ในพีชคณิตเชิงเส้นเวก เตอร์ ลักษณะเฉพาะ ( eigenvector ) หรือเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ (characteristic vector )คือเวกเตอร์( ที่ไม่ใช่ ศูนย์ ) ที่มีทิศทาง ไม่เปลี่ยนแปลง (หรือกลับทิศทาง) โดยการแปลงเชิงเส้นที่ กำหนดให้ กล่าวโดยละเอียดกว่านั้น เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของการแปลงเชิงเส้นจะถูกปรับขนาดด้วยค่าคงที่เมื่อใช้การแปลงเชิงเส้นนั้นกับมันค่าลักษณะเฉพาะค่าลักษณะเฉพาะหรือรากลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกันคือตัวคูณ(อาจเป็นจำนวนลบหรือจำนวนเชิงซ้อน ) ${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle T}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle T\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} }$${\displaystyle \lambda }$

ในทางเรขาคณิต เวกเตอร์เป็นปริมาณหลายมิติที่มีขนาดและทิศทาง มักแสดงเป็นลูกศร การแปลงเชิงเส้นจะหมุนยืดหรือเฉือนเวกเตอร์ที่มันกระทำ เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของการแปลงเชิงเส้นคือเวกเตอร์ที่ถูกยืดหรือหดเท่านั้น โดยไม่มีการหมุนหรือการเฉือน ค่าลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกันคือปัจจัยที่เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะถูกยืดหรือหด หากค่าลักษณะเฉพาะเป็นลบ ทิศทางของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะจะกลับทิศทาง^{[ 1 ]}

เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะและค่าลักษณะเฉพาะของการแปลงเชิงเส้นใช้ในการกำหนดลักษณะเฉพาะของการแปลงนั้น ดังนั้นจึงมีบทบาทสำคัญในทุกสาขาที่นำพีชคณิตเชิงเส้นไปประยุกต์ใช้ ตั้งแต่ธรณีวิทยาไปจนถึงกลศาสตร์ควอนตัมโดยเฉพาะอย่างยิ่ง มักพบว่าระบบถูกแทนด้วยการแปลงเชิงเส้นซึ่งผลลัพธ์ของการแปลงนั้นถูกป้อนเป็นอินพุตของการแปลงเดียวกัน ( การป้อนกลับ ) ในการประยุกต์ใช้เช่นนี้ ค่าลักษณะเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดมีความสำคัญเป็นพิเศษ เพราะมันควบคุมพฤติกรรมระยะยาวของระบบหลังจากการประยุกต์ใช้การแปลงเชิงเส้นหลายครั้ง และเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่เกี่ยวข้องคือสถานะคงที่ของระบบ

สำหรับเมทริกซ์⁠ ⁠และเวกเตอร์ ⁠ ⁠ ที่ไม่ใช่ ศูนย์ ⁠ ⁠ถ้าการคูณ⁠ ⁠ด้วย(แทนด้วย⁠ ⁠ ) เป็นการปรับขนาดด้วยตัวประกอบ⁠ ⁠โดยที่⁠ ⁠เป็นสเกลาร์แล้วจะเรียกว่าเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของ⁠ ⁠และ⁠ ⁠คือค่าลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกัน ความสัมพันธ์นี้สามารถแสดงได้ดังนี้: ⁠ ⁠ . ^{[ 2 ]}${\displaystyle n{\times }n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle A\mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} }$

เมื่อกำหนดปริภูมิเวกเตอร์มิติ⁠ ⁠ และ${\displaystyle n}$ฐานที่เลือกจะมีความสัมพันธ์โดยตรงระหว่างการแปลงเชิงเส้นจากปริภูมิเวกเตอร์ไปยังตัวมันเองและเมทริกซ์จัตุรัส⁠ ⁠ ดังนั้น ในปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัด การกำหนดค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะโดยใช้ภาษาของการแปลงเชิงเส้นหรือภาษาของ ${\displaystyle n\times n}$เมทริกซ์จึงเทียบเท่ากัน^{[ 3 ] [ 4 ]}

ค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะมีบทบาทสำคัญในการวิเคราะห์การแปลงเชิงเส้น คำนำหน้าeigen-มาจากคำ ภาษา เยอรมันeigen ( ซึ่งมีความหมายเหมือนกับคำภาษาอังกฤษown ) ที่แปลว่า 'เฉพาะ', 'ลักษณะเฉพาะ', 'เป็นของตนเอง' ^{[ 5 ] [ 6 ]}เดิมทีใช้เพื่อศึกษาแกนหลักของการเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุแข็งเกร็งค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะมีการใช้งานที่หลากหลาย เช่น ในการวิเคราะห์เสถียรภาพการวิเคราะห์การสั่นสะเทือน วงโคจรอะตอมการจดจำใบหน้าและการหาค่าเฉพาะของเมทริกซ์

โดยหลักการแล้ว เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะvของการแปลงเชิงเส้นTคือเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งเมื่อใช้การแปลงT กับเวกเตอร์นั้น ทิศทางของเวกเตอร์จะไม่เปลี่ยนแปลง การใช้ Tกับเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะจะปรับขนาดเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะด้วยค่าสเกลาร์λซึ่งเรียกว่าค่าลักษณะเฉพาะ เงื่อนไขนี้สามารถเขียนได้ในรูปสมการที่ เรียกว่าสมการค่าลักษณะเฉพาะหรือสมการไอเกนโดยทั่วไปλ อาจเป็น ค่าสเกลาร์ใดๆ ก็ได้ตัวอย่างเช่นλอาจเป็นค่าลบ ซึ่งในกรณีนี้เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะจะเปลี่ยนทิศทางเป็นส่วนหนึ่งของการปรับขนาด หรืออาจเป็นศูนย์ หรือจำนวนเชิงซ้อนก็ได้ $${\displaystyle T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} ,}$$

ตัวอย่างนี้ ซึ่งอ้างอิงจากภาพโมนาลิซ่าแสดงให้เห็นถึงความเข้าใจง่าย แต่ละจุดบนภาพวาดสามารถแทนด้วยเวกเตอร์ที่ชี้จากจุดศูนย์กลางของภาพไปยังจุดนั้น การแปลงเชิงเส้นในตัวอย่างนี้เรียกว่าการแมปแบบเฉือน (shear mapping ) จุดในครึ่งบนจะเคลื่อนไปทางขวา และจุดในครึ่งล่างจะเคลื่อนไปทางซ้าย โดยแปรผันตามระยะห่างจากแกนแนวนอนที่ผ่านกลางภาพ ดังนั้น เวกเตอร์ที่ชี้ไปยังแต่ละจุดในภาพต้นฉบับจึงเอียงไปทางขวาหรือซ้าย และยาวขึ้นหรือสั้นลงจากการแปลง จุดตามแนวแกนแนวนอนจะไม่เคลื่อนที่เลยเมื่อใช้การแปลงนี้ ดังนั้น เวกเตอร์ใดๆ ที่ชี้ตรงไปทางขวาหรือซ้ายโดยไม่มีส่วนประกอบในแนวตั้ง จะเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ (eigenvector) ของการแปลงนี้ เพราะการแมปไม่เปลี่ยนแปลงทิศทางของเวกเตอร์ ยิ่งไปกว่านั้น เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะเหล่านี้ทั้งหมดมีค่าลักษณะเฉพาะเท่ากับหนึ่ง เพราะการแมปไม่เปลี่ยนแปลงความยาวของเวกเตอร์เช่นกัน

การแปลงเชิงเส้นสามารถมีได้หลายรูปแบบ โดยแมปเวกเตอร์ในปริภูมิเวกเตอร์ที่หลากหลาย ดังนั้นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะจึงสามารถมีได้หลายรูปแบบเช่นกัน ตัวอย่างเช่น การแปลงเชิงเส้นอาจเป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เช่น⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}}$ซึ่งในกรณีนี้เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะจะเป็นฟังก์ชันที่เรียกว่าฟังก์ชันลักษณะเฉพาะซึ่งถูกปรับขนาดโดยตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์นั้น เช่น หรืออีกทางหนึ่ง การแปลงเชิงเส้นอาจอยู่ในรูปของ เมทริกซ์ n × nซึ่งในกรณีนี้เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะจะเป็น เมทริกซ์ n × 1หากการแปลงเชิงเส้นแสดงในรูปของเมทริกซ์n × n Aสมการค่าลักษณะเฉพาะสำหรับการแปลงเชิงเส้นข้างต้นสามารถเขียนใหม่ได้เป็นการคูณเมทริกซ์ โดย ที่เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะvเป็น เมทริกซ์ n × 1สำหรับเมทริกซ์ ค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะสามารถใช้ในการแยกส่วนเมทริกซ์ได้เช่น โดยการ ทำให้ เป็น เมทริกซ์ทแยงมุม$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{\lambda x}=\lambda e^{\lambda x}.}$$$${\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} ,}$$

ค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะก่อให้เกิดแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกันมากมาย และคำนำหน้าeigen-ถูกนำมาใช้บ่อยครั้งเมื่อตั้งชื่อสิ่งเหล่านี้:

• เซตของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั้งหมดของการแปลงเชิงเส้น ซึ่งแต่ละเวกเตอร์จะจับคู่กับค่าลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกัน เรียกว่า ระบบลักษณะเฉพาะของการแปลงนั้น^{[ 7 ] [ 8 ]}
• เซตของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั้งหมดของTที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะเดียวกัน พร้อมกับเวกเตอร์ศูนย์ เรียกว่าปริภูมิลักษณะเฉพาะหรือปริภูมิลักษณะเฉพาะของTที่เกี่ยวข้องกับค่าลักษณะเฉพาะนั้น^{[ 9 ]}
• ถ้าเซตของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของTก่อให้เกิดฐานของโดเมนของTแล้ว ฐานนี้จะเรียกว่าฐานลักษณะเฉพาะ

โดยทั่วไป แล้ว ค่าลักษณะเฉพาะมักถูกกล่าวถึงในบริบทของพีชคณิตเชิงเส้นหรือทฤษฎีเมทริกซ์อย่างไรก็ตาม ในทางประวัติศาสตร์แล้ว ค่าลักษณะเฉพาะเกิดขึ้นจากการศึกษาเกี่ยวกับรูปแบบกำลังสองและสม การเชิงอนุพันธ์

ในศตวรรษที่ 18 เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ศึกษาการเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุแข็งเกร็งและค้นพบความสำคัญของแกนหลัก^{[ a ]}โจเซฟ-หลุยส์ ลากรองจ์ตระหนักว่าแกนหลักคือเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ความเฉื่อย^{[ 10 ]}

ในช่วงต้นศตวรรษที่ 19 Augustin-Louis Cauchyเห็นว่างานของพวกเขาสามารถนำไปใช้ในการจำแนกพื้นผิวควอดริกได้และได้ขยายความไปสู่มิติใดๆ^{[ 11 ]} Cauchy ยังบัญญัติศัพท์racine caractéristique (รากลักษณะเฉพาะ) สำหรับสิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่าค่าลักษณะเฉพาะคำศัพท์ของเขายังคงใช้ในสมการลักษณะเฉพาะ^{[ b ]}

ต่อมาโจเซฟ ฟูริเยร์ได้ใช้ผลงานของลากรองจ์และปิแอร์-ไซมอน ลาปลาซเพื่อแก้สมการความร้อนโดยการแยกตัวแปรในตำราทฤษฎีความร้อนเชิงวิเคราะห์ (Théorie analytique de la chaleur) ในปี ค.ศ. 1822 ^{[ 12 ]}ชาร์ลส์-ฟรองซัวส์ สตูร์มได้ขยายแนวคิดของฟูริเยร์เพิ่มเติม และนำเสนอต่อโคชี ซึ่งได้รวมแนวคิดเหล่านั้นเข้ากับแนวคิดของตนเองและสรุปได้ว่าเมทริกซ์สมมาตร จริง มีค่าไอเกนเป็นจำนวนจริง^{[ 11 ]}ชาร์ลส์ แอร์ไมต์ได้ขยายแนวคิดนี้ในปี ค.ศ. 1855 ไปสู่สิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่าเมทริกซ์เฮอร์มิเชียน^{[ 13 ]}

ในเวลาเดียวกันนั้นFrancesco Brioschiได้พิสูจน์ว่าค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์เชิงตั้งฉากอยู่บนวงกลมหน่วย [ ^{11 ]}และAlfred Clebschพบผลลัพธ์ที่สอดคล้องกันสำหรับเมทริกซ์สมมาตรเฉียง [ ^{13 ]ใน}ที่สุดKarl Weierstrassก็ได้ชี้แจงประเด็นสำคัญในทฤษฎีเสถียรภาพ^ที่เริ่มต้นโดย Laplace โดยตระหนักว่าเมทริกซ์ที่บกพร่องสามารถทำให้เกิดความไม่เสถียรได้^{[ 11 ]}

ในระหว่างนี้โจเซฟ ลิอูวิลล์ได้ศึกษาปัญหาค่าลักษณะเฉพาะที่คล้ายกับของสเติร์ม สาขาวิชาที่พัฒนามาจากงานของพวกเขาในปัจจุบันเรียกว่าทฤษฎีสเติร์ม-ลิอูวิลล์ [ ^{14 ]}ชวาร์ซศึกษาค่าลักษณะเฉพาะแรกของ^สมการลาปลาสบนโดเมนทั่วไปในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 ในขณะที่ปวงกาเรศึกษาสมการปัวซงในอีกไม่กี่ปีต่อมา^{[ 15 ]}

ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 เดวิด ฮิลเบิร์ตศึกษาค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการอินทิกรัลโดยมองตัวดำเนินการเป็นเมทริกซ์อนันต์^{[ 16 ]}เขาเป็นคนแรกที่ใช้คำภาษาเยอรมัน ว่า eigenซึ่งหมายถึง "ของตัวเอง" ^{[ 6 ]}เพื่อระบุค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะในปี พ.ศ. 2447 ^{[ c ]}แม้ว่าเขาอาจจะใช้ตามการใช้งานที่เกี่ยวข้องของเฮอร์มันน์ ฟอน เฮล์มโฮลทซ์ก็ตาม ในช่วงเวลาหนึ่ง คำศัพท์มาตรฐานในภาษาอังกฤษคือ "proper value" แต่คำที่โดดเด่นกว่าอย่าง "eigenvalue" กลายเป็นคำมาตรฐานในปัจจุบัน^{[ 17 ]}

อัลกอริทึมเชิงตัวเลขแรกสำหรับการคำนวณค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะปรากฏขึ้นในปี พ.ศ. 2462 เมื่อRichard von Misesเผยแพร่วิธีการกำลังหนึ่งในวิธีการที่ได้รับความนิยมมากที่สุดในปัจจุบันคืออัลกอริทึม QRซึ่งได้รับการเสนอโดยอิสระโดยJohn GF Francis ^{[ 18 ]}และVera Kublanovskaya ^{[ 19 ]}ในปี พ.ศ. 2504 ^{[ 20 ] [ 21 ]}

ค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะมักถูกนำเสนอให้กับนักเรียนในบริบทของหลักสูตรพีชคณิตเชิงเส้นที่เน้นเมทริกซ์^{[ 22 ] [ 23 ]} นอกจากนี้ การแปลงเชิงเส้นเหนือปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดสามารถแสดงได้โดยใช้เมทริกซ์^{[ 3 ] [ 4 ]}ซึ่งเป็นเรื่องปกติอย่างยิ่งในแอปพลิเคชันเชิงตัวเลขและการคำนวณ^{[ 24 ]}

พิจารณา เวกเตอร์ n มิติ สอง${\displaystyle n}$ ตัว ที่สร้างขึ้นจากรายการของสเกลา${\displaystyle n}$ร์ เช่น เวกเตอร์สามมิติ เวกเตอร์เหล่านี้เรียกว่าเป็นผลคูณสเกลาร์ของกันและกัน หรือขนานกันหรืออยู่ในแนวเดียวกันหากมีสเกลาร์ที่ทำให้ใน ตัวอย่าง นี้.$${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}1\\-3\\4\end{bmatrix}}\quad {\mbox{และ}}\quad \mathbf {y} ={\begin{bmatrix}-20\\60\\-80\end{bmatrix}}.}$$${\displaystyle \lambda }$$${\displaystyle \mathbf {y} =\lambda \mathbf {x} .}$$${\displaystyle \lambda =-20}$

ทีนี้ลองพิจารณาการแปลงเชิงเส้นของ เวกเตอร์ มิติ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ที่กำหนดโดยเมทริกซ์⁠ ⁠ : หรือ${\displaystyle n\times n}$โดยที่${\displaystyle A}$ สำหรับ แต่ละแถว $${\displaystyle A\mathbf {v} =\mathbf {w} ,}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nn}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}w_{1}\\w_{2}\\\vdots \\w_{n}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle w_{i}=A_{i1}v_{1}+A_{i2}v_{2}+\cdots +A_{in}v_{n}=\sum _{j=1}^{n}A_{ij}v_{j}.}$$

หากพบว่า⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {v} }$และ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {w} }$เป็นผลคูณเชิงสเกลาร์ นั่นคือ ถ้า

${\displaystyle A\mathbf {v} =\mathbf {w} =\lambda \mathbf {v} }$,

1

จากนั้น⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {v} }$จะเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของการแปลงเชิงเส้น⁠ ⁠${\displaystyle A}$และตัวประกอบมาตราส่วน⁠ ⁠${\displaystyle \lambda }$คือค่าลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกับเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะนั้น สมการ ( 1 ) คือสมการค่าลักษณะเฉพาะสำหรับเมทริกซ์ ⁠ ⁠${\displaystyle A}$

สมการ ( 1 ) สามารถเขียนได้เทียบเท่าดังนี้

${\displaystyle \left(A-\lambda I\right)\mathbf {v} =\mathbf {0} }$,

2

โดยที่⁠ ⁠${\displaystyle I}$คือ เมท ริกซ์${\displaystyle n\times n}$เอกลักษณ์และ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {0} }$คือเวกเตอร์ศูนย์

สมการ ( 2 ) มีคำตอบที่ไม่เป็นศูนย์v ก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์( A − λI )เป็นศูนย์ ดังนั้น ค่าไอเกนของAคือค่าของλที่สอดคล้องกับสมการ

${\displaystyle \det(A-\lambda I)=0}$.

3

โดยใช้สูตรของไลบ์นิซสำหรับดีเทอร์มิแนนต์ด้านซ้ายของสมการ ( 3 ) คือ ฟังก์ชัน พหุนามของตัวแปรλและดีกรีของพหุนามนี้คือnซึ่งเป็นอันดับของเมทริกซ์A สัมประสิทธิ์ของมันขึ้นอยู่กับสมาชิกของAยกเว้นพจน์ดีกรีn ของมันจะเป็น (−1) ⁿ λ ⁿเสมอพหุนามนี้เรียกว่าพหุนามลักษณะเฉพาะของAสม การ ( 3 ) เรียกว่าสมการลักษณะเฉพาะหรือสมการฆราวาสของA

พหุพจน์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์Aขนาดn x nซึ่งเป็นพหุพจน์ดีกรีn จะมีราก จำนวนเชิงซ้อนอย่างมากที่สุดnราก ซึ่งสามารถหาได้โดยการแยกตัวประกอบพหุพจน์ลักษณะเฉพาะ หรือโดยวิธีการหาค่ารากเชิงตัวเลข พหุพจน์ลักษณะเฉพาะสามารถแยกตัวประกอบได้เป็นผลคูณของ พจน์เชิงเส้น nพจน์:

${\displaystyle \det(A-\lambda I)=(\lambda _{1}-\lambda )(\lambda _{2}-\lambda )\cdots (\lambda _{n}-\lambda )}$,

4

โดยที่จำนวนเชิงซ้อนλ ₁ , λ ₂ , ..., λ _nซึ่งแต่ละตัวเป็นค่าลักษณะเฉพาะ อาจซ้ำกันได้ (จำนวนครั้งที่ค่าลักษณะเฉพาะปรากฏในพหุนามลักษณะเฉพาะเรียกว่าความซ้ำเชิงพีชคณิต )

เพื่อเป็นตัวอย่างโดยสังเขป ซึ่งจะอธิบายรายละเอียดเพิ่มเติมในส่วนตัวอย่างในภายหลัง ให้พิจารณาเมทริกซ์ เมื่อหาดีเทอร์มิแนนต์ของ( A − λI )พหุนามลักษณะเฉพาะของAคือ เมื่อกำหนดให้พหุนามลักษณะเฉพาะเท่ากับศูนย์ จะมีรากที่λ = 1และλ = 3ซึ่งเป็นค่าลักษณะเฉพาะสองค่าของAเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะλ แต่ละค่า สามารถหาได้โดยการแก้หาองค์ประกอบของvในสมการ( A − λI ) v = 0ในตัวอย่างนี้ เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะคือผลคูณเชิงสเกลาร์ที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ ของ $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}.}$$$${\displaystyle \det(A-\lambda I)={\begin{vmatrix}2-\lambda &1\\1&2-\lambda \end{vmatrix}}=3-4\lambda +\lambda ^{2}.}$$$${\displaystyle \mathbf {v} _{\lambda =1}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda =3}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}.}$$

ถ้าสมาชิกทั้งหมดของเมทริกซ์Aเป็นจำนวนจริง สัมประสิทธิ์ของพหุนามลักษณะเฉพาะก็จะเป็นจำนวนจริงเช่นกัน แต่ค่าลักษณะเฉพาะอาจยังมีส่วนจินตนาการที่ไม่เป็นศูนย์ได้ ดังนั้น สมาชิกทั้งหมดของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกันจึงอาจมีส่วนจินตนาการที่ไม่เป็นศูนย์ได้เช่นกัน ในทำนองเดียวกัน ค่าลักษณะเฉพาะอาจเป็นจำนวนอตรรกยะได้แม้ว่าสมาชิกทั้งหมดของAจะเป็นจำนวนตรรกยะหรือแม้ว่าจะเป็นจำนวนเต็มทั้งหมดก็ตาม อย่างไรก็ตาม ถ้าสมาชิกทั้งหมด ของ A เป็น จำนวนพีชคณิตซึ่งรวมถึงจำนวนตรรกยะด้วย ค่าลักษณะเฉพาะก็ต้องเป็นจำนวนพีชคณิตด้วย

รากที่ไม่ใช่จำนวนจริงของพหุนามจริงที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง สามารถจัดกลุ่มเป็นคู่ของจำนวนเชิงซ้อนสังยุคได้ กล่าวคือ สมาชิกทั้งสองของแต่ละคู่จะมีส่วนจินตนาการที่แตกต่างกันเฉพาะเครื่องหมาย และส่วนจริงเหมือนกัน ถ้าดีกรีเป็นเลขคี่ ตามทฤษฎีบทค่ากลางอย่างน้อยหนึ่งในรากจะเป็นจำนวนจริง ดังนั้นเมทริกซ์จริง ใดๆ ที่ มีดีกรีเป็นเลขคี่จะมีค่าลักษณะเฉพาะที่เป็นจำนวนจริงอย่างน้อยหนึ่งค่า ในขณะที่เมทริกซ์จริงที่มีดีกรีเป็นเลขคู่ อาจไม่มีค่าลักษณะเฉพาะที่เป็นจำนวนจริงเลย เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่เกี่ยวข้องกับค่าลักษณะเฉพาะเชิงซ้อนเหล่านี้ก็เป็นจำนวนเชิงซ้อนเช่นกัน และปรากฏในรูปคู่ของจำนวนเชิงซ้อนสังยุคด้วย

สเปกตรัม ของเมทริกซ์คือ รายการของค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์นั้น โดยเรียงซ้ำตามจำนวนครั้งที่ปรากฏ หรือในสัญลักษณ์ที่สั้นกว่าคือ เซตของค่าลักษณะเฉพาะพร้อมระบุจำนวนครั้งที่ปรากฏ

ปริมาณสำคัญที่เกี่ยวข้องกับสเปกตรัมของเมทริกซ์คือค่าสัมบูรณ์สูงสุดของค่าไอเกนทั้งหมดของเมทริกซ์นั้น ซึ่งเรียกว่ารัศมีสเปกตรัมของเมทริกซ์ที่พิจารณา

ให้λ _iเป็นค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์Aขนาดn x n ความหลากหลายทางพีชคณิต μ A ₍ λ i ₎ของค่าลักษณะเฉพาะคือความหลากหลายของค่าลักษณะเฉพาะในฐานะรากของพหุนามลักษณะเฉพาะ นั่นคือจำนวนเต็มที่มากที่สุดkที่( λ _i − λ ) ^k หาร พหุนามนั้นลงตัว^{[ 9 ] [ 25 ] [ 26 ]}

สมมติว่าเมทริกซ์Aมีลำดับnและd ≤ nค่าลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกัน ในขณะที่สมการ ( 4 ) แยกตัวประกอบพหุนามลักษณะเฉพาะของAออกเป็นผลคูณของ พจน์เชิงเส้น nพจน์ โดยบางพจน์อาจซ้ำกัน พหุนามลักษณะเฉพาะยังสามารถเขียนเป็นผลคูณของ พจน์ dพจน์ ซึ่งแต่ละพจน์สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกันและยกกำลังด้วยค่าความซ้ำซ้อนทางพีชคณิต: ถ้าd = nแล้วด้านขวามือจะเป็นผลคูณของ พจน์เชิงเส้น nพจน์ ซึ่งเหมือนกับสมการ ( 4 ) ขนาดของค่าความซ้ำซ้อนทางพีชคณิตของแต่ละค่าลักษณะเฉพาะมีความสัมพันธ์กับมิติnดังนี้ ถ้าμ _A ( λ _i ) = 1แล้วλ _iเรียกว่า ค่าลักษณะ เฉพาะแบบง่าย^{[ 26 ]}ถ้าμ _A ( λ _i )เท่ากับความหลากหลายทางเรขาคณิตของλ _i (แสดงด้วยγ _A ( λ _i )และกำหนดไว้ในส่วนถัดไป) แล้วλ _iจะเรียกว่าค่าลักษณะเฉพาะกึ่งง่าย $${\displaystyle \det(A-\lambda I)=(\lambda _{1}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{1})}(\lambda _{2}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{2})}\cdots (\lambda _{d}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{d})}.}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}1&\leq \mu _{A}(\lambda _{i})\leq n,\\\mu _{A}&=\sum _{i=1}^{d}\mu _{A}\left(\lambda _{i}\right)=n.\end{aligned}}}$$

เมื่อกำหนด ค่า ไอเก น${\displaystyle \lambda }$เฉพาะของเมทริก${\displaystyle n\times n}$ซ์ให้${\displaystyle A}$กำหนดเซตเป็น${\displaystyle E}$เวกเตอร์${\displaystyle \mathbf {v} }$ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ ( 2 ) :ใน ด้านหนึ่งคือเคอร์เนลหรือปริภูมิว่างของเมทริกซ์ในอีกด้านหนึ่ง ตามคำนิยาม เวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขนี้ จะเป็นเวกเตอร์ไอเกนของที่เกี่ยวข้องกับดังนั้นคือการรวมกันของเวกเตอร์ศูนย์กับเซตของเวกเตอร์ไอเกนทั้งหมดของที่เกี่ยวข้องกับปริภูมิเรียกว่าปริภูมิไอเกนหรือปริภูมิคุณลักษณะของที่เกี่ยวข้องกับ^{[ 27 ] [ 9 ]}โดยทั่วไป⁠ ⁠เป็นจำนวนเชิงซ้อน และเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะเป็นเมทริกซ์เชิงซ้อน( เวกเตอร์คอลัมน์) เนื่องจากปริภูมิว่างทุกปริภูมิเป็นปริภูมิย่อยเชิงเส้นของโดเมน⁠ ⁠จึง เป็นปริภูมิย่อยเชิงเส้นของ⁠ ⁠$${\displaystyle E=\left\{\mathbf {v} :\left(A-\lambda I\right)\mathbf {v} =\mathbf {0} \right\}.}$$${\displaystyle E}$${\displaystyle A-\lambda I}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle E}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle E}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle n\times 1}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

เนื่องจากปริภูมิไอเกน⁠ ⁠${\displaystyle E}$เป็นปริภูมิย่อยเชิงเส้น จึงปิดภายใต้การบวก กล่าวคือ ถ้าเวกเตอร์สองตัว⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {u} }$และ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {v} }$อยู่ในเซต⁠ ⁠${\displaystyle E}$ซึ่งเขียนว่า ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in E}$แล้ว⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {u} +\mathbf {v} \in E}$หรือเทียบเท่า⁠ ⁠${\displaystyle A(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=\lambda (\mathbf {u} +\mathbf {v} )}$สามารถตรวจสอบได้โดยใช้คุณสมบัติการกระจายของการคูณเมทริกซ์ ในทำนองเดียวกัน เนื่องจาก⁠ ⁠${\displaystyle E}$เป็นปริภูมิย่อยเชิงเส้น จึงปิดภายใต้การคูณสเกลาร์ กล่าวคือ ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {v} \in E}$และ⁠ ⁠${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$แล้ว⁠ ⁠${\displaystyle \alpha \mathbf {v} \in E}$หรือเทียบเท่า⁠ ⁠${\displaystyle A(\alpha \mathbf {v} )=\lambda (\alpha \mathbf {v} )}$สามารถตรวจสอบได้โดยสังเกตว่าการคูณเมทริกซ์เชิงซ้อนด้วยจำนวนเชิงซ้อนนั้นมีคุณสมบัติการสลับที่ ตราบใดที่⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {u} +\mathbf {v} }$และ⁠ ⁠${\displaystyle \alpha \mathbf {v} }$ไม่เป็นศูนย์ พวกมันก็จะเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของ⁠ ⁠${\displaystyle A}$ที่เกี่ยวข้องกับ⁠ ⁠${\displaystyle \lambda }$ด้วย เช่นกัน

มิติของปริภูมิค่าลักษณะเฉพาะ⁠ ⁠${\displaystyle E}$ที่เกี่ยวข้องกับ⁠ ⁠${\displaystyle \lambda }$หรือเทียบเท่ากับจำนวนเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่เป็นอิสระเชิงเส้นสูงสุดที่เกี่ยวข้องกับ⁠ ⁠${\displaystyle \lambda }$เรียกว่าความหลากหลายทางเรขาคณิต ของค่าลักษณะเฉพาะ และใช้สัญลักษณ์⁠ ⁠${\displaystyle \gamma _{A}(\lambda )}$ แทน เนื่องจาก⁠ ⁠${\displaystyle E}$ยังเป็นปริภูมิว่างของ⁠ ⁠${\displaystyle A-\lambda I}$ ด้วย ดังนั้นความหลากหลายทางเรขาคณิตของ⁠ ⁠${\displaystyle \lambda }$จึงเป็นมิติของปริภูมิว่างของ⁠ ⁠${\displaystyle A-\lambda I}$หรือเรียกว่าความเป็นศูนย์ของ⁠ ⁠${\displaystyle A-\lambda I}$ปริมาณนี้มีความสัมพันธ์กับขนาดและอันดับของ⁠ ⁠${\displaystyle A-\lambda I}$โดยสมการ: เนื่องจากนิยามของค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ ความหลากหลายทางเรขาคณิตของค่าลักษณะเฉพาะจะต้องมีอย่างน้อยหนึ่ง นั่นคือ ค่าลักษณะเฉพาะแต่ละค่าจะมีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่เกี่ยวข้องอย่างน้อยหนึ่งตัว นอกจากนี้ ความซ้ำซ้อนทางเรขาคณิตของค่าลักษณะเฉพาะต้องไม่เกินความซ้ำซ้อนทางพีชคณิต และโปรดจำไว้ว่า ความซ้ำซ้อนทางพีชคณิตของค่าลักษณะเฉพาะต้องไม่เกิน⁠ ⁠สรุปแล้ว $${\displaystyle \gamma _{A}(\lambda )=n-\operatorname {rank} (A-\lambda I).}$$${\displaystyle n}$$${\displaystyle 1\leq \gamma _{A}(\lambda )\leq \mu _{A}(\lambda )\leq n.}$$

การพิสูจน์อสมการ: ให้${\displaystyle \gamma _{A}(\lambda )\leq \mu _{A}(\lambda )}$ B = A − λI โดยที่λเป็นจำนวนเชิงซ้อนคงที่ และปริภูมิไอเกนที่เกี่ยวข้องกับλคือปริภูมิว่างของBให้มิติของปริภูมิไอเกนนั้นเป็นซึ่ง หมายความว่า k แถว สุดท้ายของรูปแบบขั้นบันไดของB เป็น ศูนย์${\displaystyle k=\gamma _{A}(\lambda )}$ดังนั้นจึงมีเมทริกซ์ผกผันEที่ได้มาจากการลดรูปเกาส์-จอร์แดน เช่นนั้น ดังนั้น k แถว สุดท้ายของEB − tEจึงเป็น(− t ) เท่าของ k แถว สุดท้ายของEดังนั้นพหุนามt ^k จึงหารพหุนาม det( EB − tE )ลงตัวเนื่องจากคุณสมบัติพื้นฐานของดีเทอร์มิแนนต์ (ความเป็นเอกพันธุ์) ในทางกลับกันdet( EB − tE ) = det E det( B − tI ) = p _A ( t + λ ) det Eดังนั้น( t − λ ) ^k หาร p _A ( t )ลงตัวและด้วยเหตุนี้ ความซ้ำซ้อนเชิงพีชคณิตของλจึงมีอย่างน้อย⁠ ⁠ . QED $${\displaystyle EB={\begin{bmatrix}*&*\\\mathbf {0} _{k\times (n-k)}&\mathbf {0} _{k\times k}\end{bmatrix}}.}$$${\displaystyle k}$

สมมติว่าเมทริกซ์ Aมีค่าไอเกนที่แตกต่างกันd ≤ n ค่า คือ λ ₁ , ..., λ _dโดยที่ความซ้ำซ้อนทางเรขาคณิตของλ _iคือγ _A ( λ _i )ความซ้ำซ้อนทางเรขาคณิตทั้งหมดของAคือ มิติของผลรวมของปริภูมิไอเกนทั้งหมดของ ค่าไอเกนของ Aหรือเทียบเท่ากับจำนวนสูงสุดของเวกเตอร์ไอเกนที่เป็นอิสระเชิงเส้นของAตามการสร้าง⁠ ⁠ถ้า⁠ ⁠แล้ว: $${\displaystyle \gamma _{A}=\sum _{i=1}^{d}\gamma _{A}(\lambda _{i}),}$$${\displaystyle d\leq \gamma _{A}\leq n}$${\displaystyle \gamma _{A}=n}$

• ผลรวมโดยตรงของปริภูมิไอเก น ของค่าไอเก นทั้งหมดของ เมทริกซ์ Aคือปริภูมิเวกเตอร์ทั้งหมด${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
• ฐานของเมทริกซ์ A สามารถสร้างขึ้นจาก เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ nตัวที่เป็นอิสระเชิงเส้นของเมทริกซ์Aได้ ฐานดังกล่าวเรียกว่าฐานลักษณะเฉพาะ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
• เวกเตอร์ใดๆ ในสามารถเขียนได้ในรูปผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของA${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

ให้Aเป็น เมทริกซ์ n × n ใดๆ ของจำนวนเชิงซ้อนที่มีค่าไอเกนλ ₁ , ..., λ _nโดยแต่ละค่าไอเกนจะปรากฏในรายการนี้μ _A ( λ _i ) ครั้ง โดยที่ μ _A ( λ _i )คือความซ้ำเชิงพีชคณิตของค่าไอเกน ต่อไปนี้เป็นคุณสมบัติของเมทริกซ์นี้และค่าไอเกนของมัน:

• ร่องรอยของ⁠ ⁠${\displaystyle A}$ซึ่งกำหนดเป็นผลรวมขององค์ประกอบแนวทแยงมุม ยังเป็นผลรวมของค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดด้วย^{: [ 28 ] [ 29 ] [} 30 ^]$${\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}.}$$
• ดีเทอร์มิแนนต์ของ⁠ ⁠${\displaystyle A}$คือผลคูณของค่าไอเกนทั้งหมด: ^{[ 28 ] [ 31 ] [ 32 ]}$${\displaystyle \det(A)=\prod _{i=1}^{n}\lambda _{i}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}.}$$
• สำหรับจำนวนเต็มบวกใดๆค่า${\displaystyle k}$ลักษณะเฉพาะของกำลังที่n${\displaystyle k}$ของnนั่นคือn = ...${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{k}}$${\displaystyle \lambda _{1}^{k},\ldots ,\lambda _{n}^{k}}$
• ค่าไอเกนของเมทริกซ์⁠ ⁠ (${\displaystyle A+I}$โดยที่⁠ ⁠${\displaystyle I}$คือเมทริกซ์เอกลักษณ์) คือ⁠ ⁠${\displaystyle \lambda _{1}+1,\ldots ,\lambda _{n}+1}$นอกจากนี้ สำหรับ⁠ ⁠${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$ ใดๆ ค่าไอเกนของเมทริกซ์⁠ ⁠${\displaystyle A+\alpha I}$คือ⁠ ⁠${\displaystyle \lambda _{1}+\alpha ,\ldots ,\lambda _{n}+\alpha }$
• โดยทั่วไปแล้ว สำหรับพหุนามใดๆค่า${\displaystyle P}$ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์${\displaystyle P(A)}$คือ${\displaystyle P(\lambda _{1}),\ldots ,P(\lambda _{n})}$
• เมท ริก ซ์${\displaystyle A}$ผกผันได้ก็ต่อเมื่อค่าลักษณะเฉพาะทุกค่าไม่เป็น${\displaystyle \lambda _{i}}$ศูนย์
• ถ้าเมทริก${\displaystyle A}$ซ์ผกผันได้ ค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ผกผัน${\displaystyle A^{-1}}$คือและค่าความซ้ำเชิงเรขาคณิตของแต่ละค่าลักษณะเฉพาะคือและจะตรงกัน ยิ่งไปกว่านั้น เนื่องจากพหุพจน์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ผกผันคือพหุพจน์ส่วนกลับของเมทริกซ์เดิมโดยมีค่าตัวประกอบสเกลาร์ต่างกันเล็กน้อย ค่าความซ้ำเชิงพีชคณิตของแต่ละค่าลักษณะเฉพาะคือและจะตรงกัน${\textstyle {\frac {1}{\lambda _{1}}},\ldots ,{\frac {1}{\lambda _{n}}}}$${\displaystyle \gamma _{A}(\lambda _{i})}$${\displaystyle \gamma _{A^{-1}}(1/\lambda _{i})}$${\displaystyle \mu _{A}(\lambda _{i})}$${\displaystyle \mu _{A^{-1}}(1/\lambda _{i})}$
• ถ้าเมทริกซ์ ⁠ ⁠${\displaystyle A}$เท่ากับเมทริกซ์ทรานสโพสสังยุค ของมัน ⁠ ⁠${\displaystyle A^{*}}$นั่นคือ⁠ ⁠${\displaystyle A}$เป็น เมทริกซ์ เฮอร์มิเชียนแล้วค่าไอเกนทุกค่า⁠ ⁠${\displaystyle \lambda _{i}}$จะเป็นจำนวนจริง หลักการเดียวกันนี้ใช้ได้กับ เมทริกซ์ สมมาตรจริง ใดๆ ด้วย
• ถ้าเมทริกซ์ ⁠ ⁠${\displaystyle A}$ไม่เพียงแต่เป็นเมทริก ซ์เฮอร์มิเชียนเท่านั้น แต่ยัง เป็นเมทริกซ์บวกแน่นอน บวกกึ่งแน่นอน ลบแน่นอน หรือลบกึ่งแน่นอน ด้วยแล้ว ค่าไอเกนทุกค่า⁠ ⁠${\displaystyle \lambda _{i}}$จะเป็นบวก ไม่เป็นลบ ลบ หรือไม่เป็นบวก ตามลำดับ
• ถ้าเมทริก${\displaystyle A}$ซ์เอกลักษณ์ (unitary matrix ) ทุกค่าไอเกนจะมี${\displaystyle \lambda _{i}}$ค่าสัมบูรณ์เท่ากับ0${\displaystyle \vert \lambda _{i}\vert =1}$

หลายสาขาวิชาโดยทั่วไปจะแสดงเวกเตอร์เป็นเมทริกซ์ที่มีคอลัมน์เดียวแทนที่จะเป็นเมทริกซ์ที่มีแถวเดียว ด้วยเหตุนี้ คำว่า "เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ" ในบริบทของเมทริกซ์จึงมักหมายถึงเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะด้านขวากล่าวคือ เวกเตอร์ คอลัมน์ที่คูณเมทริกซ์n × n A ทางด้านขวาในสมการนิยาม สมการ ( 1 ) ปัญหาค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะยังสามารถกำหนดได้สำหรับ เวกเตอร์ แถวที่คูณเมทริกซ์A ทางด้านซ้ายในการกำหนดสูตรนี้ สมการนิยามคือ โดยที่κเป็นสเกลาร์และuเป็น เมทริกซ์ 1 × nเวกเตอร์แถวu ใดๆ ที่สอดคล้องกับสมการนี้เรียกว่าเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะด้านซ้ายของAและκยังคงเรียกว่าค่าลักษณะเฉพาะที่เกี่ยวข้อง เมื่อทำการสลับแถวและคอลัมน์ของสมการนี้ $${\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} .}$$$${\displaystyle \mathbf {u} A=\kappa \mathbf {u} ,}$$$${\displaystyle A^{\mathsf {T}}\mathbf {u} ^{\mathsf {T}}=\kappa \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}.}$$

เมื่อเปรียบเทียบสมการนี้กับสมการ ( 1 ) จะเห็นได้ทันทีว่าเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะด้านซ้ายของ⁠ ⁠${\displaystyle A}$เหมือนกับเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะด้านขวาของ⁠ ⁠${\displaystyle A^{\mathsf {T}}}$ ที่ถูกสลับตำแหน่ง โดยมีค่าลักษณะเฉพาะเดียวกัน ยิ่งไปกว่านั้น เนื่องจากพหุนามลักษณะเฉพาะของ⁠ ⁠${\displaystyle A^{\mathsf {T}}}$เหมือนกับพหุนามลักษณะเฉพาะของ⁠ ⁠${\displaystyle A}$ ดังนั้น เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะด้านซ้ายและด้านขวาของ⁠ ⁠${\displaystyle A}$จึงมีค่าลักษณะเฉพาะเดียวกัน

เมทริกซ์จะมีค่าลักษณะเฉพาะเหมือนกับเมทริกซ์ทรานสโพส ดังที่เห็นได้โดยตรงดังต่อไปนี้ สมมติว่า⁠ ⁠${\displaystyle \lambda }$เป็นค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์⁠ ⁠ ${\displaystyle n\times n}$ที่${\displaystyle A}$มีเวกเตอร์ลักษณะ เฉพาะ ⁠ ${\displaystyle x}$⁠แล้ว⁠ ${\displaystyle Ax=\lambda x}$⁠ ;หรือเทียบเท่ากับ⁠ ⁠${\displaystyle (A-\lambda I)x=0}$ .

ดังนั้น คอลัมน์ของ เมท ริก ซ์ ⁠ ⁠${\displaystyle (A-\lambda I)}$จึงเป็นอิสระเชิงเส้น หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคืออันดับของเมทริกซ์มีค่าน้อยกว่า⁠ ⁠${\displaystyle n}$

แต่เนื่องจากอันดับคอลัมน์เท่ากับอันดับแถว ดังนั้นแถวต่างๆ จึงเป็นอิสระเชิงเส้นด้วย ดังนั้นจึงมีจำนวน⁠ ⁠${\displaystyle y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}}$ซึ่งไม่ใช่ศูนย์ทั้งหมด ที่ทำให้โดยที่⁠ ⁠คือแถวของ⁠ ⁠ให้เวกเตอร์แถวเป็น ⁠ ⁠แล้ว⁠ ⁠เมื่อทำการสลับแถวและ คอลัมน์จะได้ ⁠ ⁠ยิ่งไปกว่านั้น⁠ ⁠ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์ ดังนั้น⁠ ⁠จึงเป็นค่าลักษณะเฉพาะของ⁠ ⁠ด้วย ${\textstyle \sum _{i=1}^{i=n}y_{i}R_{i}=0,}$${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle (A-\lambda I)}$${\displaystyle y=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})}$${\displaystyle y\,(A-\lambda I)=0}$${\displaystyle (A^{\mathsf {T}}-\lambda I)\,y^{\mathsf {T}}=0}$${\displaystyle y^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle A^{\mathsf {T}}}$

นอกจากนี้ ข้อโต้แย้งนี้แสดงให้เห็นว่าค่าลักษณะเฉพาะของและมีความซ้ำซ้อนทางเรขาคณิตเท่ากัน (เนื่องจากค่าว่างของคอลัมน์เท่ากับค่าว่างของแถว) ${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{\mathsf {T}}}$

สมมติว่าเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของAเป็นฐานของ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$หรือเทียบเท่ากับAมีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่เป็นอิสระเชิงเส้น n ตัวv 1 _, v 2 _, ..., v _n (โดยมีค่าลักษณะเฉพาะที่เกี่ยวข้องคือ λ ₁ , λ ₂ , ..., λ _n ) เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะเหล่านี้ไม่จำเป็นต้องตั้งฉากกัน และค่าลักษณะเฉพาะไม่จำเป็นต้องแตกต่างกัน กำหนดเมทริกซ์จัตุรัสQที่มีคอลัมน์เป็น เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่เป็นอิสระเชิงเส้น nตัวของAเนื่องจาก แต่ละคอลัมน์ของQเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของA การคูณ Aด้วยQทางขวาจะปรับขนาดแต่ละคอลัมน์ของQด้วยค่าลักษณะเฉพาะที่เกี่ยวข้อง: $${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}.}$$$${\displaystyle AQ={\begin{bmatrix}\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}&\lambda _{2}\mathbf {v} _{2}&\cdots &\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}.}$$

ด้วยเหตุนี้ จึงกำหนดเมทริกซ์แนวทแยงΛโดยที่แต่ละองค์ประกอบแนวทแยงΛ _iiคือค่าลักษณะเฉพาะที่เกี่ยวข้องกับ คอลัมน์ที่ iของQ เนื่องจากคอลัมน์ของQเป็นอิสระเชิงเส้นดังนั้น Q จึงสามารถผกผันได้ โดยการคูณทั้งสองข้างของสมการด้วยQ ⁻¹ ทางขวา หรือ คูณทั้งสองข้างด้วย Q ⁻¹ ทางซ้ายแทน เมทริกซ์A จึงสามารถแยกออกเป็นเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ เมทริกซ์แนวทแยงที่มีค่าลักษณะเฉพาะอยู่ตามแนวทแยง และเมทริกซ์ผกผันของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ กระบวนการนี้เรียกว่าการแยกส่วนลักษณะเฉพาะ (eigendecomposition ) ซึ่งเป็นการแปลงความคล้ายคลึงกันเมทริกซ์A ดัง กล่าวเรียกว่าคล้ายกับเมทริกซ์แนวทแยงΛหรือสามารถทำให้เป็น เมทริกซ์แนวทแยงได้ เมทริกซ์Qคือเมทริกซ์การเปลี่ยนฐานของการแปลงความคล้ายคลึงกัน โดยพื้นฐานแล้ว เมทริกซ์AและΛแสดงถึงการแปลงเชิงเส้นเดียวกันที่แสดงในฐานที่แตกต่างกันสองฐาน เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะจะถูกใช้เป็นฐานเมื่อแสดงการแปลงเชิงเส้นเป็น Λ$${\displaystyle AQ=Q\varLambda .}$$$${\displaystyle A=Q\varLambda Q^{-1};}$$$${\displaystyle Q^{-1}AQ=\varLambda .}$$

ในทางกลับกัน สมมติว่าเมทริกซ์Aสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้ ให้Pเป็นเมทริกซ์จัตุรัสที่ไม่เอกฐาน โดยที่P ⁻¹ APเป็นเมทริกซ์ทแยงมุมD บาง ตัว การคูณทั้งสองเมทริกซ์ด้วยP ทางซ้าย จะได้AP = PD ดังนั้น แต่ละคอลัมน์ของPจะต้องเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของAซึ่งค่าลักษณะเฉพาะของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะนี้คือองค์ประกอบทแยงมุมที่สอดคล้องกันของDเนื่องจากคอลัมน์ของPจะต้องเป็นอิสระเชิงเส้นเพื่อให้Pสามารถผกผันได้ ดังนั้นจึงมีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่เป็นอิสระเชิงเส้นจำนวนn ตัว ของ A

โดยสรุป เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของ⁠ ⁠${\displaystyle A}$ก่อให้เกิดฐานของ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ก็ต่อเมื่อ⁠ ⁠${\displaystyle A}$สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้

เมทริกซ์ที่ไม่สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุม ได้เรียกว่า เมทริกซ์บกพร่อง สำหรับเมทริกซ์บกพร่อง แนวคิดของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะจะขยายไปสู่เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไปและเมทริกซ์ทแยงมุมของค่าลักษณะเฉพาะจะขยายไปสู่รูปแบบปกติของจอร์แดนบนฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต เมทริกซ์A ใดๆ จะมีรูปแบบปกติของจอร์แดน และดังนั้นจึงยอมรับฐานของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไปและการแยกส่วนออกเป็น ปริภูมิเวกเตอร์ลักษณะ เฉพาะ ทั่วไป

ในกรณีของเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนค่าไอเกนสามารถกำหนดลักษณะเฉพาะแบบแปรผันได้ ค่าไอเกนที่ใหญ่ที่สุดของHคือค่าสูงสุดของรูปแบบกำลังสองx ^T H x / x ^T xค่าของxที่ทำให้เกิดค่าสูงสุดนั้นคือเวกเตอร์ไอเกน

พิจารณาเมทริกซ์ รูปทางด้านขวาแสดงผลของการแปลงนี้ต่อพิกัดจุดในระนาบ เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะvของการแปลงนี้สอดคล้องกับสมการ ( 1 ) และค่าของλที่ทำให้ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์( A − λI )เท่ากับศูนย์คือค่าลักษณะเฉพาะ $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}.}$$

เมื่อนำค่าดีเทอร์มิแนนต์มาหาพหุพจน์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ Aแล้ว กำหนดให้พหุพจน์ลักษณะเฉพาะเท่ากับศูนย์ จะได้รากที่λ = 1และλ = 3ซึ่งเป็นค่าไอเกนสองค่าของเมท ริกซ์ A$${\displaystyle {\begin{aligned}\det(A-\lambda I)&=\left|{\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right|={\begin{vmatrix}2-\lambda &1\\1&2-\lambda \end{vmatrix}}\\[6pt]&=3-4\lambda +\lambda ^{2}\\[6pt]&=(\lambda -3)(\lambda -1).\end{aligned}}}$$

สำหรับλ = 1สมการ ( 2 ) จะกลายเป็น เวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ ที่มีv ₁ = − v ₂แก้สมการนี้ได้ ดังนั้น จึง เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของAที่สอดคล้องกับλ = 1เช่นเดียวกับผลคูณสเกลาร์ใดๆ ของเวกเตอร์นี้ $${\displaystyle {\begin{aligned}(A-I)\mathbf {v} _{\lambda =1}&={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}\\1v_{1}+1v_{2}&=0\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \mathbf {v} _{\lambda =1}={\begin{bmatrix}v_{1}\\-v_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}}$$

สำหรับλ = 3สมการ ( 2 ) จะกลายเป็น เวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ ที่มี_v1 = v2 แก้ สมการนี้ _ได้ดังนั้น จึง เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของAที่สอดคล้องกับλ = 3 เช่นเดียวกับ _ผลคูณสเกลาร์ใดๆ ของเวกเตอร์นี้ ดังนั้น เวกเตอร์vλ _{= 1}และvλ _{= 3 จึง}เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของAที่เกี่ยวข้องกับค่าลักษณะเฉพาะλ = 1และλ = 3ตามลำดับ $${\displaystyle {\begin{aligned}(A-3I)\mathbf {v} _{\lambda =3}&={\begin{bmatrix}-1&{\hphantom {-}}1\\{\hphantom {-}}1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}\\-1v_{1}+1v_{2}&=0;\\1v_{1}-1v_{2}&=0\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \mathbf {v} _{\lambda =3}={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}}$$

พิจารณาเมทริกซ์ A พหุพจน์ลักษณะเฉพาะของAคือ $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&0&0\\0&3&4\\0&4&9\end{bmatrix}}.}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\det(A-\lambda I)&=\left|{\begin{bmatrix}2&0&0\\0&3&4\\0&4&9\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\right|={\begin{vmatrix}2-\lambda &0&0\\0&3-\lambda &4\\0&4&9-\lambda \end{vmatrix}},\\[6pt]&=(2-\lambda ){\bigl [}(3-\lambda )(9-\lambda )-16{\bigr ]}=-\lambda ^{3}+14\lambda ^{2}-35\lambda +22.\end{aligned}}}$$

รากของพหุนามลักษณะเฉพาะคือ 2, 1 และ 11 ซึ่งเป็นค่าลักษณะเฉพาะสามค่าเดียวของเมท ริก ซ์ Aค่าลักษณะเฉพาะเหล่านี้สอดคล้องกับเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ[1 0 0] ^T , [0 −2 1] ^Tและ[0 1 2] ^Tหรือผลคูณที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ ของเวก เตอร์เหล่านี้

พิจารณาเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนแบบวัฏจักร$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}}.}$$

เมทริกซ์นี้เลื่อนพิกัดของเวกเตอร์ขึ้นไปหนึ่งตำแหน่งและย้ายพิกัดแรกไปไว้ด้านล่าง พหุนามลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์นี้คือ1 − λ ³ซึ่งมีรากเป็น โดยที่iเป็นหน่วยจินตนาการที่มีi ² = −1$${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&=1\\\lambda _{2}&=-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\\lambda _{3}&=\lambda _{2}^{*}=-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{aligned}}}$$

สำหรับค่าลักษณะเฉพาะจริงλ ₁ = 1เวกเตอร์ใดๆ ที่มีสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์เท่ากันสามตัว จะเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ ตัวอย่างเช่น $${\displaystyle A{\begin{bmatrix}5\\5\\5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5\\5\\5\end{bmatrix}}=1\cdot {\begin{bmatrix}5\\5\\5\end{bmatrix}}.}$$

สำหรับคู่ค่าลักษณะเฉพาะเชิงซ้อนสังยุค จะได้ว่า และ $${\displaystyle \lambda _{2}\lambda _{3}=1,\quad \lambda _{2}^{2}=\lambda _{3},\quad \lambda _{3}^{2}=\lambda _{2}.}$$$${\displaystyle A{\begin{bmatrix}1\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{2}\\\lambda _{3}\\1\end{bmatrix}}=\lambda _{2}\cdot {\begin{bmatrix}1\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{bmatrix}},}$$$${\displaystyle A{\begin{bmatrix}1\\\lambda _{3}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{3}\\\lambda _{2}\\1\end{bmatrix}}=\lambda _{3}\cdot {\begin{bmatrix}1\\\lambda _{3}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}.}$$

ดังนั้น เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะอีกสองตัวของAจึงเป็นจำนวนเชิงซ้อน และได้แก่v _{λ 2} = [1 λ ₂ λ ₃ ] ^Tและv _{λ 3} = [1 λ ₃ λ ₂ ] ^Tโดยมีค่าลักษณะเฉพาะคือλ ₂และλ ₃ตามลำดับ เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะเชิงซ้อนทั้งสองนี้ยังปรากฏอยู่ในคู่สังยุคเชิงซ้อนด้วย $${\displaystyle \mathbf {v} _{\lambda _{2}}=\mathbf {v} _{\lambda _{3}}^{*}.}$$

เมทริกซ์ที่มีสมาชิกอยู่เฉพาะตามแนวทแยงมุมหลักเรียกว่าเมทริกซ์ทแยงมุมค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ทแยงมุมคือสมาชิกตามแนวทแยงมุมนั่นเอง พิจารณาเมทริกซ์ A พหุนามลักษณะเฉพาะของAคือ ซึ่งมีรากλ ₁ = 1 , λ ₂ = 2และλ ₃ = 3รากเหล่านี้เป็นทั้งสมาชิกตามแนวทแยงมุมและค่าลักษณะเฉพาะ  ของ A$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{bmatrix}}.}$$$${\displaystyle \det(A-\lambda I)=(1-\lambda )(2-\lambda )(3-\lambda ),}$$

แต่ละองค์ประกอบแนวทแยงสอดคล้องกับเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่มีส่วนประกอบที่ไม่เป็นศูนย์เพียงส่วนเดียวอยู่ในแถวเดียวกันกับองค์ประกอบแนวทแยงนั้น ในตัวอย่างนี้ ค่าลักษณะเฉพาะสอดคล้องกับเวกเตอร์ลักษณะ เฉพาะและผลคูณเชิงสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านั้นตามลำดับ $${\displaystyle \mathbf {v} _{\lambda _{1}}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda _{2}}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda _{3}}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}},}$$

เมทริกซ์ที่มีค่าองค์ประกอบเหนือเส้นทแยงมุมหลักเป็นศูนย์ทั้งหมด เรียกว่าเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างในขณะที่เมทริกซ์ที่มีค่าองค์ประกอบใต้เส้นทแยงมุมหลักเป็นศูนย์ทั้งหมด เรียกว่าเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนเช่นเดียวกับเมทริกซ์แนวทแยง ค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์สามเหลี่ยมคือค่าองค์ประกอบบนเส้นทแยงมุมหลัก

พิจารณาเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0&0\\1&2&0\\2&3&3\end{bmatrix}}.}$$

พหุนามลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ Aคือ ซึ่งมีรากคือλ ₁ = 1 , λ ₂ = 2และλ ₃ = 3รากเหล่านี้เป็นทั้งองค์ประกอบแนวทแยงและค่าลักษณะเฉพาะของเมทริก  ซ์ A$${\displaystyle \det(A-\lambda I)=(1-\lambda )(2-\lambda )(3-\lambda ),}$$

ค่าลักษณะเฉพาะเหล่านี้สอดคล้องกับเวกเตอร์ลักษณะ เฉพาะ ตลอดจนผลคูณเชิงสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านั้น ตามลำดับ $${\displaystyle \mathbf {v} _{\lambda _{1}}={\begin{bmatrix}1\\-1\\{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda _{2}}={\begin{bmatrix}0\\1\\-3\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda _{3}}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}},}$$

เช่นเดียวกับตัวอย่างก่อนหน้านี้ เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง มีพหุนามลักษณะเฉพาะซึ่งเป็นผลคูณขององค์ประกอบแนวทแยงมุมของเมทริกซ์นั้น $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&0&0&0\\1&2&0&0\\0&1&3&0\\0&0&1&3\end{bmatrix}},}$$$${\displaystyle \det(A-\lambda I)={\begin{vmatrix}2-\lambda &0&0&0\\1&2-\lambda &0&0\\0&1&3-\lambda &0\\0&0&1&3-\lambda \end{vmatrix}}=(2-\lambda )^{2}(3-\lambda )^{2}.}$$

รากของพหุนามนี้ และด้วยเหตุนี้ ค่าลักษณะเฉพาะ จึงเป็น 2 และ 3 ความซ้ำเชิงพีชคณิตของแต่ละค่าลักษณะเฉพาะคือ 2 กล่าวอีกนัยหนึ่งคือทั้งสองเป็นรากซ้ำ ผลรวมของความซ้ำเชิงพีชคณิตของค่าลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกันทั้งหมดคือμ _A = 4 = nซึ่งเป็นอันดับของพหุนามลักษณะเฉพาะและมิติของ A

ในทางกลับกันความซ้ำซ้อนทางเรขาคณิตของค่าไอเกน 2 มีค่าเพียง 1 เท่านั้น เนื่องจากปริภูมิไอเกนของมันถูกสร้างขึ้นโดยเวกเตอร์เพียงตัวเดียว[0 1 −1 1] ^Tและจึงมีมิติเดียว ในทำนองเดียวกัน ความซ้ำซ้อนทางเรขาคณิตของค่าไอเกน 3 มีค่า 1 เนื่องจากปริภูมิไอเกนของมันถูกสร้างขึ้นโดยเวกเตอร์เพียงตัวเดียว[0 0 0 1] ^Tความซ้ำซ้อนทางเรขาคณิตทั้งหมดγ _Aมีค่าเท่ากับ 2 ซึ่งเป็นค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้สำหรับเมทริกซ์ที่มีค่าไอเกนที่แตกต่างกันสองค่า ความซ้ำซ้อนทางเรขาคณิตจะถูกนิยามในส่วนถัดไป

สำหรับ เมท ริกซ์เฮอร์มิเชียนAค่ากำลังสองของนอร์มของ ส่วนประกอบที่ αของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่ถูกทำให้เป็นมาตรฐานสามารถคำนวณได้โดยใช้เพียงค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์และค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ ย่อยที่สอดคล้องกัน โดย ที่คือเมทริกซ์ย่อยที่เกิดจากการลบ แถวและคอลัมน์ที่ α ออก จากเมทริกซ์ดั้งเดิม^{[ 33 ] [ 34 ]}เอกลักษณ์นี้ยังขยายไปถึงเมทริกซ์ที่สามารถทำให้เป็นแนวทแยงได้ด้วย มันถูกค้นพบใน^{[ 35 ]} และถูกค้นพบซ้ำหลายครั้งในเอกสาร (ดูเช่น^{[ 34 ] [ 36 ]} ) $${\displaystyle |v_{i\alpha }|^{2}={\frac {\prod _{k}{(\lambda _{i}(A)-\lambda _{k}(A_{\alpha }))}}{\prod _{k\neq i}{(\lambda _{i}(A)-\lambda _{k}(A))}}},}$$${\displaystyle A_{\alpha }}$

นิยามของค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของการแปลงเชิงเส้นTยังคงใช้ได้แม้ว่าปริภูมิเวกเตอร์พื้นฐานจะเป็นปริภูมิฮิลเบิร์ตหรือปริภูมิบานาค ที่ มีมิติอนันต์ก็ตาม การแปลงเชิงเส้นที่ใช้กันอย่างแพร่หลายซึ่งกระทำบนปริภูมิที่มีมิติอนันต์คือตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์บนปริภูมิฟังก์ชันให้Dเป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นบนปริภูมิของฟังก์ชันจริงที่หาอนุพันธ์ได้อนันต์ครั้ง ของตัวแปรจริง tสมการค่าลักษณะเฉพาะสำหรับDคือสมการเชิงอนุพันธ์ ฟังก์ชันที่สอดคล้องกับสมการนี้คือเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของDและโดยทั่วไปเรียกว่าฟังก์ชัน ลักษณะเฉพาะ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} )}$$${\displaystyle Df(t)=\lambda f(t)}$$

พิจารณาตัวดำเนินการอนุพันธ์ที่มีสมการค่าลักษณะเฉพาะ สม การเชิงอนุพันธ์นี้สามารถแก้ได้โดยการคูณทั้งสองข้างด้วยdt / f ( t )แล้วทำการอินทิเกรตคำตอบของสมการนี้ คือ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ซึ่งเป็นฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการอนุพันธ์ ในกรณีนี้ ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะนั้นเป็นฟังก์ชันของค่าลักษณะเฉพาะที่เกี่ยวข้อง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับλ = 0ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะf ( t )จะเป็นค่าคงที่ ${\displaystyle {\tfrac {d}{dt}}}$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(t)=\lambda f(t).}$$$${\displaystyle f(t)=f(0)e^{\lambda t},}$$

แนวคิดเรื่องค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะสามารถขยายไปสู่การแปลงเชิงเส้น ใดๆ บนปริภูมิเวกเตอร์ใดๆ ได้อย่างเป็นธรรมชาติ ให้Vเป็นปริภูมิเวกเตอร์ใดๆ บนฟิลด์Kของสเกลาร์และให้Tเป็นการแปลงเชิงเส้นที่แมปV ไปยังV$${\displaystyle T\colon V\to V.}$$

เรากล่าวว่าเวกเตอร์v ∈ V ที่ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์ เป็นเวกเตอร์ลักษณะ เฉพาะ ของTก็ต่อเมื่อมีสเกลาร์λ ∈ Kอยู่จริง โดยที่

${\displaystyle T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} .}$

5

สมการ นี้เรียกว่าสมการค่าลักษณะเฉพาะสำหรับTและสเกลาร์λคือค่าลักษณะเฉพาะของTที่สอดคล้องกับเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ^v T ( v ) คือผลลัพธ์ของการใช้การแปลงTกับเวกเตอร์vในขณะที่λvคือผลคูณของสเกลาร์λกับv ^{[ 37} ] ^{[ 38 ]}

เมื่อกำหนดค่าไอเกนλ แล้วให้พิจารณาเซต ซึ่งเป็นการรวมกันของเวกเตอร์ศูนย์กับเซตของเวกเตอร์ไอเกนทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับ  λ Eเรียกว่าปริภูมิไอเกนหรือปริภูมิลักษณะเฉพาะของTที่เกี่ยวข้องกับ  λ [ ^{39 ]} มันคือเคอร์เนลของการแปลงเชิง^เส้น T − λI$${\displaystyle E=\left\{\mathbf {v} :T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} \right\},}$$

ตามนิยามของการแปลงเชิงเส้น สำหรับx , y ∈ Vและα ∈ Kดังนั้น ถ้าuและvเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของTที่เกี่ยวข้องกับค่าลักษณะเฉพาะλกล่าวคือu , v ∈ Eแล้ว ดังนั้น ทั้งu + vและα vจะเป็นศูนย์หรือเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของTที่เกี่ยวข้องกับλกล่าวคือu + v , α v ∈ EและEปิดภายใต้การบวกและการคูณสเกลาร์ ดังนั้นปริภูมิลักษณะเฉพาะEที่เกี่ยวข้องกับλจึงเป็นปริภูมิย่อยเชิงเส้นของV [ ^{40 ]}ถ้าปริภูมิย่อยนั้นมีมิติ 1 บางครั้งเรียกว่า^เส้นลักษณะเฉพาะ^{[ 41 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}T(\mathbf {x} +\mathbf {y} )&=T(\mathbf {x} )+T(\mathbf {y} ),\\T(\alpha \mathbf {x} )&=\alpha T(\mathbf {x} ),\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}T(\mathbf {u} +\mathbf {v} )&=\lambda (\mathbf {u} +\mathbf {v} ),\\T(\alpha \mathbf {v} )&=\lambda (\alpha \mathbf {v} ).\end{aligned}}}$$

ความ ซ้ำซ้อนทางเรขาคณิตγ _T ( λ )ของค่าลักษณะเฉพาะλคือมิติของปริภูมิลักษณะเฉพาะที่เกี่ยวข้องกับλกล่าวคือ จำนวนเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่เป็นอิสระเชิงเส้นสูงสุดที่เกี่ยวข้องกับค่าลักษณะเฉพาะนั้น^{[ 42 ]}ตามคำจำกัดความของค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะγ _T ( λ ) ≥ 1เนื่องจากค่าลักษณะเฉพาะทุกค่ามีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะอย่างน้อยหนึ่งตัว

ปริภูมิไอเกนของT จะก่อให้เกิด ผลรวมโดยตรงเสมอดังนั้น เวกเตอร์ไอเกนที่ มีค่าไอเกน ต่างกันจึงเป็นอิสระเชิงเส้นเสมอ ด้วยเหตุนี้ ผลรวมของมิติของปริภูมิไอเกนจึงไม่สามารถเกินมิติnของปริภูมิเวกเตอร์ที่T ทำงานอยู่ และจะมี ค่าไอเกนที่แตกต่างกันได้ไม่เกินn ค่า ^{[ d ]}

ปริภูมิย่อยใดๆ ที่เกิดจากเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของTจะเป็นปริภูมิย่อยไม่เปลี่ยนแปลงของTและการจำกัดTให้อยู่ในปริภูมิย่อยดังกล่าวจะทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้ ยิ่งไปกว่านั้น ถ้าปริภูมิเวกเตอร์ทั้งหมดVสามารถเกิดจากเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของTหรือเทียบเท่ากับผลรวมโดยตรงของปริภูมิเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่เกี่ยวข้องกับค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดของTคือปริภูมิเวกเตอร์ทั้งหมดVแล้วฐานของVที่เรียกว่าฐานลักษณะเฉพาะ สามารถสร้างขึ้นได้จากเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของ Tที่เป็นอิสระเชิงเส้นเมื่อTมีฐานลักษณะเฉพาะT ก็ จะสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้

ถ้าλเป็นค่าลักษณะเฉพาะของTแล้ว ตัวดำเนินการ( T − λI )จะไม่ใช่ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและดังนั้น ตัวผกผัน( T − λI ) ⁻¹ จึง ไม่มีอยู่จริง ส่วนข้อความกลับกันนั้นเป็นจริงสำหรับปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัด แต่ไม่เป็นจริงสำหรับปริภูมิเวกเตอร์มิติอนันต์ โดยทั่วไปแล้ว ตัวดำเนินการ( T − λI )อาจไม่มีตัวผกผันแม้ว่าλจะไม่ใช่ค่าลักษณะเฉพาะก็ตาม

ด้วยเหตุนี้ ในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันค่าลักษณะเฉพาะสามารถขยายไปสู่สเปกตรัมของตัวดำเนินการเชิงเส้นT ได้โดยเป็นเซตของสเกลาร์λ ทั้งหมด ที่ทำให้ตัวดำเนินการ( T − λI )ไม่มี ตัวผกผันที่มี ขอบเขตสเปกตรัมของตัวดำเนินการจะประกอบด้วยค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดเสมอ แต่ไม่ได้จำกัดอยู่เพียงเท่านั้น

เราสามารถวางนัยทั่วไปของวัตถุพีชคณิตที่กระทำต่อปริภูมิเวกเตอร์ โดยแทนที่ตัวดำเนินการเดี่ยวที่กระทำต่อปริภูมิเวกเตอร์ด้วยการแสดงแทนทางพีชคณิต  – พีชคณิตแบบสมาคมที่กระทำต่อโมดูลการศึกษาการกระทำดังกล่าวเป็นสาขาหนึ่งของทฤษฎีการแสดงแทน

แนวคิดเรื่องน้ำหนักในทฤษฎีการแทนค่าเป็นสิ่งที่เทียบเคียงได้กับค่าลักษณะเฉพาะ ในขณะที่เวกเตอร์น้ำหนักและปริภูมิของน้ำหนักเป็นสิ่งที่เทียบเคียงได้กับเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะและปริภูมิของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ ตามลำดับ

eigensheaf ของ Heckeเป็นผลคูณเทนเซอร์ของตัวมันเอง และถูกนำมาพิจารณาในการ จับคู่ของ Langlands

สมการผลต่างที่ง่ายที่สุดมีรูปแบบดังนี้ การแก้สมการนี้สำหรับxในรูปของtนั้นหาได้โดยใช้สมการลักษณะเฉพาะ ซึ่งสามารถหาได้โดยการเรียงสมการชุดหนึ่งที่ประกอบด้วยสมการผลต่างข้างต้นและสมการk – 1สมการx _{t –1} = x _{t –1} , ..., x _{t – k +1} = x _{t – k +1}ให้อยู่ใน รูปเมทริกซ์ ทำให้ได้ระบบ kมิติอันดับแรกในเวกเตอร์ตัวแปรที่เรียงซ้อน[ x _t   ⋅⋅⋅  x _{t – k +1} ]ในรูปของค่าที่ล่าช้าไปหนึ่งครั้ง และนำสมการลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ของระบบนี้มาใช้ สมการนี้ให้รากลักษณะเฉพาะk ราก λ ₁ , ... , λ _kสำหรับใช้ในสมการคำตอบ $${\displaystyle x_{t}=a_{1}x_{t-1}+a_{2}x_{t-2}+\cdots +a_{k}x_{t-k}.}$$$${\displaystyle \lambda ^{k}-a_{1}\lambda ^{k-1}-a_{2}\lambda ^{k-2}-\cdots -a_{k-1}\lambda -a_{k}=0,}$$$${\displaystyle x_{t}=c_{1}\lambda _{1}^{t}+\cdots +c_{k}\lambda _{k}^{t}.}$$

มีการใช้ขั้นตอนที่คล้ายกันในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ในรูปแบบดังกล่าว $${\displaystyle {\frac {d^{k}x}{dt^{k}}}+a_{k-1}{\frac {d^{k-1}x}{dt^{k-1}}}+\cdots +a_{1}{\frac {dx}{dt}}+a_{0}x=0.}$$

การคำนวณค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะเป็นหัวข้อที่ทฤษฎีที่นำเสนอในตำราพีชคณิตเชิงเส้นเบื้องต้นมักจะแตกต่างจากการปฏิบัติจริงมาก

วิธีการแบบดั้งเดิมคือการหาค่าลักษณะเฉพาะก่อน แล้วจึงคำนวณเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะสำหรับแต่ละค่าลักษณะเฉพาะ อย่างไรก็ตาม วิธีนี้มีข้อเสียหลายประการสำหรับการคำนวณที่ไม่แม่นยำ เช่นเลขทศนิยม

ค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์Aสามารถหาได้โดยการหาค่ารากของพหุนามลักษณะเฉพาะ วิธีนี้ทำได้ง่ายสำหรับ เมทริกซ์ขนาด 2 × 2แต่ความยากจะเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วเมื่อขนาดของเมทริกซ์ใหญ่ขึ้น

ในทางทฤษฎี สัมประสิทธิ์ของพหุนามลักษณะเฉพาะสามารถคำนวณได้อย่างแม่นยำ เนื่องจากเป็นผลรวมของผลคูณขององค์ประกอบเมทริกซ์ และมีอัลกอริทึมที่สามารถค้นหารากทั้งหมดของพหุนามที่มีดีกรีใดๆ ก็ได้ด้วยความแม่นยำ ที่ต้องการ ^{[ 43 ]} อย่างไรก็ตาม วิธีการนี้ไม่สามารถใช้งานได้ จริงในทางปฏิบัติ เนื่องจากสัมประสิทธิ์จะปนเปื้อนด้วยข้อผิดพลาดจากการปัดเศษ ที่ไม่สามารถหลีกเลี่ยงได้ และรากของพหุนามอาจเป็นฟังก์ชันที่ไวต่อสัมประสิทธิ์อย่างมาก (ดังตัวอย่างโดยพหุนามของวิลกินสัน ) ^{[ 43 ]}แม้แต่สำหรับเมทริกซ์ที่มีองค์ประกอบเป็นจำนวนเต็ม การคำนวณก็ไม่ใช่เรื่องง่าย เนื่องจากผลรวมนั้นยาวมาก พจน์คงที่คือดีเทอร์มิแนนต์ซึ่งสำหรับ เมทริกซ์ n × nคือผลรวมของผลคูณที่แตกต่างกันn ! รายการ ^{[ e ]}

สูตรพีชคณิตที่ชัดเจนสำหรับรากของพหุนามมีอยู่เฉพาะในกรณีที่ดีกรีnน้อยกว่าหรือเท่ากับ 4 เท่านั้น ตามทฤษฎีบทของอาเบล-รัฟฟินีไม่มีสูตรพีชคณิตทั่วไปที่ชัดเจนและแน่นอนสำหรับรากของพหุนามที่มีดีกรี 5 หรือมากกว่า (ความทั่วไปมีความสำคัญเพราะพหุนามใดๆ ที่มีดีกรีnก็เป็นพหุนามลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์คู่ที่มีอันดับnเช่นกัน) ดังนั้น สำหรับเมทริกซ์ที่มีอันดับ 5 หรือมากกว่า ค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะจึงไม่สามารถหาได้จากสูตรพีชคณิตที่ชัดเจน และต้องคำนวณโดยวิธีการเชิงตัวเลข โดยประมาณ แม้แต่สูตรที่แน่นอนสำหรับรากของพหุนามดีกรี 3 ก็ยังไม่สามารถนำไปใช้ได้จริงในเชิงตัวเลข

เมื่อทราบค่า (ที่แน่นอน) ของค่าลักษณะเฉพาะแล้ว เราสามารถหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกันได้โดยการหาคำตอบที่ไม่เป็นศูนย์ของสมการค่าลักษณะเฉพาะ ซึ่งจะกลายเป็นระบบสมการเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์ที่ทราบแล้ว ตัวอย่างเช่น เมื่อทราบว่า 6 เป็นค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ เราสามารถหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะได้โดยการแก้สมการAv = 6v นั่นคือ สมการเมทริกซ์นี้เทียบเท่ากับสมการเชิงเส้นสองสมการ นั่นคือ $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}4&1\\6&3\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}4&1\\6&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=6\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}4x+{\hphantom {3}}y&=6x\\6x+3y&=6y\end{aligned}}\right.}$$$${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}-2x+{\hphantom {3}}y&=0\\6x-3y&=0\end{aligned}}\right.}$$

สมการทั้งสองลดรูปเหลือสมการเชิงเส้นเดียวคือy = 2x ดังนั้นเวกเตอร์ใดๆ ในรูปแบบ[ a   2a ] ^Tสำหรับจำนวนจริงa ใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ จะเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของAที่มีค่าลักษณะเฉพาะλ = 6

เมทริกซ์Aข้างต้นมีค่าไอเกนอีกค่าหนึ่ง คือ λ = 1การคำนวณที่คล้ายกันแสดงให้เห็นว่าเวกเตอร์ไอเกนที่สอดคล้องกันคือคำตอบที่ไม่เป็นศูนย์ของ3x + y = 0นั่นคือ เวกเตอร์ใดๆ ในรูปแบบ[ b   − 3b ] ^Tสำหรับจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆb

วิธีการตรงกันข้าม คือ การค้นหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะก่อน แล้วจึงกำหนดค่าลักษณะเฉพาะแต่ละค่าจากเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะนั้น กลับกลายเป็นวิธีที่คอมพิวเตอร์สามารถประมวลผลได้ง่ายกว่ามาก อัลกอริทึมที่ง่ายที่สุดคือ การเลือกเวกเตอร์เริ่มต้นใดๆ แล้วคูณเวกเตอร์นั้นกับเมทริกซ์ซ้ำๆ (โดยอาจปรับขนาดเวกเตอร์ให้มีขนาดที่เหมาะสม) ซึ่งจะทำให้เวกเตอร์ลู่เข้าสู่เวกเตอร์ ลักษณะเฉพาะ อีก วิธีหนึ่งคือการคูณเวกเตอร์ด้วย( A − μI ) ⁻¹แทน ซึ่งจะทำให้เวกเตอร์ลู่เข้าสู่เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่มีค่าลักษณะเฉพาะใกล้เคียงกับค่ามากที่สุด${\displaystyle \mu \in \mathbb {C} }$

ถ้าvเป็น (ค่าประมาณที่ดีของ) เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของAแล้ว ค่าลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกันสามารถคำนวณได้ดังนี้ โดย ที่v ^∗หมายถึง การสลับ ตำแหน่ง และผกผันของv$${\displaystyle \lambda ={\frac {\mathbf {v} ^{*}A\mathbf {v} }{\mathbf {v} ^{*}\mathbf {v} }}}$$

จนกระทั่งมีการออกแบบ อัลกอริทึม QRในปี 1961 จึงยังไม่มีวิธีการที่มีประสิทธิภาพและแม่นยำในการคำนวณค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ใด ๆ ^{[ 43 ]}การรวมการแปลง Householderเข้ากับการแยกส่วน LU ส่งผลให้ได้อัลกอริทึมที่มีการลู่เข้าที่ดีกว่าอัลกอริทึม QR สำหรับ เมทริกซ์ Hermitian sparse ขนาดใหญ่ อัลกอริทึม Lanczosเป็นตัวอย่างหนึ่งของวิธีการวนซ้ำ ที่มีประสิทธิภาพ ในการคำนวณค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ ท่ามกลางความเป็นไปได้อื่นๆ อีกหลายประการ^{[ 43 ]}

วิธีการคำนวณค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ส่วนใหญ่ มักจะได้ชุดเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกันเป็นผลพลอยได้จากการคำนวณด้วยเช่นกัน แม้ว่าบางครั้งผู้พัฒนาโปรแกรมอาจเลือกที่จะทิ้งข้อมูลเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะเหล่านั้นเมื่อไม่จำเป็นอีกต่อไปก็ตาม

เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะและค่าลักษณะเฉพาะมีประโยชน์ในการทำความเข้าใจการแปลงเชิงเส้นของรูปทรงเรขาคณิต ตารางต่อไปนี้แสดงตัวอย่างการแปลงในระนาบ พร้อมด้วย เมทริกซ์ 2 × 2ค่าลักษณะเฉพาะ และเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ

ค่าลักษณะเฉพาะของการแปลงทางเรขาคณิต

	การปรับขนาด	การปรับขนาดที่ไม่เท่ากัน	การหมุน	แรงเฉือนแนวนอน	การหมุนไฮเปอร์โบลิก
ภาพประกอบ
เมทริกซ์	${\displaystyle {\begin{bmatrix}k&0\\0&k\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}k_{1}&0\\0&k_{2}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&k\\0&1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cosh \varphi &\sinh \varphi \\\sinh \varphi &\cosh \varphi \end{bmatrix}}}$
พหุนาม ลักษณะ เฉพาะ	${\displaystyle \ (\lambda -k)^{2}}$	${\displaystyle (\lambda -k_{1})(\lambda -k_{2})}$	${\displaystyle \lambda ^{2}-2\cos(\theta )\lambda +1}$	${\displaystyle \ (\lambda -1)^{2}}$	${\displaystyle \lambda ^{2}-2\cosh(\varphi )\lambda +1}$
ค่าลักษณะเฉพาะ (Eigenvalues)${\displaystyle \lambda _{i}}$	${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=k}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&=k_{1}\\\lambda _{2}&=k_{2}\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&=e^{i\theta }\\&=\cos \theta +i\sin \theta \\\lambda _{2}&=e^{-i\theta }\\&=\cos \theta -i\sin \theta \end{aligned}}}$	${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=1}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&=e^{\varphi }\\&=\cosh \varphi +\sinh \varphi \\\lambda _{2}&=e^{-\varphi }\\&=\cosh \varphi -\sinh \varphi \end{aligned}}}$
การ คูณเชิงพีชคณิต${\displaystyle \mu _{i}=\mu (\lambda _{i})}$	${\displaystyle \mu _{1}=2}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{1}&=1\\\mu _{2}&=1\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{1}&=1\\\mu _{2}&=1\end{aligned}}}$	${\displaystyle \mu _{1}=2}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{1}&=1\\\mu _{2}&=1\end{aligned}}}$
การคูณทางเรขาคณิต${\displaystyle \gamma _{i}=\gamma (\lambda _{i})}$	${\displaystyle \gamma _{1}=2}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{1}&=1\\\gamma _{2}&=1\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{1}&=1\\\gamma _{2}&=1\end{aligned}}}$	${\displaystyle \gamma _{1}=1}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{1}&=1\\\gamma _{2}&=1\end{aligned}}}$
เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ	เวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด	${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} _{1}&={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\\\mathbf {u} _{2}&={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} _{1}&={\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix}}\\\mathbf {u} _{2}&={\begin{bmatrix}1\\+i\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$	${\displaystyle \mathbf {u} _{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} _{1}&={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}\\\mathbf {u} _{2}&={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$