ในทางคณิตศาสตร์อนุกรมเวลาคือลำดับของจุดข้อมูลที่จัดเรียง จัดทำรายการ หรือแสดงเป็นกราฟตามลำดับเวลา โดยทั่วไปแล้ว อนุกรมเวลาประกอบด้วยการสังเกตที่บันทึกไว้ ณ จุดเวลาที่ต่อเนื่องกันและมีระยะห่างเท่าๆ กัน ดังนั้นจึงแสดงถึงรูปแบบหนึ่งของ ข้อมูล เวลาไม่ต่อเนื่องอนุกรมเวลาอาจอธิบายถึงการวัดที่เก็บรวบรวมในช่วงเวลาไม่กี่วินาที วัน ปี หรือแม้แต่ศตวรรษ ตัวอย่างทั่วไป ได้แก่ ความสูงของน้ำขึ้นน้ำลง ในมหาสมุทร จำนวนจุด บน ดวง อาทิตย์ การวัดอุณหภูมิรายวัน และราคาปิดของดัชนีตลาดหุ้น เช่นดัชนีอุตสาหกรรมดาวโจนส์

อนุกรมเวลามักแสดงผลด้วยแผนภูมิการวิ่ง ( แผนภูมิเส้นแสดงแนวโน้มชนิดหนึ่ง) ซึ่งช่วยระบุรูปแบบต่างๆ เช่น แนวโน้ม ผลกระทบตามฤดูกาล และความผันผวนที่ไม่สม่ำเสมอ อนุกรมเวลาถูกนำไปใช้อย่างกว้างขวางในสถิติศาสตร์คณิตศาสตร์ประกันภัยการประมวลผลสัญญาณการ รู้ จำรูปแบบเศรษฐศาสตร์เชิงปริมาณการเงินเชิงคณิตศาสตร์การพยากรณ์อากาศ การทำนาย แผ่นดินไหว การตรวจคลื่นไฟฟ้าสมองวิศวกรรมควบคุมดาราศาสตร์วิศวกรรมการสื่อสารและสาขาอื่นๆ อีกมากมายของวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม ประยุกต์ ที่เกี่ยวข้องกับการวัดเชิงเวลา

การวิเคราะห์อนุกรมเวลาประกอบด้วยวิธีการวิเคราะห์ข้อมูลอนุกรมเวลาเพื่อดึงสถิติที่มีความหมายและลักษณะอื่นๆ ของข้อมูลออกมาการพยากรณ์อนุกรมเวลาคือการใช้แบบจำลองเพื่อทำนายค่าในอนาคตโดยอิงจากค่าที่สังเกตได้ก่อนหน้านี้ โดยทั่วไป ข้อมูลอนุกรมเวลาจะถูกจำลองเป็นกระบวนการสุ่มในขณะที่การวิเคราะห์การถดถอยมักถูกนำมาใช้เพื่อทดสอบความสัมพันธ์ระหว่างอนุกรมเวลาที่แตกต่างกันหนึ่งชุดหรือมากกว่านั้น การวิเคราะห์ประเภทนี้มักไม่เรียกว่า "การวิเคราะห์อนุกรมเวลา" ซึ่งโดยเฉพาะแล้วหมายถึงความสัมพันธ์ระหว่างจุดเวลาต่างๆ ภายในอนุกรมเวลาเดียว

ข้อมูลอนุกรมเวลามีลำดับเวลาที่เป็นธรรมชาติ ทำให้การวิเคราะห์อนุกรมเวลาแตกต่างจากการศึกษาแบบภาคตัดขวางซึ่งไม่มีลำดับที่เป็นธรรมชาติของการสังเกต (เช่น การอธิบายค่าจ้างของบุคคลโดยอ้างอิงจากระดับการศึกษาของพวกเขา ซึ่งข้อมูลของแต่ละบุคคลอาจถูกป้อนในลำดับใดก็ได้) การวิเคราะห์อนุกรมเวลายังแตกต่างจากการวิเคราะห์ข้อมูลเชิงพื้นที่ซึ่งการสังเกตมักเกี่ยวข้องกับตำแหน่งทางภูมิศาสตร์ (เช่น การอธิบายราคาบ้านตามสถานที่ตั้ง รวมถึงลักษณะเฉพาะของบ้าน) แบบจำลอง เชิงสุ่มสำหรับอนุกรมเวลาโดยทั่วไปจะสะท้อนให้เห็นว่าการสังเกตที่อยู่ใกล้กันในเวลาจะมีความสัมพันธ์กันมากกว่าการสังเกตที่ห่างกัน นอกจากนี้ แบบจำลองอนุกรมเวลามักจะใช้ลำดับทางเดียวตามธรรมชาติของเวลา เพื่อให้ค่าสำหรับช่วงเวลาที่กำหนดจะแสดงออกมาในรูปแบบที่ได้มาจากค่าในอดีต แทนที่จะมาจากค่าในอนาคต (ดูความสามารถในการย้อนกลับของเวลา )

การวิเคราะห์อนุกรมเวลาสามารถนำไปใช้กับข้อมูลที่มีค่าจริง และต่อเนื่อง ข้อมูล ตัวเลขแบบไม่ต่อเนื่อง หรือข้อมูลสัญลักษณ์แบบไม่ต่อเนื่อง (เช่น ลำดับของตัวอักษร เช่น ตัวอักษรและคำในภาษาอังกฤษ^{[ 1 ]} )

วิธีการวิเคราะห์อนุกรมเวลาสามารถแบ่งออกได้เป็นสองประเภท ได้แก่ วิธีการ ในโดเมนความถี่และ วิธีการ ในโดเมนเวลาประเภทแรกได้แก่การวิเคราะห์สเปกตรัมและการวิเคราะห์เวฟเล็ตส่วนประเภทหลังได้แก่ การวิเคราะห์ ความสัมพันธ์อัตโนมัติและ การวิเคราะห์ ความสัมพันธ์ไขว้ในโดเมนเวลา สามารถทำการวิเคราะห์ความสัมพันธ์ได้ในลักษณะคล้ายตัวกรองโดยใช้ความสัมพันธ์แบบปรับขนาดซึ่งช่วยลดความจำเป็นในการดำเนินการในโดเมนความถี่

นอกจากนี้ เทคนิคการวิเคราะห์อนุกรมเวลาอาจแบ่งออกเป็น วิธีการ แบบพาราเมตริกและ วิธีการ แบบไม่พาราเมตริกวิธีการแบบพาราเมตริกนั้นสมมติว่ากระบวนการสุ่มแบบอยู่ตัว ที่อยู่เบื้องหลัง มีโครงสร้างบางอย่างที่สามารถอธิบายได้โดยใช้พารามิเตอร์จำนวนน้อย (ตัวอย่างเช่น การใช้ แบบจำลอง อัตถารีเกรสซีฟหรือแบบจำลองค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ ) ในวิธีการเหล่านี้ งานคือการประมาณค่าพารามิเตอร์ของแบบจำลองที่อธิบายกระบวนการสุ่ม ในทางตรงกันข้าม วิธีการแบบไม่พาราเมตริกจะประมาณค่าความแปรปรวนร่วมหรือสเปกตรัมของกระบวนการอย่างชัดเจนโดยไม่ต้องสมมติว่ากระบวนการนั้นมีโครงสร้างใด ๆ เป็นพิเศษ

วิธีการวิเคราะห์อนุกรมเวลาอาจแบ่งออกเป็นแบบเชิงเส้นและไม่เชิงเส้นรวมถึงแบบตัวแปรเดียวและแบบหลายตัวแปรได้เช่น กัน

อนุกรมเวลาเป็นข้อมูลประเภทหนึ่งของข้อมูลแบบพาเนลข้อมูลแบบพาเนลเป็นกลุ่มข้อมูลทั่วไป ซึ่งเป็นชุดข้อมูลหลายมิติ ในขณะที่ชุดข้อมูลอนุกรมเวลาเป็นข้อมูลแบบพาเนลมิติเดียว (เช่นเดียวกับชุดข้อมูลแบบภาคตัดขวาง ) ชุดข้อมูลอาจแสดงลักษณะของทั้งข้อมูลแบบพาเนลและข้อมูลอนุกรมเวลา วิธีหนึ่งที่จะบอกได้คือการถามว่าอะไรทำให้ระเบียนข้อมูลหนึ่งแตกต่างจากระเบียนอื่นๆ หากคำตอบคือฟิลด์ข้อมูลเวลา แสดงว่านี่คือชุดข้อมูลอนุกรมเวลา หากการกำหนดระเบียนที่ไม่ซ้ำกันต้องใช้ฟิลด์ข้อมูลเวลาและตัวระบุเพิ่มเติมที่ไม่เกี่ยวข้องกับเวลา (เช่น รหัสนักเรียน สัญลักษณ์หุ้น รหัสประเทศ) แสดงว่านี่คือข้อมูลแบบพาเนล หากความแตกต่างอยู่ที่ตัวระบุที่ไม่เกี่ยวข้องกับเวลา ชุดข้อมูลนั้นจะเป็นชุดข้อมูลแบบภาคตัดขวาง

มีวิธีการวิเคราะห์ข้อมูลและแรงจูงใจหลายประเภทสำหรับอนุกรมเวลา ซึ่งเหมาะสมกับวัตถุประสงค์ที่แตกต่างกัน

ในบริบทของสถิติเศรษฐศาสตร์เชิงปริมาณการเงินเชิงปริมาณ แผ่นดินไหววิทยาอุตุนิยมวิทยาและธรณีฟิสิกส์เป้าหมายหลักของการวิเคราะห์อนุกรมเวลาคือการพยากรณ์ในบริบทของการประมวลผลสัญญาณวิศวกรรมควบคุมและวิศวกรรมการสื่อสารจะใช้สำหรับการตรวจจับสัญญาณ การใช้งานอื่นๆ ได้แก่การขุดข้อมูลการรู้จำรูปแบบและการเรียนรู้ของเครื่องซึ่งการวิเคราะห์อนุกรมเวลาสามารถใช้สำหรับ การ จัดกลุ่ม^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} การจำแนกประเภท^{[ 5 ]}การค้นหาตามเนื้อหา^{[ 6 ]}การตรวจจับความผิดปกติรวมถึงการพยากรณ์^{[ 7 ]}

วิธีง่ายๆ ในการตรวจสอบอนุกรมเวลาปกติคือการใช้แผนภูมิเส้นด้วยตนเอง แผนภูมิข้อมูลแสดงจำนวนผู้เสียชีวิตจากวัณโรคในสหรัฐอเมริกา^{[ 8 ]}พร้อมกับการเปลี่ยนแปลงรายปีและการเปลี่ยนแปลงเป็นเปอร์เซ็นต์จากปีต่อปี จำนวนผู้เสียชีวิตทั้งหมดลดลงในทุกปีจนถึงกลางทศวรรษ 1980 หลังจากนั้นก็มีการเพิ่มขึ้นเป็นครั้งคราว ซึ่งมักจะเพิ่มขึ้นตามสัดส่วน แต่ไม่ใช่เพิ่มขึ้นในเชิงสัมบูรณ์ค่อนข้างมาก

การศึกษาของนักวิเคราะห์ข้อมูลองค์กรพบความท้าทายสองประการในการวิเคราะห์อนุกรมเวลาเชิงสำรวจ ได้แก่ การค้นพบรูปร่างของรูปแบบที่น่าสนใจ และการหาคำอธิบายสำหรับรูปแบบเหล่านี้^{[ 9 ]}เครื่องมือภาพที่แสดงข้อมูลอนุกรมเวลาเป็นเมทริกซ์แผนที่ความร้อนสามารถช่วยเอาชนะความท้าทายเหล่านี้ได้

วิธีการนี้อาจอาศัยการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกและการกรองสัญญาณในโดเมนความถี่โดยใช้การแปลงฟูริเยร์และการประมาณความหนาแน่นสเปกตรัมการพัฒนาวิธีการนี้ได้รับการเร่งอย่างมากในช่วงสงครามโลกครั้งที่สองโดยนักคณิตศาสตร์Norbert Wienerวิศวกรไฟฟ้าRudolf E. Kálmán , Dennis Gaborและคนอื่นๆ เพื่อกรองสัญญาณจากสัญญาณรบกวนและทำนายค่าสัญญาณ ณ จุดเวลาใดจุดหนึ่ง

ผลลัพธ์ที่เทียบเท่ากันสามารถทำได้ในโดเมนเวลา เช่น ในตัวกรอง Kalmanดูหัวข้อการกรองและการปรับให้เรียบสำหรับเทคนิคเพิ่มเติม

เทคนิคอื่นๆ ที่เกี่ยวข้อง ได้แก่:

• การวิเคราะห์ความสัมพันธ์ อัตโนมัติเพื่อตรวจสอบความสัมพันธ์แบบอนุกรม
• การวิเคราะห์สเปกตรัมเพื่อตรวจสอบพฤติกรรมวัฏจักรซึ่งไม่จำเป็นต้องเกี่ยวข้องกับฤดูกาลตัวอย่างเช่น กิจกรรมจุดดวงอาทิตย์จะแปรผันตามวัฏจักร 11 ปี^{[ 10 ] [ 11 ]}ตัวอย่างทั่วไปอื่นๆ ได้แก่ ปรากฏการณ์ทางดาราศาสตร์ รูปแบบสภาพอากาศ กิจกรรมทางประสาท ราคาสินค้าโภคภัณฑ์ และกิจกรรมทางเศรษฐกิจ
• การแยกออกเป็นส่วนประกอบที่แสดงถึงแนวโน้ม ฤดูกาล การเปลี่ยนแปลงช้าและเร็ว และความไม่สม่ำเสมอตามวัฏจักร: ดูการประมาณแนวโน้มและการแยกองค์ประกอบของอนุกรมเวลา

การปรับเส้นโค้ง^{[ 12 ] [ 13 ]}คือกระบวนการสร้างเส้นโค้งหรือฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่เหมาะสมที่สุดกับชุดจุดข้อมูล^{[ 14 ]}ซึ่งอาจอยู่ภายใต้ข้อจำกัด^{[ 15 ] [ 16 ]}การปรับเส้นโค้งอาจเกี่ยวข้องกับการแทรกสอด [ ^{17 ] [ 18 ] ซึ่งต้องการความพอดีที่ แน่นอน}กับข้อมูล หรือ การปรับ ให้เรียบ^{[ 19 ] [ 20 ]}ซึ่งสร้างฟังก์ชัน "เรียบ" ที่พอดีกับข้อมูลโดยประมาณ หัวข้อที่เกี่ยวข้องคือการวิเคราะห์การถดถอย^{[ 21 ] [ 22 ]}ซึ่งมุ่งเน้นไปที่คำถามเกี่ยวกับการอนุมานทางสถิติเช่น ความไม่แน่นอนที่มีอยู่ในเส้นโค้งที่พอดีกับข้อมูลที่สังเกตได้โดยมีข้อผิดพลาดแบบสุ่ม เส้นโค้งที่ปรับแล้วสามารถใช้เป็นเครื่องมือช่วยในการแสดงภาพข้อมูล^{[ 23 ] [ 24 ]}เพื่ออนุมานค่าของฟังก์ชันในกรณีที่ไม่มีข้อมูล^{[ 25 ]}และเพื่อสรุปความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรสองตัวขึ้นไป^{[ 26 ]}การขยายขอบเขตหมายถึงการใช้เส้นโค้งที่เหมาะสมเกินขอบเขตของข้อมูลที่สังเกตได้^{[ 27 ]}และขึ้นอยู่กับระดับความไม่แน่นอน^{[ 28 ]}เนื่องจากอาจสะท้อนถึงวิธีการที่ใช้ในการสร้างเส้นโค้งมากพอๆ กับที่สะท้อนถึงข้อมูลที่สังเกตได้

สำหรับกระบวนการที่คาดว่าจะเติบโตขึ้นโดยทั่วไป เส้นโค้งเส้นใดเส้นหนึ่งในกราฟ (และอีกหลายเส้น) สามารถปรับให้เข้ากับข้อมูลได้โดยการประมาณค่าพารามิเตอร์ของกระบวนการเหล่านั้น

การสร้างอนุกรมเวลาทางเศรษฐกิจเกี่ยวข้องกับการประมาณค่าส่วนประกอบบางอย่างสำหรับบางวันที่โดยการประมาณค่าระหว่างค่า ("เกณฑ์มาตรฐาน") สำหรับวันที่ก่อนหน้าและวันที่หลังจากนั้น การประมาณค่าคือการประมาณค่าปริมาณที่ไม่ทราบค่าระหว่างปริมาณที่ทราบค่าสองค่า (ข้อมูลในอดีต) หรือการสรุปเกี่ยวกับข้อมูลที่ขาดหายไปจากข้อมูลที่มีอยู่ ("การอ่านระหว่างบรรทัด") ^{[ 29 ]}การประมาณค่ามีประโยชน์ในกรณีที่ข้อมูลรอบ ๆ ข้อมูลที่ขาดหายไปมีอยู่ และทราบแนวโน้ม ฤดูกาล และวัฏจักรระยะยาว ซึ่งมักทำโดยใช้ชุดข้อมูลที่เกี่ยวข้องที่ทราบสำหรับทุกวันที่เกี่ยวข้อง^{[ 30 ]}หรืออาจ ใช้ การประมาณค่าพหุนามหรือการประมาณค่าแบบสปลายน์โดยที่ ฟังก์ชัน พหุนาม แบบแบ่งส่วน จะถูกปรับให้เข้ากับช่วงเวลาเพื่อให้เข้ากันได้อย่างราบรื่น ปัญหาที่แตกต่างกันซึ่งเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการประมาณค่าคือการประมาณฟังก์ชันที่ซับซ้อนด้วยฟังก์ชันที่เรียบง่าย (เรียกอีกอย่างว่าการถดถอย ) ความแตกต่างหลักระหว่างการถดถอยและการประมาณค่าคือการถดถอยพหุนามจะให้พหุนามเดียวที่จำลองชุดข้อมูลทั้งหมด อย่างไรก็ตาม การประมาณค่าแบบสปลายน์จะให้ฟังก์ชันต่อเนื่องเป็นช่วงๆ ซึ่งประกอบด้วยพหุนามจำนวนมาก เพื่อใช้ในการจำลองชุดข้อมูล

การประมาณค่าแบบนอกช่วง (Extrapolation)คือกระบวนการประมาณค่าของตัวแปรหนึ่งที่อยู่นอกเหนือช่วงการสังเกตเดิม โดยอาศัยความสัมพันธ์กับตัวแปรอื่น กระบวนการนี้คล้ายกับการประมาณค่าแบบในช่วง (Interpolation ) ซึ่งเป็นการประมาณค่าระหว่างค่าที่ทราบแล้ว แต่การประมาณค่าแบบนอกช่วงมีความไม่แน่นอน มากกว่า และมีความเสี่ยงที่จะได้ผลลัพธ์ที่ไม่มีความหมายสูงกว่า

โดยทั่วไป ปัญหาการประมาณค่าฟังก์ชันนั้นต้องการให้เราเลือกฟังก์ชันจากกลุ่มฟังก์ชันที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน ซึ่งตรงกับ ("ประมาณค่า") ฟังก์ชันเป้าหมายในลักษณะที่เฉพาะเจาะจงกับงานนั้นๆ เราสามารถแบ่งปัญหาการประมาณค่าฟังก์ชันออกเป็นสองประเภทหลักๆ ได้แก่: ประการแรก สำหรับฟังก์ชันเป้าหมายที่ทราบแล้วทฤษฎีการประมาณค่า เป็นสาขาหนึ่งของการวิเคราะห์เชิงตัวเลขที่ศึกษาว่าฟังก์ชันที่ทราบแล้วบางฟังก์ชัน (เช่นฟังก์ชันพิเศษ ) สามารถประมาณค่าได้ด้วยกลุ่มฟังก์ชันเฉพาะ (เช่นพหุนามหรือฟังก์ชันตรรกยะ ) ซึ่งมักจะมีคุณสมบัติที่พึงประสงค์ (การคำนวณที่ไม่แพง ความต่อเนื่อง ค่าอินทิกรัลและค่าลิมิต เป็นต้น) ได้อย่างไร

ประการที่สอง ฟังก์ชันเป้าหมาย เรียกว่าgอาจไม่เป็นที่รู้จัก แทนที่จะใช้สูตรที่ชัดเจน จะมีเพียงชุดของจุด (อนุกรมเวลา) ในรูปแบบ ( x , g ( x )) เท่านั้น ขึ้นอยู่กับโครงสร้างของโดเมนและโคโดเมนของg อาจมี เทคนิคหลายอย่างในการประมาณค่าgได้ ตัวอย่างเช่น หากgเป็นการดำเนินการกับจำนวนจริง สามารถใช้ เทคนิคการแทรกสอด การประมาณค่าภายนอกการวิเคราะห์การ ถดถอย และการปรับเส้นโค้งได้หากโคโดเมน (ช่วงหรือเซตเป้าหมาย) ของgเป็นเซตจำกัด จะต้องจัดการกับ ปัญหา การจำแนกประเภทแทน ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการประมาณอนุกรมเวลาแบบออนไลน์^{[ 31 ]}คือการสรุปข้อมูลในครั้งเดียวและสร้างการแสดงแทนโดยประมาณที่สามารถรองรับการสอบถามอนุกรมเวลาที่หลากหลายพร้อมขอบเขตของข้อผิดพลาดกรณีที่เลวร้ายที่สุด

ในระดับหนึ่ง ปัญหาต่างๆ ( การถดถอย การจำแนกประเภทการประมาณค่าความเหมาะสม ) ได้รับการแก้ไขอย่างเป็นเอกภาพในทฤษฎีการเรียนรู้ทางสถิติโดยมองว่าเป็นปัญหา การเรียนรู้แบบมีผู้กำกับดูแล

ในทางสถิติการทำนายเป็นส่วนหนึ่งของการอนุมานทางสถิติแนวทางหนึ่งในการอนุมานดังกล่าวเรียกว่าการอนุมานเชิงทำนายแต่การทำนายสามารถทำได้ภายในแนวทางใดๆ ก็ได้ของการอนุมานทางสถิติ อันที่จริง คำอธิบายหนึ่งของสถิติคือ สถิติเป็นวิธีการถ่ายทอดความรู้เกี่ยวกับกลุ่มตัวอย่างของประชากรไปยังประชากรทั้งหมด และไปยังประชากรอื่นๆ ที่เกี่ยวข้อง ซึ่งไม่จำเป็นต้องเหมือนกับการทำนายในช่วงเวลาต่างๆ เมื่อข้อมูลถูกถ่ายทอดข้ามเวลา มักจะไปยังจุดเวลาที่เฉพาะเจาะจง กระบวนการนี้เรียกว่าการ พยากรณ์

• แบบจำลองทางสถิติที่สมบูรณ์สำหรับการจำลองแบบสุ่มเพื่อสร้างอนุกรมเวลาเวอร์ชันทางเลือก ซึ่งแสดงถึงสิ่งที่อาจเกิดขึ้นในช่วงเวลาที่ไม่เจาะจงในอนาคต
• แบบจำลองทางสถิติแบบง่ายหรือแบบสมบูรณ์ เพื่ออธิบายผลลัพธ์ที่น่าจะเป็นไปได้ของอนุกรมเวลาในอนาคตอันใกล้ โดยอาศัยความรู้เกี่ยวกับผลลัพธ์ล่าสุด (การพยากรณ์)
• การพยากรณ์อนุกรมเวลาโดยทั่วไปจะทำโดยใช้ซอฟต์แวร์ทางสถิติอัตโนมัติและภาษาโปรแกรมต่างๆ เช่นJulia , Python , R , SAS , SPSSและอื่นๆ อีกมากมาย
• การพยากรณ์ข้อมูลขนาดใหญ่สามารถทำได้ด้วยApache Sparkโดยใช้ไลบรารี Spark-TS ซึ่งเป็นแพ็กเกจของบุคคลที่สาม^{[ 32 ]}

การกำหนดรูปแบบอนุกรมเวลาให้กับหมวดหมู่เฉพาะ เช่น การระบุคำศัพท์จากชุดการเคลื่อนไหวของมือในภาษามือ

การแบ่งอนุกรมเวลาออกเป็นส่วนย่อยๆ บ่อยครั้งที่อนุกรมเวลาสามารถแสดงได้ในรูปของส่วนย่อยๆ แต่ละส่วนมีคุณสมบัติเฉพาะของตนเอง ตัวอย่างเช่น สัญญาณเสียงจากการประชุมทางโทรศัพท์สามารถแบ่งออกเป็นส่วนๆ ตามช่วงเวลาที่แต่ละคนพูด ในการแบ่งส่วนอนุกรมเวลา เป้าหมายคือการระบุจุดแบ่งส่วนในอนุกรมเวลา และกำหนดลักษณะสมบัติทางพลวัตที่เกี่ยวข้องกับแต่ละส่วน เราสามารถแก้ปัญหานี้ได้โดยใช้การตรวจจับจุดเปลี่ยนหรือโดยการจำลองอนุกรมเวลาเป็นระบบที่ซับซ้อนกว่า เช่น ระบบเชิงเส้นแบบกระโดดมาร์คอฟ

ข้อมูลอนุกรมเวลาอาจถูกจัดกลุ่ม อย่างไรก็ตามต้องระมัดระวังเป็นพิเศษเมื่อพิจารณาการจัดกลุ่มลำดับย่อย^{[ 33 ] [ 34 ]} การจัดกลุ่มอนุกรมเวลาอาจแบ่งออกเป็น

• การจัดกลุ่มอนุกรมเวลาทั้งหมด (อนุกรมเวลาหลายชุดที่ต้องการหาคลัสเตอร์)
• การจัดกลุ่มอนุกรมเวลาแบบลำดับย่อย (อนุกรมเวลาเดียว แบ่งออกเป็นส่วนย่อยโดยใช้หน้าต่างเลื่อน)
• การจัดกลุ่มจุดเวลา

การจัดกลุ่มอนุกรมเวลาลำดับย่อยส่งผลให้เกิดคลัสเตอร์ที่ไม่เสถียร (สุ่ม) ที่เกิดจากการสกัดคุณลักษณะโดยใช้การแบ่งกลุ่มด้วยหน้าต่างเลื่อน^{[ 35 ]}พบว่าศูนย์กลางคลัสเตอร์ (ค่าเฉลี่ยของอนุกรมเวลาในคลัสเตอร์ - ซึ่งก็คืออนุกรมเวลาเช่นกัน) เป็นไปตามรูปแบบไซน์ที่เลื่อนไปตามอำเภอใจ (โดยไม่คำนึงถึงชุดข้อมูล แม้แต่ในการรับรู้ของการเดินแบบสุ่ม ) ซึ่งหมายความว่าศูนย์กลางคลัสเตอร์ที่พบนั้นไม่สามารถอธิบายชุดข้อมูลได้ เนื่องจากศูนย์กลางคลัสเตอร์เป็นคลื่นไซน์ที่ไม่เป็นตัวแทนเสมอ

แบบจำลองสำหรับข้อมูลอนุกรมเวลาสามารถมีได้หลายรูปแบบและแสดงถึงกระบวนการสุ่ม ที่แตกต่างกัน เมื่อสร้างแบบจำลองความแปรผันในระดับของกระบวนการ แบบจำลองสามประเภทหลักที่มีความสำคัญในทางปฏิบัติ ได้แก่ แบบจำลอง อัตถารีเกรสซีฟ (AR) แบบ จำลองอินทิเกรต (I) และ แบบจำลอง ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ (MA) แบบจำลองทั้งสามประเภทนี้ขึ้นอยู่กับจุดข้อมูลก่อนหน้าแบบเชิง เส้น ^{[ 36 ]}การผสมผสานแนวคิดเหล่านี้ทำให้เกิดแบบจำลองอัตถารีเกรสซีฟเคลื่อนที่เฉลี่ย (ARMA) และแบบจำลอง อัตถารี เกรสซีฟอินทิเกรตเคลื่อนที่เฉลี่ย (ARIMA) แบบจำลอง อัตถารีเกรสซีฟเศษส่วนอินทิเกรตเคลื่อนที่เฉลี่ย (ARFIMA) เป็นการขยายแบบจำลองสามแบบแรก การขยายที่สำคัญอีกประการหนึ่งคือแบบจำลองอัตถารีเกรสซีฟแปรผันตามเวลา (TVAR) ซึ่งอนุญาตให้สัมประสิทธิ์ AR เปลี่ยนแปลงไปตามเวลา ทำให้แบบจำลองสามารถจับพลวัตที่เปลี่ยนแปลงหรือไม่คงที่ได้ ส่วนขยายของคลาสเหล่านี้เพื่อจัดการกับข้อมูลที่มีค่าเป็นเวกเตอร์นั้นมีอยู่ภายใต้หัวข้อแบบจำลองอนุกรมเวลาหลายตัวแปร และบางครั้งตัวย่อข้างต้นจะถูกขยายโดยการเพิ่ม "V" นำหน้าสำหรับ "เวกเตอร์" เช่น VAR สำหรับเวกเตอร์อัตถารีเกรสชันนอกจากนี้ยังมีส่วนขยายเพิ่มเติมของแบบจำลองเหล่านี้สำหรับการใช้งานในกรณีที่อนุกรมเวลาที่สังเกตได้ถูกขับเคลื่อนโดยอนุกรมเวลา "บังคับ" บางอย่าง (ซึ่งอาจไม่มีผลกระทบเชิงสาเหตุต่ออนุกรมที่สังเกตได้) ความแตกต่างจากกรณีหลายตัวแปรคืออนุกรมบังคับอาจเป็นแบบกำหนดได้หรืออยู่ภายใต้การควบคุมของผู้ทำการทดลอง สำหรับแบบจำลองเหล่านี้ ตัวย่อจะถูกขยายโดยการเพิ่ม "X" สุดท้ายสำหรับ "ภายนอก"

แบบจำลองอัตถารีเกรสซีฟแปรผันตามเวลา (TVAR) มีประโยชน์อย่างยิ่งสำหรับการวิเคราะห์อนุกรมเวลาที่ไม่คงที่ ซึ่งพลวัตพื้นฐานเปลี่ยนแปลงไปตามเวลาในรูปแบบที่ซับซ้อน ไม่จำกัดเฉพาะรูปแบบการเปลี่ยนแปลงแบบคลาสสิก เช่น แนวโน้มหรือรูปแบบตามฤดูกาล แตกต่างจากแบบจำลอง AR แบบคลาสสิกที่มีพารามิเตอร์คงที่ แบบจำลอง TVAR อนุญาตให้สัมประสิทธิ์อัตถารีเกรสซีฟเปลี่ยนแปลงไปตามฟังก์ชันของเวลา โดยทั่วไปจะแสดงผ่านการขยายฟังก์ชันพื้นฐาน ซึ่งรูปแบบและความซับซ้อนถูกกำหนดโดยผู้ใช้ ทำให้สามารถสร้างแบบจำลองพฤติกรรมที่เปลี่ยนแปลงตามเวลาได้อย่างยืดหยุ่นสูง ซึ่งช่วยให้สามารถจับภาพรูปแบบที่ไม่คงที่เฉพาะที่แสดงโดยข้อมูลได้ ความยืดหยุ่นนี้ทำให้เหมาะอย่างยิ่งสำหรับการสร้างแบบจำลองการเปลี่ยนแปลงโครงสร้าง การเปลี่ยนแปลงระบอบ หรือวิวัฒนาการทีละน้อยในพฤติกรรมของระบบ แบบจำลองอนุกรมเวลา TVAR ถูกนำไปใช้อย่างกว้างขวางในสาขาต่างๆ เช่น การประมวลผลสัญญาณ^{[ 37 ] [ 38 ]}เศรษฐศาสตร์^{[ 39 ]}การเงิน^{[ 40 ]}ความน่าเชื่อถือและการตรวจสอบสภาพ [ ^{41 ] [ 42 ] [ 43 ]}โทรคมนาคม^{[ 44 ] [ 45 ]}ประสาทวิทยา^{[ 46 ]}วิทยาศาสตร์ภูมิอากาศ^{[ 47 ]}และอุทกวิทยา^{[ 48 ] ซึ่งอนุกรมเวลามักแสดงพลวัต ที่}แบบจำลองเชิงเส้นแบบดั้งเดิมไม่สามารถแสดงได้อย่างเพียงพอ การประมาณค่าแบบจำลอง TVAR โดยทั่วไปเกี่ยวข้องกับวิธีการต่างๆ เช่น การปรับเรียบเคอร์เนล^{[ 49 ]}กำลังสองน้อยที่สุดแบบวนซ้ำ^{[ 50 ]}หรือการกรอง Kalman ^{[ 51 ]}

การพึ่งพาแบบไม่เชิงเส้นของระดับของอนุกรมกับจุดข้อมูลก่อนหน้าเป็นสิ่งที่น่าสนใจ ส่วนหนึ่งเป็นเพราะความเป็นไปได้ในการสร้าง อนุกรมเวลา ที่วุ่นวายอย่างไรก็ตาม ที่สำคัญกว่านั้น การตรวจสอบเชิงประจักษ์สามารถบ่งชี้ถึงข้อดีของการใช้การคาดการณ์ที่ได้มาจากแบบจำลองที่ไม่เชิงเส้น มากกว่าการคาดการณ์ที่ได้มาจากแบบจำลองเชิงเส้น เช่น ในแบบจำลองอัตถารีเกรสซีฟภายนอกที่ไม่เชิงเส้น เอกสารอ้างอิงเพิ่มเติมเกี่ยวกับการวิเคราะห์อนุกรมเวลาที่ไม่เชิงเส้น: (Kantz และ Schreiber), ^{[ 52 ]}และ (Abarbanel) ^{[ 53 ]}

ในบรรดาแบบจำลองอนุกรมเวลาแบบไม่เชิงเส้นประเภทอื่นๆ นั้น มีแบบจำลองที่ใช้แสดงการเปลี่ยนแปลงของความแปรปรวนเมื่อเวลาผ่านไป ( ความแปรปรวนไม่คงที่ ) แบบจำลองเหล่านี้แสดงถึงความแปรปรวนไม่คงที่แบบมีเงื่อนไขแบบอัตถารีเกรสซีฟ (ARCH) และชุดของแบบจำลองนี้ประกอบด้วยรูปแบบการแสดงผลที่หลากหลาย ( GARCH , TARCH, EGARCH, FIGARCH, CGARCH เป็นต้น) ในที่นี้ การเปลี่ยนแปลงของความแปรปรวนมีความสัมพันธ์หรือถูกทำนายโดยค่าในอดีตที่ผ่านมาของอนุกรมที่สังเกตได้ ซึ่งแตกต่างจากการแสดงความแปรปรวนที่เปลี่ยนแปลงในระดับท้องถิ่นแบบอื่นๆ ที่ความแปรปรวนอาจถูกจำลองว่าถูกขับเคลื่อนโดยกระบวนการที่เปลี่ยนแปลงตามเวลาแยกต่างหาก เช่นใน แบบ จำลอง สุ่มสองชั้น

ในงานวิจัยล่าสุดเกี่ยวกับการวิเคราะห์แบบ "ไร้แบบจำลอง" (ซึ่งเป็นคำที่มักใช้เพื่ออ้างถึงการวิเคราะห์ที่ไม่ต้องอาศัยการสร้างแบบจำลองวิวัฒนาการของกระบวนการเมื่อเวลาผ่านไปด้วยการแสดงออกทางคณิตศาสตร์แบบพาราเมตริก) วิธีการที่ใช้การแปลงเวฟเล็ต (เช่น เวฟเล็ตแบบอยู่กับที่ในระดับท้องถิ่นและเครือข่ายประสาทที่แยกส่วนด้วยเวฟเล็ต) ได้รับความนิยมมากขึ้น^{[ 54 ]}เทคนิคหลายระดับ (มักเรียกว่าหลายความละเอียด) จะแยกส่วนอนุกรมเวลาที่กำหนด โดยพยายามแสดงให้เห็นถึงการพึ่งพาเวลาในหลายระดับ ดูเพิ่มเติมที่ เทคนิค มัลติแฟรกทัลแบบสลับมาร์คอฟ (MSMF) สำหรับการสร้างแบบจำลองวิวัฒนาการของความผันผวน

แบบ จำลองมาร์คอฟแบบซ่อนเร้น (Hidden Markov Model: HMM) เป็นแบบจำลองมาร์คอฟเชิงสถิติที่ถือว่าระบบที่กำลังจำลองนั้นเป็นกระบวนการมาร์คอฟที่มีสถานะที่ไม่สามารถสังเกตได้ (ซ่อนเร้น) HMM สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นเครือข่ายเบย์เซียนแบบไดนามิก ที่ง่ายที่สุด แบบจำลอง HMM ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการรู้จำเสียงพูดเพื่อแปลงอนุกรมเวลาของคำพูดเป็นข้อความ

โมเดลเหล่านี้จำนวนมากถูกรวบรวมไว้ในแพ็กเกจsktime ของ Python

มีการใช้สัญลักษณ์หลายแบบในการวิเคราะห์อนุกรมเวลา สัญลักษณ์ที่ใช้กันทั่วไปซึ่งระบุอนุกรมเวลาXที่มีดัชนีเป็นจำนวนธรรมชาติเขียนได้ดังนี้

X = ( X ₁ , X ₂ , ...) .

สัญลักษณ์อีกแบบที่นิยมใช้คือ

Y = ( Y _t : t ∈ T ) ,

โดยที่T คือเซตดัชนี

ทฤษฎีส่วนใหญ่ตั้งอยู่บนพื้นฐานของเงื่อนไขสองชุด:

• กระบวนการคงที่
• กระบวนการเออร์โกดิก

ภาวะเออร์โกดิก (Ergodicity) บ่งชี้ถึงภาวะสเตชันนารี (Stationarity) แต่ในทางกลับกันนั้นไม่จำเป็นต้องเป็นเช่นนั้นเสมอไป ภาวะสเตชันนารีมักถูกจำแนกออกเป็นสเตชันนารีแบบเข้มงวด (strict stationarity ) และสเตชันนารีแบบกว้างหรือสเตชันนารีอันดับสอง (wide-sense or second-order stationarity)ทั้งแบบจำลองและการประยุกต์ใช้สามารถพัฒนาได้ภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ แม้ว่าแบบจำลองในกรณีหลังอาจถือได้ว่ามีการกำหนดรายละเอียดเพียงบางส่วนเท่านั้น

นอกจากนี้ การวิเคราะห์อนุกรมเวลาสามารถนำไปใช้ได้ในกรณีที่อนุกรมเวลาคงที่ตามฤดูกาลหรือไม่คงที่ สถานการณ์ที่แอมพลิจูดของส่วนประกอบความถี่เปลี่ยนแปลงตามเวลาสามารถจัดการได้ในการวิเคราะห์เวลา-ความถี่ซึ่งใช้การแสดงเวลา-ความถี่ของอนุกรมเวลาหรือสัญญาณ^{[ 55 ]}

เครื่องมือสำหรับการวิเคราะห์ข้อมูลอนุกรมเวลา ได้แก่:

• การพิจารณาฟังก์ชันออโตคอร์เรเลชันและฟังก์ชันความหนาแน่นสเปกตรัม (รวมถึงฟังก์ชันครอสคอร์เรเลชันและฟังก์ชันครอสความหนาแน่นสเปกตรัม)
• ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ไขว้และอัตโนมัติที่ปรับขนาด เพื่อขจัดการมีส่วนร่วมของส่วนประกอบที่ช้า ^{[ 56 ]}
• ทำการแปลงฟูริเยร์เพื่อตรวจสอบอนุกรมในโดเมนความถี่
• ดำเนินการวิเคราะห์การจัดกลุ่ม^{[ 57 ]}
• สเปกตรัมแบบไม่ต่อเนื่อง แบบต่อเนื่อง หรือแบบผสมของอนุกรมเวลา ขึ้นอยู่กับว่าอนุกรมเวลานั้นมีสัญญาณฮาร์มอนิก (ทั่วไป) หรือไม่
• การใช้ตัวกรองเพื่อกำจัดเสียงรบกวน ที่ไม่ต้องการ
• การวิเคราะห์ส่วนประกอบหลัก (หรือ การวิเคราะห์ ฟังก์ชันเชิงตั้งฉากเชิงประจักษ์ )
• การวิเคราะห์สเปกตรัมเอกลักษณ์
• แบบจำลอง "เชิงโครงสร้าง":
  • แบบจำลองปริภูมิสถานะทั่วไป
  • แบบจำลองส่วนประกอบที่ไม่สามารถสังเกตได้
• การเรียนรู้ของเครื่อง
  • เครือข่ายประสาทเทียม
  • เครื่องสนับสนุนเวกเตอร์
  • ตรรกะคลุมเครือ
  • กระบวนการเกาส์เซียน
  • การโปรแกรมทางพันธุกรรม
  • การกำหนดโปรแกรมการแสดงออกของยีน
  • แบบจำลองมาร์คอฟที่ซ่อนอยู่
  • การเขียนโปรแกรมแบบหลายนิพจน์
• การวิเคราะห์ทฤษฎีการเข้าคิว
• แผนภูมิควบคุม
  • แผนภูมิควบคุมรายบุคคลของ Shewhart
  • แผนภูมิCUSUM
  • แผนภูมิ EWMA
• การวิเคราะห์ความผันผวนแบบตัดแนวโน้มออก
• การสร้างแบบจำลองผลกระทบแบบผสมที่ไม่เป็นเชิงเส้น
• การบิดเบือนเวลาแบบไดนามิก^{[ 58 ]}
• เครือข่ายเบย์เซียนแบบไดนามิก
• เทคนิคการวิเคราะห์ความถี่ตามเวลา:
  • การแปลงฟูริเยร์แบบเร็ว
  • การแปลงเวฟเล็ตต่อเนื่อง
  • การแปลงฟูริเยร์แบบช่วงเวลาสั้น
  • การแปลงเสียงร้องของนก
  • การแปลงฟูริเยร์เศษส่วน
• การวิเคราะห์ความโกลาหล
  • มิติความสัมพันธ์
  • แผนภาพการเกิดซ้ำ
  • การวิเคราะห์เชิงปริมาณการเกิดซ้ำ
  • ค่าเลขชี้กำลังของ Lyapunov
  • การเข้ารหัสเอนโทรปี

เมตริกหรือ คุณลักษณะอนุกรมเวลาที่สามารถใช้สำหรับการจำแนก อนุกรมเวลา หรือการวิเคราะห์การถดถอย : ^{[ 59 ]}

• การวัดเชิงเส้นแบบตัวแปรเดียว
  • โมเมนต์ (คณิตศาสตร์)
  • กำลังของแถบสเปกตรัม
  • ความถี่ขอบสเปกตรัม
  • พลังงาน สะสม(การประมวลผลสัญญาณ)
  • ลักษณะของฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติ
  • พารามิเตอร์ Hjorth
  • พารามิเตอร์FFT
  • พารามิเตอร์แบบจำลองอัตถารีเกรสซีฟ
  • การทดสอบแมนน์-เคนดัล
• การวัดแบบไม่เชิงเส้นตัวแปรเดียว
  • การวัดผลโดยอิงจากผลรวมของค่าสหสัมพันธ์
  • มิติความสัมพันธ์
  • อินทิกรัลสหสัมพันธ์
  • ความหนาแน่นสหสัมพันธ์
  • เอนโทรปีความสัมพันธ์
  • เอนโทรปีโดยประมาณ^{[ 60 ]}
  • เอนโทรปีตัวอย่าง
  • เอนโทรปีฟูริเยร์
  • เอนโทรปีของเวฟเล็ต
  • เอนโทรปีการกระจายตัว
  • เอนโทรปีการกระจายความผันผวน
  • เอนโทรปีของเรนยี
  • วิธีการลำดับสูงกว่า
  • ความสามารถในการคาดการณ์ที่จำกัด
  • ดัชนีความคล้ายคลึงแบบไดนามิก
  • การวัดความไม่เหมือนกันของปริภูมิสถานะ
  • ค่าเลขชี้กำลังของ Lyapunov
  • วิธีการเรียงสับเปลี่ยน
  • การไหลในท้องถิ่น
• การวัดตัวแปรเดี่ยวอื่นๆ
  • ความซับซ้อนของอัลกอริทึม
  • การประมาณค่าความซับซ้อนของ Kolmogorov
  • แบบจำลองมาร์คอฟที่ซ่อนอยู่ระบุว่า
  • ลายเซ็นเส้นทางคร่าวๆ^{[ 61 ]}
  • อนุกรมเวลาทดแทนและการแก้ไขทดแทน
  • การสูญเสียการเกิดซ้ำ (ระดับของการไม่คงที่)
• การวัดเชิงเส้นแบบสองตัวแปร
  • ค่าสหสัมพันธ์เชิงเส้นสูงสุด
  • ความสอดคล้อง เชิงเส้น(การประมวลผลสัญญาณ)
• การวัดแบบไม่เชิงเส้นสองตัวแปร
  • ความสัมพันธ์แบบไม่เชิงเส้น
  • การดึงดูดแบบไดนามิก (ฟิสิกส์)
  • มาตรการสำหรับการซิงโครไนซ์เฟส
  • มาตรการสำหรับการล็อกเฟส
• การวัดความคล้ายคลึงกัน : ^{[ 62 ]}
  • ความสัมพันธ์ไขว้
  • การบิดเบือนเวลาแบบไดนามิก^{[ 58 ]}
  • แบบจำลองมาร์คอฟที่ซ่อนอยู่
  • แก้ไขระยะทาง
  • ความสัมพันธ์โดยรวม
  • ตัวประมาณค่าแบบนิวอีย์-เวสต์
  • การเปลี่ยนแปลงของไพรส์–วินสเตน
  • ข้อมูลในรูปเวกเตอร์ในปริภูมิเมตริก
    • ระยะทางมินคอฟสกี้
    • ระยะทางมาฮาลาโนบิส
  • ข้อมูลในรูปแบบอนุกรมเวลาที่มีซองจดหมาย
    • ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานทั่วโลก
    • ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานท้องถิ่น
    • ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานแบบหน้าต่าง
  • ข้อมูลที่ตีความว่าเป็นอนุกรมสุ่ม
    • สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ผลิตภัณฑ์โมเมนต์ของเพียร์สัน
    • สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ลำดับของสเปียร์แมน
  • ข้อมูลที่ถูกตีความว่าเป็นฟังก์ชัน การกระจายความน่าจะเป็น
    • การทดสอบ Kolmogorov–Smirnov
    • เกณฑ์คราเมอร์-ฟอน มิเซส

อนุกรมเวลาสามารถแสดงภาพได้ด้วยแผนภูมิสองประเภท: แผนภูมิแบบซ้อนทับและแผนภูมิแบบแยก แผนภูมิแบบซ้อนทับจะแสดงอนุกรมเวลาทั้งหมดบนเค้าโครงเดียวกัน ในขณะที่แผนภูมิแบบแยกจะแสดงอนุกรมเวลาบนเค้าโครงที่แตกต่างกัน (แต่จัดเรียงเพื่อวัตถุประสงค์ในการเปรียบเทียบ) ^{[ 63 ]}

• กราฟถักเปีย
• แผนภูมิเส้น
• กราฟความชัน
• แผนภูมิช่องว่าง

• กราฟขอบฟ้า
• แผนภูมิเส้นย่อ (จำนวนเท่าขนาดเล็ก)
• กราฟเงา
• กราฟเงาวงกลม

เจวอนส์เป็นคนแรกที่ศึกษาอนุกรมเวลา^{[ 64 ]}ในหนังสือของเขา เขาได้ตรวจสอบอนุกรมเวลาทางการเงินรายสัปดาห์จำนวนหนึ่งระหว่างปี พ.ศ. 2468 ถึง พ.ศ. 2403 ซึ่งรวมถึงอนุกรมเวลาของการล้มละลาย การหมุนเวียนของสกุลเงิน และอัตราส่วนลด

• De Gooijer, Jan G.; Hyndman, Rob J. (2006). "25 ปีแห่งการพยากรณ์อนุกรมเวลา". วารสารการพยากรณ์นานาชาติ . ยี่สิบห้าปีแห่งการพยากรณ์. 22 (3): 443– 473. CiteSeerX  10.1.1.154.9227 . doi : 10.1016/j.ijforecast.2006.01.001 . S2CID  14996235 .
• Box, George ; Jenkins, Gwilym (1976), การวิเคราะห์อนุกรมเวลา: การพยากรณ์และการควบคุม ฉบับปรับปรุงโอ๊คแลนด์ แคลิฟอร์เนีย: Holden-Day
• Durbin J. , Koopman SJ (2001), การวิเคราะห์อนุกรมเวลาด้วยวิธีการปริภูมิสถานะ , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด
• เกอร์เชนเฟลด์, นีล (2000), ธรรมชาติของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ , ISBN 978-0-521-57095-4, OCLC  174825352
• แฮมิลตัน, เจมส์ (1994), การวิเคราะห์อนุกรมเวลา , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน , ISBN 978-0-691-04289-3
• Priestley, MB (1981), การวิเคราะห์สเปกตรัมและอนุกรมเวลา , สำนักพิมพ์ Academic Press . ISBN 978-0-12-564901-8
• Shasha, D. (2004), การค้นพบประสิทธิภาพสูงในอนุกรมเวลา , Springer , ISBN 978-0-387-00857-8
• Shumway RH, Stoffer DS (2017), การวิเคราะห์อนุกรมเวลาและการประยุกต์ใช้: พร้อมตัวอย่าง R (ฉบับที่ 4) , Springer, ISBN 978-3-319-52451-1
• Weigend AS, Gershenfeld NA (บรรณาธิการ) (1994), การพยากรณ์อนุกรมเวลา: การพยากรณ์อนาคตและการทำความเข้าใจอดีตรายงานการประชุมเชิงปฏิบัติการวิจัยขั้นสูงของ NATO ว่าด้วยการวิเคราะห์อนุกรมเวลาเชิงเปรียบเทียบ (ซานตาเฟ, พฤษภาคม 1992), Addison- Wesley
• Wiener, Norbert . การคาดการณ์ การแทรกสอด และการปรับเรียบอนุกรมเวลาคงที่: พร้อมการประยุกต์ใช้ทางวิศวกรรม . สำนักพิมพ์ MIT . ISBN 978-0-262-25719-0.
• Woodward, WA, Gray, HL และ Elliott, AC (2012), การวิเคราะห์อนุกรมเวลาประยุกต์ , CRC Press .
• Auffarth, Ben (2021). การเรียนรู้ของเครื่องจักรสำหรับอนุกรมเวลาด้วย Python: การพยากรณ์ ทำนาย และตรวจจับความผิดปกติด้วยวิธีการเรียนรู้ของเครื่องจักรที่ทันสมัย ​​(ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 1). สำนักพิมพ์ Packt. ISBN 978-1-80181-962-6สืบค้นข้อมูลเมื่อวันที่ 5 พฤศจิกายน 2021

วิกิมีเดียคอมมอน ส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับอนุกรมเวลา

• บทนำสู่การวิเคราะห์อนุกรมเวลา (คู่มือสถิติทางวิศวกรรม) — คู่มือปฏิบัติสำหรับการวิเคราะห์อนุกรมเวลา