ในทางเรขาคณิตทรงสี่หน้า ( พหูพจน์ : ทรงสี่หน้าหรือทรงสี่หน้า ) หรือที่รู้จักกันในชื่อพีระมิดสามเหลี่ยมเป็นทรงหลาย เหลี่ยมที่ประกอบด้วย หน้าสามเหลี่ยมสี่หน้า ขอบตรงหกขอบและจุดยอด สี่จุด ทรงสี่หน้าเป็น ทรงหลายเหลี่ยมนูนธรรมดาที่ง่ายที่สุด^{[ 1 ]}

ทรงสี่หน้าเป็น รูปทรง สามมิติของแนวคิดทั่วไปของ ซิ ม เพล็กซ์แบบยุคลิด และอาจเรียกได้ว่าซิมเพล็กซ์ 3 มิติ ได้เช่นกัน

ทรงสี่หน้าเป็นรูปทรงพีระมิด ชนิดหนึ่ง ซึ่งเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มี ฐาน เป็นรูปหลายเหลี่ยม แบนราบ และมีหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมเชื่อมต่อฐานกับจุดร่วมจุดหนึ่ง ในกรณีของทรงสี่หน้า ฐานจะเป็นรูปสามเหลี่ยม (หน้าใดก็ได้ในสี่หน้าสามารถถือเป็นฐานได้) ดังนั้นทรงสี่หน้าจึงมีชื่อเรียกอีกอย่างว่า "พีระมิดสามเหลี่ยม"

เช่นเดียวกับ รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนทั้งหมดรูปทรงสี่เหลี่ยมหน้าจั่วสามารถพับได้จากกระดาษแผ่นเดียว โดยมีโครง แบบดังกล่าวสอง แบบ^{[ 2 ]}

สำหรับทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าใดๆ จะมีทรงกลม (เรียกว่าทรงกลมล้อมรอบ ) ซึ่งจุดยอดทั้งสี่อยู่บนทรงกลมนั้น และทรงกลมอีกอัน (ทรงกลมภายใน ) ที่สัมผัสกับหน้าของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า^{[ 3 ]}

ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปกติและโครงตาข่ายของมัน

ทรงสี่หน้าปกติคือทรงสี่หน้าที่มีหน้าทั้งสี่เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ากล่าวอีกนัยหนึ่งคือ หน้าทุกหน้ามีขนาดและรูปร่างเหมือนกัน (เท่ากันทุกประการ) และขอบทุกด้านมีความยาวเท่ากัน ทรงสี่หน้าปกติเป็นเดลตาเฮดรอนที่ง่ายที่สุด ซึ่งเป็นทรงหลายเหลี่ยมที่มีหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า มีเดลตาเฮดรอนแบบนูนอีกเจ็ดแบบ^{[ 4 ]}

ถ้าขอบตรงข้ามทั้งสามคู่ของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าตั้งฉากกันจะเรียกว่าทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าแบบออร์โธเซนทริก แต่ถ้ามีเพียงขอบตรงข้ามคู่เดียวที่ตั้งฉากกัน จะเรียกว่า ทรงสี่เหลี่ยมด้าน เท่าแบบเซมิออร์โธเซนทริก ส่วน ทรงสี่เหลี่ยมด้าน เท่าแบบไตรสี่เหลี่ยมผืนผ้ามุมทั้งสามของหน้าตัดที่ จุดยอดจุด หนึ่งจะเป็นมุมฉากเหมือนกับมุมของลูกบาศก์

ทรง สี่หน้าไอโซไดนามิกคือทรงสี่หน้าที่เส้นเซเวียนซึ่งเชื่อมจุดยอดกับจุดศูนย์กลางภายในของหน้าตรงข้ามนั้นตัดกันที่ จุดเดียวกัน

ทรงสี่หน้าไอโซโกนิกมีเส้นเซเวียนที่เชื่อมต่อจุดยอดกับจุดสัมผัสของหน้าตรงข้ามกับทรงกลมที่อยู่ภายในทรงสี่หน้านั้น

ดิสฟีนอยด์ (Disphenoid)คือทรงสี่หน้าที่มีหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ 4 รูป โดยที่มุมทุกมุมของรูปสามเหลี่ยมเหล่านั้นเป็นมุมแหลม ทรงสี่หน้าปกติ (Regular tetrahedron) เป็นกรณีพิเศษของดิสฟีนอยด์ ชื่ออื่นๆ ของรูปทรงเดียวกันนี้ ได้แก่ บิสฟีนอยด์ (Bisphenoid), ทรงสี่หน้าหน้าจั่ว (Isosceles tetrahedron) และทรงสี่หน้าหน้าเท่ากัน (Equifacial tetrahedron)

รูปทรง 3-ออร์โธสคีมคือรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าที่หน้าทั้งสี่เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก รูป ทรง 3-ออร์โธสคีม ไม่ใช่รูปทรงดิสฟีนอยด์ เพราะขอบตรงข้ามมีความยาวไม่เท่ากัน ไม่สามารถสร้างรูปทรงดิสฟีนอยด์ที่มีหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือรูปสามเหลี่ยมมุมป้านได้

ออร์โธสคีมคือซิมเพล็กซ์ ที่ไม่ปกติ ซึ่งเป็นส่วนนูนของต้นไม้ที่ขอบทั้งหมดตั้งฉากกัน ในออร์โธสคีม 3 มิติ ต้นไม้ประกอบด้วยขอบตั้งฉาก 3 เส้นที่เชื่อมต่อจุดยอดทั้ง 4 จุดในเส้นทางเชิงเส้นที่เลี้ยวเป็นมุมฉาก 2 ครั้ง ออร์โธสคีม 3 มิติเป็นทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าที่มีมุมฉาก 2 มุมที่จุดยอดแต่ละจุด ดังนั้นชื่อเรียกอีกอย่างหนึ่งคือทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าแบบไบเรกแทงกู ลาร์ นอกจากนี้ยังเรียกว่า ทรง สี่เหลี่ยมด้านเท่าแบบค วอด ริเรกแทงกูลาร์เพราะมีมุมฉาก 4 มุม^{[ 5 ]}

Coxeter ยังเรียก tetrahedra สี่เหลี่ยมด้านเท่าว่า "tetrahedra ลักษณะเฉพาะ" เนื่องจากความสัมพันธ์เชิงปริพันธ์กับโพลีโทปปกติและกลุ่มสมมาตร^{[ 6 ]}ตัวอย่างเช่น กรณีพิเศษของ 3-orthoscheme ที่มีขอบตั้งฉากยาวเท่ากันเป็นลักษณะเฉพาะของลูกบาศก์ซึ่งหมายความว่าลูกบาศก์สามารถแบ่งย่อยออกเป็นอินสแตนซ์ของ orthoscheme นี้ได้ หากขอบตั้งฉากทั้งสามมีความยาวหนึ่งหน่วย ขอบที่เหลือจะมีความยาว√2 สอง ขอบและความยาว√3 หนึ่ง ขอบดังนั้นขอบทั้งหมดจึงเป็นขอบหรือเส้นทแยงมุมของลูกบาศก์ ลูกบาศก์สามารถแยกย่อยออกเป็น 3-orthoscheme ดังกล่าวได้ 6 แบบสี่วิธีที่แตกต่างกัน โดยทั้งหกวิธี นั้น ล้อมรอบเส้นทแยงมุมของลูกบาศก์ √3เดียวกันลูกบาศก์ยังสามารถแบ่งออกเป็น 48 ส่วนที่ เล็กกว่าของโครงสร้าง 3-orthoscheme ที่มีลักษณะเฉพาะนี้ (เพียงวิธีเดียว โดยใช้ระนาบสมมาตรทั้งหมดพร้อมกัน) รูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าลักษณะเฉพาะของลูกบาศก์นี้เป็นตัวอย่างของรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าแบบเฮโรเนียน

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติทุกรูป รวมทั้งทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปกติ มีโครงร่างเชิงตั้งฉากเฉพาะ ของตนเอง มีโครงร่างเชิงตั้งฉาก 3 มิติ ซึ่งเป็น "ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าเฉพาะของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปกติ" ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปกติแบ่งย่อยออกเป็น 24 ตัวอย่างของรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าที่เป็นเอกลักษณ์โดยอาศัยระนาบสมมาตร รูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปกติที่มี 24 รูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า จะปรากฏในรูปแบบภาพสะท้อนสองแบบ แบบละ 12 รูปทรง

ลักษณะของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปกติ[ 7 ]
	ขอบ	อาร์ค		ไดเฮดรัล
𝒍	${\displaystyle 2}$	109°28′16″	${\displaystyle \pi -2\kappa }$	70°31′44″	${\displaystyle \pi -2\psi }$
0	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {4}{3}}}\approx 1.155}$	70°31′44″	${\displaystyle 2\kappa }$	60°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}$
𝝉 [ a ]	${\displaystyle 1}$	54°44′8″	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}-\คัปปา }$	60°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}$
𝟁	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{3}}}\approx 0.577}$	54°44′8″	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}-\คัปปา }$	60°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}$
${\displaystyle _{0}R/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{2}}}\approx 1.225}$
${\displaystyle _{1}R/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707}$
${\displaystyle _{2}R/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}}\approx 0.408}$
${\displaystyle \kappa }$		35°15′52″	${\displaystyle {\tfrac {{\text{arc sec }}3}{2}}}$

ถ้าทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปกติมีขอบยาว 𝒍 = 2 ขอบทั้งหกของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าลักษณะเฉพาะจะมีขนาดความยาว, , รอบหน้าสามเหลี่ยมมุมฉากภายนอก (ขอบตรงข้ามมุมลักษณะเฉพาะ 𝟀, 𝝉, 𝟁) ^{[ a ]} ​​บวก, , (ขอบที่เป็นรัศมีลักษณะเฉพาะของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปกติ) เส้นทาง 3 ขอบตามขอบตั้งฉากของออร์โธสคีมคือ, , , เริ่มจากจุดยอดของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าไปยังจุดศูนย์กลางของขอบทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า จากนั้นเลี้ยว 90° ไปยังจุดศูนย์กลางของหน้าทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า จากนั้นเลี้ยว 90° ไปยังจุดศูนย์กลางของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า ออร์โธสคีมมีหน้าสามเหลี่ยมมุมฉากที่ไม่เหมือนกันสี่หน้า หน้าภายนอกเป็นรูปสามเหลี่ยม 60-90-30ซึ่งเป็นหนึ่งในหกของหน้าทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า หน้าทั้งสามด้านในของทรงสี่เหลี่ยมพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมด้านเท่า ได้แก่: รูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้าน, , , รูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้าน, , , และรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้าน, , . ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {4}{3}}}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{3}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{2}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{3}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{2}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{3}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {4}{3}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{2}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}}}$

รูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าที่เติมเต็มพื้นที่จะบรรจุสำเนาที่สมมาตรโดยตรงหรือเป็นภาพสะท้อน ( ภาพสะท้อนในกระจก ) ของตัวเองเพื่อปูพื้นที่^{[ 8 ]}ลูกบาศก์สามารถแบ่งออกเป็น 3-ออร์โธสคีมได้ 6 แบบ คือ แบบซ้าย 3 แบบและแบบขวา 3 แบบ (แบบละ 1 อันที่แต่ละหน้าของลูกบาศก์) และลูกบาศก์สามารถเติมเต็มพื้นที่ได้ ดังนั้น 3-ออร์โธสคีมลักษณะเฉพาะของลูกบาศก์จึงเป็นรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าที่เติมเต็มพื้นที่ในความหมายนี้ (ออร์โธสคีมลักษณะเฉพาะของลูกบาศก์เป็นหนึ่งในรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าของฮิลล์ซึ่งเป็นตระกูลของรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าที่เติมเต็มพื้นที่ รูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าที่เติมเต็มพื้นที่ทั้งหมดสมมาตรแบบกรรไกรกับลูกบาศก์)

ดิสฟีนอยด์สามารถเป็นทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าที่เติมเต็มพื้นที่ได้ในแง่ของความสอดคล้องกันโดยตรง ดังเช่นในโครงสร้างรังผึ้งทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าดิสฟีนอยด์อย่างไรก็ตาม ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปกติไม่สามารถเติมเต็มพื้นที่ได้ด้วยตัวเอง (ยิ่งไปกว่านั้น มันไม่สอดคล้องกับรูปทรงหลายเหลี่ยมอื่นใดที่สามารถเติมเต็มพื้นที่ได้ ดูปัญหาที่สามของฮิลเบิร์ต ) โครงสร้างรังผึ้งทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า-ทรงแปดเหลี่ยมเติมเต็มพื้นที่ด้วยเซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปกติและ เซลล์ ทรงแปดเหลี่ยม ปกติสลับกัน ในอัตราส่วน 2:1

เตตระเฮดรอนที่ไม่ปกติซึ่งเป็นโดเมนพื้นฐาน^{[ 9 ]}ของกลุ่มสมมาตรเป็นตัวอย่างของเตตระเฮดรอนกูร์ซาต์เตตระเฮดรอนกูร์ซาต์สร้างโพลีเฮดรอนปกติทั้งหมด (และโพลีเฮดรอนสม่ำเสมออื่นๆ อีกมากมาย) โดยการสะท้อนภาพ ซึ่งเป็นกระบวนการที่เรียกว่า การสร้างคาไลโด สโคป ของไวทอฟฟ์

สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยม วิธีการสร้างของ Wythoff จะจัดเรียงกระจกสามบานทำมุมกัน เหมือนกับใน กล้อง คาไลโดสโคปแต่ต่างจากกล้องคาไลโดสโคปทรงกระบอกตรงที่ กระจกของ Wythoff จะอยู่บนหน้าทั้งสามของรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า Goursat โดยที่กระจกทั้งสามบานตัดกันที่จุดเดียว ( แผนภาพ Coxeter-Dynkinของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่สร้างขึ้นจะมีจุดสามจุดที่แทนกระจกทั้งสามบาน มุมไดเฮดรัลระหว่างกระจกแต่ละคู่จะถูกเข้ารหัสไว้ในแผนภาพ เช่นเดียวกับตำแหน่งของจุดกำเนิด จุดเดียว ซึ่งจะถูกคูณด้วยค่าการสะท้อนของกระจกไปยังจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยม)

ในบรรดาเตตระเฮดราของกูร์ซาต์ที่สร้าง รังผึ้งสามมิติเราสามารถจำแนกออร์โธสคีม (เตตระเฮดราลักษณะเฉพาะของลูกบาศก์) ดับเบิลออร์โธสคีม (เตตระเฮดราลักษณะเฉพาะของลูกบาศก์ที่เชื่อมหน้ากับภาพสะท้อน) และดิสฟีนอยด์ที่เติมเต็มพื้นที่ดังที่แสดงไว้ข้างต้น [ ^{6 ] ดิ}สฟีนอยด์คือดับเบิลออร์โธสคีมที่เชื่อมหน้ากับภาพสะท้อน (ควอดรูเพิลออร์โธสคีม) ดังนั้น เตตระเฮดราของกูร์ซาต์ทั้งสามนี้ และโพลีเฮดราทั้งหมดที่เกิดจากการสะท้อน สามารถแยกออกเป็นเตตระเฮดราลักษณะเฉพาะของลูกบาศก์ได้

การแบ่งย่อยทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าเป็นกระบวนการที่ใช้ในเรขาคณิตเชิงคำนวณและการสร้างแบบจำลอง 3 มิติ เพื่อแบ่งทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าออกเป็นทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าขนาดเล็กหลายๆ ทรง กระบวนการนี้ช่วยเพิ่มความซับซ้อนและรายละเอียดของตาข่ายทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า ซึ่งเป็นประโยชน์อย่างยิ่งในการจำลองเชิงตัวเลข การวิเคราะห์องค์ประกอบจำกัด และกราฟิกคอมพิวเตอร์ หนึ่งในวิธีการแบ่งย่อยที่ใช้กันทั่วไปคือ การ แบ่งครึ่ง ขอบที่ยาวที่สุด (Longest Edge Bisection หรือ LEB)ซึ่งระบุขอบที่ยาวที่สุดของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าและแบ่งครึ่งที่จุดกึ่งกลาง ทำให้เกิดทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าขนาดเล็กใหม่สองทรง เมื่อกระบวนการนี้ทำซ้ำหลายๆ ครั้ง โดยแบ่งครึ่งทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าทั้งหมดที่สร้างขึ้นในแต่ละรอบก่อนหน้า กระบวนการนี้เรียกว่า การแบ่งครึ่งขอบที่ยาวที่สุดแบบวนซ้ำ (Iterative LEB)

กลุ่มความคล้ายคลึง (Similarity Class)คือเซตของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าที่มีรูปทรงเรขาคณิตเหมือนกัน โดยไม่คำนึงถึงตำแหน่ง การวางแนว และขนาดที่เฉพาะเจาะจง ดังนั้น ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าสองรูปใดๆ ที่อยู่ในกลุ่มความคล้ายคลึงเดียวกัน สามารถแปลงไปมาระหว่างกันได้โดยใช้การแปลงเชิงเส้น (affine transformation) ผลลัพธ์ของการมีจำนวนกลุ่มความคล้ายคลึงที่จำกัดในวิธีการแบ่งย่อยแบบวนซ้ำมีความสำคัญต่อการสร้างแบบจำลองและการจำลองด้วยคอมพิวเตอร์ ช่วยลดความแปรปรวนในรูปทรงและขนาดของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าที่สร้างขึ้น ป้องกันการก่อตัวขององค์ประกอบที่มีรูปร่างไม่สม่ำเสมอสูงซึ่งอาจส่งผลเสียต่อผลลัพธ์การจำลอง

LEB แบบวนซ้ำของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปกติได้รับการพิสูจน์แล้วว่าสร้างคลาสความคล้ายคลึงกันเพียง 8 คลาสเท่านั้น ยิ่งไปกว่านั้น ในกรณีของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าที่เกือบเท่ากันซึ่งขอบที่ยาวที่สุดสองขอบไม่ได้เชื่อมต่อกัน และอัตราส่วนระหว่างขอบที่ยาวที่สุดกับขอบที่สั้นที่สุดมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับLEB แบบวนซ้ำจะสร้างคลาสความคล้ายคลึงกันไม่เกิน 37 คลาส^{[ 10 ]}${\displaystyle {\sqrt {3/2}}}$

โดยทั่วไป รูปทรงสี่เหลี่ยมหน้าจั่วเป็น วัตถุ สามมิติที่มีสี่หน้า หกขอบ และสี่จุดยอด สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นพีระมิดเมื่อใดก็ตามที่หน้าใดหน้าหนึ่งสามารถถือเป็นฐานได้โครงร่าง 1 มิติของมันโดยทั่วไปสามารถมองเห็นได้ว่าเป็นกราฟตามทฤษฎีบทของสไตน์นิทซ์ซึ่งเรียกว่ากราฟสี่เหลี่ยมหน้าจั่วซึ่งเป็นหนึ่งในกราฟเพลโตนิคเป็นกราฟสมบูรณ์ เพราะจุดยอดทุกคู่มีขอบที่ไม่ซ้ำกัน ในระนาบ กราฟนี้สามารถมองได้ว่าเป็นรูปสามเหลี่ยมที่จุดยอดสามจุดเชื่อมต่อกับจุดยอดที่สี่ตรงกลาง ซึ่งเรียกว่าจุดยอดสากลดังนั้น กราฟสี่เหลี่ยมหน้าจั่วจึงเป็นกราฟวงล้อ^{[ 11 ]}${\displaystyle K_{4}}$

ทรงสี่หน้าเป็นทรงหลายเหลี่ยมชนิดหนึ่งที่ไม่มีเส้นทแยงมุมในอวกาศ ทรงหลายเหลี่ยมชนิดอื่นที่มีคุณสมบัติดังกล่าว ได้แก่ทรงหลายเหลี่ยม Császárและทรงหลายเหลี่ยม Schonhardt ^{[ 12 ]}นอกจากนี้ยังรู้จักกันในชื่อ3-simplexซึ่งเป็นการวางนัยทั่วไปของรูปสามเหลี่ยมในหลายมิติ ทรงสี่หน้าเป็น ทรง หลายเหลี่ยมคู่ของตัวเอง หมายความว่า ทรงหลายเหลี่ยมคู่ของมันคือทรงสี่หน้าเอง^{[ 13 ]}คุณสมบัติอื่นๆ ของทรงสี่หน้าได้รับการอธิบายอย่างชัดเจนในส่วนต่อไปนี้

ปริมาตรของทรงสี่หน้ากำหนดโดยสูตร: โดยที่คือพื้นที่ของฐาน และ คือความสูงจากฐานถึงจุดยอด สูตรนี้ใช้ได้กับฐานทั้งสี่แบบ ดังนั้นระยะห่างจากจุดยอดไปยังหน้าตรงข้ามจึงแปรผกผันกับพื้นที่ของหน้าเหล่านั้น อีกวิธีหนึ่งคือการแบ่งปริซึมสามเหลี่ยมออกเป็นสามส่วน^{[ 14 ]}$${\displaystyle V={\frac {1}{3}}Ah.}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle h}$

แนวทาง พีชคณิตเชิงเส้นเป็นอีกวิธีหนึ่งโดยกำหนดจุดยอดในรูปเวกเตอร์ดังนี้: ในแง่ของดีเทอร์มิแนนต์ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมหน้าจั่วคือหนึ่งในหกของ ปริมาตรของทรง สี่เหลี่ยมด้านขนาน ใดๆ ที่มีขอบบรรจบกันสามด้านร่วมกัน^{[ 15 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=(a_{1},a_{2},a_{3}),\\\mathbf {b} &=(b_{1},b_{2},b_{3}),\\\mathbf {c} &=(c_{1},c_{2},c_{3}),\\\mathbf {d} &=(d_{1},d_{2},d_{3}).\end{aligned}}}$$${\textstyle {\frac {1}{6}}\det(\mathbf {a} -\mathbf {d} ,\mathbf {b} -\mathbf {d} ,\mathbf {c} -\mathbf {d} )}$

ในทำนองเดียวกัน โดยใช้จุดยอดที่กำหนด วิธีการอีกวิธีหนึ่งคือการใช้ค่าสัมบูรณ์ของผลคูณสามเท่าเชิงสเกลาร์ ซึ่งแสดงถึงค่าสัมบูรณ์ของดีเทอร์มิแนนต์ดังนั้น ${\displaystyle 6\cdot V={\begin{vmatrix}\mathbf {a} &\mathbf {b} &\mathbf {c} \end{vmatrix}}}$$${\displaystyle 36\cdot V^{2}={\begin{vmatrix}\mathbf {a^{2}} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {b^{2}} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} &\mathbf {c^{2}} \end{vmatrix}}.}$$

ในที่นี้, , และตัวแปร, , และแทนค่ามาตรฐานของเวกเตอร์, , และตามลำดับ ซึ่งจะได้ โดยที่อักษรกรีกตัวเล็กแทนมุมระนาบที่เกิดขึ้นที่จุดยอด: มุมคือมุมระหว่างขอบสองขอบที่เชื่อมจุดยอดกับจุดยอดและ; มุมทำเช่นนั้นสำหรับจุดยอดและ; ในขณะที่มุมถูกกำหนดโดยตำแหน่งของจุดยอดและ เมื่อ พิจารณาว่าดังนั้น ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =ab\cos {\gamma }}$${\displaystyle \mathbf {b} \cdot \mathbf {c} =bc\cos {\alpha }}$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {c} =ac\cos {\beta }.}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle \mathbf {c} }$$${\displaystyle V={\frac {abc}{6}}{\sqrt {1+2\cos {\alpha }\cos {\beta }\cos {\gamma }-\cos ^{2}{\alpha }-\cos ^{2}{\beta }-\cos ^{2}{\gamma }}},\,}$$${\displaystyle \mathbf {d} }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \mathbf {d} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle \mathbf {c} }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {c} }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle \mathbf {d} =0}$$${\displaystyle 6\cdot V=\left|\det \left({\begin{matrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}&d_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}&d_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}&d_{3}\\1&1&1&1\end{matrix}}\right)\right|\,.}$$

เมื่อทราบระยะห่างระหว่างจุดยอดของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าแล้ว สามารถคำนวณปริมาตรได้โดยใช้ดีเทอร์มิแนนต์ของเคย์ลีย์-เมนเจอร์โดย ที่ตัวห้อยแทนจุดยอดและคือระยะห่างระหว่างจุดยอดทั้งสอง ซึ่งก็คือความยาวของขอบที่เชื่อมจุดยอดทั้งสองนั้น ค่าดีเทอร์มิแนนต์ที่เป็นลบหมายความว่าไม่สามารถสร้างทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าได้ด้วยระยะห่างที่กำหนด สูตรนี้บางครั้งเรียกว่าสูตรของทาร์ตาเกลียซึ่งโดยพื้นฐานแล้วเป็นผลงานของจิตรกร ปี เอโร เดลลา ฟรานเชสกาในศตวรรษที่ 15 โดยเป็นสูตรสามมิติที่เทียบเคียงได้กับสูตรของเฮรอน ในศตวรรษที่ 1 สำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยม $${\displaystyle 288\cdot V^{2}={\begin{vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&d_{14}^{2}\\1&d_{12}^{2}&0&d_{23}^{2}&d_{24}^{2}\\1&d_{13}^{2}&d_{23}^{2}&0&d_{34}^{2}\\1&d_{14}^{2}&d_{24}^{2}&d_{34}^{2}&0\end{vmatrix}}}$$${\displaystyle i,j\in \{1,2,3,4\}}$${\displaystyle \{\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} ,\mathbf {d} \}}$${\displaystyle d_{ij}}$

ให้, , และเป็นความยาวของขอบสามด้านที่มาบรรจบกันที่จุดหนึ่ง และ, , และเป็นความยาวของขอบตรงข้าม ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าคือ: ^{[ 16 ]} โดยที่ สูตรข้างต้นใช้ความยาวของขอบหกด้าน และสูตรต่อไปนี้ใช้ความยาวของขอบสามด้านและมุมสามมุม^{[ 16 ]}${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle V}$$${\displaystyle V={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}c^{2}-a^{2}X^{2}-b^{2}Y^{2}-c^{2}Z^{2}+XYZ}}{12}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}X&=b^{2}+c^{2}-x^{2},\\Y&=a^{2}+c^{2}-y^{2},\\Z&=a^{2}+b^{2}-z^{2}.\end{aligned}}}$$$${\displaystyle V={\frac {abc}{6}}{\sqrt {1+2\cos {\alpha }\cos {\beta }\cos {\gamma }-\cos ^{2}{\alpha }-\cos ^{2}{\beta }-\cos ^{2}{\gamma }}}}$$

ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมหน้าจั่วสามารถหาได้โดยใช้สูตรของเฮรอน สมมติว่า, , , , , และคือความยาวของขอบของทรงสี่เหลี่ยมหน้าจั่ว ดังแสดงในภาพต่อไปนี้ ในที่นี้ สามด้านแรกประกอบกันเป็นรูปสามเหลี่ยม โดยมีด้านตรงข้าม, ด้านตรงข้าม, และด้านตรงข้ามดังนั้น ${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle w}$${\displaystyle u}$${\displaystyle U}$${\displaystyle v}$${\displaystyle V}$${\displaystyle w}$${\displaystyle W}$$${\displaystyle V={\frac {\sqrt {\,(-p+q+r+s)\,(p-q+r+s)\,(p+q-r+s)\,(p+q+r-s)}}{192\,u\,v\,w}}}$$

ที่ไหน และ $${\displaystyle {\begin{aligned}p={\sqrt {xYZ}},&\quad q={\sqrt {yZX}},\\r={\sqrt {zXY}},&\quad s={\sqrt {xyz}},\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}X=(w-U+v)(U+v+w),&\quad x=(U-v+w)(v-w+U),\\Y=(u-V+w)(V+w+u),&\quad y=(V-w+u)(w-u+V),\\Z=(v-W+u)(W+u+v),&\quad z=(W-u+v)\,(u-v+W).\end{aligned}}}$$

ระนาบใดๆ ที่มีเส้นกึ่งกลาง (เส้นเชื่อมจุดกึ่งกลางของขอบตรงข้าม) ของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าจะแบ่งปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าออกเป็นสองส่วนเท่า^{[ 17 ]}

สำหรับทรงสี่หน้าในปริภูมิไฮเปอร์โบลิก หรือใน เรขาคณิต วงรี สามมิติมุมไดเฮดรัลของทรงสี่หน้าจะเป็นตัวกำหนดรูปร่างและปริมาตรของมัน ในกรณีเหล่านี้ ปริมาตรจะกำหนดโดยสูตร Murakami–Yanoตามชื่อของ Jun Murakami และ Masakazu Yano ^{[ 18 ]}อย่างไรก็ตาม ในปริภูมิยูคลิด การปรับขนาดทรงสี่หน้าจะเปลี่ยนปริมาตรแต่ไม่เปลี่ยนมุมไดเฮดรัล ดังนั้นจึงไม่มีสูตรดังกล่าวอยู่

ขอบตรงข้ามสองด้านใดๆ ของทรงสี่เหลี่ยมหน้าจั่วจะอยู่บนเส้นตรงเฉียง สองเส้น และระยะห่างระหว่างขอบทั้งสองนั้นกำหนดให้เป็นระยะห่างระหว่างเส้นตรงเฉียงทั้งสองเส้น ให้เป็นระยะห่างระหว่างเส้นตรงเฉียงที่เกิดจากขอบตรงข้ามและดังที่คำนวณไว้ในที่นี้แล้วสูตรอีกสูตรหนึ่งสำหรับปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมหน้าจั่วคือ ${\displaystyle d}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \mathbf {b} -\mathbf {c} }$${\displaystyle V}$$${\displaystyle V={\frac {d|(\mathbf {a} \times \mathbf {(b-c)} )|}{6}}.}$$

ทรงสี่หน้ามีคุณสมบัติหลายอย่างที่คล้ายคลึงกับรูปสามเหลี่ยม รวมถึงทรงกลมภายใน ทรงกลมล้อมรอบ ทรงสี่หน้าตรงกลาง และทรงกลมภายนอก มีจุดศูนย์กลางต่างๆ เช่น จุดศูนย์กลางภายใน จุดศูนย์กลางล้อมรอบ จุดศูนย์กลางภายนอก จุดศูนย์กลางสปีกเกอร์และจุดต่างๆ เช่น จุดศูนย์กลางมวล อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้วจะไม่มีจุดศูนย์กลางเชิงตั้งฉากในความหมายของเส้นความสูงที่ตัดกัน^{[ 19 ]}

Gaspard Mongeพบจุดศูนย์กลางที่มีอยู่ในรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าทุกรูป ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าจุด Monge : จุดที่ระนาบกลางทั้งหกของรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าตัดกัน ระนาบกลางถูกกำหนดให้เป็นระนาบที่ตั้งฉากกับขอบที่เชื่อมจุดยอดสองจุดใดๆ และยังประกอบด้วยจุดศูนย์กลางมวลของขอบตรงข้ามที่เกิดจากการเชื่อมจุดยอดอีกสองจุด^{[ 20 ]}เส้นตั้งฉากที่ลากจากจุด Monge ไปยังหน้าใดๆ จะตัดกับหน้านั้นที่จุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงระหว่างจุดศูนย์กลางตั้งฉากของหน้านั้นกับจุดปลายของเส้นความสูงที่ลากจากจุดยอดตรงข้าม หากเส้นความสูงของรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าตัดกัน จุด Monge และจุดศูนย์กลางตั้งฉากจะตรงกัน ทำให้เกิดรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าแบบออร์โธเซนทริก

เส้นตรงที่เชื่อมจุดยอดของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่ากับจุดศูนย์กลางมวลของหน้าตรงข้ามเรียกว่าเส้นมัธยฐานและเส้นตรงที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของขอบตรงข้ามสองด้านเรียกว่าเส้นไบมัธยฐานของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า ดังนั้น ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าจึงมีเส้นมัธยฐานสี่เส้นและเส้นไบมัธยฐานสามเส้น เส้นตรงทั้งเจ็ดเส้นนี้ตัดกันที่จุดหนึ่งซึ่งเรียกว่าจุดศูนย์กลางมวลของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า^{[ 21 ]}นอกจากนี้เส้นมัธยฐานทั้งสี่เส้นยังถูกแบ่งในอัตราส่วน 3:1 โดยจุดศูนย์กลางมวล [ ^{22 ] จุดศูนย์กลาง}มวลของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าคือจุดกึ่งกลางระหว่างจุด Monge และจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบ จุดเหล่านี้กำหนดเส้น Eulerของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าซึ่งคล้ายคลึงกับเส้น Eulerของรูปสามเหลี่ยม

วงกลมเก้าจุดของสามเหลี่ยมทั่วไปมีลักษณะคล้ายคลึงกับทรงกลมล้อมรอบของทรงสี่เหลี่ยมหน้ากลางของทรงสี่เหลี่ยมหน้ากลาง มันคือทรงกลมสิบสองจุดและนอกจากจุดศูนย์กลางของหน้าทั้งสี่ของทรงสี่เหลี่ยมหน้าอ้างอิงแล้ว มันยังผ่านจุดออยเลอร์ทดแทนสี่จุดซึ่งอยู่ห่างจากจุด Monge ไปทางจุดยอดทั้งสี่จุดเป็นระยะทางหนึ่งในสาม สุดท้าย มันยังผ่านจุดฐานทั้งสี่ของเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดออยเลอร์แต่ละจุดไปยังหน้าที่ไม่มีจุดยอดที่สร้างจุดออยเลอร์นั้น^{[ 23 ]}

จุดศูนย์กลางของทรงกลมสิบสองจุดยังอยู่บนเส้นออยเลอร์ด้วย แต่ต่างจากทรงกลมสามเหลี่ยม จุดศูนย์กลางนี้อยู่ห่างจากจุดมองเก (Monge point) ไปทางจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบ (circumcenter) เป็นระยะหนึ่งในสาม นอกจากนี้ เส้นตั้งฉากที่ลากผ่านหน้าตัดที่เลือกจะอยู่บนระนาบเดียวกันกับเส้นตั้งฉากอีกสองเส้นที่ลากผ่านหน้าตัดเดียวกัน เส้นแรกเป็นเส้นตั้งฉากที่ผ่านจุดออยเลอร์ที่สอดคล้องกับหน้าตัดที่เลือก เส้นที่สองเป็นเส้นตั้งฉากที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวลของหน้าตัดที่เลือก เส้นตั้งฉากที่ลากผ่านจุดศูนย์กลางสิบสองจุดนี้อยู่กึ่งกลางระหว่างเส้นตั้งฉากของจุดออยเลอร์และเส้นตั้งฉากของจุดศูนย์กลางมวล ยิ่งไปกว่านั้น สำหรับหน้าตัดใดๆ จุดศูนย์กลางสิบสองจุดจะอยู่ตรงจุดกึ่งกลางระหว่างจุดออยเลอร์ที่สอดคล้องกับจุดศูนย์กลางตั้งฉากของหน้าตัดนั้น ${\displaystyle T}$${\displaystyle M}$${\displaystyle T}$

รัศมีของทรงกลมสิบสองจุดมีค่าเท่ากับหนึ่งในสามของรัศมีวงกลมล้อมรอบของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าอ้างอิง

มีความสัมพันธ์ระหว่างมุมที่เกิดจากหน้าของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าทั่วไปที่กำหนดโดย^{[ 24 ]}

${\displaystyle {\begin{vmatrix}-1&\cos {(\alpha _{12})}&\cos {(\alpha _{13})}&\cos {(\alpha _{14})}\\\cos {(\alpha _{12})}&-1&\cos {(\alpha _{23})}&\cos {(\alpha _{24})}\\\cos {(\alpha _{13})}&\cos {(\alpha _{23})}&-1&\cos {(\alpha _{34})}\\\cos {(\alpha _{14})}&\cos {(\alpha _{24})}&\cos {(\alpha _{34})}&-1\\\end{vmatrix}}=0\,}$

มุมระหว่างหน้าทั้งสองและ คือเท่าใด${\displaystyle \alpha _{ij}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

ค่ามัธยฐานทางเรขาคณิตของพิกัดตำแหน่งจุดยอดของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าและจุดศูนย์กลางไอโซโกนิกมีความสัมพันธ์กัน ภายใต้สถานการณ์ที่คล้ายคลึงกับที่สังเกตได้สำหรับรูปสามเหลี่ยมลอเรนซ์ ลินเดลอฟพบว่า ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าใดๆ ก็ตามจะมีจุดหนึ่งที่เรียกว่าจุดศูนย์กลางไอโซโกนิกซึ่งมุมตันที่รองรับโดยหน้าต่างๆ มีค่าเท่ากัน โดยมีค่าร่วมกันคือsrและมุมที่รองรับโดยขอบตรงข้ามมีค่าเท่ากัน^{[ 25 ]} มุมตันsr มีค่าเท่ากับหนึ่งในสี่ของมุมตันที่รองรับโดยพื้นที่ทั้งหมด เมื่อมุมตันทั้งหมดที่จุดยอดของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่ามีค่าน้อยกว่าsr ค่าจะอยู่ภายในทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า เนื่องจากผลรวมของระยะทางจากไปยังจุดยอดมีค่าน้อยที่สุด ค่าจึงตรงกับค่ามัธยฐานทางเรขาคณิตของจุดยอด หากมุมตันที่จุดยอดจุดใดจุดหนึ่งมีค่าเท่ากับsr พอดี ค่า และจะตรงกับ. อย่างไรก็ตาม หากทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่ามีจุดยอดที่มีมุมตันมากกว่าsr จุดยอด นั้นก็ยังคงสอดคล้องกับแต่จะอยู่นอกทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า ${\displaystyle O}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle O}$${\displaystyle O}$${\displaystyle O}$${\displaystyle M}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle O}$${\displaystyle M}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle M}$${\displaystyle v}$${\displaystyle O}$

บทสรุปหนึ่งของกฎไซน์ ทั่วไป คือ ในทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าที่มีจุดยอด, , , , จะกำหนดโดย เราอาจมองว่าด้านทั้งสองของเอกลักษณ์นี้สอดคล้องกับการวางแนวตามเข็มนาฬิกาและทวนเข็มนาฬิกาของพื้นผิว การแทนค่าจุดยอดใดๆ ในสี่จุดยอดนั้นด้วย จะทำให้เกิดเอกลักษณ์ดังกล่าวสี่แบบ แต่จะมีเพียงสามแบบเท่านั้นที่เป็นอิสระต่อกัน หากนำด้าน "ตามเข็มนาฬิกา" ของสามแบบนั้นมาคูณกัน และอนุมานได้ว่าผลคูณนั้นเท่ากับผลคูณของด้าน "ทวนเข็มนาฬิกา" ของสามเอกลักษณ์เดียวกันนั้น ดังนั้น ตัวประกอบร่วมจะถูกตัดออกไปจากทั้งสองด้าน และผลลัพธ์ที่ได้คือเอกลักษณ์ที่สี่ ${\displaystyle O}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$$${\displaystyle \sin \angle OAB\cdot \sin \angle OBC\cdot \sin \angle OCA=\sin \angle OAC\cdot \sin \angle OCB\cdot \sin \angle OBA.}$$${\displaystyle O}$

มุมทั้งสามจะเป็นมุมของสามเหลี่ยมบางรูปก็ต่อเมื่อผลรวมของมุมเหล่านั้นเท่ากับ 180° (π เรเดียน) เงื่อนไขใดสำหรับมุมทั้ง 12 มุมที่จำเป็นและเพียงพอเพื่อให้มุมเหล่านั้นเป็นมุมทั้ง 12 มุมของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าบางรูป? ผลรวมของมุมของด้านใดด้านหนึ่งของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าจะต้องเท่ากับ 180° เนื่องจากมีสามเหลี่ยมดังกล่าวสี่รูป จึงมีข้อจำกัดดังกล่าวสี่ข้อเกี่ยวกับผลรวมของมุม และจำนวนองศาอิสระจึงลดลงจาก 12 เหลือ 8 ความสัมพันธ์ทั้งสี่ที่กำหนดโดยกฎไซน์นี้ยังช่วยลดจำนวนองศาอิสระลงอีก จาก 8 เหลือไม่ใช่ 4 แต่เป็น 5 เนื่องจากข้อจำกัดข้อที่สี่ไม่ได้เป็นอิสระจากสามข้อแรก ดังนั้น พื้นที่ของรูปทรงทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าทั้งหมดจึงมี 5 มิติ^{[ 26 ]}

ให้, , , เป็นจุดของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า ให้เป็นพื้นที่ของหน้าตรงข้ามจุดยอดและให้เป็นมุมไดเฮดรัลระหว่างสองหน้าของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าที่อยู่ติดกับขอบกฎของโคไซน์สำหรับทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า ซึ่งเชื่อมโยงพื้นที่ของหน้าของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่ากับมุมไดเฮดรัลรอบจุดยอด มีความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้: ^{[ 27 ]}${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle P_{3}}$${\displaystyle P_{4}}$${\displaystyle \Delta _{i}}$${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle \theta _{ij}}$${\displaystyle P_{i}P_{j}}$$${\displaystyle \Delta _{i}^{2}=\Delta _{j}^{2}+\Delta _{k}^{2}+\Delta _{l}^{2}-2(\Delta _{j}\Delta _{k}\cos \theta _{il}+\Delta _{j}\Delta _{l}\cos \theta _{ik}+\Delta _{k}\Delta _{l}\cos \theta _{ij})}$$

ให้เป็นจุดภายในใดๆ ของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าที่มีปริมาตร ซึ่งจุดยอดคือ, , , และซึ่งพื้นที่ของหน้าตรงข้ามคือ, , , และจากนั้น^{[ 28 ]}${\displaystyle P}$${\displaystyle V}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle F_{a}}$${\displaystyle F_{b}}$${\displaystyle F_{c}}$${\displaystyle F_{d}}$$${\displaystyle PA\cdot F_{\mathrm {a} }+PB\cdot F_{\mathrm {b} }+PC\cdot F_{\mathrm {c} }+PD\cdot F_{\mathrm {d} }\geq 9V.}$$

สำหรับจุดยอด, , , และจุดภายใน, และเท้า, , , และของเส้นตั้งฉากจากไปยังหน้า และสมมติว่าหน้ามีพื้นที่เท่ากัน ดังนั้น: ^{[ 29 ]}${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle P}$${\displaystyle J}$${\displaystyle K}$${\displaystyle L}$${\displaystyle M}$${\displaystyle P}$$${\displaystyle PA+PB+PC+PD\geq 3(PJ+PK+PL+PM).}$$

โดยกำหนดรัศมีภายในของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าเป็นและรัศมีภายในของหน้าสามเหลี่ยมเป็นสำหรับแล้ว: ^{[ 30 ]} โดยมีความเท่าเทียมกันก็ต่อเมื่อทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าเป็นทรงปกติ ${\displaystyle r}$${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle i=1,2,3,4}$$${\displaystyle {\frac {1}{r_{1}^{2}}}+{\frac {1}{r_{2}^{2}}}+{\frac {1}{r_{3}^{2}}}+{\frac {1}{r_{4}^{2}}}\leq {\frac {2}{r^{2}}},}$$

ถ้า, , และแทนพื้นที่ของแต่ละหน้า ค่าของจะกำหนดโดย ${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle A_{3}}$${\displaystyle A_{4}}$${\displaystyle r}$$${\displaystyle r={\frac {3V}{A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}}}.}$$

สูตรนี้ได้มาจากการแบ่งทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าออกเป็นทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าสี่อัน โดยที่จุดยอดของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าสี่อันนั้นคือจุดสามจุดของหน้าเดิมหน้าหนึ่งและจุดศูนย์กลางภายใน เนื่องจากทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าสี่อันย่อยนั้นเติมเต็มปริมาตร ดังนั้น: $${\displaystyle V={\frac {1}{3}}A_{1}r+{\frac {1}{3}}A_{2}r+{\frac {1}{3}}A_{3}r+{\frac {1}{3}}A_{4}r.}$$

ให้Rเป็นรัศมีวงกลมล้อมรอบของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า ให้a , b , cเป็นความยาวของขอบทั้งสามที่มาบรรจบกันที่จุดยอด และA , B , Cเป็นความยาวของขอบตรงข้าม ให้Vเป็นปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า จากนั้น^{[ 31 ] [ 32 ]}

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {(aA+bB+cC)(aA+bB-cC)(aA-bB+cC)(-aA+bB+cC)}}{24V}}.}$

จุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าสามารถหาได้จากการตัดกันของระนาบแบ่งครึ่งสามระนาบ ระนาบแบ่งครึ่งถูกกำหนดให้เป็นระนาบที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ขอบด้านใดด้านหนึ่งของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า และตั้งฉากกับขอบด้านใดด้านหนึ่ง ด้วยคำจำกัดความนี้ จุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบCของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าที่มีจุดยอดx , x , x , x สามารถกำหนดได้เป็นผลคูณเมทริกซ์-เวกเตอร์: ^{[ 33 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}C&=A^{-1}B&{\text{where}}&\ &A=\left({\begin{matrix}\left[x_{1}-x_{0}\right]^{T}\\\left[x_{2}-x_{0}\right]^{T}\\\left[x_{3}-x_{0}\right]^{T}\end{matrix}}\right)&\ &{\text{and}}&\ &B={\frac {1}{2}}\left({\begin{matrix}\|x_{1}\|^{2}-\|x_{0}\|^{2}\\\|x_{2}\|^{2}-\|x_{0}\|^{2}\\\|x_{3}\|^{2}-\|x_{0}\|^{2}\end{matrix}}\right)\\\end{aligned}}}$

ต่างจากสามเหลี่ยมมุมป้าน จุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบอาจไม่ได้อยู่ด้านนอกของทรงสี่เหลี่ยมมุมป้านเสมอไป (เช่น เมื่อมุมไดเฮดรัล หนึ่งมุมหรือมากกว่านั้น มีค่ามากกว่า) และไม่จำเป็นต้องอยู่ด้านในของทรงสี่เหลี่ยมมุมแหลมเสมอไป (เช่น เมื่อมุมไดเฮดรัลทั้งหมดมีค่าน้อยกว่า) ^{[ 34 ]}${\displaystyle \pi /2}$${\displaystyle \pi /2}$

มีทรงสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่าอยู่หลายทรงที่มีความยาวด้าน พื้นที่หน้า และปริมาตรเป็นจำนวนเต็ม ทรงสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่าเหล่านี้เรียกว่าทรงสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่าแบบเฮโรเนียนตัวอย่างหนึ่งมีด้านหนึ่งยาว 896 ด้านตรงข้ามยาว 990 และอีกสี่ด้านยาว 1073 โดยมีสองด้านเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีพื้นที่เท่ากับ...436 800และอีกสองรูปเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีพื้นที่เท่ากับ47 120ในขณะที่ปริมาตรคือ124 185 600 . ^{[ 35 ]}

ทรงสี่เหลี่ยมหน้าจั่วสามารถมีปริมาตรเป็นจำนวนเต็มและมีขอบเป็นจำนวนเต็มที่ต่อเนื่องกัน ตัวอย่างเช่น ทรงสี่เหลี่ยมหน้าจั่วที่มีขอบ 6, 7, 8, 9, 10 และ 11 และมีปริมาตร 48 ^{[ 36 ]}

ลูกเต๋าสี่ด้านและไพรามอร์ฟิกซ์

เกมหลวงแห่งอูร์ซึ่งมีอายุย้อนไปถึง 2600 ปีก่อนคริสตกาล เล่นโดยใช้ลูกเต๋าทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า โดยเฉพาะอย่างยิ่งในเกมสวมบทบาท ลูกเต๋าทรง สี่เหลี่ยมด้านเท่านี้เรียกว่าลูกเต๋า 4 ด้าน ซึ่งเป็นหนึ่งใน ลูกเต๋าหลายเหลี่ยมที่พบได้ทั่วไปโดยตัวเลขที่ทอยได้จะปรากฏอยู่รอบด้านล่างหรือบนจุดยอดด้านบน ปริศนา คล้าย ลูกบาศก์รูบิก บางชนิด ก็มีรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าเช่นกัน เช่นพีรามินซ์และพีรามอร์ฟิกซ์

ตามคำบอกเล่าของมาร์วิน มินสกีนักวิทยาศาสตร์ด้านความรู้ความเข้าใจและผู้เชี่ยวชาญด้านปัญญาประดิษฐ์ที่ให้คำแนะนำแก่คูบริกเกี่ยวกับ คอมพิวเตอร์ HAL 9000 และแง่มุมอื่นๆ ของภาพยนตร์ เรื่องนี้สแตนลีย์ คูบริกตั้งใจให้เสาหินในภาพยนตร์เรื่อง 2001: A Space Odyssey เป็นรูปทรงสี่เหลี่ยมพีระมิด คูบริกได้ยกเลิกความคิดที่จะใช้รูปทรงสี่เหลี่ยมพีระมิดเมื่อผู้ชมที่ได้ดูฟุตเทจไม่รู้จักว่ามันคืออะไร และเขาไม่ต้องการให้มีอะไรในภาพยนตร์ที่คนทั่วไปไม่เข้าใจ^{[ 37 ]}

รูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าที่มีหน้าปกติเป็นคำตอบของปริศนาเก่าที่ถามให้สร้างสามเหลี่ยมด้านเท่าสี่รูปโดยใช้ไม้ขีดไฟที่ไม่หักหกอัน คำตอบคือวางไม้ขีดไฟตามขอบของรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า^{[ 38 ]}

ปริมาตรที่ไม่เป็นรูปทรงปกติในอวกาศสามารถประมาณได้ด้วยพื้นผิวสามเหลี่ยมที่ไม่เป็นรูปทรงปกติ และองค์ประกอบปริมาตรทรงสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่าที่ไม่เป็นรูปทรงปกติ

หนามแหลม

การประยุกต์ใช้รูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าในสาขาที่เกี่ยวข้องกับวิศวกรรมมีหลายประการ ดังต่อไปนี้:

• ในการวิเคราะห์เชิงตัวเลขรูปทรงสามมิติที่ซับซ้อนมักจะถูกแบ่งย่อยหรือประมาณค่าด้วยตาข่ายรูปหลายเหลี่ยมของเตตระเฮดรา ที่ไม่สม่ำเสมอ ในกระบวนการตั้งสมการสำหรับการวิเคราะห์องค์ประกอบจำกัดโดยเฉพาะอย่างยิ่งในการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย [ ^{39 ] วิธี}การเหล่านี้มีการประยุกต์ใช้อย่างกว้างขวางในการใช้งานจริงในด้านพลศาสตร์ของไหลเชิงคำนวณ [ ^{40 ] อากาศ}พลศาสตร์สนามแม่เหล็กไฟฟ้าวิศวกรรมโยธาวิศวกรรมเคมีสถาปัตยกรรมและวิศวกรรมทางทะเลและสาขาที่เกี่ยวข้อง
• รูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่ามี ความ แข็งแกร่งโดยธรรมชาติ^{[ 41 ]}ด้วยเหตุนี้ จึงมักใช้เพื่อเสริมความแข็งแกร่งให้กับโครงสร้างเฟรม เช่นสเปซเฟรม
• รูปทรงสี่เหลี่ยมพีระมิดถูกนำมาใช้ในกับดักหนามเพื่อใช้เป็นอาวุธปิดกั้นพื้นที่เนื่องจากลักษณะเฉพาะของรูปทรงสี่เหลี่ยมพีระมิดที่มีมุมแหลมที่ชี้ขึ้นด้านบนเสมอ^{[ 42 ]} รูปทรง สี่เหลี่ยมพีระมิดเหล็กขนาดใหญ่ถูกนำมาใช้เป็นมาตรการต่อต้านรถถัง^{[ 43 ]}หรือรูปทรงสี่เหลี่ยมพีระมิดคอนกรีตถูกนำมาใช้เป็น เสา สี่เหลี่ยมเพื่อลดความรุนแรงของคลื่นตามแนวชายฝั่ง^{[ 44 ]}
• ที่สนามบิน บางแห่ง จะมีการติดตั้งโครงขนาดใหญ่รูปทรงสี่เหลี่ยมพีระมิดที่มีด้านสองด้านหุ้มด้วยวัสดุบางๆ บนแกนหมุน และจะชี้ไปทางทิศลมเสมอ โครงนี้สร้างให้มีขนาดใหญ่พอที่จะมองเห็นได้จากบนอากาศ และบางครั้งก็มีการส่องสว่าง จุดประสงค์คือเพื่อใช้เป็นจุดอ้างอิงสำหรับนักบิน โดยระบุทิศทางลม^{[ 45 ]}

เตตระเฮดรอนสามารถอธิบายได้ว่าเป็นรูปทรงเรขาคณิตโมเลกุลแบบเตตระเฮ ดร อนในสเตอริโอเคมี^{[ 46 ]}โครงสร้างทางเคมีนี้สามารถพบได้ในน้ำHOและมีเทน ( CH)). ^{[ 47 ]}รูปทรงทรงสี่หน้าพบได้ในธรรมชาติในโมเลกุลที่ยึดเหนี่ยวกันด้วยพันธะโควาเลนต์ อะตอม sp ³ไฮบริดทั้งหมดถูกล้อมรอบด้วยอะตอม (หรืออิเล็กตรอนคู่โดดเดี่ยว ) ที่มุมทั้งสี่ของทรงสี่หน้า ด้วยเหตุนี้ วารสารชั้นนำด้านเคมีอินทรีย์ฉบับหนึ่งจึงมีชื่อว่าTetrahedronสำหรับทรงสี่หน้าที่สมบูรณ์แบบมุมศูนย์กลางระหว่างจุดยอดสองจุดใดๆ คือ arccos(− ⁠1/3)หรือประมาณ 109.47° ^{[ 48 ]}

แผนภาพเฟสควอเทอร์นารีของสารผสมทางเคมีแสดงด้วยภาพกราฟิกเป็นรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า อย่างไรก็ตาม แผนภาพเฟสควอเทอร์นารีในวิศวกรรมการสื่อสารแสดงด้วยภาพกราฟิกบนระนาบสองมิติ

จุดยอดของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปกติใช้เป็นคำตอบขั้นต่ำที่ทราบในปัญหาของทอมสัน (เกี่ยวกับการกำหนดค่าพลังงานต่ำสุดของอนุภาคประจุบนทรงกลม) และสำหรับปัญหาของแทมเมส (ในการสร้างรหัสทรงกลมที่เพิ่มระยะทางที่เล็กที่สุดระหว่างจุด) ^{[ 49 ]}${\displaystyle n=4}$${\displaystyle n}$

ถ้าตัวต้านทาน ที่เท่ากันหกตัว ถูกบัดกรีเข้าด้วยกันเพื่อสร้างรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า ความต้านทานที่วัดระหว่างจุดยอดสองจุดใดๆ จะเป็นครึ่งหนึ่งของความต้านทานของตัวต้านทานตัวเดียว^{[ 50 ]}เนื่องจากซิลิคอน เป็น สารกึ่งตัวนำ ที่ใช้ กันมากที่สุดในอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์แบบโซลิดสเตทและซิลิคอนมีวาเลนซ์สี่ รูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าของพันธะเคมีทั้งสี่ในซิลิคอนจึงมีอิทธิพลอย่างมากต่อการก่อตัว ของ ผลึกซิลิคอนและรูปร่างที่ผลึกเหล่านั้นมี

รูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าถูกใช้ในอัลกอริธึมการแปลงพื้นที่สีโดยเฉพาะในกรณีที่แกนความสว่างแบ่งพื้นที่สีในแนวทแยง (เช่น RGB, CMY) ^{[ 51 ]}

สมมติฐานทรงสี่หน้าซึ่งตีพิมพ์ครั้งแรกโดยWilliam Lowthian Greenอธิบายการก่อตัวของโลกด้วยรูปทรงทรงสี่หน้า^{[ 52 ]}เป็นที่นิยมในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 ^{[ 53 ] [ 54 ]}

ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปกติไม่สามารถปูพื้นที่ได้ด้วยตัวมันเอง แม้ว่าผลลัพธ์นี้ดูเหมือนจะเป็นไปได้มากพอที่อริสโตเติลจะอ้างว่ามันเป็นไปได้ก็ตาม อย่างไรก็ตาม ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปกติสองรูปสามารถรวมกับทรงแปดเหลี่ยมได้ ทำให้เกิดทรงสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่สามารถปูพื้นที่ได้เหมือนกับรังผึ้งทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า-ทรงแปดเหลี่ยม ในทางกลับกัน เป็นที่รู้จักของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าที่ไม่ปกติหลายรูป ซึ่งสำเนาของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าเหล่านี้สามารถปูพื้นที่ได้ ตัวอย่างเช่นออร์โธสคีมลักษณะเฉพาะของลูกบาศก์และดิสฟีนอยด์ของรังผึ้งทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าดิสฟีนอยด์ รายการทั้งหมดยังคงเป็นปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไข^{[ 55 ]}

หากเราผ่อนปรนข้อกำหนดที่ว่ารูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าจะต้องมีรูปร่างเหมือนกันทั้งหมด เราสามารถปูพื้นที่โดยใช้เพียงรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าได้หลายวิธี ตัวอย่างเช่น เราสามารถแบ่งรูปทรงแปดเหลี่ยมออกเป็นรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าที่เหมือนกันสี่รูป แล้วนำมาประกอบกันใหม่กับรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปกติอีกสองรูป (หมายเหตุ: รูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าทั้งสองชนิดนี้มีปริมาตรเท่ากัน)

ทรงสี่เหลี่ยมหน้าจั่วเป็นรูปทรงที่แตกต่างจากทรงหลายเหลี่ยมแบบสม่ำเสมออื่น ๆ ตรงที่ไม่มีหน้าใดขนานกันเลย

• เกลียว Boerdijk–Coxeter
• การจัดเรียงแบบโมเบียส
• แคลทรอป
• เดมิไฮเปอร์คิวบ์และซิมเพล็กซ์ – อนาล็อกในมิติn
• รีฟ เตตระเฮดรา
• ซินเนอร์เจติกส์ (ฟูลเลอร์)
• ว่าวทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า
• เลขทรงสี่หน้า
• ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า
• การบรรจุทรงสี่เหลี่ยมพีระมิด
• พีระมิดคู่สามเหลี่ยม – สร้างขึ้นโดยการเชื่อมต่อทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าสองอันเข้าด้วยกันตามด้านใดด้านหนึ่ง
• ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าสามเหลี่ยม
• ออร์โธสเคม

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับรูปทรงสี่เหลี่ยมพีระมิดฐานสี่ด้าน (Tetrahedron )

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ทรงสี่เหลี่ยมพีระมิด" . MathWorld .
• แบบจำลองกระดาษฟรีของทรงสี่เหลี่ยมพีระมิดและทรงหลายเหลี่ยมอื่นๆ อีกมากมาย
• รูปทรงสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่าที่น่าทึ่งและกินพื้นที่มากซึ่งรวมถึงคำอธิบายของ "วงแหวนหมุนของรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า" หรือที่รู้จักกันในชื่อคาไลโดไซเคิล