การแปลงโคไซน์แบบไม่ต่อเนื่อง ( DCT )แสดงลำดับข้อมูล จำกัด ในรูปผลรวมของฟังก์ชันโคไซน์ ที่แกว่งด้วย ความถี่ ต่างกัน DCT ซึ่งเสนอครั้งแรกโดยNasir Ahmedในปี 1972 เป็นเทคนิคการแปลงที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในการประมวลผลสัญญาณและการบีบอัดข้อมูลใช้ในสื่อดิจิทัล ส่วนใหญ่ รวมถึงภาพดิจิทัล (เช่นJPEGและHEIF ) วิดีโอดิจิทัล (เช่นMPEGและH.26x ) เสียงดิจิทัล (เช่นDolby Digital , MP3และAAC ) โทรทัศน์ดิจิทัล (เช่นSDTV , HDTVและVOD ) วิทยุดิจิทัล (เช่นAAC+และDAB+ ) และการเข้ารหัสเสียงพูด (เช่นAAC-LD , SirenและOpus ) นอกจากนี้ DCT ยังมีความสำคัญต่อการใช้งานอื่นๆ อีกมากมายในวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมเช่นการประมวลผลสัญญาณดิจิทัลอุปกรณ์โทรคมนาคม การลดการ ใช้ แบนด์วิดท์เครือข่ายและวิธีการเชิงสเปกตรัมสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยด้วยวิธี เชิง ตัวเลข

DCT (Discrete Fourier Transform) คือการแปลงที่เกี่ยวข้องกับฟูริเยร์คล้ายกับการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง (DFT) แต่ใช้เฉพาะจำนวนจริง เท่านั้น โดย ทั่วไปแล้ว DCT จะเกี่ยวข้องกับ สัมประสิทธิ์ อนุกรมฟูริเยร์ของลำดับที่ขยายเป็นคาบและสมมาตร ในขณะที่ DFT เกี่ยวข้องกับสัมประสิทธิ์อนุกรมฟูริเยร์ของลำดับที่ขยายเป็นคาบเท่านั้น DCT เทียบเท่ากับ DFT ที่มีความยาวประมาณสองเท่า ทำงานกับข้อมูลจริงที่มี สมมาตร คู่ (เนื่องจากการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันจริงและคู่เป็นจำนวนจริงและคู่) ในขณะที่ในบางรูปแบบ ข้อมูลอินพุตหรือเอาต์พุตจะถูกเลื่อนไปครึ่งหนึ่งของตัวอย่าง

จากมุมมองของการประมวลผลสัญญาณเชิงพีชคณิตความสัมพันธ์ระหว่าง DCT และ DFT สะท้อนถึงโครงสร้างพีชคณิตพื้นฐานที่แตกต่างกัน: ฟังก์ชันพื้นฐานของ DFT เป็นตัวแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้ของกลุ่มวัฏจักรทำให้ DFT เป็นการแปลงสเปกตรัมตามธรรมชาติสำหรับสัญญาณที่มีเงื่อนไขขอบเขตแบบคาบ (วงกลม) ในขณะที่ฟังก์ชันพื้นฐานของ DCT เป็นตัวแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้ของกลุ่มไดเฮดรัลทำให้ DCT เป็นธรรมชาติสำหรับสัญญาณที่มีเงื่อนไขขอบเขตแบบสมมาตร (คู่) ^{[ 1 ]}

มีการแปลงโคไซน์แบบไม่ต่อเนื่อง (DCT) มาตรฐานแปดแบบ ซึ่งสี่แบบเป็นที่นิยมใช้กัน แบบที่นิยมใช้มากที่สุดคือ DCT แบบที่สอง ซึ่งมักเรียกง่ายๆ ว่าDCT _II นี่คือ DCT ดั้งเดิมที่เสนอโดย Ahmed เป็นครั้งแรก ส่วนแบบผกผันของมันคือ DCT แบบที่สาม ซึ่งมักเรียกง่ายๆ ว่าDCT ผกผันหรือIDCTการแปลงที่เกี่ยวข้องอีกสองแบบคือการแปลงไซน์แบบไม่ต่อเนื่อง (DST) ซึ่งเทียบเท่ากับ DFT ของฟังก์ชันจำนวนจริงและจำนวนคี่และการแปลงโคไซน์แบบไม่ต่อเนื่องแบบดัดแปลง (MDCT) ซึ่งอิงจาก DCT ของข้อมูลที่ซ้อนทับกัน DCT แบบหลายมิติ (MD DCT) ถูกพัฒนาขึ้นเพื่อขยายแนวคิดของ DCT ไปสู่สัญญาณหลายมิติ มีการพัฒนาอัลกอริธึมที่รวดเร็วหลากหลายวิธีเพื่อลดความซับซ้อนในการคำนวณของการใช้งาน DCT หนึ่งในนั้นคือ DCT จำนวนเต็ม (IntDCT) ^{[ 2 ]}ซึ่ง เป็นการประมาณ ค่าจำนวนเต็มของ DCT มาตรฐาน^{[ 3 ] : ix, xiii, 1, 141–304}ที่ใช้ในมาตรฐานสากลISO/IECและITU-T หลายฉบับ ^{[ 2 ] [ 3 ]}

การบีบอัด DCT หรือที่เรียกว่าการบีบอัดแบบบล็อก จะบีบอัดข้อมูลในชุดของบล็อก DCT ที่แยกจากกัน^{[ 4 ]}ขนาดบล็อก DCT รวมถึง8 × 8พิกเซลสำหรับ DCT มาตรฐาน และขนาด DCT จำนวนเต็มที่แตกต่างกันระหว่าง4 × 4และ32 × 32พิกเซล^{[ 2 ] [ 5 ]} DCT มีคุณสมบัติการบีบอัดพลังงาน ที่แข็งแกร่ง ^{[ 6 ] [ 7 ]}ซึ่งสามารถบรรลุคุณภาพสูงที่อัตราส่วนการบีบอัดข้อมูลสูง^{[ 8 ] [ 9 ]}อย่างไรก็ตาม อาจเกิด สิ่งแปลกปลอมจากการบีบอัด แบบบล็อกขึ้น ได้เมื่อใช้การบีบอัด DCT อย่างหนัก

DCT ถูกคิดค้นขึ้นครั้งแรกโดยNasir Ahmedขณะทำงานอยู่ที่Kansas State Universityแนวคิดนี้ถูกเสนอต่อNational Science Foundationในปี 1972 เดิมที DCT มีจุดประสงค์เพื่อ การบีบ อัดภาพ^{[ 10 ] [ 2 ]} Ahmed ได้พัฒนาอัลกอริทึม DCT ที่ใช้งานได้จริงร่วมกับนักศึกษาปริญญาเอกของเขา T. Raj Natarajan และKR Raoที่มหาวิทยาลัยเท็กซัสที่อาร์ลิงตันในปี 1973 ^{[ 10 ]}พวกเขานำเสนอผลลัพธ์ในบทความเดือนมกราคม 1974 ในชื่อDiscrete Cosine Transform [ ^{6 ] [ 7 ] [ 11 ] ซึ่ง}อธิบายสิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่า DCT ประเภท II (DCT-II) ^{[ 3 ] : 51}รวมถึง DCT ผกผันประเภท III (IDCT) ^{[ 6 ]}

นับตั้งแต่มีการนำเสนอในปี 1974 มีการวิจัยเกี่ยวกับ DCT อย่างมีนัยสำคัญ^{[ 11 ]}ในปี 1977 Wen-Hsiung Chen ได้ตีพิมพ์บทความร่วมกับ C. Harrison Smith และ Stanley C. Fralick ซึ่งนำเสนออัลกอริทึม DCT ที่รวดเร็ว^{[ 12 ] [ 11 ]}การพัฒนาเพิ่มเติม ได้แก่ บทความในปี 1978 โดย MJ Narasimha และ AM Peterson และบทความในปี 1984 โดย BG Lee ^{[ 11 ]}บทความวิจัยเหล่านี้ พร้อมด้วยบทความของ Ahmed ในปี 1974 และบทความของ Chen ในปี 1977 ได้รับการอ้างอิงโดยJoint Photographic Experts Groupว่าเป็นพื้นฐานสำหรับอัลกอริทึมการบีบอัดภาพแบบสูญเสียข้อมูลของJPEG ในปี 1992 ^{[ 11 ] [ 13 ]}

การแปลงไซน์แบบไม่ต่อเนื่อง (DST) ได้มาจาก DCT โดยการแทนที่เงื่อนไข Neumannที่x=0ด้วยเงื่อนไขDirichlet ^{[ 3 ] : 35-36} DST ได้รับการอธิบายในบทความ DCT ปี 1974 โดย Ahmed, Natarajan และ Rao ^{[ 6 ]} ต่อมา Anil K. Jainได้อธิบาย DST ประเภทที่ 1 (DST-I) ในปี 1976 และ HB Kekra และ JK Solanka ได้อธิบาย DST ประเภทที่ 2 (DST-II) ในปี 1978 ^{[ 14 ]}

ในปี พ.ศ. 2518 John A. Roese และ Guner S. Robinson ได้ดัดแปลง DCT สำหรับการเข้ารหัสวิดีโอชดเชยการเคลื่อนไหวระหว่างเฟรม พวกเขาได้ทดลองกับ DCT และการแปลงฟูริเยร์แบบเร็ว (FFT) โดยพัฒนาตัวเข้ารหัสแบบไฮบริดระหว่างเฟรมสำหรับทั้งสอง และพบว่า DCT มีประสิทธิภาพมากที่สุดเนื่องจากมีความซับซ้อนน้อยลง สามารถบีบอัดข้อมูลภาพลงเหลือ 0.25 บิตต่อพิกเซลสำหรับ ฉาก วิดีโอโทรศัพท์ที่มีคุณภาพของภาพเทียบเท่ากับตัวเข้ารหัสภายในเฟรมที่ต้องการ 2 บิตต่อพิกเซล^{[ 15 ] [ 16 ]}ในปี พ.ศ. 2522 Anil K. Jainและ Jaswant R. Jain ได้พัฒนาการบีบอัดวิดีโอ DCT ชดเชยการเคลื่อนไหวเพิ่มเติม^{[ 17 ] [ 18 ]}ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าการชดเชยการเคลื่อนไหวแบบบล็อก^{[ 18 ]}สิ่งนี้ทำให้ Chen พัฒนาอัลกอริทึมการบีบอัดวิดีโอที่ใช้งานได้จริง เรียกว่า DCT ที่ชดเชยการเคลื่อนไหวหรือการเข้ารหัสฉากแบบปรับได้ ในปี 1981 ^{[ 18 ]}ต่อมา DCT ที่ชดเชยการเคลื่อนไหวกลายเป็นเทคนิคการเข้ารหัสมาตรฐานสำหรับการบีบอัดวิดีโอตั้งแต่ปลายทศวรรษ 1980 เป็นต้นไป^{[ 19 ] [ 20 ]}

รูปแบบหนึ่งของ DCT คือการแปลงโคไซน์แบบไม่ต่อเนื่องที่ดัดแปลง (MDCT) ได้รับการพัฒนาโดย John P. Princen, AW Johnson และ Alan B. Bradley ที่มหาวิทยาลัย Surreyในปี 1987 ^{[ 21 ]}โดยอ้างอิงจากงานก่อนหน้านี้ของ Princen และ Bradley ในปี 1986 ^{[ 22 ]} MDCT ถูกใช้ใน รูปแบบ การบีบอัดเสียง สมัยใหม่ส่วนใหญ่ เช่นDolby Digital (AC-3) ^{[ 23 ] [ 24 ]} MP3 (ซึ่งใช้อัลกอริทึมแบบไฮบริด DCT-FFT) ^{[ 25 ]} Advanced Audio Coding (AAC) ^{[ 26 ]}และVorbis ( Ogg ) ^{[ 27 ]}

Nasir Ahmed ยังได้พัฒนาอัลกอริทึม DCT แบบไม่สูญเสียข้อมูลร่วมกับ Giridhar Mandyam และ Neeraj Magotra ที่มหาวิทยาลัยนิวเม็กซิโกในปี 1995 ซึ่งทำให้สามารถใช้เทคนิค DCT สำหรับการบีบอัดภาพแบบไม่สูญเสียข้อมูลได้ เป็นการดัดแปลงอัลกอริทึม DCT ดั้งเดิม และรวมองค์ประกอบของ DCT ผกผันและการปรับเดลต้า เข้าไว้ด้วยกัน เป็นอัลกอริทึมการบีบอัดแบบไม่สูญเสียข้อมูลที่มีประสิทธิภาพมากกว่าการเข้ารหัสเอนโทรปี^{[ 28 ]} DCT แบบไม่สูญเสียข้อมูลเรียกอีกอย่างว่า LDCT ^{[ 29 ]}

DCT เป็นเทคนิคการแปลงที่ใช้กันอย่างแพร่หลายที่สุดในการประมวลผลสัญญาณ [ ^{30 ]}และเป็นการแปลงเชิงเส้นที่ใช้กันอย่างแพร่หลายที่สุดใน การบีบ อัดข้อมูล^{[ 31 ]}สื่อดิจิทัล^ที่ไม่ได้ บีบอัด รวมถึงการบีบอัดแบบไม่สูญเสีย ข้อมูล มีความต้องการ หน่วยความจำและแบนด์วิดท์สูงซึ่งลดลงอย่างมากด้วยเทคนิคการบีบอัดแบบสูญเสีย ข้อมูล DCT ^{[ 8 ] [ 9 ]}ซึ่งสามารถบรรลุอัตราส่วนการบีบอัดข้อมูลตั้งแต่ 8:1 ถึง 14:1 สำหรับคุณภาพใกล้เคียงกับสตูดิโอ[ ^{8 ] สูง} ถึง 100: 1 สำหรับเนื้อหาคุณภาพที่ยอมรับได้^{[ 9 ]}มาตรฐานการบีบอัด DCT ใช้ในเทคโนโลยีสื่อดิจิทัล เช่นภาพดิจิทัลภาพถ่ายดิจิทัล^{[ 32 ] [ 33 ]}วิดีโอดิจิทัล^{[ 19 ] [ 34 ]}สื่อสตรีมมิ่ง [ ^{35 ] โทรทัศน์}ดิจิทัลโทรทัศน์สตรีมมิ่งวิดีโอตามความต้องการ (VOD) ^{[ 9 ]}ภาพยนตร์ดิจิทัล [ ^{23 ]}วิดีโอความละเอียดสูง (HD video ⁾และโทรทัศน์ความละเอียดสูง (HDTV) ^{[ 8 ] [ 36 ]}

DCT และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง DCT-II มักใช้ในการประมวลผลสัญญาณและภาพ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับการบีบอัดแบบสูญเสียข้อมูล เนื่องจากมีคุณสมบัติการบีบอัดพลังงาน ที่แข็งแกร่ง ^{[ 6 ] [ 7 ]}ในการใช้งานทั่วไป ข้อมูลสัญญาณส่วนใหญ่มักจะกระจุกตัวอยู่ในส่วนประกอบความถี่ต่ำเพียงไม่กี่ส่วนของ DCT สำหรับกระบวนการ Markov ที่มีความสัมพันธ์กันอย่างมาก DCT สามารถเข้าใกล้ประสิทธิภาพการบีบอัดของการแปลง Karhunen-Loève (ซึ่งเหมาะสมที่สุดในแง่ของการลดความสัมพันธ์) ดังที่อธิบายไว้ด้านล่างนี้ สิ่งนี้เกิดจากเงื่อนไขขอบเขตที่แฝงอยู่ในฟังก์ชันโคไซน์

DCT ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยด้วยวิธีสเปกตรัมโดยที่ DCT รูปแบบต่างๆ จะสอดคล้องกับเงื่อนไขขอบเขตคู่และคี่ที่แตกต่างกันเล็กน้อยที่ปลายทั้งสองของอาร์เรย์

DCT มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับพหุนามเชบิเชฟและอัลกอริธึม DCT ที่รวดเร็ว (ด้านล่าง) ถูกนำมาใช้ในการประมาณค่าฟังก์ชันใดๆ ด้วยอนุกรมของพหุนามเชบิเชฟ เช่น ใน การหาปริพันธ์เชิงตัวเลข แบบ Clenshaw–Curtis

DCT ถูกนำไปใช้อย่างแพร่หลายในหลายแอปพลิเคชัน ซึ่งรวมถึงแอปพลิเคชันต่อไปนี้

DCT-II เป็นเทคนิคการบีบอัดภาพที่สำคัญ ใช้ในมาตรฐานการบีบอัดภาพ เช่นJPEGและ มาตรฐาน การบีบอัดวิดีโอเช่นH.26x , MJPEG , MPEG , DV , TheoraและDaalaโดยจะคำนวณ DCT-II สองมิติของบล็อก และผลลัพธ์จะถูกควอนไทซ์และเข้ารหัสเอน โทรปี ในกรณีนี้โดยทั่วไปแล้วขนาดของบล็อกคือ 8 และสูตร DCT-II จะถูกนำไปใช้กับแต่ละแถวและคอลัมน์ของบล็อก ผลลัพธ์ที่ได้คืออาร์เรย์สัมประสิทธิ์การแปลงขนาด 8 × 8 ซึ่งองค์ประกอบ (ด้านบนซ้าย) คือส่วนประกอบ DC (ความถี่ศูนย์) และค่าดัชนีแนวตั้งและแนวนอนที่เพิ่มขึ้นจะแสดงถึงความถี่เชิงพื้นที่แนวตั้งและแนวนอนที่สูงขึ้น ${\displaystyle N\times N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle (0,0)}$

DCT แบบจำนวนเต็ม ซึ่งเป็นการประมาณค่า DCT แบบจำนวนเต็ม^{[ 3 ] [ 2 ]}ถูกใช้ในAdvanced Video Coding (AVC) ^{[ 53 ] [ 2 ]}ซึ่งเปิดตัวในปี 2003 และHigh Efficiency Video Coding (HEVC) ^{[ 5 ] [ 2 ]}ซึ่งเปิดตัวในปี 2013 นอกจากนี้ DCT แบบจำนวนเต็มยังถูกใช้ในHigh Efficiency Image Format (HEIF) ซึ่งใช้ชุดย่อยของ รูปแบบการเข้ารหัสวิดีโอ HEVCสำหรับการเข้ารหัสภาพนิ่ง^{[ 5 ]} AVC ใช้บล็อกขนาด 4 x 4 และ 8 x 8 พิกเซล ส่วน HEVC และ HEIF ใช้ขนาดบล็อกที่แตกต่างกันระหว่าง 4 x 4 และ 32 x 32 พิกเซล[ ^{5 ] [ 2 ] ณ}ปี 2019 AVC เป็นรูปแบบที่ใช้กันมากที่สุดสำหรับการบันทึก การบีบอัด และการเผยแพร่เนื้อหาวิดีโอ โดยมีนักพัฒนาวิดีโอใช้ถึง 91% ตามมาด้วย HEVC ซึ่งมีนักพัฒนาใช้ 43% ^{[ 44 ]}

DCT หลายมิติ (MD DCT) มีการใช้งานหลายอย่าง โดยส่วนใหญ่เป็น DCT 3 มิติ เช่น 3 มิติ DCT-II ซึ่งมีการใช้งานใหม่หลายอย่าง เช่น ระบบการเข้ารหัสภาพไฮเปอร์สเปกตรัม^{[ 86 ]}การเข้ารหัส DCT 3 มิติที่มีความยาวเชิงเวลาแปรผัน^{[ 87 ]} อัลกอริทึมการเข้ารหัสวิดีโอ^{[ 88 ]}การเข้ารหัสวิดีโอแบบปรับตัว^{[ 89 ]}และการบีบอัด 3 มิติ^{[ 90 ]}เนื่องจากการพัฒนาฮาร์ดแวร์ ซอฟต์แวร์ และการแนะนำอัลกอริทึมที่รวดเร็วหลายอย่าง ความจำเป็นในการใช้ MD DCT จึงเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วDCT-IVได้รับความนิยมสำหรับการใช้งานในการใช้งานอย่างรวดเร็วของธนาคารตัวกรองโพลีเฟสค่าจริง^{[ 91 ]}การแปลงออร์โธโกนอลแบบซ้อนทับ^{[ 92 ] [ 93 ]}และฐานเวฟเล็ตแบบมอดูเลตโคไซน์^{[ 94 ]}

DCT มีบทบาทสำคัญในการประมวลผลสัญญาณดิจิทัลโดยเฉพาะการบีบอัดข้อมูล DCT ถูกนำไปใช้อย่างแพร่หลายในโปรเซสเซอร์สัญญาณดิจิทัล (DSP) รวมถึงซอฟต์แวร์ประมวลผลสัญญาณดิจิทัล บริษัทหลายแห่งได้พัฒนา DSP โดยใช้เทคโนโลยี DCT DCT ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในแอปพลิเคชันต่างๆ เช่นการเข้ารหัสการถอดรหัส วิดีโอ เสียงการมัลติเพล็กซ์ สัญญาณควบคุมการส่งสัญญาณและการแปลงอนาล็อกเป็นดิจิทัลนอกจากนี้ DCT ยังถูกใช้กันทั่วไปในชิป เข้ารหัส/ถอดรหัส โทรทัศน์ความละเอียดสูง (HDTV ) ^{[ 2 ]}

ปัญหาทั่วไปของการบีบอัด DCT ในสื่อดิจิทัลคือสิ่งแปลกปลอมจากการบีบอัดแบบ เป็นบล็อก ^{[ 95 ]}ซึ่งเกิดจากบล็อก DCT ^{[ 4 ]}ในอัลกอริธึม DCT รูปภาพ (หรือเฟรมในลำดับภาพ) จะถูกแบ่งออกเป็นบล็อกสี่เหลี่ยมซึ่งจะถูกประมวลผลแยกจากกัน จากนั้นจะนำบล็อก DCT ภายในแต่ละบล็อกและค่าสัมประสิทธิ์ DCT ที่ได้จะถูกควอนไทซ์^{กระบวนการ}นี้ อาจทำให้เกิดสิ่งแปลกปลอมแบบเป็นบล็อก โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่ อัตราส่วนการบีบอัดข้อมูลสูง[ ^{95 ]}นอกจากนี้ยังอาจทำให้เกิด เอฟเฟกต์สัญญาณ รบกวนแบบยุงซึ่งมักพบในวิดีโอดิจิทัล^{[ 96 ]}

บล็อก DCT มักถูกใช้ในงานศิลปะกลิตช์ [ ^{4 ] ศิลปิน} Rosa Menkmanใช้สิ่งประดิษฐ์การบีบอัดแบบ DCT ในงานศิลปะกลิตช์ของเธอ^{[ 97 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่งบล็อก DCT ที่พบใน รูปแบบ สื่อดิจิทัล ส่วนใหญ่ เช่น ภาพดิจิทัล JPEGและไฟล์เสียงMP3 ^{[ 4 ]}อีกตัวอย่างหนึ่งคือภาพ JPEGของช่างภาพชาวเยอรมันThomas Ruffซึ่งใช้ สิ่งประดิษฐ์ JPEG ที่ตั้งใจ เป็นพื้นฐานของสไตล์ภาพ^{[ 98 ] [ 99 ]}

เช่นเดียวกับการแปลงที่เกี่ยวข้องกับฟูริเยร์อื่นๆ การแปลง DCT แสดงฟังก์ชันหรือสัญญาณในรูปผลรวมของไซน์ ที่มี ความถี่และแอมพลิจูดต่างกัน เช่นเดียวกับการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง (DFT) การแปลง DCT ทำงานกับฟังก์ชันที่ จุดข้อมูลแบบไม่ต่อเนื่องจำนวนจำกัดความแตกต่างที่เห็นได้ชัดระหว่าง DCT และ DFT คือ DCT ใช้เฉพาะฟังก์ชันโคไซน์ ในขณะที่ DFT ใช้ทั้งโคไซน์และไซน์ (ในรูปของเลขชี้กำลังเชิงซ้อน ) อย่างไรก็ตาม ความแตกต่างที่เห็นได้ชัดนี้เป็นเพียงผลลัพธ์ของความแตกต่างที่ลึกกว่านั้น: DCT บ่งบอกถึงเงื่อนไขขอบเขต ที่แตกต่าง จาก DFT หรือการแปลงอื่นๆ ที่เกี่ยวข้อง

การแปลงที่เกี่ยวข้องกับฟูริเยร์ซึ่งกระทำกับฟังก์ชันในโดเมน จำกัด เช่น DFT หรือ DCT หรืออนุกรมฟูริเยร์สามารถมองได้ว่าเป็นการกำหนดส่วนขยายของฟังก์ชันนั้นออกไปนอกโดเมนโดยปริยาย กล่าวคือ เมื่อคุณเขียนฟังก์ชันเป็นผลรวมของไซน์ คุณสามารถประเมินผลรวมนั้นได้ที่ค่าใดๆ ก็ได้แม้กระทั่งในกรณีที่ไม่ได้ระบุค่าดั้งเดิมไว้ก็ตาม DFT เช่นเดียวกับอนุกรมฟูริเยร์ บ่งบอกถึง ส่วนขยาย แบบคาบของฟังก์ชันดั้งเดิม ส่วน DCT เช่นเดียวกับการแปลงโคไซน์บ่งบอกถึง ส่วนขยายแบบ คู่ของฟังก์ชันดั้งเดิม ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)}$

อย่างไรก็ตาม เนื่องจาก DCT ทำงานกับ ลำดับ แบบจำกัดและไม่ต่อเนื่องจึงเกิดปัญหาขึ้นสองประการที่ไม่เกิดขึ้นกับการแปลงโคไซน์แบบต่อเนื่อง ประการแรก ต้องระบุว่าฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันคู่หรือฟังก์ชันคี่ที่ ขอบ ด้านซ้ายและด้านขวาของโดเมน (กล่าวคือ ขอบ min- nและ max- nในคำจำกัดความด้านล่างตามลำดับ) ประการที่สอง ต้องระบุว่าฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันคู่หรือฟังก์ชันคี่รอบจุดใด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พิจารณาลำดับ abcdของจุดข้อมูลสี่จุดที่เว้นระยะห่างเท่ากัน และสมมติว่าเรากำหนด ขอบ ด้านซ้าย เป็นฟังก์ชันคู่ มีความเป็นไปได้สองประการที่สมเหตุสมผล คือ ข้อมูลเป็นฟังก์ชันคู่รอบจุดตัวอย่างaซึ่งในกรณีนี้ส่วนขยายที่เป็นฟังก์ชันคู่คือdcbabcdหรือข้อมูลเป็นฟังก์ชันคู่รอบจุดกึ่งกลางระหว่างaกับจุดก่อนหน้า ซึ่งในกรณีนี้ส่วนขยายที่เป็นฟังก์ชันคู่คือdcbaabcd ( aซ้ำกัน)

แต่ละขอบเขตสามารถเป็นได้ทั้งเลขคู่หรือเลขคี่ (2 ตัวเลือกต่อขอบเขต) และสามารถสมมาตรเกี่ยวกับจุดข้อมูลหรือจุดกึ่งกลางระหว่างจุดข้อมูลสองจุด (2 ตัวเลือกต่อขอบเขต) รวมเป็น 2 × 2 × 2 × 2 = 16 ความเป็นไปได้ ตัวเลือกเหล่านี้จะนำไปสู่รูปแบบมาตรฐานทั้งหมดของ DCT และการแปลงไซน์แบบไม่ต่อเนื่อง (DST) ครึ่งหนึ่งของความเป็นไปได้เหล่านี้ ซึ่ง ขอบเขต ด้านซ้ายเป็นเลขคู่ จะสอดคล้องกับ DCT ทั้ง 8 ประเภท ส่วนอีกครึ่งหนึ่งจะสอดคล้องกับ DST ทั้ง 8 ประเภท

เงื่อนไขขอบเขตที่แตกต่างกันเหล่านี้ส่งผลกระทบอย่างมากต่อการประยุกต์ใช้การแปลง และนำไปสู่คุณสมบัติที่มีประโยชน์เฉพาะตัวสำหรับ DCT ประเภทต่างๆ โดยตรงที่สุด เมื่อใช้การแปลงที่เกี่ยวข้องกับฟูริเยร์เพื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยด้วยวิธีการเชิงสเปกตรัมเงื่อนไขขอบเขตจะถูกระบุโดยตรงเป็นส่วนหนึ่งของปัญหาที่กำลังแก้ไข หรือสำหรับ MDCT (ซึ่งอิงตาม DCT ประเภท IV) เงื่อนไขขอบเขตมีส่วนเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับคุณสมบัติที่สำคัญของ MDCT ในการยกเลิกการเกิดเอเลียสในโดเมนเวลา ในลักษณะที่ละเอียดอ่อนกว่านั้น เงื่อนไขขอบเขตมีส่วนรับผิดชอบต่อ คุณสมบัติ การบีบอัดพลังงานที่ทำให้ DCT มีประโยชน์สำหรับการบีบอัดภาพและเสียง เนื่องจากขอบเขตส่งผลต่ออัตราการล convergence ของอนุกรมที่คล้ายฟูริเยร์ใดๆ

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เป็นที่ทราบกันดีว่าความไม่ต่อเนื่อง ใดๆ ในฟังก์ชันจะลดอัตราการล convergenceของอนุกรมฟูริเยร์ ทำให้ต้องใช้ไซนูซอยด์มากขึ้นในการแสดงฟังก์ชันด้วยความแม่นยำที่กำหนด หลักการเดียวกันนี้ควบคุมประโยชน์ของ DFT และการแปลงอื่นๆ สำหรับการบีบอัดสัญญาณ ยิ่งฟังก์ชันเรียบมากเท่าใด ก็ยิ่งต้องการจำนวนเทอมใน DFT หรือ DCT น้อยลงเท่านั้นในการแสดงฟังก์ชันอย่างแม่นยำ และยิ่งสามารถบีบอัดได้มากขึ้นเท่านั้น^{[ a ]}อย่างไรก็ตาม ความเป็นคาบโดยปริยายของ DFT หมายความว่าความไม่ต่อเนื่องมักเกิดขึ้นที่ขอบเขต: ส่วนใดๆ ของสัญญาณแบบสุ่มไม่น่าจะมีค่าเดียวกันที่ขอบเขตด้านซ้ายและด้านขวา^{[ b ]}ในทางตรงกันข้าม DCT ที่ขอบเขตทั้งสอง เป็นเลขคู่จะ ให้ส่วนขยายต่อเนื่องที่ขอบเขตเสมอ (แม้ว่า ความชันโดยทั่วไปจะไม่ต่อเนื่องก็ตาม) นี่คือเหตุผลที่ DCT และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง DCT ประเภท I, II, V และ VI (ประเภทที่มีขอบเขตคู่สองด้าน) โดยทั่วไปทำงานได้ดีกว่าสำหรับการบีบอัดสัญญาณมากกว่า DFT และ DST ในทางปฏิบัติ โดยทั่วไปแล้วจะนิยมใช้ DCT ประเภท II สำหรับการใช้งานดังกล่าว ส่วนหนึ่งเป็นเพราะความสะดวกในการคำนวณ

ในทางทฤษฎี การแปลงโคไซน์แบบไม่ต่อเนื่อง (Discrete Cosine Transform: DCT) เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นที่ผกผันได้(โดยที่แทนเซตของจำนวนจริง ) หรือเทียบเท่ากับเมทริกซ์จัตุรัสN × N ที่ผกผันได้ มีการแปลง DCT หลายรูปแบบที่มีคำจำกัดความที่ปรับเปลี่ยนเล็กน้อยจำนวนจริงNจะถูกแปลงเป็นจำนวนจริงNตามสูตรใดสูตรหนึ่งต่อไปนี้: ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{N}\to \mathbb {R} ^{N}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle ~x_{0},\ \ldots \ x_{N-1}~}$${\displaystyle X_{0},\,\ldots ,\,X_{N-1}}$

${\displaystyle X_{k}={\frac {1}{2}}(x_{0}+(-1)^{k}x_{N-1})+\sum _{n=1}^{N-2}x_{n}\cos \left[\,{\tfrac {\ \pi }{\,N-1\,}}\,n\,k\,\right]\qquad {\text{ สำหรับ }}~k=0,\ \ldots \ N-1~.}$

ผู้เขียนบางคนคูณ เทอม และด้วยและคูณเทอมและ ด้วย ซึ่งหากคูณด้วยตัวประกอบมาตราส่วนโดยรวมอีกจะทำให้เมทริกซ์ DCT-I เป็นเมทริกซ์ตั้งฉาก แต่จะทำลายความสอดคล้องโดยตรงกับ DFTคู่จริง ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{N-1}}$${\displaystyle {\sqrt {2\,}}\,}$${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle X_{N-1}}$${\displaystyle 1/{\sqrt {2\,}}\,}$${\textstyle {\sqrt {{\tfrac {2}{N-1\,}}\,}}}$

DCT-I นั้นเทียบเท่ากับ DFT ของจำนวนจริงที่มีสมมาตรคู่ได้อย่างสมบูรณ์ (โดยมีค่าตัวคูณโดยรวมไม่เกิน 2) ตัวอย่างเช่น DCT-I ของจำนวนจริงนั้นเทียบเท่ากับ DFT ของจำนวนจริงแปดจำนวน(สมมาตรคู่) หารด้วยสองอย่างสมบูรณ์ (ในทางตรงกันข้าม DCT ประเภท II-IV เกี่ยวข้องกับการเลื่อนครึ่งตัวอย่างใน DFT ที่เทียบเท่ากัน) ${\displaystyle 2(N-1)}$${\displaystyle N=5}$${\displaystyle a\ b\ c\ d\ e}$${\displaystyle a\ b\ c\ d\ e\ d\ c\ b}$

อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่า DCT-I ไม่ได้ถูกกำหนดไว้สำหรับค่าที่น้อยกว่า 2 ในขณะที่ DCT ประเภทอื่นๆ ทั้งหมดถูกกำหนดไว้สำหรับค่าบวกใดๆก็ได้ ${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$

ดังนั้น DCT-I จึงสอดคล้องกับเงื่อนไขขอบเขต: มีค่าเท่ากันรอบๆและมีค่าเท่ากันรอบๆ; ในทำนองเดียวกันสำหรับ ${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle n=0}$${\displaystyle n=N-1}$${\displaystyle X_{k}}$

${\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\cos \left[\,{\tfrac {\,\pi \,}{N}}\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)k\,\right]\qquad {\text{ สำหรับ }}~k=0,\ \dots \ N-1~.}$

DCT-II น่าจะเป็นรูปแบบที่ใช้กันทั่วไปมากที่สุด และมักจะเรียกง่ายๆว่าDCT ^{[ 6 ] [ 7 ]}

การแปลงนี้เทียบเท่ากับการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง (DFT) ของอินพุตจริงที่มีสมมาตรคู่ โดยที่องค์ประกอบที่มีดัชนีคู่เป็นศูนย์ กล่าวคือ เป็นครึ่งหนึ่งของ DFT ของอินพุตที่, สำหรับ, , และสำหรับการแปลง DCT-II ยังสามารถทำได้โดยใช้สัญญาณ ตามด้วยการคูณด้วยครึ่งการเลื่อน ซึ่งได้รับการสาธิตโดยMakhoul${\displaystyle 4N}$${\displaystyle 4N}$${\displaystyle y_{n},}$${\displaystyle y_{2n}=0}$${\displaystyle y_{2n+1}=x_{n}}$${\displaystyle 0\leq n<N}$${\displaystyle y_{2N}=0}$${\displaystyle y_{4N-n}=y_{n}}$${\displaystyle 0<n<2N}$${\displaystyle 2N}$

ผู้เขียนบางคนคูณเทอมด้วยและคูณส่วนที่เหลือของเมทริกซ์ด้วยตัวประกอบมาตราส่วนโดยรวมของ(ดูด้านล่างสำหรับการเปลี่ยนแปลงที่สอดคล้องกันใน DCT-III) ซึ่งทำให้เมทริกซ์ DCT-II ตั้งฉากกันแต่ทำลายความสอดคล้องโดยตรงกับ DFT คู่จริงของอินพุตที่เลื่อนครึ่งหนึ่ง นี่คือการทำให้เป็นมาตรฐานที่ใช้โดยMatlab ^{[ 100 ]} ในหลายแอปพลิเค ชันเช่นJPEG การปรับมาตราส่วนเป็นไปตามอำเภอใจ เนื่องจากตัวประกอบมาตราส่วนสามารถรวมเข้ากับขั้นตอนการคำนวณถัดไปได้ (เช่น ขั้นตอน การควอนไทเซชันใน JPEG ^{[ 101 ]} ) และสามารถเลือกการปรับมาตราส่วนที่ช่วยให้สามารถคำนวณ DCT ได้ด้วยการคูณที่น้อยลง^{[ 102 ] [ 103 ]}${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle 1/{\sqrt {N\,}}\,}$${\textstyle {\sqrt {{2}/{N}}}}$

DCT-II บ่งชี้ถึงเงื่อนไขขอบเขตดังนี้: เป็นเลขคู่รอบ ๆและเป็นเลขคู่รอบ ๆ; เป็นเลขคู่รอบ ๆและเป็นเลขคี่รอบๆ ${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle n=-1/2}$${\displaystyle n=N-1/2\,}$${\displaystyle X_{k}}$${\displaystyle k=0}$${\displaystyle k=N}$

${\displaystyle X_{k}={\tfrac {1}{2}}x_{0}+\sum _{n=1}^{N-1}x_{n}\cos \left[\,{\tfrac {\,\pi \,}{N}}\left(k+{\tfrac {1}{2}}\right)n\,\right]\qquad {\text{ สำหรับ }}~k=0,\ \ldots \ N-1~.}$

เนื่องจากเป็นรูปแบบผกผันของ DCT-II จนถึงตัวประกอบมาตราส่วน (ดูด้านล่าง) รูปแบบนี้จึงบางครั้งเรียกว่า DCT ผกผัน (IDCT) ^{[ 7 ]}

ผู้เขียนบางคนหารเทอมด้วยแทนที่จะหารด้วย 2 (ส่งผลให้ได้เทอมโดยรวม) และคูณเมทริกซ์ที่ได้ด้วยตัวประกอบมาตราส่วนโดยรวม(ดูรายละเอียดการเปลี่ยนแปลงที่สอดคล้องกันใน DCT-II ด้านบน) เพื่อให้ DCT-II และ DCT-III เป็นเมทริกซ์สลับแถวและคอลัมน์ของกันและกัน วิธีนี้ทำให้เมทริกซ์ DCT-III เป็นเมทริกซ์ตั้งฉากแต่จะทำลายความสอดคล้องโดยตรงกับ DFT คู่จริงของเอาต์พุตที่เลื่อนครึ่งหนึ่ง ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle x_{0}/{\sqrt {2}}}$${\textstyle {\sqrt {2/N}}}$

DCT-III บ่งชี้ถึงเงื่อนไขขอบเขตดังนี้: เป็นเลขคู่รอบ ๆและเป็นเลขคี่รอบ ๆเป็นเลขคู่รอบ ๆและเป็นเลขคู่รอบ ๆ${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle n=0}$${\displaystyle n=N;}$${\displaystyle X_{k}}$${\displaystyle k=-1/2}$${\displaystyle k=N-1/2.}$

${\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\cos \left[\,{\tfrac {\,\pi \,}{N}}\,\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\left(k+{\tfrac {1}{2}}\right)\,\right]\qquad {\text{ for }}k=0,\ \ldots \ N-1~.}$

เมทริกซ์ DCT-IV จะกลายเป็นเมทริกซ์ตั้งฉาก (และด้วยเหตุนี้ จึงเป็นเมทริกซ์ผกผันของตัวเองอย่างชัดเจน) หากคูณด้วยตัวประกอบมาตราส่วนโดยรวมอีกค่าหนึ่ง${\textstyle {\sqrt {2/N}}.}$

รูปแบบหนึ่งของ DCT-IV ซึ่งข้อมูลจากการแปลงที่แตกต่างกันจะซ้อนทับกันเรียกว่าการแปลงโคไซน์แบบไม่ต่อเนื่องที่ดัดแปลง (MDCT) ^{[ 104 ]}

DCT-IV บ่งชี้ถึงเงื่อนไขขอบเขต: เป็นเลขคู่รอบ ๆและเป็นเลขคี่รอบ ๆ ในทำนอง เดียวกันสำหรับ${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle n=-1/2}$${\displaystyle n=N-1/2}$${\displaystyle X_{k}}$

DCT ประเภท I–IV ปฏิบัติต่อขอบเขตทั้งสองอย่างสอดคล้องกันโดยคำนึงถึงจุดสมมาตร กล่าวคือ ขอบเขตจะเป็นเลขคู่หรือเลขคี่รอบจุดข้อมูลจุดใดจุดหนึ่งสำหรับขอบเขตทั้งสอง หรือเป็นเลขกึ่งกลางระหว่างจุดข้อมูลสองจุดสำหรับขอบเขตทั้งสอง ในทางตรงกันข้าม DCT ประเภท V-VIII บ่งชี้ว่าขอบเขตจะเป็นเลขคู่หรือเลขคี่รอบจุดข้อมูลจุดหนึ่งสำหรับขอบเขตหนึ่ง และเป็นเลขกึ่งกลางระหว่างจุดข้อมูลสองจุดสำหรับขอบเขตอีกด้านหนึ่ง

กล่าวอีกนัยหนึ่ง DCT ประเภท I–IV เทียบเท่ากับ DFT คู่จริงที่มีลำดับคู่ (โดยไม่คำนึงว่าจะเป็นคู่หรือคี่) เนื่องจาก DFT ที่สอดคล้องกันมีความยาว(สำหรับ DCT-I) หรือ(สำหรับ DCT-II และ III) หรือ(สำหรับ DCT-IV) การแปลงโคไซน์แบบไม่ต่อเนื่องเพิ่มเติมอีกสี่ประเภท^{[ 105 ]}สอดคล้องกับ DFT คู่จริงที่มีลำดับคี่เชิงตรรกะ ซึ่งมีปัจจัยของในตัวส่วนของอาร์กิวเมนต์โคไซน์ ${\displaystyle N}$${\displaystyle 2(N-1)}$${\displaystyle 4N}$${\displaystyle 8N}$${\displaystyle N\pm {1}/{2}}$

อย่างไรก็ตาม ดูเหมือนว่ารูปแบบเหล่านี้จะไม่ค่อยได้ใช้ในทางปฏิบัติ เหตุผลหนึ่งอาจเป็นเพราะอัลกอริธึม FFT สำหรับ DFT ที่มีความยาวเป็นเลขคี่โดยทั่วไปจะซับซ้อนกว่าอัลกอริธึม FFT สำหรับ DFT ที่มีความยาวเป็นเลขคู่ (เช่น อัลกอริธึมฐาน 2 ที่ง่ายที่สุดใช้ได้เฉพาะกับความยาวเลขคู่เท่านั้น) และความซับซ้อนที่เพิ่มขึ้นนี้ส่งผลต่อ DCT ดังที่อธิบายไว้ด้านล่าง โปรดทราบว่าอาร์เรย์จำนวนจริงคู่แบบง่ายๆ ซึ่งเป็น DFT ความยาวหนึ่ง (ความยาวเลขคี่) ของจำนวนเดียวจะสอดคล้องกับ DCT-V ที่มีความยาว ${\displaystyle a}$${\displaystyle N=1}$

โดยใช้ข้อกำหนดการทำให้เป็นมาตรฐานข้างต้น ตัวผกผันของ DCT-I คือ DCT-I คูณด้วย 2/( N  − 1) ตัวผกผันของ DCT-IV คือ DCT-IV คูณด้วย 2/ Nตัวผกผันของ DCT-II คือ DCT-III คูณด้วย 2/ Nและในทางกลับกัน^{[ 7 ]}

เช่นเดียวกับ DFT ตัวประกอบการทำให้เป็นมาตรฐานที่อยู่หน้าคำจำกัดความของการแปลงเหล่านี้เป็นเพียงข้อตกลงและแตกต่างกันไปตามวิธีการ ตัวอย่างเช่น ผู้เขียนบางคนคูณการแปลงด้วยเพื่อให้การแปลงผกผันไม่จำเป็นต้องใช้ตัวคูณเพิ่มเติมใดๆ เมื่อรวมกับตัวประกอบ√2 ที่เหมาะสม (ดูด้านบน) วิธี นี้สามารถใช้เพื่อทำให้เมทริกซ์การแปลง เป็นเมทริก ซ์ตั้งฉากได้ ${\textstyle {\sqrt {2/N}}}$

รูปแบบหลายมิติของ DCT ประเภทต่างๆ นั้นได้มาโดยตรงจากคำจำกัดความแบบมิติเดียว กล่าวคือ มันเป็นเพียงผลคูณที่แยกออกจากกันได้ (หรือเทียบเท่ากับการประกอบกัน) ของ DCT ตามแต่ละมิติ

ตัวอย่างเช่น DCT-II สองมิติของภาพหรือเมทริกซ์ ก็คือ DCT-II หนึ่งมิติจากข้างต้น ที่ดำเนินการตามแถวก่อน แล้วจึงดำเนินการตามคอลัมน์ (หรือในทางกลับกัน) ส่วนผกผันของ DCT หลายมิติ ก็คือผลคูณแบบแยกส่วนของผกผันของ DCT หนึ่งมิติที่สอดคล้องกัน (ดูข้างต้น) เช่น ผกผันหนึ่งมิติที่นำไปใช้ทีละมิติในอัลกอริทึมแบบแถว-คอลัมน์

ค่า 2D DCT-II คำนวณได้จากสูตร (โดยไม่รวมค่าการปรับมาตรฐานและปัจจัยมาตราส่วนอื่นๆ ดังที่กล่าวมาข้างต้น)

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{k_{1},k_{2}}&=\sum _{n_{1}=0}^{N_{1}-1}\left(\sum _{n_{2}=0}^{N_{2}-1}x_{n_{1},n_{2}}\cos \left[{\frac {\pi }{N_{2}}}\left(n_{2}+{\frac {1}{2}}\right)k_{2}\right]\right)\cos \left[{\frac {\pi }{N_{1}}}\left(n_{1}+{\frac {1}{2}}\right)k_{1}\right]\\&=\sum _{n_{1}=0}^{N_{1}-1}\sum _{n_{2}=0}^{N_{2}-1}x_{n_{1},n_{2}}\cos \left[{\frac {\pi }{N_{1}}}\left(n_{1}+{\frac {1}{2}}\right)k_{1}\right]\cos \left[{\frac {\pi }{N_{2}}}\left(n_{2}+{\frac {1}{2}}\right)k_{2}\right].\end{aligned}}}$

3 -D DCT-IIเป็นเพียงส่วนขยายของ2-D DCT-IIในพื้นที่สามมิติ และสามารถคำนวณทางคณิตศาสตร์ได้โดยใช้สูตร

${\displaystyle X_{k_{1},k_{2},k_{3}}=\sum _{n_{1}=0}^{N_{1}-1}\sum _{n_{2}=0}^{N_{2}-1}\sum _{n_{3}=0}^{N_{3}-1}x_{n_{1},n_{2},n_{3}}\cos \left[{\frac {\pi }{N_{1}}}\left(n_{1}+{\frac {1}{2}}\right)k_{1}\right]\cos \left[{\frac {\pi }{N_{2}}}\left(n_{2}+{\frac {1}{2}}\right)k_{2}\right]\cos \left[{\frac {\pi }{N_{3}}}\left(n_{3}+{\frac {1}{2}}\right)k_{3}\right],\quad {\text{for }}k_{i}=0,1,2,\dots ,N_{i}-1.}$

ค่าผกผันของ3-D DCT-IIคือ3-D DCT-IIIและสามารถคำนวณได้จากสูตร

${\displaystyle x_{n_{1},n_{2},n_{3}}=\sum _{k_{1}=0}^{N_{1}-1}\sum _{k_{2}=0}^{N_{2}-1}\sum _{k_{3}=0}^{N_{3}-1}X_{k_{1},k_{2},k_{3}}\cos \left[{\frac {\pi }{N_{1}}}\left(n_{1}+{\frac {1}{2}}\right)k_{1}\right]\cos \left[{\frac {\pi }{N_{2}}}\left(n_{2}+{\frac {1}{2}}\right)k_{2}\right]\cos \left[{\frac {\pi }{N_{3}}}\left(n_{3}+{\frac {1}{2}}\right)k_{3}\right],\quad {\text{for }}n_{i}=0,1,2,\dots ,N_{i}-1.}$

ในทางเทคนิค การคำนวณ DCT สองมิติ สามมิติ (หรือหลายมิติ) โดยใช้ลำดับของ DCT หนึ่งมิติในแต่ละมิติ เรียกว่า อัลกอริทึม แบบแถว-คอลัมน์ อย่างไรก็ตาม เช่นเดียวกับอัลกอริทึม FFT หลายมิติยังมีวิธีการอื่น ๆ ในการคำนวณสิ่งเดียวกันโดยทำการคำนวณในลำดับที่แตกต่างกัน (เช่น การสลับหรือการรวมอัลกอริทึมสำหรับมิติที่แตกต่างกัน) เนื่องจากการเติบโตอย่างรวดเร็วของแอปพลิเคชันที่ใช้ DCT สามมิติ จึงมีการพัฒนาอัลกอริทึมที่รวดเร็วหลายตัวสำหรับการคำนวณ DCT-II สามมิติ อัลกอริทึม Vector-Radix ถูกนำมาใช้ในการคำนวณ MD DCT เพื่อลดความซับซ้อนในการคำนวณและเพิ่มความเร็วในการคำนวณ Vector-Radix Decimation in Frequency (VR DIF) เป็นตัวอย่างหนึ่งของอัลกอริทึมในการคำนวณ DCT-II สามมิติอย่างมีประสิทธิภาพ

เพื่อนำอัลกอริทึม VR DIF มาใช้ ข้อมูลอินพุตจะต้องได้รับการกำหนดรูปแบบและจัดเรียงใหม่ดังต่อไปนี้^{[ 106 ] [ 107 ]} ถือว่า ขนาดการแปลงN × N × Nเท่ากับ 2

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\tilde {x}}(n_{1},n_{2},n_{3})=x(2n_{1},2n_{2},2n_{3})\\{\tilde {x}}(n_{1},n_{2},N-n_{3}-1)=x(2n_{1},2n_{2},2n_{3}+1)\\{\tilde {x}}(n_{1},N-n_{2}-1,n_{3})=x(2n_{1},2n_{2}+1,2n_{3})\\{\tilde {x}}(n_{1},N-n_{2}-1,N-n_{3}-1)=x(2n_{1},2n_{2}+1,2n_{3}+1)\\{\tilde {x}}(N-n_{1}-1,n_{2},n_{3})=x(2n_{1}+1,2n_{2},2n_{3})\\{\tilde {x}}(N-n_{1}-1,n_{2},N-n_{3}-1)=x(2n_{1}+1,2n_{2},2n_{3}+1)\\{\tilde {x}}(N-n_{1}-1,N-n_{2}-1,n_{3})=x(2n_{1}+1,2n_{2}+1,2n_{3})\\{\tilde {x}}(N-n_{1}-1,N-n_{2}-1,N-n_{3}-1)=x(2n_{1}+1,2n_{2}+1,2n_{3}+1)\\\end{array}}}$

ที่ไหน${\displaystyle 0\leq n_{1},n_{2},n_{3}\leq {\frac {N}{2}}-1}$

รูปที่อยู่ติดกันแสดงขั้นตอนทั้งสี่ที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณ 3-D DCT-II โดยใช้อัลกอริทึม VR DIF ขั้นตอนแรกคือการจัดเรียงลำดับใหม่แบบ 3 มิติโดยใช้การแมปดัชนีที่แสดงโดยสมการข้างต้น ขั้นตอนที่สองคือการคำนวณแบบผีเสื้อแต่ละผีเสื้อจะคำนวณจุดแปดจุดร่วมกันดังแสดงในรูปด้านล่าง โดยที่ ${\displaystyle c(\varphi _{i})=\cos(\varphi _{i})}$

ปัจจุบันสามารถเขียน 3-D DCT-II ดั้งเดิมได้ดังนี้

${\displaystyle X(k_{1},k_{2},k_{3})=\sum _{n_{1}=1}^{N-1}\sum _{n_{2}=1}^{N-1}\sum _{n_{3}=1}^{N-1}{\tilde {x}}(n_{1},n_{2},n_{3})\cos(\varphi k_{1})\cos(\varphi k_{2})\cos(\varphi k_{3})}$

ที่ไหน${\displaystyle \varphi _{i}={\frac {\pi }{2N}}(4N_{i}+1),{\text{ and }}i=1,2,3.}$

หากพิจารณาทั้งส่วนที่เป็นคู่และส่วนที่เป็นคี่ของและสูตรทั่วไปสำหรับการคำนวณ 3-D DCT-II สามารถแสดงได้ดังนี้ ${\displaystyle k_{1},k_{2}}$${\displaystyle k_{3}}$

${\displaystyle X(k_{1},k_{2},k_{3})=\sum _{n_{1}=1}^{{\tfrac {N}{2}}-1}\sum _{n_{2}=1}^{{\tfrac {N}{2}}-1}\sum _{n_{1}=1}^{{\tfrac {N}{2}}-1}{\tilde {x}}_{ijl}(n_{1},n_{2},n_{3})\cos(\varphi (2k_{1}+i)\cos(\varphi (2k_{2}+j)\cos(\varphi (2k_{3}+l))}$

ที่ไหน

${\displaystyle {\tilde {x}}_{ijl}(n_{1},n_{2},n_{3})={\tilde {x}}(n_{1},n_{2},n_{3})+(-1)^{l}{\tilde {x}}\left(n_{1},n_{2},n_{3}+{\frac {n}{2}}\right)}$

${\displaystyle +(-1)^{j}{\tilde {x}}\left(n_{1},n_{2}+{\frac {n}{2}},n_{3}\right)+(-1)^{j+l}{\tilde {x}}\left(n_{1},n_{2}+{\frac {n}{2}},n_{3}+{\frac {n}{2}}\right)}$

${\displaystyle +(-1)^{i}{\tilde {x}}\left(n_{1}+{\frac {n}{2}},n_{2},n_{3}\right)+(-1)^{i+j}{\tilde {x}}\left(n_{1}+{\frac {n}{2}}+{\frac {n}{2}},n_{2},n_{3}\right)}$

${\displaystyle +(-1)^{i+l}{\tilde {x}}\left(n_{1}+{\frac {n}{2}},n_{2},n_{3}+{\frac {n}{3}}\right)}$

${\displaystyle +(-1)^{i+j+l}{\tilde {x}}\left(n_{1}+{\frac {n}{2}},n_{2}+{\frac {n}{2}},n_{3}+{\frac {n}{2}}\right){\text{ where }}i,j,l=0{\text{ or }}1.}$

การคำนวณ DCT 3 มิติทั้งหมดต้องอาศัยขั้นตอน และแต่ละขั้นตอนเกี่ยวข้องกับผีเสื้อ การคำนวณ DCT 3 มิติทั้งหมดต้องใช้ผีเสื้อในการคำนวณ ผีเสื้อแต่ละตัวต้องใช้การคูณจริง 7 ครั้ง (รวมถึงการคูณแบบไม่สำคัญ) และการบวกจริง 24 ครั้ง (รวมถึงการบวกแบบไม่สำคัญ) ดังนั้น จำนวนการคูณจริงทั้งหมดที่จำเป็นสำหรับขั้นตอนนี้คือและจำนวนการบวกจริงทั้งหมด เช่น รวมถึงการบวกภายหลัง (การบวกแบบเรียกซ้ำ) ซึ่งสามารถคำนวณได้โดยตรงหลังจากขั้นตอนผีเสื้อหรือหลังจากขั้นตอนการกลับบิต จะได้รับจาก^{[ 107 ]}${\displaystyle ~[\log _{2}N]~}$${\displaystyle ~{\tfrac {1}{8}}\ N^{3}~}$${\displaystyle ~\left[{\tfrac {1}{8}}\ N^{3}\log _{2}N\right]~}$${\displaystyle ~\left[{\tfrac {7}{8}}\ N^{3}\ \log _{2}N\right]~,}$${\displaystyle ~\underbrace {\left[{\frac {3}{2}}N^{3}\log _{2}N\right]} _{\text{Real}}+\underbrace {\left[{\frac {3}{2}}N^{3}\log _{2}N-3N^{3}+3N^{2}\right]} _{\text{Recursive}}=\left[{\frac {9}{2}}N^{3}\log _{2}N-3N^{3}+3N^{2}\right]~.}$

วิธีการคำนวณ MD-DCT-II แบบดั้งเดิมคือการใช้แนวทาง Row-Column-Frame (RCF) ซึ่งมีความซับซ้อนในการคำนวณและมีประสิทธิภาพน้อยกว่าบนแพลตฟอร์มฮาร์ดแวร์ขั้นสูงรุ่นใหม่ส่วนใหญ่ อัลกอริทึม VR DIF ต้องการการคูณน้อยกว่าอัลกอริทึม RCF จำนวนการคูณและการบวกที่เกี่ยวข้องในแนวทาง RCF กำหนดโดยและตามลำดับ ${\displaystyle ~\left[{\frac {3}{2}}N^{3}\log _{2}N\right]~}$${\displaystyle ~\left[{\frac {9}{2}}N^{3}\log _{2}N-3N^{3}+3N^{2}\right]~,}$

จำนวนการคูณทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับอัลกอริทึม 3-D DCT VR นั้นน้อยกว่าที่เกี่ยวข้องกับวิธีการ RCF มากกว่า 40% นอกจากนี้ วิธีการ RCF ยังเกี่ยวข้องกับการสลับแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์ และการจัดทำดัชนีและการสลับข้อมูลมากกว่าอัลกอริทึม VR DIF ทำให้ อัลกอริทึม 3-D DCT VR มีประสิทธิภาพมากกว่าและเหมาะสมกว่าสำหรับแอปพลิเคชัน 3 มิติที่เกี่ยวข้องกับ 3-D DCT-II เช่น การบีบอัดวิดีโอและแอปพลิเคชันการประมวลผลภาพ 3 มิติอื่นๆ

การพิจารณาหลักในการเลือกอัลกอริทึมที่รวดเร็วคือการหลีกเลี่ยงความซับซ้อนในการคำนวณและโครงสร้าง เนื่องจากเทคโนโลยีของคอมพิวเตอร์และ DSP ก้าวหน้าขึ้น เวลาในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ (การคูณและการบวก) จึงดีขึ้น และโครงสร้างการคำนวณแบบปกติกลายเป็นปัจจัยที่สำคัญที่สุด^{[ 108 ]}ดังนั้น แม้ว่าอัลกอริทึม 3-D VR ที่เสนอข้างต้นจะไม่บรรลุขีดจำกัดล่างทางทฤษฎีของจำนวนการคูณ^{[ 109 ]}แต่ก็มีโครงสร้างการคำนวณที่ง่ายกว่าเมื่อเทียบกับอัลกอริทึม 3-D DCT อื่นๆ สามารถนำไปใช้ในที่เดียวโดยใช้ผีเสื้อตัวเดียวและมีคุณสมบัติของอัลกอริทึม Cooley–Tukey FFTใน 3 มิติ ดังนั้น 3-D VR จึงเป็นตัวเลือกที่ดีสำหรับการลดการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในการคำนวณ 3-D DCT-II ในขณะที่ยังคงรักษาโครงสร้างที่เรียบง่ายซึ่งเป็นลักษณะเฉพาะของอัลกอริทึม Cooley–Tukey FFT แบบผีเสื้อ

ภาพด้านขวามือแสดงการรวมกันของความถี่แนวนอนและแนวตั้งสำหรับ DCT สองมิติขนาด 8 × 8 แต่ละขั้นจากซ้ายไปขวาและจากบนลงล่างคือการเพิ่มขึ้นของความถี่ครึ่งรอบ ตัวอย่างเช่น การเลื่อนไปทางขวาหนึ่งช่องจากช่องบนซ้ายจะทำให้ความถี่แนวนอนเพิ่มขึ้นครึ่งรอบ การเลื่อนไปทางขวาอีกครั้งจะทำให้เพิ่มขึ้นสองครึ่งรอบ การเลื่อนลงจะทำให้เพิ่มขึ้นสองครึ่งรอบในแนวนอนและหนึ่งครึ่งรอบในแนวตั้ง ข้อมูลต้นฉบับ ( 8 × 8 ) ถูกแปลงเป็นผลรวมเชิงเส้นของช่องความถี่ทั้ง 64 ช่องนี้ ${\displaystyle (~N_{1}=N_{2}=8~)}$

MD DCT-IV เป็นส่วนขยายของ 1-D DCT-IV ไปสู่ โดเมน Mมิติ 2-D DCT-IV ของเมทริกซ์หรือภาพจะกำหนดโดย

${\displaystyle X_{k,\ell }=\sum _{n=0}^{N-1}\;\sum _{m=0}^{M-1}\ x_{n,m}\cos \left(\ {\frac {\,(2m+1)(2k+1)\ \pi \,}{4N}}\ \right)\cos \left(\ {\frac {\,(2n+1)(2\ell +1)\ \pi \,}{4M}}\ \right)~,}$

สำหรับและ${\displaystyle ~~k=0,\ 1,\ 2\ \ldots \ N-1~~}$${\displaystyle ~~\ell =0,\ 1,\ 2,\ \ldots \ M-1~.}$

เราสามารถคำนวณ MD DCT-IV โดยใช้วิธีแถว-คอลัมน์ปกติ หรือเราสามารถใช้วิธีการแปลงพหุนาม^{[ 110 ]}เพื่อการคำนวณที่รวดเร็วและมีประสิทธิภาพ แนวคิดหลักของอัลกอริธึมนี้คือการใช้การแปลงพหุนามเพื่อแปลง DCT หลายมิติเป็นชุดของ DCT 1 มิติโดยตรง

แม้ว่าการนำสูตรเหล่านี้ไปใช้โดยตรงจะต้องใช้การคำนวณ แต่ก็สามารถคำนวณสิ่งเดียวกันได้ด้วยความซับซ้อนที่น้อยลง โดยการแยกส่วนการคำนวณในลักษณะเดียวกับการแปลงฟูริเยร์แบบเร็ว (FFT) นอกจากนี้ยังสามารถคำนวณ DCT ผ่าน FFT ร่วมกับขั้นตอนการประมวลผลก่อนและหลังได้อีกด้วย โดยทั่วไปแล้ววิธีการคำนวณ DCT เรียกว่าอัลกอริธึมการแปลงโคไซน์แบบเร็ว (FCT) ${\displaystyle ~{\mathcal {O}}(N^{2})~}$${\displaystyle ~{\mathcal {O}}(N\log N)~}$${\displaystyle ~{\mathcal {O}}(N)~}$${\displaystyle ~{\mathcal {O}}(N\log N)~}$

โดยหลักการแล้ว อัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดมักจะเป็นอัลกอริทึมที่ออกแบบมาโดยเฉพาะสำหรับ DCT โดยตรง ตรงข้ามกับการใช้ FFT ทั่วไปบวกกับการดำเนินการเพิ่มเติม (ดูข้อยกเว้นด้านล่าง) อย่างไรก็ตาม แม้แต่อัลกอริทึม DCT ที่ "เฉพาะทาง" (รวมถึงอัลกอริทึมทั้งหมดที่ได้จำนวนการคำนวณทางคณิตศาสตร์ต่ำที่สุดเท่าที่ทราบ อย่างน้อยสำหรับ ขนาด ที่เป็นกำลังสอง ) ก็มักจะมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับอัลกอริทึม FFT เนื่องจาก DCT นั้นโดยพื้นฐานแล้วคือ DFT ของข้อมูลคู่จริง ดังนั้นจึงสามารถออกแบบอัลกอริทึม DCT ที่รวดเร็วได้โดยการใช้ FFT และกำจัดการดำเนินการที่ซ้ำซ้อนเนื่องจากสมมาตรนี้ ซึ่งสามารถทำได้โดยอัตโนมัติ ( Frigo & Johnson 2005 ) อัลกอริทึมที่อิงตามอัลกอริทึม FFT ของ Cooley–Tukey นั้น พบได้บ่อยที่สุด แต่ก็สามารถใช้อัลกอริทึม FFT อื่นๆ ได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่นอัลกอริทึม FFT ของ Winogradนำไปสู่อัลกอริทึมที่มีการคูณน้อยที่สุดสำหรับ DFT แม้ว่าโดยทั่วไปแล้วจะต้องแลกมาด้วยการบวกที่มากขึ้น และอัลกอริทึมที่คล้ายกันนี้ได้รับการเสนอโดย ( Feig & Winograd 1992a ) สำหรับ DCT เนื่องจากอัลกอริธึมสำหรับ DFT, DCT และการแปลงที่คล้ายคลึงกันทั้งหมดมีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด การปรับปรุงอัลกอริธึมสำหรับการแปลงหนึ่งจะนำไปสู่ผลประโยชน์ทันทีสำหรับการแปลงอื่นๆ ด้วยเช่นกันในทางทฤษฎี ( Duhamel & Vetterli 1990 ) ${\displaystyle ~{\mathcal {O}}(N)~}$

แม้ว่าอัลกอริธึม DCT ที่ใช้ FFT ที่ไม่ได้ดัดแปลงมักจะมีค่าใช้จ่ายทางทฤษฎีบางอย่างเมื่อเทียบกับอัลกอริธึม DCT เฉพาะทางที่ดีที่สุด แต่ก็มีข้อได้เปรียบที่ชัดเจนเช่นกัน นั่นคือ โปรแกรม FFT ที่ได้รับการปรับแต่งอย่างดีนั้นมีให้ใช้งานอย่างแพร่หลาย ดังนั้นในทางปฏิบัติ การได้ประสิทธิภาพสูงสำหรับความยาวทั่วไปNด้วยอัลกอริธึมที่ใช้ FFT จึงมักทำได้ง่ายกว่า ^{[ c ]} ในทางกลับกัน อัลกอริธึม DCT เฉพาะทางนั้นมีการใช้งานอย่างแพร่หลายสำหรับการแปลงที่มีขนาดเล็กและคงที่ เช่นDCT-II ขนาด 8 × 8 ที่ใช้ในการบีบอัด JPEGหรือ DCT ขนาดเล็ก (หรือ MDCT) ที่มักใช้ในการบีบอัดเสียง (การลดขนาดโค้ดอาจเป็นเหตุผลหนึ่งในการใช้ DCT เฉพาะทางสำหรับแอปพลิเคชันอุปกรณ์ฝังตัว)

ในความเป็นจริง แม้แต่อัลกอริธึม DCT ที่ใช้ FFT ทั่วไป บางครั้งก็เทียบเท่ากับการตัดการดำเนินการที่ซ้ำซ้อนออกจาก FFT ขนาดใหญ่ของข้อมูลสมมาตรจริง และบางครั้งก็อาจเหมาะสมที่สุดจากมุมมองของการนับเลขคณิต ตัวอย่างเช่น DCT ประเภท II เทียบเท่ากับ DFT ที่มีขนาดสมมาตรคู่จริงซึ่งองค์ประกอบดัชนีคู่เป็นศูนย์ หนึ่งในวิธีการที่ใช้กันทั่วไปในการคำนวณสิ่งนี้ผ่าน FFT (เช่น วิธีที่ใช้ในFFTPACKและFFTW ) ได้รับการอธิบายโดยNarasimha & Peterson (1978)และMakhoul (1980)และวิธีนี้เมื่อมองย้อนกลับไปสามารถมองได้ว่าเป็นขั้นตอนหนึ่งของอัลกอริธึม Cooley–Tukey แบบลดทอนตามเวลาแบบ radix-4 ที่ใช้กับ DFT คู่จริง "เชิงตรรกะ" ที่สอดคล้องกับ DCT-II ^{[ d ]} เนื่องจากองค์ประกอบดัชนีคู่เป็นศูนย์ ขั้นตอน radix-4 นี้จึงเหมือนกับขั้นตอน split-radix ทุกประการ หากการดำเนินการ FFT ข้อมูลจริงขนาดถัดไป ดำเนินการโดย อัลกอริทึมแยกฐานข้อมูลจริง(ดังในSorensen et al. (1987) ) อัลกอริทึมที่ได้จะตรงกับจำนวนการคำนวณเลขคณิตที่ต่ำที่สุดที่เผยแพร่มานานสำหรับ DCT-II กำลังสอง ( การดำเนินการเลขคณิตจริง^{[ e ]} ) ${\displaystyle ~4N~}$${\displaystyle ~N~}$${\displaystyle ~2N\log _{2}N-N+2~}$

การลดจำนวนการดำเนินการเมื่อเร็ว ๆ นี้ยังใช้ FFT ข้อมูลจริงด้วย^{[ 111 ]}ดังนั้น การคำนวณ DCT ผ่าน FFT จึงไม่มีอะไรเลวร้ายโดยเนื้อแท้จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ – บางครั้งเป็นเพียงคำถามว่าอัลกอริทึม FFT ที่เกี่ยวข้องเหมาะสมที่สุดหรือไม่ (ในทางปฏิบัติ ค่าใช้จ่ายในการเรียกฟังก์ชันในการเรียกใช้รูทีน FFT แยกต่างหากอาจมีนัยสำคัญสำหรับขนาดเล็กแต่นี่เป็นเรื่องของการใช้งานมากกว่าเรื่องของอัลกอริทึม เนื่องจากสามารถแก้ไขได้โดยการคลี่คลายหรือการรวมเข้าด้วยกัน) ${\displaystyle ~{\tfrac {17}{9}}N\log _{2}N+{\mathcal {O}}(N)}$${\displaystyle ~N~,}$

ลองพิจารณา ภาพขาวดำขนาด8 × 8 พิกเซล ของตัวอักษร A ตัวพิมพ์ใหญ่ ตัวนี้

ฟังก์ชันพื้นฐานแต่ละฟังก์ชันจะถูกคูณด้วยสัมประสิทธิ์ของมัน จากนั้นผลคูณนี้จะถูกบวกเข้ากับภาพสุดท้าย

• การแปลงเวฟเล็ตแบบไม่ต่อเนื่อง
• JPEG  - การแปลงโคไซน์ แบบไม่ต่อเนื่อง    -  มีตัวอย่างการแปลง DCT ที่อาจเข้าใจง่ายกว่า
• รายการการแปลงที่เกี่ยวข้องกับฟูริเยร์
• การแปลงโคไซน์แบบไม่ต่อเนื่องที่ดัดแปลง

• Narasimha, M.; Peterson, A. (มิถุนายน 1978). "เกี่ยวกับการคำนวณการแปลงโคไซน์แบบไม่ต่อเนื่อง". IEEE Transactions on Communications . 26 (6): 934– 936. Bibcode : 1978ITCom..26..934N . doi : 10.1109/TCOM.1978.1094144 .
• Makhoul, J. (กุมภาพันธ์ 1980). "การแปลงโคไซน์อย่างรวดเร็วในหนึ่งและสองมิติ". IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing . 28 (1): 27– 34. Bibcode : 1980ITASS..28...27M . doi : 10.1109/TASSP.1980.1163351 .
• Sorensen, H.; Jones, D.; Heideman, M.; Burrus, C. (มิถุนายน 1987). "อัลกอริทึมการแปลงฟูริเยร์แบบเร็วค่าจริง". IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing . 35 (6): 849– 863. Bibcode : 1987ITASS..35..849S . CiteSeerX  10.1.1.205.4523 . doi : 10.1109/TASSP.1987.1165220 .
• Plonka, G. ; Tasche, M. (มกราคม 2548). "อัลกอริทึมที่รวดเร็วและเสถียรเชิงตัวเลขสำหรับการแปลงโคไซน์แบบไม่ต่อเนื่อง" . พีชคณิตเชิงเส้นและการประยุกต์ใช้ . 394 (1): 309– 345. doi : 10.1016/j.laa.2004.07.015 .
• Duhamel, P.; Vetterli, M. (เมษายน 1990). "การแปลงฟูริเยร์แบบเร็ว: บททบทวนเชิงแนะนำและสถานะปัจจุบัน"การประมวลผลสัญญาณ (ต้นฉบับที่ส่ง). 19 (4): 259– 299. Bibcode : 1990SigPr..19..259D . doi : 10.1016/0165-1684(90)90158-U .
• Ahmed, N. (มกราคม 1991). "วิธีที่ฉันคิดค้นการแปลงโคไซน์แบบไม่ต่อเนื่อง"การประมวลผลสัญญาณดิจิทัล1 (1): 4– 9. Bibcode : 1991DSP.....1....4A . doi : 10.1016/1051-2004(91)90086-Z .
• Feig, E.; Winograd, S. (กันยายน 1992b). "อัลกอริทึมที่รวดเร็วสำหรับการแปลงโคไซน์แบบไม่ต่อเนื่อง". IEEE Transactions on Signal Processing . 40 (9): 2174– 2193. Bibcode : 1992ITSP...40.2174F . doi : 10.1109/78.157218 .
• Malvar, Henrique (1992), การประมวลผลสัญญาณด้วยการแปลงแบบซ้อนทับ , บอสตัน: Artech House, ISBN 978-0-89006-467-2
• Martucci, SA (พฤษภาคม 1994). "การสังเคราะห์แบบสมมาตรและการแปลงไซน์และโคไซน์แบบไม่ต่อเนื่อง". IEEE Transactions on Signal Processing . 42 (5): 1038– 1051. Bibcode : 1994ITSP...42.1038M . doi : 10.1109/78.295213 .
• Oppenheim, Alan; Schafer, Ronald; Buck, John (1999), การประมวลผลสัญญาณเวลาไม่ต่อเนื่อง (ฉบับที่ 2), Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, ISBN 978-0-13-754920-7
• Frigo, M.; Johnson, SG (กุมภาพันธ์ 2548). "การออกแบบและการใช้งาน FFTW3" (PDF) . Proceedings of the IEEE . 93 (2): 216– 231. Bibcode : 2005IEEEP..93..216F . CiteSeerX  10.1.1.66.3097 . doi : 10.1109/JPROC.2004.840301 . S2CID  6644892 .
• Boussakta, Said.; Alshibami, Hamoud O. (เมษายน 2547). "อัลกอริทึมที่รวดเร็วสำหรับ 3-D DCT-II" (PDF) . IEEE Transactions on Signal Processing . 52 (4): 992– 1000. Bibcode : 2004ITSP...52..992B . doi : 10.1109/TSP.2004.823472 . S2CID  3385296 .
• Cheng, LZ; Zeng, YH (2003). "อัลกอริทึมใหม่ที่รวดเร็วสำหรับ DCT ประเภท IV หลายมิติ" IEEE Transactions on Signal Processing . 51 (1): 213– 220. doi : 10.1109/TSP.2002.806558 .
• Wen-Hsiung Chen; Smith, C.; Fralick, S. (กันยายน 1977). "อัลกอริทึมการคำนวณที่รวดเร็วสำหรับการแปลงโคไซน์แบบไม่ต่อเนื่อง" IEEE Transactions on Communications . 25 (9): 1004– 1009. Bibcode : 1977ITCom..25.1004W . doi : 10.1109/TCOM.1977.1093941 .
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "ส่วนที่ 12.4.2 การแปลงโคไซน์" , สูตรเชิงตัวเลข: ศิลปะแห่งการคำนวณทางวิทยาศาสตร์ (ฉบับที่ 3), นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, ISBN 978-0-521-88068-8เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 11 สิงหาคม 2554 เรียกดูเมื่อ วันที่ 13 สิงหาคม 2554

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับการแปลงโคไซน์แบบไม่ต่อเนื่อง (Discrete cosine transform )

• ไซเอ็ด อาลี คายัม: การแปลงโคไซน์แบบไม่ต่อเนื่อง (DCT): ทฤษฎีและการประยุกต์ใช้
• การนำการประมาณค่าจำนวนเต็ม MPEG ของ 8x8 IDCT (ISO/IEC 23002-2) มาใช้
• Matteo Frigo และSteven G. Johnson : FFTW , หน้าหลัก FFTW ไลบรารีภาษาซี แบบฟรี ( GPL ) ที่สามารถคำนวณ DCT (ประเภท I-IV) ได้อย่างรวดเร็วในมิติเดียวหรือมากกว่านั้น โดยมีขนาดตามต้องการ
• Takuya Ooura: แพ็กเกจ FFT อเนกประสงค์, แพ็กเกจ FFT 1 มิติ / 2 มิติไลบรารี C และ FORTRAN ฟรี สำหรับคำนวณ DCT อย่างรวดเร็ว (ประเภท II–III) ในหนึ่ง สอง หรือสามมิติ ขนาดกำลังสอง
• Tim Kientzle: อัลกอริทึมที่รวดเร็วสำหรับการคำนวณ DCT และ IDCT แบบ 8 จุด, Algorithm Alley
• LTFATเป็นกล่องเครื่องมือ Matlab/Octave ฟรีที่มีอินเทอร์เฟซสำหรับการใช้งาน FFTW ของ DCT และ DST ประเภท I-IV