การที่ค่า a, b, cตรงตามสูตรของยูคลิดนั้นเพียงพอที่จะทำให้สามเหลี่ยมนั้นเป็นสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนได้นั้น เห็นได้ชัดจากข้อเท็จจริงที่ว่า สำหรับจำนวนเต็มบวกmและnโดย ที่ m > nค่าa , bและcที่ได้จากสูตรล้วนเป็นจำนวนเต็มบวก และจากข้อเท็จจริงที่ว่า

$${\displaystyle a^{2}+b^{2}=(m^{2}-n^{2})^{2}+(2mn)^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2}=c^{2}.}$$

การพิสูจน์ความจำเป็นที่a, b, cจะต้องแสดงด้วยสูตรของยูคลิดสำหรับสามจำนวนพีทาโกเรียนดั้งเดิมใดๆ มีดังนี้^{[ 6 ]}สามจำนวนดั้งเดิมทั้งหมดสามารถเขียนได้เป็น( a , b , c )โดยที่a ² + b ² = c ²และa , b , cเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ดังนั้นa , b , cเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันเป็นคู่ๆ (ถ้าจำนวนเฉพาะหารสองตัวในนั้นลงตัว ก็จะต้องหารตัวที่สามลงตัวด้วย) เนื่องจากaและbเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน อย่างน้อยหนึ่งตัวจะเป็นจำนวนคี่ ถ้าเราสมมติว่าaเป็นจำนวนคี่ ดังนั้นbจะเป็นจำนวนคู่และcจะเป็นจำนวนคี่ (ถ้าทั้งaและbเป็นจำนวน คี่ c จะ เป็นจำนวนคู่ และc ²จะเป็นพหุคูณของ 4 ในขณะที่a ² + b ²จะสมมูลกับ 2 มอดูล 4เนื่องจากกำลังสองคี่สมมูลกับ 1 มอดูล 4)

จาก${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2},}$สมมติว่าaเป็นจำนวนคี่ เราจะได้${\displaystyle c^{2}-a^{2}=b^{2}}$และด้วยเหตุนี้${\displaystyle (ca)(c+a)=b^{2}.}$แล้ว${\displaystyle {\tfrac {(c+a)}{b}}={\tfrac {b}{(ca)}}.}$เนื่องจาก${\displaystyle {\tfrac {(c+a)}{b}}}$เนื่องจากเป็นจำนวนตรรกยะ เราจึงกำหนดให้เท่ากับ${\displaystyle {\tfrac {m}{n}}}$ในแง่ที่ต่ำที่สุด ดังนั้น${\displaystyle {\tfrac {(ca)}{b}}={\tfrac {n}{m}},}$เป็นส่วนกลับของ ${\displaystyle {\tfrac {(c+a)}{b}}.}$จากนั้นจึงแก้ปัญหา

$${\displaystyle {\frac {c}{b}}+{\frac {a}{b}}={\frac {m}{n}},\quad \quad {\frac {c}{b}}-{\frac {a}{b}}={\frac {n}{m}}}$$

สำหรับ${\displaystyle {\tfrac {c}{b}}}$และ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ให้

$${\displaystyle {\frac {c}{b}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {m}{n}}+{\frac {n}{m}}\right)={\frac {m^{2}+n^{2}}{2mn}},\quad \quad {\frac {a}{b}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {m}{n}}-{\frac {n}{m}}\right)={\frac {m^{2}-n^{2}}{2mn}}.}$$

เช่น${\displaystyle {\tfrac {m}{n}}}$ลดรูปสมบูรณ์แล้วmและnเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ และทั้งสองจำนวนนี้ไม่สามารถเป็นจำนวนคู่ได้ ถ้าทั้งสองจำนวนเป็นจำนวนคี่ ตัวเศษของ${\displaystyle {\tfrac {m^{2}-n^{2}}{2mn}}}$จะเป็นพหุคูณของ 4 (เพราะกำลังสองคี่จะสมมูลกับ 1 มอดูล 4) และตัวส่วน 2mn จะไม่ใช่พหุคูณของ 4 เนื่องจาก 4 จะเป็นตัวประกอบคู่ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ในตัวเศษ และ 2 จะเป็นตัวประกอบคู่ที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ในตัวส่วน ดังนั้นจึงหมายความว่าaเป็นจำนวนคู่ถึงแม้จะกำหนดให้เป็นจำนวนคี่ก็ตาม ดังนั้นmและn ตัวใดตัวหนึ่ง เป็นจำนวนคี่และอีกตัวหนึ่งเป็นจำนวนคู่ และตัวเศษของเศษส่วนสองจำนวนที่มีตัวส่วน 2mn เป็นจำนวนคี่ ดังนั้นเศษส่วนเหล่านี้จึงลดรูปได้อย่างสมบูรณ์ (จำนวนเฉพาะคี่ที่หารตัวส่วนนี้จะหารmและn ตัวใดตัวหนึ่งได้ แต่ไม่หารอีกตัวหนึ่ง ดังนั้นจึงหารm² ± ^n² ไม่^ได้ ) ดังนั้นจึงสามารถเทียบตัวเศษกับตัวเศษและตัวส่วนกับตัวส่วนได้ ทำให้ได้สูตรของยูคลิด $${\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\ \,b=2mn,\ \,c=m^{2}+n^{2}}$$โดยที่mและnเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์และมีพาริตีตรงข้ามกัน

บทพิสูจน์ที่ยาวกว่าแต่พบได้ทั่วไปมีอยู่ใน Maor (2007) ^{[ 7 ]}และ Sierpiński (2003) ^{[ 8 ]}บทพิสูจน์อีกบทหนึ่งมีอยู่ในสมการไดโอแฟนไทน์ §  ตัวอย่างของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนเป็นตัวอย่างของวิธีการทั่วไปที่ใช้กับสมการไดโอแฟนไทน์เอก พันธุ์ทุก สมการ ที่มีดีกรีสอง

สมมติว่าด้านของสามเหลี่ยมพีทาโกรัสมีความยาว^m² − n² , 2mn และ m² + n² ตามลำดับ^และสมมติว่ามุมระหว่างด้านประกอบมุมฉากที่มีความยาว^m² − n²กับด้านตรง^{ข้ามมุมฉากที่}มีความยาวm² + n² ^แทนด้วยβ ^แล้ว${\displaystyle \tan {\tfrac {\beta }{2}}={\tfrac {n}{m}}}$และค่าตรีโกณมิติของมุมเต็มคือ${\displaystyle \sin {\beta }={\tfrac {2mn}{m^{2}+n^{2}}}}$,${\displaystyle \cos {\beta }={\tfrac {m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}}}$และ​${\displaystyle \tan {\beta }={\tfrac {2mn}{m^{2}-n^{2}}}}$[ ⁹ ]^​​

สูตรของยูคลิดในรูปแบบต่อไปนี้บางครั้งสะดวกกว่า เนื่องจากมีความสมมาตรมากกว่าในmและn (เงื่อนไขความเท่าเทียมกันของmและn เหมือนกัน )

ถ้าmและnเป็นจำนวนเต็มคี่สองจำนวน โดยที่m > nแล้ว $${\displaystyle a=mn,\quad b={\frac {m^{2}-n^{2}}{2}},\quad c={\frac {m^{2}+n^{2}}{2}}}$$aและb คือจำนวนเต็มสามจำนวนที่ประกอบกันเป็นสามเหลี่ยมพีทาโกเรียน ซึ่งเรียกว่าสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมได้ก็ต่อเมื่อm และ n เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ ในทางกลับกัน สามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมทุกชุดเกิดขึ้น (หลังจากการสลับ a และbถ้าaเป็นจำนวนคู่) จากคู่จำนวนคี่เฉพาะm > n > 0ที่ไม่ซ้ำกัน

คุณสมบัติของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิม( a , b , c )โดยที่a < b < c (โดยไม่ระบุว่าaหรือb ตัวใด เป็นเลขคู่และตัวใดเป็นเลขคี่) ได้แก่:

• ${\displaystyle {\tfrac {(ca)(cb)}{2}}}$เป็นกำลังสองสมบูรณ์เสมอ^{[ 10 ]}ในความเป็นจริงมันเท่ากับกำลังสองของรัศมีวงในของสามเหลี่ยมมุมฉากที่เกี่ยวข้อง
• อย่างมากที่สุดหนึ่งอย่างในa , b , cจะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส^{[ 11 ]}
• พื้นที่ของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนไม่สามารถเป็นกำลังสอง^{[ 12 ] :หน้า 17}หรือสองเท่าของกำลังสอง^{[ 12 ] :หน้า 21}ของจำนวนเต็มได้
• aหรือbจะต้องหารด้วย 2 ลงตัว (เป็นจำนวนคู่ ) และด้านตรงข้ามมุมฉากc จะต้องเป็นจำนวนคี่เสมอ^{[ 13 ]}
• มีเพียง aหรือbหนึ่งตัวเท่านั้นที่หารด้วย 3 ลงตัว แต่c ไม่เคย หาร ลงตัวเลย ^{[ 14 ] [ 8 ] : 23–25}
• มีเพียง aหรือbหนึ่งตัวเท่านั้นที่หารด้วย 4 ลงตัว^{[ 8 ]}แต่ไม่มีทางที่c จะหารด้วย 4 ลงตัว (เพราะcไม่เคยเป็นจำนวนคู่)
• มีเพียงหนึ่งในa , b , c เท่านั้น ที่หารด้วย 5 ลงตัว^{[ 8 ]}
• จำนวนที่มากที่สุดที่หารabc ลงตัวเสมอ คือ 60 ^{[ 15 ]}
• จำนวนคี่ใดๆ ที่อยู่ในรูป2 m +1โดยที่mเป็นจำนวนเต็มและm >1สามารถเป็นขาคี่ของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมได้ ดู ส่วน สามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมแบบเกือบหน้าจั่วด้านล่าง อย่างไรก็ตาม เฉพาะจำนวนคู่ที่หารด้วย 4 ลงตัวเท่านั้นที่สามารถเป็นขาคู่ของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมได้ เนื่องจากสูตรของยูคลิดสำหรับขาคู่ที่ให้ไว้ข้างต้นคือ2 mnและmหรือn ตัวใดตัวหนึ่ง ต้องเป็นจำนวนคู่
• ด้านตรงข้ามมุมฉากc (ซึ่งเป็นจำนวนคี่เสมอ) คือผลรวมของกำลังสองสองจำนวน ซึ่งต้องใช้ตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดเป็นจำนวนเฉพาะในรูปแบบ4n + 1 [ ^{16 ] ดังนั้น} c จึงอยู่ในรูปแบบ4n + 1ลำดับของจำนวนด้านตรงข้ามมุมฉากที่เป็นไปได้สำหรับสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมสามารถพบได้ที่( ลำดับA008846ในOEIS )
• พื้นที่( K = ab /2)เป็นจำนวนที่สอดคล้องกัน^{[ 17 ]}ซึ่งหารด้วย 6 ลงตัว
• ในสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนทุกรูป รัศมีของวงกลมแนบในและรัศมีของวงกลมแนบนอก ทั้งสามวง จะเป็นจำนวนเต็มบวก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับสามเหลี่ยมดั้งเดิม รัศมีของวงกลมแนบในคือr = n ( m − n )และรัศมีของวงกลมแนบนอกที่อยู่ตรงข้ามด้านm ² − n ² , 2mnและด้านตรงข้ามมุมฉากm ² + n ²คือm ( m − n ) , n ( m + n )และm ( m + n )ตาม ลำดับ ^{[ 18 ]}
• สำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ ทฤษฎีบทของทาเลสในส่วนกลับ^{กล่าว}ว่าเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมล้อมรอบ เท่ากับ ^ด้าน ตรง ข้ามมุมฉาก ดังนั้นสำหรับสามเหลี่ยมดั้งเดิม เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมล้อมรอบคือm² + n²และรัศมีของวงกลมล้อมรอบคือครึ่งหนึ่งของค่านี้ ดังนั้นจึงเป็นจำนวนตรรกยะแต่ไม่ใช่จำนวนเต็ม (เนื่องจากmและnมีคู่หรือคี่ที่ตรงข้ามกัน)
• เมื่อพื้นที่ของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนถูกคูณด้วยความโค้งของวงกลมแนบในและวงกลมแนบนอก 3 วง ผลลัพธ์ที่ได้คือจำนวนเต็มบวก 4 จำนวน คือw > x > y > zตามลำดับ จำนวนเต็ม− w , x , y , zสอดคล้องกับสมการวงกลมของเดส์การ์ต [ ^{19 ] หรือ}กล่าวอีกนัยหนึ่ง รัศมีของวงกลมซอดดีด้านนอกของสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ จะเท่ากับครึ่งเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมนั้น จุดศูนย์กลางของวงกลมซอดดีด้านนอกอยู่ที่Dโดยที่ACBDเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าACBเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก และABเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก^{[ 19 ] :หน้า 6}
• มีเพียงสองด้านของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมเท่านั้นที่สามารถเป็นจำนวนเฉพาะได้พร้อมกัน เนื่องจากตามสูตรของยูคลิดสำหรับการสร้างสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิม ด้านใดด้านหนึ่งจะต้องเป็นจำนวนประกอบและเป็นจำนวนคู่^{[ 20 ]}อย่างไรก็ตาม มีเพียงด้านเดียวเท่านั้นที่สามารถเป็นจำนวนเต็มของกำลังสมบูรณ์ได้${\displaystyle p\geq 2}$เพราะถ้าทั้งสองข้างเป็นจำนวนเต็มของกำลังสมบูรณ์ที่มีเลขชี้กำลังเท่ากัน${\displaystyle p}$นั่นจะขัดแย้งกับข้อเท็จจริงที่ว่าไม่มีคำตอบจำนวนเต็มสำหรับสมการไดโอแฟนไทน์${\displaystyle x^{2p}\pm y^{2p}=z^{2}}$, กับ${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$และ${\displaystyle z}$เป็นจำนวนเฉพาะคู่^{[ 21 ]}
• ไม่มีสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนใดที่ด้านตรงข้ามมุมฉากและด้านประกอบมุมฉากด้านหนึ่งเป็นด้านประกอบมุมฉากของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนอีกรูปหนึ่ง นี่เป็นรูปแบบหนึ่งที่เทียบเท่ากับทฤษฎีบทสามเหลี่ยมมุมฉากของแฟร์มาต์^{[ 12 ] :หน้า 14}
• สามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมแต่ละรูปจะมีอัตราส่วนของพื้นที่Kต่อ กำลังสองของ ครึ่งเส้นรอบรูปsที่ไม่ซ้ำกันและกำหนดโดย^{[ 22 ]}

${\displaystyle {\frac {K}{s^{2}}}={\frac {n(mn)}{m(m+n)}}=1-{\frac {c}{s}}.}$

• ไม่มีสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมใดที่มีความสูงเป็นจำนวนเต็มจากด้านตรงข้ามมุมฉาก กล่าวคือ สามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมทุกรูปไม่สามารถแยกย่อยได้^{[ 23 ]}
• เซตของสามตัวเลขพีทาโกเรียนดั้งเดิมทั้งหมดก่อให้เกิดต้นไม้สามฐาน แบบมีราก อย่างเป็นธรรมชาติ ดูต้นไม้ของสามตัวเลขพีทาโกเรียนดั้งเดิม
• มุมแหลมทั้งสองของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนไม่สามารถเป็นจำนวนตรรกยะที่มีองศาได้^{[ 24 ]} (สิ่งนี้เป็นผลมาจากทฤษฎีบทของนิเวน )

นอกจากนี้ ยังสามารถรับประกันได้ว่าสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนพิเศษที่มีคุณสมบัติเพิ่มเติมบางประการมีอยู่จริง:

• จำนวนเต็มทุกจำนวนที่มากกว่า 2 ซึ่งไม่สอดคล้องกับ 2 mod 4 (กล่าวคือ จำนวนเต็มทุกจำนวนที่มากกว่า 2 ซึ่งไม่ อยู่ ในรูป4k + 2 ) เป็นส่วนหนึ่งของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิม (ถ้าจำนวนเต็มอยู่ในรูป4kเราสามารถใช้n = 1และm = 2kในสูตรของยุคลิดได้ ถ้าจำนวนเต็มอยู่ในรูป2k + 1เราสามารถใช้n = kและ m = k + 1 ได้ )
• จำนวนเต็มทุกจำนวนที่มากกว่า 2 เป็นส่วนหนึ่งของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนแบบดั้งเดิมหรือแบบไม่ดั้งเดิม ตัวอย่างเช่น จำนวนเต็ม 6, 10, 14 และ 18 ไม่ใช่ส่วนหนึ่งของสามเหลี่ยมแบบดั้งเดิม แต่เป็นส่วนหนึ่งของสามเหลี่ยมแบบไม่ดั้งเดิม ได้แก่(6, 8, 10) , (14, 48, 50)และ(18, 80, 82 )
• มีสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนอยู่มากมายนับไม่ถ้วน ซึ่งด้านตรงข้ามมุมฉากและด้านประกอบมุมฉากที่ยาวที่สุดต่างกันเพียงหนึ่งพอดี สามเหลี่ยมดังกล่าวจำเป็นต้องเป็นสามเหลี่ยมดั้งเดิมและมีรูปแบบ⁽ 2n + 1, 2n² + ²ⁿ , 2n² + 2n + 1 )ซึ่งเป็นผลมาจากสูตรของยูคลิด โดยสังเกตว่าเงื่อนไขดังกล่าวบ่งชี้ว่าสามเหลี่ยมนั้นเป็นสามเหลี่ยมดั้งเดิมและต้องเป็นไปตาม( m² ⁺ n² ) - 2mn = 1ซึ่งหมายความว่า( m – n ) ² ⁼ 1และดังนั้นm ⁼ n + 1รูปแบบข้างต้นของสามเหลี่ยมจึงได้มาจากการแทนค่าmด้วยn + 1 ใน สูตรของยูคลิด
• มีสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมจำนวนอนันต์ซึ่งด้านตรงข้ามมุมฉากและด้านประกอบมุมฉากที่ยาวที่สุดต่างกันเพียงสอง สามเหลี่ยมเหล่านี้ล้วนเป็นสามเหลี่ยมดั้งเดิม และได้มาจากการแทนค่าn = 1ในสูตรของยูคลิด โดยทั่วไปแล้ว สำหรับจำนวนเต็มk > 0 ทุกตัว จะมีสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมจำนวนอนันต์ซึ่งด้านตรงข้ามมุมฉากและด้าน ^{ประกอบ}มุมฉากที่เป็นจำนวนคี่ต่างกัน2k² สามเหลี่ยมเหล่านี้ได้มาจากการแทนค่าn = kในสูตรของยูคลิด
• มีสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนอยู่มากมายนับไม่ถ้วน ซึ่งด้านทั้งสองของสามเหลี่ยมนั้นต่างกันเพียงหนึ่งพอดี ตัวอย่างเช่น 20² ⁺ 21² ⁼ 29² ^ซึ่งสร้างขึ้นจากสูตรของยูคลิดเมื่อ...${\displaystyle {\tfrac {mn}{n}}}$เป็นการบรรจบกันของ${\displaystyle {\sqrt {2}}.}$
• สำหรับจำนวนเต็มบวกk แต่ละจำนวน จะมี สามเหลี่ยมพีทาโกรัส k รูปที่มีด้านตรงข้ามมุมฉากต่างกัน แต่มีพื้นที่เท่ากัน
• สำหรับจำนวนเต็มบวกk แต่ละตัว จะมีสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมที่แตกต่างกันอย่างน้อยkแบบที่มีด้านเดียวกันคือaโดยที่aเป็นจำนวนเต็มบวกบางจำนวน (ความยาวของด้านคู่คือ 2mn และเพียงพอที่จะเลือกaที่มีการแยกตัวประกอบได้หลายแบบ เช่นa = 4b โดยที่bเป็นผลคูณของ จำนวนเฉพาะคี่ที่แตกต่างกัน kตัว ซึ่งจะสร้างสามเหลี่ยมดั้งเดิมที่แตกต่างกันอย่างน้อย2k ^แบบ ) ^{[ 8 ] : 30}
• สำหรับจำนวนเต็มบวกk แต่ละจำนวน จะมีสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนอย่างน้อยkแบบที่แตกต่างกันซึ่งมีด้านตรงข้ามมุมฉากเดียวกัน^{[ 8 ] : 31}
• ถ้าc = p ^eเป็นกำลังของจำนวนเฉพาะจะมีสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมa ² + b ² = c ²ก็ต่อเมื่อ จำนวนเฉพาะpมีรูปแบบ4 n + 1 เท่านั้น สามเหลี่ยมนี้มีเอกลักษณ์เฉพาะตัวยกเว้นการสลับตำแหน่งของaและb
• โดยทั่วไปแล้ว จำนวนเต็มบวกcจะเป็นด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมก็ต่อเมื่อตัวประกอบเฉพาะ แต่ละ ตัวของcสอดคล้องกับ1มอดูล4กล่าวคือ ตัวประกอบเฉพาะแต่ละตัวมีรูปแบบ4 n + 1ในกรณีนี้ จำนวนสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิม( a , b , c )ที่a < bคือ2 ^{k −1}โดยที่kคือจำนวนตัวประกอบเฉพาะที่แตกต่างกัน^ของ c ^{[ 25} ]
• มีสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนจำนวนอนันต์ที่มีจำนวนกำลังสองสำหรับทั้งด้านตรงข้ามมุมฉากcและผลรวมของด้าน ประกอบมุมฉาก a + bตามที่แฟร์มาต์กล่าว สามเหลี่ยมพีทาโกเรียน ที่เล็กที่สุดดังกล่าว^{[ 26 ]}มีด้านa = 4,565,486,027,761 ; b = 1,061,652,293,520 ; และc = 4,687,298,610,289โดยที่a + b = 2,372,159 ²และc = 2,165,017 ²ซึ่งสร้างขึ้นโดยสูตรของยูคลิดด้วยค่าพารามิเตอร์m = 2,150,905และn = 246,792
• มีสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนที่ไม่ใช่รูปดั้งเดิม ที่มีความสูงเป็นจำนวนเต็มจากด้านตรง ข้ามมุมฉาก^{[ 27 ] [ 28 ]}สามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดังกล่าวเรียกว่าสามารถแยกส่วนได้เนื่องจากสามารถแบ่งตามความสูงนี้ออกเป็นสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนสองรูปที่แยกจากกันและมีขนาดเล็กกว่า^{[ 23 ]}

สูตรของยูคลิดสำหรับสามเหลี่ยมพีทาโกเรียน

$${\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\quad b=2mn,\quad c=m^{2}+n^{2}}$$

สามารถเข้าใจได้ในแง่ของเรขาคณิตของจุดตรรกยะบนวงกลมหน่วย( Trautman 1998 )

ในความเป็นจริง จุดในระนาบพิกัดคาร์ทีเซียนที่มีพิกัด( x , y )จะอยู่บนวงกลมหน่วยก็ต่อเมื่อx² + y² = 1 ^จุดนั้นเป็นจุดตรรกยะก็ต่อเมื่อxและyเป็นจำนวนตรรกยะนั่นคือ ถ้ามี จำนวนเต็ม a , b , c ที่เป็น จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน ซึ่งทำให้ x และ y ^{เป็น จำนวนตรรกยะ}$${\displaystyle {\biggl (}{\frac {a}{c}}{\biggr )}^{2}\!+{\biggl (}{\frac {b}{c}}{\biggr )}^{2}=1.}$$

โดยการคูณสมาชิกทั้งสองด้วยc² จะเห็น ^ได้ว่าจุดตรรกยะบนวงกลมมีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิม

วงกลมหน่วยอาจถูกกำหนดโดยสมการพาราเมตริก ได้เช่นกัน$${\displaystyle x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\quad y={\frac {2t}{1+t^{2}}}.}$$ สูตรของยูคลิดสำหรับสามเหลี่ยมพีทาโกรัสและความสัมพันธ์ผกผันt = y / (1 + x )หมายความว่า ยกเว้น(−1, 0)จุด( x , y )บนวงกลมจะเป็นจำนวนตรรกยะก็ต่อเมื่อค่าt ที่สอดคล้องกัน เป็นจำนวนตรรกยะเท่านั้น โปรดสังเกตว่าt = y / (1 + x ) = b / ( c + a ) = n / mยังเป็นค่าแทนเจนต์ของครึ่งหนึ่งของมุมที่อยู่ตรงข้ามด้านของสามเหลี่ยมที่มีความยาวbด้วย

มีความสัมพันธ์ระหว่างจุดบนวงกลมหน่วยที่มีพิกัดเชิงตรรกะและสามเหลี่ยมพีทาโกรัสแบบดั้งเดิม ณ จุดนี้ สูตรของยูคลิดสามารถหาได้โดยใช้วิธีตรีโกณมิติหรือเทียบเท่าโดยใช้การฉายภาพแบบสเตอริโอกราฟิก

สำหรับวิธีการแบบสเตอริโอกราฟิก สมมติว่าP ′ เป็นจุดบน แกน xที่มีพิกัดเป็นจำนวนตรรกยะ

$${\displaystyle P'=\left({\frac {m}{n}},0\right).}$$

จากนั้น สามารถใช้พีชคณิตพื้นฐานแสดงได้ว่าจุดPมีพิกัดดังนี้

$${\displaystyle P=\left({\frac {2\left({\frac {m}{n}}\right)}{\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}+1}},{\frac {\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}-1}{\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}+1}}\right)=\left({\frac {2mn}{m^{2}+n^{2}}},{\frac {m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}}\right).}$$

สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าจุดตรรกยะ ทุกจุด บน แกน xจะเชื่อมโยงไปยังจุดตรรกยะบนวงกลมหน่วย ส่วนข้อความกลับที่ว่า จุดตรรกยะทุกจุดบนวงกลมหน่วยจะมาจากจุดดังกล่าวบน แกน xนั้น สามารถพิสูจน์ได้โดยการใช้การฉายภาพสเตอริโอกราฟิกแบบผกผัน สมมติว่าP ( x , y )เป็นจุดบนวงกลมหน่วยที่มีxและyเป็นจำนวนตรรกยะ แล้วจุดP ′ ที่ได้จากการฉายภาพสเตอริโอกราฟิกบน แกน xจะมีพิกัดดังนี้

$${\displaystyle \left({\frac {x}{1-y}},0\right)}$$

ซึ่งเป็นเรื่องที่สมเหตุสมผล

ในแง่ของเรขาคณิตเชิงพีชคณิตความหลากหลายเชิงพีชคณิตของจุดตรรกยะบนวงกลมหน่วยเป็นไบราชันนัลกับเส้นตรงเชิงเส้นเหนือจำนวนตรรกยะ ดังนั้นวงกลมหน่วยจึงเรียกว่าเส้นโค้งตรรกยะและข้อเท็จจริงนี้เองที่ทำให้สามารถกำหนดพารามิเตอร์ของจุด (จำนวนตรรกยะ) บนวงกลมหน่วยได้อย่างชัดเจนโดยใช้ฟังก์ชันตรรกยะ

ถ้าเราพิจารณาค่ากำลังสองของจำนวนเต็มเกาส์เซียน เราจะได้การตีความโดยตรงของสูตรของยูคลิดดังนี้ ซึ่งแสดงถึงค่ากำลังสองสมบูรณ์ของจำนวนเต็มเกาส์เซียน

$${\displaystyle (m+ni)^{2}=(m^{2}-n^{2})+2mni.}$$

โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าจำนวนเต็มเกาส์เซียนเป็นโดเมนยุคลิดและสำหรับจำนวนเต็มเกาส์เซียน p${\displaystyle |p|^{2}}$เป็นกำลังสองเสมอ และสามารถแสดงได้ว่าสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนสอดคล้องกับกำลังสองของจำนวนเต็มเกาส์เซียนเฉพาะ ถ้าด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นจำนวนเฉพาะ

ถ้าจำนวนเต็มเกาส์เซียนไม่ใช่จำนวนเฉพาะ มันจะเป็นผลคูณของจำนวนเต็มเกาส์เซียนสองจำนวน p และ q กับ${\displaystyle |p|^{2}}$และ${\displaystyle |q|^{2}}$จำนวนเต็ม เนื่องจากขนาดคูณกันในจำนวนเต็มแบบเกาส์เซียน ผลคูณจึงต้องเป็น${\displaystyle |p||q|}$ซึ่งเมื่อยกกำลังสองเพื่อหาจำนวนพีทาโกเรียนสามตัวจะต้องเป็นจำนวนประกอบข้อความแย้งทำให้การพิสูจน์เสร็จสมบูรณ์

กรณีn = 1ของการสร้างสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนแบบทั่วไปนั้นเป็นที่รู้จักกันมานานแล้วโพรคลัสในคำอธิบายของเขาเกี่ยวกับทฤษฎีบทที่ 47ของหนังสือเล่มแรกของElementsของยูคลิดได้อธิบายไว้ดังนี้:

มีวิธีการค้นหาสามเหลี่ยมประเภทนี้หลายวิธีที่สืบทอดกันมา วิธีหนึ่งอ้างอิงถึงเพลโต และอีกวิธีหนึ่งอ้างอิงถึงพีทาโกรัส (วิธีหลัง) เริ่มจากจำนวนคี่ โดยกำหนดให้จำนวนคี่เป็นด้านที่เล็กกว่าของด้านที่ทำมุมฉาก จากนั้นนำกำลังสองของจำนวนคี่นั้น ลบด้วยหนึ่ง แล้วนำครึ่งหนึ่งของผลต่างนั้นไปเป็นด้านที่ใหญ่กว่าของด้านที่ทำมุมฉาก สุดท้ายบวกหนึ่งเข้าไปเพื่อสร้างด้านที่เหลือ คือด้านตรงข้ามมุมฉาก ...ส่วนวิธีของเพลโตเริ่มจากจำนวนคู่ โดยกำหนดให้จำนวนคู่นั้นเป็นด้านหนึ่งของด้านที่ทำมุมฉาก จากนั้นแบ่งครึ่งจำนวนนั้น แล้วยกกำลังสองครึ่งหนึ่งนั้น บวกหนึ่งเข้ากับกำลังสองเพื่อสร้างด้านตรงข้ามมุมฉาก และลบหนึ่งออกจากกำลังสองเพื่อสร้างด้านอีกด้านที่ทำมุมฉาก ...ด้วยวิธีนี้จึงได้สามเหลี่ยมแบบเดียวกันกับที่ได้จากวิธีอื่น

เมื่อเขียนในรูปสมการ จะได้ดังนี้:

aเป็นจำนวนคี่ (พีทาโก拉斯, ประมาณ 540 ปีก่อนคริสตกาล):

$${\displaystyle {\text{side }}a:{\text{side }}b={a^{2}-1 \over 2}:{\text{side }}c={a^{2}+1 \over 2}.}$$

aเป็นจำนวนคู่ (เพลโต, ประมาณ 380 ปีก่อนคริสตกาล):

$${\displaystyle {\text{side }}a:{\text{side }}b=\left({a \over 2}\right)^{2}-1:{\text{side }}c=\left({a \over 2}\right)^{2}+1}$$

สามารถแสดงได้ว่าสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนทั้งหมดสามารถได้มาจากการปรับขนาดที่เหมาะสมจากลำดับเพลโตพื้นฐาน ( ^a , ( a² − ¹ )/2และ( a² + 1)/2 ) โดยอนุญาต ให้ aมีค่าเป็นจำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม หาก แทนที่ aด้วยเศษส่วนm / nในลำดับ ผลลัพธ์จะเท่ากับตัวสร้างสามเหลี่ยม 'มาตรฐาน' (2mn , m² − n² ^, m² + n² ⁾หลังจากปรับขนาดแล้ว ดังนั้น สามเหลี่ยมทุกชุดจะมีค่า a ที่เป็นจำนวนตรรกยะที่สอดคล้องกัน^ซึ่งสามารถ^ใช้สร้างสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน (สามเหลี่ยมที่มีมุมทั้งสามมุมเหมือนกันและ มีด้านที่มีสัดส่วนเดียวกันกับสามเหลี่ยมเดิม) ตัวอย่างเช่น ค่าเทียบเท่าแบบเพลโตของ(56, 33, 65)ถูกสร้างขึ้นโดยa = m / n = 7/4เป็น( a , ( a ² –1)/2, ( a ² +1)/2) = (56/32, 33/32, 65/32)ลำดับแบบเพลโตนั้นสามารถหาได้โดยการทำตามขั้นตอนสำหรับการ 'แบ่งสี่เหลี่ยม' ที่อธิบายไว้ในDiophantus II.VIII

กำหนดให้จำนวนเต็มบวกสามจำนวน${\displaystyle x<y<z}$กำลัง สองของพวกมันจะเป็นลำดับเลขคณิตถ้า $${\displaystyle z^{2}-y^{2}=y^{2}-x^{2},}$$ หรือเทียบเท่าหาก $${\displaystyle x^{2}+z^{2}=2y^{2}.}$$

ลำดับเลขคณิตของกำลังสองสามจำนวนมีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับสามเหลี่ยมพีทาโกเรียน

อันที่จริง ถ้าหาก${\displaystyle (a,b,c)}$เป็นสามสิ่งเชิงพีทาโกเรียนที่มีคุณสมบัติว่า${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$จากนั้น $${\displaystyle (a-b)^{2},\quad c^{2},\quad (a+b)^{2}}$$ เป็นกำลังสองสามตัวในลำดับเลขคณิต เนื่องจาก⁠${\displaystyle (a-b)^{2}+(a+b)^{2}=2(a^{2}+b^{2})=2c^{2}}$⁠ .

ในทางกลับกัน ถ้า⁠${\displaystyle x^{2}<y^{2}<z^{2}}$เป็นกำลัง สองสามตัวในลำดับเลขคณิต โดยที่${\displaystyle y^{2}={\tfrac {x^{2}+z^{2}}{2}}}$จากนั้น $${\displaystyle \left({\tfrac {z-x}{2}},\quad y,\quad {\tfrac {z+x}{2}}\right)}$$ เป็นสามเหลี่ยมพีทาโกเรียน เนื่องจากการแปลงเหล่านี้ผกผันซึ่งกันและกัน จึงกำหนดความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งที่ประกาศไว้

ความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งนี้บ่งชี้ว่า คุณสมบัติเกือบทั้งหมดของลำดับเลขคณิตกำลังสองสามารถอนุมานได้ง่ายจากคุณสมบัติที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียน

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สูตรของยูคลิดบ่งชี้ว่าลำดับเลขคณิตกำลังสองสามตัวทั้งหมดสามารถหาได้จากสูตรนี้ $${\displaystyle (m^{2}-n^{2}-2mn)^{2},\quad (m^{2}+m^{2})^{2},\quad (m^{2}-n^{2}+2mn)^{2},}$$ ที่ไหน​${\displaystyle m}$และ​​${\displaystyle n}$เป็นจำนวนเต็มบวกสองจำนวนใดๆ ที่มีพาริตี ต่างกัน

นอกจากนี้ ความแตกต่าง${\displaystyle z^{2}-y^{2}=y^{2}-x^{2}}$ผลต่างระหว่างกำลังสองที่อยู่ติดกันในลำดับเลขคณิตของกำลังสองจะเป็นพหุคูณของ 24 เสมอ นี่เป็นผลมาจากความสัมพันธ์การหารที่กล่าวไว้ในหัวข้อ§  คุณสมบัติทั่วไปเนื่องจากผลต่างนี้คือ⁠${\displaystyle 2ab}$โดยที่​${\displaystyle a}$และ​​${\displaystyle b}$เป็นองค์ประกอบแรกของสามเหลี่ยมยูคลิดที่เกี่ยวข้อง

ผลที่ได้คือ ลำดับเลขคณิตที่เล็กที่สุดของกำลังสองสามตัวคือ $${\displaystyle (1,25,49).}$$

สมการ

$${\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=(a+b+c+d)^{4}}$$

เทียบเท่ากับสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนพิเศษ

$${\displaystyle (a^{2}+ab+b^{2})^{2}+(c^{2}+cd+d^{2})^{2}=((a+b)^{2}+(a+b)(c+d)+(c+d)^{2})^{2}}$$

สมการนี้มีคำตอบนับไม่ถ้วน เนื่องจากการหาค่าตัวแปรเกี่ยวข้องกับเส้นโค้งวงรีคำตอบเล็กๆ ได้แก่...

$${\displaystyle a,b,c,d=-2634,955,1770,5400}$$

$${\displaystyle a,b,c,d=-31764,7590,27385,48150}$$

วิธีหนึ่งในการสร้างแนวทางแก้ไขปัญหา${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}}$คือการกำหนดพารามิเตอร์a, b, c, d ในรูปของจำนวนเต็มm, n, p, qดังต่อไปนี้: ^{[ 35 ]}

$${\displaystyle (m^{2}+n^{2})(p^{2}+q^{2})=(mp-nq)^{2}+(np+mq)^{2}=(mp+nq)^{2}+(np-mq)^{2}.}$$

กำหนดให้ชุดสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนสองชุด

$${\displaystyle (a^{2}-b^{2})^{2}+(2ab)^{2}=(a^{2}+b^{2})^{2}}$$

$${\displaystyle (c^{2}-d^{2})^{2}+(2cd)^{2}=(c^{2}+d^{2})^{2}}$$

ปัญหาของการหาผลคูณที่เท่ากันของด้านที่ไม่ใช่ด้านตรงข้ามมุมฉากและด้านตรงข้ามมุมฉาก

$${\displaystyle (a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})=(c^{2}-d^{2})(c^{2}+d^{2})}$$

สามารถเห็นได้อย่างง่ายดายว่าเทียบเท่ากับสมการ

$${\displaystyle a^{4}-b^{4}=c^{4}-d^{4}}$$

และออยเลอร์เป็นผู้แก้ปัญหานี้เป็นครั้งแรก${\displaystyle a,b,c,d=133,59,158,134.}$ เนื่องจากเขาแสดงให้เห็นว่าจุดนี้เป็นจุดตรรกยะบนเส้นโค้งวงรีดังนั้นจึงมีคำตอบเป็นอนันต์ ที่จริงแล้ว เขายังค้นพบการกำหนดพารามิเตอร์พหุนามดีกรี 7 อีกด้วย

สำหรับกรณีของทฤษฎีบทวงกลมของเดส์การ์ตซึ่งตัวแปรทั้งหมดเป็นกำลังสอง

$${\displaystyle 2(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})=(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}}$$

ออยเลอร์แสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้เทียบเท่ากับสามเหลี่ยมพีทาโกรัสสามชุดที่เกิดขึ้นพร้อมกัน

$${\displaystyle (2ab)^{2}+(2cd)^{2}=(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}}$$

$${\displaystyle (2ac)^{2}+(2bd)^{2}=(a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2})^{2}}$$

$${\displaystyle (2ad)^{2}+(2bc)^{2}=(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})^{2}}$$

นอกจากนี้ยังมีคำตอบนับไม่ถ้วน และสำหรับกรณีพิเศษเมื่อ${\displaystyle a+b=c}$จากนั้นสมการจะลดรูปเหลือดังนี้

$${\displaystyle 4(a^{2}+ab+b^{2})=d^{2}}$$

ด้วยวิธีแก้ปัญหาเล็กๆ น้อยๆ เช่น${\displaystyle a,b,c,d=3,5,8,14}$และสามารถแก้ได้โดยใช้ รูปแบบกำลังสอง แบบไบนารี

ไม่มีสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนใดเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วเพราะอัตราส่วนของด้านตรงข้ามมุมฉากต่อด้านอีกด้านคือ√2แต่ √2 ไม่สามารถแสดงเป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็ม 2จำนวนได้

อย่างไรก็ตาม มีสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านเป็นจำนวนเต็ม ซึ่งความยาวของด้านที่ไม่ใช่ด้านตรงข้ามมุมฉากแตกต่างกันหนึ่ง เช่น

$${\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}}$$

$${\displaystyle 20^{2}+21^{2}=29^{2}}$$

และอื่นๆ อีกมากมายนับไม่ถ้วน พวกมันสามารถกำหนดพารามิเตอร์ได้อย่างสมบูรณ์ดังนี้

$${\displaystyle \left({\tfrac {x-1}{2}}\right)^{2}+\left({\tfrac {x+1}{2}}\right)^{2}=y^{2}}$$

โดยที่ { x, y } คือคำตอบของสมการเพลล์${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=-1.}$

ถ้าa , b , cเป็นด้านของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนแบบดั้งเดิมชนิดนี้ คำตอบของสมการเพลล์จะกำหนดโดยสูตรเวียนเกิดดังนี้

$${\displaystyle a_{n}=6a_{n-1}-a_{n-2}+2}$$กับ${\displaystyle a_{1}=3}$และ${\displaystyle a_{2}=20}$$${\displaystyle b_{n}=6b_{n-1}-b_{n-2}-2}$$กับ${\displaystyle b_{1}=4}$และ${\displaystyle b_{2}=21}$$${\displaystyle c_{n}=6c_{n-1}-c_{n-2}}$$กับ${\displaystyle c_{1}=5}$และ​${\displaystyle c_{2}=29}$[ ³⁶ ]^​​

ลำดับของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมนี้ก่อให้เกิดลำต้นกลางของ ต้นไม้ สามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมที่มีราก

เมื่อด้านที่ไม่ใช่ด้านตรงข้ามมุมฉากที่ยาวกว่าและด้านตรงข้ามมุมฉากต่างกันหนึ่งหน่วย เช่นในกรณีนี้

$${\displaystyle 5^{2}+12^{2}=13^{2}}$$

$${\displaystyle 7^{2}+24^{2}=25^{2}}$$

ดังนั้นคำตอบที่สมบูรณ์สำหรับสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมa , b , cคือ

$${\displaystyle a=2m+1,\quad b=2m^{2}+2m,\quad c=2m^{2}+2m+1}$$

และ

$${\displaystyle (2m+1)^{2}+(2m^{2}+2m)^{2}=(2m^{2}+2m+1)^{2}}$$

โดยที่จำนวนเต็ม${\displaystyle m>0}$คือพารามิเตอร์การสร้าง

แสดงให้เห็นว่าจำนวนคี่ ทั้งหมด (มากกว่า 1) ปรากฏอยู่ในสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมแบบเกือบเท่าสามเหลี่ยมหน้าจั่วประเภทนี้ ลำดับของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมนี้ก่อให้เกิดลำต้นด้านนอกทางด้านขวามือของต้นไม้ไตรภาคแบบมีรากของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิม

คุณสมบัติอีกประการหนึ่งของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมแบบเกือบหน้าจั่วประเภทนี้คือ ด้านต่างๆ มีความสัมพันธ์กันดังนี้ $${\displaystyle a^{b}+b^{a}=Kc}$$ สำหรับจำนวนเต็มบางจำนวน${\displaystyle K}$หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง${\displaystyle a^{b}+b^{a}}$หารลงตัวด้วย${\displaystyle c}$เช่นใน $${\displaystyle (5^{12}+12^{5})/13=18799189}$$[ ^{37 ]​}

เริ่มตั้งแต่ 5 เป็นต้นไปจำนวนฟิโบนาชี่ ทุกๆ ตัวที่สอง จะเป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านเป็นจำนวนเต็ม หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ จำนวนที่มากที่สุดในสามเหลี่ยมพีทาโกเรียน ซึ่งได้มาจากสูตร $${\displaystyle (F_{n}F_{n+3})^{2}+(2F_{n+1}F_{n+2})^{2}=F_{2n+3}^{2}.}$$ ลำดับของรูปสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนที่ได้จากสูตรนี้จะมีด้านยาวเท่ากับ...

(3,4,5), (5,12,13), (16,30,34), (39,80,89), ...

ด้านตรงกลางของสามเหลี่ยมแต่ละรูปนี้คือผลรวมของด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมก่อนหน้า^{[ 38 ]}

การแสดงออก $${\displaystyle \left(m_{1}^{2}-m_{2}^{2}-\ldots -m_{n}^{2}\right)^{2}+\sum _{k=2}^{n}(2m_{1}m_{k})^{2}=\left(m_{1}^{2}+\ldots +m_{n}^{2}\right)^{2}}$$ เป็นทูเปิลพีทา^{เรียน n ตัว สำหรับทูเปิลของจำนวนเต็มบวกใดๆ (m₁, ..., mₙ) โดยที่ m₂₁ > m₂₂} ... + m₂n ทูเปิลพีทาโกเรียนตัวสามารถเป็นทู^เปิลดั้งเดิมได้โดยการหารด้วยตัวหารร่วมมากที่สุดของค่าต่างๆ ในทู^เปิล

นอกจากนี้ยังสามารถหาทูเปิลพีทาโกเรียนดั้งเดิม n ตัวใดๆ ก็ได้ โดยที่ a 2 1 + ... + a 2 n = c 2 โดยใช้วิธีนี้ ใช้( m 1 ^, , m ⁿ = ( ^c + a , a , ... , a ) เพื่อทูเปิพีทาโก เรียน nตัวโดยใช้สูตรข้างต้น แล้วหารด้วยตัวหารร่วมมากที่สุด ซึ่งก็คือ2 m = 2( c + a )การหารด้วยตัวหารร่วมมากที่สุดของ ค่า ( m , ..., m ) เหล่านี้จะให้ทูเปิลพีทาโกเรียนดั้งเดิม nตัวเดียวกันและมีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างทูเปิลของจำนวนเต็มบวกที่ไม่มีตัวหารร่วมกัน( m , ..., m )ที่สอดคล้องกับm ² > m ² + ... + m ² และทูเปิลพีทาโกเรียนดั้งเดิมnตัว

ตัวอย่างความสัมพันธ์ระหว่างค่าจำนวนเฉพาะร่วมในแต่ละเซต${\displaystyle {\vec {m}}}$และn -tuple พีทาโกเรียนดั้งเดิมประกอบด้วย: ^{[ 39 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {m}}=(1)&\leftrightarrow 1^{2}=1^{2}\\{\vec {m}}=(2,1)&\leftrightarrow 3^{2}+4^{2}=5^{2}\\{\vec {m}}=(2,1,1)&\leftrightarrow 1^{2}+2^{2}+2^{2}=3^{2}\\{\vec {m}}=(3,1,1,1)&\leftrightarrow 1^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}=2^{2}\\{\vec {m}}=(5,1,1,2,3)&\leftrightarrow 1^{2}+1^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}=4^{2}\\{\vec {m}}=(4,1,1,1,1,2)&\leftrightarrow 1^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}+2^{2}=3^{2}\\{\vec {m}}=(5,1,1,1,2,2,2)&\leftrightarrow 1^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}+2^{2}+2^{2}+2^{2}=4^{2}\end{aligned}}}$$

การขยายแนวคิดของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนคือการค้นหาสามเหลี่ยมของจำนวนเต็มบวกa , bและcที่ทำให้a ⁿ + b ⁿ = c ⁿสำหรับn บางค่า ที่มากกว่า 2 อย่างเคร่งครัดปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์ในปี 1637 อ้างว่าไม่มีสามเหลี่ยมดังกล่าวอยู่จริง ซึ่งข้ออ้างนี้ต่อมาเป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์เพราะใช้เวลานานกว่าข้อสันนิษฐานอื่นๆ ของแฟร์มาต์ในการพิสูจน์หรือหักล้าง การพิสูจน์ครั้งแรกเกิดขึ้นโดยแอนดรูว์ ไวลส์ในปี 1994

อีกหนึ่งแนวคิดทั่วไปคือการค้นหาลำดับของจำนวนเต็มบวกn + 1ตัว ซึ่ง กำลังที่ nของตัวสุดท้ายเท่ากับผลรวมของ กำลังที่ nของตัวก่อนหน้า ลำดับที่เล็กที่สุดสำหรับค่าn ที่ทราบแล้ว มีดังนี้:

• n = 3: {3, 4, 5; 6}
• n = 4: {30, 120, 272, 315; 353}
• n = 5: {19, 43, 46, 47, 67; 72}
• n = 7: {127, 258, 266, 413, 430, 439, 525; 568}
• n = 8: {90, 223, 478, 524, 748, 1088, 1190, 1324; 1409}

สำหรับ กรณี n = 3ซึ่ง${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=w^{3},}$เรียกว่า สมการกำลังสามของแฟร์มาต์มีสูตรทั่วไปที่ให้คำตอบทั้งหมดอยู่

การสรุปทั่วไปที่แตกต่างออกไปเล็กน้อยทำให้ผลรวมของ กำลัง ( k + 1) nเท่ากับผลรวมของ กำลัง ( n − k ) nตัวอย่างเช่น:

• ( n = 3 ): ^1³ + 12³ ⁼ 9³ ⁺ 10³ ^ซึ่งโด่งดังมาจากความทรงจำของฮาร์ดีเกี่ยวกับการสนทนากับรามานุจันเกี่ยวกับจำนวน1729ที่เป็นจำนวนที่เล็กที่สุดที่สามารถแสดงเป็นผลรวมของลูกบาศก์สองจำนวนในสองวิธีที่แตกต่างกัน

อาจมีจำนวนเต็มบวกn − 1 ตัวที่ผลรวมกำลังที่ n ของพวกมัน เท่ากับ ผลรวมกำลังที่ n (ถึงแม้ว่าตามทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์แล้วจะไม่เป็นเช่นนั้นสำหรับn = 3)สิ่งเหล่านี้เป็นตัวอย่างค้านต่อข้อสันนิษฐานผลรวมกำลังของออยเลอร์ตัวอย่างค้านที่เล็กที่สุดที่รู้จักคือ^{[ 44 ] [ 45 ] [ 15 ]}

• n = 4 : (95800, 217519, 414560; 422481)
• n = 5 : (27, 84, 110, 133; 144)

สามเหลี่ยมเฮโรเนียนโดยทั่วไปนิยามว่าคือสามเหลี่ยมที่มีด้านเป็นจำนวนเต็มและพื้นที่ก็เป็นจำนวนเต็มเช่นกัน ความยาวของด้านของสามเหลี่ยมดังกล่าวประกอบกันเป็นสามตัวเลขเฮโรเนียน( a, b, c )โดยที่a ≤ b ≤ cสามตัวเลขพีทาโกเรียนทุกชุดเป็นสามตัวเลขเฮโรเนียน เพราะอย่างน้อยหนึ่งในด้านประกอบมุมฉากa , bต้องเป็นจำนวนคู่ในสามตัวเลขพีทาโกเรียน ดังนั้นพื้นที่ab /2 จึงเป็นจำนวนเต็ม อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ทุกสามตัวเลขเฮโรเนียนจะเป็นสามตัวเลขพีทาโกเรียน ดังตัวอย่าง(4, 13, 15)ที่มีพื้นที่ 24 แสดงให้เห็น

ถ้า( a , b , c )เป็นสามเหลี่ยมเฮโรเนียน (Heronian triple) แล้ว( ka , kb , kc ) ก็ เป็น สามเหลี่ยมเฮโรเนียนเช่นกัน โดยที่k เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ พื้นที่ของสามเหลี่ยมเฮโรเนียนจะเป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า พื้นที่ของ สามเหลี่ยม ( a , b , c )อยู่k เท่า ² เท่า สามเหลี่ยมเฮโรเนียน( a , b , c ) ถือเป็นสามเหลี่ยม ดั้งเดิม (primitive triple) ก็ต่อ เมื่อa , b , cเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน (สำหรับสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิม ข้อความที่เข้มงวดกว่าที่ว่าจำนวนเหล่านั้นเป็นจำนวน เฉพาะสัมพัทธ์ กันเป็นคู่ๆก็ใช้ได้เช่นกัน แต่สำหรับสามเหลี่ยมเฮโรเนียนดั้งเดิม ข้อความที่เข้มงวดกว่านี้อาจไม่เป็นจริงเสมอไป เช่น(7, 15, 20) ) ต่อไปนี้เป็นสามเหลี่ยมเฮโรเนียนดั้งเดิมที่ง่ายที่สุดบางส่วนที่ไม่ใช่สามเหลี่ยมพีทาโกเรียน:

(4, 13, 15) ที่มีพื้นที่ 24

(3, 25, 26) ที่มีพื้นที่ 36

(7, 15, 20) ที่มีพื้นที่ 42

(6, 25, 29) ที่มีพื้นที่ 60

(11, 13, 20) กับพื้นที่ 66

(13, 14, 15) ที่มีพื้นที่ 84

(13, 20, 21) ที่มีพื้นที่ 126

ตามสูตรของเฮรอนเงื่อนไขเพิ่มเติมสำหรับสามจำนวนเต็มบวก( a , b , c )โดยที่a < b < cที่จะเป็นแบบเฮรอนคือ

( a ² + b ² + c ² ) ² − 2( a ⁴ + b ⁴ + c ⁴ )

หรือเทียบเท่า

2( a ² b ² + a ² c ² + b ² c ² ) − ( a ⁴ + b ⁴ + c ⁴ )

เป็นจำนวนกำลังสองสมบูรณ์ที่ไม่ใช่ศูนย์และหารด้วย 16 ลงตัว

สามเท่าพีทาโกเรียนดั้งเดิมถูกนำมาใช้ในการเข้ารหัสลับเป็นลำดับสุ่มและสำหรับการสร้างคีย์^{[ 46 ]}