คณิตศาสตร์ เชิงการจัดเรียง (Combinatorics)เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการนับ เป็นหลัก ทั้งในฐานะวิธีการและเป้าหมายในการได้มาซึ่งผลลัพธ์ และคุณสมบัติบางประการของโครงสร้างจำกัด คณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์มากมาย และมีการประยุกต์ใช้มากมาย ตั้งแต่ตรรกศาสตร์ไปจนถึงฟิสิกส์เชิงสถิติและจากชีววิทยาเชิงวิวัฒนาการไปจนถึงวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์

คณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงเป็นที่รู้จักกันดีในเรื่องความกว้างขวางของปัญหาที่มันจัดการ ปัญหาเชิงการจัดเรียงเกิดขึ้นในหลายสาขาของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในพีชคณิตทฤษฎีความน่าจะเป็นโทโพโลยีและเรขาคณิต [ ^{1 ]}เช่นเดียวกับในสาขาการประยุกต์ใช้มากมาย คำถามเชิงการจัดเรียงจำนวนมากในอดีตได้รับการพิจารณาแยกกัน ทำให้เกิด^วิธี แก้ปัญหา เฉพาะหน้าสำหรับปัญหาที่เกิดขึ้นในบริบททางคณิตศาสตร์บางอย่าง อย่างไรก็ตาม ในช่วงปลายศตวรรษที่ 20 วิธีการทางทฤษฎีที่มีประสิทธิภาพและทั่วไปได้รับการพัฒนา ทำให้คณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงกลายเป็นสาขาอิสระของคณิตศาสตร์ในตัวของมันเอง^{[ 2 ]}หนึ่งในส่วนที่เก่าแก่และเข้าถึงได้ง่ายที่สุดของคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงคือทฤษฎีกราฟซึ่งมีความเชื่อมโยงตามธรรมชาติมากมายกับสาขาอื่นๆ คณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงถูกนำมาใช้บ่อยครั้งในวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เพื่อหาสูตรและการประมาณค่าในการวิเคราะห์อัลกอริทึม

ขอบเขตทั้งหมดของคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงยังไม่เป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไป^{[ 3 ]}ตามที่HJ Ryser กล่าวไว้ การกำหนดนิยามของวิชานี้เป็นเรื่องยากเพราะมันครอบคลุมสาขาย่อยทางคณิตศาสตร์มากมาย^{[ 4 ​​]}ในแง่ที่ว่าสาขาหนึ่งๆ สามารถอธิบายได้ด้วยประเภทของปัญหาที่เกี่ยวข้อง คณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงจึงเกี่ยวข้องกับ:

• การแจงนับ (การนับ) โครงสร้างที่ระบุไว้ ซึ่งบางครั้งเรียกว่าการจัดเรียงหรือการกำหนดค่าในความหมายทั่วไปมาก ๆ ที่เกี่ยวข้องกับระบบจำกัด
• การมีอยู่ของโครงสร้างดังกล่าวที่ตรงตามเกณฑ์ที่กำหนดไว้บางประการ
• การก่อสร้างโครงสร้างเหล่านี้ อาจในหลายๆ ด้าน และ
• การหาค่าที่เหมาะสมที่สุด : การค้นหาโครงสร้างหรือวิธีแก้ปัญหาที่ "ดีที่สุด" จากความเป็นไปได้หลายๆ อย่าง ไม่ว่าจะเป็น "ใหญ่ที่สุด" "เล็กที่สุด" หรือตรงตามเกณฑ์การหาค่าที่เหมาะสมที่สุด อื่น ๆ

ตามที่Leon Mirsky กล่าวไว้ ว่า "คณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงเป็นขอบเขตของการศึกษาที่เชื่อมโยงกันซึ่งมีบางอย่างที่เหมือนกันแต่ก็แตกต่างกันอย่างมากในวัตถุประสงค์ วิธีการ และระดับความสอดคล้องกันที่พวกเขาบรรลุ" ^{[ 5 ]}วิธีหนึ่งในการนิยามคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงอาจเป็นการอธิบายการแบ่งย่อยด้วยปัญหาและเทคนิคต่างๆ นี่คือแนวทางที่ใช้ด้านล่าง อย่างไรก็ตาม ยังมีเหตุผลทางประวัติศาสตร์ล้วนๆ สำหรับการรวมหรือไม่รวมบางหัวข้อไว้ภายใต้ขอบเขตของคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง^{[ 6 ]}แม้ว่าจะเกี่ยวข้องกับระบบจำกัดเป็นหลัก แต่คำถามและเทคนิคเชิงการจัดเรียงบางอย่างสามารถขยายไปยังการตั้งค่า อนันต์ (โดยเฉพาะ ระบบที่นับได้ ) แต่เป็นแบบไม่ต่อเนื่องได้

แนวคิดเชิงการจัดเรียงพื้นฐานและผลลัพธ์เชิงการนับปรากฏให้เห็นทั่วโลกโบราณการใช้เทคนิคการจัดเรียงที่บันทึกไว้ครั้งแรกสุดมาจากปัญหาที่ 79 ของปาปิรัส Rhindซึ่งมีอายุย้อนไปถึงศตวรรษที่ 16 ก่อนคริสต์ศักราช ปัญหานี้เกี่ยวข้องกับอนุกรมเรขาคณิต บางอย่าง และมีความคล้ายคลึงกับปัญหาของฟิโบนาชชีในการนับจำนวนองค์ประกอบของ 1 และ 2 ที่รวมกันได้เท่ากับผลรวมที่กำหนด^{[ 7 ]} แพทย์ชาวอินเดียชื่อสุศรุตะกล่าวในสุศรุตะสัมหิตาว่าสามารถสร้างการจัดเรียงได้ 63 แบบจากรสชาติที่แตกต่างกัน 6 แบบ โดยเลือกทีละหนึ่ง สองทีละสอง เป็นต้น ดังนั้นจึงสามารถคำนวณความเป็นไปได้ทั้งหมด 2 ⁶  − 1 แบบ นักประวัติศาสตร์ชาวกรีกพลูตาร์คกล่าวถึงการโต้เถียงระหว่างคริสิปปัส (ศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช) และฮิปปาร์คัส (ศตวรรษที่ 2 ก่อนคริสต์ศักราช) เกี่ยวกับปัญหาการนับที่ค่อนข้างละเอียดอ่อน ซึ่งต่อมาได้แสดงให้เห็นว่าเกี่ยวข้องกับจำนวนชโรเดอร์-ฮิปปาร์คัส^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}ก่อนหน้านี้ ในOstomachion อา ร์คิมิดีส (ศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช) อาจพิจารณาจำนวนรูปแบบของปริศนาการปูกระเบื้อง [ ^{11 ]}ในขณะที่ความสนใจเชิงการจัดเรียงอาจมีอยู่ในผลงานที่สูญหายของ^อพอลโลนิอุส^{[ 12 ] [ 13 ]}

ในยุคกลางคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงยังคงได้รับการศึกษาอย่างต่อเนื่อง โดยส่วนใหญ่อยู่นอกอารยธรรมยุโรปนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียมหาวีระ ( ประมาณ ค.ศ. 850 ) ได้ให้สูตรสำหรับจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนและการจัดเรียง [ ^{14 ] [ 15 ] และสูตรเหล่านี้อาจเป็นที่คุ้นเคยสำหรับนัก คณิตศาสตร์}ชาวอินเดียตั้งแต่ศตวรรษที่ 6 แล้ว^{[ 16 ]} นักปรัชญาและนักดาราศาสตร์ Rabbi Abraham ibn Ezra ( ประมาณ ค.ศ. 1140 ) ได้กำหนดความสมมาตรของสัมประสิทธิ์ทวินามในขณะที่สูตรปิดได้รับในภายหลังโดยนักตัลมุดและนักคณิตศาสตร์Levi ben Gerson (หรือที่รู้จักกันดีในชื่อ Gersonides) ในปี ค.ศ. 1321 ^{[ 17 ]} สามเหลี่ยมเลขคณิต ซึ่งเป็นแผนภาพกราฟิกที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างสัมประสิทธิ์ทวินาม ได้รับการนำเสนอโดยนักคณิตศาสตร์ในตำราที่ย้อนไปถึงศตวรรษที่ 10 และในที่สุดก็กลายเป็นที่รู้จักในชื่อสามเหลี่ยมของปาสคาลต่อมาในอังกฤษยุคกลางวิชาแคมพาโนโลยีได้ให้ตัวอย่างของสิ่งที่ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อวัฏจักรแฮมิลตัน ใน กราฟ Cayleyบางอย่างบนการเรียงสับเปลี่ยน^{[ 18 ] [ 19 ]}

ในยุคเรเนสซองส์คณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์แขนงอื่นๆ รวมถึงคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง (combinatorics) ได้รับการฟื้นฟูขึ้นมาอีกครั้ง ผลงานของปาสคาลนิวตัน จาคอบ เบอร์นูลลีและเลออนฮาร์ด ออยเลอร์กลายเป็นรากฐานสำคัญในสาขานี้ ในยุคปัจจุบัน ผลงานของเจ.เจ. ซิลเวสเตอร์ (ปลายศตวรรษที่ 19) และเพอร์ซี แมคมาฮอน (ต้นศตวรรษที่ 20) ช่วยวางรากฐานให้กับ คณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง แบบนับและแบบพีชคณิตทฤษฎีกราฟก็ได้รับความสนใจเพิ่มมากขึ้นในเวลาเดียวกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งในส่วนที่เกี่ยวข้องกับ ปัญหาเรื่อง สี สี่สี

ในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 20 คณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง (combinatorics) มีการเติบโตอย่างรวดเร็ว ซึ่งนำไปสู่การก่อตั้งวารสารและการประชุมใหม่ๆ จำนวนมากในสาขานี้^{[ 20 ]}การเติบโตส่วนหนึ่งได้รับการกระตุ้นจากการเชื่อมโยงและการประยุกต์ใช้ใหม่ๆ ในสาขาอื่นๆ ตั้งแต่พีชคณิตไปจนถึงความน่าจะเป็น จากการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันไปจนถึงทฤษฎีจำนวนเป็นต้น การเชื่อมโยงเหล่านี้ทำลายขอบเขตระหว่างคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงและบางส่วนของคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี แต่ในขณะเดียวกันก็ทำให้เกิดการแตกแยกบางส่วนของสาขานี้

คณิตศาสตร์เชิงนับ (Enumerative combinatorics) เป็นสาขาคลาสสิกที่สุดของคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง (combinatorics) และมุ่งเน้นไปที่การนับจำนวนของวัตถุเชิงการจัดเรียงบางอย่าง แม้ว่าการนับจำนวนองค์ประกอบในเซตจะเป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์ ที่ค่อนข้างกว้าง แต่ปัญหาหลายอย่างที่เกิดขึ้นในการประยุกต์ใช้มีคำอธิบายเชิงการจัดเรียงที่ค่อนข้างง่ายตัวเลขฟิโบนาชชีเป็นตัวอย่างพื้นฐานของปัญหาในคณิตศาสตร์เชิงนับ วิธีการสิบสองเท่า (Twelvefold way)ให้กรอบการทำงานที่เป็นเอกภาพสำหรับการนับการเรียงสับเปลี่ยนการจัดหมู่และการ แบ่งส่วน

คณิตศาสตร์เชิงวิเคราะห์แบบผสมผสาน (Analytic combinatorics)เกี่ยวข้องกับการแจงนับโครงสร้างเชิงผสมผสานโดยใช้เครื่องมือจากคณิตศาสตร์เชิงซ้อนและทฤษฎีความน่าจะ เป็น แตกต่างจากคณิตศาสตร์เชิงผสมผสานแบบแจงนับ (Enumerative combinatorics) ซึ่งใช้สูตรเชิงผสมผสานและ ฟังก์ชันก่อกำเนิดที่ชัดเจนเพื่ออธิบายผลลัพธ์ คณิตศาสตร์เชิงวิเคราะห์แบบผสมผสานมีเป้าหมายเพื่อหาสูตรเชิงอะซิมโทติก (asymptotic formulae )

ทฤษฎีการแบ่งส่วนศึกษาปัญหาการนับและปัญหาเชิงอะซิมโทติกต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับการแบ่งส่วนจำนวนเต็มและมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับอนุกรมคิวฟังก์ชันพิเศษและพหุนามเชิงตั้งฉากเดิมทีเป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีจำนวนและการวิเคราะห์แต่ปัจจุบันถือว่าเป็นส่วนหนึ่งของคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงหรือเป็นสาขาอิสระ ทฤษฎีนี้รวมเอาแนวทางการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งและเครื่องมือต่างๆ ในการวิเคราะห์และทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์และมีความเชื่อมโยงกับกลศาสตร์เชิงสถิติการแบ่งส่วนสามารถแสดงภาพได้ด้วยแผนภาพยังหรือแผนภาพเฟอร์เรอร์การแบ่งส่วนปรากฏในหลายสาขาของคณิตศาสตร์และฟิสิกส์รวมถึงการศึกษาพหุนามสมมาตรและกลุ่มสมมาตรและในทฤษฎีการแทนกลุ่มโดยทั่วไป

กราฟเป็นวัตถุพื้นฐานในคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง การพิจารณาทฤษฎีกราฟมีตั้งแต่การนับ (เช่น จำนวนกราฟที่มี จุดยอด nจุดและ ขอบ kเส้น) ไปจนถึงโครงสร้างที่มีอยู่ (เช่น วงจรแฮมิลโทเนียน) ไปจนถึงการแสดงแทนเชิงพีชคณิต (เช่น เมื่อกำหนดกราฟGและตัวเลขสองตัวxและyพหุนาม Tutte T ( x , y ) มีการตีความเชิงการจัดเรียงหรือไม่) แม้ว่าจะมีความเชื่อมโยงที่แข็งแกร่งมากระหว่างทฤษฎีกราฟและคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง แต่บางครั้งก็ถูกมองว่าเป็นวิชาที่แยกจากกัน^{[ 21 ]} ในขณะที่วิธีการเชิงการจัดเรียงสามารถนำไปใช้กับปัญหาทฤษฎีกราฟได้หลายปัญหา แต่โดยทั่วไปแล้วทั้งสองสาขาวิชาจะใช้เพื่อค้นหาวิธีแก้ปัญหาประเภทต่างๆ กัน

ทฤษฎีการออกแบบเป็นการศึกษาเกี่ยวกับการออกแบบเชิงการจัดเรียง (combinatorial designs ) ซึ่งเป็นกลุ่มของเซตย่อยที่มีคุณสมบัติการตัดกัน บางประการ การออกแบบบล็อก (Block designs)เป็นการออกแบบเชิงการจัดเรียงประเภทพิเศษ สาขานี้เป็นหนึ่งในสาขาที่เก่าแก่ที่สุดของคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง เช่นปัญหาเด็กนักเรียนหญิงของเคิร์กแมน (Kirkman's schoolgirl problem)ที่เสนอในปี 1850 คำตอบของปัญหานี้เป็นกรณีพิเศษของระบบสไตเนอร์ (Steiner system ) ซึ่งมีบทบาทสำคัญในการจำแนกกลุ่มง่ายจำกัด (finite simple groups ) นอกจากนี้ สาขานี้ยังมีความเชื่อมโยงกับทฤษฎีการเข้ารหัสและคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงเชิงเรขาคณิต (geometric combinatorics) อีกด้วย

ทฤษฎีการออกแบบเชิงการจัดเรียงสามารถนำไปประยุกต์ใช้ในด้านการออกแบบการทดลองได้ทฤษฎีพื้นฐานบางส่วนของการออกแบบเชิงการจัดเรียงมีต้นกำเนิดมาจากงานของนักสถิติโรนัลด์ ฟิชเชอร์ ในการออกแบบการทดลองทางชีววิทยา การประยุกต์ใช้งานสมัยใหม่ยังพบได้ในหลากหลายสาขา รวมถึงเรขาคณิตจำกัดการจัดตารางการแข่งขันลอตเตอรี เคมีเชิงคณิตศาสตร์ชีววิทยาเชิงคณิตศาสตร์การออกแบบและการวิเคราะห์อัลกอริ ทึม เครือข่ายการทดสอบกลุ่มและการเข้ารหัสลับ^{[ 22 ]}

เรขาคณิตจำกัด คือการศึกษาเกี่ยวกับระบบเรขาคณิตที่มีจุดเพียงจำนวนจำกัด โครงสร้างที่คล้ายคลึงกับโครงสร้างที่พบในเรขาคณิตต่อเนื่อง ( ระนาบยุคลิดพื้นที่เชิงฉายจริงฯลฯ) แต่กำหนดในเชิงการจัดเรียง เป็นหัวข้อหลักที่ศึกษา สาขานี้เป็นแหล่งตัวอย่างที่อุดมสมบูรณ์สำหรับทฤษฎีการออกแบบไม่ควรสับสนกับเรขาคณิตไม่ต่อเนื่อง ( เรขาคณิตเชิงการจัดเรียง )

ทฤษฎีลำดับคือการศึกษาเซตที่มีลำดับบางส่วนทั้งเซตจำกัดและเซตอนันต์ ทฤษฎีนี้เป็นกรอบแนวคิดเชิงรูปธรรมสำหรับการอธิบายข้อความต่างๆ เช่น "สิ่งนี้มีค่าน้อยกว่าสิ่งนั้น" หรือ "สิ่งนี้มาก่อนสิ่งนั้น" ตัวอย่างต่างๆ ของลำดับบางส่วนปรากฏในพีชคณิตเรขาคณิต ทฤษฎีจำนวน และในสาขาคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงและทฤษฎีกราฟ กลุ่มและตัวอย่างที่โดดเด่นของลำดับบางส่วน ได้แก่แลตทิซและพีชคณิตบูลีน

ทฤษฎีเมทริกซ์เป็นนามธรรมของเรขาคณิต ส่วนหนึ่ง โดยศึกษาคุณสมบัติของเซต (โดยปกติจะเป็นเซตจำกัด) ของเวกเตอร์ในปริภูมิเวก เตอร์ ที่ไม่ขึ้นอยู่กับสัมประสิทธิ์เฉพาะใน ความ สัมพันธ์เชิงเส้นไม่เพียงแต่โครงสร้างเท่านั้น แต่คุณสมบัติเชิงนับก็อยู่ในขอบเขตของทฤษฎีเมทริกซ์ด้วย ทฤษฎีเมทริกซ์ถูกนำเสนอโดยฮาสเลอร์ วิทนีย์และศึกษาในฐานะส่วนหนึ่งของทฤษฎีลำดับ ปัจจุบันเป็นสาขาการศึกษาอิสระที่มีความเชื่อมโยงกับสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงหลายด้าน

คณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงแบบสุดขั้วศึกษา ว่ากลุ่มของวัตถุจำกัด (จำนวน กราฟ เวกเตอร์ เซต ฯลฯ) จะมีขนาดใหญ่หรือเล็กได้มากเพียงใดหากต้องเป็นไปตามข้อจำกัดบางประการ คณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงแบบสุดขั้วส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับคลาสของระบบเซตซึ่งเรียกว่าทฤษฎีเซตแบบสุดขั้ว ตัวอย่างเช่น ใน เซตที่มีสมาชิก nตัว จำนวนเซตย่อยที่ มีสมาชิก kตัว ที่มากที่สุด ที่สามารถตัดกันได้เป็นคู่ๆ คือเท่าใด? จำนวนเซตย่อยที่ไม่มีเซตย่อยใดบรรจุเซตย่อยอื่นมากที่สุดคือเท่าใด? คำถามหลังนี้ได้รับคำตอบจากทฤษฎีบทของสเปอร์เนอร์ซึ่งเป็นที่มาของทฤษฎีเซตแบบสุดขั้วส่วนใหญ่

คำถามประเภทที่กล่าวถึงในกรณีนี้คือเกี่ยวกับกราฟที่ใหญ่ที่สุดที่เป็นไปได้ซึ่งมีคุณสมบัติบางประการ ตัวอย่างเช่นกราฟที่ใหญ่ที่สุดที่ไม่มีสามเหลี่ยมบน จุดยอด 2nจุด คือกราฟสองส่วนสมบูรณ์K บ่อยครั้งที่การหาคำตอบสุดขั้ว f ( n ) ที่แน่นอน นั้นยากเกินไปและทำได้เพียงประมาณ ค่าแบบเชิงอะซิ ม โทติก เท่านั้น

ทฤษฎีแรมซีย์เป็นอีกส่วนหนึ่งของคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงแบบสุดขั้ว ทฤษฎีนี้กล่าวว่า การจัดเรียงใดๆ ที่มีขนาดใหญ่เพียงพอจะประกอบไปด้วยระเบียบแบบแผนบางอย่าง มันเป็นการขยายความขั้นสูงของหลักการรังนกพิราบ

ในคณิตศาสตร์เชิงความน่าจะเป็น คำถามจะมีลักษณะดังนี้: ความน่าจะเป็นของสมบัติบางอย่างสำหรับวัตถุแบบสุ่มที่ไม่ต่อเนื่อง เช่นกราฟแบบสุ่ม คืออะไร ? ตัวอย่างเช่น จำนวนสามเหลี่ยมเฉลี่ยในกราฟแบบสุ่มคือเท่าใด? วิธีการเชิงความน่าจะเป็นยังใช้ในการตรวจสอบการมีอยู่ของวัตถุเชิงการจัดเรียงที่มีสมบัติที่กำหนดไว้ (ซึ่งอาจหาตัวอย่างที่ชัดเจนได้ยาก) โดยการสังเกตว่าความน่าจะเป็นของการสุ่มเลือกวัตถุที่มีสมบัติเหล่านั้นมีค่ามากกว่า 0 วิธีการนี้ (มักเรียกว่าวิธีการเชิงความน่าจะเป็น ) พิสูจน์แล้วว่ามีประสิทธิภาพสูงในการประยุกต์ใช้กับคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงแบบสุดขั้วและทฤษฎีกราฟ สาขาที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดคือการศึกษาลูกโซ่ Markov แบบจำกัด โดยเฉพาะอย่างยิ่งในวัตถุเชิงการจัดเรียง ในที่นี้ก็มีการใช้เครื่องมือเชิงความน่าจะเป็นเพื่อประมาณเวลาการผสมเช่น กัน

คณิตศาสตร์เชิงความน่าจะ เป็นมักถูกเชื่อมโยงกับพอล เออร์ดอสผู้บุกเบิกงานวิจัยในสาขานี้ โดยแต่เดิมนั้นคณิตศาสตร์เชิงความน่าจะเป็นถูกมองว่าเป็นชุดเครื่องมือสำหรับศึกษาปัญหาในสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง แต่ในปัจจุบันสาขานี้ได้เติบโตขึ้นจนกลายเป็นสาขาอิสระของคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงแล้ว

พีชคณิตเชิง การจัดเรียง (Algebraic combinatorics) เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ใช้วิธีการของพีชคณิตนามธรรมโดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีกลุ่มและทฤษฎีการแทนในบริบทเชิงการจัดเรียงต่างๆ และในทางกลับกัน ก็ใช้วิธีการเชิงการจัดเรียงกับปัญหาในพีชคณิตพีชคณิตเชิงการจัดเรียงได้รับการมองอย่างกว้างขวางมากขึ้นว่าเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่การปฏิสัมพันธ์ระหว่างวิธีการเชิงการจัดเรียงและพีชคณิตมีความแข็งแกร่งและสำคัญเป็นพิเศษ ดังนั้นหัวข้อเชิงการจัดเรียงอาจมีลักษณะเป็นการแจงนับ หรือเกี่ยวข้องกับ เมทริกซ์โพลีโทปเซตที่มีลำดับบางส่วนหรือเรขาคณิตจำกัดในด้านพีชคณิต นอกเหนือจากทฤษฎีกลุ่มและทฤษฎีการแทนแล้วทฤษฎีแลตติสและพีชคณิตเชิงสลับที่ก็เป็นที่นิยมเช่นกัน

คณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงบนคำศัพท์เกี่ยวข้องกับภาษาเชิงรูปธรรม สาขา วิชานี้เกิดขึ้นอย่างอิสระในหลายสาขาของคณิตศาสตร์ รวมถึงทฤษฎีจำนวนทฤษฎีกลุ่มและความน่าจะเป็นมีการประยุกต์ใช้ในคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงแบบแจงนับการวิเคราะห์แฟรกทัลวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎีทฤษฎีออโตมาตาและภาษาศาสตร์แม้ว่าการประยุกต์ใช้หลายอย่างจะเป็นเรื่องใหม่ แต่ ลำดับชั้น ของคลาส ไวยากรณ์ เชิงรูปธรรม แบบคลาสสิก ของชอมสกี-ชูทเซนเบอร์เกอร์อาจเป็นผลลัพธ์ที่เป็นที่รู้จักมากที่สุดในสาขานี้

เรขาคณิตเชิงการจัดเรียงมีความเกี่ยวข้องกับ เรขาคณิต นูนและเรขาคณิตแบบไม่ต่อเนื่อง ตัวอย่างเช่น มันถามว่ารูป ทรงหลายเหลี่ยมนูนจะมี หน้าได้กี่หน้าในแต่ละมิติ คุณสมบัติ เชิงเมตริกของรูปทรงหลายเหลี่ยมก็มีบทบาทสำคัญเช่นกัน เช่นทฤษฎีบทของโคชี เกี่ยวกับความแข็งแกร่งของรูปทรงหลายเหลี่ยม นูนรูปทรงหลายเหลี่ยมพิเศษก็ได้รับการพิจารณาด้วย เช่นเพอร์มูโตเฮ ดรา แอสโซซิอาเฮดราและรูปทรงหลายเหลี่ยมเบิ ร์คฮอฟฟ์ เรขาคณิต เชิงการจัดเรียงเป็นชื่อดั้งเดิมของเรขาคณิตแบบไม่ต่อเนื่อง

สาขาวิชานี้ครอบคลุมสาขาย่อยหลายสาขา เช่นเรขาคณิตเชิงการจัดเรียงของทรงหลายเหลี่ยม (การศึกษาหน้าของทรงหลายเหลี่ยมนูน ) เรขาคณิตนูน (การศึกษาเซตนูนโดยเฉพาะอย่างยิ่งเรขาคณิตเชิงการจัดเรียงของจุดตัด) และเรขาคณิตแบบไม่ต่อเนื่องซึ่งมีแอปพลิเคชันมากมายในเรขาคณิตเชิงคำนวณ การศึกษาเกี่ยวกับทรงหลายเหลี่ยมปกติทรงหลายเหลี่ยมอาร์คิมีเดียนและจำนวนจูบก็เป็นส่วนหนึ่งของเรขาคณิตเชิงการจัดเรียงเช่นกัน นอกจากนี้ยังมีการพิจารณาทรงหลายเหลี่ยมพิเศษ เช่นเพอร์มูโตเฮดรอน แอสโซซิอาเฮดรอนและทรงหลายเหลี่ยมเบิร์คฮอฟฟ์

แนวคิดและวิธีการเชิงการจัดเรียงในโทโพโลยีถูกนำมาใช้ในการศึกษา การ ระบายสีกราฟ การแบ่ง อย่างยุติธรรมการแบ่งกลุ่มเซตที่มีลำดับบางส่วนต้นไม้ตัดสินใจปัญหาสร้อยคอและทฤษฎีมอร์สแบบไม่ต่อเนื่องไม่ควรสับสนกับโทโพโลยีเชิงการจัดเรียงซึ่งเป็นชื่อเก่าของโทโพโลยีเชิงพีชคณิต

คณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง ( Arithmetic combinatorics) เกิดขึ้นจากปฏิสัมพันธ์ระหว่างทฤษฎีจำนวนการจัดเรียงทฤษฎีเออร์โกดิกและการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกโดยเกี่ยวข้องกับการประมาณค่าเชิงการจัดเรียงที่เชื่อมโยงกับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ (การบวก การลบ การคูณ และการหาร) ทฤษฎีจำนวนเชิงบวก (บางครั้งเรียกว่าคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงเชิงบวก) หมายถึงกรณีพิเศษที่เกี่ยวข้องเฉพาะการดำเนินการบวกและการลบเท่านั้น เทคนิคสำคัญอย่างหนึ่งในคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงคือทฤษฎีเออร์โกดิกของ ระบบพลวัต

คอมบินาทอริกอนันต์ หรือทฤษฎีเซตเชิงคอมบินาทอริก เป็นการขยายแนวคิดในคอมบินาทอริกไปสู่เซตอนันต์ เป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีเซต ซึ่งเป็น สาขาหนึ่งของตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์แต่ใช้เครื่องมือและแนวคิดจากทั้งทฤษฎีเซตและคอมบินาทอริกสุดขั้ว สิ่งที่ศึกษาบางส่วนได้แก่กราฟและต้นไม้ ต่อเนื่อง การขยายทฤษฎีบทของแรมซีย์และสัจพจน์ของมาร์ตินการพัฒนาล่าสุดเกี่ยวข้องกับคอมบินาทอริกของความต่อเนื่อง^{[ 23 ]}และคอมบินาทอริกบนตัวสืบทอดของคาร์ดินัลเอกพจน์^{[ 24 ]}

Gian-Carlo Rotaใช้ชื่อการจัดเรียงแบบต่อเนื่อง^{[ 25 ]}เพื่ออธิบายความน่าจะเป็นเชิงเรขาคณิตเนื่องจากมีความคล้ายคลึงกันมากมายระหว่างการนับและการวัด

การเพิ่มประสิทธิภาพเชิงการจัดเรียง (Combinatorial optimization)คือการศึกษาการเพิ่มประสิทธิภาพบนวัตถุแบบไม่ต่อเนื่องและเชิงการจัดเรียง เริ่มต้นจากการเป็นส่วนหนึ่งของคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงและทฤษฎีกราฟ แต่ปัจจุบันถูกมองว่าเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ประยุกต์และวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ ที่เกี่ยวข้องกับการวิจัยดำเนินงานทฤษฎีอัลกอริทึมและ ทฤษฎีความซับซ้อนของ การ คำนวณ

ทฤษฎีการเข้ารหัสเริ่มต้นจากการเป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีการออกแบบ โดยเริ่มจากการสร้างรหัสแก้ไขข้อผิดพลาด แบบเชิงผสม แนวคิดหลักของวิชานี้คือการออกแบบวิธีการส่งข้อมูลที่มีประสิทธิภาพและน่าเชื่อถือ ปัจจุบันเป็นสาขาวิชาขนาดใหญ่ ที่ เป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีสารสนเทศ

เรขาคณิตแบบไม่ต่อเนื่อง (หรือเรียกว่าเรขาคณิตเชิงการจัดเรียง) ก็เริ่มต้นมาจากสาขาการจัดเรียงเช่นกัน โดยมีผลลัพธ์ในช่วงแรกเกี่ยวกับรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนและจำนวนสัมผัส เมื่อมีการประยุกต์ใช้เรขาคณิตแบบไม่ต่อเนื่องกับเรขาคณิตเชิงคำนวณสองสาขานี้จึงผสานรวมกันบางส่วนและกลายเป็นสาขาการศึกษาที่แยกต่างหาก อย่างไรก็ตาม ยังคงมีความเชื่อมโยงมากมายกับเรขาคณิตเชิงการจัดเรียงและเชิงโทโพโลยี ซึ่งสามารถมองได้ว่าเป็นผลสืบเนื่องมาจากเรขาคณิตแบบไม่ต่อเนื่องในยุคแรก

แง่มุมเชิงการจัดเรียงของระบบพลวัตเป็นอีกสาขาหนึ่งที่กำลังได้รับความสนใจ ในสาขานี้ ระบบพลวัตสามารถนิยามได้บนวัตถุเชิงการจัดเรียง ดูตัวอย่างเช่น ระบบพลวัตของกราฟ

มีการปฏิสัมพันธ์ระหว่างคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงและฟิสิกส์ เพิ่มมากขึ้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งฟิสิกส์เชิงสถิติตัวอย่างเช่น การหาคำตอบที่แน่นอนของแบบจำลอง Isingและความเชื่อมโยงระหว่างแบบจำลอง Pottsกับพหุนามสีและ พหุ นาม Tutte

• "การวิเคราะห์เชิงการจัดเรียง" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• การวิเคราะห์เชิงการจัดเรียง – บทความในสารานุกรมบริแทนนิกา ฉบับที่สิบเอ็ด
• Combinatoricsบทความจาก MathWorldพร้อมแหล่งอ้างอิงมากมาย
• คณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงจากเว็บไซต์MathPages.com
• Hyperbook of Combinatoricsคือแหล่งรวมลิงก์บทความทางคณิตศาสตร์
• บทความเรื่อง "สองวัฒนธรรมของคณิตศาสตร์"โดย WT Gowers กล่าวถึงการแก้ปัญหาเทียบกับการสร้างทฤษฎี
• "คำศัพท์เฉพาะทางในคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง" เก็บถาวรเมื่อวันที่ 17 สิงหาคม 2017 ที่Wayback Machine
• รายชื่อซอฟต์แวร์และฐานข้อมูลด้านคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง