พื้นที่แอฟฟิน

Q: ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับ พื้นที่แอฟฟิน

ในทางคณิตศาสตร์ปริภูมิแอฟฟิน (affine space)คือโครงสร้างทางเรขาคณิต ที่ขยายคุณสมบัติบางอย่างของปริภูมิยูคลิด (Euclidean

{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} — ใน $\mathbb {R} ^{3}$ ระนาบด้านบน (สีน้ำเงิน) $P_{2}$ ไม่ใช่ปริภูมิย่อยเวกเตอร์ เนื่องจาก $\mathbf {0} \notin P_{2}$ และ $\mathbf {a} +\mathbf {b} \notin P_{2}$ มันเป็น*ปริภูมิย่อยเชิงเส้นตรง*ทิศทาง*ของ*มัน(ปริภูมิย่อยเชิงเส้นที่เกี่ยวข้องกับปริภูมิย่อยเชิงเส้นตรงนี้) คือระนาบล่าง (สีเขียว ) $P_{1}$ ซึ่งเป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์ แม้ว่า $\mathbf {a}$ และ $\mathbf {b}$ อยู่ใน⁠ $P_{2}$ ความแตกต่างของพวก มันคือ*เวกเตอร์การกระจัด*ซึ่งไม่เกี่ยวข้องกับ $P_{2},$ แต่เป็นส่วนหนึ่งของปริภูมิเวกเตอร์ $P_{1}$ ⁠ .

ในทางคณิตศาสตร์ปริภูมิแอฟฟิน (affine space)คือโครงสร้าง ทางเรขาคณิต ที่ขยายคุณสมบัติบางอย่างของปริภูมิยูคลิด (Euclidean space)ในลักษณะที่สมบัติเหล่านั้นไม่ขึ้นอยู่กับแนวคิดเรื่องระยะทางและขนาดของมุมโดยคงไว้เพียงสมบัติที่เกี่ยวข้องกับความขนานและอัตราส่วนความยาวของส่วนของเส้น ตรงที่ขนานกันเท่านั้น ปริภูมิแอฟฟินเป็นฉากหลังของเรขาคณิตแอฟฟิน

เช่นเดียวกับในปริภูมิยูคลิด วัตถุพื้นฐานในปริภูมิแอฟฟินเรียกว่าจุดซึ่งสามารถคิดได้ว่าเป็นตำแหน่งในปริภูมิที่ไม่มีขนาดหรือรูปร่างใดๆ กล่าวคือเป็นมิติ ศูนย์ สามารถลากเส้น ตรงยาวอนันต์ผ่านจุดสองจุดใดๆ ได้ $ซึ่ง$ เป็นเซตของจุดหนึ่งมิติ สามารถลากระนาบสองมิติผ่านจุดสามจุดใดๆ ที่ไม่เรียงตัวเป็นเส้นตรงเดียวกัน ได้ และโดยทั่วไปแล้ว สามารถลากปริภูมิ ย่อยแบบแบน หรือแอฟฟิน มิติk ผ่านจุด $k + 1$ จุดที่อยู่ในตำแหน่งทั่วไปได้ปริภูมิแอฟฟินมีลักษณะเฉพาะด้วยแนวคิดของเส้นขนานสองเส้นที่อยู่ในระนาบเดียวกันแต่ไม่ตัดกัน (เส้นที่ไม่ขนานกันในระนาบเดียวกันจะตัดกันที่จุดหนึ่ง) เมื่อกำหนดเส้นตรงใดๆ แล้ว สามารถลากเส้นขนานกับเส้นนั้นผ่านจุดใดๆ ในปริภูมิได้ และชั้นสมมูลของเส้นขนานเหล่านี้เรียกว่ามีทิศทาง ร่วม กัน

ต่างจากเวกเตอร์ในปริภูมิเวกเตอร์ในปริภูมิแอฟฟินไม่มีจุดที่โดดเด่นซึ่งทำหน้าที่เป็นจุดกำเนิดไม่มีแนวคิดที่กำหนดไว้ล่วงหน้าเกี่ยวกับการบวกหรือคูณจุดเข้าด้วยกัน หรือการคูณจุดด้วยจำนวนสเกลาร์ อย่างไรก็ตาม สำหรับปริภูมิแอฟฟินใดๆ สามารถสร้างปริภูมิเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องได้จากความแตกต่างระหว่างจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด ซึ่งเรียกว่าเวกเตอร์อิสระเวกเตอร์การกระจัดเวกเตอร์การแปลหรือเรียกง่ายๆ ว่าการแปล [ ^{1 ] ใน}ทำนองเดียวกัน การบวกเวกเตอร์การกระจัดเข้ากับจุดในปริภูมิแอฟฟินก็สมเหตุสมผล ส่งผลให้เกิดจุดใหม่ (ในปริภูมิแอฟฟินเดียวกัน) ที่ถูกแปลจากจุดเริ่มต้นโดยเวกเตอร์นั้น แม้ว่าจุดจะไม่สามารถบวกเข้าด้วยกันได้ตามอำเภอใจ แต่การรวม จุดแบบแอฟฟินก็มีความหมาย : ผลรวมถ่วงน้ำหนักที่มีสัมประสิทธิ์เชิงตัวเลขรวมกันได้ 1 ส่งผลให้เกิดจุดอีกจุดหนึ่ง สัมประสิทธิ์เหล่านี้กำหนดระบบพิกัดแบบแบรีเซนทริกสำหรับระนาบที่ผ่านจุดเหล่านั้น

ปริภูมิเวกเตอร์ใดๆ ก็สามารถมองได้ว่าเป็นปริภูมิเชิงเส้นตรง (affine space) ซึ่งเท่ากับเป็นการ "ละเลย" บทบาทพิเศษของเวกเตอร์ศูนย์ในกรณีนี้ องค์ประกอบของปริภูมิเวกเตอร์สามารถมองได้ทั้งในฐานะจุดในปริภูมิเชิงเส้นตรง หรือในฐานะเวกเตอร์การกระจัดหรือการเลื่อนเมื่อพิจารณาในฐานะจุด เวกเตอร์ศูนย์เรียกว่าจุดกำเนิดการเพิ่มเวกเตอร์คงที่ให้กับองค์ประกอบของปริภูมิย่อยเชิงเส้น (ปริภูมิย่อยเวกเตอร์) ของปริภูมิเวกเตอร์จะสร้างปริภูมิย่อยเชิงเส้นตรงของปริภูมิเวกเตอร์ โดยทั่วไปแล้ว เรามักกล่าวว่าปริภูมิย่อยเชิงเส้นตรงนี้ได้มาจากการเลื่อน (ออกจากจุดกำเนิด) ปริภูมิย่อยเชิงเส้นด้วยเวกเตอร์การเลื่อน (เวกเตอร์ที่เพิ่มเข้าไปในองค์ประกอบทั้งหมดของปริภูมิย่อยเชิงเส้น) ในมิติจำกัด ปริภูมิย่อยเชิงเส้น ตรงนี้ดังกล่าว คือเซตคำตอบของ ระบบสมการเชิงเส้น ไม่เอกพันธุ์ เวกเตอร์การกระจัดสำหรับปริภูมิเชิงเส้นตรงนี้คือคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น เอกพันธุ์ที่สอดคล้องกันซึ่งเป็นปริภูมิย่อยเชิงเส้น ในทางตรงกันข้าม ปริภูมิย่อยเชิงเส้นจะประกอบด้วยจุดกำเนิดของปริภูมิเวกเตอร์เสมอ

มิติ ของ ปริภูมิเชิงเส้นตรง (affine space) ถูกกำหนดให้เป็นมิติของปริภูมิเวกเตอร์ของการเลื่อนขนาน ปริภูมิเชิงเส้นตรงที่มีมิติหนึ่งเรียกว่าเส้นตรงเชิงเส้นตรง (affine line ) ปริภูมิเชิงเส้นตรงที่มีมิติ 2 เรียกว่า ระนาบเชิงเส้นตรง (affine plane ) ปริภูมิย่อยเชิงเส้นตรงที่มีมิติ $n - 1$ ในปริภูมิเชิงเส้นตรงหรือปริภูมิเวกเตอร์ที่มีมิติ $n$ เรียกว่าระนาบเชิงเส้นตรง (affine hyperplane )

คำอธิบายแบบไม่เป็นทางการ

ลักษณะต่อไปนี้อาจเข้าใจได้ง่ายกว่าคำจำกัดความอย่างเป็นทางการทั่วไป: พื้นที่แอฟฟินคือสิ่งที่เหลืออยู่ของพื้นที่เวกเตอร์หลังจากที่ลืมจุดกำเนิด (หรือตามคำพูดของนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสMarcel Bergerว่า "พื้นที่แอฟฟินไม่มีอะไรมากไปกว่าพื้นที่เวกเตอร์ที่เราพยายามลืมจุดกำเนิดโดยการเพิ่มการแปลให้กับแผนที่เชิงเส้น" ^{[ 2 ]} ) ลองนึกภาพว่าอลิซรู้ว่าจุดหนึ่งเป็นจุดกำเนิดที่แท้จริง แต่บ็อบเชื่อว่าจุดอื่น—เรียกว่า $p—$ เป็นจุดกำเนิด เวกเตอร์สองตัว $a$ และ $b$ จะถูกบวกกัน บ็อบวาดลูกศรจากจุด $p$ ไปยังจุด $a$ และลูกศรอีกอันจากจุด $p$ ไปยังจุด $b$ และเติมเต็มรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเพื่อหาว่าบ็อบคิดว่า $a + b$ แต่อลิซรู้ว่าเขาคำนวณจริง ๆ แล้ว

p + (a - p) + (b - p)

.

ในทำนองเดียวกันอลิซและบ็อบอาจประเมินผลรวมเชิงเส้น ใดๆ ของ $a$ และ $b$ หรือของเซตเวกเตอร์จำกัด ใดๆ และโดยทั่วไปจะได้คำตอบที่แตกต่างกัน อย่างไรก็ตาม หากผลรวมของสัมประสิทธิ์ในผลรวมเชิงเส้นเท่ากับ 1 อลิซและบ็อบจะได้คำตอบเดียวกัน

ถ้าอลิซเดินทางไป

λ a + (1 - λ) b

จากนั้นบ็อบก็สามารถเดินทางไปที่... ได้เช่นกัน

p + แลม (a - p) + (1 - แล)(b - p) = แลม +

(

1 -

แลม

)

b

ภายใต้เงื่อนไขนี้ สำหรับสัมประสิทธิ์ทั้งหมด $λ + (1 - λ) = 1$ อลิซและบ็อบจะอธิบายจุดเดียวกันด้วยการรวมเชิงเส้นแบบเดียวกัน แม้ว่าจะใช้จุดกำเนิดที่แตกต่างกันก็ตาม

ในขณะที่อลิซเพียงคนเดียวที่รู้ "โครงสร้างเชิงเส้น" แต่ทั้งอลิซและบ็อบต่างก็รู้ "โครงสร้างเชิงแอฟฟิน" กล่าวคือ ค่าของการรวมเชิงแอฟฟินซึ่งนิยามว่าเป็นการรวมเชิงเส้นที่ผลรวมของสัมประสิทธิ์เท่ากับ 1 เซตที่มีโครงสร้างเชิงแอฟฟินเรียกว่าปริภูมิเชิงแอฟฟิน

คำนิยาม

แม้ว่าปริภูมิแอฟฟินจะสามารถนิยามได้โดยใช้สัจพจน์ (ดูหัวข้อ§ สัจพจน์ด้านล่าง) ในทำนองเดียวกับการนิยามปริภูมิยูคลิดที่ปรากฏในหนังสือ Elementsของยูคลิด แต่เพื่อความสะดวก แหล่งข้อมูลสมัยใหม่ส่วนใหญ่จึงนิยามปริภูมิแอฟฟินโดยใช้ทฤษฎีปริภูมิเวกเตอร์ที่พัฒนามาอย่างดีแล้ว

ปริภูมิแอฟฟินคือเซต $A$ ร่วมกับปริภูมิเวกเตอร์ ${\overrightarrow {A}}$ และการกระทำ แบบถ่ายทอดและอิสระ ของกลุ่มเพิ่มเติมของ ${\overrightarrow {A}}$ บนเซต $A$ [ ^{3 ]}องค์ประกอบของปริภูมิแอฟฟิน^A $เรียก$ ว่าจุดปริภูมิเวกเตอร์ ${\overrightarrow {A}}$ กล่าวกันว่าเกี่ยวข้องกับปริภูมิเชิงเส้นตรง (affine space) และองค์ประกอบของปริภูมินี้เรียกว่าเวกเตอร์การเลื่อนหรือบางครั้งเรียกว่า เวก เตอร์อิสระ

กล่าวโดยชัดเจน คำจำกัดความข้างต้นหมายความว่าการกระทำนั้นเป็นการจับคู่ ซึ่งโดยทั่วไปจะแสดงด้วยการบวก

{\begin{aligned}A\times {\overrightarrow {A}}&\to A\\(a,v)\;&\mapsto a+v,\end{aligned}}

ซึ่งมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

อัตลักษณ์ที่ถูกต้อง :
$\forall a\in A,\;a+0=a$ โดยที่ $0$ คือเวกเตอร์ศูนย์ใน ${\overrightarrow {A}}$
ความสัมพันธ์เชิงสัมพันธ์ :
$\forall v,w\in {\overrightarrow {A}},\forall a\in A,\;(a+v)+w=a+(v+w)$ $(ตรงนี้ +$ ตัวสุดท้ายคือส่วนเพิ่มเติม) ${\overrightarrow {A}}$ )
การกระทำ ที่เป็นอิสระและถ่ายทอดได้ :
สำหรับทุกๆ $a\in A$ การทำแผนที่ ${\overrightarrow {A}}\to A\colon v\mapsto a+v$ เป็นการจับ คู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (bijection )

คุณสมบัติสองข้อแรกเป็นเพียงการกำหนดคุณสมบัติของการกระทำของกลุ่ม (ทางขวา) คุณสมบัติข้อที่สามแสดงลักษณะเฉพาะของการกระทำที่เป็นอิสระและถ่ายทอดได้ โดย ลักษณะ ที่เป็นแบบทั่วถึงมาจากคุณสมบัติการถ่ายทอดได้ และ ลักษณะ ที่เป็นแบบหนึ่ง ต่อหนึ่ง ก็เป็นผลมาจากการที่การกระทำนั้นเป็นอิสระ นอกจากนี้ยังมีคุณสมบัติข้อที่สี่ซึ่งเป็นผลมาจากข้อ 1 และ 2 ข้างต้น:

การมีอยู่ของ การแปลแบบหนึ่งต่อหนึ่ง

สำหรับทุกคน

v\in {\overrightarrow {A}}

การทำแผนที่

A\to A\colon a\mapsto a+v

เป็นการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (bijection)

คุณสมบัติข้อที่ 3 มักถูกใช้ในรูปแบบที่เทียบเท่ากันดังต่อไปนี้ (คุณสมบัติข้อที่ 5)

การลบ:

สำหรับทุก

ค่า a และ b

ใน

A

จะมีค่าที่ไม่ซ้ำกันเพียงค่าเดียว

v\in {\overrightarrow {A}}

ซึ่งแทนด้วย

b - a

โดยที่

b=a+v

.

อีกวิธีหนึ่งในการอธิบายความหมายคือ ปริภูมิแอฟฟินเป็นปริภูมิเอกพันธุ์หลักสำหรับการกระทำของกลุ่มบวกของปริภูมิเวกเตอร์ ปริภูมิเอกพันธุ์นั้น ตามนิยามแล้ว จะมีการกระทำของกลุ่มแบบทรานซิทีฟ และสำหรับปริภูมิเอกพันธุ์หลัก การกระทำแบบทรานซิทีฟดังกล่าว ตามนิยามแล้ว จะเป็นการกระทำแบบอิสระ

การลบและสัจพจน์ของเวล์

คุณสมบัติของการกระทำของกลุ่มทำให้สามารถกำหนดนิยามของการลบสำหรับคู่ลำดับ $(b, a)$ ใดๆ ใน $A$ ซึ่งจะสร้างเวกเตอร์ของ ${\overrightarrow {A}}$ เวกเตอร์นี้ ซึ่งแสดงด้วยสัญลักษณ์ $ba$ หรือ ${\overrightarrow {ab}}$ ถูกกำหนดให้เป็นเวกเตอร์ที่ไม่ซ้ำกันใน ${\overrightarrow {A}}$ โดยที่

a+(ba)=b.

การดำรงอยู่เกิดขึ้นจากคุณสมบัติการถ่ายทอดของการกระทำ และความเป็นเอกลักษณ์เกิดขึ้นเพราะการกระทำนั้นเป็นอิสระ

การลบนี้มีคุณสมบัติสองประการต่อไปนี้ ซึ่งเรียกว่าสัจพจน์ของWeyl : ^{[ 7 ]}

$\forall a\in A,\;\forall v\in {\overrightarrow {A}}$ มีจุดที่เป็นเอกลักษณ์อยู่จุดหนึ่ง $b\in A$ โดยที่ $ba=v.$
$\forall a,b,c\in A,\;(cb)+(ba)=ca.$

คุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นเป็นจริงในปริภูมิเชิงเส้นตรง โดยแสดงได้ดังนี้: กำหนดจุดสี่จุด $a,b,c,d,$ ความเท่าเทียมกัน $ba=dc$ และ $ca=db$ มีค่าเท่ากัน ผลลัพธ์นี้มาจากสัจพจน์ข้อที่สองของ Weyl เนื่องจาก $ดา=(db)+(บา)=(dc)+(ca)$

ปริภูมิแอฟฟินสามารถนิยามได้อย่างเทียบเท่ากับเซตของจุด $A$ ร่วมกับปริภูมิเวกเตอร์ ${\overrightarrow {A}}$ และการลบที่สอดคล้องกับสัจพจน์ของ Weyl ในกรณีนี้ การบวกเวกเตอร์กับจุดหนึ่งถูกกำหนดจากสัจพจน์ข้อแรกของ Weyl

ปริภูมิย่อยเชิงเส้นและการขนาน

ปริภูมิย่อยเชิงเส้น (หรือเรียกอีกอย่างว่า ในบางบริบทวาไรตี้เชิงเส้นระนาบหรือ บนจำนวนจริงแมนิโฟลด์เชิงเส้น ) $B$ ของปริภูมิเชิงเส้น $A$ คือเซตย่อยของ $A$ ซึ่งมีจุด ⁠ อยู่ $a\in B$ โดยที่เซตของเวกเตอร์ ${\overrightarrow {B}}=\{ba\mid b\in B\}$ เป็นปริภูมิย่อยเชิงเส้นของ⁠ ${\overrightarrow {A}}$ ถ้า $B$ ถ้าเป็นปริภูมิย่อยเชิงเส้นตรงแล้วเซตนั้น ${\overrightarrow {B}}=\{ba\mid b\in B\}$ เป็นปริภูมิย่อยเชิงเส้นสำหรับทุก⁠ $a\in B$ (นั่นคือ การเลือกจุด) $a$ (ไม่เกี่ยวข้อง) ปริภูมิย่อยเชิงเส้นตรง $B$ คือปริภูมิเชิงเส้นตรงที่มี ${\overrightarrow {B}}$ ในฐานะปริภูมิเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้อง

ปริภูมิย่อยเชิงเส้นของ $A$ คือเซตย่อยของ $A$ ที่มีรูปแบบดังนี้

a+V=\{a+w:w\in V\},

โดยที่ $a$ เป็นจุดใน $A$ และ $V$ เป็นปริภูมิย่อยเชิงเส้นของ⁠ ${\overrightarrow {A}}$ ⁠ .

ปริภูมิย่อยเชิงเส้นที่สัมพันธ์กับปริภูมิย่อยเชิงเส้นมักเรียกว่าปริภูมิย่อยเชิงเส้นนั้นทิศทางและปริภูมิย่อยสองปริภูมิที่มีทิศทางเดียวกันเรียกว่าปริภูมิขนาน

สิ่งนี้บ่งชี้ถึงการสรุปทั่วไปของสัจพจน์ของเพลย์แฟร์ ดังต่อไปนี้ : เมื่อกำหนดทิศทาง $V$ แล้ว สำหรับจุดใดๆ $a$ ใน $A$ จะมีเพียงปริภูมิย่อยเชิงเส้นหนึ่งเดียวที่มีทิศทาง $V$ ซึ่งผ่าน จุด $a$ นั่น คือปริภูมิย่อย $a + V$

ทุกการแปล $A\to A:a\mapsto a+v$ แปลงซับสเปซเชิงเส้นตรงใดๆ ให้เป็นซับสเปซขนาน

คำว่า"ขนาน"ยังใช้สำหรับปริภูมิย่อยเชิงเส้นสองปริภูมิ โดยที่ทิศทางของปริภูมิหนึ่งรวมอยู่ในทิศทางของอีกปริภูมิหนึ่งด้วย

แผนที่แอฟฟิน

กำหนดให้ปริภูมิเชิงเส้นสองปริภูมิ $A$ และ $B$ ซึ่งมีปริภูมิเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องดังนี้ ${\overrightarrow {A}}$ และ ${\overrightarrow {B}}$ แผนที่เชิงเส้นหรือโฮโมมอร์ฟิซึมเชิงเส้นจาก $A$ ไป $B$ คือแผนที่

f:A\to B

โดยที่

{\begin{aligned}{\overrightarrow {f}}:{\overrightarrow {A}}&\to {\overrightarrow {B}}\\ba&\mapsto f(b)-f(a)\end{aligned}}

เป็น แผนที่เชิงเส้นที่ มีขอบเขตชัดเจนโดย $f$ การที่ ค่าถูกกำหนดไว้อย่างชัดเจนหมายความว่า $b - a = d - c$ หมายความ ว่า $f (b) - f (a) = f (d) - f (c)$

นี่หมายความว่า สำหรับจุดหนึ่ง $a\in A$ และเวกเตอร์ $v\in {\overrightarrow {A}}$ หนึ่งมี

f(a+v)=f(a)+{\overrightarrow {f}}(v).

ดังนั้น เนื่องจากสำหรับค่า $b$ ใดๆ ใน $A$ ค่า b $=$ $a$ $+$ $v$ สำหรับค่า $v ที่ไม่ซ้ำกันเพียงค่าเดียว$ $ฟังก์ชัน$ $f$ จึงถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์โดยค่าของมันที่จุดเดียวและแผนที่เชิงเส้นที่เกี่ยวข้อง ${\overrightarrow {f}}$ ⁠ .

เอนโดมอร์ฟิซึม

การแปลงเชิงเส้นหรือเอนโดมอร์ฟิซึมของปริภูมิเชิงเส้น $A$ เป็นแผนที่เชิงเส้นจากปริภูมินั้นไปยังตัวมันเองตัวอย่าง ที่สำคัญอย่างหนึ่ง คือการเลื่อน: เมื่อกำหนดเวกเตอร์⁠ ${\overrightarrow {v}}$ แผนที่การแปล $T_{\overrightarrow {v}}:A\rightarrow A$ ที่ส่ง $a\mapsto a+{\overrightarrow {v}}$ สำหรับทุกๆ $a$ ใน $A$ เป็นแผนที่เชิงเส้นแบบแอฟฟิน อีกกลุ่มตัวอย่างที่สำคัญคือแผนที่เชิงเส้นที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด: เมื่อกำหนดจุดหนึ่ง $b$ และแผนที่เชิงเส้น $M$ เราอาจกำหนดแผนที่เชิงเส้นตรงได้ $L_{M,b}:A\rightarrow A$ โดย $L_{M,b}(a)=b+M(ab)$ สำหรับทุกๆ $a$ ใน $A$ ⁠ .

หลังจากเลือกแหล่งที่มาแล้ว $b$ แผนที่เชิงเส้น ใดๆ สามารถเขียนได้อย่างเฉพาะเจาะจงโดยเป็นการรวมกันของการเลื่อนและแผนที่เชิงเส้นที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $b$ ⁠ .

ปริภูมิเวกเตอร์ในฐานะปริภูมิเชิงเส้น

ปริภูมิเวกเตอร์ $V$ ทุก ปริภูมิสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นปริภูมิเชิงเส้น (affine space) บนตัวมันเอง ซึ่งหมายความว่าองค์ประกอบทุกตัวของ $V$ สามารถพิจารณาได้ทั้งในฐานะจุดหรือเวกเตอร์ ปริภูมิเชิงเส้นนี้บางครั้งใช้สัญลักษณ์ $(V, V)$ เพื่อเน้นบทบาทสองอย่างขององค์ประกอบใน $V$ เมื่อพิจารณาในฐานะจุดเวกเตอร์ศูนย์มักจะใช้สัญลักษณ์ $o$ (หรือ $O$ เมื่อใช้ตัวพิมพ์ใหญ่สำหรับจุด) และเรียกว่าจุดกำเนิด

ถ้า $A$ เป็นปริภูมิเชิงเส้นอีกปริภูมิหนึ่งเหนือปริภูมิเวกเตอร์เดียวกัน (นั่นคือ $V={\overrightarrow {A}}$ การเลือกจุดใดๆ $a$ ใน $A$ จะกำหนดไอโซมอร์ฟิซึมเชิงเส้นที่ไม่ซ้ำกัน ซึ่งเป็นเอกลักษณ์ของ $V$ และแมป $a$ ไปยัง $o$ กล่าวอีกนัยหนึ่ง การเลือกจุดกำเนิด $a$ ใน $A$ ทำให้เราสามารถระบุ $A$ และ $(V, V) ได้$ จนถึงไอโซมอร์ฟิซึมแบบแคนอนิกคุณสมบัติที่ตรงกันข้ามกับนี้คือ ปริภูมิเชิงเส้น $A$ อาจถูกระบุได้กับปริภูมิเวกเตอร์ $V$ ซึ่ง "ตำแหน่งของจุดกำเนิดถูกลืมไปแล้ว"

ความสัมพันธ์กับปริภูมิยุคลิด

นิยามของปริภูมิยุคลิด

ปริภูมิยุคลิด (รวมถึงเส้นตรงหนึ่งมิติ ระนาบสองมิติ และปริภูมิสามมิติที่มักศึกษาในเรขาคณิตเบื้องต้น ตลอดจนปริภูมิที่มีมิติสูงกว่า) เป็นปริภูมิเชิงเส้นตรง (affine space)

อันที่จริง ในคำจำกัดความสมัยใหม่ส่วนใหญ่ ปริภูมิยุคลิดถูกนิยามว่าเป็นปริภูมิเชิงเส้นตรง โดยที่ปริภูมิเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องเป็นปริภูมิผลคูณภายใน จริง ที่มีมิติจำกัด กล่าวคือ เป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือจำนวนจริงที่มีรูปแบบกำลังสองบวกแน่นอน $q (x)$ ผลคูณภายในของเวกเตอร์สองตัว $x$ และ $y$ คือค่าของรูปแบบทวิเชิงเส้นสมมาตร

x\cdot y={\frac {1}{2}}(q(x+y)-q(x)-q(y)).

ระยะทางแบบยุคลิดปกติระหว่างจุดสองจุด $A$ และ $B$ คือ

d(A,B)={\sqrt {q(B-A)}}.

ในนิยามเก่าของปริภูมิยุคลิดผ่านเรขาคณิตสังเคราะห์เวกเตอร์ถูกนิยามว่าเป็นชั้นสมมูลของคู่จุดเรียงลำดับภายใต้ความเท่าเทียมกัน (คู่ $(A, B)$ และ $(C, D)$ มีความเท่าเทียมกันหากจุด $A, B, D, C$ (ตามลำดับนี้) ก่อให้เกิดรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ) เป็นการง่ายที่จะตรวจสอบว่าเวกเตอร์ก่อให้เกิดปริภูมิเวกเตอร์ กำลังสองของระยะทางยุคลิดเป็นรูปแบบกำลังสองบนปริภูมิเวกเตอร์ และนิยามทั้งสองของปริภูมิยุคลิดนั้นเทียบเท่ากัน

คุณสมบัติแอฟฟิน

ในเรขาคณิตแบบยุคลิด วลีทั่วไปว่า " สมบัติเชิงแอฟฟิน " หมายถึงสมบัติที่สามารถพิสูจน์ได้ในปริภูมิเชิงแอฟฟิน กล่าวคือ สามารถพิสูจน์ได้โดยไม่ต้องใช้รูปแบบกำลังสองและผลคูณภายในที่เกี่ยวข้อง กล่าวอีกนัยหนึ่ง สมบัติเชิงแอฟฟินคือสมบัติที่ไม่เกี่ยวข้องกับความยาวและมุม ตัวอย่างทั่วไปคือความขนานและนิยามของเส้นสัมผัส ตัวอย่างที่ไม่ใช่สมบัติเชิง แอฟฟินคือนิยามของเส้นตั้งฉาก

ในทำนองเดียวกัน คุณสมบัติเชิงเส้นตรง (affine property) คือคุณสมบัติที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงเชิงเส้นตรงของปริภูมิยุคลิด

การรวมเชิงเส้นและจุดศูนย์กลางมวล

ให้ $a, ..., a$ เป็นกลุ่มของ จุด $n$ จุดในปริภูมิเชิงเส้นตรง และ $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$ เป็นองค์ประกอบของ $สนาม$ พื้นดิน

สมมติว่า $\lambda _{1}+\dots +\lambda _{n}=0$ สำหรับจุดสองจุดใดๆ $o$ และ $o'$ จะมี

\lambda _{1}{\overrightarrow {oa_{1}}}+\dots +\lambda _{n}{\overrightarrow {oa_{n}}}=\lambda _{1}{\overrightarrow {o'a_{1}}}+\dots +\lambda _{n}{\overrightarrow {o'a_{n}}}.

ดังนั้น ผลรวมนี้จึงไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกจุดกำเนิด และเวกเตอร์ที่ได้อาจใช้สัญลักษณ์ แทนได้

\lambda _{1}a_{1}+\dots +\lambda _{n}a_{n}.

เมื่อไร $n=2,\lambda _{1}=1,\lambda _{2}=-1$ จึงสามารถดึงนิยามของการลบคะแนนกลับมาได้

ทีนี้ลองสมมติว่าองค์ประกอบของฟิลด์ เป็นไปตามเงื่อนไขนั้นแทน $\lambda _{1}+\dots +\lambda _{n}=1$ สำหรับจุดกำเนิด $o$ บางจุดที่เลือกไว้ ให้ใช้สัญลักษณ์ แทนด้วย $g$ จุดเฉพาะจุดหนึ่งเช่นนั้น

\lambda _{1}{\overrightarrow {oa_{1}}}+\dots +\lambda _{n}{\overrightarrow {oa_{n}}}={\overrightarrow {og}}.

สามารถแสดงให้เห็นได้ว่า $g$ ไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกค่า $o$ ดังนั้น ถ้า

\lambda _{1}+\dots +\lambda _{n}=1,

อาจเขียนได้ว่า

g=\lambda _{1}a_{1}+\dots +\lambda _{n}a_{n}.

ประเด็น $g$ เรียกว่าจุดศูนย์กลางมวลของ $a_{i}$ สำหรับน้ำหนัก $\lambda _{i}$ มีคนกล่าวอีกว่า $g$ เป็นการรวมกันแบบแอฟฟินของ $a_{i}$ โดยมีสัมประสิทธิ์ $\lambda _{i}$ .

ตัวอย่าง

เมื่อเด็กๆ หาคำตอบของโจทย์บวก เช่น $4 + 3$ หรือ $4 - 2$ โดยการนับไปทางขวาหรือซ้ายบนเส้นจำนวนพวกเขากำลังมองเส้นจำนวนเป็นปริภูมิเชิงเส้นหนึ่งมิติ
เวลาสามารถจำลองได้เป็นปริภูมิเชิงเส้นหนึ่งมิติ จุดเฉพาะในเวลา (เช่น วันที่ในปฏิทิน) คือจุดในปริภูมิเชิงเส้น ในขณะที่ระยะเวลา (เช่น จำนวนวัน) คือการกระจัด
ปริภูมิของพลังงานเป็นปริภูมิเชิงเส้นสำหรับ⁠ $\mathbb {R}$ เนื่องจากบ่อยครั้งการพูดถึงพลังงานสัมบูรณ์นั้นไม่มีความหมาย แต่การพูดถึงความแตกต่างของพลังงานนั้นมีความหมายพลังงานสุญญากาศเมื่อมีการกำหนดนิยามแล้ว จะเลือกจุดกำเนิดตามหลักการ
พื้นที่ทางกายภาพมักถูกจำลองเป็นพื้นที่เชิงเส้นตรง (affine space) $\mathbb {R} ^{3}$ ในบริบทที่ไม่เกี่ยวข้องกับสัมพัทธภาพ และ $\mathbb {R} ^{1,3}$ ในบริบทสัมพัทธภาพ เพื่อให้แตกต่างจากปริภูมิเวกเตอร์ บางครั้งจึงเรียกว่าปริภูมิยุคลิด ${\text{E}}(3)$ และ ${\text{E}}(1,3)$ ⁠ .
โคเซตใดๆของซับสเปซ $V$ ของเวกเตอร์สเปซ จะเป็นแอฟฟินสเปซเหนือซับสเปซนั้น
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เส้นตรงในระนาบที่ไม่ผ่านจุดกำเนิดเป็นปริภูมิเชิงเส้นตรง (affine space) ซึ่งไม่ใช่ปริภูมิเวกเตอร์ (vector space) เมื่อเทียบกับการดำเนินการที่สืบทอดมาจาก $\mathbb {R} ^{2}$ แม้ว่าจะสามารถกำหนดโครงสร้างปริภูมิเวกเตอร์มาตรฐานได้โดยการเลือกจุดที่ใกล้ที่สุดกับจุดกำเนิดเป็นเวกเตอร์ศูนย์ ในทำนองเดียวกันในมิติที่สูงกว่าและสำหรับปริภูมิเวกเตอร์ที่มีบรรทัดฐานใดๆ
ถ้า $T$ เป็นเมทริกซ์และ $b$ อยู่ในปริภูมิคอลัมน์ ของเมทริกซ์นั้น เซตของคำตอบของสมการ $T x = b$ จะเป็นปริภูมิเชิงเส้นตรงเหนือปริภูมิย่อยของคำตอบของ $T x =$ 0
คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น ไม่เอกพันธุ์ ก่อให้เกิดปริภูมิเชิงเส้นประสม (affine space) เหนือคำตอบของสมการเชิงเส้นเอกพันธุ์ที่สอดคล้องกัน
โดยสรุปจากข้างต้นทั้งหมด ถ้า $T : V \to W$ เป็นแผนที่เชิงเส้น และ $y$ อยู่ในภาพ ของมัน เซตของคำตอบ $x \in V$ ของสมการ $T x = y$ จะเป็นโคเซตของเคอร์เนลของ $T$ และดังนั้นจึงเป็นปริภูมิเชิงเส้นเหนือ $Ker T$
ปริภูมิของปริภูมิย่อยเสริม (เชิงเส้น) ของปริภูมิย่อยเวกเตอร์ $V$ ในปริภูมิเวกเตอร์ $W$ คือปริภูมิแอฟฟินเหนือ $Hom(W / V, V)$ กล่าวคือ ถ้า $0 \to V \to W \to X \to 0$ เป็นลำดับที่แน่นอนสั้นๆของปริภูมิเวกเตอร์แล้ว ปริภูมิของการแยกย่อย ทั้งหมด ของลำดับที่แน่นอนนี้จะมีโครงสร้างของปริภูมิแอฟฟินเหนือHom $(X, V) โดยธรรมชาติ$
พื้นที่ของการเชื่อมต่อ (มองจากกลุ่มเวกเตอร์) $E\xrightarrow {\pi } M$ โดยที่ $M$ (เป็นแมนิโฟลด์เรียบ ) เป็นปริภูมิเชิงเส้นสำหรับปริภูมิเวกเตอร์ของ ${\text{End}}(E)$ 1-ฟอร์มที่มีค่าพื้นที่ของการเชื่อมต่อ (มองจากบันเดิลหลัก) $P\xrightarrow {\pi } M$ )เป็นปริภูมิเชิงเส้นสำหรับปริภูมิเวกเตอร์ของ ${\text{ad}}(P)$ -ฟอร์ม 1 ค่า โดยที่ ${\text{ad}}(P)$ คือบันเดิลแอดจอยต์ที่เกี่ยวข้อง

ช่วงและฐานเชิงเส้น

$สำหรับเซตย่อย X$ ใดๆ ที่ไม่ว่างเปล่าในปริภูมิเชิงเส้น $A$ จะมีปริภูมิย่อยเชิงเส้นที่เล็กที่สุดที่บรรจุเซตย่อยนั้นไว้ ซึ่งเรียกว่าปริภูมิ ย่อยเชิงเส้น ของ X (affine span of $X$ ) ปริภูมิย่อยเชิงเส้นนี้คือจุดตัดของปริภูมิย่อยเชิงเส้นทั้งหมดที่บรรจุ $X$ และทิศทางของปริภูมิย่อยเชิงเส้นนี้คือจุดตัดของทิศทางของปริภูมิย่อยเชิงเส้นที่บรรจุ $X$

ช่วงเชิงเส้นของ $X$ คือเซตของผลรวมเชิงเส้น (จำกัด) ทั้งหมดของจุดใน $X$ และทิศทางของช่วงเชิงเส้นคือช่วงเชิงเส้นของ $x - y$ สำหรับ $x$ และ $y$ ใน $X$ ถ้าเลือกจุด $x$ ใดๆ ทิศทางของช่วงเชิงเส้นของ $X$ ก็จะเป็นช่วงเชิงเส้นของ $x - x$ สำหรับ $x$ ใน $X$ เช่น กัน

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ สแปนเชิงเส้นของ $X$ ถูกสร้างขึ้นโดย $X$ และ $X$ เป็นเซตตัวสร้างของสแปนเชิงเส้นของมันเอง

เซต $X$ ของจุดในปริภูมิเชิงเส้นตรงเรียกว่าเซต Xเป็นอิสระเชิงอัฟฟินหรือเรียกง่ายๆ ว่าเป็นอิสระถ้าปริภูมิอัฟฟินของเซตย่อยของ $X$ เป็นเซตย่อยของปริภูมิอัฟฟินของ $X$ อย่างฐานเชิงเส้นหรือกรอบศูนย์กลางมวล(ดู§ พิกัดศูนย์กลางมวลด้านล่าง) ของปริภูมิเชิงเส้นคือเซตก่อกำเนิดที่เป็นอิสระด้วย (กล่าวคือเป็นเซตก่อกำเนิดขั้นต่ำ)

โปรดจำไว้ว่ามิติของปริภูมิเชิงเส้น (affine space) คือ มิติของปริภูมิเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้อง ฐานของปริภูมิเชิงเส้นที่มีมิติจำกัด $n$ คือเซตย่อยอิสระที่มี สมาชิก $n + 1$ ตัว หรือเทียบเท่ากับเซตก่อกำเนิดที่มี สมาชิก $n + 1$ ตัว กล่าวอีกนัยหนึ่ง ${x, ..., x$ } เป็นฐานเชิงเส้นของปริภูมิเชิงเส้นก็ต่อเมื่อ ${x - x, ..., x - x$ } เป็นฐานเชิงเส้นของปริภูมิเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้อง

พิกัด

มีระบบพิกัด สองประเภทที่มีความสัมพันธ์กันอย่างมาก ซึ่งสามารถกำหนดได้บนปริภูมิเชิงเส้นตรง

พิกัดแบรีเซนทริก

ให้ $A$ เป็นปริภูมิเชิงเส้นตรงที่มีมิติ $n$ เหนือฟิลด์ $k$ และ $\{x_{0},\dots ,x_{n}\}$ ให้ A เป็นฐานเชิงเส้นของ $A$ คุณสมบัติของฐานเชิงเส้นบ่งชี้ว่าสำหรับทุก $x$ ใน $A$ จะมีทูเปิล $(n + 1)$ ที่ ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียว $(\lambda _{0},\dots ,\lambda _{n})$ ขององค์ประกอบของ $k$ เช่นนั้น

\lambda _{0}+\dots +\lambda _{n}=1

และ

x=\lambda _{0}x_{0}+\dots +\lambda _{n}x_{n}.

เดอะ $\lambda _{i}$ เรียกว่าพิกัดแบรีเซนทริกของ $x$ บนฐานแอฟฟิน $\{x_{0},\dots ,x_{n}\}$ หากมองว่า $x$ $\lambda _{i}$ ดังนั้น จุด $x$ จึงเป็นจุดศูนย์กลางมวลของ $x$ และนี่คือที่มาของคำว่าพิกัดศูนย์กลางมวล

พิกัดแบรีเซนทริกกำหนดไอโซมอร์ฟิซึมเชิงเส้นระหว่างปริภูมิเชิงเส้น $A$ และปริภูมิย่อยเชิงเส้นของ $k n + 1$ ซึ่งกำหนดโดยสมการ⁠ $\lambda _{0}+\dots +\lambda _{n}=1$ ⁠ .

สำหรับปริภูมิเชิงเส้นตรงที่มีมิติอนันต์ นิยามเดียวกันนี้ยังคงใช้ได้ โดยใช้เพียงผลรวมจำกัดเท่านั้น ซึ่งหมายความว่าสำหรับแต่ละจุด จะมีเพียงพิกัดจำนวนจำกัดเท่านั้นที่ไม่เป็นศูนย์

พิกัดเชิงเส้น

กรอบแอฟฟิน (affine frame)คือกรอบพิกัดของปริภูมิแอฟฟิน ซึ่งประกอบด้วยจุดหนึ่งเรียกว่าจุดกำเนิดและฐานเชิงเส้นของปริภูมิเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้อง กล่าวโดยละเอียดกว่านั้น สำหรับปริภูมิแอฟฟิน $A$ ที่มีปริภูมิเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้อง ${\overrightarrow {A}}$ โดยที่จุดกำเนิด $o$ อยู่ใน $A$ และฐานเชิงเส้นเป็นฐาน $(v, ..., v)$ ของ ${\overrightarrow {A}}$ (เพื่อความง่ายในการเขียน เราจะพิจารณาเฉพาะกรณีที่มีมิติจำกัดเท่านั้น กรณีทั่วไปก็คล้ายกัน)

สำหรับแต่ละจุด $p$ ใน $A$ จะมีลำดับที่ไม่ซ้ำกัน $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$ ขององค์ประกอบของสนามพื้นดินในลักษณะที่ว่า

p=o+\lambda _{1}v_{1}+\dots +\lambda _{n}v_{n},

หรือเทียบเท่า

{\overrightarrow {op}}=\lambda _{1}v_{1}+\dots +\lambda _{n}v_{n}.

เดอะ $\lambda _{i}$ เรียกว่าพิกัดแอฟฟิน ) $ระบบ$ พิกัด $แอ ฟ ฟิ น ระบบ พิกัด บน$ ปริภูมิแอฟฟิน โดยที่แต่ละพิกัดเป็นแผนที่แอฟฟินไปยังเส้นจำนวน กล่าว $อีก$ นัยหนึ่งคือ เป็น แผนที่แอฟฟิน แบบหนึ่งต่อหนึ่งจากปริภูมิแอฟฟิน $A$ ไปยังปริภูมิพิกัด $Kn$ โดยที่ $K$ คือฟิลด์ของสเกลาร์เช่นจำนวนจริงR

ระบบ พิกัด $n$ พิกัดบนปริภูมิ $n มิติ ถูกกำหนดโดย$ ทูเปิล ( $n$ +1) $($ $O$ $,$ $R1$ $, \dots$ ของจุดที่ไม่เป็นส่วนหนึ่งของปริภูมิย่อยเชิงเส้นตรงที่มีมิติน้อยกว่า ทูเปิลพิกัด $n พิกัดใดๆ$ $ที่$ กำหนดจะให้จุดโดยใช้สูตร $:$

(x, \dots x) \mapsto O + x (R - O) + \dots + x (R - O)

.

โปรดทราบว่า $R - O$ เป็นเวกเตอร์ผลต่าง ที่มีจุดกำเนิดอยู่ที่ $O$ และจุดสิ้นสุดอยู่ที่ $R$

ปริภูมิเชิงเส้นไม่สามารถมีระบบพิกัดที่มี $n$ น้อยกว่ามิติ ของมันได้ แต่ $n$ อาจมากกว่าได้ ซึ่งหมายความว่าแผนที่พิกัดไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันทั่วถึง ตัวอย่างของ ระบบพิกัด $n$ ในปริภูมิ ( $n$ −1) มิติ ได้แก่แบรีเซนทริกและพิกัดเชิงเส้น "เอกพันธุ์" $(x₁,$ $x₁$ $\dots ,$ $xₙ$ $)$ ในกรณีหลัง พิกัด $x₀$ มีค่าเท่ากับในทุกปริภูมิ แต่พิกัด "สงวนไว้" นี้ช่วยให้สามารถแสดงแผนที่เชิงเส้น ด้วย เมทริกซ์ได้คล้ายกับที่ใช้สำหรับแผนที่เชิงฉาย

กรณีที่สำคัญที่สุดของพิกัดเชิงเส้นในปริภูมิยุคลิด คือ ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนค่าจริงซึ่งเป็น ระบบพิกัดเชิงเส้น แบบตั้งฉากในขณะที่ระบบอื่นๆ เรียกว่า ระบบพิกัดเชิงเส้น แบบเฉียง กล่าว อีกนัยหนึ่งพิกัดคาร์ทีเซียนเป็นพิกัดเชิงเส้นที่สัมพันธ์กับกรอบตั้งฉากปกตินั่นคือกรอบเชิงเส้น $(o, v1, vn)$ โดยที่ $(v1, ..., vn)$ เป็นฐานตั้งฉากปกติอย่างไรก็ตาม แกนพิกัดเชิงเส้นทั่วไปไม่จำเป็นต้องเป็นเส้นตรงที่ตั้งฉากกัน

ความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดแบรีเซนทริกและพิกัดแอฟฟิน

พิกัดแบรีเซนทริกและพิกัดแอฟฟินมีความสัมพันธ์กันอย่างมาก และอาจถือได้ว่าเทียบเท่ากัน

ในความเป็นจริง เมื่อพิจารณาจากกรอบอ้างอิงแบบแบรีเซนทริก

(x_{0},\dots ,x_{n}),

เราสามารถอนุมานกรอบเชิงเส้นตรงได้ทันที

(x_{0},{\overrightarrow {x_{0}x_{1}}},\dots ,{\overrightarrow {x_{0}x_{n}}})=\left(x_{0},x_{1}-x_{0},\dots ,x_{n}-x_{0}\right),

และถ้าหาก

\left(\lambda _{0},\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right)

ถ้าพิกัดแบรีเซนทริกของจุดหนึ่งในกรอบแบรีเซนทริกคือ แล้วพิกัดแอฟฟินของจุดเดียวกันนั้นในกรอบแอฟฟินคือ

\left(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right).

ในทางกลับกัน ถ้า

\left(o,v_{1},\dots ,v_{n}\right)

ถ้าเป็นเฟรมเชิงเส้นตรงแล้ว

\left(o,o+v_{1},\dots ,o+v_{n}\right)

เป็นกรอบอ้างอิงแบบแบรีเซนทริก ถ้า

\left(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right)

ถ้าพิกัดเชิงเส้นของจุดบนกรอบเชิงเส้นคือ แล้วพิกัดศูนย์กลางมวลของจุดนั้นบนกรอบศูนย์กลางมวลคือ

\left(1-\lambda _{1}-\dots -\lambda _{n},\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right).

ดังนั้น พิกัดแบบแบรีเซนทริกและพิกัดแบบแอฟฟินจึงแทบจะเทียบเท่ากัน ในการใช้งานส่วนใหญ่ มักนิยมใช้พิกัดแบบแอฟฟินมากกว่า เนื่องจากเกี่ยวข้องกับพิกัดอิสระน้อยกว่า อย่างไรก็ตาม ในสถานการณ์ที่จุดสำคัญของปัญหาที่ศึกษาเป็นอิสระแบบแอฟฟิน พิกัดแบบแบรีเซนทริกอาจนำไปสู่การคำนวณที่ง่ายกว่า ดังตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างของรูปสามเหลี่ยม

จุดยอดของ สามเหลี่ยมที่ไม่แบนราบก่อให้เกิดฐานเชิงเส้นของระนาบยุคลิดพิกัดแบบแบรีเซนทริกช่วยให้สามารถระบุลักษณะขององค์ประกอบของสามเหลี่ยมที่ไม่เกี่ยวข้องกับมุมหรือระยะทางได้อย่างง่ายดาย:

จุดยอดของสามเหลี่ยมคือจุดที่มีพิกัดแบรีเซนทริก $(1, 0, 0)$ , $(0, 1, 0)$ และ $(0, 0, 1)$ เส้นที่รองรับขอบคือจุดที่มีพิกัดเป็นศูนย์ ขอบเองคือจุดที่มีพิกัดเป็นศูนย์หนึ่งจุดและพิกัดที่ไม่เป็นลบสองจุด $ส่วน$ ภายใน ของ สามเหลี่ยมคือจุดที่ $มี$ พิกัด $เป็น$ บวกทั้งหมด เส้นมัธยฐาน $คือ$ $จุด$ $ที่$ $มี$ $พิกัด$ $เท่า กัน$ $สอง$ $จุด$ และจุดศูนย์กลางมวล $คือ$ จุดที่มีพิกัด $($ $1/3$ $,$ $1/3$ $,$ $1/3$ $)$

การเปลี่ยนพิกัด

กรณีของพิกัดแบบแบรีเซนทริก

พิกัดแบบแบรีเซนทริกสามารถเปลี่ยนจากฐานหนึ่งไปยังอีกฐานหนึ่งได้อย่างง่ายดาย ให้ $\{x_{0},\dots ,x_{n}\}$ และ $\{x'_{0},\dots ,x'_{n}\}$ เป็นฐานเชิงเส้นของ $A$ สำหรับทุก $x$ ใน $A$ จะมีทูเปิลบางอย่าง $\{\lambda _{0},\dots ,\lambda _{n}\}$ ซึ่ง

x=\lambda _{0}x_{0}+\dots +\lambda _{n}x_{n}.

ในทำนองเดียวกัน สำหรับทุกๆ $x_{i}\in \{x_{0},\dots ,x_{n}\}$ จากฐานแรก ตอนนี้เรามีในฐานที่สองแล้ว

x_{i}=\lambda _{i,0}x'_{0}+\dots +\lambda _{i,j}x'_{j}+\dots +\lambda _{i,n}x'_{n}

สำหรับทูเพิลบางตัว $\{\lambda _{i,0},\dots ,\lambda _{i,n}\}$ ตอนนี้เราสามารถเขียนนิพจน์ของเราในฐานแรกใหม่ให้เป็นนิพจน์ในฐานที่สองได้ดังนี้

\,x=\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}x_{i}=\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}\sum _{j=0}^{n}\lambda _{i,j}x'_{j}=\sum _{j=0}^{n}{\biggl (}\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}\lambda _{i,j}{\biggr )}x'_{j}\,,

ทำให้เราได้พิกัดในฐานที่สองในรูปแบบของทูเปิล ${\textstyle {\bigl \{}\sum _{i}\lambda _{i}\lambda _{i,0},\,\dots ,\,{}}$ ${\textstyle \sum _{i}\lambda _{i}\lambda _{i,n}{\bigr \}}}$ .

กรณีของพิกัดเชิงเส้นตรง

พิกัดเชิงเส้นสามารถเปลี่ยนจากฐานหนึ่งไปยังอีกฐานหนึ่งได้อย่างง่ายดายเช่นกัน ให้ $o$ , $\{v_{1},\dots ,v_{n}\}$ และ $o'$ , $\{v'_{1},\dots ,v'_{n}\}$ เป็นเฟรมเชิงเส้นของ $A$ สำหรับแต่ละจุด $p$ ของ $A$ จะมีลำดับที่ไม่ซ้ำกัน $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$ ขององค์ประกอบของสนามพื้นดินในลักษณะที่ว่า

p=o+\lambda _{1}v_{1}+\dots +\lambda _{n}v_{n},

และในทำนองเดียวกัน สำหรับทุกๆ $v_{i}\in \{v_{1},\dots ,v_{n}\}$ จากฐานแรก ตอนนี้เรามีในฐานที่สองแล้ว

o=o'+\lambda _{o,1}v'_{1}+\dots +\lambda _{o,j}v'_{j}+\dots +\lambda _{o,n}v'_{n}\,

v_{i}=\lambda _{i,1}v'_{1}+\dots +\lambda _{i,j}v'_{j}+\dots +\lambda _{i,n}v'_{n}

สำหรับทูเพิล $\{\lambda _{o,1},\dots ,\lambda _{o,n}\}$ และทูเพิล $\{\lambda _{i,1},\dots ,\lambda _{i,n}\}$ ตอนนี้เราสามารถเขียนนิพจน์ของเราในฐานแรกใหม่ให้เป็นนิพจน์ในฐานที่สองได้ดังนี้

{\begin{aligned}\,p&=o+\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}={\biggl (}o'+\sum _{j=1}^{n}\lambda _{o,j}v'_{j}{\biggr )}+\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\sum _{j=1}^{n}\lambda _{i,j}v'_{j}\\&=o'+\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}\lambda _{o,j}+\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\lambda _{i,j}{\biggr )}v'_{j}\,,\end{aligned}}

ทำให้เราได้พิกัดในฐานที่สองในรูปแบบของทูเปิล ${\textstyle {\bigl \{}\lambda _{o,1}+\sum _{i}\lambda _{i}\lambda _{i,1},\,\dots ,\,{}}$ ${\textstyle \lambda _{o,n}+\sum _{i}\lambda _{i}\lambda _{i,n}{\bigr \}}}$ .

คุณสมบัติของโฮโมมอร์ฟิซึมเชิงเส้น

การแสดงผลแบบเมทริกซ์

การแปลงเชิงเส้น $T$ ดำเนินการบนปริภูมิเชิงฉาย $\mathbb {P} ^{3}$ ของ $\mathbb {R} ^{3}$ โดยเมทริกซ์ขนาด 4x4 ที่มีคอลัมน์ที่สี่พิเศษ^{[ 8 ]} :

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&0\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&0\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}T(1,0,0)&0\\T(0,1,0)&0\\T(0,0,1)&0\\T(0,0,0)&1\end{bmatrix}}$

การแปลงนี้เป็นการแปลงแบบแอฟฟินแทนที่จะเป็นแบบเชิงเส้น เนื่องจากมีการรวมจุดเข้าไปด้วย $(0,0,0)$ ซึ่งผลลัพธ์ที่แปลงแล้วจะเผยให้เห็นการเลื่อนเชิงเส้น

ภาพและเส้นใย

อนุญาต

f\colon E\to F

เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมเชิงเส้นตรง โดยที่

{\overrightarrow {f}}\colon {\overrightarrow {E}}\to {\overrightarrow {F}}

แผนที่เชิงเส้นที่เกี่ยวข้องภาพของ $f$ คือปริภูมิย่อยเชิงเส้น $f(E)=\{f(a)\mid a\in E\}$ ของ $F$ ซึ่งมี ${\overrightarrow {f}}({\overrightarrow {E}})$ ในฐานะปริภูมิเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้อง เนื่องจากปริภูมิเชิงเส้นไม่มีองค์ประกอบศูนย์ดังนั้นโฮโมมอร์ฟิซึมเชิงเส้นจึงไม่มีเคอร์เนลอย่างไรก็ตาม แผนที่เชิงเส้น ${\overrightarrow {f}}$ เป็นเช่นนั้น และถ้าเรากำหนดโดย $K=\{v\in {\overrightarrow {E}}\mid {\overrightarrow {f}}(v)=0\}$ แก่นของมัน จากนั้นสำหรับจุดใดๆ $x$ ของ $f(E)$ ภาพผกผัน $f^{-1}(x)$ ของ $x$ เป็นปริภูมิย่อยเชิงเส้นของ $E$ ซึ่งมีทิศทางเป็น $K$ . ปริภูมิย่อยเชิงเส้นตรงนี้เรียกว่าไฟเบอร์ของ $x$

การฉายภาพ

ตัวอย่างที่สำคัญอย่างหนึ่งคือการฉายภาพขนานกับทิศทางใดทิศทางหนึ่งลงบนปริภูมิย่อยเชิงเส้นตรง ความสำคัญของตัวอย่างนี้อยู่ที่ข้อเท็จจริงที่ว่าปริภูมิยุคลิดเป็นปริภูมิเชิงเส้นตรง และการฉายภาพประเภทนี้เป็นพื้นฐานในเรขาคณิตยุคลิด

กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น คือ กำหนดให้ปริภูมิเชิงเส้นตรง $E$ มีปริภูมิเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้อง ${\overrightarrow {E}}$ ให้ $F$ เป็นปริภูมิย่อยเชิงเส้นตรงที่มีทิศทาง ${\overrightarrow {F}}$ และ $D$ เป็นปริภูมิย่อยเสริมของ ${\overrightarrow {F}}$ ใน ${\overrightarrow {E}}$ (ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ทุกตัวของ ${\overrightarrow {E}}$ อาจแยกย่อยได้ในลักษณะเฉพาะ โดยเป็นผลรวมขององค์ประกอบของ ${\overrightarrow {F}}$ และเป็นองค์ประกอบของ $D$ ) สำหรับทุกจุด $x$ ของ $E$ การฉายภาพของจุดนั้นไปยัง $F$ ขนานกับ $D$ คือจุด $p (x)$ ที่ไม่ซ้ำกัน ใน $F$ ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้

p(x)-x\in D.

นี่คือโฮโมมอร์ฟิซึมเชิงเส้นที่มีแผนที่เชิงเส้นที่เกี่ยวข้อง ${\overrightarrow {p}}$ ถูกกำหนดโดย

{\overrightarrow {p}}(x-y)=p(x)-p(y),

สำหรับ $x$ และ $y$ ใน $E$

ภาพที่ได้จากการฉายภาพนี้คือ F $และ$ เส้นใยของมันคือปริภูมิย่อยในทิศทาง $D$

พื้นที่หาร

แม้ว่าเคอร์เนลจะไม่ถูกนิยามสำหรับปริภูมิเชิงเส้นตรง แต่ปริภูมิผลหารนั้นถูกนิยามไว้แล้ว นี่เป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่า "การเป็นส่วนหนึ่งของไฟเบอร์เดียวกันของโฮโมมอร์ฟิซึมเชิงเส้นตรง" เป็นความสัมพันธ์สมมูล

ให้ $E$ เป็นปริภูมิเชิงเส้น และ $D$ เป็นปริภูมิย่อยเชิงเส้นของปริภูมิเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้อง ${\overrightarrow {E}}$ ผลหาร $E / D$ ของ $E$ โดย $D$ คือผลหารของ $E$ โดยความสัมพันธ์สมมูลโดยที่ $x$ และ $y$ สมมูลกัน ถ้า

x-y\in D.

ผลหารนี้เป็นปริภูมิเชิงเส้นตรง ซึ่งมี ${\overrightarrow {E}}/D$ ในฐานะปริภูมิเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้อง

สำหรับโฮโมมอร์ฟิซึมเชิงเส้นทุกตัว $E\to F$ ภาพดังกล่าวเป็นไอโซมอร์ฟิกกับผลหารของ $E$ โดยเคอร์เนลของแผนที่เชิงเส้นที่เกี่ยวข้อง นี่เป็นทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมแรกสำหรับปริภูมิแอฟฟิน

สัจพจน์

โดยทั่วไปแล้ว พื้นที่เชิงเส้นตรง (Affine space) จะถูกศึกษาโดยใช้เรขาคณิตวิเคราะห์โดยใช้พิกัด หรือเทียบเท่ากับพื้นที่เวกเตอร์ นอกจากนี้ยังสามารถศึกษาได้ในฐานะเรขาคณิตสังเคราะห์โดยการเขียนสัจพจน์ แต่แนวทางนี้พบได้น้อยกว่ามาก มีระบบสัจพจน์ที่แตกต่างกันหลายระบบสำหรับพื้นที่เชิงเส้นตรง

Coxeter (1969 , หน้า192)ได้วางระบบสัจพจน์สำหรับกรณีพิเศษของเรขาคณิตเชิงเส้นบนจำนวนจริงในฐานะเรขาคณิตที่มีลำดับพร้อมด้วยรูปแบบเชิงเส้นของทฤษฎีบทของ Desarguesและสัจพจน์ที่ระบุว่าในระนาบจะมีเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดอย่างมากที่สุดเพียงเส้นเดียวที่ไม่ตัดกับเส้นตรงที่กำหนดอีกเส้นหนึ่ง

ระนาบเชิงอัฟฟินเป็นไปตามสัจพจน์ต่อไปนี้( Cameron 1991 , บทที่ 2) : (ซึ่งเส้นตรงสองเส้นเรียกว่าขนานกันหากมีความยาวเท่ากันหรือไม่ทับซ้อนกัน):

จุดสองจุดที่แตกต่างกันจะอยู่บนเส้นตรงเดียวกันเพียงเส้นเดียว
เมื่อกำหนดจุดและเส้นตรงมาให้ จะมีเส้นตรงเพียงเส้นเดียวที่ผ่านจุดนั้นและขนานกับเส้นตรง
มีจุดสามจุดที่ไม่เรียงตัวกันเป็นเส้นตรงเดียวกัน

นอกจากระนาบเชิงเส้นตรงเหนือฟิลด์ (หรือวงแหวนหาร ) แล้ว ยังมีระนาบที่ไม่ใช่แบบเดซาร์เกส อีกมากมาย ที่สอดคล้องกับสัจพจน์เหล่านี้คาเมรอน (1991 บทที่ 3)ได้ให้สัจพจน์สำหรับปริภูมิเชิงเส้นตรงมิติสูงกว่า

เรขาคณิตเชิงเส้นตรงแบบสัจพจน์ล้วนๆ นั้นมีความทั่วไปมากกว่าปริภูมิเชิงเส้นตรง และได้รับการกล่าวถึงในบทความเรื่องเรขาคณิตเชิงเส้นตรง (Affine geometry )

ความสัมพันธ์กับพื้นที่เชิงฉาย

ปริภูมิแอฟฟินบรรจุอยู่ในปริภูมิโปรเจกทีฟตัวอย่างเช่น ระนาบแอฟฟินสามารถได้มาจาก การลบเส้นตรงหนึ่งเส้นและจุดทั้งหมดบนระนาบ โปรเจกทีฟใดๆ และในทางกลับกัน ระนาบแอฟฟินใดๆ ก็สามารถใช้สร้างระนาบโปรเจกทีฟเป็นส่วนปิดได้โดยการเพิ่มเส้นตรงที่อนันต์ซึ่งจุดบนเส้นตรงนั้นสอดคล้องกับชั้นสมมูลของเส้นขนานการสร้างที่คล้ายกันนี้เกิดขึ้นในมิติที่สูงกว่า

นอกจากนี้ การแปลงของปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟที่รักษาปริภูมิเชิงแอฟฟิน (หรือเทียบเท่ากับการทำให้ระนาบที่อนันต์ไม่เปลี่ยนแปลงในฐานะ เซต ) จะให้ผลลัพธ์เป็นการแปลงของปริภูมิเชิงแอฟฟิน ในทางกลับกัน การแปลงเชิงเส้นเชิงแอฟฟินใดๆ จะขยายไปสู่การแปลงเชิงเส้นเชิงโปรเจกทีฟ ได้อย่างไม่ซ้ำกัน ดังนั้นกลุ่มเชิงแอฟฟินจึงเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มเชิงโปรเจกทีฟตัวอย่างเช่นการแปลงโมเบียส (การแปลงของเส้นเชิงโปรเจกทีฟเชิงซ้อนหรือทรงกลมรีมันน์ ) จะเป็นการแปลงเชิงแอฟฟิน (การแปลงของระนาบเชิงซ้อน ) ก็ต่อเมื่อมันตรึงจุดที่อนันต์ไว้

เรขาคณิตพีชคณิตเชิงแอฟฟิน

ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตวาไรตี้เชิงแอฟฟิน (หรือโดยทั่วไปคือเซตเชิงพีชคณิตเชิงแอฟฟิน ) ถูกนิยามว่าเป็นเซตย่อยของปริภูมิเชิงแอฟฟิน ซึ่งเป็นเซตของศูนย์ร่วมของเซตของฟังก์ชันพหุนามบนปริภูมิเชิงแอฟฟินในการนิยามฟังก์ชันพหุนามบนปริภูมิเชิงแอฟฟินจำเป็นต้องเลือกกรอบเชิงแอฟฟินก่อน ดังนั้น ฟังก์ชันพหุนามจึงเป็นฟังก์ชันที่ภาพของจุดใดๆ คือค่าของฟังก์ชันพหุ นามหลายตัวแปร ของพิกัดของจุดนั้น เนื่องจากการเปลี่ยนพิกัดเชิงแอฟฟินสามารถแสดงได้ด้วยฟังก์ชันเชิงเส้น (หรือที่แม่นยำกว่าคือฟังก์ชันเชิงแอฟฟิน) ของพิกัด ดังนั้นนิยามนี้จึงไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกพิกัดใดๆ โดยเฉพาะ

การเลือกใช้ระบบพิกัดเชิงเส้นสำหรับปริภูมิเชิงเส้น $\mathbb {A} _{k}^{n}$ ของมิติ $n$ บนฟิลด์ $k$ เหนี่ยวนำให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึม เชิงเส้น ระหว่าง $\mathbb {A} _{k}^{n}$ และปริภูมิพิกัดเชิงเส้น $k n$ นี่คือเหตุผลว่าทำไมตำราเรียนหลายเล่มจึงเขียนแบบนี้เพื่อความง่าย $\mathbb {A} _{k}^{n}=k^{n}$ และแนะนำ วาไร ตี้พีชคณิตเชิง เส้น เป็นศูนย์ร่วมของฟังก์ชันพหุนามเหนือ $k n$ ^{[ 9 ]}

เนื่องจากปริภูมิแอฟฟินทั้งหมดคือเซตของศูนย์ร่วมของพหุนามศูนย์ดังนั้นปริภูมิแอฟฟินจึงเป็นวาไรตี้พีชคณิตแอฟฟิน

วงแหวนของฟังก์ชันพหุนาม

ตามนิยามข้างต้น การเลือกกรอบเชิงเส้นของปริภูมิเชิงเส้น $\mathbb {A} _{k}^{n}$ ช่วยให้สามารถระบุฟังก์ชันพหุนามบนได้ $\mathbb {A} _{k}^{n}$ โดยใช้พหุนามในตัวแปร $n$ ตัว โดยตัวแปรที่ iแทนฟังก์ชันที่แมปจุดหนึ่งไปยัง พิกัดที่ $i$ ของมัน ดังนั้นเซตของฟังก์ชันพหุนามเหนือ $\mathbb {A} _{k}^{n}$ เป็น $k$ -algebraซึ่งใช้สัญลักษณ์ แทน $k\left[\mathbb {A} _{k}^{n}\right]$ ซึ่งสมมาตรกับวงแหวนพหุนาม $k\left[X_{1},\dots ,X_{n}\right]$ .

เมื่อมีการเปลี่ยนพิกัด ความเป็นไอโซมอร์ฟิซึมระหว่าง $k\left[\mathbb {A} _{k}^{n}\right]$ และ $k[X_{1},\dots ,X_{n}]$ การเปลี่ยนแปลงจึงเกิดขึ้นตามนั้น และสิ่งนี้ก่อให้เกิดออโตมอร์ฟิซึมของ $k\left[X_{1},\dots ,X_{n}\right]$ ซึ่งแปลงค่าที่ไม่แน่นอนแต่ละค่าให้เป็นพหุนามดีกรีหนึ่ง ดังนั้นดีกรีรวม จึง กำหนดฟิลเทรชันของ $k\left[\mathbb {A} _{k}^{n}\right]$ ซึ่งเป็นอิสระจากการเลือกพิกัด ระดับรวมยังกำหนดระดับขั้นด้วยแต่ขึ้นอยู่กับการเลือกพิกัด เนื่องจากการเปลี่ยนพิกัดเชิงเส้นอาจแปลงค่าที่ไม่แน่นอนไปเป็นพหุนามที่ไม่เป็นเอกพันธุ์ได้

โทโพโลยีซาริสกี

ปริภูมิเชิงเส้นตรงบนฟิลด์เชิงทอพอโลยีเช่น จำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน มีทอพอโลยีตาม ธรรมชาติ ทอพอโลยีของซาริสกี้ ซึ่งนิยามไว้สำหรับปริภูมิเชิงเส้นตรงบนฟิลด์ใดๆ ก็ตาม ช่วยให้สามารถใช้วิธีการทางทอพอโลยีได้ในทุกกรณี ทอพอโลยีของซาริสกี้เป็นทอพอโลยีเฉพาะบนปริภูมิเชิงเส้นตรงที่มีเซตปิดเป็นเซตพีชคณิตเชิงเส้นตรง (นั่นคือเซตของศูนย์ร่วมของฟังก์ชันพหุนามบนเซตเชิงเส้นตรง) เนื่องจากฟังก์ชันพหุนามมีความต่อเนื่องบนฟิลด์เชิงทอพอโลยี ดังนั้นเซตปิดของซาริสกี้ทุกเซตจึงเป็นเซตปิดสำหรับทอพอโลยีปกติ หากมีอยู่ กล่าวอีกนัยหนึ่ง บนฟิลด์เชิงทอพอโลยี ทอพอโลยีของซาริสกี้หยาบกว่าทอพอโลยีตามธรรมชาติ

มีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งตามธรรมชาติจากปริภูมิเชิงเส้นตรงไปยังเซตของอุดมคติเฉพาะ (นั่นคือสเปกตรัม ) ของวงแหวนของฟังก์ชันพหุนาม เมื่อเลือกพิกัดเชิงเส้นตรงแล้ว ฟังก์ชันนี้จะแมปจุดพิกัด $\left(a_{1},\dots ,a_{n}\right)$ สู่ความสมบูรณ์แบบสูงสุด $\left\langle X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n}\right\rangle$ ฟังก์ชันนี้เป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึม (สำหรับโทโพโลยีซาริสกีของปริภูมิแอฟฟินและสเปกตรัมของวงแหวนของฟังก์ชันพหุนาม) จากปริภูมิแอฟฟินไปยังภาพของฟังก์ชัน

กรณีของฟิลด์พื้นฐานที่ปิดเชิงพีชคณิตนั้นมีความสำคัญเป็นพิเศษในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต เพราะในกรณีนี้ โฮมีโอเมอร์ฟิซึมข้างต้นเป็นแผนที่ระหว่างปริภูมิแอฟฟินและเซตของอุดมคติสูงสุดทั้งหมดของวงแหวนฟังก์ชัน (นี่คือNullstellensatz ของฮิลเบิร์ต )

นี่คือแนวคิดเริ่มต้นของทฤษฎีโครงร่างของโกรเทนดีคซึ่งประกอบด้วยการพิจารณา "จุด" ไม่เพียงแต่จุดในปริภูมิเชิงเส้นตรงเท่านั้น แต่ยังรวมถึงอุดมคติเฉพาะทั้งหมดของสเปกตรัมด้วย ในการศึกษาความหลากหลายทางพีชคณิต วิธีนี้ช่วยให้สามารถเชื่อมต่อความหลากหลายทางพีชคณิตเข้าด้วยกันในลักษณะเดียวกับ การเชื่อมต่อ แผนภูมิเข้าด้วยกันเพื่อสร้างแมนิโฟลด์

โคโฮโมโลยี

เช่นเดียวกับวาไรตี้เชิงเส้นทั้งหมด ข้อมูลเฉพาะที่ในปริภูมิเชิงเส้นสามารถนำมาต่อกันได้ในระดับสากลเสมอ: โคฮอโมโลยีของปริภูมิเชิงเส้นนั้นเป็นศูนย์ กล่าวคือ $H^{i}\left(\mathbb {A} _{k}^{n},\mathbf {F} \right)=0$ สำหรับ ชีฟที่สอดคล้องกัน ทั้งหมดFและจำนวนเต็ม $i>0$ คุณสมบัตินี้ยังพบได้ในวาไรตี้เชิงเส้น อื่นๆ ทั้งหมดด้วย (ดูทฤษฎีบทของแซร์เกี่ยวกับความเป็นเชิงเส้น ) นอกจากนี้ กลุ่ม โคฮอโมโลยีเอตาล ทั้งหมด บนปริภูมิเชิงเส้นก็เป็นกลุ่มที่ไม่สำคัญเช่นกัน โดยเฉพาะ อย่างยิ่ง บันเดิ ลเส้น ทุกอันเป็นกลุ่ม ที่ไม่สำคัญ โดยทั่วไปแล้วทฤษฎีบทควิลเลน-ซัสลินบ่งชี้ว่าบันเดิลเวกเตอร์พีชคณิตทุกอันบนปริภูมิเชิงเส้นเป็นกลุ่มที่ไม่สำคัญ

ดูเพิ่มเติม

เส้นขอบเชิง เส้นตรง (Affine hull) – ปริภูมิย่อยเชิงเส้นตรงที่เล็กที่สุดที่บรรจุเซตย่อยไว้
ระบบพิกัดแบรีเซนทริก– ระบบพิกัดที่กำหนดโดยจุดแทนที่จะเป็นเวกเตอร์
ปริภูมิแอฟฟินเชิงซ้อน– ปริภูมิแอฟฟินเหนือจำนวนเชิงซ้อน
การวิเคราะห์มิติ § เรขาคณิต: ตำแหน่งเทียบกับการกระจัด
ปริภูมิแอฟฟินแปลกใหม่– ปริภูมิแอฟฟินจริงที่มีมิติเป็นเลขคู่ ซึ่งไม่สมมาตรกับปริภูมิแอฟฟินเชิงซ้อน
อวกาศ (คณิตศาสตร์) – เซตทางคณิตศาสตร์ที่มีโครงสร้างเพิ่มเติมบางอย่าง
พิกัดเฉียง– ระบบพิกัดโค้ง

หมายเหตุ

↑โดยทั่วไปแล้ว นิยมใช้คำว่าการแปล มากกว่า คำว่า เวกเตอร์การกระจัดซึ่งอาจทำให้สับสนได้ เพราะการกระจัดนั้นรวมถึงการหมุนด้วย
↑เบอร์เกอร์ 1987 หน้า32
↑ Berger, Marcel (1984), "Affine spaces" , Problems in Geometry , Springer, p. 11, ISBN 9780387909714
↑เบอร์เกอร์ 1987 หน้า33
↑ Snapper, Ernst; Troyer, Robert J. (1989), เรขาคณิตเชิงเส้นเมตริก , หน้า6
↑ Tarrida, Agusti R. (2011), "Affine spaces", Affine Maps, Euclidean Motions and Quadrics , Springer, pp. 1– 2, ISBN 9780857297105
↑โนมิสึและซาซากิ 1994 , หน้า. 7
↑ Strang, Gilbert (2009). บทนำสู่พีชคณิตเชิงเส้น ( ฉบับที่ 4). เวลส์ลีย์: สำนักพิมพ์เวลส์ลีย์-เคมบริดจ์ หน้า460. ISBN 978-0-9802327-1-4.
↑ Hartshorne 1977 , บทที่ 1, § 1.

[1] โดยทั่วไปแล้ว นิยมใช้คำว่าการแปล มากกว่า คำว่า เวกเตอร์การกระจัดซึ่งอาจทำให้สับสนได้ เพราะการกระจัดนั้นรวมถึงการหมุนด้วย

[2] เบอร์เกอร์ 1987 หน้า32

[3] Berger, Marcel (1984), "Affine spaces" , Problems in Geometry , Springer, p. 11, ISBN 9780387909714

[Berger1987-4] เบอร์เกอร์ 1987 หน้า33

[5] Snapper, Ernst; Troyer, Robert J. (1989), เรขาคณิตเชิงเส้นเมตริก , หน้า6

[6] Tarrida, Agusti R. (2011), "Affine spaces", Affine Maps, Euclidean Motions and Quadrics , Springer, pp. 1– 2, ISBN 9780857297105

[7] โนมิสึและซาซากิ 1994 , หน้า. 7

[8] Strang, Gilbert (2009). บทนำสู่พีชคณิตเชิงเส้น ( ฉบับที่ 4). เวลส์ลีย์: สำนักพิมพ์เวลส์ลีย์-เคมบริดจ์ หน้า460. ISBN 978-0-9802327-1-4.

[9] Hartshorne 1977 , บทที่ 1, § 1.

1 ] ใน

[ 2 ]

3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]