ในทางโทโพโลยีทฤษฎีปมคือการศึกษาปมทางคณิตศาสตร์แม้ว่าจะได้รับแรงบันดาลใจจากปมที่พบเห็นได้ในชีวิตประจำวัน เช่น ปมในเชือกรองเท้าและเชือก แต่ปมทางคณิตศาสตร์แตกต่างออกไปตรงที่ปลายทั้งสองข้างเชื่อมต่อกันจึงไม่สามารถคลายออกได้ ปมที่ง่ายที่สุดคือวงแหวน (หรือ "ปมที่ไม่คลายออก ") ในภาษาคณิตศาสตร์ ปมคือการฝังวงกลมลง ใน ปริภูมิยูคลิด 3 มิติป ม ทางคณิตศาสตร์สองปมจะเทียบเท่ากันหากปมหนึ่งสามารถแปลงเป็นอีกปมหนึ่งได้โดยการเปลี่ยนรูปของปมนั้นเอง (เรียกว่าไอโซโทปีแวดล้อม ) การแปลงเหล่านี้สอดคล้องกับการจัดการเชือกที่ผูกเป็นปมโดยไม่เกี่ยวข้องกับการตัดหรือการลอดผ่านตัวมันเอง ${\displaystyle \mathbb {E} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

สามารถอธิบายปมได้หลายวิธี การใช้คำอธิบายที่แตกต่างกัน อาจทำให้มีคำอธิบายมากกว่าหนึ่งแบบสำหรับปมเดียวกัน ตัวอย่างเช่น วิธีทั่วไปในการอธิบายปมคือแผนภาพระนาบที่เรียกว่าแผนภาพปม ซึ่งสามารถวาดปมใดๆ ก็ได้ในหลายวิธี ดังนั้น ปัญหาพื้นฐานในทฤษฎีปมคือการพิจารณาว่าเมื่อใดที่คำอธิบายสองแบบแสดงถึงปมเดียวกัน

มีวิธีการแก้ปัญหาเชิงอัลกอริทึมที่สมบูรณ์สำหรับปัญหานี้อยู่แล้ว ซึ่งมีความซับซ้อน ที่ไม่ทราบ แน่ชัด^{[ 1 ]}ในทางปฏิบัติ มักจะแยกแยะปมโดยใช้ค่าคงที่ของปมซึ่งเป็น "ปริมาณ" ที่เหมือนกันเมื่อคำนวณจากคำอธิบายปมที่แตกต่างกัน ค่าคงที่ที่สำคัญ ได้แก่พหุนามปมกลุ่มปมและค่าคงที่ไฮเปอร์โบลิก

แรงจูงใจดั้งเดิมของผู้ก่อตั้งทฤษฎีปมคือการสร้างตารางปมและข้อต่อ ซึ่งเป็นปมที่ประกอบด้วยส่วนประกอบหลายส่วนที่พันกัน นับตั้งแต่เริ่มต้นทฤษฎีปมในศตวรรษที่ 19 มีการรวบรวมปมและข้อต่อไว้ในตารางแล้วมากกว่าหกพันล้านรายการ

เพื่อให้เข้าใจลึกซึ้งยิ่งขึ้น นักคณิตศาสตร์ได้ขยายแนวคิดเรื่องปมในหลายๆ ด้าน ปมสามารถพิจารณาได้ในปริภูมิสามมิติ อื่นๆ และสามารถใช้วัตถุอื่นๆ นอกเหนือจากวงกลมได้ ดูปม (คณิตศาสตร์)ตัวอย่างเช่น ปมมิติสูงคือทรงกลมn มิติ ที่ฝังอยู่ในปริภูมิยุคลิดมิติ ( n +2) ทฤษฎีปมยังสามารถขยายไปอธิบายการพันกันในเส้นโค้งเปิดซึ่งใช้ในการศึกษาปมในโปรตีน ดีเอ็นเอ และเชือกทางกายภาพ

นักโบราณคดีค้นพบว่าการผูกปมมีมาตั้งแต่สมัยก่อนประวัติศาสตร์ นอกจากประโยชน์ใช้สอย เช่นการบันทึกข้อมูลและการผูกสิ่งของเข้าด้วยกันแล้ว ปมยังดึงดูดความสนใจของมนุษย์ในด้านสุนทรียศาสตร์และสัญลักษณ์ทางจิตวิญญาณ ปมปรากฏในงานศิลปะจีนหลากหลายรูปแบบซึ่งมีอายุย้อนไปหลายศตวรรษก่อนคริสตกาล (ดูการผูกปมแบบจีน ) ปมที่ไม่มีที่สิ้นสุดปรากฏในพุทธศาสนาทิเบตในขณะที่วงแหวนบอร์โรเมียนปรากฏซ้ำๆ ในวัฒนธรรมต่างๆ ซึ่งมักแสดงถึงความแข็งแกร่งในความเป็นหนึ่งเดียว พระสงฆ์ ชาวเซลติกผู้สร้างหนังสือแห่งเคลล์สได้ประดับประดาหน้ากระดาษทั้งหมดด้วยลวดลายปมเซลติก ที่ ซับซ้อน

ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของปมถูกพัฒนาขึ้นครั้งแรกในปี 1771 โดยAlexandre-Théophile Vandermondeซึ่งได้กล่าวถึงความสำคัญของลักษณะทางโทโพโลยีอย่างชัดเจนเมื่อกล่าวถึงคุณสมบัติของปมที่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตของตำแหน่ง การศึกษาทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับปมเริ่มต้นขึ้นในศตวรรษที่ 19 โดยCarl Friedrich Gaussผู้ซึ่งได้นิยามอินทิกรัลเชื่อมโยง ( Silver 2006 ) ในช่วงทศวรรษ 1860 ทฤษฎี ของลอร์ดเคลวินที่ว่าอะตอมเป็นปมในอีเธอร์นำไปสู่ การสร้างตารางปมแรกโดย Peter Guthrie Taitเพื่อการจำแนกประเภทอย่างสมบูรณ์ Tait ได้ตีพิมพ์ตารางปมที่มีจุดตัดมากถึงสิบจุดในปี 1885 ซึ่งต่อมาเป็นที่รู้จักในชื่อข้อสันนิษฐานของ Taitบันทึกนี้เป็นแรงบันดาลใจให้แก่นักทฤษฎีปมยุคแรก แต่ในที่สุดทฤษฎีปมก็กลายเป็นส่วนหนึ่งของวิชาโทโพโลยีที่ กำลังเกิดขึ้นใหม่

นักทฤษฎีโทโพโลยีในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 อย่างเช่นแม็กซ์ เดห์น , เจ.ดับบลิว. อเล็กซานเดอร์และคนอื่นๆ ศึกษาปมจากมุมมองของกลุ่มปมและตัวแปรคงที่จาก ทฤษฎี โฮโมโลยี เช่น พหุนามอเล็กซานเดอร์นี่จะเป็นแนวทางหลักในทฤษฎีปมจนกระทั่งมีการค้นพบครั้งสำคัญหลายครั้งที่เปลี่ยนแปลงศาสตร์แขนงนี้ไปอย่างสิ้นเชิง

ในช่วงปลายทศวรรษ 1970 วิลเลียม เธอร์สตันได้นำเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก มา ใช้ในการศึกษาปมด้วยทฤษฎีบทไฮเปอร์โบ ไลเซ ชัน ปมจำนวนมากได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นปมไฮเปอร์โบลิกทำให้สามารถใช้เรขาคณิตในการกำหนดตัวแปรคงที่ของปม ที่มีประสิทธิภาพมากขึ้น การค้นพบพหุนามโจนส์โดยวอห์น โจนส์ในปี 1984 ( Sossinsky 2002 , หน้า 71–89) และผลงานต่อมาของเอ็ดเวิร์ด วิทเทน , แม็กซิม คอนต์เซวิช , หลุยส์ คอฟฟ์แมนและคนอื่นๆ ได้เปิดเผยความเชื่อมโยงอย่างลึกซึ้งระหว่างทฤษฎีปมและวิธีการทางคณิตศาสตร์ในกลศาสตร์เชิงสถิติและทฤษฎีสนามควอนตัมตัวแปรคงที่ของปมจำนวนมากถูกคิดค้นขึ้นนับตั้งแต่นั้นมา โดยใช้เครื่องมือที่ซับซ้อน เช่นกลุ่มควอนตัมและ โฮโมโล จี ฟลอร์

ในช่วงหลายทศวรรษสุดท้ายของศตวรรษที่ 20 นักวิทยาศาสตร์เริ่มสนใจศึกษาปมทางกายภาพเพื่อทำความเข้าใจปรากฏการณ์การเกิดปมในดีเอ็นเอและพอลิเมอร์อื่นๆ ทฤษฎีปมสามารถใช้เพื่อตรวจสอบว่าโมเลกุลนั้นเป็นไครัล (มี "ความถนัดมือ" หรือไม่) ( Simon 1986 ) ป มที่พันกันซึ่งเป็นเส้นที่ปลายทั้งสองข้างถูกตรึงไว้ ได้ถูกนำมาใช้อย่างมีประสิทธิภาพในการศึกษาการทำงานของโทโปไอโซเมอเรสบนดีเอ็นเอ ( Flapan 2000 ) ทฤษฎีปมอาจมีความสำคัญอย่างยิ่งในการสร้างคอมพิวเตอร์ควอนตัม ผ่านแบบจำลองการคำนวณควอนตัมเชิงทอพอโลยี ( Collins 2006 )

ทางด้านซ้ายคือปมที่คลายแล้ว และปมที่เทียบเท่ากับปมที่คลายแล้ว การพิจารณาว่าปมที่ซับซ้อน เช่น ปมทางด้านขวา เทียบเท่ากับปมที่คลายแล้วหรือไม่นั้น อาจทำได้ยากกว่า

ปมถูกสร้างขึ้นโดยเริ่มต้นจากส่วนของเส้นตรงหนึ่งมิติพันรอบตัวเองอย่างไม่เจาะจง แล้วเชื่อมปลายอิสระทั้งสองเข้าด้วยกันเพื่อสร้างวงปิด ( Adams 2004 ) ( Sossinsky 2002 ) กล่าวโดยง่าย เราสามารถพูดได้ว่าปมคือ "เส้นโค้งปิดแบบง่าย" (ดูเส้นโค้ง ) นั่นคือ ฟังก์ชันที่ "เกือบ" เป็น ฟังก์ชันหนึ่ง ต่อหนึ่ง และต่อเนื่องโดยมีเพียง "การไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง" เท่านั้นนักทฤษฎีโทโพโลยีถือว่าปมและการพันกันอื่นๆ เช่นลิงก์และเปียเป็นสิ่งที่เทียบเท่ากัน หากปมนั้นสามารถเลื่อนไปมาได้อย่างราบรื่นโดยไม่ตัดกับตัวเอง เพื่อให้ตรงกับปมอื่น ${\displaystyle K}$${\displaystyle K\colon [0,1]\to \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle K(0)=K(1)}$

แนวคิดเรื่องความสมมูลของปมคือการให้คำจำกัดความที่ชัดเจนว่าเมื่อใดจึงควรพิจารณาว่าปมสองปมนั้นเหมือนกัน แม้ว่าจะอยู่ในตำแหน่งที่แตกต่างกันอย่างมากในอวกาศก็ตาม คำจำกัดความทางคณิตศาสตร์อย่างเป็นทางการคือ ปมสองปมจะสมมูลกันหากมีโฮมีโอเมอร์ฟิซึมที่รักษาทิศทางไว้ได้ ${\displaystyle K_{1},K_{2}}$${\displaystyle h\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle h(K_{1})=K_{2}}$

ความหมายของนิยามความสมมูลของปมนี้คือ ปมสองปมจะสมมูลกันเมื่อมีตระกูลโฮมีโอเมอร์ฟิซึมต่อเนื่องจากปริภูมิหนึ่งไปยังอีกปริภูมิหนึ่ง โดยที่โฮมีโอเมอร์ฟิซึมสุดท้ายในตระกูลนั้นจะนำปมแรกไปสู่ปมที่สอง (โดยละเอียด: ปมสองปมและจะสมมูลกันหากมีการแมปแบบต่อเนื่องซึ่ง ก) สำหรับแต่ละการแมปที่นำไปยังเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึมของไปยังอีกปริภูมิหนึ่ง ข) สำหรับทุกและ ค) ฟังก์ชันดังกล่าวเรียกว่าไอโซโทปีแวดล้อม ) ${\displaystyle \{h_{t}:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}\ \mathrm {for} \ 0\leq t\leq 1\}}$${\displaystyle K_{1}}$${\displaystyle K_{2}}$${\displaystyle H:\mathbb {R} ^{3}\times [0,1]\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle t\in [0,1]}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle H(x,t)\in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle H(x,0)=x}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle H(K_{1},1)=K_{2}}$${\displaystyle H}$

แนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันของปมทั้งสองนี้สอดคล้องกันอย่างแม่นยำในเรื่องที่ว่าปมใดบ้างที่เท่าเทียมกัน: ปมสองปมที่เท่าเทียมกันภายใต้นิยามของการแปลงแบบโฮมีโอเมอร์ฟิซึมที่รักษาทิศทางไว้ ก็จะเท่าเทียมกันภายใต้นิยามของไอโซโทปีแวดล้อมด้วย เพราะการแปลงแบบโฮมีโอเมอร์ฟิซึมที่รักษาทิศทางไว้ของปมหนึ่งไปยังตัวมันเองนั้น เป็นขั้นตอนสุดท้ายของไอโซโทปีแวดล้อมที่เริ่มต้นจากเอกลักษณ์ ในทางกลับกัน ปมสองปมที่เท่าเทียมกันภายใต้นิยามของไอโซโทปีแวดล้อม ก็จะเท่าเทียมกันภายใต้นิยามของการแปลงแบบโฮมีโอเมอร์ฟิซึมที่รักษาทิศทางไว้ด้วย เพราะขั้นตอน (สุดท้าย) ของไอโซโทปีแวดล้อมจะต้องเป็นการแปลงแบบโฮมีโอเมอร์ฟิซึมที่รักษาทิศทางไว้ซึ่งนำปมหนึ่งไปยังอีกปมหนึ่ง ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle t=1}$

เราอาจพยายามกำหนดความเท่าเทียมกันของปมโดยอาศัย ' ไอโซโทปี ' แทนที่จะใช้คุณสมบัติที่จำกัดกว่าอย่างไอโซโทปีแวดล้อม กล่าวคือ ปมสองปมจะเป็นไอโซโทปีกันเมื่อมีฟังก์ชันต่อเนื่องที่เริ่มต้นจากค่า ที่ ให้การฝังตัว และสิ้นสุดที่ ค่า ที่ให้การฝังตัว โดยค่ากลางทั้งหมดสอดคล้องกับการฝังตัว อย่างไรก็ตาม นิยามนี้จะทำให้ปมทุกปมเท่าเทียมกับปมที่ไม่เป็นปม เนื่องจากส่วนที่เป็นปมสามารถ "หด" ลงเหลือเส้นตรงได้ ปัญหาคือ แม้ว่าจะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง แต่ก็ไม่ใช่ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งของปริภูมิยุคลิดที่ปมนั้นฝังตัวอยู่ การกำหนดให้โฮโมโทปีเกิดขึ้นผ่านโฮมีโอเมอร์ฟิซึมจะช่วยแก้ไขปัญหานี้ได้ ${\displaystyle t=0}$${\displaystyle K_{1}}$${\displaystyle t=1}$${\displaystyle K_{2}}$

ปัญหาพื้นฐานของทฤษฎีปม คือปัญหาการจำแนกคือ การพิจารณาความเท่าเทียมกันของปมสองปม มี อัลกอริทึมที่ใช้แก้ปัญหานี้ได้ โดยอัลกอริทึมแรกเสนอโดยWolfgang Hakenในช่วงปลายทศวรรษ 1960 ( Hass 1998 ) อย่างไรก็ตาม อัลกอริทึมเหล่านี้อาจใช้เวลานานมาก และปัญหาสำคัญในทฤษฎีนี้คือการทำความเข้าใจว่าปัญหานี้ยากจริง ๆ ( Hass 1998 ) กรณีพิเศษของการจำแนกปมที่ไม่มีปมเรียกว่าปัญหาการแก้ ปม เป็นสิ่งที่น่าสนใจเป็นพิเศษ ( Hoste 2005 ) ในเดือนกุมภาพันธ์ 2021 Marc Lackenbyได้ประกาศอัลกอริทึมการจำแนกปมที่ไม่มีปมแบบใหม่ที่ทำงานในเวลาแบบกึ่งพหุนาม^{[ 2 ]}

วิธีที่มีประโยชน์ในการมองเห็นและจัดการกับปมคือการฉายปมลงบนระนาบ—ลองนึกถึงเงาของปมที่ทอดลงบนผนัง การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในทิศทางการฉายจะทำให้มั่นใจได้ว่าจะเป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่งยกเว้นที่จุดคู่ที่เรียกว่าจุดตัดซึ่ง "เงา" ของปมจะตัดกับตัวเองหนึ่งครั้งในแนวขวาง ( Rolfsen 1976 ) ที่จุดตัดแต่ละจุด เพื่อที่จะสร้างปมเดิมขึ้นมาใหม่ได้ จะต้องแยกแยะเส้นด้านบนออกจากเส้นด้านล่าง ซึ่งมักทำได้โดยการสร้างรอยแตกในเส้นที่อยู่ด้านล่าง แผนภาพที่ได้จะเป็นเส้นโค้งระนาบที่ฝังตัวอยู่พร้อมข้อมูลเพิ่มเติมว่าเส้นใดอยู่ด้านบนและเส้นใดอยู่ด้านล่างที่จุดตัดแต่ละจุด (แผนภาพเหล่านี้เรียกว่าแผนภาพปมเมื่อแสดงถึงปมและแผนภาพการเชื่อมโยงเมื่อแสดงถึงการเชื่อมโยง ) ในทำนองเดียวกัน พื้นผิวที่เป็นปมในปริภูมิ 4 มิติ สามารถเชื่อมโยงกับพื้นผิวที่ฝังตัว อยู่ ในปริภูมิ 3 มิติได้

แผนภาพที่ลดขนาดลงคือแผนภาพปมที่ไม่มีจุดตัดที่ลดขนาดลงได้ (หรือ จุดตัด ที่ไร้ประโยชน์หรือจุดตัดที่เอาออกไม่ได้ ) หรือจุดตัดที่ลดขนาดลงได้ทั้งหมดถูกเอาออกไปแล้ว^{[ 3 ] [ 4 ]} การฉายภาพ กลีบดอกไม้เป็นการฉายภาพประเภทหนึ่งซึ่งแทนที่จะสร้างจุดคู่ เส้นใยทั้งหมดของปมจะมาบรรจบกันที่จุดตัดเดียว โดยเชื่อมต่อกับจุดนั้นด้วยห่วงที่สร้าง "กลีบดอกไม้" ที่ไม่ซ้อนกัน^{[ 5 ]}

ในปี ค.ศ. 1927 เจดับบลิว อเล็กซานเดอร์และการ์แลนด์ เบิร์ด บริกส์และเคิร์ท ไรเดอไมสเตอร์ได้แสดงให้เห็นโดยอิสระว่า แผนภาพปมสองแผนภาพที่อยู่ในปมเดียวกัน สามารถเชื่อมโยงกันได้ด้วยลำดับการเคลื่อนไหวสามประเภทบนแผนภาพ ดังแสดงด้านล่าง การดำเนินการเหล่านี้ ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าการเคลื่อนไหวของไรเดอไมสเตอร์มีดังนี้:

รีเดไมสเตอร์ย้าย

ประเภทที่ 1	ประเภท II
ประเภท III

การพิสูจน์ว่าแผนภาพของปมที่เทียบเท่ากันเชื่อมต่อกันด้วยการเคลื่อนไหวแบบ Reidemeister นั้นอาศัยการวิเคราะห์สิ่งที่เกิดขึ้นภายใต้การฉายภาพระนาบของการเคลื่อนไหวที่นำปมหนึ่งไปยังอีกปมหนึ่ง การเคลื่อนไหวสามารถจัดเรียงได้เพื่อให้การฉายภาพเกือบตลอดเวลาจะเป็นแผนภาพปม ยกเว้นในช่วงเวลาจำกัดเมื่อเกิด "เหตุการณ์" หรือ "หายนะ" ขึ้น เช่น เมื่อเส้นใยมากกว่าสองเส้นตัดกันที่จุดหนึ่ง หรือเส้นใยหลายเส้นสัมผัสกันที่จุดหนึ่ง การตรวจสอบอย่างละเอียดจะแสดงให้เห็นว่าเหตุการณ์ที่ซับซ้อนสามารถกำจัดออกไปได้ เหลือเพียงเหตุการณ์ที่ง่ายที่สุด: (1) การ "บิดงอ" เกิดขึ้นหรือถูกยืดออก (2) เส้นใยสองเส้นสัมผัสกันที่จุดหนึ่งและผ่านจุดนั้นไป และ (3) เส้นใยสามเส้นตัดกันที่จุดหนึ่ง สิ่งเหล่านี้คือการเคลื่อนไหวแบบ Reidemeister อย่างแม่นยำ ( Sossinsky 2002 , บทที่ 3) ( Lickorish 1997 , บทที่ 1)

ค่าคงที่ของปม (Knot invariant) คือ "ปริมาณ" ที่มีค่าเท่ากันสำหรับปมที่เทียบเท่ากัน ( Adams 2004 ) ( Lickorish 1997 ) ( Rolfsen 1976 ) ตัวอย่างเช่น หากคำนวณค่าคงที่จากแผนภาพปม ค่าที่ได้ควรเท่ากันสำหรับแผนภาพปมสองแผนภาพที่แสดงถึงปมที่เทียบเท่ากัน ค่าคงที่อาจมีค่าเท่ากันในปมสองปมที่แตกต่างกัน ดังนั้นโดยตัวมันเองอาจไม่สามารถแยกแยะปมทั้งหมดได้ ค่าคงที่พื้นฐานอย่างหนึ่งคือความสามารถในการระบายสีสามสี (Tricolorability )

ตัวแปรคงที่ของปมแบบ "คลาสสิก" ได้แก่กลุ่มปมซึ่งเป็นกลุ่มพื้นฐานของส่วนเติมเต็มปมและพหุนามอเล็กซานเดอร์ซึ่งสามารถคำนวณได้จากตัวแปรคงที่อเล็กซานเดอร์ ซึ่งเป็นโมดูลที่สร้างขึ้นจากส่วนปกคลุมวัฏจักรอนันต์ของส่วนเติมเต็มปม ( Lickorish 1997 ) ( Rolfsen 1976 ) ในช่วงปลายศตวรรษที่ 20 ได้มีการค้นพบตัวแปรคงที่ เช่น พหุนามปมแบบ "ควอนตัม" ตัวแปรคงที่วาสซิลิเยฟและตัวแปรคงที่ไฮเปอร์โบลิก ตัวแปรคงที่ที่กล่าวมาข้างต้นเป็นเพียงส่วนเล็กๆ ของทฤษฎีปมสมัยใหม่เท่านั้น

พหุนามปม (Knot polynomial) คือค่าคงที่ของปม (knot invariant ) ที่เป็นพหุนามตัวอย่างที่รู้จักกันดี ได้แก่พหุนามโจนส์ ( Jones polynomial) พหุนาม อเล็กซานเดอร์ (Alexander polynomial ) และพหุนามคอฟฟ์แมน (Kauffman polynomial ) พหุนามอเล็กซานเดอร์ -คอนเวย์ (Alexander–Conway polynomial ) ซึ่งเป็นรูปแบบหนึ่งของพหุนามอเล็กซานเดอร์เป็นพหุนามในตัวแปรzที่มี สัมประสิทธิ์ เป็นจำนวนเต็ม ( Lickorish 1997 )

พหุนามอเล็กซานเดอร์-คอนเวย์นั้นถูกนิยามขึ้นโดยใช้แนวคิดของลิงก์ซึ่งประกอบด้วยปมหนึ่งปมหรือมากกว่าที่พันกัน แนวคิดที่อธิบายไว้ข้างต้นสำหรับปม เช่น แผนภาพและการเคลื่อนที่ของไรเดไมสเตอร์ ก็สามารถนำมาใช้กับลิงก์ได้เช่นกัน

พิจารณาแผนภาพการเชื่อมโยงแบบมีทิศทาง กล่าวคือแผนภาพที่ส่วนประกอบแต่ละส่วนของการเชื่อมโยงมีทิศทางที่ต้องการซึ่งระบุด้วยลูกศร สำหรับจุดตัดที่กำหนดของแผนภาพ ให้เป็นแผนภาพการเชื่อมโยงแบบมีทิศทางที่ได้จากการเปลี่ยนแปลงแผนภาพดังที่แสดงในรูป: ${\displaystyle L_{+},L_{-},L_{0}}$

แผนภาพดั้งเดิมอาจเป็นอย่างใดอย่างหนึ่งขึ้นอยู่กับการกำหนดค่าของจุดตัดที่เลือก จากนั้นพหุนามอเล็กซานเดอร์-คอนเวย์จะถูกกำหนดแบบเวียนซ้ำตามกฎดังต่อไปนี้: ${\displaystyle L_{+}}$${\displaystyle L_{-}}$${\displaystyle C(z)}$

• ${\displaystyle C(O)=1}$( มีแผนภาพแสดงปมที่คลายแล้ว อยู่ที่ไหน )${\displaystyle O}$
• ${\displaystyle C(L_{+})=C(L_{-})+zC(L_{0})}$

กฎข้อที่สองมักถูกเรียกว่าความสัมพันธ์ของเส้นใย (skein relation ) เพื่อตรวจสอบว่ากฎเหล่านี้ให้ค่าคงที่ของการเชื่อมโยงแบบมีทิศทางหรือไม่ ควรตรวจสอบว่าพหุนามไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเคลื่อนไหวแบบ Reidemeister ทั้งสามแบบ พหุนามปมที่สำคัญหลายตัวสามารถกำหนดได้ด้วยวิธีนี้

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของการคำนวณทั่วไปโดยใช้ความสัมพันธ์ของเส้นด้าย โดยจะคำนวณพหุนามอเล็กซานเดอร์-คอนเวย์ของปมสามแฉก บริเวณสีเหลืองแสดงตำแหน่งที่ใช้ความสัมพันธ์ดังกล่าว

C ( ) =  C ( ) +  z C ( )

ให้ปมที่คลายออกและปมฮอปฟ์โดยนำความสัมพันธ์กับปมฮอปฟ์ไปใช้ตามที่ระบุไว้

C ( ) = C ( ) + z C ( )

ให้ลิงก์ที่สามารถเปลี่ยนรูปได้เป็นลิงก์ที่มีจุดตัด 0 จุด (จริงๆ แล้วคือการแยกลิงก์ของส่วนประกอบสองส่วน) และปมที่คลายออก การแยกลิงก์นั้นต้องใช้กลวิธีเล็กน้อย:

C ( ) = C ( ) + z C ( )

ซึ่งหมายความว่าC (ปมที่ไม่เชื่อมโยงกันของสององค์ประกอบ) = 0 เนื่องจากพหุนามสองตัวแรกเป็นปมที่ไม่เชื่อมโยงกันและจึงเท่ากัน

เมื่อนำทั้งหมดนี้มารวมกันจะได้ผลลัพธ์ดังนี้:

${\displaystyle C(\mathrm {พระฉายาลักษณ์} )=1+z(0+z)=1+z^{2}}$

เนื่องจากพหุนามอเล็กซานเดอร์-คอนเวย์เป็นค่าคงที่ของปม ดังนั้นจึงแสดงให้เห็นว่ารูปใบไม้สามแฉกไม่เทียบเท่ากับรูปไม่มีปม ดังนั้นรูปใบไม้สามแฉกจึง "มีปม" จริงๆ

• 
  ปมสามแฉกแบบมือซ้าย
• 
  ปมสามแฉกแบบมือขวา

อันที่จริงแล้ว ปมสามแฉกมีสองแบบ คือ ปมสามแฉกมือขวาและปมสามแฉกมือซ้าย ซึ่งเป็นภาพสะท้อนซึ่งกันและกัน (ลองดูแผนภาพของปมสามแฉกที่แสดงด้านบน แล้วเปลี่ยนจุดตัดแต่ละจุดไปในทิศทางตรงกันข้ามเพื่อให้ได้ภาพสะท้อน) ปมทั้งสองแบบนี้ไม่เท่ากัน หมายความว่ามันไม่ใช่ปมแอมฟิไครัลแม็กซ์ เดห์น ได้แสดงให้เห็นเรื่องนี้ ก่อนการคิดค้นพหุนามปม โดยใช้ วิธี การทางทฤษฎีกลุ่ม ( เดห์น 1914 ) แต่พหุนามอเล็กซานเดอร์-คอนเวย์ของปมสามแฉกแต่ละแบบจะเหมือนกัน ดังที่เห็นได้จากการคำนวณข้างต้นโดยใช้ภาพสะท้อน ใน ความเป็นจริงแล้ว พหุนาม โจนส์สามารถแยกแยะความแตกต่างระหว่างปมสามแฉกมือซ้ายและปมสามแฉกมือขวาได้ ( ลิคคอริช 1997 )

วิลเลียม เธอร์สตันพิสูจน์ว่าปมจำนวนมากเป็นปมไฮเปอร์โบลิกซึ่งหมายความว่าส่วนเติมเต็มของปม (กล่าวคือ เซตของจุดในปริภูมิ 3 มิติที่ไม่ได้อยู่บนปม) ยอมรับโครงสร้างทางเรขาคณิต โดยเฉพาะอย่างยิ่งเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกโครงสร้างไฮเปอร์โบลิกขึ้นอยู่กับปมเท่านั้น ดังนั้นปริมาณใดๆ ที่คำนวณจากโครงสร้างไฮเปอร์โบลิกจึงเป็นค่าคงที่ของปม ( Adams 2004 )

วงแหวนบอร์โรเมียนเป็นความเชื่อมโยงที่มีคุณสมบัติว่า หากนำวงแหวนหนึ่งออก จะทำให้วงแหวนอื่นๆ ขาดออกจากกัน

มุมมองของSnapPea : วงแหวน Borromeanเสริมกันจากมุมมองของผู้อยู่อาศัยที่อยู่ใกล้ส่วนประกอบสีแดง

เรขาคณิตช่วยให้เราเห็นภาพภายในของปมหรือส่วนเติมเต็มของเส้นเชื่อมได้ โดยจินตนาการถึงรังสีแสงที่เดินทางไปตามเส้นโค้งจีโอเดสิกของเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น ภาพของส่วนเติมเต็มของวงแหวนบอร์โรเมียนผู้ที่อาศัยอยู่ในส่วนเติมเต็มของเส้นเชื่อมนี้กำลังมองดูพื้นที่จากบริเวณใกล้ส่วนประกอบสีแดง ลูกบอลในภาพแสดงถึงมุมมองของ ย่าน ใกล้เคียงของเส้นเชื่อม เมื่อทำให้เส้นเชื่อมหนาขึ้นในแบบมาตรฐาน จะได้ย่านใกล้เคียงของส่วนประกอบของเส้นเชื่อม แม้ว่าขอบเขตของย่านใกล้เคียงจะเป็นทรงโดนัท แต่เมื่อมองจากภายในส่วนเติมเต็มของเส้นเชื่อม มันจะดูเหมือนทรงกลม ส่วนประกอบของเส้นเชื่อมแต่ละส่วนจะปรากฏเป็นทรงกลมจำนวนอนันต์ (สีเดียว) เนื่องจากมีรังสีแสงจำนวนอนันต์จากผู้สังเกตไปยังส่วนประกอบของเส้นเชื่อม รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานพื้นฐาน (ซึ่งแสดงในภาพ) สามารถปูได้ทั้งแนวตั้งและแนวนอน และแสดงให้เห็นถึงวิธีการขยายรูปแบบของทรงกลมอย่างไม่มีที่สิ้นสุด

รูปแบบนี้ รูปแบบฮอโรบอล เป็นค่าคงที่ที่มีประโยชน์อย่างหนึ่ง ค่าคงที่ไฮเปอร์โบลิกอื่นๆ ได้แก่ รูปทรงของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานพื้นฐาน ความยาวของเส้นทางจีโอเดสิกที่สั้นที่สุด และปริมาตร ความพยายามในการจัดตารางปมและการเชื่อมโยงสมัยใหม่ได้ใช้ค่าคงที่เหล่านี้อย่างมีประสิทธิภาพ คอมพิวเตอร์ที่รวดเร็วและวิธีการที่ชาญฉลาดในการหาค่าคงที่เหล่านี้ทำให้การคำนวณค่าคงที่เหล่านี้ในทางปฏิบัติเป็นเรื่องง่าย ( Adams, Hildebrand & Weeks 1991 )

ปมในสามมิติสามารถคลายได้เมื่อวางไว้ในพื้นที่สี่มิติ ทำได้โดยการเปลี่ยนจุดตัด สมมติว่าเส้นด้ายเส้นหนึ่งอยู่ด้านหลังอีกเส้นหนึ่งเมื่อมองจากจุดที่เลือก ยกเส้นด้ายนั้นขึ้นไปในมิติที่สี่ จึงไม่มีสิ่งกีดขวาง (เส้นด้ายด้านหน้าไม่มีส่วนประกอบในมิตินั้น) จากนั้นเลื่อนเส้นด้ายนั้นไปข้างหน้า แล้วปล่อยลงมา ตอนนี้เส้นด้ายนั้นอยู่ด้านหน้าแล้ว การเปรียบเทียบในระนาบก็เหมือนกับการยกเชือกขึ้นจากพื้นผิว หรือการลบจุดออกจากภายในวงกลม

อันที่จริง ในสี่มิติ วงปิดที่ไม่ตัดกันของเส้นเชือกหนึ่งมิติใดๆ จะเทียบเท่ากับปมที่ไม่พันกัน ขั้นแรกให้ "ผลัก" วงปิดนั้นเข้าไปในปริภูมิย่อยสามมิติ ซึ่งเป็นไปได้เสมอ แม้ว่าจะอธิบายได้ยากในเชิงเทคนิคก็ตาม

ในทฤษฎีปมแบบคลาสสิกนั้น พื้นที่สี่มิติปรากฏขึ้น และหัวข้อสำคัญคือการศึกษาปมแบบตัดและ ป ม แบบริบบิ้น

ปัญหาเปิดที่มีชื่อเสียง ซึ่งมักถูกยกให้เป็นผลงานของRalph Fox [ ^{6 ] [ 7 ] ถาม}ว่าปมแบบตัดทุกปมเป็นปมแบบริบบิ้นด้วยหรือไม่ ปมจะถือว่าเป็นปมแบบตัดเรียบได้ก็ต่อเมื่อสามารถเป็นขอบเขตของดิสก์ที่ฝังอยู่ในทรงกลมสี่มิติได้อย่างเรียบ (โดยปกติจะถือว่าคำคุณศัพท์ "เรียบ" มีความหมายอยู่แล้ว และปมแบบตัดเรียบจะถูกเรียกว่าปมแบบตัด มีปมประเภทอื่น ๆ เช่น ปมแบบตัดตามเหตุผล ซึ่งไม่จำเป็นต้องเป็นปมแบบตัดเรียบเสมอไป) ปมแบบริบบิ้นคือปมที่ล้อมรอบดิสก์ D ที่ฝังอยู่ในทรงกลม 3 มิติ ปมแบบริบบิ้นทั้งหมดเป็นที่ทราบกันว่าเป็นปมแบบตัด

เนื่องจากปมสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นทรงกลม 1 มิติในเชิงโทโพโลยี ดังนั้นการวางนัยทั่วไปถัดไปคือการพิจารณาทรงกลม 2 มิติ ( ) ที่ฝังอยู่ในปริภูมิยุคลิด 4 มิติ ( ) การฝังแบบนี้เรียกว่าปม หากไม่มีโฮมีโอเมอร์ฟิซึมจากไปยังตัวมันเองที่ทำให้ทรงกลม 2 มิติที่ฝังอยู่กลายเป็นการฝังแบบ "กลม" มาตรฐานของทรงกลม 2 มิติ ปม แขวนและปมปั่นเป็นสองตระกูลทั่วไปของปมทรงกลม 2 มิติดังกล่าว ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

เทคนิคทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า "ตำแหน่งทั่วไป" บ่งชี้ว่า สำหรับ ทรงกลม n มิติที่กำหนด ในปริภูมิยุคลิดมิติm ถ้า mมีขนาดใหญ่พอ (ขึ้นอยู่กับn ) ทรงกลมนั้นควรจะไม่มีปม โดยทั่วไปแล้ว ทรงกลมnมิติเชิงเส้นแบบแบ่งส่วน จะเกิดปมเฉพาะใน ปริภูมิมิติ ( n + 2) เท่านั้น ( Zeeman 1963 ) แม้ว่านี่จะไม่ใช่ข้อกำหนดสำหรับทรงกลมที่มีปมเรียบอีกต่อไปแล้ว ในความเป็นจริง มีทรงกลมที่มีปมเรียบใน ปริภูมิมิติ k จำนวน 6 ทรง กลม เช่น มีทรงกลม 3 มิติที่มีปมเรียบใน( Haefliger 1962 ) ( Levine 1965 ) ดังนั้น มิติร่วมของปมเรียบสามารถมีขนาดใหญ่ได้ตามอำเภอใจเมื่อไม่ได้กำหนดมิติของทรงกลมที่มีปม อย่างไรก็ตาม ทรง กลม k มิติเรียบใดๆ ที่ฝังอยู่ในจะไม่มีปม แนวคิดของปมมีการวางนัยทั่วไปเพิ่มเติมในทางคณิตศาสตร์ ดู: ปม (คณิตศาสตร์)การจำแนกไอโซโทปีของการฝัง ${\displaystyle (4k-1)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle 2n-3k-3>0}$

ทุกปมในทรงกลมn คือการเชื่อมโยงของเซตพีชคณิตจริงที่มีเอกฐานแยกเดี่ยวใน( Akbulut & King 1981 ) ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$

n -knot คือ n -link เดี่ยวที่ฝังอยู่ใน n -link ประกอบด้วยk-สำเนาของn - link ที่ฝังอยู่ใน n -link โดยที่kเป็นจำนวนธรรมชาติทั้งกรณี n- link และ n-link ได้รับการศึกษามาเป็นอย่างดีแล้ว เช่นเดียวกับกรณี n-link ^{[ 8 ] [ 9 ]}${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle m=n+2}$${\displaystyle m>n+2}$${\displaystyle n>1}$

สามารถบวกปมสองปมได้โดยการตัดปมทั้งสองและเชื่อมปลายแต่ละคู่เข้าด้วยกัน การดำเนินการนี้เรียกว่าผลรวมปมหรือบางครั้ง เรียกว่า ผลรวมที่เชื่อมต่อกันหรือการประกอบของปมสองปม สามารถกำหนดอย่างเป็นทางการได้ดังนี้ ( Adams 2004 ): พิจารณาการฉายภาพระนาบของแต่ละปม และสมมติว่าการฉายภาพเหล่านี้ไม่ทับซ้อนกัน หาสี่เหลี่ยมผืนผ้าในระนาบที่ด้านตรงข้ามคู่หนึ่งเป็นส่วนโค้งตามแนวปมแต่ละปม ในขณะที่ส่วนที่เหลือของสี่เหลี่ยมผืนผ้าไม่ทับซ้อนกับปม สร้างปมใหม่โดยการลบด้านตรงข้ามคู่แรกออก และเชื่อมด้านตรงข้ามคู่ที่สองเข้าด้วยกัน ปมที่ได้จะเป็นผลรวมของปมเดิม ขึ้นอยู่กับวิธีการทำ อาจทำให้ได้ปมที่แตกต่างกันสองปม (แต่ไม่มากกว่านั้น) ความกำกวมในผลรวมนี้สามารถขจัดได้โดยพิจารณาปมในแง่ของการวางแนว กล่าวคือ มีทิศทางการเดินทางที่ต้องการตามแนวปม และกำหนดให้ส่วนโค้งของปมในผลรวมมีการวางแนวที่สอดคล้องกับขอบเขตการวางแนวของสี่เหลี่ยมผืนผ้า

ผลรวมของปมที่มีทิศทางนั้นมีคุณสมบัติการสลับที่และการจัดกลุ่ม ปมหนึ่ง เป็น ปมเฉพาะถ้าไม่ใช่ปมธรรมดาและไม่สามารถเขียนเป็นผลรวมของปมที่ไม่ใช่ปมธรรมดา 2 ปมได้ ปมที่สามารถเขียนเป็นผลรวมดังกล่าวได้เรียกว่าปมประกอบ มีการแยกส่วนปมเป็นปมเฉพาะ ซึ่งคล้ายคลึงกับ จำนวน เฉพาะและจำนวนประกอบ ( Schubert 1949 ) สำหรับปมที่มีทิศทาง การแยกส่วนนี้ก็มีเอกลักษณ์เช่นกัน ปมในมิติที่สูงกว่าก็สามารถบวกกันได้เช่นกัน แต่มีความแตกต่างกันอยู่บ้าง ในขณะที่คุณไม่สามารถสร้างปมที่ไม่มีทิศทางในสามมิติได้โดยการบวกปมที่ไม่ใช่ปมธรรมดา 2 ปม คุณสามารถทำได้ในมิติที่สูงกว่า อย่างน้อยก็เมื่อพิจารณา ปม เรียบในมิติร่วมอย่างน้อย 3

ปมยังสามารถสร้างได้โดยใช้ แนวทาง โทโพโลยีวงจรโดยทำได้โดยการรวมหน่วยพื้นฐานที่เรียกว่าหน้าสัมผัสแบบอ่อนโดยใช้การดำเนินการห้าอย่าง (ขนาน อนุกรม ไขว้ ประสาน และย่อย) ^{[ 10 ] [ 11 ]}แนวทางนี้สามารถนำไปใช้กับโซ่เปิดได้เช่นกัน และยังสามารถขยายเพื่อรวมสิ่งที่เรียกว่าหน้าสัมผัสแบบแข็งได้อีกด้วย

ในบทความปี 2020 (โดยอิงจากผลลัพธ์ที่ได้มาในช่วงทศวรรษ 1970) VM Nezhinskij และ VV Nesterenok ได้นำเสนอการดำเนินการแบบไบนารีบนเซตของคลาสไอโซโทปีปมแบบมีทิศทาง ซึ่ง แสดงด้วย^{[ 12 ]}${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {K}}}$${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:{\mathcal {K}}\times {\mathcal {K}}\to {\mathcal {K}}}$

ในการกำหนดการดำเนินการสำหรับคลาสและตัวแทนจะถูกเลือกในครึ่งพื้นที่ด้านซ้ายและด้านขวาและตามลำดับ โดยที่จุดตัดของตัวแทนเหล่านั้นกับระนาบที่คั่นกลางจะเป็นส่วนของเส้นตรงตั้งฉากที่เฉพาะเจาะจง คู่ของพื้นผิวและที่ล้อมรอบส่วนของเส้นตรงเหล่านี้จะถูกสร้างขึ้น และการดำเนินการจะถูกกำหนดเป็นคลาสไอโซโทปีของขอบเขตที่เรียบของยูเนียน ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \mathbb {R} _{-}^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{3}}$${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle V_{2}}$${\displaystyle [\อัลฟา ,\เบต้า ]}$${\displaystyle \partial (V_{1}\cup V_{2})}$

การดำเนินการนี้เป็นแบบแอนติสมมาตร สอดคล้องกับเงื่อนไขและมีปมแบบธรรมดามาตรฐานเป็นองค์ประกอบศูนย์ทางขวา: คุณสมบัติทางโทโพโลยีที่สำคัญของการดำเนินการวงเล็บนี้คือการสร้างปมที่มีพหุนามอเล็กซานเดอร์-คอนเวย์แบบธรรมดา โดยเฉพาะอย่างยิ่งบทความนี้ยังสร้างความสัมพันธ์ระหว่างการดำเนินการวงเล็บนี้กับพหุนาม HOMFLY-PT ซึ่งแสดง เป็นผลรวมเชิงเส้นของพหุนามของผลรวมที่เชื่อมต่อกัน และ ส่วนประกอบสองเท่าและ${\displaystyle [\beta ,\alpha ]=-[\alpha ,\beta ]}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle [\alpha ,\omega ]=\omega }$${\displaystyle \nabla ([\alpha ,\beta ])=1}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}([\alpha ,\beta ])}$${\displaystyle D(\alpha )}$${\displaystyle D(\beta )}$

ตามธรรมเนียมแล้ว ปมจะถูกจัดหมวดหมู่ตามจำนวนจุดตัดตารางปมโดยทั่วไปจะรวมเฉพาะปมหลัก และมีเพียงรายการเดียวสำหรับปมและภาพสะท้อนของมัน (แม้ว่าจะเป็นปมที่แตกต่างกันก็ตาม) ( Hoste, Thistlethwaite & Weeks 1998 ) จำนวนปมที่ไม่ใช่ปมพื้นฐานที่มีจำนวนจุดตัดที่กำหนดจะเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว ทำให้การจัดทำตารางทำได้ยากในเชิงคำนวณ ( Hoste 2005 , หน้า 20) ความพยายามในการจัดทำตารางประสบความสำเร็จในการนับปมและเส้นเชื่อมมากกว่า 6 พันล้านปม ( Hoste 2005 , หน้า 28) ลำดับของจำนวนปมหลักที่มีจำนวนจุดตัดที่กำหนด จนถึงจุดตัดที่ 16 คือ 0, 0, 1, 1, 2, 3, 7, 21, 49, 165, 552, 2176, 998846 972 ,253 293 ,1 388 705 ... (ลำดับA002863ในOEIS ) แม้ว่าจะทราบขอบเขตบนและล่างแบบเลขชี้กำลังสำหรับลำดับนี้แล้ว แต่ก็ยังไม่มีการพิสูจน์ว่าลำดับนี้เป็นลำดับที่เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด ( Adams 2004 )

ตารางปมแรกๆ โดย Tait, Little และ Kirkman ใช้แผนภาพปม แม้ว่า Tait จะใช้รูปแบบที่มาก่อนสัญลักษณ์ Dowker ก็ตาม มีการคิดค้นสัญลักษณ์ต่างๆ สำหรับปมซึ่งช่วยให้การจัดทำตารางมีประสิทธิภาพมากขึ้น ( Hoste 2005 )

ตารางในยุคแรกพยายามแสดงรายการปมทั้งหมดที่มีจุดตัดไม่เกิน 10 จุด และปมสลับทั้งหมดที่มีจุดตัด 11 จุด ( Hoste, Thistlethwaite & Weeks 1998 ) การพัฒนาทฤษฎีปมโดย Alexander, Reidemeister, Seifert และคนอื่นๆ ทำให้การตรวจสอบง่ายขึ้น และตารางปมที่มีจุดตัดไม่เกิน 9 จุดได้รับการตีพิมพ์โดย Alexander–Briggs และ Reidemeister ในช่วงปลายทศวรรษ 1920

การตรวจสอบครั้งสำคัญครั้งแรกของงานนี้เกิดขึ้นในทศวรรษ 1960 โดยจอห์น ฮอร์ตัน คอนเวย์ผู้ซึ่งไม่เพียงแต่พัฒนาสัญลักษณ์ใหม่เท่านั้น แต่ยังรวมถึงพหุนามอเล็กซานเดอร์-คอนเวย์ด้วย ( คอนเวย์ 1970 ) ( ดอลล์และโฮสต์ 1991 ) สิ่งนี้ตรวจสอบรายการปมที่มีจุดตัดไม่เกิน 11 จุด และรายการใหม่ของปมที่มีจุดตัดไม่เกิน 10 จุด คอนเวย์พบข้อผิดพลาดจำนวนหนึ่ง แต่พบการซ้ำกันเพียงหนึ่งรายการในตารางของไทต์-ลิตเติล อย่างไรก็ตาม เขาพลาดการซ้ำกันที่เรียกว่าคู่ของเพอร์โก ซึ่ง เคนเนธ เพอร์โกจะสังเกตเห็นในปี 1974 ( เพอร์โก 1974 ) ข้อผิดพลาดที่มีชื่อเสียงนี้จะแพร่กระจายต่อไปเมื่อเดล รอลฟ์เซนเพิ่มตารางปมในตำราที่มีอิทธิพลของเขา ซึ่งอิงจากงานของคอนเวย์ บทความของคอนเวย์ในปี 1970 เกี่ยวกับทฤษฎีปมยังมีการพิมพ์ซ้ำในหน้าปม 11 จุดตัดที่ไม่สลับกัน และละเว้นตัวอย่าง 4 ตัวอย่าง — 2 ตัวอย่างที่เคยระบุไว้ในวิทยานิพนธ์ระดับปริญญาตรีของดี. ลอมบาร์เดโรที่มหาวิทยาลัยพรินซ์ตันในปี 1968 และอีก 2 ตัวอย่างที่ค้นพบในภายหลังโดยอลัน คอดรอน [ดู Perko (1982), Primality of certain knots, Topology Proceedings] การพิมพ์ซ้ำในตารางปม 10 จุดตัดของเขานั้นไม่ค่อยเป็นที่รู้จักนัก: 2.-2.-20.20 เป็นภาพสะท้อนของ 8*-20:-20 [ดู Perko (2016), Historical highlights of non-cyclic knot theory, J. Knot Theory Ramifications]

ในช่วงปลายทศวรรษ 1990 Hoste, Thistlethwaite และ Weeks ได้รวบรวมปมทั้งหมดที่มีการไขว้กันถึง 16 แบบ ( Hoste, Thistlethwaite & Weeks 1998 ) ในปี 2003 Rankin, Flint และ Schermann ได้รวบรวมปมสลับที่มีการไขว้กันถึง 22 แบบ ( Hoste 2005 ) และในปี 2020 Burton ได้รวบรวม ปมหลักทั้งหมดที่มีการไขว้กันมากถึง 19 แบบ ( Burton 2020 )

นี่คือสัญลักษณ์ที่ใช้กันมาอย่างดั้งเดิมที่สุด สืบเนื่องมาจากบทความของJames W. AlexanderและGarland B. Briggs ในปี 1927 และต่อมาได้รับการขยายความโดยDale Rolfsenในตารางปมของเขา (ดูภาพด้านบนและรายการปมหลัก ) สัญลักษณ์นี้จัดเรียงปมตามจำนวนจุดตัด โดยเขียนจำนวนจุดตัดพร้อมตัวห้อยเพื่อแสดงลำดับของปมนั้นในบรรดาปมทั้งหมดที่มีจำนวนจุดตัดเท่ากัน ลำดับนี้เป็นไปโดยพลการจึงไม่มีความสำคัญเป็นพิเศษ (ถึงแม้ว่าในแต่ละจำนวนจุดตัดปมบิดจะอยู่หลังปมทอรัสก็ตาม) การเชื่อมต่อจะเขียนโดยใช้จำนวนจุดตัดพร้อมตัวยกเพื่อแสดงจำนวนส่วนประกอบ และตัวห้อยเพื่อแสดงลำดับภายในกลุ่มการเชื่อมต่อที่มีจำนวนส่วนประกอบและจุดตัดเท่ากัน ดังนั้น ปมสามแฉกจึงเขียนด้วยสัญลักษณ์ 3 และการเชื่อมต่อฮอปฟ์คือ 2² ชื่อ Alexander–Briggs ในช่วง 10 ถึง 10 คลุมเครือ เนื่องจากการค้นพบคู่ Perkoใน ตารางปมดั้งเดิมและตารางปมที่ตามมาของ Charles Newton Littleและความแตกต่างในแนวทางการแก้ไขข้อผิดพลาดนี้ในตารางปมและสิ่งพิมพ์อื่น ๆ ที่สร้างขึ้นหลังจากนี้^{[ 13 ]}

สัญกรณ์ Dowker –Thistlethwaiteหรือที่เรียกว่าสัญกรณ์หรือรหัส Dowker สำหรับปม คือลำดับจำกัดของจำนวนเต็มคู่ ตัวเลขเหล่านี้สร้างขึ้นโดยการลากเส้นตามปมและทำเครื่องหมายจุดตัดด้วยจำนวนเต็มที่เรียงลำดับกัน เนื่องจากแต่ละจุดตัดถูกเยี่ยมชมสองครั้ง จึงทำให้เกิดการจับคู่ของจำนวนเต็มคู่กับจำนวนเต็มคี่ มีการกำหนดเครื่องหมายที่เหมาะสมเพื่อระบุจุดตัดผ่านและจุดตัดใต้ ตัวอย่างเช่น ในรูปนี้ แผนภาพปมมีจุดตัดที่ติดป้ายกำกับด้วยคู่ (1,6) (3,−12) (5,2) (7,8) (9,−4) และ (11,−10) สัญกรณ์ Dowker–Thistlethwaite สำหรับการติดป้ายกำกับนี้คือลำดับ: 6, −12, 2, 8, −4, −10 แผนภาพปมมีสัญลักษณ์ Dowker ที่เป็นไปได้มากกว่าหนึ่งแบบ และมีความกำกวมที่เข้าใจกันดีเมื่อสร้างปมขึ้นใหม่จากสัญลักษณ์ Dowker–Thistlethwaite

ระบบการเขียนสัญลักษณ์คอนเวย์สำหรับปมและข้อต่อ ซึ่งตั้งชื่อตามจอห์น ฮอร์ตัน คอนเวย์นั้น อิงตามทฤษฎีของปมพันกัน ( คอนเวย์ 1970 ) ข้อดีของระบบการเขียนสัญลักษณ์นี้คือ มันสะท้อนถึงคุณสมบัติบางอย่างของปมหรือข้อต่อได้

สัญลักษณ์นี้อธิบายวิธีการสร้างแผนภาพการเชื่อมโยงเฉพาะของลิงก์ เริ่มต้นด้วยรูปทรงหลายเหลี่ยมพื้นฐานซึ่งเป็นกราฟระนาบที่เชื่อมต่อกัน 4 จุดยอด โดยไม่มี บริเวณรูป สองเหลี่ยมรูปทรงหลายเหลี่ยมดังกล่าวจะถูกระบุด้วยจำนวนจุดยอดก่อน แล้วตามด้วยเครื่องหมายดอกจันจำนวนหนึ่ง ซึ่งกำหนดตำแหน่งของรูปทรงหลายเหลี่ยมในรายการรูปทรงหลายเหลี่ยมพื้นฐาน ตัวอย่างเช่น 10** หมายถึงรูปทรงหลายเหลี่ยม 10 จุดยอดลำดับที่สองในรายการของคอนเวย์

จากนั้นแต่ละจุดยอดจะมีรูปทรงพันกันเชิงพีชคณิตมาแทนที่ (แต่ละจุดยอดมีทิศทางที่แน่นอน จึงไม่มีการเลือกแทนที่โดยพลการ) รูปทรงพันกันแต่ละแบบจะมีสัญลักษณ์ประกอบด้วยตัวเลขและเครื่องหมาย + หรือ −

ตัวอย่างเช่น 1*2 −3 2 1* หมายถึงรูปทรงหลายเหลี่ยมพื้นฐานที่มีจุดยอดเดียว 2 −3 2 คือลำดับที่อธิบายเศษส่วนต่อเนื่องที่เกี่ยวข้องกับความยุ่งเหยิงเชิงตรรกะเราแทรกความยุ่งเหยิงนี้ที่จุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมพื้นฐาน 1*

ตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่าคือ 8*3.1.2 0.1.1.1.1.1 ในที่นี้ 8* หมายถึงรูปทรงหลายเหลี่ยมพื้นฐานที่มี 8 จุดยอด จุดจะคั่นสัญลักษณ์สำหรับแต่ละส่วนที่พันกัน

การเชื่อมโยงใดๆ ก็สามารถใช้คำอธิบายแบบนี้ได้ และเห็นได้ชัดว่านี่เป็นสัญลักษณ์ที่กระชับมากแม้สำหรับจำนวนจุดตัดที่มาก นอกจากนี้ยังมีตัวย่ออื่นๆ ที่ใช้กันทั่วไป ตัวอย่างสุดท้ายมักเขียนว่า 8*3:2 0 โดยละเลขหนึ่งและคงจำนวนจุดไว้ ยกเว้นจุดที่อยู่ท้ายสุด สำหรับปมพีชคณิตเช่นในตัวอย่างแรก มักจะละ 1* ออกไป

บทความบุกเบิกของคอนเวย์ในหัวข้อนี้ได้ระบุรูปทรงหลายเหลี่ยมพื้นฐานที่มีจุดยอดมากถึง 10 จุด ซึ่งเขาใช้ในการจัดทำตารางเชื่อมโยง ซึ่งได้กลายเป็นมาตรฐานสำหรับการเชื่อมโยงเหล่านั้น สำหรับรายการรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอดมากกว่านั้น ยังมีตัวเลือกที่ไม่เป็นมาตรฐานให้เลือกใช้ได้อีกด้วย

รหัสเกาส์คล้ายกับสัญกรณ์ดอว์เกอร์-ทิสเซิลเวท ใช้ลำดับของจำนวนเต็มแทนปม อย่างไรก็ตาม แทนที่จะใช้ตัวเลขสองตัวแทนจุดตัดแต่ละจุด รหัสเกาส์จะใช้ตัวเลขเพียงตัวเดียว เมื่อจุดตัดเป็นจุดตัดด้านบน จะใช้ตัวเลขบวก เมื่อเป็นจุดตัดด้านล่าง จะใช้ตัวเลขลบ ตัวอย่างเช่น ปมสามแฉกในรหัสเกาส์สามารถเขียนได้ดังนี้: 1,−2,3,−1,2,−3

รหัสเกาส์มีข้อจำกัดในการระบุปม ปัญหานี้ได้รับการแก้ไขบางส่วนด้วย รหัสเกา ส์ แบบขยาย

ในขณะที่ทฤษฎีปมแบบคลาสสิกจำแนกการฝังตัวผ่านการตัดกัน โซ่พับที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติจำนวนมากมีการตัดกันของโซ่พร้อมกับพันธะภายในโซ่ซึ่งไม่สามารถจับได้ด้วยวิธีการทางทฤษฎีปมแบบดั้งเดิม และส่วนใหญ่ศึกษาโดยโทโพโลยีวงจรในปี 2019 Alireza Mashaghi และColin Adamsได้ขยายทฤษฎีปมไปสู่การฝังตัว 3 มิติของโซ่เชิงเส้นที่มีพันธะภายในโซ่^{[ 14 ]}พวกเขาแนะนำการเคลื่อนไหว Reidemeister แบบทั่วไป รหัส Gauss ที่ปรับแล้ว และ "bondles" (bonded quandles ) เป็นค่าคงที่เพื่อจำแนกโซ่เปิดที่มีปฏิสัมพันธ์กับตัวเอง เผยให้เห็นลำดับชั้นของปมที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้นนอกเหนือจากค่าคงที่แบบคลาสสิก

นอกเหนือจากคณิตศาสตร์บริสุทธิ์แล้ว ทฤษฎีปมยังพบการประยุกต์ใช้ที่สำคัญในสาขาวิทยาศาสตร์หลากหลายสาขา ในทางเคมี ทฤษฎี นี้เป็นกรอบสำหรับการศึกษาไครัลลิตีของโมเลกุลและสำหรับการอธิบายโครงสร้างที่ไม่ธรรมดาทางทอพอโลยี เช่นคาเทเนนและปมโมเลกุลซึ่งความเป็นปมของโครงสร้างหลักของโมเลกุลส่งผลต่อคุณสมบัติทางกายภาพและทางเคมี ในชีววิทยาโมเลกุล ทฤษฎีปมถูกนำมาใช้ในการวิเคราะห์การทำงานของเอนไซม์ เช่นโทโปไอโซเมอเรสซึ่งเปลี่ยนแปลงจำนวนการเชื่อมโยงและการขดตัวของดีเอ็นเอและเพื่อจำลองกระบวนการต่างๆ เช่นการรวมตัวใหม่และการจำลองแบบของดีเอ็นเอวงกลม ในฟิสิกส์ตัวแปรคงที่ของปมเกิดขึ้นเองตามธรรมชาติในทฤษฎีสนามควอนตัมเชิงทอพอโลยี ตัวอย่างเช่นพหุนามโจนส์เกิดขึ้นจากทฤษฎีเชิร์น-ไซมอนส์และแนวคิดทางทฤษฎีปมถูกนำมาใช้ในการศึกษาพลศาสตร์ของกระแสน้ำวนสายจักรวาลและแบบจำลองกลศาสตร์เชิงสถิติ บางอย่าง เมื่อไม่นานมานี้ วิธีการจากทฤษฎีปมได้ถูกนำไปประยุกต์ใช้กับการคำนวณควอนตัมโดยที่ การแสดง กลุ่มถักเปียทำหน้าที่เป็นแบบจำลองสำหรับคิวบิต เชิงทอพอโลยี และกับวิทยาศาสตร์วัสดุในการออกแบบพอลิเมอร์และวัสดุเชิงกลแบบ ใหม่

• เชือกเลขคณิต
• โครงสร้างวงจร
• เทคนิคสายไฟโคมไฟ
• ปมเลเจนเดรียน
• ลิงก์ (ทฤษฎีปม)
• รายชื่อหัวข้อทฤษฎีเงื่อน
• ปมโมเลกุล
• เนคไท § ปม
• โทโพโลยีควอนตัม
• ทฤษฎีริบบิ้น

มีหนังสือแนะนำทฤษฎีปมอยู่หลายเล่ม หนังสือแนะนำแบบคลาสสิกสำหรับนักศึกษาปริญญาโทหรือนักศึกษาปริญญาตรีขั้นสูงคือ ( Rolfsen 1976 ) หนังสือดีเล่มอื่นๆ จากแหล่งอ้างอิง ได้แก่ ( Adams 2004 ) และ ( Lickorish 1997 ) หนังสือของ Adams มีลักษณะไม่เป็นทางการและเข้าถึงได้ง่ายสำหรับนักเรียนมัธยมปลายเป็นส่วนใหญ่ ส่วนหนังสือของ Lickorish เป็นหนังสือแนะนำที่เข้มงวดสำหรับนักศึกษาปริญญาโท ครอบคลุมหัวข้อทั้งแบบคลาสสิกและสมัยใหม่ ( Cromwell 2004 ) เหมาะสำหรับนักศึกษาปริญญาตรีที่รู้จักโทโพโลยีเซตจุดอยู่แล้ว ไม่จำเป็นต้องมีความรู้เกี่ยวกับโทโพโลยีเชิงพีชคณิต

• เบอร์เด, แกร์ฮาร์ด ; Zieschang, Heiner (2013), Knots , De Gruyter Studies in Mathematics, vol. ฉบับที่ 5 (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 3), วอลเตอร์ เดอ กรอยเตอร์, ISBN 978-3-11-008675-1
• ครอเวลล์, ริชาร์ด เอช. ; ฟ็อกซ์, ราล์ฟ (1977). บทนำสู่ทฤษฎีปม . สปริงเกอร์. ISBN 978-0-387-90272-2.
• คอฟฟ์แมน, หลุยส์ เอช. (1987), ว่าด้วยปม , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน, ISBN 978-0-691-08435-0
• คอฟฟ์แมน, หลุยส์ เอช. (2013), ปมและฟิสิกส์ (ฉบับที่ 4), เวิลด์ ไซเอนซ์, ISBN 978-981-4383-00-4
• ครอมเวลล์, ปีเตอร์ อาร์. (2004), ปมและการเชื่อมโยง , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, ISBN 978-0-521-54831-1

• เมนาสโก, วิลเลียม ดับเบิลยู.; ทิสเซิลเวท, มอร์เวน , บรรณาธิการ (2005), คู่มือทฤษฎีปม , เอลเซเวียร์, ISBN 978-0-444-51452-3
  • คู่มือของเมนาสโกและทิสเติลเวทนำเสนอหัวข้อที่หลากหลายซึ่งเกี่ยวข้องกับแนวโน้มการวิจัยในปัจจุบัน ในรูปแบบที่นักศึกษาระดับปริญญาตรีขั้นสูงสามารถเข้าถึงได้ แต่ก็เป็นที่น่าสนใจสำหรับนักวิจัยมืออาชีพด้วย
• ลิวิโอ, มาริโอ (2009), "บทที่ 8: ประสิทธิภาพที่ไม่สมเหตุสมผลหรือ?" , พระเจ้าเป็นนักคณิตศาสตร์หรือ? , ไซมอน แอนด์ ชูสเตอร์, หน้า  203–218 , ISBN 978-0-7432-9405-8

• Colin Adams; Erica Flapan; Allison Henrich; Luois H. Kauffman; Lewis D. Ludwig; Sam Nelson, บรรณาธิการ (2020). สารานุกรมทฤษฎีปม . โบคา ราตัน, ฟลอริดา: Chapman and Hall/CRC Press. ISBN 978-1138297845.

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีปม

ลองค้นหาคำว่า "ทฤษฎีปม"ในวิกิพีเดีย ซึ่งเป็นพจนานุกรมเสรี

• "คณิตศาสตร์และปม"นี่คือเวอร์ชันออนไลน์ของนิทรรศการที่พัฒนาขึ้นสำหรับงาน "PopMath RoadShow" ของราชสมาคมในปี 1989 โดยมีจุดประสงค์เพื่อใช้ปมในการนำเสนอวิธีการทางคณิตศาสตร์แก่ประชาชนทั่วไป

• ทอมสัน, เซอร์ วิลเลียม (1867), "เกี่ยวกับอะตอมกระแสน้ำวน" , รายงานการประชุมของราชสมาคมแห่งเอดินบะระ , VI : 94– 105
• ซิลลิแมน, โรเบิร์ต เอช. (ธันวาคม 1963), "วิลเลียม ทอมสัน: วงแหวนควันและอะตอมนิยมในศตวรรษที่ 19", ไอซิส , 54 (4): 461– 474, doi : 10.1086/349764 , JSTOR  228151 , S2CID  144988108
• ภาพยนตร์จำลองการทดลองวงแหวนควันของเทตในยุคปัจจุบัน
• ประวัติความเป็นมาของทฤษฎีการผูกปม (บนหน้าแรกของAndrew Ranicki )

• KnotInfo : ตารางค่าคงที่ของปมและแหล่งข้อมูลทฤษฎีปมเก็บถาวรเมื่อวันที่ 19 ตุลาคม 2022 ที่ Wayback Machine
• ตารางปม (The Knot Atlas) ถูกเก็บถาวรเมื่อวันที่ 28 มิถุนายน 2021 ที่Wayback Machine — ข้อมูลโดยละเอียดเกี่ยวกับปมแต่ละชนิดในตารางปม
• KnotPlot — ซอฟต์แวร์สำหรับตรวจสอบคุณสมบัติทางเรขาคณิตของปม
• Knotscape ถูกเก็บถาวรเมื่อวันที่ 28 กุมภาพันธ์ 2020 ในWayback Machine — ซอฟต์แวร์สำหรับสร้างภาพของปมเชือก
• Knoutilus ถูกเก็บถาวรเมื่อวันที่ 27 มิถุนายน 2020 ที่Wayback Machine — ฐานข้อมูลออนไลน์และโปรแกรมสร้างภาพปมเชือก
• KnotData.html — ฟังก์ชันของ Wolfram Mathematicaสำหรับตรวจสอบปม
• Regina ถูกเก็บถาวรเมื่อวันที่ 11 สิงหาคม 2022 ในWayback Machine — ซอฟต์แวร์สำหรับโทโพโลยีมิติlต่ำที่มีการรองรับปมและเส้นเชื่อมโดยตรงตารางปมเฉพาะที่มีจุดตัดสูงสุด 19 จุด