ในทางเรขาคณิตวัตถุทางเรขาคณิตสองชิ้นจะตั้งฉากกันก็ต่อเมื่อตัดกันเป็นมุมฉาก กล่าวคือ ทำมุม 90 องศา หรือ π/2 เรเดียน เงื่อนไขของการตั้งฉากสามารถแสดงได้ด้วยสัญลักษณ์ตั้งฉาก ⟂ การตัดกันแบบตั้งฉากสามารถเกิดขึ้นได้ระหว่างเส้นตรงสองเส้น (หรือส่วนของเส้นตรงสองส่วน) ระหว่างเส้นตรงกับระนาบ และระหว่างระนาบสองระนาบ

คำว่า "ตั้งฉาก"ยังใช้เป็นคำนามได้ด้วย กล่าวคือเส้นตั้งฉากคือเส้นที่ตั้งฉากกับเส้นหรือระนาบที่กำหนดให้

ความตั้งฉากเป็นตัวอย่างเฉพาะอย่างหนึ่งของแนวคิดทางคณิตศาสตร์ทั่วไปเรื่องความเป็นมุมฉากความตั้งฉากคือความเป็นมุมฉากของวัตถุทางเรขาคณิตแบบคลาสสิก ดังนั้น ในคณิตศาสตร์ขั้นสูง คำว่า "ตั้งฉาก" บางครั้งจึงถูกใช้เพื่ออธิบายเงื่อนไขความเป็นมุมฉากทางเรขาคณิตที่ซับซ้อนกว่ามาก เช่น ความตั้งฉากระหว่างพื้นผิวกับเวกเตอร์ตั้งฉาก ของพื้นผิว นั้น

เส้นตรงหนึ่งจะตั้งฉากกับอีกเส้นตรงหนึ่งได้ก็ต่อเมื่อเส้นตรงทั้งสองตัดกันเป็นมุมฉาก^{[ 2 ]} กล่าวคือ เส้นตรงแรกจะตั้งฉากกับเส้นตรงที่สองได้ก็ต่อเมื่อ (1) เส้นตรงทั้งสองมาบรรจบกัน และ (2) ณ จุดตัดมุมตรงด้านหนึ่งของเส้นตรงแรกจะถูกเส้นตรงที่สองตัดเป็นสองมุมที่เท่ากัน ความตั้งฉากสามารถแสดงได้ว่ามีความสมมาตรหมายความว่า ถ้าเส้นตรงแรกตั้งฉากกับเส้นตรงที่สอง เส้นตรงที่สองก็จะตั้งฉากกับเส้นตรงแรกด้วย ด้วยเหตุนี้ เราจึงสามารถพูดได้ว่าเส้นตรงสองเส้นตั้งฉากกัน (ซึ่งกันและกัน) โดยไม่ต้องระบุลำดับ ตัวอย่างที่ดีของความตั้งฉากสามารถเห็นได้ในเข็มทิศใดๆ โปรดสังเกตทิศหลัก ทิศเหนือ ทิศตะวันออก ทิศใต้ ทิศตะวันตก (NESW) เส้น NS ตั้งฉากกับเส้น WE และมุม NE, ES, SW และ WN ล้วนเป็น 90° ต่อกัน

ความตั้งฉากสามารถขยายไปยังส่วนของเส้นตรงและรังสี ได้อย่างง่ายดาย ตัวอย่างเช่น ส่วนของเส้นตรงจะตั้งฉากกับส่วนของเส้นตรงอีกเส้นหนึ่งถ้าเมื่อขยายแต่ละเส้นตรงออกไปในทั้งสองทิศทางเพื่อสร้างเส้นตรงอนันต์ เส้นตรงทั้งสองที่ได้จะตั้งฉากกันในความหมายข้างต้น ในสัญลักษณ์หมายความว่าส่วนของเส้นตรง AB ตั้งฉากกับส่วนของเส้นตรง CD ^{[ 3 ]}${\displaystyle {\overline {AB}}}$${\displaystyle {\overline {CD}}}$${\displaystyle {\overline {AB}}\perp {\overline {CD}}}$

เส้นตรงจะตั้งฉากกับระนาบ ได้ ก็ต่อเมื่อมันตั้งฉากกับทุกเส้นตรงในระนาบที่มันตัดผ่าน นิยามนี้ขึ้นอยู่กับนิยามของความตั้งฉากระหว่างเส้นตรง

ระนาบสองระนาบในอวกาศจะตั้งฉากกันก็ต่อเมื่อมุมไดเฮดรัลที่ระนาบทั้งสองมาบรรจบกันเป็นมุมฉาก

คำว่า"foot"มักใช้ร่วมกับเส้นตั้งฉาก ตัวอย่างการใช้งานนี้ปรากฏในแผนภาพด้านบนและคำอธิบายภาพ แผนภาพสามารถอยู่ในทิศทางใดก็ได้ "foot" ไม่จำเป็นต้องอยู่ด้านล่างเสมอไป

กล่าวโดยละเอียด ให้Aเป็นจุด และmเป็นเส้นตรง ถ้าBเป็นจุดตัดระหว่างmกับเส้นตรงเพียงเส้นเดียวที่ลาก ผ่าน A และตั้งฉากกับ mแล้วBเรียกว่าจุดปลายของเส้นตั้งฉากที่ลากผ่านAนี้

การสร้างเส้นตั้งฉาก (สีน้ำเงิน) กับเส้นตรง AB ที่ผ่านจุด P

การสร้างเส้นตั้งฉากกับครึ่งเส้นตรง h จากจุด P (ใช้ได้ไม่เฉพาะที่จุดปลาย A เท่านั้น จุด M สามารถเลือกได้อย่างอิสระ) ภาพเคลื่อนไหวตอนท้ายพร้อมหยุดชั่วคราว 10 วินาที

ในการสร้างเส้นตั้งฉากกับเส้นตรง AB ที่ผ่านจุด P โดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัดให้ดำเนินการดังนี้ (ดูรูปด้านซ้าย):

• ขั้นตอนที่ 1 (สีแดง): สร้างวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ P เพื่อสร้างจุด A' และ B' บนเส้นตรง AB ซึ่งอยู่ห่างจาก P เท่ากัน
• ขั้นตอนที่ 2 (สีเขียว): สร้างวงกลมสองวงที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ A' และ B' โดยมีรัศมีเท่ากัน ให้ Q และ P เป็นจุดตัดของวงกลมทั้งสองวงนี้
• ขั้นตอนที่ 3 (สีน้ำเงิน): เชื่อมต่อ Q และ P เพื่อสร้างเส้นตั้งฉาก PQ ตามที่ต้องการ

เพื่อพิสูจน์ว่า PQ ตั้งฉากกับ AB ให้ใช้ทฤษฎีบทการเท่ากันทุกประการแบบ SSSสำหรับสามเหลี่ยม QPA' และ QPB' เพื่อสรุปว่ามุม OPA' และ OPB' เท่ากัน จากนั้นใช้ทฤษฎีบทการเท่ากันทุกประการแบบ SASสำหรับสามเหลี่ยม OPA' และ OPB' เพื่อสรุปว่ามุม POA และ POB เท่ากัน ดูเพิ่มเติมที่แกนรากที่สอง

เพื่อสร้างเส้นตั้งฉากกับเส้นตรง g ที่จุด P หรือผ่านจุด P โดยใช้ทฤษฎีบทของทาเลสโปรดดูภาพเคลื่อนไหวทางด้านขวา

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสามารถใช้เป็นพื้นฐานในการสร้างมุมฉากได้ ตัวอย่างเช่น การนับจำนวนข้อต่อของโซ่ สามารถสร้างโซ่สามชิ้นที่มีความยาวในอัตราส่วน 3:4:5 ได้ จากนั้นสามารถนำมาวางเรียงกันเป็นรูปสามเหลี่ยม ซึ่งจะมีมุมฉากอยู่ตรงข้ามกับด้านที่ยาวที่สุด วิธีนี้มีประโยชน์สำหรับการวางผังสวนและทุ่งนาที่มีขนาดใหญ่ และไม่ต้องการความแม่นยำสูง โซ่เหล่านี้สามารถนำกลับมาใช้ซ้ำได้ทุกครั้งตามต้องการ

ถ้าเส้นตรงสองเส้น ( aและb ) ตั้งฉากกับเส้นตรงเส้นที่สาม ( c ) ทุกมุมที่เกิดขึ้นตามแนวเส้นตรงเส้นที่สามจะเป็นมุมฉาก ดังนั้น ในเรขาคณิตแบบยุคลิดเส้นตรงสองเส้นใดๆ ที่ตั้งฉากกับเส้นตรงเส้นที่สาม จะขนานกันด้วย เนื่องจากสัจพจน์เรื่องเส้นขนาน ในทางกลับกัน ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตั้งฉากกับเส้นตรงเส้นที่สอง เส้นตรงนั้นก็จะตั้งฉากกับเส้นตรงใดๆ ที่ขนานกับเส้นตรงเส้นที่สองนั้นด้วย

In the figure at the right, all of the orange-shaded angles are congruent to each other and all of the green-shaded angles are congruent to each other, because vertical angles are congruent and alternate interior angles formed by a transversal cutting parallel lines are congruent. Therefore, if lines a and b are parallel, any of the following conclusions leads to all of the others:

• One of the angles in the diagram is a right angle.
• One of the orange-shaded angles is congruent to one of the green-shaded angles.
• Line c is perpendicular to line a.
• Line c is perpendicular to line b.
• All four angles are equal.

ในระนาบสองมิติ เส้นตรงสองเส้นตัดกันจะเกิดมุมฉากได้ก็ต่อเมื่อผลคูณของความชัน ของเส้นตรงทั้งสอง เท่ากับ −1 ดังนั้น สำหรับฟังก์ชันเชิงเส้น สองฟังก์ชัน และกราฟของฟังก์ชันทั้งสองจะตั้งฉากกันก็ต่อเมื่อ${\displaystyle y_{1}(x)=m_{1}x+b_{1}}$${\displaystyle y_{2}(x)=m_{2}x+b_{2}}$${\displaystyle m_{1}m_{2}=-1.}$

สามารถใช้ผลคูณดอทของเวกเตอร์เพื่อให้ได้ผลลัพธ์เดียวกันได้เช่นกัน: ขั้นแรกเลื่อนพิกัดเพื่อให้จุดกำเนิดอยู่ตรงจุดที่เส้นตัดกัน จากนั้นกำหนดการกระจัดสองค่าตามแต่ละเส้นสำหรับตอนนี้ ใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าผลคูณภายในเป็นศูนย์สำหรับเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกัน: ${\displaystyle {\vec {r}__{j}}$${\displaystyle (j=1,2).}$

${\displaystyle {\vec {r}}_{1}=x_{1}{\hat {x}}+y_{1}{\hat {y}}=x_{1}{\hat {x}}+m_{1}x_{1}{\hat {y}}}$

${\displaystyle {\vec {r}}_{2}=x_{2}{\hat {x}}+y_{2}{\hat {y}}=x_{2}{\hat {x}}+m_{2}x_{2}{\hat {y}}}$

${\displaystyle {\vec {r}}_{1}\cdot {\vec {r}}_{2}=\left(1+m_{1}m_{2}\right)x_{1}x_{2}=0}$

${\displaystyle \therefor m_{1}m_{2}=-1}$(เว้นแต่ หรือหายไป)${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$

บทพิสูจน์ทั้งสองข้อนี้ใช้ได้กับเส้นแนวนอนและแนวตั้ง ตราบใดที่เราสามารถกำหนดให้ความชันหนึ่งเป็นและหาลิมิตว่า ถ้าความชันหนึ่งเข้าใกล้ศูนย์ ความชันอีกอันจะเข้าใกล้อินฟินิตี้ ${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon \rightarrow 0.}$

เส้นผ่านศูนย์กลางแต่ละ เส้น ของวงกลมจะตั้งฉากกับเส้นสัมผัสของวงกลมนั้น ณ จุดที่เส้นผ่านศูนย์กลางตัดกับวงกลม

ส่วนของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมและแบ่งครึ่งคอร์ดจะตั้งฉากกับคอร์ดนั้น

ถ้าจุดตัดของคอร์ดตั้งฉากสองคอร์ดใดๆ แบ่งคอร์ดหนึ่งออกเป็นความยาวa ^และ bและแบ่งคอร์ดอีกคอร์ดหนึ่งออกเป็นความยาวcและdแล้วa² ⁺ b² + ^c² + ^{d² จะ}เท่ากับกำลังสองของเส้นผ่านศูนย์กลาง^{[ 9} ]

ผลรวมของกำลังสองของความยาวของคอร์ดตั้งฉากสองเส้นใดๆ ที่ตัดกัน ณ จุดที่กำหนด จะเท่ากับผลรวมของกำลังสองของคอร์ดตั้งฉากสองเส้นอื่นๆ ที่ตัดกัน ณ จุดเดียวกัน และกำหนดโดย 8 r ² – 4 p ² (โดยที่rคือรัศมีของวงกลม และpคือระยะห่างจากจุดศูนย์กลางถึงจุดตัด) ^{[ 10 ]}

ทฤษฎีบทของทาเลสกล่าวว่า เส้นตรงสองเส้นที่ผ่านจุดเดียวกันบนวงกลม แต่ผ่านปลายตรงข้ามของเส้นผ่านศูนย์กลาง จะตั้งฉากกัน ซึ่งหมายความว่า เส้นผ่านศูนย์กลางใดๆ ของวงกลมจะทำมุมฉากกับจุดใดๆ บนวงกลม ยกเว้นจุดปลายทั้งสองของเส้นผ่านศูนย์กลางนั้น

แกน เอกและแกนรองของวงรีจะตั้งฉากกันและตั้งฉากกับเส้นสัมผัสของวงรี ณ จุดที่แกนทั้งสองตัดกับวงรี

แกนหลักของวงรีจะตั้งฉากกับเส้นไดเรกทริกซ์และเส้นลาตัสเรกตัมแต่ละ เส้น

ในรูปพาราโบลาแกนสมมาตรจะตั้งฉากกับเส้นลาตัสเรกตัม เส้นไดเรกทริกซ์ และเส้นสัมผัส ณ จุดที่แกนสมมาตรตัดกับพาราโบลา

จากจุดหนึ่งบนเส้นสัมผัสที่ลากไปยังจุดยอดของพาราโบลาเส้นสัมผัสอีกเส้นหนึ่งของพาราโบลา จะ ตั้ง ฉากกับเส้นที่ลากจากจุดนั้นผ่าน จุดโฟกัสของพาราโบลา

คุณสมบัติเชิงทัศนวิสัยของพาราโบลาคือ ถ้าเส้นสัมผัสสองเส้นของพาราโบลาตั้งฉากกัน เส้นสัมผัสทั้งสองจะตัดกันที่เส้นไดเรกทริกซ์ ในทางกลับกัน เส้นสัมผัสสองเส้นที่ตัดกันที่เส้นไดเรกทริกซ์จะตั้งฉากกัน ซึ่งหมายความว่า เมื่อมองจากจุดใดๆ บนเส้นไดเรกทริกซ์ พาราโบลาใดๆ จะรองรับมุมฉาก

แกนตามขวางของไฮเปอร์โบลาจะตั้งฉากกับแกนสังยุคและกับเส้นไดเรกทริกซ์แต่ละเส้น

ผลคูณของระยะตั้งฉากจากจุด P บนไฮเปอร์โบลาหรือบนไฮเปอร์โบลาสังยุคไปยังเส้นกำกับจะเป็นค่าคงที่ที่ไม่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุด P

ไฮเปอร์โบลาแบบสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีเส้นกำกับที่ตั้งฉากกัน และมีค่าความเยื้องศูนย์เท่ากับ...${\displaystyle {\sqrt {2}}.}$

ด้านประกอบมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากจะตั้งฉากกัน

เส้นความสูงของรูปสามเหลี่ยมจะตั้งฉากกับฐาน ของแต่ละด้าน นอกจากนี้ เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของด้านต่างๆ ก็มีบทบาทสำคัญในเรขาคณิตของรูปสามเหลี่ยมด้วย

เส้นออยเลอร์ของสามเหลี่ยมหน้าจั่วตั้งฉากกับฐานของสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบทเส้นตรงดรอซ-ฟาร์นีเกี่ยวข้องกับคุณสมบัติของเส้นตรงสองเส้นที่ตั้งฉากกันและตัดกันที่จุดศูนย์กลางเชิงมุม ของรูป สามเหลี่ยม

ทฤษฎีบทของฮาร์คอร์ตเกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์ของส่วนของเส้นตรงที่ผ่านจุดยอดและตั้งฉากกับเส้นตรงใดๆที่สัมผัส กับ วงกลมแนบใน ของสามเหลี่ยม

ในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือสี่เหลี่ยมผืนผ้า อื่นๆ ด้านที่อยู่ติดกันทุกคู่จะตั้งฉากกันรูปสี่เหลี่ยมคางหมูมุมฉากคือรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีด้านที่อยู่ติดกันสองคู่ตั้งฉากกัน

เส้นความสูง ทั้งสี่ ของรูปสี่เหลี่ยมแต่ละเส้นตั้งฉากกับด้านใดด้านหนึ่ง โดยเส้นความสูงนั้นลากผ่านจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม

รูปสี่เหลี่ยมตั้งฉากทแยงมุมคือรูปสี่เหลี่ยมที่มีเส้นทแยงมุมตั้งฉากกัน ได้แก่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนและรูปว่าวตามทฤษฎีบทของพรหมคุปตะในรูปสี่เหลี่ยมตั้งฉากทแยงมุมที่เป็นรูปวงกลม ด้วยนั้น เส้นตรงที่ลากผ่านจุดกึ่งกลางด้านหนึ่งและผ่านจุดตัดของเส้นทแยงมุมจะตั้งฉากกับด้านตรงข้าม

ตามทฤษฎีบทของแวน ออเบลหากสร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสภายนอกบนด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยม เส้นตรงที่เชื่อมจุดศูนย์กลางของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสตรงข้ามจะตั้งฉากกันและมีความยาวเท่ากัน

ใน พื้นที่สามมิติเส้นตรงได้มากถึงสามเส้นสามารถตั้งฉากกันเป็นคู่ๆ ได้ ดังเช่น แกน x, yและz ของ ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสาม มิติ

• การฉายภาพเชิงตั้งฉาก
• ส่วนประกอบสัมผัสและส่วนประกอบตั้งฉาก

ลองค้นหาคำว่า "ตั้งฉาก"ในวิกิพีเดีย ซึ่งเป็นพจนานุกรมฟรี

• คำจำกัดความ: ตั้งฉากพร้อมแอนิเมชันแบบโต้ตอบ
• วิธีการลากเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของเส้นตรงโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด (สาธิตด้วยภาพเคลื่อนไหว)
• วิธีการลากเส้นตั้งฉากที่จุดปลายของรังสีโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด (สาธิตแบบภาพเคลื่อนไหว)