ในสถิติและทฤษฎีการควบคุมการกรอง Kalman (หรือที่รู้จักกันในชื่อการประมาณเชิงเส้นกำลังสอง ) เป็นอัลกอริทึมที่ใช้ชุดการวัดที่สังเกตได้ในช่วงเวลาหนึ่ง รวมถึงสัญญาณรบกวนทางสถิติและความไม่แม่นยำอื่นๆ เพื่อสร้างการประมาณค่าของตัวแปรที่ไม่ทราบค่าซึ่งมีแนวโน้มที่จะแม่นยำกว่าการประมาณค่าที่ได้จากการวัดเพียงครั้งเดียว โดยการประมาณการกระจายความน่าจะเป็นร่วมกันของตัวแปรสำหรับแต่ละขั้นตอนเวลา ตัวกรองถูกสร้างขึ้นเป็น ตัวลด ค่าความคลาดเคลื่อนกำลังสองเฉลี่ยให้เหลือน้อยที่สุดแต่ยังมีวิธีการสร้างตัวกรองแบบอื่นที่แสดงให้เห็นว่าตัวกรองมีความสัมพันธ์กับสถิติความน่าจะเป็นสูงสุดอย่างไร^{[ 1 ]}ตัวกรองนี้ตั้งชื่อตามRudolf E. Kálmán

การกรอง Kalman มีการใช้งานทางเทคโนโลยีมากมาย การใช้งานทั่วไปอย่างหนึ่งคือการนำทาง การกำหนดตำแหน่ง และการควบคุมยานพาหนะ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเครื่องบิน ยานอวกาศ และเรือที่วางตำแหน่งแบบไดนามิก [ ^{2 ] นอกจาก}นี้ การกรอง Kalman ยังถูกนำไปใช้อย่างมากใน งานวิเคราะห์ อนุกรมเวลาเช่นการประมวลผลสัญญาณและเศรษฐศาสตร์การกรอง Kalman ยังมีความสำคัญต่อ การวางแผน และการควบคุมการเคลื่อนที่ ของหุ่นยนต์ ^{[ 3 ] [ 4 ]}และสามารถใช้สำหรับการเพิ่มประสิทธิภาพวิถีการเคลื่อนที่ [ ^{5 ] การ}กรอง Kalman ยังทำงานสำหรับการสร้างแบบจำลอง การควบคุมการเคลื่อนไหวของ ระบบประสาทส่วนกลางเนื่องจากความล่าช้าของเวลาระหว่างการออกคำสั่งมอเตอร์และการรับข้อมูลป้อนกลับทางประสาทสัมผัสการใช้ตัวกรอง Kalman จึงให้แบบจำลองที่สมจริงสำหรับการประมาณสถานะปัจจุบันของระบบมอเตอร์และการออกคำสั่งที่อัปเดต^{[ 6 ]}

อัลกอริทึมทำงานผ่านกระบวนการสองขั้นตอน ได้แก่ขั้นตอนการทำนายและขั้นตอนการปรับปรุงในขั้นตอนการทำนาย ตัวกรอง Kalman จะสร้างค่าประมาณของตัวแปรสถานะ ปัจจุบัน รวมถึงความไม่แน่นอนของตัวแปรเหล่านั้น เมื่อได้ผลลัพธ์จากการวัดครั้งต่อไป (ซึ่งอาจมีข้อผิดพลาดอยู่บ้าง รวมถึงสัญญาณรบกวนแบบสุ่ม) ค่าประมาณเหล่านี้จะได้รับการปรับปรุงโดยใช้ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักโดยให้น้ำหนักมากขึ้นกับค่าประมาณที่มีความแน่นอนสูงกว่า อัลกอริทึมนี้เป็นแบบเรียกซ้ำสามารถทำงานได้แบบเรียลไทม์โดยใช้เพียงการวัดค่าปัจจุบันและสถานะที่คำนวณไว้ก่อนหน้านี้และเมทริกซ์ความไม่แน่นอนเท่านั้น ไม่จำเป็นต้องใช้ข้อมูลในอดีตเพิ่มเติม

ความเหมาะสมที่สุดของการกรอง Kalman ถือว่าข้อผิดพลาดมี การกระจาย แบบปกติ (Gaussian)ตามคำกล่าวของRudolf E. Kálmán “สมมติฐานต่อไปนี้ถูกนำมาใช้เกี่ยวกับกระบวนการสุ่ม: ปรากฏการณ์สุ่มทางกายภาพอาจถือได้ว่าเกิดจากแหล่งกำเนิดสุ่มหลักที่กระตุ้นระบบไดนามิก แหล่งกำเนิดหลักถือว่าเป็นกระบวนการสุ่มแบบ Gaussian ที่เป็นอิสระโดยมีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ ระบบไดนามิกจะเป็นเชิงเส้น” ^{[ 7 ]}อย่างไรก็ตาม ไม่ว่าจะเป็นแบบ Gaussian หรือไม่ก็ตาม หากทราบความแปรปรวนร่วมของกระบวนการและการวัด ตัวกรอง Kalman ก็เป็น ตัวประมาณ เชิงเส้น ที่ดีที่สุดเท่าที่จะเป็นไป ^ได้ในแง่ของข้อผิดพลาดกำลังสองเฉลี่ยต่ำสุด [ ^{8 ]}แม้ว่าอาจมีตัวประมาณแบบไม่เชิงเส้นที่ดีกว่าก็ตาม เป็นความเข้าใจผิดทั่วไป (ที่แพร่หลายในวรรณกรรม) ว่าตัวกรอง Kalman ไม่สามารถนำไปใช้ได้อย่างเคร่งครัดเว้นแต่จะถือว่ากระบวนการเสียงรบกวนทั้งหมดเป็นแบบ Gaussian ^{[ 9 ]}

ส่วนขยายและการวางนัยทั่วไปของวิธีการนี้ได้รับการพัฒนาขึ้นเช่นกัน เช่นตัวกรอง Kalman แบบขยายและตัวกรอง Kalman แบบไม่ระบุทิศทางซึ่งทำงานบนระบบที่ไม่เป็นเชิงเส้นพื้นฐานคือแบบจำลอง Markov ที่ซ่อนอยู่โดยที่ปริภูมิสถานะของตัวแปรแฝงมีความต่อเนื่องและตัวแปรแฝงและตัวแปรที่สังเกตได้ทั้งหมดมีการกระจายแบบเกาส์เซียน การกรอง Kalman ถูกนำมาใช้ประสบความสำเร็จใน การรวม ^{ข้อมูล}จากเซ็นเซอร์หลายตัว [ ^{10 ]}และเครือข่ายเซ็นเซอร์ แบบกระจายเพื่อพัฒนาการ กรอง Kalman แบบกระจายหรือแบบฉันทามติ^{[ 11 ]}

วิธีการกรองนี้ตั้งชื่อตามRudolf E. Kálmán ผู้ลี้ภัย ชาวฮังการี แม้ว่าThorvald Nicolai Thiele ^{[ 12 ] [ 13 ]}และPeter Swerlingจะพัฒนาอัลกอริทึมที่คล้ายกันมาก่อนแล้วก็ตาม Richard S. Bucy จากห้องปฏิบัติการฟิสิกส์ประยุกต์ของ Johns Hopkinsมีส่วนร่วมในทฤษฎี ทำให้บางครั้งเรียกวิธีการนี้ว่าการกรอง Kalman–Bucy Kalman ได้รับแรงบันดาลใจในการสร้างตัวกรอง Kalman โดยการใช้ตัวแปรสถานะกับปัญหาการกรอง Wiener ^{[ 14 ]} โดยทั่วไปแล้ว Stanley F. Schmidtได้รับการยกย่องว่าเป็นผู้พัฒนาการใช้งานตัวกรอง Kalman ครั้งแรก เขาตระหนักว่าตัวกรองสามารถแบ่งออกเป็นสองส่วนที่แตกต่างกัน โดยส่วนหนึ่งสำหรับช่วงเวลาระหว่างเอาต์พุตของเซ็นเซอร์ และอีกส่วนหนึ่งสำหรับการรวมการวัด^{[ 15 ]}ในระหว่างที่ Kálmán มาเยือนศูนย์วิจัย NASA Ames Schmidt ได้เห็นถึงการประยุกต์ใช้แนวคิดของ Kálmán กับปัญหาการประมาณวิถีโคจรแบบไม่เชิงเส้นสำหรับโครงการ Apolloซึ่งส่งผลให้มีการนำไปรวมไว้ในคอมพิวเตอร์นำทาง Apollo ^{[ 16 ] : 16}

ตัวกรองดิจิทัลนี้บางครั้งเรียกว่าตัวกรอง Stratonovich–Kalman–Bucyเนื่องจากเป็นกรณีพิเศษของตัวกรองแบบไม่เชิงเส้นทั่วไปที่พัฒนาโดยนักคณิตศาสตร์ชาวโซเวียตRuslan Stratonovich [ ^{17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] อัน}ที่จริง สมการบางส่วนของตัวกรองเชิงเส้นกรณีพิเศษปรากฏในเอกสารของ Stratonovich ที่ตีพิมพ์ก่อนฤดูร้อนปี 1961 เมื่อ Kalman พบกับ Stratonovich ระหว่างการประชุมในมอสโก^{[ 21 ]}

การกรองแบบ Kalman นี้ได้รับการอธิบายและพัฒนาบางส่วนเป็นครั้งแรกในเอกสารทางเทคนิคโดย Swerling (1958), Kalman (1960) และ Kalman และ Bucy (1961)

คอมพิวเตอร์ Apollo ใช้ RAM แบบแกนแม่เหล็กขนาด 2k และสายเคเบิลลวดขนาด 36k [...] ซีพียูสร้างขึ้นจากวงจรรวม [...] ความเร็วสัญญาณนาฬิกาต่ำกว่า 100 kHz [...] ความจริงที่ว่าวิศวกรของ MIT สามารถบรรจุซอฟต์แวร์ที่ดีเช่นนี้ (หนึ่งในแอปพลิเคชันแรกๆ ของตัวกรอง Kalman) ลงในคอมพิวเตอร์ขนาดเล็กเช่นนี้ได้นั้นเป็นสิ่งที่น่าทึ่งอย่างแท้จริง

ตัวกรอง Kalman มีบทบาทสำคัญในการนำระบบนำทางของเรือดำน้ำขีปนาวุธนิวเคลียร์ ของ กองทัพเรือสหรัฐฯมาใช้ และในระบบนำทางของขีปนาวุธร่อน เช่นขีปนาวุธ Tomahawk ของกองทัพเรือสหรัฐฯ และขีปนาวุธร่อนปล่อยจากอากาศของกองทัพอากาศสหรัฐฯนอกจากนี้ยังใช้ในระบบนำทางของยานปล่อยที่สามารถนำกลับมาใช้ใหม่ได้^และระบบควบคุมทิศทางและการนำทางของยานอวกาศที่เทียบท่าที่สถานีอวกาศนานาชาติ [ ^{22 ]}

การกรองแบบ Kalman ใช้แบบจำลองพลวัตของระบบ (เช่น กฎการเคลื่อนที่ทางฟิสิกส์) อินพุตควบคุมที่ทราบของระบบนั้น และการวัดหลายครั้งต่อเนื่องกัน (เช่น จากเซ็นเซอร์) เพื่อสร้างค่าประมาณของปริมาณที่เปลี่ยนแปลงของระบบ ( สถานะ ของระบบ ) ซึ่งดีกว่าค่าประมาณที่ได้จากการใช้การวัดเพียงครั้งเดียว ดังนั้นจึงเป็นอัลกอริธึม การรวมข้อมูลจากเซ็นเซอร์และการรวมข้อมูล ที่ใช้กันทั่วไป

ข้อมูลเซ็นเซอร์ที่มีสัญญาณรบกวน การประมาณค่าในสมการที่อธิบายวิวัฒนาการของระบบ และปัจจัยภายนอกที่ไม่ได้นำมาพิจารณา ล้วนจำกัดความสามารถในการกำหนดสถานะของระบบได้อย่างแม่นยำ ตัวกรอง Kalman สามารถจัดการกับความไม่แน่นอนที่เกิดจากข้อมูลเซ็นเซอร์ที่มีสัญญาณรบกวนได้อย่างมีประสิทธิภาพ และในระดับหนึ่งก็จัดการกับปัจจัยภายนอกแบบสุ่มได้ด้วย ตัวกรอง Kalman สร้างค่าประมาณสถานะของระบบโดยเฉลี่ยจากสถานะที่คาดการณ์ไว้ของระบบและจากการวัดใหม่โดยใช้ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักจุดประสงค์ของน้ำหนักคือการ "เชื่อถือ" ค่าที่มีความไม่แน่นอนที่คาดการณ์ได้ดีกว่า (เช่น น้อยกว่า) มากกว่า น้ำหนักคำนวณจากค่าความแปรปรวนร่วมซึ่งเป็นตัววัดความไม่แน่นอนที่คาดการณ์ไว้ของการคาดการณ์สถานะของระบบ ผลลัพธ์ของค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักคือค่าประมาณสถานะใหม่ที่อยู่ระหว่างสถานะที่คาดการณ์และสถานะที่วัดได้ และมีความไม่แน่นอนที่คาดการณ์ได้ดีกว่าค่าใดค่าหนึ่งเพียงอย่างเดียว กระบวนการนี้จะทำซ้ำในทุกขั้นตอนเวลา โดยค่าประมาณใหม่และค่าความแปรปรวนร่วมจะใช้ในการคาดการณ์ในรอบถัดไป นั่นหมายความว่าตัวกรอง Kalman ทำงานแบบเรียกซ้ำและต้องการเพียง "การคาดเดาที่ดีที่สุด" ครั้งล่าสุดเท่านั้น ไม่จำเป็นต้องใช้ประวัติทั้งหมดของสถานะของระบบ เพื่อคำนวณสถานะใหม่

การจัดระดับความแน่นอนของการวัดและการประมาณสถานะปัจจุบันเป็นสิ่งสำคัญที่ต้องพิจารณา โดยทั่วไปแล้วจะมีการอธิบายการตอบสนองของตัวกรองในแง่ของค่าเกน ของตัวกรอง Kalman ค่าเกนของ Kalman คือน้ำหนักที่ให้กับการวัดและการประมาณสถานะปัจจุบัน และสามารถ "ปรับแต่ง" เพื่อให้ได้ประสิทธิภาพที่ต้องการได้ หากค่าเกนสูง ตัวกรองจะให้น้ำหนักกับการวัดล่าสุดมากกว่า และปรับตัวให้เข้ากับการวัดเหล่านั้นได้รวดเร็วยิ่งขึ้น ในทางกลับกัน หากค่าเกนต่ำ ตัวกรองจะปรับตัวให้เข้ากับการคาดการณ์ของแบบจำลองได้ใกล้เคียงมากขึ้น ในกรณีสุดขั้ว ค่าเกนสูง (ใกล้หนึ่ง) จะทำให้วิถีการประมาณค่ากระโดดไปมา ในขณะที่ค่าเกนต่ำ (ใกล้ศูนย์) จะช่วยลดสัญญาณรบกวนแต่ลดการตอบสนองลง

เมื่อทำการคำนวณจริงสำหรับตัวกรอง (ดังที่กล่าวไว้ด้านล่าง) ค่าประมาณสถานะและความแปรปรวนร่วมจะถูกเข้ารหัสเป็นเมทริกซ์เนื่องจากมีมิติหลายมิติที่เกี่ยวข้องในชุดการคำนวณเดียว วิธีนี้ช่วยให้สามารถแสดงความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างตัวแปรสถานะต่างๆ (เช่น ตำแหน่ง ความเร็ว และความเร่ง) ในแบบจำลองการเปลี่ยนสถานะหรือความแปรปรวนร่วมใดๆ ก็ได้

ตัวอย่างการประยุกต์ใช้ ลองพิจารณาปัญหาการกำหนดตำแหน่งที่แม่นยำของรถบรรทุก รถบรรทุกอาจติดตั้ง อุปกรณ์ GPSที่ให้ค่าประมาณตำแหน่งภายในไม่กี่เมตร ค่าประมาณจาก GPS มักจะมีสัญญาณรบกวนสูง ค่าที่อ่านได้จะ "กระโดดไปมา" อย่างรวดเร็ว แม้ว่าจะยังคงอยู่ในช่วงไม่กี่เมตรจากตำแหน่งจริงก็ตาม นอกจากนี้ เนื่องจากคาดว่ารถบรรทุกจะปฏิบัติตามกฎทางฟิสิกส์ ตำแหน่งของรถบรรทุกจึงสามารถประมาณได้โดยการอินทิเกรตความเร็วของรถบรรทุกเมื่อเวลาผ่านไป ซึ่งกำหนดโดยการติดตามการหมุนของล้อและมุมของพวงมาลัย นี่คือเทคนิคที่เรียกว่าการคำนวณตำแหน่งโดยประมาณ (dead reckoning ) โดยทั่วไปแล้ว การคำนวณตำแหน่งโดยประมาณจะให้ค่าประมาณตำแหน่งของรถบรรทุกที่ราบเรียบมาก แต่จะคลาดเคลื่อนไปตามเวลาเนื่องจากข้อผิดพลาดเล็กๆ น้อยๆ สะสมกัน

ในตัวอย่างนี้ ตัวกรอง Kalman สามารถมองได้ว่าทำงานในสองขั้นตอนที่แตกต่างกัน คือ การคาดการณ์และการปรับปรุง ในขั้นตอนการคาดการณ์ ตำแหน่งเดิมของรถบรรทุกจะถูกปรับเปลี่ยนตามกฎการเคลื่อนที่ ทางฟิสิกส์ (แบบจำลองพลวัตหรือ "การเปลี่ยนสถานะ") ไม่เพียงแต่จะคำนวณค่าประมาณตำแหน่งใหม่เท่านั้น แต่ยังคำนวณค่าความแปรปรวนร่วมใหม่ด้วย อาจเป็นไปได้ว่าค่าความแปรปรวนร่วมเป็นสัดส่วนกับความเร็วของรถบรรทุก เนื่องจากเราไม่แน่ใจเกี่ยวกับความแม่นยำของค่าประมาณตำแหน่งจากการคำนวณแบบ Dead Reckoning ที่ความเร็วสูง แต่แน่ใจมากเกี่ยวกับค่าประมาณตำแหน่งที่ความเร็วต่ำ ต่อมา ในขั้นตอนการปรับปรุง จะมีการวัดตำแหน่งของรถบรรทุกจากหน่วย GPS การวัดนี้มาพร้อมกับความไม่แน่นอนบางส่วน และค่าความแปรปรวนร่วมของการวัดนี้เมื่อเทียบกับค่าความแปรปรวนร่วมของการคาดการณ์จากขั้นตอนก่อนหน้าจะเป็นตัวกำหนดว่าการวัดใหม่จะส่งผลต่อการคาดการณ์ที่ปรับปรุงแล้วมากน้อยเพียงใด ในอุดมคติแล้ว เนื่องจากค่าประมาณแบบ Dead Reckoning มีแนวโน้มที่จะคลาดเคลื่อนจากตำแหน่งจริง การวัดจาก GPS ควรดึงค่าประมาณตำแหน่งกลับมาสู่ตำแหน่งจริง แต่ไม่ควรทำให้เกิดความคลาดเคลื่อนจนถึงจุดที่เกิดสัญญาณรบกวนและกระโดดอย่างรวดเร็ว

ตัวกรอง Kalman เป็นตัวกรองแบบวนซ้ำ ที่มีประสิทธิภาพ ในการประมาณสถานะภายในของระบบไดนามิกเชิงเส้นจากชุด การวัด ที่มีสัญญาณรบกวนมีการใช้งานในหลากหลายด้านทางวิศวกรรมและเศรษฐศาสตร์ตั้งแต่เรดาร์และคอมพิวเตอร์วิชั่นไปจนถึงการประมาณแบบจำลองโครงสร้างเศรษฐกิจมหภาค^{[ 23 ] [ 24 ]}และเป็นหัวข้อสำคัญในทฤษฎีการควบคุมและ วิศวกรรม ระบบควบคุมร่วมกับตัวควบคุมเชิงเส้น-กำลังสอง (LQR) ตัวกรอง Kalman สามารถแก้ ปัญหา การควบคุมเชิงเส้น-กำลังสอง-เกาส์เซียน (LQG) ได้ ตัวกรอง Kalman ตัวควบคุมเชิงเส้น-กำลังสอง และตัวควบคุมเชิงเส้น-กำลังสอง-เกาส์เซียน เป็นวิธีแก้ปัญหาที่อาจกล่าวได้ว่าเป็นปัญหาพื้นฐานที่สุดของทฤษฎีการควบคุม

ในแอปพลิเคชันส่วนใหญ่ สถานะภายในมักมีขนาดใหญ่กว่า (มีระดับความเป็นอิสระ มากกว่า ) พารามิเตอร์ "ที่สังเกตได้" เพียงไม่กี่ตัวที่วัดได้ อย่างไรก็ตาม ด้วยการรวมการวัดหลายๆ ครั้ง ตัวกรอง Kalman สามารถประมาณสถานะภายในทั้งหมดได้

สำหรับทฤษฎี Dempster–Shaferนั้น สมการสถานะหรือการสังเกตแต่ละครั้งถือเป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันความเชื่อเชิงเส้นและการกรอง Kalman เป็นกรณีพิเศษของการรวมฟังก์ชันความเชื่อเชิงเส้นบนแผนผังการเชื่อมต่อหรือแผนผัง Markovนอกจากนี้ยังมีวิธีการกรองความเชื่อที่ใช้การปรับปรุงแบบ Bayes หรือแบบอิงหลักฐานกับสมการสถานะ ด้วย

ปัจจุบันมีตัวกรอง Kalman หลากหลายประเภท ได้แก่ สูตรดั้งเดิมของ Kalman ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าตัวกรอง Kalman แบบ "ง่าย" ตัวกรองKalman–Bucy ตัวกรองแบบ "ขยาย" ของ Schmidt ตัวกรองข้อมูลและตัวกรองแบบ "รากที่สอง" หลายประเภทที่พัฒนาโดย Bierman, Thornton และคนอื่นๆ อีกมากมาย ตัวกรอง Kalman แบบง่ายที่ใช้กันทั่วไปมากที่สุดอาจเป็นวงจรล็อกเฟส (phase-locked loop ) ซึ่งพบได้ทั่วไปในวิทยุ โดยเฉพาะ วิทยุ แบบปรับความถี่ (FM) โทรทัศน์ เครื่องรับ สัญญาณดาวเทียมระบบสื่อสารในอวกาศ และอุปกรณ์สื่อสาร อิเล็กทรอนิกส์ อื่นๆ เกือบทุกชนิด

การกรองแบบ Kalman นั้นอยู่บนพื้นฐานของระบบพลวัตเชิงเส้นที่ถูกทำให้เป็นแบบไม่ต่อเนื่องในโดเมนเวลา โดยแบบจำลองจะสร้างขึ้น จาก ห่วงโซ่ Markovที่สร้างขึ้นจากตัวดำเนินการเชิงเส้นที่ถูกรบกวนด้วยข้อผิดพลาด ซึ่งอาจรวมถึงสัญญาณรบกวนแบบ Gaussian สถานะของระบบเป้าหมายหมายถึงการกำหนดค่าระบบที่แท้จริง (แต่ซ่อนอยู่) ซึ่งแสดงเป็นเวกเตอร์ของจำนวนจริงในแต่ละช่วงเวลาที่ไม่ต่อเนื่อง ตัวดำเนินการเชิงเส้นจะถูกนำไปใช้กับสถานะเพื่อสร้างสถานะใหม่ โดยมีสัญญาณรบกวนผสมอยู่ด้วย และอาจมีข้อมูลจากตัวควบคุมในระบบหากทราบ จากนั้น ตัวดำเนินการเชิงเส้นอีกตัวหนึ่งที่ผสมกับสัญญาณรบกวนเพิ่มเติมจะสร้างเอาต์พุตที่วัดได้ (เช่น การสังเกต) จากสถานะที่แท้จริง ("ซ่อนอยู่") ตัวกรอง Kalman อาจถือได้ว่าคล้ายคลึงกับแบบจำลอง Markov ที่ซ่อนอยู่ โดยมีความแตกต่างตรงที่ตัวแปรสถานะที่ซ่อนอยู่มีค่าอยู่ในพื้นที่ต่อเนื่อง ตรงข้ามกับพื้นที่สถานะแบบไม่ต่อเนื่องเช่นเดียวกับแบบจำลอง Markov ที่ซ่อนอยู่ มีความคล้ายคลึงกันอย่างมากระหว่างสมการของตัวกรอง Kalman และสมการของแบบจำลอง Markov ที่ซ่อนอยู่ บทวิจารณ์เกี่ยวกับโมเดลนี้และโมเดลอื่นๆ อยู่ใน Roweis และGhahramani (1999) ^{[ 25 ]}และ Hamilton (1994) บทที่ 13 ^{[ 26 ]}

ในการใช้ตัวกรอง Kalman เพื่อประมาณสถานะภายในของกระบวนการโดยใช้เพียงลำดับของการสังเกตที่มีสัญญาณรบกวน จำเป็นต้องสร้างแบบจำลองกระบวนการตามกรอบต่อไปนี้ ซึ่งหมายถึงการระบุเมทริกซ์สำหรับแต่ละช่วงเวลาดังนี้: ${\displaystyle k}$

• ${\displaystyle \mathbf {F} _{k}}$แบบจำลองการเปลี่ยนสถานะ;
• ${\displaystyle \mathbf {H} _{k}}$แบบจำลองการสังเกต;
• ${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}}$ค่าความแปรปรวนร่วมของสัญญาณรบกวนในกระบวนการ;
• ${\displaystyle \mathbf {R} _{k}}$ค่าความแปรปรวนร่วมของสัญญาณรบกวนจากการสังเกต;
• และบางครั้งรูปแบบการควบคุมอินพุตดังที่อธิบายไว้ด้านล่าง หากรวมอยู่ด้วย ก็จะมีด้วยเช่นกัน${\displaystyle \mathbf {B} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {B} _{k}}$
• ${\displaystyle \mathbf {u} _{k}}$เวกเตอร์ควบคุม ซึ่งแสดงถึงอินพุตควบคุมในแบบจำลองอินพุตควบคุม

ดังที่แสดงด้านล่าง เป็นเรื่องปกติในหลายๆ แอปพลิเคชันที่เมทริกซ์, , , , และมีค่าคงที่ตลอดเวลา ในกรณีเช่นนี้ดัชนีของเมทริกซ์เหล่านี้อาจถูกตัดทิ้งได้ ${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle \mathbf {H} }$${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$${\displaystyle k}$

แบบจำลองตัวกรอง Kalman ถือว่าสถานะที่แท้จริง ณ เวลา t มีการเปลี่ยนแปลงมาจากสถานะ ณ เวลา t ตามสมการ ${\displaystyle k}$${\displaystyle k-1}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}=\mathbf {F} _{k}\mathbf {x} _{k-1}+\mathbf {B} _{k}\mathbf {u} _{k}+\mathbf {w} _{k}}$

ที่ไหน

• ${\displaystyle \mathbf {F} _{k}}$คือแบบจำลองการเปลี่ยนสถานะซึ่งนำไปใช้กับสถานะก่อนหน้าx _{k −1} ;
• ${\displaystyle \mathbf {B} _{k}}$คือแบบจำลองอินพุตควบคุมซึ่งนำไปใช้กับเวกเตอร์ควบคุม${\displaystyle \mathbf {u} _{k}}$
• ${\displaystyle \mathbf {w} _{k}}$คือสัญญาณรบกวนของกระบวนการ ซึ่งถือว่าได้มาจากการกระจายแบบปกติหลายตัวแปรที่ มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ , , และค่าความแปรปรวนร่วม , : .${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {w} _{k}\sim {\mathcal {N}}\left(0,\mathbf {Q} _{k}\right)}$

หากเป็นอิสระจากเวลา เราอาจเขียน แทน Roweis และ Ghahramani ^{[ 25 ] : 307} เพื่อเน้นว่าเสียงรบกวนไม่มีความรู้ที่ชัดเจนเกี่ยวกับเวลา ${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle \mathbf {w} _{\bullet }}$${\displaystyle \mathbf {w} _{k}}$

ในเวลาหนึ่ง จะมี การสังเกต (หรือวัด) สถานะที่แท้จริงตาม ${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {z} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{k}}$

${\displaystyle \mathbf {z} _{k}=\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k}+\mathbf {v} _{k}}$

ที่ไหน

• ${\displaystyle \mathbf {H} _{k}}$คือแบบจำลองการสังเกต ซึ่งแปลงพื้นที่สถานะที่แท้จริงไปเป็นพื้นที่ที่สังเกตได้ และ
• ${\displaystyle \mathbf {v} _{k}}$คือสัญญาณรบกวนจากการสังเกต ซึ่งถือว่าเป็นสัญญาณรบกวนสีขาว แบบเกาส์เซียนที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ และมีความแปรปรวนร่วม: .${\displaystyle \mathbf {R} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{k}\sim {\mathcal {N}}\left(0,\mathbf {R} _{k}\right)}$

ในทำนองเดียวกันกับสถานการณ์สำหรับ เราอาจเขียนแทนได้ หากไม่ขึ้นอยู่กับเวลา ${\displaystyle \mathbf {w} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{\bullet }}$${\displaystyle \mathbf {v} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {R} }$

สถานะเริ่มต้นและเวกเตอร์สัญญาณรบกวนในแต่ละขั้นตอนถือว่ามีความเป็นอิสระ ต่อ กัน ${\displaystyle \{\mathbf {x} _{0},\mathbf {w} _{1},\dots ,\mathbf {w} _{k},\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}\}}$

ระบบไดนามิกแบบเรียลไทม์จำนวนมากไม่ได้สอดคล้องกับแบบจำลองนี้อย่างแม่นยำ อันที่จริง ไดนามิกที่ไม่ได้จำลองไว้อาจทำให้ประสิทธิภาพของตัวกรองลดลงอย่างมาก แม้ว่าจะถูกออกแบบมาให้ทำงานกับสัญญาณสุ่มที่ไม่ทราบค่าเป็นอินพุตก็ตาม เหตุผลก็คือ ผลกระทบของไดนามิกที่ไม่ได้จำลองไว้นั้นขึ้นอยู่กับอินพุต และด้วยเหตุนี้จึงอาจทำให้ขั้นตอนวิธีประมาณค่าไม่เสถียร (เกิดการเบี่ยงเบน) ในทางกลับกัน สัญญาณรบกวนสีขาวที่เป็นอิสระจะไม่ทำให้ขั้นตอนวิธีเบี่ยงเบน ปัญหาของการแยกแยะระหว่างสัญญาณรบกวนจากการวัดและไดนามิกที่ไม่ได้จำลองไว้นั้นเป็นปัญหาที่ยาก และถือเป็นปัญหาของทฤษฎีการควบคุมโดยใช้ การ ควบคุมที่แข็งแกร่ง^{[ 27 ] [ 28 ]}

ตัวกรอง Kalman เป็น ตัวประมาณค่าแบบ เรียกซ้ำซึ่งหมายความว่าจำเป็นต้องใช้เพียงค่าประมาณสถานะจากขั้นตอนเวลาที่ผ่านมาและการวัดค่าปัจจุบันเพื่อคำนวณค่าประมาณสำหรับสถานะปัจจุบัน แตกต่างจากเทคนิคการประมาณค่าแบบกลุ่ม ไม่จำเป็นต้องมีประวัติการสังเกตและ/หรือค่าประมาณ ต่อไปนี้ สัญลักษณ์จะแทนค่าประมาณของณ เวลาn โดย พิจารณา จากการสังเกตจนถึงและรวมถึง ณ เวลาm ≤ n${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{n\mid m}}$${\displaystyle \mathbf {x} }$

สถานะของตัวกรองแสดงด้วยตัวแปรสองตัว:

• ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$ค่าเฉลี่ยการประมาณสถานะ ภายหลังณ เวลาkโดย พิจารณาจากการ สังเกตการณ์จนถึงและรวมถึงเวลาk
• ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$เมท ริกซ์ความแปรปรวนร่วมของการประมาณค่า ภายหลัง (ซึ่งเป็นตัววัดความแม่นยำของการประมาณค่าสถานะ)

โครงสร้างอัลกอริธึมของตัวกรอง Kalman คล้ายคลึงกับตัวกรอง Alpha betaตัวกรอง Kalman สามารถเขียนได้ในรูปสมการเดียว แต่โดยทั่วไปแล้วมักจะถูกมองว่าเป็นสองขั้นตอนที่แตกต่างกัน คือ "การทำนาย" และ "การปรับปรุง" ขั้นตอนการทำนายใช้ค่าประมาณสถานะจากช่วงเวลาที่ผ่านมาเพื่อสร้างค่าประมาณสถานะในช่วงเวลาปัจจุบัน ค่าประมาณสถานะที่ทำนายได้นี้เรียกว่า ค่าประมาณสถานะ ก่อนหน้า (a priori state estimate) เพราะถึงแม้จะเป็นค่าประมาณสถานะในช่วงเวลาปัจจุบัน แต่ก็ไม่ได้รวมข้อมูลการสังเกตจากช่วงเวลาปัจจุบัน ในขั้นตอนการปรับปรุงนวัตกรรม (ค่าตกค้างจากการปรับแบบจำลองก่อนหน้า) กล่าวคือ ความแตกต่างระหว่าง การทำนาย ก่อนหน้า ในปัจจุบัน กับข้อมูลการสังเกตในปัจจุบัน จะถูกคูณด้วยค่า Kalman gain ที่เหมาะสมที่สุดและรวมกับค่าประมาณสถานะก่อนหน้าเพื่อปรับปรุงค่าประมาณสถานะ ค่าประมาณที่ได้รับการปรับปรุงนี้โดยอิงจากการสังเกตในปัจจุบันเรียกว่า ค่าประมาณสถานะ ภายหลัง (a posteriori state estimate)

โดยทั่วไปแล้ว ทั้งสองขั้นตอนจะสลับกัน โดยการคาดการณ์จะทำให้สถานะก้าวหน้าไปจนถึงการสังเกตการณ์ตามกำหนดการครั้งถัดไป และการอัปเดตจะรวมการสังเกตการณ์นั้นเข้าไปด้วย อย่างไรก็ตาม ไม่จำเป็นต้องเป็นเช่นนั้นเสมอไป หากไม่มีการสังเกตการณ์ด้วยเหตุผลบางประการ การอัปเดตอาจถูกข้ามไปและดำเนินการขั้นตอนการคาดการณ์หลายขั้นตอน ในทำนองเดียวกัน หากมีการสังเกตการณ์อิสระหลายรายการในเวลาเดียวกัน อาจมีการดำเนินการขั้นตอนการอัปเดตหลายขั้นตอน (โดยทั่วไปแล้วจะใช้เมทริกซ์การสังเกตการณ์H _k ที่แตกต่างกัน ) ^{[ 29 ] [ 30 ]}

การประมาณค่าสถานะ ที่คาดการณ์ไว้ล่วงหน้า ( a priori )	${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }__{k\mid k-1}=\mathbf {F} _{k}{\hat {\mathbf {x} }__{k-1\mid k-1}+\mathbf {B} _{k}\mathbf {u} _{k}}$
ค่าประมาณความแปรปรวน ที่คาดการณ์ไว้ ( ล่วงหน้า )	${\displaystyle {\mathbf {P} __{k\mid k-1}=\mathbf {F} _{k}\mathbf {P} _{k-1\mid k-1}\mathbf {F} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {Q} _{k}}$

นวัตกรรมหรือการวัดค่าคงเหลือก่อนการติดตั้ง	${\displaystyle {\tilde {\mathbf {y} }__{k}=\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }__{k\mid k-1}}$
ความแปรปรวนร่วมของนวัตกรรม (หรือค่าตกค้างก่อนการปรับ)	${\displaystyle \mathbf {S} _{k}=\mathbf {H} _{k}{\mathbf {P} __{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {R} _{k}}$
ค่าเกน Kalman ที่เหมาะสมที่สุด	${\displaystyle \mathbf {K} _{k}={\mathbf {P} __{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{k}^{-1}}$
การประเมินสถานะ ที่ปรับปรุงแล้ว ( ภายหลัง )	${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }__{k\mid k}={\hat {\mathbf {x} }__{k\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}{\tilde {\mathbf {y} }__{k}}$
ค่าความแปรปรวนร่วม ที่ปรับปรุงแล้ว ( หลัง การปรับปรุง ) (รูปแบบปกติ)	${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\mathbf {P} _{k|k-1}}$
ค่าประมาณความแปรปรวน ที่ปรับปรุงแล้ว ( ภายหลัง การปรับปรุง ) (รูปแบบของโจเซฟ)	${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\mathbf {P} _{k\mid k-1}\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {R} _{k}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}}$
ค่าความคลาดเคลื่อนหลังการวัดหลังการปรับ	${\displaystyle {\tilde {\mathbf {y} }__{k\mid k}=\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }__{k\mid k}}$

สูตรที่สองสำหรับการประมาณค่าความแปรปรวนที่ปรับปรุงแล้ว ( ภายหลัง ) ข้างต้นเรียกว่า "รูปแบบโจเซฟ" ซึ่งมักใช้ในการประยุกต์ใช้ (มีความเสถียรทางตัวเลขมากกว่าสูตรทั่วไปที่ง่ายกว่า) การพิสูจน์สูตรสามารถพบได้ใน ส่วน การหาอนุพันธ์ ซึ่ง แสดงให้เห็นว่า สูตรนั้นใช้ได้กับK _{k ใดๆ ด้วย}

วิธีที่เข้าใจง่ายกว่าในการแสดงค่าประมาณสถานะที่อัปเดตแล้ว ( ) คือ: ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}=(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}){\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {z} _{k}}$

นิพจน์นี้ทำให้เรานึกถึงการประมาณค่าเชิงเส้นในช่วงระหว่าง [0,1] ในกรณีของเรา: ${\displaystyle x=(1-t)(a)+t(b)}$${\displaystyle t}$

• ${\displaystyle t}$คือเมทริกซ์ที่รับค่าจาก(ความคลาดเคลื่อนสูงในเซ็นเซอร์) ไปยังหรือค่าที่ฉายออกมา (ความคลาดเคลื่อนต่ำ)${\displaystyle \mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle I}$
• ${\displaystyle a}$คือสถานะภายในที่ประเมินจากแบบจำลอง${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}}$
• ${\displaystyle b}$คือสถานะภายในที่ประมาณได้จากการวัด โดยสมมติว่าเมทริกซ์นั้นไม่ใช่เมทริกซ์เอกฐาน (ซึ่งในหลายแอปพลิเคชันนั้นไม่ใช่สมมติฐานที่สมเหตุสมผล เช่น เมื่อมิติของสถานะมากกว่ามิติของการสังเกต)${\displaystyle \mathbf {H} _{k}^{-1}\mathbf {z} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {H} _{k}}$

นิพจน์นี้ยังมีลักษณะคล้ายกับขั้นตอนการอัปเดต ตัวกรองอัลฟาเบตา ด้วย

หากแบบจำลองมีความแม่นยำ และค่าสำหรับและสะท้อนถึงการกระจายของค่าสถานะเริ่มต้นอย่างถูกต้องแล้ว ค่าคงที่ต่อไปนี้จะยังคงอยู่: ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{0\mid 0}}$${\displaystyle \mathbf {P} _{0\mid 0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}]&=\operatorname {E} [\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}]=0\\\operatorname {E} [{\tilde {\mathbf {y} }}_{k}]&=0\end{aligned}}}$

โดยที่คือค่าที่คาดหวังของนั่นคือ ค่าประมาณทั้งหมดมีค่าความคลาดเคลื่อนเฉลี่ยเป็นศูนย์ ${\displaystyle \operatorname {E} [\xi ]}$${\displaystyle \xi }$

อีกด้วย:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} _{k\mid k}&=\operatorname {cov} \left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\right)\\\mathbf {P} _{k\mid k-1}&=\operatorname {cov} \left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)\\\mathbf {S} _{k}&=\operatorname {cov} \left({\tilde {\mathbf {y} }}_{k}\right)\end{aligned}}}$

ดังนั้นเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมจึงสะท้อนความแปรปรวนร่วมของการประมาณค่าได้อย่างแม่นยำ

การนำ Kalman Filter ไปใช้ในทางปฏิบัติมักเป็นเรื่องยาก เนื่องจากความยากลำบากในการประมาณเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของสัญญาณรบกวนQ _kและR _kได้อย่างแม่นยำ มีการวิจัยอย่างกว้างขวางเพื่อประมาณค่าความแปรปรวนร่วมเหล่านี้จากข้อมูล วิธีการปฏิบัติวิธีหนึ่งในการทำเช่นนี้คือ เทคนิค กำลังสองน้อยที่สุดของความแปรปรวนร่วมอัตโนมัติ (ALS) ซึ่งใช้ ความแปรปรวนร่วมอัตโนมัติที่ล่าช้าตามเวลาของข้อมูลการทำงานประจำวันเพื่อประมาณค่าความแปรปรวนร่วม^{[ 31 ] [ 32 ]} รหัสGNU OctaveและMatlabที่ใช้ในการคำนวณเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของสัญญาณรบกวนโดยใช้เทคนิค ALS มีให้ใช้งานออนไลน์ภายใต้ใบอนุญาตสาธารณะทั่วไปของ GNU ^{[ 33 ]}

ตัวกรอง Kalman ของสนาม (FKF) ซึ่งเป็นอัลกอริทึมแบบเบย์เซียนที่ช่วยให้สามารถประมาณค่าสถานะ พารามิเตอร์ และความแปรปรวนร่วมของสัญญาณรบกวนได้พร้อมกัน ได้รับการเสนอ^{[ 34 ]}อัลกอริทึม FKF มีสูตรแบบวนซ้ำ มีการบรรจบกันที่สังเกตได้ดี และมีความซับซ้อนค่อนข้างต่ำ จึงแนะนำว่าอัลกอริทึม FKF อาจเป็นทางเลือกที่คุ้มค่าสำหรับวิธีการกำลังสองน้อยที่สุดของความแปรปรวนร่วมอัตโนมัติ

แนวทางอื่นคือตัวกรอง Kalman ที่ได้รับการปรับให้เหมาะสม (OKF) ซึ่งพิจารณาเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมไม่ใช่ในฐานะตัวแทนของสัญญาณรบกวน แต่เป็นพารามิเตอร์ที่มุ่งไปสู่การประมาณสถานะที่แม่นยำที่สุด^{[ 35 ]}มุมมองทั้งสองนี้สอดคล้องกันภายใต้สมมติฐานของ KF แต่มักจะขัดแย้งกันในระบบจริง ดังนั้น การประมาณสถานะของ OKF จึงมีความทนทานต่อความไม่แม่นยำของการสร้างแบบจำลองมากกว่า

ตัวกรอง Kalman ให้การประมาณสถานะที่เหมาะสมที่สุดในกรณีที่ ก) แบบจำลองตรงกับระบบจริงอย่างสมบูรณ์ ข) สัญญาณรบกวนขาเข้าเป็น "สีขาว" (ไม่สัมพันธ์กัน) และ ค) ทราบค่าความแปรปรวนร่วมของสัญญาณรบกวนอย่างแม่นยำ สัญญาณรบกวนที่สัมพันธ์กันก็สามารถจัดการได้โดยใช้ตัวกรอง Kalman เช่นกัน^{[ 36 ]}

ในช่วงหลายทศวรรษที่ผ่านมา มีการเสนอวิธีการประมาณค่าความแปรปรวนร่วมของสัญญาณรบกวนหลายวิธี รวมถึง ALS ที่กล่าวถึงในส่วนด้านบน โดยทั่วไปแล้ว หากสมมติฐานของแบบจำลองไม่ตรงกับระบบจริงอย่างสมบูรณ์ การประมาณค่าสถานะที่เหมาะสมที่สุดอาจไม่ได้มาจากการตั้งค่าQ _kและR _kให้เป็นค่าความแปรปรวนร่วมของสัญญาณรบกวนเสมอไป แต่ในกรณีนั้น พารามิเตอร์Q _kและR _kอาจถูกกำหนดเพื่อเพิ่มประสิทธิภาพการประมาณค่าสถานะอย่างชัดเจน^{[ 35 ]}เช่น การใช้การเรียนรู้แบบมีผู้กำกับดูแลมาตรฐาน

หลังจากตั้งค่าความแปรปรวนร่วมแล้ว การประเมินประสิทธิภาพของตัวกรองจะเป็นประโยชน์ กล่าวคือ เป็นไปได้หรือไม่ที่จะปรับปรุงคุณภาพการประมาณค่าสถานะ หากตัวกรอง Kalman ทำงานได้อย่างเหมาะสม ลำดับนวัตกรรม (ข้อผิดพลาดในการทำนายเอาต์พุต) จะเป็นสัญญาณรบกวนสีขาว ดังนั้นคุณสมบัติความเป็นสีขาวของนวัตกรรม จึง วัดประสิทธิภาพของตัวกรอง สามารถใช้วิธีการต่างๆ หลายวิธีเพื่อจุดประสงค์นี้^{[ 37 ]}หากเทอมสัญญาณรบกวนมีการกระจายแบบไม่เป็นแบบเกาส์เซียน วิธีการประเมินประสิทธิภาพของการประมาณค่าตัวกรองซึ่งใช้ความไม่เท่าเทียมกันของความน่าจะเป็นหรือทฤษฎีตัวอย่างขนาดใหญ่เป็นที่รู้จักในวรรณกรรม^{[ 38 ] [ 39 ]}

ลองพิจารณาถึงรถบรรทุกที่วิ่งอยู่บนรางตรงที่ไม่มีแรงเสียดทาน ในตอนเริ่มต้น รถบรรทุกจะอยู่นิ่งที่ตำแหน่ง 0 แต่จะถูกแรงสุ่มที่ไม่สามารถควบคุมได้กระทำต่อมัน เราวัดตำแหน่งของรถบรรทุกทุกๆ Δt วินาที แต่การวัดเหล่านี้ไม่แม่นยำ เราจึงต้องการรักษารูปแบบของตำแหน่งและ ความเร็วของรถ บรรทุก ไว้ เราจะแสดงวิธีการสร้างแบบจำลองซึ่งเราใช้สร้างตัวกรอง Kalman ของเรา

เนื่องจากค่าเหล่านี้คงที่ ดัชนีเวลาจึงถูกตัดทิ้ง ${\displaystyle \mathbf {F} ,\mathbf {H} ,\mathbf {R} ,\mathbf {Q} }$

ตำแหน่งและความเร็วของรถบรรทุกถูกอธิบายโดยปริภูมิสถานะเชิงเส้น

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}={\begin{bmatrix}x\\{\dot {x}}\end{bmatrix}}}$

โดยที่ความเร็วคืออนุพันธ์ของตำแหน่งเทียบกับเวลา ${\displaystyle {\dot {x}}}$

เราสมมติว่าระหว่างช่วงเวลา ( k  − 1) และkแรงที่ควบคุมไม่ได้ทำให้เกิดความเร่งคงที่เท่ากับ_kซึ่งมีการกระจายแบบปกติโดยมีค่าเฉลี่ย 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานσaจากกฎการเคลื่อนที่ของนิวตันเราสรุปได้ _ว่า

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}=\mathbf {F} \mathbf {x} _{k-1}+\mathbf {G} a_{k}}$

(ไม่มีเทอมเนื่องจากไม่มีอินพุตควบคุมที่ทราบ แต่kคือผลของอินพุตที่ไม่ทราบค่าและ นำผลนั้นไปใช้ _กับเวกเตอร์สถานะ) โดยที่ ${\displaystyle \mathbf {B} u}$${\displaystyle \mathbf {G} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &={\begin{bmatrix}1&\Delta t\\0&1\end{bmatrix}}\\[4pt]\mathbf {G} &={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}{\Delta t}^{2}\\[6pt]\Delta t\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

ดังนั้น

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}=\mathbf {F} \mathbf {x} _{k-1}+\mathbf {w} _{k}}$

ที่ไหน

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {w} _{k}&\sim N(0,\mathbf {Q} )\\\mathbf {Q} &=\mathbf {G} \mathbf {G} ^{\textsf {T}}\sigma _{a}^{2}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{4}}{\Delta t}^{4}&{\frac {1}{2}}{\Delta t}^{3}\\[6pt]{\frac {1}{2}}{\Delta t}^{3}&{\Delta t}^{2}\end{bmatrix}}\sigma _{a}^{2}.\end{aligned}}}$

เมทริกซ์นี้ไม่ใช่เมทริกซ์ที่มีอันดับเต็ม (จะมีอันดับหนึ่งก็ต่อเมื่อ) ดังนั้น การแจกแจงจึงไม่ต่อเนื่องอย่างสมบูรณ์และไม่มีฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นอีกวิธีหนึ่งในการแสดงสิ่งนี้โดยหลีกเลี่ยงการแจกแจงแบบเสื่อมสภาพอย่างชัดเจนคือ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle \Delta t\neq 0}$${\displaystyle N(0,\mathbf {Q} )}$

${\displaystyle \mathbf {w} _{k}\sim \mathbf {G} \cdot N\left(0,\sigma _{a}^{2}\right).}$

ในแต่ละช่วงเวลา จะมีการวัด ตำแหน่ง ที่แท้จริงของรถบรรทุกซึ่งมีสัญญาณรบกวนอยู่ สมมติว่าสัญญาณรบกวนในการวัดv _kมีการกระจายแบบปกติเช่นกัน โดยมีค่าเฉลี่ย 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานσ _z

${\displaystyle \mathbf {z} _{k}=\mathbf {Hx} _{k}+\mathbf {v} _{k}}$

ที่ไหน

${\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}}$

และ

${\displaystyle \mathbf {R} =\mathrm {E} \left[\mathbf {v} _{k}\mathbf {v} _{k}^{\textsf {T}}\right]={\begin{bmatrix}\sigma _{z}^{2}\end{bmatrix}}}$

เราทราบสถานะเริ่มต้นของรถบรรทุกอย่างแม่นยำ ดังนั้นเราจึงทำการเริ่มต้นระบบ

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{0\mid 0}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}}$

และเพื่อให้ตัวกรองทราบว่าเรารู้ตำแหน่งและความเร็วที่แน่นอน เราจึงกำหนดเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมเป็นศูนย์ให้กับมัน:

${\displaystyle \mathbf {P} _{0\mid 0}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}}$

หากไม่ทราบตำแหน่งและความเร็วเริ่มต้นอย่างแม่นยำ ควรตั้งค่าเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมเริ่มต้นด้วยค่าความแปรปรวนที่เหมาะสมบนแนวทแยงมุมของเมทริกซ์:

${\displaystyle \mathbf {P} _{0\mid 0}={\begin{bmatrix}\sigma _{x}^{2}&0\\0&\sigma _{\dot {x}}^{2}\end{bmatrix}}}$

จากนั้นตัวกรองจะเลือกใช้ข้อมูลจากการวัดครั้งแรกมากกว่าข้อมูลที่มีอยู่แล้วในแบบจำลอง

เพื่อความง่าย ให้สมมติว่าอินพุตควบคุมคือจากนั้นตัวกรอง Kalman สามารถเขียนได้ดังนี้: ${\displaystyle \mathbf {u} _{k}=\mathbf {0} }$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}=\mathbf {F} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}[\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} _{k}\mathbf {F} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}].}$

สมการที่คล้ายกันนี้ยังคงใช้ได้หากเรารวมอินพุตควบคุมที่ไม่เป็นศูนย์เข้าไปด้วย เมทริกซ์อัตราขยายและเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมจะเปลี่ยนแปลงไปโดยอิสระจากการวัดจากข้างต้น สมการทั้งสี่ที่จำเป็นสำหรับการอัปเดตเมทริกซ์มีดังนี้: ${\displaystyle \mathbf {K} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$${\displaystyle \mathbf {z} _{k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} _{k\mid k-1}&=\mathbf {F} _{k}\mathbf {P} _{k-1\mid k-1}\mathbf {F} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {Q} _{k},\\\mathbf {S} _{k}&=\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {R} _{k},\\\mathbf {K} _{k}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{k}^{-1},\\\mathbf {P} _{k|k}&=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\mathbf {P} _{k|k-1}.\end{aligned}}}$

เนื่องจากสิ่งเหล่านี้ขึ้นอยู่กับแบบจำลองเท่านั้น ไม่ใช่การวัด จึงสามารถคำนวณแบบออฟไลน์ได้ การลู่เข้าของเมทริกซ์เกนไปยังเมทริกซ์เชิง เส้นกำกับ นั้นใช้ได้กับเงื่อนไขที่กำหนดไว้ใน Walrand และ Dimakis ^{[ 40 ]}หากอนุกรมลู่เข้า ก็จะลู่เข้าแบบเอกซ์โพเนนเชียลไปยังเชิงเส้น กำกับ โดย สมมติว่ามีสัญญาณรบกวนของระบบที่ไม่เป็นศูนย์^{[ 41 ]}การวิเคราะห์ล่าสุดแสดงให้เห็นว่าอัตราและลักษณะของการลู่เข้านี้อาจเกี่ยวข้องกับโหมดร่วมที่เท่ากันหลายโหมด รวมถึงส่วนประกอบการสั่น ขึ้นอยู่กับโครงสร้างค่าลักษณะเฉพาะของ Jacobian ของแผนที่ Riccati ข้างต้นที่ประเมินที่[ ^{42 ] สำหรับ}ตัวอย่างรถบรรทุกเคลื่อนที่ที่อธิบายไว้ข้างต้น โดยที่และการจำลองแสดงให้เห็นการลู่เข้าในจำนวนรอบ ${\displaystyle \mathbf {K} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {K} _{\infty }}$${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$${\displaystyle \mathbf {P} _{\infty }}$${\displaystyle \mathbf {P} _{\infty }}$${\displaystyle \Delta t=1}$${\displaystyle \sigma _{a}^{2}=\sigma _{z}^{2}=\sigma _{x}^{2}=\sigma _{\dot {x}}^{2}=1}$${\displaystyle 10}$

เมื่อใช้ค่าเกนเชิงอะซิมโทติก และสมมติว่าและเป็นอิสระจากตัวกรอง Kalman จะกลายเป็น ตัวกรองเชิง เส้นที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา : ${\displaystyle \mathbf {H} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {F} _{k}}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k}=\mathbf {F} {\hat {\mathbf {x} }}_{k-1}+\mathbf {K} _{\infty }[\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} \mathbf {F} {\hat {\mathbf {x} }}_{k-1}].}$

หากมี การได้กำไรแบบอะซิมโทติกจะสามารถคำนวณได้โดยการแก้สมการ Riccati แบบไม่ต่อเนื่องต่อไปนี้ สำหรับความแปรปรวนของสถานะอะซิมโทติก ก่อน : ^{[ 40 ]}${\displaystyle \mathbf {K} _{\infty }}$${\displaystyle \mathbf {P} _{\infty }}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{\infty }=\mathbf {F} \left(\mathbf {P} _{\infty }-\mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {H} \mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}+\mathbf {R} \right)^{-1}\mathbf {H} \mathbf {P} _{\infty }\right)\mathbf {F} ^{\textsf {T}}+\mathbf {Q} .}$

จากนั้นจึงคำนวณค่ากำไรเชิงอะซิมโทติกตามวิธีการเดิม

${\displaystyle \mathbf {K} _{\infty }=\mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {R} +\mathbf {H} \mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\right)^{-1}.}$

นอกจากนี้ รูปแบบของตัวกรอง Kalman แบบ asymptotic ที่นิยมใช้ในทฤษฎีการควบคุมนั้นแสดงได้ดังนี้

${\displaystyle {\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k+1}=\mathbf {F} {\hat {\mathbf {x} }}_{k}+\mathbf {B} \mathbf {u} _{k}+\mathbf {\overline {K}} _{\infty }[\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} {\hat {\mathbf {x} }}_{k}],}}$

ที่ไหน

${\displaystyle {\overline {\mathbf {K} }}_{\infty }=\mathbf {F} \mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {R} +\mathbf {H} \mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\right)^{-1}.}$

สิ่งนี้ทำให้ได้ตัวประมาณค่าในรูปแบบ

${\displaystyle {\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k+1}=(\mathbf {F} -{\overline {\mathbf {K} }}_{\infty }\mathbf {H} ){\hat {\mathbf {x} }}_{k}+\mathbf {B} \mathbf {u} _{k}+\mathbf {\overline {K}} _{\infty }\mathbf {z} _{k},}}$

ตัวกรอง Kalman สามารถอนุมานได้ว่าเป็น วิธี การกำลังสองน้อยที่สุดแบบทั่วไปที่ดำเนินการกับข้อมูลก่อนหน้า^{[ 43 ]}

เริ่มต้นด้วยค่าคงที่ของเราเกี่ยวกับความแปรปรวนร่วมของข้อผิดพลาดP _{k  |  k}ดังที่กล่าวมาข้างต้น

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\operatorname {cov} \left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\right)}$

แทนที่ในคำจำกัดความของ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\operatorname {cov} \left[\mathbf {x} _{k}-\left({\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}{\tilde {\mathbf {y} }}_{k}\right)\right]}$

และทดแทน ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {y} }}_{k}}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\operatorname {cov} \left(\mathbf {x} _{k}-\left[{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}\left(\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)\right]\right)}$

และ${\displaystyle \mathbf {z} _{k}}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\operatorname {cov} \left(\mathbf {x} _{k}-\left[{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k}+\mathbf {v} _{k}-\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)\right]\right)}$

และโดยการรวบรวมเวกเตอร์ข้อผิดพลาด เราจะได้

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\operatorname {cov} \left[\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)-\mathbf {K} _{k}\mathbf {v} _{k}\right]}$

เนื่องจากข้อผิดพลาดในการวัดv _kไม่มีความสัมพันธ์กับพารามิเตอร์อื่นๆ ดังนั้นจึงกลายเป็นเช่นนี้

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\operatorname {cov} \left[\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)\right]+\operatorname {cov} \left[\mathbf {K} _{k}\mathbf {v} _{k}\right]}$

โดยอาศัยคุณสมบัติของความแปรปรวนร่วมของเวกเตอร์จะได้ว่า

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\operatorname {cov} \left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\operatorname {cov} \left(\mathbf {v} _{k}\right)\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}}$

ซึ่งเมื่อใช้ค่าคงที่ของเราบนP _{k  |  k −1}และนิยามของR _kจะได้ว่า

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\mathbf {P} _{k\mid k-1}\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {R} _{k}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}}$

สูตรนี้ (บางครั้งเรียกว่ารูปแบบโจเซฟของสมการปรับปรุงความแปรปรวนร่วม) ใช้ได้กับค่าK _k ใดๆ ก็ตาม ปรากฏว่าหากK _kคือค่าเกนของ Kalman ที่เหมาะสมที่สุด สูตรนี้สามารถลดรูปให้ง่ายขึ้นได้อีกดังที่แสดงด้านล่าง

ตัวกรอง Kalman เป็น ตัวประมาณ ค่าความคลาดเคลื่อนกำลังสองเฉลี่ยต่ำสุด (MMSE)ความคลาดเคลื่อนใน การประมาณค่าสถานะ ภายหลังคือ

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$

เราต้องการลดค่าคาดหวังของกำลังสองของขนาดของเวกเตอร์นี้ให้เหลือน้อยที่สุดซึ่งเทียบเท่ากับการลดค่าร่องรอยของเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของการประมาณค่าภายหลังให้ เหลือน้อยที่สุด โดยการกระจายพจน์ในสมการข้างต้นและรวบรวม เราจะได้: ${\displaystyle \operatorname {E} \left[\left\|\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k|k}\right\|^{2}\right]}$${\displaystyle \mathbf {P} _{k|k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} _{k\mid k}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {R} _{k}\right)\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}\\[6pt]&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {S} _{k}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}\end{aligned}}}$

ค่าร่องรอยจะมีค่าน้อยที่สุดเมื่ออนุพันธ์เมทริกซ์ของร่องรอย นั้น เทียบกับเมทริกซ์อัตราขยายเป็นศูนย์ โดยใช้กฎของเมทริกซ์เกรเดียนต์และความสมมาตรของเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้อง เราพบว่า

${\displaystyle {\frac {\partial \;\operatorname {tr} (\mathbf {P} _{k\mid k})}{\partial \;\mathbf {K} _{k}}}=-2\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\right)^{\textsf {T}}+2\mathbf {K} _{k}\mathbf {S} _{k}=0.}$

เมื่อแก้สมการนี้เพื่อ หาค่า K _kจะได้ค่า Kalman gain:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {K} _{k}\mathbf {S} _{k}&=\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\right)^{\textsf {T}}=\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\\\Rightarrow \mathbf {K} _{k}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{k}^{-1}\end{aligned}}}$

ค่าเกนนี้ ซึ่งเรียกว่าค่าเกนคาลมานที่เหมาะสมที่สุดคือค่าเกนที่ให้ค่าประมาณ MMSE เมื่อนำไปใช้

สูตรที่ใช้ในการคำนวณ ความแปรปรวนร่วมของข้อผิดพลาด ภายหลังสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้เมื่อค่าเกนของ Kalman เท่ากับค่าที่เหมาะสมที่สุดที่ได้มาข้างต้น การคูณทั้งสองข้างของสูตรเกนของ Kalman ทางด้านขวาด้วยS _k K _k ^Tจะได้ว่า

${\displaystyle \mathbf {K} _{k}\mathbf {S} _{k}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}=\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}}$

เมื่ออ้างอิงกลับไปยังสูตรที่ขยายแล้วของเราสำหรับค่าความแปรปรวนร่วมของข้อผิดพลาด ภายหลัง

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {S} _{k}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}}$

เราพบว่าพจน์สองพจน์สุดท้ายหักล้างกัน ทำให้ได้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}=(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k})\mathbf {P} _{k\mid k-1}}$

สูตรนี้ใช้ต้นทุนการคำนวณน้อยกว่า จึงมักถูกนำมาใช้ในทางปฏิบัติ แต่จะถูกต้องเฉพาะกับค่าเกนที่เหมาะสมที่สุดเท่านั้น หากความแม่นยำทางคณิตศาสตร์ต่ำผิดปกติจนทำให้เกิดปัญหาเกี่ยวกับเสถียรภาพเชิงตัวเลขหรือหากจงใจใช้ค่าเกนของ Kalman ที่ไม่เหมาะสม การลดรูปนี้จะไม่สามารถนำไปใช้ได้ ต้องใช้สูตรความแปรปรวนของข้อผิดพลาด ภายหลังการคำนวณตามที่ได้มาจากข้างต้น (รูปแบบของ Joseph) แทน

สมการการกรอง Kalman ให้ค่าประมาณของสถานะและความแปรปรวนร่วมของข้อผิดพลาดแบบวนซ้ำ ค่าประมาณและคุณภาพของค่าประมาณนั้นขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ของระบบและสถิติของสัญญาณรบกวนที่ป้อนเป็นอินพุตให้กับตัวประมาณ ส่วนนี้จะวิเคราะห์ผลกระทบของความไม่แน่นอนในอินพุตทางสถิติของตัวกรอง^{[ 44 ]}ในกรณีที่ไม่มีสถิติที่เชื่อถือได้หรือค่าที่แท้จริงของเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของสัญญาณรบกวนและนิพจน์ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {R} _{k}}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\mathbf {P} _{k\mid k-1}\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {R} _{k}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}}$

ไม่สามารถให้ค่าความแปรปรวนของข้อผิดพลาดที่แท้จริงได้อีกต่อไป กล่าวอีกนัยหนึ่งคือในแอปพลิเคชันแบบเรียลไทม์ส่วนใหญ่ เมทริกซ์ความแปรปรวนที่ใช้ในการออกแบบตัวกรอง Kalman จะแตกต่างจากเมทริกซ์ความแปรปรวนของสัญญาณรบกวนที่แท้จริง การวิเคราะห์ความไวนี้อธิบายพฤติกรรมของค่าความแปรปรวนของข้อผิดพลาดในการประมาณค่าเมื่อเมทริกซ์ความแปรปรวนของสัญญาณรบกวน รวมถึงเมทริกซ์ระบบที่ป้อนเป็นอินพุตให้กับตัวกรองนั้นไม่ถูกต้อง ดังนั้น การวิเคราะห์ความไวจึงอธิบายถึงความทนทาน (หรือความไว) ของตัวประมาณค่าต่ออินพุตทางสถิติและพารามิเตอร์ที่ไม่ถูกต้องของตัวประมาณค่า ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}\neq E\left[\left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\right)\left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\right)^{\textsf {T}}\right]}$${\displaystyle \mathbf {F} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {H} _{k}}$

การอภิปรายนี้จำกัดเฉพาะการวิเคราะห์ความไวต่อข้อผิดพลาดสำหรับกรณีของความไม่แน่นอนทางสถิติ ในที่นี้ ค่าความแปรปรวนร่วมของสัญญาณรบกวนจริงจะถูกแทนด้วยและตามลำดับ ในขณะที่ค่าออกแบบที่ใช้ในตัวประมาณค่าคือและตามลำดับ ค่าความแปรปรวนร่วมของข้อผิดพลาดจริงจะถูกแทนด้วยและค่าที่คำนวณโดยตัวกรอง Kalman จะเรียกว่าตัวแปร Riccati เมื่อและหมายความว่าเมื่อคำนวณค่าความแปรปรวนร่วมของข้อผิดพลาดจริงโดยใช้แทนค่าและใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าและส่งผลให้ได้สมการเวียนเกิดต่อไปนี้สำหรับ : ${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}^{a}}$${\displaystyle \mathbf {R} _{k}^{a}}$${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {R} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}^{a}}$${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}\equiv \mathbf {Q} _{k}^{a}}$${\displaystyle \mathbf {R} _{k}\equiv \mathbf {R} _{k}^{a}}$${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\mathbf {P} _{k\mid k}^{a}}$${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}^{a}=E\left[\left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\right)\left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\right)^{\textsf {T}}\right]}$${\displaystyle {\widehat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$${\displaystyle E\left[\mathbf {w} _{k}\mathbf {w} _{k}^{\textsf {T}}\right]=\mathbf {Q} _{k}^{a}}$${\displaystyle E\left[\mathbf {v} _{k}\mathbf {v} _{k}^{\textsf {T}}\right]=\mathbf {R} _{k}^{a}}$${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}^{a}}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k-1}^{a}=\mathbf {F} _{k}\mathbf {P} _{k-1\mid k-1}^{a}\mathbf {F} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {Q} _{k}^{a}}$

และ

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}^{a}=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\mathbf {P} _{k\mid k-1}^{a}\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {R} _{k}^{a}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}}$

ในระหว่างการคำนวณตัวกรองจะออกแบบโดยปริยายว่าและนิพจน์แบบเรียกซ้ำสำหรับและจะเหมือนกัน ยกเว้นการมีอยู่ของและแทนที่ค่าการออกแบบและตามลำดับ มีการวิจัยเพื่อวิเคราะห์ความทนทานของระบบตัวกรอง Kalman ^{[ 45 ]}${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$${\displaystyle E\left[\mathbf {w} _{k}\mathbf {w} _{k}^{\textsf {T}}\right]=\mathbf {Q} _{k}}$${\displaystyle E\left[\mathbf {v} _{k}\mathbf {v} _{k}^{\textsf {T}}\right]=\mathbf {R} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}^{a}}$${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}^{a}}$${\displaystyle \mathbf {R} _{k}^{a}}$${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {R} _{k}}$

ปัญหาหนึ่งของตัวกรอง Kalman คือความเสถียรเชิงตัวเลขหากค่าความแปรปรวนร่วมของสัญญาณรบกวนกระบวนการQ _kมีค่าน้อย ข้อผิดพลาดจากการปัดเศษมักทำให้ค่าไอเกนบวกขนาดเล็กของเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของสถานะPถูกคำนวณเป็นจำนวนลบ ซึ่งทำให้การแสดงผลเชิงตัวเลขของP ไม่แน่นอนในขณะที่รูปแบบที่แท้จริงของมันเป็นบวก แน่นอน

เมทริก ซ์บวกกำหนด (Positive definite matrices) มีคุณสมบัติที่สามารถแยกตัวประกอบได้เป็นผลคูณของ เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างที่ ไม่เอกฐาน (non-singular , lower-triangular matrix ) S และ เมทริกซ์ทรานสโพส (transpose) ของมัน  : P  =  S · S ^TโดยสามารถคำนวณตัวประกอบS ได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยใช้อัลกอริทึม การแยกตัวประกอบ Choleskyรูปแบบผลคูณของเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมP นี้ รับประกันได้ว่าเป็นเมทริกซ์สมมาตร และสำหรับทุก 1 <= k <= n องค์ประกอบแนวทแยงมุมที่ k ของ P _kkจะเท่ากับกำลังสองของนอร์มยุคลิดของแถวที่ k ของSซึ่งจำเป็นต้องมีค่าเป็นบวก รูปแบบที่เทียบเท่ากัน ซึ่งหลีกเลี่ยง การดำเนินการ รากที่สอง จำนวนมาก ที่เกี่ยวข้องกับ อัลกอริทึม การแยกตัวประกอบ Choleskyแต่ยังคงรักษาคุณสมบัติเชิงตัวเลขที่พึงประสงค์ไว้ คือ รูปแบบการแยกตัวประกอบ UD: P  =  U · D · U ^Tโดยที่Uเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมเอกลักษณ์ (มีแนวทแยงมุมเป็นหนึ่ง ) และDเป็นเมทริกซ์แนวทแยงมุม

ระหว่างสองวิธีนี้ การแยกตัวประกอบ UD ใช้พื้นที่จัดเก็บเท่ากัน และใช้การคำนวณน้อยกว่าเล็กน้อย และเป็นการแยกตัวประกอบสามเหลี่ยมที่ใช้กันทั่วไปมากที่สุด (เอกสารในยุคแรกเกี่ยวกับประสิทธิภาพเชิงสัมพัทธ์ค่อนข้างทำให้เข้าใจผิด เนื่องจากสันนิษฐานว่ารากที่สองใช้เวลานานกว่าการหารมาก^{[ 46 ] : 69} ในขณะที่ในคอมพิวเตอร์ยุคศตวรรษที่ 21 รากที่สองมีราคาแพงกว่าเพียงเล็กน้อยเท่านั้น)

GJ Bierman และ CL Thornton ได้พัฒนาอัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับขั้นตอนการทำนายและการอัปเดต Kalman ในรูปแบบแยกส่วน^{[ 46 ] [ 47 ]}

การแยกส่วนL · D · L ^Tของเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของนวัตกรรมS _kเป็นพื้นฐานสำหรับตัวกรองรากที่สองที่มีประสิทธิภาพเชิงตัวเลขและแข็งแกร่งอีกประเภทหนึ่ง^{[ 48 ]}อัลกอริทึมเริ่มต้นด้วยการแยกส่วน LUตามที่นำไปใช้ใน Linear Algebra PACKage ( LAPACK ) ผลลัพธ์เหล่านี้จะถูกแยกส่วนเพิ่มเติมเป็น โครงสร้าง L · D · L ^Tด้วยวิธีการที่ Golub และ Van Loan ให้ไว้ (อัลกอริทึม 4.1.2) สำหรับเมทริกซ์สมมาตรที่ไม่เอกฐาน^{[ 49 ]}เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมเอกฐานใด ๆ จะถูกหมุนเพื่อให้พาร์ติชันแนวทแยงแรกไม่เอกฐานและมีสภาพดีอัลกอริทึมการหมุนต้องเก็บส่วนใด ๆ ของเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของนวัตกรรมที่สอดคล้องโดยตรงกับตัวแปรสถานะที่สังเกตได้H _k · x _k|k-1ที่เกี่ยวข้องกับการสังเกตเสริมใน y _kตัวกรองรากที่สองl · d · l t ^{ต้องการ}การตั้งฉากของเวกเตอร์การสังเกต^{[ 47 ] [ 48 ]}สามารถทำได้โดยใช้รากที่สองผกผันของเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมสำหรับตัวแปรเสริมโดยใช้วิธีที่ 2 ใน Higham (2002, หน้า 263) ^{[ 50 ]}

ตัวกรอง Kalman มีประสิทธิภาพสำหรับการประมวลผลข้อมูลแบบลำดับบนหน่วยประมวลผลกลาง (CPU) แต่ในรูปแบบดั้งเดิมนั้นไม่มีประสิทธิภาพบนสถาปัตยกรรมแบบขนาน เช่นหน่วยประมวลผลกราฟิก (GPU) อย่างไรก็ตาม เป็นไปได้ที่จะแสดงขั้นตอนการอัปเดตตัวกรองในรูปของตัวดำเนินการแบบเชื่อมโยงโดยใช้สูตรใน Särkkä และ García-Fernández (2021) ^{[ 51 ]}จากนั้นสามารถดึงโซลูชันตัวกรองได้โดยใช้ อัลกอริธึมผล รวมคำนำหน้าซึ่งสามารถนำไปใช้งานบน GPU ได้อย่างมีประสิทธิภาพ^{[ 52 ]}ซึ่งจะลดความซับซ้อนในการคำนวณจากจำนวนขั้นตอนเวลาเป็น ${\displaystyle O(N)}$${\displaystyle O(\log(N))}$

ตัวกรอง Kalman สามารถนำเสนอได้ว่าเป็นเครือข่าย Bayesian แบบไดนามิก ที่ง่ายที่สุดเครือ ข่ายหนึ่ง ตัวกรอง Kalman คำนวณค่าประมาณของค่าจริงของสถานะแบบวนซ้ำตลอดเวลาโดยใช้การวัดที่เข้ามาและแบบจำลองกระบวนการทางคณิตศาสตร์ ในทำนองเดียวกันการประมาณค่า Bayesian แบบวนซ้ำจะคำนวณค่าประมาณของฟังก์ชันความหนาแน่นความ น่าจะเป็น (PDF) ที่ไม่ทราบค่าแบบวนซ้ำตลอดเวลาโดยใช้การวัดที่เข้ามาและแบบจำลองกระบวนการทางคณิตศาสตร์^{[ 53 ]}

ในการประมาณค่าแบบเบย์เซียนแบบวนซ้ำ สถานะที่แท้จริงจะถือว่าเป็นกระบวนการมาร์คอฟ ที่ไม่สามารถสังเกตได้ และค่าที่วัดได้คือสถานะที่สังเกตได้ของแบบจำลองมาร์คอฟแบบซ่อนเร้น (HMM)

เนื่องจากสมมติฐานของมาร์คอฟ สถานะที่แท้จริงจึงเป็นอิสระจากสถานะก่อนหน้าทั้งหมดแบบมีเงื่อนไข โดยพิจารณาจากสถานะก่อนหน้าทันที

${\displaystyle p(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{0},\dots ,\mathbf {x} _{k-1})=p(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{k-1})}$

ในทำนองเดียวกัน การวัดที่ขั้นเวลาที่k นั้นขึ้นอยู่กับสถานะปัจจุบันเท่านั้น และเป็นอิสระจากสถานะอื่นๆ อย่างมีเงื่อนไข เมื่อกำหนดสถานะปัจจุบันแล้ว

${\displaystyle p(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{0},\dots ,\mathbf {x} _{k})=p(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k})}$

โดยใช้สมมติฐานเหล่านี้ การกระจายความน่าจะเป็นเหนือสถานะทั้งหมดของแบบจำลองมาร์คอฟที่ซ่อนอยู่สามารถเขียนได้อย่างง่ายๆ ดังนี้:

${\displaystyle p\left(\mathbf {x} _{0},\dots ,\mathbf {x} _{k},\mathbf {z} _{1},\dots ,\mathbf {z} _{k}\right)=p\left(\mathbf {x} _{0}\right)\prod _{i=1}^{k}p\left(\mathbf {z} _{i}\mid \mathbf {x} _{i}\right)p\left(\mathbf {x} _{i}\mid \mathbf {x} _{i-1}\right)}$

อย่างไรก็ตาม เมื่อใช้ตัวกรอง Kalman เพื่อประมาณค่าสถานะxการกระจายความน่าจะเป็นที่สนใจคือการกระจายความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องกับสถานะปัจจุบันโดยมีเงื่อนไขจากการวัดจนถึงช่วงเวลาปัจจุบัน ซึ่งทำได้โดยการตัดสถานะก่อนหน้าออกและหารด้วยความน่าจะเป็นของชุดการวัด

ผลลัพธ์ที่ได้คือ ขั้นตอน การทำนายและการปรับปรุงของตัวกรอง Kalman ที่เขียนในรูปแบบความน่าจะเป็น การกระจายความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องกับสถานะที่ทำนายได้คือผลรวม (ปริพันธ์) ของผลคูณของการกระจายความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนจากช่วงเวลาที่ ( k  − 1) ไปยังช่วงเวลาที่kและการกระจายความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องกับสถานะก่อนหน้า ครอบคลุมทุกค่าที่เป็นไปได้ ${\displaystyle x_{k-1}}$

${\displaystyle p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)=\int p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{k-1}\right)p\left(\mathbf {x} _{k-1}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)\,d\mathbf {x} _{k-1}}$

ชุดการวัดที่ตั้งไว้จนถึงเวลาtคือ

${\displaystyle \mathbf {Z} _{t}=\left\{\mathbf {z} _{1},\dots ,\mathbf {z} _{t}\right\}}$

การกระจายความน่าจะเป็นของการอัปเดตจะเป็นสัดส่วนกับผลคูณของความน่าจะเป็นของการวัดและสถานะที่คาดการณ์ไว้

${\displaystyle p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k}\right)={\frac {p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)}{p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)}}}$

ตัวหาร

${\displaystyle p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)=\int p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)\,d\mathbf {x} _{k}}$

เป็นเงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐาน

ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นที่เหลืออยู่คือ

${\displaystyle {\begin{aligned}p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{k-1}\right)&={\mathcal {N}}\left(\mathbf {F} _{k}\mathbf {x} _{k-1}+\mathbf {B} _{k}\mathbf {u} _{k},\mathbf {Q} _{k}\right)\\p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)&={\mathcal {N}}\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k},\mathbf {R} _{k}\right)\\p\left(\mathbf {x} _{k-1}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)&={\mathcal {N}}\left({\hat {\mathbf {x} }}_{k-1},\mathbf {P} _{k-1}\right)\end{aligned}}}$

โดยหลักการแล้ว ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (PDF) ในขั้นตอนเวลาที่ผ่านมา ถือว่าเป็นค่าประมาณสถานะและความแปรปรวนร่วม ซึ่งมีเหตุผลรองรับ เนื่องจากตัวกรอง Kalman เป็นตัวประมาณค่าที่ดีที่สุด จึงใช้ประโยชน์จากการวัดได้อย่างดีที่สุด ดังนั้น PDF สำหรับ ค่าที่วัดได้จึงเป็นค่าประมาณของตัวกรอง Kalman ${\displaystyle \mathbf {x} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {Z} _{k}}$

เมื่อพิจารณาตามการตีความแบบเบย์เซียนเชิงเวียนซ้ำที่อธิบายไว้ข้างต้น ตัวกรองคาลมานสามารถมองได้ว่าเป็นแบบจำลองเชิงกำเนิดกล่าวคือ กระบวนการสร้างกระแสของการสังเกตแบบสุ่มz = ( z ₀ , z ₁ , z ₂ , ...) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กระบวนการนี้คือ

1. สุ่มเลือกสถานะที่ซ่อนอยู่จากความน่าจะเป็นล่วงหน้าแบบเกาส์เซียน${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$${\displaystyle p\left(\mathbf {x} _{0}\right)={\mathcal {N}}\left({\hat {\mathbf {x} }}_{0\mid 0},\mathbf {P} _{0\mid 0}\right)}$
2. สุ่มตัวอย่างข้อมูลจากแบบจำลองการสังเกต${\displaystyle \mathbf {z} _{0}}$${\displaystyle p\left(\mathbf {z} _{0}\mid \mathbf {x} _{0}\right)={\mathcal {N}}\left(\mathbf {H} _{0}\mathbf {x} _{0},\mathbf {R} _{0}\right)}$
3. สำหรับ, ทำ${\displaystyle k=1,2,3,\ldots }$
   1. สุ่มเลือกสถานะที่ซ่อนอยู่ถัดไปจากแบบจำลองการเปลี่ยนสถานะ${\displaystyle \mathbf {x} _{k}}$${\displaystyle p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{k-1}\right)={\mathcal {N}}\left(\mathbf {F} _{k}\mathbf {x} _{k-1}+\mathbf {B} _{k}\mathbf {u} _{k},\mathbf {Q} _{k}\right).}$
   2. สุ่มตัวอย่างการสังเกตจากแบบจำลองการสังเกต${\displaystyle \mathbf {z} _{k}}$${\displaystyle p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)={\mathcal {N}}\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k},\mathbf {R} _{k}\right).}$

กระบวนการนี้มีโครงสร้างเหมือนกับแบบจำลองมาร์คอฟที่ซ่อนอยู่ทุกประการยกเว้นว่าสถานะและการสังเกตแบบไม่ต่อเนื่องจะถูกแทนที่ด้วยตัวแปรต่อเนื่องที่สุ่มมาจาก1การแจกแจงแบบเกาส์เซียน

ในบางแอปพลิเคชัน การคำนวณความน่าจะเป็นที่ตัวกรอง Kalman ที่มีชุดพารามิเตอร์ที่กำหนด (การกระจายความน่าจะเป็นก่อนหน้า รูปแบบการเปลี่ยนผ่านและการสังเกต และอินพุตควบคุม) จะสร้างสัญญาณที่สังเกตได้เฉพาะเจาะจงนั้นมีประโยชน์ ความน่าจะเป็นนี้เรียกว่าความน่าจะเป็นแบบมาร์จินัล (marginal likelihood ) เนื่องจากเป็นการอินทิเกรต (ตัดส่วนมาร์จินัลออกไป) ค่าของตัวแปรสถานะที่ซ่อนอยู่ ดังนั้นจึงสามารถคำนวณได้โดยใช้เพียงสัญญาณที่สังเกตได้เท่านั้น ความน่าจะเป็นแบบมาร์จินัลมีประโยชน์ในการประเมินตัวเลือกพารามิเตอร์ต่างๆ หรือเพื่อเปรียบเทียบตัวกรอง Kalman กับแบบจำลองอื่นๆ โดยใช้การเปรียบเทียบแบบจำลองแบบเบย์เซียน

การคำนวณความน่าจะเป็นส่วนชายขอบนั้นทำได้ง่าย โดยเป็นผลพลอยได้จากการคำนวณการกรองแบบวนซ้ำ ตามกฎลูกโซ่ความน่าจะเป็นสามารถแยกตัวประกอบได้เป็นผลคูณของความน่าจะเป็นของการสังเกตแต่ละครั้งโดยพิจารณาจากการสังเกตครั้งก่อนหน้า

${\displaystyle p(\mathbf {z} )=\prod _{k=0}^{T}p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {z} _{k-1},\ldots ,\mathbf {z} _{0}\right)}$,

และเนื่องจากตัวกรอง Kalman อธิบายกระบวนการ Markov ข้อมูลที่เกี่ยวข้องทั้งหมดจากการสังเกตการณ์ก่อนหน้านี้จึงบรรจุอยู่ในค่าประมาณสถานะปัจจุบันดังนั้นความน่าจะเป็นแบบมาร์จินัลจึงกำหนดโดย ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {P} _{k\mid k-1}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p(\mathbf {z} )&=\prod _{k=0}^{T}\int p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {z} _{k-1},\ldots ,\mathbf {z} _{0}\right)d\mathbf {x} _{k}\\&=\prod _{k=0}^{T}\int {\mathcal {N}}\left(\mathbf {z} _{k};\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k},\mathbf {R} _{k}\right){\mathcal {N}}\left(\mathbf {x} _{k};{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {P} _{k\mid k-1}\right)d\mathbf {x} _{k}\\&=\prod _{k=0}^{T}{\mathcal {N}}\left(\mathbf {z} _{k};\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {R} _{k}+\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\right)\\&=\prod _{k=0}^{T}{\mathcal {N}}\left(\mathbf {z} _{k};\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {S} _{k}\right),\end{aligned}}}$

กล่าวคือ ผลคูณของความหนาแน่นแบบเกาส์เซียน โดยแต่ละความหนาแน่นสอดคล้องกับความหนาแน่นของการสังเกตz _k หนึ่ง รายการภายใต้การกระจายการกรองปัจจุบันสามารถคำนวณได้ง่ายๆ โดยใช้การอัปเดตแบบวนซ้ำอย่างง่าย อย่างไรก็ตาม เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหาค่าต่ำเกินไป (numeric underflow)ในการใช้งานจริง มักเป็นที่พึงปรารถนาที่จะคำนวณค่าลอการิทึมความน่าจะเป็นแบบมาร์ จินัลแทน โดยใช้ธรรมเนียมนี้ สามารถทำได้ผ่านกฎการอัปเดตแบบวนซ้ำ ${\displaystyle \mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {S} _{k}}$${\displaystyle \ell =\log p(\mathbf {z} )}$${\displaystyle \ell ^{(-1)}=0}$

${\displaystyle \ell ^{(k)}=\ell ^{(k-1)}-{\frac {1}{2}}\left({\tilde {\mathbf {y} }}_{k}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{k}^{-1}{\tilde {\mathbf {y} }}_{k}+\log \left|\mathbf {S} _{k}\right|+d_{y}\log 2\pi \right),}$

โดยที่มิติของเวกเตอร์การวัดคือ^{[ 54 ]}${\displaystyle d_{y}}$

แอปพลิเคชันที่สำคัญอย่างหนึ่งที่ใช้ความน่าจะเป็น (แบบลอการิทึม) ของการสังเกตการณ์ (โดยพิจารณาจากพารามิเตอร์ของตัวกรอง) คือการติดตามเป้าหมายหลายเป้าหมาย ตัวอย่างเช่น พิจารณาสถานการณ์การติดตามวัตถุที่ข้อมูลการสังเกตการณ์เป็นอินพุต แต่ไม่ทราบจำนวนวัตถุในฉาก (หรือทราบจำนวนวัตถุแต่มากกว่าหนึ่ง) สำหรับสถานการณ์เช่นนี้ อาจไม่ทราบล่วงหน้าว่าการสังเกตการณ์/การวัดใดถูกสร้างขึ้นโดยวัตถุใด ตัวติดตามสมมติฐานหลายตัว (MHT) โดยทั่วไปจะสร้างสมมติฐานการเชื่อมโยงการติดตามที่แตกต่างกัน โดยแต่ละสมมติฐานสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นตัวกรอง Kalman (สำหรับกรณี Gaussian เชิงเส้น) ที่มีชุดพารามิเตอร์เฉพาะที่เกี่ยวข้องกับวัตถุที่ตั้งสมมติฐานไว้ ดังนั้น การคำนวณความน่าจะเป็นของการสังเกตการณ์สำหรับสมมติฐานต่างๆ ที่กำลังพิจารณาจึงมีความสำคัญ เพื่อให้สามารถค้นหาสมมติฐานที่มีความน่าจะเป็นสูงสุดได้

ในกรณีที่มิติของเวกเตอร์การสังเกตyมีขนาดใหญ่กว่ามิติของเวกเตอร์ปริภูมิสถานะxตัวกรองข้อมูลสามารถหลีกเลี่ยงการผกผันเมทริกซ์ขนาดใหญ่ในการคำนวณกำไร Kalman โดยแลกกับการผกผันเมทริกซ์ขนาดเล็กในขั้นตอนการทำนาย ซึ่งจะช่วยประหยัดเวลาในการคำนวณ นอกจากนี้ ตัวกรองข้อมูลยังช่วยให้สามารถเริ่มต้นข้อมูลระบบตามซึ่งจะไม่สามารถทำได้สำหรับตัวกรอง Kalman ทั่วไป^{[ 55 ]}ในตัวกรองข้อมูล หรือตัวกรองความแปรปรวนร่วมผกผัน ความแปรปรวนร่วมที่ประมาณค่าและสถานะที่ประมาณค่าจะถูกแทนที่ด้วยเมทริกซ์ข้อมูลและ เวกเตอร์ ข้อมูลตามลำดับ ซึ่งกำหนดไว้ดังนี้: ${\displaystyle {I_{1|0}=P_{1|0}^{-1}=0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{k\mid k}&=\mathbf {P} _{k\mid k}^{-1}\\{\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k}&=\mathbf {P} _{k\mid k}^{-1}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\end{aligned}}}$