สำหรับ${\displaystyle 1\times 1}$ เมทริกซ์A = ( a )พหุนามลักษณะเฉพาะจะได้รับจากp ( λ ) = λ − aดังนั้นp ( A ) = ( a ) − a (1) = 0จึงเป็นพหุนามที่ไม่สำคัญ

ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรม เช่น สมมติว่า $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}.}$$ พหุนามลักษณะเฉพาะของมันกำหนดโดย $${\displaystyle {\begin{aligned}p(\lambda )&=\det(\lambda I_{2}-A)=\det \!{\begin{pmatrix}\lambda -1&-2\\-3&\lambda -4\end{pmatrix}}\\&=(\lambda -1)(\lambda -4)-(-2)(-3)=\lambda ^{2}-5\lambda -2.\end{aligned}}}$$

ทฤษฎีบทเคย์ลีย์-แฮมิลตันกล่าวว่า ถ้าเรากำหนด$${\displaystyle p(X)=X^{2}-5X-2I_{2},}$$ แล้ว $${\displaystyle p(A)=A^{2}-5A-2I_{2}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\\end{pmatrix}}.}$$ เราสามารถตรวจสอบโดยการคำนวณได้ว่า เป็นเช่นนั้นจริง ๆ $${\displaystyle A^{2}-5A-2I_{2}={\begin{pmatrix}7&10\\15&22\\\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}5&10\\15&20\\\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2&0\\0&2\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\\end{pmatrix}}.}$$

สำหรับทั่วไป${\displaystyle 2\times 2}$เมทริกซ์ $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}},}$$

พหุนามลักษณะเฉพาะกำหนดโดยp ( λ ) = λ ² − ( a + d ) λ + ( ad − bc )ดังนั้นทฤษฎีบท Cayley–Hamilton กล่าวว่า $${\displaystyle p(A)=A^{2}-(a+d)A+(ad-bc)I_{2}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}};}$$ซึ่งเป็นเช่น นั้น เสมอ ดังที่เห็นได้จากการคำนวณรายการในA ²

โดยทั่วไป${\displaystyle n\times n}$เมทริกซ์ผกผันAกล่าวคือ เมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์ไม่เป็นศูนย์A ⁻¹จึงสามารถเขียนได้เป็น${\displaystyle (n-1)}$นิพจน์พหุนาม อันดับA :ดังที่ระบุไว้ ทฤษฎีบทเคย์ลีย์-แฮมิลตัน เทียบเท่ากับเอกลักษณ์

สัมประสิทธิ์c กำหนดโดยพหุนามสมมาตรพื้นฐานของค่าลักษณะเฉพาะของAโดยใช้เอกลักษณ์ของนิวตันพหุนามสมมาตรพื้นฐานสามารถแสดงได้ในรูปของพหุนามสมมาตรผลรวมกำลังของค่าลักษณะเฉพาะ: $${\displaystyle s_{k}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}^{k}=\operatorname {tr} (A^{k}),}$$ โดยที่tr( A ^k )คือร่องรอยของเมทริกซ์A ^kดังนั้น เราจึงสามารถแสดงc ในรูปของร่องรอยของกำลังของAได้

โดยทั่วไป สูตรสำหรับสัมประสิทธิ์c จะแสดงในรูปของพหุนามเบลล์เลขชี้กำลัง ที่สมบูรณ์ ดังนี้^{[ nb 1 ]}$${\displaystyle c_{n-k}={\frac {(-1)^{k}}{k!}}B_{k}(s_{1},-1!s_{2},2!s_{3},\ldots ,(-1)^{k-1}(k-1)!s_{k}).}$$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ดีเทอร์มิแนนต์ของAเท่ากับ(−1) ⁿ c ดังนั้น ดีเทอร์มิแนนต์สามารถเขียนได้ในรูปเอกลักษณ์ร่องรอย : $${\displaystyle \det(A)={\frac {1}{n!}}B_{n}(s_{1},-1!s_{2},2!s_{3},\ldots ,(-1)^{n-1}(n-1)!s_{n}).}$$

ในทำนองเดียวกัน พหุนามลักษณะเฉพาะสามารถเขียนได้ดังนี้ $${\displaystyle -(-1)^{n}\det(A)I_{n}=A(A^{n-1}+c_{n-1}A^{n-2}+\cdots +c_{1}I_{n}),}$$ และโดยการคูณทั้งสองข้างด้วยA ⁻¹ (หมายเหตุ−(−1) ⁿ = (−1) ^{n −1} ) จะได้นิพจน์สำหรับอินเวอร์สของAในรูปเอกลักษณ์ร่องรอย $${\displaystyle {\begin{aligned}A^{-1}&={\frac {(-1)^{n-1}}{\det A}}(A^{n-1}+c_{n-1}A^{n-2}+\cdots +c_{1}I_{n}),\\[5pt]&={\frac {1}{\det A}}\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{n+k-1}{\frac {A^{n-k-1}}{k!}}B_{k}(s_{1},-1!s_{2},2!s_{3},\ldots ,(-1)^{k-1}(k-1)!s_{k}).\end{aligned}}}$$

อีกวิธีหนึ่งในการหาค่าสัมประสิทธิ์c เหล่านี้ สำหรับกรณีทั่วไป${\displaystyle n\times n}$เมทริกซ์ดังกล่าว หากรากใดไม่เป็นศูนย์ จะใช้สูตรทางเลือกต่อไปนี้สำหรับดีเทอร์มิแนนต์ $${\displaystyle p(\lambda )=\det(\lambda I_{n}-A)=\lambda ^{n}\exp(\operatorname {tr} (\log(I_{n}-A/\lambda ))).}$$ ดังนั้น โดยอาศัยอนุกรมเมอร์เคเตอร์ $${\displaystyle p(\lambda )=\lambda ^{n}\exp \left(-\operatorname {tr} \sum _{m=1}^{\infty }{({A \over \lambda })^{m} \over m}\right),}$$ โดยที่เลขชี้กำลังจำเป็นต้องขยายเพียงอันดับλ ^{− n}เท่านั้นเนื่องจากp ( λ )มีอันดับnกำลังลบสุทธิของλจะหายไปโดยอัตโนมัติตามทฤษฎีบท C–H (อีกครั้ง สิ่งนี้ต้องการวงแหวนที่มีจำนวนตรรกยะ ) การหาอนุพันธ์ของนิพจน์นี้เทียบกับλช่วยให้สามารถแสดงสัมประสิทธิ์ของพหุนามลักษณะเฉพาะสำหรับn ทั่วไป เป็นดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์m × m ได้ ^{[ nb 2 ]}$${\displaystyle c_{n-m}={\frac {(-1)^{m}}{m!}}{\begin{vmatrix}\operatorname {tr} A&m-1&0&\cdots \\\operatorname {tr} A^{2}&\operatorname {tr} A&m-2&\cdots \\\vdots &\vdots &&&\vdots \\\operatorname {tr} A^{m-1}&\operatorname {tr} A^{m-2}&\cdots &\cdots &1\\\operatorname {tr} A^{m}&\operatorname {tr} A^{m-1}&\cdots &\cdots &\operatorname {tr} A\end{vmatrix}}~.}$$

ตัวอย่าง

ตัวอย่างเช่น พหุนามเบลล์ชุดแรกๆ ได้แก่B = 1, B ( x ) = x , B ( x , x ) = x ² + x , และB ( x , x , x ) = x ³ + 3 x x + x

ใช้สิ่งเหล่านี้เพื่อระบุสัมประสิทธิ์c ของพหุนามลักษณะเฉพาะของ a${\displaystyle 2\times 2}$ เมทริกซ์ให้ผลลัพธ์

$${\displaystyle {\begin{aligned}c_{2}=B_{0}=1,\\[4pt]c_{1}={\frac {-1}{1!}}B_{1}(s_{1})=-s_{1}=-\operatorname {tr} (A),\\[4pt]c_{0}={\frac {1}{2!}}B_{2}(s_{1},-1!s_{2})={\frac {1}{2}}(s_{1}^{2}-s_{2})={\frac {1}{2}}((\operatorname {tr} (A))^{2}-\operatorname {tr} (A^{2})).\end{aligned}}}$$

สัมประสิทธิ์c ให้ค่าดีเทอร์มิแนนต์ของ${\displaystyle 2\times 2}$ เมทริกซ์c ลบด้วยร่องรอยของมัน ในขณะที่เมทริกซ์ผกผันของมันกำหนดโดย $${\displaystyle A^{-1}={\frac {-1}{\det A}}(A+c_{1}I_{2})={\frac {-2(A-\operatorname {tr} (A)I_{2})}{(\operatorname {tr} (A))^{2}-\operatorname {tr} (A^{2})}}.}$$

จากสูตรทั่วไปสำหรับc ซึ่งแสดงในรูปของพหุนามเบลล์ จะเห็นได้ว่านิพจน์ต่างๆ $${\displaystyle -\operatorname {tr} (A)\quad {\text{and}}\quad {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {tr} (A)^{2}-\operatorname {tr} (A^{2}))}$$

ให้ค่าสัมประสิทธิ์c ของλ ^{n −1}และc ของλ ^{n −2}ในพหุนามลักษณะเฉพาะของใดๆ เสมอ${\displaystyle n\times n}$เมทริกซ์ ตามลำดับ ดังนั้น สำหรับ a${\displaystyle 3\times 3}$ เมทริกซ์Aข้อความของทฤษฎีบทเคย์ลีย์-แฮมิลตันสามารถเขียนได้อีกแบบว่า $${\displaystyle A^{3}-(\operatorname {tr} A)A^{2}+{\frac {1}{2}}\left((\operatorname {tr} A)^{2}-\operatorname {tr} (A^{2})\right)A-\det(A)I_{3}=O,}$$ โดยที่ด้านขวามือกำหนดเป็น${\displaystyle 3\times 3}$เมทริกซ์ที่มีค่าทุกค่าเป็นศูนย์ ในทำนองเดียวกัน ค่าดีเทอร์มิแนนต์ใน กรณี n = 3ก็คือ $${\displaystyle {\begin{aligned}\det(A)&={\frac {1}{3!}}B_{3}(s_{1},-1!s_{2},2!s_{3})={\frac {1}{6}}(s_{1}^{3}+3s_{1}(-s_{2})+2s_{3})\\[5pt]&={\frac {1}{6}}\left[(\operatorname {tr} A)^{3}-3\operatorname {tr} (A^{2})(\operatorname {tr} A)+2\operatorname {tr} (A^{3})\right].\end{aligned}}}$$ นิพจน์นี้ให้ค่าลบของสัมประสิทธิ์c ของλ ^{n −3}ในกรณีทั่วไป ดังที่เห็นด้านล่าง

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถเขียนบทความสำหรับ...${\displaystyle 4\times 4}$เมทริกซ์A , $${\displaystyle A^{4}-(\operatorname {tr} A)A^{3}+{\tfrac {1}{2}}\left[(\operatorname {tr} A)^{2}-\operatorname {tr} (A^{2})\right]A^{2}-{\tfrac {1}{6}}\left[(\operatorname {tr} A)^{3}-3\operatorname {tr} (A^{2})(\operatorname {tr} A)+2\operatorname {tr} (A^{3})\right]A+\det(A)I_{4}=O,}$$

โดยที่ตอนนี้ดีเทอร์มิแนนต์คือc ,

$${\displaystyle {\tfrac {1}{24}}\!\left[(\operatorname {tr} A)^{4}-6\operatorname {tr} (A^{2})(\operatorname {tr} A)^{2}+3\left(\operatorname {tr} (A^{2})\right)^{2}+8\operatorname {tr} (A^{3})\operatorname {tr} (A)-6\operatorname {tr} (A^{4})\right],}$$

และทำเช่นนี้ต่อไปเรื่อยๆ สำหรับเมทริกซ์ที่มีขนาดใหญ่ขึ้น นิพจน์ที่ซับซ้อนขึ้นเรื่อยๆ สำหรับสัมประสิทธิ์c สามารถอนุมานได้จากเอกลักษณ์ของนิวตันหรืออัลกอริทึมของ Faddeev– LeVerrier

ทฤษฎีบทเคย์ลีย์-แฮมิลตันให้ความสัมพันธ์ระหว่างกำลังของA เสมอ (แม้จะไม่ใช่ความสัมพันธ์ที่ง่ายที่สุดเสมอไป) ซึ่งช่วยให้เราสามารถลดรูปนิพจน์ที่เกี่ยวข้องกับกำลังดังกล่าว และประเมินค่าได้โดยไม่ต้องคำนวณกำลังA ⁿหรือกำลังที่สูงกว่าของA

ตัวอย่างเช่น สำหรับ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}}$ทฤษฎีบทนี้ให้ $${\displaystyle A^{2}=5A+2I_{2}\,.}$$

จากนั้น เพื่อคำนวณA ⁴ให้สังเกต $${\displaystyle {\begin{aligned}A^{3}&=(5A+2I_{2})A=5A^{2}+2A=5(5A+2I_{2})+2A=27A+10I_{2},\\[1ex]A^{4}&=A^{3}A=(27A+10I_{2})A=27A^{2}+10A=27(5A+2I_{2})+10A=145A+54I_{2}\,.\end{aligned}}}$$ เช่นเดียวกัน, $${\displaystyle {\begin{aligned}A^{-1}&={\frac {1}{2}}\left(A-5I_{2}\right)~.\\[1ex]A^{-2}&=A^{-1}A^{-1}={\frac {1}{4}}\left(A^{2}-10A+25I_{2}\right)={\frac {1}{4}}\left((5A+2I_{2})-10A+25I_{2}\right)={\frac {1}{4}}\left(-5A+27I_{2}\right)~.\end{aligned}}}$$

โปรดสังเกตว่าเราสามารถเขียนกำลังของเมทริกซ์ได้ในรูปผลรวมของสองพจน์ อันที่จริง กำลังของเมทริกซ์ใดๆ ที่มีอันดับkสามารถเขียนได้ในรูปพหุนามเมทริกซ์ที่มีดีกรีไม่เกินn − 1โดยที่nคือขนาดของเมทริกซ์จัตุรัส นี่เป็นตัวอย่างหนึ่งที่ทฤษฎีบทเคย์ลีย์-แฮมิลตันสามารถนำมาใช้เพื่อแสดงฟังก์ชันเมทริกซ์ ซึ่งเราจะกล่าวถึงอย่างเป็นระบบต่อไป

กำหนดฟังก์ชันวิเคราะห์$${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}}$$ และพหุนามลักษณะเฉพาะp ( x )ดีกรีn ของ เมทริกซ์Aขนาดn × nฟังก์ชันสามารถแสดงได้โดยใช้การหารยาวดังนี้ $${\displaystyle f(x)=q(x)p(x)+r(x),}$$ โดยที่q ( x ) คือพหุ นามผลหารบางตัว และr ( x )คือพหุนามเศษเหลือ โดยที่0 ≤ deg r ( x ) < n

จากทฤษฎีบทของเคย์ลีย์-แฮมิลตัน การแทนที่xด้วยเมทริกซ์Aจะได้p ( A ) = 0ดังนั้นจึงได้ว่า $${\displaystyle f(A)=r(A).}$$

ดังนั้น ฟังก์ชันวิเคราะห์ของเมทริกซ์Aสามารถแสดงได้ในรูปพหุนามเมทริกซ์ที่มีดีกรีน้อยกว่าn

ให้พหุนามส่วนที่เหลือเป็น $${\displaystyle r(x)=c_{0}+c_{1}x+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}.}$$ เนื่องจากp ( λ ) = 0การประเมินฟังก์ชันf ( x )ที่ ค่าไอเกนทั้ง nของAจะได้ $${\displaystyle f(\lambda _{i})=r(\lambda _{i})=c_{0}+c_{1}\lambda _{i}+\cdots +c_{n-1}\lambda _{i}^{n-1},\qquad {\text{for }}i=1,2,...,n.}$$ นี่เท่ากับเป็นระบบสมการเชิงเส้นn สมการ ซึ่งสามารถแก้เพื่อหาค่าสัมประสิทธิ์c ได้ ดังนั้นจึงได้ว่า $${\displaystyle f(A)=\sum _{k=0}^{n-1}c_{k}A^{k}.}$$

เมื่อค่าไอเกนซ้ำกัน นั่นคือλ = λ สำหรับบางi ≠ jสมการสองสมการขึ้นไปจะเหมือนกัน และด้วยเหตุนี้ สมการเชิงเส้นจึงไม่สามารถหาคำตอบได้อย่างเฉพาะเจาะจง ในกรณีเช่นนี้ สำหรับค่าไอเกนλที่มีความซ้ำซ้อนm อนุพันธ์ m − 1 ตัว แรกของp ( x )จะเป็นศูนย์ที่ค่าไอเกน ซึ่งนำไปสู่คำตอบอิสระเชิงเส้น เพิ่มเติม m − 1 คำตอบ$${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} ^{k}f(x)}{\mathrm {d} x^{k}}}\right|_{x=\lambda }=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{k}r(x)}{\mathrm {d} x^{k}}}\right|_{x=\lambda }\qquad {\text{for }}k=1,2,\ldots ,m-1,}$$ ซึ่งเมื่อรวมกับสมการอื่นๆ จะได้สม การ nสมการที่จำเป็นในการแก้หาค่าc

การหาพหุนามที่ผ่านจุด( λ , f ( λ )) นั้น โดยพื้นฐานแล้วเป็นปัญหาการแทรกสอดและสามารถแก้ไขได้โดยใช้เทคนิคการแทรกสอดของลากรางจ์หรือ นิวตัน ซึ่งนำไปสู่ สูตรของซิลเวสเตอร์

ตัวอย่างเช่น สมมติว่างานคือการหาการแสดงพหุนามของ $${\displaystyle f(A)=e^{At}\qquad \mathrm {where} \qquad A={\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}}.}$$

พหุนามลักษณะเฉพาะคือp ( x ) = ( x − 1)( x − 3) = x² − 4x + 3และค่าไอเกนคือλ = ¹ , 3ให้r ( x ) = c₀ c₁x ประเมินf ( λ ) = r ( )ที่ค่าไอเกน จะได้สมการเชิงสอง^{สมการคือ} eᵢt = c₀ + c₁และ = + 3c₁

เมื่อแก้สมการจะได้c = (3 e ^t − e ^{3 t} )/2และc = ( e ^{3 t} − e ^t )/2ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า $${\displaystyle e^{At}=c_{0}I_{2}+c_{1}A={\begin{pmatrix}c_{0}+c_{1}&2c_{1}\\0&c_{0}+3c_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}e^{t}&e^{3t}-e^{t}\\0&e^{3t}\end{pmatrix}}.}$$

ถ้าหากฟังก์ชันเป็นf ( A ) = sin At แทน สัมประสิทธิ์จะเป็นc₀ (3 sin t − sin 3t )/2และc₁ = (sin 3t − sin ) /2ดังนั้น $${\displaystyle \sin(At)=c_{0}I_{2}+c_{1}A={\begin{pmatrix}\sin t&\sin 3t-\sin t\\0&\sin 3t\end{pmatrix}}.}$$

ยกตัวอย่างเช่น เมื่อพิจารณา $${\displaystyle f(A)=e^{At}\qquad \mathrm {where} \qquad A={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},}$$ ดังนั้นพหุนามลักษณะเฉพาะคือp ( x ) = x² ⁺ 1  และค่าลักษณะเฉพาะคือλ = ± i

เช่นเดียวกับก่อนหน้านี้ การประเมินค่าฟังก์ชันที่ค่าไอเกนจะให้สมการเชิงเส้นe it = c   + ic 1 และ e−  c  0  −  1 คำตอบของสมการเหล่านี้คือc </sub> = ( e it + e  −  )/2 = cos t  และc </sub> = ( e it − e −  )/2 = sin t  ดังนั้น สำหรับกรณีนี้ $${\displaystyle e^{At}=(\cos t)I_{2}+(\sin t)A={\begin{pmatrix}\cos t&\sin t\\-\sin t&\cos t\end{pmatrix}},}$$ ซึ่งเป็นเมทริกซ์การหมุน

ตัวอย่างมาตรฐานของการใช้งานดังกล่าวคือการแมปเลขชี้กำลังจากพีชคณิตลีของกลุ่มลีเมทริกซ์ไปยังกลุ่ม โดยกำหนดด้วยเลขชี้กำลัง เมทริกซ์$${\displaystyle \exp$$ :{\mathfrak {g}}\rightarrow G;\qquad tX\mapsto e^{tX}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}X^{n}}{n!}}=I+tX+{\frac {t^{2}X^{2}}{2}}+\cdots ,t\in \mathbb {R} ,X\in {\mathfrak {g}}.} นิพจน์ดังกล่าวเป็นที่รู้จักกันมานานแล้วสำหรับ SU(2) , $${\displaystyle e^{i(\theta /2)({\hat {\mathbf {n} }}\cdot \sigma )}=I_{2}\cos {\frac {\theta }{2}}+i({\hat {\mathbf {n} }}\cdot \sigma )\sin {\frac {\theta }{2}},}$$ โดยที่σคือเมทริกซ์ PauliและสำหรับSO(3 ) $${\displaystyle e^{i\theta ({\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} )}=I_{3}+i({\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} )\sin \theta +({\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} )^{2}(\cos \theta -1),}$$ ซึ่งก็คือสูตรการหมุนของ Rodriguesสำหรับสัญลักษณ์ โปรดดูที่กลุ่มการหมุน 3 มิติ #หมายเหตุเกี่ยวกับพีชคณิต Lie

เมื่อไม่นานมานี้ นิพจน์สำหรับกลุ่มอื่นๆ เช่นกลุ่ม Lorentz SO(3, 1) [ ^{10 ]} O(4, 2) ^{[ 11 ] และ} SU (2, 2) [ ^{12 ]}รวมถึงGL( n , R ) ^{[ 13 ] ปรากฏ}ขึ้นกลุ่มO(4, 2)คือกลุ่มคอนฟอร์มอลของปริภูมิเวลา SU (2, 2)คือ กลุ่มปกคลุม ที่เชื่อมต่ออย่างง่าย (กล่าวคือ กลุ่มปกคลุมที่เชื่อมต่ออย่างง่ายของส่วนประกอบที่เชื่อมต่อSO ⁺ (4, 2)ของO(4, 2) ) นิพจน์ที่ได้มานั้นใช้กับการแสดงแทนมาตรฐานของกลุ่มเหล่านี้ พวกเขาต้องการความรู้เกี่ยวกับค่าลักษณะเฉพาะ (บางส่วน) ของเมทริกซ์ที่จะยกกำลัง สำหรับSU(2) (และด้วยเหตุนี้สำหรับSO(3) ) นิพจน์ปิดได้รับการหามาสำหรับ การแสดงแทนที่ลดทอนไม่ได้ ทั้งหมดกล่าวคือของสปินใดๆ^{[ 14 ]}

ทฤษฎีบทเคย์ลีย์-แฮมิลตันเป็นเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพในการคำนวณพหุนามขั้นต่ำของจำนวนเต็มพีชคณิตตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดส่วนขยายจำกัด${\displaystyle \mathbb {Q} [\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}]}$ของ${\displaystyle \mathbb {Q} }$และจำนวนเต็มพีชคณิต${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Q} [\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}]}$ซึ่งเป็นการรวมเชิงเส้นที่ไม่เป็นศูนย์ของ${\displaystyle \alpha _{1}^{n_{1}}\cdots \alpha _{k}^{n_{k}}}$เราสามารถคำนวณพหุนามขั้นต่ำของ${\displaystyle \alpha }$โดยการค้นหาเมทริกซ์ที่แสดงถึง${\displaystyle \mathbb {Q} }$- การแปลงเชิงเส้น$${\displaystyle \cdot \alpha$$ :\mathbb {Q} [\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}]\to \mathbb {Q} [\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}]} ถ้าเราเรียกเมทริกซ์การแปลงนี้ว่า${\displaystyle A}$จากนั้นเราสามารถหาพหุนามขั้นต่ำได้โดยการใช้ทฤษฎีบทเคย์ลีย์-แฮมิลตันกับ${\displaystyle A}$[ ^{15 ]​}

ถ้าเวกเตอร์vที่มีขนาดnเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของAที่มีค่าลักษณะเฉพาะλหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ถ้าA ⋅ v = λvแล้ว $${\displaystyle {\begin{aligned}p(A)\cdot v&=A^{n}\cdot v+c_{n-1}A^{n-1}\cdot v+\cdots +c_{1}A\cdot v+c_{0}I_{n}\cdot v\\[6pt]&=\lambda ^{n}v+c_{n-1}\lambda ^{n-1}v+\cdots +c_{1}\lambda v+c_{0}v=p(\lambda )v,\end{aligned}}}$$ ซึ่งก็คือเวกเตอร์ศูนย์ เนื่องจากp ( λ ) = 0 (ค่าลักษณะเฉพาะของAคือรากของp ( t ) อย่างแม่นยำ ) สิ่งนี้ใช้ได้กับค่าลักษณะเฉพาะλ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด ดังนั้นเมทริกซ์สองตัวที่เท่ากันตามทฤษฎีบทจึงให้ผลลัพธ์เดียวกัน (เป็นศูนย์) เมื่อนำไปใช้กับเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะใดๆ ทีนี้ ถ้าAมีฐานของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ กล่าวคือ ถ้าAสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ ทแยงมุมได้ ทฤษฎีบท Cayley–Hamilton จะต้องใช้ได้กับAเนื่องจากเมทริกซ์สองตัวที่ให้ค่าเดียวกันเมื่อนำไปใช้กับแต่ละองค์ประกอบของฐานจะต้องเท่ากัน $${\displaystyle A=XDX^{-1},\quad D=\operatorname {diag} (\lambda _{i}),\quad i=1,2,...,n}$$$${\displaystyle p_{A}(\lambda )=|\lambda I-A|=\prod _{i=1}^{n}(\lambda -\lambda _{i})\equiv \sum _{k=0}^{n}c_{k}\lambda ^{k}}$$$${\displaystyle p_{A}(A)=\sum c_{k}A^{k}=Xp_{A}(D)X^{-1}=XCX^{-1}}$$$${\displaystyle C_{ii}=\sum _{k=0}^{n}c_{k}\lambda _{i}^{k}=\prod _{j=1}^{n}(\lambda _{i}-\lambda _{j})=0,\qquad C_{i,j\neq i}=0}$$$${\displaystyle \therefore p_{A}(A)=XCX^{-1}=O.}$$

ลองพิจารณาฟังก์ชันต่อไปนี้${\displaystyle e\colon M_{n}\to M_{n}}$ซึ่งแผนที่${\displaystyle n\times n}$เมทริกซ์ไปยัง${\displaystyle n\times n}$เมทริกซ์ที่กำหนดโดยสูตร${\displaystyle e(A)=p_{A}(A)}$กล่าวคือ ซึ่งรับเมทริกซ์${\displaystyle A}$และเสียบเข้าไปในพหุนามลักษณะเฉพาะของมันเอง ไม่ใช่เมทริกซ์ทุกเมทริกซ์ที่จะสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้ แต่สำหรับเมทริกซ์ที่มีสัมประสิทธิ์เชิงซ้อนเมทริกซ์จำนวนมากสามารถทำได้: เซต${\displaystyle D}$ของเมทริกซ์จัตุรัสเชิงซ้อนที่สามารถทำให้เป็นแนวทแยงมุมได้ที่มีขนาดที่กำหนดนั้นมีความหนาแน่นในเซตของเมทริกซ์จัตุรัสดังกล่าวทั้งหมด^{[ 16 ]} (สำหรับเมทริกซ์ที่จะทำให้เป็นแนวทแยงมุมได้นั้น เพียงพอแล้วที่พหุนามลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์นั้นจะไม่มีรากซ้ำซ้อน ) ตอนนี้มองในฐานะฟังก์ชัน${\displaystyle e\colon \mathbb {C} ^{n^{2}}\to \mathbb {C} ^{n^{2}}}$(เนื่องจากเมทริกซ์มี${\displaystyle n^{2}}$เมื่อพิจารณาจากค่าของเมทริกซ์ เราจะเห็นว่าฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องซึ่งเป็นความจริงเพราะค่าของภาพเมทริกซ์นั้นได้มาจากพหุนามในค่าของเมทริกซ์นั้นเอง เนื่องจาก $${\displaystyle e(D)=\left\{{\begin{pmatrix}0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0\end{pmatrix}}\right\}}$$

และเนื่องจากชุดนั้น${\displaystyle D}$เนื่องจากมีความหนาแน่นสูง โดยหลักการต่อเนื่อง ฟังก์ชันนี้จะต้องแมปเซตทั้งหมดของ${\displaystyle n\times n}$เมทริกซ์ไปยังเมทริกซ์ศูนย์ ดังนั้น ทฤษฎีบทเคย์ลีย์-แฮมิลตันจึงเป็นจริงสำหรับจำนวนเชิงซ้อน และจึงต้องเป็นจริงสำหรับจำนวนอื่นๆ ด้วย${\displaystyle \mathbb {Q} }$- หรือ${\displaystyle \mathbb {R} }$เมทริกซ์ค่า

แม้ว่านี่จะเป็นการพิสูจน์ที่ถูกต้อง แต่ข้อโต้แย้งก็ยังไม่น่าพอใจนัก เนื่องจากเอกลักษณ์ที่แสดงโดยทฤษฎีบทไม่ได้ขึ้นอยู่กับลักษณะของเมทริกซ์ (เมทริกซ์ที่สามารถทำให้เป็นแนวทแยงได้หรือไม่) หรือชนิดของสมาชิกที่อนุญาต (สำหรับเมทริกซ์ที่มีสมาชิกเป็นจำนวนจริง สมาชิกที่สามารถทำให้เป็นแนวทแยงได้จะไม่ก่อตัวเป็นเซตหนาแน่น และดูเหมือนแปลกที่ต้องพิจารณาเมทริกซ์เชิงซ้อนเพื่อดูว่าทฤษฎีบท Cayley–Hamilton ใช้ได้กับเมทริกซ์เหล่านั้นหรือไม่) ดังนั้นเราจะพิจารณาเฉพาะข้อโต้แย้งที่พิสูจน์ทฤษฎีบทโดยตรงสำหรับเมทริกซ์ใด ๆ โดยใช้การจัดการทางพีชคณิตเท่านั้น ซึ่งมีข้อดีคือใช้ได้กับเมทริกซ์ที่มีสมาชิกอยู่ในวงแหวนสลับ ที่ใด ๆ ด้วย

มีวิธีการพิสูจน์ทฤษฎีบทเคย์ลีย์-แฮมิลตันอยู่มากมายหลายวิธี ซึ่งในที่นี้จะยกตัวอย่างมาบางส่วน วิธีการพิสูจน์เหล่านี้แตกต่างกันออกไปในเรื่องของปริมาณ แนวคิด ทางพีชคณิตเชิงนามธรรมที่จำเป็นต่อการทำความเข้าใจการพิสูจน์ วิธีพิสูจน์ที่ง่ายที่สุดใช้เพียงแนวคิดที่จำเป็นในการกำหนดทฤษฎีบท (เมทริกซ์ พหุนามที่มีสมาชิกเป็นตัวเลข ดีเทอร์มิแนนต์) แต่เกี่ยวข้องกับการคำนวณทางเทคนิคที่ทำให้ข้อเท็จจริงที่ว่ามันนำไปสู่ข้อสรุปที่ถูกต้องนั้นดูลึกลับไปบ้าง เป็นไปได้ที่จะหลีกเลี่ยงรายละเอียดดังกล่าว แต่ต้องแลกมาด้วยการใช้แนวคิดทางพีชคณิตที่ซับซ้อนกว่า เช่น พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์อยู่ในวงแหวนที่ไม่สลับที่ หรือเมทริกซ์ที่มีสมาชิกชนิดพิเศษ

การพิสูจน์นี้ใช้เพียงวัตถุประเภทที่จำเป็นในการสร้างทฤษฎีบทเคย์ลีย์-แฮมิลตัน นั่นคือ เมทริกซ์ที่มีพหุนามเป็นสมาชิก เมทริกซ์${\displaystyle tI_{n}-A}$เมทริกซ์ A ที่มีดีเทอร์มิแนนต์เป็นพหุนามลักษณะเฉพาะของเมท ริกซ์ Aนั้นเป็นเมทริกซ์ดังกล่าว และเนื่องจากพหุนามก่อให้เกิดวงแหวนสลับที่ได้ จึงมีเมทริกซ์คู่ควบ$${\displaystyle B=\operatorname {adj} (tI_{n}-A).}$$ จากนั้น ตามความสัมพันธ์พื้นฐานทางขวามือของตัวผัน เราจะได้ว่า $${\displaystyle (tI_{n}-A)B=\det(tI_{n}-A)I_{n}=p(t)I_{n}.}$$

เนื่องจากBก็เป็นเมทริกซ์ที่มีพหุนามในt เป็นสมาชิกเช่นกัน ดังนั้นสำหรับแต่ละ iเราจึงสามารถรวบรวมสัมประสิทธิ์ของ${\displaystyle t^{i}}$ในแต่ละรายการเพื่อสร้างเมทริกซ์ Biโดยที่หนึ่งมี $${\displaystyle B=\sum _{i=0}^{n-1}t^{i}B_{i}.}$$ (วิธีการกำหนดค่าของเมทริกซ์Bทำให้ชัดเจนว่าไม่มีกำลังที่สูงกว่าt ^{n −1}เกิดขึ้น) แม้ว่านี่จะดูเหมือนพหุนามที่มีเมทริกซ์เป็นสัมประสิทธิ์ แต่เราจะไม่พิจารณาแนวคิดดังกล่าว มันเป็นเพียงวิธีการเขียนเมทริกซ์ที่มีค่าเป็นพหุนามเป็นผลรวมเชิงเส้นของ เมทริกซ์คงที่ nเมทริกซ์ และสัมประสิทธิ์${\displaystyle t^{i}}$ข้อความนี้ถูกเขียนไว้ทางด้านซ้ายของตารางเพื่อเน้นย้ำมุมมองนี้

ทีนี้ เราสามารถขยายผลคูณเมทริกซ์ในสมการของเราได้ดังนี้: $${\displaystyle {\begin{aligned}p(t)I_{n}&=(tI_{n}-A)B\\&=(tI_{n}-A)\sum _{i=0}^{n-1}t^{i}B_{i}\\&=\sum _{i=0}^{n-1}tI_{n}\cdot t^{i}B_{i}-\sum _{i=0}^{n-1}A\cdot t^{i}B_{i}\\&=\sum _{i=0}^{n-1}t^{i+1}B_{i}-\sum _{i=0}^{n-1}t^{i}AB_{i}\\&=t^{n}B_{n-1}+\sum _{i=1}^{n-1}t^{i}(B_{i-1}-AB_{i})-AB_{0}.\end{aligned}}}$$

การเขียน $${\displaystyle p(t)I_{n}=t^{n}I_{n}+t^{n-1}c_{n-1}I_{n}+\cdots +tc_{1}I_{n}+c_{0}I_{n},}$$ จะได้ความเท่าเทียมกันของเมทริกซ์สองเมทริกซ์ที่มีสมาชิกเป็นพหุนาม ซึ่งเขียนในรูปผลรวมเชิงเส้นของเมทริกซ์คงที่ที่มีสัมประสิทธิ์เป็น กำลังของ t

ความเท่าเทียมกันดังกล่าวจะเป็นจริงได้ก็ต่อเมื่อในตำแหน่งใดๆ ของเมทริกซ์ ค่าที่ถูกคูณด้วยกำลังที่กำหนดนั้นมีค่าคงที่${\displaystyle t^{i}}$เหมือนกันทั้งสองด้าน ดังนั้นเมทริกซ์คงที่ที่มีสัมประสิทธิ์จึงเป็นไปตามนั้น${\displaystyle t^{i}}$ในทั้งสองนิพจน์จะต้องเท่ากัน เมื่อเขียนสมการเหล่านี้สำหรับiตั้งแต่nลงไปจนถึง 0 จะได้ว่า $${\displaystyle B_{n-1}=I_{n},\qquad B_{i-1}-AB_{i}=c_{i}I_{n}\quad {\text{for }}1\leq i\leq n-1,\qquad -AB_{0}=c_{0}I_{n}.}$$

สุดท้าย คูณสมการของสัมประสิทธิ์ของ${\displaystyle t^{i}}$จากทางซ้ายโดย${\displaystyle A^{i}}$และสรุปได้ว่า:

$${\displaystyle A^{n}B_{n-1}+\sum \limits _{i=1}^{n-1}\left(A^{i}B_{i-1}-A^{i+1}B_{i}\right)-AB_{0}=A^{n}+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots +c_{1}A+c_{0}I_{n}.}$$

ด้านซ้ายมือจะรวมกันแล้วหักล้างกันอย่างสมบูรณ์ ส่วนด้านขวามือจะรวมกันได้เท่ากับ${\displaystyle p(A)}$: $${\displaystyle 0=p(A).}$$ การพิสูจน์เสร็จสมบูรณ์แล้ว

การพิสูจน์นี้คล้ายกับการพิสูจน์แรก แต่พยายามให้ความหมายกับแนวคิดของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นเมทริกซ์ ซึ่งได้เสนอแนะโดยนิพจน์ที่ปรากฏในบทพิสูจน์นั้น การทำเช่นนี้ต้องใช้ความระมัดระวังอย่างมาก เนื่องจากค่อนข้างผิดปกติที่จะพิจารณาพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์ในวงแหวนที่ไม่สลับที่ และเหตุผลทั้งหมดที่ใช้ได้กับพหุนามที่สลับที่ได้นั้นไม่สามารถนำมาใช้ในบริบทนี้ได้ทั้งหมด

ที่น่าสังเกตคือ ในขณะที่การคำนวณทางพีชคณิตของพหุนามบนริงสลับที่จำลองการคำนวณทางพีชคณิตของฟังก์ชันพหุนามแต่กรณีนี้ไม่เป็นเช่นนั้นบนริงไม่สลับที่ (อันที่จริงไม่มีแนวคิดที่ชัดเจนของฟังก์ชันพหุนามในกรณีนี้ที่ปิดภายใต้การคูณ) ดังนั้นเมื่อพิจารณาพหุนามในtที่มีสัมประสิทธิ์เป็นเมทริกซ์ ตัวแปรtจะต้องไม่ถูกมองว่าเป็น "สิ่งที่ไม่ทราบค่า" แต่เป็นสัญลักษณ์เชิงรูปธรรมที่จะต้องถูกจัดการตามกฎที่กำหนด โดยเฉพาะอย่างยิ่งเราไม่สามารถกำหนดค่า tให้เป็นค่าเฉพาะเจาะจง ได้$${\displaystyle (f+g)(x)=\sum _{i}\left(f_{i}+g_{i}\right)x^{i}=\sum _{i}{f_{i}x^{i}}+\sum _{i}{g_{i}x^{i}}=f(x)+g(x).}$$

อนุญาต${\displaystyle M(n,R)}$ให้ R เป็นวงแหวนของ เมทริกซ์ n × nที่มีสมาชิกอยู่ในวงแหวนR บางวง (เช่น จำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน) ซึ่งมีAเป็นสมาชิก เมทริกซ์ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นพหุนามในtเช่น${\displaystyle tI_{n}-A}$หรือคู่ควบBในการพิสูจน์ครั้งแรก เป็นองค์ประกอบของ${\displaystyle M(n,R[t])}$.

โดยการรวบรวมเมทริกซ์ที่มีกำลังเท่ากันของtเมทริกซ์เหล่านี้สามารถเขียนได้เป็น "พหุนาม" ในtโดยมีเมทริกซ์คงที่เป็นสัมประสิทธิ์ เขียนได้ดังนี้${\displaystyle M(n,R)[t]}$สำหรับเซตของพหุนามดังกล่าว เนื่องจากเซตนี้มีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับ${\displaystyle M(n,R[t])}$โดยจะกำหนดการดำเนินการทางคณิตศาสตร์บนนั้นตามลำดับ โดยเฉพาะอย่างยิ่งการคูณจะกำหนดโดย $${\displaystyle \left(\sum _{i}M_{i}t^{i}\right)\!\!\left(\sum _{j}N_{j}t^{j}\right)=\sum _{i,j}(M_{i}N_{j})t^{i+j},}$$ โดยคำนึงถึงลำดับของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์จากตัวดำเนินการทั้งสอง ซึ่งเห็นได้ชัดว่าเป็นการคูณแบบไม่สลับที่กัน

ดังนั้น เอกลักษณ์ $${\displaystyle (tI_{n}-A)B=p(t)I_{n}.}$$ จากการพิสูจน์ครั้งแรก สามารถมองได้ว่าเป็นการพิสูจน์ที่เกี่ยวข้องกับการคูณองค์ประกอบใน${\displaystyle M(n,R)[t]}$.

ณ จุดนี้ การกำหนดให้tเท่ากับเมทริกซ์A นั้นดูน่าสนใจ เพราะจะทำให้ตัวประกอบตัวแรกทางซ้ายเท่ากับเมทริกซ์ศูนย์ และด้านขวาเท่ากับp ( A )อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่การดำเนินการที่อนุญาตเมื่อสัมประสิทธิ์ไม่สลับที่กันได้ เป็นไปได้ที่จะกำหนด "แผนที่การประเมินค่าทางขวา" ev   : M [ t ] → Mซึ่งแทนที่t ⁱ แต่ละตัว ด้วยกำลังเมทริกซ์A ⁱของAโดยกำหนดว่ากำลังนั้นจะต้องคูณทางขวากับสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันเสมอ แต่แผนที่นี้ไม่ใช่โฮโมมอร์ฟิซึมของริง : การประเมินค่าทางขวาของผลคูณโดยทั่วไปจะแตกต่างจากผลคูณของการประเมินค่าทางขวา เป็นเช่นนั้นเพราะการคูณพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เมทริกซ์ไม่ได้จำลองการคูณนิพจน์ที่มีตัวแปรที่ไม่ทราบค่า: ผลคูณ${\displaystyle Mt^{i}Nt^{j}=(M\cdot N)t^{i+j}}$นิยามโดยสมมติว่าtสลับที่ได้กับNแต่สมมติฐานนี้อาจไม่เป็นจริงหากแทนที่t ด้วยเมทริกซ์A

เราสามารถแก้ไขปัญหานี้ได้ในสถานการณ์เฉพาะนี้ เนื่องจากแผนที่การประเมินค่าทางขวาข้างต้นจะกลายเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนหากเมทริกซ์Aอยู่ในศูนย์กลางของวงแหวนของสัมประสิทธิ์ ดังนั้นจึงสามารถสลับตำแหน่งกับสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของพหุนามได้ (ข้อโต้แย้งที่พิสูจน์เรื่องนี้ตรงไปตรงมา เนื่องจากตอนนี้การสลับตำแหน่งกับสัมประสิทธิ์ได้รับการพิสูจน์แล้วหลังจากการประเมินค่า)

โดยทั่วไปแล้วAไม่ได้อยู่ตรงกลางของM เสมอไป แต่เราอาจแทนที่Mด้วยวงแหวนที่เล็กกว่าได้ โดยมีเงื่อนไขว่าวงแหวนนั้นต้องมีสัมประสิทธิ์ของพหุนามที่เกี่ยวข้องทั้งหมดอยู่ภายใน${\displaystyle I_{n}}$, Aและสัมประสิทธิ์${\displaystyle B_{i}}$ของพหุนามBตัวเลือกที่ชัดเจนสำหรับวงแหวนย่อย ดังกล่าว คือเซนทัลไลเซอร์ZของA ซึ่ง เป็นวงแหวนย่อยของเมทริกซ์ทั้งหมดที่สลับที่ได้กับAโดยนิยามแล้วAอยู่ที่ศูนย์กลางของZ

ตัวรวมศูนย์นี้เห็นได้ชัดว่าประกอบด้วย${\displaystyle I_{n}}$และAแต่ต้องแสดงให้เห็นว่ามันประกอบด้วยเมทริกซ์${\displaystyle B_{i}}$ในการทำเช่นนี้ เราจะรวมความสัมพันธ์พื้นฐานสองประการสำหรับตัวผกผัน โดยเขียนตัวผกผันB ออกมา ในรูปพหุนาม: $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\sum _{i=0}^{m}B_{i}t^{i}\right)\!(tI_{n}-A)&=(tI_{n}-A)\sum _{i=0}^{m}B_{i}t^{i}\\\sum _{i=0}^{m}B_{i}t^{i+1}-\sum _{i=0}^{m}B_{i}At^{i}&=\sum _{i=0}^{m}B_{i}t^{i+1}-\sum _{i=0}^{m}AB_{i}t^{i}\\\sum _{i=0}^{m}B_{i}At^{i}&=\sum _{i=0}^{m}AB_{i}t^{i}.\end{aligned}}}$$

เมื่อเทียบสัมประสิทธิ์แล้วจะเห็นได้ว่าสำหรับแต่ละiเราจะได้AB = B Aตามที่ต้องการ เมื่อพบการตั้งค่าที่เหมาะสมซึ่งev เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของริงแล้ว เราสามารถทำการพิสูจน์ให้เสร็จสมบูรณ์ได้ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ev} _{A}\left(p(t)I_{n}\right)&=\operatorname {ev} _{A}((tI_{n}-A)B)\\[5pt]p(A)&=\operatorname {ev} _{A}(tI_{n}-A)\cdot \operatorname {ev} _{A}(B)\\[5pt]p(A)&=(AI_{n}-A)\cdot \operatorname {ev} _{A}(B)=O\cdot \operatorname {ev} _{A}(B)=O.\end{aligned}}}$$ การพิสูจน์เสร็จสมบูรณ์แล้ว

ในการพิสูจน์ครั้งแรก เราสามารถกำหนดสัมประสิทธิ์Bi Bได้โดยอาศัยความสัมพันธ์พื้นฐานทางขวามือสำหรับตัวผกผันเท่านั้น อันที่จริง สมการnสมการแรกที่ได้มานั้นสามารถตีความได้ว่าเป็นการหาผลหารBของการหารแบบยุคลิดของพหุนามp ( t ) In ด้านซ้ายโดยพหุนามเอกลักษณ์Int − ในขณะที่สมการสุดท้ายแสดงให้เห็นว่าเศษเหลือเป็นศูนย์ การหารนี้กระทำในวงแหวนของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นเมทริกซ์ อันที่จริง แม้แต่ในวงแหวนที่ไม่สลับที่ การหารแบบยุคลิดโดยพหุนามเอกลักษณ์Pก็ยังคงถูกกำหนดไว้ และจะให้ผลหารและเศษเหลือที่ไม่ซ้ำกันเสมอ โดยมี เงื่อนไข ดีกรี เดียวกันกับในกรณีที่สลับที่กันได้ ตราบใดที่ระบุว่าต้องการให้ P เป็นตัวประกอบ ทางด้านใด(ในที่นี้คือทางด้านซ้าย)

เพื่อให้เห็นว่าผลหารและเศษเหลือมีค่าเฉพาะตัว (ซึ่งเป็นส่วนสำคัญของข้อความนี้) ก็เพียงแค่เขียนว่า${\displaystyle PQ+r=PQ'+r'}$เช่น${\displaystyle P(Q-Q')=r'-r}$และสังเกตว่าเนื่องจากPเป็นโมโนมิก ดังนั้นP ( Q − Q ′)จึงไม่สามารถมีดีกรีน้อยกว่าดีกรีของPได้เว้นแต่ว่าQ = Q ′

แต่ตัวตั้งหารp ( t ) In ตัวหารInt A ที่ใช้ในที่นี้ต่างก็อยู่ในวงแหวนย่อย( R [ A ])[ t ]โดยที่R [ A ]คือวงแหวนย่อยของวงแหวนเมทริกซ์M ( n , R )ที่สร้างขึ้นโดยA ซึ่ง ก็คือปริภูมิเชิงเส้นR ของกำลังทั้งหมดของAดังนั้น การหารแบบยุคลิดจึงสามารถทำได้ภายใน วงแหวนพหุนาม สลับ ที่นั้น และแน่นอนว่าจะได้ผลหารBและเศษเหลือ 0 เหมือนกับในวงแหวนที่ใหญ่กว่า โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าB อยู่ ใน ( R [ A ])[ t ]จริงๆ

แต่ในบริบทการสลับที่นี้ การกำหนดให้tเท่ากับAในสมการ นั้นถือว่าถูกต้อง

$${\displaystyle p(t)I_{n}=(tI_{n}-A)B;}$$

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ การนำแผนที่การประเมินผลไปใช้

$${\displaystyle \operatorname {ev} _{A}:(R[A])[t]\to R[A]}$$

ซึ่งเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวน ทำให้ได้

$${\displaystyle p(A)=0\cdot \operatorname {ev} _{A}(B)=0}$$

เช่นเดียวกับในบทพิสูจน์ที่สอง ตามที่ต้องการ

นอกจากจะพิสูจน์ทฤษฎีบทแล้ว ข้อโต้แย้งข้างต้นยังบอกเราอีกว่าสัมประสิทธิ์Bi ของB พหุนามในAในขณะที่จากการพิสูจน์ครั้งที่สอง เรารู้เพียงว่าสัมประสิทธิ์เหล่านั้นอยู่ในเซนทริไลเซอร์ZของA เท่านั้น โดยทั่วไปZเป็นซับริงที่ใหญ่กว่าR [ A ]และไม่จำเป็นต้องเป็นซับริงสลับที่ได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งพจน์คงที่= adj(−A )อยู่ในR [ A ]เนื่องจากAเป็นเมทริกซ์จัตุรัสใดๆ จึงพิสูจน์ได้ว่าadj( A )สามารถแสดงเป็นพหุนามในA ได้เสมอ ( โดยมีสัมประสิทธิ์ที่ขึ้นอยู่กับA )

อันที่จริง สมการที่พบในบทพิสูจน์แรกช่วยให้สามารถแสดงออกมาได้อย่างต่อเนื่อง${\displaystyle B_{n-1},\ldots ,B_{1},B_{0}}$ในรูปพหุนามในAซึ่งนำไปสู่เอกลักษณ์

ใช้ได้กับเมทริกซ์ขนาด n × nทุกเมทริกซ์ โดยที่ $${\displaystyle p(t)=t^{n}+c_{n-1}t^{n-1}+\cdots +c_{1}t+c_{0}}$$คือ พหุนามลักษณะเฉพาะของA

โปรดทราบว่าเอกลักษณ์นี้ยังบ่งบอกถึงข้อความของทฤษฎีบทเคย์ลีย์-แฮมิลตันด้วย กล่าวคือ เราสามารถย้ายadj(− A )ไปทางด้านขวามือ คูณสมการที่ได้ (ทางซ้ายหรือทางขวา) ด้วยAและใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า $${\displaystyle -A\cdot \operatorname {adj} (-A)=\operatorname {adj} (-A)\cdot (-A)=\det(-A)I_{n}=c_{0}I_{n}.}$$

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น เมทริกซ์p ( A ) ในข้อความของทฤษฎีบทได้มาจากการประเมินดีเทอร์มิแนนต์ก่อน แล้วจึงแทนที่เมทริกซ์Aด้วยtโดยทำการแทนที่นั้นลงในเมทริกซ์${\displaystyle tI_{n}-A}$การประเมินค่าดีเทอร์มิแนนต์ก่อนนั้นไม่มีความหมาย อย่างไรก็ตาม เป็นไปได้ที่จะตีความโดยที่p ( A )ได้มาโดยตรงจากค่าของดีเทอร์มิแนนต์ที่กำหนด แต่ต้องใช้การตั้งค่าที่ซับซ้อนกว่า นั่นคือเมทริกซ์บนริงซึ่งสามารถตีความทั้งสององค์ประกอบได้${\displaystyle A_{i,j}}$ของAและทั้งหมดของAเอง เราอาจใช้ริงM ( n , R )ของ เมทริกซ์ n × nบนR แทนได้ โดยที่สมาชิกในริงคือ M(n, R)${\displaystyle A_{i,j}}$ตระหนักได้ว่า${\displaystyle A_{i,j}I_{n}}$และAเองก็เช่นกัน แต่การพิจารณาเมทริกซ์ที่มีเมทริกซ์เป็นสมาชิกอาจทำให้เกิดความสับสนกับเมทริกซ์บล็อกซึ่งไม่ใช่เจตนา เพราะจะทำให้เข้าใจความหมายของดีเทอร์มิแนนต์ผิด (โปรดจำไว้ว่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ถูกกำหนดให้เป็นผลรวมของผลคูณของสมาชิก และในกรณีของเมทริกซ์บล็อก โดยทั่วไปแล้วจะไม่เหมือนกับผลรวมของผลคูณของบล็อกที่สอดคล้องกัน!) การแยกแยะA ออก จากเอนโดมอร์ฟิซึมφของ ปริภูมิ เวกเตอร์ n มิติV (หรือโมดูล R อิสระถ้า Rไม่ใช่ฟิลด์ ) ที่กำหนดโดย A ในฐานนั้น ชัดเจนกว่า${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$และเพื่อสร้างเมทริกซ์เหนือวงแหวน End( V ) ของเอนโดมอร์ฟิซึมทั้งหมดดังกล่าว จากนั้นφ ∈ End( V )จะเป็นรายการเมทริกซ์ที่เป็นไปได้ ในขณะที่Aแสดงถึงองค์ประกอบของM ( n , End( V ))ซึ่ง รายการ i , jเป็นเอนโดมอร์ฟิซึมของการคูณสเกลาร์ด้วย${\displaystyle A_{i,j}}$ในทำนองเดียวกัน${\displaystyle I_{n}}$จะถูกตีความว่าเป็นองค์ประกอบของM ( n , End( V ))อย่างไรก็ตาม เนื่องจากEnd( V )ไม่ใช่วงแหวนสลับที่ จึงไม่มีดีเทอร์มิแนนต์ที่กำหนดไว้บนM ( n , End( V ))ซึ่งสามารถทำได้เฉพาะกับเมทริกซ์เหนือวงแหวนย่อยสลับที่ของEnd( V ) เท่านั้น ตอนนี้สมาชิกของเมทริกซ์${\displaystyle \varphi I_{n}-A}$ทั้งหมดอยู่ในซับริงR [ φ ]ที่สร้างขึ้นโดยเอกลักษณ์และφซึ่งมีคุณสมบัติการสลับที่ได้ จากนั้นแผนที่ดีเทอร์มิแนนต์M ( n , R [ φ ]) → R [ φ ]จะถูกกำหนดขึ้น และ${\displaystyle \det(\varphi I_{n}-A)}$ประเมินค่าเป็นค่าp ( φ )ของพหุนามลักษณะเฉพาะของAที่φ (ซึ่งเป็นจริงโดยไม่ขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์ระหว่างAและφ ) ทฤษฎีบท Cayley–Hamilton กล่าวว่าp ( φ )คือเอนโดมอร์ฟิซึมศูนย์

ในรูปแบบนี้ สามารถพิสูจน์ได้ดังต่อไปนี้จากงานของAtiyah & MacDonald (1969 , Prop. 2.4) (ซึ่งในความเป็นจริงแล้วเป็นข้อความทั่วไปที่เกี่ยวข้องกับเลมมาของ Nakayama มากกว่า โดยในข้อเสนอนั้นถือว่าวงแหวนทั้งหมดR เป็น อุดมคติ ) ข้อเท็จจริงที่ว่าAเป็นเมทริกซ์ของφในฐานe , ..., e หมายความว่า $${\displaystyle \varphi (e_{i})=\sum _{j=1}^{n}A_{j,i}e_{j}\quad {\text{for }}i=1,\ldots ,n.}$$ เราสามารถตีความสิ่งเหล่านี้ได้ว่าเป็น ส่วนประกอบ nส่วนของสมการหนึ่งในV ⁿซึ่งสมาชิกสามารถเขียนได้โดยใช้ผลคูณเมทริกซ์-เวกเตอร์M ( n , End( V )) × V ⁿ → V ⁿที่กำหนดไว้ตามปกติ แต่แต่ละรายการψ ∈ End( V )และvในVจะถูก "คูณ" ด้วยการสร้าง${\displaystyle \psi (v)}$; ซึ่งจะได้ผลลัพธ์ดังนี้: $${\displaystyle \varphi I_{n}\cdot E=A^{\operatorname {tr} }\cdot E,}$$ ที่ไหน${\displaystyle E\in V^{n}}$คือองค์ประกอบที่มีส่วนประกอบiเป็นe (กล่าวอีกนัยหนึ่งคือเป็นฐานe , ..., e ของVที่เขียนเป็นคอลัมน์ของเวกเตอร์) เขียนสมการนี้เป็น $${\displaystyle (\varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} })\cdot E=0\in V^{n}}$$ เราจำแนกเมท ริก ซ์สลับแถวและคอลัมน์ ได้${\displaystyle \varphi I_{n}-A}$ตามที่พิจารณาข้างต้น และดีเทอร์มิแนนต์ของมัน (ในฐานะองค์ประกอบของM ( n , R [ φ ]))ก็คือp ( φ ) เช่นกัน เพื่อให้ได้จากสมการนี้ว่าp ( φ ) = 0 ∈ End( V )จะต้องคูณทางซ้ายด้วยเมทริกซ์ผกผันของ${\displaystyle \varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} }}$ซึ่งกำหนดไว้ในเมทริกซ์ริงM ( n , R [ φ ])ทำให้ได้ $${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\operatorname {adj} (\varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} })\cdot \left((\varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} })\cdot E\right)\\[1ex]&=\left(\operatorname {adj} (\varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} })\cdot (\varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} })\right)\cdot E\\[1ex]&=\left(\det(\varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} })I_{n}\right)\cdot E\\[1ex]&=(p(\varphi )I_{n})\cdot E;\end{aligned}}}$$ คุณสมบัติการสลับที่ ของ คูณเมทริกซ์กับเมทริกซ์และการคูณเมทริกซ์กับเวกเตอร์ที่ใช้ในขั้นตอนแรกนั้นเป็นเพียงคุณสมบัติเชิงรูปแบบของการดำเนินการเหล่านั้นเท่านั้น โดยไม่ขึ้นอยู่กับลักษณะของสมาชิก ตอนนี้ ส่วนประกอบiของสมการนี้กล่าวว่าp ( φ )( ei ) = 0 ∈ Vดังนั้นp ( φ )จะเป็นศูนย์บนei ทั้งหมด และเนื่องจากองค์ประกอบเหล่านี้สร้างVขึ้นมา จึงสรุปได้ว่าp ( φ ) = 0 ∈ End( V ) เป็นการเสร็จสิ้นการพิสูจน์

ข้อเท็จจริงเพิ่มเติมอีกประการหนึ่งที่ได้จากการพิสูจน์นี้คือ เมทริกซ์Aซึ่งใช้พหุนามลักษณะเฉพาะนั้น ไม่จำเป็นต้องเหมือนกับค่าφที่แทนลงในพหุนามนั้น เพียงพอแล้วที่φจะเป็นเอนโดมอร์ฟิซึมของVที่สอดคล้องกับสมการเบื้องต้น

$${\displaystyle \varphi (e_{i})=\sum _{j}A_{j,i}e_{j}}$$ สำหรับลำดับขององค์ประกอบe , ..., e บาง ลำดับ ที่สร้างV (ซึ่งปริภูมิอาจมีมิติเล็กกว่าnหรือในกรณีที่วงแหวนRไม่ใช่ฟิลด์ มันอาจไม่ใช่โมดูลอิสระเลยก็ได้)