• โพลีโทปนี้ถูกค้นพบโดยThorold Gossetซึ่งได้อธิบายไว้ในบทความปี 1900 ของเขาว่าเป็นรูปทรงกึ่งปกติ 8 ด้าน^{[ 1 ]}เป็นรูปกึ่งปกติจำกัดสุดท้าย ในรายการของเขา โดย คำว่ากึ่งปกติสำหรับเขาหมายความว่ามันประกอบด้วยด้านปกติเท่านั้น
• EL Elteตั้งชื่อว่า V (เนื่องจากมีจุดยอด 240 จุด) ในรายการโพลีโทปกึ่งปกติของเขาในปี พ.ศ. 2455 ^{[ 2 ]}
• HSM Coxeterเรียกมันว่า4 เพราะแผนภาพ Coxeter-Dynkin ของมัน มีสามสาขาที่มีความยาว 4, 2 และ 1 โดยมีโหนดเดียวอยู่ที่โหนดปลายสุดของสาขาที่ 4
• Dischiliahectohexaconta-myriaheptachiliadiacosioctaconta-zetton (ตัวย่อ: fy) - 2160-17280 facetted polyzetton (Jonathan Bowers) ^{[ 3 ]}

มันถูกสร้างขึ้นโดยวิธีWythoff constructionบนชุด กระจก ไฮเปอร์เพลน 8 ชุด ในปริภูมิ 8 มิติ

จุดยอดทั้ง 240 จุดของ โพลีโทป 4 สามารถสร้างได้เป็นสองชุด: 112 ( 2 ² × ⁸ C ) ที่มีพิกัดซึ่งได้มาจากการใช้ เครื่องหมาย ผสม แบบ สุ่มและการเรียงสับเปลี่ยนพิกัดแบบสุ่ม และราก 128 จุด (2 ⁷ ) ที่มีพิกัดซึ่งได้มาจากการใช้เครื่องหมายลบจำนวนคู่ (หรือเทียบเท่ากับการกำหนดให้ผลรวมของพิกัดทั้งแปดเป็นพหุคูณของ 4)${\displaystyle (\pm 2,\pm 2,0,0,0,0,0,0)\,}$${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1)\,}$

แต่ละจุดยอดมีจุดเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุด 56 จุด ตัวอย่างเช่น จุดเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดของจุดยอดคือจุดที่มีผลรวมของพิกัดเท่ากับ 4 ซึ่งก็คือ 28 จุดที่ได้จากการสลับพิกัดของและ 28 จุดที่ได้จากการสลับพิกัดของ จุดทั้ง 56 จุดนี้เป็นจุดยอดของ รูปทรงหลาย ใน 7 มิติ${\displaystyle (1,1,1,1,1,1,1,1)}$${\displaystyle (2,2,0,0,0,0,0,0)\,}$${\displaystyle (1,1,1,1,1,1,1,-1,-1)}$

แต่ละจุดยอดมีจุดเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดลำดับที่สองจำนวน 126 จุด: ตัวอย่างเช่น จุดเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดของจุดยอดคือจุดที่มีผลรวมของพิกัดเป็น 0 ซึ่งก็คือ 56 จุดที่ได้จากการสลับพิกัดของและ 70 จุดที่ได้จากการสลับพิกัดของ จุดทั้ง126 จุดนี้เป็นจุดยอดของ รูปทรงหลายเหลี่ยม 2 x 1 ใน 7 มิติ${\displaystyle (1,1,1,1,1,1,1,1)}$${\displaystyle (2,-2,0,0,0,0,0,0)\,}$${\displaystyle (1,1,1,1,-1,-1,-1,-1)}$

แต่ละจุดยอดจะมีจุดยอดเพื่อนบ้านลำดับที่สามอีก 56 จุด ซึ่งเป็นค่าลบของจุดยอดเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุด และจุดยอดตรงข้ามอีก 1 จุด รวมเป็นจำนวนจุดยอด ทั้งหมด${\displaystyle 1+56+126+56+1=240}$

อีกวิธีหนึ่งในการสร้างคือการใช้ชุดรหัสที่มีเครื่องหมายของ รหัสแฮมมิงแบบขยาย 8 บิต 14 รหัส (8,4)ซึ่งให้จุดยอด 14 × 2 ⁴ = 224 จุด และเพิ่มแกนที่มีเครื่องหมายแบบไม่สำคัญสำหรับจุดยอด 16 จุดสุดท้าย ในกรณีนี้ จุดยอดจะอยู่ห่าง จากจุดกำเนิดเป็นระยะทาง แทนที่จะเป็น${\displaystyle (\pm 2,0,0,0,0,0,0,0)}$${\displaystyle {\sqrt {4}}}$${\displaystyle {\sqrt {8}}}$

รหัสแฮมมิง 8 บิต 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 ⇒ ± ± ± ± 0 0 0 0 2 1 1 0 0 1 1 0 0 ⇒ ± ± 0 0 ± ± 0 0 3 0 0 1 1 1 1 0 0 ⇒ 0 0 ± ± ± ± 0 0 4 1 0 1 0 1 0 1 0 ⇒ ± 0 ± 0 ± 0 ± 0 ±2 0 0 0 0 0 0 0 5 0 1 0 1 1 0 1 0 ⇒ 0 ± 0 ± ± 0 ± 0 0 ±2 0 0 0 0 0 0 6 0 1 1 0 0 1 1 0 ⇒ 0 ± ± 0 0 ± ± 0 0 0 ±2 0 0 0 0 0 7 1 0 0 1 0 1 1 0 ⇒ ± 0 0 ± 0 ± ± 0 0 0 0 ±2 0 0 0 0 8 0 1 1 0 1 0 0 1 ⇒ 0 ± ± 0 ± 0 0 ± 0 0 0 0 ±2 0 0 0 9 1 0 0 1 1 0 0 1 ⇒ ± 0 0 ± ± 0 0 ± 0 0 0 0 0 ±2 0 0 A 1 0 1 0 0 1 0 1 ⇒ ± 0 ± 0 0 ± 0 ± 0 0 0 0 0 0 ±2 0 B 0 1 0 1 0 1 0 1 ⇒ 0 ± 0 ± 0 ± 0 ± 0 0 0 0 0 0 0 ±2 C 1 1 0 0 0 0 1 1 ⇒ ± ± 0 0 0 0 ± ± D 0 0 1 1 0 0 1 1 ⇒ 0 0 ± ± 0 0 ± ± จ 0 0 0 0 1 1 1 1 ⇒ 0 0 0 0 ± ± ± ± เอฟ 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 224 จุดยอด + 16 จุดยอด )

การแยกส่วนอีกแบบหนึ่งทำให้ได้จุด 240 จุดใน 9 มิติ ในรูปแบบของซิมเพล็กซ์ 8 มิติที่ขยายออกไปและซิมเพล็กซ์ 8 เหลี่ยมสองอันตรงข้ามที่ได้รับการแก้ไข สองด้านและ.

: 72${\displaystyle (3,-3,0,0,0,0,0,0,0)}$ จุดยอด

: 84${\displaystyle (-2,-2,-2,1,1,1,1,1,1)}$ จุดยอด

: 84${\displaystyle (2,2,2,-1,-1,-1,-1,-1,-1)}$ จุดยอด

สิ่งนี้เกิดขึ้นในลักษณะเดียวกันกับความสัมพันธ์ของแลตทิซ A8และแลตทิซ E8ซึ่งมีภาพสะท้อนร่วมกัน 8 ภาพของ A8 :

การฉายภาพระนาบค็อกซ์เตอร์ A7

ชื่อ	4	ซิมเพล็กซ์ 8 ตัวที่ขยาย	ซิมเพล็กซ์ 8 ตัวที่แก้ไขแล้ว	ซิมเพล็กซ์ 8 ตัวที่แก้ไขแล้ว
จุดยอด	240	72	84	84
ภาพ

รูปทรงหลายเหลี่ยมนี้เป็นรูปทรงจุดยอดสำหรับการปูพื้นที่สม่ำเสมอของปริภูมิ 8 มิติ ซึ่งแสดงด้วยสัญลักษณ์5 และแผนภาพ Coxeter-Dynkin:

ข้อมูลเกี่ยวกับลักษณะเฉพาะของรูปทรงหลายเหลี่ยมนี้สามารถดึงออกมาได้จากแผนภาพ Coxeter-Dynkin :

การลบโหนดบนกิ่งสั้นออกจะทำให้เหลือซิมเพล็กซ์ 7 ตัว :

การลบโหนดที่ปลายกิ่งที่มีความยาว 2 จะทำให้ออร์โธเพล็กซ์ 7 อยู่ ในรูปแบบสลับกัน ( 4 ):

แต่ละด้านของซิมเพล็กซ์ 7 ด้าน จะสัมผัสกับด้านออร์โธเพล็กซ์ 7 ด้านเท่านั้น ในขณะที่ด้านสลับกันของด้านออร์โธเพล็กซ์จะสัมผัสกับด้านซิมเพล็กซ์หรือด้านออร์โธเพล็กซ์อื่นก็ได้ มีด้านซิมเพล็กซ์ 17,280 ด้าน และด้านออร์โธเพล็กซ์ 2,160 ด้าน

เนื่องจากซิมเพล็กซ์ 7 ทุกตัวมีหน้าซิมเพล็กซ์ 6 จำนวน 7 หน้า โดยแต่ละหน้าไม่ติดกับซิมเพล็กซ์ 6 ตัวอื่น ดังนั้นรูปทรงหลายเหลี่ยม 4 จึงมีหน้าซิมเพล็กซ์ 6 จำนวน 120,960 หน้า (7×17,280) ที่เป็นหน้าของซิมเพล็กซ์ 7 เนื่องจากออร์โธเพล็กซ์ 7 ทุกตัวมีหน้าซิมเพล็กซ์ 6 จำนวน 128 หน้า (2 ⁷ ) โดยครึ่งหนึ่งไม่ติดกับซิมเพล็กซ์ 7 ดังนั้นรูปทรงหลายเหลี่ยม 4 จึง มีหน้าซิมเพล็กซ์ 6 จำนวน 138,240 หน้า (2 ⁶ ×2160) ที่ไม่ใช่หน้าของซิมเพล็กซ์ 7 ดังนั้นรูปทรงหลายเหลี่ยม 4 จึงมีหน้าซิมเพล็กซ์ 6 สองชนิดที่ไม่สลับกันโดยสมมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยมนี้ จำนวนหน้าซิมเพล็กซ์ 6 ด้านทั้งหมดคือ 259200 (120,960 + 138,240)

รูปทรงจุดยอดของโพลีโทปวงแหวนเดี่ยวได้มาจากการลบโหนดที่มีวงแหวนออก แล้วสร้างวงแหวนให้กับโหนดข้างเคียง ซึ่งจะทำให้ได้โพลีโทป3

เมื่อพิจารณาในเมทริกซ์การกำหนดค่าจำนวนองค์ประกอบสามารถหาได้จากการลบกระจกและอัตราส่วนของลำดับกลุ่ม Coxeter ^{[ 4 ]}

	เมทริกซ์การกำหนดค่า
อี		เค -เฟซ	เอฟ	ฟ	ฟ	เอฟ	เอฟ	เอฟ	เอฟ	ฟ		เอฟ		k -figure	หมายเหตุ
อี		( )	ฟ	240	56	756	4032	10080	12096	4032	2016	576	126	3 โพลีโทป	จ /จ = 192×10!/(72×8!) = 240
เออี		{ }	ฟ	2	6720	27	216	720	1080	432	216	72	27	2 โพลีโทป	จ /เอจ = 192×10!/(2×72×6!) = 6720
เอดี		{3}	เอฟ	3	3	60480	16	80	160	80	40	16	10	5-เดมิคิวบ์	E /A D = 192×10!/(6×2 4 ×5!) = 60480
เอเอ		{3,3}	เอฟ	4	6	4	241920	10	30	20	10	5	5	เซลล์ 5 เซลล์ที่แก้ไขแล้ว	จ /A A = 192×10!/(4!×5!) = 241920
เอเอเอ		{3,3,3}	เอฟ	5	10	10	5	483840	6	6	3	2	3	ปริซึมสามเหลี่ยม	E /A A A = 192×10!/(5!×3!×2) = 483840
เอเอ		{3,3,3,3}	เอฟ	6	15	20	15	6	483840	2	1	1	2	สามเหลี่ยมหน้าจั่ว	จ /A A = 192×10!/(6!×2) = 483840
เอ		{3,3,3,3,3}	ฟ	7	21	35	35	21	7	138240	*	1	1	{ }	จ /A = 192×(10!×7!) = 138240
เอเอ				7	21	35	35	21	7	*	69120	0	2		จ /A A = 192×10!/(7!×2) = 69120
เอ		{3,3,3,3,3,3}	เอฟ	8	28	56	70	56	28	8	0	17280	*	( )	จ /A = 192×10!/8! = 17280
ดี		{3,3,3,3,3,4}		14	84	280	560	672	448	64	64	*	2160		E /D = 192×10!/(2 6 ×7!) = 2160

โพ ลีโทป 4 เป็นโพลีโทปสุดท้ายในตระกูลที่เรียกว่าโพลีโทปk โพลีโทปแรกในตระกูลนี้คือปริซึมสามเหลี่ยมกึ่ง ปกติ ซึ่งสร้างขึ้นจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสสามรูป (2-ออร์โธเพล็กซ์) และสามเหลี่ยมสองรูป (2-ซิมเพล็กซ์)

รูปทรง4 เกี่ยวข้องกับรูป ทรง 600-เซลล์โดยการพับ ทางเรขาคณิต ของแผนภาพ Coxeter-Dynkinสามารถเห็นได้จากการฉายภาพบน ระนาบ Coxeter E8/H4 จุดยอด 240 จุดของ รูปทรง 4 ถูกฉายลงบนปริภูมิ 4 มิติเป็นสองสำเนาของจุดยอด 120 จุดของรูปทรง 600-เซลล์ โดยสำเนาหนึ่งมีขนาดเล็กกว่า (ปรับขนาดด้วยอัตราส่วนทองคำ ) อีกสำเนาหนึ่งแต่มีทิศทางเดียวกัน เมื่อมองเป็นภาพฉายแบบออร์โธกราฟิก 2 มิติบนระนาบ Coxeter E8/H4 จุดยอด 120 จุดของรูปทรง 600-เซลล์จะถูกฉายลงบนวงแหวนสี่วงเดียวกันกับที่เห็นในรูปทรง 4 วงแหวนอีก 4 วงของกราฟ 4 ก็ตรงกับสำเนาที่เล็กกว่าของวงแหวนสี่วงของรูปทรง 600-เซลล์เช่นกัน

การพับระนาบ Coxeter E8/H4
อี	เอช
4	600 เซลล์
[20] ระนาบสมมาตร
4	600 เซลล์

ในเรขาคณิตเชิงซ้อน 4 มิติ โพลีโทปเชิงซ้อนปกติ {3} {3} {3} และแผนภาพค็อกซ์เตอร์มีอยู่โดยมีการจัดเรียงจุดยอดเหมือนกับโพลีโทป 4 มันเป็นแบบคู่ตัวเอง Coxeter เรียกมันว่าโพลีโทป Wittingตามชื่อของAlexander Witting Coxeter แสดง สมมาตร กลุ่ม Shephard ของมัน โดย [3] [ 3] [3] ^{[ 7 ]}

4 เป็นลำดับที่หกในชุดของรูปทรงหลายเหลี่ยม กึ่งปกติ รูปทรง หลายเหลี่ยม สม่ำเสมอแต่ละรูปที่สร้างขึ้นจากจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมก่อนหน้าThorold Gossetได้ระบุชุดนี้ในปี 1900 ว่าประกอบด้วยด้านของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติทั้งหมดรวมถึงซิมเพล็กซ์และออร์โธเพล็กซ์ทั้งหมดด้วย

k รูปทรงในมิติ n
ช่องว่าง	จำกัด						ยูคลิด	ไฮเปอร์โบลิก
เอ็น	3	4	5	6	7	8	9	10
กลุ่มค็อกซ์เตอร์	E =A A	E =A	E =D	อี	อี	อี	E = = E +${\displaystyle {\tilde {E}__{8}}$	E = = E ++${\displaystyle {\bar {T}}_{8}}$
แผนภาพค็อกซ์เตอร์
สมมาตร	[3 −1,2,1 ]	[3 0,2,1 ]	[3 1,2,1 ]	[3 2,2,1 ]	[3 3,2,1 ]	[3 4,2,1 ]	[3 5,2,1 ]	[3 6,2,1 ]
คำสั่ง	12	120	1,920	51,840	2,903,040	696,729,600	∞
กราฟ							-	-
ชื่อ	− 1	0	1	2	3	4	5	6

• Rectified dischiliahectohexaconta-myriaheptachiliadiacosioctaconta-zetton สำหรับ rectified 2160-17280 polyzetton (ตัวย่อ: riffy) (Jonathan Bowers) ^{[ 8 ]}

รูปทรงเรขาคณิต นี้สร้างขึ้นโดยวิธี Wythoffบนชุด กระจก ไฮเปอร์เพลน 8 ชุด ในปริภูมิ 8 มิติ ชื่อของมันมาจากรูป ทรง ที่ได้รับการแก้ไขของ 4 จุดยอดจะอยู่ที่จุดกึ่งกลางของขอบทั้งหมดของ 4 และมีขอบใหม่เชื่อมต่อจุดยอดเหล่านั้น

ข้อมูลเกี่ยวกับลักษณะต่างๆ สามารถดึงออกมาได้จากแผนภาพ Coxeter- Dynkin

การลบโหนดบนกิ่งสั้นออกจะทำให้ได้ซิมเพล็กซ์ 7 ตัวที่ได้รับการแก้ไขแล้ว :

การลบโหนดที่ปลายกิ่งที่มีความยาว 2 หน่วย จะทำให้ออร์โธเพล็กซ์ 7 ตัวที่ได้รับการแก้ไขแล้วอยู่ในรูปแบบสลับกัน:

การลบโหนดที่ปลายกิ่งที่มีความยาว 4 จะเหลือ3 :

รูปทรงจุดยอดถูกกำหนดโดยการลบโหนดที่มีวงแหวนออก และเพิ่มวงแหวนให้กับโหนดข้างเคียง ซึ่งจะทำให้ได้ปริซึม2

พิกัดคาร์ทีเซียนของจุดยอด 6720 จุดของรูปหลายเหลี่ยม 4 ที่ปรับแก้แล้ว จะได้มาจากการเรียงสับเปลี่ยนพิกัดทั้งหมดจากรูปหลายเหลี่ยมสม่ำเสมออีกสามรูป:

• ลูกบาศก์หกเหลี่ยม 8 ลูกบาศก์ - ค่าลบคี่: ½(±1,±1,±1,±1,±1,±1,±3,±3) - 3584 จุดยอด^{[ 9 ]}
• ลูกบาศก์ 8 เหลี่ยมที่ปรับแก้แล้ว - (0,0,±1,±1,±1,±1,±1,±1) - 1792 จุดยอด^{[ 10 ]}
• ออร์โธเพล็กซ์ 8 ที่มีจุดยอด - (0,0,0,0,0,0,±1,±1,±2) - 1344 จุดยอด^{[ 11 ]}

การฉายภาพระนาบค็อกซ์เตอร์ D8

ชื่อ	แก้ไขแล้ว 4	ลูกบาศก์ 8 ตัวแบบไบเรกติไฟด์=	ลูกบาศก์หกเหลี่ยม 8 ลูก=	ออร์โธเพล็กซ์ 8 ออร์โธเพล็กซ์แบบแคนเทลเลต=
จุดยอด	6720	ค.ศ. 1792	3584	1344
ภาพ

• Birectified dischiliahectohexaconta-myriaheptachiliadiacosioctaconta-zetton สำหรับ birectified 2160-17280 polyzetton (ตัวย่อ: borfy) (Jonathan Bowers) ^{[ 12 ]}

รูปทรงเรขาคณิต นี้สร้างขึ้นโดยวิธี Wythoffบนชุด กระจก ไฮเปอร์เพลน 8 ชุด ในปริภูมิ 8 มิติ ชื่อของมันมาจากความเป็นภาพตัดขวางสองชั้นของ 4 โดยจุดยอดจะอยู่ที่กึ่งกลางของหน้าสามเหลี่ยมทั้งหมดของ4

ข้อมูลเกี่ยวกับลักษณะต่างๆ สามารถดึงออกมาได้จากแผนภาพ Coxeter- Dynkin

การลบโหนดบนกิ่งสั้นจะทำให้เหลือซิมเพล็กซ์ 7 ด้านแบบไบเรกติไฟด์ ซึ่งมีเหลี่ยมมุมเหล่านี้อยู่ 17,280 เหลี่ยม

การตัดโหนดที่ปลายกิ่งที่มีความยาว 2 ออก จะทำให้โครงสร้าง 7-orthoplex ที่ถูกปรับแก้สองครั้ง ยังคงอยู่ ในรูปแบบสลับกัน โดยมีเหลี่ยมมุมเหล่านี้อยู่ 2160 เหลี่ยม

การลบโหนดที่ปลายกิ่งที่มีความยาว 4 จะเหลือ3 ที่ได้รับการแก้ไขแล้ว มีเหลี่ยมมุมเหล่านี้ทั้งหมด 240 เหลี่ยม

รูปทรงจุดยอดถูกกำหนดโดยการลบโหนดที่มีวงแหวนออก และเพิ่มวงแหวนให้กับโหนดข้างเคียง ซึ่งจะทำให้ได้รูปทรงปริซึมสามเหลี่ยม5 เดมิคิวบ์

• Trirectified dischiliahectohexaconta-myriaheptachiliadiacosioctaconta-zetton สำหรับ trirectified 2160-17280 polyzetton (ตัวย่อ: torfy) (Jonathan Bowers) ^{[ 13 ]}

รูปทรงเรขาคณิต นี้สร้างขึ้นโดยวิธี Wythoffบนชุด กระจก ไฮเปอร์เพลน 8 ชุด ในปริภูมิ 8 มิติ ชื่อของมันมาจากความเป็นภาพตัดขวางสองชั้นของ 4 โดยจุดยอดจะอยู่ที่กึ่งกลางของหน้าสามเหลี่ยมทั้งหมดของ4

ข้อมูลเกี่ยวกับลักษณะต่างๆ สามารถดึงออกมาได้จากแผนภาพ Coxeter- Dynkin

การลบโหนดบนกิ่งสั้นจะทำให้เหลือซิมเพล็กซ์ 7 ตัวแบบไตรเรกติไฟด์ :

การตัดโหนดที่ปลายกิ่งที่มีความยาว 2 ออก จะทำให้7-orthoplex ที่มีการแก้ไขแบบไตรเรกติไฟด์อยู่ในรูปแบบสลับกัน:

การลบโหนดที่ปลายกิ่งที่มีความยาว 4 จะทำให้เหลือ3 ที่ถูกแก้ไขสองครั้ง :

รูปทรงจุดยอดถูกกำหนดโดยการลบโหนดที่มีวงแหวนออก แล้วสร้างวงแหวนล้อมรอบโหนดข้างเคียง ซึ่งจะทำให้ได้รูปทรงสี่เหลี่ยมพีระมิดคู่แบบปรับแก้ 5 เซลล์