2 โพลีโทป

Q: ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับ 2 41โพลีโทป

ใน เรขาคณิต 8 มิติ2 41คือโพลีโทป 8 มิติแบบเอกรูป ซึ่ง สร้างขึ้นภายในสมมาตรของกลุ่มE 8

Q: ชื่ออื่น

EL Elte ตั้งชื่อว่า V (เนื่องจากมีจุดยอด 2160 จุด) ในรายการโพลีโทปกึ่งปกติของเขาในปี พ.ศ.

การฉายภาพเชิงตั้งฉาก ใน ระนาบ Coxeter E
4	1	2
แก้ไขแล้ว 4	แก้ไขแล้ว 1	แก้ไขแล้ว 2
ไบเรกติไฟด์ 4	ไตรเรกติไฟด์ 4

ใน เรขาคณิต 8 มิติ2 41คือโพลีโทป 8 มิติแบบเอกรูป ซึ่ง ขึ้นภายในสมมาตรของกลุ่มE

สัญลักษณ์ Coxeterของมันคือ2 ซึ่งอธิบาย แผนภาพ Coxeter-Dynkinแบบแยกสาขาโดยมีวงแหวนเดียวอยู่ที่ปลายลำดับ 2 โหนด

2 ที่ ถูกปรับแก้แล้ว นั้น สร้างขึ้นจากจุดที่อยู่ตรงกลางขอบของ2 ส่วน 2 ที่ถูกปรับแก้สองครั้ง นั้นสร้างขึ้นจากจุดที่อยู่ตรงกลางหน้าสามเหลี่ยมของ2 และมีลักษณะเหมือนกับ1 ที่ ถูกปรับแก้แล้ว

โพลีโทปเหล่านี้เป็นส่วนหนึ่งของตระกูลโพลีโทปนูน สม่ำเสมอ 255 (2 ⁸− 1) ในมิติ 8 ซึ่งประกอบด้วย หน้า โพลีโทปสม่ำเสมอที่กำหนดโดยการเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมดของวงแหวนในแผนภาพ Coxeter-Dynkin นี้ : .

2 โพลีโทป

2 โพลีโทป
พิมพ์	โพลีโทป 8 รูปทรงสม่ำเสมอ
ตระกูล	2 โพลีโทป
สัญลักษณ์ Schläfli	{3,3,3 ^4,1 }
สัญลักษณ์ค็อกซ์เตอร์	2
แผนภาพค็อกซ์เตอร์
7 หน้า	17520: 240 2 17280 {3 ⁶ }
6 หน้า	144960: 6720 2 138240 {3 ⁵ }
5 หน้า	544320: 60480 2 483840 {3 ⁴ }
4 หน้า	1209600: 241920 2 967680 {3 ³ }
เซลล์	1209600 {3 ² }
ใบหน้า	483840 {3}
ขอบ	69120
จุดยอด	2160
รูปจุดยอด	1
รูปหลายเหลี่ยมเพทรี	30 เหลี่ยม
กลุ่มค็อกซ์เตอร์	E , [3 ^4,2,1 ]
คุณสมบัติ	นูน

ประกอบด้วยหน้าตัด 17,520 หน้า (โพลีโทป 240 รูป และซิมเพล็กซ์ 7 รูป 17,280 รูป), หน้า 6 ด้าน144,960หน้า( ลีโทป2 21 รูป 6,720 รูป และซิมเพล็กซ์ 6 รูป 138,240 รูป , หน้า 5 ด้าน 544,320 หน้า ( ซิมเพล็กซ์ 2 11 รูป 60,480 รูป และซิมเพล็กซ์ 5 รูป 483,840 รูป , หน้า 4 ด้าน 1,209,600 หน้า ( ซิมเพล็กซ์ 4 รูป ), เซลล์ ( ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า ) 1,209,600 เซลล์, หน้า ( สามเหลี่ยม ) 483,840 หน้า, ขอบ 69,120 เส้น และ จุดยอด 2,160 จุด รูปทรงจุดยอดของมันคือเดมิคิวบ์ 7ด้าน

รูปทรงหลายเหลี่ยมนี้เป็นด้านหนึ่งในการปูพื้นแบบสม่ำเสมอ 2 พร้อมแผนภาพ Coxeter-Dynkin :

ชื่ออื่น

EL Elteตั้งชื่อว่า V (เนื่องจากมีจุดยอด 2160 จุด) ในรายการโพลีโทปกึ่งปกติของเขาในปี พ.ศ. 2455 ^{[ 1 ]}
Coxeter ตั้งชื่อว่า2 เนื่องจากแผนภาพ Coxeter-Dynkin ที่แยกออกเป็น สองทาง โดยมีวงแหวนเดียวอยู่ที่ปลายลำดับ 2 โหนด
Diacositetraconta-myriaheptachiliadiacosioctaconta-zettonสำหรับโพลีเซตตันเหลี่ยม 240-17280; ตัวย่อ: bay (Jonathan Bowers) ^{[ 2 ]}

พิกัด

สามารถกำหนดจุดยอดทั้ง 2160 จุดได้ดังนี้:

16 รูปแบบการเรียงสับเปลี่ยนของ (±4,0,0,0,0,0,0,0) ของ ( 8-orthoplex )

1120 การเรียงสับเปลี่ยนของ (±2,±2,±2,±2,0,0,0,0) ของ ( trirectified 8-orthoplex )

1024 การเรียงสับเปลี่ยนของ (±3,±1,±1,±1,±1,±1,±1,±1) โดยมีจำนวนเครื่องหมายลบเป็นเลขคี่

การก่อสร้าง

มันถูกสร้างขึ้นโดยวิธีWythoff constructionบนชุด กระจก ไฮเปอร์เพลน 8 ชุด ในปริภูมิ 8 มิติ

สามารถดึงข้อมูลลักษณะเฉพาะจากแผนภาพ Coxeter-Dynkin ได้ดังนี้ : .

การลบโหนดบนกิ่งสั้นจะเหลือซิมเพล็กซ์ 7 ตัว : มีหน้าตัดเหล่านี้ทั้งหมด 17280 หน้า

การลบโหนดที่ปลายกิ่งยาว 4 จะเหลือ2 , . มีเหลี่ยมมุมเหล่านี้ 240 เหลี่ยม โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ตำแหน่งของจุดยอด 240 จุดในโพลีโทป4

รูปทรงจุดยอดถูกกำหนดโดยการลบโหนดที่มีวงแหวนออกและใส่วงแหวนให้กับโหนดข้างเคียง ซึ่งทำให้ได้7-เดมิคิวบ์ , 1 , .

เมื่อพิจารณาในเมทริกซ์การกำหนดค่าจำนวนองค์ประกอบสามารถหาได้จากการลบกระจกและอัตราส่วนของลำดับกลุ่ม Coxeter ^{[ 3 ]}


อี	เค -เฟซ	เอฟ	ฟ	ฟ	เอฟ	เอฟ	เอฟ		เอฟ		ฟ		เอฟ		k -figure	หมายเหตุ
ดี	( )	ฟ	2160	64	672	2240	560	2240	280	1344	84	448	14	64	h{4,3,3,3,3,3}	E /D = 192·10!/64/7! = 2160
เอเอ	{ }	ฟ	2	69120	21	105	35	140	35	105	21	42	7	7	r{3,3,3,3,3}	จ /กก = 192·10!/7!/2 = 69120
เอเอเอ	{3}	เอฟ	3	3	483840	10	5	20	10	20	10	10	5	2	{}x{3,3,3}	จ /กกก = 192·10!/5!/3!/2 = 483840
เอเอ	{3,3}	เอฟ	4	6	4	1209600	1	4	4	6	6	4	4	1	{3,3}V( )	จ /กก = 192·10!/4!/4! = 1209600
เอเอ	{3,3,3}	เอฟ	5	10	10	5	241920	*	4	0	6	0	4	0	{3,3}	จ /กก = 192·10!/5!/4! = 241920
เอเอ	{3,3,3}	เอฟ	5	10	10	5	*	967680	1	3	3	3	3	1	{3}V( )	จ /กก = 192·10!/5!/3! = 967680
ดีเอ	{3,3,3 ^1,1 }	เอฟ	10	40	80	80	16	16	60480	*	3	0	3	0	{3}	E /D A = 192·10!/16/5!/2 = 40480
เอเอ	{3,3,3,3}	เอฟ	6	15	20	15	0	6	*	483840	1	2	2	1	{ }V( )	จ /กก = 192·10!/6!/2 = 483840
อีเอ	{3,3,3 ^2,1 }	ฟ	27	216	720	1080	216	432	27	72	6720	*	2	0	{ }	จ /จก = 192·10!/72/6! = 6720
เอ	{3,3,3,3,3}	ฟ	7	21	35	35	0	21	0	7	*	138240	1	1	{ }	จ /อ = 192·10!/7! = 138240
อี	{3,3,3 ^3,1 }	เอฟ	126	2016	10080	20160	4032	12096	756	4032	56	576	240	*	( )	จ /จ = 192·10!/72!/8! = 240
เอ	{3,3,3,3,3,3}	เอฟ	8	28	56	70	0	56	0	28	0	8	*	17280	( )	จ /เอ = 192·10!/8! = 17280

การแสดงผลข้อมูล

{\displaystyle 2{\sqrt {2}}} — การฉายภาพของ2 ไป ยังระนาบ Coxeter E (หรือที่เรียกว่าการฉายภาพ Petrie) ด้วยรัศมีโพลีโทป $2{\sqrt {2}}$ และมีขอบยาว 69120 ขอบ $2{\sqrt {2}}$

E8 [30]	[20]	[24]
(1)
E7 [18]	E6 [12]	[6]
	(1,8,24,32)

รูป หลายเหลี่ยมเพทรีมี 12, 18 หรือ 30 ด้าน โดยอิงตามสมมาตร E6, E7 และ E8 (ตามลำดับ) จุดยอดทั้ง 2160 จุดแสดงอยู่ แต่รูปแบบที่มีสมมาตรต่ำกว่าจะมีตำแหน่งที่ฉายภาพทับซ้อนกัน ซึ่งแสดงเป็นจุดยอดที่มีสีต่างกัน เพื่อเป็นการเปรียบเทียบ กลุ่มค็อกซ์เตอร์ B6 ก็แสดงไว้ด้วยเช่นกัน

D3 / B2 / A3 [4]	D4 / B3 / A2 [6]	D5 / B4 [8]

D6 / B5 / A4 [10]	D7 / B6 [12]	D8 / B7 / A6 [14]
	(1,3,9,12,18,21,36)
B8 [16/2]	A5 [6]	A7 [8]

โพลีโทปและรังผึ้งที่เกี่ยวข้อง

2k รูปในมิติn
ช่องว่าง	จำกัด						ยูคลิด	ไฮเปอร์โบลิก
n	3	4	5	6	7	8	9	10
กลุ่มค็อกซ์เตอร์	E =A A	E =A	E =D	อี	อี	อี	อี = ${\tilde {E}__{8}$ = E ⁺	อี = ${\bar {T}}_{8}$ = E ⁺⁺
แผนภาพค็อกซ์เตอร์
สมมาตร	[3 ^−1,2,1 ]	[3 ^0,2,1 ]	[[3 ^1,2,1 ]]	[3 ^2,2,1 ]	[3 ^3,2,1 ]	[3 ^4,2,1 ]	[3 ^5,2,1 ]	[3 ^6,2,1 ]
คำสั่ง	12	120	384	51,840	2,903,040	696,729,600	∞
กราฟ							-	-
ชื่อ	2	2	2	2	2	2	2	2