ในทางคณิตศาสตร์ 3- แมนิโฟลด์คือปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่ดูเหมือนปริภูมิยูคลิดสามมิติ ในระดับท้องถิ่น อาจมอง3- แมนิโฟลด์ ได้ว่าเป็น รูปร่างที่เป็นไปได้ของเอกภพเช่นเดียวกับ ที่ ทรงกลมดูเหมือนระนาบ ( ระนาบสัมผัส ) สำหรับผู้สังเกตที่มีขนาดเล็กและอยู่ใกล้พอ 3-แมนิโฟลด์ทั้งหมดก็ดูเหมือนเอกภพของเราสำหรับผู้สังเกตที่มีขนาดเล็กพอ คำจำกัดความด้านล่างจะอธิบายให้ชัดเจนยิ่งขึ้น

ปริภูมิเชิงทอพอโลยี จะเป็น 3-แมนิโฟลด์ก็ต่อเมื่อเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟที่นับได้ลำดับที่สองและทุกจุดในนั้นมีบริเวณใกล้เคียงที่เป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับ ปริภูมิยู คลิด 3-${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

หมวด หมู่เชิงทอพอโลยี หมวด หมู่เชิงเส้นแบบแบ่งส่วนและหมวดหมู่เรียบ ล้วนเทียบเท่ากันในสามมิติ ดังนั้นจึงแทบไม่มีความแตกต่างเลยว่าเรากำลังจัดการกับแมนิโฟลด์ 3 มิติเชิงทอพอโลยี หรือแมนิโฟลด์ 3 มิติเรียบ

ปรากฏการณ์ในสามมิติอาจแตกต่างอย่างเห็นได้ชัดจากปรากฏการณ์ในมิติอื่น ๆ ดังนั้นจึงมีเทคนิคเฉพาะทางมากมายที่ไม่สามารถนำไปใช้กับมิติที่มากกว่าสามมิติได้ บทบาทพิเศษนี้ได้นำไปสู่การค้นพบความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับสาขาอื่น ๆ ที่หลากหลาย เช่นทฤษฎีปมทฤษฎีกลุ่มเชิงเรขาคณิตเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกทฤษฎี จำนวนทฤษฎีTeichmüllerทฤษฎีสนามควอนตัมเชิงทอพอโลยีทฤษฎี เก จโฮโมโลยี Floerและสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยทฤษฎี 3-manifold ถือเป็นส่วนหนึ่งของทอพอโลยีมิติต่ำหรือทอพอโลยีเชิงเรขาคณิต

แนวคิดหลักในทฤษฎีนี้คือการศึกษา 3-manifold โดยพิจารณาพื้นผิว พิเศษ ที่ฝังอยู่ในนั้น เราสามารถเลือกพื้นผิวให้วางตัวได้อย่างเหมาะสมใน 3-manifold ซึ่งนำไปสู่แนวคิดของพื้นผิวที่อัดไม่ได้และทฤษฎีของHaken manifoldหรือเราสามารถเลือกส่วนประกอบที่เสริมกันให้เหมาะสมที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ซึ่งนำไปสู่โครงสร้างต่างๆ เช่นHeegaard splittingsซึ่งมีประโยชน์แม้ในกรณีที่ไม่ใช่ Haken

ผลงาน ของเธอร์สตันที่มีต่อทฤษฎีนี้ทำให้เราสามารถพิจารณาโครงสร้างเพิ่มเติมที่ได้จากรูปทรงเรขาคณิตแบบจำลองของเธอร์สตัน (ซึ่งมีอยู่แปดแบบ) ได้ในหลายกรณี รูปทรงเรขาคณิตที่พบมากที่สุดคือรูปทรงเรขาคณิตแบบไฮเปอร์โบลิก การใช้รูปทรงเรขาคณิตควบคู่ไปกับพื้นผิวพิเศษมักให้ผลลัพธ์ที่ดี

กลุ่มพื้นฐานของ 3-แมนิโฟลด์สะท้อนให้เห็นถึงข้อมูลทางเรขาคณิตและโทโพโลยีที่เกี่ยวข้องกับ 3-แมนิโฟลด์อย่างชัดเจน ดังนั้นจึงมีความสัมพันธ์กันระหว่างทฤษฎีกลุ่มและวิธีการทางโทโพโลยี

3-แมนิโฟลด์เป็นกรณีพิเศษที่น่าสนใจของโทโพโลยีมิติต่ำ เนื่องจากค่าคงที่ทางโทโพโลยีของพวกมันให้ข้อมูลมากมายเกี่ยวกับโครงสร้างโดยทั่วไป ถ้าเราให้เป็น 3-แมนิโฟลด์ และเป็นกลุ่มพื้นฐานของมัน เราจะสามารถอนุมานข้อมูลมากมายจากพวกมันได้ ตัวอย่างเช่น การใช้ทฤษฎีบทคู่ของปวงกาเรและทฤษฎีบทของฮูเรวิชเราจะได้กลุ่มโฮโมโลยี ต่อไปนี้ : ${\displaystyle M}$${\displaystyle \pi =\pi _{1}(M)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{0}(M)&=H^{3}(M)=&\mathbb {Z} \\H_{1}(M)&=H^{2}(M)=&\pi /[\pi ,\pi ]\\H_{2}(M)&=H^{1}(M)=&{\text{Hom}}(\pi ,\mathbb {Z} )\\H_{3}(M)&=H^{0}(M)=&\mathbb {Z} \end{aligned}}}$

โดยที่กลุ่มสองกลุ่มสุดท้ายมีโครงสร้างสมมาตรกับกลุ่มโฮโมโลยีและโคโฮโมโลยีของตามลำดับ กล่าวคือ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}(\pi ;\mathbb {Z} )&\cong \pi /[\pi ,\pi ]\\H^{1}(\pi ;\mathbb {Z} )&\cong {\text{Hom}}(\pi ,\mathbb {Z} )\end{aligned}}}$

จากข้อมูลนี้ สามารถพบการจำแนกประเภททฤษฎีโฮโมโทปีพื้นฐานของ 3-แมนิโฟลด์^{[ 1 ]} ได้ โปรดทราบว่าจาก หอคอย Postnikovมีแผนที่แคนอนิก

${\displaystyle q:M\to B\pi }$

ถ้าเรานำการผลักดันของคลาสพื้นฐานเข้าไปเราจะได้องค์ประกอบปรากฏว่ากลุ่มนี้ร่วมกับคลาสโฮโมโลยีของกลุ่มให้คำอธิบายเชิงพีชคณิตที่สมบูรณ์ของประเภทโฮโมโทปี ของ${\displaystyle [M]\in H_{3}(M)}$${\displaystyle H_{3}(B\pi )}$${\displaystyle \zeta _{M}=q_{*}([M])}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \zeta _{M}\in H_{3}(\pi ,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle M}$

การดำเนินการทางทอพอโลยีที่สำคัญอย่างหนึ่งคือผลรวมที่เชื่อมต่อกันของแมนิโฟลด์ 3 มิติสองตัวอันที่จริง จากทฤษฎีบททั่วไปในทอพอโลยี เราพบว่าสำหรับแมนิโฟลด์ 3 มิติที่มีการแยกส่วนผลรวมที่เชื่อมต่อกันค่าคงที่ข้างต้นสำหรับสามารถคำนวณได้จาก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง${\displaystyle M_{1}\#M_{2}}$${\displaystyle M=M_{1}\#\cdots \#M_{n}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}(M)&=H_{1}(M_{1})\oplus \cdots \oplus H_{1}(M_{n})\\H_{2}(M)&=H_{2}(M_{1})\oplus \cdots \oplus H_{2}(M_{n})\\\pi _{1}(M)&=\pi _{1}(M_{1})*\cdots *\pi _{1}(M_{n})\end{aligned}}}$

นอกจากนี้ 3-manifold ที่ไม่สามารถอธิบายได้ว่าเป็นผลรวมที่เชื่อมต่อกันของ 3-manifold สองอัน เรียกว่า prime${\displaystyle M}$

สำหรับกรณีของ 3-manifold ที่กำหนดโดยผลรวมที่เชื่อมต่อของ 3-manifold เฉพาะ ปรากฏว่ามีคำอธิบายที่ดีของกลุ่มพื้นฐานที่สองเป็นโมดูล^{[ 2 ]}สำหรับกรณีพิเศษที่แต่ละอันเป็นอนันต์แต่ไม่เป็นวัฏจักร ถ้าเราใช้การฝังฐานของทรงกลม 2 มิติ${\displaystyle \mathbb {Z} [\pi ]}$${\displaystyle \pi _{1}(M_{i})}$

${\displaystyle \sigma _{i}:S^{2}\to M}$ที่ไหน${\displaystyle \sigma _{i}(S^{2})\subset M_{i}-\{B^{3}\}\subset M}$

จากนั้นกลุ่มพื้นฐานที่สองจะมีการนำเสนอ

${\displaystyle \pi _{2}(M)={\frac {\mathbb {Z} [\pi ]\{\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}\}}{(\sigma _{1}+\cdots +\sigma _{n})}}}$

ซึ่งเป็นการคำนวณกลุ่มนี้อย่างตรงไปตรงมา

ปริภูมิยูคลิด 3 มิติเป็นตัวอย่างที่สำคัญที่สุดของแมนิโฟลด์ 3 มิติ เนื่องจากแมนิโฟลด์อื่นๆ ทั้งหมดถูกนิยามโดยสัมพันธ์กับปริภูมิยูคลิด 3 มิติ นี่คือปริภูมิเวกเตอร์ 3 มิติมาตรฐาน บนจำนวนจริง

ทรงกลม 3 มิติเป็นอนาล็อกของทรงกลม ในมิติที่สูงกว่า ประกอบด้วยเซตของจุดที่อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางคงที่ในปริภูมิยุคลิด 4 มิติ เท่ากัน เช่นเดียวกับทรงกลมธรรมดา (หรือทรงกลม 2 มิติ) ซึ่งเป็นพื้นผิว สองมิติ ที่สร้างขอบเขตของลูกบอลในสามมิติ ทรงกลม 3 มิติเป็นวัตถุที่มีสามมิติที่สร้างขอบเขตของลูกบอลในสี่มิติ ตัวอย่างของแมนิโฟลด์ 3 มิติจำนวนมากสามารถสร้างได้โดยการหารทรงกลม 3 มิติด้วยกลุ่มจำกัด ที่ ^{กระทำ}อย่างอิสระบนผ่านแผนที่ดังนั้น[ ^{3 ]}${\displaystyle \pi }$${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle \pi \to {\text{SO}}(4)}$${\displaystyle M=S^{3}/\pi }$

ปริภูมิโปรเจคทีฟจริง 3 มิติ หรือRP ³คือปริภูมิเชิงทอพอโลยีของเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิด 0 ในR ⁴มันเป็นแมนิโฟลด์เรียบกระชับที่มีมิติ3และเป็นกรณีพิเศษ ของ Gr (1, R ⁴ ) ของปริภูมิกราสส์มันน์

RP ³เป็น ( ดิฟเฟโอเมอร์ฟิกกับ) SO(3)ดังนั้นจึงยอมรับโครงสร้างกลุ่ม แผนที่การปกคลุมS ³ → RP ³เป็นแผนที่ของกลุ่ม Spin(3) → SO(3) โดยที่Spin(3)เป็นกลุ่ม Lieที่เป็นการปกคลุมสากลของ SO(3)

ทรงโดนัทสามมิติเป็นผลคูณของวงกลม 3 วง นั่นคือ:

${\displaystyle \mathbf {T} ^{3}=S^{1}\times S^{1}\times S^{1}.}$

ทอรัส 3 มิติT ³สามารถอธิบายได้ว่าเป็นผลหารของR ³ภายใต้การเลื่อนแบบอินทิกรัลในพิกัดใดๆ กล่าวคือ ทอรัส 3 มิติ คือR ³มอดูลการกระทำ ของ แลตทิซ จำนวนเต็มZ ^{3 (โดยการกระทำนั้นถือเป็นการบวกเวกเตอร์) หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง ทอรัส 3 มิติได้มาจาก} ลูกบาศก์ 3 มิติโดยการเชื่อมต่อหน้าตรงข้ามเข้าด้วยกัน

ในความหมายนี้ ทอรัส 3 มิติเป็นตัวอย่างของ แมนิโฟลด์กระชับ 3 มิตินอกจากนี้ยังเป็นตัวอย่างของกลุ่มลีแบบอาเบเลียน กระชับด้วย ซึ่งเป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าวงกลมหน่วย เป็นกลุ่มลีแบบอาเบเลียนกระชับ (เมื่อระบุด้วย จำนวนเชิงซ้อนหน่วยที่มีการคูณ) ดังนั้น การคูณกลุ่มบนทอรัสจึงถูกกำหนดโดยการคูณตามพิกัด

ปริภูมิไฮเปอร์โบลิกเป็นปริภูมิเอกพันธุ์ที่สามารถกำหนดลักษณะได้ด้วยความโค้งลบคงที่ มันเป็นแบบจำลองของเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกมันแตกต่างจากปริภูมิยุคลิดที่มี ความโค้ง เป็นศูนย์ซึ่งกำหนดเรขาคณิตยุคลิดและแบบจำลองของเรขาคณิตวงรี (เช่น ทรงกลม 3 มิติ ) ที่มีความโค้งบวกคงที่ เมื่อฝังลงในปริภูมิยุคลิด (ที่มีมิติสูงกว่า) ทุกจุดในปริภูมิไฮเปอร์โบลิกจะเป็นจุดอานม้าคุณสมบัติที่โดดเด่นอีกประการหนึ่งคือปริมาณพื้นที่ที่ทรงกลม 3 มิติครอบคลุมในปริภูมิไฮเปอร์โบลิก 3 มิติ: มันเพิ่มขึ้นแบบเลขชี้กำลังเมื่อเทียบกับรัศมีของทรงกลม ไม่ใช่แบบพหุนาม

ทรง กลมโฮโมโลยี ของปวงกาเร (หรือที่รู้จักกันในชื่อปริภูมิสิบสองเหลี่ยมของปวงกาเร) เป็นตัวอย่างเฉพาะของทรงกลมโฮโมโลยี เนื่องจากเป็นแมนิโฟลด์ทรงกลม 3 มิติมันจึงเป็นทรงกลมโฮโมโลยี 3 มิติเพียงแห่งเดียว (นอกเหนือจากทรงกลม 3 มิติ เอง) ที่มี กลุ่มพื้นฐานจำกัดกลุ่มพื้นฐานของมันคือกลุ่มไอโคซาเฮดรัลไบนารีและมีอันดับ 120 สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าข้อสันนิษฐานของปวงกาเรไม่สามารถกล่าวได้ในแง่ของโฮโมโลยีเพียงอย่างเดียว

ในปี 2546 การขาดโครงสร้างในระดับที่ใหญ่ที่สุด (เหนือ 60 องศา) ในพื้นหลังไมโครเวฟของจักรวาลที่สังเกตได้เป็นเวลาหนึ่งปีโดย ยานอวกาศ WMAPนำไปสู่ข้อเสนอแนะโดยJean-Pierre Luminetจากหอดูดาวปารีสและเพื่อนร่วมงานว่ารูปร่างของจักรวาลเป็นทรงกลมปวงกาเร^{[ 4 ] [ 5 ]}ในปี 2551 นักดาราศาสตร์พบทิศทางที่ดีที่สุดบนท้องฟ้าสำหรับแบบจำลองและยืนยันการคาดการณ์บางส่วนของแบบจำลองโดยใช้การสังเกตการณ์สามปีโดยยานอวกาศ WMAP ^{[ 6 ]} อย่างไรก็ตาม ยังไม่มีหลักฐานสนับสนุนที่แข็งแกร่งสำหรับความถูกต้องของแบบจำลองในขณะนี้

ในทางคณิตศาสตร์ปริภูมิเซเฟิร์ต-เวเบอร์ (แนะนำโดยเฮอร์เบิร์ต เซเฟิร์ตและคอนสแตนติน เวเบอร์) คือ แม นิ โฟลด์ 3 มิติแบบไฮเปอร์โบลิกปิด เรียกอีกชื่อหนึ่งว่าปริภูมิเซเฟิร์ต-เวเบอร์ทรงสิบสองเหลี่ยมและปริภูมิไฮเปอร์โบลิกทรงสิบสองเหลี่ยม เป็นหนึ่งในตัวอย่างแรกๆ ที่ถูกค้นพบของแมนิโฟลด์ 3 มิติแบบไฮเปอร์โบลิกปิด

ปริภูมินี้สร้างขึ้นโดยการเชื่อมต่อหน้าแต่ละด้านของทรงสิบสองเหลี่ยมเข้ากับหน้าตรงข้ามในลักษณะที่ทำให้เกิดแมนิโฟลด์ 3 มิติแบบปิด มีสามวิธีในการเชื่อมต่อนี้อย่างสม่ำเสมอ หน้าตรงข้ามจะเหลื่อมกัน 1/10 ของการหมุน ดังนั้นเพื่อให้ตรงกันจะต้องหมุนหน้าเหล่านั้น 1/10, 3/10 หรือ 5/10 รอบ การหมุน 3/10 จะได้ปริภูมิ Seifert–Weber การหมุน 1/10 จะได้ทรงกลมโฮโมโลยีของ Poincaré และการหมุน 5/10 จะได้ ปริภูมิเชิงฉายจริง 3 มิติ

ด้วยรูปแบบการติดกาวแบบ 3/10 รอบ ขอบของทรงสิบสองเหลี่ยมดั้งเดิมจะถูกติดกาวเข้าด้วยกันเป็นกลุ่มๆ ละห้าขอบ ดังนั้น ในปริภูมิ Seifert–Weber ขอบแต่ละด้านจะถูกล้อมรอบด้วยหน้าห้าเหลี่ยมห้าหน้า และมุมไดเฮดรัลระหว่างหน้าห้าเหลี่ยมเหล่านี้คือ 72° ซึ่งไม่ตรงกับมุมไดเฮดรัล 117° ของทรงสิบสองเหลี่ยมปกติในปริภูมิยูคลิด แต่ในปริภูมิไฮเปอร์โบลิกมีทรงสิบสองเหลี่ยมปกติที่มีมุมไดเฮดรัลใดๆ ระหว่าง 60° ถึง 117° และทรงสิบสองเหลี่ยมไฮเปอร์โบลิกที่มีมุมไดเฮดรัล 72° อาจใช้เพื่อให้ปริภูมิ Seifert–Weber มีโครงสร้างทางเรขาคณิตเป็นแมนิโฟลด์ไฮเปอร์โบลิก มันเป็นปริภูมิผลหารของ รังผึ้งทรงสิบสองเหลี่ยม ลำดับที่ 5ซึ่ง เป็นการ ปูพื้นปกติ ของปริภูมิไฮเปอร์โบลิก 3 มิติด้วยทรงสิบสองเหลี่ยมที่มีมุมไดเฮดรัลนี้

ในทางคณิตศาสตร์แมนิโฟลด์ของกีเซคิง (Gieseking manifold ) คือ แม นิโฟลด์ไฮเปอร์โบลิก 3 มิติแบบมีจุดยอดแหลม (cusped hyperbolic 3-manifold) ที่มีปริมาตรจำกัดไม่สามารถกำหนดทิศทางได้และมีปริมาตรน้อยที่สุดในบรรดาแมนิโฟลด์ไฮเปอร์โบลิกที่ไม่กระชับ (non-compact hyperbolic manifolds) โดยมีปริมาตรประมาณ 1.01494161 ค้นพบโดยฮิวโก้ กีเซคิง (Hugo Gieseking ) ในปี ค.ศ. 1912

สามารถสร้างแมนิโฟลด์ Gieseking ได้โดยการลบจุดยอดออกจากรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า จากนั้นจึงนำหน้ามาต่อกันเป็นคู่ๆ โดยใช้แผนที่เชิงเส้นแบบแอฟฟิน กำหนดหมายเลขจุดยอดเป็น 0, 1, 2, 3 นำหน้าที่มีจุดยอด 0, 1, 2 มาต่อกับหน้าที่มีจุดยอด 3, 1, 0 ตามลำดับ และนำหน้า 0, 2, 3 มาต่อกับหน้า 3, 2, 1 ตามลำดับ ในโครงสร้างไฮเปอร์โบลิกของแมนิโฟลด์ Gieseking รูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าในอุดมคตินี้คือการแยกส่วนทรงหลายเหลี่ยมแบบแคนอนิกของDavid BA Epsteinและ Robert C. Penner ^{[ 7 ]} ยิ่งไปกว่านั้น มุมที่เกิดจากหน้าต่างๆ คือการสร้างสามเหลี่ยมมีรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าหนึ่งรูป หน้าสองหน้า ขอบหนึ่งขอบ และไม่มีจุดยอด ดังนั้นขอบทั้งหมดของรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าเดิมจึงถูกนำมาต่อกัน ${\displaystyle \pi /3}$

• กราฟแมนิโฟลด์
• ท่อร่วมฮาเคน
• ทรงกลมโฮโมโลจี
• ไฮเปอร์โบลิก 3-แมนิโฟลด์
• ชุด I-bundles
• ส่วนประกอบของปมและข้อต่อ
• พื้นที่เลนส์
• ช่องว่างเส้นใย Seifert , มัดวงกลม
• ทรงกลม 3 มิติ
• กลุ่มพื้นผิวเหนือวงกลม
• มัดทอรัส

ลิงก์ไฮเปอร์โบลิกคือลิงก์ใน ทรงกลม 3 มิติที่มีส่วนประกอบเติมเต็ม ซึ่งมีเมตริกรีมันน์ สมบูรณ์ที่มี ความโค้งลบคงที่ กล่าวคือ มีเรขาคณิตแบบไฮเปอร์โบ ลิก ปม ไฮเปอร์โบลิกคือ ลิงก์ไฮเปอร์โบลิก ที่ มี ส่วนประกอบเดียว

ตัวอย่างต่อไปนี้เป็นที่รู้จักและได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวาง

• ปมเลขแปด
• ลิงก์ไวท์เฮด
• วงแหวนบอร์โรเมียน

วิชาเหล่านี้ไม่จำเป็นต้องแยกออกจากกันโดยสิ้นเชิง

เรขาคณิตสัมผัส (Contact geometry)คือการศึกษาโครงสร้างทางเรขาคณิตบน แมนิ โฟลด์เรียบที่กำหนดโดยการกระจาย ไฮเปอร์เพลน ในบันเดิลสัมผัสและระบุโดยวันฟอร์มซึ่งทั้งสองอย่างนี้สอดคล้องกับเงื่อนไข 'ความไม่เสื่อมสูงสุด' ที่เรียกว่า 'ความไม่สามารถหาปริพันธ์ได้อย่างสมบูรณ์' (complete non-integrability) จากทฤษฎีบทของโฟรเบนิอุส เราจะเห็นว่าเงื่อนไขนี้ตรงกันข้ามกับเงื่อนไขที่ว่าการกระจายจะต้องถูกกำหนดโดยโฟ ลิ เอชัน ที่มีมิติร่วมหนึ่ง บนแมนิโฟลด์ ('ความสามารถหาปริพันธ์ได้อย่างสมบูรณ์')

เรขาคณิตสัมผัส (Contact geometry) ในหลายๆ ด้านเป็นคู่ตรงข้ามของเรขาคณิตเชิงซิมเพล็กติก ( Symplextic geometry) ซึ่งอยู่ในโลกมิติคู่ แต่มีมิติเป็นเลขคี่ ทั้งเรขาคณิตสัมผัสและเรขาคณิตเชิงซิมเพ ล็กติกต่างได้รับแรงบันดาลใจจากรูปแบบทางคณิตศาสตร์ของ กลศาสตร์คลาสสิกซึ่งเราสามารถพิจารณาได้ทั้งปริภูมิเฟสแบบมิติคู่ ของระบบกลไก หรือ ปริภูมิเฟสแบบขยายแบบมิติคี่ที่รวมตัวแปรเวลาไว้ด้วย

แมนิโฟลด์ฮาเคน (Haken manifold)คือแมนิโฟลด์ 3 มิติแบบกะทัดรัด (compact ) ที่ไม่สามารถลดรูปได้ด้วย P² ( P²-irreducible) ซึ่งมี ขนาดใหญ่เพียงพอหมายความว่ามันประกอบด้วยพื้นผิวอัดไม่ได้แบบสองด้าน ที่ฝังตัวอย่างเหมาะสม บางครั้งเราอาจพิจารณาเฉพาะแมนิโฟลด์ฮาเคนแบบกำหนดทิศทางได้ (orientable Haken manifold) เท่านั้น ในกรณีนี้ แมนิโฟลด์ฮาเคนจะเป็นแมนิโฟลด์ 3 มิติแบบกะทัดรัด กำหนดทิศทางได้ และลดรูปไม่ได้ ซึ่งประกอบด้วยพื้นผิวอัดไม่ได้แบบกำหนดทิศทางได้

เรียกว่า แมนิโฟลด์ 3 มิติที่ถูกปกคลุมด้วยแมนิโฟลด์ฮาเคนอย่างจำกัด เป็นแมนิโฟลด์ฮาเคน เสมือน สมมติฐานฮาเคนเสมือนกล่าวว่า แมนิโฟลด์ 3 มิติแบบกระชับและลดทอนไม่ได้ทุกอันที่มีกลุ่มพื้นฐานอนันต์เป็นแมนิโฟลด์ฮาเคนเสมือน

แนวคิดเรื่องแมนิโฟลด์ฮาเคน (Haken manifold) ถูกนำเสนอโดยวูล์ฟกัง ฮาเคน (Wolfgang Haken) ฮาเคนพิสูจน์ว่าแมนิโฟลด์ฮาเคนมีลำดับชั้นโดยสามารถแบ่งออกเป็นทรงกลม 3 มิติ (3-balls) ตามพื้นผิวที่ไม่สามารถอัดได้ (incompressible surfaces) นอกจากนี้ ฮาเคนยังแสดงให้เห็นว่ามีขั้นตอนวิธีแบบจำกัดในการค้นหาพื้นผิวที่ไม่สามารถอัดได้ หากแมนิโฟลด์ 3 มิตินั้นมีพื้นผิวดังกล่าว ต่อมา จาโค (Jaco) และ เออร์เทล (Oertel) ได้เสนออัลกอริทึมเพื่อตรวจสอบว่าแมนิโฟลด์ 3 มิติใดเป็นแมนิโฟลด์ฮาเคน

การเรียงตัวเป็นชั้นที่สำคัญคือการเรียงตัวเป็นชั้นที่ทุกชั้นไม่สามารถบีอัดได้ และปลายชั้นก็ไม่สามารถบีอัดได้เช่นกัน หากบริเวณเสริมของการเรียงตัวเป็นชั้นนั้นไม่สามารถลดทอนได้ และหากไม่มีชั้นทรงกลม

ชั้นลามิเนตที่สำคัญเป็นการขยายแนวคิดของพื้นผิวที่ไม่สามารถบีอัดได้ซึ่งพบในแมนิโฟลด์ของฮาเคน

การแยกแบบ Heegaardคือการแยกส่วนของแมนิโฟลด์ 3 มิติแบบกะทัดรัดที่มีทิศทาง ซึ่งเกิดจากการแบ่งแมนิโฟลด์นั้นออกเป็นสองแฮนด์เดิลบอดี้

ระนาบสามมิติแบบปิดและ สามารถกำหนดทิศทางได้ทุกระนาบสามารถได้มาด้วยวิธีนี้ ซึ่งเป็นผลมาจากผลลัพธ์เชิงลึกเกี่ยวกับการสร้างรูปสามเหลี่ยมของระนาบสามมิติโดยMoiseสิ่งนี้แตกต่างอย่างมากกับระนาบสามมิติที่มีมิติสูงกว่าซึ่งไม่จำเป็นต้องมีโครงสร้างที่เรียบหรือเป็นเส้นตรงแบบเป็นช่วงๆ หากสมมติว่ามีความเรียบ การมีอยู่ของการแยกแบบ Heegaard ก็เป็นผลมาจากงานของSmaleเกี่ยวกับการแยกส่วนของแฮนด์เดิลจากทฤษฎีของ Morse ด้วย

โฟลิเอชันแบบตึง (Taut foliation)คือโฟลิเอชันที่มีมิติร่วม 1 ของแมนิโฟลด์ 3 มิติ ซึ่งมีคุณสมบัติว่ามีวงกลมตามขวางเพียงวงเดียวตัดกับทุกใบ โดยวงกลมตามขวางในที่นี้หมายถึงวงปิดที่ตั้งฉากกับสนามสัมผัสของโฟลิเอชันเสมอ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง จากผลลัพธ์ของเดนนิส ซัลลิแวนโฟลิเอชันที่มีมิติร่วม 1 จะตึงก็ต่อเมื่อมีเมตริกแบบรีมันน์ที่ทำให้แต่ละใบเป็นพื้นผิวขั้นต่ำสุด

ลักษณะการเรียงตัวของใบไม้ที่ตึงแน่นนั้น ได้รับความสนใจอย่างมากจากผลงานของวิลเลียม เธอร์สตันและเดวิด กาไบ

ผลลัพธ์บางอย่างถูกเรียกว่าเป็นข้อสันนิษฐานอันเนื่องมาจากหลักฐานทางประวัติศาสตร์

เราเริ่มต้นด้วยเรื่องทางโทโพโลยีล้วนๆ:

ใน โทโพโล ยีเชิงเรขาคณิตทฤษฎีบทของโมอิสซึ่งพิสูจน์โดยเอ็ดวิน อี. โมอิสกล่าวว่า แมนิโฟลด์ 3 มิติเชิงโทโพโลยีใดๆ ก็ตาม จะมีโครงสร้างเชิงเส้นแบบเป็นช่วงๆและโครงสร้างเรียบที่ไม่ซ้ำ กันโดย พื้นฐาน

ผลที่ตามมาคือ แมนิโฟลด์ 3 มิติขนาดกะทัดรัดทุกอันมีการแยกแบบฮีการ์ด

ทฤษฎีบทการแยกส่วนเฉพาะสำหรับ 3-แมนิโฟลด์ระบุว่า3-แมนิโฟลด์แบบกระชับและสามารถกำหนดทิศทางได้ ทุกอัน เป็น ผลรวมที่เชื่อมต่อกันของ ชุด 3-แมนิโฟลด์ เฉพาะที่ไม่ซ้ำกัน ( โดยไม่คำนึงถึงโฮมีโอเมอร์ฟิซึม )

แมนิโฟลด์จะเรียกว่าแมนิโฟลด์เฉพาะถ้าไม่สามารถแสดงเป็นผลรวมที่เชื่อมต่อกันของแมนิโฟลด์มากกว่าหนึ่งอัน โดยที่ไม่มีแมนิโฟลด์ใดเป็นทรงกลมที่มีมิติเดียวกัน

ทฤษฎีความจำกัดของ Kneser-Haken กล่าวว่า สำหรับแมนิโฟลด์ 3 มิติแบบกระชับแต่ละอัน จะมีค่าคงที่C อยู่ค่าหนึ่ง ซึ่งกลุ่มของพื้นผิวฝังตัวที่ไม่สามารถบีบอัดได้และไม่ทับซ้อนกันใดๆ ที่มีขนาดมากกว่าCจะต้องมีองค์ประกอบขนานกันอยู่ด้วย

ทฤษฎีบทวงวนเป็นการขยายความของเลมมาของเดห์นและควรเรียกว่า "ทฤษฎีบทดิสก์" มากกว่า คริสต อส ปาปาคีเรียโคปูลอส เป็นผู้พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้เป็นครั้งแรก ในปี 1956 พร้อมกับเลมมาของเดห์นและทฤษฎีบท ทรงกลม

ทฤษฎีบทลูปแบบง่ายและมีประโยชน์ระบุว่า ถ้ามีแผนที่

${\displaystyle f\colon (D^{2},\partial D^{2})\to (M,\partial M)\,}$

หากไม่ใช่ nullhomotopic ในนั้น จะมีการฝังตัวที่มีคุณสมบัติเดียวกัน ${\displaystyle f|\partial D^{2}}$${\displaystyle \partial M}$

ทฤษฎีบททรงกลมของPapakyriakopoulos  ( 1957 ) ให้เงื่อนไขสำหรับองค์ประกอบของกลุ่มโฮโมโทปีที่สองของแมนิโฟลด์ 3 มิติที่จะถูกแทนด้วยทรงกลมฝังตัว

ตัวอย่างหนึ่งคือดังต่อไปนี้:

ให้เป็นแมนิโฟลด์ 3 มิติที่สามารถกำหนดทิศทางได้ โดยที่ ไม่ใช่กลุ่มที่ไม่สำคัญ แล้วจะมีสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์ของ ที่ มีตัวแทนที่เป็นการฝังตัว ${\displaystyle M}$${\displaystyle \pi _{2}(M)}$${\displaystyle \pi _{2}(M)}$${\displaystyle S^{2}\to M}$

ทฤษฎีบทวงแหวนกล่าวว่า ถ้าเส้นโค้งปิดเชิงเดี่ยวที่ไม่ทับซ้อนกันสองเส้นบนขอบของแมนิโฟลด์สามมิติเป็นโฮโมโทปิกอิสระแล้ว เส้นโค้งทั้งสองนั้นจะล้อมรอบวงแหวนที่ฝังตัวอย่างเหมาะสม ทฤษฎีบทนี้ไม่ควรสับสนกับทฤษฎีบทมิติสูงที่มีชื่อเดียวกัน

ทฤษฎีบททอรัสมีดังนี้: ให้ M เป็นแมนิโฟลด์ 3 มิติแบบกระชับและไม่สามารถแยกย่อยได้ซึ่งมีขอบเขตที่ไม่ว่างเปล่า ถ้า M ยอมรับแผนที่สำคัญของทอรัสแล้ว M จะยอมรับการฝังสำคัญของทอรัสหรือวงแหวน^{[ 8 ]}

การแยกส่วนแบบ JSJหรือที่รู้จักกันในชื่อการแยกส่วนแบบทรอปิคอลเป็น โครงสร้าง ทางโทโพโลยีที่กำหนดโดยทฤษฎีบทต่อไปนี้:

3-แมนิโฟลด์แบบปิด (กล่าวคือ กะทัดรัดและไม่มีขอบเขต) ที่ไม่สามารถลด ทอนได้และ มีทิศทาง จะมีชุดขั้นต่ำที่ไม่ซ้ำกัน (จนถึงไอโซโทปี ) ของทอรัสที่ไม่สามารถบี อัดได้ซึ่ง ฝังอยู่ ภายใน โดยที่แต่ละส่วนประกอบของ 3-แมนิโฟลด์ที่ได้จากการตัดตามทอรัสจะเป็นแบบอะโทรอยด์หรือแบบไฟเบอร์ของไซเฟิร์ต

ตัวย่อ JSJ มาจากWilliam Jaco , Peter ShalenและKlaus Johannsonสองคนแรกทำงานร่วมกัน ส่วนคนที่สามทำงานอย่างอิสระ^{[ 9 ] [ 10 ]}

ทฤษฎีบทแกนกลางของ Scottเป็นทฤษฎีบทเกี่ยวกับการนำเสนอแบบจำกัดของกลุ่มพื้นฐานของ 3-manifold ซึ่งพัฒนาโดยG. Peter Scott [ ^{11 ] ข้อความ} ที่แม่นยำมีดังนี้:

กำหนดให้มี 3-แมนิโฟลด์ (ไม่จำเป็นต้องกระชับ ) ที่มี กลุ่มพื้นฐาน ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด จะมี ซับแมนิโฟลด์สามมิติที่กระชับเรียกว่าแกนกระชับหรือแกนสก็อตต์ซึ่งแผนที่การรวม ของมัน เหนี่ยวนำให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึมบนกลุ่มพื้นฐาน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หมายความว่ากลุ่ม 3-แมนิโฟลด์ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดนั้นสามารถ นำเสนอได้อย่างจำกัด

มีการให้การพิสูจน์แบบง่ายไว้ใน^{[ 12 ]}และมีการพิสูจน์ข้อความเอกลักษณ์ที่แข็งแกร่งกว่าไว้ใน^{[ 13 ]}

ทฤษฎีบทLickorish–Wallaceกล่าวว่า 3-manifold ที่ปิด สามารถกำหนดทิศทางได้ และเชื่อมต่อกันได้ใดๆ ก็ตามสามารถได้มาจากการทำการผ่าตัดแบบ Dehnบนลิงก์ที่มีกรอบใน ทรง กลม 3 มิติโดยใช้สัมประสิทธิ์การผ่าตัด นอกจากนี้ ยังสามารถสมมติได้ว่าแต่ละส่วนประกอบของลิงก์นั้นไม่มีปม ${\displaystyle \pm 1}$

ทฤษฎีบทของ ฟรีดเฮล์ม วัลด์เฮาเซนเกี่ยวกับความแข็งแกร่งเชิงทอพอโลยีกล่าวว่า แมนิโฟลด์ 3 มิติบางชนิด (เช่น แมนิโฟลด์ที่มีพื้นผิวที่ไม่สามารถบีบอัดได้) จะเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกัน หากมีไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่มพื้นฐานที่เคารพขอบเขต

วาลด์เฮาเซนตั้งข้อสันนิษฐานว่า แมนิโฟลด์ 3 มิติแบบปิดที่สามารถกำหนดทิศทางได้ทุกอัน จะมีการแยกแบบฮีการ์ด (Heegaard splitting) เพียงจำนวนจำกัด (โดยไม่คำนึงถึงโฮมีโอเมอร์ฟิซึม) สำหรับแต่ละจีนัสที่กำหนด

ข้อสันนิษฐานของสมิธ (ซึ่งได้รับการพิสูจน์แล้ว) ระบุว่า ถ้าfเป็นดิฟเฟโอโมฟิซึม ของทรง กลม 3 มิติที่มีอันดับจำกัดแล้วเซตจุดตรึงของfจะต้องไม่ใช่ปม ที่ไม่ใช่ปม ธรรมดา

ทฤษฎีบทการผ่าตัดแบบวัฏจักรกล่าวว่า สำหรับแมนิโฟลด์สามมิติแบบกะทัดรัดเชื่อม ต่อ ได้กำหนดทิศทางได้และลดทอนไม่ได้Mซึ่งมีขอบเขตเป็นทอรัสTถ้าMไม่ใช่ปริภูมิที่มีไฟเบอร์แบบ Seifertและr, sเป็นความชันบนTโดยที่การเติมแบบ Dehn ของพวกมัน มีกลุ่มพื้นฐานแบบวัฏจักรแล้ว ระยะห่างระหว่างrและs (จำนวนครั้งขั้นต่ำที่เส้นโค้งปิดแบบง่ายสองเส้นในTที่แทนrและsต้องตัดกัน) จะมีค่าไม่เกิน 1 ดังนั้นจึงมีการเติมแบบ Dehn ของMที่มีกลุ่มพื้นฐานแบบวัฏจักร อย่างมากที่สุดสามแบบ

ทฤษฎีบทการผ่าตัด Dehn แบบไฮเปอร์โบลิกของ Thurstonกล่าวว่า: เป็นแบบไฮเปอร์โบลิก ตราบใดที่หลีกเลี่ยง เซตจำกัดของ ความชันที่ผิดปกติ สำหรับจุดยอดแหลม ที่ iสำหรับแต่ละiนอกจากนี้ยังลู่เข้าสู่MในHเมื่อทั้งหมดสำหรับทุกค่าที่สอดคล้องกับการเติม Dehn ที่ไม่ว่างเปล่า ${\displaystyle M(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})}$${\displaystyle E_{i}}$${\displaystyle M(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})}$${\displaystyle p_{i}^{2}+q_{i}^{2}\rightarrow \infty }$${\displaystyle p_{i}/q_{i}}$${\displaystyle u_{i}}$

ทฤษฎีบทนี้เป็นผลงานของวิลเลียม เธอร์สตันและเป็นพื้นฐานสำคัญของทฤษฎีไฮเปอร์โบลิก 3 มิติ มันแสดงให้เห็นว่าลิมิตที่ไม่เป็นศูนย์มีอยู่จริงในHการศึกษาทางด้านโทโพโลยีเชิงเรขาคณิตของโทรเอลส์ จอร์เกนเซน ยังแสดงให้เห็นเพิ่มเติมว่าลิมิตที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมดเกิดขึ้นจากการเติมแบบเดห์น (Dehn filling) ดังเช่นในทฤษฎีบทนี้

ผลลัพธ์สำคัญอีกประการหนึ่งของเธอร์สตันคือปริมาตรลดลงภายใต้การเติมเดห์นแบบไฮเปอร์โบลิก อันที่จริง ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่าปริมาตรลดลงภายใต้การเติมเดห์นเชิงทอพอโลยี โดยสมมติว่าแมนิโฟลด์ที่เติมเดห์นนั้นเป็นแบบไฮเปอร์โบลิก การพิสูจน์อาศัยคุณสมบัติพื้นฐานของนอร์มโกรโมฟ

นอกจากนี้ Jørgensen ยังแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันปริมาตรบนปริภูมินี้เป็น ฟังก์ชัน ต่อเนื่องและเหมาะสมดังนั้นจากผลลัพธ์ก่อนหน้านี้ ขีดจำกัดที่ไม่เป็นศูนย์ในHจึงนำไปสู่ขีดจำกัดที่ไม่เป็นศูนย์ในเซตของปริมาตร อันที่จริง เราสามารถสรุปได้เพิ่มเติมเช่นเดียวกับที่ Thurston สรุปไว้ว่า เซตของปริมาตรของ 3-manifold ไฮเปอร์โบลิกปริมาตรจำกัดมีประเภทเชิงอันดับ ผลลัพธ์นี้เป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบท Thurston-Jørgensenงานเพิ่มเติมในการกำหนดลักษณะของเซตนี้ได้ดำเนินการโดย Gromov${\displaystyle \omega ^{\omega }}$

นอกจากนี้ Gabai, Meyerhoff และ Milley ยังแสดงให้เห็นว่าWeeks manifoldมีปริมาตรน้อยที่สุดในบรรดา 3-manifold ไฮเปอร์โบลิกแบบปิดที่สามารถกำหนดทิศทางได้

ทฤษฎีบทการสร้างรูปทรงเรขาคณิตของเธอร์สตันรูปแบบหนึ่งกล่าวว่า: ถ้าMเป็นแมนิโฟลด์ฮาเคนแบบอะโทรอยด์ที่ไม่สามารถลดทอนได้และกะทัดรัด ซึ่งขอบเขตมีลักษณะเฉพาะของออยเลอร์เป็นศูนย์แล้ว ภายในของMจะมีโครงสร้างไฮเปอร์โบลิกที่สมบูรณ์ซึ่งมีปริมาตรจำกัด

ทฤษฎีบทความแข็งแกร่งของโมสโตว์บ่งชี้ว่า หากแมนิโฟลด์ที่มีมิติอย่างน้อย 3 มีโครงสร้างไฮเปอร์โบลิกที่มีปริมาตรจำกัดแล้ว แมนิโฟลด์นั้นจะมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวโดยพื้นฐาน

เงื่อนไขที่ว่าแมนิโฟลด์Mต้องเป็นแบบไม่สามารถลดทอนได้และเป็นอะโทรอยดัลนั้นมีความจำเป็น เนื่องจากแมนิโฟลด์ไฮเปอร์โบลิกมีคุณสมบัติเหล่านี้ อย่างไรก็ตาม เงื่อนไขที่ว่าแมนิโฟลด์ต้องเป็นฮาเคนนั้นเข้มงวดเกินไปโดยไม่จำเป็น ข้อสันนิษฐานเรื่องไฮเปอร์โบไลเซชันของเธอร์สตันกล่าวว่า แมนิโฟลด์ 3 มิติแบบอะโทรอยดัลที่ปิดและไม่สามารถลดทอนได้ซึ่งมีกลุ่มพื้นฐานอนันต์นั้นเป็นไฮเปอร์โบลิก และสิ่งนี้เป็นผลมาจากการพิสูจน์ข้อสันนิษฐานเรื่องเรขาคณิตของเธอร์สตันโดยเพอร์แมนน์

ทฤษฎีบทความอ่อนน้อมกล่าวว่าแมนิโฟลด์ไฮเปอร์โบลิก 3 มิติที่ สมบูรณ์ทุกอันที่มี กลุ่มพื้นฐานที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดนั้นมีความอ่อนน้อมทางโท โพโลยี กล่าวอีกนัยหนึ่งคือมีลักษณะสมมาตรกับส่วนภายในของแมนิโฟลด์ 3 มิติ แบบกะทัดรัด

ทฤษฎีความอ่อนน้อม (Tameness Theorem) ถูกตั้งสมมติฐานโดยมาร์เดน (Marden) ได้รับการพิสูจน์โดยอากอล (Agol) และโดยแดนนี่ คาเลการี (Danny Calegari)และเดวิด กาไบ (David Gabai ) อย่างอิสระ มันเป็นหนึ่งในคุณสมบัติพื้นฐานของไฮเปอร์โบลิก 3 มิติอนันต์ทางเรขาคณิต (geometrically infinite hyperbolic 3-manifolds) ร่วมกับทฤษฎีความหนาแน่นสำหรับกลุ่มไคลเนียน (Density Theorem for Kleinian groups)และทฤษฎีการเรียงชั้นสุดท้าย (Ending Lamination Theorem ) นอกจากนี้ยังบ่งชี้ถึงสมมติฐาน การวัดของอัลฟ อร์ส (Ahlfors measure conjecture ) ด้วย

ทฤษฎีบทการเรียงชั้นสุดท้ายซึ่งเดิมทีเป็นข้อสันนิษฐานโดยวิลเลียม เธอร์สตัน และต่อมาได้รับการพิสูจน์โดยเจฟฟรีย์ บร็อกริชาร์ด คานารีและยาอีร์ มินสกี กล่าวว่าแมนิโฟลด์ 3 มิติแบบไฮเปอร์โบลิกที่มีกลุ่มพื้นฐานที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด นั้น ถูกกำหนดโดยโทโพโลยีของมันร่วมกับ "ตัวแปรคงที่ปลายทาง" บางอย่าง ซึ่งเป็นการเรียงชั้น แบบจีโอเด สิกบนพื้นผิวบางส่วนในขอบเขตของแมนิโฟลด์

ทรงกลม 3 มิติเป็นแมนิโฟลด์ 3 มิติที่สำคัญเป็นพิเศษเนื่องจากทฤษฎีบทคาดการณ์ของปวงกาเร ที่ได้รับการพิสูจน์แล้ว ทฤษฎีบทนี้ ซึ่งเดิมทีตั้งโดยอองรี ปวงกาเรเกี่ยวข้องกับปริภูมิที่ดูเหมือนปริภูมิสามมิติธรรมดาในระดับท้องถิ่น แต่เป็นปริภูมิที่เชื่อมต่อกัน มีขนาดจำกัด และไม่มีขอบเขต (แมนิ โฟลด์ 3 มิติ แบบปิด ) ทฤษฎีบทคาดการณ์ของปวงกาเรกล่าวว่า หากปริภูมิดังกล่าวมีคุณสมบัติเพิ่มเติมที่ว่าแต่ละวงในปริภูมิสามารถกระชับไปสู่จุดได้อย่างต่อเนื่องแล้ว ปริภูมินั้นจะต้องจะเป็นทรงกลมสามมิติผลลัพธ์ที่คล้ายคลึงกันนี้เป็นที่รู้จักกันในมิติที่สูงกว่ามานานแล้ว

หลังจากนักคณิตศาสตร์ใช้เวลากว่าศตวรรษในการพยายามพิสูจน์ ในที่สุดGrigori Perelmanก็ได้นำเสนอหลักฐานพิสูจน์ข้อสันนิษฐานดังกล่าวในบทความสามฉบับที่เผยแพร่ในarXiv ในปี 2002 และ 2003 หลักฐานพิสูจน์นี้สืบเนื่องมาจากโครงการของRichard S. Hamiltonที่ใช้Ricci flowในการแก้ปัญหา Perelman ได้แนะนำการดัดแปลง Ricci flow มาตรฐาน เรียกว่าRicci flow with surgeryเพื่อตัดส่วนที่ผิดปกติออกอย่างเป็นระบบในขณะที่มันพัฒนาขึ้นอย่างมีระเบียบ หลายทีมของนักคณิตศาสตร์ได้ตรวจสอบแล้วว่าหลักฐานพิสูจน์ของ Perelman นั้นถูกต้อง

ทฤษฎีบทการสร้างรูปทรงเรขาคณิตของเธอร์สตัน กล่าวว่า พื้นที่ทางทอพอโลยีสามมิติบางประเภทจะมีโครงสร้างทางเรขาคณิตเฉพาะตัวที่สามารถเชื่อมโยงกับพื้นที่เหล่านั้นได้ นี่เป็นสิ่งที่คล้ายคลึงกับทฤษฎีบทการทำให้ เป็นเอกภาพสำหรับ พื้นผิวสองมิติซึ่งกล่าวว่าพื้นผิวรีมันน์ที่เชื่อมต่อกันอย่างง่าย ทุก พื้นผิวสามารถกำหนดรูปทรงเรขาคณิตได้หนึ่งในสามแบบ ( แบบยุคลิดแบบทรงกลมหรือแบบไฮเปอร์โบลิก ) ในสามมิติ การกำหนดรูปทรงเรขาคณิตเพียงแบบเดียวให้กับพื้นที่ทางทอพอโลยีทั้งหมดนั้นไม่ใช่เรื่องง่ายเสมอไป ดังนั้น ทฤษฎีบทการสร้างรูปทรงเรขาคณิตจึงกล่าวว่า แมนิโฟลด์ 3 มิติแบบปิดทุกอันสามารถแยกย่อยได้ในลักษณะมาตรฐานออกเป็นชิ้นส่วนต่างๆ ซึ่งแต่ละชิ้นส่วนจะมีโครงสร้างทางเรขาคณิตหนึ่งในแปดประเภท ทฤษฎีบทนี้เสนอโดยวิลเลียมเธอร์สตัน (1982)และนำไปสู่ทฤษฎีบทอื่นๆ อีกหลายข้อ เช่นทฤษฎีบทปวงกา เร และ ทฤษฎีบทการทำให้เป็นวงรีของ เธอร์สตัน

ทฤษฎีบทไฮเปอร์โบไลเซชันของเธอร์สตัน บ่งชี้ว่าแมนิโฟลด์ของฮาเคนสอดคล้องกับข้อสันนิษฐานเรื่องเรขาคณิต เธอร์สตันประกาศการพิสูจน์ในทศวรรษ 1980 และตั้งแต่นั้นมาก็มีการพิสูจน์ที่สมบูรณ์หลายฉบับตีพิมพ์ออกมา

ในปี 2003 Grigori Perelmanได้ร่างบทพิสูจน์ของข้อสันนิษฐานเรื่องการสร้างรูปทรงเรขาคณิตอย่างสมบูรณ์โดยใช้การไหลของ Ricciร่วมกับการผ่าตัดปัจจุบันมีเอกสารหลายฉบับ (ดูด้านล่าง) ที่มีรายละเอียดของบทพิสูจน์ดังกล่าว ข้อสันนิษฐานของ Poincaré และข้อสันนิษฐานเรื่องรูปแบบทรงกลมในอวกาศเป็นผลลัพธ์ที่ได้จากข้อสันนิษฐานเรื่องการสร้างรูปทรงเรขาคณิต แม้ว่าจะมีบทพิสูจน์ที่สั้นกว่าของข้อสันนิษฐานของ Poincaré ซึ่งไม่ได้นำไปสู่ข้อสันนิษฐานเรื่องการสร้างรูปทรงเรขาคณิตก็ตาม

ข้อ สันนิษฐาน เรื่องเส้นใยเสมือน (virtually fibered conjecture ) ซึ่งคิดค้นโดยวิลเลียม เธอร์สตันนักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน ระบุว่าแมนิโฟลด์ 3 มิติแบบอะโทรอยดัลปิดทุก ตัว ที่ไม่สามารถลดทอนได้และ มี กลุ่มพื้นฐาน อนันต์ จะมีกลุ่ม ปกคลุมจำกัดซึ่งเป็นมัดพื้นผิวเหนือวงกลม

สมมติฐานฮาเคนเสมือน (Virtually Haken Conjecture)กล่าวว่าแมนิโฟลด์สามมิติแบบกระชับ (Compact ) , ที่สามารถกำหนดทิศทางได้ ( Orientable) , และลดทอนไม่ได้ (Irreducible ) ทุกตัวที่มี กลุ่มพื้นฐานอนันต์ (Infinite Fundamental Group ) นั้น เป็น แมนิโฟลด์ ฮาเคน เสมือน กล่าวคือ แมนิโฟลด์นั้น มีปริภูมิปกคลุมจำกัด ( ปริภูมิปกคลุมที่มีแผนที่ปกคลุมแบบจำกัดต่อหนึ่ง) ที่เป็นแมนิโฟลด์ฮาเคน

ในโพสต์บน ArXiv เมื่อวันที่ 25 ส.ค. 2552 ^{[ 14 ]} Daniel Wiseได้บอกเป็นนัย (โดยอ้างถึงต้นฉบับที่ยาวกว่าซึ่งยังไม่ได้ตีพิมพ์ในขณะนั้น) ว่าเขาได้พิสูจน์สมมติฐาน Virtually fibered สำหรับกรณีที่ 3-manifold ปิด ไฮเปอร์โบลิก และ Haken แล้ว ตามมาด้วยบทความสำรวจใน Electronic Research Announcements in Mathematical Sciences ^{[ 15 ]} มี เอกสารก่อนตีพิมพ์อีกหลายฉบับ^{[ 16 ]}ตามมา รวมถึงต้นฉบับที่ยาวกว่าที่กล่าวถึงข้างต้นโดย Wise ^{[ 17 ]}ในเดือนมีนาคม 2555 ระหว่างการประชุมที่Institut Henri PoincaréในปารีสIan Agolประกาศว่าเขาสามารถพิสูจน์สมมติฐานvirtually Hakenสำหรับ 3-manifold ไฮเปอร์โบลิกปิดได้^{[ 18 ]}การพิสูจน์สร้างขึ้นจากผลลัพธ์ของ Kahn และ Markovic ^{[ 19 ] [ 20 ]}ในการพิสูจน์สมมติฐานกลุ่มย่อยพื้นผิวและผลลัพธ์ของ Wise ในการพิสูจน์ทฤษฎีบท Malnormal Special Quotient ^{[ 17 ]}และผลลัพธ์ของ Bergeron และ Wise สำหรับการสร้างลูกบาศก์ของกลุ่ม^{[ 14 ]}เมื่อรวมกับผลลัพธ์ของ Wise แล้ว สิ่งนี้บ่งชี้ถึงสมมติฐานที่มีเส้นใยเสมือนสำหรับ 3-manifold ไฮเปอร์โบลิกปิดทั้งหมด

ถ้าเป็นแผนที่ของพื้นผิวปิดที่เชื่อมต่อกัน โดยที่ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งแล้ว จะมีเส้นโค้งปิดเชิงเดี่ยวที่ไม่สามารถหดตัวได้โดยที่เป็นเส้นโค้งที่ไม่มีนัยสำคัญในเชิงโฮโมโทปี ข้อสันนิษฐานนี้ได้รับการพิสูจน์โดยเดวิด กาไบ ${\displaystyle f\colon S\rightarrow T}$${\displaystyle f_{\star }\colon \pi _{1}(S)\rightarrow \pi _{1}(T)}$${\displaystyle \alpha \subset S}$${\displaystyle f|_{a}}$

ข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับกลุ่มย่อยของพื้นผิวของFriedhelm Waldhausenระบุว่ากลุ่มพื้นฐานของทุก 3-manifold ปิดที่ไม่สามารถลดทอนได้ซึ่งมีกลุ่มพื้นฐาน อนันต์ จะมีกลุ่มย่อยของพื้นผิว โดย "กลุ่มย่อยของพื้นผิว" ในที่นี้หมายถึงกลุ่มพื้นฐานของพื้นผิวปิด ไม่ใช่ทรงกลม 2 มิติ ปัญหานี้ถูกระบุไว้เป็นปัญหาที่ 3.75 ในรายการปัญหาของ Kirby ^{[ 21 ]}

หากสมมติว่าสมมติฐานเรื่องการสร้างรูปทรงเรขาคณิตเป็นจริง กรณีเดียวที่ยังเปิดอยู่คือกรณีของ3 มิติไฮเปอร์โบลิก แบบปิด Jeremy KahnและVladimir Markovicได้ประกาศการพิสูจน์กรณีนี้ในช่วงฤดูร้อนปี 2009 และได้สรุปไว้ในงานบรรยายเมื่อวันที่ 4 สิงหาคม 2009 ในการประชุม FRG (Focused Research Group) ที่มหาวิทยาลัยยูทาห์เป็นเจ้าภาพ เอกสารฉบับร่างปรากฏบน arxiv ในเดือนตุลาคม 2009 ^{[ 22 ]}บทความของพวกเขาได้รับการตีพิมพ์ในAnnals of Mathematicsในปี 2012 ^{[ 23 ]} ในเดือนมิถุนายน 2012 Kahn และ Markovic ได้รับรางวัล Clay Research AwardsจากClay Mathematics Instituteในพิธีที่ ออกซ์ฟอ ร์ด^{[ 24 ]}

ข้อสันนิษฐานเรื่องสายเคเบิลระบุว่า หากการผ่าตัดแบบ Dehn บนปมในทรงกลม 3 มิติ ให้ผลลัพธ์เป็นแมนิโฟลด์ 3 มิติที่ลดรูปได้ ปมนั้นจะเป็นสายเคเบิลบนปมอื่น และการผ่าตัดจะต้องดำเนินการโดยใช้ความชัน ${\displaystyle (p,q)}$${\displaystyle pq}$

• Hempel, John (2004), 3-manifolds , Providence, RI: American Mathematical Society , doi : 10.1090/chel/349 , ISBN 0-8218-3695-1, MR  2098385
• Jaco, William H. (1980), Lectures on three-manifold topology , Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1693-4, MR  0565450
• Rolfsen, Dale (1976), ปมและการเชื่อมโยง , พรอวิเดนซ์, โรดไอส์แลนด์: สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน, ISBN 0-914098-16-0, MR  1277811
• Thurston, William P. (1997), เรขาคณิตและโทโพโลยีสามมิติ , Princeton, NJ: Princeton University Press , ISBN 0-691-08304-5, MR  1435975
• อดัมส์, โคลิน คอนราด (2004), หนังสือปม. บทนำเบื้องต้นเกี่ยวกับทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของปม พิมพ์ซ้ำฉบับปรับปรุงจากฉบับดั้งเดิมปี 1994 , พรอวิเดนซ์, โรดไอส์แลนด์: สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน, หน้า xiv+307, ISBN 0-8050-7380-9, MR  2079925
• Bing, RH (1983), The Geometric Topology of 3-Manifolds , Colloquium Publications, vol. 40, Providence, RI: American Mathematical Society, pp. x+238, ISBN 0-8218-1040-5, MR  0928227
• Thurston, William P. (1982). "แมนิโฟลด์สามมิติ กลุ่มไคลเนียน และเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก"วารสารของสมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน 6 ( 3): 357– 382. doi : 10.1090/s0273-0979-1982-15003-0 . ISSN  0273-0979 .
• Papakyriakopoulos, Christos D. (15 มกราคม 1957). "เกี่ยวกับเลมมาของ Dehn และความไม่เป็นทรงกลมของปม" . วารสาร Proceedings of the National Academy of Sciences . 43 (1): 169– 172. Bibcode : 1957PNAS...43..169P . doi : 10.1073/pnas.43.1.169 . ISSN  0027-8424 . PMC  528404 . PMID  16589993 .
• "Topologische Fragen der Differentialgeometrie 43. Gewebe und Gruppen [31–32h]", Gesammelte Abhandlungen / Collected Papers , DE GRUYTER, 2005, ดอย : 10.1515/9783110894516.239 , ISBN 978-3-11-089451-6

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับ3-แมนิโฟลด์

• Hatcher, Allen, บันทึกเกี่ยวกับโทโพโลยีพื้นฐานของ 3-manifold , มหาวิทยาลัยคอร์เนล
• สตริคแลนด์, นีล, สารานุกรมสัตว์แห่งวัตถุเชิงทอพอโลยี