ในทางคณิตศาสตร์พิกัดเชิงตั้งฉากถูกนิยามว่าเป็นเซตของพิกัดd พิกัด ซึ่งระนาบพิกัดทั้งหมดตัดกันเป็นมุมฉาก (โปรดทราบว่าตัวยกคือดัชนีไม่ใช่เลขชี้กำลัง ) ระนาบพิกัดสำหรับพิกัดq ^k เฉพาะเจาะจง คือเส้นโค้งพื้นผิวหรือระนาบพิกัดที่q ^k เป็นค่าคงที่ ตัวอย่างเช่น พิกัดคาร์ทีเซียนสามมิติ( x , y , z )เป็นระบบพิกัดเชิงตั้งฉาก เนื่องจากระนาบพิกัดx =ค่าคงที่, y =ค่าคงที่ และz = ค่าคงที่ เป็นระนาบที่ตัดกันเป็นมุมฉาก กล่าวคือ ตั้งฉากกัน พิกัดเชิงตั้งฉากเป็นกรณีพิเศษแต่พบได้ บ่อย มากของพิกัดโค้ง${\displaystyle \mathbf {q} =(q^{1},q^{2},\dots ,q^{d})}$

แม้ว่าโดยปกติแล้วการหาอนุพันธ์ของการดำเนินการเวกเตอร์และกฎทางฟิสิกส์จะทำได้ง่ายที่สุดในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน (ที่มีแกนตั้งฉากและเป็นเส้นตรง) แต่บ่อยครั้งที่ระบบพิกัดตั้งฉากแบบโค้งถูกนำมาใช้แทนในการแก้ปัญหาต่างๆ โดยเฉพาะปัญหาค่าขอบเขตเช่น ปัญหาที่เกิดขึ้นในทฤษฎีสนามของกลศาสตร์ควอนตัมการ ไหล ของของเหลวไฟฟ้าพลศาสตร์ฟิสิกส์พลาสมาและการแพร่กระจายของสารเคมีหรือความร้อน

ข้อได้เปรียบหลักของพิกัดที่ไม่ใช่พิกัดคาร์ทีเซียนคือ สามารถเลือกพิกัดให้ตรงกับความสมมาตรของปัญหาได้ ตัวอย่างเช่น คลื่นความดันที่เกิดจากการระเบิดที่อยู่ไกลจากพื้นดิน (หรือสิ่งกีดขวางอื่นๆ) จะขึ้นอยู่กับพื้นที่ 3 มิติในพิกัดคาร์ทีเซียน แต่ความดันส่วนใหญ่จะเคลื่อนที่ออกไปจากจุดศูนย์กลาง ดังนั้นในพิกัดทรงกลมปัญหาจึงเกือบจะเป็นมิติเดียว (เนื่องจากคลื่นความดันส่วนใหญ่ขึ้นอยู่กับเวลาและระยะห่างจากจุดศูนย์กลางเท่านั้น) อีกตัวอย่างหนึ่งคือของไหล (ที่ไหลช้า) ในท่อกลมตรง: ในพิกัดคาร์ทีเซียน เราต้องแก้ปัญหาค่าขอบเขตสองมิติ (ที่ยาก) ซึ่งเกี่ยวข้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย แต่ในพิกัดทรงกระบอกปัญหาจะกลายเป็นมิติเดียวโดยใช้ สมการ เชิง อนุพันธ์สามัญแทนที่จะเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย

เหตุผลที่เลือกใช้พิกัดเชิงตั้งฉากแทนพิกัดโค้ง ทั่วไป คือความเรียบง่าย: ความซับซ้อนหลายอย่างเกิดขึ้นเมื่อพิกัดไม่ใช่เชิงตั้งฉาก ตัวอย่างเช่น ในพิกัดเชิงตั้งฉาก ปัญหาหลายอย่างสามารถแก้ไขได้โดยการแยกตัวแปร การแยกตัวแปรเป็นเทคนิคทางคณิตศาสตร์ที่แปลงปัญหาเชิงซ้อนdมิติให้เป็น ปัญหาหนึ่งมิติ dที่สามารถแก้ได้ในรูปของฟังก์ชันที่ทราบ สมการหลายสมการสามารถลดรูปเป็นสมการของลาปลาสหรือสมการของเฮล์มโฮลทซ์ได้สมการของลาปลาสสามารถแยกตัวแปรได้ในระบบพิกัดเชิงตั้งฉาก 13 ระบบ (14 ระบบที่ระบุไว้ในตารางด้านล่างยกเว้น ระบบ ทอรอยดัล ) และสมการของเฮล์มโฮลทซ์สามารถแยกตัวแปรได้ในระบบพิกัดเชิงตั้งฉาก 11 ระบบ^{[ 1 ] [ 2 ]}

พิกัดเชิงตั้งฉากจะไม่มีพจน์นอกแนวทแยงในเทนเซอร์เมตริก ของมัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ระยะทางกำลังสองที่เล็กมากds² สามารถเขียนได้เสมอใน ^รูปผลรวมที่ปรับขนาดแล้วของการกระจัดพิกัดที่เล็กมากกำลังสอง:

${\displaystyle ds^{2}=\sum _{k=1}^{d}\left(h_{k}\,dq^{k}\right)^{2}}$

โดยที่dคือมิติ และ คือฟังก์ชันการปรับขนาด (หรือตัวประกอบการปรับขนาด):

${\displaystyle h_{k}(\mathbf {q} )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {g_{kk}(\mathbf {q} )}}=|\mathbf {e} _{k}|}$

เท่ากับรากที่สองของส่วนประกอบแนวทแยงของเทนเซอร์เมตริก หรือความยาวของเวกเตอร์ฐานเฉพาะที่อธิบายไว้ด้านล่าง ฟังก์ชันการปรับขนาดh _i เหล่านี้ ใช้ในการคำนวณตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ในพิกัดใหม่ เช่น เกรเดี ยนต์ ลาปลาเซียนไดเวอร์เจนซ์และเคิร์ล ${\displaystyle \mathbf {e} _{k}}$

วิธีง่ายๆ ในการสร้างระบบพิกัดเชิงตั้งฉากในสองมิติ คือ การใช้การแปลงแบบคอนฟอร์มอล (conformal mapping ) กับกริด พิกัดคาร์ทีเซียน สองมิติมาตรฐาน(x, y) เราสามารถสร้างจำนวนเชิงซ้อนz = x + iyจากพิกัดจริงx และ y โดยที่i แทนหน่วยจินตนาการฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกใดๆw = f ( z ) ที่มีอนุพันธ์เชิงซ้อนไม่เป็นศูนย์ จะสร้างการแปลงแบบคอนฟอร์มอลได้ถ้าเขียนจำนวนเชิงซ้อนที่ได้เป็นw = u + ivเส้นโค้งที่มีค่าคงที่uและvจะตัดกันเป็นมุมฉาก เช่นเดียวกับเส้นตรงเดิมที่มีค่าคงที่ xและy

พิกัดเชิงตั้งฉากในสามมิติและมิติที่สูงกว่านั้น สามารถสร้างขึ้นได้จากระบบพิกัดเชิงตั้งฉากสองมิติ โดยการฉายภาพไปยังมิติใหม่ ( พิกัดทรงกระบอก ) หรือโดยการหมุนระบบสองมิติรอบแกนสมมาตรแกนใดแกนหนึ่ง อย่างไรก็ตาม ยังมีระบบพิกัดเชิงตั้งฉากอื่นๆ ในสามมิติที่ไม่สามารถได้มาจากการฉายภาพหรือการหมุนระบบสองมิติ เช่นพิกัดทรงรีพิกัดเชิงตั้งฉากทั่วไปอื่นๆ อาจได้มาโดยเริ่มต้นจากพื้นผิวพิกัดที่จำเป็นบางส่วนและพิจารณาเส้นทางเชิงตั้งฉากของพื้นผิวเหล่า นั้น

ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนเวกเตอร์ฐานจะคงที่ (ไม่เปลี่ยนแปลง) ในระบบพิกัดโค้ง ซึ่งเป็นระบบทั่วไปมากกว่านั้น จุดในอวกาศจะถูกกำหนดโดยพิกัด และ ณ ทุกจุดดังกล่าวจะมีชุดของเวกเตอร์ฐานที่ถูกจำกัด ซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะไม่คงที่ นี่คือสาระสำคัญของระบบพิกัดโค้งโดยทั่วไปและเป็นแนวคิดที่สำคัญมาก สิ่งที่ทำให้ระบบพิกัดตั้งฉากแตกต่างออกไปคือ แม้ว่าเวกเตอร์ฐานจะเปลี่ยนแปลงไป แต่ก็ตั้งฉากกันเสมอ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=0\quad {\text{if}}\quad i\neq j}$

เวกเตอร์พื้นฐานเหล่านี้ ตามนิยามแล้วคือเวกเตอร์สัมผัสของเส้นโค้งที่ได้จากการเปลี่ยนแปลงพิกัดหนึ่งตัว โดยคงพิกัดอื่นๆ ไว้คงที่:

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\บางส่วน q^{i}}}}$

โดยที่rคือจุดใดจุดหนึ่ง และq ⁱคือพิกัดที่ใช้หาเวกเตอร์ฐาน กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เส้นโค้งได้มาจากการกำหนดค่าพิกัดทั้งหมดให้คงที่ ยกเว้นพิกัดเดียว พิกัดที่ไม่คงที่นั้นจะเปลี่ยนแปลงไป เช่นเดียวกับเส้นโค้งพาราเมตริกและอนุพันธ์ของเส้นโค้งเทียบกับพาราเมตริก (พิกัดที่เปลี่ยนแปลง) จะเป็นเวกเตอร์ฐานสำหรับพิกัดนั้น

โปรดทราบว่าเวกเตอร์ไม่จำเป็นต้องมีความยาวเท่ากัน ฟังก์ชันที่มีประโยชน์ที่เรียกว่าตัวประกอบมาตราส่วนของพิกัดนั้นก็คือความยาวของเวกเตอร์พื้นฐาน(ดูตารางด้านล่าง) บางครั้งตัวประกอบมาตราส่วนนี้เรียกว่าสัมประสิทธิ์ลาเม (Lamé coefficients ) ซึ่งไม่ควรสับสนกับพารามิเตอร์ลาเม (Lamé parameters) (กลศาสตร์ของแข็ง ) ${\displaystyle h_{i}}$${\displaystyle {\mathbf {e} __{i}}$

เวก เตอร์ฐาน มาตรฐานจะถูกระบุด้วยเครื่องหมายหมวก และได้มาจากการหารด้วยความยาว:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }__{i}={\frac {{\mathbf {e} __{i}}{h_{i}}}={\frac {{\mathbf {e} __{i}}{\left|{\mathbf {e} __{i}\right|}}}$

สนามเวกเตอร์อาจระบุได้ด้วยส่วนประกอบของมันโดยสัมพันธ์กับเวกเตอร์ฐานหรือเวกเตอร์ฐานมาตรฐาน และต้องแน่ใจว่าหมายถึงกรณีใด ส่วนประกอบในฐานมาตรฐานนั้นพบได้บ่อยที่สุดในการใช้งานเพื่อความชัดเจนของปริมาณ (ตัวอย่างเช่น อาจต้องการจัดการกับความเร็วสัมผัสแทนที่จะเป็นความเร็วสัมผัสคูณด้วยตัวประกอบมาตราส่วน) ในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ ฐานมาตรฐานนั้นพบได้น้อยกว่าเนื่องจากมีความซับซ้อนกว่า

เวกเตอร์ฐานที่แสดงด้านบนเป็น เวกเตอร์ฐาน แบบโคแวเรียนต์ (เพราะมัน "แปรผันร่วม" กับเวกเตอร์) ในกรณีของพิกัดเชิงตั้งฉาก เวกเตอร์ฐานแบบคอนทราแวเรียนต์นั้นหาได้ง่าย เพราะมันจะมีทิศทางเดียวกับเวกเตอร์แบบโคแวเรียนต์ แต่มีความยาวเป็นส่วนกลับ (ด้วยเหตุนี้ จึงกล่าวได้ว่าเวกเตอร์ฐานทั้งสองชุดเป็นส่วนกลับซึ่งกันและกัน)

${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}={\frac {{\hat {\mathbf {e} }__{i}}{h_{i}}}={\frac {\mathbf {e} _{i}}{h_{i}^{2}}}}$

สิ่งนี้เป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่า ตามคำนิยามแล้ว โดยใช้เดลต้าโครเนกเกอร์โปรดทราบว่า: ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=\delta _{i}^{j}}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }__{i}={\frac {\mathbf {e} _{i}}{h_{i}}}=h_{i}\mathbf {e} ^{i}\equiv {\hat {\mathbf {e} }}^{i}}$

ขณะนี้เรากำลังพิจารณาชุดฐานสามชุดที่แตกต่างกัน ซึ่งมักใช้ในการอธิบายเวกเตอร์ในพิกัดเชิงตั้งฉาก ได้แก่ ฐานโคแวเรียนต์e _iฐานคอนทราแวเรียนต์e ⁱและฐานนอร์มาไลซ์ê ⁱแม้ว่าเวกเตอร์จะเป็นปริมาณเชิงวัตถุวิสัยซึ่งหมายความว่าเอกลักษณ์ของมันไม่ขึ้นอยู่กับระบบพิกัดใดๆ แต่ส่วนประกอบของเวกเตอร์จะขึ้นอยู่กับว่าเวกเตอร์นั้นถูกแทนด้วยฐานใด

เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสน ส่วนประกอบของเวกเตอร์xเมื่อเทียบกับ ฐาน e _iจะถูกแทนด้วยx ⁱในขณะที่ส่วนประกอบเมื่อเทียบกับ ฐาน e ⁱจะถูกแทนด้วยx _i :

${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i}x^{i}\mathbf {e} _{i}=\sum _{i}x_{i}\mathbf {e} ^{i}}$

ตำแหน่งของดัชนีแสดงถึงวิธีการคำนวณส่วนประกอบ (ดัชนีด้านบนไม่ควรสับสนกับการยกกำลัง ) โปรดทราบว่า สัญลักษณ์ การรวม Σ ( ซิกมา ตัวใหญ่ ) และช่วงการรวม ซึ่งระบุการรวมเหนือเวกเตอร์ฐานทั้งหมด ( i = 1, 2, ..., d ) มักจะถูกละเว้นส่วนประกอบต่างๆ มีความสัมพันธ์กันอย่างง่ายๆ ดังนี้:

${\displaystyle h_{i}^{2}x^{i}=x_{i}}$

ไม่มีสัญลักษณ์ที่ใช้กันอย่างแพร่หลายเพื่อแยกแยะส่วนประกอบของเวกเตอร์โดยสัมพันธ์กับฐานมาตรฐาน ในบทความนี้ เราจะใช้ตัวห้อยสำหรับส่วนประกอบของเวกเตอร์ และจะระบุว่าส่วนประกอบเหล่านี้คำนวณในฐานมาตรฐาน

การบวกและการลบเวกเตอร์ทำได้โดยการคำนวณทีละส่วนประกอบเช่นเดียวกับในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนโดยไม่มีความซับซ้อนใดๆ อาจต้องพิจารณาเพิ่มเติมสำหรับการดำเนินการเวกเตอร์อื่นๆ

อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่าการดำเนินการทั้งหมดนี้ตั้งอยู่บนสมมติฐานว่าเวกเตอร์สองตัวในฟิลด์เวกเตอร์นั้นผูกติดอยู่กับจุดเดียวกัน (กล่าวคือ ปลายของเวกเตอร์ทั้งสองตรงกัน) เนื่องจากเวกเตอร์ฐานโดยทั่วไปจะแปรผันในพิกัดเชิงตั้งฉาก ดังนั้นหากนำเวกเตอร์สองตัวที่มีส่วนประกอบคำนวณที่จุดต่างกันในอวกาศมาบวกกัน จะต้องพิจารณาเวกเตอร์ฐานที่แตกต่างกันด้วย

ผลคูณดอทในพิกัดคาร์ทีเซียน ( ปริภูมิยูคลิดที่มี ชุดฐานตั้ง ฉากปกติ ) คือผลรวมของผลคูณของส่วนประกอบต่างๆ ในพิกัดตั้งฉาก ผลคูณดอทของเวกเตอร์สองตัวxและyจะมีรูปแบบที่คุ้นเคยนี้ เมื่อคำนวณส่วนประกอบของเวกเตอร์ในฐานปกติ:

${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i}x_{i}{\hat {\mathbf {e} }__{i}\cdot \sum _{j}y_{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}=\sum _{i}x_{i}y_{i}}$

นี่เป็นผลสืบเนื่องโดยตรงจากข้อเท็จจริงที่ว่าฐานมาตรฐาน ณ จุดใดจุดหนึ่งสามารถสร้างระบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้: ชุดฐานเป็นออร์โทนอร์มอล

สำหรับส่วนประกอบในฐานโคแวเรียนต์หรือคอนทราแวเรียนต์

${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i}h_{i}^{2}x^{i}y^{i}=\sum _{i}{\frac {x_{i}y_{i}}{h_{i}^{2}}}=\sum _{i}x^{i}y_{i}=\sum _{i}x_{i}y^{i}}$

สามารถหาได้ง่ายๆ โดยการเขียนเวกเตอร์ออกมาในรูปส่วนประกอบ ปรับขนาดเวกเตอร์ฐานให้เป็นเวกเตอร์หน่วย และหาผลคูณดอท ตัวอย่างเช่น ใน 2 มิติ:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} &=\left(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}\right)\cdot \left(y_{1}\mathbf {e} ^{1}+y_{2}\mathbf {e} ^{2}\right)\\[10pt]&=\left(x^{1}h_{1}{\hat {\mathbf {e} }__{1}+x^{2}h_{2}{\hat {\mathbf {e} }__{2}\right)\cdot \left(y_{1}{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}^{1}}{h_{1}}}+y_{2}{\frac {{\หมวก {\mathbf {e} }}^{2}}{h_{2}}}\right)=x^{1}y_{1}+x^{2}y_{2}\end{aligned}}}$

โดยใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่าฐานโคแวเรียนต์และคอนทราแวเรียนต์ที่ได้รับการทำให้เป็นมาตรฐานนั้นเท่ากัน

ผลคูณเวกเตอร์ในพิกัดคาร์ทีเซียน 3 มิติ คือ:

${\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}){\hat {\mathbf {e} }__{1}+(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}){\hat {\mathbf {e} }__{2}+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}){\hat {\mathbf {e} }__{3}}$

สูตรข้างต้นยังคงใช้ได้ในระบบพิกัดเชิงตั้งฉาก หากคำนวณส่วนประกอบต่างๆ ในฐานมาตรฐาน

ในการสร้างผลคูณเชิงเวกเตอร์ในพิกัดเชิงตั้งฉากโดยใช้ฐานแบบโคแวเรียนต์หรือคอนทราแวเรียนต์ เราเพียงแค่ต้องทำให้เวกเตอร์ฐานเป็นเวกเตอร์หน่วย ตัวอย่างเช่น:

${\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =\sum _{i}x^{i}\mathbf {e} _{i}\times \sum _{j}y^{j}\mathbf {e} _{j}=\sum _{i}x^{i}h_{i}{\hat {\mathbf {e} }__{i}\times \sum _{j}y^{j}h_{j}{\hat {\mathbf {e} }__{j}}$

ซึ่งเมื่อเขียนขยายความออกมาแล้ว

${\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =\left(x^{2}y^{3}-x^{3}y^{2}\right){\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}\mathbf {e} _{1}+\left(x^{3}y^{1}-x^{1}y^{3}\right){\frac {h_{1}h_{3}}{h_{2}}}\mathbf {e} _{2}+\left(x^{1}y^{2}-x^{2}y^{1}\right){\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}\mathbf {e} _{3}}$

การใช้สัญลักษณ์ที่กระชับสำหรับผลคูณไขว้ ซึ่งช่วยให้การวางนัยทั่วไปไปยังพิกัดที่ไม่ตั้งฉากและมิติที่สูงขึ้นทำได้ง่ายขึ้น สามารถทำได้ด้วยเทนเซอร์ Levi-Civitaซึ่งจะมีส่วนประกอบอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์และหนึ่ง หากตัวประกอบมาตราส่วนทั้งหมดไม่เท่ากับหนึ่ง

เมื่อพิจารณาการกระจัดที่เล็กน้อยมากจากจุดใดจุดหนึ่ง จะเห็นได้ชัดว่า

${\displaystyle d\mathbf {r} =\sum _{i}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,dq^{i}=\sum _{i}\mathbf {e} _{i}\,dq^{i}}$

ตามนิยามแล้วเกรเดียนต์ของฟังก์ชันต้องเป็นไปตามเงื่อนไข (นิยามนี้ยังคงเป็นจริงไม่ว่าƒจะเป็นเทนเซอร์ ใดก็ตาม )

${\displaystyle df=\nabla f\cdot d\mathbf {r} \quad \Rightarrow \quad df=\nabla f\cdot \sum _{i}\mathbf {e} _{i}\,dq^{i}}$

ดังนั้นตัวดำเนินการ delจึงต้องเป็น:

${\displaystyle \nabla =\sum _{i}\mathbf {e} ^{i}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}$

และสิ่งนี้ก็ยังคงเป็นจริงในระบบพิกัดโค้งทั่วไป ปริมาณต่างๆ เช่นเกรเดียนต์และลาปลาเซียนจะคำนวณได้จากการประยุกต์ใช้ตัวดำเนินการนี้อย่างถูกต้อง

จาก d rและเวกเตอร์ฐานปกติê _iสามารถสร้างสิ่งต่อไปนี้ได้^{[ 3 ] [ 4 ]}

ที่ไหน

${\displaystyle J=\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{1}}}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{2}}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{3}}}\right)\right|=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (q^{1},q^{2},q^{3})}}\right|=h_{1}h_{2}h_{3}}$

คือดีเทอร์มิแนนต์ของจาโคเบียนซึ่งมีการตีความทางเรขาคณิตของการเปลี่ยนแปลงปริมาตรจากลูกบาศก์ขนาดเล็กมาก d x d y d zไปสู่ปริมาตรโค้งขนาดเล็กมากในพิกัดเชิงตั้งฉาก

เมื่อใช้ส่วนประกอบเส้นที่แสดงด้านบนปริมาณอินทิกรัลตามเส้นทางของเวกเตอร์Fคือ: ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {P}}}$

${\displaystyle \int _{\mathcal {P}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{\mathcal {P}}\sum _{i}F_{i}\mathbf {e} ^{i}\cdot \sum _{j}\mathbf {e} _{j}\,dq^{j}=\sum _{i}\int _{\mathcal {P}}F_{i}\,dq^{i}}$

พื้นที่ผิวขนาดเล็กมากที่อธิบายโดยการคงพิกัดq _k หนึ่ง ตัวให้คงที่ คือ:

${\displaystyle dA_{k}=\prod _{i\neq k}ds_{i}=\prod _{i\neq k}h_{i}\,dq^{i}}$

ในทำนองเดียวกัน องค์ประกอบปริมาตรคือ:

${\displaystyle dV=\prod _{i}ds_{i}=\prod _{i}h_{i}\,dq^{i}}$

โดยที่สัญลักษณ์ขนาดใหญ่ Π ( พาย ตัวใหญ่ ) แสดงถึงผลคูณในทำนองเดียวกับที่สัญลักษณ์ขนาดใหญ่ Σ แสดงถึงผลรวม โปรดทราบว่า ผลคูณของตัวประกอบมาตราส่วนทั้งหมดคือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จาโคเบียน

ตัวอย่างเช่น อิน ทิกรัลพื้นผิวของฟังก์ชันเวกเตอร์Fบนพื้นผิวคงที่^ใน 3 มิติคือ: ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle \int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {A} =\int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\ dA=\int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{1}\ dA=\int _{\mathcal {S}}F^{1}{\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}\,dq^{2}\,dq^{3}}$

โปรดทราบว่าF ¹ / h ₁คือส่วนประกอบของFที่ตั้งฉากกับพื้นผิว

เนื่องจากการดำเนินการเหล่านี้เป็นเรื่องปกติในการใช้งาน ดังนั้นส่วนประกอบเวกเตอร์ทั้งหมดในส่วนนี้จึงแสดงโดยอ้างอิงจากฐานมาตรฐาน: . ${\displaystyle {\hat {F}}_{i}=\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}$

ผู้ปฏิบัติงาน	การแสดงออก
เกรเดียนต์ของฟิลด์สเกลาร์	${\displaystyle \nabla \phi ={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{1}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{1}}}+{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{2}}{h_{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{2}}}+{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{3}}{h_{3}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{3}}}}$
การล divergenceของสนามเวกเตอร์	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left({\hat {F}}_{1}h_{2}h_{3}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left({\hat {F}}_{2}h_{3}h_{1}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left({\hat {F}}_{3}h_{1}h_{2}\right)\right]}$
เคิร์ลของสนามเวกเตอร์	${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {F} &={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left(h_{3}{\hat {F}}_{3}\right)-{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left(h_{2}{\hat {F}}_{2}\right)\right]+{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{2}}{h_{3}h_{1}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left(h_{1}{\hat {F}}_{1}\right)-{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left(h_{3}{\hat {F}}_{3}\right)\right]\\[10pt]&+{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{3}}{h_{1}h_{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left(h_{2}{\hat {F}}_{2}\right)-{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left(h_{1}{\hat {F}}_{1}\right)\right]={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}{\begin{vmatrix}h_{1}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}&h_{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{2}&h_{3}{\hat {\mathbf {e} }}_{3}\\{\dfrac {\partial }{\partial q^{1}}}&{\dfrac {\partial }{\partial q^{2}}}&{\dfrac {\partial }{\partial q^{3}}}\\h_{1}{\hat {F}}_{1}&h_{2}{\hat {F}}_{2}&h_{3}{\hat {F}}_{3}\end{vmatrix}}\end{aligned}}}$
ลาปลาเซียนของฟิลด์สเกลาร์	${\displaystyle \nabla ^{2}\phi ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left({\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left({\frac {h_{3}h_{1}}{h_{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left({\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{3}}}\right)\right]}$

สามารถเขียนนิพจน์ข้างต้นในรูปแบบที่กระชับยิ่งขึ้นได้โดยใช้สัญลักษณ์ Levi-Civita และดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ Jacobian โดยสมมติว่าเป็นการรวมผลเหนือดัชนีที่ซ้ำกัน: ${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$${\displaystyle J=h_{1}h_{2}h_{3}}$

ผู้ปฏิบัติงาน	การแสดงออก
เกรเดียนต์ของฟิลด์สเกลาร์	${\displaystyle \nabla \phi ={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{k}}{h_{k}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{k}}}}$
การล divergenceของสนามเวกเตอร์	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{J}}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\left({\frac {J}{h_{k}}}{\hat {F}}_{k}\right)}$
เคิร์ลของสนามเวกเตอร์ (เฉพาะ 3 มิติ)	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} ={\frac {h_{k}{\hat {\mathbf {e} }}_{k}}{J}}\epsilon _{ijk}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left(h_{j}{\hat {F}}_{j}\right)}$
ลาปลาเซียนของฟิลด์สเกลาร์	${\displaystyle \nabla ^{2}\phi ={\frac {1}{J}}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\left({\frac {J}{h_{k}^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{k}}}\right)}$

นอกจากนี้ โปรดสังเกตว่าเกรเดียนต์ของฟิลด์สเกลาร์สามารถแสดงได้ในรูปของเมทริกซ์จาโคเบียนJซึ่งประกอบด้วยอนุพันธ์ย่อยเชิงแคนอนิก:

${\displaystyle \mathbf {J} =\left[{\frac {\partial \phi }{\partial q^{1}}},{\frac {\partial \phi }{\partial q^{2}}},{\frac {\partial \phi }{\partial q^{3}}}\right]}$

เมื่อมีการเปลี่ยนแปลงหลักเกณฑ์ :

${\displaystyle \nabla \phi =\mathbf {S} \mathbf {R} \mathbf {J} ^{T}}$

โดยที่เมทริกซ์การหมุนและการปรับขนาดมีดังนี้:

${\displaystyle \mathbf {R} =[\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}]}$

${\displaystyle \mathbf {S} =\mathrm {diag} ([h_{1}^{-1},h_{2}^{-1},h_{3}^{-1}]).}$

ระบบ	การแปลงเชิงซ้อน ${\displaystyle x+iy=f(u+iv)}$	รูปร่างและเส้นไอโซไลน์ ${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$	ความคิดเห็น
คาร์ทีเซียน	${\displaystyle u+iv}$	เส้น เส้น
ลอจโพลาร์	${\displaystyle \exp(u+iv)}$	วงกลม เส้นตรง	กลายเป็นขั้วโลก${\displaystyle u=\ln r}$
พาราโบลา	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(u+iv)^{2}}$	พาราโบลา, พาราโบลา
ไดโพลจุด	${\displaystyle (u+iv)^{-1}}$	วงกลม วงกลม
วงรี	${\displaystyle \cosh(u+iv)}$	วงรี, ไฮเปอร์โบลา	บริเวณของเข็ม ปรากฏเป็นแบบลอการิทึมเชิงขั้วสำหรับระยะทางไกล
ไบโพลาร์	${\displaystyle \coth(u+iv)}$	วงกลม วงกลม	ดูเหมือนไดโพลแบบจุดเมื่อมองจากระยะไกล
	${\displaystyle {\sqrt {u+iv}}}$	ไฮเปอร์โบลา, ไฮเปอร์โบลา	ขอบเขตของขอบด้านใน
	${\displaystyle u=x^{2}+2y^{2},\ y=vx^{2}}$	วงรี, พาราโบลา

คาร์ทีเซียน

ขั้วโลก

ลอจโพลาร์

วงรี พาราโบลา

พาราโบลา

ไดโพลจุด

√(u+iv)

วงรี

ไบโพลาร์

ลอการิทึมผกผัน

ตัวอย่างของพิกัดเชิงตั้งฉากสองมิติ^{[ 5 ]}

นอกจากพิกัดคาร์ทีเซียนทั่วไปแล้ว ยังมีพิกัดอื่นๆ อีก 13 แบบที่แสดงไว้ในตารางด้านล่าง^{[ 6 ]}

พิกัดเส้นโค้ง ( q 1 , q 2 , q 3 )	การแปลงจากพิกัดคาร์ทีเซียน ( x , y , z )	ปัจจัยมาตราส่วน
พิกัดทรงกลม ${\displaystyle (r,\theta ,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\pi ]\times [0,2\pi )}$	${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\sin \theta \cos \phi \\y&=r\sin \theta \sin \phi \\z&=r\cos \theta \end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=1\\h_{2}&=r\\h_{3}&=r\sin \theta \end{aligned}}}$
พิกัดพาราโบลา ${\displaystyle (u,v,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\infty )\times [0,2\pi )}$	${\displaystyle {\begin{aligned}x&=uv\cos \phi \\y&=uv\sin \phi \\z&={\frac {1}{2}}(u^{2}-v^{2})\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\\h_{3}&=uv\end{aligned}}}$
พิกัดทรงกระบอกแบบสองขั้ว ${\displaystyle (u,v,z)\in [0,2\pi )\times (-\infty ,\infty )\times (-\infty ,\infty )}$	${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {a\sinh v}{\cosh v-\cos u}}\\y&={\frac {a\sin u}{\cosh v-\cos u}}\\z&=z\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\frac {a}{\cosh v-\cos u}}\\h_{3}&=1\end{aligned}}}$
พิกัดทรงรี ${\displaystyle {\begin{aligned}&(\lambda ,\mu ,\nu )\in [0,c^{2})\times (c^{2},b^{2})\times (b^{2},a^{2})\\&\lambda <c^{2}<b^{2}<a^{2},\\&c^{2}<\mu <b^{2}<a^{2},\\&c^{2}<b^{2}<\nu <a^{2},\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}-q_{i}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-q_{i}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-q_{i}}}=1}$ ที่ไหน ${\displaystyle (q_{1},q_{2},q_{3})=(\lambda ,\mu ,\nu )}$	${\displaystyle h_{i}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {(q_{j}-q_{i})(q_{k}-q_{i})}{(a^{2}-q_{i})(b^{2}-q_{i})(c^{2}-q_{i})}}}}$
พิกัดพาราโบลา ${\displaystyle {\begin{aligned}&(\lambda ,\mu ,\nu )\in [0,b^{2})\times (b^{2},a^{2})\times (a^{2},\infty )\\&b^{2}<a^{2}\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{q_{i}-a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{q_{i}-b^{2}}}=2z+q_{i}}$ ที่ไหน ${\displaystyle (q_{1},q_{2},q_{3})=(\lambda ,\mu ,\nu )}$	${\displaystyle h_{i}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {(q_{j}-q_{i})(q_{k}-q_{i})}{(a^{2}-q_{i})(b^{2}-q_{i})}}}}$
พิกัดทรงกระบอก ${\displaystyle (r,\phi ,z)\in [0,\infty )\times [0,2\pi )\times (-\infty ,\infty )}$	${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \phi \\y&=r\sin \phi \\z&=z\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=h_{3}=1\\h_{2}&=r\end{aligned}}}$
พิกัดทรงกระบอกวงรี ${\displaystyle (u,v,z)\in [0,\infty )\times [0,2\pi )\times (-\infty ,\infty )}$	${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cosh u\cos v\\y&=a\sinh u\sin v\\z&=z\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}=a{\sqrt {\sinh ^{2}u+\sin ^{2}v}}\\h_{3}&=1\end{aligned}}}$
พิกัดทรงรีแบน ${\displaystyle (\xi ,\eta ,\phi )\in [0,\infty )\times \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]\times [0,2\pi )}$	${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cosh \xi \cos \eta \cos \phi \\y&=a\cosh \xi \cos \eta \sin \phi \\z&=a\sinh \xi \sin \eta \end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}=a{\sqrt {\sinh ^{2}\xi +\sin ^{2}\eta }}\\h_{3}&=a\cosh \xi \cos \eta \end{aligned}}}$
พิกัดทรงรีแบบโปรเลท ${\displaystyle (\xi ,\eta ,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\pi ]\times [0,2\pi )}$	${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\sinh \xi \sin \eta \cos \phi \\y&=a\sinh \xi \sin \eta \sin \phi \\z&=a\cosh \xi \cos \eta \end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}=a{\sqrt {\sinh ^{2}\xi +\sin ^{2}\eta }}\\h_{3}&=a\sinh \xi \sin \eta \end{aligned}}}$
พิกัดทรงกลมคู่ ${\displaystyle (u,v,\phi )\in (-\pi ,\pi ]\times [0,\infty )\times [0,2\pi )}$	${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {a\sin u\cos \phi }{\cosh v-\cos u}}\\y&={\frac {a\sin u\sin \phi }{\cosh v-\cos u}}\\z&={\frac {a\sinh v}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\frac {a}{\cosh v-\cos u}}\\h_{3}&={\frac {a\sin u}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}}$
พิกัดทอรอยด์ ${\displaystyle (u,v,\phi )\in (-\pi ,\pi ]\times [0,\infty )\times [0,2\pi )}$	${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {a\sinh v\cos \phi }{\cosh v-\cos u}}\\y&={\frac {a\sinh v\sin \phi }{\cosh v-\cos u}}\\z&={\frac {a\sin u}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\frac {a}{\cosh v-\cos u}}\\h_{3}&={\frac {a\sinh v}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}}$
พิกัดทรงกระบอกพาราโบลา ${\displaystyle (u,v,z)\in (-\infty ,\infty )\times [0,\infty )\times (-\infty ,\infty )}$	${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1}{2}}(u^{2}-v^{2})\\y&=uv\\z&=z\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\\h_{3}&=1\end{aligned}}}$
พิกัดทรงกรวย ${\displaystyle {\begin{aligned}&(\lambda ,\mu ,\nu )\\&\nu ^{2}<b^{2}<\mu ^{2}<a^{2}\\&\lambda \in [0,\infty )\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {\lambda \mu \nu }{ab}}\\y&={\frac {\lambda }{a}}{\sqrt {\frac {(\mu ^{2}-a^{2})(\nu ^{2}-a^{2})}{a^{2}-b^{2}}}}\\z&={\frac {\lambda }{b}}{\sqrt {\frac {(\mu ^{2}-b^{2})(\nu ^{2}-b^{2})}{b^{2}-a^{2}}}}\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=1\\h_{2}^{2}&={\frac {\lambda ^{2}(\mu ^{2}-\nu ^{2})}{(\mu ^{2}-a^{2})(b^{2}-\mu ^{2})}}\\h_{3}^{2}&={\frac {\lambda ^{2}(\mu ^{2}-\nu ^{2})}{(\nu ^{2}-a^{2})(\nu ^{2}-b^{2})}}\end{aligned}}}$

ตัวอย่างของระบบพิกัดเชิงตั้งฉากทั่วไปแต่ยังคงเป็นเชิงวิเคราะห์คือ ระบบทรงกลมแบนคล้ายกัน (SOS) ^{[ 7 ] [ 8 ]}ซึ่งการแปลงจากพิกัดคาร์ทีเซียนรวมถึงปัจจัยมาตราส่วนจะแสดงเป็นผลรวมลู่เข้าอนันต์โดยใช้สัมประสิทธิ์ทวินามทั่วไป

• พิกัดโค้ง
• พิกัดทางภูมิศาสตร์
• ฐานตั้งฉาก
• พิกัดเฉียง
• เทนเซอร์
• สนามเวกเตอร์