ว่าว (เรขาคณิต)

ในเรขาคณิตแบบยุคลิดรูปว่าวเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีสมมาตรสะท้อนตามแนวทแยงมุมเนื่องจากสมมาตรนี้ รูปว่าวจึงมีมุมเท่ากันสองมุมและด้านที่อยู่ติดกันสองคู่ที่มีความยาวเท่ากัน รูปว่าวยังรู้จักกันในชื่อเดลทอยด์^[ 1 ] ^แต่^คำว่าเดลทอยด์อาจหมายถึงเส้นโค้งเดลทอยด์ซึ่งเป็นวัตถุทางเรขาคณิตที่ไม่เกี่ยวข้องซึ่งบางครั้งศึกษาร่วมกับรูปสี่เหลี่ยม^[²^]^[³^]รูปว่าวอาจเรียกว่าลูกศร ได้ เช่น กัน ^[⁴^]โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้ามันไม่นูน^[⁵^]^[⁶^]

รูปว่าวทุกรูปเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก (เส้นทแยงมุมทำมุมฉากกัน) และเมื่อเป็นรูปว่าวแบบนูน จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมสัมผัส (ด้านของมันสัมผัสกับวงกลมที่อยู่ภายใน) รูปว่าวแบบนูนคือรูปสี่เหลี่ยมที่ทั้งเป็นมุมฉากและสัมผัสกัน ซึ่งรวมถึงรูปว่าวมุมฉากที่มีมุมฉากสองมุมตรงข้ามกัน รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีแกนสมมาตรทแยงมุมสองแกน และรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งเป็นกรณีพิเศษของทั้งรูปว่าวมุมฉากและรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนด้วย

รูปสี่เหลี่ยมที่มีอัตราส่วนของเส้นรอบรูปต่อเส้นผ่านศูนย์กลาง มากที่สุด คือรูปว่าว ซึ่งมีมุม 60°, 75° และ 150° ว่าวสองรูปทรง (แบบนูนและแบบไม่นูน) เป็นรูปทรงพื้นฐาน (prototiles ) ของรูปแบบหนึ่งของการ ปูพื้น แบบเพนโรส (Penrose tiling ) ว่าวยังเป็นหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมและลวดลายการปูพื้น แบบสมมาตร หลายแบบ และได้รับการศึกษาในส่วนที่เกี่ยวข้องกับบิลเลียดภายนอก (outer billiards) ซึ่งเป็นปัญหาในคณิตศาสตร์ขั้นสูงของระบบพลวัต

คำจำกัดความและการจำแนกประเภท

รูปว่าวคือรูปสี่เหลี่ยมที่มีสมมาตรสะท้อนตามแนวทแยงมุมด้านใดด้านหนึ่ง หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านทั้งสี่ด้านที่สามารถจัดกลุ่มเป็นสองคู่ของด้านที่มีความยาวเท่ากันที่อยู่ติดกัน^{[ 1 ]}^{[ 7 ]}สามารถสร้างรูปว่าวได้จากจุดศูนย์กลางและจุดตัดของวงกลม สองวงใดๆ ที่ ตัดกัน^{[ 8 ]}รูปว่าวที่อธิบายไว้ในที่นี้อาจเป็นได้ทั้งรูปนูนหรือรูปเว้าแม้ว่าบางแหล่งข้อมูลจะจำกัดความ หมายของ รูปว่าวไว้เฉพาะรูปว่าวแบบนูนเท่านั้น รูปสี่เหลี่ยมจะเป็นรูปว่าวก็ต่อเมื่อเงื่อนไขใดเงื่อนไขหนึ่งต่อไปนี้เป็นจริง:

ด้านทั้งสี่สามารถแบ่งออกเป็นสองคู่ของด้านที่มีความยาวเท่ากันที่อยู่ติดกัน^{[ 7 ]}
เส้นทแยงมุมเส้นหนึ่งตัดกับจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมอีกเส้นหนึ่งเป็นมุมฉาก ทำให้เกิดเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก^{[ 9 ]} (ในกรณีเว้า เส้นที่ลากผ่านเส้นทแยงมุมเส้นหนึ่งจะแบ่งครึ่งเส้นทแยงมุมอีกเส้นหนึ่ง)
เส้นทแยงมุมหนึ่งเป็นเส้นสมมาตร มันแบ่งรูปสี่เหลี่ยมออกเป็นสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการสองรูปซึ่งเป็นภาพสะท้อนซึ่งกันและกัน^{[ 7 ]}
เส้นทแยงมุมหนึ่งแบ่งครึ่งมุมทั้งสองที่ปลายทั้งสองข้าง^{[ 7 ]}

รูปสี่เหลี่ยมว่าวมีชื่อมาจาก ว่าวที่ปลิวไปตามลมซึ่งมักมีรูปร่างเช่นนี้^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}และว่าวเหล่านี้ก็มีชื่อมาจากนกที่บินโฉบเฉี่ยวและเสียงที่มันร้อง^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}ตามที่Olaus Henrici กล่าวไว้ ชื่อ "ว่าว" นั้นตั้งให้กับรูปร่างเหล่านี้โดยJames Joseph Sylvester ^{[ 14 ]}

รูปสี่เหลี่ยมสามารถจำแนกได้แบบลำดับชั้นซึ่งหมายความว่ารูปสี่เหลี่ยมบางประเภทจะรวมถึงรูปสี่เหลี่ยมประเภทอื่น ๆ หรือแบบแบ่งกลุ่มซึ่งหมายความว่ารูปสี่เหลี่ยมแต่ละรูปจะอยู่ในประเภทเดียวเท่านั้น เมื่อจำแนกแบบลำดับชั้น รูปว่าวจะรวมถึงรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน (รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านเท่ากันสี่ด้าน) รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส^{[ 15 ]}และรูปสี่เหลี่ยมอพอลโลเนียส (ซึ่งผลคูณของด้านตรงข้ามเท่ากัน) ^{[ 16 ]} รูปว่าว ที่มีด้านเท่ากันทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน และ รูปว่าว ที่มีมุมเท่า กันทั้งหมด เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เมื่อจำแนกแบบแบ่งกลุ่ม รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะไม่ใช่รูปว่าว เพราะอยู่ในรูปสี่เหลี่ยมประเภทอื่น ในทำนองเดียวกันรูปว่าวมุมฉากที่กล่าวถึงด้านล่างจะไม่ใช่รูปว่าว ส่วนที่เหลือของบทความนี้ใช้การจำแนกแบบลำดับชั้น รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และรูปว่าวมุมฉาก ล้วนถือว่าเป็นรูปว่าว การจำแนกประเภทนี้ช่วยลดความยุ่งยากในการพิจารณากรณีพิเศษ และสามารถทำให้ข้อเท็จจริงบางอย่างเกี่ยวกับรูปว่าวง่ายขึ้น^{[ 15 ]}

เช่นเดียวกับรูปว่าวรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานก็มีด้านยาวเท่ากันสองคู่เช่นกัน แต่ด้านเหล่านั้นอยู่ตรงข้ามกัน ไม่ใช่ติดกัน รูปสี่เหลี่ยมใดๆ ที่ ไม่ตัดกันเองและมีแกนสมมาตร จะต้องเป็นรูปว่าวที่มีแกนสมมาตรเป็นแนวทแยง หรือรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วที่มีแกนสมมาตรผ่านจุดกึ่งกลางของด้านสองด้าน ซึ่งรวมถึงรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนและรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าตามลำดับ และรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งเป็นกรณีพิเศษของทั้งสองรูป^{[ 1 ]}รูปสี่เหลี่ยมที่ตัดกันเองยังรวมถึงรูปสี่เหลี่ยมสมมาตรอีกประเภทหนึ่ง คือ รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานตรงข้าม^{[ 17 ]}

กรณีพิเศษ

ว่าวขวา

ว่าวแนวทแยงมุมเท่ากันในสามเหลี่ยมเรอโลซ์

พิณของพีทาโกรัส

รูปว่าวตั้งฉากมีมุมฉากตรง ข้ามสอง มุม^{[ 15 ]}^{[ 17 ]}รูปว่าวตั้งฉากก็คือรูปว่าวที่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสวงกลมหมายความว่ามีวงกลมที่ผ่านจุดยอดทั้งหมดของรูปว่าว^{[ 18 ]}รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสวงกลมอาจนิยามได้ว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีมุมตรงข้ามสองมุมรวมกันได้ 180° (ผลรวมเท่ากับ 180°) ถ้ามุมคู่หนึ่งรวมกันได้ 180° อีกคู่หนึ่งก็จะรวมกันได้ 180° เช่นกัน^{[ 9 ]}ดังนั้น รูปว่าวตั้งฉากจึงเป็นรูปว่าวที่มีมุมตรงข้ามสองมุมรวมกันได้ 180° สำหรับมุมตรงข้ามทั้งสองคู่ เนื่องจากรูปว่าวตั้งฉากล้อมรอบวงกลมหนึ่งวงและถูกบรรจุอยู่ในวงกลมอีกวงหนึ่ง จึงเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสแบบสองจุดศูนย์กลาง (ที่จริงแล้วเป็นแบบสามจุดศูนย์กลาง เนื่องจากมีวงกลมที่สามสัมผัสภายนอกกับ ส่วนขยายของด้านของรูปว่าวด้วย) ^{[ 17 ]}ถ้าขนาดของวงกลมที่แนบในและวงกลมที่ล้อมรอบถูกกำหนดไว้ รูปว่าวขวาจะมีพื้นที่มากที่สุดในบรรดารูปสี่เหลี่ยมที่ถูกล้อมอยู่ระหว่างวงกลมทั้งสอง^{[ 19 ]}

ในบรรดารูปสี่เหลี่ยมทั้งหมด รูปทรงที่มีอัตราส่วนของเส้นรอบรูปต่อเส้นผ่านศูนย์กลาง (ระยะทางสูงสุดระหว่างจุดสองจุดใดๆ) มากที่สุด คือ รูปว่าว ที่มีมุม 60°, 75°, 150°, 75° จุดยอดทั้งสี่ของมันอยู่ที่มุมทั้งสามและจุดกึ่งกลางด้านใดด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมเรอโลซ์ [ ^{20 ] [}^{21 ] รูป}ว่าวที่มีมุมเท่ากันเป็นกรณีพิเศษของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสกึ่งกลางเมื่อรูปว่าวที่มีมุมเท่ากันมีด้านยาวน้อยกว่าหรือเท่ากับเส้นทแยงมุม เช่น รูปนี้หรือรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส มันจะเป็นหนึ่งในรูปสี่เหลี่ยมที่มีอัตราส่วนของพื้นที่ต่อเส้นผ่านศูนย์กลางมากที่สุด^{[ 22 ]}

ว่าวที่มีมุม 108° สามมุมและมุม 36° หนึ่งมุมนั้นก่อให้เกิดรูปทรงนูนของพิณพีทาโกรัสซึ่ง เป็น แฟรกทัลที่สร้างจากรูปดาว ห้าแฉกซ้อน กัน^{[ 23 ]}ด้านทั้งสี่ของว่าวนี้วางอยู่บนด้านทั้งสี่ของรูปห้าเหลี่ยมปกติโดยมีสามเหลี่ยมสีทองติดอยู่บนด้านที่ห้า^{[ 17 ]}

มีรูปหลายเหลี่ยมเพียงแปดรูปเท่านั้นที่สามารถปูระนาบได้ โดยการสะท้อนรูปหลายเหลี่ยมใดๆ ข้ามขอบใดๆ ของรูปหลายเหลี่ยมนั้น จะได้รูปหลายเหลี่ยมอีกรูปหนึ่ง การจัดเรียงแบบนี้เรียกว่า การปูขอบ (edge tessellation ) หนึ่งในนั้นคือการปูด้วยรูปว่าวตั้งฉากที่มีมุม 60°, 90° และ 120° ซึ่งทำให้เกิดการปูแบบสามเหลี่ยมหกเหลี่ยม (deltoidal trihexagonal tiling ) (ดู§ การปูและรูปทรงหลายเหลี่ยม ) ^{[ 24 ]}โปรโตไทล์ที่สร้างจากรูปว่าวแปดรูปนี้จะปูระนาบได้แบบไม่เป็นคาบซึ่งเป็นกุญแจสำคัญในการแก้ปัญหาของไอน์สไตน์^{[ 25 ]}

ในเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดรูปว่าวสามารถมีมุมฉากสามมุมและมุมที่ไม่ใช่มุมฉากหนึ่งมุม ซึ่งก่อให้เกิดรูปสี่เหลี่ยมแลมเบิร์ต กรณีพิเศษ มุมที่สี่เป็นมุมแหลมในเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกและมุมป้านในเรขาคณิตทรงกลม^{[ 26 ]}

คุณสมบัติ

เส้นทแยงมุม มุม และพื้นที่

รูปว่าวทุกรูปเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากหมายความว่าเส้นทแยงมุมทั้งสองเส้นตั้งฉากกัน ยิ่งไปกว่านั้น เส้นทแยงมุมเส้นหนึ่ง (แกนสมมาตร) เป็นเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของอีกเส้นหนึ่ง และยังเป็นเส้นแบ่งครึ่งมุมของมุมทั้งสองที่มันตัดกันด้วย^{[ 1 ]}เนื่องจากความสมมาตร มุมอีกสองมุมของรูปว่าวจะต้องเท่ากัน^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}แกนสมมาตรของเส้นทแยงมุมของรูปว่าวนูนแบ่งรูปว่าวออกเป็นสามเหลี่ยมที่ เท่ากันทุกประการสองรูป ส่วนเส้นทแยงมุมอีกเส้นหนึ่งแบ่งรูปว่าวออกเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว สอง รูป^{[ 1 ]}

เช่นเดียวกับรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากทั่วไปใดๆ พื้นที่⁠ $A$ ขนาดของรูปว่าวสามารถคำนวณได้จากครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวเส้นทแยงมุม $p$ และ $q$ : ^[¹⁰^] $A={\frac {p\cdot q}{2}}.$ อีกวิธีหนึ่งคือ สามารถคำนวณพื้นที่ได้โดยแบ่งรูปว่าวออกเป็นสองสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ แล้วใช้สูตร SASในการหาพื้นที่ของแต่ละสามเหลี่ยม ถ้า $a$ และ $b$ คือความยาวของด้านสองด้านของว่าว และ $\theta$ มุมระหว่างนั้นคือพื้นที่^{[ 27 ]} $\displaystyle A=ab\cdot \sin \theta .$

วงกลมที่จารึกไว้

วงกลมสองวงสัมผัสกับด้านข้างและด้านที่ต่อออกไปของรูปว่าวแบบนูน (ด้านบน) รูปว่าวแบบไม่นูน (ตรงกลาง) และรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานกลับ (ด้านล่าง) เส้นตรงสี่เส้นที่ลากผ่านด้านข้างของแต่ละรูปสี่เหลี่ยมเป็นเส้นสัมผัสสองเส้นของวงกลม

รูปว่าว แบบนูนทุกรูปยังเป็นรูปสี่เหลี่ยมสัมผัส ด้วย กล่าวคือ มีวงกลมที่สัมผัสกับด้านทั้งสี่ด้าน นอกจากนี้ ถ้ารูปว่าวแบบนูนไม่ใช่รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ก็จะมีวงกลมอยู่นอกรูปว่าวที่สัมผัสกับส่วนขยายของด้านทั้งสี่ด้าน ดังนั้น รูปว่าวแบบนูนทุกรูปที่ไม่ใช่รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจึงเป็นรูปสี่เหลี่ยมสัมผัสภายนอก รูปว่าวแบบนูนที่ไม่ใช่รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนก็คือรูปสี่เหลี่ยมที่เป็นทั้งแบบสัมผัสและสัมผัสภายนอก^{[ 17 ]}สำหรับ รูปว่าว แบบเว้า ทุก รูป จะมีวงกลมสองวงที่สัมผัสกับด้านสองด้านและส่วนขยายของอีกสองด้าน วงหนึ่งอยู่ภายในรูปว่าวและสัมผัสกับด้านสองด้านตรงข้ามกับมุมเว้า ในขณะที่อีกวงหนึ่งอยู่ภายนอกรูปว่าวและสัมผัสกับรูปว่าวบนขอบสองด้านที่อยู่ติดกับมุมเว้า^{[ 28 ]}

สำหรับว่าวแบบนูนที่มีความยาวแนวทแยง⁠ $p$ และ $q$ และด้านยาว $a$ และ $b$ รัศมี $r$ ของวงกลมที่แนบในคือ $r={\frac {pq}{2(a+b)}},$ และ รัศมี $\rho$ ⁠ของวงกลมนอกสัมผัสคือ^{[ 17 ]} $\rho ={\frac {pq}{2|a-b|}}.$

รูปสี่เหลี่ยมสัมผัสจะเป็นว่าวก็ต่อเมื่อเงื่อนไขใดเงื่อนไขหนึ่งต่อไปนี้เป็นจริง: ^{[ 29 ]}

พื้นที่เท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของเส้นทแยงมุม
เส้นทแยงมุมตั้งฉากกัน (ดังนั้นรูปว่าวจึงเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่ทั้งสัมผัสและตั้งฉากกับเส้นทแยงมุม )
เส้นตรงสองเส้นที่เชื่อมจุดสัมผัสตรงข้ามกันมีความยาวเท่ากัน
ความยาวของเส้นสัมผัส ซึ่งเป็นระยะทางจากจุดสัมผัสไปยังจุดยอดที่อยู่ติดกันของรูปสี่เหลี่ยม จะมีค่าเท่ากันที่จุดยอดตรงข้ามสองจุดของรูปสี่เหลี่ยม (ที่แต่ละจุดยอด จะมีจุดสัมผัสที่อยู่ติดกันสองจุด แต่จุดสัมผัสทั้งสองจุดอยู่ห่างจากจุดยอดในระยะทางเท่ากัน ดังนั้นแต่ละจุดยอดจึงมีเส้นสัมผัสเพียงเส้นเดียว)
เส้นกึ่งกลางทั้งสองซึ่งเป็นส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของขอบตรงข้าม มีความยาวเท่ากัน
ผลคูณของความยาวด้านตรงข้ามมีค่าเท่ากัน
จุดศูนย์กลางของวงกลมแนบในอยู่บนเส้นสมมาตรซึ่งเป็นเส้นทแยงมุมด้วย

ถ้าเส้นทแยงมุมในรูปสี่เหลี่ยมสัมผัส⁠ $ABCD$ ตัดกันที่ $P$ และวงกลมแนบ ใน ของรูปสามเหลี่ยม $ABP$ } , ⁠ $BCP$ , ⁠ $CDP$ , ⁠ $DAP$ มีรัศมี $r_{1}$ , ⁠ $r_{2}$ , ⁠ $r_{3}$ และ $r_{4}$ ตาม ลำดับแล้วรูปสี่เหลี่ยมจะเป็นว่าวก็ต่อเมื่อ^{[ 29 ]} $r_{1}+r_{3}=r_{2}+r_{4}.$ ถ้าวงกลมภายนอกเชื่อมกับสามเหลี่ยมทั้งสี่ที่อยู่ตรงข้ามจุดยอด⁠ $P$ มีรัศมี $R_{1}$ , ⁠ $R_{2}$ , ⁠ $R_{3}$ และ $R_{4}$ ตาม ลำดับแล้วรูปสี่เหลี่ยมจะเป็นว่าวก็ต่อเมื่อ^{[ 29 ]} $R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4}.$

ความเป็นสองด้าน

รูปว่าวและรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วเป็นคู่กัน หมายความว่ามีความสัมพันธ์กันที่กลับมิติของส่วนต่างๆ โดยให้จุดยอดเป็นด้านและด้านเป็นจุดยอด จากรูปว่าวใดๆ วงกลมที่ล้อมรอบจะสัมผัสกับด้านทั้งสี่ของรูปว่าวที่จุดยอดทั้งสี่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว สำหรับรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วใดๆ เส้นสัมผัสกับวงกลมที่ล้อมรอบที่จุดยอดทั้งสี่จะสร้างด้านทั้งสี่ของรูปว่าว ความสัมพันธ์นี้ยังสามารถมองได้ว่าเป็นตัวอย่างของการผกผันเชิงขั้วซึ่งเป็นวิธีการทั่วไปในการจับคู่จุดกับเส้นและในทางกลับกัน โดยกำหนดวงกลมคงที่ แม้ว่าจุดยอดทั้งสี่ของรูปว่าวจะไม่สัมผัสกับวงกลม แต่ในแง่นี้จุดยอดทั้งสี่ของรูปว่าวจะผกผันกับด้านทั้งสี่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว^{[ 30 ]}คุณสมบัติของรูปว่าวและรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วที่ตรงกันภายใต้ความเป็นคู่กันนี้จะถูกเปรียบเทียบในตารางด้านล่าง^{[ 7 ]}

สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว	ว่าว
มุมประชิดสองคู่ที่มีขนาดเท่ากัน	ด้านที่อยู่ติดกันสองคู่ที่มีขนาดเท่ากัน
ด้านตรงข้ามที่เท่ากันสองด้าน	มุมตรงข้ามที่เท่ากันสองมุม
ด้านตรงข้ามสองด้านที่มีเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากร่วมกัน	มุมตรงข้ามสองมุมที่มีเส้นแบ่งครึ่งมุมร่วมกัน
แกนสมมาตรที่ลากผ่านด้านตรงข้ามสองด้าน	แกนสมมาตรที่ลากผ่านมุมตรงข้ามสองมุม
วงกลมล้อมรอบที่ลากผ่านจุดยอดทั้งหมด	วงกลมที่แนบในวงกลมและสัมผัสกับทุกด้าน

การผ่าตัด

ปัญหา การแบ่งรูปหลายเหลี่ยมออกเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่เท่ากันทุกรูปนั้น เรียกว่า ปัญหาการแบ่งรูปหลายเหลี่ยมออกเป็นรูปสามเหลี่ยม ในบริบทนี้สเปกตรัมของรูปหลายเหลี่ยมคือเซตของตัวเลข $n$ เพื่อให้รูปหลายเหลี่ยมนั้นถูกแบ่งอย่างเท่าๆ กัน $n$ รูปสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่เท่ากัน เนื่องจากสมมาตร สเปกตรัมของรูปว่าวจึงประกอบด้วยจำนวนเต็มคู่ทั้งหมด รูปว่าวพิเศษบางรูปยังมีจำนวนคี่บางส่วนอยู่ในสเปกตรัมด้วย^{[ 31 ]}^{[ 32 ]}

ทุกรูปสามเหลี่ยมสามารถแบ่งย่อยออกเป็นรูปว่าวฉากสามรูปที่มาบรรจบกันที่จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบรูปสามเหลี่ยมนั้น โดยทั่วไปแล้ว วิธีการที่อิงตามการจัดเรียงวงกลมสามารถใช้ในการแบ่งย่อยรูปหลายเหลี่ยมใดๆ ก็ได้ด้วย $n$ ด้านข้างเข้าสู่ $O(n)$ ว่าวที่ชนขอบชนขอบ^{[ 33 ]}

การปูพื้นและทรงหลายเหลี่ยม

การสร้างกระเบื้องเพนโรสรูปว่าวและลูกดอกแบบวนซ้ำ

ลวดลายดอกกุหลาบแฟร็กทัลของว่าวเพนโรส

รูปว่าวทั้งหมดปูระนาบโดยการสะท้อนจุด ซ้ำๆ รอบจุดกึ่งกลางของขอบ เช่นเดียวกับรูปสี่เหลี่ยมทั้งหมดโดยทั่วไป^{[ 34 ]}รูปว่าวและรูปลูกศรที่มีมุม 72°, 72°, 72°, 144° และ 36°, 72°, 36°, 216° ตามลำดับ ก่อให้เกิดรูปต้นแบบของการปูแบบเพนโรสเวอร์ชัน หนึ่ง ซึ่งเป็นการปูระนาบแบบไม่เป็นคาบที่ค้นพบโดยนักฟิสิกส์คณิตศาสตร์โรเจอร์ เพนโรส [ ^{5 ] เมื่อ}รูปว่าวมีมุมที่จุดยอดและด้านหนึ่งรวมกันได้เท่ากับ $\pi (1-{\tfrac {1}{n}})$ สำหรับจำนวนเต็มบวกบางจำนวน $n$ จาก นั้นสามารถใช้สำเนาที่ย่อส่วนของรูปว่าวนั้นมาปูระนาบเป็น ลวดลายดอก กุหลาบแบบแฟร็กทัลซึ่งประกอบด้วยวงแหวนที่มีขนาดใหญ่ขึ้นเรื่อยๆ $n$ ว่าวจะล้อมรอบจุดศูนย์กลาง^{[ 35 ]}โรเซ็ตเหล่านี้สามารถใช้เพื่อศึกษาปรากฏการณ์การยุบตัวแบบไม่ยืดหยุ่น ซึ่งระบบของอนุภาคที่เคลื่อนที่มาพบกันในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นจะรวมตัวกันที่จุดร่วม^{[ 36 ]}

รูปว่าวที่มีมุม 60°, 90°, 120°, 90° ยังสามารถปูระนาบได้ด้วยการสะท้อนซ้ำๆ ข้ามขอบของมัน การปูที่ได้คือการปูแบบสามเหลี่ยมหกเหลี่ยมเดลตอยด์ซึ่งซ้อนทับกับการปูระนาบด้วยรูปหกเหลี่ยมปกติและรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว^{[ 17 ]}รูปทรงยี่สิบเหลี่ยมเดลตอยด์รูปทรงหกเหลี่ยมเดลตอยด์และ รูป ทรงสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นรูปทรง หลาย เหลี่ยม ที่ มีหน้า เป็นรูปว่าวที่เท่ากัน ทุกประการ ^[³⁷^]ซึ่งอาจคิดได้ว่าเป็นการปูทรงกลมด้วยรูปว่าวทรงกลมที่เท่ากันทุกประการ^[³⁸^]มี การปูระนาบ ไฮเปอร์โบลิกด้วยรูปว่าวแบบสมมาตรหน้า จำนวนอนันต์ ^[³⁹^]รูปทรงหลายเหลี่ยมเหล่านี้ (เทียบเท่ากับการปูพื้นทรงกลม) การปูพื้นแบบสามเหลี่ยมหกเหลี่ยมสี่เหลี่ยมและเดลตอยด์ของระนาบยุคลิด และการปูพื้นบางส่วนของระนาบไฮเปอร์โบลิกแสดงอยู่ในตารางด้านล่าง โดยระบุตามการกำหนดค่าหน้า (จำนวนเพื่อนบ้านของจุดยอดทั้งสี่ของแต่ละแผ่นกระเบื้อง) รูปทรงหลายเหลี่ยมและการปูพื้นบางแบบปรากฏสองครั้ง ภายใต้การกำหนดค่าหน้าสองแบบที่แตกต่างกัน

โพลีเฮดรา			ยูคลิด
วี.4.3.4.3	วี.4.3.4.4	วี.4.3.4.5	วี4.3.4.6
โพลีเฮดรา	ยูคลิด	การปูพื้นแบบไฮเปอร์โบลิก
วี.4.4.4.3	วี.4.4.4.4	วี.4.4.4.5	วี.4.4.4.6
โพลีเฮดรา	การปูพื้นแบบไฮเปอร์โบลิก
วี.4.3.4.5	วี.4.4.4.5	วี.4.5.4.5	วี.4.6.4.5
ยูคลิด	การปูพื้นแบบไฮเปอร์โบลิก
วี4.3.4.6	วี.4.4.4.6	วี.4.5.4.6	วี.4.6.4.6

รูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมอีกตระกูลหนึ่งที่มีหน้าเป็นรูปว่าวที่สมมาตรกัน ในรูปทรงหลายเหลี่ยมเหล่านี้ ขอบของด้านยาวด้านหนึ่งของรูปว่าวจะมาบรรจบกันที่จุดยอด "ขั้ว" สองจุด ในขณะที่ขอบของด้านยาวอีกด้านหนึ่งจะก่อตัวเป็นเส้นทางซิกแซกตามแนวเส้นศูนย์สูตรรอบรูปทรงหลายเหลี่ยม พวกมันเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมคู่ของปริซึมแอนติแบบ สม่ำเสมอ ^{[ 37 ]}ตัวอย่างที่พบเห็นได้ทั่วไปคือรูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมูห้าเหลี่ยมซึ่ง ใช้สำหรับ ลูกเต๋าสิบด้าน^{[ 17 ]}

บิลเลียดนอก

นักคณิตศาสตร์Richard Schwartzได้ศึกษาบิลเลียดภายนอกบนรูปว่าว บิลเลียดภายนอกเป็นระบบไดนามิกซึ่งจากจุดที่อยู่นอกเซตแบบนูน กระชับ ที่กำหนด ในระนาบ จะลากเส้นสัมผัสไปยังเซตแบบนูน เดินทางจากจุดเริ่มต้นตามเส้นนี้ไปยังอีกจุดหนึ่งที่อยู่ห่างจากจุดสัมผัสเท่ากัน แล้วทำซ้ำกระบวนการเดียวกัน เป็นที่ถกเถียงกันมาตั้งแต่ทศวรรษ 1950 ว่าระบบใดๆ ที่กำหนดในลักษณะนี้จะสามารถสร้างเส้นทางที่อยู่ห่างจากจุดเริ่มต้นได้ไกลเท่าใดก็ได้หรือไม่ และในบทความปี 2007 Schwartz ได้แก้ปัญหานี้โดยการค้นหาเส้นทางบิลเลียดที่ไม่จำกัดสำหรับรูปว่าวที่มีมุม 72°, 72°, 72°, 144° ซึ่งเหมือนกับที่ใช้ในการปูพื้นแบบ Penrose ^[⁴⁰^]ต่อมาเขาได้เขียนบทความวิเคราะห์บิลเลียดภายนอกสำหรับรูปทรงว่าวโดยทั่วไปมากขึ้น สำหรับปัญหานี้การแปลงเชิงเส้น ตรงใดๆ ของรูปว่าวจะรักษาสมบัติทางพลศาสตร์ของบิลเลียดภายนอกบนรูปว่าวนั้นไว้ และเป็นไปได้ที่จะแปลงรูปว่าวใดๆ ให้เป็นรูปทรงที่จุดยอดทั้งสามอยู่ที่จุด⁠ $(-1,0)$ และ $(0,\pm 1)$ โดยอันดับที่สี่อยู่ที่ $(\alpha ,0)$ กับ $\alpha$ ในช่วงหน่วยเปิด $(0,1)$ พฤติกรรมของลูกบิลเลียดด้านนอกบนว่าวใดๆ ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์อย่างมาก $\alpha$ และโดยเฉพาะอย่างยิ่งว่ามันสมเหตุสมผล หรือไม่ สำหรับกรณีของว่าวเพนโรส⁠ $\textstyle \alpha =1/\varphi ^{3}$ จำนวนอตรรกยะโดยที่ $\varphi ={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}$ คืออัตราส่วนทองคำ [⁴¹^]

↑ซากาโนะ, ยูได; Akama, Yohji (2015), "สามเหลี่ยมทรงกลม Anisohedral และการจำแนกประเภทของการปูกระเบื้องทรงกลมโดยว่าวที่สอดคล้องกัน ลูกดอกและสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน" , Hiroshima Mathematical Journal , 45 (3): 309– 339, doi : 10.32917/hmj/1448323768 , MR 3429167

↑ Dunham, Douglas; Lindgren, John; Witte, Dave (1981), "การสร้างรูปแบบไฮเปอร์โบลิกซ้ำๆ", ใน Green, Doug; Lucido, Tony; Fuchs, Henry (บรรณาธิการ), รายงานการประชุมประจำปีครั้งที่ 8 ว่าด้วยกราฟิกคอมพิวเตอร์และเทคนิคเชิงโต้ตอบ SIGGRAPH 1981, ดัลลัส, เท็กซัส, สหรัฐอเมริกา, 3–7 สิงหาคม 1981 , สมาคมเครื่องจักรคำนวณ , หน้า215–223 , doi : 10.1145/800224.806808 , ISBN 0-89791-045-1

↑ Schwartz, Richard Evan (2007), "วงโคจรไร้ขอบเขตสำหรับบิลเลียดภายนอก, I", Journal of Modern Dynamics , 1 (3): 371– 424, arXiv : math/0702073 , doi : 10.3934/jmd.2007.1.371 , MR 2318496

↑ Schwartz, Richard Evan (2009), Outer Billiards on Kites , Annals of Mathematics Studies, vol. 171, Princeton, New Jersey: Princeton University Press , doi : 10.1515/9781400831975 , ISBN 978-0-691-14249-4, MR 2562898

ลิงก์ภายนอก

ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. , "Kite" , MathWorld
สูตรคำนวณพื้นที่พร้อมภาพเคลื่อนไหวแบบโต้ตอบได้ที่ Mathopenref.com

[

[

[

[

[

[

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

20 ] [

21 ] รูป

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 36 ]

[

[

[

[

41

ไม่มีชื่อบทความ