ในทางคณิตศาสตร์ปริภูมิผลคูณภายใน^{[หมายเหตุ 1 ]}คือ ปริภูมิเวกเตอร์ จริงหรือเชิงซ้อนที่มีการดำเนินการที่เรียกว่าผลคูณภายในผลคูณภายในของเวกเตอร์สองตัวในปริภูมินี้คือสเกลาร์ซึ่งมักจะแสดงด้วยวงเล็บมุมเช่น ในผลคูณภายในช่วยให้สามารถกำหนดนิยามอย่างเป็นทางการของแนวคิดทางเรขาคณิตที่เข้าใจง่าย เช่น ความยาวมุมและความเป็นตั้งฉาก (ผลคูณภายในเป็นศูนย์) ของเวกเตอร์ ปริภูมิผลคูณภายในเป็นการขยายปริภูมิเวกเตอร์แบบยุคลิดซึ่งผลคูณภายในคือผลคูณจุดหรือผลคูณสเกลาร์ของพิกัดคาร์ทีเซียน ปริภูมิผลคูณภายในที่มีมิติอนันต์ถูกใช้กันอย่างแพร่หลายในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน ปริภูมิผลคูณภายในเหนือฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อนบางครั้งเรียกว่าปริภูมิเอกภาพการใช้แนวคิดของปริภูมิเวกเตอร์ที่มีผลคูณภายในครั้งแรกนั้นมาจากGiuseppe Peanoในปี 1898 ^{[ 3 ]}${\displaystyle \langle a,b\rangle }$

ผลคูณภายในจะเหนี่ยวนำให้เกิดบรรทัดฐาน ที่เกี่ยวข้องโดยธรรมชาติ (แสดงด้วยและในภาพ) ดังนั้น พื้นที่ผลคูณภายในทุกพื้นที่จึงเป็นพื้นที่เวกเตอร์ที่มีบรรทัดฐานหากพื้นที่ที่มีบรรทัดฐานนี้สมบูรณ์ ด้วย (นั่นคือพื้นที่ Banach ) แล้ว พื้นที่ผลคูณภายในจะเป็นพื้นที่Hilbert ^{[ 1 ]}หากพื้นที่ผลคูณภายในHไม่ใช่พื้นที่ Hilbert ก็สามารถขยายโดยการทำให้สมบูรณ์เป็นพื้นที่ Hilbert ได้ซึ่งหมายความว่าเป็นพื้นที่ย่อยเชิงเส้นของผลคูณภายในของเป็นการจำกัดของและมีความหนาแน่นในสำหรับโทโพโลยีที่กำหนดโดยบรรทัดฐาน^{[ 1 ] [ 4 ]}${\displaystyle |x|}$${\displaystyle |y|}$${\displaystyle {\overline {H}}.}$${\displaystyle H}$${\displaystyle {\overline {H}},}$${\displaystyle H}$${\displaystyle {\overline {H}},}$${\displaystyle H}$${\displaystyle {\overline {H}}}$

ในบทความนี้Fหมายถึงฟิลด์ที่เป็นจำนวนจริง หรือจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้น สเกลาร์จึงเป็นองค์ประกอบของFเครื่องหมายขีดเหนือพจน์ที่แทนสเกลาร์หมายถึงค่าสังยุคเชิงซ้อนของสเกลาร์นั้น เวกเตอร์ศูนย์ใช้เพื่อแยกความแตกต่างจากสเกลาร์ 0${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \mathbb {C} .}$${\displaystyle \mathbf {0} }$

ปริภูมิผลคูณภายในคือปริภูมิเวกเตอร์Vเหนือฟิลด์Fพร้อมกับผลคูณภายในนั่นคือแผนที่ ที่สอดคล้องกับคุณสมบัติสามประการต่อไปนี้สำหรับเวกเตอร์ทั้งหมดและสเกลาร์ทั้งหมด^{[ 5 ] [ 6 ]}$${\displaystyle \langle \cdot \operatorname {,} \cdot \rangle :V\times V\to F}$$${\displaystyle x,y,z\in V}$${\displaystyle a,b\in F}$

• สมมาตรสังยุค : เช่นเดียวกับที่ Fเป็นจำนวนจริง สมมาตรสังยุคบ่งชี้ว่า F จะเป็นจำนวนจริงเสมอ ถ้าFเป็น จำนวนจริง สมมาตรสังยุคก็คือสมมาตรนั่นเอง$${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}.}$$${\textstyle a={\overline {a}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \langle x,x\rangle }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• ความเป็นเส้นตรงในอาร์กิวเมนต์แรก: ^{[หมายเหตุ 2 ]}$${\displaystyle \langle ax+by,z\rangle =a\langle x,z\rangle +b\langle y,z\rangle .}$$
• ความเป็นบวกแน่นอน : ถ้าไม่เป็นศูนย์แล้ว(สมมาตรแบบคู่ควบบ่งชี้ว่าเป็นจำนวนจริง)${\displaystyle x}$$${\displaystyle \langle x,x\rangle >0}$$${\displaystyle \langle x,x\rangle }$

หากเงื่อนไขความเป็นบวกแน่นอนถูกแทนที่ด้วยการกำหนดให้สำหรับทุก ๆแล้วจะได้นิยามของรูปแบบเฮอร์มิเชียนกึ่งบวกแน่นอน รูปแบบเฮอ ^ร์มิเชียนกึ่งบวกแน่นอนเป็นผลคูณภายในก็ต่อเมื่อสำหรับทุก ๆถ้าแล้ว^{[ 7} ]${\displaystyle \langle x,x\rangle \geq 0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \langle x,x\rangle =0}$${\displaystyle x=\mathbf {0} }$

ในคุณสมบัติต่อไปนี้ ซึ่งได้มาเกือบจะโดยตรงจากนิยามของผลคูณภายในx , yและzเป็นเวกเตอร์ใดๆ และaและbเป็นสเกลาร์ใดๆ

• ${\displaystyle \langle \mathbf {0} ,x\rangle =\langle x,\mathbf {0} \rangle =0.}$^{[หมายเหตุ 3 ]}
• ${\displaystyle \langle x,x\rangle }$เป็นค่าจริงและไม่เป็นลบ^{[หมายเหตุ 4 ]}
• ${\displaystyle \langle x,x\rangle =0}$ก็ต่อเมื่อ^{[หมายเหตุ 5 ]}${\displaystyle x=\mathbf {0} .}$
• ${\displaystyle \langle x,ay+bz\rangle ={\overline {a}}\langle x,y\rangle +{\overline {b}}\langle x,z\rangle }$นั่นคือความเป็นเชิงเส้นคู่ควบ (สำหรับอาร์กิวเมนต์ที่ 2) ซึ่งหมายความว่าผลคูณภายในเป็นรูปแบบเซสควิลิเนียร์
• ${\displaystyle \langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +2\operatorname {Re} (\langle x,y\rangle )+\langle y,y\rangle ,}$โดยที่หมายถึงส่วนจริงของอาร์กิวเมนต์${\displaystyle \operatorname {Re} }$

เมื่อพิจารณาเหนือ ปริภูมิเวกเตอร์ จริง สมมาตรแบบสังยุคจะลดรูปเป็นสมมาตร และความเป็นกึ่งเชิงเส้นจะลดรูปเป็นความเป็นเชิงเส้นคู่ดังนั้น ผลคูณภายในบนปริภูมิเวกเตอร์จริงจึงเป็นรูปแบบเชิงเส้นคู่สมมาตรบวกแน่นอนการกระจายทวินามของกำลังสองจะกลายเป็น ${\displaystyle \mathbb {R} }$$${\displaystyle \langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +2\langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle .}$$

มีการใช้สัญลักษณ์หลายแบบสำหรับผลคูณภายใน รวมถึง , , และ รวมถึงผลคูณจุดตามปกติด้วย ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle \left(\cdot ,\cdot \right)}$${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }$${\displaystyle \left(\cdot |\cdot \right)}$

นักเขียนบางท่าน โดยเฉพาะในสาขาฟิสิกส์และพีชคณิตเมทริกซ์นิยมกำหนดนิยามของผลคูณภายในและรูปแบบเซสควิลิเนียร์โดยให้ความเชิงเส้นอยู่ในอาร์กิวเมนต์ตัวที่สองมากกว่าตัวแรก ในกรณีนี้ อาร์กิวเมนต์ตัวแรกจะกลายเป็นเชิงเส้นคู่ควบ แทนที่จะเป็นตัวที่สอง สัญกรณ์Bra–ketในกลศาสตร์ควอนตัมก็ใช้สัญกรณ์ที่แตกต่างออกไปเล็กน้อย เช่นโดยที่ ${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }$${\displaystyle \langle x|y\rangle :=\left(y,x\right)}$

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของปริภูมิผลคูณภายใน ได้แก่และ จำนวนจริงเป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือซึ่งกลายเป็นปริภูมิผลคูณภายในโดยมีผลคูณภายในเป็นการคูณเลขคณิต: ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} .}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$$${\displaystyle \langle x,y\rangle :=xy\quad {\text{ for }}x,y\in \mathbb {R} .}$$

จำนวนเชิงซ้อนเป็น ปริภูมิเวกเตอร์เหนือซึ่งกลายเป็นปริภูมิผลคูณภายในที่มีผลคูณภายใน แตกต่างจากจำนวนจริง การกำหนดค่าไม่ได้ให้นิยามผลคูณภายในเชิงซ้อนบน${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$$${\displaystyle \langle x,y\rangle :=x{\overline {y}}\quad {\text{ for }}x,y\in \mathbb {C} .}$$${\displaystyle (x,y)\mapsto xy}$${\displaystyle \mathbb {C} .}$

โดยทั่วไปแล้วปริภูมิจริง${\displaystyle n}$ ที่มีผลคูณดอทคือปริภูมิผลคูณภายใน ซึ่งเป็นตัวอย่างหนึ่งของปริภูมิ เวกเตอร์แบบยุคลิด โดยที่คือเมทริกซ์ สลับตำแหน่ง ของ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle \left\langle {\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}\right\rangle =x^{\operatorname {T} }y=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n},}$$${\displaystyle x^{\operatorname {T} }}$${\displaystyle x.}$

ฟังก์ชันเป็นผลคูณภายในบนก็ต่อเมื่อมี เมทริกซ์ สมมาตรบวกแน่นอนอยู่จริง โดยที่สำหรับทุกถ้าเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์แล้วคือผลคูณดอท สำหรับตัวอย่างอื่น ถ้าและเป็นเมทริกซ์บวกแน่นอน (ซึ่งเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อและองค์ประกอบแนวทแยงมุมหนึ่งหรือทั้งสองเป็นบวก) แล้ว สำหรับทุก ดังที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ ผลคูณภายในทุกตัวบนมีรูปแบบนี้ (โดยที่และสอดคล้องกับ) ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle :\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {M} }$${\displaystyle \langle x,y\rangle =x^{\operatorname {T} }\mathbf {M} y}$${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}.}$${\displaystyle \mathbf {M} }$${\displaystyle \langle x,y\rangle =x^{\operatorname {T} }\mathbf {M} y}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{bmatrix}a&b\\b&d\end{bmatrix}}}$${\displaystyle \det \mathbf {M} =ad-b^{2}>0}$${\displaystyle x:=\left[x_{1},x_{2}\right]^{\operatorname {T} },y:=\left[y_{1},y_{2}\right]^{\operatorname {T} }\in \mathbb {R} ^{2},}$$${\displaystyle \langle x,y\rangle :=x^{\operatorname {T} }\mathbf {M} y=\left[x_{1},x_{2}\right]{\begin{bmatrix}a&b\\b&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}=ax_{1}y_{1}+bx_{1}y_{2}+bx_{2}y_{1}+dx_{2}y_{2}.}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle b\in \mathbb {R} ,a>0}$${\displaystyle d>0}$${\displaystyle ad>b^{2}}$

รูปแบบทั่วไปของผลคูณภายในบนเรียกว่ารูปแบบเฮอร์มิเชียนและกำหนดโดย โดย ที่เป็นเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนบวก กำหนด และคือเมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุคของสำหรับกรณีจำนวนจริง รูปแบบนี้สอดคล้องกับผลคูณดอทของผลลัพธ์ของการปรับขนาดทิศทาง ที่แตกต่างกัน ของเวกเตอร์ทั้งสอง โดยมีตัวประกอบการปรับขนาด เป็นบวก และทิศทางการปรับขนาดตั้งฉากกัน มันคือ ผล รวมถ่วงน้ำหนักของผลคูณดอทที่มีน้ำหนักเป็นบวก—โดยขึ้นอยู่กับการแปลงเชิงตั้งฉาก ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$$${\displaystyle \langle x,y\rangle =y^{\dagger }\mathbf {M} x={\overline {x^{\dagger }\mathbf {M} y}},}$$${\displaystyle M}$${\displaystyle y^{\dagger }}$${\displaystyle y.}$

บทความเกี่ยวกับปริภูมิฮิลเบิร์ตมีตัวอย่างปริภูมิผลคูณภายในหลายตัวอย่าง ซึ่งเมตริกที่เกิดจากผลคูณภายในจะให้ปริภูมิเมตริกที่สมบูรณ์ตัวอย่างของปริภูมิผลคูณภายในที่ให้เมตริกที่ไม่สมบูรณ์คือปริภูมิของฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนต่อเนื่องบนช่วงผลคูณภายในคือ ปริภูมินี้ไม่สมบูรณ์ ตัวอย่างเช่น สำหรับช่วง[−1, 1]ลำดับของฟังก์ชัน "ขั้นบันได" ต่อเนื่องที่กำหนดโดย: ${\displaystyle C([a,b])}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle [a,b].}$$${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(t){\overline {g(t)}}\,\mathrm {d} t.}$$${\displaystyle \{f_{k}\}_{k},}$$${\displaystyle f_{k}(t)={\begin{cases}0&t\in [-1,0]\\1&t\in \left[{\tfrac {1}{k}},1\right]\\kt&t\in \left(0,{\tfrac {1}{k}}\right)\end{cases}}}$$

ลำดับนี้เป็นลำดับโคชีสำหรับค่ามาตรฐานที่เกิดจากผลคูณภายในก่อนหน้า ซึ่งไม่ลู่เข้าสู่ฟังก์ชัน ต่อเนื่อง

สำหรับตัวแปรสุ่ม จริง และค่าคาดหวังของผลคูณของตัวแปรสุ่มเหล่านั้น เป็นผลคูณภายใน^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}ในกรณีนี้ถ้าและเฉพาะเมื่อ(นั่นคือเกือบแน่นอน ) โดยที่แสดงถึงความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ นิยามของค่าคาดหวังเป็นผลคูณภายในนี้สามารถขยายไปยังเวกเตอร์สุ่มได้เช่นกัน ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$$${\displaystyle \langle X,Y\rangle =\mathbb {E} [XY]}$$${\displaystyle \langle X,X\rangle =0}$${\displaystyle \mathbb {P} [X=0]=1}$${\displaystyle X=0}$${\displaystyle \mathbb {P} }$

ผลคูณภายในสำหรับเมทริกซ์จัตุรัสเชิงซ้อนที่มีขนาดเท่ากันคือผลคูณภายในแบบฟรอเบนิอุส เนื่องจากร่องรอยและการสลับตำแหน่งเป็นเชิงเส้น และการสังยุคอยู่บนเมทริกซ์ที่สอง ดังนั้นจึงเป็นตัวดำเนินการเซสควิลิเนียร์ นอกจากนี้เรายังได้สมมาตรแบบเฮอร์มิเชียนโดย สุดท้าย เนื่องจากสำหรับค่าที่ไม่เป็นศูนย์เราจึงได้ว่าผลคูณภายในแบบฟรอเบนิอุสเป็นเมทริกซ์บวกแน่นอนด้วย ดังนั้นผลคูณภายในจึงเป็นเมทริกซ์บวกแน่นอนเช่นกัน ${\displaystyle \langle A,B\rangle :=\operatorname {tr} \left(AB^{\dagger }\right)}$$${\displaystyle \langle A,B\rangle =\operatorname {tr} \left(AB^{\dagger }\right)={\overline {\operatorname {tr} \left(BA^{\dagger }\right)}}={\overline {\left\langle B,A\right\rangle }}}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle \langle A,A\rangle =\sum _{ij}\left|A_{ij}\right|^{2}>0}$

ในปริภูมิผลคูณภายใน หรือโดยทั่วไปแล้วในปริภูมิเวกเตอร์ที่มีรูปแบบไม่เสื่อมสภาพ (ดังนั้นจึงเป็นไอโซมอร์ฟิซึม) เวกเตอร์สามารถแปลงเป็นโคเวกเตอร์ได้ (ในพิกัด ผ่านการสลับแถวและคอลัมน์) เพื่อให้สามารถหาผลคูณภายในและผลคูณภายนอกของเวกเตอร์สองตัวได้ ไม่ใช่เพียงแค่ผลคูณระหว่างเวกเตอร์กับโคเวกเตอร์เท่านั้น ${\displaystyle V\to V^{*}}$

พื้นที่ผลคูณภายในทุกพื้นที่ก่อให้เกิดบรรทัดฐานเรียกว่า บรรทัดฐานนั้นเองบรรทัดฐานมาตรฐาน (canonical norm ) ซึ่งกำหนดโดย ด้วยบรรทัดฐานนี้ พื้นที่ผลคูณภายในทุกพื้นที่จะกลายเป็นพื้นที่เวกเตอร์ที่มีบรรทัดฐาน (normed vector space) $${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.}$$

ดังนั้น คุณสมบัติทั่วไปทั้งหมดของปริภูมิเวกเตอร์แบบมีบรรทัดฐานจึงใช้ได้กับปริภูมิผลคูณภายใน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จะมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

ความเป็นเนื้อเดียวกันอย่างสมบูรณ์

$${\displaystyle \|ax\|=|a|\,\|x\|}$$ สำหรับทุกๆและ (ผลลัพธ์นี้เกิดจาก) ${\displaystyle x\in V}$${\displaystyle a\in F}$${\displaystyle \langle ax,ax\rangle =a{\overline {a}}\langle x,x\rangle }$

อสมการสามเหลี่ยม

$${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|}$$ คุณสมบัติ ทั้ง สองนี้แสดงให้เห็นว่ามีบรรทัดฐานอยู่จริง${\displaystyle x,y\in V.}$

อสมการโคชี-ชวาร์ซ

$${\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\,\|y\|}$$ สำหรับทุก ๆ ที่มีความเท่าเทียมกันก็ต่อเมื่อและเป็น ตัวแปรอิสระ เชิง เส้น${\displaystyle x,y\in V,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน

$${\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}}$$ กฎ สี่เหลี่ยมด้านขนาน เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการกำหนดค่ามาตรฐานโดยใช้ผลคูณภายใน ${\displaystyle x,y\in V.}$

เอกลักษณ์ของการแบ่งขั้ว

$${\displaystyle \|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}+2\operatorname {Re} \langle x,y\rangle }$$ สำหรับทุกๆ ผลคูณภายในสามารถดึงกลับมาได้จากค่ามาตรฐานโดยใช้เอกลักษณ์การโพลาไรเซชัน เนื่องจากส่วนจินตนาการของมันคือส่วนจริงของ${\displaystyle x,y\in V.}$${\displaystyle \langle x,iy\rangle .}$

ความไม่เท่าเทียมกันของปโตเลมี

$${\displaystyle \|x-y\|\,\|z\|~+~\|y-z\|\,\|x\|~\geq ~\|x-z\|\,\|y\|}$$ สำหรับทุก ความไม่เท่าเทียมกันของปโตเลมี ถือเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับเซมินอร์มที่จะเป็นนอร์มที่กำหนดโดยผลคูณภายใน^{[ 11 ]}${\displaystyle x,y,z\in V.}$

ความตั้งฉาก

เวกเตอร์สองตัวและกล่าวกันว่าเป็น${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$ตั้งฉากกันมักเขียนว่าถ้าผลคูณภายในเป็นศูนย์ นั่นคือ ถ้า สิ่งนี้เกิดขึ้นก็ต่อเมื่อสำหรับสเกลาร์ทั้งหมด ^{[ 12 ]}และก็ต่อเมื่อฟังก์ชันค่าจริงไม่เป็นลบ (นี่เป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่า ถ้าแล้วสเกลาร์จะทำให้ค่าต่ำสุดด้วยค่าที่ไม่เป็นบวกเสมอ) สำหรับปริภูมิผลคูณภายในเชิงซ้อนดำเนินการเชิงเส้นจะเหมือนกันก็ต่อเมื่อสำหรับทุก ^{[ 12 ]}สิ่งนี้ไม่เป็นจริงโดยทั่วไปสำหรับปริภูมิผลคูณภายในจริง เนื่องจากเป็นผลมาจากสมมาตรคู่ควบที่แตกต่างจากสมมาตรสำหรับผลคูณภายในเชิงซ้อน ตัวอย่างค้านในปริภูมิผลคูณภายในจริงคือการหมุน 90° ในซึ่งแมปเวกเตอร์ทุกตัวไปยังเวกเตอร์ตั้งฉากกัน แต่ไม่เหมือนกัน ${\displaystyle x\perp y,}$${\displaystyle \langle x,y\rangle =0.}$${\displaystyle \|x\|\leq \|x+sy\|}$${\displaystyle s,}$${\displaystyle f(s):=\|x+sy\|^{2}-\|x\|^{2}}$${\displaystyle y\neq 0}$${\displaystyle s_{0}=-{\tfrac {\overline {\langle x,y\rangle }}{\|y\|^{2}}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f\left(s_{0}\right)=-{\tfrac {|\langle x,y\rangle |^{2}}{\|y\|^{2}}},}$${\displaystyle H,}$${\displaystyle T:V\to V}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle x\perp Tx}$${\displaystyle x\in V.}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle 0}$

ส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉาก

ส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉากของเซตย่อยคือ เซตของเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับทุกองค์ประกอบของCกล่าวคือ เซตนี้เป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์ปิดของ C เสมอและถ้าการปิดของในเป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์แล้ว${\displaystyle C\subseteq V}$${\displaystyle C^{\bot }}$$${\displaystyle C^{\bot }:=\{\,y\in V:\langle y,c\rangle =0{\text{ for all }}c\in C\,\}.}$$${\displaystyle C^{\bot }}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{V}C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{V}C=\left(C^{\bot }\right)^{\bot }.}$

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ถ้าและเป็นเวกเตอร์ตั้งฉากกันแล้ว สามารถพิสูจน์ได้โดยการแสดงค่ากำลังสองของนอร์มในรูปของผลคูณภายใน โดยใช้คุณสมบัติการบวกในการกระจายด้านขวาของสมการ ชื่อทฤษฎีบทพีทาโกรัสมาจากความหมายเชิงเรขาคณิตในเรขาคณิตแบบยุคลิด ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$$${\displaystyle \|x\|^{2}+\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}.}$$

ตัวตนของปาร์เซวัล

การอุปมานตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสให้ผลลัพธ์ว่า ถ้าตั้งฉากกันเป็นคู่ๆ แล้ว ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{2}=\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right\|^{2}.}$$

มุม

เมื่อn เป็นจำนวนจริง อสมการโคชี-ชวาร์ซจะบ่งชี้ว่า n = 0 และดังนั้น n = 0 ก็ เป็นจำนวนจริงเช่นกัน สิ่งนี้ทำให้สามารถกำหนดมุม (ที่ไม่ระบุทิศทาง) ของเวกเตอร์สองตัวในนิยามสมัยใหม่ของเรขาคณิตแบบยุคลิด ได้ โดยใช้พีชคณิต เชิงเส้น นอกจากนี้ยังใช้ในการวิเคราะห์ข้อมูลภายใต้ชื่อ " ความคล้ายคลึงโคไซน์ " สำหรับการเปรียบเทียบเวกเตอร์ข้อมูลสองตัว ยิ่งไปกว่านั้น ถ้าn = 0 เป็นค่าลบ มุมจะมีค่ามากกว่า 90 องศา คุณสมบัตินี้มักใช้ในกราฟิกคอมพิวเตอร์ (เช่น ในการตัดด้านหลัง ) เพื่อวิเคราะห์ทิศทางโดยไม่ต้องคำนวณฟังก์ชันตรีโกโนเมตริก${\displaystyle \langle x,y\rangle }$${\textstyle {\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\,\|y\|}}\in [-1,1],}$$${\displaystyle \angle (x,y)=\arccos {\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\,\|y\|}},}$$${\displaystyle \langle x,y\rangle }$${\displaystyle \angle (x,y)}$

Suppose that ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ is an inner product on ${\displaystyle V}$ (so it is antilinear in its second argument). The polarization identity shows that the real part of the inner product is $${\displaystyle \operatorname {Re} \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).}$$

If ${\displaystyle V}$ is a real vector space then $${\displaystyle \langle x,y\rangle =\operatorname {Re} \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)}$$ and the imaginary part (also called the complex part) of ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ is always ${\displaystyle 0.}$

Assume for the rest of this section that ${\displaystyle V}$ is a complex vector space. The polarization identity for complex vector spaces shows that $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x,\ y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\|x+iy\|^{2}-i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=\operatorname {Re} \langle x,y\rangle +i\operatorname {Re} \langle x,iy\rangle .\\\end{alignedat}}}$$

The map defined by ${\displaystyle \langle x\mid y\rangle =\langle y,x\rangle }$ for all ${\displaystyle x,y\in V}$ satisfies the axioms of the inner product except that it is antilinear in its first, rather than its second, argument. The real part of both ${\displaystyle \langle x\mid y\rangle }$ and ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ are equal to ${\displaystyle \operatorname {Re} \langle x,y\rangle }$ but the inner products differ in their complex part: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x\mid y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}-i\|x+iy\|^{2}+i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=\operatorname {Re} \langle x,y\rangle -i\operatorname {Re} \langle x,iy\rangle .\\\end{alignedat}}}$$

The last equality is similar to the formula expressing a linear functional in terms of its real part.

These formulas show that every complex inner product is completely determined by its real part. Moreover, this real part defines an inner product on ${\displaystyle V,}$ considered as a real vector space. There is thus a one-to-one correspondence between complex inner products on a complex vector space ${\displaystyle V,}$ and real inner products on ${\displaystyle V.}$

For example, suppose that ${\displaystyle V=\mathbb {C} ^{n}}$ for some integer ${\displaystyle n>0.}$ When ${\displaystyle V}$ is considered as a real vector space in the usual way (meaning that it is identified with the ${\displaystyle 2n-}$dimensional real vector space ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n},}$ with each ${\displaystyle \left(a_{1}+ib_{1},\ldots ,a_{n}+ib_{n}\right)\in \mathbb {C} ^{n}}$ identified with ${\displaystyle \left(a_{1},b_{1},\ldots ,a_{n},b_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{2n}}$), then the dot product${\displaystyle x\,\cdot \,y=\left(x_{1},\ldots ,x_{2n}\right)\,\cdot \,\left(y_{1},\ldots ,y_{2n}\right):=x_{1}y_{1}+\cdots +x_{2n}y_{2n}}$ defines a real inner product on this space. The unique complex inner product ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$ on ${\displaystyle V=\mathbb {C} ^{n}}$ induced by the dot product is the map that sends ${\displaystyle c=\left(c_{1},\ldots ,c_{n}\right),d=\left(d_{1},\ldots ,d_{n}\right)\in \mathbb {C} ^{n}}$ to ${\displaystyle \langle c,d\rangle :=c_{1}{\overline {d_{1}}}+\cdots +c_{n}{\overline {d_{n}}}}$ (because the real part of this map ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$ is equal to the dot product).

Let ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }}$ denote ${\displaystyle V}$ considered as a vector space over the real numbers rather than complex numbers. The real part of the complex inner product ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ is the map ${\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }=\operatorname {Re} \langle x,y\rangle ~:~V_{\mathbb {R} }\times V_{\mathbb {R} }\to \mathbb {R} ,}$ which necessarily forms a real inner product on the real vector space ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }.}$ Every inner product on a real vector space is a bilinear and symmetric map.

ตัวอย่างเช่น ถ้ามีผลคูณภายในโดยที่เป็นปริมาณเวกเตอร์เหนือฟิลด์แล้วเป็นปริมาณเวกเตอร์เหนือและคือผลคูณดอทโดยที่ถูกระบุด้วยจุด(และในทำนองเดียวกันสำหรับ); ดังนั้น ผลคูณภายในมาตรฐานบนจึงเป็น "ส่วนขยาย" ของผลคูณดอท นอกจากนี้ หากถูกกำหนดให้เป็นแผนที่สมมาตร (แทนที่จะเป็นแผนที่สมมาตรสังยุค ตามปกติ ) ส่วนจริงของมันจะไม่ใช่ผลคูณดอท ยิ่งไปกว่านั้น หากไม่มีสังยุคเชิงซ้อน ถ้าแต่แล้วดังนั้น การกำหนดค่าจะไม่กำหนดบรรทัดฐาน ${\displaystyle V=\mathbb {C} }$${\displaystyle \langle x,y\rangle =x{\overline {y}},}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle V_{\mathbb {R} }=\mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }}$${\displaystyle x\cdot y,}$${\displaystyle x=a+ib\in V=\mathbb {C} }$${\displaystyle (a,b)\in V_{\mathbb {R} }=\mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \langle x,y\rangle =x{\overline {y}},}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \langle x,y\rangle }$${\displaystyle \langle x,y\rangle =xy}$${\displaystyle \langle x,y\rangle =x{\overline {y}}}$${\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }}$${\displaystyle x\in \mathbb {C} }$${\displaystyle x\not \in \mathbb {R} }$${\displaystyle \langle x,x\rangle =xx=x^{2}\not \in [0,\infty )}$${\textstyle x\mapsto {\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$

ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงให้เห็นว่า แม้ว่าผลคูณภายในจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อนจะมีคุณสมบัติและผลลัพธ์ที่เหมือนกันหลายอย่าง แต่ก็ไม่สามารถใช้แทนกันได้อย่างสมบูรณ์ เช่น ถ้าแล้วแต่ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงให้เห็นว่าโดยทั่วไปแล้วข้อความกลับไม่เป็นจริง เมื่อกำหนดเวกเตอร์ ใดๆ (ซึ่งเป็นเวกเตอร์ที่หมุนไป 90°) เป็นสมาชิกของและดังนั้น ก็เป็นสมาชิกของ ด้วย(แม้ว่าการคูณสเกลาร์ของด้วยจะไม่นิยามในเวกเตอร์ ในที่แสดงด้วยก็ยังคงเป็นสมาชิกของ อยู่ดี) สำหรับผลคูณภายในจำนวนเชิงซ้อนในขณะที่สำหรับผลคูณภายในจำนวนจริง ค่าจะเป็นเสมอ${\displaystyle \langle x,y\rangle =0}$${\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }=0,}$${\displaystyle x\in V,}$${\displaystyle ix}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle x}$${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$${\displaystyle V_{\mathbb {R} },}$${\displaystyle V}$${\displaystyle ix}$${\displaystyle V_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle \langle x,ix\rangle =-i\|x\|^{2},}$${\displaystyle \langle x,ix\rangle _{\mathbb {R} }=0.}$

ถ้าเป็นผลคูณภายในเชิงซ้อน และเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นต่อเนื่องที่สอดคล้องกับเงื่อนไขสำหรับทุกแล้วข้อความนี้จะไม่เป็นจริงอีกต่อไป ถ้าเป็นผลคูณภายในจริงแทน ดังตัวอย่างต่อไปนี้ สมมติว่ามีผลคูณภายในที่กล่าวถึงข้างต้น แผนที่ที่กำหนดโดยเป็นแผนที่เชิงเส้น (เชิงเส้นสำหรับทั้งและ) ที่แสดงถึงการหมุนโดยในระนาบ เนื่องจากและเป็นเวกเตอร์ตั้งฉากกัน และเป็นเพียงผลคูณจุดสำหรับทุกเวกเตอร์แผนที่การหมุนนี้จึงไม่ใช่ศูนย์โดยสมบูรณ์อย่างแน่นอนในทางตรงกันข้าม การใช้ผลคูณภายในเชิงซ้อนจะให้ซึ่ง (ตามที่คาดไว้) ไม่ใช่ศูนย์โดยสมบูรณ์ ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$${\displaystyle A:V\to V}$${\displaystyle \langle x,Ax\rangle =0}$${\displaystyle x\in V,}$${\displaystyle A=0.}$${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$${\displaystyle V=\mathbb {C} }$${\displaystyle \langle x,y\rangle :=x{\overline {y}}}$${\displaystyle A:V\to V}$${\displaystyle Ax=ix}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle 90^{\circ }}$${\displaystyle x}$${\displaystyle Ax}$${\displaystyle \langle x,Ax\rangle _{\mathbb {R} }}$${\displaystyle \langle x,Ax\rangle _{\mathbb {R} }=0}$${\displaystyle x;}$${\displaystyle A}$${\displaystyle 0.}$${\displaystyle \langle x,Ax\rangle =-i\|x\|^{2},}$

ให้เป็นปริภูมิผลคูณภายในที่มีมิติจำกัดโปรดจำไว้ว่าฐานทุกฐานของประกอบด้วยเวกเตอร์ที่เป็นอิสระเชิงเส้นอย่างแน่นอน โดยใช้กระบวนการแกรม-ชมิดต์เราสามารถเริ่มต้นด้วยฐานใดๆ และแปลงมันให้เป็นฐานเชิงตั้งฉากปกติ นั่นคือ ฐานที่องค์ประกอบทั้งหมดตั้งฉากกันและมีขนาดหนึ่ง ในเชิงสัญลักษณ์ ฐานจะเป็นฐานเชิงตั้งฉากปกติ ถ้าสำหรับทุกและสำหรับแต่ละดัชนี${\displaystyle V}$${\displaystyle n.}$${\displaystyle V}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$${\displaystyle \langle e_{i},e_{j}\rangle =0}$${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle \langle e_{i},e_{i}\rangle =\|e_{a}\|^{2}=1}$${\displaystyle i.}$

นิยามของฐานเชิงตั้งฉากปกติ (orthonormal basis) นี้สามารถขยายไปสู่กรณีของปริภูมิผลคูณภายในมิติอนันต์ได้ดังนี้ ให้เป็นปริภูมิผลคูณภายในใดๆ แล้วเซต จะเป็นฐานสำหรับถ้าปริภูมิย่อยของที่สร้างขึ้นโดยการรวมเชิงเส้นจำกัดขององค์ประกอบของมีความหนาแน่นใน(ในบรรทัดฐานที่เกิดจากผลคูณภายใน) สมมติว่าเป็นฐานเชิงตั้งฉากปกติสำหรับถ้า เป็นฐาน และ ถ้าและสำหรับทุก${\displaystyle V}$$${\displaystyle E=\left\{e_{a}\right\}_{a\in A}}$$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle E}$${\displaystyle V}$${\displaystyle E}$${\displaystyle V}$$${\displaystyle \left\langle e_{a},e_{b}\right\rangle =0}$$${\displaystyle a\neq b}$${\displaystyle \langle e_{a},e_{a}\rangle =\|e_{a}\|^{2}=1}$${\displaystyle a,b\in A.}$

โดยใช้แบบจำลองมิติอนันต์ของกระบวนการแกรม-ชมิดท์ เราสามารถแสดงให้เห็นได้ว่า:

ทฤษฎีบท. ปริภูมิผลคูณภายใน ที่แยกได้ใดๆจะมีฐานเชิงตั้งฉากปกติ

โดยใช้หลักการสูงสุดของเฮาส์ดอร์ฟและข้อเท็จจริงที่ว่าในปริภูมิผลคูณภายในที่สมบูรณ์การฉายภาพเชิงตั้งฉากบนปริภูมิย่อยเชิงเส้นนั้นกำหนดไว้อย่างดี เราสามารถแสดงได้ว่า

ทฤษฎีบท. ปริภูมิผลคูณภายในสมบูรณ์ใดๆย่อมมีฐานเชิงตั้งฉากปกติ

ทฤษฎีบทสองข้อก่อนหน้านี้ทำให้เกิดคำถามว่าปริภูมิผลคูณภายในทั้งหมดมีฐานเชิงตั้งฉากปกติหรือไม่ คำตอบคือไม่ใช่ นี่เป็นผลลัพธ์ที่ไม่ธรรมดา และจะได้รับการพิสูจน์ต่อไปนี้ การพิสูจน์ต่อไปนี้มาจากหนังสือ A Hilbert Space Problem Book ของ Halmos (ดูเอกสารอ้างอิง)

การพิสูจน์

โปรดจำไว้ว่า มิติของปริภูมิผลคูณภายในคือจำนวนสมาชิกของระบบออร์โทนอร์มอลสูงสุดที่ปริภูมินั้นบรรจุอยู่ (ตามทฤษฎีบทของซอร์น ปริภูมินั้นบรรจุอย่างน้อยหนึ่งระบบ และสองระบบใดๆ ก็มีจำนวนสมาชิกเท่ากัน) ฐานออร์โทนอร์มอลเป็นระบบออร์โทนอร์มอลสูงสุดอย่างแน่นอน แต่ในทางกลับกันนั้นไม่จำเป็นต้องเป็นจริงเสมอไป ถ้าเป็นปริภูมิย่อยหนาแน่นของปริภูมิผลคูณภายในแล้ว ฐานออร์โทนอร์มอลใดๆ สำหรับจะเป็นฐานออร์โทนอร์มอลสำหรับ โดยอัตโนมัติดังนั้นจึงเพียงพอที่จะสร้างปริภูมิผลคูณภายในที่มีปริภูมิย่อยหนาแน่นซึ่งมีมิติเล็กกว่าของ อย่างเคร่งครัด${\displaystyle G}$${\displaystyle V,}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V.}$${\displaystyle V}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V.}$ ให้เป็นปริภูมิฮิลเบิร์ตที่มีมิติ(ตัวอย่างเช่น) ให้เป็นฐานเชิงตั้งฉากปกติของดังนั้นขยายไปยังฐานฮาเมลสำหรับโดยที่เนื่องจากเป็นที่ทราบกันว่ามิติฮาเมลของคือจำนวนสมาชิกของคอนติเนียม ดังนั้น จะต้องเป็น${\displaystyle K}$${\displaystyle \aleph _{0}.}$${\displaystyle K=\ell ^{2}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle E}$${\displaystyle K,}$${\displaystyle |E|=\aleph _{0}.}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E\cup F}$${\displaystyle K,}$${\displaystyle E\cap F=\varnothing .}$${\displaystyle K}$${\displaystyle c,}$${\displaystyle |F|=c.}$ ให้เป็นปริภูมิฮิลเบิร์ตที่มีมิติ(ตัวอย่างเช่น) ให้เป็นฐานเชิงตั้งฉากปกติสำหรับและให้เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง แล้วจะมีการแปลงเชิงเส้นที่ทำให้สำหรับและสำหรับ${\displaystyle L}$${\displaystyle c}$${\displaystyle L=\ell ^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle B}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \varphi :F\to B}$${\displaystyle T:K\to L}$${\displaystyle Tf=\varphi (f)}$${\displaystyle f\in F,}$${\displaystyle Te=0}$${\displaystyle e\in E.}$ ให้และให้เป็นกราฟของให้เป็นส่วนปิดของใน; เราจะแสดงว่าเนื่องจากสำหรับใดๆเรามีดังนั้น จึงสรุปได้ว่า${\displaystyle V=K\oplus L}$${\displaystyle G=\{(k,Tk):k\in K\}}$${\displaystyle T.}$${\displaystyle {\overline {G}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\overline {G}}=V.}$${\displaystyle e\in E}$${\displaystyle (e,0)\in G,}$${\displaystyle K\oplus 0\subseteq {\overline {G}}.}$ ต่อไป ถ้าเช่นนั้นสำหรับบางค่าดังนั้นเนื่องจากเช่นกัน เรายังมีดังนั้นจึงสรุปได้ว่าและหนาแน่นใน${\displaystyle b\in B,}$${\displaystyle b=Tf}$${\displaystyle f\in F\subseteq K,}$${\displaystyle (f,b)\in G\subseteq {\overline {G}}}$${\displaystyle (f,0)\in {\overline {G}}}$${\displaystyle (0,b)\in {\overline {G}}.}$${\displaystyle 0\oplus L\subseteq {\overline {G}},}$${\displaystyle {\overline {G}}=V,}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V.}$ สุดท้ายนี้เป็นเซตออร์โทนอร์มอลสูงสุดใน; ถ้า สำหรับทุกแล้วเวกเตอร์ศูนย์ใน ก็เป็นเซตออร์โทนอร์มอลสูงสุดเช่นกัน ดังนั้น มิติของคือในขณะที่เห็นได้ชัดว่ามิติของคือการพิสูจน์เสร็จสมบูรณ์แล้ว ${\displaystyle \{(e,0):e\in E\}}$${\displaystyle G}$$${\displaystyle 0=\langle (e,0),(k,Tk)\rangle =\langle e,k\rangle +\langle 0,Tk\rangle =\langle e,k\rangle }$$${\displaystyle e\in E}$${\displaystyle k=0,}$${\displaystyle (k,Tk)=(0,0)}$${\displaystyle G.}$${\displaystyle G}$${\displaystyle |E|=\aleph _{0},}$${\displaystyle V}$${\displaystyle c.}$

เอกลักษณ์ของปาร์เซวัลนำไปสู่ทฤษฎีบทต่อไปนี้โดยทันที:

ทฤษฎีบท.ให้เป็นปริภูมิผลคูณภายในที่แยกได้ และเป็นฐานเชิงตั้งฉากปกติของ แล้ว แผนที่ เป็นแผนที่เชิงเส้นแบบไอโซเมตริกที่มีภาพหนาแน่น ${\displaystyle V}$${\displaystyle \left\{e_{k}\right\}_{k}}$${\displaystyle V.}$$${\displaystyle x\mapsto {\bigl \{}\langle e_{k},x\rangle {\bigr \}}_{k\in \mathbb {N} }}$$${\displaystyle V\rightarrow \ell ^{2}}$

ทฤษฎีบทนี้สามารถถือได้ว่าเป็นรูปแบบนามธรรมของอนุกรมฟูริเยร์โดยที่ฐานเชิงตั้งฉากใดๆ ทำหน้าที่เป็นลำดับของพหุนามตรีโกณมิติโปรดทราบว่าเซตดัชนีพื้นฐานสามารถเลือกให้เป็นเซตที่นับได้ใดๆ ก็ได้ (และในความเป็นจริงเซตใดๆ ก็ได้ ตราบใดที่ถูกกำหนดอย่างเหมาะสม ดังที่อธิบายไว้ในบทความเรื่องปริภูมิฮิลเบิร์ต ) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราจะได้ผลลัพธ์ต่อไปนี้ในทฤษฎีอนุกรมฟูริเยร์: ${\displaystyle \ell ^{2}}$

ทฤษฎีบท.ให้เป็นปริภูมิผลคูณภายในแล้วลำดับ (ที่จัดทำดัชนีบนเซตของจำนวนเต็มทั้งหมด) ของฟังก์ชันต่อเนื่อง จะเป็นฐานเชิงตั้งฉากปกติของปริภูมิที่มี ผลคูณ ภายในการแมป เป็นแผนที่เชิงเส้นไอโซเมตริกที่มีภาพหนาแน่น ${\displaystyle V}$${\displaystyle C[-\pi ,\pi ].}$$${\displaystyle e_{k}(t)={\frac {e^{ikt}}{\sqrt {2\pi }}}}$$${\displaystyle C[-\pi ,\pi ]}$${\displaystyle L^{2}}$$${\displaystyle f\mapsto {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\left\{\int _{-\pi }^{\pi }f(t)e^{-ikt}\,\mathrm {d} t\right\}_{k\in \mathbb {Z} }}$$

ความตั้งฉากของลำดับเป็นผลโดยตรงจากข้อเท็จจริงที่ว่า ถ้าแล้ว ${\displaystyle \{e_{k}\}_{k}}$${\displaystyle k\neq j,}$$${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }e^{-i(j-k)t}\,\mathrm {d} t=0.}$$

ความปกติของลำดับนั้นเกิดจากการออกแบบ กล่าวคือ สัมประสิทธิ์ถูกเลือกเพื่อให้ค่าปกติออกมาเป็น 1 สุดท้ายแล้ว ข้อเท็จจริงที่ว่าลำดับมีปริภูมิพีชคณิตหนาแน่นในค่าปกติของผลคูณภายในนั้นมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าลำดับมีปริภูมิพีชคณิตหนาแน่นเช่นกัน คราวนี้อยู่ในปริภูมิของฟังก์ชันคาบต่อเนื่องบนที่มีค่าปกติสม่ำเสมอ นี่คือเนื้อหาของทฤษฎีบทไวเออร์สตรัสเกี่ยวกับความหนาแน่นสม่ำเสมอของพหุนามตรีโกณมิติ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$

แผนที่เชิงเส้นหลายประเภทที่เชื่อมโยงระหว่างปริภูมิผลคูณภายในมีความเกี่ยวข้องดังนี้: ${\displaystyle A:V\to W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$

• แผนที่เชิงเส้นต่อเนื่อง :เป็นเชิงเส้นและต่อเนื่องเมื่อเทียบกับเมตริกที่กำหนดไว้ข้างต้น หรือเทียบเท่ากับ เป็นเชิงเส้นและเซตของจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบซึ่งครอบคลุมทั่วลูกบอลหน่วยปิดของมีขอบเขตจำกัด${\displaystyle A:V\to W}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \{\|Ax\|:\|x\|\leq 1\},}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V,}$
• ตัวดำเนินการเชิงเส้นสมมาตร : เป็นเชิงเส้นและสำหรับทุก${\displaystyle A:V\to W}$${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle }$${\displaystyle x,y\in V.}$
• ไอโซเมตรี :สอดคล้องกับเงื่อนไขสำหรับทุกค่าไอโซเมตรีเชิงเส้น (หรือไอโซเมตรีเชิงต้านเชิงเส้น ) คือไอโซเมตรีที่เป็นแผนที่เชิงเส้น (หรือแผนที่เชิงต้านเชิงเส้น ) ด้วย สำหรับปริภูมิผลคูณภายในเอกลักษณ์โพลาไรเซชันสามารถใช้เพื่อแสดงว่าเป็นไอโซเมตรีก็ต่อเมื่อสำหรับทุก ค่า ไอโซเมตรีทั้งหมดเป็นฟังก์ชันหนึ่ง ต่อหนึ่ง ทฤษฎีบท มาซูร์-อูลามพิสูจน์ว่าไอโซเมตรีแบบทั่วถึงทุกตัวระหว่าง ปริภูมิบรรทัดฐาน จริง สอง ปริภูมิเป็นการแปลงเชิงเส้นดังนั้น ไอโซเมตรีระหว่างปริภูมิผลคูณภายในจริงจะเป็นแผนที่เชิงเส้นก็ต่อเมื่อไอโซเมตรีเป็นมอร์ฟิซึมระหว่างปริภูมิผลคูณภายใน และมอร์ฟิซึมของปริภูมิผลคูณภายในจริงเป็นการแปลงเชิงตั้งฉาก (เปรียบเทียบกับเมทริกซ์เชิงตั้งฉาก )${\displaystyle A:V\to W}$${\displaystyle \|Ax\|=\|x\|}$${\displaystyle x\in V.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \langle Ax,Ay\rangle =\langle x,y\rangle }$${\displaystyle x,y\in V.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A(0)=0.}$
• ไอโซมอร์ฟิซึมเชิงไอโซเมตริก : คือไอโซเมตรีที่เป็นฟังก์ชันทั่วถึง (และดังนั้นจึงเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ) ไอโซมอร์ฟิซึมเชิงไอโซเมตริกเรียกอีกอย่างว่า ตัวดำเนินการเอกภาพ (เปรียบเทียบกับเมทริกซ์เอกภาพ )${\displaystyle A:V\to W}$

จากมุมมองของทฤษฎีปริภูมิผลคูณภายใน ไม่จำเป็นต้องแยกแยะระหว่างปริภูมิสองปริภูมิที่สมมาตรกันทฤษฎีบทสเปกตรัมให้รูปแบบมาตรฐานสำหรับตัวดำเนินการสมมาตร เอกภาพ และโดยทั่วไปคือตัวดำเนินการปกติในปริภูมิผลคูณภายในมิติจำกัด การวางนัยทั่วไปของทฤษฎีบทสเปกตรัมใช้ได้กับตัวดำเนินการปกติต่อเนื่องในปริภูมิฮิลเบิร์ต^{[ 13 ]}

สามารถลดทอนสัจพจน์ใดๆ ของผลคูณภายในได้ ทำให้เกิดแนวคิดทั่วไปขึ้น การวางนัยทั่วไปที่ใกล้เคียงกับผลคูณภายในมากที่สุดเกิดขึ้นเมื่อยังคงรักษาความเป็นเชิงเส้นคู่และความสมมาตรแบบสังยุคไว้ แต่ลดทอนความเป็นบวกแน่นอนลง

ถ้าเป็นปริมาณเวกเตอร์และเป็นรูปแบบเซสควิลิเนียร์กึ่งกำหนดแล้ว ฟังก์ชัน: มีความหมายและตรงตามคุณสมบัติทั้งหมดของนอร์ม ยกเว้นว่าไม่ได้หมายความว่า(ฟังก์ชันดังกล่าวเรียกว่าเซมิ-นอร์ม ) เราสามารถสร้างปริมาณเวกเตอร์ผลคูณภายในได้โดยพิจารณา ผลหาร รูปแบบเซสควิลิเนียร์แยกตัวประกอบผ่าน${\displaystyle V}$${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle }$$${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$$${\displaystyle \|x\|=0}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle W=V/\{x:\|x\|=0\}.}$${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle }$${\displaystyle W.}$

โครงสร้างนี้ถูกนำไปใช้ในบริบทต่างๆ มากมายโครงสร้าง Gelfand–Naimark–Segalเป็นตัวอย่างที่สำคัญอย่างยิ่งของการใช้เทคนิคนี้ อีกตัวอย่างหนึ่งคือการแสดงเคอร์เนลแบบกึ่งกำหนดบนเซตใดๆ

อีกทางเลือกหนึ่ง อาจกำหนดให้การจับคู่เป็นรูปแบบที่ไม่เสื่อมสภาพหมายความว่า สำหรับค่าที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมดจะมีค่าบางค่าที่ทำให้แม้ว่าค่าจะไม่เท่ากับค่าเดิมก็ตาม กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ แผนที่ที่เหนี่ยวนำไปยังปริภูมิคู่ขนานเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง การสรุปทั่วไปนี้มีความสำคัญในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ : แมนิโฟลด์ที่มีปริภูมิสัมผัสที่มีผลคูณภายในเรียกว่า แมนิโฟลด์แบบ รีมันน์ในขณะที่หากสิ่งนี้เกี่ยวข้องกับรูปแบบสมมาตรคู่ควบที่ไม่เสื่อมสภาพ แมนิโฟลด์นั้นจะเป็นแมนิโฟลด์แบบซูโดรีมันน์ตามกฎความเฉื่อยของซิลเวสเตอร์ เช่นเดียวกับที่ผลคูณภายในทุกตัวคล้ายกับผลคูณดอทที่มีน้ำหนักบวกบนเซตของเวกเตอร์ รูปแบบสมมาตรคู่ควบที่ไม่เสื่อมสภาพทุกตัวก็คล้ายกับผลคูณดอทที่มี น้ำหนัก ที่ไม่เป็นศูนย์บนเซตของเวกเตอร์ และจำนวนของน้ำหนักบวกและลบเรียกว่าดัชนีบวกและดัชนีลบตามลำดับ ผลคูณของเวกเตอร์ในปริภูมิ Minkowskiเป็นตัวอย่างหนึ่งของผลคูณภายในไม่จำกัด แม้ว่าในทางเทคนิคแล้ว มันไม่ใช่ผลคูณภายในตามนิยามมาตรฐานข้างต้นก็ตาม ปริภูมิ Minkowski มีสี่มิติและดัชนี 3 และ 1 (การกำหนดเครื่องหมาย"+" และ "−"ให้กับมิติเหล่านี้แตกต่างกันไปตามข้อตกลง ) ${\displaystyle x\neq 0}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \langle x,y\rangle \neq 0,}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V\to V^{*}}$

ข้อความเชิงพีชคณิตล้วนๆ (ข้อความที่ไม่ใช้คุณสมบัติความเป็นบวก) โดยทั่วไปมักอาศัยเพียงคุณสมบัติที่ไม่เสื่อมถอย (โฮโมมอร์ฟิซึมแบบหนึ่งต่อหนึ่ง) และดังนั้นจึงใช้ได้ทั่วไปมากกว่า ${\displaystyle V\to V^{*}}$

คำว่า "ผลคูณภายใน" (inner product) ตรงข้ามกับ " ผลคูณภายนอก " ( outer product หรือ tensor product ) ซึ่งเป็นคำตรงข้ามที่ครอบคลุมกว่าเล็กน้อย กล่าวโดยง่าย ในระบบพิกัด ผลคูณภายในคือผลคูณของโคเวกเตอร์กับเวกเตอร์ ซึ่งได้ผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์ (สเกลาร์) ในขณะที่ผลคูณภายนอกคือผลคูณของเวกเตอร์กับโคเวกเตอร์ ซึ่งได้ผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์ ผลคูณภายนอกถูกกำหนดขึ้นสำหรับมิติที่แตกต่างกัน ในขณะที่ผลคูณภายในต้องการมิติเดียวกัน หากมิติเท่ากัน ผลคูณภายในจะเป็นร่องรอย (trace ) ของผลคูณภายนอก (ร่องรอยจะถูกกำหนดอย่างถูกต้องเฉพาะสำหรับเมทริกซ์จัตุรัสเท่านั้น) โดยสรุปอย่างไม่เป็นทางการ: "ผลคูณภายในคือแนวนอนคูณแนวตั้งและหดตัวลง ผลคูณภายนอกคือแนวตั้งคูณแนวนอนและขยายออก" ${\displaystyle 1\times n}$${\displaystyle n\times 1}$${\displaystyle 1\times 1}$${\displaystyle m\times 1}$${\displaystyle 1\times n}$${\displaystyle m\times n}$

กล่าว โดยสรุป ผลคูณภายนอกคือแผนที่เชิงเส้นคู่ที่ส่งเวกเตอร์และโคเวกเตอร์ไปยังการแปลงเชิงเส้นอันดับ 1 ( เทนเซอร์แบบง่ายประเภท (1, 1)) ในขณะที่ผลคูณภายในคือแผนที่การประเมินเชิงเส้นคู่ที่กำหนดโดยการประเมินโคเวกเตอร์บนเวกเตอร์ ลำดับของปริภูมิเวกเตอร์โดเมนในที่นี้สะท้อนถึงความแตกต่างระหว่างโคเวกเตอร์และเวกเตอร์ ${\displaystyle W\times V^{*}\to \hom(V,W)}$${\displaystyle V^{*}\times V\to F}$

ผลคูณภายในและผลคูณภายนอกไม่ควรสับสนกับผลคูณภายในและผลคูณภายนอกซึ่งเป็นการดำเนินการบนฟิลด์เวกเตอร์และรูปแบบเชิงอนุพันธ์หรือโดยทั่วไปแล้วบนพีชคณิต ภายนอก

เพื่อเพิ่มความซับซ้อน ในพีชคณิตเชิงเรขาคณิตผลคูณภายในและ ผลคูณ ภายนอก (กราสส์มันน์) จะถูกรวมเข้าด้วยกันในผลคูณเชิงเรขาคณิต (ผลคูณคลิฟฟอร์ดในพีชคณิตคลิฟฟอร์ด ) – ผลคูณภายในส่งเวกเตอร์สองตัว (เวกเตอร์ 1) ไปยังสเกลาร์ (เวกเตอร์ 0) ในขณะที่ผลคูณภายนอกส่งเวกเตอร์สองตัวไปยังไบเวกเตอร์ (เวกเตอร์ 2) – และในบริบทนี้ ผลคูณภายนอกมักเรียกว่าผลคูณภายนอก (หรืออีกนัยหนึ่งคือผลคูณลิ่ม ) ผลคูณภายในนั้นควรเรียกว่า ผล คูณสเกลาร์ในบริบทนี้มากกว่า เนื่องจากรูปแบบกำลังสองที่ไม่เสื่อมสภาพที่กล่าวถึงนั้นไม่จำเป็นต้องเป็นบวกแน่นอน (ไม่จำเป็นต้องเป็นผลคูณภายใน)

• รูปแบบไบลิเนียร์  – ฟังก์ชันไบลิเนียร์ที่มีค่าเป็นสเกลาร์
• ระบบไบออร์โทโกนอล  – คู่ของปริภูมิเวกเตอร์
• ปริภูมิคู่  – ในทางคณิตศาสตร์ หมายถึง ปริภูมิเวกเตอร์ของรูปแบบเชิงเส้น
• พื้นที่พลังงาน  – แนวคิดทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับพลังงานในวิชาฟิสิกส์
• ผลคูณภายในแบบ L  – การขยายความของผลคูณภายในที่ใช้ได้กับปริภูมิมาตรฐานทั้งหมด
• ระยะทางมินคอฟสกี  – ฟังก์ชันระยะทางเวกเตอร์
• ฐานเชิงตั้งฉาก  – ฐานที่ประกอบด้วยเวกเตอร์ที่ตั้งฉากซึ่งกันและกัน
• ส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉาก  – แนวคิดในพีชคณิตเชิงเส้น
• ฐานออร์โทนอร์มอล  – ฐานเชิงเส้นเฉพาะ (คณิตศาสตร์)
• แมนิโฟลด์แบบรีมันน์  – แมนิโฟลด์เรียบที่มีผลคูณภายในบนระนาบสัมผัสแต่ละระนาบ

• Axler, Sheldon (1997). พีชคณิตเชิงเส้นที่ถูกต้อง (ฉบับที่ 2). เบอร์ลิน, นิวยอร์ก: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-98258-8.
• ดีเออโดเน่, ฌอง (1969). ตำราว่าด้วยการวิเคราะห์ เล่ม 1 [รากฐานของการวิเคราะห์สมัยใหม่] (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 2). สำนักพิมพ์วิชาการ . ISBN 978-1-4067-2791-3.
• เอ็มช์, เจอราร์ด จี. (1972). วิธีการทางพีชคณิตในกลศาสตร์เชิงสถิติและทฤษฎีสนามควอนตัม . ไวลีย์-อินเตอร์ไซแอนซ์ . ISBN 978-0-471-23900-0.
• Halmos, Paul R. (8 พฤศจิกายน 1982). หนังสือโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับปริภูมิฮิลเบิร์ต . ตำราเรียนคณิตศาสตร์ระดับบัณฑิตศึกษา . เล่มที่ 19 (ฉบับที่ 2). นิวยอร์ก: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90685-0. OCLC  8169781 .
• Lax, Peter D. (2002). การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน (PDF) . คณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์. นิวยอร์ก: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-55604-6. OCLC  47767143 . สืบค้นเมื่อ 22 กรกฎาคม 2020 .
• รูดิน, วอลเตอร์ (1991). การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน . ชุดนานาชาติในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์ เล่มที่ 8 (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: แมคกรอว์-ฮิลล์ วิทยาศาสตร์/วิศวกรรม/คณิตศาสตร์ . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอ โล ยีGTMเล่ม 8 (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์ Springer New York. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Schechter, Eric (1996). คู่มือการวิเคราะห์และรากฐาน . ซานดิเอโก, แคลิฟอร์เนีย: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365 .
• Swartz, Charles (1992). บทนำสู่การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน . นิวยอร์ก: M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC  24909067 .
• เทรฟส์, ฟรองซัวส์ (2549) [2510] ปริภูมิเวกเตอร์ทอพอโลยี การแจกแจง และเคอร์เนล Mineola, NY: สิ่งพิมพ์โดเวอร์ไอเอสบีเอ็น 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .
• Young, Nicholas (1988). บทนำสู่ปริภูมิฮิลเบิร์ต . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . ISBN 978-0-521-33717-5.
• Zamani, A.; Moslehian, MS; & Frank, M. (2015) "การแมปที่รักษาค่ามุม" วารสารการวิเคราะห์และการประยุกต์ใช้ 34: 485 ถึง 500 doi : 10.4171/ZAA/1551