ปัญหาของฮิลเบิร์ตคือปัญหาทางคณิตศาสตร์ 23 ข้อ ที่นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันเดวิด ฮิลเบิร์ต ตี พิมพ์ ในปี ค.ศ. 1900 ปัญหาเหล่านี้ยังไม่มีใครแก้ได้ในขณะนั้น และหลายข้อก็มีอิทธิพลอย่างมากต่อคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 20 ฮิลเบิร์ตนำเสนอ 10 ข้อ (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 และ 22) ในการประชุมนานาชาติของนักคณิตศาสตร์ที่ปารีสเมื่อวันที่ 8 สิงหาคม ที่มหาวิทยาลัยซอร์บอนน์รายชื่อปัญหาทั้ง 23 ข้อได้รับการตีพิมพ์ในภายหลัง และแปลเป็นภาษาอังกฤษในปี ค.ศ. 1902 โดยแมรี ฟรานเซส วินสตัน นิวสันในวารสาร Bulletin of the American Mathematical Society ^{[ 1 ]}การ ตี พิมพ์ก่อนหน้านี้ (ในภาษาเยอรมันดั้งเดิม) ปรากฏในArchiv der Mathematik und Physik ^{[ 2 ]}

ในบรรดาปัญหาฮิลเบิร์ตที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน: 3, 6a ^{[ a ]} ​​, 7, 10, 11, 14, 17, 18, 19 และ 21 มีคำตอบที่ได้รับการยอมรับจากชุมชนคณิตศาสตร์ สถานะของปัญหา 1, 2, 5, 6b, 8c, 13 และ 15 เป็นที่ถกเถียงกัน: มีผลลัพธ์บางอย่าง แต่ก็ยังมีข้อโต้แย้งว่าผลลัพธ์เหล่านั้นแก้ปัญหาได้หรือไม่ ปัญหา 8a, 8b, 9, 12, 16, 20 และ 22 ยังไม่ได้รับการแก้ไขหรือเป็นที่ยอมรับกันอย่างกว้างขวางว่ายังไม่ได้รับการแก้ไข แม้จะมีผลลัพธ์บางส่วนก็ตาม ปัญหา 4 และ 23 ถือว่าคลุมเครือเกินกว่าจะอธิบายได้ว่าได้รับการแก้ไขแล้ว ปัญหา 24 ที่ถูกถอนออกไปก็อยู่ในกลุ่มนี้เช่นกัน

ต่อไปนี้เป็นหัวข้อสำหรับปัญหา 23 ข้อของฮิลเบิร์ตตามที่ปรากฏในการแปลการนำเสนอของฮิลเบิร์ตในปี 1902 ซึ่งตีพิมพ์ใน^Bulletin of the American Mathematical Society [ ^{1 ]}

1. ปัญหาของแคนเตอร์เกี่ยวกับจำนวนเชิงคาร์ดินัลของคอนตินิวอัม

2. ความเข้ากันได้ของสัจพจน์ทางคณิตศาสตร์

3. ความสอดคล้องแบบกรรไกรของทรงหลายเหลี่ยมที่มีปริมาตรเท่ากัน

4. ปัญหาเกี่ยวกับเส้นตรงที่เป็นระยะทางสั้นที่สุดระหว่างสองจุด

5. แนวคิดของ Lie เกี่ยวกับกลุ่มการแปลงต่อเนื่องโดยไม่ต้องสมมติว่าฟังก์ชันที่กำหนดกลุ่มนั้นสามารถหาอนุพันธ์ได้

6. การนำหลักการพื้นฐานของฟิสิกส์มาประยุกต์ใช้ในเชิงคณิตศาสตร์

7. ความไม่สมเหตุสมผลและการอยู่เหนือเหตุผลของจำนวนบางจำนวน

8. ปัญหาเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะ

9. การพิสูจน์กฎการแลกเปลี่ยนทั่วไปที่สุดในฟิลด์จำนวนใดๆ

10. การหาคำตอบของสมการไดโอแฟนไทน์

11. รูปแบบกำลังสองที่มีสัมประสิทธิ์เชิงตัวเลขพีชคณิตใดๆ

12. การขยายทฤษฎีบทของโครเนกเกอร์บนฟิลด์อาเบเลียนไปสู่ขอบเขตพีชคณิตใดๆ ของความมีเหตุผล

13. เป็นไปไม่ได้ที่จะแก้สมการทั่วไปกำลัง 7 โดยใช้ฟังก์ชันที่มีเพียงสองตัวแปร

14. การพิสูจน์ว่าระบบฟังก์ชันสมบูรณ์บางระบบมีจำนวนจำกัด

15. พื้นฐานที่เข้มงวดของแคลคูลัสเชิงนับของชูเบิร์ต

16. ปัญหาเกี่ยวกับโทโพโลยีของเส้นโค้งและพื้นผิวเชิงพีชคณิต

17. การแสดงรูปแบบที่แน่นอนโดยใช้รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

18. การสร้างพื้นที่จากทรงหลายเหลี่ยมที่สมมาตรกัน

19. คำตอบของปัญหาปกติในแคลคูลัสของการแปรผันจำเป็นต้องเป็นคำตอบเชิงวิเคราะห์เสมอไปหรือไม่?

20. ปัญหาทั่วไปของค่าขอบเขต

21. การพิสูจน์การมีอยู่ของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่มีกลุ่มโมโนโดร มีที่กำหนดไว้ล่วงหน้า

22. การทำให้ความสัมพันธ์เชิงวิเคราะห์เป็นมาตรฐานเดียวกัน โดยใช้ฟังก์ชันอัตโนมัติ

23. การพัฒนาเพิ่มเติมของวิธีการคำนวณความแปรผัน

เดิมทีฮิลเบิร์ตมีปัญหา 24 ข้อในรายการของเขา แต่ตัดสินใจไม่รวมปัญหาข้อหนึ่งในรายการที่ตีพิมพ์ ปัญหาข้อที่ 24 (ในทฤษฎีการพิสูจน์เกี่ยวกับเกณฑ์ความเรียบง่ายและวิธีการทั่วไป) ถูกค้นพบอีกครั้งในบันทึกต้นฉบับของฮิลเบิร์ตโดยนักประวัติศาสตร์ชาวเยอรมันรูดิเกอร์ ทีเลอในปี 2000 ^{[ 3 ]}

ปัญหาของฮิลเบิร์ตมีความหลากหลายอย่างมากทั้งในด้านหัวข้อและความแม่นยำ บางปัญหา เช่น ปัญหาที่ 3 ซึ่งเป็นปัญหาแรกที่ได้รับการแก้ไข หรือปัญหาที่ 8 ( สมมติฐานของรีมันน์ ) ซึ่งยังคงไม่ได้รับการแก้ไขจนถึงปัจจุบัน ได้ถูกนำเสนออย่างแม่นยำเพียงพอที่จะทำให้สามารถตอบได้อย่างชัดเจนว่าใช่หรือไม่ใช่ สำหรับปัญหาอื่นๆ เช่น ปัญหาที่ 5 ผู้เชี่ยวชาญมักเห็นพ้องต้องกันในตีความเดียว และได้มีการเสนอวิธีแก้ปัญหาตามตีความที่ยอมรับกันแล้ว แต่ก็ยังมีปัญหาที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดแต่ยังไม่ได้รับการแก้ไขอยู่ บางข้อความของฮิลเบิร์ตไม่แม่นยำเพียงพอที่จะระบุปัญหาเฉพาะเจาะจง แต่ก็ชี้แนะได้มากพอที่ปัญหาบางอย่างในปัจจุบันดูเหมือนจะนำไปใช้ได้ ตัวอย่างเช่นนักทฤษฎีจำนวน สมัยใหม่ส่วนใหญ่ อาจมองว่าปัญหาที่ 9 หมายถึงการสอดคล้องกันของแลงแลนด์สในเชิงสมมติฐาน เกี่ยวกับการแสดงแทนของกลุ่มกาโลอิส สัมบูรณ์ ของฟิลด์จำนวน^{[ 4 ]} ปัญหาอื่นๆ เช่น ข้อที่ 11 และข้อที่ 16 เกี่ยวข้องกับสาขาย่อยทางคณิตศาสตร์ที่กำลังเฟื่องฟู เช่น ทฤษฎีของรูปแบบกำลังสองและ เส้นโค้ง พีชคณิต จริง

มีปัญหาอยู่สองประการที่ไม่เพียงแต่ยังไม่ได้รับการแก้ไขเท่านั้น แต่ในความเป็นจริงอาจแก้ไขไม่ได้เลยตามมาตรฐานสมัยใหม่ ปัญหาที่ 6 เกี่ยวข้องกับการวางระบบสัจพจน์ของฟิสิกส์ซึ่งพัฒนาการในศตวรรษที่ 20 ดูเหมือนจะทำให้เป้าหมายนี้ห่างไกลและมีความสำคัญน้อยกว่าในสมัยของฮิลเบิร์ต นอกจากนี้ ปัญหาที่ 4 เกี่ยวข้องกับรากฐานของเรขาคณิตในลักษณะที่โดยทั่วไปแล้วถูกมองว่าคลุมเครือเกินไปที่จะให้คำตอบที่ชัดเจนได้

ฮิลเบิร์ตตั้งใจตั้งโจทย์ข้อที่ 23 ขึ้นมาเพื่อเป็นแนวทางทั่วไปในการเน้นย้ำว่าแคลคูลัสของการแปรผันเป็นสาขาที่ถูกมองข้ามและศึกษาอย่างไม่เพียงพอ ในการบรรยายแนะนำโจทย์เหล่านี้ ฮิลเบิร์ตได้กล่าวเกริ่นนำเกี่ยวกับโจทย์ข้อที่ 23 ไว้ดังนี้:

"ที่ผ่านมา ผมได้กล่าวถึงปัญหาที่เฉพาะเจาะจงและชัดเจนที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ โดยมีความเห็นว่าปัญหาที่เฉพาะเจาะจงและชัดเจนเช่นนี้เองที่ดึงดูดความสนใจเรามากที่สุด และมักส่งผลกระทบต่อวิทยาศาสตร์อย่างยั่งยืนที่สุด อย่างไรก็ตาม ผมขอปิดท้ายด้วยปัญหาทั่วไป นั่นคือ การชี้ให้เห็นถึงสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่กล่าวถึงซ้ำแล้วซ้ำเล่าในบรรยายนี้ ซึ่งแม้ว่าไวเออร์สตรัสจะมีความก้าวหน้าอย่างมากในช่วงหลังมานี้ แต่ก็ยังไม่ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางเท่าที่ควรในความคิดของผม นั่นคือ แคลคูลัสของการแปรผัน"

ปัญหาอีก 20 ข้อที่เหลือล้วนได้รับความสนใจอย่างมาก และในช่วงปลายศตวรรษที่ 20 งานวิจัยเกี่ยวกับปัญหาเหล่านี้ยังคงถือว่ามีความสำคัญอย่างยิ่ง พอล โคเฮนได้รับเหรียญฟิลด์สในปี 1966 จากผลงานของเขาในปัญหาข้อแรก และวิธีแก้ปัญหาเชิงลบของปัญหาข้อที่สิบในปี 1970 โดยยูริ มาติยาเซวิช (ซึ่งเป็นการต่อยอดงานของจูเลีย โรบินสันฮิลารี พัตนัมและมาร์ติน เดวิส ) ก็ได้รับการยกย่องในทำนองเดียวกัน แง่มุมต่างๆ ของปัญหาเหล่านี้ยังคงเป็นที่น่าสนใจอย่างมาก

ตามแนวทางของGottlob FregeและBertrand Russellฮิลเบิร์ตพยายามกำหนดคณิตศาสตร์อย่างมีเหตุผลโดยใช้วิธีของระบบที่เป็นทางการ กล่าวคือการพิสูจน์แบบจำกัด จากชุดของสัจพจน์ ที่ตกลงกัน ไว้^{[ 5 ]}หนึ่งในเป้าหมายหลักของโครงการของฮิลเบิร์ตคือการพิสูจน์แบบจำกัดของความสอดคล้องของสัจพจน์ของเลขคณิต นั่นคือปัญหาที่สองของเขา^{[ b ]}

อย่างไรก็ตามทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ข้อที่สองของเกอเดลให้ความหมายที่ชัดเจนว่าการพิสูจน์ความสอดคล้องของเลขคณิตแบบจำกัดนั้นเป็นไปไม่ได้ ฮิลเบิร์ตมีชีวิตอยู่ 12 ปีหลังจากที่เคิร์ต เกอเดลตีพิมพ์ทฤษฎีบทของเขา แต่ดูเหมือนว่าจะไม่ได้เขียนคำตอบอย่างเป็นทางการใดๆ ต่องานของเกอเดล^{[ c ] [ d ]}

ปัญหาข้อที่สิบของฮิลเบิร์ตไม่ได้ถามว่ามีอัลกอริทึม ใด สำหรับการตัดสินว่าสมการไดโอแฟนไทน์ สามารถหาคำตอบได้ หรือไม่ แต่ถามถึงการสร้างอัลกอริทึมดังกล่าวต่างหาก กล่าวคือ "คิดค้นกระบวนการที่สามารถใช้กำหนดได้ภายในจำนวนการดำเนินการที่จำกัดว่าสมการนั้นสามารถหาคำตอบได้ในจำนวนเต็มตรรกยะ หรือ ไม่" การที่ปัญหานี้ได้รับการแก้ไขโดยการแสดงให้เห็นว่าไม่มีอัลกอริทึมดังกล่าวอยู่จริงนั้น ขัดแย้งกับปรัชญาคณิตศาสตร์ของฮิลเบิร์ต

ในการอธิบายความคิดเห็นของเขาที่ว่าปัญหาทางคณิตศาสตร์ทุกข้อควรมีคำตอบ ฮิลเบิร์ตยอมรับความเป็นไปได้ที่คำตอบนั้นอาจเป็นการพิสูจน์ว่าปัญหาเดิมนั้นเป็นไปไม่ได้^{[ e ]}เขากล่าวว่าประเด็นคือการรู้ว่าคำตอบคืออะไรไม่ว่าด้วยวิธีใดวิธีหนึ่ง และเขาเชื่อว่าเราสามารถรู้ได้เสมอว่าในคณิตศาสตร์ไม่มี " ignorabimus " (ข้อความที่ความจริงไม่สามารถรู้ได้เลย) ^{[ f ]} ดูเหมือนจะไม่ชัดเจนว่าเขาจะถือว่าคำตอบของปัญหาข้อที่สิบเป็นตัวอย่างของ ignorabimus หรือไม่

ในทางกลับกัน สถานะของปัญหาข้อแรกและข้อที่สองนั้นซับซ้อนยิ่งกว่า: ยังไม่มีข้อสรุปทางคณิตศาสตร์ที่ชัดเจนว่าผลลัพธ์ของ Gödel (ในกรณีของปัญหาข้อที่สอง) หรือ Gödel และ Cohen (ในกรณีของปัญหาข้อแรก) ให้คำตอบเชิงลบที่แน่นอนหรือไม่ เนื่องจากคำตอบเหล่านี้ใช้ได้กับรูปแบบการกำหนดปัญหาแบบหนึ่ง ซึ่งไม่จำเป็นต้องเป็นรูปแบบเดียวที่เป็นไปได้^{[ g ]}

โจทย์ 23 ข้อของฮิลเบิร์ต และโจทย์ข้อที่ 24 ซึ่งยังไม่ได้ตีพิมพ์ มีรายชื่ออยู่ด้านล่าง สำหรับรายละเอียดเกี่ยวกับเฉลยและแหล่งอ้างอิง โปรดดูบทความที่เชื่อมโยงอยู่ในคอลัมน์แรก

ปัญหา	คำอธิบายโดยย่อ	สถานะ	ปีที่แก้ไขแล้ว
อันดับ 1	สมมติฐาน ความต่อเนื่อง (กล่าวคือ ไม่มีเซตใดที่มีจำนวนสมาชิกอยู่ระหว่างจำนวนเต็มและจำนวนจริง อย่างเคร่งครัด )	Paul Cohen แสดงให้เห็นว่าสมมติฐานนี้ไม่สามารถพิสูจน์หรือหักล้างได้ภายในทฤษฎีเซต Zermelo–Fraenkelไม่ว่าจะมีหรือไม่มีสัจพจน์ของการเลือก (โดยที่ทฤษฎีเซต Zermelo–Fraenkel มีความสอดคล้อง กล่าวคือไม่มีข้อขัดแย้ง) [ 8 ] [ 9 ]ยังไม่มีข้อสรุปว่านี่เป็นวิธีแก้ปัญหาหรือไม่	ปี 1940 หรือ 1963?
อันดับที่ 2	พิสูจน์ว่าสัจพจน์ของเลขคณิตมีความสอดคล้องกัน	ยังไม่มีข้อสรุปที่แน่ชัดว่าผลลัพธ์ของเกอเดลและเกนท์เซนให้คำตอบสำหรับปัญหาตามที่ฮิลเบิร์ตกล่าวไว้หรือ ไม่ ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ข้อที่สอง ของเกอเดล ซึ่งพิสูจน์ได้ในปี 1931 แสดงให้เห็นว่าไม่สามารถทำการพิสูจน์เช่นนั้น ได้ ภายในเลขคณิตเอง เกนท์เซนพิสูจน์ในปี 1936 ว่าความสอดคล้องของเลขคณิตเป็นผลมาจากความถูกต้องของลำดับ  ε	ปี 1931 หรือ 1936?
อันดับ 3	เมื่อกำหนด ทรงหลายเหลี่ยมสอง รูป ที่มีปริมาตรเท่ากัน จะสามารถตัดทรงหลายเหลี่ยมรูปแรกออกเป็นชิ้นส่วนทรงหลายเหลี่ยมจำนวนจำกัดที่สามารถนำมาประกอบใหม่เพื่อให้ได้ทรงหลายเหลี่ยมรูปที่สองได้เสมอหรือไม่?	สรุปแล้ว ผลลัพธ์: ไม่ใช่ พิสูจน์โดยแม็กซ์ เดห์นโดยใช้ค่าคงที่ของเดห์นแม้แต่ทรงหลายเหลี่ยมเพลโตที่มีปริมาตรเท่ากันแต่ต่างกัน ก็ไม่สามารถได้มาด้วยวิธีนี้จากกันและกัน	ปี ค.ศ. 1900
อันดับที่ 4	การสร้างรูปทรงเรขาคณิตที่สอดคล้องกับสัจพจน์ของเรขาคณิตคลาสสิก โดยที่เส้นตรงเหล่านั้นคือเส้นจีโอเดสิก	คลุมเครือเกินกว่าจะระบุได้ว่าได้รับการแก้ไขแล้วหรือไม่[ h ]	—
อันดับที่ 5	กลุ่มต่อเนื่องจัดเป็นกลุ่มที่แตกต่างกันโดยอัตโนมัติหรือไม่?	ขึ้นอยู่กับการตีความคำว่า "กลุ่มต่อเนื่อง" หากเข้าใจคำนี้ว่าเป็นกลุ่มโทโพโลยีซึ่งเป็นแมนิโฟลด์โทโพโลยี ด้วย : ใช่ ได้รับการพิสูจน์โดยแอนดรูว์ เกลสัน[ 10 ] หากเข้าใจ "กลุ่มต่อเนื่อง" ว่าเป็นกลุ่มเชิงทอพอโลยีที่กระทำบนแมนิโฟลด์ ปัญหาจะกลายเป็นข้อสันนิษฐานของฮิลเบิร์ต-สมิธซึ่งยังคงไม่มีข้อสรุป	ปี 1953?
อันดับที่ 6	การพิจารณาทางคณิตศาสตร์ของสัจพจน์ของฟิสิกส์ในคำอธิบายในภายหลังโดยฮิลเบิร์ต: [ 1 ] (ก) การพิจารณาความน่าจะเป็นเชิงสัจพจน์ด้วยทฤษฎีบทลิมิตเพื่อเป็นรากฐานของฟิสิกส์เชิงสถิติ (b) ทฤษฎีที่เข้มงวดของกระบวนการจำกัด "ซึ่งนำไปสู่กฎการเคลื่อนที่ของสิ่งต่อเนื่องจากมุมมองอะตอม"	(ก) ตกลงแล้วหลักการเชิงสัจพจน์ของ Kolmogorovได้รับการยอมรับว่าเป็นรากฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็น	1933
		(ข) ขึ้นอยู่กับการตีความปัญหา หากมองในแง่ของปัญหาทางฟิสิกส์: นับตั้งแต่การตีพิมพ์รายชื่อของฮิลเบิร์ต การค้นพบใหม่ๆ ได้ท้าทายกลศาสตร์คลาสสิกและนำไปสู่การกำหนดทฤษฎีสนามควอนตัมซึ่งยึดถือ "มุมมองแบบอะตอม" ของกฎทางฟิสิกส์ และทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปซึ่งอธิบาย "การเคลื่อนที่ของสสารต่อเนื่อง" ในระดับขนาดใหญ่ แม้จะมีความพยายามมากมายที่จะรวมทฤษฎีเหล่านี้เข้าด้วยกันเป็นทฤษฎีแห่งทุกสิ่งแต่ก็ยังไม่ชัดเจนว่าจะเชื่อมโยงทฤษฎีเหล่านี้เข้าด้วยกันได้อย่างไร ผู้เขียนบางคนพยายามแก้ปัญหานี้โดยใช้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ในกรอบกลศาสตร์คลาสสิก ซึ่งเป็นทฤษฎีทางฟิสิกส์ที่โดดเด่นในช่วงที่มีการตีพิมพ์รายการดังกล่าว ในเดือนมีนาคม พ.ศ. 2568 Deng, Hani และ Ma ได้ตีพิมพ์บทความที่อ้างว่าได้แก้ปัญหานี้โดยการอนุมานสมการของไหลต่อเนื่องและสมการ Boltzmannจากกฎของนิวตันที่ใช้กับอนุภาค[ 11 ]ปัจจุบันบทความนี้อยู่ระหว่างการตรวจสอบโดยผู้ทรงคุณวุฒิ[ 12 ]	ปี 2025?
อันดับที่ 7	a และb เป็นจำนวนอดิศัยหรือ ไม่ สำหรับค่าพีชคณิตa ≠ 0,1 และค่าพีชคณิตb เป็นจำนวนอตรรกยะ  ?	แก้ไขแล้ว ผลลัพธ์: ใช่ ดังที่แสดงให้เห็นโดยทฤษฎีบท Gelfond– Schneider	1934
อันดับที่ 8	(a) สมมติฐานของรีมันน์:ส่วนจริงของศูนย์ที่ ไม่ใช่ ศูนย์ ของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ คือ1/2	ยัง ไม่ได้รับ การ แก้ไขผลลัพธ์บางส่วนเกี่ยวข้องกับการประมาณค่าที่อ่อนกว่ามากโดยที่ศูนย์ที่ไม่ใช่ศูนย์...	—
	(b) สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่มีตัวหารร่วมที่เท่ากัน: จงหาคำตอบของสมการไดโอแฟนไทน์: สำหรับxและyที่เป็นจำนวนเฉพาะ สมมติฐานของโกลด์บัคและสมมติฐานของจำนวนเฉพาะคู่แฝดเป็นกรณีพิเศษของปัญหานี้ ${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle ax+by+c=0}$	สมการนี้ยังไม่สามารถหาคำตอบได้ แม้แต่กรณีพิเศษของสมการนี้ก็ยังเป็นปัญหาที่ยากและยังไม่มีคำตอบ ผลลัพธ์บางส่วนได้แก่การพิสูจน์ของYitang Zhang เกี่ยวกับช่องว่างที่มีขอบเขตระหว่างจำนวนเฉพาะ ซึ่งต่อมาได้รับการปรับปรุงโดย โครงการ Polymath Project	—
	(c) ขยายผลลัพธ์โดยใช้ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์สำหรับการกระจายจำนวนเฉพาะในจำนวนเต็ม เพื่อนำไปใช้กับฟังก์ชันซีตาของเดเดคินด์สำหรับการกระจายอุดมคติเฉพาะในวงแหวนของจำนวนเต็มสำหรับฟิลด์จำนวนใดๆ	ขึ้นอยู่กับการตีความผลลัพธ์ที่คาดหวัง ในปี ค.ศ. 1917 เอริช เฮคเคได้สร้างการต่อยอดเชิงวิเคราะห์สำหรับฟังก์ชันซีตาของเดเดคินด์ และพิสูจน์สมการเชิงฟังก์ชัน ซึ่งทำให้ได้ผลลัพธ์ที่คล้ายคลึงกับที่สามารถเข้าถึงได้ในปัจจุบันโดยใช้ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ อย่างไรก็ตาม หากเข้าใจว่าเป็นการพิสูจน์สมมติฐานของรีมันน์ที่ขยายออกไปปัญหาก็ยังไม่ได้รับการแก้ไข	ปี 1917?
อันดับที่ 9	จงหากฎทั่วไปที่สุดของทฤษฎีบทการแลกเปลี่ยนในฟิลด์จำนวนพีชคณิต ใด ๆ	ยัง ไม่ได้รับการแก้ไข ผลลัพธ์บางส่วนเกี่ยวข้องกับกฎการแลกเปลี่ยนของ Artinสำหรับส่วนขยายแบบอาเบเลียนของฟิลด์จำนวน ซึ่งเป็นผลลัพธ์สำคัญในทฤษฎีฟิลด์ชั้นการพัฒนาทฤษฎีฟิลด์ชั้นที่ไม่ใช่แบบอาเบเลียนซึ่งจะใช้ได้กับกรณีทั่วไปของฟิลด์จำนวนยังคงเป็นเรื่องที่คาดเดาเป็นส่วนใหญ่	—
อันดับที่ 10	จงหาอัลกอริทึมเพื่อตรวจสอบว่าสมการไดโอแฟนไทน์ พหุนามที่กำหนด ซึ่งมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มนั้นมีคำตอบเป็นจำนวนเต็มหรือไม่	แก้ไขแล้ว ผลลัพธ์: เป็นไปไม่ได้ทฤษฎีบทของมาติยาเซวิชบ่งชี้ว่าไม่มีอัลกอริทึมดังกล่าว	1970
วันที่ 11	การแก้สมการกำลังสองที่มีตัวแปรและสัมประสิทธิ์จำนวนใดๆ บนฟิลด์จำนวนใดๆ	แก้ไขแล้วHelmut Hasseในปี พ.ศ. 2467 ได้สร้างทฤษฎีทั่วไปของการจำแนกและตัดสินความสามารถในการแก้ปัญหาของรูปแบบกำลังสองเหนือฟิลด์จำนวนโดยใช้หลักการท้องถิ่น-สากลวิธีการของเขาได้รับการทำให้ง่ายขึ้นในภายหลังโดยErnst Wittโดยใช้Witt rings [ 13 ]	1924
วันที่ 12	ขยายทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-เวเบอร์เกี่ยวกับส่วนขยายอาเบเลียนของจำนวนตรรกยะไปสู่ส่วนขยายอาเบเลียนของฟิลด์จำนวนฐานใดๆ	ยังไม่ได้รับการแก้ไข ผลลัพธ์บางส่วนเกี่ยวข้องกับการสร้างโดยใช้รูปแบบโมดูลาร์ของฮิลเบิร์ตสำหรับฟิลด์ CMโดยโกโร ชิมูระและกรณีพิเศษของฟิลด์จริงทั้งหมดโดยใช้หน่วยบรูเมอร์-สตาร์กโดยดาสกุปตะและคาดเกะ[ 14 ] [ 15 ]	—
วันที่ 13	พิสูจน์ว่าสมการกำลัง 7 ทั่วไปไม่สามารถแก้ได้โดยใช้การประกอบฟังก์ชันต่อเนื่อง แบบจำกัด (หรือฟังก์ชันพีชคณิต ) ของตัวแปร สองตัว สำหรับรูปแบบต่อเนื่อง: อย่างน้อยที่สุดต้องสร้างฟังก์ชันวิเคราะห์ของตัวแปรสามตัวที่ไม่สามารถแสดงในรูปการประกอบดังกล่าวได้	ขึ้นอยู่กับรูปแบบของปัญหา สำหรับรูปแบบต่อเนื่อง: ไม่ใช่; ทฤษฎีบทการแสดงแทนของ Kolmogorov–Arnoldแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันต่อเนื่องหลายตัวแปรทุกฟังก์ชันสามารถได้มาจากการประกอบกันในลักษณะดังกล่าว ผู้เขียนบางคนโต้แย้งว่าฮิลเบิร์ตตั้งใจที่จะหาคำตอบภายในพื้นที่ของฟังก์ชันพีชคณิตและการขยายทฤษฎีกาโลอิส ที่เป็นไปได้ ดังนั้นจึงเป็นการสานต่องานของพวกเขาเองในกรณีพีชคณิต[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]ปรากฏจากเอกสารฉบับหนึ่งของฮิลเบิร์ตในภายหลังว่านี่คือความตั้งใจดั้งเดิมของเขาสำหรับปัญหานี้[ 19 ] สำหรับรูปแบบพีชคณิต ปัญหายังไม่ได้รับการแก้ไข	ปี 1957?
วันที่ 14	วงแหวนของตัวแปรคงที่ของกลุ่มพีชคณิตที่กระทำต่อวงแหวนพหุนาม นั้น สร้างขึ้นจากจำนวนจำกัดเสมอหรือไม่?	แก้ไขแล้ว ผลลัพธ์: ไม่ มีตัวอย่างค้านที่สร้างขึ้นโดยMasayoshi Nagata	1959
วันที่ 15	พื้นฐานที่เข้มงวดของแคลคูลัสเชิงนับของชูเบิร์ต	นับตั้งแต่มีการเผยแพร่รายชื่อดังกล่าว ได้มีการพัฒนาที่สำคัญในการแก้ไขปัญหานี้แล้ว: ตัวอย่างที่สำคัญของชูเบิร์ต[ 20 ] [ 21 ]ได้รับการตรวจสอบโดย Aluffi, Harris, Kleiman, Xambó, et al. [ 22 ] [ 23 ] การนำเสนอพิเศษของวงแหวน Chow ของแมนิโฟลด์ธงได้รับการดำเนินการโดย Borel, Marlin, Billey-Haiman และ Duan-Zhao และคณะ[ 23 ] ปัญหาลักษณะเฉพาะของชูเบิร์ตได้รับการแก้ไขโดย Haibao Duan และ Xuezhi Zhao [ 23 ] ต้วนและจ้าวอ้างว่าผลงานของพวกเขาสามารถแก้ไขปัญหาดังกล่าวได้แล้ว อย่างไรก็ตาม ปัจจุบันยังไม่มีข้อสรุปว่าปัญหาได้รับการแก้ไขอย่างสมบูรณ์หรือเพียงบางส่วน	1987–2020?
วันที่ 16	อธิบายตำแหน่งสัมพัทธ์ของวงรีที่เริ่มต้นจากเส้นโค้งพีชคณิตจริง และเป็นวงจรจำกัดของสนามเวกเตอร์พหุ นาม บนระนาบ	ยังไม่ได้รับการแก้ไข คำอธิบายที่แน่นอนเกี่ยวกับตำแหน่งของส่วนประกอบสำหรับเส้นโค้งพีชคณิตจริงยังคงเป็นปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไข แม้แต่สำหรับดีกรีต่ำๆ เช่น 8 สำหรับฟิลด์เวกเตอร์พหุนาม ผลลัพธ์บางส่วนรวมถึงการพิสูจน์ว่ามีวงจรจำกัดจำนวนจำกัด แต่ยังไม่มีขอบเขตที่มีประสิทธิภาพที่ทราบ	—
วันที่ 17	แสดงฟังก์ชันตรรกยะ ที่ไม่เป็นลบ ในรูปผลหารของผล รวมกำลัง สอง	แก้ไขแล้ว ผลลัพธ์: ใช่ เนื่องจากEmil Artinนอกจากนี้ ยังมีการกำหนดขีดจำกัดสูงสุดสำหรับจำนวนพจน์กำลังสองที่จำเป็นด้วย	1927
วันที่ 18	(a) มีกลุ่มปริภูมิ ที่แตกต่างกันโดยเนื้อแท้เพียงจำนวนจำกัด ในปริภูมิยูคลิด n มิติหรือไม่?	แก้ไขแล้ว ผลลัพธ์: ใช่ (โดย ลุดวิก บีเบอร์บัค )	1910
	(ข) มีทรงหลายเหลี่ยมใดบ้างที่ยอมรับการปูพื้นผิวแบบแอนิโซเฮดรัลในสามมิติเท่านั้น?	แก้ไขเรียบร้อยแล้ว ผลลัพธ์: ใช่ (โดยคาร์ล ไรน์ฮาร์ดท์ )	1928
	(ค) การจัดเรียงทรงกลมแบบ ใดมีความหนาแน่นมากที่สุด ?	แก้ไขปัญหาโดยการพิสูจน์ด้วยคอมพิวเตอร์ (โดยThomas Callister Hales ) และต่อมาด้วยการพิสูจน์ด้วยเครื่องจักรในโครงการ flyspeck ผลลัพธ์: ความหนาแน่นสูงสุดที่ได้มาจากการจัดเรียงแบบแน่น (close packing ) โดยแต่ละแบบมีความหนาแน่นประมาณ 74% เช่น การจัดเรียงแบบลูกบาศก์ที่มีจุดศูนย์กลาง อยู่ที่หน้า (face-centered cubic close packing)และการจัดเรียงแบบหกเหลี่ยม (hexagonal close packing )	1998
วันที่ 19	คำตอบของปัญหาทั่วไปในแคลคูลัสของการแปรผันจำเป็นต้อง เป็น คำตอบเชิงวิเคราะห์ เสมอไป หรือไม่?	แก้ไขแล้ว ผลลัพธ์: ใช่ ได้รับการพิสูจน์โดยEnnio De GiorgiและโดยJohn Forbes Nashอย่าง อิสระและใช้วิธีการที่แตกต่างกัน	1957
วันที่ 20	ปัญหาเชิงแปรผันทั้งหมดที่มีเงื่อนไขขอบเขต ที่กำหนดไว้ มีคำตอบหรือไม่?	ยังไม่ได้รับการแก้ไข หัวข้อวิจัยที่สำคัญตลอดศตวรรษที่ 20 ซึ่งส่งผลให้มีวิธีแก้ปัญหาในบางกรณี[ 24 ] [ 25 ] [ 26 ]	—
วันที่ 21	การพิสูจน์การมีอยู่ของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นฟุคเซียน ที่มีกลุ่มโมโนโดร มีที่กำหนดไว้ล่วงหน้า	แก้ไขแล้ว ผลลัพธ์: ไม่ มีตัวอย่างค้านแสดงโดยAndrei Bolibrukh [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] แม้จะมีคำตอบเชิงลบในกรณีทั่วไปที่สุด สมการ Fuchsian อาจมีอยู่ในกรณีพิเศษภายใต้สมมติฐานเพิ่มเติมบางประการ[ 30 ]	1989
วันที่ 22	การทำให้ความสัมพันธ์เชิงวิเคราะห์เป็นมาตรฐานเดียวกันโดยใช้ฟังก์ชันอัตโนมัติ	ยังไม่ได้รับการแก้ไข ผลลัพธ์บางส่วนเกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทการทำให้เป็นเอกรูปสำหรับพื้นผิวรีมันน์	—
วันที่ 23	การพัฒนาเพิ่มเติมของแคลคูลัสของการแปรผัน	คลุมเครือเกินกว่าจะระบุได้ว่าแก้ไขแล้วหรือไม่ นับตั้งแต่มีการเสนอรายชื่อ ฮิลเบิร์ตและนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ อีกมากมายได้มีส่วนร่วมมากมายในแคลคูลัสของการแปรผัน[ 31 ]การเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกของริชาร์ด เบลล์แมนถือเป็นทางเลือกหนึ่งสำหรับแคลคูลัสของการแปรผัน[ 32 ] [ 33 ] [ 34 ] [ i ]	—
ปัญหาที่ 24 ที่ยังไม่ได้รับการตีพิมพ์
วันที่ 24	การพัฒนาทฤษฎีความเรียบง่ายของการพิสูจน์	กู้คืนมาจากบันทึกที่ยังไม่ได้ตีพิมพ์ของฮิลเบิร์ต ข้อมูลคลุมเครือเกินกว่าจะระบุได้ว่าได้รับการแก้ไขแล้วหรือไม่	—

นักคณิตศาสตร์และองค์กรทางคณิตศาสตร์ได้ประกาศรายชื่อปัญหาจำนวนมาก ซึ่งโดยส่วนใหญ่แล้วไม่ประสบความสำเร็จในการสร้างอิทธิพลหรือผลงานมากเท่ากับปัญหาของฮิลเบิร์ต ตัวอย่างที่โดดเด่น ได้แก่ข้อสันนิษฐานของไวล์ปัญหาของพอล แอร์โดสคำถาม 24 ข้อของเธอร์สตันและปัญหาของสเมล

ข้อสันนิษฐานของ Weil ทั้งสี่ข้อ ซึ่งAndré Weil ตั้งขึ้น ในช่วงปลายทศวรรษ 1940 มีความสำคัญต่อสาขาเรขาคณิตเชิงพีชคณิตและทฤษฎีจำนวน^{[ 35 ] [ 36 ]}ข้อสันนิษฐานข้อแรกได้รับการพิสูจน์โดยBernard Dwork ; การพิสูจน์ที่แตกต่างกันของสองข้อแรก โดยใช้ℓ-adic cohomologyได้รับการพิสูจน์โดยAlexander Grothendieckข้อสันนิษฐานของ Weil ข้อสุดท้ายและลึกซึ้งที่สุด ซึ่งเป็นอนาล็อกของสมมติฐาน Riemann ได้รับการพิสูจน์โดยPierre Deligneทั้ง Grothendieck และ Deligne ได้รับรางวัลFields Medalอย่างไรก็ตาม ข้อสันนิษฐานของ Weil มีขอบเขตคล้ายกับปัญหา Hilbert ข้อเดียว และ Weil ไม่ได้ตั้งใจให้เป็นโปรแกรมสำหรับคณิตศาสตร์ทั้งหมด

Erdős ตั้งปัญหาหลายร้อยข้อ หรืออาจเป็นหลายพันข้อ โดยมักจะเสนอรางวัลเป็นเงิน ซึ่งขนาดของรางวัลจะขึ้นอยู่กับความยากของปัญหาที่รับรู้ได้^{[ 37 ]}

วิลเลียม เธอร์สตันได้ตีพิมพ์รายชื่อปัญหาทางคณิตศาสตร์ 24 ข้อในบทความปี 1982 แต่รายชื่อของเธอร์สตันเน้นไปที่ปัญหาจากโทโพโลยีเชิงเรขาคณิตของแมนิโฟลด์ 3 มิติซึ่งแตกต่างจากรายชื่อของฮิลเบิร์ตที่ครอบคลุมสาขาคณิตศาสตร์ที่หลากหลาย นอกจากนี้ ยังแตกต่างจากปัญหาของฮิลเบิร์ต ซึ่งหลายข้อใช้เวลาหลายทศวรรษในการแก้ไขหรือยังคงเป็นปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไข ปัญหา 22 ใน 24 ข้อของเธอร์สตันได้รับการแก้ไขภายใน 30 ปีหลังจากการตีพิมพ์

ในช่วงต้นศตวรรษที่ 21 นักคณิตศาสตร์หลายคนได้เสนอรายการโจทย์ปัญหา เช่นสตีฟ สเมล ผู้ได้รับรางวัลฟิลด์ส ซึ่งตอบรับคำขอของวลาดิมีร์ อาร์โนลด์ให้เสนอรายการโจทย์ปัญหา 18 ข้อ

อย่างน้อยในสื่อกระแสหลักปัญหาที่เทียบเคียงได้กับปัญหาของฮิลเบิร์ตในศตวรรษที่ 21 ก็คือปัญหาเจ็ดข้อในรางวัลมิลเลนเนียม ซึ่งคัดเลือกโดย สถาบันคณิตศาสตร์เคลย์ในปี 2000 ต่างจากปัญหาของฮิลเบิร์ตที่รางวัลหลักคือการชื่นชมฮิลเบิร์ตโดยเฉพาะและนักคณิตศาสตร์โดยทั่วไป ปัญหาแต่ละข้อในรางวัลมิลเลนเนียมมีเงินรางวัลหนึ่งล้านดอลลาร์ นอกจากนี้ ปัญหาของฮิลเบิร์ตส่วนใหญ่ไม่เป็นที่รู้จักอย่างกว้างขวางในวงการคณิตศาสตร์ก่อนที่จะมีการเผยแพร่รายชื่อปัญหา ในขณะที่ปัญหาทั้งหมดในรางวัลมิลเลนเนียมเป็นที่รู้จักกันดีมานานหลายทศวรรษและมีการพยายามพิสูจน์หลายครั้ง เช่นเดียวกับปัญหาของฮิลเบิร์ต หนึ่งในปัญหาในรางวัล ( ข้อสันนิฐานของปวงกาเร ) ได้รับการแก้ไขในเวลาไม่นานหลังจากที่มีการประกาศปัญหา

สมมติฐานของรีมันน์เป็นที่น่าสังเกตเนื่องจากปรากฏอยู่ในรายการปัญหาของฮิลเบิร์ต รายการของสเมล รายการปัญหารางวัลมิลเลนเนียม และแม้แต่สมมติฐานของไวล์ในรูปแบบเรขาคณิต แม้ว่าจะถูกนักคณิตศาสตร์ชั้นนำในยุคของเราโจมตี แต่ผู้เชี่ยวชาญหลายคนเชื่อว่ามันจะยังคงเป็นส่วนหนึ่งของรายการปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขเป็นเวลาหลายศตวรรษ ฮิลเบิร์ตเองก็ประกาศว่า: "ถ้าฉันตื่นขึ้นมาหลังจากหลับไปพันปี คำถามแรกของฉันคือ สมมติฐานของรีมันน์ได้รับการพิสูจน์แล้วหรือยัง?" ^{[ 38 ]}

ในปี 2551 DARPAได้ประกาศรายชื่อปัญหา 23 ข้อของตนเอง ซึ่งหวังว่าจะนำไปสู่ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ครั้งสำคัญ "เพื่อเสริมสร้างขีดความสามารถทางวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีของกระทรวงกลาโหม " ^{[ 39 ] [ 40 ]}รายชื่อของ DARPA ยังรวมถึงปัญหาบางส่วนจากรายชื่อของฮิลเบิร์ต เช่น สมมติฐานของรีมันน์

• ปัญหาของแลนเดา
• ปัญหารางวัลแห่งสหัสวรรษ
• ปัญหาของสเมล
• ปัญหาของทานิยามะ
• คำถาม 24 ข้อของเธอร์สตัน

Wikisourceภาษาอังกฤษมีข้อความต้นฉบับที่เกี่ยวข้องกับบทความนี้:

ปัญหาทางคณิตศาสตร์

• "ปัญหาของฮิลเบิร์ต"สารานุกรมคณิตศาสตร์สำนักพิมพ์ EMS 2001 [1994]
• "ข้อความต้นฉบับของการบรรยายของฮิลเบิร์ต เป็นภาษาเยอรมัน"เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 5 กุมภาพันธ์ 2012 เรียกดูเมื่อวันที่ 5 กุมภาพันธ์ 2005
• "ปัญหาทางคณิตศาสตร์ของเดวิด ฮิลเบิร์ต: การบรรยายต่อหน้าการประชุมนานาชาติของนักคณิตศาสตร์ที่ปารีสในปี ค.ศ. 1900" (PDF )
• หนังสือเสียงเรื่อง "ปัญหาทางคณิตศาสตร์"ที่เป็นสาธารณสมบัติ มีให้บริการที่ LibriVox