พื้นที่ขนาดกะทัดรัด

ตามเกณฑ์ความกะทัดรัดของปริภูมิยุคลิดตามที่ระบุไว้ในทฤษฎีบทไฮเนอ-โบเรลช่วง $A = (-\infty, -2]$ ไม่กะทัดรัดเพราะไม่มีขอบเขต ช่วง $C = (2, 4)$ ไม่กะทัดรัดเพราะไม่เป็นเซตปิด (แต่มีขอบเขต) ช่วง $B = [0, 1]$ กะทัดรัดเพราะเป็นทั้งเซตปิดและมีขอบเขต

ในคณิตศาสตร์โดยเฉพาะโทโพโลยีทั่วไปและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ความกะทัดรัดเป็นคุณสมบัติของปริภูมิที่ทำให้ปริภูมินั้นมีพฤติกรรมคล้ายกับเซตจำกัดใน หลายๆ ด้าน ^{[ 1 ]}ตัวอย่างเช่น บนเซตจำกัด ลำดับอนันต์ทุกลำดับจะต้องมีค่าบางค่าซ้ำกันอย่างไม่สิ้นสุด ตามหลักการรังนกพิราบสำหรับเซตย่อยของปริภูมิยุคลิดข้อความที่คล้ายกันคือความกะทัดรัดเชิงลำดับ : เซตจะกะทัดรัดก็ต่อเมื่อลำดับอนันต์ทุกลำดับในเซตมีลำดับย่อยที่ลู่เข้าสู่จุดหนึ่งของเซต ในทำนองเดียวกัน ในขณะที่ฟังก์ชันค่าจริงทุกฟังก์ชันบนเซตจำกัดมีขอบเขตและมีค่าสูงสุดและต่ำสุด ฟังก์ชันค่าจริง ต่อเนื่อง ทุก ฟังก์ชันบนปริภูมิที่กะทัดรัดจะมีคุณสมบัติเหล่านี้ สำหรับเซตย่อยที่กะทัดรัดของปริภูมิยุคลิด นี่คือทฤษฎีบทค่าสุดขีด

คุณสมบัติพื้นฐานอีกประการหนึ่งของเซตจำกัดคือ การคลุมเซตจำกัดด้วยเซตย่อยทุกชุดจะมีเซตย่อยที่คลุมเซตจำกัดเช่นกัน กล่าวคือ เราสามารถเลือกสมาชิกของเซตที่คลุมเซตจำกัดนั้นสำหรับแต่ละจุดในเซตจำกัดได้ คุณสมบัติทางโทโพโลยีที่สอดคล้องกันนี้ใช้ในการกำหนดความกะทัดรัด: ปริภูมิโทโพโลยีจะกะทัดรัดก็ต่อเมื่อการคลุมแบบเปิด ทุก ชุดมีเซตย่อยที่คลุมเซตจำกัด ในปริภูมิเมตริก สิ่งนี้เทียบเท่ากับการกำหนดรูปแบบอื่นๆ อีกหลายแบบ รวมถึงความกะทัดรัดแบบลำดับแม้ว่าความเทียบเท่าเหล่านี้อาจล้มเหลวในปริภูมิโทโพโลยีทั่วไปมากกว่าก็ตาม ดังนั้น ทุกลำดับในช่วงหน่วยปิด $[0,1]$ จะมีลำดับย่อยลู่เข้าที่มีลิมิตใน $[0,1]$ ในขณะที่สิ่งนี้ล้มเหลวสำหรับปริภูมิเช่นช่วงเปิด $(0,1)$ และเส้นจำนวนจริงสำหรับเซตย่อยของปริภูมิยุคลิด ความกะทัดรัดเทียบเท่ากับการเป็นเซตปิดและมีขอบเขตตามทฤษฎีบทของไฮน์-โบเรลคุณสมบัติของความกะทัดรัดมักช่วยให้สามารถรวมข้อมูลเฉพาะที่เข้ากับข้อสรุปโดยรวมได้ คำว่าเซตกระชับ (compact set)อาจหมายถึงปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่กระชับ หรือโดยทั่วไปแล้ว หมายถึงเซตย่อยของปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่กระชับในทอพอโลยีของปริภูมิย่อยนั้น

แนวคิดเรื่องความกะทัดรัด (Compactness) ได้รับการนำเสนออย่างเป็นทางการโดยMaurice Fréchetในปี 1906 ในงานที่ขยายทฤษฎีบท Bolzano–Weierstrass จากเซตของจุดไปยังปริภูมิของฟังก์ชัน ต่อมาPavel AlexandrovและPavel Urysohnได้พัฒนาสูตรการครอบคลุมแบบเปิด (open-cover formulation) ซึ่งปัจจุบันเป็นมาตรฐานในวิชาโทโพโลยี ความกะทัดรัดมีบทบาทสำคัญในคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันค่าจริงต่อเนื่องบนปริภูมิกะทัดรัดจะมีค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด และผลลัพธ์สำคัญๆ เช่นทฤษฎีบท Arzelà–Ascoliและทฤษฎีบทการมีอยู่ของ Peanoก็ขึ้นอยู่กับความกะทัดรัดเช่นกัน

การพัฒนาทางประวัติศาสตร์

ในศตวรรษที่ 19 คุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันหลายประการได้รับการเข้าใจ ซึ่งต่อมาจะถูกมองว่าเป็นผลสืบเนื่องมาจากความกะทัดรัด ในอีกด้านหนึ่งเบอร์นาร์ด โบลซาโน ( 1817 ) ตระหนักว่าลำดับของจุดที่มีขอบเขต (เช่น ในเส้นตรงหรือระนาบ) จะมีลำดับย่อยที่ต้องเข้าใกล้จุดอื่น ๆ ที่เรียกว่าจุดลิมิต ในที่สุด การพิสูจน์ของโบลซาโนอาศัยวิธีการแบ่งครึ่ง : ลำดับถูกวางไว้ในช่วงเวลาหนึ่ง จากนั้นถูกแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน และเลือกส่วนที่มีพจน์ของลำดับเป็นอนันต์ จากนั้นสามารถทำซ้ำกระบวนการได้โดยการแบ่งช่วงเวลาที่เล็กลงที่ได้ออกมาเป็นส่วนที่เล็กลงเรื่อย ๆ จนกระทั่งเข้าใกล้จุดลิมิตที่ต้องการ ความสำคัญอย่างเต็มที่ของทฤษฎีบทของโบลซาโน และวิธีการพิสูจน์จะไม่ปรากฏจนกระทั่งเกือบ 50 ปีต่อมา เมื่อ คาร์ล ไวเออร์สตรัสค้นพบมันอีกครั้ง^{[ 2 ]}

ในช่วงทศวรรษ 1880 เป็นที่ชัดเจนว่าผลลัพธ์ที่คล้ายกับทฤษฎีบท Bolzano–Weierstrassสามารถกำหนดขึ้นได้สำหรับปริภูมิของฟังก์ชันแทนที่จะเป็นเพียงตัวเลขหรือจุดทางเรขาคณิต แนวคิดในการพิจารณาฟังก์ชันว่าเป็นจุดของปริภูมิทั่วไปนั้นมีที่มาจากการศึกษาของGiulio AscoliและCesare Arzelà [ ^{3 ] จุด} สูงสุดของการศึกษาของพวกเขา คือ ทฤษฎีบท Arzelà–Ascoliซึ่งเป็นการวางนัยทั่วไปของทฤษฎีบท Bolzano–Weierstrass ไปยังตระกูลของฟังก์ชันต่อเนื่องโดยข้อสรุปที่แม่นยำคือ เป็นไปได้ที่จะดึง ลำดับของฟังก์ชัน ที่ลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอจากตระกูลของฟังก์ชันที่เหมาะสม ลิมิตสม่ำเสมอของลำดับนี้จึงมีบทบาทเช่นเดียวกับ "จุดลิมิต" ของ Bolzano ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 ผลลัพธ์ที่คล้ายกับของ Arzelà และ Ascoli เริ่มสะสมมากขึ้นในสาขาสมการเชิงอินทิกรัล ดังที่ David HilbertและErhard Schmidtได้ศึกษาไว้ สำหรับ ฟังก์ชันกรีนบางประเภทที่ได้มาจากผลเฉลยของสมการอินทิกรัล Schmidt ได้แสดงให้เห็นว่าคุณสมบัติที่คล้ายคลึงกับทฤษฎีบท Arzelà–Ascoli นั้นมีอยู่ในความหมายของการลู่เข้าโดยเฉลี่ยหรือการลู่เข้าในสิ่งที่ต่อมาเรียกว่าปริภูมิฮิลเบิร์ตสิ่งนี้ในที่สุดก็นำไปสู่แนวคิดของตัวดำเนินการกระชับ (compact operator)ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของแนวคิดทั่วไปของปริภูมิกระชับ (compact space) Maurice Fréchet เป็น ผู้ที่ในปี 1906ได้กลั่นกรองสาระสำคัญของคุณสมบัติ Bolzano–Weierstrass และบัญญัติศัพท์คำว่าความกระชับ (compactness)เพื่ออ้างถึงปรากฏการณ์ทั่วไปนี้ (เขาใช้คำนี้แล้วในบทความปี 1904 ของเขา^{[ 4 ]}ซึ่งนำไปสู่วิทยานิพนธ์ที่มีชื่อเสียงในปี 1906)

อย่างไรก็ตาม แนวคิดที่แตกต่างออกไปเกี่ยวกับความกะทัดรัดได้ค่อยๆ ปรากฏขึ้นในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 จากการศึกษาเรื่องความต่อเนื่องซึ่งถือเป็นพื้นฐานสำหรับการกำหนดสูตรทางคณิตศาสตร์วิเคราะห์อย่างเข้มงวด ในปี 1870 เอดูอาร์ด ไฮน์ ได้แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันต่อเนื่องที่กำหนดบนช่วงปิดและมีขอบเขตนั้นมีความต่อเนื่องสม่ำเสมอในระหว่างการพิสูจน์ เขาได้ใช้บทพิสูจน์ย่อยที่ว่า จากการครอบคลุมช่วงด้วยช่วงเปิดที่เล็กกว่าจำนวนนับได้ใดๆ ก็ตาม สามารถเลือกช่วงเปิดจำนวนจำกัดที่ครอบคลุมช่วงนั้นได้เช่นกัน ความสำคัญของบทพิสูจน์ย่อยนี้ได้รับการยอมรับโดยเอมิล โบเรล ( 1895 ) และได้รับการขยายไปสู่กลุ่มช่วงใดๆ โดยปิแอร์ คูแซง (1895) และอองรี เลเบส ( 1904 ) ทฤษฎีบทไฮน์-โบเรลซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่รู้จักกันในปัจจุบัน เป็นคุณสมบัติพิเศษอีกอย่างหนึ่งที่เซตปิดและมีขอบเขตของจำนวนจริงมีอยู่

คุณสมบัตินี้มีความสำคัญเพราะทำให้สามารถเปลี่ยนจากข้อมูลเฉพาะที่เกี่ยวกับเซต (เช่น ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน) ไปสู่ข้อมูลโดยรวมเกี่ยวกับเซต (เช่น ความต่อเนื่องสม่ำเสมอของฟังก์ชัน) แนวคิดนี้ได้รับการแสดงออกโดยLebesgue (1904)ซึ่งได้ใช้ประโยชน์จากมันในการพัฒนาปริพันธ์ที่ปัจจุบันใช้ชื่อของเขาในที่สุด สำนักวิชาทอพอโลยีเซตจุด ของรัสเซีย ภายใต้การนำของPavel AlexandrovและPavel Urysohnได้กำหนดความกะทัดรัดของ Heine–Borel ในลักษณะที่สามารถนำไปใช้กับแนวคิดสมัยใหม่ของปริภูมิทอพอโลยีได้ Alexandrov & Urysohn (1929)แสดงให้เห็นว่าความกะทัดรัดเวอร์ชันก่อนหน้าของ Fréchet ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าความกะทัดรัดแบบลำดับ (สัมพัทธ์) ภายใต้เงื่อนไขที่เหมาะสมนั้น เป็นผลมาจากความกะทัดรัดเวอร์ชันที่กำหนดขึ้นในแง่ของการมีอยู่ของซับคัฟเวอร์จำกัด แนวคิดเรื่องความกะทัดรัดนี้กลายเป็นแนวคิดที่โดดเด่น เพราะไม่เพียงแต่เป็นคุณสมบัติที่แข็งแกร่งกว่าเท่านั้น แต่ยังสามารถกำหนดเป็นสูตรในบริบททั่วไปได้โดยใช้เครื่องจักรทางเทคนิคเพิ่มเติมเพียงเล็กน้อย เนื่องจากอาศัยเพียงโครงสร้างของเซตเปิดในพื้นที่เท่านั้น

ตัวอย่างพื้นฐาน

ปริภูมิจำกัดใดๆ ก็เป็นปริภูมิกระชับได้ (compact space) สามารถสร้างปริภูมิย่อยกระชับได้โดยการเลือกเซตเปิดที่บรรจุจุดแต่ละจุดไว้ในปริภูมิย่อยนั้น ตัวอย่างที่สำคัญของปริภูมิกระชับคือช่วงหน่วย (ปิด) $[0,1]$ ของจำนวนจริงถ้าเราเลือกจุดที่แตกต่างกันจำนวนอนันต์ในช่วงหน่วยนั้น ก็จะต้องมีจุดสะสม (accumulation point) อยู่บ้าง ในบรรดาจุดเหล่านั้นในช่วงดังกล่าว ตัวอย่าง เช่นพจน์คี่ของลำดับ1, 1/2 , 1/3 , 3/4 , 1/5 , 5/6 , 1/7 , 7/8 , ... จะเข้าใกล้ 0 อย่างไม่จำกัดในขณะที่ พจน์คู่ จะเข้า ใกล้1 อย่าง ไม่จำกัด ลำดับตัวอย่างที่ให้ มา แสดงให้ เห็น ถึงความสำคัญของการรวมจุดขอบของช่วง เนื่องจากจุดลิมิตจะ ต้อง อยู่ ใน ปริภูมิ เอง— ช่วง เปิด ( หรือครึ่งเปิด) ของจำนวนจริงนั้นไม่ใช่ปริภูมิกระชับ (compact space )สิ่งสำคัญอีกประการหนึ่งคือช่วงต้องมีขอบเขตเนื่องจากในช่วง $[0,\infty)$ เราสามารถเลือกจุดลำดับ0, 1, 2, 3, ...ได้ ซึ่งไม่มีลำดับย่อยใดเข้าใกล้จำนวนจริงใดๆ ที่กำหนดได้อย่างแม่นยำ

ในสองมิติวงกลม ปิด มีความกะทัดรัด เนื่องจากสำหรับจุดจำนวนอนันต์ใดๆ ที่สุ่มมาจากวงกลมนั้น กลุ่มย่อยของจุดเหล่านั้นจะต้องเข้าใกล้จุดภายในวงกลมหรือจุดบนขอบวงกลมอย่างไม่จำกัด ในทำนองเดียวกัน วงกลมในระนาบก็มีความกะทัดรัด (เห็นได้ง่ายจากการที่เป็นวงกลมปิดและมีขอบเขต) อย่างไรก็ตาม วงกลมเปิดไม่กะทัดรัด เพราะลำดับของจุดสามารถเข้าใกล้ขอบวงกลมได้โดยไม่เข้าใกล้จุดใดๆ ภายในวงกลมอย่างไม่จำกัด ในทำนองเดียวกัน ทรงกลมมีความกะทัดรัด แต่ทรงกลมที่ขาดจุดหนึ่งจุดจะไม่กะทัดรัด เนื่องจากลำดับของจุดยังคงสามารถเข้าใกล้จุดที่ขาดหายไปได้ จึงไม่ได้เข้าใกล้จุดใดๆภายในวงกลมอย่างไม่จำกัด เส้นตรงและระนาบไม่กะทัดรัด เนื่องจากเราสามารถเลือกชุดของจุดที่เว้นระยะห่างเท่าๆ กันในทิศทางใดๆ ก็ได้โดยไม่เข้าใกล้จุดใดๆ

คำจำกัดความ

นิยามต่างๆ ของความกะทัดรัดอาจนำมาใช้ได้ ขึ้นอยู่กับระดับของความเป็นทั่วไป โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เซตย่อยของ ปริภูมิ ยุคลิดจะกะทัดรัดก็ต่อเมื่อเซตนั้นปิดและมีขอบเขตซึ่งหมายความว่า ตามทฤษฎีบทของโบลซาโน-ไวเออร์สตรัส ลำดับอนันต์ใดๆจากเซตนั้นจะมีลำดับย่อยที่ลู่เข้าสู่จุดในเซตนั้น แนวคิดที่เทียบเท่ากันต่างๆ ของความกะทัดรัด เช่นความกะทัดรัดเชิงลำดับและความกะทัดรัดเชิงจุดลิมิตสามารถพัฒนาขึ้นได้ในปริภูมิเมตริกทั่วไป^{[ 5 ]}

ในทางตรงกันข้าม แนวคิดเรื่องความกะทัดรัดที่แตกต่างกันนั้นไม่เทียบเท่ากันในปริภูมิเชิงทอพอโลยี ทั่วไป และแนวคิดเรื่องความกะทัดรัดที่มีประโยชน์ที่สุด—ซึ่งเดิมเรียกว่าความกะทัดรัดแบบสองด้าน —ถูกกำหนดโดยใช้การปกคลุมที่ประกอบด้วยเซตเปิด (ดูคำจำกัดความของการปกคลุมแบบเปิดด้านล่าง) รูปแบบของความกะทัดรัดนี้ใช้ได้กับเซตย่อยแบบปิดและมีขอบเขตของปริภูมิยุคลิด ซึ่งรู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทไฮน์-โบเรลความกะทัดรัด เมื่อถูกกำหนดในลักษณะนี้ มักจะช่วยให้เราสามารถนำข้อมูลที่ทราบในระดับท้องถิ่น —ในบริเวณใกล้เคียงของแต่ละจุดในปริภูมิ—และขยายไปสู่ข้อมูลที่ใช้ได้ทั่วทั้งปริภูมิ ตัวอย่างของปรากฏการณ์นี้คือทฤษฎีบทของดิริชเลต์ ซึ่งเดิมทีไฮน์เป็นผู้ประยุกต์ใช้ กล่าวคือ ฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงกะทัดรัดนั้นมีความต่อเนื่องสม่ำเสมอในที่นี้ ความต่อเนื่องเป็นคุณสมบัติเฉพาะที่ของฟังก์ชัน และความต่อเนื่องสม่ำเสมอเป็นคุณสมบัติโดยรวมที่สอดคล้องกัน

คำจำกัดความของปกเปิด

ในทางรูปแบบพื้นที่โทโพโลยี $X$ เรียกว่ากะทัดรัดถ้าการคลุมแบบเปิด ทุกอัน ของ $X$ มีการคลุมย่อยแบบจำกัด^[⁶^]นั่นคือ $X$ กะทัดรัด ถ้าสำหรับชุด $C$ ของเซตย่อยแบบเปิด ทุกชุด ^[⁷^]ของ $X$ เช่นนั้น

$X=\bigcup _{S\in C}S\ ,$

มีกลุ่มย่อยจำกัด $F$ ⊆ $C$ เช่นนั้น

$X=\bigcup _{S\in F}S\ .$

บางสาขาของคณิตศาสตร์ เช่นเรขาคณิตเชิงพีชคณิตซึ่งโดยทั่วไปได้รับอิทธิพลจากสำนักคิดของบูร์บากี ในฝรั่งเศส ใช้คำว่า"กึ่งกระชับ" (quasi -compact ) สำหรับแนวคิดทั่วไป และสงวนคำว่า " กระชับ" (compact ) ไว้ สำหรับปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่เป็นทั้งเฮาส์ดอร์ฟและกึ่งกระชับเซตกระชับบางครั้งเรียกว่าคอมแพ็กตัม (compactum) พหูพจน์คือ คอมแพ็ก ตา ( compacta )

ความกะทัดรัดของเซตย่อย

เซตย่อย $K$ ของปริภูมิเชิงทอพอโลยี $X$ เป็นเซตกระชับ (compact) ถ้าสำหรับทุกกลุ่ม เซตเปิด $C$ ใดๆ ของ $X$ ที่มีคุณสมบัติ ว่า

$K\subseteq \bigcup _{S\in C}S\ ,$

มีกลุ่มย่อยจำกัด $F$ ⊆ $C$ เช่นนั้น

$K\subseteq \bigcup _{S\in F}S\ .$

ในทำนองเดียวกัน $K$ เป็นเซตกระชับในฐานะเซตย่อยของ $X$ ก็ต่อเมื่อปริภูมิเชิงทอพอโลยี $K$ เป็นเซตกระชับใน ทอพอ โลยีของปริภูมิย่อยโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า $K\subset Y\subset X$ โดยที่เซตย่อย $Y$ มีโทโพโลยีแบบซับสเปซแล้ว $K$ จะเป็นเซตกระชับใน $Y$ ก็ต่อเมื่อ $K$ เป็นเซตกระชับใน $X$ ยิ่งไปกว่านั้น ความกระชับของ $K$ ในฐานะเซตย่อยของปริภูมิโทโพโลยี $X$ นั้นไม่ขึ้นอยู่กับการฝังตัว ตราบใดที่โทโพโลยีแบบซับสเปซบน $K$ เหมือนกัน

ลักษณะเฉพาะ

ถ้า $X$ เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีแล้ว ข้อความต่อไปนี้จะเทียบเท่ากัน:

$X$ เป็นเซตกระชับ (compact set) กล่าวคือเซตคลุมเปิด ทุกเซต ของ $X$ จะมีเซตคลุมย่อยจำกัด (finite subcover )
$X$ มีฐานย่อยที่ทำให้ทุกการคลุมของปริภูมิโดยสมาชิกของฐานย่อยนั้น มีการคลุมย่อยจำกัด ( ทฤษฎีบทฐานย่อยของอเล็กซานเดอร์ )
$X$ เป็นLindelöfและกระชับแบบนับได้^{[ 8 ]}
กลุ่มของเซตย่อยปิดใดๆ ของ $X$ ที่มีคุณสมบัติการตัดกันแบบจำกัดจะมีการตัดกันที่ไม่ว่างเปล่า
ทุกเน็ตบน $X$ มีซับเน็ตที่ลู่เข้า (ดูบทความเกี่ยวกับเน็ตเพื่อดูหลักฐานการพิสูจน์)
ตัวกรองทุกตัวบน $X$ มีการปรับปรุงที่บรรจบกัน
ทุกโครงข่ายบน $X$ มีจุดรวมกลุ่มอยู่
ตัวกรองทุกตัวบน $X$ มีจุดคลัสเตอร์
ตัวกรองละเอียดพิเศษทุกตัวบนแกน $X$ จะลู่เข้าสู่จุดอย่างน้อยหนึ่งจุด
เซตย่อยอนันต์ทุกเซตของ $X$ มี จุดสะสม ที่สมบูรณ์^{[ 9 ]}
สำหรับปริภูมิเชิงทอพอโลยี $Y$ ทุก ปริภูมิ การฉายภาพ $X\times Y\to Y$ เป็นการแมปแบบปิด^{[ 10 ]} (ดูแผนที่ที่ถูกต้อง )
^{ปกคลุมแบบเปิดทุก ชุด}ที่เรียงลำดับเชิงเส้นตามการรวมเซตย่อยประกอบด้วย $X$ [ ¹¹^]

Bourbaki นิยามพื้นที่กระชับ (พื้นที่กึ่งกระชับ) ว่าเป็นพื้นที่โทโพโลยีที่แต่ละตัวกรองมีจุดคลัสเตอร์ (เช่น 8 ในข้างต้น) ^{[ 12 ]}

ปริภูมิยูคลิด

สำหรับเซตย่อย $A$ ใดๆ ในปริภูมิยุคลิด $A$ จะเป็นเซตกระชับก็ต่อเมื่อเป็นเซตปิดและมีขอบเขตซึ่งนี่คือทฤษฎีบทของไฮน์-โบเรล

เนื่องจากปริภูมิยุคลิดเป็นปริภูมิเมตริก เงื่อนไขในหัวข้อถัดไปจึงใช้ได้กับเซตย่อยทั้งหมดของปริภูมิยุคลิดด้วย ในบรรดาเงื่อนไขที่เทียบเท่ากันทั้งหมด ในทางปฏิบัติ การตรวจสอบว่าเซตย่อยเป็นเซตปิดและมีขอบเขตนั้นง่ายที่สุด ตัวอย่างเช่น สำหรับช่วง ปิด หรือ ทรงกลม $n$ มิติ ปิด

ปริภูมิเมตริก

สำหรับปริภูมิเมตริกใดๆ $(X, d)$ ข้อความต่อไปนี้ถือว่าเทียบเท่ากัน (โดยสมมติว่ามีตัวเลือกที่นับได้ ):

$(X, d)$ เป็นเซตกระชับ
$(X, d)$ สมบูรณ์และมีขอบเขตโดยสมบูรณ์(ซึ่งเทียบเท่ากับความกะทัดรัดสำหรับพื้นที่สม่ำเสมอ ) ^[¹³^]
$(X, d)$ เป็นปริภูมิกระชับเชิงลำดับ กล่าวคือ ทุกลำดับใน $X$ มีลำดับย่อยลู่เข้าซึ่งลิมิตอยู่ใน $X$ (ซึ่งเทียบเท่ากับความกระชับสำหรับปริภูมิเอกรูป ที่นับได้เป็นอันดับแรก ด้วย )
$(X, d)$ เป็น เซต กระชับจุดลิมิต (หรือเรียกว่าเซตกระชับแบบนับได้อ่อน) กล่าวคือ ทุกเซตย่อยอนันต์ของ $X มี$ จุดลิมิตอย่างน้อยหนึ่ง จุด ใน $X$
$(X, d)$ เป็นเซตกระชับนับได้ กล่าวคือ เซตคลุมเปิดนับได้ทุกเซตของ $X$ จะมีเซตคลุมย่อยจำกัด
$X$ ว่างเปล่าหรือ $(X, d)$ เป็นภาพของฟังก์ชันต่อเนื่องจากเซตแคนเตอร์^{[ 14 ]}
ลำดับย่อยปิดที่ไม่ว่างที่ซ้อนกันทุกชุด $S \supseteq S \supseteq ...$ ใน $(X, d)$ ที่ลดลงเรื่อยๆ จะมีจุดตัดที่ไม่ว่าง
ลำดับการซ้อนกันที่เพิ่มขึ้นของเซตย่อยเปิดที่เหมาะสม $S \subseteq S \subseteq ...$ ใน $(X, d)$ ไม่สามารถครอบคลุม $X$ ได้

ปริภูมิเมตริกกระชับ $(X, d)$ ยังมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ด้วย:

ทฤษฎีบทจำนวนของเลเบส : สำหรับทุกเซตเปิดที่ครอบคลุม $X$ จะมีจำนวนδ > 0 อยู่ ซึ่งทุกเซตย่อยของ $X$ ที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง < $δ$ จะอยู่ในสมาชิกบางตัวของเซตเปิดที่ครอบคลุมนั้น
$(X, d)$ เป็น ปริภูมิ ที่นับได้ลำดับที่สอง แยกได้และเป็นปริภูมิแบบลินเดลอฟ–เงื่อนไขทั้งสามนี้เทียบเท่ากันสำหรับปริภูมิเมตริก ส่วนข้อความกลับกันนั้นไม่เป็นจริง ตัวอย่างเช่น ปริภูมิแบบแยกส่วนที่นับได้จะตรงตามเงื่อนไขทั้งสามนี้ แต่ไม่เป็นปริภูมิกระชับ
$X$ เป็นเซตปิดและมีขอบเขต (เนื่องจากเป็นเซตย่อยของปริภูมิเมตริกใดๆ ที่มีเมตริกจำกัดคือ $d$ ) ในทางกลับกัน อาจใช้ไม่ได้กับปริภูมิที่ไม่ใช่แบบยุคลิด เช่นเส้นจำนวนจริงที่มีเมตริกแบบไม่ต่อเนื่อง เป็นเซตปิดและมีขอบเขต แต่ไม่กะทัดรัด เนื่องจากเซตของสมาชิกเอกฐาน ทั้งหมด ในปริภูมินี้เป็นเซตเปิดที่ไม่มีการครอบคลุมย่อยแบบจำกัด มันเป็นปริภูมิสมบูรณ์แต่ไม่มีขอบเขตโดยสมบูรณ์

พื้นที่เรียงลำดับ

สำหรับปริภูมิที่มีลำดับ $(X, <)$ (กล่าวคือ เซตที่มีลำดับสมบูรณ์พร้อมด้วยโทโพโลยีลำดับ) ข้อต่อไปนี้ถือว่าเทียบเท่ากัน:

$(X, <)$ เป็นคอมแพ็กต์
ทุกเซตย่อยของ $X$ มีค่าสูงสุด (กล่าวคือ ขอบเขตบนที่น้อยที่สุด) ใน $X$
ทุกเซตย่อยของ $X$ มีค่าต่ำสุด (กล่าวคือ ขอบล่างที่มากที่สุด) ใน $X$
เซตย่อยปิดที่ไม่ว่างทุกเซตของ $X$ จะมีสมาชิกสูงสุดและสมาชิกต่ำสุด

พื้นที่ที่มีระเบียบซึ่งตรงตามเงื่อนไขใดเงื่อนไขหนึ่งเหล่านี้ เรียกว่า แลตทิซสมบูรณ์

นอกจากนี้ ข้อความต่อไปนี้มีความเทียบเท่ากันสำหรับปริภูมิเรียงลำดับทั้งหมด $(X, <)$ และ (โดยสมมติว่ามีตัวเลือกที่นับได้ ) เป็นจริงเมื่อใดก็ตามที่ $(X, <)$ เป็นปริภูมิกระชับ (โดยทั่วไปแล้วข้อความกลับกันจะล้มเหลวหาก $(X, <)$ ไม่สามารถกำหนดเมตริกได้ด้วย):

ลำดับทุกลำดับใน $(X, <)$ จะมีลำดับย่อยที่ลู่เข้าใน $(X, <$ )
ลำดับ ที่เพิ่มขึ้นแบบโมโนโทนทุกตัวใน $X$ จะลู่เข้าสู่ลิมิตเฉพาะตัวหนึ่งใน $X$
ลำดับลดลงแบบเอกพันธุ์ทุกลำดับใน $X$ จะลู่เข้าสู่ลิมิตเฉพาะตัวใน $X$
ลำดับย่อยปิดที่ไม่ว่างเปล่าที่ซ้อนกันทุกชุด $S$ ⊇ $S$ ⊇ ... ใน $(X, <)$ จะมีจุดตัดที่ไม่ว่างเปล่า
ลำดับการซ้อนกันที่เพิ่มขึ้นของเซตย่อยเปิดที่เหมาะสม $S$ ⊆ $S$ ⊆ ... ใน $(X, <)$ ไม่สามารถครอบคลุม $X$ ได้

การกำหนดลักษณะโดยฟังก์ชันต่อเนื่อง

ให้ $X$ เป็น ปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ ปกติสมบูรณ์และ $C(X)$ เป็นวงแหวนของฟังก์ชันต่อเนื่องค่าจริงบน $X$ สำหรับแต่ละ $p \in X$ แผนที่การประเมินค่า $\operatorname {ev} _{p}\colon C(X)\to \mathbb {R}$ มอบให้โดย $\operatorname {ev} _{p}(f)=f(p)$ เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวน เคอร์เนลของมัน $M_{p}=\ker(\ชื่อผู้ดำเนินการ {ev} _{p})$ เป็นอุดมคติสูงสุดเนื่องจากตามทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมข้อแรก $C(X)/M_{p}\cong \mathbb {R} .$

สำหรับปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟปกติสมบูรณ์ $X$ ปริภูมิ $X$ จะเป็นปริภูมิซูโดคอมแพ็กต์ก็ต่อเมื่อไอเดียลสูงสุด $M$ ทุกตัว ของ $C(X)$ เป็น ไอเดียล จริงซึ่งหมายความว่าฟิลด์ส่วนเหลือ $C(X)/ M$ ของมัน เป็นไอโซมอร์ฟิกกับ $\mathbb {R} .$ ยิ่งไปกว่านั้น $X$ จะเป็นrealcompactก็ต่อเมื่อไอเดียลสูงสุดจริงทุกตัวมีรูปแบบ $M$ สำหรับ $p \in X$ บางตัว ดังนั้น $X$ จะเป็น compact ก็ต่อเมื่อไอเดียลสูงสุดของ $C(X)$ ทุกตัว เป็นเคอร์เนลของโฮโมมอร์ฟิซึมการประเมิน^{[ 15 ]}

ถ้า $X$ ไม่ใช่พсевдоคอมแพ็กต์ แล้ว $C(X)$ จะมีไอเดียลสูงสุดซึ่งฟิลด์ตกค้างเป็นส่วนขยายฟิลด์เรียงลำดับที่เหมาะสมของ $\mathbb {R}$ ซึ่งมักเรียกว่า ฟิลด์ ไฮเปอร์เรียลในกรอบการวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐานสิ่งนี้สอดคล้องกับลักษณะเฉพาะของความกะทัดรัดดังต่อไปนี้: ^{[ 16 ]}พื้นที่โทโพโลยี $X$ จะกะทัดรัดก็ต่อเมื่อทุกจุดของส่วนขยายตามธรรมชาติ $*X$ อยู่ ใกล้ จุดใดจุดหนึ่งของ $X$ อย่างไม่มีที่สิ้นสุด (นั่นคือ อยู่ในโมนาดของจุดใดจุดหนึ่งของ $X$ )

คำจำกัดความของไฮเปอร์เรียล

ปริภูมิ $X$ จะเรียกว่ากระชับ (compact space) ก็ต่อเมื่อส่วนขยายไฮเปอร์เรียล $*X$ ของมัน (ซึ่งสร้างขึ้นโดยวิธีอัลตราพาวเวอร์คอนสตรัคชัน เป็นต้น ) มีคุณสมบัติที่ว่าทุกจุดใน $*X$ อยู่ใกล้กับจุดใดจุดหนึ่งใน $X \subset *X$ อย่างไม่มีที่สิ้นสุด ตัวอย่างเช่น ช่วงจำนวนจริงเปิด $X = (0, 1)$ ไม่ใช่ปริภูมิกระชับ เพราะส่วนขยายไฮเปอร์เรียล $*(0,1)$ ของมันประกอบด้วยจุดอนันต์เล็ก ๆ ซึ่งอยู่ใกล้กับ 0 อย่างไม่มีที่สิ้นสุด ซึ่ง 0 ไม่ใช่จุดใน $X$

เงื่อนไขที่เพียงพอ

เซตย่อยปิดของปริภูมิกระชับเป็นเซตกระชับ^{[ 17 ]}
การรวมกันของเซตกระชับจำนวนจำกัดจะเป็นเซตกระชับ
ภาพของพื้นที่ขนาดกะทัดรัดภายใต้ฟังก์ชันต่อเนื่อง นั้น เป็นพื้นที่ขนาดกะทัดรัด^{[ 18 ]}
จุดตัดของกลุ่มเซตย่อยกระชับที่ไม่ว่างเปล่าใดๆ ในปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟนั้นเป็นเซตกระชับ (และปิด)
- ถ้า $X$ ไม่ใช่ Hausdorff แล้ว การตัดกันของเซตย่อยกระชับสองเซตอาจไม่กระชับ^{[ a ]}
ผลคูณของกลุ่มของปริภูมิกระชับใดๆ ก็เป็นปริภูมิกระชับเช่นกัน (นี่คือทฤษฎีบทของไทโคนอฟซึ่งเทียบเท่ากับสัจพจน์ของการเลือก )
ในปริภูมิเมตริกซ์เซตย่อยจะเป็นเซตกระชับก็ต่อเมื่อเป็นเซตกระชับตามลำดับ (โดยสมมติว่ามีตัวเลือกที่นับได้ )
เซตจำกัดที่มีโทโพโลยีใดๆ ก็ตาม ถือเป็นเซตกระชับ (compact set)

คุณสมบัติของพื้นที่ขนาดกะทัดรัด

ปริภูมิที่เซตย่อยกระชับทุกเซตเป็นเซตปิด เรียกว่าปริภูมิ KC
- เซตย่อยขนาดกะทัดรัดของปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ $X$ เป็นเซตปิด
- ถ้า $X$ ไม่ใช่ Hausdorff แล้วเซตย่อยกระชับของ $X$ อาจไม่ใช่เซตย่อยปิดของ $X$ ^{[ b ]}^{[ c ]}
- ถ้า $X$ ไม่ใช่ Hausdorff การปิดของเซตกระชับอาจไม่กระชับ^{[ d ]}
- ถ้า $X$ ไม่ใช่ Hausdorff ก็ยังเป็นไปได้ที่เซตย่อยกระชับทุกเซตจะเป็นเซตปิด^{[ e ]}
ในปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี (TVS) ใดๆ เซตย่อยกระชับ (compact subset) จะเป็นเซตสมบูรณ์ (complete) อย่างไรก็ตาม TVS ที่ไม่ใช่แบบเฮาส์ดอร์ฟ (non-Hausdorff TVS) ทุกปริภูมิจะมีเซตย่อยกระชับ (และดังนั้นจึงเป็นเซตสมบูรณ์) ที่ไม่ใช่เซตปิด (closed subsets)
ถ้า $A$ และ $B$ เป็นเซตย่อยกระชับที่ไม่ทับซ้อนกันในปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟX $แล้ว$ จะมีเซตเปิด $U$ และ $V$ ที่ไม่ทับซ้อนกัน ใน $X$ ซึ่ง $A \subseteq U$ และ $B \subseteq V$
การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งต่อหนึ่งอย่างต่อเนื่องจากปริภูมิกระชับไปยังปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟเรียกว่าโฮมีโอเมอร์ฟิซึม
พื้นที่แบบเฮาส์ดอร์ฟที่กะทัดรัดนั้นเป็นเรื่องปกติและเป็นไปตามแบบแผน
ถ้าปริภูมิ $X$ เป็นปริภูมิกระชับและเป็นแบบเฮาส์ดอร์ฟแล้ว จะไม่มีโทโพโลยีที่ละเอียดกว่าบน $X$ ที่เป็นปริภูมิกระชับ และไม่มีโทโพโลยีที่หยาบกว่าบน $X$ ที่เป็นแบบเฮาส์ดอร์ฟ
ถ้าเซตย่อยของปริภูมิเมตริก $(X, d)$ เป็นเซตกระชับ (compact) แล้ว เซตย่อยนั้นจะมี ขอบเขต $d (d$ -bounded)

ฟังก์ชั่นการใช้งานและพื้นที่ขนาดกะทัดรัด

เนื่องจากภาพของปริภูมิกระชับภายใต้ ฟังก์ชัน ต่อเนื่องเป็นปริภูมิกระชับทฤษฎีบทค่าสุดขีดจึงใช้ได้กับปริภูมิดังกล่าว: ฟังก์ชันค่าจริงต่อเนื่องบนปริภูมิกระชับที่ไม่ว่างเปล่ามีขอบเขตบนและบรรลุค่าสูงสุด^{[ 19 ]} (โดยทั่วไปแล้ว สิ่งนี้เป็นจริงสำหรับฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบน) ในลักษณะที่ตรงกันข้ามกับข้อความข้างต้น ภาพก่อนหน้าของปริภูมิกระชับภายใต้แผนที่ที่เหมาะสมเป็นปริภูมิกระชับ

การอัดแน่น

$ปริภูมิเชิงทอพอโลยี X$ ทุกปริภูมิเป็นปริภูมิย่อยแบบเปิดและหนาแน่นของปริภูมิกระชับที่มีจุดมากกว่า $X$ ไม่เกินหนึ่งจุด โดยอาศัยการทำให้เป็นกระชับแบบจุดเดียวของอเล็กซานดรอฟ ด้วยการสร้างแบบเดียวกัน ปริภูมิ เฮาส์ ดอร์ฟ กระชับเฉพาะที่ $X$ ทุก ปริภูมิเป็นปริภูมิย่อยแบบเปิดและหนาแน่นของปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟกระชับ ที่มีจุดมากกว่า $X ไม่เกินหนึ่งจุด$