การคูณเป็นหนึ่งในสี่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์พื้นฐานของเลขคณิตโดยอีกสามอย่างคือการบวกการลบและการหารผลลัพธ์ของการดำเนินการคูณเรียกว่าผลคูณการคูณมักจะแสดงด้วยสัญลักษณ์กากบาท×เครื่องหมายจุดกลางบรรทัด⋅ การวางชิดกัน หรือใน ^ภาษาโปรแกรมด้วยเครื่องหมายดอกจัน* ^{[ 1} ] ^{[ 2 ]}

การคูณจำนวนเต็มอาจคิดได้ว่าเป็นการบวกซ้ำๆ กล่าวคือ การคูณจำนวนสองจำนวนเทียบเท่ากับการบวกจำนวนหนึ่ง ( ตัวตั้งคูณ)เท่ากับจำนวนของอีกจำนวนหนึ่ง ( ตัวคูณ ) จำนวนทั้งสองนี้เรียกว่าตัวประกอบซึ่งแตกต่างจากการบวกพจน์

${\displaystyle a\times b=\underbrace {b+\cdots +b} _{a{\text{ times}}}.}$

การที่ปัจจัยแรกเป็นตัวคูณหรือตัวถูกคูณนั้นอาจมีความคลุมเครือหรือขึ้นอยู่กับบริบท ตัวอย่างเช่น นิพจน์${\displaystyle 3\times 4}$สามารถเขียนได้ว่า "3 คูณ 4" หรือ "สามกลุ่มของสี่" โดยใช้คำว่า " ของ " แทนสัญลักษณ์การคูณ และคำนวณได้ดังนี้${\displaystyle 4+4+4}$โดยที่ 3 เป็นตัวคูณ แต่ยังสามารถเขียนได้ว่า "3 คูณด้วย 4" ซึ่งในกรณีนี้ 3 จะกลายเป็นตัวถูกคูณ^{[ 3 ]}หนึ่งในคุณสมบัติหลักของการคูณคือคุณสมบัติการสลับที่ ซึ่งในกรณีนี้ระบุว่าการบวก 4 จำนวน 3 ครั้งจะให้ผลลัพธ์เช่นเดียวกับการบวก 3 จำนวน 4 ครั้ง ดังนั้น การกำหนดตัวคูณและตัวถูกคูณจึงไม่มีผลต่อผลลัพธ์ของการคูณ^{[ 4 ] [ 5 ]}

การสรุปอย่างเป็นระบบของนิยามพื้นฐานนี้จะกำหนดการคูณของจำนวนเต็ม (รวมถึงจำนวนลบ) จำนวนตรรกยะ (เศษส่วน) และจำนวนจริง

การคูณสามารถมองเห็นได้ในอีกมุมหนึ่ง คือการนับวัตถุที่จัดเรียงอยู่ในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (สำหรับจำนวนเต็ม) หรือการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านยาวตามที่กำหนด พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะคงที่เสมอ ไม่ว่าเราจะวัดด้านใดก่อนก็ตาม ซึ่งเป็นผลมาจากสมบัติการสลับที่

ผลคูณของการวัดสองค่า (หรือปริมาณทางกายภาพ สองค่า ) คือการวัดชนิดใหม่ (หรือปริมาณใหม่) ซึ่งมักจะมีหน่วยวัด อนุพันธ์ ตัวอย่างเช่น การคูณความยาว (ในหน่วยเมตรหรือฟุต) ของด้านทั้งสองของสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะได้พื้นที่ (ในหน่วยตารางเมตรหรือตารางฟุต) ผลคูณดังกล่าวเป็นหัวข้อของการวิเคราะห์มิติ

การหารเป็นการดำเนินการผกผัน ของการคูณ ตัวอย่างเช่น 4 คูณ 3 เท่ากับ 12 ดังนั้น 12 หารด้วย 3 เท่ากับ 4 กล่าวคือ การคูณด้วย 3 แล้วหารด้วย 3 จะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเดิม การหารจำนวนอื่นที่ไม่ใช่ 0 ด้วยตัวเองจะได้ผลลัพธ์เป็น 1

แนวคิดทางคณิตศาสตร์หลายอย่างต่อยอดจากแนวคิดพื้นฐานของการคูณ ตัวอย่างเช่น ผลคูณของลำดับ การคูณเวกเตอร์ จำนวนเชิงซ้อน และเมทริกซ์ โครงสร้างขั้นสูงเหล่านี้มักส่งผลต่อคุณสมบัติพื้นฐานในรูปแบบต่างๆ เช่น การทำให้เมทริกซ์และรูปแบบบางอย่างของการคูณเวกเตอร์ไม่เป็นไปตามกฎการสลับที่ หรือการเปลี่ยนเครื่องหมายของจำนวนเชิงซ้อน

ในทางคณิตศาสตร์การคูณมักเขียนโดยใช้เครื่องหมายคูณ ( ×หรือ )${\displaystyle \times }$) ระหว่างปัจจัย (นั่นคือ ในสัญกรณ์อินฟิกซ์ ) ^{[ 6 ]}ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle 2\times 3=6,}$("สองคูณสามเท่ากับหก")

${\displaystyle 3\times 4=12,}$

${\displaystyle 2\times 3\times 5=6\times 5=30,}$

${\displaystyle 2\times 2\times 2\times 2\times 2=32.}$

เครื่องหมายกากบาทถูกใช้ครั้งแรกโดยเอ็ดเวิร์ด ไรท์ในปี ค.ศ. 1618 ^{[ 7 ]}นอกจากนี้ยังมีสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ อื่นๆ สำหรับการคูณอีกด้วย:

• การคูณยังแสดงด้วยจุดที่อยู่ตรงกลางอีกด้วย:${\displaystyle 5\cdot 2}$[ ^{6 ] [ 8 ] [ 7 ]}จุดกลางถูกใช้ครั้งแรกโดย GW Leibniz ในปี 1698 ^{[ 9 ]}เนื่องจากเครื่องหมายการคูณ × มักสับสนกับตัวแปรทางคณิตศาสตร์ทั่วไป^xสัญลักษณ์จุดกลาง หรือตัวดำเนินการจุดปัจจุบันเป็นมาตรฐานในสหรัฐอเมริกาและประเทศอื่นๆเมื่อไม่สามารถเข้าถึงอักขระตัวดำเนินการจุดได้จะใช้ เครื่องหมาย วรรคตอน ( · ) แทน ในประเทศส่วนใหญ่ในยุโรปและประเทศอื่นๆ ที่ใช้ จุลภาคเป็นจุดทศนิยม (และจุดเป็นตัวคั่นหลักพัน ) จะใช้เครื่องหมายการคูณหรือจุดกลางเพื่อแสดงการคูณ ในอดีต ในสหราชอาณาจักรและไอร์แลนด์ บางครั้งใช้จุดกลางแทนจุดทศนิยมเพื่อป้องกันไม่ให้จุดทศนิยมหายไปในเส้นบรรทัด และใช้จุด (จุด) แทนการคูณ อย่างไรก็ตาม เนื่องจากกระทรวงเทคโนโลยีได้ออกกฎในปี พ.ศ. 2511 ให้ใช้จุดทศนิยม^{[ 10 ]}และ มาตรฐาน ระบบหน่วยสากล (SI) ได้รับการนำมาใช้อย่างแพร่หลายตั้งแต่นั้นมา การใช้งานนี้จึงพบได้เฉพาะในวารสารแบบ ดั้งเดิมเช่นThe Lancet เท่านั้น ^{[ 11 ]} 
• ในพีชคณิตการคูณที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรมักเขียนในรูปการวางเรียงกัน (เช่น${\displaystyle xy}$สำหรับ${\displaystyle x}$ครั้ง${\displaystyle y}$หรือ${\displaystyle 5x}$ห้าครั้ง${\displaystyle x}$(หรือเรียกอีกอย่างว่าการคูณโดยนัย ) สัญลักษณ์นี้สามารถใช้กับปริมาณที่อยู่ภายในวงเล็บ ได้เช่นกัน (เช่น${\displaystyle 5(2)}$,${\displaystyle (5)2}$หรือ${\displaystyle (5)(2)}$สำหรับห้าคูณสอง) ^{[ 12 ]}การใช้การคูณโดยนัยนี้อาจทำให้เกิดความกำกวมเมื่อตัวแปรที่ต่อกันบังเอิญตรงกับชื่อของตัวแปรอื่น เมื่อชื่อตัวแปรที่อยู่หน้าวงเล็บอาจสับสนกับชื่อฟังก์ชัน หรือในการกำหนดลำดับการดำเนินการที่ ถูกต้อง ^{[ 13 ] [ 14 ]}
• ในการคูณเวกเตอร์มีความแตกต่างระหว่างสัญลักษณ์กากบาทและสัญลักษณ์จุด โดยทั่วไปแล้ว สัญลักษณ์กากบาทหมายถึงการหา ผลคูณ เชิงเวกเตอร์ของเวกเตอร์ สองตัว ซึ่งจะได้เวกเตอร์เป็นผลลัพธ์ ในขณะที่สัญลักษณ์จุดหมายถึงการหา ผล คูณเชิงจุดของเวกเตอร์สองตัว ซึ่งจะได้ค่าสเกลาร์

ในการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์เครื่องหมายดอกจัน (เช่น5*2) ยังคงเป็นสัญลักษณ์ที่ใช้กันทั่วไปมากที่สุด เนื่องจากในอดีตคอมพิวเตอร์ส่วนใหญ่ถูกจำกัดด้วยชุดอักขระ ขนาดเล็ก (เช่นASCIIและEBCDIC ) ที่ไม่มีเครื่องหมายการคูณ (เช่น×หรือ⋅) ในขณะที่เครื่องหมายดอกจันปรากฏอยู่บนแป้นพิมพ์ทุกเครื่อง^{[ 15 ]}การใช้งานนี้มีต้นกำเนิดมาจากภาษาการเขียนโปรแกรมFORTRAN ^{[ 16 ]} (แม้แต่คอมไพเลอร์สมัยใหม่ก็ยังไม่รู้จักหรือเป็นตัวดำเนินการคูณ)×⋅

โดยทั่วไปแล้ว ตัวเลขที่จะนำมาคูณกันเรียกว่าตัวประกอบ (เช่นเดียวกับการแยกตัวประกอบ ) ตัวเลขที่จะนำมาคูณเรียกว่าตัวตั้งคูณและตัวเลขที่ใช้คูณเรียกว่าตัวคูณโดยปกติแล้ว ตัวคูณจะอยู่ตำแหน่งแรก และตัวตั้งคูณจะอยู่ตำแหน่งที่สอง^{[ 17 ] [ 18 ]}อย่างไรก็ตาม บางครั้งตัวประกอบตัวแรกถือเป็นตัวตั้งคูณ และตัวประกอบตัวที่สองถือเป็นตัวคูณ นอกจากนี้ เนื่องจากผลลัพธ์ของการคูณไม่ขึ้นอยู่กับลำดับของตัวประกอบ ความแตกต่างระหว่างตัวตั้งคูณและตัวคูณจึงมีประโยชน์เฉพาะในระดับพื้นฐานมาก ๆ และในอัลกอริทึมการคูณ บางอย่าง เช่นการคูณแบบยาวดังนั้น ในบางแหล่งข้อมูล คำว่าตัวตั้งคูณจึงถือเป็นคำพ้องความหมายของตัวประกอบ[ ^{19 ] ใน} พีชคณิต ตัวเลขที่เป็นตัวคูณของตัวแปรหรือนิพจน์ (เช่น 3 ใน${\displaystyle 3xy^{2}}$) เรียกว่าสัมประสิทธิ์

ผลลัพธ์ของการคูณเรียกว่าผลคูณเมื่อตัวประกอบตัวหนึ่งเป็นจำนวนเต็มผลคูณจะเป็นพหุคูณของตัวประกอบอีกตัวหนึ่ง หรือพหุคูณของพหุคูณของตัวประกอบอื่นๆ ดังนั้น${\displaystyle 2\times \pi }$เป็นผลคูณของ${\displaystyle \pi }$เช่นเดียวกับ${\displaystyle 5133\times 486\times \pi }$ผลคูณของจำนวนเต็มคือผลคูณของตัวประกอบแต่ละตัว ตัวอย่างเช่น 15 คือผลคูณของ 3 และ 5 และเป็นทั้งผลคูณของ 3 และผลคูณของ 5

ผลคูณของจำนวนสองจำนวน หรือการคูณระหว่างจำนวนสองจำนวน สามารถนิยามได้สำหรับกรณีพิเศษทั่วไป ได้แก่ จำนวนธรรมชาติ จำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ จำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน และควอเทอร์เนียน

ผลคูณของจำนวนธรรมชาติสองจำนวน

ผลคูณ ของ จำนวนธรรมชาติสอง จำนวน${\displaystyle r,s\in \mathbb {N} }$มีนิยามดังนี้:

$${\displaystyle r\cdot s\equiv \sum _{i=1}^{s}r=\underbrace {r+r+\cdots +r} _{s{\text{ times}}}\equiv \sum _{j=1}^{r}s=\underbrace {s+s+\cdots +s} _{r{\text{ times}}}.}$$

ผลคูณของจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวน

จำนวนเชิงซ้อนสองจำนวนสามารถคูณกันได้โดยใช้กฎการกระจายและข้อเท็จจริงที่ว่า${\displaystyle i^{2}=-1}$ดังต่อไปนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b\,i)\cdot (c+d\,i)&=a\cdot c+a\cdot d\,i+b\,i\cdot c+b\cdot d\cdot i^{2}\\&=(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)\,i\end{aligned}}}$

ความหมายทางเรขาคณิตของการคูณเชิงซ้อนสามารถเข้าใจได้โดยการเขียนจำนวนเชิงซ้อนใหม่ในพิกัดเชิงขั้ว :

${\displaystyle a+b\,i=r\cdot (\cos(\varphi )+i\sin(\varphi ))=r\cdot e^{i\varphi }}$

นอกจากนี้,

${\displaystyle c+d\,i=s\cdot (\cos(\psi )+i\sin(\psi ))=s\cdot e^{i\psi },}$

ซึ่งจะได้รับจากสิ่งนั้น

${\displaystyle (a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)i=r\cdot s\cdot e^{i(\varphi +\psi )}.}$

ความหมายทางเรขาคณิตคือ การคูณค่าขนาดและการบวกค่าตัวแปร

วิธีการคูณเลขทั่วไปหลายวิธีโดยใช้ดินสอและกระดาษนั้น จำเป็นต้องใช้ตารางการคูณที่ท่องจำหรือดูจากผลคูณของตัวเลขเล็กๆ (โดยทั่วไปคือตัวเลขสองตัวใดๆ ตั้งแต่ 0 ถึง 9) อย่างไรก็ตาม วิธีการหนึ่งที่เรียกว่า " วิธี การคูณแบบชาวบ้าน"ไม่จำเป็นต้องใช้ตารางการคูณ ตัวอย่างด้านล่างนี้แสดงให้เห็นถึง "การคูณแบบยาว" ("วิธีการมาตรฐาน" หรือ "การคูณแบบเด็กประถม"):

 23958233 × 5830 ——————————————— 00000000 ( = 23,958,233 × 0) 71874699 ( = 23,958,233 × 30) 191665864 ( = 23,958,233 × 800) + 119791165 ( = 23,958,233 × 5,000) ——————————————— 139676498390 ( = 139,676,498,390 )

ในบางประเทศ เช่นเยอรมนีการคูณข้างต้นจะแสดงในลักษณะเดียวกัน แต่โจทย์เดิมจะเขียนไว้ในบรรทัดเดียว และการคำนวณจะเริ่มต้นด้วยตัวเลขหลักแรกของตัวคูณ: ^{[ 20 ]}

23958233 · 5830 ——————————————— 119791165 191665864 71874699 00000000 ——————————————— 139676498390

การคูณตัวเลขที่มีทศนิยมมากกว่าสองตำแหน่งด้วยมือเป็นเรื่องที่น่าเบื่อและมีโอกาสผิดพลาดสูง จึง มีการคิดค้น ลอการิทึมฐานสิบขึ้นมาเพื่อทำให้การคำนวณดังกล่าวทำได้ง่ายขึ้น เนื่องจากผลรวมของลอการิทึมเทียบเท่ากับการคูณ ไม้บรรทัดคำนวณช่วยให้สามารถคูณตัวเลขได้อย่างรวดเร็วด้วยความแม่นยำประมาณสามตำแหน่ง ตั้งแต่ต้นศตวรรษที่ 20 เครื่องคิดเลข เชิงกล เช่น เครื่อง คิด เลขมาร์แชนท์ ได้ทำให้การคูณตัวเลขที่มีมากถึง 10 หลักเป็นไปโดยอัตโนมัติคอมพิวเตอร์และเครื่องคิดเลขอิเล็กทรอนิกส์สมัยใหม่ได้ลดความจำเป็นในการคูณด้วยมือลงอย่างมาก

อัลกอริทึมทางประวัติศาสตร์

วิธีการคูณเลขได้รับการบันทึกไว้ในงานเขียนของอารยธรรมอียิปต์โบราณกรีกอินเดียและจีน

กระดูกอิชางโกซึ่งมีอายุราว 18,000 ถึง 20,000  ปีก่อนคริสตกาล อาจบ่งชี้ถึงความรู้เกี่ยวกับการเพิ่มจำนวนใน ยุค หินเก่าตอนปลายในแอฟริกาตอนกลางแต่นี่เป็นเพียงการคาดเดา^{[ 21 ]}

ชาวอียิปต์

วิธีการคูณจำนวนเต็มและเศษส่วนของชาวอียิปต์ ซึ่งมีการบันทึกไว้ในปาปิรัสคณิตศาสตร์ Rhindนั้น ใช้วิธีการบวกและการคูณสองอย่างต่อเนื่อง ตัวอย่างเช่น ในการหาผลคูณของ 13 และ 21 จะต้องคูณ 21 ด้วย 2 สามครั้ง จะได้2 × 21 = 42 , 4 × 21 = 2 × 42 = 84 , 8 × 21 = 2 × 84 = 168จากนั้นจึงสามารถหาผลคูณทั้งหมดได้โดยการบวกพจน์ที่เหมาะสมที่พบในลำดับการคูณสอง: ^{[ 22 ]}

13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273

ชาวบาบิโลน

ชาวบาบิโลนใช้ระบบเลขฐานหกสิบ แบบตำแหน่ง ซึ่งคล้ายคลึงกับ ระบบเลขฐานสิบในปัจจุบัน^{[ 23 ]}ดังนั้น การคูณของชาวบาบิโลนจึงคล้ายคลึงกับการคูณเลขฐานสิบในปัจจุบันมาก เนื่องจากความยากลำบากในการจดจำ ผลคูณที่แตกต่างกัน 60 × 60แบบ นักคณิตศาสตร์ชาวบาบิโลนจึงใช้ตารางการคูณตารางเหล่านี้ประกอบด้วยรายการของผลคูณยี่สิบตัวแรกของจำนวนหลักn ที่กำหนด ได้แก่n , 2 n , ..., 20 nตามด้วยผลคูณของ 10 nได้แก่ 30 n 40 nและ 50 n ^{[ 23} ] จากนั้นในการ ^{คำนวณ}ผลคูณฐานหกสิบใดๆ เช่น 53 nก็เพียงแค่บวก 50 nและ 3 nที่คำนวณจากตาราง

ชาวจีน

ในตำราคณิตศาสตร์Zhoubi Suanjingซึ่งมีอายุเก่าแก่กว่า 300 ปีก่อน คริสตกาล และในNine Chapters on the Mathematical Artการคำนวณการคูณถูกเขียนออกมาเป็นคำพูด แม้ว่านักคณิตศาสตร์ชาวจีนในยุคแรกจะใช้แคลคูลัสแท่งซึ่งเกี่ยวข้องกับการบวก การลบ การคูณ และการหารตามค่าประจำหลักก็ตาม ชาวจีนใช้ตารางการคูณแบบทศนิยม แล้ว ตั้งแต่ปลายยุคสงครามระหว่างรัฐ^{[ 24 ]}

วิธีการสมัยใหม่

วิธีการคูณแบบสมัยใหม่ซึ่งอิงตามระบบตัวเลขฮินดู-อารบิกนั้นได้รับการอธิบายครั้งแรกโดยพรหมคุปตะพรหมคุปตะได้ให้กฎสำหรับการบวก การลบ การคูณ และการหารเฮนรี เบอร์ชาร์ด ไฟน์ซึ่งในขณะนั้นเป็นศาสตราจารย์ด้านคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยพรินซ์ตันได้เขียนข้อความต่อไปนี้:

ชาวอินเดียเป็นผู้คิดค้นไม่เพียงแต่ระบบเลขฐานสิบแบบตำแหน่งเท่านั้น แต่ยังรวมถึงกระบวนการส่วนใหญ่ที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณเบื้องต้นด้วยระบบนี้ด้วย พวกเขาทำการบวกและลบเหมือนกับที่ทำกันในปัจจุบัน พวกเขาทำการคูณได้หลายวิธี รวมถึงวิธีของเราด้วย แต่การหารนั้นพวกเขาทำอย่างยุ่งยาก^{[ 25 ]}

อัลควาริซมีได้นำอัลกอริธึมเลขคณิตทศนิยมที่มีค่าประจำหลักเหล่านี้มาสู่ประเทศอาหรับในช่วงต้นศตวรรษที่ 9 และ ฟิโบนาชชี ได้ทำให้เป็นที่นิยมในโลกตะวันตกในศตวรรษที่ 13 ^{[ 26 ]}

วิธีการตาราง

การคูณด้วยวิธีตารางหรือวิธีแบบกล่อง ใช้ในโรงเรียนประถมศึกษาในประเทศอังกฤษและเวลส์ และในบางพื้นที่ของสหรัฐอเมริกา เพื่อช่วยสอนให้เข้าใจวิธีการคูณเลขหลายหลัก ตัวอย่างของการคูณ 34 ด้วย 13 จะต้องวางตัวเลขลงในตารางดังนี้:

×	30	4
10	300	40
3	90	12

จากนั้นจึงเพิ่มรายการเข้าไป

เราสามารถบวกหรือลบปริมาณประเภทเดียวกันได้อย่างมีความหมายเท่านั้น แต่ปริมาณประเภทต่างกันสามารถคูณหรือหารได้โดยไม่มีปัญหา ตัวอย่างเช่น ถุงสี่ใบที่มีลูกแก้วใบละสามลูกสามารถคิดได้ดังนี้: ^{[ 4 ]}

[4 ถุง] × [3 ลูกแก้วต่อถุง] = 12 ลูกแก้ว

เมื่อนำค่าการวัดสองค่ามาคูณกัน ผลลัพธ์ที่ได้จะมีชนิดข้อมูลขึ้นอยู่กับชนิดของการวัดนั้นๆ ทฤษฎีทั่วไปอธิบายได้ด้วยการวิเคราะห์มิติการวิเคราะห์นี้ถูกนำไปใช้เป็นประจำในวิชาฟิสิกส์ แต่ก็มีการประยุกต์ใช้ในด้านการเงินและสาขาประยุกต์อื่นๆ ด้วย

ตัวอย่างที่พบได้ทั่วไปในวิชาฟิสิกส์คือ การคูณความเร็วด้วยเวลาจะได้ระยะทางเช่น:

50 กิโลเมตรต่อชั่วโมง × 3 ชั่วโมง = 150 กิโลเมตร

ในกรณีนี้ หน่วยชั่วโมงจะหักล้างกัน เหลือเพียงหน่วยกิโลเมตรในผลลัพธ์

ตัวอย่างอื่นๆ ของการคูณที่เกี่ยวข้องกับหน่วย ได้แก่:

2.5 เมตร × 4.5 เมตร = 11.25 ตารางเมตร

11 เมตร/วินาที × 9 วินาที = 99 เมตร

4.5 คนต่อบ้าน × 20 หลัง = 90 คน

เมื่อมีการคูณซ้ำๆ ผลลัพธ์ที่ได้เรียกว่าการยกกำลังตัวอย่างเช่น ผลคูณของตัวประกอบสามตัวของสอง (2×2×2) คือ "สองยกกำลังสาม" และเขียนแทนด้วย 2³ ซึ่งเป็น^เลขสองที่มีเลข สาม กำกับอยู่ด้านบนในตัวอย่างนี้ เลขสองคือฐานและเลขสามคือเลขชี้กำลัง^{[ 33 ]} โดยทั่วไป เลขชี้กำลัง (หรือเลขยกกำลัง) จะบ่งบอก ว่าฐานปรากฏในนิพจน์กี่ครั้ง ดังนั้นนิพจน์จึง

${\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}=\prod _{i=1}^{n}a}$

สัญลักษณ์นี้ บ่งชี้ว่า จะนำตัวเลขจำนวน nตัวที่มีฐานเป็นaมาคูณกัน สามารถใช้สัญลักษณ์นี้ได้เมื่อทราบว่าการคูณเป็นไปตามสมบัติการสลับที่ของกำลัง (power associative )

สำหรับ การคูณจำนวน จริงและจำนวนเชิงซ้อนซึ่งรวมถึงจำนวนธรรมชาติจำนวนเต็มและเศษส่วนเป็นต้น การคูณมีคุณสมบัติบางประการดังนี้:

คุณสมบัติการสลับเปลี่ยน

ลำดับการคูณของตัวเลขสองตัวไม่สำคัญ: ^{[ 34 ] [ 35 ]}

${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x.}$

คุณสมบัติการเชื่อมโยง

นิพจน์ที่เกี่ยวข้องกับการคูณหรือการบวกเพียงอย่างเดียวจะไม่เปลี่ยนแปลงตามลำดับการดำเนินการ : ^{[ 34 ] [ 35 ]}

${\displaystyle (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z).}$

สมบัติการกระจาย

ใช้ได้กับการคูณมากกว่าการบวก เอกลักษณ์นี้มีความสำคัญอย่างยิ่งในการลดรูปนิพจน์พีชคณิต: ^{[ 34 ] [ 35 ]}

${\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z.}$

องค์ประกอบเอกลักษณ์

เอกลักษณ์การคูณคือ 1; สิ่งใดก็ตามที่คูณด้วย 1 ก็จะได้ตัวมันเอง คุณสมบัติของ 1 นี้เรียกว่าคุณสมบัติเอกลักษณ์ : ^{[ 34 ] [ 35 ]}

${\displaystyle x\cdot 1=x.}$

ทรัพย์สินของ 0

จำนวนใดๆ ที่คูณด้วย 0 จะได้ผลลัพธ์เป็น 0 นี่คือสิ่งที่เรียกว่าคุณสมบัติศูนย์ของการคูณ: ^{[ 34 ]}

${\displaystyle x\cdot 0=0.}$

การปฏิเสธ

-1 คูณกับจำนวนใดๆ จะเท่ากับค่าผกผันการบวกของจำนวนนั้น:

${\displaystyle (-1)\cdot x=(-x)}$, ที่ไหน${\displaystyle (-x)+x=0.}$

−1 คูณ −1 เท่ากับ 1:

${\displaystyle (-1)\cdot (-1)=1.}$

องค์ประกอบผกผัน

จำนวนทุกจำนวนx ยกเว้น0จะมีตัวผกผันการคูณ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$โดยที่${\displaystyle x\cdot \left({\frac {1}{x}}\right)=1}$[ ^{36 ]​}

การ รักษาระเบียบ

การคูณด้วยจำนวนบวกจะคงลำดับ ไว้ :

สำหรับa > 0ถ้าb > cแล้วab > ac​

การคูณด้วยจำนวนลบจะทำให้ลำดับกลับกัน:

สำหรับa < 0ถ้าb > cแล้วab < ac​

จำนวนเชิงซ้อนไม่มีลำดับที่เข้ากันได้กับการบวกและการคูณ^{[ 37 ]}

ระบบคณิตศาสตร์อื่นๆ ที่มีการดำเนินการคูณอาจไม่มีคุณสมบัติเหล่านี้ทั้งหมด ตัวอย่างเช่น โดยทั่วไปแล้วการคูณจะไม่เป็นไปตามคุณสมบัติการสลับที่สำหรับเมทริกซ์และควอเทอร์เนียน^{[ 34 ]}ทฤษฎีบทของฮูร์วิตซ์แสดงให้เห็นว่าสำหรับจำนวนไฮเปอร์คอมเพล็กซ์ที่มีมิติ 8 หรือมากกว่า รวมถึงอ็อกโทเนียน เซ เดเนียนและไตรจินทาดูโอเนียนการคูณโดยทั่วไปจะไม่เป็นไปตามคุณสมบัติการสลับที่^{[ 38 ]}

ในหนังสือArithmetices principia, nova methodo expositaจูเซปเป เปอาโนได้เสนอสัจพจน์สำหรับเลขคณิตโดยอิงจากสัจพจน์สำหรับจำนวนธรรมชาติของเขา เลขคณิตของเปอาโนมีสัจพจน์สองข้อสำหรับการคูณ:

${\displaystyle x\times 0=0}$

${\displaystyle x\times S(y)=(x\times y)+x}$

ในที่นี้S ( y ) แทนตัวสืบทอดของy กล่าว คือ จำนวนธรรมชาติที่ตามหลังyคุณสมบัติต่างๆ เช่น การจัดกลุ่ม สามารถพิสูจน์ได้จากสัจพจน์เหล่านี้และสัจพจน์อื่นๆ ของเลขคณิตของพีอาโน รวมถึงการอุปมานตัวอย่างเช่นS (0) ซึ่งแทนด้วย 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณเพราะ

${\displaystyle x\times 1=x\times S(0)=(x\times 0)+x=0+x=x.}$

โดยทั่วไปแล้ว สัจพจน์สำหรับจำนวนเต็มจะกำหนดให้เป็นชั้นสมมูลของคู่ลำดับของจำนวนธรรมชาติ แบบจำลองนี้อิงจากการถือว่า ( x , y ) เทียบเท่ากับx − yเมื่อxและyถูกมองว่าเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นทั้ง (0,1) และ (1,2) จึงเทียบเท่ากับ −1 สัจพจน์การคูณสำหรับจำนวนเต็มที่กำหนดในลักษณะนี้คือ

${\displaystyle (x_{p},\,x_{m})\times (y_{p},\,y_{m})=(x_{p}\times y_{p}+x_{m}\times y_{m},\;x_{p}\times y_{m}+x_{m}\times y_{p}).}$

จากนั้นจึงสามารถอนุมานกฎที่ว่า −1 × −1 = 1 ได้จาก

${\displaystyle (0,1)\times (0,1)=(0\times 0+1\times 1,\,0\times 1+1\times 0)=(1,0).}$

การคูณนั้นขยายไปสู่ จำนวนตรรกยะและจากนั้นไปสู่จำนวนจริงในลักษณะเดียวกัน

ผลคูณของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบสามารถกำหนดได้ด้วยทฤษฎีเซตโดยใช้จำนวนคาร์ดินัลหรือสัจพจน์ของ Peanoดูด้านล่างวิธีการขยายไปสู่การคูณจำนวนเต็มใดๆ และจากนั้นจำนวนตรรกยะใดๆ ผลคูณของจำนวนจริงถูกกำหนดในแง่ของผลคูณของจำนวนตรรกยะ ดูการสร้างจำนวนจริง^{[ 39 ]}

มีเซตจำนวนมากที่เมื่อทำการคูณแล้วจะสอดคล้องกับสัจพจน์ที่กำหนด โครงสร้าง ของกลุ่มสัจพจน์เหล่านี้ได้แก่ การปิด การเชื่อมโยง และการรวมสมาชิกเอกลักษณ์และตัวผกผัน

ตัวอย่างง่ายๆ คือ เซตของจำนวนตรรกยะ ที่ไม่เป็นศูนย์ ในที่นี้ สมาชิกเอกลักษณ์คือ 1 ซึ่งแตกต่างจากกลุ่มภายใต้การบวกที่สมาชิกเอกลักษณ์มักจะเป็น 0 โปรดสังเกตว่า ในกรณีของจำนวนตรรกยะ จะต้องไม่รวมศูนย์ เพราะภายใต้การคูณ ศูนย์ไม่มีตัวผกผัน กล่าวคือ ไม่มีจำนวนตรรกยะใดที่คูณกับศูนย์แล้วได้ผลลัพธ์เป็น 1 ในตัวอย่างนี้ ผลลัพธ์ที่ได้คือกลุ่มอาเบเลียนแต่ก็ไม่ใช่เช่นนั้นเสมอไป

เพื่อให้เห็นภาพนี้ ลองพิจารณาเซตของเมทริกซ์จัตุรัสที่ผกผันได้ซึ่งมีมิติที่กำหนดบนฟิลด์ ที่กำหนด ในที่นี้ การตรวจสอบคุณสมบัติการปิด การเชื่อมโยง และการรวมของเมทริกซ์เอกลักษณ์ ( เมทริกซ์เอกลักษณ์ ) และเมทริกซ์ผกผันนั้นทำได้ง่าย อย่างไรก็ตาม การคูณเมทริกซ์ไม่เป็นไปตามคุณสมบัติการสลับที่ ซึ่งแสดงให้เห็นว่ากลุ่มนี้ไม่ใช่กลุ่มอาเบเลียน

อีกข้อเท็จจริงหนึ่งที่น่าสนใจคือ จำนวนเต็มที่นำมาคูณกันนั้นไม่สามารถรวมกันเป็นกลุ่มได้ แม้ว่าจะไม่รวมศูนย์ก็ตาม สามารถเห็นได้ง่ายจากการที่ไม่มีตัวผกผันสำหรับจำนวนอื่นๆ นอกเหนือจาก 1 และ -1

การคูณในทฤษฎีกลุ่มโดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์จุดหรือการวางสัญลักษณ์คั่นระหว่างสมาชิก (การละเว้นสัญลักษณ์การดำเนินการระหว่างสมาชิก) ดังนั้น การคูณสมาชิกaด้วยสมาชิกbสามารถเขียนแทนได้ด้วยa${\displaystyle \cdot }$bหรือabเมื่ออ้างถึงกลุ่มโดยระบุเซตและการดำเนินการ จะใช้จุด เช่น ตัวอย่างแรกของเราสามารถระบุได้ดังนี้${\displaystyle \left(\mathbb {Q} /\{0\},\,\cdot \right)}$[ ^{40 ]​}

ตัวเลขสามารถใช้ในการนับ (เช่น แอปเปิ้ล 3  ลูก), จัดลำดับ (เช่น แอปเปิ้ลลูกที่ 3) หรือวัด (เช่น สูง 3.5  ฟุต) และเมื่อประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์ก้าวหน้าไปจากการนับด้วยนิ้วมือไปจนถึงการสร้างแบบจำลองกลศาสตร์ควอนตัม การคูณก็ได้รับการขยายไปสู่ตัวเลขประเภทที่ซับซ้อนและนามธรรมมากขึ้น รวมถึงสิ่งที่ไม่ใช่ตัวเลข (เช่นเมทริกซ์ ) หรือสิ่งที่ดูไม่เหมือนตัวเลขมากนัก (เช่นควอเทอร์เนียน )

จำนวนเต็ม

${\displaystyle N\times M}$คือผลรวม ของ M จำนวน Nชุดเมื่อNและMเป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งจะให้จำนวนสิ่งของในอาร์เรย์ ที่มีความกว้าง Nและ ความสูง Mสามารถขยายไปสู่จำนวนลบได้โดย

${\displaystyle N\times (-M)=(-N)\times M=-(N\times M)}$และ

${\displaystyle (-N)\times (-M)=N\times M}$

กฎเกี่ยวกับเครื่องหมายเดียวกันนี้ใช้ได้กับจำนวนตรรกยะและจำนวนจริง

จำนวนตรรกยะ

การสรุปทั่วไปเกี่ยวกับเศษส่วน${\displaystyle {\frac {A}{B}}\times {\frac {C}{D}}}$โดยการคูณตัวเศษและตัวส่วนตามลำดับ:${\displaystyle {\frac {A}{B}}\times {\frac {C}{D}}={\frac {(A\times C)}{(B\times D)}}}$นี่คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า${\displaystyle {\frac {A}{B}}}$สูงและ${\displaystyle {\frac {C}{D}}}$กว้าง และเท่ากับจำนวนสิ่งของในอาร์เรย์เมื่อจำนวนตรรกยะเป็นจำนวนเต็ม^{[ 34 ]}

ตัวเลขจริง

จำนวนจริงและผลคูณของจำนวนจริงสามารถนิยามได้ในรูปของลำดับของจำนวนตรรกยะ

จำนวนเชิงซ้อน

เมื่อพิจารณาจำนวนเชิงซ้อน${\displaystyle z_{1}}$และ${\displaystyle z_{2}}$ในฐานะคู่ลำดับของจำนวนจริง${\displaystyle (a_{1},b_{1})}$และ${\displaystyle (a_{2},b_{2})}$ผลิตภัณฑ์${\displaystyle z_{1}\times z_{2}}$เป็น${\displaystyle (a_{1}\times a_{2}-b_{1}\times b_{2},a_{1}\times b_{2}+a_{2}\times b_{1})}$นี่ก็เหมือนกับของจริงนั่นแหละ${\displaystyle a_{1}\times a_{2}}$เมื่อส่วนที่เป็นจินตนาการ${\displaystyle b_{1}}$และ${\displaystyle b_{2}}$เป็นศูนย์

ในทำนองเดียวกัน หมายถึง${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$เช่น${\displaystyle i}$,${\displaystyle z_{1}\times z_{2}=(a_{1}+b_{1}i)(a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}\times a_{2})+(a_{1}\times b_{2}i)+(b_{1}\times a_{2}i)+(b_{1}\times b_{2}i^{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})i.}$^{[ 34 ]}

หรืออีกวิธีหนึ่ง ในรูปแบบตรีโกณมิติ ถ้า${\displaystyle z_{1}=r_{1}(\cos \phi _{1}+i\sin \phi _{1}),z_{2}=r_{2}(\cos \phi _{2}+i\sin \phi _{2})}$, แล้ว${\textstyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\phi _{1}+\phi _{2})+i\sin(\phi _{1}+\phi _{2})).}$^{[ 34 ]}

ข้อสรุปทั่วไปเพิ่มเติม

ดูหัวข้อ การคูณในทฤษฎีกลุ่มด้านบน และกลุ่มการคูณซึ่งรวมถึงการคูณเมทริกซ์ด้วย แนวคิดทั่วไปและนามธรรมของการคูณคือ การดำเนินการทวิภาค (ลำดับที่สอง) ที่ "แสดงด้วยการคูณ" ในริงตัวอย่างของริงที่ไม่ใช่ระบบจำนวนใดๆ ข้างต้นคือริงพหุนาม (พหุนามสามารถบวกและคูณได้ แต่พหุนามไม่ใช่จำนวนในความหมายปกติ)

แผนก

การแบ่งแยกมักเกิดขึ้นบ่อยครั้ง${\displaystyle {\frac {x}{y}}}$ซึ่งก็เหมือนกับการคูณด้วยตัวผกผัน${\displaystyle x\left({\frac {1}{y}}\right)}$การคูณสำหรับ "จำนวน" บางประเภทอาจมีการหารที่สอดคล้องกัน โดยไม่มีตัวผกผัน ในโดเมนจำนวนเต็มxอาจไม่มีตัวผกผัน${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$" แต่${\displaystyle {\frac {x}{y}}}$อาจกำหนดได้ ในวงแหวนหารจะมีตัวผกผัน แต่${\displaystyle {\frac {x}{y}}}$อาจมีความกำกวมในวงแหวนที่ไม่สลับที่ได้ เนื่องจาก${\displaystyle x\left({\frac {1}{y}}\right)}$ไม่จำเป็นต้องเหมือนกันกับ${\displaystyle \left({\frac {1}{y}}\right)x}$[ ^{41 ]​}

• บอยเออร์, คาร์ล บี. (แก้ไขโดยเมอร์ซบัค, อูตา ซี. ) (1991). ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ . สำนักพิมพ์จอห์น ไวลีย์ แอนด์ ซันส์ อิงค์. ISBN 978-0-471-54397-8.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list ( link )

• การคูณและการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในระบบจำนวนต่างๆที่cut-the-knot
• เทคนิคการคูณแบบจีนสมัยใหม่บนลูกคิด