ในทางคณิตศาสตร์ คำว่า "เวกเตอร์" ใช้สำหรับองค์ประกอบของปริภูมิเวกเตอร์ใดๆ อย่างไรก็ตาม ในทางฟิสิกส์ คำว่า "เวกเตอร์" มักจะหมายถึงปริมาณต่างๆ เช่นการกระจัดหรือความเร็วซึ่งมีส่วนประกอบที่เกี่ยวข้องโดยตรงกับมิติทั้งสามของปริภูมิหรือในเชิงสัมพัทธภาพกับมิติทั้งสี่ของปริภูมิเวลาเวกเตอร์ดังกล่าวโดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์ลูกศรชี้ขึ้นด้านบน (${\displaystyle {\vec {r}}}$), ตัวหนา (${\displaystyle \mathbf {p} }$) หรือดัชนี (${\displaystyle v^{\mu }}$)

ในกลศาสตร์ควอนตัม สถานะควอนตัมมักถูกแทนด้วยองค์ประกอบของปริภูมิฮิลเบิร์ต เชิงซ้อน ตัวอย่างเช่น ปริภูมิเวกเตอร์มิติอนันต์ของฟังก์ชันคลื่น ที่เป็นไปได้ทั้งหมด (ฟังก์ชันที่หาปริพันธ์กำลังสองได้ ซึ่งแมปแต่ละจุดในปริภูมิ 3 มิติไปยังจำนวนเชิงซ้อน) หรือปริภูมิฮิลเบิร์ตเชิงนามธรรมที่สร้างขึ้นโดยใช้พีชคณิตมากกว่า เพื่อแยกแยะเวกเตอร์ประเภทนี้ออกจากเวกเตอร์ที่อธิบายไว้ข้างต้น ในทางฟิสิกส์จึงนิยมและมีประโยชน์ที่จะใช้สัญลักษณ์แทนองค์ประกอบ${\displaystyle \phi }$ของปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนนามธรรมในฐานะเกต${\displaystyle |\phi \rangle }$เพื่อเรียกมันว่า "ket" แทนที่จะเป็น "vector" และเพื่อออกเสียงว่า "ket-"${\displaystyle \phi }$หรือ "ket-A" สำหรับ| A ⟩

สัญลักษณ์ ตัวอักษร ตัวเลข หรือแม้แต่คำ—อะไรก็ตามที่สามารถใช้เป็นป้ายกำกับได้สะดวก—สามารถนำมาใช้เป็นป้ายกำกับภายในตะกร้าได้ โดยมี${\displaystyle |\ \rangle }$ทำให้ชัดเจนว่าป้ายกำกับนั้นบ่งชี้ถึงเวกเตอร์ในปริภูมิเวกเตอร์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง สัญลักษณ์ " | A ⟩ " มีความหมายทางคณิตศาสตร์ที่สามารถรับรู้ได้เกี่ยวกับชนิดของตัวแปรที่ถูกแทน ในขณะที่ " A " เพียงอย่างเดียวไม่มีความหมาย ตัวอย่างเช่น| 1 ⟩ + | 2 ⟩ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ| 3 ⟩อย่างไรก็ตาม เพื่อความสะดวก มักจะมีโครงร่างเชิงตรรกะบางอย่างอยู่เบื้องหลังป้ายกำกับภายในเค็ต เช่น การปฏิบัติทั่วไปในการติดป้ายกำกับพลังงานไอเกนเค็ตในกลศาสตร์ควอนตัมโดยการแสดงรายการเลขควอนตัม ของพวกมัน ในรูปแบบที่ง่ายที่สุด ป้ายกำกับภายในเค็ตคือค่าไอเกนของตัวดำเนินการทางฟิสิกส์ เช่น${\displaystyle {\hat {x}}}$,${\displaystyle {\hat {p}}}$,${\displaystyle {\หมวก {L}__{z}}$เป็นต้น

เนื่องจากเค็ตเป็นเพียงเวกเตอร์ในปริภูมิเวกเตอร์เฮอร์มิเชียน จึงสามารถจัดการได้โดยใช้กฎทั่วไปของพีชคณิตเชิงเส้น ตัวอย่างเช่น:

${\displaystyle {\begin{aligned}|A\rangle &=|B\rangle +|C\rangle \\|C\rangle &=(-1+2i)|D\rangle \\|D\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}|x\rangle \,\mathrm {d} x\,.\end{aligned}}}$

โปรดสังเกตว่าบรรทัดสุดท้ายข้างต้นเกี่ยวข้องกับ ket ที่แตกต่างกันจำนวนอนันต์ โดยแต่ละ ket แทนจำนวนจริงx แต่ละ ตัว

เนื่องจาก ket เป็นสมาชิกของปริมาณเวกเตอร์ ดังนั้นbra จึงเป็นเช่นนั้น${\displaystyle \langle A|}$เป็นองค์ประกอบของปริภูมิคู่ ของมัน กล่าวคือ บรา (bra) เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น ซึ่งเป็นแผนที่เชิงเส้นจากปริภูมิเวกเตอร์ไปยังจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้น จึงเป็นประโยชน์ที่จะคิดว่าเค็ต (kets) และบรา (bras) เป็นองค์ประกอบของปริภูมิเวกเตอร์ที่แตกต่างกัน (อย่างไรก็ตาม โปรดดูด้านล่าง) โดยทั้งสองเป็นแนวคิดที่มีประโยชน์แตกต่างกัน

บรา${\displaystyle \langle \phi |}$และคีท${\displaystyle |\psi \rangle }$(เช่น ฟังก์ชันและเวกเตอร์) สามารถนำมารวมกันเป็นตัวดำเนินการได้${\displaystyle |\psi \rangle \langle \phi |}$ของอันดับหนึ่งที่มีผลิตภัณฑ์ภายนอก

${\displaystyle |\psi \rangle \langle \phi |\colon |\xi \rangle \mapsto |\psi \rangle \langle \phi |\xi \rangle ~.}$

สัญกรณ์ Bra–ket มีประโยชน์อย่างยิ่งในปริภูมิฮิลเบิร์ตซึ่งมีผลคูณภายใน^{[ 5 ]}ที่อนุญาตให้มีการสังยุคแบบเฮอร์มิเชียนและการระบุเวกเตอร์ด้วยฟังก์ชันเชิงเส้นต่อเนื่อง กล่าวคือ ket กับ bra และในทางกลับกัน (ดูทฤษฎีบทการแสดงแทนของ Riesz ) ผลคูณภายในในปริภูมิฮิลเบิร์ต${\displaystyle (\ ,\ )}$(โดยที่อาร์กิวเมนต์แรกเป็นแบบต่อต้านเชิงเส้นตามที่นักฟิสิกส์นิยม) นั้นเทียบเท่าอย่างสมบูรณ์กับการระบุ (แบบต่อต้านเชิงเส้น) ระหว่างปริภูมิของเค็ตและปริภูมิของบราในสัญกรณ์บรา-เค็ต: สำหรับเวกเตอร์เค็ต${\displaystyle \psi =|\psi \rangle }$กำหนดฟังก์ชันการใช้งาน (เช่น บรา)${\displaystyle f_{\phi }=\langle \phi |}$โดย

${\displaystyle (\phi ,\psi )=(|\phi \rangle ,|\psi \rangle )=:f_{\phi }(\psi )=\langle \phi |\,{\bigl (}|\psi \rangle {\bigr )}=:\langle \phi {\mid }\psi \rangle }$

สามารถใช้สัญกรณ์ Bra–ket ได้แม้ว่าปริภูมิเวกเตอร์จะไม่ใช่ปริภูมิฮิลเบิร์ตก็ตาม

ในกลศาสตร์ควอนตัม เป็นเรื่องปกติที่จะเขียนสัญลักษณ์ ket ที่มีนอร์ม เป็นอนันต์ กล่าว คือฟังก์ชันคลื่นที่ไม่สามารถทำให้เป็นนอร์มัลได้ตัวอย่างเช่น สถานะที่มีฟังก์ชันคลื่นเป็นฟังก์ชันเดลตาของ Diracหรือคลื่น ระนาบอนันต์ สถานะเหล่านี้โดยทางเทคนิคแล้วไม่ได้อยู่ในปริภูมิฮิลเบิร์ตโดยตรง อย่างไรก็ตาม นิยามของ "ปริภูมิฮิลเบิร์ต" สามารถขยายให้ครอบคลุมสถานะเหล่านี้ได้ (ดูการสร้าง Gelfand–Naimark–Segalหรือปริภูมิฮิลเบิร์ตแบบปรับแต่ง ) สัญลักษณ์ Bra–ket ยังคงทำงานในลักษณะเดียวกันในบริบททั่วไปนี้

ปริภูมิบานาคเป็นการขยายความอีกแบบหนึ่งของปริภูมิฮิลเบิร์ต ในปริภูมิบานาคBเวกเตอร์อาจถูกแทนด้วยสัญลักษณ์เค็ต และฟังก์ชันเชิงเส้น ต่อเนื่องอาจ ถูกแทนด้วยสัญลักษณ์บรา ในปริภูมิเวกเตอร์ใดๆ ที่ไม่มีโทโพโลยี ที่กำหนด เรายังคงสามารถแทนเวกเตอร์ด้วยสัญลักษณ์เค็ต และฟังก์ชันเชิงเส้นด้วยสัญลักษณ์บราได้ ในบริบททั่วไปเหล่านี้ วงเล็บเหลี่ยมไม่ได้มีความหมายเหมือนผลคูณภายใน เพราะทฤษฎีบทการแทนของรีซไม่สามารถนำมาใช้ได้

ส่วนประกอบแยกย่อยA ของเวกเตอร์เชิงซ้อน| A ⟩ = Σ A | e ⟩ .

ส่วนประกอบต่อเนื่องψ ( x )ของเวกเตอร์เชิงซ้อน| ψ ⟩ = ∫ d x ψ ( x ) | x ⟩ .

ส่วนประกอบของเวกเตอร์เชิงซ้อนที่แสดงในกราฟเทียบกับเลขดัชนี โดยk เป็นค่าไม่ต่อเนื่อง และx เป็นค่าต่อเนื่อง มีการเน้นส่วนประกอบสองส่วนที่เฉพาะเจาะจงจากจำนวนอนันต์ที่มีอยู่

ปริภูมิฮิลเบิร์ตของ อนุภาคจุด สปิน -0 สามารถแสดงได้ในรูปของ " ฐาน ตำแหน่ง " { | r ⟩ }โดยที่ป้ายกำกับrครอบคลุมเซตของจุดทั้งหมดในปริภูมิตำแหน่งสถานะเหล่านี้สอดคล้องกับสมการค่าลักษณะเฉพาะสำหรับตัวดำเนินการตำแหน่ง : $${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}|\mathbf {r} \rangle =\mathbf {r} |\mathbf {r} \rangle .}$$ สถานะตำแหน่งคือ " เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไป " ไม่ใช่องค์ประกอบของปริภูมิฮิลเบิร์ตเอง และไม่ก่อให้เกิดฐานเชิงตั้งฉากที่นับได้ อย่างไรก็ตาม เนื่องจากปริภูมิฮิลเบิร์ตสามารถแยกได้ จึงยอมรับเซตย่อยหนาแน่นที่นับได้ภายในโดเมนของการนิยามฟังก์ชันคลื่น นั่นคือ เริ่มต้นจาก ket | Ψ ⟩ ใดๆ ในปริภูมิฮิลเบิร์ตนี้ เราสามารถกำหนดฟังก์ชันสเกลาร์เชิงซ้อนของrซึ่งเรียกว่าฟังก์ชัน คลื่น ได้$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \langle \mathbf {r} |\Psi \rangle \,.}$$

ทางด้านซ้ายมือΨ( r )คือฟังก์ชันที่แปลงจุดใดๆ ในอวกาศไปเป็นจำนวนเชิงซ้อน ทางด้านขวามือ $${\displaystyle \left|\Psi \right\rangle =\int d^{3}\mathbf {r} \,\Psi (\mathbf {r} )\left|\mathbf {r} \right\rangle }$$ คือ ket ที่ประกอบด้วยการซ้อนทับของ ket ต่างๆ โดยมีสัมประสิทธิ์สัมพันธ์ที่ระบุโดยฟังก์ชันนั้น

ตามธรรมเนียมแล้ว จึงมักกำหนดนิยามของตัวดำเนินการเชิงเส้นที่กระทำต่อฟังก์ชันคลื่นโดยใช้ตัวดำเนินการเชิงเส้นที่กระทำต่อเค็ต โดย $${\displaystyle {\hat {A}}(\mathbf {r} )~\Psi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \langle \mathbf {r} |{\hat {A}}|\Psi \rangle \,.}$$

ตัวอย่างเช่นตัวดำเนินการโมเมนตัม${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}}$มีการแสดงพิกัดดังต่อไปนี้ $${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}(\mathbf {r} )~\Psi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \langle \mathbf {r} |{\hat {\mathbf {p} }}|\Psi \rangle =-i\hbar \nabla \Psi (\mathbf {r} )\,.}$$

บางครั้งเราอาจได้ยินสำนวนเช่นนี้บ้าง${\displaystyle \nabla |\Psi \rangle }$แม้ว่านี่จะเป็นการใช้สัญลักษณ์ที่ไม่ถูกต้องนักก็ตามตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์จะต้องเข้าใจว่าเป็นตัวดำเนินการเชิงนามธรรมที่กระทำกับเค็ต ซึ่งมีผลในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันคลื่นเมื่อนิพจน์ถูกฉายลงบนฐานตำแหน่ง${\displaystyle \nabla \langle \mathbf {r} |\Psi \rangle \,,}$ แม้ว่าในฐานโมเมนตัม ตัวดำเนินการนี้จะเทียบเท่ากับตัวดำเนินการคูณธรรมดา (โดยiħ p ) ก็ตาม กล่าวคือ $${\displaystyle \langle \mathbf {r} |{\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla \langle \mathbf {r} |~,}$$ หรือ $${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}=\int d^{3}\mathbf {r} ~|\mathbf {r} \rangle (-i\hbar \nabla )\langle \mathbf {r} |~.}$$

ในกลศาสตร์ควอนตัม นิพจน์⟨ φ | ψ ⟩มักถูกตีความว่าเป็นแอมพลิจูดความน่าจะเป็นที่สถานะψจะยุบตัวลงเป็นสถานะφในทางคณิตศาสตร์ หมายความว่าเป็นสัมประสิทธิ์สำหรับการฉายภาพของψ ไปยังφนอกจากนี้ยังสามารถอธิบายได้ว่าเป็นการฉายภาพของสถานะψไปยังสถานะφ

อนุภาค สปิน1/2 ที่อยู่นิ่งจะมีปริภูมิฮิลเบิร์ตสองมิติ ฐานตั้งฉากปกติหนึ่งฐานคือ : $${\displaystyle |{\uparrow }_{z}\rangle \,,\;|{\downarrow }_{z}\rangle }$$ โดยที่| ↑ ⟩คือสถานะที่มีค่าตัวดำเนินการสปินS เท่ากับ + 1 ⁄ 2 อย่างแน่นอน และ| ↓ ⟩คือสถานะที่มีค่าตัวดำเนินการสปินS เท่ากับ − 1 ⁄ 2 อย่างแน่นอน

เนื่องจากสิ่งเหล่านี้เป็นฐาน ดังนั้น สถานะควอนตัม ใดๆของอนุภาคจึงสามารถแสดงได้ในรูปของการรวมเชิงเส้น (เช่นการซ้อนทับควอนตัม ) ของสถานะทั้งสองนี้: $${\displaystyle |\psi \rangle =a_{\psi }|{\uparrow }_{z}\rangle +b_{\psi }|{\downarrow }_{z}\rangle }$$ โดยที่a และb เป็นจำนวนเชิงซ้อน

ฐานที่แตกต่างกันสำหรับปริภูมิฮิลเบิร์ตเดียวกันคือ: $${\displaystyle |{\uparrow }_{x}\rangle \,,\;|{\downarrow }_{x}\rangle }$$กำหนด โดยใช้S แทนที่จะเป็นS

กล่าวอีกนัยหนึ่ง สถานะ ใดๆของอนุภาคสามารถแสดงได้ในรูปผลรวมเชิงเส้นของสองสิ่งนี้: $${\displaystyle |\psi \rangle =c_{\psi }|{\uparrow }_{x}\rangle +d_{\psi }|{\downarrow }_{x}\rangle }$$

ในรูปแบบเวกเตอร์ คุณอาจเขียนได้ว่า $${\displaystyle |\psi \rangle \doteq {\begin{pmatrix}a_{\psi }\\b_{\psi }\end{pmatrix}}\quad {\text{or}}\quad |\psi \rangle \doteq {\begin{pmatrix}c_{\psi }\\d_{\psi }\end{pmatrix}}}$$ ขึ้นอยู่กับฐานที่คุณใช้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง "พิกัด" ของเวกเตอร์ขึ้นอยู่กับฐานที่ใช้

มีความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ระหว่าง${\displaystyle a_{\psi }}$,${\displaystyle b_{\psi }}$,${\displaystyle c_{\psi }}$และ${\displaystyle d_{\psi }}$ดู การ เปลี่ยนแปลงฐาน

สาเหตุที่ทำให้เกิดความสับสนคือ สัญลักษณ์ไม่ได้แยกการดำเนินการผลคูณภายในออกจากสัญลักษณ์สำหรับเวกเตอร์ (bra) หากเวกเตอร์ bra (ในปริภูมิคู่) ถูกสร้างขึ้นเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ bra อื่นๆ (เช่น เมื่อแสดงในฐานบางอย่าง) สัญลักษณ์จะสร้างความกำกวมและซ่อนรายละเอียดทางคณิตศาสตร์ เราสามารถเปรียบเทียบสัญลักษณ์ bra–ket กับการใช้ตัวหนาสำหรับเวกเตอร์ เช่น${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}}$, และ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$สำหรับผลคูณภายใน พิจารณาเวกเตอร์บราในปริภูมิคู่ต่อไปนี้ในฐาน${\displaystyle \{|e_{n}\rangle \}}$, ที่ไหน${\displaystyle \{\psi _{n}\}}$สัมประสิทธิ์ของจำนวนเชิงซ้อนของ${\displaystyle \langle \psi |}$: $${\displaystyle \langle \psi |=\sum _{n}\langle e_{n}|\psi _{n}}$$

จะต้องกำหนดโดยข้อตกลงว่าจำนวนเชิงซ้อนนั้นเป็นอย่างไร${\displaystyle \{\psi _{n}\}}$อยู่ภายในหรือภายนอกผลคูณภายใน และแต่ละข้อตกลงจะให้ผลลัพธ์ที่แตกต่างกัน

$${\displaystyle \langle \psi |\equiv ({\boldsymbol {\psi }},\cdot )=\sum _{n}({\boldsymbol {e}}_{n},\cdot )\,\psi _{n}}$$$${\displaystyle \langle \psi |\equiv ({\boldsymbol {\psi }},\cdot )=\sum _{n}({\boldsymbol {e}}_{n}\psi _{n},\cdot )=\sum _{n}({\boldsymbol {e}}_{n},\cdot )\,\psi _{n}^{*}}$$

โดยทั่วไปมักใช้สัญลักษณ์เดียวกันสำหรับป้ายกำกับและค่าคงที่ตัวอย่างเช่น${\displaystyle {\hat {\alpha }}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle }$โดยที่สัญลักษณ์${\displaystyle \alpha }$ถูกใช้พร้อมกันในฐานะชื่อของตัวดำเนินการ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของมัน${\displaystyle |\alpha \rangle }$และค่าลักษณะเฉพาะ ที่เกี่ยวข้อง${\displaystyle \alpha }$บางครั้ง อาจมีการถอด หมวกออกสำหรับตัวดำเนินการ และเราอาจเห็นสัญลักษณ์เช่นนี้${\displaystyle A|a\rangle =a|a\rangle }$[ ^{7 ]​}

เป็นเรื่องปกติที่จะเห็นการใช้งานดังกล่าว${\displaystyle |\psi \rangle ^{\dagger }=\langle \psi |}$ตรงที่ดาบสั้น (${\displaystyle \dagger }$) สอดคล้องกับคู่ควบเฮอร์มิเชียน อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ถูกต้องในเชิงเทคนิค เนื่องจากคีท${\displaystyle |\psi \rangle }$แสดงถึงเวกเตอร์ในปริภูมิฮิลเบิร์ตเชิงซ้อน${\displaystyle {\mathcal {H}}}$และเสื้อชั้นใน${\displaystyle \langle \psi |}$เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นบนเวกเตอร์ใน${\displaystyle {\mathcal {H}}}$กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ${\displaystyle |\psi \rangle }$เป็นเพียงเวกเตอร์ ในขณะที่${\displaystyle \langle \psi |}$คือการรวมกันของเวกเตอร์และผลคูณภายใน

วิธีการนี้ใช้เพื่อการเขียนสัญลักษณ์การปรับขนาดเวกเตอร์อย่างรวดเร็ว ตัวอย่างเช่น ถ้าเวกเตอร์${\displaystyle |\alpha \rangle }$ถูกปรับขนาดโดย${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$อาจใช้สัญลักษณ์แทนได้${\displaystyle |\alpha /{\sqrt {2}}\rangle }$สิ่งนี้อาจทำให้เกิดความคลุมเครือได้ เนื่องจาก${\displaystyle \alpha }$เป็นเพียงป้ายกำกับสำหรับสถานะ ไม่ใช่วัตถุทางคณิตศาสตร์ที่สามารถดำเนินการใดๆ ได้ การใช้งานแบบนี้พบได้บ่อยกว่าเมื่อใช้แทนเวกเตอร์ในรูปผลคูณเทนเซอร์ โดยที่ส่วนหนึ่งของป้ายกำกับจะถูกย้ายออกไปนอกช่องที่กำหนดไว้ เช่น${\displaystyle |\alpha \rangle =|\alpha /{\sqrt {2}}\rangle _{1}\otimes |\alpha /{\sqrt {2}}\rangle _{2}}$.

ตัวดำเนินการเชิงเส้นคือฟังก์ชันที่รับเค็ตเป็นอินพุตและส่งคืนค่าเค็ต (เพื่อให้เรียกว่า "เชิงเส้น" จะต้องมีคุณสมบัติบางอย่าง ) กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ถ้า${\displaystyle {\hat {A}}}$เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นและ${\displaystyle |\psi \rangle }$ถ้าเป็นเวกเตอร์คีทแล้ว${\displaystyle {\hat {A}}|\psi \rangle }$เป็นเวกเตอร์คีทอีกตัวหนึ่ง

ใน${\displaystyle N}$ปริภูมิฮิลเบิร์ตมิติ เราสามารถกำหนดฐานให้กับปริภูมิและแทนค่าได้${\displaystyle |\psi \rangle }$ในแง่ของพิกัดของมันในฐานะ${\displaystyle N\times 1}$เวกเตอร์คอลัมน์โดยใช้ฐานเดียวกันสำหรับ${\displaystyle {\hat {A}}}$โดยแสดงด้วย${\displaystyle N\times N}$เมทริกซ์เชิงซ้อน เวกเตอร์คีท${\displaystyle {\hat {A}}|\psi \rangle }$ขณะนี้สามารถคำนวณได้โดยใช้การคูณเมทริกซ์

ตัวดำเนินการเชิงเส้นพบได้ทั่วไปในทฤษฎีกลศาสตร์ควอนตัม ตัวอย่างเช่น ปริมาณทางกายภาพที่สังเกตได้จะถูกแทนด้วยตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองเช่นพลังงานหรือโมเมนตัมในขณะที่กระบวนการเปลี่ยนแปลงจะถูกแทนด้วย ตัวดำเนินการเชิงเส้น เอกภาพเช่น การหมุนหรือการดำเนินไปของเวลา

ตัวดำเนินการยังสามารถมองได้ว่ากระทำต่อบราจากด้านขวามือโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าAเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้น และ⟨ φ |เป็นบราแล้ว⟨ φ | Aก็เป็นบราอีกตัวหนึ่งที่กำหนดโดยกฎ $${\displaystyle {\bigl (}\langle \phi |{\boldsymbol {A}}{\bigr )}|\psi \rangle =\langle \phi |{\bigl (}{\boldsymbol {A}}|\psi \rangle {\bigr )}\,,}$$ (กล่าวอีกนัยหนึ่งคือการประกอบฟังก์ชัน ) นิพจน์นี้มักเขียนในรูป (เทียบกับผลคูณภายในของพลังงาน ) $${\displaystyle \langle \phi |{\boldsymbol {A}}|\psi \rangle \,.}$$

ใน ปริภูมิฮิลเบิร์ต Nมิติ⟨ φ |สามารถเขียนได้เป็นเวกเตอร์แถว1 × N และA (ดังในส่วนก่อนหน้า) เป็น เมทริกซ์ N × Nจากนั้นค่า bra ⟨ φ | Aสามารถคำนวณได้โดยการคูณเมทริกซ์แบบปกติ

ถ้าเวกเตอร์สถานะเดียวกันปรากฏทั้งด้าน bra และ ket $${\displaystyle \langle \psi |{\boldsymbol {A}}|\psi \rangle \,,}$$ จากนั้นนิพจน์นี้จะให้ค่าคาดหวังหรือค่าเฉลี่ยของค่าที่สังเกตได้ซึ่งแสดงโดยตัวดำเนินการA สำหรับระบบทางกายภาพในสถานะ| ψ ⟩

วิธีที่สะดวกในการกำหนดตัวดำเนินการเชิงเส้นบนปริภูมิฮิลเบิร์ตHคือการใช้ผลคูณภายนอก : ถ้า⟨ ϕ |เป็น bra และ| ψ ⟩เป็น ket ผลคูณภายนอกจะเป็นดังนี้ $${\displaystyle |\phi \rangle \,\langle \psi |}$$ หมายถึงตัวดำเนินการอันดับหนึ่งที่มีกฎ $${\displaystyle {\bigl (}|\phi \rangle \langle \psi |{\bigr )}(x)=\langle \psi |x\rangle |\phi \rangle .}$$

สำหรับปริภูมิเวกเตอร์ที่มีมิติจำกัด ผลคูณภายนอกสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นการคูณเมทริกซ์อย่างง่าย: $${\displaystyle |\phi \rangle \,\langle \psi |\doteq {\begin{pmatrix}\phi _{1}\\\phi _{2}\\\vdots \\\phi _{N}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{1}^{*}&\psi _{2}^{*}&\cdots &\psi _{N}^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\phi _{1}\psi _{1}^{*}&\phi _{1}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{1}\psi _{N}^{*}\\\phi _{2}\psi _{1}^{*}&\phi _{2}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{2}\psi _{N}^{*}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\phi _{N}\psi _{1}^{*}&\phi _{N}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{N}\psi _{N}^{*}\end{pmatrix}}}$$ ผลคูณภายนอกเป็น เมทริกซ์ขนาด N × Nซึ่งเป็นไปตามที่คาดไว้สำหรับตัวดำเนินการเชิงเส้น

หนึ่งในประโยชน์ของผลคูณภายนอกคือการสร้างตัวดำเนินการฉายภาพเมื่อกำหนดเกต| ψ ⟩ที่มีนอร์ม 1 การฉายภาพเชิงตั้งฉากบนปริภูมิย่อยที่เกิดจาก| ψ ⟩คือ $${\displaystyle |\psi \rangle \,\langle \psi |\,.}$$ นี่คือตัวผกผันในพีชคณิตของปริมาณที่สังเกตได้ ซึ่งกระทำต่อปริภูมิฮิลเบิร์ต

เช่นเดียวกับที่ kets และ bras สามารถแปลงไปมาระหว่างกันได้ (ทำให้| ψ ⟩กลายเป็น⟨ ψ | ) องค์ประกอบจากปริภูมิคู่ที่สอดคล้องกับA | ψ ⟩คือ⟨ ψ | A ^†โดยที่A ^†หมายถึงตัวผกผันเฮอร์มิเชียน (หรือตัวผกผันร่วม) ของตัวดำเนินการAกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ $${\displaystyle |\phi \rangle =A|\psi \rangle \quad {\text{if and only if}}\quad \langle \phi |=\langle \psi |A^{\dagger }\,.}$$

ถ้าAถูกแสดงในรูป เมทริกซ์ N × Nแล้วA ^†จะเป็นเมทริกซ์สลับตำแหน่งสังยุคของ A

• เนื่องจากบราเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น$${\displaystyle \langle \phi |{\bigl (}c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle {\bigr )}=c_{1}\langle \phi |\psi _{1}\rangle +c_{2}\langle \phi |\psi _{2}\rangle \,.}$$
• ตามคำจำกัดความของการบวกและการคูณสเกลาร์ของฟังก์ชันเชิงเส้นในปริภูมิคู่^{[ 8 ]}$${\displaystyle {\bigl (}c_{1}\langle \phi _{1}|+c_{2}\langle \phi _{2}|{\bigr )}|\psi \rangle =c_{1}\langle \phi _{1}|\psi \rangle +c_{2}\langle \phi _{2}|\psi \rangle \,.}$$

สำหรับนิพจน์ใดๆ ที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเชิงซ้อน บรา เค็ต ผลคูณภายใน ผลคูณภายนอก และ/หรือตัวดำเนินการเชิงเส้น (แต่ไม่ใช่การบวก) ที่เขียนในรูปแบบสัญกรณ์บรา-เค็ต การจัดกลุ่มในวงเล็บไม่สำคัญ (กล่าวคือคุณสมบัติการสลับที่ยังคงใช้ได้) ตัวอย่างเช่น:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi |{\bigl (}A|\phi \rangle {\bigr )}={\bigl (}\langle \psi |A{\bigr )}|\phi \rangle \,&{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\langle \psi |A|\phi \rangle \\{\bigl (}A|\psi \rangle {\bigr )}\langle \phi |=A{\bigl (}|\psi \rangle \langle \phi |{\bigr )}\,&{\stackrel {\text{def}}{=}}\,A|\psi \rangle \langle \phi |\end{aligned}}}$

และอื่นๆ นิพจน์ทางด้านขวา (ที่ไม่มีวงเล็บใดๆ เลย) สามารถเขียนได้อย่างชัดเจนเนื่องจากมีเครื่องหมายเท่ากับทางด้านซ้าย โปรดทราบว่าคุณสมบัติการสลับที่นั้น ใช้ ไม่ได้กับนิพจน์ที่มีตัวดำเนินการที่ไม่เป็นเชิงเส้น เช่นตัวดำเนินการย้อนเวลาแบบแอนติลิ เนียร์ ในทางฟิสิกส์

สัญกรณ์ Bra–ket ทำให้การคำนวณคอนจูเกตเฮอร์มิเชียน (เรียกอีกอย่างว่าdaggerและใช้สัญลักษณ์† ) ของนิพจน์ทำได้ง่ายเป็นพิเศษ กฎอย่างเป็นทางการมีดังนี้:

• คอนจูเกตแบบเฮอร์มิเชียนของบราคือคีทที่สอดคล้องกัน และในทางกลับกัน
• จำนวนเชิงซ้อนเฮอร์มิเชียนคอนจูเกตของจำนวนเชิงซ้อน คือ จำนวนเชิงซ้อนคอนจูเกตของจำนวนเชิงซ้อนนั้น
• ตัวผกผันเฮอร์มิเชียนของตัวผกผันเฮอร์มิเชียนของสิ่งใดๆ (ตัวดำเนินการเชิงเส้น, บรา, เกต, ตัวเลข) คือตัวมันเอง—กล่าวคือ$${\displaystyle \left(x^{\dagger }\right)^{\dagger }=x\,.}$$
• เมื่อกำหนดชุดค่าผสมใดๆ ของจำนวนเชิงซ้อน บรา เค็ต ผลคูณภายใน ผลคูณภายนอก และ/หรือตัวดำเนินการเชิงเส้น ที่เขียนในสัญกรณ์บรา-เค็ตแล้ว สามารถคำนวณค่าสังยุคเฮอร์มิเชียนได้โดยการสลับลำดับของส่วนประกอบ และหาค่าสังยุคเฮอร์มิเชียนของแต่ละส่วนประกอบ

กฎเหล่านี้เพียงพอที่จะเขียนรูปผันเฮอร์มิเชียนของนิพจน์ดังกล่าวได้อย่างเป็นทางการ ตัวอย่างบางส่วนมีดังต่อไปนี้:

• คีทส์:$${\displaystyle {\bigl (}c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle {\bigr )}^{\dagger }=c_{1}^{*}\langle \psi _{1}|+c_{2}^{*}\langle \psi _{2}|\,.}$$
• ผลิตภัณฑ์ภายใน:$${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |\phi \rangle \,.}$$โปรดทราบว่า⟨ φ | ψ ⟩เป็นปริมาณสเกลาร์ ดังนั้นค่าสังยุคเฮอร์มิเชียนจึงเป็นเพียงค่าสังยุคเชิงซ้อน กล่าวคือ$${\displaystyle {\bigl (}\langle \phi |\psi \rangle {\bigr )}^{\dagger }=\langle \phi |\psi \rangle ^{*}}$$
• องค์ประกอบของเมทริกซ์:$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \phi |A|\psi \rangle ^{\dagger }&=\left\langle \psi \left|A^{\dagger }\right|\phi \right\rangle \\\left\langle \phi \left|A^{\dagger }B^{\dagger }\right|\psi \right\rangle ^{\dagger }&=\langle \psi |BA|\phi \rangle \,.\end{aligned}}}$$
• ผลิตภัณฑ์ภายนอก:$${\displaystyle {\Big (}{\bigl (}c_{1}|\phi _{1}\rangle \langle \psi _{1}|{\bigr )}+{\bigl (}c_{2}|\phi _{2}\rangle \langle \psi _{2}|{\bigr )}{\Big )}^{\dagger }={\bigl (}c_{1}^{*}|\psi _{1}\rangle \langle \phi _{1}|{\bigr )}+{\bigl (}c_{2}^{*}|\psi _{2}\rangle \langle \phi _{2}|{\bigr )}\,.}$$