ตัวแปรสุ่ม แบบ ไม่ต่อเนื่อง Xกล่าวได้ว่ามีการแจกแจงแบบปัวซง (Poisson distribution) ที่มีพารามิเตอร์${\displaystyle \lambda >0}$หากมีฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นที่กำหนดโดย: ^{[ 2 ] : 60}$${\displaystyle f(k;\lambda )=\Pr(X{=}k)={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}},}$$ ที่ไหน

• kคือจำนวนครั้งที่เกิดขึ้น (${\displaystyle k=0,1,2,\ldots }$)
• eคือจำนวนของออยเลอร์ (${\displaystyle e=2.71828\ldots }$)
• k ! = k ( k– 1) ··· (3)(2)(1)คือแฟกทอเรียล

จำนวนจริง บวกλเท่ากับค่าที่คาดหวังของXและเท่ากับความแปรปรวน ของมัน ด้วย^{[ 13 ]}$${\displaystyle \lambda =\operatorname {E} (X)=\operatorname {Var} (X).}$$

การแจกแจงปัวซงสามารถนำไปใช้กับระบบที่มีเหตุการณ์ที่เป็นไปได้จำนวนมาก ซึ่งแต่ละเหตุการณ์เกิดขึ้นได้ยากจำนวนเหตุการณ์ดังกล่าวที่เกิดขึ้นในช่วงเวลาที่กำหนดนั้น ภายใต้เงื่อนไขที่เหมาะสม จะเป็นจำนวนสุ่มที่มีการแจกแจงแบบปัวซง

สมการสามารถปรับเปลี่ยนได้ หากแทนที่จะใช้จำนวนเหตุการณ์เฉลี่ย${\displaystyle \lambda ,}$เราได้รับอัตราเฉลี่ย${\displaystyle r}$ซึ่งเหตุการณ์ต่างๆ เกิดขึ้น จากนั้น${\displaystyle \lambda =rt,}$และ: ^{[ 14 ]}$${\displaystyle P(k{\text{ events in interval }}t)={\frac {(rt)^{k}e^{-rt}}{k!}}.}$$

การแจกแจงแบบปัวซงอาจมีประโยชน์ในการจำลองเหตุการณ์ต่างๆ เช่น:

• จำนวนอุกกาบาตที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางมากกว่าหนึ่งเมตรที่พุ่งชนโลกในหนึ่งปี
• จำนวนโฟตอนเลเซอร์ที่ตกกระทบตัวตรวจจับในช่วงเวลาที่กำหนด
• จำนวนนักเรียนที่ได้คะแนนต่ำและคะแนนสูงในการสอบ และ
• ตำแหน่งของข้อบกพร่องและการเคลื่อนตัวในวัสดุ

ตัวอย่างของการเกิดจุดสุ่มในอวกาศ ได้แก่ ตำแหน่งที่ดาวเคราะห์น้อยพุ่งชนโลก (2 มิติ) ตำแหน่งของความไม่สมบูรณ์ในวัสดุ (3 มิติ) และตำแหน่งของต้นไม้ในป่า (2 มิติ) ^{[ 15 ]}

การแจกแจงปัวซงเป็นแบบจำลองที่เหมาะสมหากข้อสมมติฐานต่อไปนี้เป็นจริง:

• kเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ซึ่งระบุจำนวนครั้งที่เหตุการณ์เกิดขึ้นในช่วงเวลาหนึ่ง
• การเกิดเหตุการณ์หนึ่งไม่ได้ส่งผลต่อโอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ที่สอง
• อัตราเฉลี่ยของการเกิดเหตุการณ์นั้นไม่ขึ้นอยู่กับการเกิดเหตุการณ์ใดๆ
• เหตุการณ์สองเหตุการณ์ไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันในเวลาเดียวกันได้อย่างแม่นยำ

ถ้าเงื่อนไขเหล่านี้เป็นจริง แสดงว่าkเป็นตัวแปรสุ่มปัวซง และการแจกแจงของkก็เป็นการแจกแจงปัวซงเช่นกัน

การแจกแจงปัวซงยังเป็นลิมิตของการแจกแจงทวินามด้วย ซึ่งความน่าจะเป็นของความสำเร็จในแต่ละครั้งของการทดลองคือ${\displaystyle p={\frac {\lambda }{n}}}$, ที่ไหน${\displaystyle \lambda }$คือความคาดหวังและ${\displaystyle n}$คือจำนวนครั้งของการทดลอง ในขีดจำกัดที่${\displaystyle n\to \infty }$กับ${\displaystyle \lambda }$คงที่ ^{[ 16 ] [ 17 ]} (ดูการแจกแจงที่เกี่ยวข้อง ):

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\dbinom {n}{k}}\left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{k}\,\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n-k}={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,e^{-\lambda }}$$

การแจกแจงปัวซงอาจได้มาจากสมการเชิงอนุพันธ์ด้วยเช่นกัน^{[ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]}

$${\displaystyle {\frac {d\,P_{k}(t)}{dt}}=\lambda \,{\Big (}P_{k-1}(t)-P_{k}(t){\Big )}}$$

โดยมีเงื่อนไขเริ่มต้น${\displaystyle P_{k}(0)=\delta _{k0}}$และได้รับการประเมินที่${\displaystyle t=1}$

จำนวนนักเรียนที่มาถึงอาคารสโมสรนักศึกษาต่อนาทีนั้น อาจจะไม่เป็นไปตามการแจกแจงแบบปัวซง เนื่องจากอัตราการมาถึงไม่คงที่ (อัตราต่ำในช่วงเวลาเรียน อัตราสูงระหว่างช่วงเวลาเรียน) และการมาถึงของนักเรียนแต่ละคนก็ไม่เป็นอิสระต่อกัน (นักเรียนมักจะมาเป็นกลุ่ม) อัตราการมาถึงที่ไม่คงที่นี้อาจจำลองได้ด้วยการแจกแจงแบบปัวซงผสมและการมาถึงของกลุ่มนักเรียนแทนที่จะเป็นนักเรียนแต่ละคนอาจ จำลองได้ด้วย การแจกแจงแบบปัวซงเชิงประกอบ

จำนวน แผ่นดินไหวขนาด 5 ริกเตอร์ต่อปีในประเทศหนึ่ง อาจไม่เป็นไปตามการกระจายแบบปัวซง หากแผ่นดินไหวขนาดใหญ่ครั้งหนึ่งเพิ่มความน่าจะเป็นของการเกิดแผ่นดินไหวตามมาที่มีขนาดใกล้เคียงกัน

ตัวอย่างที่รับประกันว่าจะมีเหตุการณ์อย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์เกิดขึ้นนั้น ไม่ได้มีการแจกแจงแบบปัวซง แต่สามารถจำลองได้โดยใช้การแจกแจงแบบปัวซงที่ตัดศูนย์ออก

การแจกแจงจำนวนนับที่จำนวนช่วงเวลาที่มีเหตุการณ์เป็นศูนย์สูงกว่าที่คาดการณ์โดยแบบจำลองปัวซง อาจสร้างแบบจำลองได้โดยใช้แบบจำลองที่มีค่าศูนย์มากเกินไป (zero-inflated model )

• ค่าที่คาดหวังของตัวแปรสุ่มปัวซงคือλ
• ค่าความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มปัวซงก็คือλ เช่น กัน
• ค่าสัมประสิทธิ์ความแปรผันคือ${\textstyle \lambda ^{-1/2},}$ในขณะที่ดัชนีการกระจายตัวคือ 1 ^{[ 8 ] : 163}
• ค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์เฉลี่ยรอบค่าเฉลี่ยคือ^{[ 8 ] : 163}$${\displaystyle \operatorname {E} [\ |X-\lambda |\ ]={\frac {2\lambda ^{\lfloor \lambda \rfloor +1}e^{-\lambda }}{\lfloor \lambda \rfloor$$ !}}.}
• ค่าฐานนิยม ของตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบปัวซง โดยที่ λไม่ใช่จำนวนเต็มมีค่าเท่ากับ${\displaystyle \lfloor \lambda \rfloor ,}$ซึ่งเป็นจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับλเขียนได้อีกแบบว่าfloor ( λ )เมื่อλเป็นจำนวนเต็มบวก ค่าฐานนิยมคือλและλ − 1 
• ค่าสะสมทั้งหมดของการกระจายปัวซงมีค่าเท่ากับค่าคาดหวังλ โมเมนต์แฟกทอเรียลลำดับที่n ของการกระจายปัวซงคือλ ⁿ 
• ค่าที่คาดหวังของกระบวนการปัวซงบางครั้งจะถูกแยกออกเป็นผลคูณของความเข้มและการสัมผัส (หรือโดยทั่วไปแล้วจะแสดงเป็นปริพันธ์ของ "ฟังก์ชันความเข้ม" ในช่วงเวลาหรือพื้นที่ ซึ่งบางครั้งเรียกว่า "การสัมผัส") ^{[ 22 ]}

ขอบเขตสำหรับค่ามัธยฐาน (${\displaystyle \nu }$) ของการกระจายตัวเป็นที่ทราบและมีความคมชัด : ^{[ 23 ]}$${\displaystyle \lambda -\ln 2\leq \nu <\lambda +{\frac {1}{3}}.}$$

โมเมนต์ ที่ไม่เป็นศูนย์กลางที่สูงกว่าm ของการแจกแจงปัวซงคือพหุนาม Touchardในλ : $${\displaystyle m_{k}=\sum _{i=0}^{k}\lambda ^{i}{\begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix}},}$$โดยที่วงเล็บปีกกา { } หมายถึงจำนวนสเตอร์ลิงชนิดที่สอง [ ^{24 ] [ 1 ] : 6กล่าว}อีกนัยหนึ่ง $${\displaystyle E[X]=\lambda ,\quad E[X(X-1)]=\lambda ^{2},\quad E[X(X-1)(X-2)]=\lambda ^{3},\cdots }$$ เมื่อกำหนดค่าที่คาดหวังเป็นλ = 1 สูตรของโดบินสกิจะบ่งชี้ว่า โมเมนต์ลำดับที่ nเท่ากับจำนวน พาร์ ติชันของเซตที่มีขนาดn

ขอบเขตบนแบบง่ายคือ: ^{[ 25 ]}$${\displaystyle m_{k}=E[X^{k}]\leq \left({\frac {k}{\log(k/\lambda +1)}}\right)^{k}\leq \lambda ^{k}\exp \left({\frac {k^{2}}{2\lambda }}\right).}$$

ถ้า${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{i})}$สำหรับ${\displaystyle i=1,\dotsc ,n}$ถ้า เป็นอิสระต่อกันก็แสดงว่า...${\textstyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \operatorname {Pois} \left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\right).}$^{[ 26 ] : 65}บทกลับคือทฤษฎีบทของ Raikovซึ่งกล่าวว่า ถ้าผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวมีการแจกแจงแบบปัวซง ตัวแปรสุ่มอิสระทั้งสองตัวนั้นก็จะมีการแจกแจงแบบปัวซงเช่นกัน ^{[ 27 ] [ 28 ]}

It is a maximum-entropy distribution among the set of generalized binomial distributions ${\displaystyle B_{n}(\lambda )}$ with mean ${\displaystyle \lambda }$ and ${\displaystyle n\to \infty }$,^[29] where a generalized binomial distribution is defined as a distribution of the sum of N independent but not identically distributed Bernoulli variables.

• The Poisson distributions are infinitely divisible probability distributions.^{[30]:233[8]:164}
• The directed Kullback–Leibler divergence of ${\displaystyle P=\operatorname {Pois} (\lambda )}$ from ${\displaystyle P_{0}=\operatorname {Pois} (\lambda _{0})}$ is given by$${\displaystyle \operatorname {D} _{\text{KL}}(P\parallel P_{0})=\lambda _{0}-\lambda +\lambda \log {\frac {\lambda }{\lambda _{0}}}.}$$
• If ${\displaystyle \lambda \geq 1}$ is an integer, then ${\displaystyle Y\sim \operatorname {Pois} (\lambda )}$ satisfies ${\displaystyle \Pr(Y\geq E[Y])\geq {\frac {1}{2}}}$ and ${\displaystyle \Pr(Y\leq E[Y])\geq {\frac {1}{2}}.}$^[31]
• Bounds for the tail probabilities of a Poisson random variable ${\displaystyle X\sim \operatorname {Pois} (\lambda )}$ can be derived using a Chernoff bound argument.^[32]:97-98$${\displaystyle {\begin{aligned}P(X\geq x)&\leq {\frac {\left(e\lambda \right)^{x}e^{-\lambda }}{x^{x}}},&{\text{ for }}x>\lambda ,\\[1ex]P(X\leq x)&\leq {\frac {\left(e\lambda \right)^{x}e^{-\lambda }}{x^{x}}},&{\text{ for }}x<\lambda .\end{aligned}}}$$
• The upper tail probability can be tightened (by a factor of at least two) as follows:^[33]$${\displaystyle P(X\geq x)\leq {\frac {e^{-\operatorname {D} _{\text{KL}}(Q\parallel P)}}{\max {(2,{\sqrt {4\pi \operatorname {D} _{\text{KL}}(Q\parallel P)}}})}},{\text{ for }}x>\lambda ,}$$ where ${\displaystyle \operatorname {D} _{\text{KL}}(Q\parallel P)}$ is the Kullback–Leibler divergence of ${\displaystyle Q=\operatorname {Pois} (x)}$ from ${\displaystyle P=\operatorname {Pois} (\lambda )}$.
• Inequalities that relate the cumulative distribution function of a Poisson random variable ${\displaystyle X\sim \operatorname {Pois} (\lambda )}$ to the cumulative distribution function ${\displaystyle \Phi }$ of the standard normal distribution are as follows:^[34]

$${\displaystyle \Phi {\left(\operatorname {sign} (k-\lambda ){\sqrt {2\operatorname {D} _{\text{KL}}(Q_{-}\parallel P)}}\right)}<P(X\leq k)<\Phi {\left(\operatorname {sign} (k+1-\lambda ){\sqrt {2\operatorname {D} _{\text{KL}}(Q_{+}\parallel P)}}\right)},{\text{ for }}k>0,}$$ where ${\displaystyle \operatorname {D} _{\text{KL}}(Q_{-}\parallel P)}$ is the Kullback–Leibler divergence of ${\displaystyle Q_{-}=\operatorname {Pois} (k)}$ from ${\displaystyle P=\operatorname {Pois} (\lambda )}$ and ${\displaystyle \operatorname {D} _{\text{KL}}(Q_{+}\parallel P)}$ is the Kullback–Leibler divergence of ${\displaystyle Q_{+}=\operatorname {Pois} (k+1)}$ from ${\displaystyle P}$.

Let ${\displaystyle X\sim \operatorname {Pois} (\lambda )}$ and ${\displaystyle Y\sim \operatorname {Pois} (\mu )}$ be independent random variables, with ${\displaystyle \lambda <\mu ,}$ then we have that $${\displaystyle {\frac {e^{-({\sqrt {\mu }}-{\sqrt {\lambda }})^{2}}}{(\lambda +\mu )^{2}}}-{\frac {e^{-(\lambda +\mu )}}{2{\sqrt {\lambda \mu }}}}-{\frac {e^{-(\lambda +\mu )}}{4\lambda \mu }}\leq P(X-Y\geq 0)\leq e^{-({\sqrt {\mu }}-{\sqrt {\lambda }})^{2}}}$$

The upper bound is proved using a standard Chernoff bound.

The lower bound can be proved by noting that ${\displaystyle P(X-Y\geq 0\mid X+Y=i)}$ is the probability that ${\textstyle Z\geq {\frac {i}{2}},}$ where ${\textstyle Z\sim \operatorname {Bin} \left(i,{\frac {\lambda }{\lambda +\mu }}\right),}$ which is bounded below by ${\textstyle {\frac {1}{(i+1)^{2}}}e^{-iD\left(0.5\|{\frac {\lambda }{\lambda +\mu }}\right)},}$ where ${\displaystyle D}$ is relative entropy (See the entry on bounds on tails of binomial distributions for details). Further noting that ${\displaystyle X+Y\sim \operatorname {Pois} (\lambda +\mu ),}$ and computing a lower bound on the unconditional probability gives the result. More details can be found in the appendix of Kamath et al.^[35]

การแจกแจงปัวซงสามารถหาได้จากกรณีจำกัดของการแจกแจงทวินามเมื่อจำนวนการทดลองเข้าสู่ค่าอนันต์ และจำนวนความสำเร็จที่คาดหวัง ยังคงคงที่ — ดู หลักการของเหตุการณ์หายากด้านล่าง ดังนั้นจึงสามารถใช้เป็นการประมาณค่าของการแจกแจงทวินามได้หากnมีขนาดใหญ่พอและpมีขนาดเล็กพอ การแจกแจงปัวซงเป็นการประมาณค่าที่ดีของการแจกแจงทวินามหากnมีค่าอย่างน้อย 20 และpมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 0.05 และเป็นการประมาณค่าที่ดีเยี่ยมหากn ≥ 100และnp ≤ 10 ^{[ 36 ]}ให้${\displaystyle F_{\mathrm {B} }}$และ${\displaystyle F_{\mathrm {P} }}$โดยที่ เป็น ฟังก์ชันความหนาแน่นสะสมของ1การแจกแจงทวินามและการแจกแจงปัวซง ตามลำดับ จะได้ว่า:$${\displaystyle F_{\mathrm {B} }(k;n,p)\ \approx \ F_{\mathrm {P} }(k;\lambda =np).}$$ การอนุมานอย่างหนึ่งของสิ่งนี้ใช้ฟังก์ชันสร้างความน่าจะเป็น [ ^{37 ] พิจารณา}การทดลองแบบเบอร์นูลลี (การโยนเหรียญ) ซึ่งความน่าจะเป็นของความสำเร็จหนึ่งครั้ง (หรือจำนวนความสำเร็จที่คาดหวัง) คือ${\displaystyle \lambda \leq 1}$ภายในช่วงเวลาที่กำหนด แบ่งช่วงเวลานั้นออกเป็นnส่วน และทำการทดลองในแต่ละช่วงย่อยด้วยความน่าจะเป็น${\displaystyle {\tfrac {\lambda }{n}}}$ความน่าจะเป็นของ ความสำเร็จ kครั้งจาก การทดลอง nครั้งตลอดช่วงเวลาทั้งหมด จะกำหนดโดยการแจกแจงทวินาม $${\displaystyle p_{k}^{(n)}={\binom {n}{k}}\left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{\!k}\left(1{-}{\frac {\lambda }{n}}\right)^{\!n-k},}$$ ซึ่งฟังก์ชันก่อกำเนิดคือ: $${\displaystyle P^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}p_{k}^{(n)}x^{k}=\left(1-{\frac {\lambda }{n}}+{\frac {\lambda }{n}}x\right)^{n}.}$$ เมื่อพิจารณาลิมิตเมื่อnเพิ่มขึ้นเป็นอนันต์ (โดยที่xคงที่) และใช้คำนิยามลิมิตผลคูณของฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะได้เป็นฟังก์ชันก่อกำเนิดของการแจกแจงปัวซง: $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P^{(n)}(x)=\lim _{n\to \infty }\left(1{+}{\tfrac {\lambda (x-1)}{n}}\right)^{n}=e^{\lambda (x-1)}=\sum _{k=0}^{\infty }e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}x^{k}.}$$

• ถ้า${\displaystyle X_{1}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{1})\,}$และ${\displaystyle X_{2}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{2})\,}$เป็นอิสระต่อกัน ดังนั้นความแตกต่างก็คือ${\displaystyle Y=X_{1}-X_{2}}$เป็นไปตามการแจกแจงแบบสเกลแลม (Skellam distribution )
• ถ้า${\displaystyle X_{1}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{1})\,}$และ${\displaystyle X_{2}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{2})\,}$หากเป็นอิสระต่อกัน การกระจายตัวของ${\displaystyle X_{1}}$โดยมีเงื่อนไขว่า${\displaystyle X_{1}+X_{2}}$เป็นการแจกแจงแบบทวินาม
  โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า${\displaystyle X_{1}+X_{2}=k,}$แล้ว${\displaystyle X_{1}|X_{1}+X_{2}=k\sim \mathrm {Binom} (k,\lambda _{1}/(\lambda _{1}+\lambda _{2})).}$
  โดยทั่วไปแล้ว ถ้าX , X , ..., X เป็นตัวแปรสุ่มปัวซงอิสระที่มีพารามิเตอร์λ , λ , ..., λ แล้ว
  ที่ให้ไว้${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}X_{j}=k,}$ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า${\displaystyle X_{i}{\Big |}\sum _{j=1}^{n}X_{j}=k\sim \mathrm {Binom} \left(k,{\frac {\lambda _{i}}{\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}}}\right).}$ในความเป็นจริง,${\displaystyle \{X_{i}\}\sim \mathrm {Multinom} \left(k,\left\{{\frac {\lambda _{i}}{\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}}}\right\}\right).}$
• ถ้า${\displaystyle X\sim \mathrm {Pois} (\lambda )\,}$และการกระจายตัวของ${\displaystyle Y}$โดยมีเงื่อนไขว่าX = kเป็นการแจกแจงแบบทวินาม${\displaystyle Y\mid (X=k)\sim \mathrm {Binom} (k,p),}$ดังนั้นการกระจายตัวของ Y จึงเป็นไปตามการกระจายแบบปัวซง${\displaystyle Y\sim \mathrm {Pois} (\lambda \cdot p).}$ในความเป็นจริง ถ้าหากพิจารณาจากเงื่อนไขบางประการ${\displaystyle \{X=k\},}$${\displaystyle \{Y_{i}\}}$เป็นไปตามการแจกแจงแบบพหุนาม${\displaystyle \{Y_{i}\}\mid (X=k)\sim \mathrm {Multinom} \left(k,p_{i}\right),}$จากนั้นแต่ละ${\displaystyle Y_{i}}$เป็นไปตามการแจกแจงปัวซงแบบอิสระ${\displaystyle Y_{i}\sim \mathrm {Pois} (\lambda \cdot p_{i}),\rho (Y_{i},Y_{j})=0.}$
• การแจกแจงปัวซงเป็นกรณีพิเศษของการแจกแจงปัวซงแบบผสมแบบไม่ต่อเนื่อง (หรือการแจกแจงปัวซงแบบกระตุก) ที่มีพารามิเตอร์เพียงตัวเดียว^{[ 38 ] [ 39 ]}การแจกแจงปัวซงแบบผสมแบบไม่ต่อเนื่องสามารถอนุมานได้จากการแจกแจงจำกัดของการแจกแจงพหุนามแบบเอกตัวแปร นอกจากนี้ยังเป็นกรณีพิเศษของการแจกแจงปัวซงแบบผสมอีก ด้วย
• สำหรับค่าλ ที่มีขนาดใหญ่เพียงพอ (เช่นλ > 1000 ) การแจกแจงแบบปกติจะมีค่าเฉลี่ยλและความแปรปรวนλ (ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน)${\displaystyle {\sqrt {\lambda }}}$) เป็นการประมาณที่ดีเยี่ยมของค่าการแจกแจงปัวซงหากλมากกว่าประมาณ10 การแจกแจงปกติจะเป็นการประมาณที่ดีหาก มี การแก้ไขความต่อเนื่อง ที่เหมาะสม กล่าวคือ หากP( X ≤ x )โดยที่xเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ถูกแทนที่ด้วยP( X ≤ x + 0.5 ) $${\displaystyle F_{\mathrm {Poisson} }(x;\lambda )\approx F_{\mathrm {normal} }(x;\mu =\lambda ,\sigma ^{2}=\lambda )}$$
• การแปลงค่าความแปรปรวนให้คงที่ : ถ้า${\displaystyle X\sim \mathrm {Pois} (\lambda ),}$จากนั้น^{[ 8 ] : 168}$${\displaystyle Y=2{\sqrt {X}}\approx {\mathcal {N}}(2{\sqrt {\lambda }};1),}$$และ^{[ 40 ] : 196}$${\displaystyle Y={\sqrt {X}}\approx {\mathcal {N}}({\sqrt {\lambda }};1/4).}$$ภายใต้การแปลงนี้ การลู่เข้าสู่ภาวะปกติ (ดังที่)${\displaystyle \lambda }$การเพิ่มขึ้น) นั้นเร็วกว่าตัวแปรที่ไม่ได้รับการแปลงมากการแปลงที่ทำให้ความแปรปรวนคงที่ที่ซับซ้อนกว่าเล็กน้อยก็มีอยู่เช่นกัน^{[ 8 ] : 168}หนึ่งในนั้นคือ การ แปลงAnscombe ^{[ 41 ]}ดูการแปลงข้อมูล (สถิติ)สำหรับการใช้งานการแปลงทั่วไปเพิ่มเติม
• ถ้าสำหรับทุกt > 0จำนวนการมาถึงในช่วงเวลา[ 0, t ]เป็นไปตามการแจกแจงปัวซงที่มีค่าเฉลี่ยλtแล้วลำดับของเวลาระหว่างการมาถึงจะเป็นตัวแปรสุ่มเอกซ์โพเนนเชียลที่เป็นอิสระและมีการแจกแจงเหมือนกัน โดยมี^ค่าเฉลี่ย1/ λ ^{[ 42 ]} : ^317–319 
• ฟังก์ชันการกระจายสะสมของการกระจายแบบปัวซงและไคกำลังสองมีความสัมพันธ์กันในลักษณะต่อไปนี้: ^{[ 8 ] : 167}$${\displaystyle F_{\text{Poisson}}(k;\lambda )=1-F_{\chi ^{2}}(2\lambda ;2(k+1))\quad \quad {\text{ integer }}k,}$$และ^{[ 8 ] : 158}$${\displaystyle P(X=k)=F_{\chi ^{2}}(2\lambda ;2(k+1))-F_{\chi ^{2}}(2\lambda ;2k).}$$

สมมติ${\displaystyle X_{1}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{1}),X_{2}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{2}),\dots ,X_{n}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{n})}$ที่ไหน${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\dots +\lambda _{n}=1,}$จากนั้น^{[ 43 ]}${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})}$มีการแจกแจงแบบพหุนาม${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\sim \operatorname {Mult} (N,\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})}$โดยมีเงื่อนไขว่า${\displaystyle N=X_{1}+X_{2}+\dots X_{n}.}$

หมายความว่า^{[ 32 ] : 101-102}ในบรรดาสิ่งอื่นๆ สำหรับฟังก์ชันที่ไม่เป็นลบใดๆ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),}$ ถ้า${\displaystyle (Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{n})\sim \operatorname {Mult} (m,\mathbf {p} )}$ถ้ามีการแจกแจงแบบพหุนามแล้ว $${\displaystyle \operatorname {E} [f(Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{n})]\leq e{\sqrt {m}}\operatorname {E} [f(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})]}$$ ที่ไหน${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\sim \operatorname {Pois} (\mathbf {p} ).}$

ปัจจัยของ${\displaystyle e{\sqrt {m}}}$สามารถแทนที่ด้วย 2 ได้หาก${\displaystyle f}$นอกจากนี้ยังสันนิษฐานว่ามีแนวโน้มเพิ่มขึ้นหรือลดลงอย่างต่อเนื่อง

การแจกแจงนี้ได้รับการขยายไปยังกรณีสองตัวแปร^{[ 44 ]}ฟังก์ชันก่อกำเนิดสำหรับการแจกแจงนี้คือ $${\displaystyle g(u,v)=\exp[(\theta _{1}-\theta _{12})(u-1)+(\theta _{2}-\theta _{12})(v-1)+\theta _{12}(uv-1)]}$$ กับ $${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2}>\theta _{12}>0}$$

การแจกแจงแบบมาร์จินัลคือการแจกแจงปัวซง ( θ )และการแจกแจงปัวซง ( θ )และค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ถูกจำกัดอยู่ในช่วง $${\displaystyle 0\leq \rho \leq \min \left\{{\sqrt {\frac {\theta _{1}}{\theta _{2}}}},{\sqrt {\frac {\theta _{2}}{\theta _{1}}}}\right\}}$$

วิธีง่ายๆ ในการสร้างการแจกแจงปัวซงแบบสองตัวแปร${\displaystyle X_{1},X_{2}}$คือการนำการแจกแจงปัวซงอิสระสามแบบมาใช้${\displaystyle Y_{1},Y_{2},Y_{3}}$ด้วยวิธีการ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}}$แล้วจึงตั้งค่า${\displaystyle X_{1}=Y_{1}+Y_{3},X_{2}=Y_{2}+Y_{3}.}$ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของการแจกแจงปัวซงแบบสองตัวแปรคือ $${\displaystyle \Pr(X_{1}=k_{1},X_{2}=k_{2})=\exp \left(-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3}\right){\frac {\lambda _{1}^{k_{1}}}{k_{1}!}}{\frac {\lambda _{2}^{k_{2}}}{k_{2}!}}\sum _{k=0}^{\min(k_{1},k_{2})}{\binom {k_{1}}{k}}{\binom {k_{2}}{k}}k!\left({\frac {\lambda _{3}}{\lambda _{1}\lambda _{2}}}\right)^{k}}$$

การแจกแจงปัวซงแบบอิสระ^{[ 45 ]}ที่มีขนาดกระโดด${\displaystyle \alpha }$และให้คะแนน${\displaystyle \lambda }$เกิดขึ้นใน ทฤษฎี ความน่าจะเป็นอิสระในฐานะลิมิตของการสังเคราะห์อิสระ ซ้ำๆ$${\displaystyle \left(\left(1-{\frac {\lambda }{N}}\right)\delta _{0}+{\frac {\lambda }{N}}\delta _{\alpha }\right)^{\boxplus N}}$$ เมื่อN → ∞

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ให้${\displaystyle X_{N}}$เป็นตัวแปรสุ่มเพื่อให้${\displaystyle X_{N}}$มีค่า${\displaystyle \alpha }$ด้วยความน่าจะเป็น${\textstyle {\frac {\lambda }{N}}}$และค่า 0 ด้วยความน่าจะเป็นที่เหลืออยู่ สมมติด้วยว่าครอบครัว${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$เป็นอิสระอย่างอิสระจากนั้นขีดจำกัดคือ${\displaystyle N\to \infty }$ของกฎหมายของ${\displaystyle X_{1}+\cdots +X_{N}}$กำหนดโดยกฎปัวซงอิสระที่มีพารามิเตอร์${\displaystyle \lambda ,\alpha .}$

คำจำกัดความนี้คล้ายคลึงกับวิธีการหนึ่งในการได้มาซึ่งการแจกแจงปัวซงแบบคลาสสิกจากกระบวนการปัวซง (แบบคลาสสิก)

มาตรการที่เกี่ยวข้องกับกฎปัวซงอิสระจะได้รับจาก^{[ 46 ]}$${\displaystyle \mu ={\begin{cases}(1-\lambda )\delta _{0}+\nu ,&{\text{if }}0\leq \lambda \leq 1\\\nu ,&{\text{if }}\lambda >1,\end{cases}}}$$ ที่ไหน $${\displaystyle \nu ={\frac {1}{2\pi \alpha t}}{\sqrt {4\lambda \alpha ^{2}-(t-\alpha (1+\lambda ))^{2}}}\,dt}$$ และได้รับการสนับสนุน${\displaystyle [\alpha (1-{\sqrt {\lambda }})^{2},\alpha (1+{\sqrt {\lambda }})^{2}].}$

กฎนี้ยังปรากฏในทฤษฎีเมทริกซ์สุ่ม ในรูปของ กฎมาร์เชนโก-ปาสตูร์ค่าคุมูลันต์อิสระของกฎนี้เท่ากับ${\displaystyle \kappa _{n}=\lambda \alpha ^{n}.}$

กำหนดให้มีค่าที่วัดได้จำนวนnค่า เป็นตัวอย่าง${\displaystyle k_{i}\in \{0,1,\dots \},}$สำหรับi = 1, ..., nเราต้องการประมาณค่าของพารามิเตอร์λของประชากรปัวซงที่สุ่มตัวอย่างมา การประมาณค่า ความน่าจะเป็นสูงสุดคือ^{[ 48 ]}

$${\displaystyle {\widehat {\lambda }}_{\mathrm {MLE} }={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}k_{i}\ .}$$

เนื่องจากแต่ละการสังเกตมีค่าเฉลี่ยλดังนั้นค่าเฉลี่ยของตัวอย่างจึงมีค่าเฉลี่ย λ เช่นกัน ด้วยเหตุนี้ การประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดจึงเป็นตัวประมาณค่าที่ไม่เอนเอียงของλนอกจากนี้ยังเป็นตัวประมาณค่าที่มีประสิทธิภาพ เนื่องจากความแปรปรวนของมันบรรลุขอบเขตล่างของ Cramér–Rao (CRLB) ^{[ 49 ]}ดังนั้นจึงเป็นตัวประมาณค่าที่ไม่เอนเอียงที่มีความแปรปรวนต่ำสุด นอกจากนี้ยังสามารถพิสูจน์ได้ว่าผลรวม (และด้วยเหตุนี้ค่าเฉลี่ย ของตัวอย่าง เนื่องจากเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งของผลรวม) เป็นสถิติที่สมบูรณ์และเพียงพอสำหรับλ

เพื่อพิสูจน์ความเพียงพอ เราอาจใช้ทฤษฎีบทการแยกตัวประกอบพิจารณาการแบ่งฟังก์ชันความน่าจะเป็นมวลของการแจกแจงปัวซงร่วมสำหรับตัวอย่างออกเป็นสองส่วน: ส่วนหนึ่งที่ขึ้นอยู่กับตัวอย่างเพียงอย่างเดียว${\displaystyle \mathbf {x} }$, เรียกว่า${\displaystyle h(\mathbf {x} )}$และเป็นสิ่งที่ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์${\displaystyle \lambda }$และตัวอย่าง${\displaystyle \mathbf {x} }$เฉพาะผ่านฟังก์ชันเท่านั้น${\displaystyle T(\mathbf {x} ).}$แล้ว${\displaystyle T(\mathbf {x} )}$เป็นสถิติที่เพียงพอสำหรับ${\displaystyle \lambda .}$

$${\displaystyle P(\mathbf {x} )=\prod _{i=1}^{n}{\frac {\lambda ^{x_{i}}e^{-\lambda }}{x_{i}!}}={\frac {1}{\prod _{i=1}^{n}x_{i}!}}\times \lambda ^{\sum _{i=1}^{n}x_{i}}e^{-n\lambda }}$$

เทอมแรก${\displaystyle h(\mathbf {x} )}$ขึ้นอยู่กับเท่านั้น${\displaystyle \mathbf {x} }$เทอมที่สอง${\displaystyle g(T(\mathbf {x} )|\lambda )}$ขึ้นอยู่กับตัวอย่างเท่านั้นผ่านทาง${\textstyle T(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}x_{i}.}$ดังนั้น,${\displaystyle T(\mathbf {x} )}$เพียงพอแล้ว

ในการหาค่าพารามิเตอร์λที่ทำให้ฟังก์ชันความน่าจะเป็นสำหรับประชากรแบบปัวซงมีค่าสูงสุด เราสามารถใช้ลอการิทึมของฟังก์ชันความน่าจะเป็นได้:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ell (\lambda )&=\ln \prod _{i=1}^{n}f(k_{i}\mid \lambda )\\&=\sum _{i=1}^{n}\ln \!\left({\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k_{i}}}{k_{i}!}}\right)\\&=-n\lambda +\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right)\ln(\lambda )-\sum _{i=1}^{n}\ln(k_{i}!).\end{aligned}}}$$

เราหาอนุพันธ์ของ${\displaystyle \ell }$โดยสัมพันธ์กับλและเปรียบเทียบกับศูนย์:

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \lambda }}\ell (\lambda )=0\iff -n+\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right){\frac {1}{\lambda }}=0.\!}$$

การแก้สมการหาค่าλจะได้จุดนิ่ง

$${\displaystyle \lambda ={\frac {\sum _{i=1}^{n}k_{i}}{n}}}$$

ดังนั้นλคือค่าเฉลี่ยของ ค่า k การหาเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสองของLที่จุดนิ่งจะช่วยกำหนดว่าλเป็น ค่าสุดขั้วประเภทใด

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\ell }{\partial \lambda ^{2}}}=-\lambda ^{-2}\sum _{i=1}^{n}k_{i}}$$

การประเมินอนุพันธ์อันดับสองณ จุดวิเคราะห์จะได้:

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\ell }{\partial \lambda ^{2}}}=-{\frac {n^{2}}{\sum _{i=1}^{n}k_{i}}}}$$

ซึ่งเป็นค่าลบของnคูณด้วยส่วนกลับของค่าเฉลี่ยของk นิพจน์นี้จะมีค่าเป็นลบเมื่อค่าเฉลี่ยเป็นบวก ถ้าเงื่อนไขนี้เป็นจริง จุดนิ่งจะทำให้ฟังก์ชันความน่าจะเป็นมีค่าสูงสุด

เพื่อให้ครบถ้วนสมบูรณ์ตระกูลของการแจกแจงจะเรียกว่าสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle E(g(T))=0}$หมายความว่า${\displaystyle P_{\lambda }(g(T)=0)=1}$สำหรับทุกคน${\displaystyle \lambda .}$หากบุคคลนั้น${\displaystyle X_{i}}$เป็น iid${\displaystyle \mathrm {Po} (\lambda ),}$แล้ว${\textstyle T(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \mathrm {Po} (n\lambda ).}$เมื่อทราบการกระจายตัวที่เราต้องการตรวจสอบแล้ว ก็จะเห็นได้ง่ายว่าสถิตินั้นสมบูรณ์

$${\displaystyle E(g(T))=\sum _{t=0}^{\infty }g(t){\frac {(n\lambda )^{t}e^{-n\lambda }}{t!}}=0}$$

เพื่อให้ความเสมอภาคนี้คงอยู่${\displaystyle g(t)}$ต้องเป็น 0 ซึ่งเป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าไม่มีเงื่อนไขอื่นใดที่จะเป็น 0 สำหรับทุกกรณี${\displaystyle t}$ในผลรวมและสำหรับค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ${\displaystyle \lambda .}$เพราะฉะนั้น,${\displaystyle E(g(T))=0}$สำหรับทุกคน${\displaystyle \lambda }$หมายความว่า${\displaystyle P_{\lambda }(g(T)=0)=1,}$และสถิติดังกล่าวได้รับการพิสูจน์แล้วว่าสมบูรณ์

ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับค่าเฉลี่ยของการแจกแจงปัวซงสามารถแสดงได้โดยใช้ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันการแจกแจงสะสมของการแจกแจงปัวซงและการแจกแจงไคกำลังสองการแจกแจงไคกำลังสองมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับการแจกแจงแกมมาและนี่นำไปสู่การแสดงออกอีกแบบหนึ่ง เมื่อกำหนดค่าสังเกตkจากการแจกแจงปัวซงที่มีค่าเฉลี่ยμช่วงความเชื่อมั่นสำหรับμที่ระดับความเชื่อมั่น1 – αคือ

$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\chi ^{2}(\alpha /2;2k)\leq \mu \leq {\tfrac {1}{2}}\chi ^{2}(1-\alpha /2;2k+2),}$$

หรือเทียบเท่า

$${\displaystyle F^{-1}(\alpha /2;k,1)\leq \mu \leq F^{-1}(1-\alpha /2;k+1,1),}$$

ที่ไหน${\displaystyle \chi ^{2}(p;n)}$คือฟังก์ชันควอนไทล์ (ซึ่งสอดคล้องกับพื้นที่หางด้านล่างp ) ของการแจกแจงไคกำลังสองที่มีnองศาอิสระ และ${\displaystyle F^{-1}(p;n,1)}$คือฟังก์ชันควอนไทล์ของการแจกแจงแกมมาที่มีพารามิเตอร์รูปร่าง n และพารามิเตอร์มาตราส่วน 1 ^{[ 8 ] : 176-178 [ 50 ]}ช่วงนี้เป็น ' ช่วงที่แน่นอน ' ในแง่ที่ว่าความน่าจะเป็นของการครอบคลุมจะไม่น้อยกว่าค่าที่กำหนด1 – α

เมื่อไม่มีควอนไทล์ของการแจกแจงแกมมา ได้มีการเสนอการประมาณค่าที่แม่นยำสำหรับช่วงเวลาที่แน่นอนนี้ (โดยอิงจากการแปลงวิลสัน-ฮิลเฟอร์ตี้ ) ดังนี้: ^{[ 51 ]}$${\displaystyle k\left(1-{\frac {1}{9k}}-{\frac {z_{\alpha /2}}{3{\sqrt {k}}}}\right)^{3}\leq \mu \leq (k+1)\left(1-{\frac {1}{9(k+1)}}+{\frac {z_{\alpha /2}}{3{\sqrt {k+1}}}}\right)^{3},}$$ ที่ไหน${\displaystyle z_{\alpha /2}}$หมายถึงค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานปกติที่มีพื้นที่หางด้านบนα / 2

สำหรับการประยุกต์ใช้สูตรเหล่านี้ในบริบทเดียวกันกับข้างต้น (โดยกำหนดให้มี ค่าที่วัดได้ nค่าk แต่ละค่าสุ่มมาจากการแจกแจงแบบปัวซงที่มีค่าเฉลี่ยλ ) จะต้องตั้งค่าดังนี้

$${\displaystyle k=\sum _{i=1}^{n}k_{i},}$$คำนวณ ช่วงสำหรับμ = nλจากนั้นหาช่วงสำหรับλ

ในการอนุมานแบบเบย์เซียนไพรเออร์คู่ควบสำหรับพารามิเตอร์อัตราλของการแจกแจงปัวซงคือการแจกแจงแกมมา^{[ 52 ]}ให้

$${\displaystyle \lambda \sim \mathrm {Gamma} (\alpha ,\beta )}$$

แสดงว่าλมีการกระจายตามความหนาแน่น แกมมา gซึ่งกำหนดโดยพารามิเตอร์รูปร่างαและพารามิเตอร์มาตราส่วน ผกผัน β :

$${\displaystyle g(\lambda \mid \alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\;\lambda ^{\alpha -1}\;e^{-\beta \,\lambda }\qquad {\text{ for }}\lambda >0\,\!.}$$

จากนั้น เมื่อกำหนดตัวอย่าง ค่าที่วัดได้ nค่าk เช่นเดียว กับก่อนหน้านี้และค่าความน่าจะเป็นก่อนหน้าเป็นGamma( α , β )ค่าความน่าจะเป็นภายหลังจะเป็นดังนี้

$${\displaystyle \lambda \sim \mathrm {Gamma} {\left(\alpha +\sum _{i=1}^{n}k_{i},\beta +n\right)}.}$$

โปรดทราบว่าค่าเฉลี่ยภายหลังเป็นแบบเชิงเส้นและกำหนดโดย $${\displaystyle E[\lambda \mid k_{1},\ldots ,k_{n}]={\frac {\alpha +\sum _{i=1}^{n}k_{i}}{\beta +n}}.}$$ สามารถแสดงได้ว่าการแจกแจงแกมมาเป็นไพรเออร์เดียวที่ทำให้ค่าเฉลี่ยแบบมีเงื่อนไขเป็นเชิงเส้น ยิ่งไปกว่านั้น ยังมีผลลัพธ์ตรงกันข้ามที่ระบุว่า ถ้าค่าเฉลี่ยแบบมีเงื่อนไขใกล้เคียงกับฟังก์ชันเชิงเส้นใน${\displaystyle L_{2}}$ระยะทางที่มากกว่าการแจกแจงก่อนหน้าของλจะต้องใกล้เคียงกับการแจกแจงแกมมาใน ระยะ ทางของ Levy ^{[ 53 ]}

ค่าเฉลี่ยภายหลังE[ λ ]เข้าใกล้ค่าประมาณความน่าจะเป็นสูงสุด${\displaystyle {\widehat {\lambda }}_{\mathrm {MLE} }}$ในขีดจำกัดเมื่อ${\displaystyle \alpha \to 0,\beta \to 0,}$ซึ่งเป็น ผลสืบเนื่องโดยตรงจากนิพจน์ทั่วไปของค่าเฉลี่ยของการแจกแจงแกมมา

การแจกแจงการทำนายภายหลัง สำหรับการ ^{สังเกต}เพิ่มเติมเพียงครั้งเดียวคือการแจกแจงทวินามเชิงลบ^{[ 54 ]} : ⁵³บางครั้งเรียกว่าการแจกแจงแกมมา-ปัวซง

สมมติ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{p}}$คือชุดของตัวแปรสุ่มอิสระจากชุดของ${\displaystyle p}$การแจกแจงปัวซง โดยแต่ละแบบมีพารามิเตอร์${\displaystyle \lambda _{i},}$${\displaystyle i=1,\dots ,p,}$และเราต้องการประมาณค่าพารามิเตอร์เหล่านี้ จากนั้น Clevenson และ Zidek แสดงให้เห็นว่าภายใต้การสูญเสียข้อผิดพลาดกำลังสองแบบนอร์มาไลซ์${\textstyle L(\lambda ,{\hat {\lambda }})=\sum _{i=1}^{p}\lambda _{i}^{-1}({\hat {\lambda }}_{i}-\lambda _{i})^{2},}$เมื่อไร${\displaystyle p>1,}$จากนั้น เช่นเดียวกับในตัวอย่างของสไตน์สำหรับค่าเฉลี่ยปกติ ตัวประมาณค่า MLE${\displaystyle {\hat {\lambda }}_{i}=X_{i}}$ไม่สามารถยอมรับได้^{[ 55 ]}

ในกรณีนี้ จะมี การกำหนดตระกูลของตัวประมาณค่าแบบมินิแม็กซ์สำหรับทุก ๆ${\displaystyle 0<c\leq 2(p-1)}$และ${\displaystyle b\geq (p-2+p^{-1})}$เช่น^{[ 56 ]}$${\displaystyle {\hat {\lambda }}_{i}=\left(1-{\frac {c}{b+\sum _{i=1}^{p}X_{i}}}\right)X_{i},\qquad i=1,\dots ,p.}$$

อัตราการเกิดเหตุการณ์มีความสัมพันธ์กับความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์นั้นจะเกิดขึ้นในช่วงเวลาย่อยเล็กๆ (ไม่ว่าจะเป็นเวลา สถานที่ หรืออื่นๆ) ในกรณีของการแจกแจงปัวซง เราจะสมมติว่ามีช่วงเวลาย่อยที่เล็กพอซึ่งความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้นสองครั้งนั้น "น้อยมาก" ด้วยสมมติฐานนี้ เราสามารถสร้างการแจกแจงปัวซงจากการแจกแจงทวินามได้ โดยอาศัยเพียงข้อมูลเกี่ยวกับจำนวนเหตุการณ์ทั้งหมดที่คาดหวังในช่วงเวลาทั้งหมดเท่านั้น

ให้ แทนจำนวนเหตุการณ์ทั้งหมดในช่วงเวลาทั้งหมดด้วย${\displaystyle \lambda .}$แบ่งช่วงเวลาทั้งหมดออกเป็น${\displaystyle n}$ช่วงย่อย${\displaystyle I_{1},\dots ,I_{n}}$มีขนาดเท่ากัน โดยที่${\displaystyle n>\lambda }$(เนื่องจากเราสนใจเฉพาะส่วนเล็ก ๆ ของช่วงเวลาเท่านั้น สมมติฐานนี้จึงมีความหมาย) ซึ่งหมายความว่าจำนวนเหตุการณ์ที่คาดหวังในแต่ละ ช่วงย่อยทั้ง nช่วงนั้นเท่ากับ${\displaystyle \lambda /n.}$

ตอนนี้เราสมมติว่าการเกิดเหตุการณ์ในช่วงเวลาทั้งหมดสามารถมองได้ว่าเป็นลำดับของการทดลองแบบเบอร์นูลลีจำนวน n ครั้ง โดยที่${\displaystyle i}$การทดลองแบบเบอร์นูลลีครั้งที่ - สอดคล้องกับการตรวจสอบว่าเหตุการณ์เกิดขึ้นในช่วงเวลาย่อยหรือไม่${\displaystyle I_{i}}$ด้วยความน่าจะเป็น${\displaystyle \lambda /n.}$จำนวนเหตุการณ์ทั้งหมดที่คาดการณ์ไว้ใน${\displaystyle n}$การพิจารณาคดีดังกล่าวจะเป็น${\displaystyle \lambda ,}$จำนวนเหตุการณ์ทั้งหมดที่คาดว่าจะเกิดขึ้นในช่วงเวลาทั้งหมด ดังนั้น สำหรับแต่ละส่วนย่อยของช่วงเวลา เราได้ประมาณการการเกิดเหตุการณ์เป็นกระบวนการเบอร์นูลลีในรูปแบบ${\displaystyle {\textrm {B}}(n,\lambda /n).}$ดังที่เราได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ เราต้องการพิจารณาเฉพาะช่วงย่อยที่เล็กมากเท่านั้น ดังนั้นเราจึงใช้ลิมิตเป็น${\displaystyle n}$มีค่าเข้าสู่ค่าอนันต์

ในกรณีนี้การแจกแจงทวินามจะลู่เข้าสู่สิ่งที่เรียกว่าการแจกแจงปัวซงโดยทฤษฎีบทขีดจำกัดของปัวซง

ในตัวอย่างข้างต้นหลายๆ ตัวอย่าง เช่น จำนวนการกลายพันธุ์ในลำดับดีเอ็นเอที่กำหนด เหตุการณ์ที่ถูกนับนั้นแท้จริงแล้วเป็นผลลัพธ์ของการทดลองแบบไม่ต่อเนื่อง และจะสามารถจำลองได้อย่างแม่นยำยิ่งขึ้นโดยใช้การแจกแจงแบบทวินามนั่นคือ $${\displaystyle X\sim {\textrm {B}}(n,p).}$$

ในกรณีเช่นนี้nจะมีค่ามากและpจะมีค่าน้อยมาก (ดังนั้นค่าเฉลี่ยnpจึงมีขนาดปานกลาง) จากนั้นจึงสามารถประมาณการกระจายตัวได้โดยใช้การกระจายแบบปัวซงซึ่งไม่ซับซ้อนกว่า $${\displaystyle X\sim {\textrm {Pois}}(np).}$$

บางครั้งการประมาณค่านี้เรียกว่ากฎของเหตุการณ์หายาก [ ^{72 ] : 5} เนื่องจาก เหตุการณ์เบอร์นูลลีแต่ละรายการ จำนวน n ^{รายการ}เกิดขึ้นได้ยาก

ชื่อ "กฎของเหตุการณ์หายาก" อาจทำให้เข้าใจผิดได้ เพราะจำนวนรวมของเหตุการณ์ที่ประสบความสำเร็จในกระบวนการปัวซงไม่จำเป็นต้องหายากเสมอไป หากค่าพารามิเตอร์npไม่น้อย ตัวอย่างเช่น จำนวนสายโทรศัพท์ที่โทรเข้ามายังตู้รับสายที่ไม่ว่างในหนึ่งชั่วโมงนั้น เป็นไปตามการแจกแจงแบบปัวซง โดยเหตุการณ์เหล่านั้นดูเหมือนจะเกิดขึ้นบ่อยสำหรับผู้ให้บริการ แต่ถือว่าหายากจากมุมมองของคนทั่วไปที่แทบจะไม่โทรเข้ามายังตู้รับสายนั้นในชั่วโมงดังกล่าวเลย

ความแปรปรวนของการแจกแจงแบบทวินามเป็น1 − pเท่าของความแปรปรวนของการแจกแจงแบบปัวซง ดังนั้นจึงเกือบเท่ากันเมื่อpมีค่าเล็กมาก

บางครั้ง คำว่ากฎถูกใช้เป็นคำพ้องความหมายของการแจกแจงความน่าจะเป็นและการบรรจบกันในกฎหมายถึงการบรรจบกันในการแจกแจงดังนั้น การแจกแจงปัวซงจึงบางครั้งเรียกว่า "กฎของจำนวนน้อย" เพราะเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นของจำนวนครั้งของการเกิดเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นไม่บ่อยนัก แต่มีโอกาสเกิดขึ้นมากมายกฎของจำนวนน้อยเป็นหนังสือของ Ladislaus Bortkiewicz เกี่ยวกับการแจกแจงปัวซง ตีพิมพ์ใน ปี 1898 ^{[ 12 ] [ 73 ]}

การแจกแจงปัวซงเกิดขึ้นจากจำนวนจุดของกระบวนการจุดปัวซงที่อยู่ในบริเวณจำกัดบางแห่ง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าDเป็นปริภูมิบริเวณ เช่น ปริภูมิยุคลิดR ^dซึ่ง| D |พื้นที่ ปริมาตร หรือโดยทั่วไปแล้ว การวัดแบบเลเบสของบริเวณนั้นมีค่าจำกัด และถ้าN ( D )แทนจำนวนจุดในDแล้ว

$${\displaystyle P(N(D)=k)={\frac {(\lambda |D|)^{k}e^{-\lambda |D|}}{k!}}.}$$

การถดถอยแบบปัวซงและ การถดถอยแบบทวิ นามเชิงลบมีประโยชน์สำหรับการวิเคราะห์ที่ตัวแปรตาม (ตัวแปรตอบสนอง) คือจำนวนนับ(0, 1, 2, ... )ของจำนวนเหตุการณ์หรือการเกิดขึ้นในช่วงเวลาหนึ่ง

การทดลอง ของลูเรีย-เดลบรุคได้ทดสอบกับสมมติฐานของการวิวัฒนาการแบบลามาร์ค ซึ่งควรจะส่งผลให้เกิดการแจกแจงแบบปัวซง

Katz และ Miledi วัดศักย์เยื่อหุ้มเซลล์ทั้งที่มีและไม่มีอะเซทิลโคลีน (ACh) ^{[ 74 ]}เมื่อมี ACh อยู่ช่องไอออนบนเยื่อหุ้มเซลล์จะเปิดแบบสุ่มในช่วงเวลาสั้นๆ เนื่องจากมีช่องไอออนจำนวนมากซึ่งแต่ละช่องเปิดในช่วงเวลาสั้นๆ จำนวนช่องไอออนทั้งหมดที่เปิดในแต่ละช่วงเวลาจึงมีการกระจายแบบปัวซง เมื่อไม่มี ACh อยู่ ในทางปฏิบัติแล้วจะไม่มีช่องไอออนเปิด ศักย์เยื่อหุ้มเซลล์คือ${\displaystyle V=N_{\text{open}}V_{\text{ion}}+V_{0}+V_{\text{noise}}}$เมื่อหักลบผลกระทบของสัญญาณรบกวนแล้ว คัตซ์และมิเลดีพบว่าค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของศักย์เยื่อหุ้มเซลล์คือ${\displaystyle 8.5\times 10^{-3}\;\mathrm {V} }$และ${\displaystyle (29.2\times 10^{-6}\;\mathrm {V} )^{2}}$ตามลำดับ โดยให้${\displaystyle V_{\text{ion}}=10^{-7}\;\mathrm {V} }$(หน้า 94-95 ^{[ 75 ]} )