ดอก Bauhinia blakeanaบน ธงประจำภูมิภาค ฮ่องกงมีสมมาตรแบบ C ส่วนดาวบนกลีบดอกแต่ละกลีบมีสมมาตรแบบ D

สัญลักษณ์หยินหยางมีสมมาตรทางเรขาคณิตแบบ C2 โดยมีสีสลับ

ในทางเรขาคณิต กลุ่มจุด ( point group ) คือกลุ่มทางคณิตศาสตร์ของการดำเนินการสมมาตร ( ไอโซเมตรีในปริภูมิยูคลิด ) ที่มีจุดตรึงร่วมกัน โดย ทั่วไปแล้ว จุดกำเนิดพิกัดของปริภูมิยูคลิดจะถูกกำหนดให้เป็นจุดตรึง และกลุ่มจุดทุกกลุ่มในมิติd จะ เป็น กลุ่มย่อยของกลุ่มเชิงตั้งฉาก O( d ) กลุ่มจุดใช้เพื่ออธิบายสมมาตรของรูปทรงเรขาคณิตและวัตถุทางกายภาพ เช่นโมเลกุล

แต่ละกลุ่มจุดสามารถแสดงได้ในรูปของเซตของเมทริกซ์เชิงตั้งฉากMที่แปลงจุดxให้เป็นจุดyตามสมการy = Mxแต่ละองค์ประกอบของกลุ่มจุดจะเป็นการหมุน ( ดีเทอร์มิแนนต์ของM = 1 ) หรือเป็นการสะท้อนหรือการหมุนที่ไม่เหมาะสม (ดีเทอร์มิแนนต์ของM = −1 )

สมมาตรทางเรขาคณิตของผลึกอธิบายได้ด้วยกลุ่มปริภูมิซึ่งอนุญาตให้มีการเลื่อนและมีกลุ่มจุดเป็นกลุ่มย่อย กลุ่มจุดแบบไม่ต่อเนื่องในมิติมากกว่าหนึ่งมิติมีอยู่เป็นตระกูลอนันต์ แต่จากทฤษฎีบทข้อจำกัดทางผลึกศาสตร์และทฤษฎีบทหนึ่งของบีเบอร์บัคจำนวนมิติแต่ละจำนวนจะมีกลุ่มจุดเพียงจำนวนจำกัดเท่านั้นที่มีสมมาตรเหนือโครงตาข่ายหรือตารางที่มีจำนวนมิตินั้น กลุ่มเหล่านี้คือกลุ่มจุดทางผลึกศาสตร์

กลุ่มจุดสามารถจำแนกออกเป็น กลุ่ม ไครัล (หรือการหมุนอย่างเดียว) และกลุ่มอะไครัลได้^{[ 1 ]} กลุ่มไครัลเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มออร์โธโกนอลพิเศษ SO( d ): พวกมันประกอบด้วยการแปลงออร์โธโกนอลที่รักษาทิศทางเท่านั้น กล่าวคือ การแปลงที่มีดีเทอร์มิแนนต์ +1 กลุ่มอะไครัลประกอบด้วยการแปลงที่มีดีเทอร์มิแนนต์ −1 ด้วย ในกลุ่มอะไครัล การแปลงที่รักษาทิศทางจะก่อตัวเป็นกลุ่มย่อย (ไครัล) ที่มีดัชนี 2

กลุ่มค็อกซ์เตอร์จำกัดหรือกลุ่มสะท้อนคือกลุ่มจุดที่สร้างขึ้นโดยชุดกระจกสะท้อนที่ผ่านจุดเดียวกันเท่านั้น กลุ่มค็อกซ์เตอร์อันดับnมี กระจกสะท้อน n ตัวและแสดงด้วยแผนภาพค็อกซ์เตอร์-ไดน์กิน สัญกรณ์ค็อกซ์เตอร์มีวงเล็บที่เทียบเท่ากับแผนภาพค็อกซ์เตอร์ โดยมีสัญลักษณ์กำกับสำหรับกลุ่มจุดสมมาตรแบบหมุนและแบบอื่นๆ กลุ่มสะท้อนจำเป็นต้องไม่มีไครัล (ยกเว้นกลุ่มที่ไม่สำคัญซึ่งมีเพียงองค์ประกอบเอกลักษณ์เท่านั้น)

มีกลุ่มจุดหนึ่งมิติเพียงสองกลุ่มเท่านั้น คือ กลุ่มเอกลักษณ์และกลุ่มสะท้อน

กลุ่ม	ค็อกซ์เตอร์	แผนภาพค็อกซ์เตอร์	คำสั่ง	คำอธิบาย
ซี	[ ] +		1	ตัวตน
ดี	[ ]		2	กลุ่มสะท้อนความคิด

กลุ่มจุดในสองมิติบางครั้งเรียกว่ากลุ่มจุดรูปดอกกุหลาบ

พวกมันมีอยู่สองตระกูลที่ไม่มีที่สิ้นสุด:

1. กลุ่มวัฏจักร C ของกลุ่มการหมุนn เท่า
2. กลุ่มไดเฮดรัล D ของกลุ่มการหมุนและการสะท้อนแบบn เท่า

การใช้ทฤษฎีบทข้อจำกัดทางผลึกศาสตร์จะจำกัด ค่า nไว้ที่ 1, 2, 3, 4 และ 6 สำหรับทั้งสองตระกูล ทำให้ได้ 10 กลุ่ม

กลุ่มย่อยของกลุ่มจุดสะท้อนบริสุทธิ์ ซึ่งกำหนดโดยกระจก 1 หรือ 2 บาน สามารถแสดงได้ด้วยกลุ่มค็อกซ์เตอร์และรูปหลายเหลี่ยมที่เกี่ยวข้อง ซึ่งรวมถึงกลุ่มผลึกศาสตร์ 5 กลุ่ม สมมาตรของกลุ่มสะท้อนสามารถเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าได้ด้วยไอโซมอร์ฟิซึม โดย การแมปกระจกทั้งสองเข้าหากันด้วยกระจกแบ่งครึ่ง ทำให้ลำดับสมมาตรเพิ่มขึ้นเป็น สองเท่า

การสะท้อน						การหมุน			รูปหลายเหลี่ยม ที่เกี่ยวข้อง
กลุ่ม	กลุ่มค็อกซ์เตอร์		แผนภาพค็อกซ์เตอร์		คำสั่ง	กลุ่มย่อย	ค็อกซ์เตอร์	คำสั่ง
ดี	เอ	[ ]			2	ซี	[ ] +	1	ดิกอน
ดี	เอ2	[2]			4	ซี	[2] +	2	สี่เหลี่ยมผืนผ้า
ดี	เอ	[3]			6	ซี	[3] +	3	สามเหลี่ยมด้านเท่า
ดี	ก่อนคริสตกาล	[4]			8	ซี	[4] +	4	สี่เหลี่ยม
ดี	เอช	[5]			10	ซี	[5] +	5	รูปห้าเหลี่ยมปกติ
ดี	จี	[6]			12	ซี	[6] +	6	รูปหกเหลี่ยมปกติ
ดี	ฉัน ( n )	[ n ]			2 น.	ซี	[ n ] +	n	รูปหลายเหลี่ยมปกติ
ดี ×2	เอ2 ×2	[[2]] = [4]		=	8
ดี ×2	2 2	[[3]] = [6]		=	12
ดี ×2	บีซี ×2	[[4]] = [8]		=	16
ดี ×2	H ×2	[[5]] = [10]		=	20
ดี ×2	G ×2	[[6]] = [12]		=	24
ดี ×2	I ( n )×2	[[ n ]] = [2 n ]		=	4 น.

กลุ่มจุดในสามมิติบางครั้งเรียกว่ากลุ่มจุดโมเลกุลเนื่องจากมีการใช้งานอย่างแพร่หลายในการศึกษาความสมมาตรของโมเลกุล

พวกมันประกอบด้วยกลุ่มแกนหมุนอนันต์ 7 กลุ่ม (เรียกอีกอย่างว่ากลุ่มปริซึม) และกลุ่มทรงหลายเหลี่ยมเพิ่มเติมอีก 7 กลุ่ม (เรียกอีกอย่างว่ากลุ่มเพลโต) ใน สัญกร ณ์ ของเชินฟลาย

• กลุ่มแกน: C , S , C , C , D , D , D
• กลุ่มโพลีเฮดรัล : T, Td Th O, Oh I,

เมื่อนำ ทฤษฎีบทข้อจำกัดทางผลึกศาสตร์มาใช้ กับกลุ่มเหล่านี้ จะได้ กลุ่มจุดผลึกศาสตร์ 32 กลุ่ม

โดเมนพื้นฐานสีคู่/คี่ของกลุ่มสะท้อนแสง

C ลำดับที่ 2	C ลำดับที่ 4	C ลำดับที่ 6	C ลำดับที่ 8	C คำสั่งซื้อที่ 10	C คำสั่งซื้อที่ 12	...
D คำสั่งซื้อที่ 4	D คำสั่งซื้อที่ 8	D คำสั่งซื้อที่ 12	D คำสั่งซื้อที่ 16	D คำสั่งซื้อที่ 20	D คำสั่งซื้อที่ 24	...
คำสั่ง T 24	โอ้สั่งซื้อที่ 48	ฉันซื้อหมายเลข 120

กลุ่มจุดสะท้อน ซึ่งกำหนดโดยระนาบสะท้อน 1 ถึง 3 ระนาบ สามารถกำหนดได้โดยกลุ่ม Coxeterและรูปทรงหลายเหลี่ยมที่เกี่ยวข้อง กลุ่ม [3,3] สามารถเพิ่มเป็นสองเท่า เขียนเป็น [[3,3]] โดยแมปกระจกแรกและกระจกสุดท้ายเข้าหากัน เพิ่มสมมาตรเป็น 48 เท่า และสมมาตรกับกลุ่ม [4,3]

โชเอนฟลายส์	กลุ่มค็อกซ์เตอร์		แผนภาพค็อกซ์เตอร์			คำสั่ง	รูปทรงหลายเหลี่ยม ปกติและปริซึมที่เกี่ยวข้อง
ที	เอ	[3,3]				24	จัตุรมุข
T ×Dih = O	A ×2 = BC	[[3,3]] = [4,3]			=	48	ทรงแปดเหลี่ยมดาว
โอ้	ก่อนคริสตกาล	[4,3]				48	ลูกบาศก์ , ทรงแปดเหลี่ยม
ฉัน	เอช	[5,3]				120	ทรงยี่สิบหน้า , ทรงสิบสองหน้า
ดี	A ×A	[3,2]				12	ปริซึมสามเหลี่ยม
D ×Dih = D	A ×A ×2	[[3],2]			=	24	ปริซึมหกเหลี่ยม
ดี	BC ×A	[4,2]				16	ปริซึมสี่เหลี่ยม
D ×Dih = D	BC ×A ×2	[[4],2] = [8,2]			=	32	ปริซึมแปดเหลี่ยม
ดี	H ×A	[5,2]				20	ปริซึมห้าเหลี่ยม
ดี	G ×A	[6,2]				24	ปริซึมหกเหลี่ยม
ดีเอ็นเอ	I ( n )×A	[ n ,2]				4 น.	ปริซึมnเหลี่ยม
D ×Dih = D	I ( n )×A ×2	[[ n ],2]			=	8 น.
ดี	เอ3	[2,2]				8	ทรงสี่เหลี่ยมลูกบาศก์
D ×Dih	เอ3 ×2	[[2],2] = [4,2]			=	16
D ×Dih = O	A 3 ×6	[3[2,2]] = [4,3]			=	48
ซี	เอ	[1,3]				6	โฮโซเฮดรอน
ซี	ก่อนคริสตกาล	[1,4]				8
ซี	เอช	[1,5]				10
ซี	จี	[1,6]				12
ซี	ฉัน ( n )	[1, n ]				2 น.
C ×Dih = C	I ( n )×2	[1,[ n ]] = [1,2 n ]			=	4 น.
ซี	เอ2	[1,2]				4
C ×Dih	เอ2 ×2	[1,[2]]			=	8
ซี	เอ	[1,1]				2

กลุ่มจุดสี่มิติ (ทั้งไครัลและอะไครัล) ระบุไว้ใน Conway และ Smith ^{[ 1 ]}ส่วนที่ 4 ตาราง 4.1–4.3

รายการต่อไปนี้แสดงกลุ่มการสะท้อนสี่มิติ (ไม่รวมกลุ่มที่คงพื้นที่ย่อยไว้และจึงเป็นกลุ่มการสะท้อนมิติที่ต่ำกว่า) แต่ละกลุ่มระบุเป็นกลุ่ม Coxeterและเช่นเดียวกับกลุ่มทรงหลายเหลี่ยมใน 3 มิติ สามารถตั้งชื่อตามโพลีโทป 4 มิติปกติแบบนูน ที่เกี่ยวข้อง ได้ กลุ่มการหมุนบริสุทธิ์ที่เกี่ยวข้องมีอยู่สำหรับแต่ละกลุ่มโดยมีลำดับครึ่งหนึ่ง และสามารถแสดงได้ด้วยสัญลักษณ์ Coxeter แบบวงเล็บ ที่มีเลขชี้กำลัง '+' ตัวอย่างเช่น [3,3,3] ⁺มีจุดไจเรชัน 3 เท่าสามจุดและลำดับสมมาตร 60 กลุ่มสมมาตรด้านหน้า-ด้านหลังเช่น [3,3,3] และ [3,4,3] สามารถเพิ่มเป็นสองเท่าได้ โดยแสดงเป็นวงเล็บคู่ในสัญลักษณ์ของ Coxeter ตัวอย่างเช่น [[3,3,3]] โดยมีลำดับเพิ่มเป็นสองเท่าเป็น 240

กลุ่ม / สัญกรณ์ค็อกซ์เตอร์		แผนภาพค็อกซ์เตอร์		คำสั่ง	โพลีโทปที่เกี่ยวข้อง
เอ	[3,3,3]			120	5 เซลล์
4 2	[[3,3,3]]			240	สารประกอบคู่ 5 เซลล์
บีซี	[4,3,3]			384	16 เซลล์ / เทสเซอแร็กต์
ดี	[3 1,1,1 ]			192	เดมิเทสเซอแร็กต์
D ×2 = BC	<[3,3 1,1 ]> = [4,3,3]		=	384
D ×6 = F	[3[3 1,1,1 ]] = [3,4,3]		=	1152
เอฟ	[3,4,3]			1152	24 เซลล์
F ×2	[[3,4,3]]			2304	สารประกอบคู่ 24 เซลล์
เอช	[5,3,3]			14400	120 เซลล์ / 600 เซลล์
เอ ×เอ	[3,3,2]			48	ปริซึมทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า
A ×A ×2	[[3,3],2] = [4,3,2]		=	96	ปริซึมทรงแปดเหลี่ยม
BC ×A	[4,3,2]			96
H ×A	[5,3,2]			240	ปริซึมทรงยี่สิบหน้า
เอ ×เอ	[3,2,3]			36	ดูโอปริซึม
A ×BC	[3,2,4]			48
A ×H	[3,2,5]			60
A ×G	[3,2,6]			72
BC ×BC	[4,2,4]			64
BC 2 ×2	[[4,2,4]]			128
BC ×H	[4,2,5]			80
BC ×G	[4,2,6]			96
H ×H	[5,2,5]			100
H ×G	[5,2,6]			120
G ×G	[6,2,6]			144
I ( p )×I ( q )	[ p ,2, q ]			4 พีคิว
I (2 p )×I ( q )	[[ p ],2, q ] = [2 p ,2, q ]		=	8 พีคิว
I (2 p )×I (2 q )	[[ p ]],2,[[ q ]] = [2 p ,2,2 q ]		=	16 พีคิว
ฉัน ( p ) 2 ×2	[[ p ,2, p ]]			8 หน้า2
ฉัน (2 p ) 2 ×2	[[[ p ]],2,[ p ]]] = [[2 p ,2,2 p ]]		=	32 หน้า2
A ×A ×A	[3,2,2]			24
BC ×A ×A	[4,2,2]			32
H ×A ×A	[5,2,2]			40
G ×A ×A	[6,2,2]			48
I ( p )×A ×A	[ p ,2,2]			8 เพนนี
I (2 p )×A ×A ×2	[[ p ],2,2] = [2 p ,2,2]		=	16 เพนนี
I ( p )×A 2 ×2	[ p ,2,[2]] = [ p ,2,4]		=	16 เพนนี
I (2 p )×A 2 ×4	[[ p ]],2,[[2]] = [2 p ,2,4]		=	32 เพนนี
A ×A ×A ×A	[2,2,2]			16	4- ภาพฉายรังสีแบบออร์โธโทป
A 2 ×A ×A ×2	[[2],2,2] = [4,2,2]		=	32
A 2 ×A 2 ×4	[[2]],2,[[2]] = [4,2,4]		=	64
A 3 ×A ×6	[3[2,2],2] = [4,3,2]		=	96
A 4 ×24	[3,3[2,2,2]] = [4,3,3]		=	384

ตารางต่อไปนี้แสดงกลุ่มการสะท้อนห้ามิติ (ไม่รวมกลุ่มการสะท้อนที่มีมิติต่ำกว่า) โดยแสดงรายการเป็นกลุ่มค็อกซ์เตอร์กลุ่มไครัลที่เกี่ยวข้องจะมีอยู่สำหรับแต่ละกลุ่มโดยมีลำดับครึ่งหนึ่ง และสามารถแสดงได้ด้วยสัญลักษณ์ค็อกซ์เตอร์ แบบวงเล็บ ที่มีเลขชี้กำลัง '+' ตัวอย่างเช่น [3,3,3,3] ⁺มีจุดไจเรชัน 3 เท่าสี่จุดและลำดับสมมาตร 360

กลุ่ม / สัญกรณ์ค็อกซ์เตอร์		แผนภาพค็อกซ์ เตอร์		คำสั่ง	โพลีโทป ปกติและปริซึม ที่เกี่ยวข้อง
เอ	[3,3,3,3]			720	5-ซิมเพล็กซ์
5 2	[[3,3,3,3]]			1440	5-ซิมเพล็กซ์ สารประกอบคู่
ก่อนคริสตกาล	[4,3,3,3]			3840	5-คิวบ์ , 5-ออร์โธเพล็กซ์
ดี	[3 2,1,1 ]			1920	5-เดมิคิวบ์
ดี ×2	<[3,3,3 1,1 ]>		=	3840
เอ ×เอ	[3,3,3,2]			240	ปริซึม 5 เซลล์
เอ ×เอ ×2	[[3,3,3],2]			480
BC ×A	[4,3,3,2]			768	ปริซึมเทสเซอแร็กต์
F ×A	[3,4,3,2]			2304	ปริซึม 24 เซลล์
F ×A ×2	[[3,4,3],2]			4608
H ×A	[5,3,3,2]			28800	ปริซึม 600 เซลล์หรือ120 เซลล์
ดี ×เอ	[3 1,1,1 ,2]			384	ปริซึมเดมิเทสเซอแร็กต์
เอ ×เอ	[3,3,2,3]			144	ดูโอปริซึม
A ×A ×2	[[3,3],2,3]			288
A ×BC	[3,3,2,4]			192
A ×H	[3,3,2,5]			240
เอ ×จี	[3,3,2,6]			288
A ×I ( p )	[3,3,2,p]			48 เพนนี
BC ×A	[4,3,2,3]			288
BC ×BC	[4,3,2,4]			384
BC ×H	[4,3,2,5]			480
BC ×G	[4,3,2,6]			576
BC ×I ( p )	[4,3,2,p]			96 เพนนี
H ×A	[5,3,2,3]			720
H ×BC	[5,3,2,4]			960
H ×H	[5,3,2,5]			1200
H ×G	[5,3,2,6]			1440
H ×I ( p )	[5,3,2, p ]			240 เพนนี
เอ ×เอ2	[3,3,2,2]			96
BC ×A 2	[4,3,2,2]			192
H ×A 2	[5,3,2,2]			480
A 2 ×A	[3,2,3,2]			72	ปริซึมคู่
A ×BC ×A	[3,2,4,2]			96
A ×H ×A	[3,2,5,2]			120
A ×G ×A	[3,2,6,2]			144
BC 2 ×A	[4,2,4,2]			128
BC ×H ×A	[4,2,5,2]			160
BC ×G ×A	[4,2,6,2]			192
H 2 ×A	[5,2,5,2]			200
H ×G ×A	[5,2,6,2]			240
G 2 ×A	[6,2,6,2]			288
I ( p )×I ( q )×A	[ p ,2, q ,2]			8 พีคิว
เอ ×เอ3	[3,2,2,2]			48
BC ×A 3	[4,2,2,2]			64
H ×A 3	[5,2,2,2]			80
G ×A 3	[6,2,2,2]			96
I ( p )×A 3	[ p ,2,2,2]			16 เพนนี
เอ5	[2,2,2,2]			32	5- ออร์โธโทป
A 5 ×(2 ! )	[[2],2,2,2]		=	64
A 5 ×(2!×2 ! )	[[2]],2,[2],2]		=	128
A 5 ×(3 ! )	[3[2,2],2,2]		=	192
A 5 ×(3!×2 ! )	[3[2,2],2,[[2]]		=	384
A 5 ×(4 ! )	[3,3[2,2,2],2]]		=	768
A 5 ×(5 ! )	[3,3,3[2,2,2,2]]		=	3840