กลุ่มเชิงเส้นทั่วไป

Q: ในแง่ของปัจจัยกำหนด

เหนือทุ่งนา เอฟ {\displaystyle F} เมทริกซ์จะ ผกผันได้ ก็ต่อเมื่อ ดีเทอร์มิแนนต์ ของเมทริกซ์นั้น ไม่เป็นศูนย์ ดังนั้น นิยามทางเลือกของ จีแอล ⁡ ( n , เอฟ ) {\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)} คือกลุ่มของเมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์ไม่เป็นศูนย์

ในทางคณิตศาสตร์กลุ่มเชิงเส้นทั่วไปที่มีดีกรี $n$ คือชุดของ $n\times n$ เมทริกซ์ผกผันได้ร่วมกับการดำเนินการคูณเมทริกซ์ ธรรมดา ก่อให้เกิดกลุ่มเนื่องจากผลคูณของเมทริกซ์ผกผันได้สองเมทริกซ์ยังคงผกผันได้ และเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ผกผันได้ก็ผกผันได้เช่นกัน โดยมีเมทริกซ์เอกลักษณ์เป็นสมาชิกเอกลักษณ์ของกลุ่ม กลุ่มนี้ได้ชื่อเช่นนี้เพราะคอลัมน์ (และแถวด้วย) ของเมทริกซ์ผกผันได้เป็นอิสระเชิงเส้นดังนั้นเวกเตอร์/จุดที่พวกมันกำหนดจึงอยู่ในตำแหน่งเชิงเส้นทั่วไปและเมทริกซ์ในกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปจะแปลงจุดที่อยู่ในตำแหน่งเชิงเส้นทั่วไปเป็นจุดที่อยู่ในตำแหน่งเชิงเส้นทั่วไป

เพื่อให้แม่นยำยิ่งขึ้น จำเป็นต้องระบุว่าวัตถุประเภทใดบ้างที่อาจปรากฏในรายการของเมทริกซ์ ตัวอย่างเช่น กลุ่มเชิงเส้นทั่วไปเหนือ $\mathbb {R}$ (เซตของจำนวนจริง ) คือกลุ่มของ $n\times n$ เมทริกซ์ผกผันของจำนวนจริง และใช้สัญลักษณ์แทนด้วย $\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {R} )$ หรือ $\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$ .

โดยทั่วไปแล้ว กลุ่มเชิงเส้นทั่วไปที่มีดีกรี $n$ เหนือสนาม ใดๆ $F$ (เช่นจำนวนเชิงซ้อน ) หรือวงแหวน $R$ (เช่น วงแหวนของจำนวนเต็ม ) คือเซตของ $n\times n$ เมทริกซ์ผกผันที่มีสมาชิกจาก $F$ (หรือ $R$ ) อีกครั้งด้วยการคูณเมทริกซ์เป็นการดำเนินการกลุ่ม^{[ 1 ]}สัญลักษณ์ทั่วไปคือ $\operatorname {GL} (n,F)$ หรือ $\operatorname {GL} _{n}(F)$ หรือเพียงแค่ $\operatorname {GL} (n)$ หากเข้าใจเนื้อหาในสาขานั้นแล้ว

โดยทั่วไปแล้วกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปของปริภูมิเวกเตอร์ $\ชื่อผู้ดำเนินการ {GL} (V)$ คือกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมซึ่งไม่จำเป็นต้องเขียนในรูปเมทริกซ์เสมอไป

กลุ่มเชิงเส้นพิเศษเขียนไว้ว่า $\operatorname {SL} (n,F)$ หรือ $\operatorname {SL} _{n}(F)$ เป็นกลุ่มย่อยของ $\operatorname {GL} (n,F)$ ประกอบด้วยเมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ 1

กลุ่ม $\operatorname {GL} (n,F)$ และกลุ่มย่อย ของมัน มักเรียกว่ากลุ่มเชิงเส้นหรือกลุ่มเมทริกซ์ (กลุ่มออโตมอร์ฟิซึม) $\ชื่อผู้ดำเนินการ {GL} (V)$ กลุ่ม มอดูลาร์เป็นกลุ่มเชิงเส้น แต่ไม่ใช่กลุ่มเมทริกซ์ กลุ่มเหล่านี้มีความสำคัญในทฤษฎีการแสดงแทนกลุ่มและยังเกิดขึ้นในการศึกษาความสมมาตร เชิงพื้นที่ และความสมมาตรของปริภูมิเวกเตอร์โดยทั่วไป รวมถึงการศึกษาพหุนาม ด้วย กลุ่ม มอดูลาร์ สามารถสร้างขึ้นได้ในรูปผลหารของกลุ่มเชิงเส้นพิเศษ $\ชื่อผู้ดำเนินการ {SL} (2,\mathbb {Z} )$ .

ถ้า $n\geq 2$ จากนั้นกลุ่ม $\operatorname {GL} (n,F)$ ไม่ใช่กลุ่มอาเบเลียน

กลุ่มเชิงเส้นทั่วไปของปริภูมิเวกเตอร์

ถ้า $V$ เป็นปริมาณเวกเตอร์เหนือฟิลด์ $F$ กลุ่มเชิงเส้นทั่วไปของ $V$ , เขียนไว้ $\ชื่อผู้ดำเนินการ {GL} (V)$ หรือ $\operatorname {Aut} (V)$ คือกลุ่มของออโตมอร์ฟิซึม ทั้งหมด ของ $V$ กล่าวคือ เซตของการแปลงเชิงเส้น แบบหนึ่งต่อหนึ่ง ทั่วถึงทั้งหมด $V\to V$ ร่วมกับการประกอบเชิงฟังก์ชันในฐานะการดำเนินการกลุ่ม ถ้า $V$ มีมิติ จำกัด $n$ , แล้ว $\ชื่อผู้ดำเนินการ {GL} (V)$ และ $\operatorname {GL} (n,F)$ เป็นไอโซมอร์ฟิกกันไอโซมอร์ฟิซึมนี้ไม่เป็นไปตามแบบแผน แต่ขึ้นอยู่กับการเลือกฐานใน $V$ . เมื่อกำหนดฐานแล้ว $\{e_{1},\dots ,e_{n}\}$ ของ $V$ และออโตมอร์ฟิซึม $T$ ใน $\ชื่อผู้ดำเนินการ {GL} (V)$ ดังนั้นสำหรับเวกเตอร์ฐานe ทุกตัว เราจะได้ ว่า

T(e_{i})=\sum _{j=1}^{n}a_{ji}e_{j}

สำหรับค่าคงที่บางค่า $a_{ij}$ ใน $F$ เมทริกซ์ที่สอดคล้องกับ $T$ ดังนั้นจึงเป็นเพียงเมทริกซ์ที่มีค่าต่างๆ ที่กำหนดโดย $a_{ji}$ .

ในทำนองเดียวกัน สำหรับวงแหวนสลับที่ $R$ กลุ่ม $\operatorname {GL} (n,R)$ อาจตีความได้ว่าเป็นกลุ่มของออโตมอร์ฟิซึมของตัวดำเนินการอิสระ $R$ -โมดูล $M$ ของยศ $n$ นอกจากนี้ยังสามารถกำหนด GL( M ) สำหรับใดๆ ได้อีกด้วย $R$ -โมดูล แต่โดยทั่วไปแล้วสิ่งนี้ไม่สมมาตรกับ $\operatorname {GL} (n,R)$ (สำหรับใดๆ) $n$ )

ในแง่ของปัจจัยกำหนด

เหนือทุ่งนา $F$ เมทริกซ์จะผกผันได้ก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนต์ ของเมทริกซ์นั้น ไม่เป็นศูนย์ ดังนั้น นิยามทางเลือกของ $\operatorname {GL} (n,F)$ คือกลุ่มของเมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์ไม่เป็นศูนย์

เหนือวงแหวนสลับที่ $R$ ต้องใช้ความระมัดระวังมากขึ้น: เมทริกซ์เหนือ $R$ สามารถผกผันได้ก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนต์ของมันเป็นหน่วยใน $R$ นั่นคือ ถ้าดีเทอร์มิแนนต์ของมันสามารถหาอินเวอร์สได้ใน $R$ . ดังนั้น, $\operatorname {GL} (n,R)$ อาจนิยามได้ว่าเป็นกลุ่มของเมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์เป็นหน่วย

บนวงแหวนที่ไม่สลับที่ $R$ ปัจจัยกำหนดต่างๆ ไม่ได้มีพฤติกรรมที่ดีเลย ในกรณีนี้ $\operatorname {GL} (n,R)$ อาจนิยามได้ว่าเป็นกลุ่มหน่วยของวงแหวนเมทริกซ์ $M(n,R)$ .

ในฐานะกลุ่ม/พีชคณิตลี

กรณีศึกษาจริง

กลุ่มเชิงเส้นทั่วไป $\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$ บนฟิลด์ของจำนวนจริง มี กลุ่มลีจริงที่มีมิติ $n^{2}$ เพื่อให้เห็นภาพนี้ โปรดสังเกตว่าเซตของทั้งหมด $n\times n$ เมทริกซ์จริง $M_{n}(\mathbb {R} )$ ก่อให้เกิดปริภูมิเวกเตอร์จริงที่มีมิติ $n^{2}$ เซตย่อย $\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$ ประกอบด้วยเมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์ไม่เป็นศูนย์ ดีเทอร์มิแนนต์เป็น ฟังก์ชัน พหุนามดังนั้น $\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$ เป็นซับวาไรตี้เชิงเส้นเปิดของ $M_{n}(\mathbb {R} )$ ( เซตย่อยเปิด ที่ไม่ว่างเปล่า ของ $M_{n}(\mathbb {R} )$ ในโทโพโลยี Zariski ) และด้วยเหตุนี้^{[ 2 ]} จึง เป็นแมนิโฟลด์เรียบที่มีมิติเดียวกัน

พีชคณิตลีของ $\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$ ซึ่งแสดงด้วย ${\mathfrak {gl}__{n},$ ประกอบด้วยทั้งหมด $n\times n$ เมทริกซ์จริงที่มีคอมมิวเทเตอร์ทำหน้าที่เป็นวงเล็บลี

ในฐานะที่เป็นท่อร่วมหลายทาง $\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$ ไม่ได้เชื่อมต่อกันแต่มีส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกัน สองส่วน คือ เมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์เป็นบวก และเมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์เป็นลบส่วนประกอบเอกลักษณ์ซึ่งแทนด้วย $\operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )$ ประกอบด้วยของจริง $n\times n$ เมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์เป็นบวก นี่คือกลุ่มลีที่มีมิติเช่นกัน $n^{2}$ มันมีพีชคณิตลีแบบเดียวกันกับ $\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$ .

การแยกส่วนเชิงขั้วซึ่งเป็นเอกลักษณ์เฉพาะสำหรับเมทริกซ์ผกผันได้ แสดงให้เห็นว่ามีโฮมีโอเมอร์ฟิซึมระหว่าง $\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$ และผลคูณคาร์ทีเซียนของ $\operatorname {O} (n)$ โดยใช้เซตของเมทริกซ์สมมาตรบวกแน่นอน ในทำนองเดียวกัน แสดงให้เห็นว่ามีโฮมีโอเมอร์ฟิซึมระหว่าง $\operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )$ และผลคูณคาร์ทีเซียนของ $\operatorname {SO} (n)$ ด้วยเซตของเมทริกซ์สมมาตรบวกแน่นอน เนื่องจากเซตหลังสามารถหดตัวได้กลุ่มพื้นฐานของ $\operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )$ มีโครงสร้างเหมือนกับของ $\operatorname {SO} (n)$ .

โฮมีโอมอร์ฟิซึมยังแสดงให้เห็นว่ากลุ่ม $\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$ ไม่กระชับ “ กลุ่มย่อยกระชับสูงสุด ” ^{[ 3 ]} ของ $\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$ คือกลุ่มออร์โธโกนอล $\operatorname {O} (n)$ ในขณะที่กลุ่มย่อยขนาดกะทัดรัดสูงสุดของ $\operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )$ เป็นกลุ่มออร์โธโกนอลพิเศษ $\operatorname {SO} (n)$ ส่วนเรื่อง... $\operatorname {SO} (n)$ กลุ่ม $\operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )$ ไม่ได้เชื่อมต่อกันโดยตรง (ยกเว้นในบางกรณี) $n=1$ แต่มีกลุ่มพื้นฐานที่สมมาตรกับ $\mathbb {Z}$ สำหรับ $n=2$ หรือ $\mathbb {Z} _{2}$ สำหรับ $n>2$ .

คดีที่ซับซ้อน

กลุ่มเชิงเส้นทั่วไปเหนือฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อน $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$ เป็นกลุ่มลีเชิงซ้อน ที่มีมิติเชิงซ้อน $n^{2}$ ในฐานะกลุ่มโกหกที่แท้จริง (ผ่านกระบวนการทำให้เป็นจริง) มันจึงมีมิติ $2n^{2}$ เซตของเมทริกซ์จริงทั้งหมดก่อตัวเป็นกลุ่มย่อยลีจริง ซึ่งสอดคล้องกับการรวม

\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )<\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )<\operatorname {GL} (2n,\mathbb {R} )

,

ซึ่งมีมิติที่แท้จริง $n^{2}$ , $2n^{2}$ , และ $(2n)^{2}=4n^{2}$ . ซับซ้อน $n$ เมทริกซ์มิติสามารถจำแนกได้ว่าเป็นเมทริกซ์จริง $2n$ เมทริกซ์มิติที่รักษาโครงสร้างเชิงซ้อนเชิงเส้นกล่าวคือ เมทริกซ์ที่สลับที่ได้กับเมทริกซ์ $J$ โดยที่ $J^{2}=-I$ , ที่ไหน $J$ เทียบเท่ากับการคูณด้วยหน่วยจินตนาการ $i$ .

พีชคณิตลีที่สอดคล้องกับ $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$ ประกอบด้วยทั้งหมด $n\times n$ เมทริกซ์เชิงซ้อนที่มีคอมมิวเทเตอร์ทำหน้าที่เป็นวงเล็บลี

ซึ่งแตกต่างจากกรณีจริง $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$ มีการเชื่อมต่อกันซึ่งส่วนหนึ่งเป็นผลมาจากกลุ่มการคูณของจำนวนเชิงซ้อน $\mathbb {C} ^{\times }$ เชื่อมต่อแล้ว กลุ่มแมนิโฟลด์ $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$ ไม่ใช่กลุ่มกระชับ (compact group) แต่กลุ่มย่อยกระชับที่ใหญ่ที่สุด ของมัน คือกลุ่มเอกภาพ (unitary group) $\operatorname {U} (n)$ ส่วนเรื่อง... $\operatorname {U} (n)$ กลุ่มแมนิโฟลด์ $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$ ไม่ใช่แค่เชื่อมต่อกันแต่มีกลุ่มพื้นฐานที่สมมาตรกับ $\mathbb {Z}$ .

บนฟิลด์จำกัด

ถ้า $F$ เป็นฟิลด์จำกัดที่มี $q$ องค์ประกอบต่างๆ แล้วบางครั้งเราก็เขียน $\operatorname {GL} (n,q)$ แทนที่จะ $\operatorname {GL} (n,F)$ เมื่อpเป็นจำนวนเฉพาะ $\operatorname {GL} (n,p)$ คือกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอก ของกลุ่ม $\mathbb {Z} _{p}^{n}$ และ กลุ่ม ออโตมอร์ฟิซึม ด้วย เพราะ $\mathbb {Z} _{p}^{n}$ เป็นกลุ่มอาเบเลียน ดังนั้นกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายใน จึง เป็นกลุ่มที่ไม่มีสมาชิกอื่น

ลำดับของ $\operatorname {GL} (n,q)$ เป็น:

\prod _{k=0}^{n-1}(q^{n}-q^{k})=(q^{n}-1)(q^{n}-q)(q^{n}-q^{2})\ \cdots \ (q^{n}-q^{n-1}).

สามารถแสดงให้เห็นได้โดยการนับจำนวนคอลัมน์ที่เป็นไปได้ของเมทริกซ์: คอลัมน์แรกสามารถเป็นอะไรก็ได้ยกเว้นเวกเตอร์ศูนย์ คอลัมน์ที่สองสามารถเป็นอะไรก็ได้ยกเว้นผลคูณของคอลัมน์แรก และโดยทั่วไปแล้ว $k$ คอลัมน์ที่ th สามารถเป็นเวกเตอร์ใดก็ได้ที่ไม่อยู่ในปริภูมิเชิงเส้นของคอลัมน์แรก $k-1$ คอลัมน์ ใน สัญกรณ์ q -analogนี่คือ $[n]_{q}!(q-1)^{n}q^{n \choose 2}$ .

ตัวอย่างเช่นGL(3, 2)มีลำดับ(8 − 1)(8 − 2)(8 − 4) = 168เป็นกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของระนาบฟาโนและของกลุ่ม $\mathbb {Z} _{2}^{3}$ กลุ่มนี้ยังมีลักษณะสมมาตรกับPSL(2, 7)ด้วย

โดยทั่วไปแล้ว เราสามารถนับจุดของกราสส์มันเนียนได้เหนือ $F$ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ จำนวนของปริภูมิย่อยที่มีมิติที่กำหนด $k$ ซึ่งต้องทำการค้นหาลำดับของ กลุ่ม ย่อยรักษาเสถียรภาพของปริภูมิย่อยดังกล่าว และหารด้วยสูตรที่เพิ่งกำหนดไป โดย อาศัย ทฤษฎีบทการรักษาเสถียรภาพวงโคจร

สูตรเหล่านี้เชื่อมโยงกับการแยกส่วนชูเบิร์ตของกราสส์มันเนียน และเป็นq-อนาล็อกของจำนวนเบตติของกราสส์มันเนียนเชิงซ้อน นี่เป็นหนึ่งในเบาะแสที่นำไปสู่ ข้อสันนิษฐาน ของไวล์

โปรดทราบว่าในขีดจำกัด $q\to 1$ ลำดับของ $\operatorname {GL} (n,q)$ ไปสู่ 0! –แต่ภายใต้ขั้นตอนที่ถูกต้อง (การหารด้วย) $(q-1)^{n}$ ) เราจะเห็นว่ามันคือลำดับของกลุ่มสมมาตร (ดูบทความของ Lorscheid) ในปรัชญาของฟิลด์ที่มีสมาชิกหนึ่งตัวเราจึงตีความกลุ่มสมมาตรว่าเป็นกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปเหนือฟิลด์ที่มีสมาชิกหนึ่งตัว: $S_{n}\cong \operatorname {GL} (n,1)$ .

ประวัติศาสตร์

กลุ่มเชิงเส้นทั่วไปเหนือฟิลด์เฉพาะ $\operatorname {GL} (\nu ,p)$ กลุ่มดัง กล่าวถูกสร้างขึ้นและคำนวณลำดับโดยÉvariste Galoisในปี 1832 ในจดหมายฉบับสุดท้ายของเขา (ถึง Chevalier) และต้นฉบับที่แนบมาฉบับที่สอง (จากสามฉบับ) ซึ่งเขาใช้ในบริบทของการศึกษาเกี่ยวกับกลุ่ม Galoisของสมการทั่วไปลำดับ $p^{\nu }$ [ ⁴^]

กลุ่มเชิงเส้นพิเศษ

กลุ่ม เชิง เส้นพิเศษ $\operatorname {SL} (n,F)$ กลุ่มของเมทริกซ์ทั้งหมดที่มีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ 1 คือกลุ่มของเมทริกซ์เหล่านั้น เมทริกซ์เหล่านี้มีความพิเศษตรงที่มันอยู่บนซับวาไรตีกล่าวคือ มันสอดคล้องกับสมการพหุนาม (เนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์เป็นพหุนามในส่วนประกอบของเมทริกซ์) เมทริกซ์ประเภทนี้ก่อตัวเป็นกลุ่มได้ เพราะดีเทอร์มิแนนต์ของผลคูณของเมทริกซ์สองเมทริกซ์เท่ากับผลคูณของดีเทอร์มิแนนต์ของแต่ละเมทริกซ์

ถ้าเราเขียน $F^{\times }$ สำหรับกลุ่มการคูณของ $F$ (นั่นคือ $F$ (ไม่รวม 0) แล้วดีเทอร์มิแนนต์จะเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่ม

{\displaystyle \det

นั่นคือฟังก์ชันทั่วถึง และเคอร์เนล ของมัน คือกลุ่มเชิงเส้นพิเศษ ดังนั้น $\operatorname {SL} (n,F)$ เป็นกลุ่มย่อยปกติของ $\operatorname {GL} (n,F)$ และโดยทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมข้อแรก $\operatorname {GL} (n,F)/\operatorname {SL} (n,F)$ มีโครงสร้างเหมือนกับ $F^{\times }$ . ในความเป็นจริง, $\operatorname {GL} (n,F)$ สามารถเขียนได้ในรูปผลคูณกึ่งตรง :

\operatorname {GL} (n,F)=\operatorname {SL} (n,F)\rtimes F^{\times }

.

กลุ่มเชิงเส้นพิเศษนี้ยังเป็นกลุ่มอนุพันธ์ (หรือที่รู้จักกันในชื่อกลุ่มย่อยคอมมิวเทเตอร์) ของ $\operatorname {GL} (n,F)$ (สำหรับสนามหรือวงแหวนแบ่งส่วน) $F$ โดยมีเงื่อนไขว่า $n\neq 2$ หรือ $F$ ไม่ใช่ฟิลด์ที่มีองค์ประกอบสอง^{อย่าง}^[⁵ ]

เมื่อไร $F$ เป็น $\mathbb {R}$ หรือ $\mathbb {C}$ , $\operatorname {SL} (n,F)$ เป็น กลุ่มย่อย ของLie $\operatorname {GL} (n,F)$ ของมิติ $n^{2}-1$ พีชคณิตลีของ $\operatorname {SL} (n,F)$ ประกอบด้วยทั้งหมด $n\times n$ เมทริกซ์เหนือ $F$ ด้วยร่องรอย ที่หายไป วงเล็บ Lie กำหนดโดยตัวสลับตำแหน่ง

กลุ่มเชิงเส้นพิเศษ $\operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )$ สามารถอธิบายได้ว่าเป็นกลุ่มของการแปลงเชิงเส้น ที่รักษา ปริมาตรและทิศทางไว้ $\mathbb {R} ^{n}$ .

กลุ่ม $\operatorname {SL} (n,\mathbb {C} )$ เชื่อมต่อกันอย่างง่ายๆ ในขณะที่ $\operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )$ ไม่ใช่ $\operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )$ มีกลุ่มพื้นฐานเดียวกันกับ $\operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )$ นั่นคือ $\mathbb {Z}$ สำหรับ $n=2$ และ $\mathbb {Z} _{2}$ สำหรับ $n>2$ .

กลุ่มย่อยอื่นๆ

กลุ่มย่อยแนวทแยง

เซตของเมทริกซ์ทแยงมุม ที่ผกผันได้ทั้งหมด ก่อให้เกิดกลุ่มย่อยของ $\operatorname {GL} (n,F)$ ไอโซมอร์ฟิกกับ $(F^{\times })^{n}$ ในสาขาต่างๆ เช่น $\mathbb {R}$ และ $\mathbb {C}$ สิ่งเหล่านี้สอดคล้องกับการปรับขนาดของพื้นที่ หรือที่เรียกว่าการขยายและการหดตัว

เมทริกซ์สเกลาร์คือเมทริกซ์แนวทแยงมุมที่มีค่าคงที่คูณกับเมทริกซ์เอกลักษณ์ เซตของเมทริกซ์สเกลาร์ที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมดก่อตัวเป็นกลุ่มย่อยของ $\operatorname {GL} (n,F)$ ไอโซมอร์ฟิกกับ $F^{\times }$ กลุ่มนี้เป็นศูนย์กลางของ $\operatorname {GL} (n,F)$ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันเป็นกลุ่มย่อยแบบอาเบเลียนปกติ

ศูนย์กลางของ $\operatorname {SL} (n,F)$ คือเซตของเมทริกซ์สเกลาร์ทั้งหมดที่มีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ 1 และสมสัณฐานกับกลุ่มของ $n$ รากฐานแห่งความเป็นเอกภาพในสาขานี้ $F$ .

กลุ่มคลาสสิก

กลุ่ม ที่เรียกว่ากลุ่มคลาสสิก นั้น เป็นกลุ่มย่อยของ $\operatorname {GL} (V)$ ซึ่งรักษา รูปแบบทวิเชิงเส้นบางอย่างบนปริภูมิเวกเตอร์ $V$ ซึ่งรวมถึง

กลุ่มออร์โธโกนอล $\operatorname {O} (V)$ ซึ่งรักษารูปแบบกำลังสอง ที่ไม่เสื่อมสลาย ไว้บน $V$ ,
กลุ่มซิมเพล็กติก $\operatorname {Sp} (V)$ ซึ่งรักษารูปแบบซิมเพล็กติกไว้บน $V$ ( รูปแบบสลับที่ไม่เสื่อมถอย)
กลุ่มเอกภาพ $\operatorname {U} (V)$ ซึ่งเมื่อ $F=\mathbb {C}$ รักษารูปแบบเฮอร์มิเชียน ที่ไม่เสื่อมถอย ไว้ $V$ .

กลุ่มเหล่านี้เป็นตัวอย่างที่สำคัญของกลุ่มที่โกหก

กลุ่มที่เกี่ยวข้องและโมโนอิด

กลุ่มเชิงเส้นเชิงฉาย

กลุ่มเชิงเส้นเชิงโปรเจกทีฟ $\operatorname {PGL} (n,F)$ และกลุ่มเชิงเส้นพิเศษเชิงโปรเจกทีฟ $\operatorname {PSL} (n,F)$ คือผลหารของ $\operatorname {GL} (n,F)$ และ $\operatorname {SL} (n,F)$ โดย พิจารณาจากจุดศูนย์กลาง ของพวกมัน (ซึ่งประกอบด้วยผลคูณของเมทริกซ์เอกลักษณ์ในนั้น) พวกมันคือการกระทำ ที่เหนี่ยวนำ บนปริภูมิเชิงฉาย ที่เกี่ยวข้อง

กลุ่มแอฟฟิน

กลุ่มแอฟฟิน $\operatorname {Aff} (n,F)$ เป็นส่วนขยายของ $\operatorname {GL} (n,F)$ โดยกลุ่มผู้แปลใน $F^{n}$ สามารถเขียนได้ในรูปผลคูณกึ่งตรง :

\operatorname {Aff} (n,F)=\operatorname {GL} (n,F)\ltimes F^{n}

ที่ไหน $\operatorname {GL} (n,F)$ ดำเนินการกับ $F^{n}$ ในลักษณะที่เป็นธรรมชาติ กลุ่มแอฟฟินสามารถมองได้ว่าเป็นกลุ่มของการแปลงแอฟฟิน ทั้งหมด ของ ปริภูมิ แอฟฟินที่อยู่เบื้องหลังปริภูมิเวกเตอร์ $F^{n}$ .

เราสามารถสร้างโครงสร้างที่คล้ายคลึงกันสำหรับกลุ่มย่อยอื่นๆ ของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปได้ เช่นกลุ่มแอฟฟินพิเศษเป็นกลุ่มย่อยที่กำหนดโดยผลคูณกึ่งตรง $\operatorname {SL} (n,F)\ltimes F^{n}$ และกลุ่มปวงกาเรเป็นกลุ่มเชิงเส้นที่เกี่ยวข้องกับกลุ่มลอเรนซ์ $\operatorname {O} (1,3,F)\ltimes F^{n}$ .

กลุ่มกึ่งเชิงเส้นทั่วไป

กลุ่มกึ่งเชิงเส้นทั่วไป $\operatorname {\Gamma L} (n,F)$ เป็นกลุ่มของการแปลงกึ่งเชิงเส้น ผกผันได้ทั้งหมด และประกอบด้วย $\operatorname {GL} (n,F)$ การแปลงแบบกึ่งเชิงเส้น (Semilinear transformation) คือการแปลงที่เป็นเชิงเส้น “โดยพิจารณาจากเงื่อนไขการบิดเบี้ยว” (twist) ซึ่งหมายถึง “โดยพิจารณาจากออโตมอร์ฟิซึมของฟิลด์ภายใต้การคูณด้วยสเกลาร์” สามารถเขียนได้ในรูปผลคูณกึ่งตรง (Semidirect product) ดังนี้:

\operatorname {\Gamma L} (n,F)=\operatorname {Gal} (F)\ltimes \operatorname {GL} (n,F)

ที่ไหน $\operatorname {Gal} (F)$ กลุ่มกาลัวคือ กลุ่ม ของ $F$ (เหนือสนามหลัก ของมัน ) ซึ่งกระทำต่อ $\operatorname {GL} (n,F)$ โดยการดำเนินการของ Galois ต่อรายการต่างๆ

ความสนใจหลักของ $\operatorname {\Gamma L} (n,F)$ คือกลุ่มกึ่งเชิงเส้นเชิงฉาย ที่เกี่ยวข้อง $\operatorname {P\Gamma L} (n,F)$ ซึ่งประกอบด้วย $\operatorname {PGL} (n,F)$ คือกลุ่มการเรียงตัวเชิงเส้นของปริภูมิเชิงฉายสำหรับ $n>2$ ดังนั้น แผนที่กึ่งเชิงเส้นจึงมีความน่าสนใจในเรขาคณิตเชิงฉาย

โมโนอิดเชิงเส้นเต็มรูปแบบ

หากเราขจัดข้อจำกัดที่ว่าดีเทอร์มิแนนต์ต้องไม่เป็นศูนย์ โครงสร้างพีชคณิตที่ได้จะเป็นโมโนอิดซึ่งโดยทั่วไปเรียกว่าโมโนอิดเชิงเส้นเต็ม^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}แต่บางครั้งก็เรียกว่าเซมิกรุปเชิงเส้นเต็ม [ ⁹^]โมโนอิดเชิงเส้นทั่วไป^[¹⁰^]^[¹¹^{] เป็นต้น อันที่จริง}^แล้วมันคือ เซมิกรุ ปปกติ^[⁷^]

กลุ่มเชิงเส้นทั่วไปอนันต์

กลุ่มเชิงเส้นทั่วไปอนันต์หรือกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปเสถียรคือลิมิตโดยตรงของการรวม $\operatorname {GL} (n,F)\to \operatorname {GL} (n+1,F)$ ในรูปเมทริกซ์แนวทแยงมุมแบบบล็อกที่มีการเพิ่มเข้ามา $1$ รายการที่อยู่ด้านล่างขวา โดยระบุด้วยสัญลักษณ์ใดสัญลักษณ์หนึ่งต่อไปนี้ $\operatorname {GL} (F)$ หรือ $\operatorname {GL} (\infty ,F)$ และยังสามารถตีความได้ว่าเป็นเมทริกซ์อนันต์ที่ผกผันได้ซึ่งแตกต่างจากเมทริกซ์เอกลักษณ์เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น^{[ 12 ]}

มันถูกใช้ในทฤษฎี K ทางพีชคณิตเพื่อกำหนดK และบนจำนวนจริงนั้นมีโทโพโลยีที่เข้าใจได้เป็นอย่างดี ต้องขอบคุณความเป็นคาบของบอตต์

ไม่ควรสับสนกับปริภูมิของตัวดำเนินการผกผันได้ (ที่มีขอบเขต) บนปริภูมิฮิลเบิร์ตซึ่งเป็นกลุ่มที่ใหญ่กว่า และในเชิงโทโพโลยีนั้นเรียบง่ายกว่ามาก กล่าวคือสามารถหดตัวได้–ดูทฤษฎีบทของคูเปอร์

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

↑ในที่นี้ถือว่าวงแหวนมีคุณสมบัติการสลับที่และมีเอกลักษณ์
↑ เนื่องจากโทโพโลยีของซาริสกีหยาบกว่าโทโพโลยีเมตริก กล่าวอีกนัยหนึ่ง แผนที่พหุนามมีความต่อเนื่อง
↑กลุ่มย่อยกระชับสูงสุดนั้นไม่เป็นเอกลักษณ์ แต่โดยพื้นฐานแล้วเป็นเอกลักษณ์ดังนั้นจึงมักกล่าวถึง “กลุ่มย่อยกระชับสูงสุด”
↑กาลัวส์, เอวาริสต์ (1846) "เลตเตร เดอ กาลัวส์ และ เอ็ม. ออกุสต์ เชอวาลิเยร์ " วารสาร Mathématiques Pures และ Appliquées . XI : 408– 415. เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ2021-04-26 ดึงข้อมูลเมื่อ2009-02-04 , GL( ν , p ) กล่าวถึงใน p. 410.{{cite journal}}: CS1 maint: postscript ( link )
↑ Suprunenko, DA (1976), กลุ่มเมทริกซ์ , การแปลเอกสารทางคณิตศาสตร์, สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกันทฤษฎีบท II.9.4
↑ Jan Okniński (1998). Semigroups of Matrices . World Scientific. บทที่ 2: Full linear monoid. ISBN 978-981-02-3445-4.
1 2 Meakin (2007). "กลุ่มและกลุ่มย่อย: ความเชื่อมโยงและความแตกต่าง" ใน CM Campbell (บรรณาธิการ). กลุ่ม St Andrews 2005สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ หน้า471 ISBN 978-0-521-69470-4.
↑ John Rhodes; Benjamin Steinberg (2009). ทฤษฎี q ของเซมิกรุปจำกัด . Springer Science & Business Media. หน้า306. ISBN 978-0-387-09781-7.
↑ Eric Jespers; Jan Okniski (2007). Noetherian Semigroup Algebras . Springer Science & Business Media. 2.3: Full linear semigroup. ISBN 978-1-4020-5810-3.
↑ Meinolf Geck (2013). บทนำสู่เรขาคณิตเชิงพีชคณิตและกลุ่มเชิงพีชคณิตสำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด หน้า132 ISBN 978-0-19-967616-3.
↑มาฮีร์ บีเลน แคน; เจิ้นเหิงหลี่; เบนจามิน สไตน์เบิร์ก; เฉียงหวาง (2014) Monoids พีชคณิต การฝังกลุ่ม และ Combinatoricsพีชคณิต สปริงเกอร์. พี142. ไอเอสบีเอ็น 978-1-4939-0938-4.
↑ Milnor, John Willard (1971). บทนำสู่ทฤษฎี K เชิงพีชคณิตวารสารการศึกษาคณิตศาสตร์ เล่มที่72 พรินซ์ตัน รัฐนิวเจอร์ซีย์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตันหน้า25 MR 0349811 Zbl 0237.18005

ลิงก์ภายนอก

"กลุ่มเชิงเส้นทั่วไป" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
"GL(2, p ) และ GL(3, 3) ที่ทำงานบนจุด"โดยEd Pegg, Jr. , Wolfram Demonstrations Project , 2007

[ring-1] ในที่นี้ถือว่าวงแหวนมีคุณสมบัติการสลับที่และมีเอกลักษณ์

[2] เนื่องจากโทโพโลยีของซาริสกีหยาบกว่าโทโพโลยีเมตริก กล่าวอีกนัยหนึ่ง แผนที่พหุนามมีความต่อเนื่อง

[3] กลุ่มย่อยกระชับสูงสุดนั้นไม่เป็นเอกลักษณ์ แต่โดยพื้นฐานแล้วเป็นเอกลักษณ์ดังนั้นจึงมักกล่าวถึง “กลุ่มย่อยกระชับสูงสุด”

[chevalier-letter-4] กาลัวส์, เอวาริสต์ (1846) "เลตเตร เดอ กาลัวส์ และ เอ็ม. ออกุสต์ เชอวาลิเยร์ " วารสาร Mathématiques Pures และ Appliquées . XI : 408– 415. เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ2021-04-26 ดึงข้อมูลเมื่อ2009-02-04 , GL( ν , p ) กล่าวถึงใน p. 410.{{cite journal}}: CS1 maint: postscript ( link )

[5] Suprunenko, DA (1976), กลุ่มเมทริกซ์ , การแปลเอกสารทางคณิตศาสตร์, สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกันทฤษฎีบท II.9.4

[Okniński1998-6] Jan Okniński (1998). Semigroups of Matrices . World Scientific. บทที่ 2: Full linear monoid. ISBN 978-981-02-3445-4.

[Meakin-7] 1 2 Meakin (2007). "กลุ่มและกลุ่มย่อย: ความเชื่อมโยงและความแตกต่าง" ใน CM Campbell (บรรณาธิการ). กลุ่ม St Andrews 2005สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ หน้า471 ISBN 978-0-521-69470-4.

[RhodesSteinberg2009-8] John Rhodes; Benjamin Steinberg (2009). ทฤษฎี q ของเซมิกรุปจำกัด . Springer Science & Business Media. หน้า306. ISBN 978-0-387-09781-7.

[JespersOkniski2007-9] Eric Jespers; Jan Okniski (2007). Noetherian Semigroup Algebras . Springer Science & Business Media. 2.3: Full linear semigroup. ISBN 978-1-4020-5810-3.

[Geck2013-10] Meinolf Geck (2013). บทนำสู่เรขาคณิตเชิงพีชคณิตและกลุ่มเชิงพีชคณิตสำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด หน้า132 ISBN 978-0-19-967616-3.

[CanLi2014-11] มาฮีร์ บีเลน แคน; เจิ้นเหิงหลี่; เบนจามิน สไตน์เบิร์ก; เฉียงหวาง (2014) Monoids พีชคณิต การฝังกลุ่ม และ Combinatoricsพีชคณิต สปริงเกอร์. พี142. ไอเอสบีเอ็น 978-1-4939-0938-4.

[Mil25-12] Milnor, John Willard (1971). บทนำสู่ทฤษฎี K เชิงพีชคณิตวารสารการศึกษาคณิตศาสตร์ เล่มที่72 พรินซ์ตัน รัฐนิวเจอร์ซีย์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตันหน้า25 MR 0349811 Zbl 0237.18005

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

4

อย่าง

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

9

10

[

[ 12 ]