ในเรขาคณิตและทฤษฎีกลุ่ม แล ตทิซในปริภูมิพิกัดจริง คือเซตอนันต์ของจุดในปริภูมินี้ที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ^{[ 1 ]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• การบวกหรือลบพิกัดของจุดสองจุดในโครงข่ายจะทำให้เกิดจุดในโครงข่ายอีกจุดหนึ่ง
• จุดต่างๆ บนโครงตาข่ายล้วนอยู่ห่างกันด้วยระยะทางขั้นต่ำค่าหนึ่ง
• ทุกจุดในอวกาศจะอยู่ภายในระยะห่างสูงสุดที่กำหนดจากจุดบนโครงตาข่าย

หนึ่งในตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของโครงข่ายคือโครงข่ายสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งประกอบด้วยจุดทั้งหมดในระนาบที่มีพิกัดเป็นจำนวนเต็ม ทั้งสองจุด และโครงข่ายที่มีมิติสูงกว่าอย่าง โครง ข่าย จำนวนเต็ม${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$

การปิดภายใต้การบวกและการลบหมายความว่าแลตทิซจะต้องเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มบวกของจุดในปริภูมิ ข้อกำหนดของระยะทางขั้นต่ำและสูงสุดสามารถสรุปได้โดยกล่าวว่าแลตทิซเป็นเซตเดโลน^{[ 2 ]}

กล่าวโดยสรุปแล้ว แลตทิซสามารถอธิบายได้ว่าเป็นกลุ่มอาเบเลียนอิสระที่มีมิติซึ่งครอบคลุมปริภูมิเวกเตอร์ ⁠ ⁠ สำหรับฐานใดๆของ ⁠ ⁠ กลุ่มย่อยของผลรวมเชิงเส้น ทั้งหมด ที่มี สัมประสิทธิ์ จำนวนเต็มของเวกเตอร์ฐานจะก่อให้เกิดแลตทิซ และแลตทิซทุกอันสามารถสร้างขึ้นจากฐานได้ด้วยวิธีนี้ แลตทิซอาจมองได้ว่าเป็นการปูพื้นที่อย่างสม่ำเสมอของปริภูมิด้วยเซลล์ ดั้งเดิม${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

โครงสร้างแลตติสมีประโยชน์มากมายในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในส่วนที่เกี่ยวข้องกับพีชคณิตลีทฤษฎีจำนวนและทฤษฎีกลุ่มนอกจากนี้ยังปรากฏในคณิตศาสตร์ประยุกต์ในส่วนที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีการเข้ารหัสในทฤษฎีการซึมผ่านเพื่อศึกษาการเชื่อมต่อที่เกิดขึ้นจากปฏิสัมพันธ์ขนาดเล็กการเข้ารหัสลับเนื่องจากความยากลำบากในการคำนวณของปัญหาแลตติส หลายอย่าง และเกิดขึ้นบ่อยครั้งในวิทยาศาสตร์กายภาพ ตัวอย่างเช่น ในวิทยาศาสตร์วัสดุและฟิสิกส์ของแข็ง แลตติสเป็นคำพ้องความหมายของโครงสร้างผลึก ซึ่งเป็นอาร์เรย์สามมิติของจุดที่เว้นระยะห่างอย่างสม่ำเสมอ ซึ่งในบางกรณีพิเศษจะตรงกับตำแหน่ง ของ อะตอมหรือโมเลกุล ใน ผลึกโดยทั่วไปแล้วแบบจำลองแลตติสจะถูกศึกษาในฟิสิกส์โดยมักใช้เทคนิคของฟิสิกส์เชิงคำนวณ

แลตติซคือกลุ่มสมมาตรของสมมาตรการเลื่อน แบบไม่ต่อเนื่อง ใน ทิศทาง nรูปแบบที่มีแลตติซของสมมาตรการเลื่อนนี้ไม่สามารถมีสมมาตรมากกว่า แต่อาจมีสมมาตรน้อยกว่าแลตติซเองได้^{[ 3 ]}ในฐานะกลุ่ม (โดยละทิ้งโครงสร้างทางเรขาคณิต) แลตติซเป็นกลุ่มอาเบเลียนอิสระที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด และดังนั้นจึงเป็นไอโซมอร์ฟิกกับ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$

แลตติสในความหมายของอาร์เรย์สามมิติของจุดที่เว้นระยะห่างอย่างสม่ำเสมอซึ่งตรงกับตำแหน่งของอะตอมหรือโมเลกุล ใน ผลึกหรือโดยทั่วไปแล้วคือวงโคจรของการกระทำของกลุ่มภายใต้สมมาตรการเลื่อน เป็นการเลื่อนของแลตติสการเลื่อน: โคเซต ซึ่งไม่จำเป็นต้องมีจุดกำเนิด และดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องเป็นแลตติสในความหมายก่อนหน้านี้

ตัวอย่างง่ายๆ ของแลตทิซในคือกลุ่มย่อย⁠ ⁠ตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่านั้น ได้แก่แลตทิซE ₈ซึ่งเป็นแลตทิซใน⁠ ⁠และแลตทิซ Leechใน⁠ ⁠ แลตทิซคาบในเป็นหัวใจสำคัญในการศึกษาฟังก์ชันเชิงวงรีซึ่งพัฒนาขึ้นในคณิตศาสตร์ศตวรรษที่สิบเก้า และสามารถขยายไปสู่มิติที่สูงกว่าในทฤษฎีฟังก์ชันอาเบเลียนแลตทิซที่เรียกว่าแลตทิซรากมีความสำคัญในทฤษฎีพีชคณิต Lie แบบง่ายตัวอย่างเช่น แลตทิซ E ₈เกี่ยวข้องกับพีชคณิต Lie ที่มีชื่อเดียวกัน ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{24}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

โครงสร้าง แลตติซจึงมีรูปแบบดังนี้ ${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \Lambda ={\biggl \{}\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\mathbin {\bigg \vert } a_{i}\in \mathbb {Z} {\biggr \}},}$

โดยที่เป็นฐานสำหรับซึ่งเวกเตอร์คอลัมน์ของมันประกอบกันเป็นเมทริกซ์n x n ชื่อ Mฐานอื่นๆที่มีเมทริกซ์M' นั้นมีความสัมพันธ์กันโดยออโตมอร์ฟิซึมของกลุ่มซึ่ง หมายความว่าสำหรับเมทริกซ์การเปลี่ยนผ่านจำนวนเต็มที่มี${\textstyle \{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}\}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\textstyle \{v_{1}',v_{2}',\ldots ,v_{n}'\}}$${\displaystyle \Lambda \cong \mathbb {Z} ^{n}}$${\displaystyle M'=AM}$${\displaystyle A\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \det(A)=\pm 1}$

แลตทิซเติมเต็มปริภูมิทั้งหมดด้วยไทล์ที่ เท่ากัน ซึ่งเป็นสำเนาของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานnมิติที่สร้างขึ้นโดยเวกเตอร์ฐาน ซึ่งเรียกว่าโดเมนพื้นฐานหรือเซลล์ดั้งเดิมของแลตทิซปริมาตรnมิติของโดเมนพื้นฐานนี้บางครั้งเรียกว่าปริมาตรร่วมของแลตทิซ: มันไม่เปลี่ยนแปลงสำหรับฐานใดๆ และสามารถคำนวณได้เป็น(ถ้า แลตทิซ nมิติอยู่ในปริภูมิที่มีมิติสูงกว่าฐานของมันจะสร้าง เมทริกซ์ m x nซึ่งสามารถคำนวณปริมาตรได้โดยใช้เมทริกซ์แกรม : ) แลตทิซที่มีเรียกว่า แลตทิซแบบ เอกโมดูลาร์ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle d(\Lambda )=|\det(M)|}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle d(\Lambda )={\sqrt {\det M^{t}M}}}$${\displaystyle d(\Lambda )=1}$

ทฤษฎีบทของมินคอฟสกี เชื่อม โยง${\displaystyle \mathrm {d} (\Lambda )}$จำนวน หรือโดยทั่วไป คือปริมาตรของเซตเว้า สมมาตร กับจำนวนจุดแลตติสที่บรรจุอยู่ในเซตนั้นสำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอดเป็นสมาชิกของแลตติส จำนวนจุดแลตติสที่รูปทรงหลายเหลี่ยมนั้นบรรจุอยู่จะถูกอธิบายโดยพหุนามเออร์ฮาร์ต ของรูปทรง หลายเหลี่ยมนั้น สูตรสำหรับสัมประสิทธิ์บางส่วนของพหุนามนี้ก็เกี่ยวข้องกับด้วยเช่น กัน${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathrm {d} (\Lambda )}$

ปัญหาแลตติซเชิงคำนวณมีการประยุกต์ใช้มากมายในวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ ตัวอย่างเช่นอัลกอริทึมการลดฐานแลตติซ Lenstra–Lenstra–Lovász (LLL) ถูกนำมาใช้ในการวิเคราะห์การเข้ารหัสของแผนการเข้ารหัสแบบกุญแจสาธารณะ หลายแบบ ^{[ 4 ]}และแผนการเข้ารหัสแบบแลตติซ หลายแบบ เป็นที่ทราบกันว่ามีความปลอดภัยภายใต้สมมติฐานที่ว่าปัญหาแลตติซบางอย่างยากต่อการคำนวณ^{[ 5 ]}

มีโครงสร้างแลตติส 2 มิติอยู่ 5 แบบ ตามทฤษฎีบทข้อจำกัดทางผลึกศาสตร์ด้านล่างนี้แสดงกลุ่มวอลเปเปอร์ของแลตติส ใน สัญกรณ์ IUCr , สัญกรณ์ Orbifoldและสัญกรณ์ Coxeterพร้อมกับแผนภาพวอลเปเปอร์ที่แสดงโดเมนสมมาตร โปรดทราบว่า รูปแบบที่มีแลตติสสมมาตรการเลื่อนนี้ ไม่สามารถมีสมมาตรมากกว่า แต่สามารถมีสมมาตรน้อยกว่าแลตติสเองได้ มี รายการกลุ่มย่อยทั้งหมดให้ดู ตัวอย่างเช่น ด้านล่างนี้ แสดงแลตติสหกเหลี่ยม/สามเหลี่ยมสองครั้ง โดยมีสมมาตรการสะท้อน 6 เท่าเต็ม และสมมาตรการสะท้อน 3 เท่าครึ่ง ถ้ากลุ่มสมมาตรของรูปแบบมี การหมุน nเท่า แลตติสจะมีสมมาตรn เท่าสำหรับ n คู่ และ 2n เท่าสำหรับnคี่ ${\displaystyle \Lambda }$

cmm, (2*22), [∞,2 + ,∞]	p4m, (*442), [4,4]	p6m, (*632), [6,3]
ตารางสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนตารางสี่เหลี่ยมผืนผ้าแบบมีจุดศูนย์กลางตารางสามเหลี่ยมหน้าจั่ว	ตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสสามเหลี่ยมหน้าจั่วฉาก	โครงสร้างตาข่ายหกเหลี่ยม (โครงสร้างตาข่ายสามเหลี่ยมด้านเท่า)
พีเอ็มเอ็ม, *2222, [∞,2,∞]	p2, 2222, [∞,2,∞] +	p3m1, (*333), [3 [3] ]
ตารางสี่เหลี่ยมผืนผ้า ตาราง รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน แบบมีจุดศูนย์กลาง ตารางสามเหลี่ยมมุมฉาก	สามเหลี่ยมด้านเฉียงขัดแตะสามเหลี่ยม	โครงตาข่ายสามเหลี่ยมด้านเท่า (โครงตาข่ายหกเหลี่ยม)

สำหรับการจำแนกประเภทของโครงตาข่ายที่กำหนด ให้เริ่มต้นด้วยจุดหนึ่งจุด แล้วเลือกจุดที่สองที่อยู่ใกล้ที่สุด สำหรับจุดที่สาม ซึ่งไม่ได้อยู่บนเส้นเดียวกัน ให้พิจารณาระยะห่างระหว่างจุดนั้นกับจุดทั้งสองจุดแรก ในบรรดาจุดที่ระยะห่างที่น้อยกว่ามีค่าน้อยที่สุด ให้เลือกจุดที่ระยะห่างที่มากกว่ามีค่าน้อยที่สุด (ในทางตรรกะแล้วไม่เท่ากันแต่ในกรณีของโครงตาข่าย จะให้ผลลัพธ์เดียวกันก็คือ "เลือกจุดที่ระยะห่างที่มากกว่ามีค่าน้อยที่สุด")

กรณีทั้งห้าดังกล่าว สอดคล้องกับรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว รูปสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว และรูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า ในโครงสร้างตาข่ายรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ระยะทางที่สั้นที่สุดอาจเป็นเส้นทแยงมุมหรือด้านใดด้านหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนก็ได้ กล่าวคือ ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดสองจุดแรก อาจเป็นหรือไม่เป็นด้านเท่ากันของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วก็ได้ ขึ้นอยู่กับว่ามุมที่เล็กกว่าของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนั้น น้อยกว่า 60° หรืออยู่ระหว่าง 60° ถึง 90°

กรณีทั่วไปเรียกว่าแลตทิซคาบเวกเตอร์ { p , q } เป็นคู่ตัวสร้างหรือฐานของแลตทิซแทนที่จะใช้ { p , q } เรายังสามารถใช้ฐาน { p , p − q } หรือโดยทั่วไป { ap + bq , cp + dq }สำหรับจำนวนเต็มa , b , c , dซึ่งประกอบเป็นเมทริกซ์การเปลี่ยนผ่านจำนวนเต็มที่ มีดีเทอร์มิ แน นต์ เท่ากับ1หมายความว่าpและqเป็นผลรวมเชิงเส้นจำนวนเต็มของเวกเตอร์อีกสองตัว (เมทริกซ์การเปลี่ยนผ่านอยู่ในกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของแลตทิซ ซึ่งเป็นการปกคลุมสองชั้นของ กลุ่มมอดูลาร์ที่ได้รับการศึกษาอย่างดี) ${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle T={\bigl (}{\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}}{\bigr )}}$${\displaystyle \det T=ad-bc=\pm 1}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathrm {GL} _{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle L\cong \mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

แต่ละคู่ฐาน { p , q } กำหนดรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ซึ่งทั้งหมดมีพื้นที่เท่ากัน โดยกำหนดจากขนาดของผลคูณไขว้p x qรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานพื้นฐานของสมมาตรการเลื่อนขนาน กล่าวคือ โดเมนพื้นฐานหรือเซลล์ดั้งเดิม

เวกเตอร์ฐาน { p,q } สามารถแทนด้วยจำนวนเชิงซ้อนได้ โดยไม่นับการเปลี่ยนแปลงขนาดของแลตทิซและการหมุน คู่ { p,q } สามารถแทนด้วยผลหารของจำนวนเชิงซ้อนได้ หากเรากำหนดจุดแลตทิซมาตรฐานสองจุดคือ 0 และ 1 ในระนาบเชิงซ้อน รูปร่างของแลตทิซจะถูกกำหนดโดยจุดแลตทิซที่สามz = p / qการเปลี่ยนฐานแสดงด้วยกลุ่มมอดูลาร์ซึ่งกระทำบนระนาบเชิงซ้อนด้วยการแปลงเศษส่วนเชิงเส้นที่สร้างขึ้นจากการดำเนินการสองอย่างคือ การเลื่อนไปยังจุดที่สามที่แตกต่างกันในกริดเดียวกัน และการเลือกด้านที่แตกต่างกันของสามเหลี่ยมเป็นด้านอ้างอิง 0–1 ภาพแสดงการกระทำของกลุ่มมอดูลาร์บนระนาบเชิงซ้อน(อย่าสับสนกับการเลื่อนแลตทิซบนระนาบจริง) แต่ละ "สามเหลี่ยมโค้ง" ในภาพเป็นโดเมนพื้นฐานของกลุ่มมอดูลาร์ ซึ่งมีจำนวนเชิงซ้อนหนึ่งตัวสำหรับแต่ละแลตทิซ 2 มิติโดยไม่นับการปรับขนาดและการหมุน พื้นที่สีเทาคือโดเมนพื้นฐานมาตรฐาน ซึ่งสอดคล้องกับการแสดงแบบแคนอนิก โดยที่ 0 และ 1 เป็นจุดแลตติสสองจุดที่อยู่ใกล้กันที่สุด การทำซ้ำจะถูกหลีกเลี่ยงโดยการรวมเฉพาะครึ่งหนึ่งของขอบเขตเท่านั้น แลตติสรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนแสดงด้วยจุดบนขอบเขต โดยมีแลตติสรูปหกเหลี่ยมเป็นจุดยอด และiสำหรับแลตติสรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส แลตติสรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าอยู่บนแกนจินตนาการ และพื้นที่ที่เหลือแสดงถึงแลตติสรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน โดยภาพสะท้อนของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานแสดงด้วยภาพสะท้อนบนแกนจินตนาการ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle T:z\mapsto z+1}$${\displaystyle S:z\mapsto -1/z}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \Lambda }$

โครงสร้าง แลตติส 14 แบบในสามมิติเรียกว่าแลตติสบราเวส์ซึ่งมีลักษณะเฉพาะด้วยกลุ่มปริภูมิรูปแบบสามมิติที่มีสมมาตรการเลื่อนแบบใดแบบหนึ่งนั้น จะไม่สามารถมีสมมาตรมากกว่า แต่สามารถมีสมมาตรน้อยกว่าแลตติสนั้นได้

แลตทิซในคือกลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่องของซึ่งแผ่ขยายเป็นปริภูมิเวกเตอร์จริง เนื่องจากมิติของในฐานะปริภูมิเวกเตอร์จริง เท่ากับ⁠ ⁠ ดังนั้น แลตทิซในจะเป็นกลุ่มอาเบเลียนอิสระที่มีอันดับ ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle 2n}$

ตัวอย่างเช่นจำนวนเต็มเกาส์เซียน ก่อตัวเป็นแลตทิซใน⁠ ⁠เช่นเดียวกับที่ เป็นฐานของเหนือ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} [i]=\mathbb {Z} +i\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {C} ^{1}}$${\displaystyle (1,i)}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

โดยทั่วไปแล้วแลตทิซ Γ ในกลุ่มลีGคือกลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่องซึ่งผลหารG /Γ มีมาตรวัดจำกัด เนื่องจากมาตรวัดบนแลตทิซ Γ ได้รับสืบทอดมาจากมาตรวัดฮาร์บนG (ไม่เปลี่ยนแปลงทางซ้ายหรือทางขวา—นิยามไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกนั้น) แน่นอนว่าจะเป็นเช่นนั้นเมื่อG /Γ เป็นกลุ่มกระชับแต่เงื่อนไขที่เพียงพอนั้นไม่จำเป็น ดังที่แสดงให้เห็นในกรณีของกลุ่มมอดูลาร์ในSL ₂ ( R )ซึ่งเป็นแลตทิซ แต่ผลหารไม่กระชับ (มีจุดแหลม ) มีผลลัพธ์ทั่วไปที่ระบุถึงการมีอยู่ของแลตทิซในกลุ่มลี

กล่าวได้ว่าแลตติซนั้นเป็นแบบสม่ำเสมอหรือแบบโคคอมแพ็กต์ถ้าG /Γ เป็นแบบคอมแพ็กต์ มิเช่นนั้นจะเรียกว่าแลตติซนั้นไม่ สม่ำเสมอ

โดยปกติแล้วเราจะพิจารณาเฉพาะแลตทิซใน แนวคิดนี้ แต่แนวคิดนี้สามารถขยายไปสู่ ปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดใดๆบนฟิลด์ ใดๆ ก็ได้ สามารถทำได้ดังนี้: ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

ให้Kเป็นฟิลด์ให้Vเป็นปริภูมิเวกเตอร์ K มิติ n ให้ B เป็นฐานK สำหรับ V และให้Rเป็นริงที่บรรจุอยู่ภายในKแล้วแลตทิซRในVที่สร้างโดยBจะกำหนดโดย: ${\displaystyle B=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\biggl \{}\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {v} _{i}\mathbin {\bigg \vert } a_{i}\in R{\biggr \}}.}$

โดยทั่วไป ฐานB ที่แตกต่างกัน จะสร้างแลตทิซที่แตกต่างกัน อย่างไรก็ตาม หากเมทริกซ์การเปลี่ยนผ่าน ระหว่างฐานอยู่ในกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปของ( ในแง่ที่ง่ายกว่านั้น หมายความว่าสมาชิกทั้งหมดของอยู่ในและสมาชิกทั้งหมดของอยู่ในซึ่งเทียบเท่ากับการกล่าวว่าดีเทอร์มิแนนต์ของTอยู่ในกลุ่มเอกลักษณ์ขององค์ประกอบในRที่มีตัวผกผันการคูณ) แล้วแลตทิซที่สร้างโดยฐานเหล่านี้จะสมมาตรกันเนื่องจากTเหนี่ยวนำให้เกิดความสมมาตรระหว่างแลตทิซทั้งสอง ${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(R)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle T}$${\displaystyle R}$${\displaystyle T^{-1}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R^{*}}$

กรณีสำคัญของแลตทิซดังกล่าวเกิดขึ้นในทฤษฎีจำนวน โดยที่Kเป็นฟิลด์p -adic และเป็นจำนวนเต็มp - adic ${\displaystyle T}$

สำหรับปริภูมิเวกเตอร์ซึ่งเป็นปริภูมิผลคูณภายใน ด้วยนั้น แลตทิซคู่สามารถอธิบายได้อย่างเป็นรูปธรรมโดยเซต

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{*}=\{\mathbf {v} \in V\mid \langle \mathbf {v} ,\mathbf {x} \rangle \in R\,{\text{ for all }}\,\mathbf {x} \in {\mathcal {L}}\},}$

หรือเทียบเท่ากับ

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{*}=\{\mathbf {v} \in V\mid \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} _{i}\rangle \in R,\ i=1,...,n\}.}$

องค์ประกอบดั้งเดิมของแลตทิซคือองค์ประกอบที่ไม่ใช่ผลคูณจำนวนเต็มบวกขององค์ประกอบอื่นในแลตทิซ ถ้า แลตทิ ซมีฐานเราสามารถระบุได้ว่าเป็นแลตทิซมาตรฐานผ่านทาง; จากนั้นเวกเตอร์จะเป็นเวกเตอร์ดั้งเดิมก็ต่อเมื่อสำหรับจำนวนเต็มใดๆซึ่งเทียบเท่ากับพิกัดที่เป็น จำนวน เฉพาะสัมพัทธ์ทุกซับแลตทิซหนึ่งมิติมีตัวสร้างดั้งเดิมซึ่งมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวโดยไม่รวมเครื่องหมาย ${\displaystyle v\in \Lambda }$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{n}\}}$${\displaystyle \Lambda \cong \mathbb {Z} ^{n}}$${\displaystyle a_{1}v_{1}+\cdots a_{n}v_{n}\mapsto (a_{1},\ldots ,a_{n})}$${\displaystyle v=(a_{1},\ldots ,a_{n})}$${\displaystyle {\tfrac {1}{d}}v\notin \mathbb {Z} ^{n}}$${\displaystyle d>1}$${\displaystyle \gcd(a_{1},\ldots ,a_{n})=1}$${\displaystyle \Gamma \subset \Lambda }$

โดยทั่วไปแล้ว ให้พิจารณาซับแลตติซมิติ n ที่มีฐานซึ่งเวกเตอร์คอลัมน์ประกอบกันเป็นเมทริกซ์เรากล่าวว่าเป็นซับแลตติซอิ่มตัวเมื่อใดก็ตามที่เงื่อนไขสมมูลต่อไปนี้ข้อใดข้อหนึ่งเป็นจริง: ${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \Gamma \subset \mathbb {Z} ^{n}}$${\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{\ell }\}}$${\displaystyle M\in \mathrm {M} _{n\times \ell }(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \Gamma }$

• ${\displaystyle \Gamma =V\cap \mathbb {Z} ^{n}}$สำหรับปริภูมิย่อยเชิงเส้นมิติบางมิติ${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle V\subset \mathbb {Q} ^{n}}$
• สำหรับจำนวนเต็ม ทุกตัว เราจะได้ก็ ต่อ เมื่อเท่านั้น${\displaystyle v\in \mathbb {Z} ^{n}}$${\displaystyle d>1}$${\displaystyle dv\in \Gamma }$${\displaystyle v\in \Gamma }$
• กลุ่มผลหารเป็นกลุ่มอาเบเลียนอิสระที่ไม่มีทอร์ชั่น${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}/\Gamma }$
• ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}=\Gamma \oplus \Gamma ^{\perp }}$โดยที่คือปริภูมิย่อยเชิงตั้งฉากในเมื่อเทียบกับผลคูณดอทมาตรฐาน${\displaystyle \Gamma ^{\perp }}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$
• เมทริกซ์ฐานมีอินเวอร์สซ้ายเป็นจำนวนเต็มโดยที่.${\displaystyle M\in \mathrm {M} _{n\times \ell }(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle N\in \mathrm {M} _{\ell \times n}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle NM=\mathrm {Id} _{n}}$
• รูปแบบปกติของ Smith จะมีเลข 1 อยู่บนแนวทแยงหลักเท่านั้น${\displaystyle M}$
• ไมเนอร์สูงสุดของ เป็น จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์: โดยที่ครอบคลุม เซตย่อยที่มีสมาชิก nตัวทั้งหมดของ${\displaystyle M}$${\displaystyle \gcd\{\Delta _{I}(M)\}=1}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \{1,\ldots ,m\}}$

• แคตตาล็อกของโครงสร้างตาข่าย (โดย เนเบ และ สโลน)