สูตรของออยเลอร์

Q: นิยามสมการเชิงอนุพันธ์

ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง เอฟ ( z ) = อี z {\displaystyle f(z)=e^{z}} คือ ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ ได้เพียงฟังก์ชันเดียว ของ ตัวแปรเชิงซ้อน ซึ่งอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นเท่ากับฟังก์ชัน ง เอฟ ง z = เอฟ {\displaystyle {\frac {df}{dz}}=f} และ เอฟ ( 0 ) = 1.

สูตรของออยเลอร์ซึ่งตั้งชื่อตามเลออนฮาร์ด ออยเลอร์เป็นสูตรทางคณิตศาสตร์ในคณิตศาสตร์วิเคราะห์เชิงซ้อนที่สร้างความสัมพันธ์พื้นฐานระหว่างฟังก์ชันตรีโกโนเมตริกและฟังก์ชันเลขชี้กำลัง เชิงซ้อน สูตรของออยเลอร์กล่าวว่า สำหรับจำนวนจริง $x$ ใดๆ จะมี $e^{ix}=\cos x+i\sin x,$ โดยที่ $e$ คือฐานของลอการิทึมธรรมชาติ i คือหน่วยจินตนาการและ $cos$ และ $sin$ คือฟังก์ชันตรีโกณมิติ โคไซน์และไซน์ตามลำดับ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อนนี้บางครั้งเรียกว่า $cis$ $x$ ("โคไซน์บวกiไซน์") สูตรนี้ยังคงใช้ได้หาก $x$ $เป็น$ จำนวนเชิงซ้อนและในกรณีทั่วไปนี้ ยังเรียกว่า สูตรของออยเลอร์ อีก ^ด้วย^[¹ ]

สูตรของออยเลอร์พบได้ทั่วไปในคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ เคมี และวิศวกรรม นักฟิสิกส์ริชาร์ด ไฟน์แมนเรียกสมการนี้ว่า "อัญมณีของเรา" และ "สูตรที่น่าทึ่งที่สุดในคณิตศาสตร์" ^{[ 2 ]}

เมื่อ $x = π$ สูตรของออยเลอร์สามารถเขียนใหม่ได้เป็น $e iπ = -1$ หรือ $e iπ + 1 = 0$ ซึ่งเรียกว่าเอกลักษณ์ของออยเลอร์

ประวัติศาสตร์

ในปี ค.ศ. 1714 โรเจอร์ โคเตส นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ ได้นำเสนอข้อโต้แย้งทางเรขาคณิตที่สามารถตีความได้ (หลังจากแก้ไขตัวประกอบที่วางผิดที่แล้ว) ${\sqrt {-1}}$ ) เช่น: ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} $ix=\ln(\cos x+i\sin x).$ การยกกำลังสมการนี้จะได้สูตรของออยเลอร์ โปรดทราบว่าข้อความเกี่ยวกับลอการิทึมนั้นไม่ถูกต้องเสมอไปสำหรับจำนวนเชิงซ้อน เนื่องจากลอการิทึมเชิงซ้อนสามารถมีค่าได้ไม่จำกัดจำนวน โดยแต่ละค่าจะแตกต่างกันด้วยผล $คูณ$ ของ $2πi$

{\displaystyle \theta } — การแสดงภาพสูตรของออยเลอร์ในรูปแบบเกลียวในพื้นที่สามมิติ เกลียวนี้เกิดจากการพล็อตจุดสำหรับค่าต่างๆ ของ $\theta$ และถูกกำหนดโดยส่วนประกอบโคไซน์และไซน์ของสูตร เส้นโค้งหนึ่งแสดงถึงส่วนประกอบจริง ( $\cos \theta$ ) ของสูตร ในขณะที่เส้นโค้งอีกเส้นหนึ่งหมุน 90 องศา รอบแกน z (เนื่องจากการคูณด้วย $i$ ) แสดงถึงส่วนจินตนาการ ( $\sin \theta$ )

ประมาณปี 1740 เลออนฮาร์ด ออยเลอร์หันมาสนใจฟังก์ชันเลขชี้กำลังและได้สมการที่ตั้งชื่อตามเขาโดยการเปรียบเทียบการขยายอนุกรมของนิพจน์เลขชี้กำลังและตรีโกณมิติ^{[ 6 ]}^{[ 4 ]}สูตรนี้ได้รับการตีพิมพ์ครั้งแรกในปี 1748 ในงานพื้นฐานของเขาIntroductio in analysin infinitorum ^{[ 7 ]}

โยฮันน์ เบอร์นูลลีพบว่า^{[ 8 ]} ${\frac {1}{1+x^{2}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{1-ix}}+{\frac {1}{1+ix}}\right).$

และเนื่องจาก $\int {\frac {dx}{1+ax}}={\frac {1}{a}}\ln(1+ax)+C,$ สมการข้างต้นบอกเราบางอย่างเกี่ยวกับลอการิทึมเชิงซ้อนโดยการเชื่อมโยงลอการิทึมธรรมชาติกับจำนวนจินตนาการ (เชิงซ้อน) อย่างไรก็ตาม เบอร์นูลลีไม่ได้คำนวณค่าอินทิกรัลนี้

จดหมายโต้ตอบระหว่างเบอร์นูลลีกับออยเลอร์ (ซึ่งก็รู้จักสมการข้างต้นเช่นกัน) แสดงให้เห็นว่าเบอร์นูลลีไม่ได้เข้าใจลอการิทึมเชิงซ้อน อย่างถ่องแท้ ออยเลอร์ยังเสนอแนะอีกว่าลอการิทึมเชิงซ้อนสามารถมีค่าได้มากมายนับไม่ถ้วน

แนวคิดเรื่องจำนวนเชิงซ้อนในฐานะจุดบนระนาบเชิงซ้อนนั้นถูกอธิบายโดยแคสเปอร์ เวสเซลใน อีกประมาณ 50 ปีต่อมา

นิยามของการยกกำลังเชิงซ้อน

ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง $e x$ สำหรับค่าจริงของ $x$ สามารถนิยามได้หลายวิธีที่เทียบเท่ากัน (ดูลักษณะเฉพาะของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ) หลายวิธีเหล่านี้สามารถขยายโดยตรงเพื่อให้ได้นิยามของ $e z$ สำหรับค่าเชิงซ้อนของ $z$ ได้ง่ายๆ โดยการแทนที่ $x$ ด้วย $z$ และใช้การดำเนินการทางพีชคณิตเชิงซ้อน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราสามารถใช้นิยามใดนิยามหนึ่งในสามนิยามต่อไปนี้ ซึ่งเทียบเท่ากัน จากมุมมองที่ซับซ้อนขึ้น นิยามแต่ละข้อเหล่านี้สามารถตีความได้ว่าเป็นการต่อยอดเชิงวิเคราะห์ที่ไม่ซ้ำกัน ของ $e$ $x$ ไปยังระนาบเชิงซ้อน

นิยามสมการเชิงอนุพันธ์

ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง $f(z)=e^{z}$ คือฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ ได้เพียงฟังก์ชันเดียว ของตัวแปรเชิงซ้อนซึ่งอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นเท่ากับฟังก์ชัน ${\frac {df}{dz}}=f$ และ $f(0)=1.$

นิยามของอนุกรมกำลัง

สำหรับค่า $z ที่ซับซ้อน$ $e^{z}=1+{\frac {z}{1!}}+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.$

โดยใช้การทดสอบอัตราส่วนสามารถแสดงได้ว่าอนุกรมกำลัง นี้ มีรัศมีการลู่เข้าเป็น อนันต์ และดังนั้นจึงกำหนด $e z$ สำหรับ $z$ เชิงซ้อน ทั้งหมด

นิยามขีดจำกัด

สำหรับค่า $z ที่ซับซ้อน$ $e^{z}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.$

ในที่นี้ $n$ ถูกจำกัดให้เป็นจำนวนเต็มบวกดังนั้นจึงไม่มีข้อสงสัยใด ๆ เกี่ยวกับความหมาย ของเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลัง $n$

หลักฐาน

สามารถพิสูจน์สูตรนี้ได้หลายวิธี

การใช้การหาอนุพันธ์

หลักฐานนี้แสดงให้เห็นว่าผลหารของนิพจน์ตรีโกณมิติและนิพจน์เลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันคงที่ของหนึ่ง ดังนั้นจึงต้องเท่ากัน (ฟังก์ชันเลขชี้กำลังไม่เคยเป็นศูนย์^{[ 9 ]}ดังนั้นจึงอนุญาตได้) ^{[ 10 ]}

พิจารณาฟังก์ชัน $f (θ)$ $f(\theta )={\frac {\cos \theta +i\sin \theta }{e^{i\theta }}}=e^{-i\theta }\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)$ สำหรับ $ค่า θ$ จริง การหาอนุพันธ์จะได้โดยใช้กฎผลคูณ $f'(\theta )=e^{-i\theta }\left(i\cos \theta -\sin \theta \right)-ie^{-i\theta }\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)=0$ ดังนั้น $f (θ)$ จึงเป็นค่าคงที่ เนื่องจากฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีค่าเท่ากับ $1$ สำหรับ $θ = 0$ ตามคำนิยาม และฟังก์ชันตรีโกณมิติเชิงซ้อนก็มีค่าเท่ากับ $1$ เช่น กันที่จุดนั้น $f (0) = 1/1 = 1$ ดังนั้น $f (θ) = 1$ สำหรับ $θ$ ที่เป็นจำนวนจริงทั้งหมด และด้วยเหตุนี้ $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .$

การใช้ชุดกำลัง

แต่ละพจน์ในอนุกรมจะหมุนทวนเข็มนาฬิกา 90 องศา พจน์ที่มีกำลังคู่เป็นจำนวนจริง ดังนั้นจึงขนานกับเส้นจำนวนจริง และพจน์ที่มีกำลังคี่เป็นจำนวนจินตนาการ ดังนั้นจึงขนานกับแกนจินตนาการ การพล็อตแต่ละพจน์เป็นเวกเตอร์ในระนาบเชิงซ้อนโดยต่อกัน (การบวกเวกเตอร์) จะได้เส้นโค้งเกลียวเชิงเส้นแบบเป็นช่วงๆ เริ่มจากจุดกำเนิดและลู่เข้าสู่จุด (cos 2, sin 2) บนวงกลมหน่วย — กราฟแสดงพจน์แรกๆ ของอนุกรมเทย์เลอร์ของ $e <sub> it</sub>$ สำหรับ $t =$ 2

นี่คือการพิสูจน์สูตรของออยเลอร์โดยใช้การขยายอนุกรมกำลังรวมถึงข้อเท็จจริงพื้นฐานเกี่ยวกับกำลังของ $i$ : ^{[ 11 ]} ${\begin{aligned}i^{0}&=1,&i^{1}&=i,&i^{2}&=-1,&i^{3}&=-i,\\i^{4}&=1,&i^{5}&=i,&i^{6}&=-1,&i^{7}&=-i\\&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \end{aligned}}$

เมื่อใช้นิยามอนุกรมกำลังจากข้างต้น เราจะเห็นว่าสำหรับค่า $x ที่เป็นจำนวนจริง$ ${\begin{aligned}e^{ix}&=1+ix+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3}}{3!}}+{\frac {(ix)^{4}}{4!}}+{\frac {(ix)^{5}}{5!}}+{\frac {(ix)^{6}}{6!}}+{\frac {(ix)^{7}}{7!}}+{\frac {(ix)^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&=1+ix-{\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {ix^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {ix^{5}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}-{\frac {ix^{7}}{7!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&=\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left(x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\[8pt]&=\cos x+i\sin x,\end{aligned}}$ โดยในขั้นตอนสุดท้าย เราจะพบว่าพจน์ทั้งสองนั้นคืออนุกรมแมคลาลินสำหรับ $cos x$ และ $sin x$ การแบ่งออกเป็นสองอนุกรมนั้นสมเหตุสมผล เนื่องจากเรารู้ว่าอนุกรมสำหรับไซน์และโคไซน์ลู่เข้า

การใช้พิกัดเชิงขั้ว

การพิสูจน์อีกประการหนึ่ง^{[ 12 ]}อาศัยข้อเท็จจริงที่ว่าจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมดสามารถแสดงได้ในพิกัดเชิงขั้วและบนสมมติฐานที่ว่า $e^{ix}$ สามารถแสดงได้ในลักษณะเดียวกัน ซึ่งจะเป็นเช่นนั้นหากเราพบวิธีแก้ปัญหา ดังนั้นสำหรับค่า r และ θ บาง ค่า $ที่$ ขึ้น $อยู่$ กับ $x$ $e^{ix}=r\left(\cos \theta +i\sin \theta \right).$ ไม่มีการตั้งสมมติฐานใดๆ เกี่ยวกับ $r$ และ $θ$ ค่าเหล่านี้จะถูกกำหนดในระหว่างการพิสูจน์ จากนิยามใดๆ ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง สามารถแสดงได้ว่าอนุพันธ์ของ $e ix$ คือ $ie ix$ ดังนั้น การหาอนุพันธ์ทั้งสองข้างจะได้ $ie^{ix}=\left(\cos \theta +i\sin \theta \right){\frac {dr}{dx}}+r\left(-\sin \theta +i\cos \theta \right){\frac {d\theta }{dx}}.$ เมื่อแทนค่า $r (cos θ + i sin θ)$ ลง ใน $e ix$ และเทียบส่วนจริงและส่วนจินตนาการในสูตรนี้ จะได้ $⁠ dr / dx ⁠ = 0$ และ $⁠$ $dθ$ $/$ $dx$ $⁠$ $= 1$ ดังนั้น $r$ เป็นค่าคงที่ และ $θ$ คือ $x$ $+$ $C$ สำหรับค่าคงที่ $C$ บางค่า ตอนนี้เรามี $e^{i\theta }=re^{iC}(\cos \theta +i\sin \theta );$ เมื่อทราบว่า $e i 0 = 1$ สำหรับ $θ = 0$ จะได้ว่า $1=re^{iC}(\cos(0)+i\sin(0))=re^{iC}(1+i0)=re^{iC},$ มอบความคงที่ให้กับเรา $re^{iC}=1$ และพิสูจน์สูตร $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .$

แอปพลิเคชัน

การประยุกต์ใช้ในทฤษฎีจำนวนเชิงซ้อน

การตีความสูตร

สูตรนี้สามารถตีความได้ว่า ฟังก์ชัน $e iφ$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนหน่วย กล่าว คือ มันลากเส้นตามวงกลมหน่วยในระนาบเชิงซ้อนเมื่อ $φ$ เปลี่ยนแปลงไปตามจำนวนจริง โดยที่ $φ$ คือมุมที่เส้นตรงที่เชื่อมจุดกำเนิดกับจุดบนวงกลมหน่วยทำกับแกนจริงบวก วัดทวนเข็มนาฬิกาและมีหน่วย เป็น เรเดียน

การพิสูจน์ดั้งเดิมนั้นอาศัย การกระจายอนุกรม เทย์เลอร์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง $e z$ (โดยที่ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน) และของ $sin x$ และ $cos x$ สำหรับจำนวนจริง $x$ ( ดูด้านบน ) อันที่จริง การพิสูจน์เดียวกันนี้แสดงให้เห็นว่าสูตรของออยเลอร์นั้นใช้ได้กับจำนวนเชิงซ้อน $x$ ทุก จำนวนด้วย

จุดในระนาบเชิงซ้อนสามารถแทนด้วยจำนวนเชิงซ้อนที่เขียนในพิกัดคาร์ทีเซียนได้ สูตรของออยเลอร์เป็นวิธีการแปลงระหว่างพิกัดคาร์ทีเซียนและพิกัดเชิงขั้ว รูปแบบเชิงขั้วทำให้คณิตศาสตร์ง่ายขึ้นเมื่อใช้ในการคูณหรือยกกำลังจำนวนเชิงซ้อน จำนวนเชิงซ้อนใดๆ $z = x + iy$ และจำนวนเชิงซ้อนสังยุคของมัน $z = x - iy$ สามารถเขียนได้ดังนี้ ${\begin{aligned}z&=x+iy=|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )=re^{i\varphi },\\{\bar {z}}&=x-iy=|z|(\cos \varphi -i\sin \varphi )=re^{-i\varphi },\end{aligned}}$ ที่ไหน

$x = Re z$ คือส่วนจริง
$y = Im โดย ที่ z$ คือส่วนจินตภาพ
$\textstyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ คือขนาดของ $z$ และ
$φ = หาเรื่อง z = atan2 (y, x)$ .

$φ$ คือค่าอาร์กิวเมนต์ของ $z$ $กล่าว$ คือ มุมระหว่าง แกน xกับเวกเตอร์zวัดทวนเข็มนาฬิกาในหน่วยเรเดียนซึ่งกำหนดไว้โดยการบวก $2π$ ตำราหลายเล่มเขียน $φ = tan -1 ⁠ y / x ⁠$ แทนที่จะเป็น $φ = atan2(y, x)$ แต่สมการแรกต้องปรับแก้เมื่อ $x \leq 0$ เนื่องจากสำหรับค่า $x$ และ $y$ ที่เป็นจำนวนจริงใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ทั้งคู่ มุมของเวกเตอร์ $(x, y)$ และ $(- x, - y)$ จะต่างกัน $π$ เรเดียน แต่มีค่า $tan φ = ⁠ y / x ⁠$ เท่า กัน

การใช้สูตรเพื่อกำหนดลอการิทึมของจำนวนเชิงซ้อน

ทีนี้ เมื่อใช้สูตรที่ได้มานี้ เราสามารถใช้สูตรของออยเลอร์เพื่อกำหนดลอการิทึมของจำนวนเชิงซ้อนได้ ในการทำเช่นนั้น เราก็ใช้คำนิยามของลอการิทึม (ซึ่งเป็นตัวดำเนินการผกผันของการยกกำลัง) ด้วยเช่นกัน: $a=e^{\ln a},$ และนั่น $e^{a}e^{b}=e^{a+b},$ ทั้งสองวิธีใช้ได้กับจำนวนเชิงซ้อน $a$ และ $b$ ใดๆ ดังนั้นจึงสามารถเขียนได้ดังนี้: $z=\left|z\right|e^{i\varphi }=e^{\ln \left|z\right|}e^{i\varphi }=e^{\ln \left|z\right|+i\varphi }$ สำหรับ $z \neq 0$ ใดๆ การหาลอการิทึมของทั้งสองข้างแสดงให้เห็นว่า $\ln z=\ln \left|z\right|+i\varphi ,$ และในความเป็นจริง สิ่งนี้สามารถใช้เป็นนิยามสำหรับลอการิทึมเชิงซ้อนได้ดังนั้น ลอการิทึมของจำนวนเชิงซ้อนจึงเป็นฟังก์ชันที่มีหลายค่าเนื่องจาก $φ$ เป็นจำนวนที่มีหลายค่า

สุดท้ายนี้ กฎเลขชี้กำลังอีกข้อหนึ่ง $\left(e^{a}\right)^{k}=e^{ak},$ ซึ่งจะเห็นได้ว่าใช้ได้กับจำนวนเต็ม $k$ ทุกตัว เมื่อรวมกับสูตรของออยเลอร์ จะนำไปสู่เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ หลายประการ รวมถึงสูตรของเดอ มัวร์ด้วย

ความสัมพันธ์กับตรีโกณมิติ

สูตรของออยเลอร์ นิยามของฟังก์ชันตรีโกณมิติ และเอกลักษณ์มาตรฐานสำหรับฟังก์ชันเลขชี้กำลังนั้นเพียงพอที่จะหาที่มาของเอกลักษณ์ตรีโกณมิติส่วนใหญ่ได้อย่างง่ายดาย มันสร้างความเชื่อมโยงที่ทรงพลังระหว่างการวิเคราะห์และตรีโกณมิติและให้การตีความฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ว่าเป็นผลรวมถ่วงน้ำหนักของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง: ${\begin{aligned}\cos x&=\operatorname {Re} \left(e^{ix}\right)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\\\sin x&=\operatorname {Im} \left(e^{ix}\right)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}.\end{aligned}}$

สมการทั้งสองข้างต้นสามารถหาได้จากการบวกหรือลบสูตรของออยเลอร์: ${\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x,\\e^{-ix}&=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x\end{aligned}}$ และแก้สมการหาค่าโคไซน์หรือไซน์

สูตรเหล่านี้ยังสามารถใช้เป็นนิยามของฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับตัวแปรเชิงซ้อน $x$ ได้อีกด้วย ตัวอย่างเช่น ถ้าให้ $x = iy$ เราจะได้: ${\begin{aligned}\cos iy&={\frac {e^{-y}+e^{y}}{2}}=\cosh y,\\\sin iy&={\frac {e^{-y}-e^{y}}{2i}}={\frac {e^{y}-e^{-y}}{2}}i=i\sinh y.\end{aligned}}$

นอกจากนี้ ${\begin{aligned}\cosh ix&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}=\cos x,\\\sinh ix&={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2}}=i\sin x.\end{aligned}}$

เลขชี้กำลังเชิงซ้อนสามารถทำให้ตรีโกณมิติง่ายขึ้นได้ เพราะสามารถจัดการทางคณิตศาสตร์ได้ง่ายกว่าส่วนประกอบไซน์และโคไซน์ เทคนิคหนึ่งคือการแปลงไซน์และโคไซน์ให้เป็นนิพจน์ที่เทียบเท่ากันในรูปของเลขชี้กำลัง ซึ่งบางครั้งเรียกว่าไซนูซอยด์เชิงซ้อน^{[ 13 ]}หลังจากการจัดการแล้ว ผลลัพธ์ที่ง่ายขึ้นก็ยังคงเป็นค่าจริง ตัวอย่างเช่น:

${\begin{aligned}\cos x\cos y&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\cdot {\frac {e^{iy}+e^{-iy}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}{\bigg (}{\frac {e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y)}}{2}}+{\frac {e^{i(x-y)}+e^{-i(x-y)}}{2}}{\bigg )}\\&={\frac {1}{2}}\left(\cos(x+y)+\cos(x-y)\right).\end{aligned}}$

อีกเทคนิคหนึ่งคือการแทนค่าไซน์และโคไซน์ในรูปของส่วนจริงของนิพจน์เชิงซ้อน และทำการคำนวณกับนิพจน์เชิงซ้อนนั้น ตัวอย่างเช่น: ${\begin{aligned}\cos nx&=\operatorname {Re} \left(e^{inx}\right)\\&=\operatorname {Re} \left(e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\right)\\&=\operatorname {Re} {\Big (}e^{i(n-1)x}\cdot {\big (}\underbrace {e^{ix}+e^{-ix}} _{2\cos x}-e^{-ix}{\big )}{\Big )}\\&=\operatorname {Re} \left(e^{i(n-1)x}\cdot 2\cos x-e^{i(n-2)x}\right)\\&=\cos[(n-1)x]\cdot [2\cos x]-\cos[(n-2)x].\end{aligned}}$

สูตรนี้ใช้สำหรับการสร้างค่า $cos nx$ แบบเรียกซ้ำ สำหรับค่าจำนวนเต็ม $n$ และ $ค่า x$ ใดๆ (ในหน่วยเรเดียน)

เมื่อพิจารณาให้ $cos x$ เป็นพารามิเตอร์ในสมการข้างต้น จะได้สูตรเวียนเกิดสำหรับพหุนามเชบิเชฟชนิดแรก

การตีความเชิงทอพอโลยี

ในทางโทโพโลยีสูตรของออยเลอร์ระบุว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังจินตนาการ $t\mapsto e^{it}$ เป็นมอร์ฟิซึม ( แบบทั่วถึง ) ของกลุ่มโทโพโลยีจากเส้นจำนวนจริง $\mathbb {R}$ ไปยังวงกลมหน่วย $\mathbb {S} ^{1}$ อันที่จริง สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่า $\mathbb {R}$ ในฐานะพื้นที่ปกคลุมของ $\mathbb {S} ^{1}$ ในทำนองเดียวกันเอกลักษณ์ของออยเลอร์กล่าวว่าเคอร์เนลของแผนที่นี้คือ $\tau \mathbb {Z}$ , ที่ไหน $\tau =2\pi$ ข้อสังเกตเหล่านี้สามารถนำมารวมและสรุปได้ในแผนภาพการสลับตำแหน่งด้านล่างนี้:

แอปพลิเคชันอื่นๆ

ในสมการเชิงอนุพันธ์ฟังก์ชัน $e ix$ มักถูกใช้เพื่อทำให้คำตอบง่ายขึ้น แม้ว่าคำตอบสุดท้ายจะเป็นฟังก์ชันจริงที่เกี่ยวข้องกับไซน์และโคไซน์ก็ตาม เหตุผลก็คือ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันเฉพาะของการดำเนินการหาอนุพันธ์

ในวิศวกรรมไฟฟ้าการประมวลผลสัญญาณและสาขาที่คล้ายคลึงกัน สัญญาณที่เปลี่ยนแปลงเป็นระยะๆ ตามเวลา มักถูกอธิบายว่าเป็นผลรวมของฟังก์ชันไซน์ (ดูการวิเคราะห์ฟูริเยร์ ) และโดยทั่วไปจะแสดงออกมาได้สะดวกกว่าในรูปผลรวมของฟังก์ชันเอกซ์ponential ที่มีเลขชี้กำลัง เป็นจำนวนจินตนาการ โดยใช้สูตรของออยเลอร์ นอกจากนี้ การวิเคราะห์เฟเซอร์ของวงจรยังสามารถใช้สูตรของออยเลอร์เพื่อแสดงค่าอิมพีแดนซ์ของตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำได้อีกด้วย

ในปริภูมิสี่มิติของควอเทอร์เนียนมีทรงกลมของหน่วยจินตนาการ อยู่ สำหรับจุด $r$ ใดๆ บนทรงกลมนี้ และ $x$ เป็นจำนวนจริง สูตรของออยเลอร์สามารถนำมาใช้ได้: $\exp xr=\cos x+r\sin x,$ และองค์ประกอบนั้นเรียกว่าเวอร์เซอร์ในควอเทอร์เนียน เซตของเวอร์เซอร์ทั้งหมดก่อตัวเป็นทรงกลม 3 มิติในปริภูมิ 4 มิติ

ดูเพิ่มเติม

อ่านเพิ่มเติม

Nahin, Paul J. (2006). สูตรมหัศจรรย์ของดร.ออยเลอร์: แก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์มากมาย . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน. ISBN 978-0-691-11822-2.
วิลสัน, โรบิน (2018). สมการบุกเบิกของออยเลอร์: ทฤษฎีบทที่งดงามที่สุดในคณิตศาสตร์ . อ็อกซ์ฟอร์ด: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยอ็อกซ์ฟอร์ด. ISBN 978-0-19-879492-9MR 3791469

ลิงก์ภายนอก

องค์ประกอบของพีชคณิต

ด้วย

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]