ในทางคณิตศาสตร์ลำดับฟิโบนาชชีคือลำดับที่แต่ละองค์ประกอบเป็นผลรวมขององค์ประกอบสองตัวที่อยู่ก่อนหน้า ตัวเลขที่เป็นส่วนหนึ่งของลำดับฟิโบนาชชีเรียกว่าตัวเลขฟิโบนาชชี_ซึ่งโดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์Fnองค์ประกอบเริ่มต้นของลำดับคือF1 = 1 _และ F2 = 1 _{แม้ว่า}ผู้เขียนหลายคนจะรวม องค์ประกอบ _ที่ศูนย์F0 = 0 _ด้วยก็ตาม^{[ 1 ] [ 2 ]}ลำดับเริ่ม ต้นจากF0

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... (ลำดับA000045ในOEIS )

ตัวเลขฟิโบนาชชีได้รับการอธิบายครั้งแรกในคณิตศาสตร์อินเดียเมื่อราว 200 ปีก่อนคริสตกาลในงานของปิงกาลาเกี่ยวกับการนับรูปแบบที่เป็นไปได้ของ บทกวีภาษา สันสกฤตที่สร้างขึ้นจากพยางค์ที่มีความยาวสองแบบ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}ตัวเลขเหล่านี้ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี เลโอนาร์โดแห่งปิซา หรือที่รู้จักกันในชื่อฟิโบนาชชีผู้ซึ่งแนะนำลำดับนี้ให้กับคณิตศาสตร์ยุโรปตะวันตกในหนังสือLiber Abaci ของเขา ใน ปี 1202 ^{[ 6 ]}

ตัวเลขฟิโบนาชชีปรากฏขึ้นบ่อยครั้งอย่างไม่คาดคิดในวิชาคณิตศาสตร์ จนถึงขั้นมีวารสารเฉพาะที่อุทิศให้กับการศึกษาตัวเลขเหล่านี้ โดยเฉพาะ นั่นคือ Fibonacci Quarterlyการประยุกต์ใช้ตัวเลขฟิโบนาชชีรวมถึงอัลกอริทึมคอมพิวเตอร์ เช่นเทคนิคการค้นหาแบบฟิโบนาช ชี และโครงสร้างข้อมูลฮีปฟิโบนาชชี และกราฟที่เรียกว่าลูกบาศก์ฟิโบนาชชีซึ่งใช้สำหรับเชื่อมต่อระบบคู่ขนานและระบบกระจาย นอกจากนี้ยังปรากฏในบริบททางชีววิทยาเช่น การแตกกิ่งก้านของต้นไม้การเรียงตัวของใบบนลำต้น หน่อผลของสับปะรดการออกดอกของอาร์ติโชกและการเรียงตัวของ กลีบดอกของ ต้นสนแม้ว่าจะไม่ได้เกิดขึ้นในทุกสายพันธุ์ก็ตาม

ตัวเลขฟิโบนาชชีมีความสัมพันธ์อย่างมากกับอัตราส่วนทองคำ : สูตรของบิเนต์แสดง ตัวเลขฟิโบนาชชีลำดับที่ nในรูปของnและอัตราส่วนทองคำ และบ่งชี้ว่าอัตราส่วนของตัวเลขฟิโบนาชชีสองตัวที่อยู่ติดกันมีแนวโน้มเข้าใกล้อัตราส่วนทองคำเมื่อnเพิ่มขึ้น ตัวเลขฟิโบนาชชียังมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับตัวเลขลูคัส ซึ่งมี ความสัมพันธ์เวียนเกิดเดียวกัน และเมื่อรวมกับตัวเลขฟิโบนาช ชี แล้ว จะเป็น ลำดับลูคัสคู่ที่เสริมกัน

ตัวเลขฟิโบนาชชีอาจถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์เวียนเกิด^{[ 7 ]} และ สำหรับn > 1 $${\displaystyle F_{0}=0,\quad F_{1}=1,}$$$${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}$$

ตามคำจำกัดความเก่าบางค่า ค่าจะถูกละเว้น ดังนั้นลำดับจึงเริ่มต้นด้วย. ^{[ 8 ] [ 9 ]}${\displaystyle F_{0}=0}$${\displaystyle F_{1}=F_{2}=1}$

ตัวเลขฟิโบนาชี่ 21 ตัวแรกF _nคือ:

เอฟ0	เอฟ1	เอฟ2	เอฟ3	เอฟ4	เอฟ5	เอฟ6	เอฟ7	เอฟ8	เอฟ9	เอฟ10	เอฟ11	เอฟ12	เอฟ13	เอฟ14	เอฟ15	เอฟ16	เอฟ17	เอฟ18	เอฟ19	เอฟ20
0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377	610	987	1597	2584	4181	6765

ลำดับฟิโบนาชชีสามารถขยายไปยังดัชนีจำนวนเต็มลบได้โดยใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิดเดียวกันในทิศทางลบ (ลำดับA039834ในOEIS ): ⁠ ⁠${\displaystyle F_{1}=1}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle F_{0}=0}$ , และ⁠ ⁠${\displaystyle F_{n}=F_{n+2}-F_{n+1}}$สำหรับn < 0คุณสมบัติเกือบทั้งหมดของจำนวนฟิโบนาชชีไม่ขึ้นอยู่กับว่าดัชนีเป็นบวกหรือลบ ค่าสำหรับดัชนีบวกและลบเป็นไปตามความสัมพันธ์: ^{[ 10 ]}$${\displaystyle F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n}.}$$

ลำดับฟิโบนาชชีปรากฏในคณิตศาสตร์อินเดียโดยเชื่อมโยงกับ ฉันทลักษณ์ ภาษาสันสกฤต^{[ 4 ] [ 11 ] [ 12 ]} ในประเพณีบทกวีภาษาสันสกฤต มีความสนใจในการนับรูปแบบทั้งหมดของพยางค์ยาว (L) ที่มีระยะเวลา 2 หน่วย ควบคู่กับพยางค์สั้น (S) ที่มีระยะเวลา 1 หน่วย การนับรูปแบบต่างๆ ของ L และ S ที่ต่อเนื่องกันโดยมีระยะเวลารวมที่กำหนด จะได้เป็นจำนวนฟิโบนาชชี : จำนวนรูปแบบที่มีระยะเวลาmหน่วย คือF _{m +1} ^{[ 5 ]}

ความรู้เกี่ยวกับลำดับฟิโบนาชชีได้รับการกล่าวถึงตั้งแต่สมัยปิงคลา (  ประมาณ 450 ปีก่อนคริสต์ศักราช – 200 ปีก่อนคริสต์ศักราช) สิงห์อ้างถึงสูตรปริศนาของปิงคลาว่าmisrau cha ("ทั้งสองผสมกัน") และนักวิชาการที่ตีความในบริบทว่า จำนวนรูปแบบสำหรับ จังหวะ m ( F _{m +1} ) ได้มาจากการเพิ่ม [S] หนึ่งตัวให้กับ กรณี F _mและเพิ่ม [L] หนึ่งตัวให้กับกรณีF _{m −1} ^{[ 13 ]}ภารตะมุนียังแสดงความรู้เกี่ยวกับลำดับนี้ในนาฏยศาสตร์ ( ประมาณ  100 ปีก่อนคริสต์ศักราช– ประมาณ  350 ปีคริสต์ศักราช) ^{[ 3 ] [ 4 ]} อย่างไรก็ตาม การอธิบายลำดับนี้อย่างชัดเจนที่สุดเกิดขึ้นในงานของวีระหันกะ ( ประมาณ  700 ปีคริสต์ศักราช) ซึ่งงานของเขาเองสูญหายไป แต่มีอยู่ในคำอ้างอิงของโกปาละ ( ประมาณ  1135): ^{[ 12 ]}

การเปลี่ยนแปลงของจังหวะสองจังหวะก่อนหน้า [คือการเปลี่ยนแปลง] ... ตัวอย่างเช่น สำหรับ [จังหวะความยาว] สี่ การเปลี่ยนแปลงของจังหวะสองจังหวะ [และ] สามจังหวะที่ผสมกัน จะได้ห้าจังหวะ [ยกตัวอย่างที่ 8, 13, 21] ... ด้วยวิธีนี้ ควรปฏิบัติตามกระบวนการนี้ในmātrā-vṛttas [การผสมผสานจังหวะ] ทั้งหมด ^[ก]

เฮมาจันทรา ( ราว ค.ศ.  1150) ได้รับการยกย่องว่ามีความรู้เกี่ยวกับลำดับเช่นกัน^{[ 3 ]}โดยเขียนว่า "ผลรวมของตัวสุดท้ายและตัวก่อนหน้าตัวสุดท้ายคือจำนวน ... ของ mātrā-vṛtta ตัวถัดไป" ^{[ 15 ] [ 16 ]}

ลำดับฟิโบนาชชีปรากฏครั้งแรกในหนังสือLiber Abaci ( หนังสือแห่งการคำนวณ , 1202) โดย ฟิ ^โบนาชชี [ ^{17 ] [ 18 ]}ซึ่งใช้ในการคำนวณการเติบโตของประชากรกระต่าย^{[ 19 ]}ฟิโบนาชชีพิจารณาการเติบโตของ ประชากร กระต่าย ในอุดมคติ (ซึ่งไม่สมจริง ทางชีววิทยา ) โดยสมมติว่า: กระต่ายคู่ผสมพันธุ์ที่เพิ่งเกิดใหม่ถูกนำไปไว้ในทุ่งนา; กระต่ายแต่ละคู่ผสมพันธุ์กันเมื่ออายุได้หนึ่งเดือน และเมื่อสิ้นสุดเดือนที่สอง พวกมันจะให้กำเนิดกระต่ายอีกคู่หนึ่งเสมอ; และกระต่ายไม่มีวันตาย แต่จะผสมพันธุ์ต่อไปเรื่อยๆ ฟิโบนาชชีตั้งคำถามทางคณิตศาสตร์ เกี่ยวกับกระต่าย ว่า: จะมีกระต่ายกี่คู่ในหนึ่งปี?

• เมื่อสิ้นสุดเดือนแรก พวกมันจะผสมพันธุ์กัน แต่ก็ยังมีเพียงคู่เดียว
• เมื่อสิ้นสุดเดือนที่สอง พวกมันจะออกลูกเป็นคู่ใหม่ ดังนั้นจึงมีนก 2 คู่ในทุ่งนา
• เมื่อสิ้นสุดเดือนที่สาม คู่แรกจะให้กำเนิดคู่ที่สอง แต่คู่ที่สองจะผสมพันธุ์กันเพื่อตั้งท้องเพียงหนึ่งเดือนเท่านั้น ดังนั้นจึงมีทั้งหมด 3 คู่
• เมื่อสิ้นสุดเดือนที่สี่ คู่เดิมได้ให้กำเนิดคู่ใหม่ขึ้นอีกคู่หนึ่ง และคู่ที่เกิดเมื่อสองเดือนก่อนก็ให้กำเนิดคู่แรกเช่นกัน ทำให้มีทั้งหมด 5 คู่

เมื่อสิ้นสุด เดือนที่ nจำนวนคู่กระต่ายจะเท่ากับจำนวนคู่ที่โตเต็มวัย (นั่นคือ จำนวนคู่ในเดือนที่n – 2 ) บวกกับจำนวนคู่ที่ยังมีชีวิตอยู่เมื่อเดือนที่แล้ว (เดือนที่n – 1 ) จำนวนใน เดือนที่ nคือจำนวนฟิโบนาชชีลำดับที่n ^{[ 20 ]}

ชื่อ "ลำดับฟิโบนาชชี" ถูกใช้ครั้งแรกโดยนักทฤษฎีจำนวนในศตวรรษที่ 19 ชื่อÉdouard Lucas ^{[ 21 ]}

เช่นเดียวกับลำดับทุกลำดับที่กำหนดโดยความสัมพันธ์เชิงเส้นเอกพันธุ์ที่มีสัมประสิทธิ์คงที่ตัวเลขฟิโบนาชชีมีสูตรสำเร็จรูป^{[ 22 ]}สูตรนี้เป็นที่รู้จักกันในชื่อสูตรของบิเนต์ซึ่งตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสJacques Philippe Marie Binet แม้ว่า Abraham de MoivreและDaniel Bernoulliจะรู้จักสูตรนี้มาก่อนแล้วก็ตาม^{[ 23 ]}

$${\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-\psi ^{n}}{\varphi -\psi }}={\frac {\varphi ^{n}-\psi ^{n}}{\sqrt {5}}},}$$

โดยที่⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$คืออัตราส่วนทองคำและ⁠ ⁠${\displaystyle \psi }$คือ^คู่ควบ ของมัน [ ^{24 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}={\phantom {-}}1.61803\ldots ,\\[5mu]\psi &={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1-{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}=-0.61803\ldots .\end{aligned}}}$$

ตัวเลข⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$และ⁠ ⁠${\displaystyle \psi }$คือคำตอบสองคำตอบของสมการกำลังสอง⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle x^{2}-x-1=0}$นั่นคือ⁠ ⁠${\displaystyle (x-\varphi )(x-\psi )=x^{2}-x-1}$ และดังนั้นจึงสอดคล้อง กับ เอกลักษณ์⁠ ⁠${\displaystyle \varphi +\psi =1}$และ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi \psi =-1}$

เนื่องจากสูตรของบิเนต์สามารถเขียนได้อีกแบบว่า ${\displaystyle \psi =-\varphi ^{-1}}$

$${\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{2\varphi -1}}.}$$

เพื่อดูความสัมพันธ์ระหว่างลำดับและค่าคงที่เหล่านี้^{[ 25 ]}โปรดทราบว่าและก็เป็นรากของดังนั้นกำลังของและจึงสอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิดของฟิโบนาชชี กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle x^{n}=x^{n-1}+x^{n-2},}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \psi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{n}&=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2},\\[3mu]\psi ^{n}&=\psi ^{n-1}+\psi ^{n-2}.\end{aligned}}}$$

ดังนั้น สำหรับค่าaและb ใดๆ ลำดับที่กำหนดโดย

$${\displaystyle U_{n}=a\varphi ^{n}+b\psi ^{n}}$$

สอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิดเดียวกัน หากเลือกค่าaและb โดยที่ U ₀ = 0และU ₁ = 1แล้ว ลำดับU _n ที่ได้ จะต้องเป็นลำดับฟิโบนาชชี ซึ่งก็เหมือนกับการกำหนดให้aและbสอดคล้องกับระบบสมการ:

$${\displaystyle {\begin{aligned}a\varphi ^{0}+b\psi ^{0}&=0\\a\varphi ^{1}+b\psi ^{1}&=1\end{aligned}}}$$

ซึ่งมีวิธีแก้ปัญหา

$${\displaystyle a={\frac {1}{\varphi -\psi }}={\frac {1}{\sqrt {5}}},\quad b=-a,}$$

สร้างสูตรที่ต้องการ

โดยกำหนดให้ค่าเริ่มต้นU ₀และU ₁เป็นค่าคงที่ใดๆ และแก้ระบบสมการจะได้คำตอบทั่วไป โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การเลือกa = 1จะทำให้ องค์ประกอบที่ nของลำดับมีค่าใกล้เคียงกับ กำลังที่ nของ⁠ ⁠ สำหรับค่า nที่มากพอซึ่งเกิดขึ้นเมื่อU ₀ = 2และU ₁ = 1ซึ่งจะสร้างลำดับของจำนวนลูคัส $${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {U_{1}-U_{0}\psi }{\sqrt {5}}},\\[3mu]b&={\frac {U_{0}\varphi -U_{1}}{\sqrt {5}}}.\end{aligned}}}$$${\displaystyle \varphi }$

เนื่องจาก สำหรับทุกn ≥ 0จำนวนF _nคือจำนวนเต็มที่ ใกล้เคียงที่สุด กับดังนั้นจึงสามารถหาได้โดยการปัดเศษโดยใช้ฟังก์ชันจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงที่สุด: ${\textstyle \left|{\frac {\psi ^{n}}{\sqrt {5}}}\right|<{\frac {1}{2}}}$${\displaystyle {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}}$$${\displaystyle F_{n}=\left\lfloor {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}\right\rceil ,\ n\geq 0.}$$

อันที่จริงแล้ว ข้อผิดพลาดจากการปัดเศษจะลดลงอย่างรวดเร็วเมื่อnเพิ่มขึ้น โดยจะมีค่าน้อยกว่า 0.1 สำหรับn ≥ 4และน้อยกว่า 0.01 สำหรับn ≥ 8สูตรนี้สามารถกลับด้านได้อย่างง่ายดายเพื่อหาดัชนีของจำนวนฟิโบนาชชีF : $${\displaystyle n(F)=\left\lfloor \log _{\varphi }{\sqrt {5}}F\right\rceil ,\ F\geq 1.}$$

การใช้ฟังก์ชันพื้นจะให้ดัชนีที่ใหญ่ที่สุดของจำนวนฟิโบนาชชีที่ไม่มากกว่าFแทน โดยที่, , ^{[ 26 ]}และ. ^{[ 27 ]}$${\displaystyle n_{\mathrm {largest} }(F)=\left\lfloor \log _{\varphi }{\sqrt {5}}(F+1/2)\right\rfloor ,\ F\geq 0,}$$${\displaystyle \log _{\varphi }(x)=\ln(x)/\ln(\varphi )=\log _{10}(x)/\log _{10}(\varphi )}$${\displaystyle \ln(\varphi )=0.481211\ldots }$${\displaystyle \log _{10}(\varphi )=0.208987\ldots }$

เนื่องจากF _nมีค่าเข้าใกล้ดังนั้นจำนวนหลักในF _nจึงมีค่าเข้าใกล้ ด้วยเหตุนี้ สำหรับจำนวนเต็มd > 1 ทุกตัว จะมีจำนวนฟิโบนาชชีที่มีทศนิยม d หลัก อยู่ 4 หรือ 5 จำนวน ${\displaystyle \varphi ^{n}/{\sqrt {5}}}$${\displaystyle n\log _{10}\varphi \approx 0.2090\,n}$

โดยทั่วไปแล้ว ใน การแสดงเลข ฐานbจำนวนหลักในF _nจะมีค่าเข้าใกล้ค่าประมาณ${\displaystyle n\log _{b}\varphi ={\frac {n\log \varphi }{\log b}}.}$

โยฮันเนส เคปเลอร์สังเกตว่าอัตราส่วนของจำนวนฟิโบนาชชีที่ต่อเนื่องกันจะลู่เข้า เขาเขียนว่า "อัตราส่วนของ 5 ต่อ 8 ก็เหมือนกับ ^{อัตราส่วน}ของ 8 ต่อ 13 ในทางปฏิบัติ และอัตราส่วนของ 8 ต่อ 13 ก็เหมือนกับอัตราส่วนของ 13 ต่อ 21 เกือบจะ" และสรุปว่าอัตราส่วนเหล่านี้เข้าใกล้^{อัตราส่วน}ทองคำ${\displaystyle \varphi }$ [ 28 ^{] [ 29 ]}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\varphi .}$$

การลู่เข้าแบบนี้เกิดขึ้นได้เสมอไม่ว่าค่าเริ่มต้นจะเป็นเท่าใดก็ตามเว้นแต่ว่าสามารถตรวจสอบได้โดยใช้สูตรของบิเนต์ตัวอย่างเช่น ค่าเริ่มต้น 3 และ 2 จะสร้างลำดับ 3, 2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, 81, 131, 212, 343, 555, ... อัตราส่วนขององค์ประกอบที่อยู่ติดกันในลำดับนี้แสดงให้เห็นถึงการลู่เข้าสู่ค่าอัตราส่วนทองคำเช่นเดียวกัน ${\displaystyle U_{0}}$${\displaystyle U_{1}}$${\displaystyle U_{1}=-U_{0}/\varphi }$

โดยทั่วไปเนื่องจากอัตราส่วนระหว่างตัวเลขฟิโบนาชี่ที่ต่อเนื่องกันเข้าใกล้ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+m}}{F_{n}}}=\varphi ^{m}}$${\displaystyle \varphi }$

เนื่องจากอัตราส่วนทองคำสอดคล้องกับสมการดังกล่าว $${\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1,}$$

นิพจน์นี้สามารถใช้ในการแยกกำลังที่สูงกว่าออกเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของกำลังที่ต่ำกว่า ซึ่งในทางกลับกันสามารถแยกย่อยลงไปจนถึงการรวมเชิงเส้นของและ 1 ได้ความสัมพันธ์เวียนเกิด ที่ได้จะให้จำนวนฟิโบนาชชีเป็น สัมประสิทธิ์เชิงเส้น: สมการนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยการอุปมานบนn ≥ 1 : สำหรับก็จะเป็นกรณีที่และก็จะเป็นกรณีที่ ${\displaystyle \varphi ^{n}}$${\displaystyle \varphi }$$${\displaystyle \varphi ^{n}=F_{n}\varphi +F_{n-1}.}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{n+1}&=(F_{n}\varphi +F_{n-1})\varphi =F_{n}\varphi ^{2}+F_{n-1}\varphi \\&=F_{n}(\varphi +1)+F_{n-1}\varphi =(F_{n}+F_{n-1})\varphi +F_{n}=F_{n+1}\varphi +F_{n}.\end{aligned}}}$$${\displaystyle \psi =-1/\varphi }$${\displaystyle \psi ^{2}=\psi +1}$$${\displaystyle \psi ^{n}=F_{n}\psi +F_{n-1}.}$$

นิพจน์เหล่านี้ยังคงเป็นจริงสำหรับn < 1หากลำดับฟิโบนาชชีF _nถูกขยายไปยังจำนวนเต็มลบโดยใช้กฎฟิโบนาชชี${\displaystyle F_{n}=F_{n+2}-F_{n+1}.}$

สูตรของ Binet พิสูจน์ได้ว่าจำนวนเต็มบวกxเป็นจำนวนฟิโบนาชชีก็ต่อเมื่ออย่างน้อยหนึ่งตัวของหรือเป็นกำลังสองสมบูรณ์^{[ 30 ]}ทั้งนี้เพราะสูตรของ Binet ซึ่งสามารถเขียนได้เป็นสามารถคูณด้วยและแก้เป็น สม การกำลังสองในโดยใช้สูตรกำลังสอง : ${\displaystyle 5x^{2}+4}$${\displaystyle 5x^{2}-4}$${\displaystyle F_{n}=(\varphi ^{n}-(-1)^{n}\varphi ^{-n})/{\sqrt {5}}}$${\displaystyle {\sqrt {5}}\varphi ^{n}}$${\displaystyle \varphi ^{n}}$

$${\displaystyle \varphi ^{n}={\frac {F_{n}{\sqrt {5}}\pm {\sqrt {5{F_{n}}^{\!2}+4{(-1)}^{n}}}}{2}}.}$$

เมื่อเปรียบเทียบกับสิ่งนี้แล้วจึงสรุปได้ว่า ${\displaystyle \varphi ^{n}=F_{n}\varphi +F_{n-1}=(F_{n}{\sqrt {5}}+F_{n}+2F_{n-1})/2}$

$${\displaystyle 5{F_{n}}^{\!2}+4(-1)^{n}=(F_{n}+2F_{n-1})^{2}\,.}$$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ด้านซ้ายมือเป็นกำลังสองสมบูรณ์

ระบบ สมการเชิงผลต่างเชิงเส้นสองมิติที่อธิบายลำดับฟิโบนาชชีคือ

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}F_{k+2}\\F_{k+1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}F_{k+1}\\F_{k}\end{pmatrix}}}$$ หรือเรียกอีกอย่างว่า $${\displaystyle {\vec {F}}_{k+1}=\mathbf {A} {\vec {F}}_{k},}$$

ซึ่งให้ผลลัพธ์เป็นค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์Aคือและซึ่งสอดคล้องกับเวกเตอร์ลักษณะ เฉพาะตามลำดับ${\displaystyle {\vec {F}}_{n}=\mathbf {A} ^{n}{\vec {F}}_{0}}$${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$${\displaystyle \psi =-\varphi ^{-1}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1-{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$$${\displaystyle {\vec {\mu }}={\begin{pmatrix}\varphi \\1\end{pmatrix}},\quad {\vec {\nu }}={\begin{pmatrix}-\varphi ^{-1}\\1\end{pmatrix}}.}$$

เนื่องจากค่าเริ่มต้นคือ ดังนั้น องค์ประกอบที่ nคือ $${\displaystyle {\vec {F}}_{0}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {5}}}{\vec {\mu }}\,-\,{\frac {1}{\sqrt {5}}}{\vec {\nu }},}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {F}}_{n}\ &={\frac {1}{\sqrt {5}}}A^{n}{\vec {\mu }}-{\frac {1}{\sqrt {5}}}A^{n}{\vec {\nu }}\\&={\frac {1}{\sqrt {5}}}\varphi ^{n}{\vec {\mu }}-{\frac {1}{\sqrt {5}}}(-\varphi )^{-n}{\vec {\nu }}\\&={\cfrac {1}{\sqrt {5}}}\left({\cfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{\!n}{\begin{pmatrix}\varphi \\1\end{pmatrix}}\,-\,{\cfrac {1}{\sqrt {5}}}\left({\cfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{\!n}{\begin{pmatrix}{c}-\varphi ^{-1}\\1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$$

จากนี้เราสามารถอ่านค่าองค์ประกอบ ที่ n ในลำดับฟิโบนาชชีได้โดยตรงใน รูปแบบนิพจน์ปิด : $${\displaystyle F_{n}={\cfrac {1}{\sqrt {5}}}\left({\cfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{\!n}-\,{\cfrac {1}{\sqrt {5}}}\left({\cfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{\!n}.}$$

ในทำนองเดียวกัน การคำนวณแบบเดียวกันนี้สามารถทำได้โดยการหาค่าเฉพาะของ เมทริก ซ์ Aโดยใช้การแยกส่วนประกอบค่าเฉพาะ ของมัน : โดยที่ ดังนั้น นิพจน์แบบปิดสำหรับ องค์ประกอบที่ nในลำดับฟิโบนาชชีจึงกำหนดโดย ซึ่งให้ผลลัพธ์อีกครั้ง $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=S\Lambda S^{-1},\\[3mu]A^{n}&=S\Lambda ^{n}S^{-1},\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \Lambda ={\begin{pmatrix}\varphi &0\\0&-\varphi ^{-1}\!\end{pmatrix}},\quad S={\begin{pmatrix}\varphi &-\varphi ^{-1}\\1&1\end{pmatrix}}.}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}F_{n+1}\\F_{n}\end{pmatrix}}&=A^{n}{\begin{pmatrix}F_{1}\\F_{0}\end{pmatrix}}\ \\&=S\Lambda ^{n}S^{-1}{\begin{pmatrix}F_{1}\\F_{0}\end{pmatrix}}\\&=S{\begin{pmatrix}\varphi ^{n}&0\\0&(-\varphi )^{-n}\end{pmatrix}}S^{-1}{\begin{pmatrix}F_{1}\\F_{0}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\varphi &-\varphi ^{-1}\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\varphi ^{n}&0\\0&(-\varphi )^{-n}\end{pmatrix}}{\frac {1}{\sqrt {5}}}{\begin{pmatrix}1&\varphi ^{-1}\\-1&\varphi \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$$$${\displaystyle F_{n}={\cfrac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}.}$$

เมทริกซ์Aมีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ −1 ดังนั้นจึงเป็นเมทริกซ์2 × 2 ยูนิโมดูลา ร์

คุณสมบัตินี้สามารถเข้าใจได้ในแง่ของ การแสดง เศษส่วนต่อเนื่องสำหรับอัตราส่วนทองคำφ : ตัวลู่เข้าของเศษส่วนต่อเนื่องสำหรับφคืออัตราส่วนของจำนวนฟิโบนาชชีที่ต่อเนื่องกัน: φ _n = F _{n +1} / F _nคือ ตัวลู่เข้าลำดับที่ nและ ตัวลู่เข้าลำดับที่ ( n + 1)สามารถหาได้จากความสัมพันธ์เวียนเกิดφ _{n +1} = 1 + 1 / φ _n ^{[ 31} ] เมทริกซ์ที่สร้างขึ้นจากตัวลู่เข้าที่ต่อเนื่องกันของ ^{เศษส่วน}ต่อเนื่องใดๆ จะมีดีเทอร์มิแนนต์เป็น +1 หรือ −1 การแสดงเมทริกซ์ให้สูตรปิดต่อไปนี้สำหรับจำนวนฟิโบนาชชี: สำหรับn ที่กำหนด เมทริกซ์นี้สามารถคำนวณได้ในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์O (log n ) ^{[ b ]}โดยใช้วิธี การยกกำลังโดยการยกกำลังสอง$${\displaystyle \varphi =1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}.}$$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{pmatrix}}.}$$

การหาดีเทอร์มิแนนต์ของทั้งสองข้างของสมการนี้จะได้เอกลักษณ์ของแคสสินี $${\displaystyle (-1)^{n}=F_{n+1}F_{n-1}-{F_{n}}^{2}.}$$

นอกจากนี้ เนื่องจากA ⁿ A ^m = A ^{n + m}สำหรับเมทริกซ์จัตุรัสA ใดๆ จึงสามารถอนุมานเอกลักษณ์ต่อไปนี้ ได้ (ซึ่งได้มาจากสัมประสิทธิ์สองตัวที่แตกต่างกันของ ผลคูณเมทริกซ์และสามารถอนุมานเอกลักษณ์ที่สองได้ง่ายๆ จากเอกลักษณ์แรกโดยการเปลี่ยนnเป็นn + 1 ) $${\displaystyle {\begin{aligned}{F_{m}}{F_{n}}+{F_{m-1}}{F_{n-1}}&=F_{m+n-1},\\[3mu]F_{m}F_{n+1}+F_{m-1}F_{n}&=F_{m+n}.\end{aligned}}}$$

โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อ m = n$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{2n-1}&={F_{n}}^{2}+{F_{n-1}}^{2}\\[6mu]F_{2n{\phantom {{}-1}}}&=(F_{n-1}+F_{n+1})F_{n}\\[3mu]&=(2F_{n-1}+F_{n})F_{n}\\[3mu]&=(2F_{n+1}-F_{n})F_{n}.\end{aligned}}}$$

เอกลักษณ์สองประการสุดท้ายนี้ให้วิธีการคำนวณเลขฟิโบนาชชีแบบเรียกซ้ำด้วย การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ O (log n )ซึ่งตรงกับเวลาในการคำนวณ เลขฟิโบนาชชีลำดับที่ nจากสูตรเมทริกซ์แบบปิด แต่มีขั้นตอนที่ซ้ำซ้อนน้อยกว่าหากหลีกเลี่ยงการคำนวณเลขฟิโบนาชชีที่คำนวณแล้วซ้ำ (การเรียกซ้ำพร้อมการจดจำ ) ^{[ 32 ]}

เอกลักษณ์ส่วนใหญ่ที่เกี่ยวข้องกับจำนวนฟิโบนาชชีสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้การโต้แย้งเชิงการจัดเรียงโดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าสามารถตีความได้ว่าเป็นจำนวนลำดับ (อาจว่างเปล่า) ของ 1 และ 2 ที่มีผลรวมเท่ากับ ซึ่งสามารถนำมาใช้เป็นนิยามของโดยมีข้อตกลงว่า หมายความว่าไม่มีลำดับใดที่มีผลรวมเท่ากับ -1 และหมายความว่าลำดับว่างเปล่า "รวมกัน" ได้ 0 ต่อไปนี้คือจำนวนสมาชิกของเซต : ${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle F_{0}=0}$${\displaystyle F_{1}=1}$${\displaystyle |{...}|}$

${\displaystyle F_{0}=0=|\{\}|}$

${\displaystyle F_{1}=1=|\{()\}|}$

${\displaystyle F_{2}=1=|\{(1)\}|}$

${\displaystyle F_{3}=2=|\{(1,1),(2)\}|}$

${\displaystyle F_{4}=3=|\{(1,1,1),(1,2),(2,1)\}|}$

${\displaystyle F_{5}=5=|\{(1,1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1),(2,2)\}|}$

ด้วยวิธีนี้ ความสัมพันธ์เวียนเกิด สามารถเข้าใจได้โดยการแบ่งลำดับออกเป็นสองเซตที่ไม่ทับซ้อนกัน โดยที่ลำดับทั้งหมดเริ่มต้นด้วย 1 หรือ 2: เมื่อไม่รวมองค์ประกอบแรก ผลรวมของพจน์ที่เหลือในแต่ละลำดับจะเท่ากับหรือและจำนวนสมาชิกของแต่ละเซตคือหรือทำให้ได้ลำดับทั้งหมดแสดง ว่าเท่ากับ$${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}$$${\displaystyle F_{n}}$$${\displaystyle F_{n}=|\{(1,...),(1,...),...\}|+|\{(2,...),(2,...),...\}|}$$${\displaystyle n-2}$${\displaystyle n-3}$${\displaystyle F_{n-1}}$${\displaystyle F_{n-2}}$${\displaystyle F_{n-1}+F_{n-2}}$${\displaystyle F_{n}}$

ในทำนองเดียวกัน อาจแสดงได้ว่าผลรวมของจำนวนฟิโบนาชชีแรกจนถึง ลำดับที่ nเท่ากับ จำนวนฟิโบนาชชีลำดับที่ ( n + 2)ลบ 1 ^{[ 33 ]} ในสัญลักษณ์: $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=F_{n+2}-1}$$

สามารถเห็นได้จากการแบ่งลำดับทั้งหมดที่รวมกันตามตำแหน่งของ 2 ตัวแรก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง แต่ละเซตประกอบด้วยลำดับที่เริ่มต้นจนถึงสองเซตสุดท้าย ซึ่ง แต่ละเซตมีจำนวนสมาชิก 1 ตัว ${\displaystyle n+1}$${\displaystyle (2,...),(1,2,...),...,}$${\displaystyle \{(1,1,...,1,2)\},\{(1,1,...,1)\}}$

โดยใช้ตรรกะเดียวกันกับที่กล่าวมาแล้ว โดยการรวมจำนวนสมาชิกของแต่ละเซต เราจะเห็นว่า

${\displaystyle F_{n+2}=F_{n}+F_{n-1}+...+|\{(1,1,...,1,2)\}|+|\{(1,1,...,1)\}|}$

... โดยที่สองพจน์สุดท้ายมีค่าเท่ากับ. จากนี้จึงสรุปได้ว่า. ${\displaystyle F_{1}=1}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=F_{n+2}-1}$

การให้เหตุผลที่คล้ายกัน โดยจัดกลุ่มผลรวมตามตำแหน่งของเลข 1 ตัวแรก แทนที่จะเป็นเลข 2 ตัวแรก จะให้เอกลักษณ์เพิ่มอีกสองประการ: และ กล่าวคือ ผลรวมของจำนวนฟิโบนาชชีแรกที่มี ดัชนี คี่จนถึงคือ จำนวนฟิโบนาชชีลำดับที่ (2 n )และผลรวมของจำนวนฟิโบนาชชีแรกที่มี ดัชนี คู่จนถึงคือ จำนวนฟิโบนาชชีลำดับที่ (2 n + 1)ลบ 1 ^{[ 34 ]}$${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}F_{2i+1}=F_{2n}}$$$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{2i}=F_{2n+1}-1.}$$${\displaystyle F_{2n-1}}$${\displaystyle F_{2n}}$

อาจใช้กลวิธีอื่นในการพิสูจน์ หรือกล่าวเป็นคำพูดได้ว่า ผลรวมของกำลังสองของจำนวนฟิโบนาชชีแรกๆ จนถึง n คือผลคูณของจำนวนฟิโบนาชชีลำดับที่nและ ลำดับที่ ( n + 1)เพื่อให้เห็นภาพนี้ เริ่มจากสี่เหลี่ยมผืนผ้าฟิโบนาชชีขนาด n แล้วแบ่งออกเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดn จากนั้นจึงได้เอกลักษณ์นี้โดยการเปรียบเทียบพื้นที่: $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}^{2}=F_{n}F_{n+1}}$$${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle F_{n}\times F_{n+1}}$${\displaystyle F_{n},F_{n-1},...,F_{1}}$

เอกลักษณ์ของฟิโบนาชชีมักสามารถพิสูจน์ได้ง่ายๆ โดยใช้การอุปมานทางคณิตศาสตร์

ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณา การเพิ่มเข้าไปทั้งสองด้านอีกครั้ง จะได้ผลลัพธ์ดังนี้ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=F_{n+2}-1.}$$${\displaystyle F_{n+1}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}+F_{n+1}=F_{n+1}+F_{n+2}-1}$

และด้วยเหตุนี้เราจึงได้สูตรสำหรับ${\displaystyle n+1}$$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n+1}F_{i}=F_{n+3}-1}$$

ในทำนองเดียวกัน ให้เพิ่มเข้าไปทั้งสองด้านเพื่อ ให้ได้ ${\displaystyle {F_{n+1}}^{2}}$$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}^{2}=F_{n}F_{n+1}}$$$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}^{2}+{F_{n+1}}^{2}=F_{n+1}\left(F_{n}+F_{n+1}\right)}$$$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n+1}F_{i}^{2}=F_{n+1}F_{n+2}}$$

สูตรของบิเนต์คือ ซึ่งสามารถใช้พิสูจน์เอกลักษณ์ของฟิโบนาชชีได้ $${\displaystyle {\sqrt {5}}F_{n}=\varphi ^{n}-\psi ^{n}.}$$

ตัวอย่างเช่น เพื่อพิสูจน์ว่า สังเกตว่าด้านซ้ายมือคูณด้วยจะได้ ผลลัพธ์ ตามที่ต้องการ โดยใช้ข้อเท็จจริงและเพื่อทำให้สมการง่ายขึ้น ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=F_{n+2}-1}$${\displaystyle {\sqrt {5}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}1+&\varphi +\varphi ^{2}+\dots +\varphi ^{n}-\left(1+\psi +\psi ^{2}+\dots +\psi ^{n}\right)\\&={\frac {\varphi ^{n+1}-1}{\varphi -1}}-{\frac {\psi ^{n+1}-1}{\psi -1}}\\&={\frac {\varphi ^{n+1}-1}{-\psi }}-{\frac {\psi ^{n+1}-1}{-\varphi }}\\&={\frac {-\varphi ^{n+2}+\varphi +\psi ^{n+2}-\psi }{\varphi \psi }}\\&=\varphi ^{n+2}-\psi ^{n+2}-(\varphi -\psi )\\&={\sqrt {5}}(F_{n+2}-1)\\\end{aligned}}}$$${\textstyle \varphi \psi =-1}$${\textstyle \varphi -\psi ={\sqrt {5}}}$

เอกลักษณ์อื่นๆ อีกมากมายสามารถได้มาโดยใช้วิธีการต่างๆ ต่อไปนี้คือบางส่วน: ^{[ 35 ]}

คำกล่าวของคาสสินีระบุว่า อัตลักษณ์ของคาตาลันเป็นการสรุปแบบเหมารวม: $${\displaystyle F_{n}^{2}-F_{n+1}F_{n-1}=(-1)^{n-1}}$$$${\displaystyle F_{n}^{2}-F_{n+r}F_{n-r}=(-1)^{n-r}F_{r}^{2}}$$

$${\displaystyle F_{m}F_{n+1}-F_{m+1}F_{n}=(-1)^{n}F_{m-n}}$$$${\displaystyle F_{2n}=F_{n+1}^{2}-F_{n-1}^{2}=F_{n}\left(F_{n+1}+F_{n-1}\right)=F_{n}L_{n}}$$ โดยที่L _nคือจำนวนลูคัสลำดับ ที่ nส่วนสุดท้ายเป็นเอกลักษณ์สำหรับการคูณnด้วย 2 เอกลักษณ์ประเภทอื่น ๆ นี้ได้มา จากเอกลักษณ์ของแคสสินี $${\displaystyle F_{3n}=2F_{n}^{3}+3F_{n}F_{n+1}F_{n-1}=5F_{n}^{3}+3(-1)^{n}F_{n}}$$

$${\displaystyle F_{3n+1}=F_{n+1}^{3}+3F_{n+1}F_{n}^{2}-F_{n}^{3}}$$$${\displaystyle F_{3n+2}={F_{n+1}}^{3}+3F_{n+1}^{2}F_{n}+F_{n}^{3}}$$$${\displaystyle F_{4n}=4F_{n}F_{n+1}\left(F_{n+1}^{2}+2F_{n}^{2}\right)-3F_{n}^{2}\left(F_{n}^{2}+2F_{n+1}^{2}\right)}$$ สามารถค้นหาค่าเหล่านี้ได้จากการทดลองโดยใช้การลดแลตทิซและมีประโยชน์ในการสร้างตะแกรงสนามตัวเลขพิเศษเพื่อแยกตัวประกอบของจำนวนฟิโบนาชชี

โดยทั่วไป^{[ 35 ]}

$${\displaystyle F_{kn+c}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {k}{i}}F_{c-i}F_{n}^{i}F_{n+1}^{k-i}.}$$

หรืออีกทางเลือกหนึ่ง

$${\displaystyle F_{kn+c}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {k}{i}}F_{c+i}F_{n}^{i}F_{n-1}^{k-i}.}$$

เมื่อแทนค่า k = 2 ลง ในสูตรนี้ จะได้สูตรในรูปแบบเมทริกซ์เช่น เดียวกับตอนท้ายของหัวข้อข้างต้น

ฟังก์ชันก่อกำเนิดปกติของลำดับฟิโบนาชี่คืออนุกรมกำลัง

$${\displaystyle s(z)=\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}z^{k}=0+z+z^{2}+2z^{3}+3z^{4}+5z^{5}+\cdots .}$$

อนุกรมนี้ลู่เข้าสำหรับจำนวนเชิงซ้อน ใดๆ ที่สอดคล้องกับและผลรวมของมันมีรูปแบบปิดที่เรียบง่าย: ^{[ 36 ]}${\displaystyle z}$${\displaystyle |z|<1/\varphi \approx 0.618,}$

$${\displaystyle s(z)={\frac {z}{1-z-z^{2}}}.}$$

สามารถพิสูจน์ได้โดยการคูณด้วย: โดยที่พจน์ทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับ จะหักล้างกันไปเนื่องจากความสัมพันธ์เวียนเกิดของฟิโบนาชี่ที่กำหนดไว้ ${\textstyle (1-z-z^{2})}$$${\displaystyle {\begin{aligned}(1-z-z^{2})s(z)&=\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}z^{k}-\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}z^{k+1}-\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}z^{k+2}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}z^{k}-\sum _{k=1}^{\infty }F_{k-1}z^{k}-\sum _{k=2}^{\infty }F_{k-2}z^{k}\\&=0z^{0}+1z^{1}-0z^{1}+\sum _{k=2}^{\infty }(F_{k}-F_{k-1}-F_{k-2})z^{k}\\&=z,\end{aligned}}}$$${\displaystyle z^{k}}$${\displaystyle k\geq 2}$

การใช้สูตรนี้จะเรียงลำดับตัวเลขฟิโบนาชี่ไปจนถึงตัวเลขรองสุดท้าย โดยใช้ตัวเลขในรูปแบบทศนิยมของตัวอย่างเช่น${\displaystyle z={10}^{-n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle s(z)}$$${\displaystyle s(10^{-3})={\frac {0.001}{0.998999}}={\frac {1000}{998999}}=000.\,001\,001\,002\,003\,005\,008\,013\,\ldots .}$$

การแยกส่วนเศษส่วนย่อยแสดงได้ดังนี้ โดย ที่คืออัตราส่วนทองคำ และคือคู่ควบ ของอัตราส่วน ทองคำ $${\displaystyle s(z)={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1}{1-\varphi z}}-{\frac {1}{1-\psi z}}\right)}$$${\textstyle \varphi ={\tfrac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)}$${\displaystyle \psi ={\tfrac {1}{2}}\left(1-{\sqrt {5}}\right)}$

ฟังก์ชันก่อกำเนิดเลขชี้กำลังของลำดับฟิโบนาชชีอาจได้มาจากความสัมพันธ์เวียนเกิดเช่นกัน โดยให้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นเอกพันธุ์ : พหุนามลักษณะเฉพาะของสมการนี้คือซึ่งคำตอบคืออัตราส่วนทองคำและคู่ควบ ของมันพอดี เมื่อรวมกับค่าเริ่มต้นและฟังก์ชันก่อกำเนิดเลขชี้กำลังของจำนวนฟิโบนาชชีจะกำหนดโดยฟังก์ชันทั้งหมด การประเมินอนุพันธ์ของฟังก์ชันก่อกำเนิดเลขชี้กำลังที่ จะได้สูตรของบิเนต์ : $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }F_{k+2}{\frac {x^{k}}{k!}}={}&\sum _{k=0}^{\infty }F_{k+1}{\frac {x^{k}}{k!}}+\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}{\frac {x^{k}}{k!}}\\F^{\prime \prime }(x)={}&F^{\prime }(x)+F(x)\end{aligned}}}$$${\textstyle r^{2}=r+1}$${\textstyle \varphi }$${\textstyle \psi }$${\textstyle F_{0}=F(0)=0}$${\textstyle F_{1}=F^{\prime }(0)=1}$$${\displaystyle F(x)={\frac {e^{\varphi x}-e^{\psi x}}{\sqrt {5}}}}$$${\textstyle x=0}$$${\displaystyle F^{(n)}(0)=F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-\psi ^{n}}{\sqrt {5}}}}$$

ผลรวมอนันต์ของ จำนวนฟิโบนาชชี ผกผันบางครั้งสามารถประเมินได้ในรูปของฟังก์ชันทีตาตัวอย่างเช่น ผลรวมของจำนวนฟิโบนาชชีผกผันที่มีดัชนีเป็นเลขคี่ทุกตัวสามารถเขียนได้ดังนี้ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{2k-1}}}={\frac {\sqrt {5}}{4}}\;\vartheta _{2}\!\left(0,{\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{2},}$$

และผลรวมของกำลังสองส่วนกลับของจำนวนฟิโบนาชี่ดังนี้ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{{F_{k}}^{2}}}={\frac {5}{24}}\!\left(\vartheta _{2}\!\left(0,{\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{4}-\vartheta _{4}\!\left(0,{\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{4}+1\right).}$$

ถ้าเราบวก 1 เข้ากับตัวเลขฟิโบนาชชีแต่ละตัวในผลรวมแรก ก็จะได้รูปแบบปิดเช่นกัน $${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{1+F_{2k-1}}}={\frac {\sqrt {5}}{2}},}$$

และยังมีผล รวม แบบ ซ้อนกันของเลขฟิโบนาชี่กำลังสอง ซึ่งให้ค่าผกผันของอัตราส่วนทองคำ$${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{\sum _{j=1}^{k}{F_{j}}^{2}}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}.}$$

ผลรวมของจำนวนฟิโบนาชชีผกผันดัชนีคู่ทั้งหมดคือ^{[ 37 ]} โดยมีอนุกรมแลมเบิร์ตตั้งแต่$${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{2k}}}={\sqrt {5}}\left(L(\psi ^{2})-L(\psi ^{4})\right)}$$${\displaystyle \textstyle L(q):=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}},}$${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{F_{2k}}}={\sqrt {5}}\left({\frac {\psi ^{2k}}{1-\psi ^{2k}}}-{\frac {\psi ^{4k}}{1-\psi ^{4k}}}\right)\!.}$

ดังนั้นค่าคงที่ฟิโบนาชชีผกผันคือ^{[ 38 ]}$${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{k}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{2k-1}}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{2k}}}=3.359885666243\dots }$$

ยิ่งไปกว่านั้น ริชาร์ด อองเดร-ฌานนินได้พิสูจน์แล้วว่าจำนวนนี้เป็นจำนวนอตรรกยะ^{[ 39 ]}

อนุกรมของ Millinให้เอกลักษณ์^{[ 40 ]} ซึ่งเป็นผลมาจากรูปแบบปิดสำหรับผลรวมย่อยเมื่อNมีแนวโน้มเข้าสู่อนันต์: $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{F_{2^{k}}}}={\frac {7-{\sqrt {5}}}{2}},}$$$${\displaystyle \sum _{k=0}^{N}{\frac {1}{F_{2^{k}}}}=3-{\frac {F_{2^{N}-1}}{F_{2^{N}}}}.}$$

ทุกๆ จำนวนที่สามของลำดับจะเป็นจำนวนคู่ (เป็นพหุคูณของ⁠ ⁠${\displaystyle F_{3}=2}$ ) และโดยทั่วไปแล้ว ทุกๆ จำนวน ที่⁠ ⁠${\displaystyle k}$ของลำดับจะเป็นพหุคูณของ⁠ ⁠${\displaystyle F_{k}}$ดังนั้น ลำดับฟิโบนาชชีจึงเป็นตัวอย่างของลำดับที่หารลงตัวได้ ในความเป็นจริง ลำดับฟิโบนาชชีเป็นไปตามคุณสมบัติการหารลงตัวที่เข้มงวดกว่า^{[ 41 ] [ 42 ]} โดยที่gcdคือ ฟังก์ชัน ตัวหารร่วมมาก (ความสัมพันธ์นี้จะแตกต่างกันหากใช้ข้อกำหนดการจัดทำดัชนีที่แตกต่างกัน เช่น ข้อกำหนดที่เริ่มต้นลำดับด้วย⁠ ⁠และ⁠ ⁠ ) $${\displaystyle \gcd(F_{a},F_{b},F_{c},\ldots )=F_{\gcd(a,b,c,\ldots )}\,}$$${\displaystyle F_{0}=1}$${\displaystyle F_{1}=1}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จำนวนฟิโบนาชี่สามจำนวนใดๆ ที่อยู่ติดกันจะเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันเป็นคู่ๆ เนื่องจากทั้งและนั่นคือสำหรับ ทุกn${\displaystyle F_{1}=1}$${\displaystyle F_{2}=1}$$${\displaystyle \gcd(F_{n},F_{n+1})=\gcd(F_{n},F_{n+2})=\gcd(F_{n+1},F_{n+2})=1}$$

จำนวนเฉพาะpทุก จำนวน หารลงตัวในลำดับฟิโบนาชชี ซึ่งสามารถหาได้จากค่าของp มอดู  ล 5 ถ้าpสอดคล้องกับ 1 หรือ 4 มอดูล 5 แล้วp จะหาร F _{p −1}ลงตัวและถ้าpสอดคล้องกับ 2 หรือ 3 มอดูล 5 แล้วpจะหารF _{p +1} ลงตัว กรณีที่เหลือคือp = 5ซึ่งในกรณีนี้pจะหารลงตัวใน F _p

$${\displaystyle {\begin{cases}p=5&\Rightarrow p\mid F_{p},\\p\equiv \pm 1{\pmod {5}}&\Rightarrow p\mid F_{p-1},\\p\equiv \pm 2{\pmod {5}}&\Rightarrow p\mid F_{p+1}.\end{cases}}}$$

กรณีเหล่านี้สามารถรวมเข้าเป็นสูตร เดียวที่ไม่ใช่แบบ แยกส่วนได้ โดยใช้ สัญลักษณ์ Legendre : ^{[ 43 ]}$${\displaystyle p\mid F_{p\,-~\!\left({\frac {5}{p}}\right)}.}$$

สูตรข้างต้นสามารถใช้เป็นตัวทดสอบความเป็นจำนวนเฉพาะได้ในแง่ที่ว่า ถ้า สัญลักษณ์เลอจองเดอร์ถูกแทนที่ด้วยสัญลักษณ์จาโคบีแสดงว่าnเป็นจำนวนเฉพาะ และถ้าไม่เป็นเช่นนั้นn ก็ ไม่ใช่จำนวนเฉพาะอย่างแน่นอน ถ้าnเป็นจำนวนประกอบและเป็นไปตามสูตรn ก็ คือจำนวนเฉพาะเทียมฟิโบนาชชีเมื่อmมีขนาดใหญ่ เช่น จำนวน 500 บิตเราสามารถคำนวณF _m (mod n )ได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยใช้รูปแบบเมทริกซ์ ดังนั้น $${\displaystyle n\mid F_{n\,-~\!\left({\frac {5}{n}}\right)},}$$

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}F_{m+1}&F_{m}\\F_{m}&F_{m-1}\end{pmatrix}}\equiv {\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{m}{\pmod {n}}.}$$ ในที่นี้กำลังเมทริกซ์A ^mจะถูกคำนวณโดยใช้การยกกำลังแบบโมดูลาร์ซึ่งสามารถปรับให้เข้ากับเมทริกซ์ได้^{[ 44 ]}

จำนวน เฉพาะฟิโบนาชชีคือจำนวนฟิโบนาชชีที่เป็นจำนวนเฉพาะ ตัวอย่างแรกๆ ได้แก่: ^{[ 45 ]}

2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229, ...

มีการค้นพบจำนวนเฉพาะฟิโบนาชชีที่มีหลายพันหลัก แต่ยังไม่ทราบว่ามีจำนวนไม่จำกัดหรือไม่^{[ 46 ]}

Fknหารลงตัวด้วย Fnดังนั้น นอกเหนือจาก F4 = 3 _{แล้ว จำนวนเฉพาะฟิ โบ นาชชีใด ๆ}ก็ต้องมีดัชนีเป็นจำนวนเฉพาะ เนื่องจากมีลำดับของจำนวนประกอบที่ยาวได้โดยไม่จำกัดดังนั้นจึงมีลำดับของจำนวนประกอบฟิโบนาชชีที่ยาวได้โดยไม่จำกัดเช่นกัน

ไม่มีจำนวนฟิโบนาชชีใดที่มากกว่าF ₆ = 8ที่มากกว่าหรือน้อยกว่าจำนวนเฉพาะหนึ่ง^{[ 47 ]}

จำนวนฟิโบนาชชี กำลังสอง ที่ไม่ใช่จำนวน ธรรมดาเพียงจำนวนเดียวคือ 144 ^{[ 48 ]} Attila Pethő พิสูจน์ในปี 2001 ว่ามีจำนวนฟิโบนาชชีกำลังสมบูรณ์ เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น ^{[ 49 ]}ในปี 2006 Y. Bugeaud, M. Mignotte และ S. Siksek พิสูจน์ว่า 8 และ 144 เป็นกำลังสมบูรณ์ที่ไม่ใช่จำนวนธรรมดาเพียงจำนวนเดียว^{[ 50 ]}

ตัวเลขฟิโบนาชชีรูป สามเหลี่ยม มี เพียง1, 3, 21 และ 55 ซึ่งVern Hoggattเป็นผู้ตั้งข้อสันนิษฐานและ Luo Ming เป็นผู้พิสูจน์^{[ 51 ]}