• Pentacontatetrapeton (ตัวย่อ: mo) - โพลีเพตอน 54 ด้าน (Jonathan Bowers) ^{[ 2 ]}

ในภาพฉายนี้ จุดยอดจะถูกระบายสีตามจำนวนครั้งที่ปรากฏ โดยเรียงลำดับจากน้อยไปมาก ได้แก่ สีแดง สีส้ม สีเหลือง และสีเขียว จำนวนครั้งที่จุดยอดแต่ละสีปรากฏจะระบุไว้ในวงเล็บ

การฉายภาพออร์โธกราฟิกของระนาบค็อกซ์เตอร์

E6 [12]	D5 [8]	D4 / A2 [6]
(1,2)	(1,3)	(1,9,12)
B6 [12/2]	A5 [6]	A4 [[5]] = [10]	A3 / D3 [4]
(1,2)	(2,3,6)	(1,2)	(1,6,8,12)

มันถูกสร้างขึ้นโดยวิธีWythoff constructionบนชุด กระจก ไฮเปอร์เพลน 6 บาน ในปริภูมิ 6 มิติ

ข้อมูลเกี่ยวกับลักษณะต่างๆ สามารถดึงออกมาได้จาก แผนภาพ Coxeter - Dynkin

การลบโหนดบนกิ่งที่มีความยาว 2 กิ่งใดกิ่งหนึ่งจะทำให้เหลือเดมิคิวบ์ 5 กิ่ง , 1 , .

รูปทรงจุดยอดถูกกำหนดโดยการลบโหนดที่มีวงแหวนออกและใส่วงแหวนให้กับโหนดข้างเคียง ซึ่งทำให้ได้ซิมเพล็กซ์ 5 เหลี่ยมแบบไบเรกติไฟด์ , 0 , .

เมื่อพิจารณาในเมทริกซ์การกำหนดค่าจำนวนองค์ประกอบสามารถหาได้จากการลบกระจกและอัตราส่วนของลำดับกลุ่ม Coxeter ^{[ 3 ]}

อี		เค -เฟซ	เอฟ	ฟ	ฟ	เอฟ	เอฟ		เอฟ			เอฟ		k -figure	หมายเหตุ
เอ		( )	ฟ	72	20	90	60	60	15	15	30	6	6	r{3,3,3}	E /A = 72·6!/6! = 72
เอเอเอ		{ }	ฟ	2	720	9	9	9	3	3	9	3	3	{3}×{3}	จ /กกก = 72·6!/3!/3!/2 = 720
เอเอเอ		{3}	เอฟ	3	3	2160	2	2	1	1	4	2	2	s{2,4}	จ /กกก = 72·6!/3!/2/2 = 2160
เอเอ		{3,3}	เอฟ	4	6	4	1080	*	1	0	2	2	1	{ }∨( )	จ /กก = 72·6!/4!/2 = 1,080
				4	6	4	*	1080	0	1	2	1	2
เอเอ		{3,3,3}	เอฟ	5	10	10	5	0	216	*	*	2	0	{ }	จ /กก = 72·6!/5!/2 = 216
				5	10	10	0	5	*	216	*	0	2
ดี		h{4,3,3}		8	24	32	8	8	*	*	270	1	1		E /D = 72·6!/8/4! = 270
ดี		h{4,3,3,3}	เอฟ	16	80	160	80	40	16	0	10	27	*	( )	E /D = 72·6!/16/5! = 27
				16	80	160	40	80	0	16	10	*	27

ทรงหลายเหลี่ยมเชิงซ้อนปกติ {3} {4} , , ใน${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$มีการแสดงจริงเป็น โพลีโทป 1 ในปริภูมิ 4 มิติ มีจุดยอด 72 จุด ขอบ 3 มิติ 216 เส้น และหน้า 3{3}3 54 หน้ากลุ่มการสะท้อนเชิงซ้อนคือ [3] [4] ลำดับ 1296 มีการสร้างกึ่งสมมาตรแบบปกติเป็น ซึ่งเป็นการแก้ไขของ โพลี เฮดรอนเฮสเซียน^{[ 4 ]}

นอกจากโพลีโทปกึ่งปกติ2 แล้ว ยังเป็นหนึ่งในตระกูลของโพลีโทปนูนสม่ำเสมอ 39 รูปใน 6 มิติ ซึ่งประกอบด้วย หน้าโพ ลีโทปสม่ำเสมอและรูปทรงจุดยอด ที่กำหนดโดยการเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมดของวงแหวนใน แผนภาพ Coxeter-Dynkinนี้: .

1 รูปทรงในnมิติ
ช่องว่าง	จำกัด						ยูคลิด	ไฮเปอร์โบลิก
n	3	4	5	6	7	8	9	10
กลุ่มค็อกซ์เตอร์	E =A A	E =A	E =D	อี	อี	อี	อี =${\displaystyle {\tilde {E}__{8}}$= E +	อี =${\displaystyle {\bar {T}}_{8}}$= E ++
แผนภาพค็อกซ์เตอร์
ความสมมาตร (ลำดับ)	[3 −1,2,1 ]	[3 0,2,1 ]	[3 1,2,1 ]	[[3 2,2,1 ]]	[3 3,2,1 ]	[3 4,2,1 ]	[3 5,2,1 ]	[3 6,2,1 ]
คำสั่ง	12	120	1,920	103,680	2,903,040	696,729,600	∞
กราฟ							-	-
ชื่อ	1	1	1	1	1	1	1	1

การพับแบบเรขาคณิต

1 22เกี่ยวข้องกับเซลล์ 24โดยการพับทาง เรขาคณิต E6 → F4 ของแผนภาพ Coxeter-Dynkin โดย E6 สอดคล้องกับ1 ใน 6 มิติ และ F4 สอดคล้องกับเซลล์ 24 ใน 4 มิติ สามารถมองเห็นได้ใน การฉายภาพ ระนาบ Coxeterจุดยอดทั้ง 24 จุดของเซลล์ 24 จะถูกฉายลงในวงแหวนสองวงเดียวกันกับที่เห็นใน1

เครื่องบิน Coxeter รุ่น E6/F4
1	24 เซลล์
เครื่องบิน Coxeter รุ่น D4/B4
1	24 เซลล์

• โพลีโทป2
• เพนตาคอนตาเตตราเปตอนแบบแก้ไข (ตัวย่อ: แรม) - โพลีเปตอน 54 ด้านแบบแก้ไข (โจนาธาน โบเวอร์ส) ^{[ 6 ]}

ในภาพฉายนี้ จุดยอดจะถูกระบายสีตามจำนวนครั้งที่ปรากฏ โดยเรียงลำดับจากน้อยไปมาก ได้แก่ สีแดง สีส้ม สีเหลือง สีเขียว สีฟ้า สีน้ำเงิน และสีม่วง

การฉายภาพออร์โธกราฟิกของระนาบค็อกซ์เตอร์

E6 [12]	D5 [8]	D4 / A2 [6]	B6 [12/2]
A5 [6]	A4 [5]	A3 / D3 [4]

โครงสร้างนี้สร้างขึ้นโดยอิงตาม กลุ่ม E และสามารถดึงข้อมูลได้จากแผนภาพ Coxeter-Dynkin แบบวงแหวน ที่แสดงถึงรูปทรงหลายเหลี่ยมนี้: .

การถอดวงแหวนบนกิ่งสั้นออกจะทำให้เหลือโครงสร้าง 5-simplex ที่มีการแก้ไขสองครั้ง

การถอดวงแหวนบนกิ่งที่มีความยาว 2 กิ่งใดกิ่งหนึ่งจะทำให้ออร์โธเพล็กซ์ 5 ที่ถูกแก้ไขสองครั้งอยู่ในรูปแบบสลับกัน: t (2 ) , .

รูปทรงจุดยอดถูกกำหนดโดยการลบโหนดที่มีวงแหวนออกและสร้างวงแหวนรอบข้าง ซึ่งทำให้ได้ปริซึมคู่ 3-3 , {3}×{3}×{}, .

เมื่อพิจารณาในเมทริกซ์การกำหนดค่า จำนวนองค์ประกอบสามารถหาได้จากการลบกระจกและอัตราส่วนของลำดับกลุ่ม Coxeter ^{[ 3 ] [ 6 ]}

อี		เค -เฟซ	เอฟ	ฟ	ฟ	เอฟ			เอฟ					เอฟ					เอฟ			k -figure	หมายเหตุ
เอเอเอ		( )	ฟ	720	18	18	18	9	6	18	9	6	9	6	3	6	9	3	2	3	3	{3}×{3}×{ }	จ /กกก = 72·6!/3!/3!/2 = 720
เอเอเอ		{ }	ฟ	2	6480	2	2	1	1	4	2	1	2	2	1	2	4	1	1	2	2	{ }∨{ }∨( )	จ /กกก = 72·6!/2/2/2 = 6480
เอเอ		{3}	เอฟ	3	3	4320	*	*	1	2	1	0	0	2	1	1	2	0	1	2	1	สฟีนอยด์	จ /กก = 72·6!/3!/2 = 4320
				3	3	*	4320	*	0	2	0	1	1	1	0	2	2	1	1	1	2
เอเอเอ				3	3	*	*	2160	0	0	2	0	2	0	1	0	4	1	0	2	2	{ }∨{ }	จ /กกก = 72·6!/3!/2/2 = 2160
เอเอ		{3,3}	เอฟ	4	6	4	0	0	1080	*	*	*	*	2	1	0	0	0	1	2	0	{ }∨( )	จ /กก = 72·6!/3!/2 = 1,080
เอ		r{3,3}		6	12	4	4	0	*	2160	*	*	*	1	0	1	1	0	1	1	1	{3}	E /A = 72·6!/4! = 2160
เอเอ				6	12	4	0	4	*	*	1080	*	*	0	1	0	2	0	0	2	1	{ }∨( )	จ /กก = 72·6!/4!/2 = 1,080
		{3,3}		4	6	0	4	0	*	*	*	1080	*	0	0	2	0	1	1	0	2
		r{3,3}		6	12	0	4	4	*	*	*	*	1080	0	0	0	2	1	0	1	2
เอ		r{3,3,3}	เอฟ	10	30	20	10	0	5	5	0	0	0	432	*	*	*	*	1	1	0	{ }	E /A = 72·6!/5! = 432
เอเอ				10	30	20	0	10	5	0	5	0	0	*	216	*	*	*	0	2	0		จ /กก = 72·6!/5!/2 = 216
เอ				10	30	10	20	0	0	5	0	5	0	*	*	432	*	*	1	0	1		E /A = 72·6!/5! = 432
ดี		{3,4,3}		24	96	32	32	32	0	8	8	0	8	*	*	*	270	*	0	1	1		E /D = 72·6!/8/4! = 270
เอเอ		r{3,3,3}		10	30	0	20	10	0	0	0	5	5	*	*	*	*	216	0	0	2		จ /กก = 72·6!/5!/2 = 216
เอ		2r{3,3,3,3}	เอฟ	20	90	60	60	0	15	30	0	15	0	6	0	6	0	0	72	*	*	( )	E /A = 72·6!/6! = 72
ดี		2r{4,3,3,3}		80	480	320	160	160	80	80	80	0	40	16	16	0	10	0	*	27	*		E /D = 72·6!/16/5! = 27
				80	480	160	320	160	0	80	40	80	80	0	0	16	10	16	*	*	27

• โพลีโทป ที่ถูกตัดทอน 1 (ตัวย่อ: tim) ^{[ 7 ]}

โครงสร้างนี้สร้างขึ้นโดยอิงตาม กลุ่ม E และสามารถดึงข้อมูลได้จากแผนภาพ Coxeter-Dynkin แบบวงแหวน ที่แสดงถึงรูปทรงหลายเหลี่ยมนี้: .

ในภาพฉายนี้ จุดยอดจะถูกระบายสีตามจำนวนครั้งที่ปรากฏ โดยเรียงลำดับจากน้อยไปมาก ได้แก่ สีแดง สีส้ม สีเหลือง สีเขียว สีฟ้า และสีน้ำเงิน

การฉายภาพออร์โธกราฟิกของระนาบค็อกซ์เตอร์

E6 [12]	D5 [8]	D4 / A2 [6]	B6 [12/2]
A5 [6]	A4 [5]	A3 / D3 [4]

• ไบแคนเทลเลเต็ด 2
• เพนตาคอนตาเตตราเปตอน (บาร์ม) ที่ถูกแก้ไขสองครั้ง (โจนาธาน โบเวอร์ส) ^{[ 8 ]}

ในภาพฉายนี้ จุดยอดจะถูกระบายสีตามจำนวนครั้งที่ปรากฏ โดยเรียงลำดับจากน้อยไปมาก ได้แก่ สีแดง สีส้ม สีเหลือง สีเขียว สีฟ้า สีน้ำเงิน สีม่วง สีม่วงแดง และสีม่วงอมแดง

การฉายภาพออร์โธกราฟิกของระนาบค็อกซ์เตอร์

E6 [12]	D5 [8]	D4 / A2 [6]	B6 [12/2]
A5 [6]	A4 [5]	A3 / D3 [4]

• ไตรแคนเทลเลต 2
• Trirectified pentacontatetrapeton (ตัวย่อ: trim, เก่า: cacam, tram, mak) (Jonathan Bowers) ^{[ 9 ]}