Arithmetic operations v t e

Addition (+) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{term}}\,+\,{\text{term}}\\\scriptstyle {\text{summand}}\,+\,{\text{summand}}\\\scriptstyle {\text{addend}}\,+\,{\text{addend}}\\\scriptstyle {\text{augend}}\,+\,{\text{addend}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{sum}}}$ Subtraction (−) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{term}}\,-\,{\text{term}}\\\scriptstyle {\text{minuend}}\,-\,{\text{subtrahend}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{difference}}}$ Multiplication (×) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{factor}}\,\times \,{\text{factor}}\\\scriptstyle {\text{multiplier}}\,\times \,{\text{multiplicand}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{product}}}$ Division (÷) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\frac {\scriptstyle {\text{dividend}}}{\scriptstyle {\text{divisor}}}}\\[1ex]\scriptstyle {\frac {\scriptstyle {\text{numerator}}}{\scriptstyle {\text{denominator}}}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle \left\{{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{fraction}}\\\scriptstyle {\text{quotient}}\\\scriptstyle {\text{ratio}}\end{matrix}}\right.}$ Exponentiation ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{base}}^{\text{exponent}}\\\scriptstyle {\text{base}}^{\text{power}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{power}}}$ nth root (√) ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{\text{degree}}]{\scriptstyle {\text{radicand}}}}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{root}}}$ Logarithm (log) ${\displaystyle \scriptstyle \log _{\text{base}}({\text{anti-logarithm}})\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{logarithm}}}$

v t e

ในทางคณิตศาสตร์การยกกำลังซึ่งแสดงด้วยเป็นการดำเนินการที่เกี่ยวข้องกับตัวเลขสองตัว ได้แก่ฐานb และเลขชี้กำลังหรือกำลัง n [ 1 ] เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มการยกกำลังจะสอดคล้องกับการคูณฐานซ้ำๆ นั่นคือคือผลคูณของการคูณฐานn ตัว โดยเฉพาะอย่างยิ่ง $${\displaystyle b^{n}=\underbrace {b\times b\times \dots \times b\times b} _{n{\text{ times}}}.}$$${\displaystyle b^{1}=b}$

เลขชี้กำลังมักจะแสดงเป็นตัวยกทางด้านขวาของฐานเป็นb หรือในโค้ดคอมพิวเตอร์เป็นการดำเนินการแบบไบนารีb^nนี้มักอ่านว่า " bยกกำลังn " หรืออาจเรียกว่า " bยก กำลัง n ", " b ยกกำลัง nของb " หรือเรียกสั้นๆ ว่า " bยกกำลังn "

คำจำกัดความข้างต้นบ่งบอกถึงคุณสมบัติหลายประการโดยทันที โดยเฉพาะกฎการคูณ: นั่นคือ เมื่อคูณฐานยกกำลังหนึ่งด้วยฐานเดียวกันยกกำลังอีกอัน เลขยกกำลังเหล่านั้นจะบวกกัน ${\displaystyle b^{n}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}b^{n}\times b^{m}&=\underbrace {b\times \dots \times b} _{n{\text{ times}}}\times \underbrace {b\times \dots \times b} _{m{\text{ times}}}\\[1ex]&=\underbrace {b\times \dots \times b} _{n+m{\text{ times}}}=b^{n+m}.\end{aligned}}}$$

การยกกำลังสามารถขยายไปยังเลขยกกำลังที่ไม่ใช่จำนวนเต็มบวกได้เช่นกัน เมื่อbไม่ใช่ศูนย์ นิยาม จะสอดคล้องกับกฎการคูณ: อาร์กิวเมนต์ที่คล้ายกันนี้ชี้ให้เห็นนิยาม สำหรับเลขยกกำลังจำนวนเต็มลบ และโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับจำนวนใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์bและนิยาม สำหรับเลขยกกำลังเศษส่วน (เมื่อmและnเป็นจำนวนเต็มทั้งคู่) ตัวอย่างเช่น , หมายถึง, ซึ่งเป็นนิยามของรากที่สอง: . $${\displaystyle b^{0}=1}$$${\displaystyle b^{0}\times b^{n}=b^{0+n}=b^{n}}$$${\displaystyle b^{-n}=1/b^{n},}$$${\displaystyle b^{-1}={\frac {1}{b}}}$$${\displaystyle b^{n/m}={\sqrt[{m}]{b^{n}}}}$$${\displaystyle b^{1/2}\times b^{1/2}=b^{1/2+1/2}=b^{1}=b}$${\displaystyle (b^{1/2})^{2}=b}$${\displaystyle b^{1/2}={\sqrt {b}}}$

นิยามของการยกกำลังสามารถขยายออกไปตามธรรมชาติ (โดยคงกฎการคูณไว้) เพื่อนิยามสำหรับฐานจริงบวกใดๆและเลขชี้กำลังของจำนวนจริงใดๆนิยามที่ซับซ้อนยิ่งขึ้นอนุญาตให้ มีฐานและเลขชี้กำลัง เชิงซ้อนรวมถึงเมทริกซ์ บางประเภท เช่น ฐานหรือเลขชี้กำลัง ${\displaystyle b^{x}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle x}$

การยกกำลังถูกใช้กันอย่างแพร่หลายในหลายสาขา รวมถึงเศรษฐศาสตร์ชีววิทยาเคมีฟิสิกส์และวิทยาการคอมพิวเตอร์โดยมีการใช้งาน เช่นดอกเบี้ยทบต้น การ เติบโต ของประชากรจลนพลศาสตร์ปฏิกิริยาเคมีพฤติกรรมของคลื่นและ การเข้ารหัส ด้วยคีย์สาธารณะ

คำว่าเลขชี้กำลังมีต้นกำเนิดมาจากภาษาละติน exponentemซึ่งเป็นกริยาปัจจุบันกาลของexponereซึ่งแปลว่า "นำออกมา" คำว่าpower ( ภาษาละติน : potentia, potestas, dignitas ) เป็นการแปลผิดของคำภาษากรีกโบราณ δύναμις ( dúnamisในที่นี้: "การขยาย" ) ซึ่งนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก ชื่อ Euclid ใช้ เรียกกำลังสองของเส้นตรงตามแนวคิดของ Hippocrates แห่ง Chios [

คำว่าเลขยกกำลังถูกคิดขึ้นในปี ค.ศ. 1544 โดย Michael Stifel ในศตวรรษที่ 16 Robert Recordeได้ใช้คำว่า "กำลังสอง" "ลูกบาศก์" "zenzizenzic" ( กำลังสี่ ) "sursolid" ( กำลัง ห้า ) "zenzicube" ( กำลังหก ) "sursolid ที่สอง" ( กำลังเจ็ด ) และ " zenzizenzizenzic " ( กำลังแปด ) "Biquadrate" ยังถูกใช้เพื่ออ้างถึงกำลังสี่ด้วยเช่นกัน

ในหนังสือ The Sand Reckonerอาร์คิมิดีสได้พิสูจน์กฎของเลขยกกำลัง10 · 10 = 10 ซึ่งจำเป็นต่อการจัดการเลขยกกำลังของ10 จากนั้นเขาใช้เลขยกกำลังของ10เพื่อประมาณจำนวนเม็ดทรายที่สามารถบรรจุอยู่ในจักรวาล ได้

ในศตวรรษที่ 9 นักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซียAl-Khwarizmiได้ใช้คำว่า مَال ( mālแปลว่า "ทรัพย์สิน" "ทรัพย์สิน") แทนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส — ชาวมุสลิม "เช่นเดียวกับนักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ในยุคนั้นและยุคก่อนๆ คิดว่าตัวเลขยกกำลังสองเป็นการแสดงถึงพื้นที่ โดยเฉพาะที่ดิน ดังนั้นจึงเป็นทรัพย์สิน" — และ كَعْبَة ( Kaʿbah แปลว่า "ลูกบาศก์") แทนรูปลูกบาศก์ซึ่งต่อมานักคณิตศาสตร์ชาวอิสลาม ได้ แทนด้วยอักษรmīm (m) และkāf (k) ตามลำดับใน สัญกรณ์คณิตศาสตร์เมื่อถึงศตวรรษที่ 15 ดังที่เห็นได้จากผลงานของAbu'l-Hasan ibn Ali al-Qalasadi [ Nicolas Chuquet ได้ใช้รูปแบบหนึ่งของสั ญกรณ์เลขชี้กำลังในศตวรรษที่ 15 เช่น12 แทน12 x ต่อมาเฮนริคัส แกรมมาเตอุสและไมเคิล สติเฟล ได้ใช้หลักการนี้ ในศตวรรษที่ 16 ในช่วงปลายศตวรรษที่ 16 โยสต์ เบอร์กีได้ใช้เลขยกกำลังแบบโรมันในลักษณะเดียวกับที่ชูเกต์ใช้ ยกตัวอย่างเช่น สาม4สำหรับ4 x [

ในปี ค.ศ. 1636 เจมส์ ฮูมได้ใช้สัญลักษณ์เลขชี้กำลังแบบสมัยใหม่เป็นหลัก เมื่อเขาเขียนA แทนA ใน L'algèbre de Viète [ ในช่วงต้นศตวรรษที่ 17 รูปแบบแรกของสัญลักษณ์เลขชี้กำลังแบบสมัยใหม่ของเราได้รับการแนะนำโดยเรอเน เดส์การ์ตในเอกสารของเขาที่มีชื่อว่าLa Géométrieซึ่งสัญลักษณ์ดังกล่าวได้รับการแนะนำในหนังสือเล่มที่ 1

ฉันกำหนดให้ ... aaหรือ2ในการคูณa ด้วยตัวมัน และ3ในการคูณมันอีกครั้งด้วยaและคูณไปเป็น

นักคณิตศาสตร์บางคน (เช่น เดส์การ์ตส์) ใช้เลขชี้กำลังเฉพาะกับเลขยกกำลังที่มากกว่าสอง โดยนิยมใช้กำลังสองแทนการคูณซ้ำ ดังนั้น พวกเขาจึงเขียนพหุ นามเช่นax + bxx + cx + d

ซามูเอล เจคแนะนำคำว่าดัชนีในปี ค.ศ. 1696 คำว่าinvolutionถูกใช้แทนคำว่าดัชนีแต่การใช้ลดลงและไม่ควรสับสนกับความหมายทั่วไปของคำนี้

ในปี ค.ศ. 1748 เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ได้แนะนำเลขชี้กำลังแบบแปรผัน และโดยนัยแล้ว เลขชี้กำลังที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม โดยเขียนดังนี้:

ลองพิจารณาเลขชี้กำลังหรือเลขยกกำลังซึ่งเลขชี้กำลังนั้นเป็นตัวแปร จะเห็นได้อย่างชัดเจนว่าปริมาณประเภทนี้ไม่ใช่ฟังก์ชันพีชคณิตเนื่องจากเลขชี้กำลังจะต้องคงที่

เมื่อการคำนวณกลายเป็นกลไก สัญกรณ์จึงถูกปรับให้เหมาะสมกับความสามารถเชิงตัวเลขโดยอนุสัญญาในสัญกรณ์เลขชี้กำลัง ยกตัวอย่างเช่นคอนราด ซูสได้นำเสนอเลขคณิตแบบจุดลอยตัวในคอมพิวเตอร์ Z1 ของเขาในปี 1938 รีจิสเตอร์ ตัวหนึ่ง แสดงตัวเลขนำหน้า และอีกตัวหนึ่งแสดงเลขยกกำลังของ 10 ก่อนหน้านี้เลโอนาร์โด ตอร์เรส เกเวโดได้เขียน บทความเรื่อง Essays on Automation (1914) ซึ่งเสนอวิธีการแสดงตัวเลขแบบจุดลอยตัว การ แทนตัวเลข แบบจุดลอยตัวแบบทศนิยม ที่มีความยืดหยุ่นมากขึ้น ถูกนำมาใช้ในปี 1946 ด้วย คอมพิวเตอร์ ของห้องปฏิบัติการเบลล์ในที่สุด นักการศึกษาและวิศวกรก็ได้นำสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ของตัวเลขมาใช้ ซึ่งสอดคล้องกับการอ้างอิงทั่วไปถึงอันดับของขนาดในมาตราส่วนอัตราส่วน

ตัวอย่างเช่น ในปีพ.ศ. 2504 กลุ่มการศึกษาคณิตศาสตร์ในโรงเรียนได้พัฒนาสัญลักษณ์ที่เชื่อมโยงกับหน่วยที่ใช้ในระบบเมตริก [

เลขยกกำลังยังถูกนำมาใช้เพื่ออธิบายหน่วยการวัดและมิติของปริมาณตัวอย่างเช่น เนื่องจากแรงคือมวลคูณความเร่ง จึงวัดเป็นกิโลกรัม·เมตร/วินาทีโดยใช้ M แทนมวล L แทนความยาว และ T แทนเวลา นิพจน์ MLT จึงถูกนำมาใช้ในการวิเคราะห์มิติเพื่ออธิบายแรง

นิพจน์b = b · bเรียกว่า " กำลังสองของb " หรือ " bกำลังสอง" เนื่องจากพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้านbคือb (จริงอยู่ว่านิพจน์นี้สามารถเรียกว่า " bยกกำลังสอง" ได้เช่นกัน แต่ "กำลังสองของb " และ " bกำลังสอง" จะเป็นแบบดั้งเดิมมากกว่า)

ในทำนองเดียวกัน นิพจน์b = b · b · bเรียกว่า " ลูกบาศก์ของb " หรือ " b ยกกำลังสาม" เนื่องจาก ปริมาตร ของลูกบาศก์ที่มีความยาวด้านbคือb

เมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวกเลขชี้กำลังนั้นระบุจำนวนสำเนาของฐานที่ถูกคูณเข้าด้วยกัน ตัวอย่างเช่น3 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243ฐาน3ปรากฏ5ครั้งในการคูณ เนื่องจากเลขชี้กำลังคือ5ในที่นี้243คือเลขยกกำลัง 5 ของ 3หรือ3 ยกกำลัง 5

คำว่า "raised" มักจะถูกละไว้ และบางครั้งก็มีคำว่า "power" ด้วยเช่นกัน ดังนั้น3 สามารถอ่านได้ง่ายๆ ว่า "3 ถึง 5" หรือ "3 ถึง 5"

การดำเนินการยกกำลังด้วยเลขยกกำลังจำนวนเต็มอาจกำหนดได้โดยตรงจากการดำเนินการเลขคณิตเบื้องต้น

คำจำกัดความของการยกกำลังเป็นการคูณแบบวนซ้ำสามารถทำให้เป็นทางการได้โดยใช้การอุปนัย [ และคำจำกัดความนี้สามารถใช้ได้ทันทีที่มี การคูณ แบบเชื่อมโยง :

กรณีฐานคือ

${\displaystyle b^{1}=b}$

และการเกิดซ้ำคือ

${\displaystyle b^{n+1}=b^{n}\cdot b.}$

การเชื่อมโยงของการคูณบ่งบอกว่าสำหรับจำนวนเต็มบวกm และ n ใด ๆ

${\displaystyle b^{m+n}=b^{m}\cdot b^{n},}$

และ

${\displaystyle (b^{m})^{n}=b^{mn}.}$

ตามที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ จำนวน (ที่ไม่ใช่ศูนย์) ยก กำลัง 0คือ1 :

${\displaystyle b^{0}=1.}$

ค่านี้ยังได้มาจาก อนุสัญญา ผลคูณว่างซึ่งสามารถนำไปใช้ในโครงสร้างพีชคณิต ทุกแบบ ที่มีการคูณที่มีอัตลักษณ์ด้วยวิธีนี้ สูตร

${\displaystyle b^{m+n}=b^{m}\cdot b^{n}}$

ยังถือเป็นสำหรับ ${\displaystyle n=0}$

กรณีของ0 ยังคงเป็นที่ถกเถียงกัน ในบริบทที่พิจารณาเฉพาะเลขยกกำลังจำนวนเต็ม โดยทั่วไปค่า1จะถูกกำหนดให้เป็น0 แต่ในกรณีอื่น การเลือกว่าจะกำหนดค่าให้หรือไม่ และค่าใดที่จะกำหนดอาจขึ้นอยู่กับบริบทสำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม โปรดดูศูนย์ยกกำลังศูนย์

การยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังลบถูกกำหนดโดยเอกลักษณ์ต่อไปนี้ ซึ่งใช้ได้กับจำนวนเต็มnและb ที่ไม่เท่ากับศูนย์ :

${\displaystyle b^{-n}={\frac {1}{b^{n}}}}$

การยกกำลัง 0 ให้เป็นเลขชี้กำลังลบนั้นไม่มีการกำหนด แต่ในบางกรณีอาจตีความได้ว่าเป็นอินฟินิตี้ ( ) ${\displaystyle \infty }$

คำจำกัดความของการยกกำลังด้วยเลขยกกำลังลบนี้เป็นคำจำกัดความเดียวเท่านั้นที่ช่วยให้ขยายเอกลักษณ์ไปเป็นเลขยกกำลังลบได้ (พิจารณากรณี) ${\displaystyle b^{m+n}=b^{m}\cdot b^{n}}$${\displaystyle m=-n}$

นิยามเดียวกันนี้ใช้กับสมาชิกผกผันในมอน อยด์คูณ นั่นคือโครงสร้างพีชคณิตที่มีการคูณแบบเปลี่ยนหมู่และเอกลักษณ์การคูณแสดงด้วย1 (เช่นเมทริกซ์กำลังสองของมิติที่กำหนด) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในโครงสร้างเช่นนี้ ตัวผกผันของสมาชิกผกผัน xจะถูกแสดงตามมาตรฐาน${\displaystyle x^{-1}.}$

ตัวตนต่อไปนี้มักเรียกกันว่ากฎเลขยกกำลัง ใช้ได้กับเลขยกกำลังจำนวนเต็มทั้งหมด โดยที่ฐานต้องไม่เป็นศูนย์:

${\displaystyle {\begin{aligned}b^{m}\cdot b^{n}&=b^{m+n}\\\left(b^{m}\right)^{n}&=b^{m\cdot n}\\b^{n}\cdot c^{n}&=(b\cdot c)^{n}\end{aligned}}}$

ต่างจากการบวกและการคูณ การยกกำลังไม่ใช่การสับเปลี่ยนเช่น , แต่การกลับตัวถูกดำเนินการจะให้ค่า, ต่างออกไป นอกจากนี้ การยกกำลังไม่ใช่การสับเปลี่ยนเช่น(2 ) = 8 = 6 4ในขณะที่2 = 2 = 5 1 2 หากไม่มีวงเล็บ ลำดับการดำเนินการทั่วไปสำหรับการยกกำลังแบบอนุกรมในสัญกรณ์ยกกำลังคือจากบนลงล่าง (หรือ แบบสับเปลี่ยน จากขวา ) ไม่ใช่จากล่างขึ้นบน (หรือ แบบสับเปลี่ยน จากซ้าย ) นั่นคือ ${\displaystyle 2^{3}=8}$${\displaystyle 3^{2}=9}$

${\displaystyle b^{p^{q}}=b^{\left(p^{q}\right)},}$

ซึ่งโดยทั่วไปจะแตกต่างจาก

${\displaystyle \left(b^{p}\right)^{q}=b^{pq}.}$

โดยปกติแล้วกำลังของผลรวมสามารถคำนวณได้จากกำลังของผลรวมโดยใช้สูตรทวินาม

${\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}a^{i}b^{n-i}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {n!}{i!(n-i)!}}a^{i}b^{n-i}.}$

อย่างไรก็ตาม สูตรนี้จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อผลบวกมีการสับเปลี่ยน (กล่าวคือab = ba ) ซึ่งโดยนัยแล้วหากผลบวกเหล่านั้นอยู่ในโครงสร้างที่มีการสับเปลี่ยนมิฉะนั้น หากaและbเป็นเมทริกซ์กำลังสองที่มีขนาดเท่ากัน สูตรนี้จะไม่สามารถใช้แทนได้ ดังนั้น ในพีชคณิตคอมพิวเตอร์ อัลก อริทึมจำนวนมากที่เกี่ยวข้องกับเลขชี้กำลังจำนวนเต็มจะต้องถูกเปลี่ยนแปลงเมื่อฐานการยกกำลังไม่มีการสับเปลี่ยนระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์ ทั่วไปบางระบบ ใช้สัญกรณ์อื่น (บางครั้งใช้^^แทน^ ) สำหรับการยกกำลังที่มีฐานที่ไม่สับเปลี่ยน ซึ่งเรียกว่า การยก กำลัง แบบไม่สับเปลี่ยน

สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบnและmค่าของn คือจำนวนฟังก์ชันจากเซตที่ มีองค์ประกอบ mตัว ไปจนถึงเซตที่มี องค์ประกอบ nตัว (ดูการยกกำลังเชิงคาร์ดินัล ) ฟังก์ชันดังกล่าวสามารถแสดงเป็นทูเพิล m จากเซตที่ มีองค์ประกอบ nตัว (หรือเป็น คำที่มีตัวอักษร m ตัวจาก ตัวอักษร nตัว) ตัวอย่างค่าเฉพาะของmและnแสดงอยู่ในตารางต่อไปนี้:

ในระบบเลขฐานสิบ ( ทศนิยม ) เลขยกกำลังจำนวนเต็มของ10เขียนเป็นเลข1ตามด้วยหรือนำหน้าด้วยเลขศูนย์จำนวนหนึ่งที่กำหนดโดยเครื่องหมายและขนาดของเลขชี้กำลัง ตัวอย่างเช่น10 =1,000และ10 =0.0001 .

การยกกำลังด้วยฐาน10ใช้ในสัญกรณ์วิทยาศาสตร์เพื่อระบุจำนวนที่มากหรือน้อย ตัวอย่างเช่น299 792 458  m/s ( ความเร็วแสงในสุญญากาศ เป็นเมตรต่อวินาที ) เขียนได้เป็น2.997 924 58 × 10  m/sแล้วประมาณเป็น2.998 × 10  เมตร/วินาที

คำนำหน้า SIที่อิงจากเลขยกกำลังของ10ยังใช้เพื่ออธิบายปริมาณขนาดเล็กหรือขนาดใหญ่ ตัวอย่างเช่น คำนำหน้าkiloหมายถึง10 =1,000กิโลเมตรก็เท่ากับ1,000เมตร

เลขลบเลข 2ตัวแรกมีชื่อเฉพาะคือครึ่งหนึ่ง ; หนึ่งในสี่${\displaystyle 2^{-1}}$${\displaystyle 2^{-2}}$

กำลังของ2ปรากฏในทฤษฎีเซตเนื่องจากเซตที่มีสมาชิกn ตัวจะมี เซตกำลัง ซึ่งก็คือเซตของ เซตย่อยทั้งหมดที่มีสมาชิก ตัว

เลขยกกำลังจำนวนเต็ม2มีความสำคัญในวิทยาการคอมพิวเตอร์เลขยกกำลังจำนวนเต็มบวก2 แทนจำนวนค่าที่เป็นไปได้สำหรับเลขฐานสองจำนวนเต็มขนาด n บิตตัวอย่างเช่นหนึ่งไบต์อาจมีค่าต่างกัน ได้ 2 = 256 ค่า ระบบเลขฐานสองแสดงตัวเลขใดๆ เป็นผลรวมของเลขยกกำลัง2และแสดงเป็นลำดับของ0และ1คั่นด้วยจุดฐานสองโดย1หมายถึงเลขยกกำลัง2ที่ปรากฏในผลรวม เลขชี้กำลังถูกกำหนดโดยตำแหน่งของ1 นี้ : เลขชี้กำลังที่ไม่เป็นลบคืออันดับของ1ทางด้านซ้ายของจุด (เริ่มจาก0 ) และเลขชี้กำลังลบคืออันดับทางด้านขวาของจุด

เลขยกกำลังหนึ่งทุกตัวมีค่าเท่ากับ: 1 = 1

สำหรับเลขชี้กำลังบวกn > 0 เลขชี้กำลัง ที่nของศูนย์จะเป็นศูนย์: 0 = 0สำหรับเลขชี้กำลังลบจะไม่มีนิยาม ${\displaystyle 0^{-n}=1/0^{n}=1/0}$

ในบริบทบางอย่าง (เช่นการจัดหมู่ ) นิพจน์0 ถูกกำหนดให้เท่ากับในบริบทอื่นๆ (เช่นการวิเคราะห์ ) มักไม่มีการกำหนดไว้ ${\displaystyle 1}$

เนื่องจากจำนวนลบคูณจำนวนลบอีกจำนวนหนึ่งเป็นจำนวนบวก เรามี:

${\displaystyle (-1)^{n}=\left\{{\begin{array}{rl}1&{\text{for even }}n,\\-1&{\text{for odd }}n.\\\end{array}}\right.}$

ด้วยเหตุนี้ เลขยกกำลังของ−1จึงมีประโยชน์ในการแสดงลำดับ ที่สลับกัน สำหรับการอภิปรายที่คล้ายกันเกี่ยวกับเลขยกกำลังของจำนวนเชิงซ้อนiโปรดดู § รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน

ขีดจำกัดของลำดับกำลังของตัวเลขที่มากกว่าหนึ่งจะแยกออกจากกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลำดับดังกล่าวจะเติบโตโดยไม่มีขอบเขต:

b → ∞เมื่อ n → ∞เมื่อ b > 1

สามารถอ่านได้ว่า " bยกกำลังnมีแนวโน้มไปทาง+∞เมื่อnมีแนวโน้มไปทางอินฟินิตี้เมื่อbมากกว่าหนึ่ง"

กำลังของตัวเลขที่มีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่าหนึ่งมีแนวโน้มเป็นศูนย์:

b → 0เมื่อ n → ∞เมื่อ | b | < 1

พลังของหนึ่งย่อมเป็นหนึ่งเสมอ:

b = 1สำหรับทุก nสำหรับ b = 1

กำลังของจำนวนลบจะสลับไปมาระหว่างบวกและลบเมื่อnสลับไปมาระหว่างคู่และคี่ ดังนั้นจึงไม่มีทางไปถึงขีดจำกัดเมื่อnเพิ่มขึ้น ${\displaystyle b\leq -1}$

หากเลขยกกำลังมีค่าแปรผันในขณะที่เลขยกกำลังมีค่าเพิ่มขึ้นเป็น1 ขณะ ที่เลขยกกำลังมีค่าเพิ่มขึ้นเป็นอนันต์ ลิมิตก็ไม่จำเป็นต้องเป็นค่าใดค่าหนึ่งที่กล่าวมาข้างต้น กรณีที่สำคัญเป็นพิเศษคือ

(1 + 1/ n ) → eเป็นn → ∞

ดู § ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ด้านล่าง

ข้อจำกัดอื่นๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งข้อจำกัดของนิพจน์ที่มีรูปแบบไม่ชัดเจนมีอธิบายไว้ใน § ข้อจำกัดของกำลัง ด้านล่าง

ฟังก์ชันจริงในรูปแบบโดยที่บางครั้งเรียกว่าฟังก์ชันกำลังเมื่อเป็นจำนวนเต็มและมีกลุ่มหลักอยู่สองกลุ่ม คือ สำหรับคู่ และสำหรับคี่ โดยทั่วไป สำหรับเมื่อเป็นคู่จะมีแนวโน้มไปทางบวกอนันต์เมื่อ √ เพิ่มขึ้นและมีแนวโน้มไปทางบวกอนันต์เมื่อ √ ลดลงกราฟทั้งหมดจากกลุ่มฟังก์ชันกำลังคู่มีรูปร่างทั่วไปเป็น√ โดยจะแบนลงตรงกลางมากขึ้นเมื่อ√ เพิ่มขึ้นฟังก์ชัน ที่มี ความสมมาตรแบบนี้( )เรียกว่าฟังก์ชันคู่${\displaystyle f(x)=cx^{n}}$${\displaystyle c\neq 0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle c>0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f(x)=cx^{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y=cx^{2}}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(-x)=f(x)}$

เมื่อเป็นคี่ พฤติกรรมเชิงอะซิ มโทติกของ 's จะกลับทิศทางจากบวกเป็นลบสำหรับ, จะมีแนวโน้มไปทางอินฟิ นิตี้ บวกเมื่อ , เพิ่มขึ้นแต่จะมีแนวโน้มไปทางอินฟินิตี้ลบเมื่อ , ลดลงกราฟทั้งหมดจากตระกูลฟังก์ชันกำลังคี่มีรูปร่างทั่วไปเป็น, โดยแบนลงตรงกลางมากขึ้นเมื่อเพิ่มขึ้น และสูญเสียความแบนทั้งหมดในแนวเส้นตรงสำหรับ, ฟังก์ชันที่มีความสมมาตรแบบนี้( )เรียกว่าฟังก์ชันคี่ ${\displaystyle n}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle c>0}$${\displaystyle f(x)=cx^{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y=cx^{3}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$

สำหรับ, พฤติกรรมเชิงอาการตรงข้ามเป็นจริงในแต่ละกรณี${\displaystyle c<0}$

ถ้าxเป็นจำนวนจริง ที่ไม่เป็นลบ และnเป็นจำนวนเต็มบวกหรือ แสดงถึง จำนวนจริงที่ไม่เป็นลบเฉพาะตัวที่nของxนั่นคือ จำนวนจริงที่ไม่เป็นลบเฉพาะตัวyที่${\displaystyle x^{1/n}}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$${\displaystyle y^{n}=x.}$

หากxเป็นจำนวนจริงบวก และเป็นจำนวนตรรกยะโดยที่pและq > 0เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นนิยามว่าเป็น ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$${\textstyle x^{p/q}}$

${\displaystyle x^{\frac {p}{q}}=\left(x^{p}\right)^{\frac {1}{q}}=(x^{\frac {1}{q}})^{p}.}$

ความเท่าเทียมกันทางด้านขวาอาจได้รับมาจากการตั้งค่าและการเขียน${\displaystyle y=x^{\frac {1}{q}},}$${\displaystyle (x^{\frac {1}{q}})^{p}=y^{p}=\left((y^{p})^{q}\right)^{\frac {1}{q}}=\left((y^{q})^{p}\right)^{\frac {1}{q}}=(x^{p})^{\frac {1}{q}}.}$

หากrเป็นจำนวนตรรกยะบวก0 = 0ตามนิยาม

คำจำกัดความทั้งหมดนี้จำเป็นสำหรับการขยายเอกลักษณ์ให้เป็นเลขชี้กำลังเหตุผล ${\displaystyle (x^{r})^{s}=x^{rs}}$

ในทางกลับกัน มีปัญหาในการขยายนิยามเหล่านี้ไปยังฐานที่ไม่ใช่จำนวนจริงบวก ตัวอย่างเช่น จำนวนจริงลบมี รากที่ nซึ่งเป็นจำนวนจริงลบ ถ้าnเป็นเลขคี่และไม่มีรากที่ n ถ้าnเป็นเลขคู่ ในกรณีหลังนี้รากที่n เชิงซ้อนใดก็ตามที่เลือกสำหรับ เอกลักษณ์จะไม่เป็นที่ยอมรับ ตัวอย่างเช่น ${\displaystyle x^{\frac {1}{n}},}$${\displaystyle (x^{a})^{b}=x^{ab}}$

${\displaystyle \left((-1)^{2}\right)^{\frac {1}{2}}=1^{\frac {1}{2}}=1\neq (-1)^{2\cdot {\frac {1}{2}}}=(-1)^{1}=-1.}$

ดู § เลขชี้กำลังจำนวนจริง และ § เลขชี้กำลังที่ไม่ใช่จำนวนเต็มที่มีฐานเชิงซ้อน เพื่อดูรายละเอียดเกี่ยวกับวิธีการจัดการปัญหาเหล่านี้

สำหรับจำนวนจริงบวก การยกกำลังเป็นจำนวนจริงสามารถนิยามได้สองวิธีที่เทียบเท่ากัน คือโดยการขยายกำลังตรรกยะไปยังจำนวนจริงโดยความต่อเนื่อง (§ ลิมิตของเลขชี้กำลังตรรกยะ ด้านล่าง) หรือในรูปของลอการิทึมของฐานและฟังก์ชันเลขชี้กำลัง (§ กำลังผ่านลอการิทึม ด้านล่าง) ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนจริงบวกเสมอ และเอกลักษณ์และสมบัติที่แสดงไว้ข้างต้นสำหรับเลขชี้กำลังจำนวนเต็มยังคงเป็นจริงตามนิยามเหล่านี้สำหรับเลขชี้กำลังจำนวนจริง นิยามที่สองเป็นที่นิยมใช้กันมากกว่า เนื่องจากสามารถสรุปผลไปยังเลขชี้กำลัง เชิงซ้อน ได้โดยตรง

ในทางกลับกัน การยกกำลังจำนวนจริงลบด้วยเลขยกกำลังจริงนั้นนิยามได้ยากกว่ามาก เนื่องจากเลขยกกำลังนั้นอาจไม่มีค่าจริงและมีหลายค่า เราสามารถเลือกค่าใดค่าหนึ่งจากค่าเหล่านี้ ซึ่งเรียกว่าค่าหลัก (principal value ) แต่ไม่สามารถเลือกใช้ค่าหลักที่เอกลักษณ์ของเลขยกกำลังนั้น

${\displaystyle \left(b^{r}\right)^{s}=b^{rs}}$

เป็นจริง ดู § ความล้มเหลวของกำลังและเอกลักษณ์ลอการิทึม ดังนั้น โดยทั่วไปแล้ว การยกกำลังที่มีฐานไม่ใช่จำนวนจริงบวกจะถูกมองว่าเป็นฟังก์ชันหลายค่า

เนื่องจากจำนวนอตรรกยะ ใดๆ สามารถแสดงเป็นลิมิตของลำดับของจำนวนตรรกยะ การยกกำลังของจำนวนจริงบวก bด้วยเลขชี้กำลังจริงx ใด ๆ สามารถกำหนดได้ด้วยความต่อเนื่องกับกฎ

${\displaystyle b^{x}=\lim _{r(\in \mathbb {Q} )\to x}b^{r}\quad (b\in \mathbb {R} ^{+},\,x\in \mathbb {R} ),}$

โดยที่ลิมิตนี้ครอบคลุมเฉพาะค่าตรรกยะของrเท่านั้น ลิมิตนี้มีอยู่สำหรับค่าb บวกทุกค่า และ ค่า xจริงทุกค่า

ตัวอย่างเช่น ถ้าx = πการแทนค่าทศนิยมที่ไม่สิ้นสุดπ = 3.14159...และความเป็นเอกภาพแห่งกำลังตรรกยะสามารถใช้เพื่อรับช่วงที่ถูกจำกัดด้วยกำลังตรรกยะที่มีขนาดเล็กเท่าที่ต้องการ และต้องประกอบด้วย${\displaystyle b^{\pi }:}$

${\displaystyle \left[b^{3},b^{4}\right],\left[b^{3.1},b^{3.2}\right],\left[b^{3.14},b^{3.15}\right],\left[b^{3.141},b^{3.142}\right],\left[b^{3.1415},b^{3.1416}\right],\left[b^{3.14159},b^{3.14160}\right],\ldots }$

ดังนั้นขอบเขตบนและขอบเขตล่างของช่วงจะสร้างลำดับ สองลำดับ ที่มีขีดจำกัดเดียวกัน แสดงเป็น${\displaystyle b^{\pi }.}$

สิ่งนี้กำหนดให้ทุกb ที่เป็นบวก และx ที่เป็นจำนวนจริง เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องของbและxดูเพิ่มเติมที่นิพจน์ที่กำหนดอย่างดี${\displaystyle b^{x}}$

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังอาจนิยามได้ว่า โดยที่คือจำนวนออยเลอร์แต่เพื่อหลีกเลี่ยงการใช้เหตุผลแบบวงกลมนิยามนี้จึงใช้ไม่ได้ในกรณีนี้ เราจึงให้นิยามอิสระของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและ ของโดยอาศัยเพียงเลขยกกำลังจำนวนเต็มบวก (การคูณซ้ำ) จากนั้นเราจะร่างบทพิสูจน์ว่าสอดคล้องกับนิยามก่อนหน้า:${\displaystyle x\mapsto e^{x},}$${\displaystyle e\approx 2.718}$${\displaystyle \exp(x),}$${\displaystyle e=\exp(1)}$${\displaystyle \exp(x)=e^{x}.}$

มีหลายวิธีเทียบเท่าในการกำหนดฟังก์ชันเลขชี้กำลังหนึ่งในนั้นคือ

${\displaystyle \exp(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$

อันหนึ่งมีและเอกลักษณ์เลขชี้กำลัง (หรือกฎการคูณ) ถือได้เช่นกัน เนื่องจาก ${\displaystyle \exp(0)=1,}$${\displaystyle \exp(x)\exp(y)=\exp(x+y)}$

${\displaystyle \exp(x)\exp(y)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}\left(1+{\frac {y}{n}}\right)^{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x+y}{n}}+{\frac {xy}{n^{2}}}\right)^{n},}$

และเทอมลำดับที่สองไม่ส่งผลกระทบต่อขีดจำกัด ส่งผลให้ ${\displaystyle {\frac {xy}{n^{2}}}}$${\displaystyle \exp(x)\exp(y)=\exp(x+y)}$

จำนวนออยเลอร์สามารถนิยามได้เป็นจากสมการข้างต้น จะเห็นได้ว่าเมื่อxเป็นจำนวนเต็ม (ซึ่งเป็นผลมาจากนิยามการยกกำลังแบบคูณซ้ำ) ถ้าxเป็นจำนวนจริงนิยามที่ได้มาจากนิยามที่กำหนดไว้ในส่วนก่อนหน้า โดยใช้เอกลักษณ์เลขชี้กำลังถ้าxเป็นจำนวนตรรกยะ และความต่อเนื่องของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ถ้า x เป็นจำนวนตรรกยะ${\displaystyle e=\exp(1)}$${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$

ลิมิตที่กำหนดฟังก์ชันเลขชี้กำลังลู่เข้าจะลู่เข้าสำหรับ ค่า เชิงซ้อน ทุก ค่าของxดังนั้นจึงสามารถใช้เพื่อขยายนิยามของและจากจำนวนจริงไปยังอาร์กิวเมนต์เชิงซ้อนใดๆzได้ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังแบบขยายนี้ยังคงสอดคล้องกับเอกลักษณ์เลขชี้กำลัง และมักใช้ในการกำหนดเลขชี้กำลังสำหรับฐานและเลขชี้กำลังเชิงซ้อน ${\displaystyle \exp(z)}$${\displaystyle e^{z},}$

นิยามของe ว่าเป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ช่วยให้สามารถนิยามb สำหรับจำนวนจริงบวกทุกจำนวนbในรูปของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึมกล่าวคือ ข้อเท็จจริงที่ว่าลอการิทึมธรรมชาติ ln( x )เป็นค่าผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลังe หมายความว่า

${\displaystyle b=\exp(\ln b)=e^{\ln b}}$

สำหรับทุกb > 0เพื่อรักษาเอกลักษณ์ไว้ ต้องมี ${\displaystyle (e^{x})^{y}=e^{xy},}$

${\displaystyle b^{x}=\left(e^{\ln b}\right)^{x}=e^{x\ln b}}$

ดังนั้นจึงสามารถใช้เป็นนิยามทางเลือกของb สำหรับจำนวนจริงบวกb ใดๆ ได้ ซึ่งสอดคล้องกับนิยามที่ให้ไว้ข้างต้น โดยใช้เลขชี้กำลังตรรกยะและความต่อเนื่อง โดยมีข้อดีคือสามารถขยายไปยังเลขชี้กำลังเชิงซ้อนใดๆ ได้โดยตรง ${\displaystyle e^{x\ln b}}$

หากbเป็นจำนวนจริงบวก การยกกำลังด้วยฐานbและเลขชี้กำลังเชิงซ้อนzถูกกำหนดโดยใช้ฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีอาร์กิวเมนต์เชิงซ้อน (ดูตอนท้ายของ § ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ด้านบน) ดังนี้

${\displaystyle b^{z}=e^{(z\ln b)},}$

โดยที่หมายถึงลอการิทึม ธรรมชาติของb${\displaystyle \ln b}$

นี่ตอบสนองความเป็นตัวตน

${\displaystyle b^{z+t}=b^{z}b^{t},}$

โดยทั่วไปแล้ว จะไม่มีนิยาม เนื่องจากbzไม่ใช่จำนวนจริง หากให้ความหมายกับการยกกำลังของจำนวนเชิงซ้อน (ดู § เลขชี้กำลังที่ไม่ใช่จำนวนเต็มที่มีฐานเชิงซ้อน ด้านล่าง) โดยทั่วไปแล้ว จะ ${\textstyle \left(b^{z}\right)^{t}}$

${\displaystyle \left(b^{z}\right)^{t}\neq b^{zt},}$

เว้นแต่zจะเป็นจำนวนจริงหรือtเป็นจำนวนเต็ม

สูตรของออยเลอร์

${\displaystyle e^{iy}=\cos y+i\sin y,}$

ช่วยให้แสดงรูปแบบเชิงขั้วในรูปของส่วนจริงและส่วนจินตภาพของzได้ กล่าวคือ ${\displaystyle b^{z}}$

${\displaystyle b^{x+iy}=b^{x}(\cos(y\ln b)+i\sin(y\ln b)),}$

โดยที่ค่าสัมบูรณ์ของ ปัจจัย ตรีโกณมิติคือหนึ่ง ซึ่งเป็นผลมาจาก

${\displaystyle b^{x+iy}=b^{x}b^{iy}=b^{x}e^{iy\ln b}=b^{x}(\cos(y\ln b)+i\sin(y\ln b)).}$

ในหัวข้อก่อนหน้านี้ การยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่ใช่จำนวนเต็มได้นิยามไว้สำหรับฐานจำนวนจริงบวกเท่านั้น สำหรับฐานอื่นๆ ความยากลำบากปรากฏให้เห็นแล้วในกรณีที่ดูเหมือนจะง่ายของรากที่n นั่นคือ เลขชี้กำลังเมื่อ nเป็นจำนวนเต็มบวก แม้ว่าทฤษฎีการยกกำลังโดยทั่วไปด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่ใช่จำนวนเต็มจะสามารถนำไปใช้กับ รากที่ nได้ แต่กรณีนี้ควรได้รับการพิจารณาก่อน เนื่องจากไม่จำเป็นต้องใช้ลอการิทึมเชิงซ้อนจึงเข้าใจได้ง่ายกว่า ${\displaystyle 1/n,}$

จำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์ทุกตัวzสามารถเขียนในรูปแบบเชิงขั้วได้ดังนี้

${\displaystyle z=\rho e^{i\theta }=\rho (\cos \theta +i\sin \theta ),}$

โดยที่คือค่าสัมบูรณ์ของzและคืออาร์กิวเมนต์ ของ z อาร์กิวเมนต์นี้ถูกกำหนดให้เป็นจำนวนเต็มผลคูณของ2 πซึ่งหมายความว่า หากเป็นอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้นจะเป็นอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนเดียวกันสำหรับทุกจำนวนเต็ม ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta +2k\pi }$${\displaystyle k}$

รูปแบบเชิงขั้วของผลคูณของจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวน หาได้จากการคูณค่าสัมบูรณ์และบวกอาร์กิวเมนต์ ดังนั้น รูปแบบเชิงขั้วของรากที่nของจำนวนเชิงซ้อน สามารถหาได้โดยการหาร รากที่ nของค่าสัมบูรณ์และหารอาร์กิวเมนต์ด้วยn :

${\displaystyle \left(\rho e^{i\theta }\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{\rho }}\,e^{\frac {i\theta }{n}}.}$

ถ้าบวกเข้ากับ, จำนวนเชิงซ้อนจะไม่เปลี่ยนแปลง แต่จะเป็นการเพิ่มอาร์กิวเมนต์ของ รากที่ nและให้ รากที่ n ใหม่ สามารถทำได้nครั้ง ( ) และให้ ราก ที่nของจำนวนเชิงซ้อน: ${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle 2i\pi /n}$${\displaystyle k=0,1,...,n-1}$

${\displaystyle \left(\rho e^{i(\theta +2k\pi )}\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{\rho }}\,e^{\frac {i(\theta +2k\pi )}{n}}.}$

โดยปกติแล้ว การเลือกรากที่ n ตัวใดตัวหนึ่งจากราก ที่ nเป็นรากหลักทางเลือกที่พบบ่อยคือการเลือกรากที่nซึ่งก็คือรากที่nที่มีส่วนจริงมากที่สุด และหากมีสองราก รากที่เป็นส่วนจินตภาพเป็นบวก ซึ่งทำให้ราก หลักที่ n เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องในระนาบเชิงซ้อนทั้งหมด ยกเว้นค่าจริงลบของรากที่ n ฟังก์ชันนี้เท่ากับ รากที่ n ตามปกติ สำหรับรากที่ n ที่เป็นบวก สำหรับรากที่ n ที่เป็นลบและเลขชี้กำลังคี่ รากหลักที่nจะไม่เป็นจำนวนจริง แม้ว่ารากที่n ตามปกติจะเป็นจำนวนจริงก็ตาม การวิเคราะห์ต่อเนื่องแสดงให้เห็นว่ารากหลักที่n เป็นฟังก์ชัน หาอนุพันธ์เชิงซ้อนเฉพาะตัวที่ขยายรากที่n ตามปกติ ไปยังระนาบเชิงซ้อนโดยไม่มีจำนวนจริงที่ไม่เป็นบวก ${\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi ,}$

หากย้ายจำนวนเชิงซ้อนไปรอบศูนย์โดยการเพิ่มอาร์กิวเมนต์ของมัน หลังจากการเพิ่มจำนวนเชิงซ้อน จำนวนเชิงซ้อนจะกลับสู่ตำแหน่งเริ่มต้น และรากที่n ของมันจะ เรียงสับเปลี่ยนแบบวงกลม (คูณด้วย) สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าไม่สามารถนิยาม ฟังก์ชันรากที่ nที่ต่อเนื่องในระนาบเชิงซ้อนทั้งหมดได้ ${\displaystyle 2\pi ,}$$e^{2i\pi /n}$

ราก ที่nของหนึ่ง คือ จำนวนเชิงซ้อน nจำนวนที่w = 1โดยที่nเป็นจำนวนเต็มบวก รากเหล่านี้เกิดขึ้นในหลายสาขาของคณิตศาสตร์ เช่นการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องหรือวิธีแก้สมการพีชคณิต ( Lagrange resolvent )

ราก ที่n ของเอกภาพ คือกำลังแรกของnของ นั่นคือ ราก ที่nของเอกภาพที่มีคุณสมบัติการกำเนิดนี้เรียกว่าราก เอกภาพ ดั้งเดิมรากเอกภาพดั้งเดิมมีรูปแบบ k เป็นจำนวนเฉพาะร่วมกับ n รากที่สองของเอกภาพดั้งเดิมที่มีจำนวนเฉพาะคือรากที่สี่ของเอกภาพดั้งเดิมคือและ${\displaystyle \omega =e^{\frac {2\pi i}{n}}}$${\displaystyle 1=\omega ^{0}=\omega ^{n},\omega =\omega ^{1},\omega ^{2},...,\omega ^{n-1}.}$${\displaystyle \omega ^{k}=e^{\frac {2k\pi i}{n}},}$ ${\displaystyle -1;}$${\displaystyle i}$${\displaystyle -i.}$

ราก ที่nของเอกภาพช่วยให้สามารถแสดง รากที่ n ทั้งหมด ของจำนวนเชิงซ้อนzเป็น ผลคูณ nของ รากที่ nของz ที่กำหนด ที่มีรากที่ 1 อยู่ที่ n

ในทางเรขาคณิต รากที่nของหนึ่งจะอยู่บนวงกลมหน่วยของระนาบเชิงซ้อนที่จุดยอดของรูปnเหลี่ยมปกติโดยมีจุดยอดหนึ่งจุดอยู่บนจำนวนจริงคือ 1

เนื่องจากตัวเลข เป็นรากที่ nดั้งเดิม ของหนึ่งที่มี อาร์กิวเมนต์บวกที่เล็กที่สุดจึงเรียกว่า รากที่ nดั้งเดิมของหนึ่งบางครั้งเรียกสั้นๆ ว่า รากที่ nดั้งเดิมของหนึ่งแม้ว่าคำศัพท์นี้อาจสับสนกับค่าหลักของซึ่งก็คือ 1 ก็ตาม${\displaystyle e^{\frac {2k\pi i}{n}}}$${\displaystyle 1^{1/n}}$

การนิยามการยกกำลังด้วยฐานเชิงซ้อนนั้นนำไปสู่ความยากลำบากที่คล้ายคลึงกับที่อธิบายไว้ในหัวข้อก่อนหน้า ยกเว้นว่าโดยทั่วไปแล้ว มีค่าที่เป็นไปได้สำหรับ √ อยู่มากมายนับไม่ถ้วนดังนั้นค่าหลักจึงถูกกำหนดขึ้น ซึ่งไม่ต่อเนื่องสำหรับค่าzที่เป็นจำนวนจริงและไม่เป็นบวก หรือถูกกำหนดให้เป็นฟังก์ชันหลายค่า √ $z^{w}$$z^{w}$

ในทุกกรณีลอการิทึมเชิงซ้อนจะถูกใช้เพื่อกำหนดการยกกำลังเชิงซ้อนเป็น

${\displaystyle z^{w}=e^{w\log z},}$

ซึ่งเป็นตัวแปรของลอการิทึมเชิงซ้อนที่ใช้ ซึ่งเป็นฟังก์ชันหรือฟังก์ชันหลายค่าที่ ${\displaystyle \log z}$

${\displaystyle e^{\log z}=z}$

สำหรับทุกzในโดเมนของคำจำกัดความ

ค่าหลักของลอการิทึมเชิงซ้อนคือฟังก์ชันต่อเนื่องเฉพาะตัว โดยทั่วไปจะแสดงว่า สำหรับจำนวนเชิงซ้อนz ที่ไม่เท่ากับศูนย์ทุก ตัว ${\displaystyle \log ,}$

${\displaystyle e^{\log z}=z,}$

และข้อโต้แย้งของzเป็นไปตาม

${\displaystyle -\pi <\operatorname {Arg} z\leq \pi .}$

ค่าหลักของลอการิทึมเชิงซ้อนไม่ได้นิยามไว้ เนื่องจากลอการิทึม เชิงซ้อน ไม่ต่อเนื่องที่ค่าจริงติดลบของzและยังเป็นโฮโลมอร์ฟิก (นั่นคือ อนุพันธ์เชิงซ้อนได้) ในที่อื่นๆ ถ้าzเป็นจำนวนจริงและเป็นบวก ค่าหลักของลอการิทึมเชิงซ้อนจะเป็นลอการิทึมธรรมชาติ:${\displaystyle z=0,}$${\displaystyle \log z=\ln z.}$

ค่าหลักของถูกกำหนดเป็นโดย ที่เป็นค่าหลักของลอการิทึม ${\displaystyle z^{w}}$${\displaystyle z^{w}=e^{w\log z},}$${\displaystyle \log z}$

ฟังก์ชันนี้เป็นแบบโฮโลมอร์ฟิก ยกเว้นในบริเวณใกล้จุดที่zเป็นจริงและไม่เป็นบวก ${\displaystyle (z,w)\to z^{w}}$

ถ้าzเป็นจำนวนจริงและเป็นบวก ค่าหลักของ z จะเท่ากับค่าปกติที่กำหนดไว้ข้างต้น หากn เป็น จำนวนเต็มค่าหลักของ z จะเท่ากับค่าที่กำหนดไว้ข้างต้น ${\displaystyle z^{w}}$${\displaystyle w=1/n,}$

ในบางบริบท มีปัญหาเรื่องความไม่ต่อเนื่องของค่าหลักของและที่ค่าจริงติดลบของzในกรณีนี้ การพิจารณาฟังก์ชันเหล่านี้เป็นฟังก์ชันหลายค่าจะ เป็นประโยชน์${\displaystyle \log z}$${\displaystyle z^{w}}$

ถ้าหมายถึงค่าใดค่าหนึ่งของลอการิทึมหลายค่า (โดยทั่วไปคือค่าหลักของลอการิทึม) ค่าอื่นๆ จะเป็นค่าที่kคือจำนวนเต็มใดๆ ในทำนองเดียวกัน ถ้าเป็นค่าหนึ่งของการยกกำลัง ค่าอื่นๆ จะกำหนดโดย ${\displaystyle \log z}$${\displaystyle 2ik\pi +\log z,}$${\displaystyle z^{w}}$

${\displaystyle e^{w(2ik\pi +\log z)}=z^{w}e^{2ik\pi w},}$

โดยที่kคือจำนวนเต็มใดๆ

ค่าk ที่ต่างกัน จะให้ค่าของ ต่างกันเว้นแต่ว่าwเป็นจำนวนตรรกยะนั่นคือ มีจำนวนเต็มdที่ทำให้dwเป็นจำนวนเต็ม สิ่งนี้เป็นผลมาจากความเป็นคาบของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าและต่อเมื่อเป็นจำนวนเต็มคูณของ${\displaystyle z^{w}}$${\displaystyle e^{a}=e^{b}}$${\displaystyle a-b}$${\displaystyle 2\pi i.}$

ถ้าเป็นจำนวนตรรกยะที่มีmและn เป็นจำนวนเต็มร่วม เฉพาะ โดยที่then มี ค่า n ค่าพอดี ในกรณีที่ค่าเหล่านี้เหมือนกับค่าที่อธิบายไว้ใน § รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน ถ้าwเป็นจำนวนเต็ม จะมีเพียงค่าเดียวเท่านั้นที่สอดคล้องกับเลขชี้กำลังของ § จำนวนเต็ม ${\displaystyle w={\frac {m}{n}}}$ ${\displaystyle n>0,}$${\displaystyle z^{w}}$${\displaystyle m=1,}$

การยกกำลังหลายค่าเป็นแบบโฮโลมอร์ฟิก เพราะกราฟของกราฟนี้ประกอบด้วยชีตหลายชีต ซึ่งแต่ละชีตกำหนดฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกในบริเวณใกล้เคียงของทุกจุด หาก ค่า zเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องตามแนววงกลมรอบ0หลังจากหนึ่งรอบ ค่าของชีตจะเปลี่ยนแปลงไป ${\displaystyle z\neq 0,}$${\displaystyle z^{w}}$

รูปแบบแคนนอนิคัล ของสามารถคำนวณได้จากรูปแบบแคนนอนิคัลของzและwแม้ว่าจะสามารถอธิบายได้ด้วยสูตรเดียว แต่การแบ่งการคำนวณออกเป็นหลายขั้นตอนจะชัดเจนกว่า ${\displaystyle x+iy}$${\displaystyle z^{w}}$

• รูปแบบเชิงขั้วของzหากเป็นรูปแบบเชิงแคนนอนิคัลของ z ( aและ bเป็นจำนวนจริง) ดังนั้น รูปแบบเชิงขั้วของ z คือและโดยที่ ⁠ ⁠คือฟังก์ชันอาร์กแทนเจนต์ที่มีอาร์กิวเมนต์สองตัว${\displaystyle z=a+ib}$$${\displaystyle z=\rho e^{i\theta }=\rho (\cos \theta +i\sin \theta ),}$$${\textstyle \rho ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$${\displaystyle \theta =\operatorname {atan2} (b,a)}$${\displaystyle \operatorname {atan2} }$
• ลอการิทึมของzค่าหลักของลอการิทึมนี้คือที่ไหนหมายถึงลอการิทึมธรรมชาติค่าอื่นๆ ของลอการิทึมหาได้จากการบวกสำหรับจำนวนเต็ม k ใด ๆ${\displaystyle \log z=\ln \rho +i\theta ,}$${\displaystyle \ln }$${\displaystyle 2ik\pi }$
• รูปแบบแคนนอนิคัลของ${\displaystyle w\log z.}$ถ้าcและdเป็นจริง ค่าของคือค่าหลักที่สอดคล้องกับ${\displaystyle w=c+di}$${\displaystyle w\log z}$$${\displaystyle w\log z=(c\ln \rho -d\theta -2dk\pi )+i(d\ln \rho +c\theta +2ck\pi ),}$$${\displaystyle k=0.}$
• ผลลัพธ์สุดท้าย . ใช้เอกลักษณ์และได้ผลลัพธ์ตามมูลค่าหลัก${\displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y}}$${\displaystyle e^{y\ln x}=x^{y},}$$${\displaystyle z^{w}=\rho ^{c}e^{-d(\theta +2k\pi )}\left(\cos(d\ln \rho +c\theta +2ck\pi )+i\sin(d\ln \rho +c\theta +2ck\pi )\right),}$$${\displaystyle k=0}$

• ${\displaystyle i^{i}}$
  รูปแบบเชิงขั้วของiคือและค่าของคือดังนั้นดังนั้น ค่าทั้งหมดของจึงเป็นค่าจริง โดยค่าหลักคือ${\displaystyle i=e^{i\pi /2},}$${\displaystyle \log i}$$${\displaystyle \log i=i\left({\frac {\pi }{2}}+2k\pi \right).}$$$${\displaystyle i^{i}=e^{i\log i}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}e^{-2k\pi }.}$$${\displaystyle i^{i}}$$${\displaystyle e^{-{\frac {\pi }{2}}}\approx 0.2079.}$$
• ${\displaystyle (-2)^{3+4i}}$
  ในทำนองเดียวกัน รูปแบบเชิงขั้วของ−2คือดังนั้น วิธีการที่อธิบายไว้ข้างต้นจะให้ค่าในกรณีนี้ ค่าทั้งหมดจะมีอาร์กิวเมนต์เดียวกันและค่าสัมบูรณ์ที่แตกต่างกัน${\displaystyle -2=2e^{i\pi }.}$$${\displaystyle {\begin{aligned}(-2)^{3+4i}&=2^{3}e^{-4(\pi +2k\pi )}(\cos(4\ln 2+3(\pi +2k\pi ))+i\sin(4\ln 2+3(\pi +2k\pi )))\\&=-2^{3}e^{-4(\pi +2k\pi )}(\cos(4\ln 2)+i\sin(4\ln 2)).\end{aligned}}}$$${\displaystyle 4\ln 2,}$

ในทั้งสองตัวอย่าง ค่าทั้งหมดของมีอาร์กิวเมนต์เดียวกัน โดยทั่วไปแล้ว สิ่งนี้จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อส่วนจริงของwเป็นจำนวนเต็ม ${\displaystyle z^{w}}$

เอกลักษณ์บางประการสำหรับเลขยกกำลังและลอการิทึมสำหรับจำนวนจริงบวกจะใช้ไม่ได้กับจำนวนเชิงซ้อน ไม่ว่าเลขยกกำลังและลอการิทึมเชิงซ้อนจะถูกกำหนดให้เป็นฟังก์ชันค่าเดียวอย่างไรก็ตาม ตัวอย่างเช่น