ในทางเรขาคณิตพื้นที่สามมิติคือพื้นที่ทางคณิตศาสตร์ซึ่งต้องใช้ ค่าสามค่า (เรียกว่า พิกัด ) ในการกำหนด ตำแหน่งของจุดหรืออาจเรียกว่าพื้นที่3 มิติพื้นที่ 3หรือบางครั้ง เรียกว่า พื้นที่สามมิติโดยทั่วไปแล้ว หมายถึงพื้นที่ยุคลิดสามมิตินั่นคือพื้นที่ยุคลิดมิติสาม ซึ่งจำลองพื้นที่ทางกายภาพ พื้นที่สาม มิติทั่วไปเรียกว่า3-แมนิโฟลด์คำนี้อาจหมายถึงส่วนย่อยของพื้นที่บริเวณสามมิติ (หรือโดเมน 3 มิติ ) ^{[ 1 ]} หรือ รูปทรงตัน

ในทางเทคนิคแล้วทูเปิลของตัวเลขn ตัว สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นพิกัดคาร์ทีเซียนของตำแหน่งหนึ่งใน ปริภูมิยูคลิด n มิติ เซตของทูเปิล nตัวนี้มักจะถูกแทนด้วยและสามารถระบุได้ว่าเป็นคู่ที่เกิดจาก ปริภูมิยูคลิด nมิติและระบบพิกัดคาร์ทีเซียนเมื่อn = 3ปริภูมินี้เรียกว่า${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$พื้นที่ยูคลิดสามมิติ (หรือเรียกง่ายๆ ว่า "พื้นที่ยูคลิด" เมื่อบริบทชัดเจน) ^{[ 2 ]}ในฟิสิกส์คลาสสิกพื้นที่นี้ทำหน้าที่เป็นแบบจำลองของจักรวาล ทางกายภาพ ซึ่งมีสสาร ที่รู้จักทั้งหมด อยู่ เมื่อพิจารณาทฤษฎีสัมพัทธภาพพื้นที่ นี้สามารถถือได้ว่าเป็นพื้นที่ย่อยเฉพาะที่ของ กาลอวกาศ^{[ 3 ]}แม้ว่าพื้นที่นี้จะยังคงเป็นวิธีที่ใช้กันอย่างแพร่หลายที่สุดในการจำลองโลกตามที่เรารับรู้^{[ 4 ]}แต่มันก็เป็นเพียงตัวอย่างหนึ่งของ 3-manifold ในตัวอย่างคลาสสิกนี้ เมื่อค่าทั้งสามหมายถึงการวัดในทิศทางที่แตกต่างกัน ( พิกัด ) สามารถเลือกทิศทางใดก็ได้สามทิศทาง ตราบใดที่ทิศทางเหล่านี้ไม่อยู่ในระนาบ เดียวกัน ยิ่งไปกว่านั้น หากทิศทางเหล่านี้ตั้งฉาก กันเป็นคู่ๆ ค่าทั้งสามมักจะถูกระบุด้วยคำว่าความกว้าง /ความลึกความสูง / ความสูงและความยาว

นักปรัชญาอริสโตเติลตระหนักถึงการมีอยู่ของสามมิติ:

ขนาดที่แบ่งได้ทางเดียวคือเส้นตรง ถ้าแบ่งได้สองทางคือพื้นผิว และถ้าแบ่งได้สามทางคือวัตถุ นอกเหนือจากนี้ไม่มีขนาดอื่นใดอีก เพราะมีเพียงสามมิติเท่านั้น และสิ่งที่แบ่งได้ในสามทิศทางก็แบ่งได้ในทุกทิศทาง^{[ 5 ]}

หนังสือเล่มที่ XI ถึง XIII ของElements ของยูคลิดกล่าวถึงเรขาคณิตสามมิติหนังสือเล่มที่ XI พัฒนาแนวคิดเรื่องความตั้งฉาก ความขนาน และความตั้งฉากของเส้นและระนาบ การสร้างและคุณสมบัติของมุม และ ทรง สี่เหลี่ยมด้านขนานหนังสือเล่มที่ XII กล่าวถึงอนันต์ขนาดเล็กและวิธีการหาพื้นที่ของวงกลมหรือปริมาตรของพีระมิด [ ^{6 ]}กรวย ทรงกระบอก หรือทรงกลม^{[ 7 ]}หนังสือเล่มที่ XIII อธิบายการสร้างทรงหลายเหลี่ยมเพลโตปกติห้าแบบ^บนทรงกลม ซึ่งครอบคลุมลูกบาศก์ ทรงแปดเหลี่ยม ทรงยี่สิบเหลี่ยมและทรงสิบสองเหลี่ยม^{[ 6 ]}

ในศตวรรษที่ 17 พื้นที่สามมิติถูกอธิบายด้วยพิกัดคาร์ทีเซียนด้วยการเกิดขึ้นของเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ที่พัฒนาโดยเรเน่ เดส์การ์ตในงานของเขาLa Géométrie [ ^{8 ] ปิแอร์}เดอ แฟร์มาต์ได้พัฒนาแนวคิดที่คล้ายกันโดยอิสระในต้นฉบับAd locos planos et solidos isagoge (บทนำสู่ตำแหน่งระนาบและตำแหน่งของแข็ง) ซึ่งไม่ได้รับการตีพิมพ์ในช่วงชีวิตของแฟร์มาต์^{[ 9 ]}งานของแฟร์มาต์เกี่ยวกับการค้นหาค่าสุดขีดของเส้นโค้งจะวางรากฐานสำหรับแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ [ ^{10 ] ไอ}แซค นิวตันได้แนะนำระบบพิกัดเชิงขั้วเป็นระบบทางเลือกที่ไม่ใช่คาร์ทีเซียนซึ่งมีประโยชน์สำหรับเรขาคณิตบางประเภท^{[ 11 ]}

ในศตวรรษที่ 18 อเล็กซิส แคลโรต์ศึกษาเส้นโค้งพีชคณิตในอวกาศ แนวคิดของพื้นที่สัมผัสและความโค้ง และการใช้แคลคูลัสเพื่อจุดประสงค์นี้^{[ 12 ] [ 13 ]}เลออนฮาร์ด ออยเลอร์^{ศึกษา}แนวคิดของ เส้นจี โอเดสิก บนพื้นผิว โดยได้สม การจีโอเดสิกเชิงวิเคราะห์เป็นครั้งแรก[ ^{14 ]}และต่อมาได้แนะนำชุดระบบพิกัดภายในชุดแรกบนพื้นผิว^{[ 13 ]} ซึ่ง เป็นจุดเริ่มต้นของทฤษฎีเรขาคณิตภายในที่เป็นพื้นฐานของแนวคิดเรขาคณิตสมัยใหม่ ในปี 1760 ออยเลอร์ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทที่แสดงความโค้งของเส้นโค้งในอวกาศบนพื้นผิวในรูปของความโค้งหลัก^{[ 15 ]}ซึ่งรู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทของออยเลอร์ต่อมาในศตวรรษเดียวกันกัสปาร์ มงเก ได้มีส่วนสำคัญในการศึกษาเส้นโค้งและพื้นผิวในอวกาศ^{[ 13 ]}ผลงานของออยเลอร์และมงเกได้วางรากฐานสำหรับเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์

ในศตวรรษที่ 19 การพัฒนาเรขาคณิตของพื้นที่สามมิติเกิดขึ้นจาก การพัฒนา ควอเทอร์เนียนของวิลเลียม โรวัน แฮมิลตันซึ่งเป็น ระบบ จำนวนไฮเปอร์คอมเพล็กซ์เพื่อจุดประสงค์นี้ แฮมิลตันได้บัญญัติศัพท์คำว่าสเกลาร์และเวกเตอร์และได้กำหนดความหมายในสามมิติเป็นครั้งแรกภายในกรอบเรขาคณิตของเขาสำหรับควอเทอร์เนียน [ ^{16 ] จาก}นั้นพื้นที่สามมิติสามารถอธิบายได้ด้วยควอเทอร์เนียนที่มีส่วนประกอบสเกลาร์เป็นศูนย์ นั่นคือ^{[ 17 ]}${\displaystyle q=a+ui+vj+wk}$${\displaystyle a=0}$

แม้ว่าแฮมิลตันจะไม่ได้ศึกษาผลงานนี้โดยตรง แต่ผลงานนี้ได้แนะนำแนวคิดเรื่องฐานโดยอ้อม ซึ่งในที่นี้กำหนดโดยองค์ประกอบควอเทอร์เนียนรวมถึงผลคูณจุดและผลคูณไขว้ซึ่งสอดคล้องกับ (ค่าลบของ) ส่วนสเกลาร์และส่วนเวกเตอร์ของผลคูณของควอเทอร์เนียนเวกเตอร์สองตัว จนกระทั่งโจไซอาห์ วิลลาร์ด กิบบ์สจึงได้ระบุผลคูณทั้งสองนี้อย่างเป็นทางการ^{[ 17 ]}และสัญลักษณ์สมัยใหม่สำหรับผลคูณจุดและผลคูณไขว้ได้รับการแนะนำในบันทึกการสอนในห้องเรียนของเขา ซึ่งพบได้ในตำราVector Analysis ปี 1901 ที่เขียนโดยเอ็ดวิน บิดเวลล์ วิลสันโดยอิงจากคำบรรยายของกิบบ์ส^{[ 18 ]}${\displaystyle i,j,k}$

การพัฒนาเพิ่มเติมเกิดขึ้นในรูปแบบนามธรรมของปริภูมิเวกเตอร์ โดยผลงานของHermann GrassmannและGiuseppe Peanoซึ่งคนหลังเป็นผู้ให้คำจำกัดความสมัยใหม่ของปริภูมิเวกเตอร์เป็นโครงสร้างพีชคณิตเป็น คนแรก ^{[ 19 ]}การพัฒนาคณิตศาสตร์เมทริกซ์และการประยุกต์ใช้กับเรขาคณิต n มิติเกิดขึ้นโดยArthur Cayley ^{[ 20 ]}

ในทางคณิตศาสตร์เรขาคณิตวิเคราะห์ (เรียกอีกอย่างว่าเรขาคณิตคาร์ทีเซียน) อธิบายทุกจุดในปริภูมิสามมิติโดยใช้พิกัดสามแกนแกนพิกัด สามแกน ถูกกำหนด โดยแต่ละแกนตั้งฉากกับอีกสองแกนที่จุดกำเนิดซึ่งเป็นจุดที่แกนทั้งสามตัดกัน โดยปกติจะใช้สัญลักษณ์x , yและzตำแหน่งของจุดใดๆ ในปริภูมิสามมิติเมื่อเทียบกับแกนเหล่านี้ จะกำหนดโดยชุดตัวเลขจริง สามตัวเรียงลำดับ โดยแต่ละตัวเลขแสดงระยะห่างของจุดนั้นจากจุดกำเนิดที่วัดตามแกนที่กำหนด ซึ่งเท่ากับระยะห่างของจุดนั้นจากระนาบที่กำหนดโดยแกนอีกสองแกน^{[ 21 ]}

วิธีการอื่นๆ ที่นิยมใช้ในการอธิบายตำแหน่งของจุดในพื้นที่สามมิติ ได้แก่พิกัดทรงกระบอกและพิกัดทรงกลมแม้ว่าจะมีวิธีการที่เป็นไปได้มากมายนับไม่ถ้วนก็ตาม^{[ 22 ] [ 23 ]}สำหรับข้อมูลเพิ่มเติม โปรดดูที่พื้นที่ยุคลิด

ด้านล่างนี้คือภาพของระบบต่างๆ ที่กล่าวถึงข้างต้น

• 
  ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน
• 
  ระบบพิกัดทรงกระบอก
• 
  ระบบพิกัดทรงกลม

จุดสองจุดที่แตกต่างกันจะกำหนดเส้น ตรงเสมอ จุดสามจุดที่แตกต่างกันจะอยู่บนเส้นเดียวกันหรือกำหนดระนาบ เฉพาะ ในทางกลับกัน จุดสี่จุดที่แตกต่างกันอาจอยู่บนเส้นเดียวกัน อยู่บนระนาบเดียวกันหรือกำหนดพื้นที่ทั้งหมด^{[ 24 ]}

เส้นตรงสองเส้นที่แตกต่างกันอาจตัดกันขนานกันหรือเฉียงกัน ก็ได้ เส้นตรงสองเส้นที่ขนานกัน หรือเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกันจะอยู่บนระนาบเดียวกัน ดังนั้น เส้นเฉียงจึงเป็นเส้นตรงที่ไม่มาบรรจบกันและไม่อยู่บนระนาบเดียวกัน^{[ 25 ]}

ระนาบสองระนาบที่แตกต่างกันอาจมาบรรจบกันที่เส้นตรงเดียวกันหรือขนานกัน (กล่าวคือ ไม่บรรจบกัน) ^{[ 25 ]}ระนาบสามระนาบที่แตกต่างกัน ซึ่งไม่มีคู่ใดขนานกัน อาจมาบรรจบกันที่เส้นตรงเดียวกัน มาบรรจบกันที่จุดร่วมจุดเดียว หรือไม่มีจุดร่วมเลย ในกรณีสุดท้าย เส้นตัดกันทั้งสามเส้นของระนาบแต่ละคู่จะขนานกัน^{[ 26 ]}

เส้นตรงสามารถอยู่ในระนาบที่กำหนด ตัดกับระนาบนั้น ณ จุดเดียว หรือขนานกับระนาบนั้นได้^{[ 25 ]}ในกรณีสุดท้าย เส้นตรงสามารถเกิดขึ้นได้ในระนาบที่ขนานกับเส้นตรงที่กำหนด

ไฮเปอร์เพลนคือปริภูมิย่อยที่มีมิติน้อยกว่ามิติของปริภูมิเต็มหนึ่งมิติ ไฮเปอร์เพลนของปริภูมิสามมิติคือปริภูมิย่อยสองมิติ นั่นคือระนาบ ในแง่ของพิกัดคาร์ทีเซียน จุดของไฮเปอร์เพลนจะสอดคล้องกับสมการเชิงเส้น เพียงสมการเดียว ดังนั้นระนาบในปริภูมิ 3 มิตินี้จึงถูกอธิบายด้วยสมการเชิงเส้น เส้นตรงสามารถอธิบายได้ด้วยสมการเชิงเส้นอิสระสองสมการ โดยแต่ละสมการแทนระนาบที่มีเส้นตรงนี้เป็นจุดตัดร่วม^{[ 27 ]}

ทฤษฎีบทของ Varignonกล่าวว่าจุดกึ่งกลางของรูปสี่เหลี่ยมใดๆ ก่อให้เกิดรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานและดังนั้นจึงอยู่บนระนาบเดียวกัน^{[ 28 ]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

ทรงกลมในปริภูมิ 3 มิติ (เรียกอีกอย่างว่าทรงกลม 2 มิติเพราะเช่นเดียวกับพื้นผิว ทั้งหมด มันเป็นสองมิติโดยเนื้อแท้) ประกอบด้วยเซตของจุดทั้งหมดในปริภูมิ 3 มิติที่ระยะห่างคงที่rจากจุดศูนย์กลางPของแข็งที่ล้อมรอบด้วยทรงกลมเรียกว่าลูกบอล (หรือลูกบอล 3 มิติ ) ^{[ 29 ]}

ปริมาตรของลูกบอลกำหนดโดย^{[ 30 ]} และพื้นที่ผิวของทรงกลมคือ^{[ 30 ]}$${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3},}$$$${\displaystyle A=4\pi r^{2},}$$

ทรงกลมอีกประเภทหนึ่งเกิดขึ้นจากทรงกลม 4 มิติ ซึ่งพื้นผิวสามมิติคือทรงกลม 3 มิติ : จุดที่อยู่ห่างจากจุดกำเนิดของปริภูมิยุคลิดR ⁴เท่ากัน หากจุดมีพิกัดP ( x , y , z , w )แล้วx ² + y ² + z ² + w ² = 1จะบ่งบอกลักษณะของจุดเหล่านั้นบนทรงกลม 3 มิติหน่วยที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด^{[ 31 ]}

ทรงกลม 3 มิตินี้เป็นตัวอย่างของแมนิโฟลด์ 3 มิติ : พื้นที่ซึ่ง 'ดูเหมือน' พื้นที่ 3 มิติในระดับท้องถิ่น^{[ 32 ]}ในแง่ของโทโพโลยีที่แม่นยำ จุดแต่ละจุดของทรงกลม 3 มิติจะมีบริเวณใกล้เคียงซึ่งมีลักษณะทางโท โพโลยีเหมือนกับ เซตย่อยแบบเปิดของพื้นที่ 3 มิติ

ในสามมิติ มีโพลีโทปปกติ เก้าแบบ ได้แก่ ทรงหลายเหลี่ยมเพลโตแบบนูนห้าแบบและ ทรงหลายเหลี่ยม เคปเลอร์-ปวงโซต์แบบไม่ นูนสี่แบบ ^{[ 33 ]}

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติในสามมิติ

ระดับ	ทรงหลายเหลี่ยมเพลโต					โพลีเฮดราเคปเลอร์-ปวงโซต์
สมมาตร	ทีดี	โอ้​		ฉันh
กลุ่มค็อกซ์เตอร์	A 3 , [3,3]	B 3 , [4,3]		H 3 , [5,3]
คำสั่ง	24	48		120
ทรงหลายเหลี่ยมปกติ	{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}	{5/2,5}	{5,5/2}	{5/2,3}	{3,5/2}

พื้นผิวที่เกิดจากการหมุนเส้นโค้ง ระนาบ รอบเส้นคงที่ในระนาบของเส้นโค้งนั้นเรียกว่าพื้นผิวการหมุน เส้นโค้งระนาบเรียกว่าเส้นกำเนิดของพื้นผิว ส่วนตัดของพื้นผิวที่เกิดจากการตัดพื้นผิวกับระนาบที่ตั้งฉาก (ตั้งฉาก) กับแกน เรียกว่าวงกลม^{[ 34 ] [ 35 ]}

ตัวอย่างง่ายๆ เกิดขึ้นเมื่อเส้นกำเนิดเป็นเส้นตรง ถ้าเส้นกำเนิดตัดกับเส้นแกน พื้นผิวของการหมุนจะเป็นกรวยกลมตรงที่มีจุดยอด (ยอดแหลม) อยู่ที่จุดตัด อย่างไรก็ตาม ถ้าเส้นกำเนิดและแกนขนานกัน พื้นผิวของการหมุนจะเป็นทรงกระบอกกลม^{[ 34 ] [ 35 ]}

ในทำนองเดียวกันกับภาคตัดกรวยเซตของจุดที่มีพิกัดคาร์ทีเซียนที่สอดคล้องกับสมการทั่วไปของดีกรีสอง กล่าวคือ โดย ที่A , B , C , F , G , H , J , K , LและMเป็นจำนวนจริง และไม่ใช่ทุกค่าของA , B , C , F , GและHจะเป็นศูนย์ เรียกว่า พื้นผิวค วอดริก^{[ 36 ]}$${\displaystyle Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Fxy+Gyz+Hxz+Jx+Ky+Lz+M=0,}$$

มี พื้นผิวควอดริก ที่ไม่เสื่อมสภาพอยู่ หกประเภท : ^{[ 36 ]}

1. ทรงรี
2. ไฮเปอร์โบโลอิดของแผ่นเดียว
3. ไฮเปอร์โบโลอิดของแผ่นสองแผ่น
4. กรวยวงรี
5. พาราโบโลอิดวงรี
6. พาราโบโลอิดไฮเปอร์โบลิก

พื้นผิวควอดริกที่เสื่อมสภาพ ได้แก่ เซตว่าง จุดเดียว เส้นเดียว ระนาบเดียว คู่ของระนาบ หรือทรงกระบอกควอดริก (พื้นผิวที่ประกอบด้วยภาคตัดกรวยที่ไม่เสื่อมสภาพในระนาบπและเส้นทั้งหมดของR ³ที่ผ่านภาคตัดกรวยนั้นซึ่งตั้งฉากกับπ ) ^{[ 36 ]}บางครั้งกรวยวงรีก็ถือว่าเป็นพื้นผิวควอดริกที่เสื่อมสภาพเช่นกัน

ทั้งไฮเปอร์โบโลอิดของแผ่นเดียวและพาราโบโลอิดไฮเปอร์โบลิกเป็นพื้นผิวที่ถูกกำหนดหมายความว่าสามารถสร้างขึ้นจากตระกูลของเส้นตรงได้ อันที่จริง แต่ละพื้นผิวมีตระกูลของเส้นกำเนิดสองตระกูล สมาชิกของแต่ละตระกูลจะไม่ทับซ้อนกัน และสมาชิกแต่ละตัวของตระกูลหนึ่งจะตัดกับสมาชิกทุกตัวของอีกตระกูลหนึ่ง ยกเว้นเพียงกรณีเดียว^{[ 36 ]}แต่ละตระกูลเรียกว่าเรกูลัส^{[ 37 ]}

ในพีชคณิตเชิงเส้น มุมมองของพื้นที่สามมิติขึ้นอยู่กับแนวคิดเรื่องความเป็นอิสระอย่างมาก พื้นที่มีสามมิติเพราะความยาวของกล่องไม่ขึ้นอยู่กับความกว้างหรือความยาว ในภาษาทางเทคนิคของพีชคณิตเชิงเส้น พื้นที่เป็นสามมิติเพราะทุกจุดในพื้นที่สามารถอธิบายได้ด้วยการรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์อิสระ สามตัว ^{[ 38 ]}

เวกเตอร์สามารถจินตนาการได้ว่าเป็นลูกศร ขนาดของเวกเตอร์คือความยาวของมัน และทิศทางของเวกเตอร์คือทิศทางที่ลูกศรชี้ เวกเตอร์สามารถแทนได้ด้วยตัวเลขจริงสามตัวเรียงลำดับกัน ตัวเลขเหล่านี้เรียกว่าส่วนประกอบของเวกเตอร์ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

ผลคูณดอทของเวกเตอร์สองตัวA = [ A ₁ , A ₂ , A ₃ ]และB = [ B ₁ , B ₂ , B ₃ ]ถูกกำหนดดังนี้: ^{[ 39 ]}

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}=\sum _{i=1}^{3}A_{i}B_{i}.}$

ขนาดของเวกเตอร์Aเขียนแทนด้วย|| A ||ผลคูณดอทของเวกเตอร์A = [ A ₁ , A ₂ , A ₃ ]กับตัวมันเองคือ

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {A} =\|\mathbf {A} \|^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2},}$

ซึ่งให้^{[ 39 ]}

${\displaystyle \|\mathbf {A} \|={\sqrt {\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} }}={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2}}},}$

สูตรสำหรับความยาวแบบยุคลิดของเวกเตอร์

โดยไม่ต้องอ้างอิงถึงส่วนประกอบของเวกเตอร์ ผลคูณดอทของเวกเตอร์ยุคลิดที่ไม่เป็นศูนย์สองตัวAและBจะได้รับจาก^{[ 39 ]}

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\|\mathbf {A} \|\,\|\mathbf {B} \|\cos \theta ,}$

โดยที่ θคือมุมระหว่างAและB

สำหรับตัวอย่างทางกายภาพ ให้พิจารณาบล็อกบนระนาบเอียงที่ถูกดึงลงโดยแรงโน้มถ่วงสามารถใช้ผลคูณดอทเพื่อคำนวณงาน ที่ทำโดยเวกเตอร์แรง คง ที่ที่ใช้ทำมุมกับทิศทางการเคลื่อนที่ลงนั่นคือ: ^{[ 40 ]}${\displaystyle W}$${\displaystyle \mathbf {g} }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \mathbf {d} }$

${\displaystyle W=\mathbf {g} \cdot \mathbf {d} =\|\mathbf {g} \|\,\|\mathbf {d} \|\cos \theta }$

ผลคูณไขว้หรือผลคูณเวกเตอร์เป็นการดำเนินการแบบไบนารีบนเวกเตอร์ สองตัวใน ปริภูมิสามมิติและใช้สัญลักษณ์ × แทน ผลคูณไขว้A × Bของเวกเตอร์AและBคือเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับทั้งสองเวกเตอร์ และดังนั้นจึงตั้งฉากกับระนาบที่บรรจุเวกเตอร์ทั้งสองนั้น มีการประยุกต์ใช้มากมายในคณิตศาสตร์ฟิสิกส์และวิศวกรรม^{[ 41 ]}ตัวอย่างเช่น สามารถใช้ในการคำนวณแรงบิด ของ สลักเกลียวที่หมุนด้วยประแจ หรือแรงลอเรนซ์ที่กระทำต่ออิเล็กตรอนที่เคลื่อนที่ผ่านสนามแม่เหล็ก^{[ 42 ]}

ในภาษาฟังก์ชัน ผลคูณไขว้ เป็นฟังก์ชัน^{[ 43 ]}${\displaystyle \times :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$

ส่วนประกอบของผลคูณไขว้คือและสามารถเขียนเป็นส่วนประกอบได้เช่นกัน โดยใช้แบบแผนผลรวมของไอน์สไตน์เป็น โดย^ที่คือสัญลักษณ์Levi-Civita ^{[ 44} ] มีคุณสมบัติว่า^{[ 41 ]}${\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =[A_{2}B_{3}-B_{2}A_{3},A_{3}B_{1}-B_{3}A_{1},A_{1}B_{2}-B_{1}A_{2}]}$${\displaystyle (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )_{i}=\varepsilon _{ijk}A_{j}B_{k}}$${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$${\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =-\mathbf {B} \times \mathbf {A} }$

ขนาดของมันมีความสัมพันธ์กับมุมระหว่างและโดยเอกลักษณ์^{[ 41 ]}${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$$${\displaystyle \left\|\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right\|=\left\|\mathbf {A} \right\|\cdot \left\|\mathbf {B} \right\|\cdot \left|\sin \theta \right|.}$$

พื้นที่และผลคูณก่อให้เกิดพีชคณิตเหนือฟิลด์ซึ่งไม่ใช่แบบสลับที่หรือแบบเชื่อมโยงแต่เป็นพีชคณิตลีที่มีผลคูณไขว้เป็นวงเล็บลี^{[ 45 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พื้นที่พร้อมกับผลคูณนั้นมีความสมมาตรกับพีชคณิตลีของการหมุนสามมิติซึ่งแสดงด้วย^{[ 43 ]}เพื่อให้เป็นไปตามสัจพจน์ของพีชคณิตลี แทนที่จะใช้การเชื่อมโยง ผลคูณไขว้จะสอดคล้องกับเอกลักษณ์ของจาโคบีสำหรับเวกเตอร์สามตัวใดๆและ^{[ 45 ]}${\displaystyle (\mathbb {R} ^{3},\times )}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$${\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} }$${\displaystyle \mathbf {C} }$

$${\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )+\mathbf {B} \times (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )+\mathbf {C} \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=0}$$

ใน มิติ n เราสามารถ นำผลคูณของ เวกเตอร์ n − 1 ตัวมาสร้างเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งหมดได้ แต่ถ้าผลคูณจำกัดอยู่ที่ผลคูณไบนารีที่ไม่ธรรมดาที่มีผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ ผลคูณนั้นจะมีอยู่เฉพาะในมิติสามมิติและเจ็ดมิติเท่านั้น^{[ 46 ]}

การอธิบายพื้นที่สามมิติว่าเป็นพื้นที่เวกเตอร์สามมิติเหนือจำนวนจริงอาจเป็นประโยชน์ ซึ่งแตกต่างจากในลักษณะที่ละเอียดอ่อน ตามคำนิยาม มีฐานสำหรับซึ่งสอดคล้องกับไอโซมอร์ฟิซึมระหว่างและ: ^{[ 38 ]}การสร้างไอโซมอร์ฟิซึมพบได้ที่นี่อย่างไรก็ตาม ไม่มีฐาน 'ที่ต้องการ' หรือ 'ฐานมาตรฐาน' สำหรับ ${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{e_{1},e_{2},e_{3}\}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle V}$

ในทางกลับกัน มีฐานที่ต้องการสำหรับซึ่งเป็นผลมาจากการอธิบายว่าเป็นผลคูณคาร์ทีเซียนของสำเนาของนั่นคือพื้นที่ยูคลิดสามมิติ^{[ 47 ]}สิ่งนี้ทำให้สามารถกำหนดนิยามของการฉายภาพแบบแคนอนิก โดย ที่ตัวอย่างเช่นสิ่งนี้ทำให้สามารถกำหนดฐานมาตรฐานที่กำหนดโดย โดย ที่คือเดลต้าโครเนกเกอร์เขียนออกมาทั้งหมด ฐานมาตรฐานคือ^{[ 48 ]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$${\displaystyle \pi _{i}:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle 1\leq i\leq 3}$${\displaystyle \pi _{1}(x_{1},x_{2},x_{3})=x}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\text{Standard}}=\{E_{1},E_{2},E_{3}\}}$$${\displaystyle \pi _{i}(E_{j})=\delta _{ij}}$$${\displaystyle \delta _{ij}}$

$${\displaystyle E_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},E_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},E_{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}.}$$

ดังนั้น จึงสามารถมองได้ว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์นามธรรม พร้อมด้วยโครงสร้างเพิ่มเติมของการเลือกฐาน ในทางกลับกันสามารถได้มาโดยเริ่มต้นจากและ 'ลืม' โครงสร้างผลคูณคาร์ทีเซียน หรือเทียบเท่ากับการเลือกฐานมาตรฐาน ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

ตรงข้ามกับปริภูมิเวกเตอร์ทั่วไป บางครั้ง ปริภูมินี้เรียกว่าปริภูมิพิกัด^{[ 49 ]}${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

ในทางกายภาพแล้ว การใช้รูปแบบนามธรรมเป็นสิ่งที่พึงปรารถนาในเชิงแนวคิด เพื่อให้สมมติโครงสร้างให้น้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ หากโครงสร้างนั้นไม่ได้กำหนดโดยพารามิเตอร์ของปัญหาเฉพาะนั้นๆ ตัวอย่างเช่น ในปัญหาเกี่ยวกับสมมาตรแบบหมุน การทำงานกับคำอธิบายที่ชัดเจนยิ่งขึ้นของพื้นที่สามมิติจะสมมติว่ามีการเลือกฐาน ซึ่งสอดคล้องกับชุดของแกน แต่ในสมมาตรแบบหมุน ไม่มีเหตุผลใดที่จะเลือกชุดของแกนชุดหนึ่งมากกว่าชุดของแกนชุดเดียวกันที่ถูกหมุนโดยพลการ กล่าวอีกนัยหนึ่ง การเลือกแกนที่ต้องการจะทำลายสมมาตรแบบหมุนของพื้นที่ทางกายภาพ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

ในเชิงการคำนวณ จำเป็นต้องใช้คำอธิบายที่ชัดเจนยิ่งขึ้นเพื่อทำการคำนวณที่เป็นรูปธรรม ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

คำอธิบายที่เป็นนามธรรมยิ่งกว่านั้นคือการจำลองพื้นที่ทางกายภาพเป็นพื้นที่เชิงเส้นสามมิติเหนือจำนวนจริง ซึ่งเป็นเอกลักษณ์เฉพาะตัวจนถึงไอโซมอร์ฟิซึมเชิงเส้น บางครั้งเรียกว่าพื้นที่ยุคลิดสามมิติ^{[ 50 ]}เช่นเดียวกับที่คำอธิบายพื้นที่เวกเตอร์มาจากการ 'ลืมฐานที่ต้องการ' ของพื้นที่เชิงเส้นก็มาจากการ 'ลืมจุดกำเนิด' ของพื้นที่เวกเตอร์ พื้นที่ยุคลิดบางครั้งเรียกว่าพื้นที่เชิงเส้นยุคลิดเพื่อแยกความแตกต่างจากพื้นที่เวกเตอร์ยุคลิด^{[ 51 ]}${\displaystyle E(3)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

สิ่งนี้มีความน่าสนใจทางกายภาพเนื่องจากทำให้ความไม่แปรผันของการแปลของพื้นที่ทางกายภาพปรากฏชัด จุดกำเนิดที่ต้องการจะทำลายความไม่แปรผันของการแปล^{[ 50 ]}

การอภิปรายข้างต้นไม่ได้เกี่ยวข้องกับผลคูณดอทผลคูณดอทเป็นตัวอย่างของผลคูณภายในพื้นที่ทางกายภาพสามารถจำลองได้เป็นพื้นที่เวกเตอร์ซึ่งมีโครงสร้างของผลคูณภายใน ผลคูณภายในกำหนดแนวคิดของความยาวและมุม (และโดยเฉพาะอย่างยิ่งแนวคิดของความเป็นตั้งฉาก) ^{[ 52 ]}สำหรับผลคูณภายในใดๆ จะมีฐานที่ผลคูณภายในสอดคล้องกับผลคูณดอท แต่ก็มีฐานที่เป็นไปได้ที่แตกต่างกันมากมาย ซึ่งไม่มีฐานใดเป็นที่ต้องการเป็นพิเศษ ฐานเหล่านี้แตกต่างกันโดยการหมุน ซึ่งเป็นองค์ประกอบของกลุ่มการหมุนSO(3 )

แคลคูลัสเวกเตอร์เกี่ยวข้องกับ การเปลี่ยนแปลง เล็กน้อยและสะสมของฟิลด์เวกเตอร์ โดยส่วนใหญ่ใน ปริภูมิยูคลิดสามมิติสำหรับการหาอนุพันธ์ จะใช้ตัวดำเนินการ เดล ( ) หรือนาบลา ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \nabla }$

ความชันบ่งชี้ทิศทางของการเพิ่มขึ้นมากที่สุดของฟังก์ชันและขนาดของมัน ตัวอย่างเช่น การไหลของอนุภาค โดยความชันคือขนาดและทิศทางของการไหล ณ ตำแหน่งหนึ่ง^{[ 53 ]}ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม ความชันของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้จะกำหนดโดย^{[ 54 ]}${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} }$

โดยที่i , jและkเป็นเวกเตอร์หน่วยสำหรับ แกน x , yและzตามลำดับ ในสัญกรณ์ดัชนีจะเขียนว่า^{[ 55 ]}

$${\displaystyle (\nabla f)_{i}=\partial _{i}f.}$$

ไดเวอร์เจนซ์ บ่งชี้ถึง ฟลักซ์สุทธิของสนามเวกเตอร์รอบจุด เช่น การเพิ่มขึ้นหรือลดลงของความหนาแน่นของอนุภาค กล่าวคือ ตำแหน่งนั้นเป็นแหล่งกำเนิดหรือแหล่งดูดซับ [ ^{56 ] ได} เวอร์เจนซ์ของ สนามเวกเตอร์ (ที่หาอนุพันธ์ได้) F = U i + V j + W kซึ่งก็คือฟังก์ชัน มีค่า เท่ากับ ฟังก์ชันค่า สเกลาร์ : ^{[ 54 ]}${\displaystyle \mathbf {F} :\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle \operatorname {div} \,\mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial U}{\partial x}}+{\frac {\partial V}{\partial y}}+{\frac {\partial W}{\partial z}}.}$

ในสัญกรณ์ดัชนี โดยใช้หลักการรวมของไอน์สไตน์นี่คือ^{[ 55 ]}$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =\partial _{i}F_{i}.}$$

เคิร์ล (หรือโรเตอร์) เป็นเวกเตอร์ที่บ่งบอกถึงการหมุนเวียนแบบหมุนของสนามเวกเตอร์ เมื่อขยายในพิกัดคาร์ทีเซียน (ดูDel ในพิกัดทรงกระบอกและทรงกลมสำหรับ การแสดงพิกัด ทรงกลมและทรงกระบอก ) เคิร์ล ∇ × Fคือ สำหรับFที่ประกอบด้วย [ F _x , F _y , F _z ]: ^{[ 57 ]}

${\displaystyle {\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}}$

สิ่งนี้ขยายความได้ดังนี้: ^{[ 54 ]}

${\displaystyle \operatorname {curl} \,\mathbf {F} =\nabla \times \mathbf {F} =\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} .}$

ในสัญกรณ์ดัชนี ด้วยธรรมเนียมการรวมของไอน์สไตน์ นี่คือ^{[ 55 ]} โดยที่คือสัญลักษณ์ที่ไม่สมมาตรโดยสมบูรณ์สัญลักษณ์ Levi- Civita $${\displaystyle (\nabla \times \mathbf {F} )_{i}=\epsilon _{ijk}\partial _{j}F_{k},}$$${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$

อินทิกรัลเส้นของฟังก์ชันตามเส้นโค้งสามารถคิดได้ว่าเป็นผลรวมต่อเนื่องของค่าฟังก์ชันตามส่วนเพิ่มเล็กน้อยของเส้นโค้งนั้น สำหรับฟิลด์สเกลาร์f  : U ⊆ R ⁿ → R อินทิกรัลเส้นตามเส้นโค้งเรียบเป็นช่วงC ⊂ Uถูกกำหนดดังนี้^{[ 58 ]}

${\displaystyle \int \limits _{C}f\,ds=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))|\mathbf {r} '(t)|\,dt.}$

โดยที่r : [a, b] → Cเป็นการกำหนดพารามิเตอร์แบบหนึ่งต่อหนึ่ง ( bijective ) ใด ๆ ของเส้นโค้ง Cโดยที่r ( a ) และr ( b ) เป็นจุดปลายของCและ${\displaystyle a<b}$

สำหรับฟิลด์เวกเตอร์F  : U ⊆ R ⁿ → R ⁿปริพันธ์เส้นตามเส้นโค้ง เรียบเป็นช่วงๆ C ⊂ Uในทิศทางของrถูกกำหนดดังนี้^{[ 58 ]}

${\displaystyle \int \limits _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt,}$

โดยที่ผลคูณดอทและr : [a, b] → Cเป็นพารามิเตอร์ แบบหนึ่งต่อหนึ่ง ของเส้นโค้งCโดยที่r ( a ) และr ( b ) ให้จุดปลายของCชนิดย่อยของอินทิกรัลเส้นที่พบในฟิสิกส์คือวงปิดระนาบ ซึ่งกำหนดการไหลเวียนของฟังก์ชันรอบวง^{[ 59 ]}${\displaystyle \cdot }$

${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} .}$

อินทิกรัลพื้นผิวเป็นการขยายความของอินทิกรัลหลายชั้นไปสู่การอินทิเกรตบนพื้นผิวอาจมองได้ว่าเป็น อนาล็อกของอินทิกรัลเส้นในรูปแบบของอินทิก รัลสองชั้นในการหาสูตรที่ชัดเจนสำหรับอินทิกรัลพื้นผิว เราจำเป็นต้องกำหนดพารามิเตอร์ ของ พื้นผิวที่สนใจSโดยพิจารณาระบบพิกัดโค้งบนSเช่นละติจูดและลองจิจูดบนทรงกลมให้การกำหนดพารามิเตอร์ดังกล่าวเป็นx ( s , t ) โดยที่ ( s , t ) เปลี่ยนแปลงในบางบริเวณTบนระนาบดังนั้น อินทิกรัลพื้นผิวจึงกำหนดโดย

${\displaystyle \iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left\|{\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}$

โดยที่นิพจน์ระหว่างขีดบนด้านขวามือคือขนาดของผลคูณเชิงเวกเตอร์ของอนุพันธ์ย่อยของx ( s , t ) และเรียกว่าองค์ประกอบ พื้นผิว เมื่อกำหนดสนามเวกเตอร์vบนSซึ่งก็คือฟังก์ชันที่กำหนดเวกเตอร์v ( x ) ให้กับแต่ละ xในS แล้ว อินทิกรัลพื้นผิวสามารถกำหนดได้ทีละส่วนตามนิยามของอินทิกรัลพื้นผิวของสนามสเกลาร์ ผลลัพธ์ที่ได้คือเวกเตอร์

อินทิกรัลปริมาตรคืออินทิกรัลเหนือโดเมน หรือบริเวณ สามมิติเมื่ออินทิกรัลเป็นศูนย์ (หนึ่ง) อินทิกรัลปริมาตรก็คือปริมาตร ของบริเวณ นั้น^{[ 60 ] [ 1 ]} นอกจากนี้ยังอาจหมายถึงอินทิกรัลสามชั้นภายในบริเวณDในR ³ของฟังก์ชัน และมักจะเขียนเป็น: ${\displaystyle f(x,y,z),}$

${\displaystyle \iiint \limits _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.}$

ทฤษฎีบทพื้นฐานของอินทิกรัลเส้น กล่าวว่าอินทิกรัลเส้นที่ผ่าน ฟิลด์ เกรเดียนต์สามารถประเมินได้โดยการประเมินฟิลด์สเกลาร์ดั้งเดิมที่จุดปลายของเส้นโค้ง^{[ 61 ]}

ให้. จากนั้น ${\displaystyle \varphi :U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)=\int _{\gamma [\mathbf {p} ,\,\mathbf {q} ]}\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} .}$

ทฤษฎีบทของ Stokes เชื่อมโยงอินทิกรัลพื้นผิวของcurlของเวกเตอร์ฟิลด์ F เหนือพื้นผิว Σ ในปริภูมิสามมิติแบบยุคลิดกับอินทิกรัลเส้นของเวกเตอร์ฟิลด์เหนือขอบเขต ∂Σ: ^{[ 62 ]}

${\displaystyle \iint _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} .}$

สมมติว่าVเป็นเซตย่อยของ(ในกรณีที่n = 3, Vแทนปริมาตรในปริภูมิ 3 มิติ) ซึ่งเป็นเซตกระชับและมีขอบเขตเรียบ เป็นช่วงๆ S (ระบุด้วย∂ V = S เช่นกัน ) ถ้าFเป็นฟิลด์เวกเตอร์ที่อนุพันธ์ต่อเนื่องซึ่งกำหนดบนบริเวณใกล้เคียงของVแล้วทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์กล่าวว่า: ^{[ 63 ]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right)\,dV=}$${\displaystyle \scriptstyle S}$${\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} )\,dS.}$

ด้านซ้ายคือปริพันธ์ปริมาตรเหนือปริมาตรVด้านขวาคือปริพันธ์พื้นผิวเหนือขอบเขตของปริมาตรVแมนิโฟลด์ปิด∂V โดยทั่วไปคือขอบเขตของ V ที่มีทิศทาง จาก เวกเตอร์ปกติที่ชี้ออกด้านนอกและnคือเวกเตอร์ปกติหน่วยที่ชี้ออกด้านนอกของขอบเขต∂V ( อาจใช้ dS เป็นตัวย่อสำหรับn dS )

พื้นที่สามมิติมีคุณสมบัติทางโทโพโลยีหลายประการที่แตกต่างจากพื้นที่ที่มีมิติอื่น ตัวอย่างเช่น ต้องใช้อย่างน้อยสามมิติในการผูกปมในเชือก^{[ 64 ]}

ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์พื้นที่สามมิติทั่วไปคือ3-แมนิโฟลด์ซึ่งมีลักษณะเฉพาะในระดับท้องถิ่นในระดับสากล 3-แมนิโฟลด์เดียวกันนี้สามารถโค้งงอได้หลากหลายวิธี ตราบใดที่ยังคงต่อเนื่อง^{[ 65 ]}ตัวอย่างหนึ่งของเรื่องนี้คือปริภูมิเวลาโค้งที่พบใน ทฤษฎีสั ม พัทธภาพทั่วไป${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$

แนวคิดเรื่องมิติหลายอย่างสามารถทดสอบได้ด้วยเรขาคณิตจำกัดตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือPG(3,2)ซึ่งมีระนาบ Fanoเป็นปริภูมิย่อย 2 มิติ^{[ 66 ]}เป็นตัวอย่างหนึ่งของเรขาคณิต Galoisซึ่งเป็นการศึกษาเรขาคณิตเชิงฉายโดยใช้ฟิลด์จำกัดดังนั้น สำหรับฟิลด์ Galois ใดๆ GF( q ) จะมีปริภูมิเชิงฉาย PG(3, q ) สามมิติ^{[ 67 ]}ตัวอย่างเช่นเส้นเฉียง สามเส้นใดๆ ใน PG(3, q ) จะบรรจุอยู่ในเรกูลัส เพียงหนึ่งเดียว เท่านั้น^{[ 68 ]}

• การหมุน 3 มิติ
  • รูปแบบการหมุนในสามมิติ
• การวิเคราะห์มิติ
• ระยะห่างจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ
• พื้นที่สี่มิติ
• เส้นเฉียง § ระยะทาง
• กราฟสามมิติ
• เรขาคณิตทรงตัน
• เงื่อนไขการปฐมนิเทศ

Wikiquote มีคำคมที่เกี่ยวข้องกับพื้นที่สามมิติ

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับ3มิติ

• คำจำกัดความของคำว่า"สามมิติ"ในพจนานุกรมวิกิพีเดีย
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "เรขาคณิตสี่มิติ" . แมธเวิลด์ .
• พีชคณิตเชิงเส้นเบื้องต้น - บทที่ 8: เรขาคณิตสามมิติโดย คีธ แมทธิวส์ จากมหาวิทยาลัยควีนส์แลนด์ปี 1991