้นมีคุณสมบัติการสลับที่และมีองค์ประกอบเอกลักษณ์และองค์ประกอบผกผันการดำเนินการจะมีคุณสมบัติการสลับที่หากลำดับของการประยุกต์ใช้หลายๆ ครั้งไม่สำคัญ กล่าวคือ ถ้า $(a\circ b)\circ c$ ^{[ k ]}เหมือนกับ $a\circ (b\circ c)$ สำหรับองค์ประกอบทั้งหมด การดำเนินการจะมีองค์ประกอบเอกลักษณ์หรือองค์ประกอบที่เป็นกลางก็ต่อเมื่อมีองค์ประกอบe หนึ่ง ตัวที่ไม่เปลี่ยนแปลงค่าขององค์ประกอบอื่นใด กล่าวคือ ถ้า⁠ $a\circ e=e\circ a=a$ การดำเนินการจะมีองค์ประกอบผกผันก็ต่อเมื่อสำหรับองค์ประกอบใดๆ $a$ มีองค์ประกอบที่สัมพันธ์กัน $a^{-1}$ ที่ลบล้าง $a$ ถ้าองค์ประกอบหนึ่งกระทำกับองค์ประกอบผกผันของมัน ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นองค์ประกอบกลาง eซึ่งเขียนในรูปสมการได้ดังนี้ $a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$ โครงสร้าง พีชคณิตทุกโครงสร้างที่ตรงตามข้อกำหนดเหล่านี้ถือเป็นกลุ่ม^{[ 64 ]}ตัวอย่างเช่น $\langle \mathbb {Z} ,+\rangle$ กลุ่มจำนวนเต็มที่เกิดจากการรวมกันของเซตของจำนวนเต็มและการดำเนินการบวก สมาชิกที่เป็นกลางคือ 0 และสมาชิกผกผันของจำนวนใดๆ $a$ เป็น $-a$ [ ⁶⁵^]^{ในทางตรงกันข้าม จำนวนธรรมชาติที่มีการบวกจะไม่ก่อ ตัว}เป็นกลุ่ม เนื่องจากประกอบด้วยจำนวนเต็มบวกเท่านั้น จึงไม่มีองค์ประกอบผกผัน^[^{66 ]}

ทฤษฎีกลุ่มศึกษาธรรมชาติของกลุ่ม โดยมีทฤษฎีบทพื้นฐาน เช่นทฤษฎีบทพื้นฐานของกลุ่มอาเบเลียนจำกัดและทฤษฎีบทเฟต-ทอมป์สัน^{[ 67 ]} ทฤษฎีบท หลังนี้เป็นก้าวแรกที่สำคัญในความสำเร็จทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่สุดอย่างหนึ่งของศตวรรษที่ 20 นั่นคือ ความพยายามร่วมกันซึ่งใช้พื้นที่มากกว่า 10,000 หน้าในวารสาร และส่วนใหญ่ตีพิมพ์ระหว่างปี 1960 ถึง 2004 ซึ่งจบลงด้วยการจำแนกกลุ่มง่ายจำกัด^{อย่าง} สมบูรณ์ [ ^{68 ]}

ทฤษฎีวงแหวนและทฤษฎีสนาม

ริง (Ring) คือโครงสร้างทางพีชคณิตที่มีการดำเนินการสองอย่างซึ่งทำงานคล้ายกับการบวกและการคูณของจำนวน และมีชื่อเรียกและสัญลักษณ์โดยทั่วไปคล้ายกัน ริงเป็นกลุ่มสลับที่ภายใต้การบวก: การบวกของริงมีคุณสมบัติสมาคม สลับที่ และมีสมาชิกเอกลักษณ์และสมาชิกผกผัน การคูณมีคุณสมบัติสมาคมและกระจายภายใต้การบวก กล่าวคือ $a(b+c)=ab+ac$ และ $(b+c)a=ba+ca.$ นอกจากนี้ การคูณยังมีคุณสมบัติการสลับที่และมีองค์ประกอบเอกลักษณ์ซึ่งโดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์ $1$ ^{[ 69 ]}^{[ l ]}การคูณไม่จำเป็นต้องมีคุณสมบัติการสลับที่ หากมีคุณสมบัติการสลับที่ ก็จะมีวงแหวนสลับที่ [ ^{71 ] วงแหวน}ของจำนวนเต็ม ( ⁠ $\mathbb {Z}$ )เป็นหนึ่งในวงแหวนสลับตำแหน่งที่ง่ายที่สุด^{[ 72 ]}

ฟิลด์คือวงแหวนสลับที่ซึ่ง⁠ $1\neq 0$ [ ^m^]และแต่ละองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์จะมีตัวผกผันการคูณ [⁷⁴^]^{วงแหวน}ของจำนวนเต็มไม่ก่อให้เกิดฟิลด์เนื่องจากขาดตัวผกผันการคูณ ตัวอย่างเช่น ตัวผกผันการคูณ^ของ $7$ คือ ${\tfrac {1}{7}}$ ซึ่งไม่ใช่จำนวนเต็มจำนวนตรรกยะจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อนแต่ละจำนวนสร้างฟิลด์ที่มีการดำเนินการบวกและการคูณ^{[ 75 ]}

ทฤษฎีวงแหวนคือการศึกษาเกี่ยวกับวงแหวน โดยสำรวจแนวคิดต่างๆ เช่นวงแหวนย่อย วงแหวนผลหารวงแหวนพหุนามและอุดมคติรวมถึงทฤษฎีบทต่างๆ เช่นทฤษฎีบทฐานของฮิลเบิร์ต [ ^{76 ] ทฤษฎี}ฟิลด์เกี่ยวข้องกับฟิลด์ โดยตรวจสอบส่วนขยายของฟิลด์การปิดเชิงพีชคณิตและฟิลด์จำกัด^{[ 77 ]}ทฤษฎีกาโลอิสสำรวจความสัมพันธ์ระหว่างทฤษฎีฟิลด์และทฤษฎีกลุ่ม โดยอาศัยทฤษฎีบทพื้นฐานของทฤษฎีกาโลอิส^{[ 78 ]}

ทฤษฎีความสัมพันธ์ระหว่างโครงสร้างต่างๆ

นอกจากกลุ่ม วงแหวน และฟิลด์แล้ว ยังมีโครงสร้างพีชคณิตอื่นๆ อีกมากมายที่พีชคณิตศึกษา ซึ่งรวมถึงแมกมาเซมิกรุปโมโนอิด กลุ่ม อาเบเลียนวงแหวนสลับ ที่ โมดูล แลตทิซ ปริภูมิเวกเตอร์พีชคณิตเหนือฟิลด์และพีชคณิตแบบเชื่อมโยงและไม่เชื่อมโยง โครงสร้างเหล่านี้แตกต่างกันในแง่ของประเภทของวัตถุที่อธิบายและข้อกำหนดที่การดำเนินการของพวกมันต้องปฏิบัติตาม หลายโครงสร้างมีความสัมพันธ์กันตรงที่โครงสร้างพื้นฐานสามารถเปลี่ยนเป็นโครงสร้างที่เฉพาะเจาะจงมากขึ้นได้โดยการเพิ่มข้อจำกัด^[⁵⁵^]ตัวอย่างเช่น แมกมาจะกลายเป็นเซมิกรุปหากการดำเนินการของมันเป็นการเชื่อมโยง^[⁷⁹^]

โฮโมมอร์ฟิซึมเป็นเครื่องมือในการตรวจสอบคุณลักษณะเชิงโครงสร้างโดยการเปรียบเทียบโครงสร้างพีชคณิตสองโครงสร้าง^{[ 80 ]}โฮโมมอร์ฟิซึมคือฟังก์ชันจากเซตพื้นฐานของโครงสร้างพีชคณิตหนึ่งไปยังเซตพื้นฐานของโครงสร้างพีชคณิตอีกโครงสร้างหนึ่งที่รักษาคุณลักษณะเชิงโครงสร้างบางอย่างไว้ หากโครงสร้างพีชคณิตทั้งสองใช้การดำเนินการแบบไบนารีและมีรูปแบบ $\langle A,\circ \rangle$ และ $\langle B,\star \rangle$ จากนั้นฟังก์ชัน $h:A\to B$ ถือว่าเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมก็ต่อเมื่อเป็นไปตามข้อกำหนดต่อไปนี้: $h(x\circ y)=h(x)\star h(y)$ การมีอยู่ของโฮโมมอร์ฟิซึมแสดงให้เห็นว่าการดำเนินการ $\star$ ในโครงสร้างพีชคณิตที่สองนั้น มีบทบาทเช่นเดียวกับการดำเนินการ $\circ$ ทำในโครงสร้างพีชคณิตแรก^{[ 81 ]}ไอโซมอร์ฟิซึมเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมชนิดพิเศษที่บ่งชี้ถึงความคล้ายคลึงกันในระดับสูงระหว่างโครงสร้างพีชคณิตสองโครงสร้าง ไอโซมอร์ฟิซึมเป็น โฮโมมอร์ฟิซึม แบบหนึ่งต่อหนึ่ง หมายความว่ามันสร้างความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างองค์ประกอบของโครงสร้างพีชคณิตทั้งสอง ซึ่งหมายความว่าองค์ประกอบทุกตัวของโครงสร้างพีชคณิตแรกจะถูกแมปไปยังองค์ประกอบที่ไม่ซ้ำกันหนึ่งตัวในโครงสร้างที่สองโดยไม่มีองค์ประกอบใดที่ไม่ถูกแมปในโครงสร้างที่สอง^{[ 82 ]}

เครื่องมือเปรียบเทียบอีกอย่างหนึ่งคือความสัมพันธ์ระหว่างโครงสร้างพีชคณิตและพีชคณิตย่อย^{[ 83 ]}โครงสร้างพีชคณิตและพีชคณิตย่อยใช้การดำเนินการเดียวกัน^{[ n ]}ซึ่งเป็นไปตามสัจพจน์เดียวกัน ความแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือเซตพื้นฐานของพีชคณิตย่อยเป็นเซตย่อยของเซตพื้นฐานของโครงสร้างพีชคณิต^{[ o ]}การดำเนินการทั้งหมดในพีชคณิตย่อยจะต้องปิดในเซตพื้นฐาน หมายความว่าการดำเนินการเหล่านั้นจะสร้างเฉพาะองค์ประกอบที่อยู่ในเซตนี้เท่านั้น^{[ 83 ]}ตัวอย่างเช่น เซตของจำนวนเต็มคู่พร้อมกับการบวกเป็นพีชคณิตย่อยของเซตเต็มของจำนวนเต็มพร้อมกับการบวก นี่เป็นเพราะผลรวมของจำนวนคู่สองจำนวนยังคงเป็นจำนวนคู่ แต่เซตของจำนวนเต็มคี่พร้อมกับการบวกไม่ใช่พีชคณิตย่อยเพราะมันไม่ปิด: การบวกจำนวนคี่สองจำนวนจะสร้างจำนวนคู่ ซึ่งไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของเซตย่อยที่เลือก^{[ 84 ]}

พีชคณิตสากลคือการศึกษาโครงสร้างพีชคณิตโดยทั่วไป ในฐานะที่เป็นส่วนหนึ่งของมุมมองทั่วไป มันไม่ได้เกี่ยวข้องกับองค์ประกอบเฉพาะที่ประกอบขึ้นเป็นเซตพื้นฐาน และพิจารณาการดำเนินการที่มีอินพุตมากกว่าสองตัว เช่นการดำเนินการไตรภาคมันให้กรอบการทำงานสำหรับการตรวจสอบคุณลักษณะเชิงโครงสร้างที่โครงสร้างพีชคณิตที่แตกต่างกันมีร่วมกัน^{[ 86 ]}^{[ p ]}หนึ่งในคุณลักษณะเชิงโครงสร้างเหล่านั้นเกี่ยวข้องกับเอกลักษณ์ที่เป็นจริงในโครงสร้างพีชคณิตที่แตกต่างกัน ในบริบทนี้ เอกลักษณ์คือ สมการ สากลหรือสมการที่เป็นจริงสำหรับองค์ประกอบทั้งหมดของเซตพื้นฐาน ตัวอย่างเช่น การสลับที่คือสมการสากลที่ระบุว่า $a\circ b$ เหมือนกับ $b\circ a$ สำหรับองค์ประกอบทั้งหมด^{[ 88 ]}วาไรตี้คือคลาสของโครงสร้างพีชคณิตทั้งหมดที่ตรงตามเอกลักษณ์บางประการ ตัวอย่างเช่น ถ้าโครงสร้างพีชคณิตสองโครงสร้างตรงตามคุณสมบัติการสลับที่ โครงสร้างทั้งสองจะเป็นส่วนหนึ่งของวาไรตี้ที่สอดคล้องกัน^{[ 89 ]}^{[ q ]}^{[ r ]}

ทฤษฎีหมวดหมู่ศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างวัตถุทางคณิตศาสตร์โดยใช้แนวคิดของหมวดหมู่ หมวดหมู่คือกลุ่มของวัตถุพร้อมกับกลุ่มของมอร์ฟิซึมหรือ "ลูกศร" ระหว่างวัตถุเหล่านั้น กลุ่มทั้งสองนี้ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขบางประการ ตัวอย่างเช่น มอร์ฟิซึมสามารถรวมกันหรือประกอบกันได้ : ถ้ามีมอร์ฟิซึมจากวัตถุหนึ่งไปยัง อีกวัตถุหนึ่ง $a$ เพื่อคัดค้าน $b$ และการแปลงอีกรูปแบบหนึ่งจากวัตถุ $b$ เพื่อคัดค้าน $c$ ดังนั้นจึงต้องมีวัตถุหนึ่งอยู่ด้วยเช่นกัน $a$ เพื่อคัดค้าน $c$ ^{การประกอบมอร์ฟิซึมจำเป็นต้องมี คุณสมบัติ}การสลับที่ และต้องมี "มอร์ฟิซึมเอกลักษณ์" สำหรับทุกวัตถุ^[ 93 ^]หมวดหมู่ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในคณิตศาสตร์ร่วมสมัย เนื่องจากเป็นกรอบการทำงานที่เป็นเอกภาพในการอธิบายและวิเคราะห์แนวคิดทางคณิตศาสตร์พื้นฐานหลายประการ ตัวอย่างเช่น เซตสามารถอธิบายได้ด้วยหมวดหมู่ของเซตและกลุ่มใดๆ ก็สามารถถือได้ว่าเป็นมอร์ฟิซึมของหมวดหมู่ที่มีวัตถุเพียงวัตถุเดียว^{[ 94 ]}

ประวัติศาสตร์

ที่ มาของพีชคณิต นั้นมาจากการพยายามแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณเลขคณิตและปริมาณที่ไม่ทราบค่า การพัฒนาเหล่านี้เกิดขึ้นในสมัยโบราณในบาบิโลเนียอียิปต์กรีซจีนและอินเดียเอกสารที่เก่าแก่ที่สุดฉบับหนึ่งเกี่ยวกับปัญหาพีชคณิตคือปาปิรัสคณิตศาสตร์ไรนด์จากอียิปต์โบราณ ซึ่งเขียนขึ้นราว 1650 ปี ก่อนคริสตกาล^[^s^]เอกสารนี้กล่าวถึงวิธีแก้สมการเชิงเส้นดังที่แสดงในปัญหาเช่น "ปริมาณหนึ่ง เมื่อบวกด้วยหนึ่งในสี่ จะได้เป็นสิบห้า ปริมาณนั้นคืออะไร" แผ่นดินเหนียวของบาบิโลเนียจากช่วงเวลาเดียวกันอธิบายวิธีการแก้สมการพหุนามเชิงเส้นและกำลังสองเช่น วิธีการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์^[⁹⁶^]

ข้อมูลเชิงลึกเหล่านี้จำนวนมากได้ส่งต่อไปยังชาวกรีกโบราณ เริ่มตั้งแต่ศตวรรษที่ 6 ก่อนคริสต์ศักราช ความสนใจหลักของพวกเขาคือเรขาคณิตมากกว่าพีชคณิต แต่พวกเขานำวิธีการทางพีชคณิตมาใช้ในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น พวกเขาศึกษารูปทรงเรขาคณิตโดยถือว่าความยาวและพื้นที่เป็นปริมาณที่ไม่ทราบค่าที่จะต้องหาค่า ดังที่เห็นได้จากสูตรของพีทาโกรัส เกี่ยวกับวิธี ผลต่างของกำลังสองและต่อมาใน หนังสือ Elementsของยูคลิด [ ^{97 ] ใน}ศตวรรษที่ 3 หลังคริสต์ศักราชดิโอแฟนตัสได้ให้รายละเอียดเกี่ยวกับวิธีการแก้สมการพีชคณิตในชุดหนังสือที่เรียกว่าArithmeticaเขาเป็นคนแรกที่ทดลองใช้สัญลักษณ์เพื่อแสดงพหุนาม^{[ 98 ]}งานของดิโอแฟนตัสมีอิทธิพลต่อการพัฒนาพีชคณิตของชาวอาหรับ โดยวิธีการหลายอย่างของเขาได้สะท้อนให้เห็นในแนวคิดและเทคนิคที่ใช้ในพีชคณิตอาหรับในยุคกลาง^{[ 99 ]}ในจีนโบราณหนังสือ " เก้าบทว่าด้วยศิลปะทางคณิตศาสตร์ " ซึ่งเขียนขึ้นในช่วงระหว่างศตวรรษที่ 10 ก่อนคริสต์ศักราชถึงศตวรรษที่ 2 หลังคริสต์ศักราช ^{[ 100 ]}ได้สำรวจเทคนิคต่างๆ ในการแก้สมการพีชคณิต รวมถึงการใช้โครงสร้างคล้ายเมทริกซ์^{[ 101 ]}

มีการถกเถียงกันว่าการพัฒนาในช่วงแรกเหล่านี้เป็นส่วนหนึ่งของพีชคณิตหรือเป็นเพียงพื้นฐานเท่านั้น การพัฒนาเหล่านี้เสนอวิธีแก้ปัญหาทางพีชคณิต แต่ไม่ได้คิดในลักษณะที่เป็นนามธรรมและทั่วไป โดยมุ่งเน้นไปที่กรณีเฉพาะและการประยุกต์ใช้แทน^{[ 102 ]}สิ่งนี้เปลี่ยนไปเมื่อนักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซียอัล-ควาริซมี [ ^{t ] ได้}ตีพิมพ์หนังสือ The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancingในปี ค.ศ. 825 อัล-ควาริซมีได้นำเสนอทฤษฎีเชิงวิเคราะห์แรกสำหรับการแก้สมการโดยการจำแนกสมการออกเป็น 6 รูปแบบมาตรฐาน^{[ u ]}และเสนอขั้นตอนที่เป็นระบบทีละขั้นตอนสำหรับการแก้ปัญหา โดยการสรุปวิธีการเหล่านี้จากรูปทรงเรขาคณิตเฉพาะและถือว่าปริมาณที่ไม่ทราบค่าเป็นวัตถุพีชคณิตทั่วไป เขาได้สร้างกรอบการทำงานเชิงปฏิบัติการที่เป็นทางการ การเปลี่ยนผ่านจากการแก้ปัญหาแบบแยกส่วนไปสู่การพัฒนาระเบียบวิธีที่เป็นสากลได้เปลี่ยนพีชคณิตให้กลายเป็นสาขาวิชาที่มีความสมบูรณ์ในตัวเอง^{[ 105 ]}ผลงานที่มีอิทธิพลต่อพีชคณิตอื่นๆ มาจากนักคณิตศาสตร์ชาวอาหรับThābit ibn Qurraในศตวรรษที่ 9 และนักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซียOmar Khayyamในศตวรรษที่ 11 และ 12 ^{[ 106 ]}

ในอินเดียพราหมณคุปตะได้ศึกษาค้นคว้าวิธีการแก้สมการกำลังสองและระบบสมการที่มีตัวแปรหลายตัวในช่วงศตวรรษที่ 7 นวัตกรรมของเขารวมถึงการใช้เลขศูนย์และเลขลบในสมการพีชคณิต^{[ 107 ]}นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียมหาวีระในศตวรรษที่ 9 และภัสการะที่ 2ในศตวรรษที่ 12 ได้ปรับปรุงวิธีการและแนวคิดของพราหมณคุปตะให้ดียิ่งขึ้น^{[ 108 ]}ในปี ค.ศ. 1247 นักคณิตศาสตร์ชาวจีนฉินจิ่วเสว่ได้เขียนตำราคณิตศาสตร์เก้าส่วนซึ่งรวมถึงอัลกอริทึมสำหรับการประเมินค่าเชิงตัวเลขของพหุนามรวมถึงพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่า^{[ 109 ]}

ฟร็องซัวส์ วิเอต (ซ้าย) และเรเน่ เดส์การ์ตคิดค้นสัญลักษณ์เพื่อแสดงสมการในรูปแบบนามธรรมและกระชับ

นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีFibonacciได้นำแนวคิดและเทคนิคของ al-Khwarizmi มาสู่ยุโรปในหนังสือต่างๆ รวมถึงLiber Abaciของ เขา ^{[ 110 ]}ในปี 1545 นักปราชญ์ชาวอิตาลีGerolamo Cardanoได้ตีพิมพ์หนังสือArs Magnaซึ่งครอบคลุมหัวข้อต่างๆ มากมายในพีชคณิต กล่าวถึงจำนวนจินตนาการและเป็นคนแรกที่นำเสนอวิธีการทั่วไปในการแก้สม การ กำลังสามและกำลังสี่^[ 111 ^]ในศตวรรษที่ 16 และ 17 นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสFrançois VièteและRené Descartes ได้นำตัวอักษรและสัญลักษณ์มาใช้เพื่อ ^แสดงตัวแปรและการดำเนินการ ทำให้สามารถแสดงสมการได้อย่างกระชับและเป็นนามธรรม บรรพบุรุษของพวกเขาอาศัยคำอธิบายด้วยวาจาของปัญหาและวิธีแก้ปัญหา^{[ 112 ]}นักประวัติศาสตร์บางคนมองว่าพัฒนาการนี้เป็นจุดเปลี่ยนสำคัญในประวัติศาสตร์ของพีชคณิต และถือว่าสิ่งที่เกิดขึ้นก่อนหน้านี้เป็นยุคก่อนประวัติศาสตร์ของพีชคณิต เนื่องจากขาดลักษณะนามธรรมที่อาศัยการจัดการเชิงสัญลักษณ์^{[ 113 ]}

ในศตวรรษที่ 17 และ 18 มีความพยายามมากมายที่จะหาคำตอบทั่วไปสำหรับพหุนามดีกรีห้าขึ้นไป แต่ทั้งหมดก็ล้มเหลว^{[ 37 ]}ในช่วงปลายศตวรรษที่ 18 นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันคาร์ล ฟรีดริช เกาส์ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตซึ่งอธิบายถึงการมีอยู่ของศูนย์ของพหุนามทุกดีกรีโดยไม่ให้คำตอบทั่วไป^{[ 19 ]}ในช่วงต้นศตวรรษที่ 19 นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีเปาโล รัฟฟินี และนักคณิตศาสตร์ชาวนอร์เวย์นีลส์ เฮนริก อาเบลสามารถแสดงให้เห็นว่าไม่มีคำตอบทั่วไปสำหรับพหุนามดีกรีห้าขึ้นไป^{[ 37 ]}เพื่อตอบสนองต่อและหลังจากนั้นไม่นาน นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสเอวาริสต์ กาโลอิสได้พัฒนาสิ่งที่ต่อมาเป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีกาโลอิสซึ่งนำเสนอการวิเคราะห์เชิงลึกมากขึ้นเกี่ยวกับคำตอบของพหุนาม ในขณะเดียวกันก็วางรากฐานของทฤษฎีกลุ่มด้วย^{[ 20 ]}นักคณิตศาสตร์ตระหนักในไม่ช้าว่าทฤษฎีกลุ่มมีความเกี่ยวข้องกับสาขาอื่นๆ และนำไปประยุกต์ใช้ในสาขาวิชาต่างๆ เช่น เรขาคณิตและทฤษฎีจำนวน^{[ 114 ]}

ตั้งแต่กลางศตวรรษที่ 19 ความสนใจในพีชคณิตได้เปลี่ยนจากการศึกษาพหุนามที่เกี่ยวข้องกับพีชคณิตเบื้องต้นไปสู่การสอบถามทั่วไปเกี่ยวกับโครงสร้างพีชคณิต ซึ่งเป็นจุดเริ่มต้นของพีชคณิตนามธรรมแนวทางนี้ได้สำรวจพื้นฐานเชิงสัจพจน์ของการดำเนินการทางพีชคณิตใด ๆ ^{[ 115 ]}การคิดค้นระบบพีชคณิตใหม่ๆ ที่อิงตามการดำเนินการและองค์ประกอบที่แตกต่างกันเกิดขึ้นพร้อมกับการพัฒนานี้ เช่นพีชคณิตบูลีนพีชคณิตเวกเตอร์และพีชคณิตเมทริกซ์ [ ^{116 ] การ}พัฒนาที่สำคัญในช่วงแรกของพีชคณิตนามธรรมนั้นเกิดขึ้นโดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันอย่างDavid Hilbert , Ernst SteinitzและEmmy Noetherรวมถึงนักคณิตศาสตร์ชาวออสเตรียEmil Artinพวกเขาได้วิจัยโครงสร้างพีชคณิตในรูปแบบต่างๆ และจัดหมวดหมู่ตามสัจพจน์พื้นฐานเป็นประเภทต่างๆ เช่น กลุ่ม วงแหวน และฟิลด์^{[ 117 ]}

แนวคิดของแนวทางทั่วไปที่เกี่ยวข้องกับพีชคณิตสากลนั้นเกิดขึ้นจากนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษAlfred North WhiteheadในหนังสือA Treatise on Universal Algebra ในปี 1898 เริ่มตั้งแต่ทศวรรษ 1930 นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันGarrett Birkhoffได้ขยายแนวคิดเหล่านี้และพัฒนาแนวคิดพื้นฐานหลายประการของสาขานี้^{[ 118 ]}การคิดค้นพีชคณิตสากลนำไปสู่การเกิดขึ้นของสาขาใหม่ๆ มากมายที่มุ่งเน้นการใช้พีชคณิตในคณิตศาสตร์กล่าวคือ การประยุกต์ใช้วิธีการทางพีชคณิตกับสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์ พีชคณิตเชิงทอพอโลยีเกิดขึ้นในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 โดยศึกษาโครงสร้างทางพีชคณิต เช่นกลุ่มเชิงทอพอโลยีและกลุ่มLie ^{[ 119 ]}ในช่วงทศวรรษ 1940 และ 1950 พีชคณิต เชิงโฮโมโลยี ได้เกิดขึ้น โดยใช้เทคนิคทางพีชคณิตเพื่อศึกษาโฮโมโลยี^{[ 120 ]}ในช่วงเวลาเดียวกันนั้นทฤษฎีหมวดหมู่ได้รับการพัฒนาขึ้น และตั้งแต่นั้นมาก็มีบทบาทสำคัญในรากฐานของคณิตศาสตร์ [ ^{121 ] การ}พัฒนาอื่นๆ ได้แก่ การกำหนดทฤษฎีแบบจำลองและการศึกษาพีชคณิตอิสระ^{[ 122 ]}

แอปพลิเคชัน

อิทธิพลของพีชคณิตนั้นกว้างขวาง ทั้งภายในคณิตศาสตร์และในการประยุกต์ใช้ในสาขาอื่นๆ^{[ 123 ]}การทำให้คณิตศาสตร์เป็นพีชคณิตคือกระบวนการของการนำวิธีการและหลักการทางพีชคณิตไปใช้กับสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์เช่นเรขาคณิตโทโพโลยีทฤษฎีจำนวนและแคลคูลัสโดยการใช้สัญลักษณ์ในรูปแบบของตัวแปรเพื่อแสดงความเข้าใจทางคณิตศาสตร์ในระดับทั่วไปมากขึ้น ทำให้คณิตศาสตร์สามารถพัฒนารูปแบบที่เป็นทางการเพื่ออธิบายว่าวัตถุต่างๆ มีปฏิสัมพันธ์และเกี่ยวข้องกันอย่างไร^{[ 124 ]}

{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1} — สมการพีชคณิต $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ อธิบายทรงกลมที่จุดกำเนิดโดยมีรัศมี 1

หนึ่งในแอปพลิเคชันที่พบได้ในเรขาคณิต คือการใช้ประโยคเชิงพีชคณิตเพื่ออธิบายรูปทรงเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น สมการ $y=3x-7$ อธิบายเส้นตรงในปริภูมิสองมิติ ในขณะที่สมการ $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ สอดคล้องกับทรงกลมในปริภูมิสามมิติ สิ่งที่น่าสนใจเป็นพิเศษสำหรับเรขาคณิตเชิงพีชคณิตคือความหลากหลายเชิงพีชคณิต^{[ v ]}ซึ่งเป็นคำตอบของระบบสมการพหุนามที่สามารถใช้เพื่ออธิบายรูปทรงเรขาคณิตที่ซับซ้อนมากขึ้น^{[ 126 ]}การให้เหตุผลเชิงพีชคณิตยังสามารถแก้ปัญหาทางเรขาคณิตได้ ตัวอย่างเช่น เราสามารถกำหนดได้ว่าและที่ใดที่เส้นที่อธิบายโดย $y=x+1$ ตัดกับวงกลมที่อธิบายโดย $x^{2}+y^{2}=25$ โดยการแก้ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการสองสมการนี้^{[ 127 ]}โทโพโลยีศึกษาคุณสมบัติของรูปทรงเรขาคณิตหรือปริภูมิโทโพโลยีที่ยังคงอยู่ภายใต้การดำเนินการของการเปลี่ยนรูปอย่างต่อเนื่องโทโพโลยีเชิงพีชคณิตอาศัยทฤษฎีพีชคณิต เช่นทฤษฎีกลุ่มเพื่อจำแนกปริภูมิโทโพโลยี ตัวอย่างเช่นกลุ่มโฮโมโทปีจำแนกปริภูมิโทโพโลยีตามการมีอยู่ของวงวนหรือรูในปริภูมิเหล่านั้น^{[ 128 ]}

ทฤษฎีจำนวนเกี่ยวข้องกับคุณสมบัติและความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนเต็มทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตใช้วิธีการและหลักการทางพีชคณิตในสาขาการศึกษาเรื่องนี้ ตัวอย่างเช่น การใช้การแสดงออกทางพีชคณิตเพื่ออธิบายกฎทั่วไป เช่นทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์และโครงสร้างทางพีชคณิตเพื่อวิเคราะห์พฤติกรรมของจำนวน เช่นวงแหวนของจำนวนเต็ม [ ^{129 ]}สาขาที่เกี่ยวข้องคือคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง ซึ่งใช้เทคนิคทางพีชคณิตเพื่อแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการ ^นับการจัดเรียง และการรวมกันของวัตถุที่ไม่ต่อเนื่อง ตัวอย่างในคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงเชิงพีชคณิตคือการประยุกต์ใช้ทฤษฎีกลุ่มเพื่อวิเคราะห์กราฟและสมมาตร^{[ 130 ]}ความเข้าใจของพีชคณิตยังเกี่ยวข้องกับแคลคูลัส ซึ่งใช้การแสดงออกทางคณิตศาสตร์เพื่อตรวจสอบอัตราการเปลี่ยนแปลงและการสะสมโดยอาศัยพีชคณิต ตัวอย่างเช่น เพื่อทำความเข้าใจว่าการแสดงออกเหล่านี้สามารถแปลงได้อย่างไร และตัวแปรมีบทบาทอย่างไรในนั้น^{[ 131 ]}ตรรกศาสตร์เชิงพีชคณิตใช้วิธีการของพีชคณิตเพื่ออธิบายและวิเคราะห์โครงสร้างและรูปแบบที่อยู่เบื้องหลัง การให้เหตุผล เชิงตรรกะ^{[ 132 ]}โดยสำรวจทั้งโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องและการประยุกต์ใช้กับปัญหาเชิงตรรกะที่เป็นรูปธรรม^{[ 133 ]}ซึ่งรวมถึงการศึกษาพีชคณิตบูลีนเพื่ออธิบายตรรกศาสตร์เชิงประพจน์^{[ 134 ]}ตลอดจนการกำหนดและการวิเคราะห์โครงสร้างเชิงพีชคณิตที่สอดคล้องกับระบบตรรกะ^ที่ ซับซ้อนยิ่งขึ้น [ ^{135 ]}

วิธีการทางพีชคณิตยังถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในสาขาอื่นๆ เช่น วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ ตัวอย่าง เช่นใช้ในการแสดง^กฎทางวิทยาศาสตร์และแก้สมการในฟิสิกส์เคมีและชีววิทยา^[¹³⁷ ] การประยุกต์ใช้ที่คล้ายกันนี้พบได้ในสาขาต่างๆ เช่นเศรษฐศาสตร์ภูมิศาสตร์วิศวกรรม ( รวมถึงอิเล็กทรอนิกส์และหุ่นยนต์)และวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เพื่อแสดงความสัมพันธ์ แก้ปัญหา และสร้างแบบจำลองระบบ^[¹³⁸^]พีชคณิตเชิงเส้นมีบทบาทสำคัญในปัญญาประดิษฐ์และการเรียนรู้ของเครื่องจักรตัวอย่างเช่น โดยช่วยให้การประมวลผลและการวิเคราะห์ชุดข้อมูล ขนาดใหญ่มีประสิทธิภาพ ^[¹³⁹^]สาขาต่างๆ อาศัยโครงสร้างทางพีชคณิตที่ศึกษาโดยพีชคณิตนามธรรม ตัวอย่างเช่น วิทยาศาสตร์กายภาพ เช่นผลึกศาสตร์และกลศาสตร์ควอนตัมใช้ทฤษฎีกลุ่มอย่างกว้างขวาง^[¹⁴⁰^] ซึ่งยัง ใช้ในการศึกษาปริศนาต่างๆ เช่นซูโดกุและรูบิค^[ 141 ^]^และโอริกามิ^[¹⁴²^]ทั้งทฤษฎีการเข้ารหัสและการเข้ารหัสลับ^ต่างก็อาศัยพีชคณิตนามธรรมในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการส่งข้อมูลเช่น การหลีกเลี่ยงผลกระทบของสัญญาณรบกวนและการรับรองความปลอดภัยของข้อมูล [ ¹⁴³^]

การศึกษา

การศึกษาพีชคณิตส่วนใหญ่มุ่งเน้นไปที่พีชคณิตเบื้องต้น ซึ่งเป็นหนึ่งในเหตุผลที่พีชคณิตเบื้องต้นถูกเรียกว่าพีชคณิตในโรงเรียน โดยปกติแล้วจะไม่มีการแนะนำจนกว่าจะถึงระดับมัธยมศึกษาเนื่องจากต้องอาศัยความเชี่ยวชาญในพื้นฐานของเลขคณิต ในขณะเดียวกันก็สร้างความท้าทายทางปัญญาใหม่ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการให้เหตุผลเชิงนามธรรมและการสรุปทั่วไป^{[ 145 ]}จุดมุ่งหมายคือการทำให้นักเรียนคุ้นเคยกับด้านที่เป็นทางการของคณิตศาสตร์โดยช่วยให้พวกเขาเข้าใจสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น วิธีการใช้ตัวแปรเพื่อแทนปริมาณที่ไม่ทราบค่า ความยากลำบากเพิ่มเติมสำหรับนักเรียนอยู่ที่ข้อเท็จจริงที่ว่า ต่างจากการคำนวณทางเลขคณิต นิพจน์พีชคณิตมักจะยากที่จะแก้โดยตรง นักเรียนจำเป็นต้องเรียนรู้วิธีการแปลงนิพจน์เหล่านั้นตามกฎบางอย่าง ซึ่งมักจะใช้เพื่อกำหนดปริมาณที่ไม่ทราบค่า^{[ 146 ]}

เครื่องมือบางอย่างในการแนะนำนักเรียนให้รู้จักกับด้านนามธรรมของพีชคณิตนั้นอาศัยแบบจำลองที่เป็นรูปธรรมและการแสดงภาพสมการ รวมถึงการเปรียบเทียบทางเรขาคณิต อุปกรณ์ประกอบการเรียนรู้ เช่น ไม้หรือถ้วย และ "เครื่องจักรฟังก์ชัน" ที่แสดงสมการเป็นแผนภาพการไหลวิธีหนึ่งใช้เครื่องชั่งเป็นแนวทางเชิงภาพเพื่อช่วยให้นักเรียนเข้าใจปัญหาพื้นฐานของพีชคณิต มวลของวัตถุบางอย่างบนเครื่องชั่งนั้นไม่ทราบค่าและแสดงถึงตัวแปร การแก้สมการสอดคล้องกับการเพิ่มและลบวัตถุทั้งสองข้างในลักษณะที่ทั้งสองข้างยังคงสมดุลจนกระทั่งเหลือวัตถุเพียงชิ้นเดียวที่อยู่ด้านใดด้านหนึ่งคือวัตถุที่มีมวลไม่ทราบค่า^{[ 147 ]}โจทย์ปัญหาเป็นอีกเครื่องมือหนึ่งที่แสดงให้เห็นว่าพีชคณิตถูกนำไปใช้กับสถานการณ์ในชีวิตจริงอย่างไร ตัวอย่างเช่น นักเรียนอาจได้รับสถานการณ์ที่พี่ชายของนาโอมิมีแอปเปิ้ลเป็นสองเท่าของนาโอมิ เมื่อพิจารณาว่าทั้งสองมีแอปเปิ้ลรวมกันสิบสองลูก นักเรียนจะถูกขอให้หาสมการพีชคณิตที่อธิบายสถานการณ์นี้ ( ⁠ $2x+x=12$ )และเพื่อตรวจสอบว่านาโอมิมีแอปเปิ้ลกี่ลูก ( ) $x=4$ ) .^{[ 148 ]}

ในระดับมหาวิทยาลัย นักศึกษาคณิตศาสตร์จะได้พบกับหัวข้อพีชคณิตขั้นสูงจากพีชคณิตเชิงเส้นและพีชคณิตนามธรรม หลักสูตรเบื้องต้นระดับปริญญาตรีในพีชคณิตเชิงเส้นจะเน้นที่เมทริกซ์ ปริภูมิเวกเตอร์ และแผนที่เชิงเส้น เมื่อเรียนจบหลักสูตรเหล่านี้แล้ว นักศึกษามักจะได้รับการแนะนำให้รู้จักกับพีชคณิตนามธรรม ซึ่งพวกเขาจะได้เรียนรู้เกี่ยวกับโครงสร้างทางพีชคณิต เช่น กลุ่ม วงแหวน และฟิลด์ รวมถึงความสัมพันธ์ระหว่างโครงสร้างเหล่านั้น หลักสูตรโดยทั่วไปยังครอบคลุมถึงตัวอย่างเฉพาะของโครงสร้างทางพีชคณิต เช่น ระบบจำนวนตรรกยะ จำนวนจริง และพหุนาม^{[ 149 ]}

ดูเพิ่มเติม

พีชคณิตเชิงสลับเปลี่ยน – สาขาหนึ่งของพีชคณิตที่ศึกษาเกี่ยวกับวงแหวนเชิงสลับเปลี่ยน
พีชคณิตคอมพิวเตอร์ – สาขาวิทยาศาสตร์ที่อยู่ระหว่างวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์และคณิตศาสตร์
พีชคณิตภายนอก – พีชคณิตที่เกี่ยวข้องกับปริภูมิเวกเตอร์ใดๆ
F-algebra – ประเภทฟังก์ชันในทฤษฎีหมวดหมู่
พีชคณิตเชิงเรขาคณิต – โครงสร้างพีชคณิตที่ออกแบบมาเพื่อใช้ในเรขาคณิต
พีชคณิตที่ไม่เป็นไปตามกฎการสลับที่ – พีชคณิตบนฟิลด์ที่การคูณเลขฐานสองไม่จำเป็นต้องเป็นไปตามกฎการสลับที่
เค้าโครงของพีชคณิต
ทฤษฎีการแทนค่า – สาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาโครงสร้างพีชคณิตนามธรรม
เทนเซอร์ – วัตถุเชิงพีชคณิตที่มีการประยุกต์ใช้ในเชิงเรขาคณิต

ลิงก์ภายนอก

[ 1 ]

2 ] [

ก ] พีชคณิต

[ 4 ]

[ข]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

c ] คำ

[ 18 ]

[ d ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ e ]

25

[ 26 ]

[ 27 ]

[

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 36 ]

[ 37 ]

[ 38 ]

[ 39 ]

40 ] สม

กัน

[ 42 ]

[ 43 ]

[ 44 ]

[ 45 ]

[ 46 ]

[ 47 ]

[ f ]

[ 48 ]

[ g ]

[ 49 ]

[ 50 ]

[ 51 ]

[ 52 ]

[ 53 ]

[

[

[

[ h ]

[ i ] พีชคณิตนามธรรมสนใจการดำเนินการแบบไบนารีเป็นหลัก [

j ] ซึ่ง

[

[ 58 ]

[ 61 ]

[ 62 ]

[ k ]

[ 64 ]

65

ในทางตรงกันข้าม จำนวนธรรมชาติที่มีการบวกจะไม่ก่อ ตัว

[ 67 ]

อย่าง

[ 69 ]

[ l ]

71 ] วงแหวน

[ 72 ]

m

74

[ 75 ]

76 ] ทฤษฎี

[ 77 ]

[ 78 ]

[

[ 80 ]

[ 81 ]

[ 82 ]

[ 83 ]

[ n ]

[ o ]

[ 84 ]

[ 86 ]

[ p ]

[ 88 ]

[ 89 ]

[ q ]

[ r ]

การประกอบมอร์ฟิซึมจำเป็นต้องมี คุณสมบัติ

[ 94 ]

[

[

97 ] ใน

[ 98 ]

[ 99 ]

[ 100 ]